数学卷·2019届湖南省长沙市长郡中学高一上学期期末考试(2017.01)(必修1,4)
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小題3分，45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合U＝{1, 3, 4, 5, 7, 9}，A＝{1, 4, 5}，则∁U A＝（）A.{3, 9}B.{7, 9}C.{5, 7, 9}D.{3, 7, 9}2. 函数y=√x−1+lg(3−x)的定义域为（）A.(1, 3)B.[1, 3)C.(3, +∞)D.[1, +∞)3. 若函数f(x)＝x2+mx−4m在区间[−1, 4]上单调，则实数m的取值范围为（）A.(−∞, −8]∪[2, +∞)B.[2, +∞)C.(−∞, −8]D.(−∞, −2]∪[8, +∞)4. 函数y=3x3x+2x的值域为（）A.(0, +∞)B.(−∞, 1)C.(1, +∞)D.(0, 1)5. 已知函数f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数，对于任意实数x，y∈(0, +∞)都满足f(xy)＝f(x)+f(y)，若f(3)＝1且f(m)<f(1−m)+2，则实数m的取值范围为（）A.(0, 1)B.(0, 2)C.(910,1) D.(0,910)6. 设a＝log1314，b＝(14)14，c＝(13)13，则a，b．c的大小关系是（）A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b7. 幂函数的图象经过点(12,2)，若0<a<b<1，则下列各式正确的是（）A.f(a)<f(b)<f(1b )<f(1a) B.f(1a)<f(1b)<f(b)<f(a)C.f(a)<f(b)<f(1a )<f(1b) D.f(1a)<f(a)<f(1b)<f(b)8. 对于一个声强为I为（单位：W/m2）的声波，其声强级L（单位：dB）可由如下公式计算：L＝10lg II0（其中I0是能引起听觉的最弱声强），设声强为I1时的声强级为70dB，声强为I 2时的声强级为60dB ，则I 1是I 2的（ ）倍 A.10 B.100C.1010D.100009. 已知函数f(x)=3sin (2x −π3)，下列结论中正确的是（ ） A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)的图象关于直线x =π6对称 C.函数f(x)的图象关于点(−π6,0)对称 D.函数f(x)在(−π12,5π12)内是增函数10. 为了得到函数y ＝3sin 2x +1的图象，只需将y ＝3sin x 的图象上的所有点（ ） A.横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B.横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度 C.横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度 D.横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度11. 扇形周长为6cm ，面积为2cm 2，则其圆心角的弧度数是（ ） A.1或5 B.1或2 C.2或4 D.1或412. 若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P(cos B −sin A, sin B −cos A)在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限13. 已知函数f(x)=3sin (π2x +2)，若对于任意的x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 1−x 2|的最小值为（ ） A.4 B.1 C.12D.214. 已知平面向量a →=(1, −3)，b →=(4, −2)，若λa →−b →与a →垂直，则实数λ＝（ ） A.−1 B.1 C.−2 D.215. 如图，圆O 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆，若P ，Q 是圆O 上两个动点，则AP →⋅CQ →的最小值为（ ）A.−6B.−3−2√2C.−3−√2D.−4二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）计算：(−8125)−23+log 3√2743−log 29⋅log 32=________．若f(x)对于任意实数x 都有2f(x)−f(1x )=2x +1，则f(12)=________．已知sin α+2cos αsin α−2cos α=5，则cos 2α+12sin 2α=________．已知sin (α2−π4)=√210，则sin α＝________．若存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)＝sin 2(ωx +φ)的部分图象如图所示，则ω的值为________．三、解答题[本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）若函数f(x)=ax 2+1bx+c是奇函数，(a, b, c ∈N)且f(1)＝2，f(2)<3．（1）求实数a ，b ，c 的值；（2）判断函数f(x)在(−∞, −1]上的增减性，并证明．设向量a →=(cos α, λsin α)，b →=(cos β, sin β)，其中λ>0，0<α<β<π2，且a →+b →与a →−b →相互垂直． （1）求实数λ的值；（2）若a →⋅b →=45，且tan β＝2，求tan α的值．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，点N 、M 满足AN →=λAB →，AM →=(1−λ)AC →，λ∈R ，设AC →=a →，AB →=b →．（1）试用向量a →和b →表示BM →，CN →；（2）若BM →⋅CN →=−32，求λ的值．将函数g(x)=4sin x cos (x +π6)的图象向左平移φ(0<φ≤π2)个单位长度后得到f(x)的图象．（1）若f(x)为偶函数，求f(φ)的值；（2）若f(x)在(π,76π)上是单调函数，求φ的取值范围．已知函数f(x)＝|x −a|−1，（a 为常数）．（1）若f(x)在x ∈[0, 2]上的最大值为3，求实数a 的值；（2）已知g(x)＝x ⋅f(x)+a −m ，若存在实数a ∈(−1, 2]，使得函数g(x)有三个零点，求实数m 的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小題3分，45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.【答案】D2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】B8.【答案】A9.【答案】D10.【答案】B11.【答案】D12.【答案】B13.【答案】 D 14. 【答案】 B 15.【答案】 B二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.） 【答案】 4【答案】 3【答案】 25【答案】2425【答案】 2三、解答题[本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 【答案】根据题意，函数f(x)=ax 2+1bx+c是奇函数，(a, b, c ∈N)且f(1)＝2，则f(−1)＝−2，又由f(2)<3，则有{ a+1b+c =2a+1−b+c =−24a+12b+c <3 且a 、b 、c ∈N ，解可得a ＝1，b ＝1，c ＝0；由（1）可得：f(x)=x 2+1x=x +1x ，函数f(x)在(−∞, −1]上为增函数，设x 1<x 2≤−1，f(x 1)−f(x 2)＝(x 1+1x 1)−(x 2+1x 2)=(x 1x 2−1)(x 1−x 2)x 1x 2，又由x 1<x 2≤−1，则(x 1−x 2)<0且(x 1x 2−1)>0， 则有f(x 1)−f(x 2)<0，故函数f(x)在(−∞, −1]上为增函数． 【答案】由a →+b →与a →−b →互相垂直，可得(a →+b →)⋅(a →−b →)=a →2−b →2＝0， 所以cos 2α+λ2sin 2α−1＝0，又因为sin 2α+cos 2α＝1，所以(λ2−1)sin 2α＝0， 因为0<α<π2，所以sin 2α≠0，所以λ2−1＝0，又因为λ>0，所以λ＝1．由（1）知a →=(cos α, sin α)，由a →⋅b →=45，得cos αcos β+sin αsin β=45，即cos (α−β)=45，因为0<α<β<π2，所以−π2<α−β<0， 所以sin (α−β)=−√1−cos 2(α−β)=−35， 所以tan (α−β)=sin (α−β)cos (α−β)=−34，因此tan α＝tan (α−β+β)=tan (α−β)+tan β1−tan (α−β)tan β=12． 【答案】BM →=AM →−AB →=(1−λ)AC →−AB →=(1−λ)a →−b →； CN →=AN →−AC →=λAB →−AC →=λb →−a →； BM →⋅CN →=−32，即[＝(1−λ)a →−b →]•(λb →−a →)＝[λ(1−λ)+1]a →⋅b →−λb →2−(1−λ)a →2＝(λ−λ2+1)⋅2⋅2⋅12−4λ−4(1−λ)=−32， 化为4λ2+1−4λ＝0，解得λ=12．【答案】∵ g(x)=4sin x(√32cos x −12sin x)=√3sin 2x −(1−cos 2x)=2sin (2x +π6)−1， ∴ 函数g(x)＝2sin (2x +π6)−1的图象向左平移φ(0<φ≤π2)个单位长度后得到f(x)=2sin (2x +π6+2φ)−1的图象，又f(x)为偶函数，则π6+2φ=π2+kπ(k ∈Z)，∵ 0<φ≤π2，∴ φ=π6，∴ f(x)＝2sin (2x +π2)−1＝2cos 2x −1，f(φ)＝f(π6)＝2cos π3−1＝0． ∵ x ∈(π,7π6)，∴ 2x +π6+2φ∈(2π+π6+2φ,2π+π2+2φ)， ∵ 0<φ≤π2，∴ π6+2φ∈(π6,7π6]，π2+2φ∈(π2,3π2]，∵ f(x)在(π,7π6)上是单调函数．∴ π6+2φ≥π2，且0<φ≤π2，∴ φ∈[π6,π2]． 【答案】f(x)={x −a −1,x ≥a−x +a −1,x <a，当a ≥1时，f(x)max ＝f(0)＝3，∴ a ＝4； 当a <1时，f(x)max ＝f(2)＝3，∴ a ＝−2； 综上：a ＝4或−2．g(x)＝x|x −a|−x +a −m ＝0有三个零点，等价于ℎ(x)＝x|x −a|−x +a 和y ＝m 有三个不同的交点， ℎ(x)={x 2−ax −x +a,x ≥a−x 2+ax −x +a,x <a ，当1≤a ≤2时，ℎ(x)在(−∞, a−12)上递增，在(a−12, a+12)递减，在(a+12, +∞)递增；∴ 0<m <ℎ(a−12)，即0<m <(a+1)24∈(1, 94]，∴ 0<m <94．当−1<a <1时，ℎ(x)在(a−12, a+12)上递减，在(−∞, a−12)(a+12, +∞)上递增；∴ ℎ（(a+12)<m <ℎ(a−12)即−(a−1)24<m <(a+1)24，∴ −1<m <94．。
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小題3分，45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）已知集合{1U =，3，4，5，7，9}，{1A =，4，5}，则(U A =ð ) A ．{3，9}B ．{7，9}C ．{5，7，9}D ．{3，7，9}2．（3分）函数(3)y lg x =-的定义域为( ) A ．(1,3)B ．[1，3)C ．(3,)+∞D ．[1，)+∞3．（3分）若函数2()4f x x mx m =+-在区间[1-，4]上单调，则实数m 的取值范围为()A ．(-∞，8][2-U ，)+∞B ．[2，)+∞C ．(-∞，8]-D ．(-∞，2][8-U ，)+∞4．（3分）函数332x x xy =+的值域为( )A ．(0,)+∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(0,1)5．（3分）已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，对于任意实数x ，(0,)y ∈+∞都满足()()()f xy f x f y =+，若f （3）1=且()(1)2f m f m <-+，则实数m 的取值范围为( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．9(,1)10D ．9(0,)106．（3分）设131log 4a =，141()4b =，131()3c =，则a ，b ．c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．（3分）幂函数的图象经过点1(,2)2，若01a b <<<，则下列各式正确的是( )A ．11()()()()f a f b f f b a <<<B ．11()()()()f f f b f a a b <<<C ．11()()()()f a f b f f a b<<<D ．11()()()()f f a f f b a b<<<8．（3分）对于一个声强为I 为（单位：2/)W m 的声波，其声强级L （单位：)dB 可由如下公式计算：010IL lg I =（其中0I 是能引起听觉的最弱声强），设声强为1I 时的声强级为70dB ，声强为2I 时的声强级为60dB ，则1I 是2I 的( )倍A ．10B ．100C ．1010D ．100009．（3分）已知函数()3sin(2)3f x x π=-，下列结论中正确的是( )A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称C ．函数()f x 的图象关于点(,0)6π-对称D ．函数()f x 在5(,)1212ππ-内是增函数 10．（3分）为了得到函数3sin 21y x =+的图象，只需将3sin y x =的图象上的所有点( ) A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度 11．（3分）扇形周长为6cm ，面积为22cm ，则其圆心角的弧度数是( ) A ．1或5B ．1或2C ．2或4D ．1或412．（3分）若A 、B 是锐角ABC ∆的两个内角，则点(cos sin ,sin cos )P B A B A --在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．（3分）已知函数()3sin(2)2f x x π=+，若对于任意的x R ∈，都有12()()()f x f x f x 剟成立，则12||x x -的最小值为( ) A ．4B ．1C ．12D ．214．（3分）已知平面向量(1,3)a =-r ，(4,2)b =-r ，若a b λ-r r 与a r垂直，则实数(λ= )A ．1-B ．1C ．2-D ．215．（3分）如图，圆O 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆，若P ，Q 是圆O 上两个动点，则AP CQ u u u r u u u rg 的最小值为( )A ．6-B ．322--C ．