函数与方程及应用
函数与方程的关系与应用
利用函数解决方程问题
函数与方程的结合应用：通过函数的 性质和方程的解法，将问题转化为函 数的最值或零点问题，从而求解方程。
利用函数的单调性：通过函数的单调 性，判断函数的值域或定义域，从而 确定方程的解的范围。
利用函数的奇偶性：通过函数的奇偶 性，将函数进行转化，从而简化方程 的求解过程。
利用函数的周期性：通过函数的周期 性，将问题转化为周期内的问题，从 而简化计算过程。
函数与方程在其他领域的应用拓展
物理学：函数与 方程在描述物理 现象和解决物理 问题中有着广泛 的应用，例如在 力学、电磁学等
领域。
添加标题
经济学：函数 与方程在经济 学中用于描述 经济变量之间 的关系，例如 供需关系、消
费函数等。
添加标题
生物学：在生 态学和生物种 群动态研究中， 函数与方程被 用来描述种群 数量的变化规
应用场景：函数解法在 物理、工程等领域应用 广泛，而方程解法在数 学、逻辑等领域应用广 泛
04
函数与方程的应用
函数在数学领域的应用
代数方程求解：利用函 数性质和图像，求解代
数方程
线性代数：函数在矩阵和 线性方程组中有着重要的 应用，例如特征值和特征
向量的计算
微积分学：函数在微积分 中作为基础概念，用于研 究函数的极限、连续性、
函数与方程的关 系与应用
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目录
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题
02
函数与方程的基本概 念
03 函 数 与 方 程 的 关 系
04 函 数 与 方 程 的 应 用
05
函数与方程的结合应 用
06
函数与方程的拓展应 用
01
添加章节标题
02
函数与方程的应用
函数与方程的应用函数与方程是数学中重要的概念，它们在各个学科领域中都发挥着重要的作用。
本文将介绍函数与方程的基本概念，并探讨它们在实际应用中的重要性。
一、函数的概念与应用函数是数学中的一个基本概念，它描述了不同数值之间的关系。
函数通常用符号表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为对应的函数值。
函数可以是线性的、非线性的，也可以是周期性的等等。
函数在实际生活中有着广泛的应用。
以销售业务为例，假设某公司的销售业绩可以表示为一个函数。
通过分析这个函数，可以找出销售业绩与各种因素（如广告投入、市场规模等）之间的关系，进而制定出合理的销售策略。
另外，函数还可以用来描述自然界中的现象。
例如，生长中的植物高度与时间之间的关系可以用一个函数来表示。
通过研究这个函数，我们可以了解植物的生长规律，为合理的植物生长管理提供依据。
二、方程的概念与应用方程是一种描述两个量之间关系的数学工具。
方程通常由等式组成，其中包含一个或多个未知数。
通过求解方程，可以确定未知数的取值，进而得到问题的解。
方程在实际中有着广泛的应用。
以物理学为例，许多物理定律可以用方程来表示。
例如，牛顿第二定律F=ma就是一个方程，其中F表示物体所受的力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
通过解这个方程，可以计算出物体的加速度。
方程还在工程领域中有着重要的应用。
例如，在电路设计中，电流、电压和电阻之间的关系可以用欧姆定律表示为V=IR，其中V表示电压，I表示电流，R表示电阻。
通过解这个方程，可以计算出电路中的电压或电流的大小，为电路设计提供指导。
三、函数与方程的关系与联合应用函数与方程之间有着密切的关系。
事实上，函数可以用方程来表示。
例如，直线函数y=kx+b可以表示为方程y=kx+b，其中k、b为常数。
通过解这个方程，可以得到直线上任意点的坐标。
函数与方程的联合应用在解决实际问题时十分重要。
以经济学为例，经济模型通常采用函数与方程的组合来描述经济变量之间的关系。
认识函数和方程的基本概念
认识函数和方程的基本概念函数和方程是数学中的重要概念，对于理解数学和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍函数和方程的基本概念，包括定义、特点及其在数学和实际生活中的应用。
1. 函数的基本概念函数是一种将一个或多个输入值与唯一的输出值相关联的关系。
它可以用符号表示为 y = f(x)，其中 x 表示自变量，y 表示因变量。
函数的关键特点包括：（1）定义域：函数的自变量可以取值的集合。
（2）值域：函数的因变量可以取到的值的集合。
（3）图像：函数的所有值与自变量的关系所构成的图形。
2. 方程的基本概念方程是一个数学等式，其中包含一个或多个未知数。
通过求解方程，我们可以确定未知量的值。
方程的关键特点包括：（1）等号：方程由等号连接左右两个表达式，表示它们相等。
