最新人教版高中数学选修2-3《正态分布》课后导练2
最新人教版高中数学选修2-3《正态分布》知识讲解
2.4 正态分布1．正态曲线(1)函数______________，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数．我们称φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称________．(2)随机变量X 落在区间(a ，b ]的概率为P (a ＜X ≤b )≈__________，即由正态曲线，过点(a,0)和点(b,0)的两条x 轴的垂线，及x 轴所围成的平面图形的面积，就是X 落在区间(a ，b ]的概率的近似值．预习交流1(1)正态曲线φμ，σ(x )中参数μ，σ的意义是什么？(2)设随机变量X 的正态分布密度函数φμ，σ(x )＝12πe －(x ＋3)24，x ∈(－∞，＋∞)，则参数μ，σ的值分别是( )．A ．μ＝3，σ＝2B ．μ＝－3，σ＝2C ．μ＝3，σ＝ 2D ．μ＝－3，σ＝ 22．正态分布一般地，如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝__________，则称X 服从________．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作________，如果随机变量X 服从正态分布，则记为________．3．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴____，与x轴______；(2)曲线是单峰的，它关于直线____对称；(3)曲线在____处达到峰值______；(4)曲线与x轴之间的面积为__；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“____”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“____”，表示总体的分布越分散，如图②.预习交流2设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤C)＝P(X＞C)，则C＝()．A．0B．σC．－μD．μ4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率若X～N(μ，σ2)，则对于任何实数a＞0，概率P(μ－a＜X≤μ＋a)＝__________.特别地有P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝______，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝______，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝______.5．3σ原则正态变量在(－∞，＋∞)内的取值的概率为1，正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，因此在实际应用中通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，简称为________．预习交流3(1)如何求服从正态分布的随机变量X在某区间内取值的概率？(2)正态总体N(4,4)在区间(2,6]内取值的概率为__________．答案：1．(1)φμ，σ(x)＝12πσ22()2exμσ--正态曲线(2)∫b aφμ，σ(x)d x预习交流1：(1)提示：参数μ反映随机变量取值的平均水平的特征数，即若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ.同理，参数σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．(2)提示：写成标准式φμ，σ(x)＝12π2 e∴μ＝－3，σ＝ 2.2.∫b aφμ，σ(x)d x正态分布N(μ，σ2)X～N(μ，σ2)3．(1)上方不相交(2)x＝μ(3)x＝μ1σ2π(4)1(6)瘦高矮胖预习交流2：提示：正态分布在x＝μ对称的区间上概率相等，则C＝μ.4.∫μ＋aμ－aφμ，σ(x)d x0.682 60.954 40.997 45．3σ原则预习交流3：(1)提示：首先找出服从正态分布时μ，σ的值，再利用3σ原则求某一个区间上的概率，最后利用在关于x＝μ对称的区间上概率相等求得结果．(2)提示：由题意知μ＝4，σ＝2，∴P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝P(2＜X≤6)＝0.682 6.一、正态曲线的图象应用如图所示的是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．思路分析：给出一个正态曲线就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差以及解析式．如图是正态分布N(μ，σ21)，N(μ，σ22)，N(μ，σ23)(σ1，σ2，σ3＞0)相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()．A．σ1＞σ2＞σ3 B．σ3＞σ2＞σ1 C．σ1＞σ3＞σ2D．σ2＞σ1＞σ3(1)用待定系数法求正态变量概率密度曲线的函数表达式，关键是确定参数μ和σ的值，并注意函数的形式．(2)当x＝μ时，正态分布的概率密度函数取得最大值，即f(μ)＝12πσ为最大值，并注意该式在解题中的应用．二、利用正态曲线的对称性求概率已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X＜4)＝0.84，则P(X≤0)＝()．A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84思路分析：画出正态曲线，结合其意义及特点求解．若随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ＜－1.96)＝0.025，则P(|ξ|＜1.96)＝()．A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解．①熟记正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．②P(X＜a)＝1－P(X≥a)；P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．三、正态分布的应用在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100]间的考生大约有多少人？思路分析：正态分布已经确定，则总体的期望μ和标准差σ就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是()．A．997 B．954 C．819 D．683求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法：(1)根据题目中给出的条件确定μ，σ的值；(2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化；(3)利用上述区间求出相应的概率．答案：活动与探究1：解：从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20，12πσ＝12π，则σ＝ 2.所以概率密度函数的解析式是f(x)＝12π2(20)4ex--，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.迁移与应用：A活动与探究2：A解析：由X～N(2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X＜4)＝1－0.84＝0.16.迁移与应用：C解析：由已知正态曲线的对称轴为x＝μ＝0，∴P(ξ＜－1.96)＝P(ξ＞1.96)＝0.025.∴P(|ξ|＜1.96)＝1－P(ξ≥1.96)－P(ξ≤－1.96)＝0.950.活动与探究3：解：∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率就是0.954 4.(2)由μ＝90，σ＝10得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ]内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100]内的概率是0.682 6.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100]间的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．迁移与应用：D解析：由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5＜X≤62.5)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，从而属于正常情况的人数是1 000×0.682 6≈683.1．正态曲线关于y轴对称，则它所对应的正态总体的均值为()．A．1 B．－1 C．0 D．不确定2．设随机变量X ～N (1,22)，则D ⎝⎛⎭⎫12X ＝( )．A ．4B ．2 C.12D ．1 3．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ＞2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( )．A ．0.447B ．0.628C ．0.954D ．0.9774．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为__________．5．一批灯泡的使用时间X (单位：小时)服从正态分布N (10 000,4002)，则这批灯泡使用时间在(9 200，10 800]内的概率是__________．答案：1．C 解析：由正态曲线关于y 轴对称，∴μ＝0，均值为0.2．D 解析：因为X ～N (1,22)，所以D (X )＝4，所以D ⎝⎛⎭⎫12X ＝14D (X )＝1.3．C 解析：∵随机变量ξ服从标准正态分布N (0，σ2)，∴正态曲线关于x ＝0对称．又P (ξ＞2)＝0.023，∴P (ξ＜－2)＝0.023.∴P (－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.4．0.8 解析：易得P (0＜ξ＜1)＝P (1＜ξ＜2)，故P (0＜ξ＜2)＝2P (0＜ξ＜1)＝2×0.4＝0.8.5．0.954 4 解析：μ＝10 000，σ＝400，P (9 200＜X ≤10 800)＝P (10 000－2×400＜X ≤10 000＋2×400)＝0.954 4.。
最新人教版高中数学选修2-3《正态分布》课前导引2
2.4 正态分布课前导引问题导入正态分布在实际生产、生活中有着广泛的应用，很多变量，如测量的误差、产品的尺过等服从或近似服从正态分布，利用正态分布的有关性质可以对产品进行假设检验. 知识预览1.正态分布密度曲线与正态分布我们称φu ,δ(∞)=222)(21δδπv x e --∙[x ∈(-∞,+∞),其实实数μ和δ(δ>0)为参数]的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线.一般地，如果对于任何实数a ＜b ，随机变量X 满足P(a ＜X≤b)=⎰b a s u ,ϕ(x)dx,则称X 的分布为正态分布.正态分布完全由参数μ和δ确定，因此正态分布常记作N （u,δ2).如果随机变量X 服从正态分布，则记为X —N （μ，δ2），若X —N （μ，δ2），则X 的均值与方差分别为EX=μ,DX=δ22.正态曲线的性质（1）曲线在x 轴上方，与x 轴不相交.（2）曲线关于直线x=μ对称.（3）当x=μ时曲线处于最高点，当x 向左、向右无限延伸时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.（4）当x ＜μ时，曲线上升；当x ＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限靠近.（5）当μ一定时，曲线的形状由δ确定，δ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；δ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.（6）当δ相同时，正态分布曲线的位置由均值μ所决定.设x 是一个服从正态分布的随机变量，则对任意的数a ＞0及b ，ax+b 仍旧是一个服从正态分布的随机变量.3.正态分布与标准正态分布（1）正态分布与标准正态分布①如果随机变量X 的概率函数为φ(x)=2221x e -π(-∞＜x ＜+∞),则称X 服从标准正态分布，即X —N （0＞1).②正态分布的密度函数若X —N(0,1),则X 的分布函数，通常用φ(x)表示，且有φ（x ）=P(X≤∞).对于一切x≥0,φ(x)的值可在标准正态分布表中查到；对于x ＜0的φ（x)值，可用φ（x ）=1-φ（-x)求出.若X —N （μ，δ2）则X 的分布函数通常用F （x ）表示，且有P （X≤∞)=F(x)=φ(δμ-x )③P(a ＜x≤b)的计算若X —N （0，1），则P （a ＜X≤b)=φ(b)-φ(a),即通过查标准正态分布表中x=a,x=b 时的φ（x)值，可计算概率P(a ＜X≤b).(2)标准正态分布与一般正态分布的关系①若X —N （μ，σ2),则Y=σμ-X —N(0,1).②若X —N(μ,σ2),则P （a ＜X≤b)=F(b)-F(a)=Φ(σμ-b )-Φ(σμ-a ), 即通过查标准正态分布表中x=σμ-a ,x=σμ-b 的φ（x ）值，可计算服从N （μ，σ2)的随机变量X 取值在a 与b 之间的概率.4.假设检验的基本思想与生产过程中质量控制图（1）假设检验假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分成N （μ,σ2).②确定一次试验中的取值a 是否落入范围(μ-3σ,μ+3σ).③作出推断：如果a ∈(μ-3σ,μ+3σ),接受统计假设.如果a ∉(μ-3σ,μ+3σ),由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.（2）生产过程中质量控制图及其原理.质量控制图是进行质量管理的有力工具，是根据假设检验的基本思想制作的将正态分布曲线（如图1）顺时针旋转90°即可得到控制图，如图2所示.图1中的直线x=μ,x=μ-3σ,x=μ+3σ分别成为图2中的中心线.控制下界和控制上界.在生产过程中，从某一时刻（例如凌晨1时）起，每隔1小时，对检验对象任取1个进行检查，并把结果用圆点在图2上表示出来，为了便于考查圆点的变动趋势，常用折线把它们连接起来，考点在控制界内，服从假设;否则，要拒绝假设.。
高中数学选修2-3 同步练习 2.4 正态分布(解析版)
第二章 随机变量及其分布2.4 正态分布一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设随机变量212(),N ξ～，则1()2D ξ= A ．4 B ．2 C ．1D ．12 【答案】C【解析】由题可得2()24D ξ==，所以22111()()()()41222D D ξξ==⨯=．故选C ．2．已知随机变量X ～2(3,)N σ，且(4)0.15P X >=，则(2)P X ≥= A ．0.15 B ．0.35 C ．0.85D ．0.3【答案】C【解析】因为随机变量X ～2(3,)N σ，所以正态分布密度曲线的对称轴为3x =，因为(4)0.15P X >=，则由对称性可得(2)1(4)10.150.85P X P X ≥=->=-=，故选C ． 3．已知随机变量X 服从正态分布(,4)N a ，且(1)0.5P X >=，则实数a 的值为 A ．1 B ．3 C ．2D ．4【答案】A【解析】由(1)0.5P X >=可得正态分布密度曲线关于直线1x =对称，故均值1a =，故选A ． 4．设随机变量~(2,9)N ξ，若()(2)P c P c ξξ>=<-，则c 的值是 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】D【解析】因为随机变量，所以正态曲线的对称轴，，因为，所以，则c =4．故选D ．5．已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，且(2)0.8P ξ<=，则(02)P ξ<<= A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3D ．0.2【答案】C【解析】由题意知，正态分布曲线的对称轴为0x =，又(2)0.8P ξ<=，所以(2)0.2P ξ≥=，所以(02)=0.50.2=0.3P ξ<<-，故选C ． 6．已知随机变量2(2,)X N σ～，若()0.4P X a <=，则(4)P a X a ≤<-= A ．0.4 B ．0.2 C ．0.1D ． 0.6【答案】B【解析】因为2(2,)X N σ～，()0.4P X a <=，所以(4)0.4P X a ≥-=，所以(4)P a X a ≤<-10.40.40.2=--=．故选B ．7．已知三个正态分布密度函数22()21()e 2i i x i ix μσϕσ--=π(R ∈x ，i =1，2，3)的图象如图所示，则A ．321μμμ=<，321σσσ>=B ．321μμμ=>，321σσσ<=C ．321μμμ<=，321σσσ=<D ．321μμμ=<，321σσσ<=【答案】D【解析】正态曲线关于直线μ=x 对称，且在μ=x 处取得峰值12σπ， 由图易得321μμμ=<，112σ=π212σ>π312σπ，故321σσσ<=．故选D ．8．2018年4月某校高三年级1500名学生参加了教育局组织的统考，已知数学考试成绩2(100,)X N σ～（试卷满分为150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的35，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为 A ．180 B ．200 C ．220D ．300【答案】D【解析】正态分布密度曲线的对称轴为100x =，根据其对称性可知，成绩不低于120分的学生人数约为311500(1)30052⨯-⨯=人．故选D ． 9．工人制造机器零件的尺寸在正常情况下服从正态分布2(,)N μσ．在一次正常的试验中，取10000个零件，不属于3,3()μσμσ-+这个尺寸范围的零件个数可能为 A ．70个 B ．100个 C ．26个D ．60个【答案】C10．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影外部（曲线C 为正态分布(0,1)N 的密度曲线的一部分）的点的个数的估计值为A ．3413B ．1193C ．2718D ．6587附：若2(,)X N μσ～，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=． 【答案】D【名师点晴】正态分布是随机变量的概率分布中重要的概率分布之一，其曲线具有很多重要性质，在解题中有着重要的作用，因此成为高考和各级各类考试的重要内容与考点．解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，运用转化与化归的数学思想将问题进行等价转化． 二、填空题：请将答案填在题中横线上．11．已知随机变量ξ服从正态分布(0,2)N ，若(2)P p ξ≥=，则(20)P ξ-<<=________________．【答案】12p - 【解析】依题意有11(20)(02)(2)22P P P p ξξξ-<<=<<=-≥=-． 12．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，若(4)0.7P ξ<=，则(02)P ξ<<=________________．【答案】0.2【解析】(02)(24)(4)(2)0.70.50.2P P P P ξξξξ<<=<<=<-<=-=． 13．已知随机变量2(0,)X N σ～，若(||2)P X a ≤=，则(2)P X >=________________．【答案】12a- 【解析】由题意可得正态分布密度曲线关于直线0x =对称，因为正态分布密度曲线与x 轴围成的面积为1，所以1(2)(2)(1)2P X P X a >=<-=-． 14．某厂生产的零件尺寸服从正态分布220,0).02(N ，为使该厂生产的产品的合格率为95.44%，则该厂生产的零件尺寸允许值的范围为________________． 【答案】19.96,(20.04)【解析】正态分布220,0).02(N 在区间2020.02,2020(02).-⨯+⨯上取值的概率为95.44%，故该厂生产的零件尺寸允许值的范围为19.96,(20.04)．15．已知随机变量X 服从正态分布，其正态分布密度曲线2(2)21()e 2x xf π的图象，若2 01 ()d3 f xx，则(4)P X________________．【答案】16【解析】由已知得函数()f x的图象关于直线2x=对称，且与直线0x=，2x=和0y=围成的图形的面积为13，所以11(4)(12)236P X>=-⨯÷=．16．已知(,)μ-∞+∞∈，0σ>，现给出下列函数：①22()21()e2πxf xμσσ+-=；②2()41()e2πxf xμ--=；③241()e22πxf x-⋅=；④()f x=2()1eπxμ--．则可以作为正态分布密度函数的为________________．（填序号）【答案】①③④综上，可以作为正态分布密度函数的为①③④．。
