2016年全国高中数学联赛试题及答案

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2016年全国高中数学联赛A卷真题word版

2016年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1. 设实数a 满足a a a a <-<1193，则a 的取值范围是__________.2. 设复数w z ,满足3=z ，()()i w z w z 47+=-+，其中i 是虚数单位，w z ,分别表示w z ,的共轭复数，则()()w z w z 22-+的模为__________.3. 正实数w v u ,,均不等于1，若5log log =+w vw v u ，3log log =+v u w v ，则u w log 的值为__________.4. 袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为 .5. 设P 为一圆锥的顶点，C B A ,,是其底面圆周上的三点，满足︒=∠90ABC ，M 为AP 的中点.若2,2,1===AP AC AB ，则二面角A BC M --的大小为__________.6. 设函数()10cos 10sin 44kx kx x f +=，其中k 是一个正整数.若对任意实数a ，均有(){}(){}R x x f a x a x f ∈=+<<1，则k 的最小值为__________.7. 双曲线C 的方程为1322=-y x ，左、右焦点分别为1F 、2F .过点2F 作一直径与双曲线C 的右半支交于点Q P ,，使得︒=∠901PQ F ，则PQ F 1∆的内切圆半径是__________.8. 设4321,,,a a a a 是100,,2,1Λ中的四个互不相同的数，满足()()()2433221242322232221a a a a a a a a a a a a++=++++，则这样的有序数组()4321,,,a a a a 的个数为__________.二、解答题 9. 在ABC ∆中，已知⋅=⋅+⋅32.求C sin 的最大值.10. 已知()x f 是R 上的奇函数，()11=f ，且对任意0<x ，均有()x xf x x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛-1. 求()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛511501981319912110011f f f f f f f f Λ的值.11. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 是x 轴正半轴上的一个动点.以F 为焦点、O 为顶点作抛物线C .设P 是第一象限内C 上的一点，Q 是x 轴负半轴上一点，使得PQ 为C 的切线，且2=PQ .圆21,C C 均与直线OP 相切于点P ，且均与x 轴相切.求点F 的坐标，使圆1C 与2C 的面积之和取到最小值.2016年全国高中数学联赛A 卷二试一、设实数201621,,,a a a Λ满足21119+>i i a a ()2015,,2,1Λ=i .求()()()()212016220162015232221a a a a a a a a ----Λ的最大值.二、如图所示，在ABC ∆中，X 、Y 是直线BC 上的两点（X 、B 、C 、Y 顺次排列），使得AB CY AC BX ⋅=⋅. 设ACX ∆，ABY ∆的外心分别为21,O O ，直线21O O 与AB 、AC 分别交于点U 、V .证明：AUV ∆是等腰三角形.三、给定空间中10个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值.四、设p 与2+p 均是素数，3>p .数列{}n a 的定义为21=a ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--n pa a a n n n 11，Λ,3,2=n . 这里[]x 表示不小于实数x 的最小整数.证明：对1,,4,3-=p n Λ均有11+-n pa n 成立.。

2016年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)

2016年全国高中数学联赛（B 卷）一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为．2.设{}|12A a a =-≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为．3.已知复数z 满足22z z z z +=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为．4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为．5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为．6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +-=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++-+=则直线l 的方程为．7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN =，则异面直线,AM BN 所成角的余弦值为．8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭．这样的n 的个数为．这里{}[]x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程()2100lg lg 100x x =的两个不同的解，求12100a a a L 的值．10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=；（2）求cos C 的最小值．11.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y -=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．。

2016年全国高中数学联合竞赛一试试题(B卷)解析

2. 设 A = {a| − 1 ⩽ a ⩽ 2}，则平面点集 B = {(x, y)|x, y ∈ A, x + y ⩾ 0} 的面积
为
.
解答
如图，作出平面点集对应的图形 M BCDN .
则阴影部分的面积
S
=
3
×
3
−
1 2
×
2
×
2
=
7.
y D
N
O
A
M
C
x B
3. 已知复数 z 满足 z2 + 2z = z ̸= z(z 表示 z 的共轭复数)，则 z 的所有可能值
的值为
.
解答
f (x) = f (2 − x),
f (2) = f (0),
依题意， g(x)
+
g(2
−
x)
=
−4
⇒
g(2)
+
g(0)
=
−4.
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f (2) + g(2) = 92 + 23 + 1 = 90, f (2) + g(2) = 90, f (2) = 48,
而 f (0) + g(0) = 90 + 1 = 2
与双曲线 C 交于 P, Q 两点，l2 与 C 交于 R, S 两点，则总有 |P Q| = |RS| 成
立. 解答当直线 l1, l2 斜率存在且不为 0 时，
x2 − y2 = 1, 设直线 l1 : x = ky + a，联立 x = ky + a ⇒ (k2 − 1)y2 + 2kay + a2 − 1 = 0
( 1 ) 将 BC, CA, AB 的长分别记为 a, b, c，证明：a2 + 2b2 = 3c2；

