物理奥赛力学万有引力与天体运动
奥赛培训内部资料第三讲万有引力与天体运动含高考真题共张ppt
点评：
（1）物体A的运动能否看成是匀变速直线运动？ （2）仅受地球引力作用，物体物体的运动轨迹通常是怎样 的？
等效
极限
解析：
将物体A的运动轨迹等效为一狭长的椭圆，其两焦点位 于长轴的两端，设其半长轴为a，物体A的初始位置离地心的 距离为r。 物体A落到地面时的速度为第一宇宙速度，即：
v gR
R为地球半径，g为地球表面处的重力加速度。 机械能守恒定律：
a a2 b2 vB b
GM a
对C点：
1 2 Mm 1 2 Mm mv A G mvC G 2 ac 2 a
2 vC v A vB
GM vC a
C点速率是A、B两点速率的几何平均值。
（2）设ρ A ρB ρC C a F引 A
θ
Vc
M c
b F向
B
2 vA Mm G m 2 A (a c) 2 Mm vB G m 2 (a c) B
2 S r 几何关系： 1 1 S 2 r22
F1 F2
累加求和
例6．不考虑地球的公转，假想将地球沿地轴打穿形成一条通道， 将一小球（可看成质点）从北极自由释放，试证明小球绕地心 做简谐运动。 证明： 设地球半径为R，密度为ρ。 F 小球质量为m，所在位置离地心 的距离为r，如图所示。 小球所受合外力（万有引 力）F与位移方向相反，大小 为： Mm F G 2 r 4 M V r 3 3
木星M P a1 a2
大石块m
大石块崩裂的条件：
a 0
R
Rr
2M 1.26 6400km，且由通常的水形成的海 洋覆盖着它的所有表面，海洋深度为10km。学者们对该行星进行探 查时发现，当把试验用的样品浸入行星海洋的不同深度时，各处的 自由落体加速度以相当高的精确度保持不变。试求此行星表面处的 自由落体加速度。已知万有引力常量G=6.67×10-11Nm2/kg2。
物理竞赛《天体运动和万有引力》
由GM 2 L2
M
2
T
2
L 2
T 2 L3
2GM
G
M2 L2
G
M
4 3
L 2
L 2
M3
M
F星 2FT暗 N
2
LL 2
M
2
N
1
3M
2 L3
【例题】 2016年2月11日美国国家科学基金会宣布：美国的“ 激光干涉引力波天文台”的两台孪生引力波探测器首次直接探 测到了引力波．该引力波是由13亿光年之外的两颗黑洞在合并 的最后阶段产生的．初始质量分别为29倍太阳质量和36倍太阳 质量的两颗黑洞，合并成了一颗62倍太阳质量、高速旋转的黑 洞；亏损的质量以引力波的形式释放到宇宙空间．这亏损的质 量为______kg． 相当于______J的能量． (已知太阳质量约为2.0 1030 kg ，光在真空中的速为3.0108 m．
Ch地球公转轨道X平面 Ch 地球公转轨道平面
对北半球而言,在冬季过近日点,夏季过远日点
【例题】要使一颗人造地球通讯卫星（同步卫星）能覆盖赤道上东 经75.0°到东经135.0°之间的区域，则卫星应定位在哪个经度范 围内的上空？地球半径R = 6.37×106m．地球表面处的重力加速度 g = 9. 80m/s2．
同步轨道的计算 T0 2
R 2
g
R3 R02 g0
R
3
T02 R02 g
4 2
24 36002 642 1010 10
3
4 2
4.2104 பைடு நூலகம்m
同步轨道半径设为R同步,其覆盖经度范围的几何关系如图: 读题
R
156o
R同步
54o
万有引力与天体运动的关系
万有引力与天体运动的关系引力是自然界中一种基本的物理现象。
而万有引力则是描述天体之间相互作用的重要力量。
它是由于质量而产生的，是一种吸引力，使得天体之间相互靠拢。
万有引力的发现和研究对于理解天体运动以及宇宙演化有着重要的意义。
牛顿在17世纪提出了万有引力定律，他认为两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们的距离的平方成反比。
这个定律可以简洁地表示为F=G*(m1*m2)/r^2，其中F是两个物体之间的引力，m1和m2是两个物体的质量，r是它们之间的距离，G是一个常数。
根据万有引力定律，天体之间的引力与它们的质量和距离有关。
质量越大，引力越大；距离越近，引力越大。
这就解释了为什么地球可以吸引住我们，而月球也可以吸引住地球。