名校新学案高中数学人教A版选修2-3课后作业2.4正态分布(含答案详析)
选修2-3 第二章 2.4一、选择题1．(2013·河南安阳中学高二期中)已知随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)，则P (ξ<3)等于( )A ．15B ．14C ．13D ．12[答案] D[解析] ∵ξ～N (3，σ2)，∴ξ＝3为正态分布的对称轴，∴P (ξ<3)＝12.2．(2013·吉林白山一中高二期末)设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，则c ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 由正态分布的性质及条件P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)得，(c ＋1)＋(c －1)＝2×2，∴c ＝2.3．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X ～N (110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内( )A ．(90,110]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115] [答案] C[解析] 由于X ～N (110,52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.6826,0.9544,0.9974.由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是： 60×0.6826≈41人，60×0.9544≈57人， 60×0.9974≈60人．4．工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N (μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1 000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为( )A ．7B ．10C ．3D ．6[答案] C[解析] ∵P (μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＝0.9974，∴不属于区间(μ－3σ，μ－3σ)内的零点个数约为1000×(1－0.9974)＝2.6≈3个． 5．(2014·哈师大附中高二期中)已知随机变量ξ服从正态分布N (1,4)，则P (－3<ξ<5)＝( )(参考数据：P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974)A ．0.6826B ．0.9544C ．0.0026D ．0.9974 [答案] B[解析] 由ξ～N (1,4)知，μ＝1，σ＝2，∴μ－2σ＝－3，μ＋2σ＝5，∴P (－3<ξ<5)＝P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，故选B.6．以Φ(x )表示标准正态总体在区间(－∞，x )内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则概率P (|ξ－μ|<σ)等于( )A ．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)B ．Φ(1)－Φ(－1)C ．Φ⎝⎛⎭⎫1－μσD ．2Φ(μ＋σ) [答案] B[解析] 设η＝|ξ－μ|σ，则P (|ξ－μ|<σ)＝P (|η|<1)＝P (－1<η<1)＝Φ(1)－Φ(－1)．[点评] 一般正态分布N (μ，σ2)可向标准正态分布N (0,1)转化． 二、填空题7．正态变量的概率密度函数f (x )＝12πe －(x －3)22，x ∈R 的图象关于直线________对称，f (x )的最大值为________．[答案] x ＝312π8．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．[答案] 1[解析] 正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．∵区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x ＝1对称，所以正态分布的数学期望是1. 9．(2013·景德镇市高二期末)已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于________．[答案] 0.3[解析] ∵ξ～N (2，σ2)，∴P (ξ≥4)＝1－P (ξ<4)＝0.2.∴P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝12×[1－2P (ξ≥4)]＝12×[1－2×0.2]＝0.3.三、解答题10．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值等于142π.求该正态分布的概率密度函数的解析式．[解析] 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象即正态曲线关于y 轴对称，即μ＝0.而正态密度函数的最大值是12π·σ，所以12π·σ＝12π·4，因此σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x )＝142πe －x 232，x ∈(－∞，＋∞)．一、选择题11．已知随机变量X ～N (3,22)，若X ＝2η＋3，则D (η)等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4[答案] B[解析] 由X ＝2η＋3，得D (X )＝4D (η)，而D (X )＝22＝4，∴D (η)＝1.12．某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为( )A ．10%B ．20%C ．30%D ．40%[答案] D[解析] 由条件知μ＝90，P (ξ<60)＝0.1， ∴P (ξ>120)＝0.1，∴P (90≤ξ<120)＝12[1－2P (ξ<60)]＝12×(1－0.2)＝0.4，故选D. [点评] 解决正态分布问题，一定要注意抓住其对称轴，若ξ～N (μ，σ2)，则对称轴ξ＝μ.13．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2[答案] A[解析] 根据正态分布的性质：对称轴方程x ＝μ，σ表示总体分布的分散与集中．由图可知选A.二、填空题14．随机变量ξ～N (1,42)，若η＝4－3ξ，则E (η)＝__________________. [答案] 1[解析] 由条件知E (ξ)＝1，E (η)＝4－3E (ξ)＝1.15．某厂生产的零件尺寸服从正态分布N (25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值范围为________．[答案] (24.94,25.06)[解析] 正态总体N (25,0.032)在区间(25－2×0.03，25＋2×0.03)内取值的概率在95%以上，故该厂生产的零件尺寸允许值范围为(24.94,25.06)．三、解答题16．某个工厂的工人月收入服从正态分布N (500,202)，该工厂共有1200名工人，试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少？[解析] 设该工厂工人的月收入为ξ，则ξ～N (500,202)，所以μ＝500，σ＝20， 所以月收入在区间(500－3×20,500＋3×20)内取值的概率是0.9974，该区间即(440,560)．因此月收入在440元以下和560元以上的工人大约有1200×(1－0.9974)＝1200×0.0026≈3(人)．17．实验中学的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等次，若考核为合格，则授予10分降分资格；考核优秀，授予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为23、23、12，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率．(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ)．[解析] (1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E .则事件A 、B 、C 是相互独立事件，事件A － B － C －与事件E 是对立事件，于是P (E )＝1－P (A － B － C －)＝1－13×13×12＝1718.(2)ξ的所有可能取值为30、40、50、60. P (ξ＝30)＝P (A － B － C －)＝13×13×12＝118，P (ξ＝40)＝P (A B － C －)＋P (A －B C －)＋P (A － B －C )＝23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝518，P (ξ＝50)＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝818，P (ξ＝60)＝P (ABC )＝418.所以ξ的分布列为118＋40×518＋50×818＋60×418＝1453.E(ξ)＝30×。
最新人教版高中数学选修2-3《正态分布》达标训练
更上一层楼基础·巩固1关于正态曲线性质的叙述：①曲线关于直线x=μ对称，整条曲线在ｘ轴上方；②曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数； ③曲线在x=μ处处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低； ④曲线的对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定，σ越大曲线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”.上述对正态曲线的叙述正确的是( )A.①②③B.①③④C.②③④D.①②③④思路解析：根据正态曲线的性质，当x ∈(-∞,+∞)时，正态曲线全在ｘ轴上方，只有当μ=0时，正态曲线才关于ｙ轴对称，所以②不正确，从选择项可以看出答案为B.答案：B2ξ的概率密度函数f(x)=2)1(221--x e π，下列错误的叙述是( )A.P （ξ<1）=P(ξ>1)B.P(-1≤ξ≤1)=P(-1<ξ<1)C.f(x)的渐近线是ｘ=0D.y=ξ-1—N(0,1)思路解析：由已知：ξ-N(1,1)，函数对称轴为ｘ=1，所以A 正确；又P(ξ=-1)=P(ξ=1)=0，故P （-1≤ξ≤1）=P(ξ=-1)+P(-1<ξ<1)+P(ξ=1)=P(-1<ξ<1),所以B 正确；η=11-ξ-N(0,1),即η=ξ-1-N(0,1),所以D 正确，f(x)的渐近线是ｘ轴，所以只有C 错误. 答案：C3如果随机变量ξ—N(0,1)，则η=( )—N(μ,σ2)( ) A.σμξ- B.σξ-μ C.σξ+μ D.σ(ξ+μ) 思路解析：将一般正态分布η转化为标准正态分布的方法是ξ=σμη--N(0,1),∴η=σξ+μ.答案：C4已知X —N （μ,σ2），EX=3，DX=1，则P(-1<x≤1)等于( )A.2φ(1)-1B.φ(4)-φ(2)C.φ(-4)-φ(-2)D.φ(2)-φ(4)思路解析：P(-1<x ≤1)=φ)131()131(----ϕ=φ(-2)-φ(-4)=［1-φ(2)］-［1-φ(4)］=φ(4)-φ(2).答案：B5一批电阻的阻值ξ服从正态分布N(1 000,52)（单位：Ω）.今从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为101 1 Ω和982 Ω，可以认为（ ）A.甲、乙两箱电阻均可出厂B.甲、乙两箱电阻均不可出厂C.甲箱电阻出厂，乙箱电阻不可出厂D.甲箱不可电阻出厂，乙箱电阻出厂思路解析：根据3σ原则，在1 000＋3×5=1 015与1 000-3×5=985之外的值为异常，所以选C.答案：C6设随机变量ξ—N(μ,σ2)且P (ξ≤C)=P(ξ>C)，则C 为( )A.0B.σC.-μD.μ思路解析：正态分布中，落在数学期望μ两边的概率相等.由此可知答案为D.答案：D7随机变量ξ服从正态分布N （0，1），如果P(ξ<1)=0.841 3，则P(-1<ξ<0)=.__________________ 思路解析：P(-1<ξ<0)=P(0<ξ<1)=21-P(ξ≥1)=21-［1-P （ξ<1）］=P(ξ<1)-0.5=0.341 3 答案：0.341 38商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N （10，0.12）（单位：ｋｇ）.任选一袋这种大米，质量在9.8—10.2 ｋｇ的概率是多少？思路解析： 因为大米的质量服从正态分布N （10，0.12），要求质量在9.8-10.2 ｋｇ的概率，需转化为(μ-2σ,μ+2σ)的形式，然后利用特殊值求解.解：由正态分布N(10,0.12)知，μ=10，σ=0.1，所以质量在9.8-10.2 ｋｇ的概率为P （10-2×0.1<X ≤10+2×0.1）=0.954 4.9设在一次数学考试中，某班学生的分数服从ξ—N(110,202)，且知满分150分，这个班的学生共54人.求这个班在这次数学考试中及格（不小于90分）的人数和130分以上的人数. 思路解析：要求及格的人数，要求出P(90<ξ≤150)，而求此概率需将问题转化为正态变量几种特殊值的概率形式，然后利用对称性求解.解：因为ξ-N(110,202)，所以μ=110,σ=20,P(110-20<ξ≤110+20)=0.682 6.所以ξ>130的概率为21（1-0.682 6）=0.158 7.ξ≥90的概率为0.682 6+0.158 7=0.841 3. 所以及格的人数为54×0.841 3≈45人.130分以上的人数为54×0.158 7≈9人. 综合·应用10(2006湖北高考)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100).已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名.（1）试问此次参赛的学生总数约为多少人？（2）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可供查阅的（部分）标准正态分布表φ(x思路解析：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力.解：（1）设参赛学生的分数为ξ，因为ξ-N(70,100),由条件知，P(ξ≥90)=1-P （ξ<90）=1-F(90)=1-φ(107090 )=1-φ(2)=1-0.977 2=0.228. 这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28％，因此，参赛总人数约为0228.012≈526（人）. （2）假定设奖的分数线为x 分，则P(ξ≥x)=1-P （ξ<x ）=1-F(x)=1-φ(x-1070-x )=52650=0.095 1， 即φ(1070-x )=0.904 9，查表得1070-x ≈1.31，解得x=83.1. 故设奖得分数线约为83.1分.11某乡镇农民平均收入服从μ=500元，σ=20元的正态分布，求（1）此乡镇农民平均收入在500—520元之间的人数的百分比；（2）如果要使农民年均收入在(μ-a,μ+a)内的概率不小于0.95，则ａ至少多少？思路解析：设X 表示农民平均收入，则X-N(500,202).则有（1）即为求P(500≤x<520).（2）相当于上述问题的一个反运算.解：设X 表示该乡镇农民平均收入，则X-N(500,202).（1）P(500≤x<520)=φ(20500520-)-φ(20500500-)=φ(1)-φ(0)=0.343 1. 这说明此乡镇农民平均收入在500元-520元之间的人数的百分比约为34%.（2）令P(μ-a,μ+a)=φ(20a )-φ(20a -)≥0.95,则有φ(20a )≥0.975. 由于φ(x)是增函数，故由查表可得20a ≥1.96.∴a ≥3.92.所以要达到要求，ａ不小于3.92. 12某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需的时间（单位为分）服从正态分布N(50,102)；第二条路线沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布N(60,42).（1）若只有70分钟可用，问应走哪条路线？（2）若只有65分钟可用，又应走哪条路线？参考数据：φ（2.5）=0.993 8，φ（1.5）=0.933 2，φ（1.25）=0.894 4，φ（2.0）=0.977 2. 思路解析：最佳路线是在允许的时间内有较大概率及时赶到火车站的那条路线. 解：（1）走第一条路线及时赶到的概率为：P(0<ξ≤70)=φ(105070-)-φ(10500-)≈φ(105070-)=φ(2)=0.977 2. 走第二条路线及时赶到的概率为: P(0<ξ≤70)≈φ(106070-)=φ(2.5)=0.993 8. 因此在这种情况下走第二条路线.（2）走第一条路线及时赶到的概率为：P(0<ξ≤65)≈φ(105065-)=φ(1.5)=0.933 2. 走第二条路线及时赶到的概率为: P(0<ξ≤65)≈φ(46065-)=φ(1.25)=0.894 4. 因此在这种情况下应走第一条路线.。