2016年全国高中数学联赛(B卷)试题及答案

2016年全国高中数学联赛(B卷)试题及答案2016年全国高中数学联赛（B 卷）试题及答案一试一、选择题：（每小题8分，共64分） 1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24aa +的值为．答案：6．解：由于()2222132632424243622,a a a a a a a a a a a =++=++=+且240,a a +>故24 6.aa +=另解：设等比数列的公比为q ，则52611.a a a q a q +=+又因()()()()()22252132********2223331111112436222,a a a a a a a q a q a q a q a q a q a qa q a q a q aa =++=⋅+⋅+=+⋅⋅+=+=+而24a a+>，从而24 6.aa +=2.设{}|12A a a =-≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为．答案：7．解：点集B 如图中阴影部分所示，其面积为133227.2MRSMNPQS S -=⨯-⨯⨯=正方形3.已知复数z 满足22z z z z+=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为．答案：3．解：设()i ,.z a b a b R =+∈由22z z z +=知， 222i 22i i,a b ab a b a b -+++=-比较虚、实部得220,230.a b a ab b -+=+=又由z z ≠知0b ≠，从而有230,a +=即32a =-，进而23b a a =+=于是，满足条件的复数z 的积为3333 3.22⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，且()()391xf xg x x +=++，则()()22f g 的值为．答案：2016. 解：由条件知()()002,f g += ①()()22818190.f g +=++= ②由()(),f x g x 图像的对称性，可得()()()()02,024,f f g g =+=-结合①知，()()()()22400 2.f g f g --=+= ③由②、③解得()()248,242,f g ==从而()()2248422016.f g =⨯= 另解：因为()()391x f x g x x +=++， ①所以()()2290.f g += ②因为()f x 的图像关于直线1x =对称，所以()()2.f x f x =- ③又因为()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，所以函数()()12h x g x =++是奇函数，()()h x h x -=-，()()1212g x g x ⎡⎤-++=-++⎣⎦，从而()()2 4.g x g x =--- ④将③、④代入①，再移项，得()()3229 5.x f x g x x ---=++ ⑤在⑤式中令0x =，得()()22 6.f g -= ⑥由②、⑥解得()()248,246.f g ==于是()()222016.f g = 5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为．解：样本空间中有35125=个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为223560.C P ⨯=过所求的概率为6012.12525p == 6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C xy a +-=关于直线l 对称的圆为222:2230,C xy x ay ++-+=则直线l 的方程为．答案：2450.x y -+=解：12,C C 的标准方程分别为 ()()2222212:1,:1 2.C x y C x y a a +=++-=-由于两圆关于直线l 对称，所以它们的半径相等．因此220,a a=->解得 2.a =故12,C C 的圆心分别是()()120,0,1,2.O O -直线l 就是线段12O O 的垂直平分线，它通过12O O 的中点1,12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由此可得直线l 的方程是2450.x y -+=7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN=，则异面直线,AM BN所成角的余弦值为．解：如图，以底面ABCD 的中心O 为坐标原点，,,AB BC OVu u u r u u u r u u u r 的方向为,,x y z 轴的正向，V DN yxOzMCBA建立空间直角坐标系．不妨设2,AB =此时高1,VO =从而()()()()1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1.A B D V ----由条件知111112,,,,,222333M N ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此 311442,,,,,.222333AM BN ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r设异面直线,AM BN 所成的角为θ，则111cos 112AM BN AM BNθ⋅-===⋅⨯u u u u r u u u r u u u u r u u u r8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭．这样的n 的个数为．这里{}[]x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．解：由于对任意整数n ，有 135113,2461224612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++≤+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭ 等号成立的充分必要条件是()1mod12n ≡-，结合12016n ≤≤知，满足条件的所有正整数为()1211,2,,168,n k k =-=L 共有168个．另解：首先注意到，若m 为正整数，则对任意整数,x y ，若()mod x y m ≡，则.x y m m ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭这是因为，当()mod x y m ≡时，x y mt =+，这里t 是一个整数，故.x x x y mt y mt y y y y y t t m m m m m m m m m m ++⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧⎫=-=-=+-+=-=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭因此，当整数12,n n 满足()12mod12n n ≡时，11112222.2461224612n n n n n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=+++⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭容易验证，当正整数满足112n ≤≤时，只有当11n =时，等式324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭才成立．而201612168=⨯，故当12016n ≤≤时，满足324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭正整数n 的个数为168.二、解答题：（共3小题，共56分） 9.（16分）已知{}na 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程 ()2100lg lg 100x x =的两个不同的解，求12100a a a L 的值．解对50,51k =，有()2100lg lg 1002lg ,k k k a a a ==+即()2100lg lg 20.kka a --=因此，5051lg ,lg aa 是一元二次方程210020tt --=的两个不同实根，从而()505150511lg lg lg ,100a a a a =+=即1100505110.aa =由等比数列的性质知，()501501001210050511010.a a aa a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭L 10.（20分）在ABC中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=；（2）求cos C 的最小值．解（1）由数量积的定义及余弦定理知，222cos .2b c a AB AC cb A +-⋅==u u u r u u u r 同理得，222222,.22a cb a bc BA BC CA CB +-+-⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r 故已知条件化为()()22222222223,b c a a c b a b c +-++-=+-即22223.ab c +=（2）由余弦定理及基本不等式，得()2222222123cos 2223636a b a b a b c C ab ab a b a b b a b a +-++-===+≥⋅等号成立当且仅当::36 5.a b c =因此cos C 的最小值211.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C的方程为221xy -=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．解过点(),0a 作两条互相垂直的直线1:l x a =与2:0.l y =易知，1l 与C 交于点((22001,,1P a a Q a a ---（注意这里1a >），2l 与C交于点()()001,0,1,0,R S -由条件知20000212a PQ R S -===，解得 2.a =这意味着符合条件的a 2.下面验证2a事实上，当12,l l 中有某条直线斜率不存在时，则可设12:,:0l x a l y ==，就是前面所讨论的12,l l 的情况，这时有.PQ RS =若12,l l 的斜率都存在，不妨设((()121:2,:20,l y k x l y x k k==-≠ 注意这里1k ≠±（否则1l 将与C 的渐近线平行，从而1l与C 只有一个交点）．联立1l 与C 的方程知，(222210,x k x ---=即()2222122210,k x k x k ----=这是一个二次方程式，其判别式为2440k∆=+>．故1l与C 有两个不同的交点,P Q ．同样，2l 与C 也有两个不同的交点,.R S 由弦长公式知，2222244112.11k k PQ k k k ++=+=⋅--用1k-代替k ，同理可得()()22221122.11k k RS k k --+-+=⋅=---于是.PQ RS =综上所述，2a =加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x L 和实数122016,,,y y yL 满足：（1）221,1,2,,2016kk xy k +==L ；（2）122016y yy +++L 是奇数．求122016x xx +++L 的最小值．解：由已知条件（1）可得：1,1,1,2,,2016,kk xy k ≤≤=L 于是（注意0ix ≥）()2016201620162016201622211111120162016.kkkkk k k k k k x xy yy =====≥=-=-≥-∑∑∑∑∑ ① 不妨设112016,,0,,,0,02016,mm y yy y m +>≤≤≤L L 则201611,2016.mkk k k m ym y m ==+≤-≤-∑∑若11m kk ym =>-∑，并且201612015,kk m ym =+->-∑令 2016111,2015,mkk k k m ym a y m b ==+=-+-=-+∑∑则0,1,a b <<于是()201620161111201522016,m kkk k k k m y yy m a m b m a b ===+=+=-+--+=-+-∑∑∑由条件（2）知，20161kk y =∑是奇数，所以a b -是奇数，这与0,1a b <<矛盾．因此必有11m kk ym =≤-∑，或者201612015,kk m ym =+-≤-∑则201620161112015.m kk k k k k m yy y ===+=-≤∑∑∑于是结合①得201611.kk x=≥∑又当122015201612201520160,1,1,0x xx x y y y y ==========L L 时满足题设条件，且使得不等式等号成立，所以122016x x x +++L 的最小值为1．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <≤ 证明：记{}||2,0,A d d n d k d =<≤是奇数，{}||2,0,B d d n d k d =<≤是偶数，则,2A B n =∅I 的不超过k 的正约数的集合是.A B U 若结论不成立，我们证明.A B =对d A ∈，因为d 是奇数，故2|2d n ，又22d k ≤，而2n 没有在区间(],2k k 中的约数，故2d k ≤，即2d B ∈，故.A B ≤反过来，对d B ∈，设2d d '=，则|d n '，d '是奇数，又2k d k '≤<，故,d A '∈从而.B A ≤ 所以.A B =故2n 的不超过k 的正约数的个数为偶数，与已知矛盾．从而结论成立．三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，点,P Q 在直线BD 上，使得,.GP PC GQ QC ⊥⊥证明：AG 平分.PAQ ∠Q GPDBA 解：连接AC ，与BD 交于点.M 由平行四边形的性质，点M 是,AC BD 的中点．因此，GM Q PODB A点G 在线段AC 上．由于90GPC GQC ∠=∠=o，所以,,,P G Q C 四点共圆，并且其外接圆是以GC 为直径的圆．由相交弦定理知 .PM MQ GM MC ⋅=⋅ ①取GC 的中点.O 注意到::2:1:3,AG GM MC =故有1,2OC GC AG == 因此,G O 关于点M 对称．于是.GM MC AM MO ⋅=⋅ ②结合①、②，有PM MQ AM MO ⋅=⋅，因此,,,A P O Q 四点共圆．又1,2OP OQ GC ==所以PAO QAO ∠=∠，即AG 平分.PAQ ∠ 四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =∈≠求B 的元素个数的最小值．解：先证明17.B ≥考虑到将A 中的所有元素均变为原来的相反数时，集合B 不变，故不妨设A 中正数个数不少于负数个数．下面分类讨论：情况一：A 中没有负数．设1211a a a <<<L 是A 中的全部元素，这里120,0,a a ≥>于是1223242113111011,a a a a a a a a a a a a <<<<<<<L L 上式从小到大共有19818++=个数，它们均是B 的元素，这表明18.B ≥情况二：A 中至少有一个负数．设12,,,k b b b L 是A 中的全部非负元素，12,,,lc c c L 是A 中的全部负元素．不妨设110,l kc c b b <<<≤<<L L 其中,k l 为正整数，11k l +=，而k l ≥，故 6.k ≥于是有 111212,k k l kc b c b c b c b c b >>>>>>L L 它们是B 中的110k l +-=个元素，且非正数；又有 23242526364656,b b b b b b b b b b b b b b <<<<<< 它们是B 中的7个元素，且为正数．故10717.B ≥+= 由此可知，17.B ≥另一方面，令{}2340,1,2,2,2,2,A =±±±±±则{}236780,1,2,2,2,,2,2,2B =-±±±±±-L 是个17元集合．综上所述，B 的元素个数的最小值为17.。