（2）未知数：方程中表示待求解的值的符号或变量。
（3）解：满足方程的未知数的值。
3. 函数与方程的关系函数和方程之间存在密切关系。
事实上，函数可以通过方程来表示。
对于给定的函数，我们可以找到一个与之对应的方程。
例如，对于函数 y = 2x + 3，我们可以将它表示为方程 2x - y + 3 = 0。
同样，对于给定的方程，我们也可以将它表示为一个函数。
例如，对于方程 x^2 +y^2 = 25，我们可以将它表示为函数y = ±√(25 - x^2)。
4. 函数与方程的应用函数和方程在数学和实际生活中有广泛的应用。
在数学中，它们常用于描述几何图形、解析几何、微积分等领域。
例如，在几何中，我们可以利用函数来描述圆的方程和直线的方程；在微积分中，我们可以利用方程来求解曲线与坐标轴的交点。
在实际生活中，函数和方程也具有重要应用。
例如，在经济学中，我们可以利用函数来描述供需关系和成本收益关系，进而进行经济决策；在物理学中，我们可以利用方程描述物体的运动规律和能量转化等现象。
总结：函数和方程是数学中的基本概念，通过函数可以描述自变量与因变量之间的关系，而方程可以用来求解未知数的值。
高中数学教案：函数与方程的关系及应用
高中数学教案：函数与方程的关系及应用一、函数与方程的关系介绍函数与方程是高中数学中的重要内容，它们之间有着密切的关系，并且在实际问题中具有广泛的应用。
本文将对函数与方程的关系进行详细介绍，并展示它们在实际问题中的应用。
二、函数与方程的基本概念1. 函数的定义和表示方式函数是两个集合之间的某种特定规律。
常用的表示方式包括显式表达式、隐式表达式和参数方程等。
2. 方程的定义和分类方程是含有一个未知数（或变量）并且含有一个等号的表达式。
常见类型包括一元一次方程、二元一次方程等。
三、一元一次方程与线性函数1. 一元一次方程的基本形式一元一次方程是最简单也最常见的代数方程，形如ax + b = 0，其中a和b为已知实数，x为未知数。
2. 线性函数与一元一次方程的关系线性函数是指以直线作为图像的函数，其表示形式为f(x) = kx + b，其中k和b 为常数。
可以发现，线性函数就是一个描述了因变量y和自变量x之间关系的一元一次方程。
四、二元一次方程与平面直线1. 二元一次方程的基本形式二元一次方程是含有两个未知数（或变量）并且含有一个等号的表达式，形如ax + by = c。
2. 平面直线与二元一次方程的关系通过对二元一次方程进行变形，我们可以得到它的标准形式y = mx + b，其中m和b为常数。
这就是平面直线的一般表示方式。
五、函数与方程在实际问题中的应用1. 函数模型的建立与使用通过对实际问题进行分析和抽象，可以建立相关的函数模型。
例如，在物理学中，运动学方程就是描述运动过程中速度、位移和时间之间关系的函数模型。
2. 方程求解与实际问题解释利用方程求解方法，我们可以求解出实际问题中所涉及的未知量。
例如，在经济学中，利用成本、收入等相关信息构建代表企业盈亏情况的方程，并通过求解这些方程来分析企业经营状况。
六、总结通过本文对函数与方程的关系及其应用进行了全面地介绍。
函数是一种特定规律，而方程则是含有等号和未知数（或变量）的表达式。
高中数学函数与方程的综合应用
高中数学函数与方程的综合应用函数与方程是高中数学中的重要内容，它们在现实生活中有着广泛的应用。
本文将通过具体的案例，介绍数学函数与方程在实际问题中的综合应用。
一、投资问题假设小明在银行存储了一笔10000元的本金，并根据银行的利率1.5%进行定期存款，期限为5年。
我们可以通过函数来表示存款金额的变化。
设函数P(t)表示t年后小明的存款金额，其中t为时间（单位：年）。
根据复利计算公式，我们可以得到函数的表达式：P(t) = 10000 × (1 + 0.015)^t通过计算，我们可以得出小明存款的具体金额。
此外，如果我们希望知道小明存款超过15000元的时间，可以使用方程进行求解。
10000 × (1 + 0.015)^t > 15000通过解这个方程，我们可以求得小明存款超过15000元的时间。
二、图像运动问题假设有一辆汽车以每小时60公里的速度匀速行驶，我们希望通过函数来描述汽车的位置与时间的关系。
设函数d(t)表示t小时后汽车的行驶距离，其中t为时间（单位：小时）。
由于汽车以匀速60公里/小时行驶，我们可以得到函数的表达式：d(t) = 60t通过计算，我们可以得到任意时间时汽车的行驶距离。
此外，如果我们希望知道汽车行驶了多长时间才能达到100公里的距离，可以使用方程进行求解。
60t = 100通过解这个方程，我们可以求得汽车行驶达到100公里的时间。
三、生长问题假设一朵花每天的生长速度是2厘米，并且从初始状态开始生长。
我们可以通过函数来描述花的高度与时间的关系。
设函数h(t)表示t天后花的高度，其中t为时间（单位：天）。
由于花每天生长2厘米，我们可以得到函数的表达式：h(t) = 2t通过计算，我们可以得到任意时间时花的高度。