地球质量大，所以对我们的引力很大；而月球离我们近，所以对我们的引力也很大。
万有引力还解释了为什么行星会围绕太阳运动。
太阳质量非常大，它的引力对行星的影响非常大，使得行星绕太阳运动。
行星离太阳越近，其运动速度越快；离太阳越远，其运动速度越慢。
这样，行星在太阳的引力和其自身的惯性作用下，形成了稳定的椭圆轨道。
除了行星绕太阳运动，万有引力还可以解释其他天体运动的现象。
例如，卫星绕地球运动、月球绕地球运动等。
所有这些运动都可以用万有引力定律来描述，而且都符合定律的预测。
除了描述天体运动，万有引力还可以解释天体之间的相互影响。
例如，当两个星系靠近时，它们之间的引力会使它们相互靠拢，甚至发生碰撞。
这样的引力交互作用对于理解星系演化和宇宙结构的形成有着重要的意义。
万有引力还可以解释为什么在宇宙中有星系、星云、恒星等天体的存在。
宇宙中的物质在引力的作用下逐渐聚集形成了这些天体。
而恒星的形成和演化也与引力密切相关，它们的质量和结构都受到引力的影响。
万有引力的研究不仅有助于我们理解宇宙的起源和演化，还对人类的生活产生了重要影响。
例如，卫星的轨道设计和导航系统的建立都依赖于对引力的准确理解和计算。
物理——黄勇浅谈物理奥赛中的天体运动
浅谈物理奥赛中的天体运动问题射洪中学 黄 勇天体，是宇宙间各种星体的通称。
太阳系中的天体包括太阳、行星、卫星、彗星、流星以及行星际微小天体等。
银河系中的天体有恒星、星团、星云以及星际物质等。
河外星系是和银河系同样庞大的天体。
还有近年利用最新观测手段发现的红外源、射电源、X 射线源、γ射线源等。
以上都属于自然天体。
而人造卫星、宇宙火箭、宇宙飞船、空间探测器、空间实验室等都是人造天体。
天体运动，是在宇宙大爆炸发生后，形成空间天体运动的本原动力，也就是物质运动的动力源。
宇宙的原本动力构成了物质引力场的形成以及电场和磁场的诞生，随后也产生了天体运动的离心力和天体之间的斥力场。
宇宙时空是在大爆炸后形成的，在万有引力的作用下，让我们人类看到了不同的天体星系团，星系团中包括无数的恒星系和恒星系中的行星。
天体在本原动力以及引力场的作用下产生了天体运动的公转和自传，包括银河系在内的诸多星系除去自传外还要围绕宇宙中心做公转运动。
在我们的银河系中，太阳系的天体运动就是一个很好的例子，太阳系中的九大行星除去自传外还要围绕太阳进行公转，而在银河星中，我们的太阳系则围绕着银河中心运转，也叫作太阳系的公转运动。
我们人类所居住的天体地球，其自转一周需要23小时56分的一天时间，而地球围绕太阳公转一周则需要一年（365日6时6分9秒）。
天体运动构成了宇宙太空缤纷多彩的星空世界，在天体引力场的作用下也形成了宇宙空间物质的时空变迁，使我们的宇宙物质空间变得越来越神秘。
当前，人们对天体也越来越重视，高考里面涉及天体运动，物理奥赛更是对天体运动情有独钟，是每年必考的题型。
一、对宇宙中复杂的天体运动的简化1.天体通常相距很远，故可将天体处理为质点.2.很多时候，某天体的所受其他诸天体引力中仅有一个是主要的：a 、可将该两天体作为二体问题处理.b 、施力天体由于某些原因（如质量相对很大）在某惯性系中可认为几乎不动，这 时问题很简单（我们通常讨论的就是这种情况）.二、天体运动的机械能守恒天体系统的机械能E 为系统的万有引力势能与各天体的动能之和。
高中物理竞赛讲座7(天体运动word)
4 m R3 4 R3 G g 答案（1） r R 时， F G 3 2 3r 2 r 4 m r3 4 G 4 Gm r （2） r R 时， F G 3 2 r g 3 r 3
例题：沿地球直径贯穿打一洞，从洞口将一小球由静止释放，小球如何运动。 答案：简谐振动 解：简谐振动
9、从一点运动到另一点的时间 ������ （1） 、T = 1
2
������������������������������������
S 为初点和末点与中心天体的连线和初末点的椭圆部分围成的面积。可用积分求得。 （2） 、参数方程 利用参数方程 x = asin (ωt) y = bcos (ωt) ，研究其在一个方向上的分运动 10、A、B、C 三点的速率（已知 a、b、c）
F kx 中的 k
周期： T 3
4 Gm 3
振幅：A=R（地球半径）
( G)
GM Y
ห้องสมุดไป่ตู้
最大速度: Vm 为第一宇宙速度 解一：据动能定理： W
1 mVm 2 2
