抛物线的几个常见结论及其应用
抛物线结论及证明
抛物线的常用结论抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路.结论1.若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124p x x =，212y y p =-.即12,,2p x x 成等比数列.证明：焦点坐标为F(2p,0).设直线AB 的方程为：2p x my =+2222202y px y pmy p p x my ⎫=⎪⇒--=⎬=+⎪⎭2222121212122()224y y y y y y p x x p p p ⇒=-⇒=⋅= 2222()44p p p -== 推广：结论2.若AB 是过定点(,0)(0)P t t ≠的抛物线2(0)y ax a =≠的弦，且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：212x x t =，12y y at =-.即12,,x t x 成等比数列.（注：点P 不一定在抛物线的内部，开口向上或向下的情形可与此类推）证明：设直线AB 的方程为：x my t =+22y ax y amy at x my t ⎫=⇒--=⎬=+⎭222221212121222()()y y y y at y y at x x t a a a a-⇒=-⇒=⋅=== 特别地，当t a =时，212y y a =-，212.x x a =故12120x x y y OA OB +=⇒⊥. 可用文字叙述为：结论3.（1）过抛物线内对称轴上到顶点的距离等于通径的定点的弦对着顶点处的角是直角.（2）若抛物线的弦对着顶点处的角是直角，则弦过定点，定点是抛物线内部对称轴上到顶点的距离等于通径的点.以上性质可叙述为：抛物线的定点弦，端点坐标积恒定.结论4.过抛物线的准线与轴的交点作两条切线，则两切线垂直.当开口向左或向右时，切点的横坐标等于焦点的横坐标. 当开口向上或向下时，切点的纵等于焦点的纵坐标.（注：对抛物线的方程是标准方程时适用）推广：结论5.过抛物线2y ax =外一点(,0)t （(0)at <作抛物线的两切切线，则切点横坐标为 -t.证明：设两条切线中的任一条的方程为：x my t =+，220y ax y amy at x my t ⎫=⇒--=⎬=+⎭(*) ∵直线与抛物线相切.∴△=2222()41()040(4)0am at a m at a am t --⨯-=⇒+=⇒+= ∵ a ≠ 0 ∴am 2+4t =024am t ⇒=-.由（*）知：切点的纵坐标为2am . 代入x my t =+，得切点横坐标为2422am tt t t -+=+=-. 结论6.过抛物线2(0)y ax a =≠上一点P 00(,)x y 的切线的方程是：00()2ay y x x =+. 设过点P 00(,)x y 的切线的方程为：00()x x m y y -=-,则00x my x my =+-把00x my x my =+-代入2y ax =并整理，得200()0y amy a x my ---=由直线与抛物线相切知：22200004()0()2(2)40a m a x my am am y ax ∆=+-=⇒-+=由于点00(,)P x y 在抛物线上，故200y ax =，于是2220002()2()(2)(2)0(2)0y am am y y am y m a-+=⇒-=⇒=切线方程为：220000000002()()222y a a a x x y y y y y x x y y x x y a -=-⇒-=-⇒=-+ 00000()222a a ay y x x ax y y x x =++⇒=+. 结论7.过抛物线2(0)y ax a =≠的处侧一点00(,)P x y 作两条切线，则过两切点的直线方程为：00()2ay y x x =+ 证明：设两个切点为111222(,),(,)T x y T x y . 过111(,)T x y 的切线1PT 的方程为：11()2ay y x x =+由于点00(,)P x y 在切线1PT 上，故1001()2a y y x x =+，即：0110()2ay y x x =+ ∴点111(,)T x y 在直线00()2ay y x x =+上.同理可证：点222(,)T x y 在直线00()2ay y x x =+ ∴过两切点的直线方程为：00()2ay y x x =+ 结论8.过抛物线的两切线交点和切点弦中点的直线平行于对称轴或与对称轴重合，弦在对称轴上的截距与两切线交点的一次坐标反号.下面就抛物线方程为2(0)y ax a =≠的情形加以证明.证明：过抛物线2(0)y ax a =≠的处侧一点00(,)P x y 作两条切线，则过两切点的直线方程为：0000()22a y y x x ax y y ax =+⇒=-，代入2y ax =并整理，得20020y y y ax -+= 设两个切点为111222(,),(,)T x y T x y .12120022y y y y y y ++=⇒=. ∴切点弦120TT y 的中点的纵坐标为，与点P 的纵坐标示相同，故切点12T T 的中点和点P 的直线平于对称轴x 轴或与x 轴重合.把当0y =代入00()2ay y x x =+解得：0x x =-.即切点弦在对称轴上的截距与点的一次字母坐标，即横坐标互为相反数.以抛物线2(0)y ax a =≠内部一点00(,)P x y 为中点的弦所在的直线的方程是：200022a a y y x y x -=-. 结论9.抛物线的顶点为O,焦点为 F,焦准距为p ,抛物线上任一点为P,设∠OFP=θ, 证明：|0||||cos(180)EF PF θ=+-||cos p PF θ=-(1cos )||PF p θ⇒+=||1cos pPF θ⇒=+由前面结论知：0||1cos(180)1cos p pJF θθ==+-- 故||||||1cos 1cos p p PJ PF JF θθ=+=++-＝22221cos sin p pθθ==- 当090θ=时，2sin θ的最大值为1，22sin p θ有最小值22.1pp =焦点弦PJ 最短.这时的焦点弦称为通径.特别地，抛物线2(0)y ax a =≠的倾斜角为非直角θ的弦点弦长＝22||||1tan 1a a kθ=++. 抛物线2(0)x ay a =≠的倾斜角为非直角θ的弦点弦长＝2||(1tan )a θ+＝2||(1)a k + 结论10.通径是最短的焦点弦.结论11 焦点弦和顶点围成的三角形的面积等于半通径的平方除以弦与轴的夹角的正弦的商的一半.结论12.