2018高中数学苏教版必修四教学案：第2章 2.5 向量的应用含答案

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高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.5 向量的应用》

专题十平面向量的线性运算
邵伯高级中学赵仁军
教学目标：
1．平面向量的线性运算
1加法、减法、数乘运算．
2三角形法那么、平行四边形法那么．
2．两个定理
1向量共线定理
如果存在一个实数λ，使b＝λaa≠0，那么b与a是共线向量；反之，如果b与aa≠0是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa
2平面向量根本定理
如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
教学重点：
向量的基底运算
教学难点：
三角形和四边形中向量的运算．
教学方法：
复习课、启发式——引导发现、合作探究．
教学过程：
一、问题情境
我们已经学过平面向量的运算及其性质，知道：
建立坐标系是解决平面向量问题的一个好方法。

那么，在不可以建立坐标系的问题中，一般都牵涉向量的基底的运算．基底是指平面内两个不共线向量，在几何图形中常见基底向量多为多边形的边上的向量．
二、建构数学
1．平面向量的根本概念填写下表：
2．共线向量．
如果平面向量表示的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做
共线向量或平行向量．平行于记作
例2 如图10－2，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝EF ＝1，CA ＝CB ＝2，假设错误!错误!，n ∈R ，那么m 2
＋n －22
的取值范围为________．
O
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．平面向量的定义与运算法那么；
2．平面向量的一维共线问题；
3．平面向量要注重数形结合，注重培养我们的想象能力．。

高一数学苏教版必修4教师用书：2.5 向量的应用

2.5 向量的应用1.会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题.2.会用向量方法解决某些简单的几何问题.(重点、难点)[基础·初探]教材整理向量的应用阅读教材P 91～P 92的全部内容，完成下列问题. 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若△ABC 是直角三角形，则有AB →·BC →＝0.( ) (2)若AB →∥CD →，则直线AB 与CD 平行.( ) (3)在物体的运动过程中，力越大，做功越多.( ) 【解析】 (1)可能AC →·CB →＝0或BA →·AC →＝0，故错误. (2)AB →∥CD →，AB ，CD 亦可能在一条直线上，故错误. (3)W ＝F ·s ＝|F |·|s |cos θ，故错误. 【★答案★】 (1)× (2)× (3)×[小组合作型]向量在物理中的应用如图2-5-1所示，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小.图2-5-1【精彩点拨】解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解决，注意力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则.【自主解答】如图，作平行四边形OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°.在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.|OA →|＝|OC →|cos 30°＝300×32＝1503(N)，|OB →|＝|OC →|sin 30°＝12×300＝150(N).故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.1.解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成.2.解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型.[再练一题]1.已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0).(1)求F 1，F 2分别对质点所做的功； (2)求F 1，F 2的合力F 对质点所做的功. 【解】 (1)AB →＝(－13，－15)， W 1＝F 1·AB →＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)， W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J).∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J.(2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB →＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102(J).∴合力F 对质点所做的功为－102 J.向量在平面几何中的应用求证：AF ⊥DE .【导学号：48582116】图2-5-2【精彩点拨】法一：选取基底，并证明DE →·AF →＝0. 法二：建立平面直角坐标系证明AF →·DE →＝0.【自主解答】法一：设AD →＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a·b ＝0，又DE →＝DA →＋AE →＝－a ＋b 2，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋a2，所以AF →·DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋b 2 ＝－12a 2－34a·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0，故AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，AF →＝(2,1)，DE →＝(1，－2).因为AF →·DE →＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .用向量法证明平面几何问题的方法，有两种常见思路： (1)向量的线性运算法：选取基底→把待证问题用基底线性表示→利用向量的线性运算或数量积找相应关系→把向量问题几何化 (2)向量的坐标运算法：建立适当的坐标系→把相关量坐标向量化→ 利用向量的坐标运算找相应关系→把向量问题几何化但比较以上两种方法，易于知道，如果题目建系比较方便，坐标法更好用.[再练一题]2.如图2-5-3，已知O 为△ABC 所在平面内一点，且满足|OA →|2＋|BC →|2＝|OB →|2＋|CA →|2＝|OC →|2＋|AB →|2，求证：O 为△ABC 的垂心.图2-5-3【证明】设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则BC →＝c －b ，CA →＝a －c ，AB →＝b －a ，由题设：|OA →|2＋|BC →|2＝|OB →|2＋|CA →|2＝|OC →|2＋|AB →|2，化简：a 2＋(c －b )2＝b 2＋(a －c )2＝c 2＋(b －a )2，得c·b ＝a·c ＝b·a ，从而AB →·OC →＝(b －a )·c ＝b·c －a·c ＝0，∴AB →⊥OC →. 同理BC →⊥OA →，CA →⊥OB →，所以O 为△ABC 的垂心.[探究共研型]平面向量在解析几何中的应用000方程？【提示】设直线l 上任意一点P (x ，y )，则P 0P →＝(x －x 0，y －y 0). 由题意可知P 0P →∥a ，∴y －y 0＝k (x －x 0).探究2 如何利用向量求经过点P 0(x 0，y 0)，且与a ＝(1，k )垂直的直线l 的方程？【提示】设直线l 上任意一点P (x ，y )，则P 0P →＝(x －x 0，y －y 0). 由题意可知P 0P →⊥a ，∴(x －x 0)＋k (y －y 0)＝0.已知△ABC 的三个顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D ，E ，F分别为边BC ，CA ，AB 的中点.(1)求直线DE ，EF ，FD 的方程； (2)求AB 边上的高线CH 所在直线方程.【精彩点拨】 (1)先求出D ，E ，F 的坐标，再借助共线知识求方程，(2)借助数量积求解.【自主解答】 (1)由已知得点 D (－1,1)，E (－3，－1)，F (2，－2)，设M (x ，y )是直线DE 上任意一点，则DM →∥DE →.DM →＝(x ＋1，y －1)，DE →＝(－2，－2)， ∴(－2)×(x ＋1)－(－2)×(y －1)＝0，即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程. 同理可求，直线EF ，FD 的方程分别为 x ＋5y ＋8＝0，x ＋y ＝0.(2)设点N (x ，y )是CH 所在直线上任意一点，则CN →⊥AB →，∴CN →·AB →＝0. 又CN →＝(x ＋6，y －2)，AB →＝(4,4)， ∴4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 的方程.利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题，均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再利用向量法则进行坐标运算，使问题得以解决.[再练一题] 3.已知点A (2，－1).(1)求过点A 与向量a ＝(5,1)平行的直线方程； (2)求过点A 与向量a ＝(5,1)垂直的直线方程.【解】 (1)设所求直线上任一点P (x ，y )，则AP →＝(x －2，y ＋1).由题意知AP →∥a ，即(x －2)－5(y ＋1)＝0，即x －5y －7＝0. 故过点A 与向量a ＝(5,1)平行的直线方程为x －5y －7＝0. (2)设所求直线上任一点P (x ，y )，则AP →＝(x －2，y ＋1). 由题意知，AP →⊥a ，即AP →·a ＝0，即5(x －2)＋(y ＋1)＝0，即5x ＋y －9＝0.故过点A 与向量a ＝(5,1)垂直的直线方程为5x ＋y －9＝0.1.已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4＝________.【解析】由题意知f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3) ＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)] ＝－(－1，－2)＝(1,2). 【★答案★】 (1,2)2.飞机以300 km/h 的速度向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度大小是______km/h.【解析】由速度的分解可知水平方向的分速度大小为300×cos 30°＝1503(km/h).【★答案★】 150 33.在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，则实数k ＝________. 【导学号：48582117】【解析】如图所示，由于OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，所以AB →＝OB →－OA →＝(1，k －1).在矩形中，由OA →⊥AB →得OA →·AB →＝0，所以(－3,1)·(1，k －1)＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k ＝4.【★答案★】 44.过点A (3，－2)且垂直于向量n ＝(5，－3)的直线方程是________. 【解析】设P (x ，y )为直线上的任意一点， ∴AP →＝(x －3，y ＋2)，AP →⊥n ， ∴5(x －3)－3(y ＋2)＝0，即5x －3y －21＝0.【★答案★】 5x －3y －21＝05.如图2-5-4，已知AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 上任一点(不与A ，B 重合)，求证：∠APB ＝90°.(用向量方法证明)图2-5-4【证明】连结OP ，设向量OA →＝a ，OP →＝b ，则OB →＝－a 且P A →＝OA →－OP →＝a －b ， PB →＝OB →－OP →＝－a －b ， ∴P A →·PB →＝b 2－a 2＝|b |2－|a |2＝0， ∴P A →⊥PB →，即∠APB ＝90°.。

