2018届高考数学二轮复习空间中的平行关系课件(全国通用)

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高中数学同步教学课件空间中直线、平面的平行

则( )
A．l1∥l2
B．l1 与 l2 相交
C．l1 与 l2 重合
D．l1∥l2 或 l1 与 l2 重合
解析：∵b＝－2a，∴l1 与 l2 平行或重合．
答案：D
2．若两个不重合平面 α，β 的法向量分别为 u＝(1，2，－1)，
v＝(－3，－6，3)，则 ( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α，β 相交但不垂直
[证明] 如图以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系．设正三棱柱的底面边长为 a(a>0)，侧棱长为 b(b>0)，则 A(0，0，0)，B 23a，a2，0，B1 23a，a2，b，C1(0，a，b)，D0，a2，0， ∴―AB→1 ＝ 23a，a2，b，―B→D ＝－ 23a，0，0，―DC→1 ＝0，a2，b.
[跟踪训练] 在四棱锥 P-ABCD 中，四边形 ABCD 是正方形，侧棱 PD 垂直于底面 ABCD，PD＝DC，E 是 PC 的中点．证明：PA∥平面 EDB. 证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设 PD＝DC＝a.连接 AC，交 BD 于点 G，连接 EG，依题意得 D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)，B(a，a，0)，E0，a2，a2.
设 m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面 EFG 和平面 HMN 的法向量，由mm··― ―EEG→ →F ＝＝00，，得－ x1＋y1＋ z1＝z1＝ 0，0，取 x1＝1，得 m＝(1，－1，－1)．由nn··― ―HHM→ →N ＝＝00，，得y－2－x2z－2＝z20＝，0，取 x2＝1，得 n＝(1，－1，－1)．于是有 m＝n，所以 m∥n，故平面 EFG∥平面 HMN.

【精选】空间中的平行关系复习课件

C1
分析：作辅助线
A1 E
连接BD，交AC于点O，连接EO.
D
B1 C
O
A
B
例2 在正方体ABCD-A′B′C′D′中. 求证：平面AB′D′∥平面BC′D.
D′
A′ D
C′ B′
C
A
B
变式练习2
在正方体ABCD-A′B′C′D′中, E、F、M、N为相应边上的中点
求证：平面AMN∥平面DBEF.
N D A
F
C
B E
M
D A
C B
巩固提升2
在三棱锥P—ABC中，点D、E、F分别是△PAB、△PBC、△PAC的重心，
求证：DE //平面ABC. P
求证：平面DEF//平面ABC.
F
A
D
E C
H
M
N
B
高考链接1
如图，已知：在菱形ABCD中，E， F分别是AB与PD的中点.
求证：AF/B//平面PCD （2）求证：AB//CD
C
变式练习1
如图：已知底面为正方形的四棱锥，
P
M为PB的中点。
求证：PD//平面MAC
M
D
C
O
拓展：还可以证明哪些平行？
A
B
巩固提升1
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，
求证:BD1//平面AEC.
D1
平行
基础检测
1,已知a,b,c为三条不重合的直线，α 与 β 为两个不重
合的平面，下列说法正确的是（ A ）
A， a // b,b // c a // c
B，a // ,b // a // b C，a // c, c // a // D，a //, a // //

高考数学大二轮复习专题四第2讲空间中的平行与垂直关系课件理

第2讲
空间中的平行
关系
与垂直
(píngxíng)
第一页，共三十七页。
近五年高考试题统计(tǒngjì)与命题预测
卷
题号考查角度
命题预测
别
Ⅰ 18(1) 线面平行的判断
从题量上看,高考对
空间平行、垂直关系的判此部分的命题较为
Ⅱ 7,17(1)
稳定,一般为“一小
2019
断;线面垂直的证明
空间直线相交、异面的判 (5 分)一大(12 分)”
diǎn)2
考点
(kǎo
diǎn)3
(2)如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点.