2016年全国高中数学联赛(四川)初赛试题-参考答案及评分标准

2016年全国高中数学联赛（四川）初赛试题20応年全国高中数学联合竟赛（四川初賽）tt目—一三.总琥織>3H15k«ft井—iw■鼻人釐核人（5月脾日下年1牡30一- 16: 30）考生注蠢：U車14卷共三丸总全糅構裁"0分・2.用H〔置〉色I■珠塔以®!爼件善- 3・计WS＞運讯工为苹権常入岛坊.L»对tz±i二* ♦咆JB 大民找疔牛小盏.毎*蜃帝井・共:W甘〉4K 為M 的離算成中孑的乐K［址_____________ . 1用鎳诈独怦：齐》X«K ^i. & w ,卩、y WjhfctJl 2则脅比的十比网列” sma . tin fi ,审打尸构琰專比Ifl过密封纹一tl(刈*锵£備口的佃駁_______________ .9- Ll^ll ll P1WW 5 K 为4・/儿個_MT*.过-& A竹越临 6 詢柚为、SC\ SD 竹别处』fi、「3 ttJitlAl AEf ti I1. _________ .m* 的奸呛Xi CL n ittA + *4<x =•. wucusz^c (fttfiJil. —W分1讦番人一、单序逢挥魁f卒刘■共野T小独，却小MS 5^,共盹分）If* 电敷K、y、s , jr+y+r + w^l ¥1. ShASC中*谟内箱片、亀、C■的肘血怅甘剤冲＜J、h、r ■*'J M= xw + 2yw+ 3jty + 3ZM +4XJ十，心的如K机址p:S + C^2A ・Li^ + c = 2o：曲ifiq: 2片（7 AtiE-一例瞻，址命理督的A.光藁睾料B、充井豪件样不总盛旻条件C, 0農靈件担平是矗并離啊IX眈牛屋充井糸件X不耀必舅条件2.若f为世总厚忖，MWi=^+i/. Mz^'1的值足2 2\2. XH trw地汀y. HJ(51 >.心u ff s'i ftrj.T.* < ft □ gmr a 的r 眼亍独若乂、R、「晟亍订IWtt*机滴足秦件；0) MH B\- 2016；3 H(A)+ fiiB} + n<C) - n(财|弭厂农cC|EWit丈值圧_______________A* —1 BK —i C\ i□、I3. -2tr+f t ^xe[-M)iib 记/CO 的挝小値为环啊曲的ftXIFi^A. -2D, I忡帀”强廉［WiT聲数的亍«T.则/（100,3J- I 「A、!1 B* 13 C. M 6 19弭设療列仇］洲Q 吗f—叭篦応何刁・"心时叮刃农示砂H、JR工豹葷冀轄甦・尻为冊」的（in喷*,则占抑石的牛但躍了址I ］冉.1 B* 2 C. 5 □, 6仏口5®鬥•尺足#4两和期丽浚的舍地捕点・P址它苗的T公从点，儿疋片户£ .gJW谀桶删和测曲晚的陽心罰之秋的M小伯16 \ 1 2016 ^r：tN^'fi■!■ VfF4Jll+r<tt：^ [ « (H 4 «l>w分钾料人三.«f f AKO A 4 *9 Ml 20 ^r RHO丨九说筲比載的旧”]的耐丹能刨对耳“ 5. = 2" f r 戶卸需业肌iC^ - 2(1 + logj ) (rt € ^').< 1> | )1*117；I<2)旺时卜汗jffli的jl ：彗t![心节f J -俎-匕色…… * " ' ” M*Jn *、戦■・%热札.■R'1. K* 的晕KM.>p)«A中IT学K£•〔艸"I种碍，an 2 4( 11^ 42S6年全国拓中川初豪)第3災(共4页)1仏已知a 、b. c 为正实敌. 求abc 2 丁孝:+ ［匕⑺ + b-c)(b + c-a)(c+a-b).15.已知抛物线於=2px 过定点Ql,2),在抛物线上任取不冋于点C 的一点M ・直找*C 了白线尸叶3交于点几过点P 作■轴的半和线交抛物鏡于点〃・(!)求证，直线过定点： (2)求44BC面帜的最小值・16.已知a为实散• rfittXx>=|?-ax|-lnr.谕讨论函数人力的单调件.201b W金IHA中殴学IWHX川"〉6 4 ft (A 4 «)2016年全国高中数学联赛（四川）初赛试题参考答案及评分标准说明: 1、评阅试卷时，请依据评分标准 •选择题和填空题只设 5分和0分两档; 其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中构造f (n) 则 f(n Jf(n)112 14 .厂124 1 2(n 1)Jn 2 2(n 1)1 2n 2n 24n 12n 9 4n 2 12n 815分间档次• 于是｛ f （n ）｝严格单增，则f （n ）的最小值为f （1） \ 2 , 420分4一、选择题（本大题共 6个小题，每小题 5分, 4、共30分） 1、A 2、D 3、 C C 5、A 6、B二、填空题（本大题共 6个小题, 每小题 5分, 共 30分）7、180 1 8、 9、 4.3 10、 111、§ 12、201524 2三、解答题（本大题共 4个小题, 每小题 20分共 80分）2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分， 5分一个档次，不要再增加其它中间档次.13、设等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且S n 2n r （ r 为常数），*记 b n 2(1 log 2 a n ) (nN).（1）求数列｛a n b n ｝的前n 项和T n ；求证：abca b c(a b11 1~27"2 ~ab c证明：（1 )先证：abc(ab)2(bc)2 (ca)2abc(a b c),令 x ab, ybc,z ca , 由不等式立.•- 5分即实数k 的最大值是14、已知a 、b 、c 为正实数, (a b c)(b c (2)再证：a b cc)(b c a)(c a b).a b c等价于证明：1 1 1 ， ~2 - aJ ~2 c2 x 2y2z xy yzzx 知结论成 a)(c ab)求实数k 的最大值. 解：（1）由条件易知a 1 2 r,a 2又由a ； a-i a 3得r1 .于是S n 2n 1 . 故 a n2n1, b n因此T n 1 212 22 L(n 22T n 1 2 32 2L (n 由①-②得：T n 21 22L2n所以，数列｛a n b n ｝的前n 项和为T n（2）因为k11bi 1 b 2 1 1 b n V n ~1bib 2Lb n（2）若对于任意的正整数 n ,都有1—L ―2blb 2 b nS 2 S 1 2, a 3S 3 S 2 4,....5 分 2(1 log 2 a n ) 2n , a n b n n2n .1) 2 n 1nn 2 ①1) 2n n 2n 1②1n 2n 1，故 T n (n 1) 2n 12(n 1) 2n 1 2(n N *).……10分k 、n 1成立,由于不等式是轮换对称的,① 当 ② 当 b c b c12(b故x, y, z 均大于 11 2 1 4 L 1 2n2 42n不妨设 a max ｛a, b, c ｝，贝U a0时，结论显然成立； 0时，令a y12（ca), y0.不等式（*）变为：2（x y z ）只需证:丄丄丄yz zx xy4 (y z)2 a b), z8xyz[— (y 4 (z x)2 2注意到：（y z ）4yz ，则4 (y z)2丄yz1 b 2c1 ~2 c 0,c(*)x,c 1尹b c),10分z)21 (z x)24 (x y)2(x y)2]15分4141同理： J丄,——•所以，原不等式成立.……20分(z x) zx (x y) xy 15、已知抛物线y 2 2px 过定点C(1,2)，在抛物线上任取不同于点 C 的一点A , 直线AC 与直线y x 3交于点P ,过点P 作x 轴的平行线交抛物线于点 B . (1)求证：直线AB 过定点；即(2m 3 a)(y 1 2) o .因此式对任意丫伴2都成立，所以 2m 3 a o ，即3 2m a , 因此直线x my a 过定点Q(3, 2).……1o 分(2)由(1 )可设直线 AB 的方程为x 3 m(y 2), 与抛物线方程联立得 y 2 4my 4(2m 3) o . 贝V y 1 y 2 4m , y 1y 2 4(2 m 3),(2)求厶ABC 面积的最小值. 解：(1 )由抛物线物线方程为y 2 4x . 设点A 坐标为与y x 3联立解得方程为y 2当，翌1 4 y o 2y o 22y 。