32--D ．4-二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16．（3分）计算：24323827()log log 9log 2125--+-=g ．17．（3分）若()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x -=+，则1()2f = ．18．（3分）已知sin 2cos 5sin 2cos αααα+=-，则21cos sin 22αα+= ．19．（3分）已知2sin()24απ-=，则sin α= ． 20．（3分）若存在正整数ω和实数ϕ使得函数2()sin ()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则ω的值为 ．三、解答题[本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．（8分）若函数21()ax f x bx c+=+是奇函数，(a ，b ，)c N ∈且f （1）2=，f （2）3<．（1）求实数a ，b ，c 的值；（2）判断函数()f x 在(-∞，1]-上的增减性，并证明．22．（8分）设向量(cos ,sin )a αλα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，其中0λ>，02παβ<<<，且a b+r r 与a b -rr 相互垂直．（1）求实数λ的值；（2）若45a b =r r g ，且tan 2β=，求tan α的值．23．（8分）已知ABC ∆为等边三角形，2AB =，点N 、M 满足AN AB λ=u u u r u u u r ，(1)AM AC λ=-u u u ur u u u r ，R λ∈，设AC a =u u u rr，AB b =u u u r r．（1）试用向量a r和b r 表示BM u u u u r ，CN u u u r ； （2）若32BM CN =-u u u u r u u u r g ，求λ的值．24．（8分）将函数()4sin cos()6g x x x π=+的图象向左平移(0)2πϕϕ<…个单位长度后得到()f x 的图象．（1）若()f x 为偶函数，求()f ϕ的值；（2）若()f x 在7(,)6ππ上是单调函数，求ϕ的取值范围．25．（8分）已知函数()||1f x x a =--，(a 为常数）． （1）若()f x 在[0x ∈，2]上的最大值为3，求实数a 的值；（2）已知()()g x x f x a m =+-g ，若存在实数(1a ∈-，2]，使得函数()g x 有三个零点，求实数m 的取值范围．2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15小题，每小題3分，45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）已知集合{1U =，3，4，5，7，9}，{1A =，4，5}，则(U A =ð ) A ．{3，9}B ．{7，9}C ．{5，7，9}D ．{3，7，9}【解答】解：集合{1U =，3，4，5，7，9}，{1A =，4，5}， 所以{3U A =ð，7，9}， 故选：D ．2．（3分）函数(3)y lg x =-的定义域为( ) A ．(1,3)B ．[1，3)C ．(3,)+∞D ．[1，)+∞【解答】解：由题意可知，1030x x -⎧⎨->⎩…，解可得，13x <„，即函数的定义域为[1，3)． 故选：B ．3．（3分）若函数2()4f x x mx m =+-在区间[1-，4]上单调，则实数m 的取值范围为()A ．(-∞，8][2-U ，)+∞B ．[2，)+∞C ．(-∞，8]-D ．(-∞，2][8-U ，)+∞【解答】解：2()4f x x mx m =+-的对称轴12x m =-，2()4f x x mx m =+-Q 在区间[1-，4]上单调， ∴12m --„，或142m -…， 2m ∴…或8m -„，故选：A ．4．（3分）函数332xx xy =+的值域为( )A ．(0,)+∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(0,1)【解答】解：Q 2()03x >，∴21()13x +>，∴31(0,1)2321()3x xx xy ==∈++， 故选：D ．5．（3分）已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，对于任意实数x ，(0,)y ∈+∞都满足()()()f xy f x f y =+，若f （3）1=且()(1)2f m f m <-+，则实数m 的取值范围为( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．9(,1)10D ．9(0,)10【解答】解：Q 对于任意实数x ，(0,)y ∈+∞都满足()()()f xy f x f y =+，且f （3）1=， ∴令3x y ==得：f （9）f =（3）f +（3）2=，∴原不等式()(1)2f m f m <-+可化为()(1)f m f m f <-+（9），()(99)f m f m ∴<-，又Q 函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数， ∴01099m m m m>⎧⎪->⎨⎪<-⎩，解得：9010m <<，故选：D ．6．（3分）设131log 4a =，141()4b =，131()3c =，则a ，b ．c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<【解答】解：1331log log 414a ==>Q ，01b <<，01c <<， a ∴最大，又1141211()()464b ==Q ，1131211()()381c ==，且幂函数112y x =在(0,)+∞上单调递增，c b ∴<， c b a ∴<< 故选：B ．7．（3分）幂函数的图象经过点1(,2)2，若01a b <<<，则下列各式正确的是( )A ．11()()()()f a f b f f b a <<<B ．11()()()()f f f b f a a b <<<C ．11()()()()f a f b f f a b<<<D ．11()()()()f f a f f b a b<<<【解答】解：设幂函数解析式为：y x α= (α为常数），Q 幂函数的图象经过点1(,2)2，∴1()22α=，解得1α=-，∴幂函数解析式为：11y x x-==， ∴幂函数1y x=在(0,)+∞上单调递减， 01a b <<<Q ，1101a b b a∴<<<<<， 又Q 幂函数1y x=在(0,)+∞上单调递减， f ∴（a ）f >（b ）11()()f f b a >>，故选：B ．8．（3分）对于一个声强为I 为（单位：2/)W m 的声波，其声强级L （单位：)dB 可由如下公式计算：010IL lg I =（其中0I 是能引起听觉的最弱声强），设声强为1I 时的声强级为70dB ，声强为2I 时的声强级为60dB ，则1I 是2I 的( )倍 A ．10B ．100C ．1010D ．10000【解答】解：由题意可得：12010701060I lg I I lg I ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即10276I lg I I lg I ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，两式相减得121I lgI =，∴1210II =， 1I ∴是2I 的10倍，故选：A ．9．（3分）已知函数()3sin(2)3f x x π=-，下列结论中正确的是( )A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称C ．函数()f x 的图象关于点(,0)6π-对称D ．函数()f x 在5(,)1212ππ-内是增函数 【解答】解：A 错，最小正周期为π，当6x π=时，()1f x ≠，B 错，2()3sin()063f ππ-=-≠，C 错，当5(,)1212x ππ∈-时，2(32x ππ-∈-，)2π，()f x 单调递增，D 成立，故选：D ．10．（3分）为了得到函数3sin 21y x =+的图象，只需将3sin y x =的图象上的所有点( ) A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度 【解答】解：将3sin y x =的图象上的所有点的横标缩短原来的12倍， 得到3sin 2y x =的图象，再将函数的图象向上平移1个单位， 即可得到函数3sin 21y x =+的图象． 故选：B ．11．（3分）扇形周长为6cm ，面积为22cm ，则其圆心角的弧度数是( ) A ．1或5B ．1或2C ．2或4D ．1或4【解答】解：设扇形的半径为r ，弧长为l ， 则由题意可得26122r l lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得41l r =⎧⎨=⎩，或22l r =⎧⎨=⎩，当41l r =⎧⎨=⎩，时，其中心角的弧度数4l r α==；当22l r =⎧⎨=⎩时，其中心角的弧度数1l r α==故选：D ．12．（3分）若A 、B 是锐角ABC ∆的两个内角，则点(cos sin ,sin cos )P B A B A --在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：ABC ∆Q 为锐角三角形，2A B π∴+>．2A B π∴>-，2B A π>-．sin cos A B ∴>，sin cos B A > cos sin 0B A ∴-<，sin cos 0B A ->P ∴在第二象限．故选：B ．13．（3分）已知函数()3sin(2)2f x x π=+，若对于任意的x R ∈，都有12()()()f x f x f x 剟成立，则12||x x -的最小值为( ) A ．4B ．1C ．12D ．2【解答】解：函数()3sin(2)2f x x π=+，所以函数的周期242T ππ==． 对于任意的x R ∈，都有12()()()f x f x f x 剟成立，3()3f x -剟． 则12||x x -的最小值为22T=． 故选：D ．14．（3分）已知平面向量(1,3)a =-r ，(4,2)b =-r ，若a b λ-r r 与a r 垂直，则实数(λ= )A ．1-B ．1C ．2-D ．2【解答】解：Q (1a b λλ-=r r ，3)(4--，2)(4λ-=-，32)λ-+，a b λ-r r 与a r垂直， ∴()43(32)0a b a λλλ-=---+=r r rg ，解得1λ=．故选：B ．15．（3分）如图，圆O 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆，若P ，Q 是圆O 上两个动点，则AP CQ u u u r u u u rg 的最小值为( )A ．6-B ．322--C ．32--D ．4-【解答】解以O 为坐标原点建立如图坐标系，则P ，Q 在以O 为圆心的单位圆上，设(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，又(1,1)A --，(1,1)C ， ∴(cos 1,sin 1)AP αα=++u u u r ，(cos 1,sin 1)CQ ββ==-u u u r ， ∴(cos 1)(cos 1)(sin 1)(sin 1)AP CQ αβαβ=+-++-u u u r u u u rgg g cos cos cos cos 1sin sin sin sin 1αββααββα=+--++-- (cos cos sin sin )(sin cos )(sin cos )2αβαβββαα=+++-+- cos()2)2)244ππαββα=-++-，当cos()1αβ-=-，且sin()14πβ+=-，且sin()14πα+=时，则AP CQ u u u r u u u rg 有最小值，此时(21)k αβπ-=+，且524k βππ=+，且2()4k k Z παπ=+∈，∴AP CQ u u u r u u u rg 能取到最小值322--， 故选：B ．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16．（3分）计算：24323827()log log 9log 2125--+=g 4 ．【解答】解：原式23()351232()2423lg lg lg lg -⨯-=--g2512444=--=． 故答案为：4． 17．（3分）若()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x -=+，则1()2f = 3 ． 【解答】解：根据题意，()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x-=+， 令2x =可得：2f （2）1()22152f -=⨯+=，① 令12x =可得：12()2f f -（2）12122=⨯+=，②， 联立①②解可得：1()32f =； 故答案为：318．（3分）已知sin 2cos 5sin 2cos αααα+=-，则21cos sin 22αα+= 25 ． 【解答】解：Qsin 2cos 5sin 2cos αααα+=-， ∴tan 25tan 2αα+=-，解得tan 3α=， ∴2222221sin cos 1tan 132cos sin 221315cos sin cos tan ααααααααα++++====+++． 故答案为：25． 19．（3分）已知2sin()24απ-=，则sin α= 2425 ． 【解答】解：Q 2sin()24απ-=， 22224sin cos()cos2()12sin ()12()2242425παπαπαα∴=-=-=--=-⨯=． 故答案为：2425． 20．（3分）若存在正整数ω和实数ϕ使得函数2()sin ()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则ω的值为 2 ．【解答】解：由21cos(22)()sin ()2x f x x ωϕωϕ-+=+=及图象知：函数的半周期在1(2，1)之间，即112122πω<<g ， ∴2πωπ<<，2ω∴= 或3ω=．由图象经过点(1,0)，所以f （1）1cos(22)02ωϕ-+==，知222()k k Z ωϕπ+=∈， 222k ωϕπ∴=-+， 由图象知1cos21(0)22f ϕ-=>，得cos20ω<， 又当ω为正整数2时，可得：cos2cos40ω=<，cos60>，所以可得：2ω=．三、解答题[本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．（8分）若函数21()ax f x bx c+=+是奇函数，(a ，b ，)c N ∈且f （1）2=，f （2）3<． （1）求实数a ，b ，c 的值；（2）判断函数()f x 在(-∞，1]-上的增减性，并证明．【解答】解：（1）根据题意，函数21()ax f x bx c+=+是奇函数，(a ，b ，)c N ∈且f （1）2=， 则(1)2f -=-，又由f （2）3<，则有12124132a b c a b ca b c +⎧=⎪+⎪+⎪=-⎨-+⎪+⎪<⎪+⎩且a 、b 、c N ∈，解可得1a =，1b =，0c =； （2）由（1）可得：211()x f x x x x+==+，函数()f x 在(-∞，1]-上为增函数， 设121x x <-„，121212121212(1)()11()()()()x x x x f x f x x x x x x x ---=+-+=， 又由121x x <-„，则12()0x x -<且12(1)0x x ->，则有12()()0f x f x -<，故函数()f x 在(-∞，1]-上为增函数．