其中重力为线性力，可取平均值，而求出 W。 解二：利用振动的能量守恒
0 FA 1 1 1 KA2 mVm 2 或 R mvm 2 2 2 2 2
csg.竞赛.万有引力. 3 / 13
由椭圆的知识可得
rA rB 2a GmM E
m4G 2 M 2 2mEL2 rA rB 2c mE 2 2 2 rA rB a c b L2 (2mE )
则椭圆的轨迹方程
x2 ������2
+ ������ 2 = 1 或
������3 ������ 2
= ������
物理竞赛讲义(十)万有引力 天体的运动
郑梁梅高级中学高一物理竞赛辅导讲义第十讲：万有引力 天体的运动【知识要点】 一、开普勒定律1.第一定律：轨道定律：所有行星都绕太阳以椭圆轨道运动，太阳是其中一个焦点。
2.第二定律：面积定律（或角动量守恒）：v ⊥R =恒量（只有在椭圆两端v 和R 垂直,面积速度为v ⊥R /2）。
对面积定律分析：如图，该点速度方向与焦点连线通常不垂直（除了近日点和远日点），则单位时间内扫过的面积=该连线为半径作圆弧的面积（剩余小块面积为高价无穷小，可忽略），则把该点速度分解为沿连线分速度v //和垂直连线分速度v ⊥，时间t 内扫过面积为trv ⊥21，由面积定律有trv ⊥21=k ，即trv αsin 21=k ，对于近日点与远日点，有1121v r =2221v r3.第三定律：周期定律：T 2/a 3(a 为半长轴，作圆周运动时a 为半径)=4π2/GM =恒量。
二、万有引力定律1.万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的．任何两个质点之间引力的大小跟这两个质点的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比． 2M m F Gr= ， 11226.6710/G N m kg -=⨯⋅，称为引力常量．2.重力加速度的基本计算方法设M 为地球的质量，g 为地球表面的重力加速度． 在地球表面附近（h R << ）处：2M m Gm g R=，22G M g R==9.8m /s在地球上空距地心r=R+h 处：2r M g Gr=，222()r g R R grR h==+在地球内部跟离地心r 处：3224433rr r M g G G G r rrπρπρ===，r g r gR=，r r g g R=【典型例题】【例题1】飞船沿半径为R 的圆周绕地球运转,如果飞船要返回地面,可在轨道上某一点A 处将其速率调到适当的数值,使飞船沿着地心的焦点的椭圆轨道动行,椭圆与地球表面相切于B点.求飞船由A到B所需要的时间:(已知地球半径为R0)。
万有引力与天体运动
万有引力与天体运动引言：在自然界中，存在着一种无所不在的力量，即万有引力。
万有引力是负责使得天体之间相互吸引的力量，它是牛顿力学的基本法则之一。
本文将探讨万有引力的定义、原理及其与天体运动的关系。
一、万有引力的定义与原理万有引力是指任意两个物体之间存在相互吸引的力量，这种力量与物体的质量和距离有关。
根据牛顿第三定律，相互作用的两个物体之间的引力大小相等，方向相反。
万有引力的存在与质量有关，质量越大的物体，其引力也越大。
而且，两个物体之间的引力与它们之间的距离的平方成反比，即距离越近，引力越强。
二、天体运动的基本规律根据万有引力的原理，天体运动遵循以下基本规律：1. 开普勒定律约翰内斯·开普勒是天体运动领域的重要科学家之一，他总结出三个著名的运动定律。
第一定律表明天体绕太阳运动的轨道是椭圆形，而不是圆形。
这就意味着天体在其轨道上的位置不是固定的，而是变化的。
2. 第二定律开普勒的第二定律，也称为面积定律，表明天体在相同时间内扫过的面积相等。
换句话说，当天体离太阳较远时，它的速度较慢；当它距离太阳较近时，速度较快。
这个定律说明了天体在椭圆轨道上的运动速度是不均匀的。
3. 第三定律开普勒的第三定律，也称为调和定律，阐述了天体轨道周期与半长轴的关系。
具体来说，天体运动的周期的平方与它的椭圆轨道的半长轴的立方成正比。
这个定律揭示了天体运动的规律性，使得科学家们可以通过研究地球运动来推导出其他天体的运动规律。
三、天体运动和万有引力的关系天体运动与万有引力有着密不可分的关系，万有引力是驱动天体运动的根本力量。
