2020-2021学年新教材数学人教A版选择性必修第一册教师用书：第1章 1.3 1.3.1 空间直角坐标系

1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系学习目标核心素养1.了解空间直角坐标系的建立过程．2．掌握空间直角坐标系中点的坐标的确定．(重点)3．掌握空间向量的坐标表示(重点、难点)1.通过建立空间直角坐标系，确定点的坐标，提升学生直观想象的核心素养．2．通过空间向量的坐标表示，培养学生直观想象和数学建模的核心素养.(1)数轴Ox上的点M，用代数的方法怎样表示呢？数轴Ox上的点M，可用与它对应的实数x表示；(2)直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数(x，y)表示．(3)如果我们也能建立一个空间直角坐标系，又该怎样表示空间的点呢？1．空间直角坐标系空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O 为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系坐标轴x轴、y轴、z轴坐标原点点O 坐标向量 i ，j ，k坐标平面 Oxy 平面、Oyz 平面和Oxz 平面右手直角 坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴正方向，食指指向y 轴正方向，如果中指指向z 轴正方向，则称坐标系为右手直角坐标系空间直角坐标系中A 点坐标在空间直角坐标系中，i ，j ，k 为坐标向量，对空间任一点A ，对应一个向量OA →，且点A 的位置由向量OA →唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使OA →＝x i ＋y j ＋z k ，则(x ，y ，z )叫做点A 在空间直角坐标系中的坐标．记作A (x ，y ，z )，其中x 叫点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标 在空间直角坐标系中，给定向量a .由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k ，则(x ，y ，z )叫做a 在空间直角坐标系中的坐标，简记作a ＝(x ，y ，z )1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间直角坐标系中x 轴上点的横坐标x ＝0，竖坐标z ＝0.( ) (2)空间直角坐标系中xOz 平面上点的坐标满足z ＝0.( )(3)关于坐标平面yOz 对称的点的坐标其纵、竖坐标不变，横坐标相反．( )[提示] (1)× (2)× (3)√2．已知i ，j ，k 是空间直角坐标系O -xyz 的坐标向量，并且AB →＝－i ＋j －k ，则B 点的坐标为( )A ．(－1,1，－1)B ．(－i ，j ，－k )C ．(1，－1，－1)D ．不确定D [向量确定时，终点坐标随着起点坐标的变化而变化，本题中起点没固定，所以终点的坐标也不确定．]3．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若以{AB →，AD →，AA 1→}为基底，则AC 1→＝________，AC 1→的坐标是________．AA 1→＋AB →＋AD → (1,1,1) [若以{AB →，AD →，AA 1→}为基底，∵AC 1→＝AA 1→＋A 1C 1→＝AA 1→＋A 1B 1→＋B 1C 1→＝AA 1→＋AB →＋AD →∴AC 1→的坐标为(1,1,1)．]求空间点的坐标11111N 为棱CC 1的中点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．(1)求点A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1的坐标； (2)求点N 的坐标．[思路探究] 将各个点在坐标上的射影求出，即可写出空间各点的坐标． [解] (1)显然D (0,0,0)，因为点A 在x 轴的正半轴上，且|AD |＝3， 所以A (3,0,0)．同理，可得C (0,4,0)，D 1(0,0,5)．因为点B 在坐标平面xOy 内，BC ⊥CD ，BA ⊥AD ，所以B (3,4,0)．同理，可得A 1(3,0,5)，C 1(0,4,5)，与B 的坐标相比，点B 1的坐标中只有竖坐标不同，|BB 1|＝|AA 1|＝5，则B 1(3,4,5)．(2)由(1)知C (0,4,0)，C 1(0,4,5)，则C 1C 的中点N 为⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋02，4＋42，0＋52，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4，52.坐标轴上或坐标平面上点的坐标的特点 x 轴上 (x,0,0) xOy 平面上 (x ，y,0) y 轴上 (0，y,0) yOz 平面上 (0，y ，z ) z 轴上 (0,0，z ) xOz 平面上(x,0，z )坐标原点 (0,0,0)[跟进训练]1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点，棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则E ，F 的坐标分别为________．[答案] E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1求对称点的坐标(1)求点P 关于x 轴的对称点的坐标； (2)求点P 关于xOy 平面的对称点的坐标；(3)求点P 关于点M (2，－1，－4)的对称点的坐标．[思路探究]求对称点的坐标，可以过该点向对称平面或对称轴作垂线并延长，使得垂足为所作线段的中点，再根据有关性质即可写出对称点坐标．[解] (1)由于点P 关于x 轴对称后，它在x 轴的分量不变，在y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 1(－2，－1，－4)．(2)由于点P 关于xOy 平面对称后，它在x 轴、y 轴的分量不变，在z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P 3(x ，y ，z )，则点M 为线段PP 3的中点．由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y ＝2×(－1)－1＝－3，z ＝2×(－4)－4＝－12，所以P 3(6，－3，－12)．1．求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反．”在空间直角坐标系中，任一点P (a ，b ，c )的几种特殊的对称点的坐标如下：对称轴或对称中心对称点坐标 P (a ，b ，c )x 轴 (a ，－b ，－c ) y 轴 (－a ，b ，－c ) z 轴(－a ，－b ，c ) xOy 平面 (a ，b ，－c ) yOz 平面 (－a ，b ，c ) xOz 平面 (a ，－b ，c ) 坐标原点(－a ，－b ，－c )111222标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.