22．（8分）设向量(cos ,sin )a αλα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，其中0λ>，02παβ<<<，且a b +r r与a b -r r 相互垂直．（1）求实数λ的值；（2）若45a b =r r g ，且tan 2β=，求tan α的值． 【解答】解：（1）由a b +r r 与a b -r r 互相垂直，可得22()()0a b a b a b +-=-=r r r r r r g ，所以222cos sin 10αλα+-=，又因为22sin cos 1αα+=，所以22(1)sin 0λα-=， 因为02πα<<，所以2sin 0α≠，所以210λ-=，又因为0λ>，所以1λ=．（2）由（1）知(cos ,sin )a αα=r ，由45a b =r r g ，得4cos cos sin sin 5αβαβ+=，即4cos()5αβ-=， 因为02παβ<<<，所以02παβ-<-<，所以3sin()5αβ-==-， 所以sin()3tan()cos()4αβαβαβ--==--， 因此tan()tan 1tan tan()1tan()tan 2αββααββαββ-+=-+==--． 23．（8分）已知ABC ∆为等边三角形，2AB =，点N 、M 满足AN AB λ=u u u r u u u r ，(1)AM AC λ=-u u u u r u u u r ，R λ∈，设AC a =u u u r r ，AB b =u u u r r．（1）试用向量a r 和b r 表示BM u u u u r ，CN u u u r ；（2）若32BM CN =-u u u u r u u u r g ，求λ的值． 【解答】解：（1）(1)(1)BM AM AB AC AB a b λλ=-=--=--u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r r r ；CN AN AC AB AC b a λλ=-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r ； （2）32BM CN =-u u u u r u u u r g ，即[(1)]()a b b a λλ=---r r r r g 22213[(1)1](1)(1)2244(1)22a b b a λλλλλλλλ=-+---=-+---=-r r r r g g g g ， 化为24140λλ+-=，解得12λ=．24．（8分）将函数()4sin cos()6g x x x π=+的图象向左平移(0)2πϕϕ<„个单位长度后得到()f x 的图象．（1）若()f x 为偶函数，求()f ϕ的值；（2）若()f x 在7(,)6ππ上是单调函数，求ϕ的取值范围． 【解答】解：（1）Q 31()4sin (sin )3sin 2(1cos2)2sin(2)126g x x x x x x x π=-=--=+-， ∴函数()2sin(2)16g x x π=+-的图象向左平移(0)2πϕϕ<„个单位长度后得到()2sin(22)16f x x πϕ=++-的图象，又()f x 为偶函数，则2()62k k Z ππϕπ+=+∈， Q 02πϕ<„，∴6πϕ=，()2sin(2)12cos212f x x x π∴=+-=-，()()2cos 1063f f ππϕ==-=． （2）Q 7(,)6x ππ∈，∴22(22,22)662x πππϕπϕπϕ++∈++++， Q 02πϕ<„，∴72(,]666πππϕ+∈，32(,]222πππϕ+∈， ()f x Q 在7(,)6ππ上是单调函数． ∴262ππϕ+…，且02πϕ<„，∴[,]62ππϕ∈． 25．（8分）已知函数()||1f x x a =--，(a 为常数）．（1）若()f x 在[0x ∈，2]上的最大值为3，求实数a 的值；（2）已知()()g x x f x a m =+-g ，若存在实数(1a ∈-，2]，使得函数()g x 有三个零点，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）1,()1,x a x a f x x a x a --⎧=⎨-+-<⎩…， 当1a …时，()(0)3max f x f ==，4a ∴=；当1a <时，()max f x f =（2）3=，2a ∴=-；综上：4a =或2-．（2）()||0g x x x a x a m =--+-=有三个零点， 等价于()||h x x x a x a =--+和y m =有三个不同的交点，22,(),x ax x a x a h x x ax x a x a ⎧--+=⎨-+-+<⎩…， 当12a 剟时，()h x 在1(,)2a --∞上递增， 在1(2a -，1)2a +递减，在1(2a +，)+∞递增； 10()2a m h -∴<<，即2(1)0(14a m +<<∈，9]4， 904m ∴<<． 当11a -<<时，()h x 在1(2a -，1)2a +上递减，在(-∞，11)(22a a -+，)+∞上递增； 11(()()22a a h m h +-∴<<即22(1)(1)44a a m -+-<<， 914m ∴-<<．。
湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(精品Word版,含答案解析)
C.
‒ ������) + ������)
‒4
3
D.
‒3
10. 化简������������������(������ ‒ ������)������������������(3������ ‒ ������)������������������( ‒ ������ ‒
则关
于 x 的方程 6[f（x）]2-f（x）-1=0 的实数根个数为（ ）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
二、填空题（本大题共 5 小题，共 15.0 分） 16. lg2+lg5+π0=______．
2������������������������ ‒ ������������������������
9������ ������)������������������( 2
的结果是（ ）
A. 1
11. 先把函数
B. ������������������������
C. ‒ ������������������������
D. ������������������������
������ 1 6 f（x）=sin（x- ）的图象上各点的横坐标变为原来的2（纵坐标不变）， ������ ������
再把新得到的图象向右平移3个单位，得到 y=g（x）的图象．当 x∈[4 数 g（x）的值域为（ ）
，4
3������
]时，函
A.
[ ‒ 2 ,1]
3
B.
[ ‒ 2,1]
1
C.
[‒ 2,2]
3 3
D. [ ‒ 1,00
12. 设 f（x）是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数，已知 x∈[2，3]时，f（x）=x，则 x∈[-2，0]时，f（x）的解析式为 f（x）=（ ）
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)期末数学试卷
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|1＜x＜5}，则（∁R A）∩B＝（）A．（2，5）B．（2，+∞）C．[2，5）D．[2，+∞）2．（3分）函数y＝+log2（x+3）的定义域是（）A．R B．（﹣3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣3，0）∪（0，+∞）3．（3分）已知扇形的圆心角的弧度数为2，扇形的弧长为4，则扇形的面积为（）A．2B．4C．8D．164．（3分）下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．，B．，C．，D．，5．（3分）设，且∥，则锐角α为（）A．30°B．60°C．75°D．45°6．（3分）函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）7．（3分）如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量＝（）A．B．C．D．8．（3分）函数y＝﹣x cos x的部分图象是（）A．B．C．D．9．（3分）已知两个非零向量，满足，则下面结论正确的是（）A．B．C．D．10．（3分）已知函数，则该函数的图象（）A．关于直线对称B．关于点对称C．关于点对称D．关于直线对称11．（3分）若，则cosα+sinα的值为（）A．B．C．D．12．（3分）已知，是夹角为60°的两个单位向量，则＝2+与＝﹣3+2的夹角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°13．（3分）已知函数f（x）＝若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）14．（3分）已知函数，若要得到一个偶函数的图象，则可以将函数f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度15．（3分）设f（x）＝若f（x）＝x+a有且仅有三个解，则实数a的取值范围是（）A．[1，2]B．（﹣∞，2）C．[1，+∞）D．（﹣∞，1）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16．（3分）＝．17．（3分）＝．18．（3分）幂函数f（x）的图象过点，那么f（8）的值为．19．（3分）函数y＝的单调递增区间是．20．（3分）半径为1的扇形AOB，∠AOB＝120°，M，N分别为半径OA，OB的中点，P 为弧AB上任意一点，则的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．（8分）已知函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象过点P（，0），图象中与点P最近的最高点是（，5）．（1）求函数解析式；（2）求函数的增区间．22．（8分）已知函数f（x）＝log a（其中a＞1）．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并给予证明；（Ⅲ）求使f（x）＞0的x取值范围．23．（8分）已知向量＝（sinθ，﹣2）与＝（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，）．（1）求sinθ和cosθ的值；（2）若sin（θ﹣φ）＝，0＜φ＜，求cosφ的值．24．（8分）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x（吨）．（1）求y关于x的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．（精确到0.1）25．（8分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f （x）＝1+a•（）x+（）x（1）当a＝1，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：∁R A＝{x|x≥2}；∴（∁R A）∩B＝[2，5）．故选：C．2．【解答】解：要使原函数有意义，只需，解得x∈（﹣3，0）∪（0，+∞），所以原函数的定义域为（﹣3，0）∪（0，+∞）．故选：D．3．【解答】解：因为扇形的圆心角的弧度数为2，扇形的弧长为4，所以扇形的半径为：，所以扇形的面积为：＝4．故选：B．4．【解答】解：对于A，，，是两个共线向量，故不可作为基底．对于B，，是两个不共线向量，故可作为基底．对于C，，，是两个共线向量，故不可作为基底．．对于D，，，是两个共线向量，故不可作为基底．故选：B．5．【解答】解：由，且∥，则sinα﹣cosα＝0，解得tanα＝，又α为锐角，所以α＝60°．故选：B．6．【解答】解：函数f（x）＝2x+3x是增函数，f（﹣1）＝＜0，f（0）＝1+0＝1＞0，可得f（﹣1）f（0）＜0．由零点判定定理可知：函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（﹣1，0）．故选：B．7．【解答】解：由三角形法则和D是△ABC的边AB的中点得，，∴．故选：A．8．【解答】解：函数y＝﹣x cos x为奇函数，故排除A，C，又当x取无穷小的正数时，﹣x＜0，cos x→1，则﹣x cos x＜0，故选：D．9．【解答】解：∵两个非零向量，满足，∴，展开得到．故选：B．10．【解答】解：由2x+＝kπ，k∈z可得x＝，故该函数的图象关于点（，0）对称，k∈z．由2x+＝kπ+，可得x＝，k∈z，故该函数的图象关于直线x＝对称，k∈z．故选：B．11．【解答】解：∵，∴，故选：C．12．【解答】解：∵已知，是夹角为60°的两个单位向量，∴•＝1×1×cos60°＝，设＝2+与＝﹣3+2的夹角为θ，θ∈（0°，180°），∵||＝＝＝，||＝＝＝，•＝（2+）•（﹣3+2）＝﹣6+•+2＝﹣6++2＝﹣，∴cosθ＝＝＝﹣，∴θ＝120°，故选：C．13．【解答】解：由f（x）的解析式可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，在由f（2﹣a2）＞f （a），得2﹣a2＞a即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1．故选：C．14．【解答】解：数＝，要得到一个偶函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位即可．故选：B．15．【解答】解：函数f（x）＝，若的图象如图所示，（当x＞0时，函数的图象呈现周期性变化）由图可知：（1）当a≥3时，两个图象有且只有一个公共点；（2）当2≤a＜3时，两个图象有两个公共点；（3）当a＜2时，两个图象有三个公共点；即当a＜2时，f（x）＝x+a有三个实解．故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16．【解答】解：＝1+|1﹣|﹣＝1+﹣1﹣＝﹣＝0．故答案为：0．17．【解答】解：，所以sinα＝；故答案为：．18．【解答】解：设幂函数的解析式为f（x）＝xα，∵幂函数f（x）的图象过点，∴4α＝，∴α＝﹣．∴f（8）＝＝＝，故答案为：．19．【解答】解：根据对数函数的定义可得：函数y＝的定义域为：（﹣∞，﹣6）∪（2，+∞）令t＝x2+4x﹣12，则，由对数函数的性质可得：函数在定义域内是减函数，由二次函数的性质可得：t＝x2+4x﹣12的单调递减区间是（﹣∞，﹣6），单调递增区间是（2，+∞），再根据复合函数的单调性是“同增异减”，所以函数的单调递增区间是（﹣∞，﹣6）．故答案为：（﹣∞，﹣6）．20．【解答】解：由题意，设∠POM＝θ，则•＝（﹣）•（﹣）＝•﹣•﹣•+2＝××cos120°﹣1×cosθ﹣1×cos（120°﹣θ）+1＝﹣﹣cosθ﹣（﹣cosθ+sinθ）+1＝﹣（cosθ+sinθ）＝﹣sin（θ+30°），因为θ∈[0°，120°]，所以θ+30°∈[30°，150°]，所以sin（θ+30°）∈[，1]，所以•的取值范围是[，]．故答案为：[，]．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．