①当1 1 等于何值时,BC1∥平面 AB1D1?
文字语言
图形语言
符号语言
判
定
定
理
一条直线与平面内
的两条相交直线都
垂直,则该直线与
此平面垂直
a,b ⊂ α
a⋂b = O
⇒l⊥α
l⊥a
l⊥b
性
质
定
理
垂直于同一个平面
的两条直线平行
a⊥α
⇒a∥b
b⊥α
第十三页，共三十七页。
4.平面(píngmiàn)与平面(píngmiàn)垂直的判定定理及性质定理
文字语言
2
EN= 3 + 1=2,BM=
3
+
4
25
4
= 7,∴BM≠EN.故选 B.
答案(dá àn):B
第六页，共三十七页。
3.(2019北京,理12)已知l,m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断:
①l⊥m;②m∥α;③l⊥α.

第50讲空间中的平行关系

高考总复习第（1）轮文科数学
第八单元
立体几何
第50讲
空间中ห้องสมุดไป่ตู้平行关系
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
1．了解空间直线与平面平行、平面与平面平行的定义． 2．掌握判断空间直线与平面平行、平面与平面平行的方法，能正确判断空间直线与平面平行、平面与平面平行． 3．能正确运用“空间直线与平面平行” “平面与平面平行”进行逻辑推理．
复习目标课前预习高频考点课时小结
解： (1)点 F， G， H 的位置如图所示． (2)平面 BEG∥平面 ACH.证明如下：因为 ABCDEFGH 为正方体，所以 BC∥FG，BC＝FG. 又 FG∥EH，FG＝EH，所以 BC∥EH，BC＝EH，于是四边形 BCHE 为平行四边形，所以 BE∥CH. 又 CH⊂平面 ACH，BE⊄平面 ACH，所以 BE∥平面 ACH. 同理 BG∥平面 ACH. 又 BE∩BG＝B，所以平面 BEG∥平面 ACH.
答案：C
复习目标课前预习高频考点课时小结
4．下列命题中不正确的是(
)
A. 两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 B. 两个平行平面同时和第三个平面相交，其交线一定平行 C. 一直线与两平行平面中的一个相交，这条直线必与另一个相交 D．一直线与两平行平面中的一个平行，这条直线必与另一个平行
答案：D
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
3．下列命题错误的是( 面，则这两个平面平行
)
A ．若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平 B. 垂直于同一直线的两平面平行 C. 平行于同一直线的两平面平行 D. 平行于同一平面的两平面平行

2018高考新课标数学文二轮专题复习课件：专题四第2讲空间中的平行与垂直精品

因此直线 m 与 n 所成的角即直线 B1D1 与 CD1 所成的
角．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，△CB1D1 是正三角形，
故直线
B1D1
与
CD1
所成角为
60°，其正弦值为
3 2.
答案：A
2．(2016·江苏卷)如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
又 PA⊥平面 ABCD， ∴FO⊥平面 ABCD. 又 FO⊂平面 BEF， ∴平面 BEF⊥平面 ABCD.
[迁移探究 2] 在本例条件下，若 AB＝BC，求证： BE⊥平面 PAC.
证明：连接 AC，AC∩BE＝O. AB∥CD，CD＝2AB，且 E 为 CD 的中点．
∴AB 綊 CE.
又∵AB＝BC， ∴四边形 ABCE 为菱形， ∴BE⊥AC. 又∵PA⊥平面 ABCE， ∴BE⊥PA. 又 PA∩AC＝A， ∴BE⊥平面 PAC.
(导学号 53130030)
(1)证明：AC⊥HD′； (2)若 AB＝5，AC＝6，AE＝54，OD′＝2 2，求五棱锥 D′-ABCFE 的体积．
(1)证明：由已知得 AC⊥BD，AD＝CD. 又由 AE＝CF 得AADE＝CCDF，故 AC∥EF.
由此得 EF⊥HD，故 EF⊥HD′，∴AC⊥HD′. (2)解：由 EF∥AC 得ODHO＝AADE＝14. 由 AB＝5，AC＝6 得 DO＝BO＝ AB2－AO2＝4. ∴OH＝1，D′H＝DH＝3. 于是 OD′2＋OH2＝(2 2)2＋12＝9＝D′H2，
DO，
在 Rt△AC′B，Rt△ADB 中，AB＝2，则 C′O＝DO＝1，又∵C′D＝ 2， ∴C′O2＋DO2＝C′D2，即 C′O⊥OD，又∵C′O⊥AB，AB∩OD＝O，AB，OD⊂平面 ABD， ∴C′O⊥平面 ABD，