在太阳系中，太阳是最重要的引力中心，其他行星、卫星以及小行星等都围绕太阳进行运动。
1. 行星运动行星绕太阳运动的轨道是椭圆形，行星距离太阳越近，它们的速度越快；相反，距离越远，速度越慢。
这符合开普勒定律中的第二定律。
行星的运动速度与距离有关，而这种变化正是受到万有引力的影响。
2. 月球运动月球是地球的卫星，它也受到地球的引力影响，围绕地球进行运动。
万有引力定律与天体运动
万有引力定律与天体运动万有引力定律是物理学中最基础、最重要的定律之一，它描述了物体之间存在的万有引力以及天体的运动规律。
该定律由英国科学家牛顿在17世纪形成，并为后来的物理学发展奠定了坚实的基础。
本文将通过介绍万有引力定律的基本概念、公式推导、应用实例等方面，深入探讨万有引力定律与天体运动之间的关系。
一、万有引力定律的基本概念万有引力定律是牛顿力学的重要组成部分，它表明任何两个物体之间都存在引力的相互作用。
根据该定律，两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
其中，引力的大小用F表示，质量分别为m1和m2的两个物体之间的距离用r表示。
万有引力定律的表达式如下：F =G * m1 * m2 / r^2其中，G为万有引力常量，其值约为6.67 × 10^-11 N·m^2/kg^2。
万有引力定律是一个矢量关系，方向与两物体之间直线连接的方向相同，即引力是沿着物体之间连线的方向。
二、万有引力定律的公式推导万有引力定律的公式推导是基于牛顿第二定律和牛顿运动定律，其过程相对复杂，涉及到引力场、势能、力的合成等知识。
在这里，为了保持文章的连贯性和简洁性，略去具体的数学推导过程。
三、万有引力定律与天体运动的关系万有引力定律对于解释天体运动和宇宙中一系列现象具有重要的作用。
首先，根据牛顿的第一定律，物体将保持匀速直线运动，直到外力作用改变其状态。
在此基础上，万有引力定律解释了太阳系行星的椭圆轨道运动。
行星围绕太阳运行，其轨道可近似看作椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
同时，根据牛顿的第三定律，行星与太阳之间的引力大小相等，方向相反。
这样，行星在引力作用下沿椭圆轨道运动。
其次，万有引力定律还解释了地球上的重力现象。
地球表面的物体受到地球吸引力的作用，不断地向地心方向运动，形成了地球上的重力。
地球的引力是万有引力定律在地球尺度上的应用，它对地球上的物体产生的作用力与物体的质量成正比。
奥赛辅导第六讲万有引力和天体运动
第六讲 万有引力和天体运动湖南郴州市湘南中学 陈礼生一、知识点击1．开普勒定律第一定律（轨道定律）：所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动。
太阳是在这些椭圆的一个焦点上。
第二定律（面积定律）：对每个行星来说，太阳和行星的连线（叫矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。
“面积速度”： 1sin 2S r tυθ∆=∆（θ为矢径r 与速度υ的夹角）第三定律（周期定律）：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值相等。
即：23T a=常量．2．万有引力定律⑪万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的．任何两个质点之间引力的大小跟这两个质点的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比． 2M m F Gr= ， 11226.6710/G N m k g-=⨯⋅，称为引力常量．⑫重力加速度的基本计算方法设M 为地球的质量，g 为地球表面的重力加速度． 在地球表面附近（h R << ）处：2M m Gm gR=，22G M g R==9.8m/s在地球上空距地心r=R+h 处：2r M g Gr=，222()r g R R g rR h==+在地球内部跟离地心r 处：3224433r r r M g GG G r rrπρπρ===，r g r gR=，r r g gR =3．