【解答】解：（1）由已知点函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象过点，图象中与点P最近的最高点是．∴A＝5，，即T＝π∴ω＝2∴y＝5sin（2x+φ），将代入得5＝5sin（+φ）解得φ＝+2kπ，k∈Z令k＝0，则φ＝∴y＝5sin（2x）（2）令﹣+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z则﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z∴函数的增区间为[﹣+kπ，+kπ），（k∈Z）22．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）＝log a（其中a＞1），可得＞0，即＜0，即（x+1）（x﹣1）＜0，解得﹣1＜x＜1，故函数的定义域为（﹣1，1）．（Ⅱ）由于函数的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），故函数为奇函数．（Ⅲ）由f（x）＞0 可得＞1，即＜0，2x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1，故所求的x的取值范围为（0，1）．23．【解答】解：（1）∵向量＝（sinθ，﹣2）与＝（1，cosθ）互相垂直，∴sinθ×1+（﹣2）×cosθ＝0⇒sinθ＝2cosθ．∵sin2θ+cos2θ＝1，∴4cos2θ+cos2θ＝1⇒cos2θ＝．∵θ∈（0，），∴cosθ＝，sinθ＝．（2）解法一：由sin（θ﹣φ）＝得，sinθcosφ﹣cosθsinφ＝⇒sinφ＝2cosφ﹣，∴sin2φ+cos2φ＝5cos2φ﹣2 cosφ+＝1⇒5cos2φ﹣2 cosφ﹣＝0．解得cosφ＝或cosφ＝﹣，∵0＜φ＜，∴cosφ＝．解法二：∵0＜θ，φ＜，∴﹣＜θ﹣φ＜．所以cos（θ﹣φ）＝＝．故cosφ＝cos[（θ﹣（θ﹣φ）]＝cosθcos（θ﹣φ）+sinθsin（θ﹣φ）＝×+×＝．24．【解答】解：（1）由题意知：x≥0，令5x＝4，得x＝；令3x＝4，得x＝．则当时，y＝（5x+3x）×1.8＝14.4x当时，当时，＝24x﹣9.6即得（2）由于y＝f（x）在各段区间上均单增，当x∈时，y≤f（）＜26.4当x∈时，y≤f（）＜26.4当x∈时，令24x﹣9.6＝26.4，得x＝1.5所以甲户用水量为5x＝7.5吨，付费S1＝4×1.8+3.5×3＝17.70元乙户用水量为3x＝4.5吨，付费S2＝8.7元25．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝1+1•（）x+（）x．令t＝•（）x，由x＜0 可得t＞1，f（x）＝h（t）＝t2+t+1＝+，∵h（t）在（1，+∞）上单调递增，故f（t）＞f（1）＝3，故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，故函数f（x）在（﹣∞，0）上不是有界函数．（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，则当x≥0时，|f（x）|≤3恒成立．故有﹣3≤f（x）≤3，即﹣3≤1+a•（）x+（）x≤3，即﹣4﹣≤a≤2﹣，∴[﹣4•2x﹣]≤a≤[2•2x﹣]．∴当x＝0时，[﹣4•2x﹣]的最大值为﹣4﹣1＝﹣5，[2•2x﹣]的最小值为2﹣1＝1，故有﹣5≤a≤1，即a的范围为[﹣5，1]．。
湖南长郡中学2019届上学期高一数学期末复习试题(六)
绝密★启用前长郡中学2019年1月高一人教版期末复习试卷（六）（数学必修1+4 ）全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
第I 卷解答题1. 设关于x 的函数()()2lg 23f x x x =--的定义域为集合A ，函数()()04g x x a x =-≤≤的值域为集合B .（1）求集合,A B ；（2）若集合,A B 满足A B B ⋂=，求实数a 的取值范围【答案】（1）{| 1x x <-或}3x >， {}|4y a y a -≤≤-；（2）{| 5a a >或}3a <-. 【解析】试题分析：本题考查函数定义域的求法和集合的运算。
（1）根据条件求得函数()f x 的定义域和函数()g x 的值域，即可得到集合,A B ；（2）由A B B ⋂=得B A ⊆，转化为不等式求解a 的范围。
(2)∵A B B ⋂=, ∴B A ⊆.∴41a -<-或3a ->, 解得 3a <-或5a >，∴实数a 的取值范围是{a | 3a <-或5a >}. 2. 函数f （x ）=是定义在[-l ，1]上的奇函数，且f （）=。
（1）确定函数f （x ）的解析式；（2）判断并用定义证明f （x ）在（-1，1）上的单调性； （3）若f （1-3m ）+f （1+m ）≥0，求实数m 的所有可能的取值。
【答案】（1）；（2）增函数；（3）0（1）根据题意，为定义在上的奇函数，则即解得所以.（2）任取，不妨设，y -=，因为，，，，，所以，即，所以在上是增函数；（3）为上的奇函数，且由（2）知为增函数，则，所以解得.3. 已知函数()311212xf x x ⎛⎫=+⋅⎪-⎝⎭. （1）求()f x 的定义域； （2）判断()f x 的奇偶性； （3）求证： ()0f x >.【答案】（1）()(),00,-∞⋃+∞；（2）()f x 为偶函数；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由分母不能为零得210x-≠求解即可，要注意定义域要写成集合或区间的形式；（2）在（1）的基础上，只要再判断()f x 与()f x -的关系即可，但要注意作适当的变形；（3）在（2）的基础上要证明对称区间上成立即可，不妨证明：当0x >时，则有21x >进而有: 1210,021x x->>-，然后得到110212xx ⎛⎫+⋅>⎪-⎝⎭，再由奇偶性得到对称区间上的结论.（3）证明：当0x >时，()()310,0,0,21xx f x f x >>∴>-为偶函数， ()0,0x f x ∴.综上所述，定义域内的任意x 都有()0f x >. 4. 已知函数()f x = ()221x a a -∈+R . (1)是否存在实数a 使函数()f x 是奇函数?并说明理由;(2)在(1)的条件下,当0x >时, ()()220f kx f x +--<恒成立,求实数k 的取值范围.【答案】(1)存在1a =满足题意.(2) (.∞- 【解析】试题分析：(1)由()f x -=()f x -得221x a --+=221xa -++，可得a=1；(2)利用函数单调性的定义证明函数()f x 在R 上是增函数，则原不等式等价于()()22f kx f x <---= ()22f x +，即22kx x <+，当0x >时22x k x +<恒成立，设()g x =22x x+，再利用函数单调性的定义证明()g x 在(上是减函数，在)∞+上是增函数，即可求出求值，即可得出结论.试题解析：(1)当1a =函数()f x 是奇函数，由()()f x f x -=-得， 221x a --+=221x a -++, 解得1a =. (2)函数()2121x f x =-+，任取12,x x ∈R ，设12x x <，则()()21f x f x -=12112121x x -++=()()2112222121x x x x -++， 因为函数2xy =在R 上是增函数,且12x x <，所以21220x x ->， 又()()1221210x x ++>,所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >， 所以函数()f x 在R 上是增函数，因为()f x 是奇函数，从而不等式()()220f kx f x +--<等价于()()22f kx f x <---= ()22f x +,因为函数()f x 在R 上是增函数，所以22kx x <+，所以当0x >时22x k x+<恒成立.设()22x g x x +=，任取12,x x ,且120x x <<，则()()21g x g x -=22212122x x x x ++-=()()2112122x x x x x x --，当(12x x ∈，且12x x <时, 2112120200x x x x x x ->-，，，所以()()21g x g x <，所以()g x在(上是减函数；当)12x x ∞∈+，且12x x <时， 2112120200x x x x x x ->->>，，，所以()()21g x g x >，所以()g x在)∞+上是增函数，所以()min g x= g=即k <k的取值范围为(.∞-5. 已知函数()f x =()27x mx m m ++-∈R .(1)若函数y = ()f x 在[]2,4上具有单调性,求实数m 的取值范围; (2)求函数y = ()f x 在区间[]1,1-上的最小值()g m .【答案】(1) 4m ≥-或8m ≤-.(2) ()g m =26,2{7,22 426,2m m m m m m -≥-+--<<-≤.【解析】试题分析：(1)由函数y = ()f x 在[]2,4上具有单调性可得22m -≤或42m-≥，求解即可；(2)利用二次函数的单调性，分1111222m m m-≤--<-<-≥、、三种情况讨论求解. 试题解析：(1) ()f x =()27x mx m m ++-∈R 开口向上，对称轴为2m x =-，若函数()f x 在[]2,4上具有单调性，则需22m -≤或42m-≥，所以4m ≥-或8m ≤-. (2) 当m12-≤-，即2m ≥时，函数()y f x =在区间[]1,1-单调递增，所以()g m = ()1g -=6-，当112m-<-<，即22m -<<时，函数()y f x =在区间1,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增， 所以()g m = 2m g ⎛⎫- ⎪⎝⎭=274m m -+-； 当12m-≥，即2m ≤-时，函数()y f x =在区间[]1,1-单调递减，所以()g m = ()1g =26m -，综上得()g m =26,2{7,22 426,2m m m m m m -≥-+--<<-≤. 6. 设实数a ∈R ,函数()f x = 221x a -+是R 上的奇函数. (1)求实数a 的值;(2)当()1,1x ∈-时,求满足不等式()()2110f m f m -+-<的实数m 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）( 【解析】试题分析：(1)由题意结合奇函数的性质可得1a =.(2)结合(1)中函数的解析式可得()f x 在R 是增函数,结合函数的定义域和函数的单调性可得实数m 的取值范围是(. 试题解析：（1）因为函数()f x = 221xa -+是R 上的奇函数, 所以()00f =.即02021a -=+,解得1a =. (2)由(1),得()2121x f x =-+.因为()f x 是R 上的奇函数,由()()2110f m f m -+-<,得()()211f m f m -<--,即()()211f m f m -<-.下面证明()f x 在R 是增函数,设12,x x ∈R 且12x x <,则()()12f x f x -=1222112121x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=()()()1212222,2121x x x x -++ 因为12x x <,所以121222,220x x xx <-<,而12210,210x x +>+>,所以()()()121222202121x x x x -<++,即()()12f x f x <,所以()f x = 221x a -+是R 上的增函数. 当()1,1x ∈-时,由()()211f m f m -<-得22111{11 1 11m m m m -<-<-<-<-<-,解得1m <<，所以,当()1,1x ∈-时,满足不等式()()2110f m f m -+-<的实数m的取值范围是(.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题．7. 已知定义在R 上的函数()f x ，对任意,a b R ∈，都有()()()f a b f a f b +=+，当0x >时，()0f x >；（1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()()220f kx f kx -+->对任意的x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）()f x 为奇函数；（2）08k ≤<.试题解析：(1)令则令所以为奇函数.(2)任取12,x x <则()()()()()()()11221221212,0f x f x x x f x x f x f x f x f x x =-+=-+-=->()()12f x f x > ，()f x 是单调减函数，()f x 为奇函数且0x >时，()0f x <， 0x ∴<时，()0f x >， 220kx kx ∴-+-<恒成立，当时，-2<0恒成立，当0k ≠时，得20{80k k k -<∆=-<，得08k <<，综上， .8. 已知定义在R 上的函数()22x x bf x a--=-是奇函数.（1）求a ， b 的值；（2）判断()f x 在R 上的单调性，并用定义证明；（3）若对任意的t R ∈，关于t 的不等式()()220f t t f k -+-<恒成立，求k 的取值范围. 【答案】（1）1a =-， 1b =-（2）()f x 在R 上为减函数（3）1k <-【解析】试题分析：（1）利用函数是奇函数，建立方程关系解a ， b ；（2）利用定义法证明函数的单调性；（3）利用函数的奇偶性将不等式()()220f t t f k -+-<转化为()()()22f t t f k f k -<--=，然后利用单调性求k 的取值范围.试题解析：（1）因为()22x x b f x a--=-是定义在R 上的奇函数所以()()()00{11f f f =-=-，解得1a =-， 1b =-经检验符合题意，所以1a =-， 1b =-（3）因为()f x 为R 上减函数，且为奇函数所以()()220f t t f k -+-<等价于()()()22f t t f k f k -<--=，所以22t t k ->恒成立 即()22211k t t t <-=--，所以1k <-点睛：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用定义法证明函数的单调性，以及函数单调性和奇偶性的综合应用，考查抽象不等式的求解，考查转化思想，灵活运用函数性质去掉不等式中的符号“f ”是解题的关键所在，难度不大；在该题中可将不等式()()220f t t f k -+-<转化为()()22f t t f k -<，结合单调性由此可把不等式化为具体不等式求解.9. 已知函数()2π2cos 214f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 的最小正周期; (2)求函数()f x 在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围.【答案】(1) T ＝2π4＝π.2;(2) 取值范围为2⎡⎤⎣⎦.【解析】试题分析：(1)利用和角公式化简之后即可求出周期, (2)根据x 的范围,求出4x ＋π3的范围,然后结合三角函数的图象解答. 