抛物线22(0)y px p =>（p 是焦准距）的焦点的两端点为1122(,)(,)A x y B x y 和，则1||2p FA x =+，2||2pFB x =+， 12||AB p x x =++ 例：已知过抛物线29y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为 .解：12=29sin α（其中α为直线AB 的倾斜角），则sin 2α=±，所以直线AB 倾斜角为3π或23π. 结论13：三个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.（2）以焦点弦在准线上的射影为直径的圆和焦点弦相切. （3）以焦点弦为直径的圆和过顶点垂直于轴的直线相切.已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.(2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN 为直径的圆与直线AB 相切.证明：(1)设AB 的中点为Q,过A 、Q 、B 向准线l 作垂线， 垂足分别为M 、P 、N ，连结AP 、BP.由抛物线定义：AM AF =，，∴111()()222QP AM BN AF BF AB =+=+=， ∴以AB 为直径为圆与准线l 相切（2）作图如（1），取MN 中点P ，连结PF 、MF 、NF ，∵AM AF =，AM ∥OF ，∴∠AMF=∠AFM ，∠AMF=∠MFO ，∴∠AFM=∠MFO.同理，∠BFN=∠NFO ， ∴∠MFN=12（∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO ）=90°， ∴12MP NP FP MN === ∴∠PFM=∠FMP∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP ⊥AB ∴以MN 为直径为圆与焦点弦AB 相切. 第三个相切的证明省略.结论14.焦点弦在准线上的射影对焦点处的角是直角.结论15.一条焦点弦的两条焦半径的倒数为定值，定值等于焦准距倒数的2倍. 下面对特殊情形加以证明：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF+为定值.证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12p AF x =+，22pBF x =+，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB -p ，且由结论一知：2124p x x =.则：212121211()()()2224AF BF AB AB p p p p AF BF AF BF x x x x x x ++===⋅+++++ =222()424AB p p p p AB p =+-+（常数） 练习：1. 过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P Q ，两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p q ，，则11p q+= 【解析：化为标准方程，得21(0)x y a a =>，从而12p a=．取特殊情况，过焦点F 的弦PQ 垂直于对BN BF =BAMNQP yxO FO A MNP yxF B称轴，则PQ 为通径，即12PQ p a ==，从而12p q a==，故114a p q +=】2.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A B ，两点．点C 在抛物线的准线上，且BC x ∥轴．证明直线AC 经过原点O ．【证明：抛物线焦点为02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，．设直线AB 的方程为2p x my =+，代入抛物线方程，得2220y pmy p --=．若设1122()()A x y B x y ，，，，则212y y p =-． BC x ∵∥轴，且点C 在准线12CO p k y =；又由2112y px =，得1112AO y p k x y ==， 故CO AO k k =，即直线AC 经过原点O ．】 3.已知抛物线的焦点是(11)F ，，准线方程是20x y ++=，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程．【解：设()P x y ，是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义得=．整理，得222880x y xy x y +---=，此即为所求抛物线的方程．抛物线的对称轴应是过焦点(11)F ，且与准线20x y ++=垂直的直线，因此有对称轴方程y x =．设对称轴与准线的交点为M ，可求得(11)M --，，于是线段MF 的中点就是抛物线的顶点，坐标是(00)，】 备选1.抛物线的顶点坐标是(10)A ，，准线l 的方程是220x y --=，试求该抛物线的焦点坐标和方程．解：依题意，抛物线的对称轴方程为220x y +-=．设对称轴和准线的交点是M ，可以求得6255M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．设焦点为F ，则FM 的中点是A ，故得焦点坐标为4255F ⎛⎫⎪⎝⎭，． 再设()P x y ，是抛物线上的任一点，根据抛物线的定义得化简整理得22444120x y xy x y ++--=，即为所求的方程． 例2已知A B ，为抛物线24x y =上两点，且OA OB ⊥，求线段AB 中点的轨迹方程．解析：设OA k t =，1OB OB OA k t ⊥⇒=-，据t 的几何意义，可得2244(44)A t t B t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，．设线段中点()P x y ，，则222214142214142.2x t t t t y t t t t ⎧⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪=+=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，消去参数t 得P 点的轨迹方程为22(4)x y =-．抛物线焦点弦性质1.1224p x x ⋅=，122y y p ⋅=-;2. 123222()2sin p p AB x x p x α=++=+= 3. '90AC B ∠=o ，''90A FB ∠=o4. 以AB 为直径的圆与准线l 相切，以AF 和BF 为直径的圆都与y 轴相切；5.112AF BF p+=; 6. A 、O 、'B 三点共线；B 、O 、'A 三点共线；7. 22sin AOB P S α=V ，23()2AOB S PAB =V （定值）；(8. 1cos P AF α=-，1cos P BF α=+，22||1cos p AB α==-9. 'BC 垂直平分'B F ，'AC 垂直平分'A F ；10.'C F AB ⊥；12.11'('')22CC AB AA BB ==+；13.AB 3=p k y ；14.1OA k 15.412111y y y =+；16.1212tan =22y y p p x x α=--;17A'B'4AF BF =⋅;18.1C'F A'B'2=.椭双抛遇到焦半径可转成点准距。