数学苏教版必修4导学案：2.5 向量的应用

2.5 向量的应用1．向量在物理中的应用：向量在研究物理问题时经常用到以下结论．(1)力、速度、加速度、位移等都是向量；(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；(3)功即是力F 与所产生位移s 的数量积．预习交流1向量可以解决哪些物理问题？提示：可以解决求力、速度、方向、位移等问题．2．向量在平面几何中的应用：平面几何中的共点、共线、平行、垂直等问题都可以用向量解决．(1)对线共点问题，常可以转化为考虑先由其中某两条直线确定一个交点，然后再借助于向量知识说明其他直线也过这点．(2)对平行问题，往往转化为与其相关的向量共线问题．(3)对于垂直问题常转化为相关向量的数量积问题解决．预习交流2用向量方法解决平面几何问题的一般步骤是什么？提示：用向量方法解决几何问题，一般分如下三步：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；③把运算结果还原为几何关系．3．向量在解析几何中的应用：(1)若直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ⎝⎛⎭⎫θ≠π2.向量a ＝(m ，n )平行于l ，则k ＝tan α＝nm.(2)直线l ：y ＝kx ＋b 的方向向量是(1，k )．(3)过点P (x 0，y 0)且与a ＝(m ，n )平行的直线方程为n (x －x 0)－m (y －y 0)＝0.(4)过点P (x 0，y 0)且与向量a ＝(m ，n )垂直的直线方程为m (x －x 0)＋n (y －y 0)＝0.预习交流3 (1)设A ，B ，C ，D 四点坐标依次为(－1,0)，(0,2)，(4,3)，(3,1)，则四边形ABCD 为__________．(2)直角坐标系中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是__________．提示：(1)因为AB →＝(1,2)，BC →＝(4,1)，CD →＝(－1，－2)，DA →＝(－4，－1)，所以|AB →|＝|CD →|，|BC →|＝|DA →|.所以四边形ABCD 为平行四边形．(2)x ＋2y －4＝0一、向量在物理中的应用在重为300 N的物体上系上两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°和60°，如图所示，求物体平衡时，两根绳上拉力的大小．思路分析：由题目知两根绳子的夹角为90°，因此可以把问题转化为解直角三角形．解此类力的平衡问题，主要是运用向量之和为零向量去求解，通过运用化归思想和数形结合思想及数学建模将物理问题转化为向量问题．解：如图所示：两根绳子的拉力之和OA →＋OB →＝OC →，且|OC →|＝|OG →|＝300 N ，∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°. 在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠AOC ＝30°，则∠OAC ＝90°.从而|OA →|＝|OC →|cos 30°＝150 3 N ，|AC →|＝|OC →|sin 30°＝150 N ，|OB →|＝|AC →|＝150 N. 答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是1503N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力为150 N.1．某人用50 N 的力(与水平方向成30°角，斜向下)推动一质量为8 kg 的木箱沿水平平面运动了20 m ，若滑动摩擦系数μ＝0.02，取g ＝10 m/s 2，则摩擦力f 所做的功为__________．★答案★：－42 J解析：由数量积的物理意义，只需求出摩擦力f 的大小，及它与位移的夹角即可．|f |＝(80＋50sin 30°)×0.02＝2.1(N)，又f 与位移所成的角为180°，∴W ＝f ·s ＝|f ||s |cos180°＝－1×2.1×20＝－42(J)．2．一条小船以10 km/h 的速度向垂直于对岸方向航行，小船实际行驶的方向与水流方向成60°角，求水流速度与船的实际速度．解：如图所示，OM →表示小船垂直于对岸行驶的速度，ON →表示水流速度，OP →表示船的实际速度．则由题意知∠NOP ＝60°，OM →＝10 km/h ，又∵四边形OMPN 是矩形，∴|OM →|＝|OP →|sin 60°＝10.∴|OP →|＝10sin 60°＝2033.∴|ON →|＝|OP →|cos 60°＝2033×12＝1033.∴水流速度为1033km/h ，船的实际速度为2033km/h.用向量法研究物理问题(1)求力向量，速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解．(2)用向量方法解决物理问题的步骤：①把物理问题中的相关量用向量表示；②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；③结果还原为物理问题．二、向量在平面几何中的应用如图所示，ABCD是菱形，AC，BD是它的两条对角线，求证：AC⊥BD.思路分析：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件．证明：∵ABCD 为菱形，AC ，BD 为两对角线， ∴AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →， ∴AC →·BD →＝(AB →＋AD →)·(AD →－AB →)＝|AD →|2－|AB →|2＝0. ∴AC →⊥BD →，即AC ⊥BD .1．已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k ＝__________.★答案★：－23解析：OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)．∵A ，B ，C 三点共线，∴BA →∥CB →. ∵BA →＝(k －4,7)，CB →＝(4＋k ，－5)，∴－5(k －4)－7(k ＋4)＝0.∴k ＝－23.2．在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE .证明：方法一：设AD →＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a ·b ＝0，DE →＝DA →＋AE →＝－a ＋b 2，AF →＝AB→＋BF →＝b ＋a 2，所以AF →·DE →＝(b ＋a 2)·(－a ＋b 2)＝－12a 2－34a ·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0.故AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .方法二：如图所示，以A 为原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，AF →＝(2,1)，DE →＝(1，－2)．因为AF →·DE →＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .1．对于两个非零向量a ，b ，a ·b ＝0⇔a⊥b ，在具体证明平面几何中的线段垂直时可先将线段转化为向量，计算向量的数量积，在此过程中，数量积的两种求解方法即向量法和坐标法可适当地选取．2．把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．这种解题方法具有普遍性，应该把它掌握好，其中坐标系的建立很重要，它关系到运算的简与繁．三、向量在解析几何中的应用已知点P (－3,0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足P A →·AM→＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．思路分析：一般要先设出动点坐标即M (x ，y )，再结合已知条件用动点坐标与已知点坐标表示AM →，MQ →，找出坐标间的关系，从而求出动点的轨迹方程．解：设点M (x ，y )为轨迹上的任意一点，设A (0，b )，Q (a,0)(a ＞0)，则AM →＝(x ，y －b )，MQ →＝(a －x ，－y )．∵AM →＝－32MQ →，∴(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )．∴a ＝x 3，b ＝－y 2，则A ⎝⎛⎭⎫0，－y 2，Q ⎝⎛⎭⎫x 3，0，P A →＝⎝⎛⎭⎫3，－y 2，AM →＝⎝⎛⎭⎫x ，32y . ∵P A →·AM →＝0，∴⎝⎛⎭⎫3，－y 2·⎝⎛⎭⎫x ，32y ＝0. ∴3x －34y 2＝0，∴所求轨迹方程为y 2＝4x (x ＞0)．1．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为__________．★答案★：2x ＋y －1＝0解析：任取直线上两点如(－3,0)，(1,2)，则直线的方向向量a ＝(1,2)－(－3,0)＝(4,2)，设P (x ，y )是所求直线上任意一点，则(x ＋1，y －3)·a ＝0， ∴(x ＋1，y －3)·(4,2)＝4(x ＋1)＋2(y －3)＝0. ∴2x ＋y －1＝0，即为所求的直线方程．2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．解：设M (x 0，y 0)，N (x ，y )，由MA →＝2AN →得(1－x 0，1－y 0)＝2(x －1，y －1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y .代入圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4，得x 2＋y 2＝1． ∴点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1．利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算通过坐标运算将问题解决．对于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，则向量a ＝(A ，B )即为直线l 的法向量，b ＝(1，k )或c ＝(－B ，A )为直线l 的方向向量.两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0是否垂直，均可由向量解决.由于n 1＝(A 1，B 1)，n 2＝(A 2，B 2)，则n 1·n 2＝0⇔n 1⊥n 2⇔l 1⊥l 21．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为__________．★答案★：27解析：由已知得F 1＋F 2＋F 3＝0，∴F 3＝－(F 1＋F 2)．∴F 23＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2 ＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos 60°＝28. ∴|F 3|＝27.2．在△ABC 中，A (－1,2)，B (3,1)，C (2，－3)，则AC 边上的高所在直线方程为__________． ★答案★：3x －5y －4＝0解析：AC →＝(3，－5)，设P (x ，y )是所求直线上任意一点，BP →＝(x －3，y －1)，所以AC边上的高所在的直线方程为AC →·(x －3，y －1)＝0，即3x －5y －4＝0.3．点O 是△ABC 所在平面内一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC的三条__________的交点．★答案★：高解析：由OA →·OB →＝OB →·OC →得OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·AC →＝0，所以OB →⊥AC →.同理，OC →⊥AB →，OA →⊥BC →.所以O 为三条高的交点．4．已知AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 一定是__________．★答案★：直角三角形解析：由原等式得AB →·(AB →＋BC →)＝0，即AB →·AC →＝0，得AB →⊥AC →，所以△ABC 一定是直角三角形．5．如图所示，若D 是△ABC 内一点，且AB 2－AC 2＝DB 2－DC 2，求证：AD ⊥BC .证明：设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝e ，DB →＝c ，DC →＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ，∴a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2.由条件知，a 2－b 2＝c 2－d 2.∴e ·c －e ·d ＝0.即e ·(c －d )＝0.∴AD →·CB →＝0.∴AD ⊥BC .。

高中数学 2.5向量的应用教案苏教版必修4

2.5 向量的应用教学目标：1．经历用向量方法解决某些简单的几何问题、力学问题的过程，体会向量是一种数学工具，发展学生运算能力和解决实际问题的能力；2．运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力．教学重点：运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”．教学难点：实际问题转化为向量问题，体现向量的工具作用．用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用．教学方法：启发式教学．教学过程：一、情景创设问题1 如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个重量是10N的灯具，则每根绳子的拉力是多少？二、学生活动问题2 我们在图中标上相应的字母（如图），根据力的平衡理论，①绳子OA与绳子OB的拉力与灯具的重力G具有什么关系？②绳子OA与绳子OB学生讨论得出结论：①F1＋F2＋G＝0．②F1＝F2．问题3 如果将绳子OA的拉力表示为向量，绳子OB的拉力表示为120o 10N向量OB ，重力表示为向量OC ，则向量OA ，OB ，OC 之间有什么关系？学生讨论得出结论：++＝．这样物理问题就与数学中的向量产生了联系．三、建构数学问题4 你能否根据以上信息，将这个物理问题编写成一个数学问题？你能解决这个问题吗？学生讨论，教师整理，形成数学问题：已知向量OA ，OB 之间的夹角为120o，且向量的模等于向量的模，向量的模为10，求向量，的模．学生讨论解决问题：过A ，B 两点分别作OB ，OA 的平行线，相交于D 点，则四边形OADB 是菱形，连接OD ，则OD ＝||＝10，因为OA ＝OB ＝AD ＝BD ，且∠AOB ＝120o，所以ΔOAD 是等边三角形，所以OA ＝AD ＝OD ＝10，即||＝10，||＝10．亦即每根绳子的拉力都是10N ．变题：在汽车站或火车站我们常见：两个人共提一个旅行包，若包重20N ，还需什么条件，你能求每一个人手臂的拉力？小结：（由学生讨论，教师整理）1．利用向量解决物理问题的基本步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．2．用向量知识解决物理问题时，要注意数形结合.一般先要作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系，再通过解三角形或坐标运算，求有关量的值．四、数学应用 1．例题．例 1 如图（1）所示，无弹性的细绳,OA OB 的一端分别固定在,A B 处，同质量的细绳OC 下端系着一个称盘，且使得OB OC ⊥，试分析,,OA OB OC 三根绳子受力的大小，判断哪根绳受力最大？A 11(2)题后反思：（1）本题你还最想知道什么？（2）绳子OB 与绳子OC 所受力的大小比较的本质是什么？（3）你还能提出一些什么问题？例2 已知： AC OB BC OA ⊥⊥,，求证：AB OC ⊥．题后反思：（1）你能否画出一个几何图形来解释例2？（2）从例2中你能得出什么结论？学生讨论得出结论：三角形ABC 的三条高交于一点．例3 已知直线l 经过点111(,)P x y 222(,)P x y ，用向量方法求l 的方程．分析：设P 是直线l 上任意一点，由−→−P P 1与−→−21P P 共线的条件可推导得直线方程． 2．练习．（1）已知作用于点O 的力21,F F 的大小分别为6，8，且两力间的夹角为060，则两力合力的大小为__ ．（2）在四边形ABCD 中，·＝0，＝，则四边形ABCD 是____ ___（直角梯形、菱形、矩形、正方形）．（3）如图，一个三角形角铁支架ABC 安装在墙壁上，AB ∶AC ∶BC ＝3∶4∶5，在B 处挂一个6kg 的物体，求角铁AB 与BC 所受的力（取g ＝10m/s 2）．（4）已知两点),(11y x A ，),(22y x B ，试用向量的方法证明以线段AB程为0))(())((2121=--+--y y y y x x x x ．（5）一条河两岸平行，河宽500m d =，一艘船从A 处出发航行到河的正对岸的B 处，船航行速度1||10/km h v =，水速2||4/km h v =，要使船垂直到达对岸所用的时间最少，1v 与2v 的夹角是多少？五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．如何把物理学问题转化为数学问题？2．如何把几何学问题转化为向量问题？3．如何运用向量的平行四边形法则和力的平衡知识，作好力的分解和合成．4．通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具5．数形结合法．。