2016年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)

2016年全国高中数学联赛（B 卷）一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为． 2.设{}|12A a a =−≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为． 3.已知复数z 满足22z z z z +=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为． 4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2−中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为． 5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为．6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +−=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++−+=则直线l 的方程为．7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN =，则异面直线,AM BN 所成角的余弦值为．8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n+++= ．这样的n 的个数为．这里{}[]x x x =−，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程()2100lg lg 100x x = 的两个不同的解，求12100a a a 的值．10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=；（2）求cos C 的最小值．11.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y −=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x 和实数122016,,,y y y 满足：（1）221,1,2,,2016k k x y k +== ；（2）122016y y y +++ 是奇数．求122016x x x +++ 的最小值．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <≤三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，点,P Q 在直线BD 上，使得,.GP PC GQ QC ⊥⊥证明：AG 平分.PAQ ∠四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =∈≠求B 的元素个数的最小值．QG P DCBA2016年全国高中数学联赛（B 卷）试题及答案一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为．答案：6．解：由于()2222132632424243622,a a a a a a a a a a a =++=++=+且240,a a +>故24 6.a a += 另解：设等比数列的公比为q ，则52611.a a a q a q +=+又因 ()()()()()22252132631111122223331111112436222,a a a a a a a q a q a q a q a q a q a qa q a q a q aa =++=⋅+⋅+=+⋅⋅+=+=+而240a a +>，从而24 6.a a +=2.设{}|12A a a =−≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为．答案：7．解：点集B 如图中阴影部分所示，其面积为 133227.2MRS MNPQ S S −=×−××=正方形3.已知复数z 满足22z z z z +=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为．答案：3．解：设()i ,.z a b a b R =+∈由22z z z +=知， 222i 22i i,a b ab a b a b −+++=−比较虚、实部得220,230.a b a ab b −+=+=又由z z ≠知0b ≠，从而有230,a +=即32a =−，进而b 于是，满足条件的复数z的积为33 3.22 −+−−=   4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x的图像关于点()1,2−中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为．答案：2016. 解：由条件知()()002,f g += ①()()22818190.f g +++ ②由()(),f x g x 图像的对称性，可得()()()()02,024,f f g g =+=−结合①知， ()()()()22400 2.f g f g −−=+= ③由②、③解得()()248,242,f g ==从而()()2248422016.f g =×=另解：因为()()391x f x g x x +=++， ① 所以()()2290.f g += ②因为()f x 的图像关于直线1x =对称，所以 ()()2.f x f x =− ③又因为()g x 的图像关于点()1,2−中心对称，所以函数()()12h x g x =++是奇函数，()()h x h x −=−，()()1212g x g x −++=−++ ，从而 ()()2 4.g x g x =−−− ④ 将③、④代入①，再移项，得 ()()3229 5.x f x g x x −−−=++ ⑤ 在⑤式中令0x =，得()()22 6.f g −= ⑥由②、⑥解得()()248,246.f g ==于是()()222016.f g =5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为．解：样本空间中有35125=个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为223560.C P ×=过所求的概率为6012.12525p ==6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +−=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++−+=则直线l 的方程为．答案：2450.x y −+=解：12,C C 的标准方程分别为()()2222212:1,:1 2.C x y C x y a a +=++−=−由于两圆关于直线l 对称，所以它们的半径相等．因此220,a a =−>解得 2.a =故12,C C 的圆心分别是()()120,0,1,2.O O −直线l 就是线段12O O 的垂直平分线，它通过12O O 的中点1,12M−，由此可得直线l 的方程是2450.x y −+=7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN =，则异面直线,AM BN 所成角的余弦值为．解：如图，以底面ABCD 的中心O 为坐标原点，,,AB BC OV 的方向为,,x y z 轴的正向，建立空间直角坐标系．不妨设2,AB =此时高1,VO =从而()()()()1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1.A B D V −−−−由条件知111112,,,,,222333M N−−，因此311442,,,,,.222333AM BN ==−设异面直线,AM BN 所成的角为θ，则cos AM BN AM BNθ⋅==⋅xA8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n+++= ．这样的n 的个数为．这里{}[]x x x =−，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．解：由于对任意整数n ，有135113,2461224612n n n n +++≤+++=等号成立的充分必要条件是()1mod12n ≡−，结合12016n ≤≤知，满足条件的所有正整数为()1211,2,,168,n k k =−= 共有168个．另解：首先注意到，若m 为正整数，则对任意整数,x y ，若()mod x y m ≡，则.x y m m = 这是因为，当()mod x y m ≡时，x y mt =+，这里t 是一个整数，故.x x x y mt y mt y y y y y t t m m m m m m m m m m ++=−=−=+−+=−= 因此，当整数12,n n 满足()12mod12n n ≡时，11112222.2461224612n n n n n n n n+++=+++容易验证，当正整数满足112n ≤≤时，只有当11n =时，等式324612n n n n+++=才成立．而201612168=×，故当12016n ≤≤时，满足324612n n n n+++= 正整数n 的个数为168.二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程 ()2100lg lg 100x x = 的两个不同的解，求12100a a a 的值．解对50,51k =，有()2100lg lg 1002lg ,k k k a a a ==+即()2100lg lg 20.k k a a −−=因此，5051lg ,lg a a 是一元二次方程210020t t −−=的两个不同实根，从而 ()505150511lg lg lg ,100a a a a =+=即1100505110.a a =由等比数列的性质知，()5015010012100505110a a a a a===10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=；（2）求cos C 的最小值．解（1）由数量积的定义及余弦定理知，222cos .2b c a AB ACcb A +−⋅== 同理得，222222,.22a cb a bc BA BC CA CB +−+−⋅=⋅= 故已知条件化为 ()()22222222223,b c a a c b a b c +−++−=+− 即22223.a b c +=（2）由余弦定理及基本不等式，得 ()2222222123cos 2236a b a b a b c C ab ab a b b a +−++−===+≥等号成立当且仅当::a b c =因此cos C11.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y −=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．解过点(),0a 作两条互相垂直的直线1:l x a =与2:0.l y =易知，1l 与C交于点((00,,P a Q a （注意这里1a >），2l 与C 交于点()()001,0,1,0,R S −由条件知00002P Q R S ==，解得a = 这意味着符合条件的a下面验证a =符合条件．事实上，当12,l l 中有某条直线斜率不存在时，则可设12:,:0l x a l y ==，就是前面所讨论的12,l l 的情况，这时有.PQ RS =若12,l l 的斜率都存在，不妨设((()121:,:0,l y k x l y x k k==−≠注意这里1k ≠±（否则1l 将与C 的渐近线平行，从而1l 与C 只有一个交点）．联立1l 与C的方程知，(22210,x kx −−−=即()22221210,k xx k −−−−=这是一个二次方程式，其判别式为2440k ∆=+>．故1l 与C 有两个不同的交点,P Q ．同样，2l 与C 也有两个不同的交点,.R S 由弦长公式知，2212.1k PQ k +=⋅−用1k −代替k ，同理可得()()22221122.11k k RS k k −−+−+=⋅=−−−于是.PQ RS = 综上所述，a =为符合条件的值．加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x 和实数122016,,,y y y 满足：（1）221,1,2,,2016k k x y k +== ；（2）122016y y y +++ 是奇数．求122016x x x +++ 的最小值．解：由已知条件（1）可得：1,1,1,2,,2016,k k x y k ≤≤= 于是（注意0i x ≥）()2016201620162016201622211111120162016.k kkk k k k k k k x xy y y =====≥=−=−≥−∑∑∑∑∑ ①不妨设112016,,0,,,0,02016,m m y y y y m +>≤≤≤ 则201611,2016.mkk k k m ym y m ==+≤−≤−∑∑若11m k k y m =>−∑，并且201612015,k k m y m =+−>−∑令 2016111,2015,mk k k k m y m a y m b ==+=−+−=−+∑∑则0,1,a b <<于是()201620161111201522016,m kkk k k k m y yy m a m b m a b ===+=+=−+−−+=−+−∑∑∑由条件（2）知，20161k k y =∑是奇数，所以a b −是奇数，这与0,1a b <<矛盾．因此必有11m k k y m =≤−∑，或者201612015,k k m y m =+−≤−∑则201620161112015.m kk k k k k m yy y ===+=−≤∑∑∑于是结合①得201611.k k x =≥∑又当122015201612201520160,1,1,0x x x x y y y y ========== 时满足题设条件，且使得不等式等号成立，所以122016x x x +++ 的最小值为1．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <≤证明：记{}||2,0,A d d n d k d =<≤是奇数，{}||2,0,B d d n d k d =<≤是偶数，则,2A B n =∅ 的不超过k 的正约数的集合是.A B若结论不成立，我们证明.A B =对d A ∈，因为d 是奇数，故2|2d n ，又22d k ≤，而2n 没有在区间(],2k k 中的约数，故2d k ≤，即2d B ∈，故.A B ≤反过来，对d B ∈，设2d d ′=，则|d n ′，d ′是奇数，又2kd k ′≤<，故,d A ′∈从而.B A ≤ 所以.A B =故2n 的不超过k 的正约数的个数为偶数，与已知矛盾．从而结论成立．三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，点,P Q 在直线BD 上，使得,.GP PC GQ QC ⊥⊥证明：AG 平分.PAQ ∠解：连接AC ，与BD 交于点.M 由平行四边形的性质，点M 是,AC BD 的中点．因此，点G 在线段AC 上．由于90GPC GQC ∠=∠= ，所以,,,P G Q C 四点共圆，并且其外接圆是以GC 为直径的圆．由相交弦定理知QG P DCBA.PM MQ GM MC ⋅=⋅ ①取GC 的中点.O 注意到::2:1:3,AG GM MC =故有1,2OCGC AG == 因此,G O 关于点M 对称．于是.GM MC AM MO ⋅=⋅ ②结合①、②，有PM MQ AM MO ⋅=⋅，因此,,,A P O Q 四点共圆．又1,2OP OQ GC ==所以PAO QAO ∠=∠，即AG 平分.PAQ ∠ 四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =∈≠求B 的元素个数的最小值．解：先证明17.B ≥考虑到将A 中的所有元素均变为原来的相反数时，集合B 不变，故不妨设A 中正数个数不少于负数个数．下面分类讨论：情况一：A 中没有负数．设1211a a a <<< 是A 中的全部元素，这里120,0,a a ≥>于是 1223242113111011,a a a a a a a a a a a a <<<<<<<上式从小到大共有19818++=个数，它们均是B 的元素，这表明18.B ≥情况二：A 中至少有一个负数．设12,,,k b b b 是A 中的全部非负元素，12,,,l c c c 是A 中的全部负元素．不妨设 110,l k c c b b <<<≤<<其中,k l 为正整数，11k l +=，而k l ≥，故 6.k ≥于是有 111212,k k l k c b c b c b c b c b >>>>>> 它们是B 中的110k l +−=个元素，且非正数；又有 23242526364656,b b b b b b b b b b b b b b <<<<<< 它们是B 中的7个元素，且为正数．故10717.B ≥+=由此可知，17.B ≥ 另一方面，令{}2340,1,2,2,2,2,A =±±±±±则{}236780,1,2,2,2,,2,2,2B =−±±±±±− 是个17元集合．综上所述，B 的元素个数的最小值为17.。