2018年高考数学(理)二轮重点强化复习课件第9讲空间中的平行与垂直关系

第9讲
空间中的平行与垂直关系
栏目导航
题型 1 题型 2 三年真题
空间位置关系的判断与证明平面图形的翻折问题验收复习效果
专题限时集训
题型 1空间位置关系的判断与
证明
■核心知识储备………………………………………………………………………· 1．直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
[类题通法]
平行关系及垂直关系的转化
空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．
■对点即时训练………………………………………………………………………· 如图92所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面 2 ABCD，且PA＝PD＝ 2 AD＝ 2.
2．直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β. (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
ห้องสมุดไป่ตู้
■典题试解寻法………………………………………………………………………· 【典题1】 (考查空间位置关系的判断)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥ 平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l )

2018高考数学浙江专版二轮复习与策略课件专题9 空间中的平行与垂直关系精品

＝2，得BD＝BC＝ 2.
2分
由AC＝ 2，AB＝2，得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCDE，
从而AC⊥平面BCDE.
5分
(2)在直角梯形BCDE中，由BD＝BC＝ 2，DC＝2，得BD⊥BC.
6分
又平面ABC⊥平面BCDE，所以BD⊥平面ABC.
如图，作EF∥BD，与CB的延长线交于F，连接AF，则EF⊥平面ABC.所以
所以OP∥AD，且OP＝14AD.
从而OP∥FQ，且OP＝FQ，
5分
所以四边形OPQF为平行四边形，故PQ∥OF.
又PQ⊄平面BCD，OF⊂平面BCD，
所以PQ∥平面BCD.
6分
(2)如图，作CG⊥BD于点G，作GH⊥BM于点H，连接CH. 因为AD⊥平面BCD，CG⊂平面BCD，所以AD⊥CG. 8分又CG⊥BD，AD∩BD＝D，故CG⊥平面ABD. 又BM⊂平面ABD，所以CG⊥BM. 又GH⊥BM，CG∩GH＝G，故BM⊥平面CGH，所以GH⊥BM，CH⊥BM. 所以∠CHG为二面角C-BM-D的平面角，即∠CHG＝60°.10分设∠BDC＝θ，在Rt△BCD中， CD＝BDcos θ＝2 2cos θ，CG＝CDsin θ ＝2 2cos θsin θ，
3．(2013·浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面 ()
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
C [A项，当m∥α，n∥α时，m，n可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；B项，当m∥α，m∥β时，α，β可能平行也可能相交，故错误；C项，当 m∥n，m⊥α时，n⊥α，故正确；D项，当m∥α，α⊥β时，m可能与β平行，可能在β内，也可能与β相交，故错误．故选C.]

高考空间中的平行关系课件(共52张PPT)

栏目导引
第八章
立体几何
【名师点评】
利用线面平行的性质定
理证明线线平行,关键是找出过已知直
线的平面与已知平面的交线.
栏目导引
第八章
立体几何
考点4
平面与平面平行的性质
平面与平面平行的判定与性质,同直线
与平面平行的判定与性质一样,体现了
转化与化归的思想. 性质过程的转化实施,关键是作辅助平面,通过作辅助平面得到交线,就可把面面平行化为线面平行并进而化为线线平
定定理即可证明.
栏目导引
第八章
立体几何
【证明】 △ABC 中,E、F 分别为 AB、AC 的中点, ∴EF∥BC. 又∵EF⃘ 平面 BCGH,BC⊂平面 BCGH, ∴EF∥平面 BCGH. 又∵G、F 分别为 A1C1、AC 的中点, ∴A1G FC. ∴四边形 A1FCG 为平行四边形. ∴A1F∥GC.
α∥c ③ ⇒α∥β β∥c α∥c ⑤ ⇒α∥a a∥c α∥γ ④ ⇒α∥β β∥γ a∥γ ⑥ ⇒α∥ α∥γ
栏目导引
第八章
立体几何
其中正确的命题是( A.①②③ B.①④⑤ C.①④
)
D.①④⑤⑥
答案：C
栏目导引
第八章
立体几何
4.正方体 ABCD－ A1B1C1D1 中,E是 DD1 的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为 __________.
栏目导引
第八章
立体几何
又 A1F⊄平面 BCGH,CG⊂平面 BCGH, ∴A1F∥平面 BCGH. 又∵A1F∩EF＝F, ∴平面 A1EF∥平面 BCGH.
栏目导引
第八章
立体几何
【名师点评】