[跟进训练]2．点P (－3,2，－1)关于平面xOz 的对称点是________，关于z 轴的对称点是________，关于M (1,2,1)的对称点是________．(－3，－2，－1) (3，－2，－1) (5,2,3) [点P (－3,2，－1)关于平面xOz 的对称点是(－3，－2，－1)，关于z 轴的对称点是(3，－2，－1)．设点P (－3,2，－1)关于M (1,2,1)的对称点为(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧x －32＝1y ＋22＝2z －12＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝2z ＝3.故点P (－3,2，－1)关于点M (1,2,1)的对称点为(5,2,3)．]空间向量的坐标表示1．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，如何建立适当的空间直角坐标系？[提示] 分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为原点，分别以DC →，DA →，DD 1→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．2．若AB →＝(a ，b ，c )，则BA →的坐标是多少？[提示] BA →＝(－a ，－b ，－c )．【例3】 如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN →，BA 1→，A 1B →的坐标．[思路探究] 以点C 为原点，分别以CA →，CB →，CC 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN ，BA 1→，A 1B →分别用CA →，CB →，CC 1→表示出来，再写出它们的坐标．[解] 法一：由题意知CC 1⊥AC ，CC 1⊥BC ，AC ⊥BC ，以点C 为原点，分别以CA ，CB ，CC 1的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系C -xyz ，如图所示．∴BN →＝AN →－AB →＝12CC 1→＋CA →－CB →＝CA →－CB →＋12CC 1→，∴BN →的坐标为(1，－1,1)， 而BA 1→＝CA 1→－CB →＝CA →－CB →＋CC 1→， ∴BA 1→的坐标为(1，－1,2)．又∵A 1B →＝－BA 1→，∴A 1B →的坐标为(－1,1，－2)．法二：建系同法一，则B (0,1,0)，A (1,0,0)，A 1(1,0,2)，N (1,0,1)， ∴BN →＝(1，－1,1)，BA 1→＝(1，－1,2)，A 1B →＝(－1,1，－2)．[变条件]本例中，若把条件“AA 1＝2”改为“AA 1＝1”，结果怎样？ [解] 建系方式与例题相同，建系，BN →＝CA →－CB →＋12CC 1→，因为{CA →，CB →，CC 1→}为单位正交基底，∴BN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，12.又BA 1→＝CA →－CB →＋CC 1→，∴BA 1→＝(1，－1,1)． 所以A 1B →＝－BA 1→＝(－1,1，－1)．用坐标表示空间向量的步骤[跟进训练]3.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别为棱BB 1，DC 的中点，如图所示建立空间直角坐标系．(1)写出各顶点的坐标；(2)写出向量EF →，B 1F →，A 1E →的坐标．[解] (1)由题图知A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D (0，0,0)，A 1(2,0,2)，B 1(2,2,2)，C 1(0,2,2)，D 1(0,0,2)，(2)因为E ，F 分别为棱BB 1，DC 的中点， 由中点坐标公式，得E (2,2,1)，F (0,1,0)．所以EF →＝(－2，－1，－1)，B 1F →＝(－2，－1，－2)，A 1E →＝(0,2，－1)．1．在空间直角坐标系中，确定点的坐标或求对称点坐标时，要记住规律：“在谁的轴上，谁属于R ，其它为零；在谁的平面上，谁属于R ，其它为零．”“关于谁对称谁不变，其余变成相反数．”2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．1．设点P (1,1,1)关于xOy 平面的对称点为P 1，则点P 1关于z 轴的对称点P 2的坐标是( )A ．(1,1，－1)B ．(－1，－1，－1)C ．(－1，－1,1)D ．(1，－1,1)B [由条件知，P 1(1,1，－1)，P 1关于z 轴的对称点为(－1，－1，－1)．] 2．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若AB →＝3i ，AD →＝2j ，AA 1→＝5k ，则向量AC 1→在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(1,1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，15C ．(3,2,5)D ．(3,2，－5)C [AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝3i ＋2j ＋5k ，∴向量AC 1→在基底{i ，j ，k }下的坐标是(3,2,5)．]3．已知点A (1,2,2)，B (1，－3,1)，则AB 的中点M 的坐标为________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，32 [AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12，2－32，2＋12，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，32.] 4.已知P A ⊥正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且AB ＝AP ＝1，分别以DA →，AB →，AP →为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，求MN →，DC →的坐标．[解] 设DA →＝e 1，AB →＝e 2，AP →＝e 3，则DC →＝AB →＝e 2，MN →＝MA →＋AP →＋PN → ＝MA →＋AP →＋12PC →＝MA →＋AP →＋12(P A →＋AD →＋DC →) ＝－12e 2＋e 3＋12(－e 3－e 1＋e 2) ＝－12e 1＋12e 3，∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，DC →＝(0,1,0)．。