苏教版数学高一苏教版必修4学案2.5向量的应用

课堂导学三点剖析1.数学问题的向量方法【例1】如右图平行四边形ABCD 中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2.求对角线AC 的长.思路分析：本题要求线段长度问题，可以转化为求向量的模来解决. 解：设AD =a ，AB =b ，则BD =a -b ，AC =a +b .而|BD |=|a -b |=b a b a b b a a •-=•-+=+•-25241||2||22 ∴|BD |2=5-2a ·b =4（*）又|AC |2=|a +b |2=a 2+2a ·b +b 2 =|a |2+2a ·b +|b |2=1+4+2a ·b . 由（*）得2a ·b =1， ∴|AC |2=6,∴|AC |=6,即AC =6.温馨提示在解决本题中，不用解斜三角形，而用向量的数量积及模的知识解决，过程中采取整体代入，使问题解决简捷明快. 2．物理问题中的向量方法【例2】如图甲所示，在细绳O 处用水平力F 2缓慢拉起所受重力为G 的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F 1，求：甲(1)|F 1|、|F 2|随角θ的变化而变化的情况；（2）当|F 1|≤2|G |时，θ角的取值范围.思路分析：本题主要是利用向量加法的平行四边形法则解决物理问题.乙解：（1）如图乙所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：G =F 1+F 2. 解直角三角形得 |F 1|=,tan ||,cos ||2θθ•=G F G 当θ从0°趋向于90°时，|F 1|、|F 2|皆逐渐增大. （2）令|F 1|=θcos ||G ≤2|G |，得cosθ≥21, 又0°≤θ<90°, ∴0°≤θ≤60°. 温馨提示在解决力的合成、力的分解问题时，一般是利用向量的平行四边形法则解决. 3.向量方法的综合应用【例3】已知两恒力F 1（3，4）、F 2（6，-5）作用于同一质点，使之由点A （20，15）移动到点B （7，0）.试求：（1）F 1，F 2分别对质点所做的功；（2）F 1，F 2的合力F 对质点所做的功.思路分析：本题利用向量数量积知识解决物理中的做功问题，由于给出各分力的坐标，采用坐标法计算，首先求出位移的坐标，代入F ·s 公式即可. 解：AB =（7，0）-（20，15）=（-13，-15）.（1）W 1=F 1·AB =（3，4）·（-13，-15）=3×(-13)+4×(-15)=-99(焦), W 2=F 2·AB =（6，-5）·（-13，-15）=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦).（2）W =F ·AB =（F 1+F 2）·AB =［(3,4)+(6,-5)］·（-13，-15）=（9，-1）·（-13，-15）=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(焦). 温馨提示力对物体所做的功实际是力与位移的数量积，即W =F ·s ，若用坐标运算，应当注意首先求出位移s 这一向量的坐标，即终点的坐标减去起点的坐标.【例4】△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN=2NC ，AM 与BN 相交于点P.求：AP ∶PM 的值.思路分析：待定系数法求定比的问题. 解：设=e 1,CN =e 2.则AM =AC +CM =-3e 2-e 1,BN =2e 1+e 2.∵A 、P 、M 和B 、P 、N 分别共线，∴存在实数λ，μ分别使=λ=-λe 1-3λe 2,BP =μBN =2μe 1+μe 2.故=-=(λ+2μ)e 1+(3λ+μ)e 2. 而=+=2e 1+3e 2. 由基本定理得⎩⎨⎧=+=+,33,22μλμλ解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.53,54μλ即AP =54AM . 故AP ∶PM=4∶1. 温馨提示在解决有关定比问题时，字母顺序易出错，解决本题的关键是选择适当的一对基底，选不好基底，会使题目进入误区. 各个击破类题演练1已知：在△ABC 中，=a =(x 1,y 1),=b =(x 2,y 2). 求证：△ABC 的面积S=21|x 2y 1-x 1y 2|. 证明：由S △ABC =21|a |·|b |sinA =22)cos |||(||)||(|21A b a b a ••-• =22)(|)||(|21b a b a •-• =22121222222121)()(21y y x x y x y x +-+•+ =22112)(21y x y x - =21|x 2y 1-x 1y 2|. 变式提升1如图，O 为△ABC 的外心，E 为三角形内一点，满足=++，求证：⊥.证明：∵BC=OC-OB,AE=OE-OA=(OA+OB+OC)-OA=OB+OC,∴AE·BC=（OC-OB）·（OC+OB）=|OC|2-|OB|2.∵O为外心，∴|OC|=|OB|，即AE·BC=0，AE⊥BC.类题演练2在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°,60°,如图，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.解：作ABCB，使∠AOC=30°,∠BOC=60°.在△OAC中，∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°,|OA|=|OC|cos30°=1503（N），|AC|=|OC|sin30°=150(N),|OB|=|AC|=150(N).150N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N. 答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是3变式提升24千米/时，水流速度为4千米/时.某人在静水中游泳，速度为3（1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向游？速度是多少？（2）他必须往哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际速度是多少？解：（1）如图，4km/h.水流速度v1=4 km/h,游泳速度v2=3设合速度v 与v 1所成角为θ，于是t a nθ=3434=，∴θ=60°. |v |=222221)34(4||||+=+v v =8 km/h.（2）如图，v =244)34(22=-，sinθ=33，θ≈35.26°, 则方向为与水流方向成125.26°的角.实际速度是24km/h.类题演练3如图所示，求两个力f 1、f 2的合力f 的大小和方向（精确到一位小数）.解：设f 1=(a 1,a 2),f 2=(b 1,b 2), 则a 1=300cos30°=259.8,a 2=300sin30°=150,b 1=-200cos45°=-141.4,b 2=200sin45°=141.4, 所以f 1=(259.8,150),f 2=(-141.4,141.4),f =f 1+f 2=(259.8,150)+(-141.4,141.4)=(118.4,291.4), |f |=22)4.291()4.118(+=314.5. 设f 与x 轴的正向夹角为θ，则t a nθ=4.1184.291=2.4611. 由f 的坐标知θ是第一象限的角，所以θ=67°53′.答：两个力的合力是314.5 N,与x 轴的正方向的夹角为67°53′，与y 轴的夹角为22°7′. 变式提升3如图，质量为m 的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为α，求斜面对于物体的摩擦力的大小f.解析：如图，物体受三个力：重力w （方向竖直向下，大小为mgN ）,斜面对物体的支持力p (方向垂直于斜面斜向上，设其大小为pN),摩擦力f (沿斜面支持力的方向，大小为fN)，由于物体静止，这三个力平衡，合力为0；w+p+f=0（*）记垂直于斜面斜向下方、大小为1 N的力为e1，沿斜面下降方向、大小为1 N的力为e2，以e1、e2为基底，写出所涉及的三个力的坐标，则p=（-p,0）,f=(0,-f),由e1旋转到w方向的角为α，则w的坐标为（mgcosα,mgsinα）.由（*），得w+p+f=（mgcosα,mgsinα）+(-p,0)+(0,-f)=(mgcosα-p,mgsinα-f)=(0,0).故mgsinα-f=0,f=mgsinα(N).类题演练4求证：直径上的圆周角是直角.解析：已知：AC为⊙O的一条直径，∠ABC是圆周角.求证：∠ABC=90°.证明：设AO=a, OB=b.则AB=a+b,OC=a,BC=a-b,|a|=|b|.由于AB·BC=（a+b）·(a-b)=|a|2-|b|2=0,所以AB⊥BC.由此得∠ABC=90°.即直径上的圆周角为直角.变式提升4已知圆C：(x-3)2+(y-3)2=4和点A（1，1），M为圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且MA=2AN，求点N的轨迹方程.解析：设M（x0,y0）,N(x,y).由=2AN，得(1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1).所以⎩⎨⎧+-=+-=.32,3200y y x x代入方程(x-3)2+(y-3)2=4，整理得x 2+y 2=1.所以所求的轨迹方程为x 2+y 2=1.。

