2020年河南省郑州市八校联考高一(下)期中数学试卷

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.sin（-600°）的值是（）A. B. - C. D. -2.若，则sin2θ=（）A. B. C. D.3.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（）A. 2B. sin 2C.D. 2sin 14.已知向量，，若，则锐角α为（）A. 30°B. 60°C. 45°D. 75°5.已知tanα=3，则=（）A. B. C. D.6.对于非零向量，，下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则，的夹角为锐角7.若A为三角形ABC的一个内角，且sin A+cos A=，则这个三角形是（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 正三角形8.已知向量、满足，，，则一定共线的三点是（）A. A、B、DB. A、B、CC. B、C、DD. A、C、D9.若α、β是锐角△ABC的两个内角，则有（）A. sinα＞sinβB. cosα＞cosβC. sinα＞cosβD. sinα＞cosβ10.同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线对称；③在上是增函数．”的一个函数为（）A. B. C. D.11.已知函数y=A sin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A. A=4B. ω=1C. φ=D. B=412.若，则tanα•tanβ=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.若的最小正周期为，则的最小正周期为______．14.已知平面向量满足，，则在方向上的投影等于______．15.已知cos（α-β）=，sinβ=-，且α（0，），β∈（-，0），则sinα=______．三、解答题（本大题共7小题，共75.0分）16.已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是以原点O为圆心的单位圆上的两点，∠P1OP2=θ（θ为钝角）．若sin（θ+）=，则x1x2+y1y2的值为______．17.设，是两个相互垂直的单位向量，且，．（Ⅰ）若，求λ的值；（Ⅱ）若，求λ的值．18.计算下列各式的值：（1）cos+cos+cos+cos；（2）sin420°cos330°+sin（-690°）cos（-660°）．19.已知函数在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为（，2）（，-2）．（1）求A和ω的值；（2）已知α∈（0，），且，求f（α）的值．20.已知函数．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间上所有根之和．21.如图，在平行四边形ABCD中，||=3，||=2，=，=，与的夹角为．（1）若=x+y，求x、y的值；（2）求•的值；（3）求与的夹角的余弦值．22.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，米，记∠BHE=θ．（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；（2）若，求此时管道的长度L；（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．答案和解析1.【答案】C【解析】解：sin（-600°）=sin（-720°+120°）=sin120°=sin（180°-60°）=sin60°=，故选：C．原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2.【答案】C【解析】解：若，则 sin（-θ）=-，∴sin2θ=cos（-2θ）=1-2=1-2•=，故选：C．利用诱导公式、求得 sin（-θ）的值，再利用诱导公式、二倍角公式求得sin 2θ的值．本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查弧长公式，求解本题的关键是利用弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形求半径，属于基础题．连接圆心与弦的中点，则得到一个弦一半所对的角是1弧度的角，由于此半弦长是1，故可解得半径是，进而利用弧长公式求弧长即可．【解答】解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角为1弧度，故半径为，这个圆心角所对的弧长为2×=，故选：C．4.【答案】C【解析】解：向量，，，∴=sin2a∴sinα=±，又∵α为锐角，∴α=45°，故选：C．根据两个向量平行，交叉相乘差为0，易得到一个三角方程，根据α为锐角，我们易求出满足条件的值本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，及三角函数的化简求值，其中根据两个向量平行，交叉相乘差为0，构造三角方程是解答本题的关键．