人教版高中数学选修2-3同步练习：2.4-正态分布
绝密★启用前黑龙江省海林市朝鲜族中学人教版高中数学选修2-3同步练习：2.4 正态分布试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．下面给出了关于正态曲线的4个叙述:①曲线在x轴上方,且与x轴不相交;②当x>μ时,曲线下降,当x<μ时,曲线上升;③当μ一定时,σ越小,总体分布越分散,σ越大,总体分布越集中;④曲线关于直线x=μ对称,且当x=μ时,曲线的值位于最高点.其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．42．某班有50名学生,一次考试后数学成绩ξ~N(110,102),若P(100≤ξ≤110)=0.34,则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为()A．10B．9C．8D．73．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)．且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.24．如果正态总体的数据落在(-3,-1)内的概率和落在(3,5)内的概率相等,那么这个正态总体的数学期望是()A．0B．1C．2D．35．如图是当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3时的三种正态曲线,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是()A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>σ3>0D．0<σ1<σ2=1<σ36．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内( )A．(90,110] B．(95,125]C．(100,120] D．(105,115]7．在某市2017年1月份的高三质量检测考试中,理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人,如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分,那么他的数学成绩大约排在全市第()A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名8．如果提出统计假设:某工人制造的零件尺寸服从正态分布N(μ,σ2).当随机抽取某一个值a时,下列哪种情况可以说明假设不成立()A．a∈(μ-3σ,μ+3σ)B．a∉(μ-3σ,μ+3σ)C．a∈(μ-2σ,μ+2σ)D．a∉(μ-2σ,μ+2σ)9．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量,若一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0,则p0的值为()A．0.954 4B．0.682 6C．0.997 4D．0.977 2第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题10．已知随机变量ξ~N(1,σ2),若P(ξ>3)=0.2,则P(ξ≥-1)=____.11．某市有48 000名学生,一次考试后数学成绩服从正态分布,平均分为80,标准差为10,从理论上讲,在80分到90分之间有____人.12．为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22),且正态分布密度曲线如图所示,若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况,则这1000名男生中属于正常情况的人数约为____.三、解答题13．已知随机变量X~N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.682 6,求P(X>4)的值.14．一投资者在两个投资方案中选择一个,这两个投资方案的利润X(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12),投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大,那么他应该选择哪一个方案?15．从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如图所示的频率分布直方图.(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)上的产品件数,利用①的结果,求E(X).附:≈12.2.若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 4.参考答案1．C【解析】【分析】根据正态曲线的性质，分析选项，即可得出结论．【详解】只有③不正确,因为曲线的形状由σ确定,当μ一定时,σ越小,曲线越“瘦高”,总体分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散.故选：C【点睛】本题考查正态曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．2．C【解析】【分析】根据考试的成绩ξ服从正态分布N（110，102）．得到考试的成绩ξ关于ξ=110对称，根据P（100≤ξ≤110）=0.34，得到P（ξ≥120）=0.16，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．【详解】∵考试的成绩ξ服从正态分布N（110，102）．∴考试的成绩ξ关于ξ=110对称，∵P（100≤ξ≤110）=0.34，∴P（ξ≥120）=P（ξ≤100）=（1﹣0.34×2）=0.16，∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.16×50=8．故选：C．【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩ξ关于ξ=110对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．3．C【解析】∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ>4)＝0.2，由题意知图象的对称轴为直线x＝2，P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2，∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6.∴P(0<ξ<2)＝12P(0<ξ<4)＝0.3视频4．B【解析】【分析】根据随机变量X服从正态分布，图象关于x=μ对称，即可得出结论．【详解】∵随机变量X服从正态分布，X的取值落在区间（﹣3，﹣1）内的概率和落在区间（3，5）内的概率是相等的，∴函数图象关于x==1对称，∴随机变量X的数学期望为1，故选：B．【点睛】本题主要标准正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值．5．D【解析】【分析】由正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，可得结论．【详解】由正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，可知：当0＜σ＜1时，它与y轴交点的纵坐标大于f（0）=；当σ＞1时，它与y轴交点的纵坐标小于f（0）．结合图象可知选D．故选：D．【点睛】本题考查正态曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．6．C【解析】由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.682 6，0.954 4，0.997 4.由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是60×0.682 6≈41人，60×0.954 4≈57人，60×0.997 4≈60人．考点：正态分布.视频7．A【解析】【分析】根据随机变量X服从正态分布，图象关于x=μ对称，即可得出结论．【详解】因为理科学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100),所以P(X≥108)=[1-P(88<X<108)]= [1-P(μ-σ<X<μ+σ)]=×(1-0.682 6)=0.158 7,所以0.158 7×9450≈1500,故该学生的数学成绩大约排在全市第1500名.故选：A．【点睛】本本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是求出ξ≥108的概率．8．B【解析】【分析】利用正态分布的“3σ”原理处理即可.【详解】如果是正态分布,那么零件尺寸落在区间(μ-3σ,μ+3σ)内的概率为0.997 4,而任取一个值a∉(μ-3σ,μ+3σ),说明不是正态分布,所以假设不成立.【点睛】正态分布在概率和统计中具有重要地位且满足3σ原则．9．D【解析】【分析】变量服从正态分布N（800，502），即服从均值为800，标准差为50的正态分布，适合700＜X≤900范围内取值即在（μ﹣2σ，μ+2σ）内取值，其概率为：95.44%，从而由正态分布的对称性得出不超过900的概率为p0．【详解】由于随机变量X服从正态分布N（800，502），故有μ=800，σ=50，P（700＜X≤900）=0.9544．由正态分布的对称性，可得p0=（P（X≤900）=P（X≤800）+P（800＜X≤900）=+P（700＜X≤900）=0.9772故选：D．【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查学生的计算能力，比较基础．10．0.8【解析】【分析】根据随机变量ξ服从正态分布，知正态曲线的对称轴是x=1，且P（ξ＞3）=0.2，依据正态分布对称性，即可求得答案．【详解】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x=1对称，∵P（ξ＞3）=0.2，∴P（ξ≤﹣1）=P（ξ＞3），∴P（ξ≥﹣1）=1﹣P（ξ＞3）=1﹣0.2=0.8．故答案为：0.8【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．11．16382【解析】【分析】正态总体的取值关于x=80对称，位于70分到90分之间的概率是0.6826，位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半，得到要求的结果．【详解】∵数学成绩近似地服从正态分布N（80，102），P（|x﹣u|＜σ）=0.6826，∴P（|x﹣80|＜10）=0.6826，根据正态曲线的对称性知：位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半∴理论上说在80分到90分的人数是（0.6826）×48000≈16382．故答案为：16382．【点睛】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位且满足3σ原则．12．683【解析】【分析】由题意，P（58.5＜X＜62.5）=0.683，即可得出在这1000名男生中属于正常情况的人数．【详解】由题意，P（58.5＜X＜62.5）=0.683，∴在这1000名男生中不属于正常情况的人数是1000×0.683=683，故答案为：683．【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，是一个基础题．13．0.1587【解析】【分析】依据正态分布对称性，即可求得答案．【详解】∵随机变量X~N(3,1),∴正态曲线关于直线x=3对称,由P(2≤X≤4)=0.682 6,得P(X>4)=×[1-P(2≤X≤4)]=×(1-0.682 6)=0.1587.故答案为：0.1587【点睛】本本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题.14．见解析【解析】【分析】欲问他应选择哪一个方案，就是要求出他选择两个方案时，各个利润超过5万元的概率哪一个较大，为此只要利用正态分布求出概率即可．【详解】对于第一个方案有X~N(8,32),其中μ=8,σ=3,P(X>5)=+P(5<X≤11)==;对于第二个方案有X~N(7,12),其中μ=7,σ=1,P(X>5)==.显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大,故他应该选择第二个方案.【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，属于基础题.15．(1)200,150(2) 0.6826, 68.26【解析】【分析】（1）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（2）①由（1）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；②由①知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．【详解】(1)抽取的产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(2)①由(1)知,可近似认为Z~N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=0.682 6.②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)上的概率为0.6826,依题意知X~B(100,0.682 6),所以E(X)=100×0.6826=68.26.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．。
数学人教B版选修2-3课后导练 2.4正态分布 含解析 精品
课后导练基础达标1．若设随机变量ξ~N(μ,σ2),且P （ξ≤c ）=P(ξ>c),则c 的值为（ ） A.0 B.μ C.-μ D.σ解析：由正态曲线知：曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，其概率为图象与x 轴以及垂直于x 轴的直线所围成的图形的面积，如图可得c=μ,答案为B 项. 答案：B2.利用标准正态分布表，求标准正态总体N （0，1）在（-0.5,1.5）内取值的概率（ ） A.0.624 7 B.0.375 3 C.0.246 7 D.1 解析：P （-0.5<x<1.5）=Φ(1.5)-Φ(-0.5)-［1-Φ(0.5)］=Φ(1.5)+Φ(0.5)-1=0.933 2+0.691 5-1=0.624 7.故选A 项. 答案：A3．若随机变量X~N （5，22）则P （3<X≤7）=___________,P(X≤3)= ___________,P(X>7)= ___________. 解析：∵P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6, P(3<X≤7)=P(5-2<X≤5+2)=0.682 6, 结合图象P （X≤3）=P （X>7）, ∴P(X≤3)=P(X>7)=21［1-P （3<X≤7）］=0.1577. 答案：0.682 6 0.157 7 0.157 74．灯泡厂生产的白炽灯泡寿命为ξ(单位：小时)，已知ξ~N(1 000,302)，要使灯泡的平均寿命为1 000小时的概率不小于99.7%，应将灯泡的寿命控制在___________小时以上. 解析：∵ξ~N(1 000,302), ∴ξ在（1 000-3×30,1 000+3×30）,即（910，1 090）内取值的概率为0.997，故应将灯泡的寿命控制在910小时以上. 答案：9105.某中学高考数学成绩近似地服从正态分布N （100，102），求此校数学成绩在120分以上的考生占总人数的百分比.解析：P （X>120）=1-P(X≤120)=1-［Ｐ（８０）+P(X<80)］, 又P （X>120）=P(X<80), ∴P(X>120)=21［1-P （80≤X≤120）］=21 (1-所以，此校数学成绩在120分以上的考生占总人数的2.28%.6.设ξ~N(3,22)，借助于Φ（x ）表示，求： （1）P （-2<ξ<7）;(2)确定C 的值，使得P （ξ>C ）=P(ξ≤C). 解析：（1）P （-2<ξ<7）=Φ(237-)-Φ(232--)=Φ(2)-Φ(-2.5)=Φ(2)-［1-Φ(2.5)］=0.977 2-［1-0.993 8］=0.971 0.(2)∵P(ξ>C)=1-P(ξ≤C),又P(ξ>C)=P(ξ≤C), ∴P(ξ≤C)=0.5,而P （ξ≤C)=Φ(23-C )=0.5, 查Φ(x)表，得Φ（0）=0.5.故23-C =0,∴C=3. 7.随机变量ξ~N(μ,σ2),而且已知P （ξ<0.5）=0.079 3,P(ξ>1.5)=0.761 1,求μ与σ2. 解析：∵ξ~N （μ,σ2）, ∴P(ξ<0.5)=Φ(σμ-5.0)=0.079 3,即1-Φ(σμ-5.0)=0.920 7.∴Φ(σμ-5.0)=0.920 7,查表得σμ-5.0=1.41.又P （ξ>1.5)=1-P （ξ≤1.5)=1-Φ(σμ-5.1)=0.761 1.∴Φ(σμ5.1-)=0.761 1.查表得σμ5.1-=0.71.解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-71.05.1,41.15.0σμσμ得⎩⎨⎧==.43.1,515.2σμ∴μ=2.515,σ2=2.044 9.8.某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间（单位为分）服从正态分布N （50，102）；第二条路线沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布N （60，42）. （1）若只有70分钟可用，问应走哪条路线？ （2）若只有65分钟可用，又应走哪条路线？ 解析：设ξ为行车时间.（1）走第一条路线，及时赶到的概率为 P （0<ξ≤70）=Φ(105070-)-Φ(10500-) ≈Φ(105070-)=Φ(2)=0.977 2; 走第二条路线及时赶到的概率为 P （0<ξ≤70）≈Φ(105065-)=Φ(2.5)=0.993 8, 因此在这种情况下应走第二条路线. （2）走第一条路线及时赶到的概率为 P(0<ξ≤65)≈Φ(105065-)=Φ(1.25)=0.933 2; 走第二条路线及时赶到的概率为P （0<ξ≤65）≈Φ(105065-)=Φ(1.25)=0.894 4, 因此在这种情况下应走第一条路线.9.正态总体当μ=0,σ=1时的概率密度函数是f(x)=2221x e-π,x ∈R .(1)证明f(x)是偶函数； （2）求f(x)的最大值.解析：(1)对于任意的x ∈R, f(-x)=2)(222x e--π=2221x e-π=f(x).所以f(x)是偶函数.（2）令z=22x .当x=0时，z=0,e x =1;当x≠0时，z>0,e z >1.由于e z 是关于z 的增函数，所以当x=0(即z=0)时，22x e =e z 取得最小值，所以当x=0时，f(x)= 2221x e-π取得最大值π21. 综合运用10．某正态总体的概率密度是偶函数，而且该函数的最大值为π21,求总体落入区间（-∞,0.2）及（-1.2,0.2）之内的概率. 