证明抛物线焦点弦的18个结论
证明抛物线焦点弦的18个结论
抛物线是一种椭圆形的函数图形，它是由抛物线焦点弦决定的。
抛物线焦点弦是指抛物线的两个焦点和连接它们的弦段。
围绕抛物线焦点弦可以建立18个结论。
1. 两个焦点之间的距离与抛物线弦段长度相同，即它们之间的距离等于抛物线弦段的1倍。
2. 弦段连接抛物线的两个焦点，因此，任何一点的垂直距离都等于其焦点的距离。
3. 对抛物线的焦点取中对称，则其两点之间的距离一定是直线的1倍．
5. 相对于一个焦点而言，另一个焦点总是处于弦段的同一边，而且位于弦段上面。
6. 抛物线是对称的，即抛物线的对称轴是连接两个焦点的直线段。
8. 抛物线准线与切线交于抛物线的焦点。
12. 对任意点A而言，从A点向任意点B连线便构成一条直线，此直线连接A点和B 点的距离有正有负，正值表示线段到抛物线焦点的距离是它的弦段长度所乘以2倍的直线段距离，负值则表示抛物线焦点到线段的距离也是它的弦段长度乘以2倍的直线段距离。
17. 抛物线的对称轴与它的弦段垂直，因此它的弦段将对称轴分为2个相等的距离。
以上就是抛物线焦点弦的十八个结论，也是其对称性规律、准确性和完整性的总结。
抛物线焦点弦的这些结论，既给抛物线函数提供了数学化的更直观的解释，又为描述抛物线的属性提供了一定的参考依据。
抛物线的有关结论
圆锥曲线中抛物线的有关结论山东省德州市实验中学 肖成荣由于抛物线的离心率是常数，导致了许多自身具有的规律性，再加上抛物线的方程比较简单，所以灵活性就更加显现，了解了抛物线的规律性后在处理抛物线的相关问题时会起到事半功倍的效果。
下面就抛物线的结论作以归整，供参考！ 一、焦点)0,2(pF 处的结论 1、焦半径长：),(11y x A ，)0,2(p F ，2||1p x AF +=；2、焦点弦长：),(11y x A 、),(22y x B 在抛物线上，且AB 过焦点F ，则p x x AB ++=21||，或θ2sin 2||pAB =（θ为直线l 与抛物线对称轴的夹角）；3、过焦点的直线与抛物线相交于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂足分别为M 、N ，MN 的中点为G 。
（1）两相切：①以焦半径AF 为直径的圆与y 轴相切；②以焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.（2）三直角：①∠AGB ②090=∠MFN ③GF （3）六定值：),(11y x A 、),(22y x B 的乘积是定值：21x x =243p OB OA -=⋅；②n BF m AF ==,mn GF =||.③22sin AOBp S θ∆= 二、点)0,(p D 处的结论例：抛物线px y 22=上的点到)0,(a A 的最近距离是多少？结论：)0,(p D 是抛物线px y 22=上到点)0,(a A 的距离最近的点为顶点的分界点，)0,(a A 在)0,(p D 左边顶点到点)0,(a A 的距离最近，右边横坐标为p a -的那两个抛物线上的点到点)0,(a A 的距离最近. 三、点)0,2(p E 处的结论B A ,是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，OB OA ⊥，),(11y x A ，),(22y x B ，则ⅰ.2214p x x =，2214p y y -=；ⅱ.直线AB 过定点)0,2(p ；ⅲ.求AB 中点的轨迹方程；ⅳ.过O 向AB 引垂线，求垂足T 的轨迹方程；ⅴ.求AOB ∆面积的最小值.结论：),(11y x A 、),(22y x B 是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，O 为抛物线的顶点，（1）090=∠AOB ⇔直线AB 过点)0,2(p E .（2）2214p x x =，2214p y y -=.四、准线上的有关结论过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点B A ,，再以B A ,为切点作抛物线的切线，其交点在抛物线的准线上，且两切线垂直。
抛物线经典性质总结30条
抛物线经典性质总结30条1.已知抛物线y=2px(p>0)，AB是抛物线的焦点弦，点C 是AB的中点。
AA’垂直准线于A’，BB’垂直准线于B’，CC’垂直准线于C’，CC’交抛物线于点M，准线交x轴于点K。
证明：CC’是梯形AA’BB’的中位线，即|AB|=2|CC’|。
2.证明：|BF|=x^2/(2p)。
3.证明：CC’=AB=(AA’+BB’)/2.4.证明：以AB为直径的圆与准线L相切。
5.证明：∠A’FB’=90°。
6.证明：AA’FK，∴∠A’FK=∠FA’A；|AF|=|AA’|，∴∠AA’F=∠AFA’；同理可证∠B’FK=∠XXX，得证。
7.证明：C’F= A’B’=C’A’=C’B’。
8.证明：AC’平分∠A’AF，BC’平分∠B’BF，A’F平分∠AFK，B’F平分∠XXX。
9.证明：C’F垂直AB，即C’F⋅AB=0.10.证明：AF=(y+y1)/2p(1-cosα)，BF=(y2-y)/(2p(1+cosα))。
11.证明：AF/BF=p/(1-cosα)。
12.证明：点A处的切线为y=y1+p(x+x1)。
1.证明y = 2px的两种方法：方法一：代入y = kx^2求解k，得到k = 2p，证毕。
方法二：对y = 2px两边求导得到2yy' = 2p，解出y' = p/x，证毕。
2.证明切线AC'和BC'交于焦点F：易证点A处的切线为y = px + py1，点B处的切线为y = px + py2，解得两切线的交点为C'(-p(y1-y2)。