行星运动的能量⑪行星的动能当一颗质量为m 的行星以速度υ 绕着质量为M 的恒星做平径为r 的圆周运动：2122K M m E m Grυ==，式中υ=⑫行星的势能对质量分别为M 和m 的两孤立星系，取无穷远处为万有引力势能零点，当m 与M 相距r 时，其体系的引力势能：P M m E G r =-⑬行星的机械能：2122K P M mM m E E E m GGrrυ=+=-=-4．宇宙速度和引力场 ⑪宇宙速度（相对地球）第一宇宙速度：环绕地球运动的速度（环绕速度）．第二宇宙速度：人造天体发射到地球引力作用以外的最小速度（脱离速度）．第三宇宙速度：使人造天体脱离太阳引力范围的最小速度（逃逸速度）． ⑫引力场、引力半径与宇宙半径．对于任何一个质量为M ，半径为r 的均匀球形体系都有类似于地球情况下的这两个特征速度．如果第二宇宙速度超过光速，即c <，则有关系．22G M r c<在这种物体上，即使发射光也不能克服引力作用，最终一定要落回此物体上来，这就是牛顿理论的结论，近代理论有类似的结论，这种根本发不了光的物体，被称为黑洞，这个临界的r 值被称为引力半径，记为22g G M r c=用地球质量代入，得到r g ≈0.9 cm ，设想地球全部质量缩小到1 cm 以下的小球内，那么外界就得不到这个地球的任何光信息．如果物质均匀分布于一个半径为r 的球体内，密度为ρ，则总质量为343M r πρ=又假设半径r 正好是引力半径，那么32423g g G r r cπρ⋅=，得1223()8g cr G πρ=此式表示所设环境中光不可能发射到超出r g 的范围，联想起宇宙环境的质量密度平均值为10-29g/cm 3，这等于说，我们不可能把光发射到1028cm 以外的空洞，这个尺度称为宇宙半径． 二、方法演练类型一、天体运动中一类应用开普勒定律的问题，解这类问题时一定要注意运动的轨道、面积、周期，但三者之间也是有关联的，正因为如此，解题时要特别注意“面积速度”。
物理奥赛：力学万有引力与天体运动
05
CATALOGUE
天体运动的观测与实验验证
天文望远镜的发展与观测技术
01
02
03
天文望远镜的发明
随着光学技术的发展，人 们发明了望远镜，使得观 测天体成为可能。
望远镜的改进
随着材料科学和制造工艺 的进步，望远镜的口径越 来越大，观测能力越来越 强。
现代望远镜技术
现代望远镜采用了许多先 进技术，如自适应光学、 干涉测量等，大大提高了 观测精度。
向心力和离心力是描述天体运动中物体受到的两种基本力。向心力使物体沿着 轨道运动，离心力使物体离开中心。在天体运动中，向心力和离心力同时存在 ，互相平衡，形成了稳定的轨道运动。
03
CATALOGUE
力学原理在天体运动中的应用
牛顿第二定律与天体运动
总结词
描述了天体运动中物体加速度与作用力之间的关系。
开普勒三定律是德国天文学家开普勒从丹麦天文学家第谷的观测数据中总结出来的。轨 道定律指出行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于其中一个焦点。面积定律指出行星 与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。周期定律指出行星绕太阳运动的周期与它
们的轨道半径的平方根成正比。
地球的自转和公转
总结词
地球绕着自己的轴线旋转是自转，绕着太阳旋转是公转。
开普勒、伽利略等早期科学家在天体 运动。
科学革命背景
随着文艺复兴和科学革命的兴起，人 们开始对天体运动和地心说产生疑问 ，为万有引力定律的提出奠定了基础 。
万有引力定律的内容
万有引力定律
任何两个物体都相互吸引，引力的大小与两物体的质量成正比，与 它们之间的距离的平方成反比。
卫星轨道的观测与实验验证
人造卫星轨道观测
通过观测人造卫星的轨道参数，可以验证万有引力定律和地球引 力场的模型。
物理奥赛力学万有引力与天体运动
y
总能量为：
E0
m
M
自行计算出上述三个能量值！
O
F
x
（能否不用高等数学？）
疑难题解答研究
例1（天体轨道的判定） 如图，太阳系中星体A做半径为R1的圆运动，星体B作抛 物线运动. B在近日点处与太阳的相距为R2=2R1，且两轨道在同一平面上，两星体运动方 向也相同. 设B运动到近日点时，A恰好运动到B与太阳连线上. A、B随即发生某种强烈 的相互作用而迅速合并成一个新的星体. 其间的质量损失可忽略. 试证明新星体绕太阳的 运动轨道为椭圆.