解析：正态分布的概率密度函数f(x)=22)(21σμσπ--x e(x ∈R )是偶函数，说明μ=0.f(x)的最大值为f(x)max =f(μ)=σπ21,所以σ=1，这个正态分布就是标准正态分布. 查标准正态分布表得：在区间（-∞,0.2）中的概率P 1=0.579 3，设区间（-∞,-1.2）中的概率为P 2，则在区间（-1.2,0.2）中的概率为P 1-P 2.设P 3为总体落在（-∞,0）内的概率，易知P 3=0.5,P 4是总体落在（-1.2，0）内的概率，由正态曲线的对称性知它等于总体落在（0,1.2）内的概率，也就是等于总体落在（-∞,1.2）内的概率减去总体落在（-∞,0）内的概率：0.884 9-0.5=0.384 9. 所以P 2=0.5-0.384 9=0.115 1.所以所求总体在（-1.2,0.2）中的概率为P 1-P 2=0.579 3-0.115 1=0.464 2. 11．设ξ~N(1,22),试求： （1）P （ξ>2）,P(0≤ξ≤2);(2)求常数c ，使P （ξ>c ）=4P(ξ≤c).（参考数据：Φ（0.5）=0.691 5,Φ=(0.84)=0.800 0)解析：（1）P （ξ>2)=1-P(ξ≤2)=1-Φ(212-)=1-Φ(0.5)=0.308 5. P(0≤ξ≤2)=Φ(212-)-Φ(210-)=Φ(0.5)-Φ(-0.5)=Φ(0.5)-［1-Φ(0.5)］=0.383 0. (2)由P （ξ>c)=4P （ξ≤c),得1-P （ξ≤c ）=4P(ξ≤c),P(ξ≤c)= 51=0.2.∴Φ(21-c )=0.2,∴Φ(21c -)=1-Φ(21-c )=0.8.则21c -=0.84,c=0.68.12．生产工艺工程中产品的尺寸偏差ξ(mm)~N(0,22),如果产品的尺寸与现实的尺寸偏差的绝对值不超过3 mm 的为合格品，求生产的5件产品的合格率不小于80%的概率. 解析：由题意，ξ~N(0,22) ∴P(|ξ|≤3)=Φ(23)-Φ(-23)=Φ(1.5)-Φ(-1.5)=2Φ(1.5)-1=0.866 4. 设η表示5件产品中合格品数.∴η~B(5,P)(其中P=P （|ξ|≤3）),∴P(η≥5×0.8)=P(η≥4)=45C ×(0.866 4)4×0.133 6+(0.866 4)5≈0.376 4+0.488 19≈0.865.故生产的5件产品的合格率不小于80%的概率约为0.865. 13．分别求正态总体N （μ,σ2）在区间（μ-σ,μ+σ）、(μ-2σ,μ+2σ)内取值的概率. 解析：F （μ+σ）=Φ［σμσμ)(+］=Φ(1),F(μ-σ)=Φ［σμσμ)(-］=Φ(-1),所以正态总体N （μ,σ2）在（μ-σ,μ+σ）内取值的概率是F （μ+σ）-F(μ-σ)=Φ(1)-Φ(-1)=Φ(1)-［1-Φ(1)］ =2Φ(1)-1=2×0.841 3-1≈0.683;同理，正态总体N （μ,σ2）在（μ-2σ,μ+2σ）内取值的概率是 F （μ+2σ）-F(μ-2σ)=Φ(2)-Φ(-2)≈0.954. 拓展探究14．已知总体服从正态分布N （120，3.62）,求满足下列条件的个体在总体中所占的比例. （1）数值不大于129； （2）数值大于108；（3）数值在112.8与123.6之间.解析：由正态分布N （120，3.62）得总体平均数μ=120,σ=3.6. (1)F （129）=Φ(6.3120129-)=Φ(2.5)≈0.993 8.即数值不大于129的个体在总体中所占的比例为0.993 8. (2)F(108)=Φ(6.3120108-)=Φ(-3.33)=1-Φ(3.33).∴1-F(108)≈Φ(3.33)≈0.999 6,即数值大于108的个体在总体中所占的比例为0.999 6.(3)F(112.8)=Φ(6.31208.112-)=Φ(-2)=1-Φ(2).F=(123.6)=Φ(6.31208.112-)=Φ(1).∴F(123.6)-F(112.8)=Φ(1)+Φ(2)--1=0.818 6. 即数值在112.8与123.6之间的个体在总体中所占的比例为0.818 6.。
最新人教版高中数学选修2-3《正态分布》课后训练
课后训练一、选择题1．(2013陕西西安模拟)设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝φμ，σ(x)2108x(-)-，则这个正态总体的平均数与标准差分别是()A．10与8 B．10与2C．8与10 D．2与102．设两个正态分布N(μ1，σ12)(σ1＞0)和N(μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有()A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ23．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X＞4)＝() A．0.158 8 B．0.158 7C．0.158 6 D．0.158 54．已知随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，则E(2ξ＋1)与D(2ξ＋1)的值分别为() A．13,4 B．13,8C．7,8 D．7,165．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X＞C＋1)＝P(X＜C－1)，则C＝() A．1 B．3 C．2 D．56．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从X～N(50，102)，则他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率为() A．0.682 6 B．0.997 4C．0.317 4 D．0.954 4二、填空题7．设在一次数学考试中，某班学生的分数服从ξ～N(110,202)，且知满分150分，这个班的学生共54人．则这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数的和约为__________人．8．某班有50名学生，一次考试的成绩ξ(ξ∈N)近似服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班数学成绩在110分以上的人数为__________．三、解答题9．设X～N(1,22)，试求：(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)；(3)P(X≥5)．10．正态总体当μ＝0，σ＝1时的概率密度函数是φμ，σ(x)22x-，x∈R．(1)证明φμ，σ(x)是偶函数；(2)求φμ，σ(x)的最大值；(3)利用指数函数的性质说明φμ，σ(x)的增减性．参考答案1答案：B 解析：由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2．2答案：A 解析：根据正态分布密度曲线的性质：正态分布密度曲线是一条关于直线x ＝μ对称，在x ＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”，结合图象可知μ1＜μ2，σ1＜σ2．故选A ．3答案：B 解析：P (X ＞4)＝12[1－P (2≤X ≤4)]＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7． 4答案：D 解析：由已知E (ξ)＝3，D (ξ)＝4，得E (2ξ＋1)＝2E (ξ)＋1＝7，D (2ξ＋1)＝4D (ξ)＝16．5答案：C 解析：∵X ～N (2,9)，∴P (X ＞C ＋1)＝P (X ＜3－C )．又P (X ＞C ＋1)＝P (X ＜C －1)，∴3－C ＝C －1．∴C ＝2．6答案：D 解析：∵X ～N (50,102)，μ＝50，σ＝10，∴P (30＜X ≤70)＝P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4．7答案：54 解析：因为ξ～N (110,202)，所以μ＝110，σ＝20，P (110－20＜ξ≤110＋20)＝0.682 6．所以ξ＞130的概率为12(1－0.682 6)＝0.158 7． 所以ξ≥90的概率为0.682 6＋0.158 7＝0.841 3．所以及格的人数为54×0.841 3≈45，130分以上的人数为54×0.158 7≈9．故所求的和约为45＋9＝54人．8答案：10 解析：考试的成绩ξ服从正态分布N (100,102)，∴考试的成绩ξ关于ξ＝100对称．∵P (90≤ξ≤100)＝0.3，∴P (100≤ξ≤110)＝0.3．∴P (ξ＞110)＝0.2．∴该班数学成绩在110分以上的人数约为0.2×50＝10．9答案：解：因为X ～N (1,22)，所以μ＝1，σ＝2，如图．P (－1＜X ≤3)＝P (1－2＜X ≤1＋2)＝P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6．答案：因为P (3＜X ≤5)＝P (－3＜X ≤－1)，所以P (3＜X ≤5)＝12[P (－3＜X ≤5)－P (－1＜X ≤3)] ＝12[P (1－4＜X ≤1＋4)－P (1－2＜X ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ＜x ≤μ＋σ)] ＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9．答案：因为P (X ≥5)＝P (X ≤－3)，所以P (X ≥5)＝12[1－P (－3＜X ≤5)] ＝12[1－P (1－4＜X ≤1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)] ＝12(1－0.954 4)＝0.022 8．9答案：证明：对于任意的x ∈R ，φμ，σ(－x )22()22x x---=＝φμ，σ(x )，所以φμ，σ(x )是偶函数．答案：解：令z ＝22x ，当x ＝0时，z ＝0，e －z ＝1；当x ≠0时，2x z ＞0，e z＞1，由于y ＝e z 是关于z 的增函数，所以当x ＝0(即z ＝0)时，202e e x-=取得最大值．这时φμ，σ(x )0=．答案：任取x 1＜0，x 2＜0且x 1＜x 2有2212>22x x ，所以221222e >e x x ，所以221222x x--，即φμ，σ(x 1)＜φμ，σ(x 2)．它表明当x ＜0时，φμ，σ(x )是递增的． 又因为φμ，σ(x )是偶函数，所以φμ，σ(x )在(0，＋∞)上是减函数．。
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课后导练基础达标1.设投掷1颗骰子的点数为ξ，则( )A.Eξ=3.5,Dξ=3.52B.Eξ=3.5,Dξ=1235C.Eξ=3.5,Dξ=3.5D.Eξ=3.5,Dξ=1635解析：ξ可以取1，2，3，4，5，6.P(ξ=1)=P(ξ=2)=P(ξ=3)=P(ξ=4)=P(ξ=5)=P(ξ=6)= 61, ∴Eξ=1×61+2×61+3×61+4×61+5×61+6×61=3.5, Dξ=［(1-3.5)2+(2-3.5)2+(3-3.5)2+(4-3.5)2+(5-3.5)2+(6-3.5)2］×65.1761=1235. 答案：B2.设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为ξ，则下列结论正确的是( )A.Eξ=0.1B.Dξ=0.1C.P(ξ=k)=0.01k ·0.9910-kD.P(ξ=k)= kC 10·0.99k ·0.0110-k 解析：ξ—B(n,p),Eξ=10×0.01=0.1. 答案：A3.已知ξ—B(n,p)，且Eξ=7,Dξ=6,则p 等于 ( )A.71 B.61 C.51 D.41 解析：Eξ=np=7,Dξ=np(1-p)=6,所以p=71.答案：A4.一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病 的牛的头数为ξ,则Dξ等于( )A.0.2B.0.8C.0.196D.0.804 解析：Dξ=10×0.02×0.98=0.196. 答案：C5.有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1、ξ2,已知Eξ1=Eξ2,Dξ1＞Dξ2,则自动包装机_______________的质量较好.解析：Eξ1=Eξ2说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样.Dξ1＞Dξ2说明甲 机包装重量的差别大，不稳定.∴乙机质量好. 答案：乙 综合运用6.下列说法正确的是( )A.离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值.B.离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平.C.离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平.D.离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值. 答案：C7.设服从二项分布B(n,p)的随机变量ξ的期望和方差分别是2.4与1.44,则二项分布的参数 n 、p 的值为 ( )A.n=4,p=0.6B.n=6,p=0.4C.n=8,p=0.3D.n=24,p=0.1 解析：由Eξ=2.4=np,Dξ=1.44=np(1-p)可得1-p=4.244.1=0.6,p=0.4,n=4.04.2=6. 答案：B8.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6,现有4颗子弹，命中后的 剩余子弹数目ξ的期望为( )A.2.44B.3.376C.2.376D.2.4 解析：ξ=0,1,2,3,此时P(ξ=0)=0.43,P(ξ=1)=0.6×0.42,P(ξ=2)=0.6×0.4,P(ξ= 3)=0.6,Eξ=2.376. 答案：C9.某市出租车的起步价为6元，行驶路程不超过3 km 时，租车费为6元，若行驶路程超过3 km ，则按每超出1 km(不足1 km 也按1 km 计程)收费3元计费.设出租车一天行驶的路程数ξ(按整km 数计算，不足1 km 的自动计为1 km)是一个随机变量，则其收费也是一个随机变量. 已知一个司机在某个月每次出车都超过了3 km ，且一天的总路程数可能的取值是200、220、240、260、280、300(km)，它们出现的概率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a 2+3a 、4a. (1)求这一个月中一天行驶路程ξ的分布列，并求ξ的数学期望和方差； (2)求这一个月中一天所收租车费η的数学期望和方差.解析：(1)由概率分布的性质有，0.12+0.18+0.20+0.20+100a 2+3a+4a=1. ∴100a 2+7a=0.3, ∴1 000a 2+70a-3=0,a=1003,或a=-101(舍去)， 即a=0.03,∴100a 2+3a=0.18,4a=0.12, ∴ξ的分布列为：ξ 200 220 240 260 280 300 P 0.12 0.18 0.20 0.20 0.18 0.12 ∴Eξ=200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0.20+280×0.18+300×0.12=250(km). Dξ=502×0.12+302×0.18+102×0.20+102×0.20+302×0.18+502×0.12=964; (2)由已知η=3ξ-3(ξ＞3,ξ∈Z ), ∴Eη=E(3ξ-3)=3Eξ-3=3×250-3=747(元)，Dη=D(3ξ-3)=32Dξ=6 723 拓展探究10.一台设备由三大部件组成，在设备运转中，各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20 和0.30.假设各部件的状态相互独立，以ξ表示同时需要调整的部件数，试求ξ的数学期望 Eξ和方差Dξ.解析：设A 1={部件i 需要调整}(i=1,2,3),则P(A 1)=0.1,P(A 2)=0.2,P(A 3)=0.3.由 题意，ξ有四个可能值0，1，2，3.由于A 1,A 2,A 3相互独立，可见 P(ξ=0)=P(321A A A )=0.9×0.8×0.7=0.504;P(ξ=1)=P(A 132A A )+P(1A A 23A )+P(21A A A 3)=0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3=0.398; P(ξ=2)=P(A 1A 23A )+P(A 12A A 3)+P(1A A 2A 3)=0.1×0.2×0.7+0.1×0.8×0.3+0.9×0.2×0.3=0.092; P(ξ=3)=P(A 1A 2A 3)=0.1×0.2×0.3=0.006. ∴Eξ=1×0.398+2×0.092+3×0.006=0.6, Dξ=Eξ2-(Eξ)2=1×0.398+4×0.092+9×0.006-0.62=0.82-0.36=0.46. 备选习题11.在一个盒子里装有大小相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数为ξ，则下式等于22622214122C C C C 的是( ) A.P(0＜ξ≤2) B.P(0≤ξ≤1) C.Dξ D.Eξ 答案：B12.精制食盐每袋的质量是随机变量，期望值为500 g ，标准差为5 g ，求装有50袋这种食 盐的一箱质量(不含箱子的质量)的数学期望与标准差.解析：设ξi 表示第i 袋食盐的重量(i=1,2,…,50),η表示一箱食盐的总重量，则η=∑=501i iξ.∵各ξi 相互独立，且Eξi =500,i D ξ=5(i=1,2,…,50), ∴E η=E(∑=501i iξ)=∑=501i iE ξ=25 000 g,Dη=D(∑=501i iξ)=∑=501i iD ξ=∑=5012)(i i D ξ=1 250 g 2, ∴ηD ≈35.4 g.13.若ξ是离散型随机变量，P （ξ=x 1)= 53,P(ξ=x 2)= 52,且x 1＜x 2,又知Eξ=57，Dξ=256. 求ξ的分布列.解析：依题意ξ只取2个值x 1与x 2，于是有Eξ=35x 1+52x 2=57, Dξ=53x 12+52x 22-Eξ2=256. 从而得方程组⎩⎨⎧=+=+.1123,723222121x x x x 解之得⎩⎨⎧==2,121x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.54,5921x x而x 1＜x 2,∴x 1=1,x 2=2. ∴ξ的分布列为ξ1 2P53 52 14.把4个球随机地投入4个盒子中去，设ξ表示空盒子的个数,求Eξ、Dξ. 解析：ξ的所有可能取值为0，1，2，3.P （ξ=0）=6464444=A ，P （ξ=1）=643644342414=A C C ,P(ξ=2) =6421442224242424=+C C C C C ,P(ξ=3) =6414414=C .∴ξ的分布列为 ξ0 1 2 3P646 6436 6421 641∴Eξ=6481,Dξ2641695. 15.摇奖器有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金（元）为这3个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望. 解析：设此次摇奖数额为ξ元，当摇出的3个小球均标有数字2时，ξ=6;当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，ξ=9；当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时ξ=12.所以，P （ξ=6）=15731038=C C ，P （ξ=9）=1573101228=C C C ， P （ξ=12）=1513102218=C C C ， Eξ=6×157+9×157+12×151=539(元)即此次摇奖获得奖金数额的数学期望是539元.。