试题解析：(1)由题意知, ()f x x -cos π42x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 4x ＋sin 4x ＝2sin π43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,∴函数()f x 的最小正周期T ＝2π4＝π.2(2)∵-π6≤x ≤π4,∴-π3≤4x ＋π3≤4π3,∴2-π43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1,≤2sin π43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤2,∴函数()f x 的取值范围为2⎡⎤⎣⎦.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.10. 已知，，．(1)求；(2)设，，求点及的坐标．【答案】(1)(2)【解析】(1)∵，，，∴，，∴. (2)设点的坐标分别为则而，∵，，∴解得∴点的坐标分别为.∴．考点：平面向量的坐标运算.11. 已知函数()2πsin sin 2f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论()f x 在π2π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的单调性.【答案】（Ⅰ）()f x 的最小正周期为π; （Ⅱ）函数()f x 在π5π612⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，单调递增，在5π2π123⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，单调递减. 【解析】试题分析：(Ⅰ)整理函数的解析式为()πsin 232f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期为π，最大值为22-. (Ⅱ)结合函数的解析式和正弦函数的性质可得函数()f x 在π5π612⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，单调递增，在5π2π123⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，单调递减. 试题解析：（Ⅰ）()2πsin sin 2f x x x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭2cos sin x x x =()1sin21cos222x x =-+ 1sin2222x x =--πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵()f x 的最小正周期为π，最大值为22-.12. 已知()1,2a =， ()3,2b =-,求当k 为何值时（1）3ka b a b +-与垂直； (2) 3ka b a b +-与平行. 【答案】（1）19k =；（2）13k =-. 【解析】试题分析：（1）根据向量垂直得到向量点积为0，由向量坐标运算得到结果；（2）根据向量平行的坐标运算得结果. 解析：由题意可得： ()()()1,23,23,22ka b k k k +=+-=-+ ， 而()()()31,233,210,4a b -=--=- ，故满足题意时： （1） ()()1034220k k --+= ，解得： 19k = . （2）()()()3410220k k -⨯--+= ，解得： 13k =- . 13. 已知23a b ==， a 与b 的夹角为120，求（1）a b ⋅；（2）(23a b a b -⋅+）（）；（3）a b +【答案】（1）-3；（2）-34；（3）7.【解析】试题分析：（1）根据向量运算的定义式得到cos120o a b a b ⋅==-3.（2）根据向量点积的运算规律和定义展开得到结果.（3）将模长平方根据向量点积的运算得到结果. 解析：（1）1cos1202332oa b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭（2）2223253a b a b a a b b -⋅+=+⋅-（）（）2225cos1203o a a b b =+-8152734=--=-（3）()2222469a b a b a a b b +=+=+⋅+=-+=14. 已知ABC ∆，点()()()2,3,0,2,1,1A B C --，（1）以AC 为对角线作正方形/ AMCN (点,,,A M C N 依次逆时针排列），求出MN 的坐标，并求出点M 的坐标；（2）设0n 为与BC 垂直的单位向量，求向量0n 的坐标，并求边BC 上的高AD 的长.【答案】（1）()2,3MN =， 31,22M ⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）0310n ⎛= ⎝⎭或⎛ ⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）()3,2AC =-∵AMCN 是正方形 ∴MN AC ⊥且MN AC =，设(),M N x y =∴22320{13x y x y -=+=即求得MN ，设,A C 中点为1,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭又E 为MN 中点，由31,2ME ⎛⎫= ⎪⎝⎭得点M 的坐标（2）0n 为与BC 垂直的单位向量，则设()0,n x y =，由0n BC ⊥， ()1,3BC =得221{ 30x y x y +=+= 解出0n ，在ABC ∆中，由余弦定理得出cos ACB ∠，过A 作AD BC ⊥,得cos ACD ∠，sin sin ACD AD AC ACD ∠=⋅∠，则求得得解.试题解析：（1）∵()()2,3,1,1A C - ∴()3,2AC =-∵AMCN 是正方形 ∴MN AC ⊥且MN AC =，设(),MN x y = ∴22320{13x y x y -=+=得2{ 3x y ==或2{ 3x y =-=-（舍） ∴()2,3MN = 设,A C 中点为1,22E ⎛⎫-⎪⎝⎭又E 为MN 中点，∴31,2ME ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴31,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）设()0,n x y =，则0n BC ⊥， ()1,3BC =∴221{ 30x y x y +=+= ∴0310n ⎛= ⎝⎭或⎛ ⎝⎭在ABC ∆中， 29AB =， AC BC ==由余弦定理得cosACB ∠==过A 作AD BC ⊥,∴cos ACD ∠=∴sin ACD ∠∴sin AD AC ACD =⋅∠===15. 某同学用“五点法”画函数()()sin f x x ωϕ=A +在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：（1）求1x ， 2x ， 3x 的值及函数()f x 的表达式；（2）将函数()f x 的图象向左平移π个单位，可得到函数()g x 的图象，求函数()()y f x g x =⋅在区间50,3π⎛⎫⎪⎝⎭的最小值． 【答案】（1）()1223f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）.【解析】试题分析：（1）由可得；由可得，()1223f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.试题解析：（1）由可得 :2分由可得:又6分（2）由的图象向左平移个单位得的图象, 8分10分时,13分16. 已知函数()(0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω的值和函数()f x 的对称轴方程；（2）若2()2463f αππα⎛⎫=<<⎪⎝⎭，求sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）()23k x k Z ππ=+∈；（2）=【解析】试题分析：（1）根据图像上相邻两个最高点的距离可求函数周期，即可求出ω的值，从而求出()f x 的对称轴方程；（2）由（1）可知1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用同角三角函数之间关系及角的变换即可求sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．（2）由（1）得2226f ααπ⎛⎫⎛⎫=⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由263ππα<<得062ππα<-<，所以cos 6πα⎛⎫-===⎪⎝⎭sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ cos 66ππα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭114242=⋅-⋅ =17. 已知()3sin 32sin 2ππαα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，求下列各式的值： （1）sin 4cos 5sin 2cos αααα-+；（2）2sin sin2αα+. 【答案】（1）－16（2）85【解析】试题分析：（1）首先利用诱导公式化简已知条件等式为sin 2cos αα=，由此可求得代数式的值；（2）将代数除以22sin cos αα+，然后利用同角三角函数间的基本关系求解． 试题解析：（1）∵()3sin 32sin 2ππαα⎛⎫+=+⎪⎝⎭， ∴sin 2cos αα-=-，即sin 2cos αα=， 则原式2cos 4cos 2110cos 2cos 126αααα--===-+．（2）∵sin 2cos αα=，即tan 2a =，∴原式22222sin 2sin cos tan 2tan 448sin cos tan 1415αααααααα+++====+++． 考点：1、诱导公式；2、同角三角函数间的基本关系．18. 已知:；（I ）化简；（Ⅱ）若是第三象限角，且，求的值．【答案】（I ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（I ）根据三角函数的诱导公式化简，即可求出；（Ⅱ）利用三角函数的诱导公式求出的值，再根据同角三角函数的基本关系求出，即可得到的值 .试题解析： （I ）（Ⅱ），所以，又由是第三象限角，所以，故19. 已知函数()()0,0,2f x Asin x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且点,26P π⎛⎫⎪⎝⎭是该函数图象的一个最高点．（1）求函数()f x 的解析式； （2）若,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()y f x =的值域； （3）把函数()y f x =的图象向右平移02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，得到函数()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，求θ的取值范围． 【答案】（1）()226f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）[)2,1-；（3）,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】试题分析：（1）由,26P π⎛⎫⎪⎝⎭是该函数图象的一个最高点求出A ，由周期为π求出ω，由特殊点的坐标求出ϕ的值，从而可得函数的解析式；（2）由,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可求的52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，利用正弦函数的性质可求其值域；（3）利用三角函数平移变换规律可求()2226g x sin x πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性可求函数的单调递增区间，进而可得03{,64k k Z k ππθπππθ+-≤∈++≥，结合范围02πθ<<，可求θ的取值范围.试题解析：（1）∵由题意可得，A=2， =π，∴ω=2．∵再根据函数的图象经过点M （，2），可得2sin （2×+φ）=2，结合|φ|＜，可得ϕ=，∴f （x ）=2sin （2x+）．（2）∵x ∈[﹣，0]， ∴2x+∈[﹣，]，∴sin （2x+）∈[﹣1，]，可得：f （x ）=2sin （2x +）∈[﹣2，1]．（3）把函数y=f （x ）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g （x ）=2sin [2（x ﹣θ）+]=2sin （2x ﹣2θ+），∴令2k π﹣≤2x ﹣2θ+≤2kπ+，k ∈Z ，解得：k π+θ﹣≤x≤kπ+θ+，k ∈Z ，可得函数的单调递增区间为：[kπ+θ﹣，kπ+θ+]，k ∈Z ，∵函数y=g （x ）在[0，]上是单调增函数，∴，∴解得：，k ∈Z ，∵0＜θ＜，，∴当k=0时，θ∈[，]．20. 已知两个不共线的向量,a b 满足()1,3a =， ()cos ,sin b θθ=， R θ∈.（1）若2a b -与7a b -垂直，求a b +的值；（2）当0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若存在两个不同的θ使得3a b ma +=成立，求正数m 的取值范围.【答案】（1）a b + =23m +≤≤ 【解析】试题分析：（1）已知2a b -与7a b -垂直，所以以()()270a b a b -⋅-=，变形得2221570a a b b -⋅+=，由两向量的坐标可求得两向量的模分别为2a =， 1b =，代入上式可得81570a b -⋅+=，求得1a b ⋅=.求向量的模，应先求向量的平方。
湖南省长沙市长郡中学高一上学期期末考试数学试题(无答案)