【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 2.5 向量的应用教案苏教版必修4

〖2．5向量的应用〗之小船创作(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能会用向量方法处理简单的物理和几何问题．2．过程与方法通过本节的学习，研究向量法和坐标法处理物理和几何问题的思想．3．情感、态度与价值观(1)培养分析事物间相互联系的能力，提高学科间相互渗透的学习方法．(2)通过对实际问题的抽象思考，培养分析问题和应用知识解决问题的意识与能力．(3)培养热爱生活、热爱自然的高尚情怀．●重点难点重点：用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．难点：用向量方法解决实际问题的基本方法．(教师用书独具)●教学建议关于向量方法在平面几何及物理中的教学教学时，建议教师在引导学生回顾向量的线性运算、数量积运算及向量加减法的几何意义、向量共线定理、平面向量基本定理等知识的前提下，通过实例充分展示向量的工具性，突出其在生产实际中的应用，在巩固知识的同时，激发学生的学习兴趣，培养学生的创新和开拓能力．●教学流程错误!错误!错误!错误!错误!课标解读1.会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题．2.会用向量方法解决某些简单的几何问题．(重点、难点)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”向量在物理中的应用图2－5－1如图2－5－1，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1，求：(1)|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；(2)当|F1|≤2|G|时，θ角的取值范围．【思路探究】由力的平衡原理知，重力G是绳子的拉力和水平拉力的合力，且G⊥F2，F1与G的夹角为π－θ，解三角形求得力的大小与θ的关系，再回答相关问题．【自主解答】(1)由力的平衡原理知，G＋F1＋F2＝0，作向量OA→＝F1，OB→＝F2，OC→＝－G，则OA→＋OB→＝OC→，∴四边形OACB为平行四边形，如图．由已知∠AOC＝θ，∠BOC＝π2，∴|OA→|＝|OC→|cos θ，|OB→|＝|AC→|＝|OC→|tan θ.即|F1|＝|G| cos θ，|F2|＝|G|tan θ，θ∈[0，π2)．由此可知，当θ从0逐渐增大趋向于π2时，|F1|，|F2|都逐渐增大．(2)当|F1|≤2|G|时，有|G|cos θ≤2|G|，∴cos θ≥12，又θ∈[0，π2)．∴θ∈[0，π3]．1．解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成．2．解题时要明确各个向量之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型．图2－5－2如图2－5－2，作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，已知|F1|＝1，|F2|＝2，F1与F2的夹角为2π3，求F3的大小．【解】∵F1，F2，F3三个力处于平衡状态，∴F1＋F2＋F3＝0，即F3＝－(F1＋F2)，∴|F3|＝|F1＋F2|＝F1＋F22＝F21＋2F1·F2＋F22＝1＋2×1×2×cos 2π3＋4＝3.向量在平面几何中的应用图2－5－3如图2－5－3所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.【思路探究】以点D为原点建立直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ，求出向量PA→与EF→的坐标，分别求出它们的长度判断即可．【自主解答】建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ(0＜λ＜2)，则A(0,1)，P(22λ，2 2λ)，E(1，22λ)，F(22λ，0)．∴PA→＝(－22λ，1－22λ)，EF→＝(22λ－1，－22λ)，∴|PA→|＝－22λ2＋1－22λ2＝λ2－2λ＋1，|EF→|＝22λ－12＋－22λ2＝λ2－2λ＋1，∴|PA →|＝|EF →|，∴PA ＝EF .用向量证明平面几何问题的方法，常见有两种思路：(1)向量的线性运算法选取基底→把待证问题用基底线性表示→利用向量的线性运算或数量积找相应关系→把向量问题几何化(2)向量的坐标运算法建立适当的坐标系→把相关量坐标向量化→利用向量的坐标运算找相应关系→把向量问题几何化已知直角三角形的两直角边长分别为2和4，求两直角边上的中线所夹的锐角的余弦值．【解】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别是BC ，AC 边的中点．BC ＝2，AC ＝4.则CD ＝1，CE ＝2.∴|AD →|＝AC →2＋CD→2＝17， |BE →|＝BC →2＋CE→2＝2 2. AD →·EB →＝(AC →＋CD →)·(EC →＋CB →)＝AC →·EC →＋AC →·CB →＋CD →·EC →＋CD →·CB →＝4×2＋0＋0＋1×2＝10.设AD →与EB →的夹角为θ，则cos θ＝AD →·EB→|AD →||EB →|＝1017×22＝53434. 故直线AD 和BE 所夹的锐角的余弦值为53434. 法二如图所示建立直角坐标系，点C 为原点，两直角边为坐标轴．其中点A (0,4)，B (2,0)，D (1,0)，E (0,2)．则AD →＝(1，－4)，EB →＝(2，－2)．∴AD →·EB →＝1×2＋(－4)×(－2)＝10.|AD →|＝12＋－42＝17，|EB →|＝22＋－22＝2 2.设AD →与EB →的夹角为θ，则cos θ＝AD →·EB→|AD →||EB →|＝1017×22＝53434. 故直线AD 和BE 所夹的锐角的余弦值为53434. 向量在解析几何中的应用已知点P (－3,0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足PA →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．【思路探究】一般要先设出动点坐标即M (x ，y )，再结合已知条件用动点坐标与已知点坐标表示AM →，MQ →，找出坐标间的关系，从而求出动点的轨迹方程．【自主解答】设点M (x ，y )为轨迹上的任意一点，设 A (0，b )，Q (a,0)(a ＞0)，则AM →＝(x ，y －b )，MQ →＝(a －x ，－y )．∵AM →＝－32MQ →，∴(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )． ∴a ＝x 3，b ＝－y2，则A (0，－y 2)，Q (x3，0)，PA →＝(3，－y 2)，AM →＝(x ，32y )． ∵PA →·AM →＝0，∴(3，－y 2)·(x ，32y )＝0. ∴3x －34y 2＝0，∴所求轨迹方程为y 2＝4x (x ＞0)．利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再利用向量法则进行坐标运算使问题得以解决．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －6，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝2AP →，求点P 的轨迹方程．【解】设P (x ，y )，R (x 0，y 0)，则RA →＝(1,0)－(x 0，y 0)＝(1－x 0，－y 0)，AP →＝(x ，y )－(1,0)＝(x －1，y )．由RA →＝2AP →，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 0＝2x －1，－y 0＝2y ，又∵点R 在直线l ：y ＝2x －6上，∴y 0＝2x 0－6， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 0＝2x －26－2x 0＝2y ①②由①得x 0＝3－2x ，代入②得6－2(3－2x )＝2y ，整理得y ＝2x ，即为点P 的轨迹方程. 应用问题的题意理解不清致误在水流速度为4 3 km/h 的河水中，一艘船以12 km/h 的实际航行速度垂直于对岸行驶，求这艘船的航行速度的大小与方向．【错解】如图所示，设AB →表示水流速度，AC →表示船垂直于对岸行驶的速度，以AB →，AC →为邻边作▱ABDC ，则AD →就是船的航行速度．由|AC →|＝12，得|AC →|＝|BD →|＝12，又∵|AB →|＝43，∴|AD →|＝432＋122＝83(km/h)．∵tan ∠DAB ＝1243＝3，∴∠DAB ＝60°， ∴船的航行速度的大小为8 3 km/h ，方向与水流方向的夹角为60°.【错因分析】错解中错在没有正确理解题意，导致船的航行方向求解错误．【防范措施】准确理解题意，抽象出物理问题中的向量，建立为以向量为主体的数学模型，是解决此类问题的关键所在．【正解】如图所示，设AB →表示水流速度，AC →表示船垂直于对岸行驶的速度，以AB →为一边，AC →为一对角线作▱ABCD ，则AD →就是船的航行速度．∵|AB →|＝43，|AC →|＝12，∴|AD →|＝|BC →|＝83，∴tan ∠ACB ＝4312＝33. ∴∠CAD ＝∠ACB ＝30°，∴∠BAD ＝120°，∴船的航行速度的大小为8 3 km/h ，方向与水流方向的夹角为120°.1．平面向量在几何表示下的应用通常先选取一组基底，基底中的向量最好已知模及两者之间的夹角，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律以及一些重要性质运算，最后把运算结果还原为几何关系．2．平面向量在坐标表示下的应用利用平面向量的坐标表示，可以将平面几何中长度、垂直、平行等问题很容易地转化为代数运算的问题，运用此种方法必须建立适当的坐标系．实现向量的坐标化，有时是最不容易做到的．3．用向量理论讨论物理中相关问题的步骤(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.1．若向量OF→1＝(2,2)，OF→2＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|＝________.【解析】∵F1＋F2＝(2,2)＋(－2,3)＝(0,5)，∴|F1＋F2|＝0＋52＝5.【答案】52．在△ABC中，A(－1,2)，B(3,1)，C(2，－3)，则AC 边上的高所在直线方程为________．【解析】AC→＝(3，－5)，设P(x，y)是所求直线上任意一点，BP→＝(x－3，y－1)，所以AC边上的高所在的直线方程为AC→·(x－3，y－1)＝0，即3x－5y－4＝0.【答案】3x－5y－4＝03．在四边形ABCD中，若AB→＋CD→＝0，AB→·BC→＝0，则四边形的形状为________．【解析】∵AB→∥CD→，|AB→|＝|CD→|，且AB→⊥BC→，故四边形ABCD为矩形．【答案】矩形图2－5－44．如图2－5－4所示，在平行四边形ABCD中，已知AD ＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．【解】设AD→＝a，AB→＝b，则BD→＝a－b，AC→＝a＋b.∵|BD→|＝|a－b|＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝1＋4－2a·b＝5－2a·b，∴|BD→|2＝5－2a·b＝4.可得2a·b＝1.∵|AC→|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋4＋2a·b，∴|AC→|2＝6，∴|AC→|＝6，即AC＝ 6.一、填空题1．点P在平面上做匀速直线运动，速度v＝(4，－3)，设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(速度单位：m/s，长度单位：m)________．【解析】5秒后点P的坐标为(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．【答案】(10，－5)2．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某一物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于________．【解析】由题意可知f4＝－(f1＋f2＋f3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1,2)．【答案】(1,2)3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于________．【解析】∵∠C＝90°，∴AC→·CB→＝0，∴AB→·AC→＝(AC→＋CB→)·AC→＝AC→2＋CB→·AC→＝16.【答案】164．(2013·无锡高一检测)若四边形ABCD满足AB→＋CD→＝0，(AB→－AD→)·AC→＝0，则该四边形的形状一定是________．【解析】∵AB→＋CD→＝0，∴AB→＝DC→，∴AB綊CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵(AB→－AD→)·AC→＝0，∴DB→·AC→＝0，∴DB→⊥AC→，∴四边形ABCD是菱形．【答案】菱形5．(2013·重庆高考)在OA为边，OB为对角线的矩形中，OA→＝(－3,1)，OB→＝(－2，k)，则实数k＝________.【解析】如图所示，由于OA→＝(－3,1)，OB→＝(－2，k)，所以AB→＝OB→－OA→＝(1，k－1)．在矩形中，由OA→⊥AB→得OA→·AB→＝0，所以(－3,1)·(1，k－1)＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k＝4.【答案】 46．若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则O 是△ABC 的________心．【解析】 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →⇔OB →·(OA →－OC →)＝0， ∴OB →·CA →＝0，∴OB →⊥CA →.同理OC →⊥BA →，OA →⊥BC →，故点O 为△ABC 的垂心．【答案】垂7．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B两点，且AB ＝3，则OA →·OB →＝________.【解析】 ∵|OA →|＝1，|OB →|＝1，|AB →|＝3，∴∠AOB ＝120°，∴OA →·OB →＝1×1×cos 120°＝－12. 【答案】－128．已知船在静水中的速度大小为5 m/s ，且船在静水中的速度大小大于水流速度大小，河宽为20 m ，船垂直到达对岸用的时间为5 s ，则水流速度大小为________m/s.【解析】设船在静水中的速度为v 1，水流速度为v 2，船的实际速度为v 3，建立如图所示的平面直角坐标系．|v 1|＝5 m/s ，|v 3|＝205＝4 m/s ，则v 3＝(0,4)，v 1＝(－3,4)， v 2＝v 3－v 1＝(0,4)－(－3,4)＝(3,0)．∴|v 2|＝3 m/s ，即水流的速度大小为3 m/s.【答案】 3二、解答题9．已知，四边形ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线，求证AC ⊥BD .【证明】 ∵AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →，∴AC →·BD →＝(AB →＋AD →)·(AD →－AB →)＝|AD →|2－|AB →|2＝0，∴AC →⊥BD →，即AC ⊥BD .10．一条小船以10 km/h 的速度向垂直于对岸方向航行，小船实际行驶的方向与水流方向成60°角，求水流速度大小与船的实际速度大小．【解】如图所示，OM →表示小船垂直于对岸行驶的速度，ON →表示水流速度，OP →表示船的实际速度．则由题意知∠NOP ＝60°，|OM →|＝10，又∵四边形OMPN 是矩形，∴|OM →|＝|OP →|sin 60°＝10. ∴|OP →|＝10sin 60°＝2033. ∴|ON →|＝|OP →|cos 60°＝2033×12＝1033. ∴水流速度为1033km/h ，船的实际速度为2033km/h. 11．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA ＝2AN ，求点N 的轨迹方程．【解】设M (x 0，y 0)，N (x ，y )，则MA →＝(1－x 0,1－y 0)，AN →＝(x －1，y －1)，由MA →＝2AN →，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 0＝2x －1，1－y 0＝2y －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－2x ＋3，y 0＝－2y ＋3，又点M 在圆C 上，即(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4，∴(－2x ＋3－3)2＋(－2y ＋3－3)2＝4，即x 2＋y 2＝1，∴点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.(教师用书独具)在△OAB 的边OA 、OB 上分别有一点P 、Q ，已知OP ∶PA ＝1∶2，OQ ∶QB ＝3∶2，连结AQ 、BP ，设它们交于点R ，若OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 与b 表示OR →；(2)若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，过点R 作RH ⊥AB 交AB 于点H ，用a 与b 表示OH →.【思路探究】本题主要考查向量的线性运算、共线向量和向量的垂直，充分利用三点共线的隐含条件是解决本题的关键．【自主解答】 (1)OP →＝13OA →＝13a ，OQ →＝35OB →＝35b ，由A 、R 、Q 三点共线，可设AR →＝mAQ→，故OR →＝OA →＋AR →＝a ＋mAQ →＝a ＋m (OQ →－OA →)＝(1－m )a ＋35m b .同理，由B 、R 、P 三点共线，可设BR →＝nBP→，故OR →＝OB →＋BR →＝b ＋n (OP →－OB →)＝n 3a ＋(1－n )b ，由于a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝n 3，35m ＝1－n .解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝56，n ＝12.∴OR →＝16a ＋12b . (2)由A 、H 、B 共线，可设BH →＝λBA →，则OH →＝λa ＋(1－λ)b ，RH→＝OH→－OR→＝(λ－16)a＋(12－λ)b.又RH→⊥AB→，∴RH→·AB→＝0，即[(λ－16)a＋(12－λ)b]·(b－a)＝0.又a·b＝|a|·|b|cos θ＝1，θ＝60°，∴λ＝12，∴OH→＝12a＋12b.利用向量的方法很容易解决几何中的长度计算与角度计算问题，特别在证明一些垂直关系等问题中充分体现了向量的广泛应用．(2013·太原高一检测)如图，平行四边形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，H，M是AD，DC的中点，BF＝13 BC，(1)以a，b为基底表示向量AM→与HF→；(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求AM→·HF→.【解】(1)∵M为DC的中点，∴DM→＝12DC→，又DC→＝AB→，∴AM→＝AD→＋DM→＝AD→＋12AB→＝12a＋b，∵H为AD的中点，BF＝13 BC，∴AH→＝12AD→，BF→＝13BC→，又BC→＝AD→，∴HF→＝HA→＋AB→＋BF→＝－12AD→＋AB→＋13AD→＝AB→－16AD→＝a－16b.(2)由已知得a·b＝3×4×cos 120°＝－6，AM→·HF→＝(12a＋b)·(a－16b)＝12a2＋(1－112)a·b－16b2＝12×32＋1112×(－6)－16×42＝－113.。