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课后导练基础达标1.如果提出统计假说：某工人制造的零件尺寸服从正态分布N （μ，σ2）,当随机抽取其一个值a 时，下列哪种情况中，可以说明假设不成立( )A.a ∈(μ-3σ,μ+3σ)B.a ∉(μ-3σ,μ+3σ)C.a ∈(μ-2σ,μ+2σ)D.a ∉(μ-2σ,μ+2σ) 答案：B2.设随机变量ξ服从正态分布N(10,22)，且P(|ξ-10|＜a)=0.9,则a=___________(a 取整数). 答案：a=3.3.正态总体的概率密度函数f(x)=2)5.2(22--x e π(x ∈R )，则正态总体在区间(1,4)内取值的概率________________.答案：0.9974.ξ服从标准正态分布.试求:(1)P(ξ＜1.8); (2)P(-1＜ξ＜1.5);(3)P(ξ＞1.5); (4)P(|ξ|＜2).解析：标准正态曲线关于y 轴对称，且有P （x ＜x 0）=Φ(x 0),Φ(-x 0)=1-Φ(x 0)，关于Φ（x ）的计算可查标准正态分布表，可得（1）P （ξ＜1.8）=Φ(1.8)=0.964 1;(2)P(-1＜ξ＜1.5)=Φ(1.5)-Φ(-1)=0.933 2-1+Φ(1)=0.774 5;(3)P(ξ＞1.5)=1-Φ(1.5)=1-0.933 2=0.066 8;(4)P(|ξ|＜2)=Φ(2)-Φ(-2)=2Φ(2)-1=2×0.977 2-1=0.954 4.5.在某次人事录用考试中，某科的分数ξ—N(80,100)(满分100分)，已知某考生通过查分得知自己的成绩为92分，且排名第20名，而总共录取人数为50名，问录取分数线约为多少（若下限分数有相同者，再补充其他规定）.解析：因为ξ—N(80,100)，由条件知P(ξ≥92)=1-P(ξ＜92)=1-Φ(108092-)=1-Φ(1.2)=1-0.884 9=0.115 1. 这说明成绩在92分和92分以上的这20名考生在全体考生中占11.51%. 因此考生总数大致为1151.020≈174名， 故前50名考生在全体考生中占的比例为0.287 4.设第50名考生的成绩为x ，则P(ξ≥x)=1-P(ξ＜x)=1-Φ(1080-x )=0.287 4. Φ(1080-x )=0.712 6,1080-x =0.56,解得x=85.6.所以录取分数线约为86分. 综合运用6.总体密度曲线是函数f(x)=222)(21σμπσ--x e ,x ∈R 的图象的正态总体有以下命题：(1)正态曲线关于直线x=μ对称；(2)正态曲线关于直线x=σ对称；（3）正态曲线与x 轴一定不相交；（4）正态曲线与x 轴一定相交，其中正确的命题是( )A.(2)(4)B.(1)(4)C.(1)(3)D.(2)(3)答案：C7.假设总体服从正态分布N(3,41)时，如果要拒绝这个统计假设，则在一次试验中的取值a 应落在区间____________内.答案：a ∈(-∞,49］∪［415,+∞). 8.设随机变量ξ—N(μ,σ2)，而且已知P （ξ＜0.5）=0.079 3,P(ξ＞1.5)=0.761 1,求μ与σ. 解析：因为ξ—N(μ,σ2)，所以P （ξ＜0.5）=Φ(σμ-5.0)=0.079 3,即1-Φ(σμ5.0-)=0.079 3, 所以Φ(σμ5.0-)=0.920 7，查表得σμ5.0-=1.41,易得σμ5.0-=0.71.解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-71.05.141.15.0σμσμ,得⎩⎨⎧==43.1515.2σμ. 9.假设某次数学考试成绩ξ服从正态分布N(70,102)，已知第100名的成绩是60分，求第20名的成绩约是多少分？解析：由题意可知：P(ξ≥60)=1-P(ξ＜60)=1-Φ(107060-)=1-Φ(-1)=0.841 3.这说明数学成绩在60分和60分以上的考生（共100名）在全体考生中占84.13%，因此考生总数大致为8413.0100≈119名，故前20名考生在全体考生中的比率大约为：11920≈0.168 1.设t 为第20名考生的成绩，则有P(ξ≥t)=1-Φ(1070-t )≈0.168 1.从而Φ(1070-t )≈0.831 9,经查表，得1070-t ≈0.96，于是第20名学生的数学成绩约为79.6分. 拓展探究10.一投资者在两个设资方案中选择一个，这两个投资方案的利润x （万元）分别服从正态分布N （8，32）和N （6，22），投资者要求利润超过5万元的概率尽量地大，那么他应选择哪一个方案？解析：对第一个方案，有x —N(8,32),于是P （x ＞5）=1-P(x≤5)=1-F(5)=1-Φ(385-)=1-Φ(-1)=1-［1-Φ(1)］=Φ(1)=0.841 3.对第二个方案，有x —N(6，22),于是P （x ＞5）=1-P(x≤5)=1-F(5)=1-Φ(265-)= 1-Φ(-0.5)=Φ(0.5)=0.691 5.相比之下，“利润超过5万元”的概率以第一个方案为好，可选第一个方案.备选习题11.设随机变量ξ—N(μ,σ2)，且P （ξ≤C ）=P(ξ＞C),则C 等于( )A.0B.σC.-μD.μ解析：由正态曲线的图象关于直线x=μ对称可得答案为D.答案：D12.某厂生产的零件外直径ξ—N （8.0,0.152）(mm)，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9 mm 和7.5 mm ，则可认为( )A.上、下午生产情况均为正常B.上、下午生产情况均为异常C.上午生产情况正常、下午生产情况异常D.上午生产情况异常、下午生产情况正常 解析：根据3 σ原则，在8+3×0.15=8.45(mm)与8-3×0.15=7.55(mm)之外时为异常. 答案：C13.随机变量ξ服从正态分布N （0,1）,如果P （ξ＜1）=0.841 3,求P （-1＜ξ＜0）. 解析：∵ξ—N(0,1),∴P(-1＜ξ＜0)=P(0＜ξ＜1)=Φ(1)-Φ(0)=0.841 3-0.5=0.341 3.14.将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器设定在d ℃，液体的温度ξ(单位：℃)是一个随机变量，且ξ—N(d,0.52).(1)若d=90°,求ξ＜89的概率；（2）若要保持液体的温度至少为80℃的概率不低于0.99，问d 至少是多少？（其中若η—N(0,1),则Φ（2）=P （η＜2）=0.977 2，Φ(-2.327)=P(η＜-2.327)=0.01）.解析：(1)要求P （ξ＜89）=F(89)，∴ξ—N(d,0.5)不是标准正态分布，而给出的是Φ（2），Φ（-2.327），故需转化为标准正态分布的数值.P(ξ＜89)=F(89)=Φ(5.09089-)=Φ(-2)=1-Φ(2)=1-0.977 2=0.022 8. (2)由已知d 满足0.99≤P(ξ≥80),即1-P(ξ＜80)≥1-0.01,∴P(ξ＜80)≤0.01.∴Φ(5.080d -)≤0.01=Φ(-2.327). ∴5.080d -≤-2.327. d≥81.163 5.故d 至少为81.163 5.15.已知测量误差ξ—N(2,100)(cm)，必须进行多少次测量，才能使至少有一次测量误差的绝对值不超过8 cm 的频率大于0.9?解析：设η表示n 次测量中绝对误差不超过8 cm 的次数，则η—B(n,p).其中P=P （|ξ|＜8）=Φ(1028-)-Φ(1028--)=Φ(0.6)-1+Φ(1)=0.725 8-1+0.841 3=0.567 1. 由题意，∵P(η≥1)＞0.9,n 应满足P(η≥1)=1-P(η=0)=1-(1-p)n ＞0.9,∴n ＞75.24329.0lg 1)5671.01lg()9.01lg(=-=--. 因此，至少要进行3次测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过8 cm 的概率大于0.9.16.某企业准备通过招聘考试招收300名职工，其中正式工280人，临时工20人，报考的人数是1 675人，考试满分是400分，考试后得知，考试平均成绩μ=166分，360分以上的高分考生有31人，某考生甲得256分，问他能否录取？能否被聘为正式工？（参考数据：标准正态分布表（部分））Φ（x 0）=p(x ＜x 0)x 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … … … … … … … … … … … 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8213 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 … … … … … … … … … … …2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.98080 .981 0.9817 解析：分二步解答.第一步，预测最低分线，设最低分数线为x 1,考生的成绩为ξ,则对一次成功的考试来说，ξ服从正态分布.由题意知：ξ—N(166,σ),∴η=σξ166-—N(0,1).∵高于360分考生占全体考生165731,∴P(ξ＞360)=P(η＞σ166360-)=165731, ∴P(η≤σ166360-)=1-165731≈0.981,由题后附表可知σ166360-=2.08,即σ=93,∴ξ—N(166,93).∵最低分数线的确定应该使录取考生的概率等于1657300.即P(η＜931661-x )=1657300,∴P(η≤931661-x )=1-1657300≈0.819,查附表得931661-x =0.91. ∴x 1≈251，即最低分数线为251分.第二步，预测考生甲的考试名次，确定他是否能被录取，在ξ=256时，由题后附表知：P(η≤93166-ξ)=P(η≤93166256-)=P(η≤0.968)≈0.831 5. ∴P(η＞93166256-)≈1-0.831 5=0.168 5. 这说明，考试成绩高于256分的概率是0.168 5，也就是成绩高于考生甲的人数大约占考生总数的16.85%，∴名次排在考生甲之前的考生人数大约有1 657×16.85%≈280名.即考生甲大约排名在281名.由于一共招收300名.故考生甲可以被录取.但正式工只招280名，而281＞280，所以考生甲不能聘为正式工，但被录取为临时工的可能性很大.。
人教新课标版数学高二人教A选修2-3试题 2.4正态分布 (2)
2.4正态分布基础梳理1．正态曲线函数φμ，σ(x)＝12πσe－（x－μ）22σ2，x∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ>0)为参数)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．2．正态分布(1)如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝b aφμ，σ(x)d x，则称随机变量X 服从正态分布．(2)记作：X～N(μ，σ2)．3．正态曲线的性质(1)曲线在x轴上方，与x轴不相交．(2)曲线是单峰的，关于直线x＝μ对称．(3)曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π．(4)曲线与x轴之间的面积为1.(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．(6)如图所示：当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“辞矮”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．4．3σ原则：正态总体几乎取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.002_6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．自测自评1．设有一正态总体，它的正态分布密度曲线是函数f (x )的图象，且f (x )＝18πe －（x －10）28，则这个正态总体的均值与标准差分别是(B )A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10 解析：把函数f (x )＝18πe －（x －10）28化简成正态密度函数为f (x )＝12π×2e －（x －10）22×22，易知这个正态总体的均值与标准差分别是10与2.2．如图，曲线C 1：f (x )＝12πσ1e －（x －μ1）22σ21(x ∈R )，曲线C 2：φ(x )＝12πσ2e －（x －μ2）22σ22(x ∈R )，则(D )A ．μ1＜μ2B ．曲线C 1与x 轴相交 C ．σ1＞σ2D ．曲线C 1、C 2分别与x 轴所夹的面积相等3．(2013·惠州一模)设随机变量ξ服从正态分布N (3，4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 的值为 (A )A.73B.53C ．5D ．3 解析：因为随机变量ξ服从正态分布N (3，4)，因为P (ξ<2a －3)＝p (ξ>a ＋2)，所以2a －3与a ＋2关于x ＝3对称，所以2a －3＋a ＋2＝6，所以3a ＝7，所以a ＝73.故选A.不能正确应用正态分布的对称性致误【典例】 随机变量ξ服从正态分布N (0，1)，如果P (ξ≤1)＝0.841 3，求P (－1<ξ≤0)． 解析：如图所示，因为P (ξ≤1)＝0.413，所以P (ξ>1)＝1－0.413＝0.158 7.所以P (ξ≤－1)＝0.158 7，所以P (－1<ξ≤0)＝0.5－0.158 7＝0.341 3.【易错剖析】本题易有如下错解： P (－1<ξ≤0)＝12[1－P (ξ≤1)]＝12(1－0.841 3)＝0.0793 5.这是用错正态分布的对称性造成的．由于ξ～N (0，1)，所以对称轴为x ＝0，所以与(－1，0)对称的区间应为(0，1)，与(1，＋∞)对称的区间为(－∞，－1)．基础巩固1．设随机变量X ～N (μ，σ2)，且P (X ≤c )＝P (X >c )，则c 的值是(C) A ．－μ B ．0 C ．μ D ．σ22．已知随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)，则P (ξ<3)等于(D) A.15 B.14 C.13 D.12解析：∵ξ～N (3，σ2)，∴ξ＝3为正态分布的对称轴，∴P (ξ<3)＝12.3．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤ 2)＝(C) A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954 D ．0.977 解析：∵ξ～N (0，σ2)，∴μ＝0，即图象关于y 轴对称，∴P (－2≤ ξ≤ 2)＝1－P (ξ<－2)－P (ξ>2)＝1－2P (ξ>2)＝1－2× 0.023＝0.954.4．正态变量的概率密度函数f (x )＝12πe －（x －3）22，x ∈R 的图象关于直线x ＝3对称，f (x )能力提升5.工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N (μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1 000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为(C)A ．7B ．10C ．3D ．6解析：∵P (μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＝0.9974，∴不属于区间(μ－3σ，μ－3σ)内的零点个数约为1000×(1－0.9974)＝2.6≈3个．6．(2014·哈师大附中高二期中)已知随机变量ξ服从正态分布N (1，4)，则P (－3<ξ<5)＝ (参考数据：P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974)(B)A ．0.6826B ．0.9544C ．0.0026D ．0.9974解析：由ξ～N (1，4)知，μ＝1，σ＝2，∴μ－2σ＝－3，μ＋2σ＝5，∴P (－3<ξ<5)＝P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，故选B.7. 一批灯泡的使用时间X (单位：小时)服从正态分布N (10 000，4002)，则这批灯泡使用时间在(9 200，10 800]内的概率是________．解析：μ＝10 000，σ＝400，所以P (9 200<X ≤10 800)＝P (10 000－2×400<X ≤10 000＋2×400)＝0.954 4.答案：0.954 4 8．设X ～N (0，1)：①P (－ε＜X ＜0)＝P (0＜X ＜ε)； ②P (X ＜0)＝0.5；③若P (－1＜X ＜1)＝0.683，则P (X ＜－1)＝0.158 5； ④若P (－2＜X ＜2)＝0.954，则P (X ＜2)＝0.977； ⑤若P (－3＜X ＜3)＝0.997，则P (X ＜3)＝0.998 5. 其中正确的有①②③④⑤(填序号)．9．某个工厂的工人月收入服从正态分布N (500，202)，该工厂共有1200名工人，试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少．解析：设该工厂工人的月收入为ξ，则ξ～N (500，202)，所以μ＝500，σ＝20，所以月收入在区间(500－3×20，500＋3×20)内取值的概率是0.9974，该区间即(440，560)． 因此月收入在440元以下和560元以上的工人大约有1200×(1－0.9974)＝1200×0.0026≈3(人)． 10．已知某种零件的尺寸X (单位：mm)服从正态分布，其正态分布曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f (80)＝182π. (1)求正态分布的概率密度函数的解析式；(2)估计尺寸在72～88 mm(不包括72 mm ，包括88 mm)间的零件大约占总数的百分比． 解析：(1)因为正态分布曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数． 所以正态分布关于直线x ＝80对称，且在x ＝80处达到峰值，所以μ＝80. 又12πσ＝182π，所以σ＝8， 故正态分布的概率密度函数的解析式为f(x)＝182πe－（x－80）2128.(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88.所以零件的尺寸X位于区间(72，88]内的概率为0.682 6.故尺寸在72～88 mm(不包括72 mm，包括88 mm)间的零件大约占总数的68.26%.。
最新人教版高中数学选修2-3《正态分布》示范教案
最新人教版高中数学选修2-3《正态分布》示范教案2.4 正态分布整体设计：正态分布是高中数学新增内容之一，也是统计学中的重要内容。
它是学生进一步应用正态分布解决实际问题的理论依据，同时也是许多分布的近似描述。
因此，正态分布在理论研究中占有很重要的地位。
教材分析：本章节的课时分配为1课时，教学目标包括掌握正态分布在实际生活中的意义和作用，加深对正态密度函数和正态曲线的理解，以及归纳正态曲线的性质。
