一阶逻辑基本概念
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藤氓二元谓词G(x , y)：x大于y , a:4 ,
b:5 , c:60 G(bfa) , G(a,c)是两个0元谓词,把⑵中命题符号化为
G(b,a)—G(a,c) 由于G(b,司为真，而G(a,c)为假，所以⑵中命题为假。
三、量词 有了个体词和谓词之后，有些命题还是不能准确的符号化，原因是还缺少 表示个依
的三个简单命题依次符号化为p , q , r ,将推理的形式结构符号化
为：（pAq）一r
由于上式不是重言式，所以不能由它判断推理的正确性。 为了克服命题逻辑的局限性，就应该将简单命题再细分，分析出个体词, 谓词和量词,以期达到表达出个体与总体的内在联系和数量关系,这就 是一
阶逻辑所研究的内容。一阶逻辑也称一阶谓词逻辑或谓词逻辑。
4.1 一阶逻辑的符号化
—,个体词 个体词是指所研究对象中可以独立存
在的具体的或抽象的客体。m，小王， 小李，中国，，3等都可盼为个体词。 将表示具体或特定的客体萌个体词称作个 体常项，一般用小写英文字母a , b , c… 表示；而将表示抽象或泛指的个体词称为 个体变项，常用x , V，z..・表示。称个体变项的取值范围为个体域（或称论 域）。 个体
(2)存在WJ
日常生活和数学中所用的〃存在"，“有一个"，“有的"，〃至少有一 个〃等词统称为存在量词，将它们都符号化为甘。并用女,对等表示个体 域 里有的个体，而用mxF(x) , myG(y)等分别表示个体域里存在个体具有性质F 和存在个体具有性J1G等。
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问:(司能否将Q)符号化为
Vx(M(x) AF(x)) ?
常项或变项之间数量关系的词。称表示个体常项或变项之间数量关系的词为 量词。量词可分两种：
(1)全称*i司 日常生活和数学中所用的〃一切的〃，〃所有的〃，〃每一个〃，"任意 的"，〃凡〃，〃都〃等词可统称为全称量词，将它们符号化为7'。并用 Vx , Vy等表示个体域里斤有个依，而用VxF(x) , VyG(y)等分别表示个体 域里所有 个体都有性质F和都有性质G。
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由例4.2可知,命题(1) , (2)在不同的个体域D］和D2中符号化的形式不
I 一样。主要区别在于，在使用个体域D2时,要将人与其他事物区分开来。
\ 为此引进了谓词M(x),像这样的谓词称为特性谓词。在命题符号化时一定 荽
正确使用特性谓词。
域可以是有穷集合，例如，{:1,2,3}, {a , b , c , d}, {a , b , c，…，x , y ,
z};也可以是无穷集合，例如，自然数 集合N={0,1,2 ,…},实数集合R={x|x是实数}。有一个特殊的个体域， 它是由宇宙间一切事物组成的，称它为全总个
体域。本书在论述或推理中如没有指明 所采用的个体域，都是使用全总个体域。
在命题逻辑中，命题是最基本的单位，对简单命题不再进行分解，并且不考 虑命题之间的内在朕系和数量关系。因而命题逻辑具有局限性，甚至无法判断一 些简单而常见的推理。考虑下面的推理：
凡偶数都能被2整除； 6是偶数。 所以，6能被2整除。 这个推理是我们公认的数学推理中的真命题，但是在命题逻辑中却无法判断它 的正确性。因为在命题逻辑中只能将推理中出现
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」善质上元谓词P(xpx2，…,xQ可以看成以个体域为定义域，以｛0,1｝为值域 %
因而可以将命题看成特殊的谓词。
例4.1将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符号化，并讨论它们的真值: (1)只有2是素数，4才是素数。
解设一元谓词F(x):x是素数,a:2 , b:40 Q)中命题符号化为0元谓词的蕴涵式： F(b)-F(a) 由于此蕴涵前件为假，所以⑴中命题为真。
(2)如果5大于4，则4大于6.
二,谓词 l
谓词是用来刻画个体词性质及个体词
之间相互关系酶考虑下面四个命题：
(1)是无理数。
Q)x是有理数。
(3)小王与小李同岁。
⑷x与y具有关系L.
在Q)中， 是个体制耍，〃…是无理数"是谓词，记为F ,并用F()表示
(1)中命题。在(2)中J建个体变项,"…是有理数〃是谓词，记为G ,用ຫໍສະໝຸດ Baidu(x) 表示
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个体常项 a】,a2,…,取代0X2，..・冬， 使得P(a»a2，..・,急是命题。
有时候将不带个体变项的谓词称为0元谓词，例如，F(a) , G(a,b),
P(alfa2，…,aQ等都是0元谓词。0元谓词不一定是命题，当F , G , P为谓词常 项时，。元谓词为命题。这样一来，命题逻辑中的命题均可以表示成0元谓词，
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三、量词 有了个体词和谓词之后，有些命题还是不能准确的符号化，原因是还缺少 表示个依
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由于上式不是重言式，所以不能由它判断推理的正确性。 为了克服命题逻辑的局限性，就应该将简单命题再细分，分析出个体词, 谓词和量词,以期达到表达出个体与总体的内在联系和数量关系,这就 是一
阶逻辑所研究的内容。一阶逻辑也称一阶谓词逻辑或谓词逻辑。
4.1 一阶逻辑的符号化
—,个体词 个体词是指所研究对象中可以独立存
在的具体的或抽象的客体。m，小王， 小李，中国，，3等都可盼为个体词。 将表示具体或特定的客体萌个体词称作个 体常项，一般用小写英文字母a , b , c… 表示；而将表示抽象或泛指的个体词称为 个体变项，常用x , V，z..・表示。称个体变项的取值范围为个体域（或称论 域）。 个体
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