【金版学案】苏教版高中数学必修4练习：2.5向量的应用(含答案解析)

第2章平面向量 2.5 向量的应用A 级基础巩固1．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3，2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F 4，则F 4等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1，2)D ．(1，2)解析：为使物体平衡，即合外力为零，即4个向量相加等于零向量，所以F 4＝(0－(－2)－(－3)－4，0－(－1)－2－(－3))＝(1，2)．答案：D2．在四边形ABCD 中，若AB →＋CD →＝0，AC →·BD →＝0，则四边形为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．等腰梯形D ．菱形解析：由题意可知，AB →∥CD →，|AB →|＝|CD →|，且AC →⊥BD →，所以四边形ABCD 为菱形．答案：D3.如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10牛顿，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米，则力F 做的功为( )A ．100焦耳B ．50焦耳C ．503焦耳D ．200焦耳解析：设小车位移为s ，则|s|＝10米． W F ＝F·s ＝|F||s|·cos 60°＝10×10×12＝50(焦耳)．答案：B4．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，则△ABC 为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．形状无法确定解析：因为(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，所以CA 2→－CB 2→＝0，CA 2→＝CB 2→. 所以CA ＝CB ，△ABC 为等腰三角形．答案：C5．O 是平面ABC 内的一定点，P 是平面ABC 内的一动点，若(PB →－PC →)·(OB →＋OC →)＝(PC →－PA →)·(OA →＋OC →)＝0，则O 为△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心解析：因为(PB →－PC →)·(OB →＋OC →)＝0，则(OB →－OC →)·(OB →＋OC →)＝0，所以OB →2－OC →2＝0，所以|OB →|＝|OC →|.同理可得|OA →|＝|OC →|，即|OA →|＝|OB →|＝|OC →|. 所以O 为△ABC 的外心．答案：B6．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流的方向成30°角，则水流速度为________km/h.解析：如图所示，船速|v 1|＝5(km/h)，水速为v 2，实际速度|v|＝10(km/h)，所以|v 2|＝100－25＝75＝53(km/h)．答案：5 37．在△ABC 中，已知|AB →|＝|AC →|＝4，且AB →·AC →＝8，则这个三角形的形状是__________________．解析：因为AB →·AC →＝4×4×cos A ＝8，所以cos A ＝12.所以∠A ＝π3.所以△ABC 是正三角形．答案：正三角形8．过点A(2 015，2 016)且垂直于向量a ＝(－1，1)的直线方程为______________．解析：在直线上任取一点P(x ，y)，则AP →＝(x －2 015，y －2 016)，依题意AP →·a ＝0，所以－(x －2 015)＋y －2 016＝0，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝09．两个粒子a ，b 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为v a ＝(4，3)，v b ＝(2，10)．(1)写出此时粒子b 相对粒子a 的位移v ； (2)计算v 在v a 方向上的投影．解：(1)v ＝v b －v a ＝(2，10)－(4，3)＝(－2，7)．(2)| v |·cos 〈v ，v a 〉＝v·v a | v a |＝（－2，7）·（4，3）32＋42＝－8＋215＝135.10.如图所示，在平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．解：设AD →＝a ，AB →＝b ，则AC →＝a ＋b ，BD →＝a －b ，由已知|a|＝1，|b|＝2，|a －b|＝2，则(a －b)2＝|a －b|2＝4，即a 2－2a·b ＋b 2＝4，则1－2a·b ＋4＝4，所以a·b ＝12.所以|a ＋b|2＝(a ＋b)2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝1＋2×12＋4＝6，所以|a ＋b|＝ 6. 故对角线AC 的长为 6.B 级能力提升11．在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( )A.13B.12C.23D.34 解析：由PA →＋PB →＋PC →＝AB →，得PA →＋PB →＋BA →＋PC →＝0，即PC →＝2AP →，所以点P 是CA 边上的三等分点，如图所示．故S △PBC S △ABC ＝|PC||AC|＝23. 答案：C12．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且AB ＝1，则OA →·OB→＝________．解析：因为圆x 2＋y 2＝1的半径为1，AB ＝1，所以△AOB 为正三角形．所以OA →·OB →＝1×1·cos 60°＝12.答案：1213．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A(1，1)，M 是圆C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．解：设M(x 0，y 0)，N(x ，y)，由MA →＝2AN →得(1－x 0，1－y 0)＝2(x －1，y －1)．所以将⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y代入方程：(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4，得x 2＋y 2＝1.所以点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.。

苏教版必修四第二章平面向量第五讲向量的应用(学案含答案)

苏教版必修四第二章平面向量第五讲向量的应用（学案含答案）高中数学向量的应用知识点课标要求题型说明向量的应用1. 会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题；2. 会用向量方法解决某些简单的几何问题。

填空通过本节的学习，学习研究向量法和坐标法处理物理和几何问题的思想。

重点：用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题。

难点：用向量方法解决实际问题的基本方法。

一、向量在物理学中的应用向量是既有大小又有方向的量，物理中有很多量，如力、速度等都是向量。

用数学知识解决物理问题，首先要把物理问题转化为数学问题，即将物理之间的关系抽象成数学模型，然后再通过对这个模型的研究解释相关的物理现象。

【要点诠释】1.用向量的知识可以解决许多力学问题，如（2）用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”2. 向量在解析几何中的应用解析几何就是用坐标的方法研究图形，而向量也引入了坐标运算，因此可以用向量的坐标运算解决解析几何中的证明与计算等问题。

【核心突破】解析几何中的点共线，线线平行、垂直、夹角、距离都有各自的方法及公式，而这些问题在向量中也有相应的公式，而且有许多比解析几何中的公式更加简单，更具有一般性。

例如用解析几何中直线斜率公式求夹角或证垂直时，必须对直线斜率有无进行讨论，而用向量的方法就可以不讨论了。

但应该注意，解析几何中的公式及向量中的公式都有各自的特点，同一个问题选用不同的方法，其运算的复杂程度往往有很大差别，因此要注意选用这两种不同的方法。

例题1 （向量在物理中的应用）如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1，求：（1）|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；（2）当|F1|≤2|G|时，θ角的取值范围。