教学方法主要是通过观察并探究规律，提高分析问题和解决问题的能力，同时培养数形结合、函数与方程等数学思想方法。
情感、态度与价值观方面，通过教学中的探究过程，使学生体验发现的快乐，培养学生的进取意识和科学精神。
重点难点：教学重点为正态曲线的性质和标准正态曲线N(0,1)；教学难点为通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。
教学过程：复旧知：回顾曲边梯形的面积S=∫bf(x)dx的意义，以及频率分布直方图和频率分布折线图的作法和意义。
这一部分的设计意图是通过学过的知识来探究新问题，驱动学生思维的自觉性和主动性，让学生亲身感受知识的发生过程，既反映了数学的发展规律，又符合学生的思维特征和认知规律。
探究新知：教师提出问题：同学们知道高尔顿板试验吗？通过小球落入各个小槽中的频率分布情况来认识正态分布。
活动设计包括教师板书课题和学生阅读课本中关于高尔顿板的内容。
接着，教师提出问题：(1)运用多媒体画出频率分布直方图。
(2)当n由1,000增至2,000时，观察频率分布直方图的变化。
(3)请问当样本容量n无限增大时，频率分布直方图变化的情况如何？(频率分布就会无限接近一条光滑曲线——总体密度曲线)。
(4)样本容量越大，总体估计就越精确。
改写后的文章：2.4 正态分布整体设计：正态分布是高中数学新增内容之一，也是统计学中的重要内容。
它是学生进一步应用正态分布解决实际问题的理论依据，同时也是许多分布的近似描述。
因此，正态分布在理论研究中占有很重要的地位。
数学选修2-3课后导练：2.4 二项分布 含解析 精品
课后导练基础达标1.已知随机变量X 服从二项分布X ～B (6,31),则P (X =2)等于(A .1613B .2434C.24313D.24380 解析:P (X =2)=26C (31)2(1-31)4=24380答案:D2.在4次独立重复试验中,随机事件A 恰好发生一次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是(A .［0.4,1)B .(0,0.6］ C.(0,0.4］ D.［0.6,1)解析:14C P (1-P )3≤24C P 2(1-P )2,4(1-P )≤6PP ≥0.4,又0<P <1,∴0.4≤P 答案:A3.如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是(A .94B .92 C.32 D.31 解析:由独立事件发生的概率得P =9416141614=∙C C CC故选 答案:A4.某家庭正常用水(一天24小时用水不超过一定量)的概率为43,在5天内至少有4天用水正常的概率为_________.解析:(43)5+45C (43)4(1-41)=12881答案: 128815.如果在一次试验中,某事件A 发生的概率为P ,那么在n 次独立重复试验中,这件事A 发生偶数次的概率为_________.解析:由题意,X ～B (n ,p ),且X 取不同值时事件互斥.设p ∴P =P (X =0)+P (X =2)+P (X=444222`00--++n n n n n n qp C q p C q pC=21［(q+p )n +(q-p )n ］=21［1+(1-2p )n ］答案: 21［1+(1-2p )n ］6.某地震监测站预报的准确率为0.60那么连续5次预报中有4次准确的概率为________.解析:P =45C ·0.64答案:0.267.将一枚均匀硬币随机投掷100次,求正好出现50次正面的概率. 解析:掷一次硬币可以看作一次试验,每次有两个可能的结果:出现正面或不出现正面.由于硬币是均匀的,所以出现正面的概率为0.5,因此掷100次硬币可以看作100次独立重复试验如果用X 表示出现正面的次数,则X 服从n p 的二项分布那么所求概率为P (X =50)=5050501005010050501005.05.0)1(⨯⨯=--C P P C ≈0.08.8.100件产品中有3件不合格品,每次取一件,有放回地抽取三次,求取得不合格品件数X 的分布列.解析:X 可能取的值为0,1,2,3,由于是有放回地每次取一件,连续取三次,所以这相当于做3次独立重复试验,一次抽取到不合格品的概率p =0.03.因此P (X =0)=03C ·0.030·(1-0.03)3P (X =1)=13C ·0.031·(1-0.03)2P (X =2)= 23C ·0.032·(1-0.03)1 P (X =3)=33C ·0.033·(1-0.03)0分布列为:9.某局域网的出口处有5条支线,设每条支线在1小时内平均上网时间为20分钟,并且每支线是否上网是随机的,且互相独立,问在此出口应设置几个接口,使5条支线能随机使用这几个接口之一时,每条支线的上网率不小于0.95?解析:设ξ为任一时刻上网的支线数目,由题意,每条支线任一时刻上网的概率为31,且5条支线是否上网是相互独立的,因此ξ～B (531,),故P (ξ=k)=k C 5 (31)k ·(32)5-k ,k=0,1,2,3,4,5.设出口处设置m 个接口,则能保证不超过m 条支线同时上网,要使每条支线的上网率不小于0.95,即5条支线中不超过m 条支线同时上网的概率不小于0.95,即P (ξ≤m )≥0.95.由P (ξ≤3)=1-P (ξ=4)-P (ξ=5)=0.955>0.95,P (ξ≤2)=P (ξ=0)+P (ξ=1)+P=0.790<0.95,因此要设置3个接口.10.设一射手平均射击10次中靶4次,求在5次射击中 (1)恰击中1次的概率(2)第二次击中的概率(3)恰击中2次的概率(4)第二、三两次击中的概率解析:由题设,此射手射击1次中靶的概率为0.4,此射手射击5次,看作独立重复试验,可用公式P (k)=kn C ·P k (1-p )n -k(1)n =5,k=1,得P (1)=15C p (1-p )4(2)事件“第二次击中”表示第一,三,四,五次击中或击不中都可,它不同于“击中一次”也不同于“第二次击中,其他各次都不中”,不能用独立重复试验的概率公式,其实“第二次击中”的概率,就是此射手“射击一次击中”的概率为(3)n =5,k=2,得P (2)=25C p 2(1-p )3(4)第二、三两次击中“表示第一次,第四次,及第五次可中可不中”,所以概率为0.4×0.4=0.16.综合运用 11. 一射手对同一目标独立地进行四次射击,已知至少命中一次的概率为8180,则此射手的命中率为(A .31B .23 C.41 D.52 解析:设此射手射击目标命中的概率为P , 由已知1-(1-p )4=8180解得p =32答案:B12.小王通过英语听力测试的概率是31,他连续测试3次,那么其中恰有1次获得通过的概率是(A .94B .92C.274 D.272 解析:所求概率P =13C ·(31)1·(1-31)3-1=94答案:A13.在4次独立重复试验中事件A 出现的概率相同,若事件A 至少发生一次的概率为8165,则事件A 在1次试验中出现的概率为(A .31 B .52C.65D.以上都不对 解析:A 至少发生一次的概率为8165,则A 的对立事件A :事件A 都不发生的概率为1-8165 =8116=(32)4,所以,A 在一次试验中出现的概率为1-32 =31 答案:A 拓展探究14. 某篮球职业联赛总决赛在甲、乙两支球队之间进行,比赛采用五局三胜制,即哪个队先胜三场即可获得总冠军.已知在每一场比赛中,甲队获胜的概率均为32,乙队获胜的概率均为31.求(1)甲队以3∶0获胜的概率 (2)甲队获得总冠军的概率.解析:(1)设“甲队以3∶0获胜”为事件A ,则P (A )=(32)3=278(2)设“甲队获得总冠军”为事件B ,则事件B 包含以下结果:3∶0,3∶1,3∶2三种情况.若以3∶0胜,则P 1=(32)3=278若以3∶1胜,则P 2=23C (32)2·31·32=;278 若以3∶2胜,则P 3=24C (32)2·(31)2·32=8116所以甲队获得总冠军的概率为P (B )=P 1+P 2+P 3=8164.。
人教新课标版数学高二-选修2-3导学案 2.4正态分布
2.4正态分布导学案周；使用时间17 年月日；使用班级；姓名（配合配套课件、限时练使用效果更佳）【学习目标】1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题．【检查预习】预习相应课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答. 【自主学习】知识点一正态曲线思考函数f(x)＝12πσe－(x－μ)22σ2的图象如图所示．试确定函数f(x)的解析式．1．正态曲线：函数φμ，σ(x)＝12πσe－(x－μ)22σ2，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．2．正态曲线的性质：(1)曲线位于x轴________，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线________对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值________；(4)曲线与x轴之间的面积为______；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示：知识点二正态分布一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝__________，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数______和______确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．知识点三3σ原则1．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝________；(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝________；(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝________.2．通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．【合作探究】类型一正态曲线的图象的应用例1如图所示的是一个正态分布，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体期望和方差．类型二利用正态分布的对称性求概率例2设X～N(1,22)，试求：(1)P(－1<X≤3)；(2)P(3<X≤5)；(3)P(X>5)．类型三正态分布的应用例3设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，已知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．【学生展示】探究点一、二【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题【当堂检测】1．某市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正确的是()A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都居中D．甲、乙、丙总体的平均数不相同2．设X ～N ⎝⎛⎭⎫－2，14，则X 落在(－3.5，－0.5]内的概率是( ) A ．95.44%B ．99.74%C ．4.56%D ．0.26%3．设随机变量X ～N (1,22)，则D ⎝⎛⎭⎫12X 等于________．4．如图是三个正态分布X ～N (0,0.25)，Y ～N (0,1)，Z ～N (0，4)的密度曲线，则三个随机变量X ，Y ，Z 对应曲线分别是图中的________、________、________.5．设随机变量X ～N (0,1)，求P (X ≤0)，P (－2<X <2)．【当堂检测】【小结作业】作业：本节限时练。
人教版高中数学选修2-3知识讲解,巩固练习(教学资料,补习资料)：专题2.4 正态分布
2.4 正态分布知识1．正态曲线我们把函数,()x μσϕ=______________，(,)x ∈-∞+∞（其中μ是样本均值，σ是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．2．正态分布随机变量X 落在区间(,]a b 的概率为()P a X b <≤=______________，即由正态曲线，过点(,0)a 和点(,0)b 的两条x 轴的垂线，及x 轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是X 落在区间(,]a b 的概率的近似值．一般地，如果对于任何实数a ，()b a b <，随机变量X 满足,()()d bax P a X b x μσϕ<≤=⎰，则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数μ，σ确定，因此正态分布常记作2(,)N μσ．如果随机变量X 服从正态分布，则记为2(,)X N μσ～．其中，参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．3．正态曲线的性质（1）曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线______________对称； （3）曲线在x μ=处达到峰值（最大值）12σπ；（4）曲线与x 轴之间的面积为1；（5）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．正态分布的3σ原则若2(,)X N μσ～，则对于任意的实数0a >，,()d ()a aP a X a x x μμμσϕμμ+--<≤+=⎰为下图中阴影部分的面积，对于固定的μ和a 而言，该面积随着σ的减小而变大．这说明σ越小，X 落在区间(,]a a μμ-+的概率越大，即X 集中在μ周围的概率越大．特别地，有()0.P X μσμσ-<≤+=；(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=；(3P X μσ-<3)μσ≤+0.9974=．由(33)P X μσμσ-<≤+0.9974=，知正态总体几乎总取值于区间______________之内．而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布2(,)N μσ的随机变量X 只取(3,3)μσμσ-+之间的值，并简称之为3σ原则．知识参考答案：1．22()21e 2x μσσ--π 2．,()d bax x μσϕ⎰3．x μ=4．(3,3)μσμσ-+重点重点 正态曲线的性质，与正态分布有关的概率问题难点 3σ原则的理解及运用易错求解概率时对正态曲线的性质理解不透彻从而导致错误重点 利用正态曲线的对称性求概率对于正态分布2(,)N μσ，由直线x μ=是正态曲线的对称轴可知：（1）对任意的a ，有()()P X a P X a μμ<-=>+； （2）001()()P X x P X x <=-≥；（3）()()()P a X b P X b P X a <<=<-≤．已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，()40.76P X <=，则(0)P X ≤=A ．0.24B ．0.48C ．0.52D ．0.76【答案】A【解析】由2(2,)X N σ～，可知其正态曲线如下图所示，对称轴为直线2x =， 则(0)P X ≤=(4)P X ≥=1410().760.24P X =-<=-=．故选A ．【名师点睛】利用正态曲线的对称性求概率是正态分布的基本题型，也是高考考查的重点．解题的关键是利用对称轴x μ=确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助图形判断．若随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，已知( 1.9)0.028P ξ<-=，则||( 1.9)P ξ<=A ．0.028B ．0.056C ．0.944D ．0.972【答案】C【名师点睛】针对0μ=的正态分布，求某区间上的取值概率时常利用如下两个公式： ①0()1P X x <-=-0()P X x ≤； ②()()()P a X b P X b P X a <<=<-≤．难点 由特殊区间求概率解决此类问题一定要把握服从2(,)N μσ的随机变量X 在三个特殊区间的取值概率，将所求概率向()P X μσμσ-<≤+，(22)P X μσμσ-<≤+；(3P X μσ-<3)μσ≤+转化，然后利用特定值求出相应概率．同时，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1这些特殊性质．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X （单位：kg ）服从正态分布(,4)N μ，且正态分布密度曲线如下图所示．若体重大于58 kg 小于等于62kg 属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数约为A ．997B ．954C ．819D ．683【答案】D【解析】由题意，可知60μ=，2σ=，故(5862)()0.6826P X P X μσμσ<≤=-<≤+=， 从而属于正常情况的人数是1 0000.6826683⨯≈．故选D ．难点 利用3σ原则做决策某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数为1000μ=g ，21σ=，为了检验设备运行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量．当检验员随机地抽取一个产品，测得其质量为1007g 时，他立即要求停止生产，检查设备．他的决定是否有道理呢？ 【答案】见解析．【解析】如果设备正常运行，产品质量服从正态分布2(,)N μσ，根据3σ原则可知，产品质量在3μσ-=10003997g -=和3100031003g μσ+=+=之间的概率为0.9974， 而质量超出这个范围的概率只有0.0026，这是一个几乎不可能出现的事件． 但是检验员随机抽取的产品为1007g ，这说明设备的运行极可能不正常， 因此检验员的决定是有道理的．【名师点睛】若随机变量服从正态分布2(,)N μσ，由此做假设检验时，按如下步骤进行： ①确定一次试验中的取值a 是否落入范围(3,3)μσμσ-+；②作出判断，如果(3,3)a μσμσ∈-+，则接受统计假设，如果(3,3)a μσμσ∉-+，则拒绝统计假设．基础训练1．正态分布密度函数为φμ，σ(x )＝281e 8πx -，x ∈(－∞，＋∞)，则总体的平均数和标准差分别是A ．0和8B ．0和4C ．0和2D ．0和22．某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的分布可视为正态分布，如图所示，则下列说法中正确的一个是A ．乙科总体的标准差及平均数不相同B ．甲、乙、丙三科的总体的平均数不相同C ．丙科总体的平均数最小D ．甲科总体的标准差最小3．若随机变量ξ的密度函数为221()e 2πx f x -=，ξ在(－2，－1)和(1，2)内取值的概率分别为p 1、p 2，则p 1、p 2的关系为 A ．p 1＞p 2 B ．p 1＜p 2 C ．p 1＝p 2D ．不确定4．设随机变量ξ服从正态分布N (0，1)，P (ξ>1)＝p ，则P (－1<ξ<0)＝ A ．12p B ．1－p C ．1－2pD ．12－p 5．随机变量X ～N (μ，σ2)，则Y ＝aX ＋b 服从 A ．N (aμ，σ2)B ．N (0，1)C ．N (a μ，2bσ)D ．N (aμ＋b ，a 2σ2)6．