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．把要求值的式子化弦为切求解．【解答】解：∵tanα=3，∴===．故选：D．6.【答案】C【解析】解：A：若，则或⊥（-），故A错误；B：若，则||+||≥|+|=||，故B错误；C：⇔•=0⇔，故C正确；D：若，则，的夹角为锐角或0，故D错误．故选：C．对选项逐个进行分析即可本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查了三角函数的平方关系和正弦余弦函数的单调性，属于基础题．利用sin A+cos A=，两边平方可得sin A cosA=-，进而判断出A是钝角．【解答】解：∵sin A+cos A=两边平方可得：sin2A+cos2A+2sin A cosA=，化为sin A cosA=-，∵A∈（0，π），∴sin A＞0，cos A＜0．∴A为钝角．∴这个三角形是钝角三角形．故选：A．8.【答案】A【解析】解：由向量的加法原理知==2，又两线段过同点B，故三点A，B，D一定共线．故选：A．证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点本题考点平面向量共线的坐标表示，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于向量知识的应用题，也是一个考查基础知识的基本题型．9.【答案】C【解析】【分析】根据锐角三角形角的关系，结合三角函数的单调性进行判断即可．本题主要考查三角函数值的大小比较，结合锐角三角形的性质结合三角函数的单调性是解决本题的关键．【解答】解：∵α、β是锐角△ABC的两个内角，∴α+β＞90°，∴90°＞α＞90°-β＞0°，∴1＞sinα＞cosβ＞0，故选：C．10.【答案】D【解析】解：由于y=sin（+）的最小正周期为=4π，不满足①，故排除A．由于y=cos（-）的最小正周期为=4π，不满足①，故排除B．由于y=cos（2x+），在上，2x+∈[-，]，故y=cos（2x+）在上没有单调性，故排除C．对于y=sin（2x-）的最小正周期为=π；当时，函数取得最大值为1，故图象关于直线对称；在上，2x-∈[-，]，故y=sin（2x-）在上是增函数，故D满足题中的三个条件，故选：D．利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（-）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ-∵∴φ=故选：C．先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中-求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．本题主要考查了由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．考查了学生基础知识的运用和图象观察能力．12.【答案】D【解析】【分析】利用两角和与差的余弦公式，化简，求出sinαsinβ与cosαcosβ的关系，然后求出tanα•tanβ．本题考查两角和与差的余弦函数，弦切互化，考查计算能力，是基础题．【解答】解：因为，所以；．故选：D．13.【答案】【解析】解：∵的最小正周期为，∴T==得ω=8，则的最小正周期为T=，即g（x）的周期为，故答案为：．结合三角函数的周期公式进行求解即可．本题主要考查三角函数周期的计算，利用正弦函数的周期公式T=以及正切函数的周期公式T=是解决本题的关键．注意两者的周期公式不相同．14.【答案】-【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积运算，向量的投影，属于中档题．两边平方得出，再代入投影公式计算投影．【解答】解：∵||=，∴=3，即1+2+4=3，∴=-1．∴在方向上的投影为=-．故答案为：．15.【答案】【解析】解：∵α∈（0，），β∈（-，0），∴α-β∈（0，π），又cos（α-β）=，sinβ=-，∴sin（α-β）==，cosβ==，则sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ=×+×（-）=．故答案为：由α和β的范围求出α-β的范围，根据cos（α-β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α-β）的值，再由sinβ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosβ的值，然后将所求式子中的角α变为（α-β）+β，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围．16.【答案】-【解析】解：依题意知=（x₁，y₁）=（x₂，y₂）•=x1x2+y1y2，另外P₁，P₂在单位圆上，||=||=1•=||•||cosθ=1•1•cosθ=cosθ，∴x1x2+y1y2=cosθ，∵sin（θ+）=sinθ+cosθ=，①sin2θ+cos2θ=1，②，且θ为钝角联立①②求得cosθ=-．