此外，如果我们希望知道花的高度达到10厘米需要多长时间，可以使用方程进行求解。
2t = 10通过解这个方程，我们可以求得花的高度达到10厘米所需的时间。
高二数学函数与方程的关系及应用
高二数学函数与方程的关系及应用高二数学: 函数与方程的关系及应用在高二数学学习中，函数与方程是两个重要的概念。
函数是一种特殊的关系，而方程则是未知数的等式。
本文将探讨函数与方程之间的关系，以及它们在实际问题中的应用。
一、函数与方程的基本概念函数是一种特殊的关系，其包含输入值和输出值之间的映射关系。
数学上，我们通常用 f(x) 或 y 来表示函数，其中 x 是自变量，y 是因变量。
函数可以用公式、图像或表格等形式来表示。
在函数中，每个输入值都对应唯一的输出值。
方程是一个等式，其中包含了一个或多个未知数。
方程是用来解决未知数的值的问题的。
数学中有各种各样的方程，包括一元一次方程、二次方程、指数方程等。
二、函数与方程的关系函数和方程之间存在着紧密的关联。
事实上，函数可以用来表示方程。
通常情况下，我们将函数表示为 f(x)，其中 x 是自变量，y 是因变量。
在方程中，我们也可以将等式表示为 f(x) = 0 的形式。
例如，考虑一元二次方程 f(x) = ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是已知常数。
这个方程是一个二次函数，其图像是抛物线。
方程的解即为使得方程成立的 x 值，在图像中，解对应了抛物线与 x 轴的交点。
三、函数与方程的应用函数与方程在实际问题中有广泛的应用。
它们可以帮助我们解决各种数学和实际问题。
1. 函数的图像分析：通过函数的图像，我们可以了解函数的性质，包括定义域、值域、增减性、奇偶性等。
我们可以利用这些性质来解答图像分析问题，例如求极值、交点等。
2. 方程的解析求解：方程可以用来解决各种未知数的值的问题。
通过解方程，我们可以求得未知数的具体值，例如求一元一次方程的解、二次方程的解等。
3. 函数的应用问题：函数可以帮助我们解决各种实际问题，包括数学建模、物理问题等。
例如，通过建立数学模型，我们可以利用函数来描述和分析实际问题，如弹射问题、物体运动问题等。
4. 方程的几何应用：方程可以与几何图形相结合，帮助我们解决几何问题。
函数与方程的解与应用
函数与方程的解与应用在数学中，函数与方程是两个重要的概念。
函数是一种元素之间的对应关系，而方程是用来求解未知数的等式。
函数与方程的解是数学中的基本概念，也是应用数学的重要工具。
本文将探讨函数与方程的解以及它们在实际应用中的作用。
一、函数的解函数是一种对应关系，通常由一个输入集合和一个输出集合组成。
对于给定的输入，函数会产生一个输出。
函数的解是指使函数等式得到真值的输入值。
例如，对于函数f(x) = 2x，当输入值x为2时，函数等式f(x) = 2x的解为4，因为2 * 2 = 4。
函数的解可以有多个，也可以没有解。
对于线性函数而言，解是唯一的。
例如，对于函数f(x) = 3x + 1，只有一个输入值能够使等式成立，即x = 0。
因此，函数f(x) = 3x + 1的解为x = 0。
而对于非线性函数，解可能有多个。
例如，对于函数f(x) = x^2 - 4，等式f(x) = x^2 - 4 = 0有两个解，即x = 2和x = -2。
函数的解对于理解函数的性质和性质的应用具有重要意义。
通过求解函数的解，我们可以确定函数的零点、最值以及图像的特征。
这些信息在数学建模和实际问题解决中具有重要作用。
二、方程的解方程是一种包含未知数的等式，通过求解方程，可以确定未知数的值。
方程的解是使方程等式成立的未知数的值。
解可以是实数、复数或其他数学结构中的元素。
方程的解可以有一个或多个，也可能没有解。
例如，线性方程x + 2 = 5只有一个解，即x = 3。
而对于二次方程x^2 + 4 = 0，由于平方数永远非负，因此该方程无实数解。
然而，通过引入复数，我们可以得到该方程的两个解，即x = 2i和x = -2i，其中i为虚数单位。
方程的解是解决实际问题的关键步骤。
许多实际问题可以转化为数学方程，通过求解方程的解，我们可以得到问题的答案。
例如，解线性方程组可以用于解决同时方程问题，求解二次方程可以用于计算抛物线的顶点等。
高中数学函数与方程的应用
高中数学函数与方程的应用在高中数学学科中，函数与方程是非常重要的概念，它们在各个领域中都有广泛的应用。
本文将探讨一些函数与方程的实际应用，旨在帮助读者更好地理解数学的实际应用价值。
一、经济学中的函数与方程应用在经济学中，函数与方程的应用非常广泛。
比如，在市场需求分析中，我们可以利用函数来描述消费者对某个商品的需求量与价格之间的关系。
假设某商品的需求量N与价格P之间存在着函数关系N=f(P)，其中f(P)是一个递减函数。