高三数学总复习《空间中的平行关系》课件

3.直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 符号表示:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b.
图形:
说明:注意定理中有三个条件:直线a∥平面α,α∩β=b,a⊂β,这三个条件缺一不可.
4.平面与平面平行的性质
(1)定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 符号表示:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b. 图形:
解析:①②显然正确,命题③,直线b有可能在平面M内,对于命
题④,直线b可能与平面M平行或斜交,图所示,在四棱锥P—ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面 ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2.
(1)若F为PC的中点,求证:PC⊥平面AEF;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的
直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( )
A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④ 解析:①错,应该为一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面相互平行.
③错,两直线可能相交,也可能异面.
故②④正确,选D. 答案:D
回归教材
1.直线与平面平行的判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 符号表示:a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α. 图形:
说明:(1)直线与平面平行的判定定理具备三个条件:
平面外的一条直线、平面内的一条直线、两直线平行,三个
条件缺一不可. (2)定理充分体现了转化的思想,它将线面平行问题转化为线
解法二:如图所示,延长DC,AB,设它们交于点N,连接PN. ∵∠NAC=∠DAC=60°,

空间中的平行关系(基础+复习+习题+练习)

如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，∥，且，在棱上是否存在一点，使平面∥平面？若存在，求点的位置；若不存在，请说明理由．
走向高考：
（北京）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点. 略；求证：∥平面；略.
（山东文）如图，在直四棱柱中， B C D A
已知，．求证：；设是上一点，试确定的位置，使平面，并说明理由．
（北京文）如图，在中，，，分别为，的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图.求证： ∥平面；略.略.
(安徽) 如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，,，，都是正三角形；
证明直线∥；求棱锥的体积.
（届高三福建师大附中期中文）如图,在直角梯形中,,,.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图所示.（Ⅰ）若为的中点，试在线段上找一点，使 ∥平面，并加以证明；（Ⅱ）略；（Ⅲ）略. A B C D 图2 B A C D 图1
（届高三福建师大附中期中文）在如图所示的多面体中，已知正方形和直角梯形所在的平面互相垂直，，∥，，求证：平面；略；略；略.
典例分析：
考点一线线平行
问题1．(山东) 如图所示，在三棱锥中，平面，，分别是的中点，，
与交于点，与交于点，连接.求证：∥；略.
考点二线面平行
问题2．( 新课标Ⅱ) 如图，直棱柱
中，分别是
的中点，．证明：平面 ;略．
问题3．(海南高考改编) 如图，在底面是菱形的四棱锥中，，，，
点在上，且，在棱上是否存在一点，使∥平面？证明你的结论．
与此
的
么过该直线的任意一个平
一条直线平行，则该直线面与已知平面的
与此平面平行.
与该直线
符号语

2018届高三一轮复习空间平行的位置关系 (共23张PPT)

如果平面外一条直线平行于平面内的一条直线,那么该直线平行于此平面.
数学语言
图形语言
a
b

a
//

a // b
问题3：在正方体AC1中，已知直线AA1//面 BCC1B1，则在平面BCC1B1中有直线与AA1平行的吗？如果有，请说出理由，并证明。
回首：必修2P33 例2
这条直线平行于这个平面．
(× )
(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行
于这个平面内的任一条直线．
(× )
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，
那么这两个平面平行．
(× )
(4)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.
(× )
目标引领、各个击破
• 2．(2015·扬州中学模拟)“一条直线与两个相交平面
模型化、是“这条直线与这两个平面的交线平行”的充分不必
要条件． • 答案充分不必要
公理化
目标引领、各个击破
• 3．过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有 ________条．
• 解析各中点连线如图，只有面EFGH与面ABB1A1平行，在四边形EFGH中有6条符合题意．
空间直线、平面的位置关系 ——平行
高三数学备课组
考试要求
1.掌握空间线面平行、面面平行的判定定理、性质定理，B级要求；
2.运用定理证明或判断空间图形中线与面的位置关系．
考情分析
年份试题
知识点
2014 第8、16 柱体的体积、线面平行、题面面垂直
2015 第9、16 柱体、椎体的体积、题线面平行、线线平行