2016年高中数学联赛试题答案

2 2
2
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3. 正实数 u , v, w 均不等于 1，若 log u vw log v w 5 ， log v u log w v 3 ，则． log w u 的值为 4 答案：． 5 解：令 log u v a, log v w b ，则 1 1 log v u , log w v ， log u vw log u v log u v log v w a ab ， a b 1 1 5 条件化为 a ab b 5, 3 ，由此可得 ab ．因此 a b 4 1 4 log w u log w v log v u ． ab 5 4. 袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币面值
M 为 AP 的中点．若 AB 1, AC 2, AP 2 ，则二面角 M BC A 的大小为． 2 答案： arctan ． 3 解：由 ABC 90 知， AC 为底面圆的直径．设底面中心为 O ，则 PO 平面 ABC ．易知 1 AO AC 1 ，进而 PO AP 2 AO 2 1 ． 2 设 H 为 M 在底面上的射影，则 H 为 AO 的中点．在底面中作 HK BC 于点 K ，则由三垂线定理知 MK BC ，从而 MKH 为二面角 M BC A 的平面角． 3 1 HK HC 3 因 MH AH ，结合 HK 与 AB 平行知，，即 HK ， 4 2 AB AC 4 MH 2 2 这样 tan MKH ．故二面角 M BC A 的大小为 arctan ． 3 HK 3 kx kx 6. 设函数 f ( x) sin 4 cos 4 ，其中 k 是一个正整数．若对任意实数 a ， 10 10 均有 f ( x) a x a 1 f ( x) x R ，则 k 的最小值为．

2016年全国高中数学联合竞赛(含答案)