通过对此函数的研究，我们可以预测商品价格对其需求量的影响，从而为生产者提供合理的定价策略。
二、物理学中的函数与方程应用在物理学中，函数与方程也有着广泛的应用。
例如，在运动学中，我们可以利用函数来描述物体在运动过程中的位置、速度和加速度之间的关系。
假设一个物体在t时刻的位置为x(t)，速度为v(t)，加速度为a(t)，那么可以得到以下方程：x(t) = x(0) + ∫v(t)dtv(t) = v(0) + ∫a(t)dt通过解析这些方程，我们可以得知物体在任意时刻的位置、速度和加速度，从而更好地理解物体的运动规律。
三、生物学中的函数与方程应用在生物学中，函数与方程也起着重要的作用。
比如，在生物种群的增长问题中，我们可以利用数学模型来描述种群数量的变化。
假设某种生物种群的数量为N(t)，增长速率为r，则可以得到以下微分方程：dN/dt = rN通过解这个方程，我们可以预测种群数量在不同时间点的变化情况，从而为生物保护和资源管理提供指导。
四、工程学中的函数与方程应用在工程学中，函数与方程也有着广泛的应用。
比如，在电路分析中，我们可以利用函数来描述电压、电流和电阻之间的关系。
通过分析这些方程，我们可以计算出电路中的各种参数，从而为工程设计和故障排除提供依据。
总结起来，函数与方程在高中数学中的应用非常广泛，涉及经济学、物理学、生物学、工程学等多个领域。
通过研究这些应用，我们可以更好地理解数学在实际问题中的应用价值，培养学生的问题解决能力和创新思维。
函数与方程的综合应用
函数与方程的综合应用在数学领域，函数与方程都是重要的概念。
它们不仅在数学理论研究中有着广泛的应用，也在实际问题的解决中发挥着重要的作用。
本文将以几个典型的实例，系统地展示函数与方程在实际问题中的综合应用。
一、投掷运动中的函数与方程应用假设我们有一个投掷运动的问题。
一物体从地面上以初速度v0竖直向上抛出，经过一段时间后再落回地面。
在忽略空气阻力的情况下，我们希望能够求解以下几个问题：1. 物体的高度与时间之间的关系；2. 物体的速度与时间之间的关系；3. 物体的运动时间。
为了解决这个问题，我们首先定义一个函数h(t)，表示物体在时间t 时刻的高度。
根据物体在自由落体运动中的位移公式，我们可以得到h(t)的表达式：h(t) = v0 * t - 1/2 * g * t^2其中，g是重力加速度。
这个函数描述了物体的高度与时间之间的关系。
接下来，我们计算物体的速度。
由于速度的定义为位移对时间的导数，我们可以计算速度函数v(t)：v(t) = h'(t) = v0 - g * t这个函数描述了物体的速度与时间之间的关系。
最后，我们需要求解物体的运动时间。
当物体落回地面时，高度为0。
我们可以得到以下方程：0 = v0 * t - 1/2 * g * t^2解这个方程，即可求解出物体的运动时间。
通过以上的分析，我们可以看到在投掷运动中，函数与方程的综合应用能够帮助我们解决实际问题，并得出准确的结果。
二、金融领域中的函数与方程应用函数与方程在金融领域也有着重要的应用。
以贷款问题为例，假设某人向银行贷款x元，还款期为n个月，年利率为r。
我们希望能够求解以下几个问题：1. 每月还款额度；2. 总还款金额；3. 还款期内的利息。
为了解决这个问题，我们定义一个函数p(t)，表示第t个月时的贷款余额。
根据等额本息还款的原理，我们可以得到p(t)的表达式：p(t) = (x * r/12 * (1 + r/12)^n) / ((1 + r/12)^n - 1)其中，x是贷款金额，r是年利率，n是还款期数。
初中数学知识归纳函数与方程的实际问题应用
初中数学知识归纳函数与方程的实际问题应用初中数学知识归纳：函数与方程的实际问题应用数学是一门实用的学科，在我们日常生活中有着广泛的应用。
其中，函数与方程是数学的基础内容之一，它们在解决实际问题中起到了至关重要的作用。
本文将归纳整理初中数学中函数与方程的实际问题应用，帮助读者更好地理解和运用这些数学知识。
一、函数在实际问题中的应用我们生活的各个方面都涉及到了函数的应用，比如我们经常听说的速度、抛物线等等。
下面我们具体讨论几个常见的实际问题。
1.1 飞机起降问题假设一架飞机以一个恒定的速率起飞，那么它的高度将随着时间的推移而增加。
我们可以用函数来描述这个过程，假设函数为h(t)，其中t表示时间，h(t)表示飞机的高度。
如果飞机以每秒500米的速度上升，那么可以表示为h(t) = 500t。
1.2 铺设铁路在设计铁路线路时，需要考虑线路的曲线问题，而曲线正是函数的应用之一。
假设铁路是一段半径为r的圆的一部分，而这段圆弧的长度为l。
我们可以用函数来表示这段圆弧的形状，假设函数为y(x)，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
通过函数的性质，我们可以计算出曲线的斜率以及其他相关的信息，为铁路的设计提供便利。