长郡中学2019-2019学年度高一第一学期期末考试数学一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 •设集合A=［1,3?，集合B 亠..1,2,4,5 ?,则集合AUB 二( )A. 11,3,1,2,4,5 / B . MC. 11,2,3,4,5 / D . ：2,3,4,5 /TL2 •已知tan: - -3 , ，则sin 的值为( )2A •1B731C • ——D •732222r r r r r r3 •已知j刁=4，t)=3，且a与b不共线，若向量 a + kb与a - kb互相垂直，则k的值为( )A•a B2丽C • ±--------- D34324•如果奇函数f (x )在区间12,8 ］上是减函数且最小值为6，贝U f(x )在区间［-8,-2】上是( ) A.增函数且最小值为-6 B •增函数且最大值为-6C.减函数且最小值为-6 D •减函数且最大值为-65•方程2x，3x-7 =0的解所在的区间为( )A. -1,0 B • 0,1 C • 1,2 D • 2,36 • =ABC中，内角A, B,C所对的边分别是a, b, c，若a2- c2，b2= ab，则C =( )A. 30° B • 60° C • 120° D • 60° 或120°7 • ABC中，内角A, B,C所对边的长分别为a,b,c，若cos^ ，则ABC为( ) cosB aA •等腰三角形B •等边三角形C.直角三角形 D •等腰三角形或直角三角形f 8 •已知集合A= X■■■■ -x2 6Li2 :：1 ，B = ' x log 4 x a "，a的取值范围为若A I B^，则实数R 上的周期为2的偶函数，已知 x - 2,3 I 时，f x = x ，则x 1-2,0 1时，f x的解析式为( )A . x 4B C. 3 — X +1D 13.若函数 f (x )=si n 豹 x —J Jcos ^x ，⑷ >0,x ^ R ，又 f (x j = 2 , f (x 2)=0，且捲—x 2 的最小值为—，则，的值为（ 2 )1 24A . -BCD.233314.如图，正三角形 ABC 的中心位于点G 0,1 , A 0,2 ，动点P 从点A 出发沿厶ABC 的边界按逆时针uun r方向运动，设• AGP =x 0乞x 乞2二，向量OP 在a 二1,0方向上的射影为y （ O 为坐标原点），则 y 关于x 的函数y 二f x 的图象大致为（）A. BC.A . 1 ：：：a ::: 2 C..1 ：：： a 乞 2设是第二象限角， 1 P x,4为其终边上的一点，且 cos x ，则tan =（） A .4 _3 二 11 ■:sin 2二-匚 cos 「亠二 jco^ — - :- cos - 10.化简 cos 二「sin 3二…sin -二-：sin 吟 的结果为tan :- 11 .先把函数 象向右平移 3 A .ji —+CL tan :-f x =sin x i 的图象上各点的横坐标变为原来的 1“ I 6丿 个单位, （纵坐标不变），再把新得到的图得到y 二g x 的图象.当x g x 的值域为（.亠 C IL 21-4,012 .设f x 是定义在 2 -x2_x+1—1,0<x^2彳0)=廿.则关于x的方程2 f(x-2),x>26「f （x p — f （x ）—1 = 0的实数根个数为（A. 6 B . 7 C . 8 D . 9、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且bsin A=乜.acosB若b 3 , sin C =2sin A，求a, c的值.Q已知函数f x「3sinxcosx-cos2x ?15.已知定义在R上的奇函数f x，当x .0时,16.lg 2 Ig5 二0戸17.18.2sin -cos:-已知tan「- 3，贝U —cosa +3sin G已知向量a, b满足b =2, a与b的夹角为60 °，则b在a上的投影是19.若函数f x =2x2-kx-3在区间〔-2,4 1上具有单调性，则实数k的取值范围是20.uuu uuu在.ABC 中，AB AC =9, si n B =cosA si nC, S ABC= 6 , P 为线段AB 上一点，且uir CP UlTCB，则—•丄的最小值为x y21.(1)(2)UlTCA=x CA y CB解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知集合A x求AI B ;求$ A UB .+3)(x—2)兰0}, B={x1 兰x 兰4}.22.(1) 求角B的大小;(2)23.(1) 求f x的单调递增区间;(2) 若角:的终边不共线，且f 二f ［，求tan24.已知向量a = cos： ,sin ：, b = cos :,sin ：,2.5 5(1 )求cos - ；1 i 5(2)右0 , 0 ,且sin ，求sin、丄.2 2 1325.已知二次函数f x =x2，若不等式f -x • f x < 2 x的解集为C .(1)求集合C ；(2)若函数g x = f a x-a x 1-11( a 0且a")在集合C上存在零点，求实数a的取值范围.。
湖南长郡中学2019届上学期高一数学期末复习试题B(一)
绝密★启用前长郡中学2019年1月高一人教版期末复习试卷B （一）（数学必修1+4 ）全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。
参考公式：柱体体积公式：Sh V =；锥体体积公式：Sh V 31=；球表面积公式：24S R =π； 球的体积公式：343V R =π1．若函数的图象上存在两个点关于原点对称，则称点对为的“友情点对”，点对与可看作同一个“友情点对”，若函数恰好由两个“友情点对”，则实数的值为（ ）A .B . 2C . 1D . 0【答案】B 【解析】首先注意到没有对称点.当时，，则，即有两个实数根，即有两个实数根.画出的图像如下图所示，由图可知时有两个解.2．已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程│f （x ）│=2-x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是 （A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34} （D ）[13，23）{34}【答案】C3．函数()sin y A x ωϕ=+ (0,)2πωϕ>≤的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为 A . 4sin 84y x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ B . 4sin 84y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C . 4sin 84y x ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D . 4sin 84y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由函数的图象可得最大值为4，且在一周期内先出现最小值，所以4A =±， 观察图象可得函数的周期T =16， 2==168ππϖ， 若4A =，则4sin 8y x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当6x =时， 2k π,k Z 8x πϕ+=∈, 32k π,k Z 4πϕ=-+∈ ∵,2πϕϕφ<∴∈;当4A =-又函数的图象过（2，﹣4）代入可得sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴2,42k k Z ππϕπ+=+∈，∵,24ππϕϕ<∴=，∴函数的表达式4sin 84y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．故选A .4．下列函数中,既是偶函数又在(),0∞-上单调递增的函数是（ ）A . 2y x = B . 2xy = C . 1lny x= D . cos y x x = 【答案】C5．平面内已知向量()2,1a =-，若向量b 与a 方向相反，且||b =，则向量b =（ ） A . ()2,4- B . ()4,2- C . ()4,2- D . ()2,4- 【答案】B【解析】∵向量b 与a 方向相反，∴,0b xa x =<，∵25b =，∴255b x a x ===， 则|x |=2，x =−2，即2b xa a ==-=−2(2,−1)=(−4,2)， 本题选择B 选项.6．平面向量a 与b 的夹角为120︒， ()2,0a =， 1b =，则2a b +=（ ）．A. 4B. 3C. 2D.【答案】C【解析】∵a 与b 的夹角为120︒， ()2,0a =， 1b =， ∴22212||4||41204442142a b a b a b cos ⎛⎫+=++︒=++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， ∴22a b +=．选C ．7．已知向量a = （3,1），b = （0, -1），c = （k ,3），若a - 2b 与c 共线，则k 的值为（ ）（A ）1 （B ）1- （C ）2 （D ）2- 【答案】A 【解析】试题分析：利用向量的运算和向量共线定理即可得出．()()31012312013323()()3()301a b a b a b c k k -∴-=--=-∴⨯-=∴=＝，，＝，，，，，．，，．故选A考点：平行向量与共线向量的坐标表示 8．如果sin()()sin()n m n m αβαβ-=≠+，则tan tan αβ= ( )A ．m nm n+- B ．n mm n-+ C ．m nm n-+ D ．m nn m+- 【答案】A 【解析】sin()sin cos cos sin ()sin()sin cos cos sin n nm n m mαβαβαβαβαβαβ--=≠⇔=++tan tan tan tan tan tan n m nm m nαβααββ-+⇔=⇔=+- 9．设角C B A ,,分别为ABC ∆的三个内角，且B A tan ,tan 是方程01532=+-x x 的两个实根，则ABC ∆是（ ）A .等边三角形B .等腰直角三角形C .锐角三角形D .钝角三角形 【答案】D考点：本题主要考查三角形内角和定理，两角和差的正切。
湖南省长沙市2019版高一上学期数学期末考试试卷C卷
湖南省长沙市2019版高一上学期数学期末考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高一上·沈阳月考) 设角，则的值等于（）.A .B . －C .D . －2. （2分）化简的结果是（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一下·太谷期中) 函数f（x）=2sin（2x+ ）的周期、振幅、初相分别是（）A . ，2，B . π，﹣2，﹣C . π，2，D . 2π，2，4. （2分）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高三上·沈阳期中) 已知，若，则 =（）A . 3B . 4C . 5D . 96. （2分）若||=1，||=，（﹣）⊥，则与的夹角为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 75°7. （2分）(2017·贵阳模拟) 已知向量，，| |=2，| |=1，若•（﹣）=2，则向量与的夹角为（）A .B .C .D .8. （2分）已知sinα+cosα=﹣，α∈（0，π），则tanα的值为（）A . ﹣或﹣B . ﹣C . ﹣D .9. （2分）如图所示为函数的部分图像，其中A，B两点之间的距离为5，那么（）A . -1B .C .D . 110. （2分）若，则sin2θ=（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2016高一下·广州期中) 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ≤ ）的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2 ，且过点（2，﹣），则函数f（x）=________．12. （1分）已知向量，且∥ ，则与方向相反的单位向量的坐标为________．13. （1分）已知>0,在函数y=2sin x与y=2cos x的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则 =________ 、14. （1分）求值：tan15°﹣tan45°+ tan15°•tan45°=________．15. （1分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，=3．若•=﹣3，则的长为________三、解答题 (共5题；共45分)16. （10分） (2016高一下·安徽期中) 已知，、、同一平面内的三个向量，其中 =（2，1）．（1）若| |=2 ，且∥ ，求的坐标；（2）若| |= ，且 +2 与2 ﹣垂直，求与的夹角θ．17. （10分）(2012·江苏理) 在△ABC中，已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC= ，求A的值．18. （10分） (2016高一下·新乡期末) 化简求值：（1）（2）tan20°+4sin20°．19. （5分）已知A（﹣1，2），B（2，8），若=，=﹣，求的坐标.20. （10分） (2017高一上·石家庄期末) 已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共45分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、。
2019学年湖南长郡中学高一上模块检测一数学试卷【含答案及解析】
4.设「，厂-疋，集合—H n •：巴珀2019学年湖南长郡中学高一上模块检测一数学试卷【含答案及解析】姓名 ____________ 班级 _______________ 分数 ____________题号-二二三四五总分得分一、选择题1. 已知集合 启斗1,:叮，则下列说法正确的是（）A •一一一B -C • -j 用-1D •「一3.下列各组函数中表示同一函数的是 （ ）A•B •貞刃-—C •g)=左D •，若严=哄，贝V-I C5.设集合 (i)i ■:，贝【J 总"i 禺■-(A." B .,C .■ D .F 列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 1[-4.0)U(OJ1 [-4,0) COJ] 卜M9. 设，| 为定义在”上的奇函数，当■ > '时，• |(•为常数)，则煮=[]：等于( )A . 3B . 1C .； D-I6. 7.函数.一二一的定义域为 ()函数i -8.)的图象的大致形状是10.定义在：上的；满足：①:;②对任意的，"E[0-+8）（片* ），有5一八叽0 ，则（）A • ' ' |B - ■ 'C .化7「⑴：0心D •11. 设函数 「“y 宀」，则使得• I 成立的.的取值范围是（ ） A .- - ___________ B .■-.'C . - -D . 1 ' - 二12. 在如图所示的锐角三角形空地（底边长为 40 •，高为40邨）中，欲建一个面 积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：臥）的取值范围是 （）A .| B . C . l-'.-U D ...、解答题13. 若函数「1ntx:* ■+ + 3的定义域为厂，则实数：的取值范围是-：Dol设|表示不超过•的最大整数(如|| _ ，，，定义「 「，「，则当X (.T -1>. (x-[rj+l)的值域是 ()Z] W1 (3,y]U[15J0) (3,4]UC5J5]已知函数，若不等式r,-.：/：. ；; ■> < I ；对 UD 恒 则实数；•的取值范围是( )；, _ 或■—2 2四、填空题16.若 /(2T + 1)= > ，贝V /(5) = _________________ .rg1117. 已知集合 討 -------------- E ¥ •，则用列举法表示集合* = _____________________18. 已知，' 是定义在区间[1〕)上的减函数，且 • | ，则灯的取值范围是 __________________ .三、 选择题 14.匚时，函数15. 成立,)•对于给定为 ______________ . 20.在一次研究性学习中，老师给出函数： — (.,四个小组的同1+UI学在研究此函数时，讨论交流后分别得到以下四个结果： ① 函数 的值域为9 ] |_. ② 若——，则一定有;③ 若规定-I ，…，二■二.m ,则•对任意L+«| JC |洱L 葢:泣恒成立;④ 若实数•，：满足•「 ， I ,则• ，.你认为上述四个结果中正确的序号有 _______________________ •(写出所有正确结果的序 号)五、解答题21.(1)求值：，49(2)已知：：—一「求...■的值.22. 已知全集‘.：，集合 •’： ',(1 )若• ，求；门池隔 (2)若—求实数；的取值范围.