(y1+y2)/2)，证毕。
3.对于抛物线y^2 = 2px，过准线上任一点P(-2p。
t)作切线，证明过两切点Q1、Q2的弦必过焦点，且PQ1⊥PQ2：设切点为Q(x。
y)，则有y' = p/x，代入y^2 = 2px得到x = y^2/(2p)，进而得到Q1、Q2的坐标。
抛物线焦点弦22条结论
抛物线焦点弦22条结论抛物线是一种经典的数学曲线，被广泛应用于物理学、工程学、计算机图形学等领域。
在研究抛物线的性质和应用过程中，焦点和弦是两个重要的概念。
本文将介绍抛物线焦点弦的22条结论。
1. 抛物线的焦点是由平行于抛物线的直线反射后汇聚而成的点。
2. 抛物线的焦点是离抛物线顶点等距离的点。
3. 抛物线的焦点是所有平行于抛物线的直线的交点。
4. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点的对称轴的交点。
5. 抛物线的焦点是所有与抛物线相切的直线的交点。
6. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点并且与抛物线平行的直线的交点。
7. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点并且与抛物线垂直的直线的交点。
8. 抛物线的焦点是所有经过抛物线的两个端点并且与抛物线垂直的直线的交点。
9. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线切线垂直的直线的交点。
10. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线切线平行的直线的交点。
11. 抛物线的焦点是所有与抛物线相交的直线的交点。
12. 抛物线的焦点是所有通过抛物线的两个端点且与抛物线相交的直线的交点。
13. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线切线相交的直线的交点。
14. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线切线平行且相交于抛物线的焦点的直线的交点。
15. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线切线垂直且相交于抛物线的焦点的直线的交点。
16. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点并且与抛物线切线平行于抛物线的对称轴的直线的交点。
17. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点并且与抛物线切线垂直于抛物线的对称轴的直线的交点。
18. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线对称轴平行的直线的交点。
19. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线对称轴垂直的直线的交点。
20. 抛物线的焦点是所有通过抛物线的两个端点且与抛物线对称轴平行的直线的交点。
21. 抛物线的焦点是所有通过抛物线的两个端点且与抛物线对称轴垂直的直线的交点。
抛物线的有关结论
抛物线的有关结论由于抛物线具有常数离心率，因此具有许多自身规律性。
加上抛物线方程相对简单，使得其灵活性更加突出。
了解这些规律性可以在处理相关问题时事半功倍。
下面整理了抛物线的结论以供参考。
一、焦点F(p22sin二、点D(p,)处的结论对于抛物线y2=2px，点D(p,)是到点A(a,)距离最近的点，其中A为抛物线上的一点，且A为顶点的分界点。
当A(a,)在D(p,)左侧时，右侧横坐标为a-p的两个点到点A(a,)的距离最近。
三、点E(2p,)处的结论设A(x1,y1)和B(x2,y2)是抛物线y2=2px上的两点，且OA 垂直于OB。
则有以下结论：1.焦半径长：AF为直线FB上的点到焦点F的距离。
2.焦点弦长：AB为过点A和B的直线，且过焦点F。
|AB|=x1+x2+p或2psinθ。
3.过焦点F的直线与抛物线相交于A和B两点，分别过A和B两点作准线的垂线，垂足分别为M和N，MN的中点为G。
1) 两相切：以焦半径AF为直径的圆与y轴相切。
以焦点弦AB为直径的圆与抛物线准线相切。
2) 三直角：①∠AGB=90°；②直线AB过定点(2p,)；③求AB中点的轨迹方程。
3) 六定值：焦点弦两端点MA和RA；直线AB与抛物线的交点C；过O向AB引垂线，垂足T的轨迹方程；求ΔAOB 面积的最小值。
四、准线上的有关结论对于抛物线y2=2px，点P(x,y)在准线上，其横坐标为p2/x，纵坐标为-py/2x+p。
其中x和y的乘积为定值：x1x2=4p2.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点A、B，以A、B 为切点作抛物线的切线，交点在抛物线的准线上，并且两条切线垂直。
反过来，准线上任意一点做抛物线的切线有两条，且两条切线垂直，两切点连线过抛物线的焦点。
下面对上述结论进行证明。
一、焦点F(p/2,0)处的结论1.焦半径长：设点A(x1,y1)，则|AF|=x1+ p/2.证明：根据抛物线的定义，|AF|=AM=x1+ p/2.2.焦点弦长：设点A(x1,y1)、B(x2,y2)在抛物线上，且AB 过焦点F，则|AB|=x1+x2+p，或|AB|=2p*sinθ（θ为直线l与抛物线对称轴的夹角）。
高考复习中抛物线几个常见结论及其应用
抛物线的几个常见结论抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。
结论一：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124p x x =，212y y p =-。
证明：因为焦点坐标为F(2p,0),当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为： ()2py k x =-，由2()22p y k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得: 2220ky py kp --= ∴212y y p =-，2242121222244y y p p x x p p p =⋅==。
当AB ⊥x 轴时，直线AB 方程为2px =，则1y p =，2y p =-，∴212y y p =-，同上也有：2124p x x =。