1.3 注射药液问题在医学领域，注射药液的输送过程可以用函数来描述。
假设注射药液的浓度随着时间的推移而改变，我们可以用函数C(t)来表示药液的浓度，其中t表示时间。
通过分析函数的变化情况，我们可以得出药液的浓度曲线，并据此做出相关的判断和决策。
二、方程在实际问题中的应用方程在实际问题中的应用同样广泛，通过方程我们可以解决各种实际问题。
下面我们将讨论几个例子。
2.1 物体自由落体问题当一个物体自由落体时，我们可以用方程来描述其运动。
假设物体从一定高度h自由落下，时间t为0时物体的速度为0，我们可以得出以下的方程：h = (1/2)gt^2，其中g是物体自由落体的加速度，也就是重力加速度。
2.2 两个人合作完成任务在某个任务中，两个人一起合作完成，根据问题的具体情况，我们可以利用方程求解他们合作完成任务所需的时间或者速度。
方程与函数的关系
方程与函数的关系摘要：1.方程与函数的定义与关系2.方程的解法与函数的性质3.方程在函数图像上的应用4.函数在方程求解中的作用5.总结：方程与函数的紧密联系正文：一、方程与函数的定义与关系方程，是数学中表示两个量相等关系的式子，通常包含一个或多个未知数。
而函数，是数学中描述一种特定关系的方法，通常表示为一个数的集合（自变量）与另一个数的集合（因变量）之间的对应关系。
方程与函数之间的关系密切，函数可以看作是包含一个或多个未知数的方程，而方程则是函数在某一点的取值。
二、方程的解法与函数的性质解方程是数学中的一个重要环节，通常有代入法、消元法、韦达定理等多种方法。
而函数的性质，如单调性、周期性、奇偶性等，则影响着方程的解法。
了解函数的性质，可以帮助我们更快地解出方程，甚至可以简化方程的解法过程。
三、方程在函数图像上的应用函数的图像，是函数在平面直角坐标系上的点的集合，可以直观地反映函数的性质。
而方程，则可以用来确定函数图像上的特定点。
例如，如果一个函数的零点就是方程的解，那么我们可以通过解方程来确定函数图像上的零点。
四、函数在方程求解中的作用函数在方程求解中的作用也非常重要。
例如，我们可以通过函数的导数来找到方程的解，或者通过函数的性质来简化方程的解法。
在一些复杂的数学问题中，函数和方程的相互作用，可以使得问题得到更好的理解和解决。
五、总结：方程与函数的紧密联系从上述内容可以看出，方程与函数的联系非常紧密。
方程可以看作是函数在某一点的取值，而函数的性质则影响着方程的解法。
同时，方程和函数在数学问题的求解中，往往可以相互转化，互相帮助。
第3讲函数与方程及函数的应用
第3讲函数与方程及函数的应用【高考考情解读】 1.本讲主要考查函数的零点，常以分式、绝对值不等式、对数式、三角函数为载体；考查确定零点的个数、存在区间及应用零点存在情况求参数值或取值范围；函数的实际应用常以实际生活为背景，与最值、不等式、导数、解析几何等知识交汇命题.2.函数的零点主要是以选择题、填空题的形式考查，以基础知识为主，而函数的实际应用则主要以解答题的形式出现，属中、高档题．1．函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.考点一函数的零点例1 (1)(2013·重庆)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x (x >0)，2x ＋1(x ≤0)，的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 (1)A (2)D解析 (1)由于a <b <c ，所以f (a )＝0＋(a －b )(a －c )＋0>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.因此有f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，又因f (x )是关于x 的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f (x )的两零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A. (2)依题意，当x >0时，在同一个直角坐标系中分别作出y ＝ln x 和y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1的图象，可知它们有两个交点；当x ≤0时，作出y ＝2x ＋1的图象，可知它和x 轴有一个交点．综合知，函数y ＝f (x )有三个零点．(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(2)提醒：函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．(1)(2012·天津)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0 B．