若「| 是• 的最小值，则•的取值范围19.已知 y (x )=23. 已知函数「厂4--(1) 判断的奇偶性；(2) 写出的单调递增区间，并用定义证明.(2)若对任意的，，不等式.|■- 恒成立，求实数 的取值范围.25.已知函数 - - I ,：以；：—二-•(1)若关于 ’的方程，• 只有一个实数解，求实数 「的取值范围; (2 )若•0，求函数」• 「 在区间 - |上的最大值.参考答案及解析 第1题【答案】【解析】试题分析；集合与集合关系为旅包含”、饴于,元素与集合关系为悵于刑「'不属于，故选C ・第2题【答案】 E【解析】试题分析；由函数概念可得.第3题【答案】 D 【解析】试题分析；同一国数需满足；定义域一致,对应，刼L 致.24.(1)2^十用的值；是定义在上的奇函数.第4题【答案】【解析】试题分析；由已知，"茫0 ,故心6- 0 ；5JJ —--1 f所以口=-1 J b =1 ,第5题【答案】j【解析】血颁"&TI<2} ={x|-l<x<3) , ^ = {v|v = 2\re[0,2]} ={y|U>£4},则[L3).第6题【答案】p【解析】试题分折；奇函数有y^~ 、一一丘一八严丁-丄j定义域内为减函数的只有,>■ = -x3-Y .y x 第7题【答案】A【解析】f—Y*—3 Y + 4 ^0试题分析：由题，j ,解得"I -<0)UC01]."0第8题【答案】【解析】试题分析，，二,7>0「可得国匏團象. -a ,JC< 0第9题【答案】【解析】试题分析：由题，/(0)=0 ,得打二亠】，/ei) = VU) = -C2 + 2 + «)=-3 .第10题【答案】A【解析】试题分析；由已知国对偶国数，且在【0十叼单碉遥减WA-2) = A2),故第11题【答案】A【解析】试题分析：由a^/(.o=x4+^ ,可鬻囲数m 为偶画甑且在［0廿叼单调递豐故hi>i2x-n,解得x右小・第12题【答案】【解析】试题分析：由颍设拒彫长肯⑷、列窒为(40』所以双407疋孔0 ,解得* [10.30].第13题【答案】【解析】叭析；由已肌当0，沁十皿+X0 ,恥"或血丸'解得如的取侑范围是第14题【答案】j【解析】试题分析：当山討时.©二厂4当丫无限接近工叭[r] = l ,所臥U**3.32re(23)时，C; = y-4-l?：些丫无限接近3时,[x] = 2 ,所以C； =^-5・故函数匚；的值域fi(3,4]U(5,15] _第15题【答案】【解析】析：宙已知(4, 的W -弘一3玄0 ,令貞町韭(4^- -4z?-3)v- -6.V-3 ,彳盟1 3 b 亠・_(0-3)、若4<r2- 4a-3=^ 0 J EPc? = "- s£o =-、黒不等式在上怛成立』若,抛物线貞刃幵口向上，不満足；若4^=-4«-5<0』拋物线或P幵口向下・对耦由対,0 , gft(4n:-4«-3)x:-6v-3<0 、只需畫⑴"，二W ™ 4<7 —3P-6^3<0 , . .'. 1S2^I< ^< £±2^1 ,又2 213 1 34fr2—_ 3 < 0，艮卩J〒u ◎ w匚 >综上，* "7冬□冬〒-第16题【答案】2【解析】KSlSfW：令21 + 1=5 , Mr = 2 ,故/(5) = 2 .第17题【答案】{245}【解析】试题分析；由题，当= 2,4.5时，满足丄丘N .6 - x第18题【答案】co 33【解析】析：由题设，「得口更(o| ■1 > 2^ -1第19题【答案】IM【解析】试题分析；由已知..v+- + «>2+・*第20题【答案】(D@®@【解析】f r -1—^>0 1+ ——.^>0试题介析：2)=亠屮+工「2：；作岀国数图嶷可知的数心｝的1S H|x|亠”0■"丄”0I p I 1 -X域为(-L1),且在定义域內单调遽増，所洪若可*兀,则一定有,若/1(A)=/(X)> f2M= /(Ji00) = /CTOT) = -_7—、/jW = f(f2^y)=:—7—- > •归纳列知1 + J I v| ■】4,|糾Z(x)=-^-对任壹讥町恒成立#由圈数子⑴为奇困数且虽调逋増，故/^"D^/W = 0 l + n| r |,-1) = = Z(*^)，所£^。
湖南省长沙市长郡中学2018-2019年高一上学期期末考试数学试题
长郡中学2018-2019学年度高一第一学期期末考试数 学命题人：唐科 审题人：陈贞 时量：120分钟 满分：100分一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{|2},{|15}A x x B x x =<=<<则()R C A B ⋂=A. (2,5)B. (2,)+∞C. [2,5)D. [2,)+∞2.函数21log (3)y x x=++的定义域是 A. RB. (3,)-+∞C. (,3)-∞-3.已知扇形的圆心角的弧度数为2，扇形的弧长为4，则扇形的面积为A.2B.4C.8D.16 ★4.下列各组向量中，可以作为基底的是12 A. (0,0),(1,2)e e ==- 12 B. (1,2),(5,7)e e =-= 12 C. (3,5),(6,10)e e ==1213 D. (2,3),,24e e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭5.设1sin ,cos ,3a b αα⎛⎛⎫== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，且//a b ，则锐角α为 A. 30 B. 60 C. 75 D. 45︒︒︒︒6.函数()23xf x x =+的零点所在的一个区间是 A.（-2，-1）B.（-1，0）C.（0，1）D.（1，2）7.如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD =1A. 2BC BA -+1 B. 2BC BA --1C. 2BC BA -1D. 2BC BA +8.函数y=-xcosx 的部分图象是9.已知两个非零向量a ，b 满足a+b =a-b 丨丨丨丨，则下面结论正确的是 A.a/∥bB.a ⊥bC.丨a 丨=丨b 丨 D .a+b=a-b10.已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则该函数的图象 A.关于直线3x π=对称B.关于直线4x π=对称C.关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称D.关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 11.若cos 22sin 4απα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为A. 2-1 B. 2-1 C. 2D.2★12.若e1，e2是夹角为60º的两个单位向量，则12122,32a e e b e e =+=-+的夹角为 A.30°B.60°C.120°D.150°13.已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎛+= -<⎝，.若()22()f a f a ->，则实数a 的取值范围是 A. (,1)(2,)-∞-⋃+∞B. (1,2)-C. (2,1)-D. (,2)(1,)-∞-⋃+∞14.已知函数()2cos 22f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若要得到一个偶函数的图象，则可以将函数f （x ）的图象 A.向左平移6π个单位长度B.向右平移6π个单位长度 C.向左平移12π个单位长度 D.向右平移12π个单位长度 15.若3,0()(1),0x x f x f x x -⎧=⎨->⎩，若()f x x a =+有且仅有三个解，则实数a 的取值范围是A.（-∞，2）B.[1，2]C.[1，+∞）D.（-∞，1）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16. 1068e =_________。
高一数学试卷答案及评分标准
长郡中学2019年上学期模块考试高一数学试卷总 分：100分 时 量：120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1、设集合{}{}{}5,4,1,5,3,0,5,4,3,2,1,0===N M U ，则)(N C M U ⋂=（ B ） A.{}5B.{}3,0C. {}5,3,2,0D. {}5,4,3,1,02、设5,(10)()[(8)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则)5(f 的值为（ B ）A ．5B ．6C ．7D ．8 3、若1sin 2α=,则cos()2πα+=（ C ）A.12 C. 12- D.4、求下列函数的零点，可以采用二分法的是（ B ） A. 4()f x x =B. ()tan 2()22f x x x ππ=+-<<C. ()cos 1f x x =-D. ()23x f x =-5、已知向量(3,5),(5,3)a b =-=，则a 与b （ A ）A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向 6、函数)0,)(4sin()(>∈+=ωπωR x x x f 的最小正周期为π，将)(x f 的图像向左平移||ϕ个单位长度所得图像关于y 轴对称，则ϕ的一个值是（ D ） A.2π B.83π C.4π D.8π7、在△ABC 中，若cos cos A bB a=，则△ABC 是 （ D ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形8、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,2d =,则当n S 取最小值时,n 等于 （ A ）A ．6B ．7C ．8D ．9a1 a2 a3 a 4a 5 a 6 a 7 a 8 a 9…… ……9、若数列{}n a 的通项公式为2132n a n n =++，其前n 项和为718，则n 为（ C ）A. 5B. 6C. 7D. 8 10、在有穷数列{}n a 中，n S 是{}n a 的前n 项和，我们把nS S S S n ++++ 321称为数列{}n a 的“均和”.现有一个共2019项的数列{}n a ：12320102011,,,,,a a a a a ，若其“均和”为2019，则如下有2019项的数列：123201020111,,,,,,a a a a a ，其“均和”为（ C ）A. 2019B. 2019C.2019D.2019二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11、比较下列两个数的大小：6110.6 6110.7．> 12、在等比数列{}n a 中，1691=⋅a a ，则5a = . 4±13、若向量a ，b 满足1a b ==，a 与b 的夹角为120︒，则a a a b ⋅+⋅= .1214、已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在 观察站C 的北偏东20︒方向上，灯塔B 在观察站C 的南偏东40︒方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为.km15、在数列{}n a 中，11=a ，84=a ，n nn a a a 212++=， 把数列{}n a 的各项排成如图的三角形形状，记()n m A ,为第m 行从左起第n 个数，则()7,13log 2A 的值为 .150 三、解答题（共5个小题，共55分） 16、（本小题满分10分）若函数22()log (2)log (2)f x x x =++-.（1）求函数()f x 的定义域,判断函数()f x 的奇偶性. （2）若关于θ（R θ∈）的方程(sin )2f θ=,求θ. 解：（1）由对数函数的定义知，()f x 要有意义，则必须202220x x x +>⎧⇒-<<⎨->⎩所以，()f x 的定义域为(2,2)-. …………3分定义域关于原点对称，又22()log (2)log (2)()f x x x f x -=-++=.故()f x 为偶函数. …………6分 （2）22(sin )log (2sin )log (2sin )f θθθ=++-222log (4sin )2log 4θ=-==从而，24sin 4θ-=，即2sin 0θ=.所以，sin 0θ=，于是，()k k Z θπ=∈. …………10分 17、（本小题满分10分）已知△ABC 的周长为)12(4+，且sin sin B C A +=．（1）求边长a 的值；（2）若A S ABC sin 3=∆，求角A 的余弦值． 解：（1）根据正弦定理，sin sin B C +=可化为b c +=． …………2分联立方程组1)a b c b c ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩，解得4a =．所以，边长4a =． …………5分 （2）3sin ABC S A ∆=，∴1sin 3sin 62bc A A bc ==，． …………7分又由(1)可知，b c += …………8分∴22222()21cos 223b c a b c bc a A bc bc +-+--===． 因此，所求角A 的余弦值是31． …………10分 18、（本小题满分10分）已知O 为坐标原点，2(2cos ,1)OA x =，2)OB x a =+（,x R a R ∈∈,a 是常数），设()f x OA OB =⋅ . （1）求函数)(x f 关系式；（2）已知函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 上的最小值为1-，求a 的值及函数)(x f 的单调减区间.解：（1）∵2(2cos ,1)OA x =，2)OB x a =+∴x f ⋅=)(22cos 2x x a =+ 3分（2）由（1）得22cos 2y x x a =++1cos 22x x a =+++cos 221x x a =++12(cos 22)12x x a =+++ 2(sincos 2cossin 2)166x x a ππ=+++2sin(2)16x a π=+++ 5分∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+67,662πππx ， ∴当6762ππ=+x ，即2π=x 时，a a y =++-⨯=1)21(2min ，∴1-=a 7分 从而)62sin(2)(π+=x x f ，∴由Z k k x k k x k ∈+≤≤+⇒+≤+≤+,3262236222πππππππππ得函数)(x f 的单调减区间为2[,]()63k k k Z ππππ++∈10分 19、（本小题满分12分）由于种种原因，某市重点企业A 公司一直亏损，2008年下半年又遭受全球金融危机的冲击，致使公司停产，濒临倒闭，累计负债32000万元．经反复研究，市政府决定对该公司进行紧急援助，于2009年元旦一次性给A 公司无息贷款32000万元，用于支付一切债务，同时对公司进行了改制，使A 公司起死回生．为了公司可持续发展，从2009年起，政府还将提供无息贷款用于A 公司硬件改造，其中2009年提供5000万元，以后每年都比上年减少14．据估算，2009年度将获利润4000万元，今后的利润每年都会比上年增加13． （lg30.4771,lg 40.6021,lg50.6990===） （1）设n 年内(2009年为第一年) 无息贷款总额为n a 万元，公司总利润为n b 万元.写出,n n a b 的表达式；（2）经过几年公司总利润才能超过无息贷款总额?解：(1)第1年贷款（32000＋5000）万元，第2年5000×34万元…，第n 年贷款5000×13()4n - 万元 …1分所以贷款总额为：n a ＝32000+5000＋5000×34＋…＋5000×13()4n -＝52000－200003()4n… 3分同理：第1年利润4000万元，第2年利润4000×（1＋13）万元，…，第n 年利润4000×14()3n -万元 …………4分n b ＝4000＋4000×43＋……＋4000×14()3n -＝12000［4()3n －1］ ………… 6分(2) 由题意n n b a -＞0， （7分） 12000［4()3n －1］>52000－200003()4n……8分化简得，3×4()3n ＋5×3()4n－16＞…………9分设x ＝4()1)3n x >（，3x 2－16x ＋5＞∴x ＜13（舍)或x ＞5 …………10分∴4()3n>5， 两边取对数，有4lg()lg53n >，即lg5 5.592lg4lg3n >≈- ………11分 ∴n ≥6.∴经过6年公司总利润才能超过无息贷款总额 ………12分20、（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，11n n S a +=-。