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全国高中数学联赛江苏赛区2016年初赛试题答案

2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛考试时间：2016年5月8日（星期日）上午8∶00－10∶00试题构成：解题建议：试题正文与答案：一、填空题（每小题7分，共70分）1．若关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<，则ab 的值是．解析由题设0b >，不等式x a b +<等价于a b x a b --<<-+，从而24a b a b --=⎧⎨-+=⎩，解得31a b =-⎧⎨=⎩，所以3ab =-．故填3-．2．从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率是．解析取出两数之和为偶数（两数均为奇数或均为偶数）的概率为225429C C 4C 9+=．故填49． 3．已知()f x 是周期为4的奇函数，且当()0,2x ∈时，()21660f x x x =-+，则(f 的值是．解析<<67<<，所以()80,2-，所以(()8f f =(836f =--=-．故填36-．评注因为()()284f x x =--或()()1660x f x x =-+．(()2888436f --=-=-+-或(()8886036f ⎡⎤--=---+=-⎣⎦．学会观察，选用合适的方法进行计算．4．已知直线l 是函数()22ln f x x x =+图象的切线，当l 的斜率最小时，l 的方程是．解析由题意从而()224f x x x+'=…，当且仅当1x =时等号成立．所以直线l 的斜率最小值为4，此时切点为()1,1，切线方程为430x y --=．故填430x y --=．5．在平面直角坐标系xOy 中，如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是．解析圆的标准方程为()()22125x y -+-=，由题设直线l 过点()1,2，其方程为()21y k x -=-，即2y kx k =+-，注意到l 不经过第四象限，则020k k ⎧⎨-⎩……，解得02k 剟．故填[]0,2． 6．已知等边ABC △的边长为2，若()13AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，12AQ AP BC =+u u u r u u u r u u u r，则APQ △的面积是．解析由()13AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r 得点P 是等边三角形ABC的中心，所以AP =，又由12AQ AP BC =+u u u r u u u r u u u r 得12PQ BC =u u u r u u u r ，且AP PQ ⊥，因此APQ △．BCQJC2016T06D评注若找不到方向，此题也可以建系考查．7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 在棱BC 上，点Q 为棱1CC 的中点．若过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面为五边形，则BP 的取值范围为．解析先作出基本图形如下图左所示，假设能构成五边形，我们需要通过延长和连线的作图方法法得到相应的交点，如下图右所示，连接AP 与CD 的延长线交于点W ，连接WQ 并延长与11C D 交于R ，则R 是所截五边形的第三个顶点．（注：作图方法不唯一）PQ AB CDA 1B 1C 1D 1D 1C 1B 1A 1DCB A Q P R WJC2016T07D通过同样的方法，可以作出其余的点，如下图所示，WAAJC2016T07D若存在这样的五边形，则每个顶点都存在，设BP t =，通过相似可以得11tRC CW t-==，从而只需01101t t t <<⎧⎪-⎨<<⎪⎩，解得112t <<．故填1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．评注如下图所示，由于是正方体，也可采用极端思想，需要几何动态的观点．X ()D 1C 1B 1A 1DCB AQ PWJC2016T07D当点为BC 中点时，有1PQ AD ∥，即12BP =时，截面为四边形1APQD ；当P 移向C 时，W 远离C ，X 点向D 点靠拢，此时可形成五边形，即当102BP <<时，截面为四边形；当112BP <<时，截面为五边形．因此BP 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故填1,12⎛⎫⎪⎝⎭． 8．已知数列{}n a 的奇数项依次构成公差为1d 的等差数列，偶数项依次构成公差为2d 的等差数列，且对任意*n ∈N ，都有1n n a a +<．若11a =，22a =，且数列{}n a 的前10项和1075S =，则8a = ．解析分析知()()10121251075S a a d d =+++=，即126d d +=，从此点无法解决根本，按照题目的设想，可求出12,d d ．首先，可以得到该数列的奇偶项表达式（分段通项），设*n ∈N ，则()21111n a n d -=+-，()2221n a n d =+-，其次，因为对任意*n ∈N ，都有1n n a a +<，即只需满足21221n n n a a a -+<<（或22122n n n a a a ++<<），因此()()()121112111n d n d n d +-+-++<<对*n ∈N 恒成立，分析左边，若需()()1211n d d --<，则必须满足120d d -„ ；分析右边，若需()()12111n d n d -->+，即()121215n d d d d ->--=-，则必须满足120d d -…．因此分析得12d d =．最后，123d d ==，822311a a d =+=．故填11．评注 ◆若不然，若120d d ->，则令()()1211n d d --=，解得1211n d d =+-，若令012111n d d ⎡⎤=++⎢⎥-⎣⎦，则有()()01211n d d -->与题意矛盾．的理由同◆类似．事实上，在解决问题“不等式210ax ax ++…对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．”的时候，就没将问题讲清楚，而是直接根据主观论断，否定0a <的情形，本质上否定就是寻找一个0x ，使得20010ax x ++<，这跟函数的零点以及单调性有关．①当0a =时，10…恒成立，符合题意； ②当0a >时，只许满足2040a a a >⎧⎨∆=-⎩„，从而04a <„；③当0a <时，易知240a a ∆=->，易知方程210ax ax ++=的两根为12a x a --=，22a x a-+=，又()21f x ax ax =++对称轴12x =-，所以在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，又1212x x <-<，()10f x =，所以01x x ∃<，使()()2000110f x ax x f x +<+==，与题意矛盾．综上所述：实数a 的取值范围是[]0,4．这种思想与高考卷或模拟卷中找寻零点个数或极值点（变号零点）个数的思想是一致的．9．已知正实数,x y 满足()()222216x y yx+++=，则x y += ．分析 ,x y 若不是以整体x y +的形式求出，则必定分别求出，这类问题涉及到对代数式变形．解析解法一：将题设条件式通分并整理，得()()2222160x x y y xy +++-=，整理得()()()2222280x x y y x y -+-+-=，因此2x y ==，所以4x y +=．故填4．解法二：因为为,x y 正实数，所以()()22228816x y x yyxy x ++=++…816⋅=…，等号成立的条件为2x y ==，所以4x y +=．故填4．解法三：因为()()()22222416x y x y yxx y++++=++…，所以()()()216816x y x y x y +++++…，即()240x y +-„，所以4x y +=．故填4．