1 C．2 D．3(2)已知函数f(x)＝a x＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a、b满足2a＝3,3b＝2，则n＝________.答案(1)B(2)－1解析(1)先判断函数的单调性，再确定零点．因为f′(x)＝2x ln 2＋3x2>0，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．(2)f(x)＝a x＋x－b的零点x0就是方程a x＝－x＋b的根．设y1＝a x，y2＝－x＋b，故x0就是两函数交点的横坐标，如图，＝log32<y2＝1＋b＝1＋log32，当x＝－1时，y1＝1a∴－1<x0<0，∴n＝－1.考点二与函数有关的自定义问题例2 若对于定义在R 上的函数f (x )，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R )使得f (x ＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立，则称f (x )是一个“λ－伴随函数”．有下列关于“λ－伴随函数”的结论：①f (x )＝0是常数函数中唯一一个“λ－伴随函数”；②f (x )＝x 是“λ－伴随函数”；③f (x )＝x 2是“λ－伴随函数”；④“12－伴随函数”至少有一个零点．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4先理解新定义“λ－伴随函数”的意义，然后对给出的函数逐一用定义检验，从而判断所给命题的正确性． 答案 A解析 对于①，若f (x )＝c ≠0，取λ＝－1， 则f (x －1)－f (x )＝c －c ＝0，即f (x )＝c ≠0是一个“λ－伴随函数”，故①不正确． 对于②，若f (x )＝x 是一个“λ－伴随函数”，则(x ＋λ)＋λx ＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故②不正确． 对于③，若f (x )＝x 2是一个“λ－伴随函数”，则(x ＋λ)2＋λx 2＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故③不正确． 对于④，若f (x )是“12－伴随函数”，则f (x ＋12)＋12f (x )＝0，取x ＝0，则f (12)＋12f (0)＝0，若f (0)，f (12)任意一个为0，函数f (x )有零点；若f (0)，f (12)均不为0，则f (0)，f (12)异号，由零点存在性定理，知f (x )在(0，12)内存在零点x 0，所以④正确．故选A.函数的创新命题是高考命题的一个亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，如本题中的“λ－伴随函数”，要求在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题．解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的新信息进行有效的整合，并转化为熟悉的知识加以解决，即检验f (x ＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立．若平面直角坐标系内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数f (x )的图象上；②P ，Q 关于y 轴对称，则称点对(P ，Q )是函数f (x )的图象上的一个“镜像点对”(点对(P ，Q )与点对(Q ，P )看作同一个“镜像点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx (x <0)，log 3x (x >0)，则f (x )的图象上的“镜像点对”有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对答案 C解析 依题意，设点P (x 0，y 0)，Q (－x 0，y 0)(其中x 0>0)， 若点对(P ，Q )是函数f (x )的图象上的一个“镜像点对”，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝log 3x 0，y 0＝cos π(－x 0)＝cos πx 0，所以log 3x 0＝cos πx 0，即x 0是方程log 3x ＝cos πx 的根．在同一个直角坐标系中画出函数y ＝log 3x 与y ＝cos πx 的图象，可知这两个图象共有3个交点，即函数f (x )的图象的“镜像点对”共有3对．故选C. 