例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF+为定值。
结论二：（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α=（α≠0）。
（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。
证明：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线AB:()2p y k x =- 由2()22p y k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得:,2220ky py kp --= ∴122py y k+=，212y y p =-，∴12AB y -222222(1)2(1tan )2tan sin p k p P k ααα++===。
易验证，结论对斜率不存在时也成立。
（2）由（1）：AB 为通径时，90α=，2sin α的值最大，AB 最小。
例：已知过抛物线29y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为 。
结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。
(完整版)抛物线的常见结论
抛物线的常见结论一、知识点总结 1. 抛物线的弦长公式2122122124)(11x x x x k x x k l -+•+=-+=，其中k 是弦所在直线的斜率，21,x x 是交点的横坐标，本表达式不包含斜率不存在的情况。
2122122124)(11y y y y m y y m l -+•+=-+=，其中弦长所在直线方程为b my x +=，21,y y 是交点的纵坐标，本表达式包含斜率不存在的情况。
2. 抛物线的焦点弦对于抛物线，022>=p px y ，，倾斜角为α的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，过A,B 做抛物线准线的垂线，垂足分别为C,D ，那么有：①221221,4p y y p x x -== ABF CDOα由⎪⎩⎪⎨⎧+==222p my x pxy 得0222=--p pmy y （＊），因此⎪⎩⎪⎨⎧==-=44)(2222121221p p y y x x p y y ②焦点弦长p x x AB ++=21，焦点弦长α2sin 2P AB =ααsin 4)(sin 2122121y y y y y y AB -+=-=，结合（＊）式与αtan 1=m 得： ααααααααααsin sin sin sin cos 2sin 1tan 12sin 4tan 4sin 4422222222222+=+=+=+=p p p p p m p ABααα22sin 2sin sin 12p p ==③PBF AF 211=+ 简单证明如下:p p p y y p y y PBF AF BF AF BF AF 222sin sin sin 211221212====+=+ααα ④焦点三角形面积αsin 22P S =简单证明如下：以AB 为底，以O 到AB 的距离为高，该三角形面积课表示为：ααααsin 2sin 2sin 221sin 2122p p p OF AB S AOB=⨯⨯== ⑤焦点弦相关的几何关系： a. 以AF/BF 为直径的圆与y 轴相切b. 以AB 为直径的圆与准线相切，切点与焦点连线垂直于AB.c. 以CD 为直径的圆与AB 相切d. A,B 在准线上的投影对F 的张角为90°，︒=∠90CFDe.以A,B 为切点分别做两条切线，两切线的交点在准线上；在准线上取一点做抛物线的切线，两切点所在直线一定经过抛物线的焦点。
关于抛物线的十个最值问题
竭诚为您提供优质的服务，优质的文档，谢谢阅读/双击去除关于抛物线的十个最值问题本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题,得到了十个有趣的结论.为方便读者摘用,现用定理形式叙述如下:定理1.抛物线的所有焦半径中,以过顶点的焦半径为最短.证明:不妨设抛物线的极坐标方程为ρ= ,则显然有ρ≥ ,其中等号成立当且仅当θ=2kπ+π(k∈Z)即焦半径通过抛物线的顶点时.证毕.定理2.抛物线的过焦点的所有弦中,以抛物线的通径为最短.证明:设抛物线极坐标方程为ρ= ,焦点弦为Ab,且设A(ρ1,θ),b(ρ2,θ+π),则有│Ab│=ρ1+ρ2= + = ≥2p=通径长,其中等号成立当且仅当θ=kπ+π/2(k∈Z)即弦Ab为通径时.证毕.定理3.设A(a,0)是抛物线y2=2px(p＞0)的对称轴上的定点,m(x,y)是抛物线上的动点,则│mA│min=证明:由│mA│2=(x-a)2+y2=(x-a)2+2px=x2-2(a-p)x+a2 =[x-(a-p)]2+p(2a-p),并且注意到x∈[0,+∞),立知结论成立.证毕.定理4.设A(a,b)是抛物线y2=2px(p＞0)内一定点,F是焦点,m是抛物线上的动点,则(│mA│+│mF│)min=a+p/2.Q m A(a,b)证明:如图1所示,作AQ⊥准线L:x=-p/2于Q,则知o F x(│mA│+│mF│)min=│AQ│=a-(-p/2)=a+p/2.证毕. 图1定理5.设线段Ab是抛物线y2=2px(p＞0)的过焦点的弦,分别以A、b 为切点的抛物线的两条切线相交于点m,则三角形Abm的面积的最小值为p2.证明:设A(x1,y1),b(x2,y2),则由A、F、b三点共线可得:x1y2-x2y1=p/2.(y2-y1) (1)于是利用(1)式由两切线方程yAm:y1y=p(x+x1),Abm:y2y=p(x+x2),m F x易得m的坐标(x,y)适合: b∵kmF·kAF=-1,∴mF⊥Ab,即│mF│是△mAb的Ab边上的高. 图2∵│mF│≥│FK│(焦点F到准线x=-p/2的距离)=p,又由定理2知│Ab│≥2p(通径长),∴s△mAb=1/2·│Ab│·│mF│≥1/2·2p·p=p2,因其中等号当且仅当Ab⊥x轴时成立,故三角形mAb的最小值为p2.证毕.定理6.过抛物线y2=2px的顶点o引两条互相垂直的动弦oA和ob,则三角形oAb的面积的最小值为4p2. y证明:设A(x1,y1),b(x2,y2),则由oA⊥ob得Ax1x2+y1y2=0 (1)o x将y12=2px1,y22=2px2代入(1)立得:x1x2=4p2 (2)于是b(s△oAb)2=1/4·│oA│2·│ob│2图3=1/4·(x12+y12)·(x22+y22)=1/4·(x12+2px1)·(x22+2px2)=1/4·[(x1x2)2+2px1x2(x1+x2)+4p2x1x2]≥1/4.[(x1x2)2+2px1x2(2√x1x2)+4p2x1x2] (3)将(2)式代入(3)则得(s△oAb)2≥16p4,从而s△oAb≥4p2,因其中等号当x1=x2=2p时取到,故三角形oAb的面积的最小值为4p2。