运动，其最远点到地心的距离为8nR. 问飞船与宇航站的质量比m/M为何值时，飞船绕地
球运行一周后正好与宇航站相遇. m
解 发射前后飞船、宇航站的运动情况如图.
记地球质量为ME，发射前共同速度为u. 由
(M
m)
u2 nR
G
(M m)M E (nR)2
M 原轨道 R
得
u GM E . nR
vV
记分离后的瞬间飞船速度为v，宇航站速度为V.
r2
度问题便不难解决！
2 A
v1 C
S1
由顶点1、2、3处的机械能守恒和面积速度相等可得 v2
B
1 2
mv12
G
MSm AC
1 2
mv22
G
MSm AC
1 2
mv32
G
MSm A
①
4
1 2
(A
C )v1
1 2
(
A
C)v2
1 2
Av3
sin
②
由图可知 sin B， 代入②式得
A
1 2
(A
C)v1
万有引力与天体运动(奥赛培训内部资料好)
开普勒从第谷的观测数据中总结出行星运动三大定 律，但仍未找到行星运动的原因。
1687年
牛顿发表《自然哲学的数学原理》，提出万有引力 定律，解释了行星运动的根本原因。
概念
万有引力
任何两个物体间都存在相互吸引的力，与两物体的质量成正比， 与两物体间的距离的平方成反比。
重力
地球表面附近的物体受到地球引力的作用，使物体受到垂直向下 的力称为重力。
天体在轨道上运动时，受到的 万有引力与离心力之间达到平 衡状态，使得天体的轨道保持 稳定
03
万有引力在天体运动中的应用
月球与地球的关系
01
02
03
月球围绕地球旋转
月球与地球之间的万有引 力相互作用，使月球绕地 球旋转，形成地球的卫星。
潮汐现象
月球的引力引起地球的潮 汐现象，表现为海洋的涨 落。
月球对地球的影响
公转
地球绕太阳旋转一周，周期为一 年，产生了四季变化和昼夜长短 变化
天体的轨道运动
天体轨道运动的规律
天体在轨道上运动时，受到万 有引力的作用，万有引力指向 轨道椭圆的中心，即太阳或地 球的中心
天体轨道运动的能量
天体在轨道上运动时，具有动 能和势能，动能和势能之间相 互转化，总能量保持不变
天体轨道运动的稳定性
宇宙结构的形成
在宇宙尺度上，万有引力是塑造宇宙结构和天体运动的主要力量，它使得物质 聚集形成星系、恒星和行星等天体。
暗物质与暗能量对万有引力的影响
暗物质的发现
通过对星系旋转速度和宇宙大尺度结构的观测，科学家们发现了一种看不见、摸 不着的物质——暗物质。暗物质的存在对万有引力有重要影响。
暗能量的发现
月球对地球的引力影响， 有助于稳定地球的自转轴 倾角，保持地球气候的稳 定。
高中物理奥赛：万有引力与天体运动
星引起的．
（1）试给出这颗行星的质量 m 所满足的方程．
（2）若 L 10 光年，T 11.86 年， 3.229 毫角秒，M MS
（ MS 为太阳质量），则此行星的质量和它运动的轨道半径 r 各为多少？分别用太阳质量 MS 和国际单位 AU（平均日地距 离，1AU 1.50 109 km ）作为单位，并保留两位有效数字．
M
n 1
n 1
m 0 K 27 2 9.546
M
4
m
K 10、11
M
m 3 [2(9 102/3 )]1/2
nR
x
8nR
M
M0
0.048、3 [2(9 112/3)]1/2
0.153
例 8.4 距离我们为 L 处有一恒星，其质量为 M，观测发现其
位置呈周期性摆动，周期为 T，摆动范围的最大张角为 ．假
m M+m
M
M0
解：
M+m：G (m M )M0 (m M ) u2 u GM0
(nR)2
nR
nR
m：
1 2
mv12
G
mM 0 nR
1 2
mv12
G
mM 0 8nR
mv1 nR mv1 8nR
v1
4 3
GM 0 nR
M+m
u
nR
M0
v1 nR
解：（1）
R L , r Md ML
m
2
m 2m
Mm
G R r2
MR 2
MR
高中物理奥赛之力学—3.6万有引力天体的运动
§3.6 万有引力 天体的运动3．6．1、万有引力任何两个物体间存在一种称为万有引力的相互作用力。
万有引力是自然界中已发现的四种相互作用（万有引力相互作用、电磁相互作用、弱相互作用和强相互作用）之一。