思路分析：由力的平衡原理知，重力G是绳子的拉力和水平拉力的合力，且G⊥F2，F1与G 的夹角为π－θ，解三角形求得力的大小与θ的关系，再回答相关问题。

2.5向量的应用作业高中数学必修四苏教版含答案

2.5 向量的应用(一)一、填空题1．在△ABC 中，已知A (4,1)、B (7,5)、C (－4,7)，则BC 边的中线AD 的长是________．2．过点(1,2)且与直线3x －y ＋1＝0垂直的直线的方程是____________．3．已知直线l 1：3x ＋4y －12＝0，l 2：7x ＋y －28＝0，则直线l 1与l 2的夹角是________．4．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5.则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝_______.5．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC的________．6．已知点A (3，1)，B (0,0)，C (3，0)，设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC→＝λCE →，其中λ＝________.7．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状是________三角形．8．在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC →|＝2，则OC →＝________.二、解答题9．如图所示，若ABCD 为平行四边形，EF ∥AB ，AE 与BF 相交于点N ，DE 与CF 相交于点M .求证：MN ∥AD .10．求证：△ABC 的三条高线交于一点．11．三角形ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是BC 边的中点，BE ⊥AD ，延长BE 交AC 于F ，连结DF .求证：∠ADB ＝∠FDC .三、探究与拓展12. 如图所示，正三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的一个三等分点，且分别靠近点A 、点B ，且AE 、CD 交于点P .求证：BP ⊥DC .答案 1.525 2.x ＋3y －7＝0 3.45° 4.－25 5．重心 6.－3 7．等边 8.⎝⎛⎭⎫－105，3105 9．证明 ∵EF ∥AB ，∴△NEF ∽△NAB ，设AB →＝μEF →(μ≠1)，则AN EN＝μ，AE →＝(μ－1)EN →，同理，由EF →∥CD →，可得DE →＝(μ－1)EM →，∴AD →＝ED →－EA →＝AE →－DE →＝(μ－1)MN →，∵μ≠1，令λ＝μ－1，∴AD →＝λMN →，∴AD ∥MN .10．证明如图所示，已知AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条高．设BE ，CF 交于H 点，令AB →＝b ，AC →＝c ，AH →＝h ，则BH →＝h －b ，CH →＝h －c ，BC →＝c －b .∵BH →⊥AC →，CH →⊥AB →，∴(h －b )·c ＝0，(h －c )·b ＝0，即(h －b )·c ＝(h －c )·b整理得h·(c －b )＝0，∴AH →·BC →＝0，∴AH ⊥BC ，∴AH →与AD →共线．AD 、BE 、CF 相交于一点H .11．证明如图所示，建立直角坐标系，设A (2,0)，C (0,2)，则D (0,1)，于是AD →＝(－2,1)，AC →＝(－2,2)，设F (x ，y )，由BF →⊥AD →，得BF →·AD →＝0，即(x ，y )·(－2,1)＝0，∴－2x ＋y ＝0.①又F 点在AC 上，则FC →∥AC →，而FC →＝(－x,2－y )，因此2×(－x )－(－2)×(2－y )＝0，即x ＋y ＝2.②由①、②式解得x ＝23，y ＝43， ∴F ⎝⎛⎭⎫23，43，DF →＝⎝⎛⎭⎫23，13，DC →＝(0,1)，DF →·DC →＝13，又DF →·DC →＝|DF →||DC →|cos θ ＝53cos θ， ∴cos θ＝55，即cos ∠FDC ＝55，又cos ∠ADB ＝|BD →||AD →|＝15＝55， ∴cos ∠ADB ＝cos ∠FDC ，故∠ADB ＝∠FDC .12．证明设P D →＝λC D →，并设△ABC 的边长为a ，则有P A →＝P D →＋D A →＝λC D →＋13B A →＝λ(23B A →－B C →)＋13B A → ＝13(2λ＋1)B A →－λBC →，又E A →＝B A →－13B C →. ∵P A →∥E A →，∴13(2λ＋1)B A →－λBC → ＝kBA →－13kBC →. 于是有：⎩⎨⎧ 13(2λ＋1)＝k ，λ＝13k .解得，λ＝17. ∴P D →＝17C D →. ∴B P →＝B C →＋C P →＝17B C →＋47B A →.C D →＝23B A →－BC →. 从而B P →·CD →＝(17B C →＋47B A →)·(23B A →－BC →) ＝821a 2－17a 2－1021a 2cos 60°＝0. ∴BP →⊥CD →.∴BP ⊥DC .。

苏教版高中数学必修四向量的应用教案(3)

《向量的应用》教学设计一、教材分析向量概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题教学中要展现并让学生经历这个抽象的过程。

向量在数学知识中的应用，注意突出向量的工具性，向量在物理中的应用，是培养学生用向量知识解决有关物理问题的能力，向量在物理中的应用既是一个物理问题又是一个数学问题，所以在教学中，首先要把它转化成数学问题，即用数学知识建立物理量之间的关系，也就是抽象成数学模型，然后再用建立起的数学模型解释相关物理现象由于向量具有两个明显特点——“形”的特点和“数”的特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁，向量的坐标实际是把点与数联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题，因此这部分知识还渗透了数形结合的解析几何思想一方面是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理中量之间的关系抽象成数学模型，另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象。

本节课是苏教版必修4第2章平面向量中第5节向量的应用，通过本节课的学习，学生将进一步深化用向量的语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题。

二、学情分析本节课的授课对象为单招预科班学生，对于职高学生的数学基础及学习特点，为了激发学生学习兴趣并考虑学生的最近发展区针对单招预科班学生创设拔河比赛等问题情景。

学生已学习平面向量的相关内容,初步建立了向量的数学模型和物理模型。

教学中尽可能提供学生动手实践的机会,利用信息技术工具,让学生从亲身体验中掌握知识与方法；应创设情境,提高学生学习兴趣,发挥主观能动性。

此外,学生总结归纳的能力还不够, 需要教师适当的引导和帮助。

三、教学目标知识与技能：1. 学会如何把生活中的问题提炼出数学信息，并加工成数学语言，并用向量知识解决物理问题，.体会向量是一种数学工具2. 掌握用向量知识解决代数问题与几何问题的互相转换和强化数形结合的数学思想方法．3.揭示知识背景，强化学生的参与意识；加强数学结合能力，发展运算能力和解决实际问题的能力.4.初步会用多媒体技术——几何画板作图工具处理数学问题。

2018版高中数学苏教版必修四学案：2.5 向量的应用

学习目标 1.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题及某些物理学中的问题.2.体会向量是一种处理几何及物理问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力．知识点一几何性质与向量的关系设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ.思考1证明线段平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？思考2证明垂直问题，可用向量的哪些知识？梳理平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由______表示出来．知识点二向量方法解决平面几何问题的步骤1．建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为____________．2．通过____________，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．3．把运算结果“________”成几何关系．知识点三物理中的量和向量的关系1．物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是________．2．物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的________________．类型一用平面向量求解直线方程例1已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．(1)求直线DE，EF，FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．反思与感悟利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．跟踪训练1在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线所在的直线方程．类型二用平面向量求解平面几何问题例2已知在正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.反思与感悟用向量证明平面几何问题的两种基本思路：(1)向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底．②用基底表示相关向量．③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系．④把几何问题向量化．。

高一数学苏教版必修4教师用书2.5 向量的应用 Word版含解析

向量的应用.会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题..会用向量方法解决某些简单的几何问题.(重点、难点)[基础·初探]教材整理向量的应用阅读教材～的全部内容，完成下列问题.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()若△是直角三角形，则有·＝.( )()若∥，则直线与平行.( ) ()在物体的运动过程中，力越大，做功越多.( )【解析】()可能·＝或·＝，故错误.()∥，，亦可能在一条直线上，故错误.()＝·＝·θ，故错误.【答案】()×()×()×!错误[小组合作型]的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为°，°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小.图--【精彩点拨】解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解决，注意力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则.【自主解答】如图，作平行四边形，使∠＝°，∠＝°.在△中，∠＝∠＝°，∠＝°.＝°＝×＝()，＝°＝×＝().故与铅垂线成°角的绳子的拉力是，与铅垂线成°角的绳子的拉力是..解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成..解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型.[再练一题] .已知两恒力＝()，＝(，－)作用于同一质点，使之由点()移动到点().()求，分别对质点所做的功；()求，的合力对质点所做的功.【解】()＝(－，－)，＝·＝()·(－，－)＝×(－)＋×(－)＝－()，＝·＝(，－)·(－，－)。

2017-2018学年高中数学苏教版必修4教案：第二章平面向量第11课时 2.5向量的应用

第11课时 §2.5 向量的应用
【教学目标】
一、知识与技能
体会向量是一种数学工具,发展学生运算能力和解决实际问题的能力.
二、过程与方法
.经历用向量法解决某些简单的几何问题,力学问题的过程.
三、情感、态度与价值观
使学生通过对问题的分析，转化，从深层次上认识学科之间的内在联系，并深刻认识数学的工具性作用，学会转化矛盾的方法，增强解决矛盾的能力，培养学生的创新精神
【教学重点难点】向量知识的应用
【教学过程】
一、复习：
①向量是既有大小又有方向的量,它既有代数特征,又有几何特征;
②通过向量可以实现代数问题与几何问题的相互转化,所以向量是数型结合的桥梁; ③向量也是解决许多物理问题的有力工具
二、新课讲解：
三、例题分析：
例1、如图所示,无弹性的细绳OB OA ,的一端分别固定在B A ,处,同质量的细绳OC 下端系着一个称盘,且使得OC OB ⊥试分析OC OB OA ,,三根绳子受力的大小,判断哪根绳子受力最大.(物理学中的应用)
例2、.已知:BC OA ⊥,AC OB ⊥，求证:AB OC ⊥
思考:你能否画一个几何图形来解释例2
例3、已知直线l 经过点),(111y x P 和),(222y x P ,用向量方法求l 的方程.
四、课时小结：本节课主要内容是应用向量解决某些简单问题.
五、反馈练习：。