考点三 函数模型及其应用例3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝|x x 2＋1－a |＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈[0，12]，若用每天f (x )的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M (a )． (1)令t ＝xx 2＋1，x ∈[0,24]，求t 的取值范围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？(1)分x ＝0和x ≠0两种情况，当x ≠0时变形使用基本不等式求解．(2)利用换元法把函数f (x )转化成g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，再把函数g (t )写成分段函数后求M (a )．解 (1)当x ＝0时，t ＝0；当0<x ≤24时，x ＋1x≥2(当x ＝1时取等号)，∴t ＝x x 2＋1＝1x ＋1x ∈(0，12]，即t 的取值范围是[0，12]．(2)当a ∈[0，12]时，记g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，则g (t )＝⎩⎨⎧－t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a <t ≤12.∵g (t )在[0，a ]上单调递减，在(a ，12]上单调递增，且g (0)＝3a ＋23，g (12)＝a ＋76，g (0)－g (12)＝2(a －14)．故M (a )＝⎩⎨⎧g (12)，0≤a ≤14，g (0)，14<a ≤12.即M (a )＝⎩⎨⎧a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14<a ≤12.当0≤a ≤14时，M (a )＝a ＋76<2显然成立；由⎩⎨⎧3a ＋23≤2，14<a ≤12，得14<a ≤49， ∴当且仅当0≤a ≤49时，M (a )≤2.故当0≤a ≤49时不超标，当49<a ≤12时超标．(1)解答函数应用题的关键将实际问题中的数量关系转化为函数模型，常见模型有：一次或二次函数模型；分式函数模型；指数式函数模型等． (2)对函数模型求最值的常用方法 单调性法、基本不等式法及导数法．(3)本题中的函数与方程思想：①在求t 的范围时，把t 看作是x 的函数，在求M (a )时，把综合放射性污染指数看作是t 的函数．②在确定综合放射性污染指数是否超标时，用到了方程的思想．某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (毫克/升)满足y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧x 216＋2，0<x ≤4，x ＋142x －2，x >4，当药剂在水中的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化． (1)如果投放的药剂质量为m ＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？ (2)如果投放药剂质量为m ，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的最小值． 解 (1)由题意，得当药剂质量m ＝4时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋8(0<x ≤4)，2x ＋28x －1(x >4).当0<x ≤4时x 24＋8≥4，显然符合题意．当x >4时2x ＋28x －1≥4，解得4<x ≤16.综上0<x ≤16.所以自来水达到有效净化一共可持续16天．(2)由y ＝m ·f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧mx 216＋2m (0<x ≤4)，m (x ＋14)2x －2(x >4)，得当0<x ≤4时，y ＝mx 216＋2m 在区间(0,4]上单调递增，即2m <y ≤3m ；当x >4时，y ′＝－30m(2x －2)2<0，∴函数在区间(4,7]上单调递减，即7m4≤y <3m ，综上知，7m4≤y ≤3m ，为使4≤y ≤10恒成立，只要7m4≥4且3m ≤10即可， 即167≤m ≤103. 所以应该投放的药剂量m 的最小值为167.1． 函数与方程(1)函数f (x )有零点⇔方程f (x )＝0有根⇔函数f (x )的图象与x 轴有交点． (2)函数f (x )的零点存在性定理如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.