湖南省长沙市长郡中学高一上学期期末考试数学试题(无答案)
湖南省长沙市长郡中学高一上学期期末考试数学试题（无答案）数学一、选择题：本大题共15个小题,每题3分,共45分．在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的．1．设集合{}1,3=A ，集合{}1,2,4,5=B ，那么集合=A B 〔 〕A ．{}1,3,1,2,4,5B ．{}1C ．{}1,2,3,4,5D ．{}2,3,4,5 2．tan 3=-α，2<<παπ，那么sin α的值为〔 〕A ．12 B ．32 C ．12- D ．32-3．4=a ，3=b ，且a 与b 不共线，假定向量+a kb 与-a kb 相互垂直，那么k 的值为〔 〕A ．43±B ．34± C ．233± D ．32±4．假设奇函数()f x 在区间[]2,8上是减函数且最小值为6，那么()f x 在区间[]8,2--上是〔 〕 A ．增函数且最小值为-6 B ．增函数且最大值为-6 C ．减函数且最小值为-6 D ．减函数且最大值为-6 5．方程2370+-=xx 的解所在的区间为〔 〕A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,36．∆ABC 中，内角,,A B C 所对的边区分是,,a b c ，假定222-+=a c b ab ，那么=C 〔 〕 A ．30° B ．60° C ．120° D ．60°或120° 7．∆ABC 中，内角,,A B C 所对边的长区分为,,a b c ，假定cos cos =A bB a，那么∆ABC 为〔 〕 A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．集合26112--⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭x x A x ，(){}4log 1=+<B x x a ，假定=∅A B ，那么实数a 的取值范围为〔 〕A ．12<<aB ．12≤≤aC ．∅D ．12<≤a9．设α是第二象限角，(),4P x 为其终边上的一点，且1cos 5=x α，那么tan =α〔 〕 A ．43 B ．34 C ．34- D ．43- 10．化简()()()()()11sin 2cos cos cos 229cos sin 3sin sin 2⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫----+ ⎪⎝⎭πππαπαααππαπαπαα的结果为〔 〕A ．tan -αB ．tan αC ．1tan -αD ．1tan α11．先把函数()sin 6⎛⎫=-⎪⎝⎭f x x π的图象上各点的横坐标变为原来的12〔纵坐标不变〕，再把新失掉的图象向右平移3π个单位，失掉()=y g x 的图象．事先3,44⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ππ，函数()g x 的值域为〔 〕 A ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)1,0- 12．设()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，[]2,3∈x 时，()=f x x ，那么[]2,0∈-x 时，()f x 的解析式为〔 〕A ．4+xB ．2-xC ．31-+xD ．21-+x13．假定函数()sin 3cos =-f x x x ωω，0,>∈R x ω，又()12=f x ，()20=f x ，且12-x x 的最小值为32π，那么ω的值为〔 〕 A ．13 B ．23 C ．43D ．214．如图，正三角形ABC 的中心位于点()0,1G ，()0,2A ，动点P 从点A 动身沿∆ABC 的边界按逆时针方向运动，设()02∠=≤≤AGP x x π，向量OP 在()1,0=a 方向上的射影为y 〔O 为坐标原点〕，那么y 关于x 的函数()=y f x 的图象大致为〔 〕A ．B ．C ．D ．15．定义在R 上的奇函数()f x ，事先0>x ，()()121,0212,22-⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩x x f x f x x ．那么关于x 的方程()()2610--=⎡⎤⎣⎦f x f x 的实数根个数为〔 〕A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题〔每题3分，总分值15分，将答案填在答题纸上〕16．0lg 2lg5++=π ． 17．tan 3=α，那么2sin cos cos 3sin -=+αααα．18．向量,a b 满足2=b ，a 与b 的夹角为60°，那么b 在a 上的投影是 ．19．假定函数()223=--f x x kx 在区间[]2,4-上具有单调性，那么实数k 的取值范围是 ． 20．在∆ABC 中，9⋅=AB AC ，sin cos sin =⋅B A C ，6∆=ABC S ，P 为线段AB 上一点，且=⋅+⋅CA CB CP x y CACB，那么11+x y的最小值为 ． 三、解答题 〔本大题共5小题，共40分．解容许写出文字说明、证明进程或演算步骤．〕21． 集合()(){}320=+-≤A x x x ，{}14=≤≤B x x ． 〔1〕求A B ；〔2〕求()RA B ．22． 设∆ABC 的内角,,A B C 的对边区分为,,a b c ，且sin 3cos =b Aa B．〔1〕求角B 的大小；〔2〕假定23=b ，sin 2sin =C A ，求,a c 的值． 23． 函数()233sin cos cos 2=-+f x x x x ． 〔1〕求()f x 的单调递增区间； 〔2〕假定角,αβ的终边不共线，且()()=ff αβ，求()tan +αβ的值．24． 向量()cos ,sin =a αα，()cos ,sin =b ββ，255+=a b ． 〔1〕求()cos -αβ； 〔2〕假定02<<πα，02-<<πβ，且5sin 13=-β，求sin α． 25． 二次函数()2=+f x x x ，假定不等式()()2-+≤f x f x x 的解集为C ． 〔1〕求集合C ；〔2〕假定函数()()111+=--x x g x f a a 〔0>a 且1≠a 〕在集合C 上存在零点，务实数a 的取值范围．。
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长郡中学2016—2017学年度第一学期期末考试
高一数学试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.设集合{}{}2|2,,|10x A y y x R B x x ==∈=-<，则A
B = A. ()1,1- B. ()0,1 C. ()1,-+∞ D.()0,+∞
2.已知α是第一象限角，那么2
α是 A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第一或第二象限角
D.第一或第三象限角
3.已知函数()21,0cos ,0
x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论中正确的是
A. ()f x 是偶函数
B. ()f x 是增函数
C. ()f x 是周期函数
D.()f x 的值域是[)1,-+∞
4.已知向量()()1,2,2,a b m ==-，若//a b ，则m =
A. 1-
B. 4-
C. 4
D.1
5.已知实数,x y 满()01x y a a a <<<足，则下列关系式恒成立的是
A. 221111
x y >++ B. ()()22ln 1ln 1x y +>+ C. sin sin x y > D.22x y >
6.若向量,,a b c 两两夹角相等，且1,3a b c ===，则a b c ++=
A. 2
B. 5
C. 2或5 7.将函数2sin 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移
14个周期后，所得图象对应的函数为 A.2sin 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭ B. 2sin 23y x π⎛
⎫=+
⎪⎝⎭ C. 2sin 24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭ D. 2sin 23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
8.已知
1sin 1cos 2αα+=-，则cos sin 1
αα-的值是 A. 12 B. 12- C. 2 D.2- 9.若()()2lg 21f x x ax a =-++在区间(],1-∞上递减，则a 的取值范围是
A. [)1,2
B. []1,2
C. [)1,+∞
D.[)2,+∞
10.若函数()()()2221f x m x mx m =-+++的两个零点分别在区间()1,0-和()1,2上，则m 的取值范围是
A. 11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭
B. 11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭
C. 11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
D.11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦
11.函数3
31
x x y =-的大致图象是
12.已知函数()()sin 0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><
⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则ϕ=
A. 6π-
B. 6π
C. 3π-
D.3
π 13.已知函数2sin y x =的定义域为[],a b ，值域为[]2,1-，则
b a -的值不可能是
A. 56π
B. π
C.76
π D.2π 14.设函数()f x 的定义域为D ，若函数()f x 满足条件：存在[],a b D ⊆，使得()f x 在[]
,a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”.若函数()()
2log 2x f x t =+为“倍缩函数”，则t 的取值范围是
A. 10,4⎛
⎫ ⎪⎝⎭ B. 1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C. ()0,1 D.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
15.已知两个平面向量,m n 满足：对任意的R λ∈，恒有()2m n m m n λ+--≥，则 A. m m n =- B. m n = C. m m n =+ D. 2m n =
第Ⅱ卷（非选择题 共55分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
16.已知()4,2a =，则与a 垂直的单位向量的坐标为 .
17.已知()tan tan αββ-=
=()tan 2αβ-= . 18.函数的()0.52log 1x f x x =⋅-零点个数为 .
19.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增，若实数a 满足()(1
2a f f ->，则的取值范围是 .
20.如图，在直角梯形ABCD 中，()//,,2,1,0,AB CD AB BC AB CD BC a a P ⊥===>为线段AD （含端点）上一个动点，设,AP x AD PB PC y =⋅=，对于函数()y f x =，给出
以下三个结论：①当2a =时，函数()f x 的值域为[]1,4；②对于任
意的0a >，均有()11f =；③对于任意的0a >，函数()f x 的最
大值均为4.其中所有正确的结论序号为 .
三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
21. 已知函数()1.21
x f x a =-+ （1）试确定a 的值，使()f x 为奇函数；
（2）判断函数()f x 的单调性，并用定义法证明.
22. 已知O 为坐标原点，
()()
22cos ,1,1,32(,,OA x OB x a x R a R a ==+∈∈为常数)，若.y OA OB =⋅
（1）求y 关于x 的函数解析式()f x ；
（2）若0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，()f x 的最大值为2，求a 的值，并指出函数(),f x x R ∈的单调区间.
23. 有一种新型的洗衣液，去污速度特别快.已知每投放(14k k ≤≤且)k R ∈个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y （克/升）随时间x （分钟）变化的函数关系式近似为()y k f x =⋅，其中()216,059211,51645x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪-⎨⎪-<≤⎪⎩
，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用.
（1）若投放k 个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4（克/升），求k 的值；
（2）若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
24. 如图所示，已知OPQ 的半径为1，圆心角为3
π的扇形，ABCD 是扇形的内接矩形，,B C 两点在圆弧上，OE 是POQ ∠的平分线，
连接OC ,记.COE α∠=
问：角α为何值时，矩形ABCD 的面积最大，并求出最大面积.
25. 对于定义域为D 的函数()y f x =，若同时满足下列条件：①()f x 在D 内单调递增或单调递减；②存在[],a b D ⊆区间，使()f x 在[],a b 上的值域为[],a b ，那么把
(),y f x x
D =∈叫闭函数. （1）求闭函数3
y x =-符合条件②的区间[],a b ； （2
）若函数y k =+
是闭函数，求实数k 的取值范围.。