解法四：由()()2222x y yx+++224444x y x y y x y x y x ⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12244442416x y y x y x ⎛⎫⨯⋅⋅⋅+⨯= ⎪⎝⎭…，等号成立的条件是2x y ==，所以4x y +=．故填4．评注常见的不等式链“调和平均数n H „几何平均数n G „算术平均数n A „幂平均数n Q ”，简记为调几算幂，设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个正实数，则1212111n nna a a n a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+?10．设M 表示满足下列条件的正整数n 的和：n 整除22016，且2016整除2n ，那么M 的所有不同正因子的个数为．解析因为22016n ，22016n ，所以n 与2016的素因子相同，而522016237⋅⋅=，故可设52237n =⋅⋅．这样我们由题设条件可得1042x y z ⎧⎪⎨⎪⎩„„„，且252221x y z ⎧⎪⎨⎪⎩………，从而有3101412x y z ⎧⎪⎨⎪⎩剟剟剟，故()()()34102342222333377M =++⋅⋅⋅+⋅+++⋅+()3822134056=⋅-⋅⋅⋅333255132527=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅922235717=⋅⋅⋅⋅，所以，M 的所有不同正因子的个数为()()()()()9121211111360+++++=．评注算术基本定理：若不计素因数的次序，则每一个大于1的整数n 都可以唯一分解成素因数乘积的形式，即1212k k np p p ααα=L ，其中12,,,k p p p L 均为素数，12,,,k αααL 为自然数．有结论如下：（1）n 的约数个数为()()()()12111k f n ααα=++⋅⋅⋅+；（2）n 的所有约数之和为()()()12222111222111k k k k p pp p p p p p p ααα+++++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++++L L ；（3）欧拉（Euler ）函数()n ϕ表示不大于n 且与n 互质的数的个数为()12111111k n n p p p ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ．二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知1135sin cos 12θθ+=，0,2θ⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭，求tan θ．解析解法一：由题设知()12sin cos 35sin cos θθθθ+=，令sin cos t θθ+=，则(t ∈，且21sin cos 2t θθ-=，则2112352t t -=⨯，即23524350t t --=，解得75t =或57t =-（舍），即有7sin cos 5θθ+=，12sin cos 25θθ=．所以4sin 5θ=，3cos 5θ=或3sin 5θ=，4cos 5θ=，从而4tan 3θ=或34．解法二：由题设可得222351112sin cos θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22112sin cos sin cos θθθθ=++ ()222222222sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθ+++=++ ()222211tan 2tan tan tan θθθθ+=+++211tan 2tan tan tan θθθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，注意到tan 0θ>，解得125tan tan 12θθ+=（舍负），进一步解得4tan 3θ=或34． 12．如图，点P 在ABC △的边AB 上，且4AB AP =，过点P 的直线MN 与ABC △的外接圆交于点,M N ，且点A 是弧MN 的中点．求证：（1）ABN ANP △△∽；（2）2BM BN MN +=．JC2016T10解析（1）因为点A 是弧MN 的中点，所以AMN ANM ∠=∠，又AMN ABN ∠=∠，所以ABN ANP ∠=∠，又因为BAN NAP ∠=∠，所以ABN ANP △△∽．（2）由（1）知，AB AN BNAN AP NP==，又4AB AP =，所以2AN AP =，从而2BNNP=，即2BN NP =，同理2BM MP =．所以2BM BN MN +=．13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，过点F 的直线l 与双曲线C交于,A B 两点．若OF AB FA FB ⋅=⋅，求双曲线C 的离心率e ．解析解法一（参数方程法）：因为双曲线C 的右焦点F 的坐标为(),0c ，设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的方程即为cos sin x c t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．代入双曲线方程，并整理得()222224cos2cos 0c a t b c t b αα-+⋅+=，则有412222cos b t t c a α=-，12t t -=22222cos ab c a α=-，因为OF AB FA FB ⋅=⋅，则有242222222cos cos ab c b c a c aαα=--，从而22ac b =，即2210e e --=，因为1e >，故1e =+解法二（普通计算法）：①当AB 斜率不存在时，由OF AB FA FB ⋅=⋅得2222b b c a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2222ac b c a ==-，因为1e >，故1e =+②当AB 斜率存在时，设斜率为k ，记()11,A x y ，()22,B x y ，则由OF AB FA FB ⋅=⋅，得122x x x -=--，即()2121212c x x c x x x x -=-++．()222222y k x c b x a y a b⎧=-⎨-=⎩，消y 整理得()2222222222220b a k x a ck x a c k a b -+--=，故()()()2222222222224a ckb a k ac k a b ∆=+-+()2222422244a b c k a b k a b =-+()242244a b k a b =+且222221221222222222a ck a k a c k a x x b k x x b b a ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，由()2121212c x x c x x x x -=-++，得=，整理得= 从而2222ac b c a ==-，因为1e >，故1e =+14．已知凸九边形的任意5个内角的正弦与其余4个内角的余弦之和都等于某个常数值λ．若九个内角中有一个角等于120︒，试求常数λ的值．解析九个内角中任选5个，记为12345,,,,x x x x x ，其余4个记为1234,,,y y y y ，由题意123451234sin sin sin sin sin cos cos cos cos x x x x x y y y y λ=++++++++，且123451234sin sin sin sin sin cos cos cos cos y x x x x x y y y λ=++++++++，所以1111sin cos sin cos x y y x +=+，即1111sin cos sin cos x x y y -=-，()()114545x y -︒=-︒，即11y x =或114545180y x -︒+-︒=︒，即有11y x =或11270y x =︒-．设1120y =︒，由内角的任意可交换性可知，九个角的度数只有两种：120︒和150︒．设有k 个120︒，9k -个150︒，则由内角和公式知()()120915092180k k ⋅︒+-⋅︒=-⋅︒，解得3k =．所以5sin150cos1503cos1201λ=︒+︒+︒=-。