与抛物线焦点弦有关的几个结论
与抛物线焦点弦有关的几个结论
抛物线是一种二次曲线，它的两个焦点和准线重要的概念。
在抛物线的作图中，弦也
是一个非常重要的元素。
抛物线的焦点弦指的是通过焦点连成的直线，它可以有助于更好地了解抛物线的特点。
下面将介绍抛物线与焦点弦之间的几个结论：
一、抛物线的焦点弦与抛物线的准线垂直：抛物线的准线是一条垂直于x轴或y轴的
直线，而抛物线的焦点弦也是垂直于这条准线的。
二、焦点弦是抛物线的对称轴：抛物线是一个对称图形，焦点弦也是抛物线的一个
对称轴。
因此，在进行图形操作时，如旋转、剪切等，我们可以以焦点弦作为对称轴，借
助它来操作图形。
三、抛物线的焦点距离等于它的准线距离的两倍：根据抛物线的定义，其准线距离为
它左右两个焦点的距离，那么抛物线的焦点弦距离就是准线距离的两倍。
四、抛物线的焦点弦与抛物线的坐标原点有关联：由于抛物线的准线与它的焦点弦都
是垂直的，那么抛物线弦的中心点就与抛物线的坐标原点关联起来了。
总而言之，抛物线的焦点弦是一个非常重要的概念，它与抛物线的准线有着十分密切
的关系，而且与抛物线的坐标原点也有一定的联系，有助于更好地描绘出抛物线图形，从
而更好地理解抛物线。
抛物线结论及推导
抛物线结论及推导抛物线结论及推导是一个在数学中有重要意义的定理，它为我们解决了许多具有抛物线形状的问题提供了强有力的帮助。
所谓抛物线结论及推导，就是利用抛物线方程来研究和推导抛物线的特性，包括它的图形、顶点、焦点和准线等。
抛物线结论及推导，以及它所涉及到的相关数学概念，可以概括如下：一、抛物线的方程抛物线的方程是一元二次方程，即y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是实数，而a不能等于0。
二、抛物线的图形抛物线的图形取决于参数a的正负，如果a>0，则抛物线向上开；如果a<0，则抛物线向下开。
三、抛物线的顶点抛物线的顶点是抛物线上的一点，它的坐标是(x_0,y_0)，其中x_0=(-b)/(2a)，y_0=ax_0^2+bx_0+c。
四、抛物线的焦点抛物线的焦点是一个特殊的点，它的坐标是(h,k)，其中h=-b/(2a)，k=ah^2+bh+c。
五、抛物线的准线抛物线的准线是抛物线的切线，它的斜率是m=-b/(2a)，且它的方程为y=mx+n，其中n=y_0-mx_0。
六、抛物线的性质抛物线的准线经过它的顶点，且抛物线的焦点与它的顶点的距离是抛物线直线的平方，即d=|h-x_0|=|k-y_0|=|b/(2a)|。
通过以上概念，我们就可以很容易地推导出抛物线的特性，从而得出抛物线结论及推导。
抛物线结论及推导是基于抛物线方程、抛物线的图形、抛物线的顶点、抛物线的焦点和抛物线的准线等概念得出的结论，即：1. 抛物线的顶点的坐标为(x_0,y_0)，其中x_0=(-b)/(2a)，y_0=ax_0^2+bx_0+c。
2. 抛物线的焦点的坐标为(h,k)，其中h=-b/(2a)，k=ah^2+bh+c。
3. 抛物线的准线的斜率为m=-b/(2a)，其方程为y=mx+n，其中n=y_0-mx_0。
4. 抛物线的准线经过它的顶点。
5. 抛物线的焦点与它的顶点的距离是抛物线直线的平方，即d=|h-x_0|=|k-y_0|=|b/(2a)|。
抛物线的几个常见结论及其应用
抛物线的相关结论：当A（x1，y1），B（x2，y2），A，B在抛物线y2=2px上，则有：1、直线AB过焦点时，x1x2 = p²/4 ，y1y2 = -p²；（当A，B在抛物线x²=2py 上时，则有x1x2 = -p²，y1y2 = p²/4 ，要在直线过焦点时才能成立）2、焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[（sinθ）2]=（x1+x2）/2+P；3、（1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P；（其中长的一条长度为P/（1-cosθ），短的一条长度为P/（1+cosθ））4、若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）；5、焦半径：|FP|=x+p/2 （抛物线上一点P到焦点F的距离等于P到准线L的距离）；6、弦长公式：AB=√（1+k2）*│x1-x2│；7、△=b2-4ac；△=b2-4ac>0有两个实数根；△=b2-4ac=0有两个一样的实数根；△=b2-4ac<0没实数根；8、由抛物线焦点到其切线的垂线的距离是焦点到切点的距离与到顶点距离的比例中项；9、标准形式的抛物线在（x0，y0 ）点的切线是：yy0=p（x+x0），（注:圆锥曲线切线方程中x²=x*x0 ， y² =y*y0 ， x=（x+x0）/2 ，y=（y+y0）/2 ）扩展资料：切线方程：抛物线y2=2px上一点（x0，y0）处的切线方程为：。
抛物线y2=2px上过焦点斜率为k的方程为：y=k（x-p/2）。
抛物线各类方程式的共同点：1、原点在抛物线上，离心率e均为1；2、对称轴为坐标轴；3、准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4抛物线各类方程式的不同点：1、对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2；2、开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。
抛物线的二级结论及推导
抛物线的二级结论及推导抛物线是一种二次曲线，其方程一般写作y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数，且a≠0。
抛物线的二级结论主要包括焦点、准线和顶点等重要概念。
下面我们来逐一介绍和推导这些结论。
1.焦点（Focus）：抛物线上的每个点到抛物线的焦点的距离等于该点到准线的距离。
设抛物线的焦点为F，准线的方程为y=p（p>0），抛物线上任一点P的坐标为(x,y)。
根据焦点的定义，我们可以得到以下关系式：PF=PM√((xx₁)²+(yy₁)²)=|yp|(xx₁)²+(yy₁)²=(yp)²通过对上式进行推导和化简，可以得到焦点的坐标：F(x₁,y₁)=(0,p+c)2.准线（Directrix）：准线是与抛物线对称的一条直线，与x轴平行，并且与焦点的距离等于焦距。