已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，若( 1.1)0.023P ξ>=，则( 1.1 1.1)P ξ-≤≤= A ．0.954 B ．0.023 C ．0.977D ．0.0467．如果随机变量ξ服从N(μ，σ)，且E(ξ)＝3，D(ξ)＝1，那么μ＝______________，σ＝______________．8．已知X～N(1.4，0.052)，则X落在区间(1.35，1.45)中的概率为________________．9．某砖瓦厂生产的砖的“抗断强度”X服从正态分布N(30，0.82)，质检人员从该厂某一天生产的1000块砖中随机抽查一块，测得它的“抗断强度”为27.5kg/cm2，你认为该厂这一天生产的这批砖是否合格？为什么？10．已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其密度函数图象如图．（1）写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式；（2）求此地农民工年均收入在8000～8500之间的人数百分比．能力提升11．随机变量ξ～N (2，100)，若ξ落在区间(－∞，k )和(k ，＋∞)内的概率是相等的，则k =A ．2B ．10C ． 2D ．可以是任意实数12．以φ(x )表示标准正态总体在区间(－∞，x )内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布(μ，σ2)，则概率P (|ξ－μ|<σ)＝A ．φ(μ＋σ)－φ(μ－σ)B ．φ（1）－φ(－1)C ．1()μϕσ-D ．2φ(μ＋σ)13．若随机变量2(,)(0)X N μσσ>～，则有如下结论：()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(2P μσ-<2)0.9544X μσ≤+=，(33)P X μσμσ-<≤+0.9974=．已知某年级有600名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为110，方差为100，理论上说在120分到130分之间的学生人数约为 A ．68 B ．70 C ．82D ．9014．若随机变量X 的概率密度函数是2(2)81()e ()22πx f x x +-=∈R ，则(21)E X -＝________________．15．某人乘车从A 地到B 地，所需时间（分钟）服从正态分布N （30，100），求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率．16．已知随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，其正态曲线在(0),8-∞上是增函数，在(80,)+∞上为减函数，且7288()0.6826P X <≤=． （1）求参数μ，σ的值； （2）求7(64)2P X <≤的值．真题练习17．（2019湖北模拟）设211(,)X N μσ～，222(,)Y N μσ～，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥18．（2019山东模拟）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.26P μσξμσ-<<+=，(2P μσξ-<<2)95.44%μσ+=）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%19．（2018新课标全国Ⅰ理）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．①利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求()E X ．附：15012.2≈．若2(,)Z N μσ～，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)P Z μσμσ-<<+0.9544=．20．（2019四川模拟）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，16162221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2≈，0.0080.09≈．参考答案1．【答案】C【解析】根据正态分布密度曲线()()222,1e 2πx x μσμσϕσ--=⋅知μ＝0，σ＝2．故选C ．2．【答案】D【解析】由图象知甲、乙、丙三科的平均分一样，但标准差不同，σ甲<σ乙<σ丙．故选D ． 3．【答案】C【解析】由题意知，μ＝0，σ＝1，所以曲线关于x ＝0对称，所以p 1＝p 2．故选C ． 4．【答案】D【解析】由于随机变量服从正态分布N (0，1)，由标准正态分布图象可得 P (－1<ξ<1)＝1－2P (ξ>1)＝1－2p ．故P (－1<ξ<0)＝12P (－1<ξ<1)＝12－p ．故选D ． 5．【答案】D【解析】由X ～N (μ，σ2)知E (X )＝μ，D (X )＝σ2，∴E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ＝aμ＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )＝(aσ)2，从而Y ～N (aμ＋b ，a 2σ2)．故选D ．7．【答案】3 1【解析】∵ξ～N (μ，σ)，∴E (ξ)＝μ＝3，D (ξ)＝σ2＝1，∴σ＝1．8．【答案】0.6826【解析】因为μ＝1.4，σ＝0.05，所以X 落在区间(1.35，1.45)中的概率为P (1.4－0.05<X ≤1.4＋0.05)＝0.6826． 9．【答案】见解析．【解析】由于在一次试验中X 落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率约99.7%，故X 几乎必然落在上述区间内．把μ＝30，σ＝0.8代入，得μ－3σ＝30－3×0.8＝27.6，μ＋3σ＝30＋3×0.8＝32.4， 即(μ－3σ，μ＋3σ)＝(27.6，32.4)，而27.5∉(27.6，32.4)，所以认为这批砖不合格． 10．【答案】（1）22(8000)25001()e,(,)5002πx P x x --⨯=∈-∞+∞；（2）34.13%．11．【答案】A【解析】由于ξ的取值落在(－∞，k )和(k ，＋∞)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x ＝k 的左侧和右侧与x 轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x ＝k 对称，即μ＝k ，而μ＝2，∴k ＝2．故选A ． 12．【答案】B【解析】设||ξμησ-=，则P (|ξ－μ|<σ)＝P (|η|<1)＝φ(1)－φ(－1)．故选B ．13．【答案】C【解析】由题意，这600名同学的数学成绩服从正态分布2(110,10)X N ～，(120130)P X <<=1[(1102011020)(1101011010)]0.13592P X P X -<<+--<<+=， 故120分到130分之间的人数约为0.135960082⨯≈，故选C ． 14．【答案】－5【解析】由概率密度函数解析式可知其图象的对称轴是直线x ＝－2，可得μ＝－2， 即E (X )＝－2，因此E (2X －1)＝2E (X )－1＝－5． 15．【答案】0.1359．【解析】∵()0.6826P X μσμσ-<<+=，∴10.6826()2P X μσ->+=． ∴10.682610.6826()1222P X μσ-<+=-=+． 又(22)0.9544P X μσμσ-<<+=， ∴10.9544(2)2P X μσ->+=． ∴10.954410.9544(2)1222P X μσ-<+=-=+． ∴(2)(2)()P X P X P X μσμσμσμσ+<<+=<+-<+10.954410.6826()2222=+-+ 1(0.95440.6826)2=⨯- 0.1359=．∵30μ=，10σ=，∴(4050)0.135 9P X <<=．因此，此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率是0.1359． 16．【答案】（1）80μ=，8σ=；（2）0.1359．【解析】（1）因为正态曲线在(0),8-∞上是增函数，在(80,)+∞上为减函数， 所以正态曲线关于直线80x =对称，所以80μ=．又7288()0.6826P X <≤=，结合()0.6826P X μσμσ-<≤+=可知8σ=． （2）因为(2P μσ-<2)0.9544X μσ≤+=，且()(6496)P X P X <=>， 所以16410.95441(0.04560.02282)()2P X <=-=⨯=⨯， 所以()640.9772P X >=． 又1()(()1721728810.68260.15872)()2P X P X ≤=-<≤=⨯-=，所以()()()647264720.9772(10.15870.13)59P X P X P X <≤=>->=--=． 17．【答案】C【解析】由正态分布密度曲线的性质可知，211(,)X N μσ～，222(,)Y N μσ～的密度曲线分别关于1μ=x ，2μ=x 对称，因此结合所给图象可得21μμ<且211(,)X N μσ～的密度曲线较222(,)Y N μσ～的密度曲线“瘦高”，所以210σσ<<，所以对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤．故选C ． 18．【答案】B【解析】用ξ表示零件的长度，根据正态曲线的性质可得1(36)[(66)2P P ξξ<<=⨯-<<-0.95440.6826(33)]0.13592P ξ--<<==．故选B ．19．【答案】（1）200,150；（2）①0.6826；②68.26．【解析】（1）抽取产品的质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s 分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯150=．（2）①由（1）知，Z 服从正态分布(200,150)N ，从而(187.8212.2)P Z <<(20012.2P Z =-<<20012.2)0.6826+=． ②由①可知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826， 依题意知(100,0.6826)X B ～， 所以()1000.682668.26E X =⨯=．20．【答案】（1）(1)0.0408P X ≥≈，()0.0416E X =；（2）（ⅰ）见解析，（ⅱ）μ的估计值为10.02，σ的估计值为0.09．【思路分析】（1）根据题设条件知一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，则零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，而~(16,0.0026)X B ，进而可以求出X 的数学期望；（2）（i ）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率是大还是小，若小即合理；（ii ）根据题设条件算出μ的估计值和σ的估计值，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，算出剩下数据的平均数，即为μ的估计值，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的样本方差，即为σ的估计值． 【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974， 从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)X B ． 因此16(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-≈．X 的数学期望为()160.00260.0416E X =⨯=．（2）（i ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平．求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望．正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的3σ原则．。
人教新课标版数学高二-人教数学选修2-3练习 2.4正态分布(备选)
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高中数学 选修2-3 第二章 2.4
1．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ<0)＝( )
A ．0.16
B ．0.32
C ．0.68
D ．0.84
[答案] A
[解析] 由条件知μ＝2，
∴P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝1－P (ξ≤4)＝0.16.
2．(2013·玉溪一中月考)设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 的值等于( )
A ．73
B ．53
C ．5
D ．3 [答案] A
[解析] 已知ξ～N (3,4)，所以μ＝3，
又因为P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，
所以(2a －3)＋(a ＋2)2＝3，解得a ＝73
. 3．已知某种零件的尺寸ξ(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，
在(80，＋∞)上是减函数，且f (80)＝182π
. (1)求概率密度函数；
(2)估计尺寸在72mm ～88mm 间的零件大约占总数的百分之几？
[解析] (1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x ＝80对称，且在x ＝80处取得最大值，因此得μ＝80. 12π·σ＝182π
，所以σ＝8. 故概率密度函数解析式是φμ，σ(x )＝182π
e －(x －80)2128. (2)尺寸在72mm ～88mm 之间的零件的百分率，即在(80－8,80＋8)之间的概率为68.26%.。
人教新课标版数学高二-人教选修2-3练习2-4正态分布
选修2-3 2.4一、选择题1．下列函数中，可以作为正态分布密度函数的是( )A ．f (x )＝12πe －(x －1)22 B ．f (x )＝12π·σe (x －2)22σ2 C ．f (x )＝12πσe －(x －μ)22σ2 D ．f (x )＝12πe －(x －μ)22π[答案] A2．已知ξ～N (0,62)，且P (－2≤ξ≤0)＝0.4，则P (ξ>2)等于( )A ．0.1B ．0.2C ．0.6D ．0.8[答案] A[解析] 由正态分布曲线的性质知P (0≤ξ≤2)＝0.4，∴P (－2≤ξ≤2)＝0.8，∴P (ξ>2)＝12(1－0.8)＝0.1，故选A.3．若随机变量ξ～N (2,100)，若ξ落在区间(－∞，k )和(k ，＋∞)内的概率是相等的，则k 等于( )A ．2B ．10 C. 2D ．可以是任意实数 [答案] A[解析] 由于ξ的取值落在(－∞，k )和(k ，＋∞)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x ＝k 的左侧和右侧与x 轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x ＝k 对称，即μ＝k ，而μ＝2.∴k ＝2.5．(2010·山东理，5)已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( )A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.977[答案] C[解析] ∵P (ξ>2)＝0.023，∴P (ξ<－2)＝0.023，故P (－2≤ξ≤2)＝1－P (ξ>2)－P (ξ<－2)＝0.954.6．以φ(x )表示标准正态总体在区间(－∞，x )内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布(μ，σ2)，则概率P (|ξ－μ|<σ)等于( )A ．φ(μ＋σ)－φ(μ－σ)B ．φ(1)－φ(－1)C ．φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－μσD ．2φ(μ＋σ)[答案] B[解析] 设η＝|ξ－μ|σ，则P (|ξ－μ|<σ)＝P (|η|<1)＝φ(1)－φ(－1)．[点评] 一般正态分布N (μ，σ2)向标准正态分布N (0,1)转化．7．给出下列函数：①f (x )＝12πσe －(x ＋μ)22σ2；②f (x )＝12πe －(x －μ)24；③f (x )＝12·2πe －x 24；④f (x )＝1πe －(x －μ)2，其中μ∈(－∞，＋∞)，σ＞0，则可以作为正态分布密度函数的个数有( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] 对于①，f (x )＝12πσe －(x ＋μ)22σ2.由于μ∈(－∞，＋∞)，所以－μ∈(－∞，＋∞)，故它可以作为正态分布密度函数；对于②，若σ＝1，则应为f (x )＝12πe －(x －μ)22.若σ＝2，则应为f (x )＝12π·2e －(x －μ)24，均与所给函数不相符，故它不能作为正态分布密度函数；对于③，它就是当σ＝2，μ＝0时的正态分布密度函数；对于④，它是当σ＝22时的正态分布密度函数．所以一共有3个函数可以作为正态分布密度函数．8．(2008·安徽)设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2[答案] A[解析]根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示总体分布的分散与集中．由图可得，故选A.二、填空题10．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．[答案] 1[解析]正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．∵区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x＝1对称，所以正态分布的数学期望就是1.11．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为____________．[答案]0.8[解析]∵μ＝1，∴正态曲线关于直线x＝1对称．∴在(0,1)与(1,2)内取值的概率相等．12．(2010·福安)某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值范围为________．[答案](24.94,25.06)[解析]正态总体N(25,0.032)在区间(25－2×0.03，25＋2×0.03)取值的概率在95%以上，故该厂生产的零件尺寸允许值范围为(24.94,25.06)．。
人教版高中数学选修2-3练习：2.4正态分布