2016年全国高中数学联赛(陕西预赛)试题有答案

2016年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题（4月24日上午 8:30—11:00）第一试一、选择题（每小题6分，共48分．给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合={1,2,310}M ，，，A 是M 的子集，且A 中各元素的和为8，则满足条件的子集A 共有（）A. 8个B. 7个C. 6个D. 5个2、在平面直角坐标系中，不等式组0200y x y ⎧-≤⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪⎩表示的平面区域的面积是（）A.2B. C. 2D. 3、设,,a b c 是同一平面内的三个单位向量，且a b ⊥，则()()c a c b -⋅-的最大值是（）A. 1B. 1C. 1D. 14、从1,2,这20个数中，任取3个不同的数，则这3个数构成等差数列的概率为（） A.15 B. 110 C. 319 D. 1385、,A B 是抛物线23y x =-上关于直线0x y +=对称的相异两点，则||AB 等于（） A. 3 B. 4C.D. 6、如图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，G 为BCD ∆的重心，M 是线段AG 的中点，则三棱锥M BCD-的外接球的表面积为（）A. πB. 32πC.D. 7、设函数32()f x x ax bx c =+++（,,a b c 均为非零整数）. 若3()f a a =，3()f b b =，则c 的值是（）A. 16-B. 4-C. 48、设非负实数,,a b c 满足0ab bc ca a b c ++=++>A. 2B. 3C.D. 二、填空题（每小题8分，共32分）9、在数列{}n a 中，4111,9a a ==，且任意连续三项的和都是15，则2016a =_______________.10、设,m n 均为正整数，且满足424m n =，则m 的最小值是_______________.11、设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x =+，若对[1,2]x ∈，不等式()(2)0af x g x ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是___________.12、设x R ∈，则函数()|21||32||43||54|f x x x x x =-+-+-+-的最小值为_________.第二试一、（本题满分20分）设,x y 均为非零实数，且满足sincos 955tan 20cos sin 55x y x y πππππ+=-．（1）求y x 的值；（2）在ABC ∆中，若tan y C x=，求sin 22cos A B +的最大值．二、（本题满分20分）已知直线:4l y =+，动圆222:(12)O x y r r +=<<，菱形ABCD 的一个内角为060，顶点,A B 在直线l 上，顶点,C D 在圆O 上，当r 变化时，求菱形ABCD 的面积S 的取值范围．三、（本题满分20分）如图，圆1O 与圆2O 相交于,P Q 两点，圆1O 的弦PA 与圆2O 相切，圆2O 的弦PB 与圆1O 相切，直线PQ 与PAB ∆的外接圆O 交于另一点R ．求证：PQ QR =．A B P O Q R1O 2O ⋅⋅⋅四、（本题满分30分）设函数1()ln (1),f x x a a R x =+-∈，且()f x 的最小值为0，（1）求a 的值；（2）已知数列{}n a 满足11a =，1()2(N )n n a f a n ++=+∈，设[][][][]123n n S a a a a =++++，其中[]m 表示不超过m 的最大整数．求n S ．五、（本题满分30分）设,,a b c 为正实数，且满足1abc =，对任意整数2n ≥，证明：．。

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下面验证符合条件．
事实上，当中有某条直线斜率不存在时，则可设，就是前面所讨论的的情况，这时有若的斜率都存在，不妨设
注意这里（否则将与的渐近线平行，从而与只有一个交点）．
联立与的方程知，即
这是一个二次方程式，其判别式为．故与有两个不同的交点．同样，与也有两个不同的交点由弦长公式知，
又所以，即平分
四、（50分）设是任意一个11元实数集合．令集合求的元素个数的最小值．
解：先证明考虑到将中的所有元素均变为原来的相反数时，集合不变，故不妨设中正数个数不少于负数个数．下面分类讨论：
情况一：中没有负数．
设是中的全部元素，这里于是
上式从小到大共有个数，它们均是的元素，这表明
另解：首先注意到，若为正整数，则对任意整数，若，则这是因为，当时，，这里是一个整数，故
因此，当整数满足时，
容易验证，当正整数满足时，只有当时，等式才成立．而，故当时，满足正整数的个数为
二、解答题：（共3小题，共56分）
9.（16分）已知是各项均为正数的等比数列，且是方程
2016
一试
一、选择题：（每小题8分，共64分）
1.等比数列的各项均为正数，且则的值为．
答案：6．
解：由于且故
另解：设等比数列的公比为，则又因
而，从而
2.设，则平面点集的面积为．
答案：7．
解：点集如图中阴影部分所示，其面积为
3.已知复数满足（表示的共轭复数），则的所有可能值的积为．
用代替，同理可得于是
综上所述，为符合条件的值．
加试
一、（40分）非负实数和实数满足：
（1）；
（2）是奇数．
求的最小值．
解：由已知条件（1）可得：于是（注意）
①
不妨设则
若，并且令
则于是
由条件（2）知，是奇数，所以是奇数，这与矛盾．
因此必有，或者则
于是结合①得
又当时满足题设条件，且使得不等式等号成立，所以的最小值为1．
11.（20分）在平面直角坐标系中，双曲线的方程为．求符合以下要求的所有大于的实数：过点任意作两条互相垂直的直线与，若与双曲线交于两点，与交于两点，则总有成立．
解过点作两条互相垂直的直线与
易知，与交于点（注意这里），与交于点由条件知，解得
这意味着符合条件的只可能为
情况二：中至少有一个负数．
设是中的全部非负元素，是中的全部负元素．不妨设
其中为正整数，，而，故于是有
它们是中的个元素，且非正数；又有
它们是中的7个元素，且为正数．故
由此可知，
另一方面，令则
是个17元集合．
综上所述，的元素个数的最小值为
②
因为的图像关于直线对称，所以
③
又因为的图像关于点中心对称，所以函数是奇函数，，，从而
④
将③、④代入①，再移项，得
⑤
在⑤式中令，得
⑥
由②、⑥解得于是
5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子中，恰有两个球放在同一盒子的概率为．
解：样本空间中有个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为
二、（40分）设是正整数，且是奇数．已知的不超过的正约数的个数为奇数，证明：有一个约数，满足
证明：记，，则的不超过的正约数的集合是
若结论不成立，我们证明
对，因为是奇数，故，又，而没有在区间中的约数，故，即，故
反过来，对，设，则，是奇数，又，故从而
所以故的不超过的正约数的个数为偶数，与已知矛盾．从而结论成立．
三、（50分）如图所示，是平行四边形，是的重心，点在直线上，使得证明：平分
解：连接，与交于点由平行四边形的性质，点是的中点．因此，
点在线段上．
由于，所以四点共圆，并且其外接圆是以为直径的故有
因此关于点对称．于是
②
结合①、②，有，因此四点共圆．
答案：3．
解：设由知，
比较虚、实部得又由知，从而有
即，进而
于是，满足条件的复数的积为
4.已知均为定义在上的函数，的图像关于直线对称，的图像关于点中心对称，且，则的值为．
答案：2016.
解：由条件知
①
②
由图像的对称性，可得结合①知，
③
由②、③解得从而
另解：因为
，①
所以
的两个不同的解，求的值．
解对，有即
因此，是一元二次方程的两个不同实根，从而
即
由等比数列的性质知，
10.（20分）在中，已知
（1）将的长分别记为，证明：；
（2）求的最小值．
解（1）由数量积的定义及余弦定理知，
同理得，故已知条件化为
即
（2）由余弦定理及基本不等式，得
等号成立当且仅当因此的最小值为
解：如图，以底面的中心为坐标原点，的方向为轴的正向，
建立空间直角坐标系．不妨设此时高从而
由条件知，因此
设异面直线所成的角为，则
8.设正整数满足，且．这样的的个数为．这里，其中表示不超过的最大整数．
解：由于对任意整数，有
等号成立的充分必要条件是，结合知，满足条件的所有正整数为共有个．
过所求的概率为
6.在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为则直线的方程为．
答案：
解：的标准方程分别为
由于两圆关于直线对称，所以它们的半径相等．因此解得故的圆心分别是直线就是线段的垂直平分线，它通过的中点，由此可得直线的方程是
7.已知正四棱锥 - 的高等于长度的一半，是侧棱的中点，是侧棱上点，满足，则异面直线所成角的余弦值为．