高中数学 1.2.2.3 空间中的平行关系课件新人教B版必修2

名师点睛 1．平面与平面平行的判定方法 (1)利用定义：说明平面与平面无公共点(往往用反证法)． (2)判定定理：平面 α 内的两条相交直线 a，b 都平行于 β，则 a⊂α b⊂α a∩b＝A⇒α∥β，五个条件缺一不可． a∥β b∥β
α∥β.即
应用时的关键是在 α 内找到与 β 平行的相交直线 a，b.
(3)化归为线线平行：平面 α 内的两条相交直线与平面 β 内的两条相交直线分别平行，则 α∥β. (4)利用平行平面的传递性：两个平面同时和第三个平面平行，则这两个平面平行．
2．关于平面和平面平行的性质 (1)性质定理的作用：利用性质定理可证线线平行，也可用来作空间中的平行线． (2)面面平行的其他性质 ①两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平 α∥β ⇒a∥β，可用来证明线面平行．面，即 a⊂α ②夹在两平行平面间的平行线段相等． ③平行于同一平面的两个平面平行 ( 平面平行的传递性 ) 即 α∥β ⇒α∥γ. γ∥β
B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：
(1)直线EG∥平面BDD1B1； (2)平面EFG∥平面BDD1B1.
证明Βιβλιοθήκη (1)如图所示，连接 SB.
∵E、G 分别是 BC、SC 的中点， ∴EG∥SB. 又∵SB⊂平面 BDD1B1，EG⊄平面 BDD1B1， ∴直线 EG∥平面 BDD1B1. (2)如图所示，连接 SD. ∵F、G 分别是 DC、SC 的中点，∴FG∥SD. 又∵SD⊂平面 BDD1B1，FG⊄平面 BDD1B1， ∴直线 FG∥平面 BDD1B1.
规律方法
利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键
是把要证明的直线看作是平面的交线，所以构造三个面是其应

2018-2019学年高中数学学业水平测试复习专题三立体几何初步第13讲平行关系优质课件

2．平面与平面平行的判定与性质
【例 2】如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，S 是 B1D1 的中点，E、F、G 分别是 BC、DC、SC 的中点，求证：
(1)直线 EG∥平面 BDD1B1； (2)平面 EFG∥平面 BDD1B1.
证明：(1)如图，连接 SB，
因为 E、G 分别是 BC、SC 的中点，所以 EG∥SB. 又因为 SB⊂平面 BDD1B1，EG⊄平面 BDD1B1，所以直线 EG∥平面 BDD1B1.
A．若 l∥α，l∥β，则 α∥β B．若 l⊥α，l⊥β，则 α∥β C．若 l⊥α，l∥β，则 α∥β D．若 α⊥β，l∥α，则 l⊥β
解析：l∥α，l∥β，则 α 与 β 可能平行，也可能相交，故 A 项错；由“同垂直于一条直线的两个平面平行”可知 B 项正确；由 l⊥α，l∥β 可知 α⊥β，故 C 项错；由 α⊥β， l∥α 可知 l 与 β 可能平行，也可能 l⊂β，也可能相交，故 D 项错.
因为AE＝BD，AP＝DQ，所以PE＝BQ，所以AHHB＝APEP＝DBQQ，所以HQ∥AD，即HQ∥BC. 又PH∩HQ＝H，BC∩EB＝B，所以平面PHQ∥平面BCE，而PQ⊂平面PHQ，所以PQ∥平面BCE.
剖析：判断或证明线面平行的常用方法： (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β， a⊂α⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
面的位置关系为 b∥α 或 b⊂α.
答案：b∥α 或 b⊂α
7．(教材习题改编)已知平面α∥β，直线a⊂α，有下
列说法： ①a与β内的所有直线平行； ②a与β内无数条直线平行；