学业分层测评(建议用时： 45 分钟 )[ 学业达标 ]一、选择题1．设随机变量ξ～ N(2,2)，则 D 1ξ2＝()A．1B． 2 1D． 4 C.2【分析】∵ξ～ N(2,2)，∴ D(ξ)＝2.∴D 1111ξD(ξ)＝4×2＝2.2【答案】C2．以下函数是正态密度函数的是()A．f(x)＝1 e2σπx－μ222σ，μ，σ(σ>0)都是实数x22π－2 B．f(x)＝2πeC．f(x)＝1x－2e－4 2 2π1x2D．f(x)＝e2π2【分析】对于 A ，函数的系数部分的二次根式包括σ，并且指数部分的符号是正的，故 A 错误；对于 B，切合正态密度函数的分析式，此中σ＝ 1，μ＝0，故 B 正确；对于 C，从系数部分看σ＝2，但是从指数部分看σ＝ 2，故 C 不正确；对于 D，指数部分缺乏一个负号，故 D 不正确．【答案】B221，σ12，σ23．(2015 ·湖北高考 )设 X～ N(μ)，Y～N(μ)，这两个正态散布密度曲线如图 2-4-6 所示，以下结论中正确的选项是 ()图 2-4-6A．P(Y≥μ2) ≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2) ≤P(X≤σ1)C．对随意正数 t， P(X≥t) ≥P(Y≥t)D．对随意正数 t， P(X≤t) ≥P(Y≤t)1【分析】由图象知，μ1＜μ2，σ1＜σ2，P(Y≥μ2)＝2，1P(Y≥μ1)＞2，故 P(Y≥μ2)＜ P(Y≥μ1)，故 A 错；因为σ1＜σ2，因此P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，故B错；对随意正数 t，P(X≥t)＜P(Y≥t)，故 C 错；对随意正数 t，P(X≤t)≥P(Y≤t)是正确的，应选 D.【答案】D4．某厂生产的部件外直径X～N(8.0,0.022 5)，单位： mm，今从该厂上、下午生产的部件中各随机拿出一个，测得其外直径分别为7.9 mm 和 7.5 mm，则可以为()A．上、下午生产状况均为正常B．上、下午生产状况均为异样C．上午生产状况正常，下午生产状况异样D．上午生产状况异样，下午生产状况正常【分析】依据 3σ原则，在 (8－3×0.15,8＋3×0.15]即(7.55,8.45]以外时为异常．联合已知可知上午生产状况正常，下午生产状况异样．【答案】C5． (2015 ·山东高考 )已知某批部件的长度偏差(单位：毫米 ) 听从正态散布N(0,32)，从中随机取一件，其长度偏差落在区间(3,6)内的概率为 ()2(附：若随机变量ξ听从正态散布N(μ，σ)，则 P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋ 2σ)＝95.44%.)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D． 31.74%【分析】由正态散布的概率公式知P(－ 3＜ξ＜ 3)＝0.682 6，P(－ 6＜ξ＜ 6)＝ 0.954 4，故 P(3＜ξ＜ 6)＝P－6＜ξ＜－P－3＜ξ＜＝20.954 4－0.682 6＝0.135 9＝ 13.59%，应选 B.2【答案】B二、填空题6．已知正态散布落在区间 (0.2，＋∞)内的概率为 0.5，那么相应的正态曲线f(x)在 x＝ ________时达到最高点 . 【导学号： 97270054】【分析】由正态曲线对于直线x＝μ对称且在 x＝μ处达到峰值和其落在区间 (0.2，＋∞)内的概率为 0.5，得μ＝0.2.【答案】 0.27．已知正态整体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间 (3,5)里的概率相等，那么这个正态整体的数学希望为________．【分析】正态整体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，此外，因为区间(－ 3，－ 1)和区间 (3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要找出对称轴．因为正态曲线对于直线 x＝μ 对称，μ的概率意义是希望，因为区间 (－3，－ 1)和区间 (3,5) 对于 x＝1 对称 (－1 的对称点是 3，－ 3 的对称点是 5)，因此数学希望为 1.【答案】128．已知正态散布 N(μ，σ)的密度曲线是f(x)＝1x－μ2， x∈R.给出以下四个命题：e－22πσ2σ①对随意 x∈R， f( μ＋ x)＝f( μ－ x)建立；②假如随机变量2，且＝，那么是上的增X 听从 N(μ，σF(x)P(X<x)F(x)R)函数；③假如随机变量 X 听从 N(108,100)，那么 X 的希望是 108，标准差是 100；2，1，P(X>2)＝p，则 P(0<X<2) ＝1－2p.④随机变量 X 听从 N(μ，σ＝)P(X<1)2此中，真命题的序号是 ________． (写出全部真命题的序号 )2【分析】画出正态散布 N(μ，σ)的密度曲线以以下图：由图可得：①图象对于 x＝μ对称，故①正确；②跟着 x 的增添， F(x) ＝P(ξ<x)也跟着增添，故②正确；③假如随机变量ξ听从 N(108,100)，那么ξ的希望是 108，标准差是 10；④由图象的对称性，可得④正确．故填①②④.【答案】①②④三、解答题29．在一次测试中，丈量结果 X 听从正态散布 N(2，σ)( σ >0)，若 X 在(0,2]内取值的概率为 0.2，求：(1)X 在(0,4]内取值的概率；(2)P(X>4)．【解】2(1)因为 X ～ N(2，σ)，对称轴 x＝2，画出表示图如图．因为 P(0<X≤2)＝P(2<X≤4)，因此 P(0<X≤4)＝ 2P(0<X≤2)＝2×0.2＝0.4.11(2)P(X>4)＝2[1－ P(0<X≤ 4)]＝2(1－0.4)＝0.3.10．一建筑工地所需要的钢筋的长度X ～N(8,22)，质检员在检查一大量钢筋的质量时，发现有的钢筋长度小于 2 米，这时，他是让钢筋工持续用切割机截钢筋呢，仍是停下来检修切割机？【解】因为 X ～N(8,22)，依据正态散布的性质可知，正态散布在 (8－ 3×2,8 ＋ 3×2)以外的取值概率仅为 0.3%，长度小于 2 米的钢筋不在 (2,14)内，因此质检员应让钢筋工立刻停止切割，并对切割机进行检修．[ 能力提高 ]1．(2015 ·南高考湖 )图 2-4-7在如图 2-4-7 所示的正方形中随机扔掷10 000 个点，则落入暗影部分(曲线C为正态散布 N(0,1)的密度曲线 )的点的个数的预计值为 ()A．2 386B． 2 718C．3 413 D．4 7722附：若 X ～N(μ，σ)，则 P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P( μ－2σ <X≤μ＋2σ)＝0.954 4.【分析】由 P(－ 1<X≤1)＝0.682 6，得 P(0<X≤1)＝ 0.341 3，则暗影部分的0.341 3面积为 0.341 3，故预计落入暗影部分的点的个数为10 000 ×1×1＝3 413，应选C.【答案】C2．已知一次考试共有 60 名同学参加，考生的成绩 X ～N(110，52)，据此估计，大概应有57 人的分数在以下哪个区间内 ()A．(90,110] B．(95,125]C．(100,120]D． (105,115]57【分析】由60＝0.95，切合 P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，因此在 (100,120]内．应选 C.【答案】C3．设随机变量ξ听从正态散布 N(0,1)，则以下结论正确的选项是 ________．(填序号 )①P(| ξ|<a)＝P(ξ<a)＋P(ξ>－a)(a>0)；②P(| ξ|<a)＝2P(ξ<a)－1(a>0)；③P(| ξ|<a)＝1－ 2P(ξ<a)(a>0)；④P(| ξ|<a)＝1－ P(| ξ|>a)(a>0)．【分析】因为 P(| ξ|<a)＝ P(－a<ξ<a)，因此①不正确；因为 P(| ξ|<a)＝P(－ a<ξ<a)＝ P(ξ<a)－P(ξ<－a)＝ P(ξ<a)－P(ξ>a)＝ P(ξ<a)－(1－ P(ξ<a))＝2P(ξ<a)－ 1，因此②正确，③不正确；因为 P(| ξ|<a)＋P(| ξ|>a)＝ 1，因此 P(| ξ|<a)＝1－P(| ξ|>a)(a>0)，因此④正确．【答案】②④4．(2014 全·国卷Ⅰ )从某公司生产的某种产品中抽取500 件，丈量这些产品的一项质量指标值，由丈量结果得以下频次散布直方图：图 2-4-8(1)求这 500 件产质量量指标值的样本均匀数－2x和样本方差 s (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 )；(2)由直方图能够以为，这类产品的质量指标值Z 听从正态散布2 N(μ，σ)，－22此中μ近似为样本均匀数 x，σ 近似为样本方差s .①利用该正态散布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该公司购置了100 件这类产品，记X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间 (187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X) ．附：150≈12.2.2若 Z～ N(μ，σ)，则 P( μ－σ <Z<μ＋σ)＝0.682 6，P( μ－ 2σ <Z<μ＋2σ)＝0.954 4.【解】(1)抽取产品的质量指标值的样本均匀数－2分别为x和样本方差 s－x ＝ 170×0.02＋ 180×0.09 ＋ 190×0.22＋ 200×0.33＋ 210×0.24 ＋ 220×0.08＋230×0.02＝ 200，s2＝ ( － 30)2×0.02 ＋ ( － 20)2×0.09 ＋ ( － 10)2×0.22 ＋ 0×0.33 ＋ 102×0.24 ＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由 (1)知， Z～N(200,150)，进而 P(187.8<Z<212.2)＝ P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝ 0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为 0.682 6，依题意知 X ～ B(100，0.682 6)，因此 E(X) ＝100×0.682 6＝68.26.。
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课后导练基础达标1．若设随机变量ξ~N(μ,σ2),且P （ξ≤c ）=P(ξ>c),则c 的值为（ ）A.0B.μC.-μD.σ解析：由正态曲线知：曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，其概率为图象与x 轴以及垂直于x 轴的直线所围成的图形的面积，如图可得c=μ,答案为B 项.答案：B2.利用标准正态分布表，求标准正态总体N （0，1）在（-0.5,1.5）内取值的概率（ ）A.0.624 7B.0.375 3C.0.246 7D.1解析：P （-0.5<x<1.5）=Φ(1.5)-Φ(-0.5)= Φ(1.5 )-［1-Φ(0.5)］=Φ(1.5)+Φ(0.5)-1=0.933 2+0.691 5-1=0.624 7.故选A 项.答案：A3．若随机变量X~N （5，22）则P （3<X≤7）=___________,P(X≤3)= ___________,P(X>7)= ___________.解析：∵P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6,P(3<X≤7)=P(5-2<X≤5+2)=0.682 6,结合图象P （X≤3）=P （X>7）,∴P(X≤3)=P(X>7)=21［1-P （3<X≤7）］=0.1577. 答案：0.682 6 0.157 7 0.157 74．灯泡厂生产的白炽灯泡寿命为ξ(单位：小时)，已知ξ~N(1 000,302)，要使灯泡的平均寿命为1 000小时的概率不小于99.7%，应将灯泡的寿命控制在___________小时以上. 解析：∵ξ~N(1 000,302),∴ξ在（1 000-3×30,1 000+3×30）,即（910，1 090）内取值的概率为0.997，故应将灯泡的寿命控制在910小时以上.答案：9105.某中学高考数学成绩近似地服从正态分布N （100，102），求此校数学成绩在120分以上的考生占总人数的百分比.解析：P （X>120）=1-P(X≤120)=1-［Ｐ（８０≤ X≤ 120）+P(X<80)］,又P （X>120）=P(X<80),∴P(X>120)= 21［1-P （80≤X≤120）］=21 (1- 0.954 4 )=0.022 8. 所以，此校数学成绩在120分以上的考生占总人数的2.28%.6.设ξ~N(3,22)，借助于Φ（x ）表示，求：（1）P （-2<ξ<7）;(2)确定C 的值，使得P （ξ>C ）=P(ξ≤C).解析：（1）P （-2<ξ<7）=Φ(237-)-Φ(232--) =Φ(2)-Φ(-2.5)=Φ(2)-［1-Φ(2.5)］=0.977 2-［1-0.993 8］=0.971 0.(2)∵P(ξ>C)=1-P(ξ≤C),又P(ξ>C)=P(ξ≤C),∴P(ξ≤C)=0.5,而P （ξ≤C)=Φ(23-C )=0.5, 查Φ(x)表，得Φ（0）=0.5.故23-C =0,∴C=3. 7.随机变量ξ~N(μ,σ2),而且已知P （ξ<0.5）=0.079 3,P(ξ>1.5)=0.761 1,求μ与σ2.解析：∵ξ~N （μ,σ2）,∴P(ξ<0.5)=Φ(σμ-5.0)=0.079 3, 即1-Φ(σμ-5.0)=0.920 7. ∴Φ(σμ-5.0)=0.920 7,查表得σμ-5.0=1.41. 又P （ξ>1.5)=1-P （ξ≤1.5)=1-Φ(σμ-5.1)=0.761 1. ∴Φ(σμ5.1-)=0.761 1. 查表得σμ5.1-=0.71. 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-71.05.1,41.15.0σμσμ得⎩⎨⎧==.43.1,515.2σμ ∴μ=2.515,σ2=2.044 9.8.某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间（单位为分）服从正态分布N （50，102）；第二条路线沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布N （60，42）.（1）若只有70分钟可用，问应走哪条路线？（2）若只有65分钟可用，又应走哪条路线？解析：设ξ为行车时间.（1）走第一条路线，及时赶到的概率为P （0<ξ≤70）=Φ(105070-)-Φ(10500-) ≈Φ(105070-)=Φ(2)=0.977 2; 走第二条路线及时赶到的概率为 P （0<ξ≤70）≈Φ(105065-)=Φ(2.5)=0.993 8, 因此在这种情况下应走第二条路线.（2）走第一条路线及时赶到的概率为 P(0<ξ≤65)≈Φ(105065-)=Φ(1.25)=0.933 2; 走第二条路线及时赶到的概率为P （0<ξ≤65）≈Φ(105065-)=Φ(1.25)=0.894 4, 因此在这种情况下应走第一条路线.9.正态总体当μ=0,σ=1时的概率密度函数是f(x)=2221x e -π,x ∈R . (1)证明f(x)是偶函数；（2）求f(x)的最大值.解析：(1)对于任意的x ∈R, f(-x)=2)(222x e --π=2221x e -π=f(x).所以f(x)是偶函数.（2）令z=22x .当x=0时，z=0,e x =1; 当x≠0时，z>0,e z >1.由于e z 是关于z 的增函数，所以当x=0(即z=0)时，22x e=e z 取得最小值，所以当x=0时，f(x)=2221x e -π取得最大值π21. 综合运用10．某正态总体的概率密度是偶函数，而且该函数的最大值为π21,求总体落入区间（-∞,0.2）及（-1.2,0.2）之内的概率.解析：正态分布的概率密度函数f(x)=222)(21σμσπ--x e (x ∈R )是偶函数，说明μ=0.f(x)的最大值为f(x)max =f(μ)=σπ21,所以σ=1，这个正态分布就是标准正态分布. 查标准正态分布表得：在区间（-∞,0.2）中的概率P 1=0.579 3，设区间（-∞,-1.2）中的概率为P 2，则在区间（-1.2,0.2）中的概率为P 1-P 2.设P 3为总体落在（-∞,0）内的概率，易知P 3=0.5,P 4是总体落在（-1.2，0）内的概率，由正态曲线的对称性知它等于总体落在（0,1.2）内的概率，也就是等于总体落在（-∞,1.2）内的概率减去总体落在（-∞,0）内的概率：0.884 9-0.5=0.384 9.所以P 2=0.5-0.384 9=0.115 1.所以所求总体在（-1.2,0.2）中的概率为P 1-P 2=0.579 3-0.115 1=0.464 2.11．设ξ~N(1,22),试求：（1）P （ξ>2）,P(0≤ξ≤2);(2)求常数c ，使P （ξ>c ）=4P(ξ≤c).（参考数据：Φ（0.5）=0.691 5,Φ=(0.84)=0.800 0)解析：（1）P （ξ>2)=1-P(ξ≤2)=1-Φ(212-)=1-Φ(0.5)=0.308 5. P(0≤ξ≤2)=Φ(212-)-Φ(210-)=Φ(0.5)-Φ(-0.5)=Φ(0.5)-［1-Φ(0.5)］=0.383 0. (2)由P （ξ>c)=4P （ξ≤c),得1-P （ξ≤c ）=4P(ξ≤c),P(ξ≤c)= 51=0.2. ∴Φ(21-c )=0.2, ∴Φ(21c -)=1-Φ(21-c )=0.8. 则21c -=0.84,c=0.68. 12．生产工艺工程中产品的尺寸偏差ξ(mm)~N(0,22),如果产品的尺寸与现实的尺寸偏差的绝对值不超过3 mm 的为合格品，求生产的5件产品的合格率不小于80%的概率.解析：由题意，ξ~N(0,22)∴P(|ξ|≤3)=Φ(23)-Φ(-23)=Φ(1.5)-Φ(-1.5)=2Φ(1.5)-1=0.866 4. 设η表示5件产品中合格品数.∴η~B(5,P)(其中P=P （|ξ|≤3）),∴P(η≥5×0.8)=P(η≥4)=45C ×(0.866 4)4×0.133 6+(0.866 4)5≈0.376 4+0.488 19≈0.865.故生产的5件产品的合格率不小于80%的概率约为0.865.13．分别求正态总体N （μ,σ2）在区间（μ-σ,μ+σ）、(μ-2σ,μ+2σ)内取值的概率.解析：F （μ+σ）=Φ［σμσμ)(+］=Φ(1), F(μ-σ)=Φ［σμσμ)(-］=Φ(-1), 所以正态总体N （μ,σ2）在（μ-σ,μ+σ）内取值的概率是F （μ+σ）-F(μ-σ)=Φ(1)-Φ(-1)=Φ(1)-［1-Φ(1)］=2Φ(1)-1=2×0.841 3-1≈0.683;同理，正态总体N （μ,σ2）在（μ-2σ,μ+2σ）内取值的概率是F （μ+2σ）-F(μ-2σ)=Φ(2)-Φ(-2)≈0.954.拓展探究14．已知总体服从正态分布N （120，3.62）,求满足下列条件的个体在总体中所占的比例.（1）数值不大于129；（2）数值大于108；（3）数值在112.8与123.6之间.解析：由正态分布N （120，3.62）得总体平均数μ=120,σ=3.6.(1)F （129）=Φ(6.3120129-)=Φ(2.5)≈0.993 8. 即数值不大于129的个体在总体中所占的比例为0.993 8. (2)F(108)=Φ(6.3120108-)=Φ(-3.33)=1-Φ(3.33). ∴1-F(108)≈Φ(3.33)≈0.999 6,即数值大于108的个体在总体中所占的比例为0.999 6.(3)F(112.8)=Φ(6.31208.112-)=Φ(-2)=1-Φ(2).F=(123.6)=Φ(6.31208.112-)=Φ(1).∴F(123.6)-F(112.8)=Φ(1)+Φ(2)-1≈0.841 3+ 0.977 3 -1=0.818 6. 即数值在112.8与123.6之间的个体在总体中所占的比例为0.818 6.。