苏教版必修4第2章《2.5向量的应用》作业练习含答案解析

[学业水平训练]1.已知力F 1，F 2，F 3满足|F 1|＝|F 2|＝|F 3|＝1，且F 1＋F 2＋F 3＝0，则|F 1－F 2|为________．解析：∵F 1＋F 2＝－F 3，(F 1＋F 2)2＝(－F 3)2.即F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝F 23，∴F 1·F 2＝－12. ∴|F 1－F 2|＝（F 1－F 2）2 ＝F 21－2F 1·F 2＋F 22＝ 3. 答案： 32.在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)等于__________．解析：因为M 是BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PM →，所以P A →·(PB →＋PC →)＝－23AM →·23AM →＝－49. 答案：－493.在四边形ABCD 中，若AB →＋CD →＝0，AC →·BD →＝0，则四边形的形状为__________．解析：∵AB →＋CD →＝0，∴AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵AC →·BD →＝0，∴AC →⊥BD →，∴对角线垂直，∴四边形为菱形．答案：菱形4.在△ABC 中，若BA →·(2BC →－BA →)＝0，则△ABC 一定是________三角形．解析：∵BA →·(2BC →－BA →)＝0，∴BA →·(BC →－12BA →)＝0，即BA 垂直于BA 边上的中线．∴△ABC 为等腰三角形．答案：等腰5.一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为________．解析：F 23＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos 60°＝28，所以|F 3|＝27. 答案：276.若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．解析：如图，向量α与β在单位圆O 内，其中因|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，故以向量α，β为边的三角形的面积为14，故β的终点在如图的线段AB (α∥AB 且圆心O 到AB 的距离为12)上，因此夹角θ取值范围为⎣⎡⎦⎤π6，5π6. 答案：⎣⎡⎦⎤π6，5π67.已知点P (－3，0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．解：设点M (x ，y )为轨迹上的任一点，设A (0，b )，Q (a ，0)(a >0)，则AM →＝(x ，y －b )，MQ →＝(a －x ，－y )，∵AM →＝－32MQ →，∴(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )， ∴a ＝x 3，b ＝－y 2，即A ⎝⎛⎭⎫0，－y 2，Q ⎝⎛⎭⎫x 3，0， P A →＝⎝⎛⎭⎫3，－y 2，AM →＝⎝⎛⎭⎫x ，32y ， ∵P A →·AM →＝0，∴3x －34y 2＝0，即所求轨迹方程为y 2＝4x (x >0)．8.已知两恒力F 1＝i ＋2j ，F 2＝4i －5j (其中i ，j 分别是x 轴，y 轴上的单位向量)作用于同一质点，使之由点A (20，15)移动到点B (7，0)．(1)求F 1，F 2分别对质点所做的功；(2)求F 1，F 2的合力对质点所做的功．(力的单位：N ，位移的单位：m)解：(1)由已知得F 1＝(1，2)，F 2＝(4，－5)，设F 1，F 2对质点所做的功分别为W 1，W 2.∵AB →＝(7－20，0－15)＝(－13，－15)，∴W 1＝F 1·AB →＝(1，2)·(－13，－15)＝1×(－13)＋2×(－15)＝－43(J)，W 2＝F 2·AB →＝(4，－5)·(－13，－15)＝4×(－13)＋(－5)×(－15)＝23(J)．(2)F 1，F 2的合力为F 1＋F 2＝(1，2)＋(4，－5)＝(5，－3)．设F 1，F 2的合力对质点所做的功为W ，则W ＝(F 1＋F 2)·AB →＝(5，－3)·(－13，－15)＝5×(－13)＋(－3)×(－15)＝－20(J)．[高考水平训练]1.若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为________．解析：∵OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，OB →＋OC →－2OA →＝(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)＝AB →＋AC →，由已知(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，得(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即(AB →－AC →)⊥(AB →＋AC →)．根据平行四边形法则和三角形法则，可知以AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线垂直，即以AB 、AC 为邻边的平行四边形为菱形，所以|AB →|＝|AC →|，因此△ABC 为等腰三角形．答案：等腰三角形2.函数f (x )＝5x ＋6－x 取最大值时，x ＝________．解析：令a ＝(5，1)，b ＝(x ，6－x )，则f (x )＝a·b ≤|a ||b |＝6×6＝6. 当且仅当b ＝λa (λ＞0)时取等号．故x 5＝6－x 1＝λ＞0， ∴x ＝5，λ＝1.所以当x ＝5时，函数f (x )max ＝6.答案：5.3.如图，有两条相交成60°的直线xx ′，yy ′，其交点为O ，甲、乙两辆汽车分别在xx ′，yy ′上行驶，起初甲在离点O 30 km 的点A 处，乙在离点O 10 km 的点B 处，后来两车均用60 km/h 的速度，甲沿xx ′方向，乙沿yy ′方向行驶．求：(1)起初两车的距离是多少？(2)t 小时后两车的距离是多少？(3)何时两车的距离最短？解：(1)由题意知，|AB →|2＝(OB →－OA →)2＝|OA →|2＋|OB →|2－2|OA →||OB →|cos 60°＝302＋102－2×30×10×12＝700. 故|AB →|＝107(km )． (2)设甲、乙两车t 小时后的位置分别为P ，Q ，则|AP →|＝60t ，|BQ →|＝60t .当0≤t ≤12时，|PQ →|2＝(OQ →－OP →)2＝(30－60t )2＋(10＋60t )2－2(30－60t )(10＋60t )cos 60°；当t >12时，|PQ →|2＝(60t －30)2＋(10＋60t )2－2(60t －30)(10＋60t )cos 120°. 上面两式可统一为|PQ →|2＝10 800t 2－3 600t ＋700，即|PQ →|＝10108t 2－36t ＋7.(3)∵108t 2－36t ＋7＝108⎝⎛⎭⎫t －162＋4，∴当t ＝16时，即在第10分钟末时，两车的距离最短，且最短距离为104＝20 km. 4．在日常生活中，有时要用两根同样长的绳子挂一个物体，如图所示，如果绳子的最大拉力为F ，物体受到的重力为G ，两绳子之间的夹角为θ(θ∈[0，π))．(1)求绳子受到的拉力F 1；(2)当θ逐渐增大时，|F 1|的大小怎样变化，为什么？(3)θ为何值时，|F 1|最小？(4)已知|F |＝500 N ，|G |＝500 3 N ，为使绳子不会断，试求θ的取值范围？解：(1)由题意，得|F 1|cos θ2＋|F 2|·cos θ2＝|G |，且|F 1|＝|F 2|，所以|F 1|＝|G |2cos θ2. (2)由θ∈[0，π)，得θ2∈[0，π2)，cos θ2∈(0，1]，当θ逐渐增大时，cos θ2逐渐减小，则|G |2cos θ2逐渐增大，即|F 1|增大，所以当角度θ增大时，|F 1|也增大．(3)由(2)知，当θ最小时，|F 1|最小，故当θ＝0°时，|F 1|最小，且最小值为|F 1|＝|G |2. (4)因为|F 1|＝|G |2cos θ2≤|F |，所以cos θ2≥|G |2|F |＝50032×500＝32. 又由θ2∈[0，π2)，得θ2∈[0，π6]，故θ∈[0，π3]．。

高中数学：2.5 向量的应用教案(苏教版必修4)

第 12 课时： 2.5 向量的应用【三维目标】：一、知识与技能1.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力2.运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力二、过程与方法1.通过例题，研究利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”等问题2.通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.三、情感、态度与价值观1.以学生为主体，通过问题和情境的设置，充分调动和激发学生的学习兴趣，培养学生解决实际问题的能力.2.通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.【教学重点与难点】：重点：运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”。

难点：实际问题转化为向量问题，体现向量的工具作用。

用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习法+探究式学习法(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.向量既有大小又有方向的量，在实际问题中有很多这样的量，它既有代数特征，又有几何特征；今天，我们就来用向量知识研究解决一些实际问题。

2.研究的方法：用数学知识解决实际问题，首先要将实际问题转化成数学问题，即将问题中各量之间的关系抽象成数学模型，然后再通过对这个数学模型的研究来解决实际问题中的有关量。

苏教版2018-2019高一数学必修4 第2章2.5向量的应用作业

[学业水平训练]1.已知力F 1，F 2，F 3满足|F 1|＝|F 2|＝|F 3|＝1，且F 1＋F 2＋F 3＝0，则|F 1－F 2|为________．解析：∵F 1＋F 2＝－F 3，(F 1＋F 2)2＝(－F 3)2.即F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝F 23，∴F 1·F 2＝－12. ∴|F 1－F 2|＝（F 1－F 2）2＝F 21－2F 1·F 2＋F 22＝ 3. 答案： 32.在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)等于__________．解析：因为M 是BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PM →，所以P A →·(PB →＋PC →)＝－23AM →·23AM →＝－49.答案：－493.在四边形ABCD 中，若AB →＋CD →＝0，AC →·BD →＝0，则四边形的形状为__________．解析：∵AB →＋CD →＝0，∴AB →＝DC →， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∵AC →·BD →＝0，∴AC →⊥BD →，∴对角线垂直，∴四边形为菱形．答案：菱形4.在△ABC 中，若BA →·(2BC →－BA →)＝0，则△ABC 一定是________三角形．解析：∵BA →·(2BC →－BA →)＝0， ∴BA →·(BC →－12BA →)＝0，即BA 垂直于BA 边上的中线．∴△ABC 为等腰三角形．答案：等腰5.一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为________．解析：F 23＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos 60°＝28，所以|F 3|＝27. 答案：276.若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．解析：如图，向量α与β在单位圆O 内，其中因|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，故以向量α，β为边的三角形的面积为14，故β的终点在如图的线段AB (α∥AB 且圆心O 到AB 的距离为12)上，因此夹角θ取值范围为⎣⎡⎦⎤π6，5π6. 答案：⎣⎡⎦⎤π6，5π67.已知点P (－3，0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．解：设点M (x ，y )为轨迹上的任一点，设A (0，b )，Q (a ，0)(a >0)，则AM →＝(x ，y －b )，MQ →＝(a －x ，－y )，∵AM →＝－32MQ →，∴(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )，∴a ＝x 3，b ＝－y2，即A ⎝⎛⎭⎫0，－y 2，Q ⎝⎛⎭⎫x 3，0， P A →＝⎝⎛⎭⎫3，－y 2，AM →＝⎝⎛⎭⎫x ，32y ， ∵P A →·AM →＝0，∴3x －34y 2＝0，即所求轨迹方程为y 2＝4x (x >0)．8.已知两恒力F 1＝i ＋2j ，F 2＝4i －5j (其中i ，j 分别是x 轴，y 轴上的单位向量)作用于同一质点，使之由点A (20，15)移动到点B (7，0)．(1)求F 1，F 2分别对质点所做的功；(2)求F 1，F 2的合力对质点所做的功．(力的单位：N ，位移的单位：m)解：(1)由已知得F 1＝(1，2)，F 2＝(4，－5)，设F 1，F 2对质点所做的功分别为W 1，W 2. ∵AB →＝(7－20，0－15)＝(－13，－15)，∴W 1＝F 1·AB →＝(1，2)·(－13，－15)＝1×(－13)＋2×(－15)＝－43(J)，W 2＝F 2·AB →＝(4，－5)·(－13，－15)＝4×(－13)＋(－5)×(－15)＝23(J)． (2)F 1，F 2的合力为F 1＋F 2＝(1，2)＋(4，－5)＝(5，－3)．设F 1，F 2的合力对质点所做的功为W ，则W ＝(F 1＋F 2)·AB →＝(5，－3)·(－13，－15)＝5×(－13)＋(－3)×(－15)＝－20(J)．[高考水平训练]1.若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为________．解析：∵OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →， OB →＋OC →－2OA →＝(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)＝AB →＋AC →，由已知(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，得(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即(AB →－AC →)⊥(AB →＋AC →)．根据平行四边形法则和三角形法则，可知以AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线垂直，即以AB 、AC 为邻边的平行四边形为菱形，所以|AB →|＝|AC →|，因此△ABC 为等腰三角形．答案：等腰三角形2.函数f (x )＝5x ＋6－x 取最大值时，x ＝________．解析：令a ＝(5，1)，b ＝(x ，6－x )，则f (x )＝a·b ≤|a ||b |＝6×6＝6.当且仅当b ＝λa (λ＞0)时取等号．故x 5＝6－x1＝λ＞0， ∴x ＝5，λ＝1.所以当x ＝5时，函数f (x )max ＝6. 答案：5.3.如图，有两条相交成60°的直线xx ′，yy ′，其交点为O ，甲、乙两辆汽车分别在xx ′，yy ′上行驶，起初甲在离点O 30 km 的点A 处，乙在离点O 10 km 的点B 处，后来两车均用60 km/h 的速度，甲沿xx ′方向，乙沿yy ′方向行驶．求：(1)起初两车的距离是多少？ (2)t 小时后两车的距离是多少？ (3)何时两车的距离最短？解：(1)由题意知， |AB →|2＝(OB →－OA →)2 ＝|OA →|2＋|OB →|2－2|OA →||OB →|cos 60°＝302＋102－2×30×10×12＝700.故|AB →|＝107(km )．(2)设甲、乙两车t 小时后的位置分别为P ，Q ，则|AP →|＝60t ，|BQ →|＝60t .当0≤t ≤12时，|PQ →|2＝(OQ →－OP →)2＝(30－60t )2＋(10＋60t )2－2(30－60t )(10＋60t )cos 60°；当t >12时，|PQ →|2＝(60t －30)2＋(10＋60t )2－2(60t －30)(10＋60t )cos 120°.上面两式可统一为|PQ →|2＝10 800t 2－3 600t ＋700，即|PQ →|＝10108t 2－36t ＋7.(3)∵108t 2－36t ＋7＝108⎝⎛⎭⎫t －162＋4，∴当t ＝16时，即在第10分钟末时，两车的距离最短，且最短距离为104＝20 km.4．在日常生活中，有时要用两根同样长的绳子挂一个物体，如图所示，如果绳子的最大拉力为F ，物体受到的重力为G ，两绳子之间的夹角为θ(θ∈[0，π))．(1)求绳子受到的拉力F 1；(2)当θ逐渐增大时，|F 1|的大小怎样变化，为什么？ (3)θ为何值时，|F 1|最小？(4)已知|F |＝500 N ，|G |＝500 3 N ，为使绳子不会断，试求θ的取值范围？解：(1)由题意，得|F 1|cos θ2＋|F 2|·cos θ2＝|G |，且|F 1|＝|F 2|，所以|F 1|＝|G |2cosθ2.(2)由θ∈[0，π)，得θ2∈[0，π2)，cos θ2∈(0，1]，当θ逐渐增大时，cos θ2逐渐减小，则|G |2cosθ2逐渐增大，即|F 1|增大，所以当角度θ增大时，|F 1|也增大． (3)由(2)知，当θ最小时，|F 1|最小，故当θ＝0°时，|F 1|最小，且最小值为|F 1|＝|G |2. (4)因为|F 1|＝|G |2cosθ2≤|F |，所以cos θ2≥|G |2|F |＝50032×500＝32.又由θ2∈[0，π2)，得θ2∈[0，π6]，故θ∈[0，π3]．。