两个质点间的万有引力，其大小与两质点的质量乘积成正比，与两质点距离的平方成反比，方向沿两质点的连线方向，其表示式为221r m m GF =式中G 称为万有引力常量，其值为22111067.6--⋅⋅⨯kg m N万有引力公式只适用于质点，当物体的几何线度不能忽略时，可以把它们分割成线度可略的小部分，两物体间每一小部分之间的万有引力的合力便就是两物体间的万有引力。
可以证明两个质量均匀的球体之间的引力。
可以用万有引力定律计算，只是计算式中的r 为两球心间的距离。
质量为m 的均匀分布的球壳对球壳外任一质点的万有引力，等于质量为m 的质点处于球心处与该质点间的万有引力，它对球壳内的任一质点的万有引力则为零。
测得的地球表面上物体所受到的重力，是地球对物体引力的一个分量，由于地球并不严格是个球体，质量分布也不均匀，加之地球的自转运动，使得同一物体，在地球表面不同位置处受到的重力略有不同。
万有引力定律的应用①天体表面的重力加速度g ：设天体质量为M 且均匀分布，天体为圆球体且半径为R ，物体质量为m ，则2R Mm Gmg = 故 2R MGg =②关于天体质量和平均密度的计算：设质量为m 的行星绕质量为M 的恒星作匀速圆周运动的公转，公转的半径为r ，周期为T ，由牛顿定律，恒星对行星的万有引力就是行星绕恒星作匀速圆周运动的向心力，故有r T m r Mm G 2224π=由此可得恒星的质量为2324GT r M π=设恒星的球半径为R ，则它的平均密度为32332323344R GT r R GT r V M πππρ===这个公式也适用于卫星绕行星作圆周运动的情况。
如设近地人造卫星的周期为T ，因有R r ≈，上式就可以写成23GT πρ=这就很容易求出地球的平均密度了。
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F3 sin
G
MSm A2
sin
G
MSm A2
B A
将前面得到的v3代入，
即得 3
A2 B
.
v3
GM S A
3 F3 C
B 4
v1 F1 S1
题后小结与思考 ➢ 椭圆上其他点曲率半径能不能用此方法得到？ ➢求抛物线任意点的曲率半径、正弦曲线顶点的
曲率半径.
例3（卫星怪像问题） 质量为m的人造卫星在绕地球（质量为Me）的飞行过程中， 由于受到微弱的摩擦阻力f（常量），不能严格按圆周轨道运动，而是缓慢地沿一螺旋 形轨道接近地球.因f 很小，轨道半径变化十分缓慢，每一周均可近似处理为半径为r的 圆周轨道，但r将逐周缩短. 试求在r轨道上旋转一周，r的改变量及卫星动能EK的改变量.
解题知识与方法研究
一、对宇宙中复杂的天体受力运动的简化
（1）天体通常相距很远，故可将天体处理为质点.
（2）很多时候，某天体的所受其他诸天体引力中仅有一个是主要的：
a、可将该两天体作为二体问题处理.
b、施力天体由于某些原因（如质量相对很大）在某惯性系中可认为几乎不动，这 时问题很简单（我们通常讨论的就是这种情况）.
解 计算新星体C的机械能. 设C距日R3,三星速度如图. 在径向： 可认为在A、B靠拢过程中质心未动.
所以C到太阳的距离为
R3
mAR1 mB R2 mA mB
mA 2mB mA mB
R1
①
在切向： A、B合并过程中动量也守恒，则有
(mA mB )vC mAvA mBvB
②
研究②式中的vA、vB： 因A作圆运动，故vA
解 卫星的动能、势能、总机械能为
EK
1 mv2, 2
EP
G
Mem r
,
E 1 mv2 G Mem .
1 2
(
A
C)v2
1 2
Bv3
③
由① ③解得
v1
AC B
GM S , A
v2
AC B
GM S , A
v3
GM S . A
求顶点1处的曲率半径ρ1：
m
v12
1
F1
G
MSm (A C)2
将前面得到的v1代入，即得1
B2 A
.
求顶点3处的曲率半径ρ3：
v1
AC B
GM S A
v3
2 A
v2
m
v32
rmv sin rmvr r2m 常量
此式变化后即得开普勒第二定律：
1 rvsin 1 r2 常量
2
2
表明： ➢开普勒第二定律不过角动量守恒定律的特殊表现. ➢开普勒第二定律不仅适用于行星的椭圆运动也将
适用于有心引力作用下的任何行星轨道运动.