高考数学总复习第八章第五节空间图形的平行关系课件文

第十八页，共44页。
变式探究 (tànjiū)
1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是矩形，PA⊥平面(píngmiàn)ABCD， AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC 的中点．
(1)求证：EF∥平面(píngmiàn)PAD； (2)求三棱锥EABC的体积V.
证明：(1)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点， ∴EF∥BC. 又∵四边形ABCD为矩形(jǔxíng)， ∴BC∥AD. ∴EF∥AD. 又∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD， ∴EF∥平面PAD.
第二十四页，共44页。
解析：(3)设 FG＝x(0<x<a)， ∵FG∥AB，则CCFA＝FAGB＝xa， ∴CFAA＝a－a x. 又CFAA＝CEDF，∴EbF＝a－a x. ∴EF＝ba－a x. ∵四边形 EFGH 是矩形． ∴S 四边形 EFGH＝FG·EF＝x·ba－a x＝ba(ax－x2)＝－bax－a2 2－a42＝－bax－a22＋a4b. ∴当 x＝a2时，截面 EFGH 面积取得最大值为a4b.
1．(2012·广东实验中学联考)下列(xiàliè)命题中，错误的是 ()
A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交
B．平行于同一平面的两个不同平面平行 C．若直线l不平行平面α，则在平面α内不存在与l平行的
直线 D．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
思路点拨：(1)先证明BC是四棱锥B-CEPD的高，再用体积公
式求体积；(2)通过证明平面BEC∥平面PDA，再利用线面平行的
性质，可以证明BE∥平面PDA；也可以证明BE平行于平面PDA内
的一条直线．
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全国通用2018届高考数学二轮复习第25练空间中的平行与垂直课件文

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证明
8.已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD为正方形，顶点S 在底面ABCD上的射影为其中心O，高为 3，设E， F分
别为AB， SC的中点，且SE＝2， M为CD边上的点.
(1)求证：EF∥平面SAD；证明取SB的中点P，连接PF，PE.
∵F为SC的中点，
∴PF∥BC，又底面ABCD为正方形， ∴BC∥AD，即PF∥AD，又PE∥SA， ∴平面PFE∥平面SAD. ∵EF⊂平面PFE， ∴EF∥平面SAD.
规范演练
1.如图，在空间四面体ABCD中，若E，F，G，H分别是AB，BD，CD， AC的中点. (1)求证：四边形EFGH是平行四边形；证明 ∵在空间四面体 ABCD中， E， F， G，H
分别是AB，BD，CD，AC的中点，
1 1 ∴EF 綊2AD，GH 綊2AD，
∴EF綊GH，
∴四边形EFGH是平行四边形.
又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以A1E⊥BD.
因为B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1.
又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，
所以B1D1⊥平面A1EM.
又B1D1⊂平面B1CD1，
所以平面A1EM⊥平面B1CD1.
9 10 11 12
证明
11.(2017· 汉中二模)如图，在棱长均为4的三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1
∴h＝r，l＝ 2r.
1 由 S△PAB＝2×2r×h＝r2＝9，得 r＝3，
∴S 表＝πrl＋πr2＝πr× 2r＋πr2＝9(1＋ 2)π.
1
2
3
4
解答
4.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在？请说明理由.