2018-2019学年高中数学苏教版必修四教学案：第2章 2.5 向量的应用-含答案

[例1] 如图所示，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小．[思路点拨] 解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解决，注意力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则．[精解详析] 如图，作平行四边形OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°. 在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.|OA |＝|OC |cos 30°＝300×32＝1503(N)，|OB |＝|OC |sin 30°＝12×300＝150(N)．故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N. [一点通] 在解决力的合成与力的分解问题时，一般是通过作出受力分析图结合力的平衡原理，再辅之以向量加法的平行四边形法则使问题获得简捷、有效的解决．因此，在运用向量解决物理问题时，一定要把数学知识和物理的实际情况有机结合起来，这是有效解决此类问题的根本方法．1．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为________．解析：由已知得F 1＋F 2＋F 3＝0，∴F 3＝－(F 1＋F 2)．∴F 23＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos 60°＝28. ∴|F 3|＝27. 答案：272．在水流速度为4 3 km/h 的河中，一艘船以12 km/h 的实际速度垂直对岸行驶，求这艘船在静水中航行速度的大小与方向．解：如图，设AB 表示水流速度，AC 表示船行驶的实际速度，以AB 为一边，AC 为一对角线作平行四边形ABCD ，则AD 就是船在静水中的航行速度．∵|AB |＝4 3.|AC |＝12，∴|AD |＝|BC |＝83，tan ∠ACB ＝4312＝33， ∴∠CAD ＝∠ACB ＝30°，∠BAD ＝120°.故船在静水中的航行速度大小为8 3 km/h ，与水流方向夹角为120°.[例2] 如图，在等腰直角△ABC 中，角C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .[思路点拨] 欲证AD ⊥CE ，即证AD ·CE ＝0.由于已有CA ·CB ＝0，故考虑选此两向量为基底，从而应用此已知条件．另外，如果进一步考虑到此组基底是垂直关系，还可以建立直角坐标系．[精解详析] 法一：记CA ＝a ，CB ＝b ，则AB ＝b －a ，且a ·b ＝0，|a |＝|b |. 因为AD ＝CD －CA ＝12b －a ，CE ＝AE －AC ＝23(b －a )＋a ＝23b ＋13a ，所以AD ·CE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23b ＋13a ＝13b 2－13a 2＝0. 可得AD ⊥CE .法二：建立如图所示的直角坐标系，不妨设AC ＝BC ＝2，则C (0,0)，A (2,0)，B (0,2)，因为D 是CB 的中点，则D (0,1)．所以AD ＝(－2,1)，AB ＝(－2,2)又CE ＝CA ＋AE ＝CA ＋23AB ＝(2,0)＋23(－2,2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43，所以AD ·CE ＝(－2,1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43＝(－2)×23＋43＝0，因此AD ⊥CE .[一点通] (1)证明直线平行，可用平行向量定理；证明直线垂直，可用数量积运算； (2)用向量法证明几何问题，需要选取恰当的基底，进而将其他向量用基底正确表示；如果能够建系，则可用向量的坐标法，借助代数运算达到证明的目的．3．点O 是△ABC 所在平面内一点，满足OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，则点O 是△ABC 的三条________的交点．解析：由OA ·OB ＝OB ·OC 得OB ·(OA －OC )＝0，即OB ·AC ＝0，所以OB ⊥AC .同理，OC ⊥AB ，OA ⊥BC .所以O 为三条高的交点．答案：高4.已知：如图，AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条高，且相交于点O ，若DG ⊥BE 于G ，DH ⊥CF 于H ，求证：GH ∥EF .证明：设OA ＝λOD (λ≠0)，∵DG ⊥BE ，AE ⊥BE ，∴DG ∥AE ，同理DH ∥AF ，则AE ＝λDG ，AF ＝λDH ，∴EF ＝AF －AE ＝λ(DH －DG )＝λGH . ∴GH ∥EF ，又∵GH ，EF 没有公共点，∴GH ∥EF .[例3] 已知点P (－3,0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴上的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足PA ·AM ＝0，AM ＝－32MQ ，当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．[思路点拨] 先设出动点坐标即M (x ，y )，再结合已知条件用动点坐标与已知点坐标表示AM ，MQ ，找出坐标间的关系，从而求出动点的轨迹方程．[精解详析] 设点M (x ，y )为轨迹上的任意一点，设A (0，b )，Q (a,0)(a >0)，则AM ＝(x ，y －b )，MQ ＝(a －x ，－y )， ∵AM ＝－32MQ ，∴(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )，∴a ＝x 3，b ＝－y 2，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－y 2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x3，0，PA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－y 2，AM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32y .∵PA ·AM ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫3，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32y ＝0.∴3x －34y 2＝0， ∴所求轨迹方程为y 2＝4x (x >0)．[一点通] (1)正确写出点的坐标，并由已知条件转化为向量坐标是解题的关键．(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等．5．过点M (2,3)且平行于向量a ＝(2,3)的直线方程为________．解析：设P (x ，y )是所求直线上的任意一点(M 除外)，则MP ＝(x －2，y －3)． ∵该直线平行于向量a ＝(2,3)， ∴2(y －3)＝3(x －2)即3x －2y ＝0. 又点M (2,3)在直线3x －2y ＝0上，故所求直线方程为3x －2y ＝0. 答案：3x －2y ＝06．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA ＝2AN ，求点N 的轨迹方程．解：设M (x 0，y 0)，N (x ，y )，由MA ＝2AN 得(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y .代入方程：(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4，得x 2＋y 2＝1.∴点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.1．向量法解决物理问题的步骤(1)抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；(2)建立以向量为主体的数学模型；(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题．2．利用向量研究平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．3．向量在解析几何中的应用利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算通过坐标运算将问题解决．对于直线l：Ax＋By＋C＝0，则向量a＝(A，B)即为直线l的法向量，b＝(1，k)或c＝(－B，A)为直线l的方向向量．两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋c2＝0是否垂直，均可由向量解决．由于n1＝(A1，B1)，n2＝(A2，B2)，则n1·n2＝0⇔n1⊥n2⇔l1⊥l2.课下能力提升(二十二)一、填空题1．已知△ABC中，AB＝a，AC＝b，若a·b<0，则△ABC的形状为________．解析：由a·b<0⇒∠A>90°，故为钝角三角形．答案：钝角三角形2．过点A(2,3)且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为________．解析：设P(x，y)是所求直线上的任意一点(A点除外)，则AP⊥a，∴AP·a＝0.又∵AP＝(x－2，y－3)．∴2(x－2)＋(y－3)＝0，即2x＋y－7＝0.又∵点A(2,3)在直线2x＋y－7＝0上，∴所求直线方程为2x＋y－7＝0.答案：2x＋y－7＝03．作用于原点的两个力F1＝(1,1)，F2(2,3)，为使它们平衡，需要加力F3＝________.解析：要使它们平衡，则合力大小为0，F 1＋F 2＋F 3＝0，设F 3＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＋x ＝0，1＋3＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－4，故F 3＝(－3，－4)．答案：(－3，－4)4．当两人提起重量为|G |的旅行包时，两人用力都为|F |，夹角为θ，若|F |＝|G |，则θ的值为________．解析：作OA ＝F 1，OB ＝F 2，OC ＝－G ，则OC ＝OA ＋OB ，当|F 1|＝|F 2|＝|G |时，△OAC 为正三角形，∴∠AOC ＝60°，从而∠AOB ＝120°. 答案：120°5．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB |＝3，则OA ·OB ＝__________.解析：如图，取D 为AB 的中点， ∵OA ＝1，AB ＝3，∴∠AOD ＝π3. ∴∠AOB ＝2π3.∴OA ·OB ＝1×1×cos 2π3＝－12. 答案：－12二、解答题6.如图，在平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD＝2，求对角线AC 的长．解：设AD ＝a ，AB ＝b ，则AC ＝a ＋b ，BD ＝a －b ，由已知|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2.则(a －b )2＝|a －b |2＝4，即a 2－2a ·b ＋b 2＝4，则1－2a ·b ＋4＝4，所以a ·b ＝12.所以|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋4＝6，即|a ＋b |＝ 6.故|AC |＝6，即对角线AC 的长为 6.7．在直角三角形ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，∠A ＝90°，CD 是直角三角形ABC 的角平分线，求CD 的长．解：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (0,3)，则CA ＝(0，－3)，CB ＝(4，－3)，|CA |＝3，|CB |＝42＋－2＝5.设D (x,0)，则CD ＝(x ，－3)，又∵CD 是直角三角形ABC 的角平分线，∴CD ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫CA |CA |＋CB |CB |＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤，－3＋，－5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4λ5，－8λ5，∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ5＝x ，－8λ5＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，λ＝158，CD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3，故CD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋－2＝352，∴CD 的长为352.8．某人骑车以每小时a 公里的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a 公里/小时时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．解：设a 表示此人以每小时a 公里的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a . 设实际风速为v ，那么此人感到的风速为v －a ，如图所示，设OA ＝－a ，OB ＝－2a ，∵PO ＋OA ＝PA ，∴PA ＝v －a ，这就是感到由正北方向吹来的风速．∵PO ＋OB ＝PB ，∴PB ＝v －2a ，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB .由题意：∠PBO ＝45°，PA ⊥BO ，BA ＝AO ，从而△POB 为等腰直角三角形， ∴PO ＝PB ＝2a ，即|v |＝2a ， ∴实际为风速是2a 的西北风．。

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