设准线的方程为y=p（p>0），焦点的坐标为F(x₁,y₁)=(0,p+c)。
根据准线的定义，我们可以得到以下关系式：|PF|=|PM|√((x0)²+(y(p+c))²)=|yp|x²+(y(p+c))²=(yp)²通过对上式进行推导和化简，可以得到准线的方程：x²=2pyp²+2cd3.顶点（Vertex）：抛物线的顶点为抛物线的最低点（a>0）或最高点（a<0）。
设抛物线的顶点为V，可通过计算导数找到抛物线的极值点，从而确定顶点的x坐标。
将x坐标代入抛物线的方程中求出对应的y坐标，即可得到顶点的坐标。
综上所述，抛物线的二级结论包括焦点、准线和顶点等关键概念。
利用这些结论，可以进一步分析和研究抛物线的性质和特点，帮助解决与抛物线相关的问题。
抛物线二级结论大全
抛物线二级结论大全
抛物线是解析几何中的重要概念，其二级结论包括以下内容：
1. 定义，抛物线是平面上到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。
抛物线是一种特殊的二次曲线。
2. 焦点和准线，抛物线的焦点是定点F，准线是与焦点相对的直线。
焦点和准线是抛物线的两个重要特征。
3. 对称性质，抛物线具有关于准线的对称性质。
任意一点到准线的距离与其关于准线的对称点到准线的距离相等。
4. 焦距，抛物线的焦距是指焦点到准线的垂直距离，通常用字母p表示。
5. 焦直，抛物线的焦直是指通过焦点且与准线平行的直线。
6. 焦直性质，抛物线上任意一点到焦直的距离与该点到焦点的距离相等。
7. 焦半径矢，抛物线上任意一点到焦点的距离称为焦半径矢。
8. 焦点的坐标，若抛物线的焦点为F（a，b），则抛物线的标
准方程为y^2=2px，其中p为焦距，a=1/4p，b=0。
9. 抛物线的焦点和准线的位置关系，当抛物线开口朝右（或左）时，焦点在右（或左）侧；当抛物线开口朝上（或下）时，焦点在
上（或下）方。
以上是抛物线的二级结论的一些重要内容，希望对你有所帮助。
如有其他问题，欢迎继续提问。
抛物线的几个常见结论及其应用
抛物线的几个常见结论及其应用抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。
结论一：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124p x x =，212y y p =-。
例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF+为定值。
结论二：（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin PAB α=（α≠0）。
（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。
例：已知过抛物线29y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为 。
AB 倾斜角为3π或23π。
结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。
（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
例：已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。
(2)分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆与直线AB结论四：若抛物线方程为22(0)y px p=>，过（2p，0）的直线与之交于A、B两点，则OA⊥OB。
反之也成立。
结论五：对于抛物线22(0)x py p=>，其参数方程为222x pty pt=⎧⎨=⎩，，设抛物线22x py=上动点P坐标为2(22)pt pt，，O为抛物线的顶点，显然222OPptk tpt==，即t的几何意义为过抛物线顶点O的动弦OP 的斜率．例直线2y x=与抛物线22(0)y px p=>相交于原点和A点，B为抛物线上一点，OB和OA垂直，且线段AB 长为P的值．解析：设点A B ，分别为22(22)(22)A A B B pt pt pt pt ，，，，则112A OA t k ==，12B OA OBt k k ==-=-．A B ，的坐标分别为(84)2p p p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，．AB =∴==．2p =∴．练习：1.过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P Q ，两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p q ，，则11p q += 故114a p q+=】 2.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A B ，两点．点C 在抛物线的准线上，且BC x ∥轴．证明直线AC 经过原点O ．【证明：抛物线焦点为02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．设直线AB 的方程为2p x my =+，代入抛物线方程，得2220y pmy p --=．若设1122()()A x y B x y ，，，，则212y y p =-． BC x ∵∥轴，且点C 在准线12CO p k y =；又由2112y px =，得1112AO y p k x y ==， 故CO AO k k =，即直线AC 经过原点O ．】3.已知抛物线的焦点是(11)F ，，准线方程是20x y ++=，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程．【解：设()P x y ，整理，得222880x y xy x y +---=，此即为所求抛物线的方程．抛物线的对称轴应是过焦点(11)F ，且与准线20x y ++=垂直的直线，因此有对称轴方程y x =．设对称轴与准线的交点为M ，可求得(11)M --，，于是线段MF 的中点就是抛物线的顶点，坐标是(00)，】备选1.抛物线的顶点坐标是(10)A ，，准线l 的方程是220x y --=，试求该抛物线的焦点坐标和方程． 解：依题意，抛物线的对称轴方程为220x y +-=．设对称轴和准线的交点是M ，可以求得6255M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．