M 太阳
vr
vr rr
vr m
又因万有引力为保守力，故“太阳+行星”系统的机
➢EC与(EA+EB )谁大谁小？ ➢C的轨道是什么？
因此，新星体C的轨道为椭圆.
例2（利用引力作用下的质点运动求椭圆曲率半径） 行星绕太阳作椭圆运动，已
知轨道半长轴为A，半短轴为B，太阳质量记为MS. 试用物理方法求椭圆各定点处的曲率
半径.
解 行星运动情况如图.
v3 3
据 F G Mm m v2 ， 只要求得顶点处的速
GM . R1
C BA vB vC vA
R1 日(M )
R3 R2
B作抛物线运动，机械能为零. 因而有
1 2
mB
vB2
G MmB R2
0.
C
R1
所以
vB
2GM R2
2GM
2R1
GM（ R1
vA）
BA vB vC vA
日(M )
将vA、vB代入②得
vC
2GM R1
利用①③，C星体的机械能为
械能守恒
当然，此方程也不限于
1 2
mv2
(G
Mm r2 )
常量
行星做椭圆轨道运动！
三、天体绕日运动的轨道与能量
根据万有引力定律和其他牛顿力学定律（角动
量守恒、机械能守恒等）可导出在如图的极坐标下
M
的绕日运动的天体的轨道方程：
r p .
1 ecos
（其中，p
L2 GMm2
,
e
1
2EL2 G2M 2m3
③
R3
mA 2mB mA mB
R1
①
R2
EC
1 2
(mA
mB )vC2
G
M
(mA RC
mB )
1 2 (mA
GM mB ) R1
G
M (mA mB )
mA 2mB mA mB
R1
题后思考 本题能不能直接判断？ ➢EA<0，EB=0，EA+EB=？
1 G MmA (mA mB ) 0. 2 (mA 2mB )R1
第六专题 万有引力定律与天体运动
解题知识与方法研究
一、对宇宙中复杂的天体受力运动的 简化
二、引力问题的基本运动方程 三、行星绕日运动的轨道与能量
疑难题解答研究
例题1（天体轨道的判定） 例题2（利用万有引力作用下的质点
运动求椭圆曲率半径） 例题3（卫星“怪像”） 例题4（星球运动的阻力） 例题5（飞船着陆问题） 例题6（飞船和宇航站对接问题） 例题7（双星问题）
二、引力问题的基本动力学方程 如图，行星m在太阳M的有心引力作用下运动. 在太阳惯性参照系中，由牛顿运动定律和引力定律
有径向动力学方程
mar
m( dvr dt
r2 )
G
Mm r2
M 太阳
vr vr
vr
m
rr
行星的横向加速度
ar
(
dvr dt
=r )
等于零.
因为引力为有心力，故行星对太阳参考轴角动量 守恒
r2
度问题便不难解决！
2 A
v1 C
S1
由顶点1、2、3处的机械能守恒和面积速度相等可得 v2
B
1 2
mv12
G
MSm AC
1 2
mv22
G
MSm AC
1 2
mv32
G
MSm A
①
4
1 2
(A
C )v1
1 2
(
A
C )v2
1 2
Av3
sin
②
由图可知 sin B， 代入②式得
A
1 2
(A
C)v1
）.
轨道方程为一圆锥曲线方程： （1）E 0时，e 1，为椭圆，M位于其中一个 焦点 （即开普勒第一定律）；
rr
y
vr m
r0
m
b
c
rr
ao
Mx
总能量为：
E GMm 2a
（2）E 0时，e 1，为双曲线的一支，M位于 内焦点
总能量为：
E GMm a
y
m
rr
b
M
O a F(c,0)
x
（3）E 0时，e 1，为抛物线，M位于焦点.
y
行计算出上述三个能量值！
O
F
x
（能否不用高等数学？）
疑难题解答研究
例1（天体轨道的判定） 如图，太阳系中星体A做半径为R1的圆运动，星体B作抛 物线运动. B在近日点处与太阳的相距为R2=2R1，且两轨道在同一平面上，两星体运动方 向也相同. 设B运动到近日点时，A恰好运动到B与太阳连线上. A、B随即发生某种强烈 的相互作用而迅速合并成一个新的星体. 其间的质量损失可忽略. 试证明新星体绕太阳的 运动轨道为椭圆.