故答案为：-．根据题意表示出•，根据向量数量积的运算求得x1x2+y1y2=cosθ，进而根据sin（θ+）的值，求得cosθ的值．本题主要考查了是平面向量的运算，平面向量数量积的应用．注重了对学生基础知识的考查．17.【答案】解：（Ⅰ）则存在唯一的μ使，∴=．∴，∴当时，；（Ⅱ）则，∴化简得，∵，是两个相互垂直的单位向量，∴λ=2∴当λ=2时，．【解析】（Ⅰ）则存在唯一的μ使，解得所求参数的值．（Ⅱ）则，解得所求参数的值．本题考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式得应用．18.【答案】解：（1）cos+cos+cos+cos=cos+cos+cos（π-）+cos（π-）=cos+cos-cos-cos=0．-------------------（6分）（2）原式=sin（360°+60°）cos（360°-30°）+sin（-2×360°+30°）•cos（-2×360°+60°）=sin 60°cos 30°+sin 30°cos 60°=×+×=1．-------------------------------------（12分）【解析】（1）利用诱导公式化简求解即可．（2）利用诱导公式以及两角和的正弦函数，特殊角的三角函数求解即可．本题考查诱导公式以及两角和与差的三角函数，三角函数化简求值，考查计算能力．19.【答案】解：（1）∵某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为（，2）（，-2）．∴A=2，T=2×（-）=π∴ω==2∴A=2，ω=2（2）∵α∈（0，），且，∴cosα=∴sin2α=，cos2α=1-2sin2α=-由（1）知∴=sin2α-cos2α=+=【解析】（1）由函数图象最高点和最低点纵坐标可得振幅A值，相邻最高和最低点间的横坐标之差为半个周期，即可求得函数的周期，进而得ω的值（2）先利用同角三角函数基本关系式和二倍角公式计算sin2α、cos2α的值，再利用（1）中结论，将f（α）化简，代入sin2α、cos2α的值求值即可本题主要考察了y=A sin（ωx+φ）型函数的图象和性质，三角变换公式在三角化简和求值中的应用，属基础题20.【答案】解：（1）=1+cos2x+sin2x+2=3+2sin（2x+），由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z，（2）将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到y=3+2sin（4x+），再将所得的图象向右平移个单位y=g（x）的图象即g（x）=3+2sin[4（x-）+]=3+2sin（4x-），由g（x）=4得g（x）=3+2sin（4x-）=4，得sin（4x-）=，得4x-=2kπ+或4x-=2kπ+，得x=+或x=+，k∈Z，∵x∈，∴k=0时，x=或，即方程g（x）=4在区间上所有根之和为+=．【解析】（1）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可．（2）利用三角函数的图象变换关系求出g（x）的解析式，结合方程进行求即可解．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的图象变换求出函数的解析式是解决本题的关键．21.【答案】解：（1）∵||=3，||=2，=，=，∴=3+2=x+y，∴x=3，y=2．（2）由向量的运算法则知，=2-3，∴．（3）∵与的夹角为，∴与的夹角为，又，∴====，∴====，设与的夹角为θ，可得，∴与的夹角的余弦值为．【解析】（1）由平行四边形法则得，而分别是，再结合数乘运算、平面向量基本定理中的“唯一性”不难求出x、y；（2）由题意可以为基底，将用基底表示，再利用内积的定义及运算可求得•的值；（3）直接套用夹角公式cos＜，＞=计算．利用平面向量基本定理解题，一般先以不共线的、模长及夹角都知道的两个向量作为基底，然后利用基底把已知的、所求的向量表示出来，再进行有关的运算化简和证明；数量积的考查是重点也是热点，一般是距离和角的计算居多，要以数量积的定义为出发点进行思考，要注意结合图形寻找解题思路．22.【答案】解：（1），，．由于，，所以，所以．所以，．（2）当时，，（米）．（3），设sinθ+cosθ=t，则，所以．由于，所以．由于在上单调递减，所以当即或时，L取得最大值米．答：当或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米．【解析】（1）由∠BHE=θ，H是AB的中点，易得，，，由污水净化管道的长度L=EH+FH+EF，则易将污水净化管道的长度L表示为θ的函数．（2）若，结合（1）中所得的函数解析式，代入易得管道的长度L的值．（3）污水净化效果最好，即为管道的长度最长，由（1）中所得的函数解析式，结合三角函数的性质，易得结论．本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型及解三角形，根据已知条件构造出L关于θ的函数，是解答本题的关键．。