设焦点为F ，则FM 的中点是A ，故得焦点坐标为4255F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 再设()P x y ，化简整理得22444120x y xy x y ++--=，即为所求抛物线的方程．例2 已知A B ，为抛物线24x y =上两点，且OA OB ⊥，求线段AB 中点的轨迹方程．解析：设OA k t =，1OB OB OA k t ⊥⇒=-，据t 的几何意义，可得2244(44)A t t B t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，．设线段中点()P x y ，，则222214142214142.2x t t t t y t t t t ⎧⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪=+=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。
利用几个常用结论解决抛物线垂直焦点弦问题
利用几个常用结论解决抛物线垂直焦点弦问题kuing近几日，在群内连续两次出现抛物线焦点弦问题，且我发现两题很相似，都可以用一些常用的熟知结论，几何化地去解决，不需要麻烦的代数化去解。
现整理如下。
先以引理结出这些常用结论，其详细证明这里略去，有兴趣可以自己试试证。
引理一：过抛物线焦点F 的直线交抛物线于两点A 、B 两点，过这两点分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，则有：（1）AM BM ⊥；（2）FM AB ⊥；（3）点M 必在抛物线的准线上；引理二：（光学性质——抛物线）过抛物线焦点F 的光线经抛物线反射后的光线必定平行于抛物线的对称轴；引理三：过离心率为e ，焦准距为p 的圆锥曲线的焦点F 作两条互相垂直的直线，若这两条直线分别交圆锥曲线于A 、B 及C 、D ，且F 在A 、B 之间，F 在C 、D 之间，则有：21122e AB CD ep−+=； 引理四：梯形ABCD 中，AD 平行BC ，AC 与BD 交于点P ，过P 作与梯形两底边平行的直线交梯形两腰于E 、F ，则有211EF AD BC=+。
（注：前三个引理我均在人教论坛中某收集解释几何常用结论的贴中结出过；引理三我在论坛中贴过详细证明，用的是极坐标方法，搜索我的主题可以找到；引理四是初中内容）题一：解：（I ）如图所示：由引理一，可知AMB ∆为直角三角形，M 为直角，点M 在准线上，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，取AB 的中点G ，连结GM 。
由于AMB ∆为直角三角形且M 为直角且GM 为其斜边上的中线，于是易得12∠=∠，引理二，可知234∠=∠=∠，因此得到14∠=∠，于是易知GM 也与准线垂直，即GM 为直角梯形AA 1B 1B 的中位线，所以显然A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列，得证。
（II ）由引理一，可知FM AB ⊥，因此由引理三以及抛物线离心率是e=1以及本题中易知焦准距为p=2，代入即知1114AB CD +=， 又易知四边形ABCD 的面积为12S AB CD =⋅，又由基本不等式有4111AB CD AB CD AB CD≥⋅+===+， 即得32S ≥，且等号成立当且仅当AB=CD 可取到，即四边形ABCD 的面积的最小值为32。
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抛物线的几个常见结论及其应用
抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。
结论一：若AB 是抛物线2
2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2
124p x x =，212y y p =-。
例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF
+为定值。
结论二：（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α
=
（α≠0）。
（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。
例：已知过抛物线29y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为 。
结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。
（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
例：已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：
（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。
（2）分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN 为直径的圆与直线AB 相切。
结论四：若抛物线方程为22(0)y px p =>，过（2p ，0）的直线与之交于A 、B 两点，则OA ⊥OB 。
反之也成立。
结论五：对于抛物线22(0)x py p =>，其参数方程为222x pt y pt =⎧⎨=⎩
，，设抛物线22x py =上动点P 坐标为2(22)pt pt ，，O 为抛物线的顶点，显然222OP pt k t pt
==，即t 的几何意义为过抛物线顶点O 的动弦OP 的斜率． 例 直线2y x =与抛物线22(0)y px p =>相交于原点和A 点，B 为抛物线上一点，OB 和OA 垂直，且线段AB 长为513，求P 的值．
A M
N Q P y x
O F
练习：
1.过抛物线2(0)
y ax a
=>的焦点F作一直线交抛物线于P Q
，两点，若线段PF与FQ的长分别是p q
，，
则11
p q +=
2.设抛物线22(0)
y px p
=>的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A B
，两点．点C在抛物线的准线上，且BC x
∥轴．证明直线AC经过原点O．
3.已知A B
，为抛物线24
x y
=上两点，且OA OB
⊥，求线段AB中点的轨迹方程．。