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AB∥MQ,则直线AB∥平面MNQ;选项D,由AB∥NQ,则直线AB∥平面MNQ.
11.(2015桂城七校联考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,各个侧面均是边长为2的正方形,D为线段AC的中点. 求证:直线AB1∥平面BC1D.
【证明】
如图,连接B1C交BC1于点O,连接OD.
显然点O为B1C的中点.
(
)
A.l⊂α,m⊂α且l∥β,m∥β
C.l∥α,m∥β且l∥m
B.l⊂α,m⊂β且l∥m
D.l⊥α,m⊥β且l∥m
【答案】
D
【解析】
依面面平行的判定定理可以排除A、B、C
9.给出下列四个命题: ①经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行; ②过平面外一点且平行于这个平面的所有直线,都在过该点且平行于这个平面的一个平面内; ③平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则α与β平行或相交; ④夹在两平行平面之间的平行线段的长相等. 其中正确命题的个数是 ( A.4 B.3 ) C.2 D.1
【答案】
B
【解析】
只有命题④正确.
4.“平面α与平面β平行”的充分条件可以是 A.α内有无穷多条直线都与β平行
(
)
B.直线a∥α,a∥β,且直线a不在α内,也不在β内
C.直线a⊂α,直线b⊂β,且a∥β,b∥α D.α内的任何直线都与β平行
【答案】
知A、B、C错.
D
【解析】
若与平面β平行的直线与两平面的交线平行,则易
行,但直线不与平面平行,应选B.
3.下列命题中正确的个数是
(
)
①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α. ②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都平行. ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行. ④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线没有公共点. A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】
A
【解析】
①②③④都正确.
10.(2017新课标全国Ⅰ卷文6)如图,在下列四个正方体中,A ,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是 ( )
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【解析】
பைடு நூலகம்
选项B,由AB∥MQ,则直线AB∥平面MNQ;选项C,由
因为D是AC中点,所以AB1∥OD. 又因为OD⊂平面BC1D,AB1⊄平面BC1D, 直线AB1∥平面BC1D.
12.(2015肇庆)如图,四棱锥P—ABCD的底面是边长为1的正方形,E为PC的中点.
证明:PA∥平面EDB.
【证明】
连接AC交BD于点G,连接EG.
因为四边形ABCD是正方形,所以点G是AC的中点,又因为E为PC的中点,因此 EG∥PA. 而EG⊂平面EDB,PA⊄平面EDB,所以PA∥平面EDB.
B.任意四边形 D.菱形
【答案】
A
【解析】
梯形有且仅有一组对边平行.
7.已知点P是两条异面直线a,b外一点,则过P点且与a,b都平行的平面的个数是 ( A.0 B.1 C.0或1 D.2
)
【答案】其他情况是1个.
C
【解析】
若P和其中一条直线确定的平面与另一条直线平行是0个,
8.设α,β是两个平面,l,m是两条直线,下列命题中,可以判断α∥β的是
5.a,b是空间两条不相交的直线,那么过直线b且平行于直线a的平面 ( A.有且仅有一个 C.至多有一个 B.至少有一个 D.有无数个
)
【答案】
B
【解析】
直线a,b是平行或异面关系.
6.一个面截空间四边形的四边得到四个交点,如果该空间四边形仅有一条对角线与这个截面平行,那么此四个交点围成的四边形是 A.梯形 C.平行四边形 ( )
求证:DE∥平面AA1C1C.
【例2】中点.
(2014湛江一模)如图,在三棱锥P—ABC中,D、E、F分别是PC、AC、BC的
求证:平面DEF∥平面PAB.
1.(2013高考广东卷(文))设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是 ( ) A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l⊥α,l⊥β,则α∥β
第八章立体几何
第5 节
空间中的平行关系
1.线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 数学符号表示:a∥b,a ⊄α,b⊂α⇒a∥α. (证明线面平行的常用方法: ①三角形中位线;②平行四边形;③面面平行.) 2.线面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
∴EF∥GA.
∵EF⊄面PAD,AG⊂面PAD, ∴EF∥面PAD.
14.(2015广东惠州二模)如图所示,在所有棱长都为2a的三棱柱ABC—A1B1C1中,侧棱
AA1⊥底面ABC,D点为棱AB的中点.
求证:AC1∥平面CDB1.
【证明】连接BC1,设BC1与B1C交于点E, 则点E是BC1的中点,连接DE, 因为D点为AB的中点, 所以DE是△ABC1的中位线, 所以AC1∥DE, 因为DE⊂平面CDB1,AC1⊄面CDB1, 所以AC1∥平面CDB1.
13.如图四棱锥P—ABCD中,ABCD为平行四边形,E,F分别是PC,AB的中点. 求证:EF∥面PAD.
【证明】如图,取PD中点G,连接GE,GA. ∵E,F分别是PC,AB的中点. 在△PDC中,GE∥DC,GE= ∵ABCD为平行四边形,F为AB中点. 所以AF∥DC,AF= ∴AF=GE,AF∥GE,∴AFEG为平行四边形.
数学符号表示:a∥α,a⊂β,α∩β=c⇒a∥c.
3.面面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平
面平行.
数学符号表示:
4.面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线
平行.
数学符号表示:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b.
【例1】
如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.
C.若l⊥α,l∥β,则α∥β
D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
【答案】
B
【解析】
垂直于同一条直线的两个平面平行.
2.“平面内有无穷条直线都和直线l平行”是“l∥α”的 (
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.即不充分也不必要条件
【答案】
B
【解析】
如果直线在平面内,直线可能与平面内的无穷条直线都平

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