①如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f (x )在区间[a ，b ]上是一个单调函数，那么当f (a )·f (b )<0时，函数f (x )在区间(a ，b )内有唯一的零点，即存在唯一的c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.②如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )>0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内不一定没有零点．③如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f (x )在区间(a ，b )内有零点时不一定有f (a )·f (b )<0，也可能有f (a )·f (b )>0.2． 函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决． 3． 应用函数模型解决实际问题的一般程序读题(文字语言)⇒建模(数学语言)⇒求解(数学应用)⇒反馈(检验作答)与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．1． 已知函数f (x )＝(13)x －log 2x ，实数a ，b ，c 满足f (a )·f (b )·f (c )<0(0<a <b <c )，若实数x 0为方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是( )A ．x 0<bB ．x 0>bC ．x 0<cD ．x 0>c答案 D解析 函数f (x )＝(13)x －log 2x在其定义域(0，＋∞)上是减函数， ∵0<a <b <c ，∴f (a )>f (b )>f (c )． 又∵f (a )f (b )f (c )<0， 则f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0， 或者f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0. 若f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0，则x 0<a ， 若f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0，则b <x 0<c ， 故x 0>c 不可能成立，故选D. 2． 若f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内，g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是 ( )A ．[0，12)B ．[12，＋∞)C ．[0，13)D ．(0，12]答案 D解析 根据方程与函数关系． 设x ∈(－1,0)，则x ＋1∈(0,1)， ∴f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1，∴画出f (x )在(－1,1]上的图象(如右图)，g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]上有两个零点，即f (x )＝m (x ＋1)有 两个不同根，即y ＝f (x )与y ＝m (x ＋1)有两个不同交点． 如右图，当过(－1,0)的直线处于l 与x 轴之间时，满足题意，则0<m ≤12.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．卖店函数f (x )＝log 2x －1x的零点所在的区间为( )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2,3)答案 C解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数． f (12)＝log 212－112＝－1－2＝－3<0， f (1)＝log 21－11＝0－1<0，f (2)＝log 22－12＝1－12＝12>0，f (3)＝log 23－13>1－13＝23>0，即f (1)·f (2)<0，∴函数f (x )＝log 2x －1x的零点在区间(1,2)内．2． 若函数g (x )＝f (x )－2在(－∞，0)内有零点，则y ＝f (x )的图象是( )答案 D解析 由f (x )－2＝0，得f (x )＝2，由图象可知， 对于A ，当f (x )＝2时，x ＝0，不成立． 对于B ，当f (x )＝2时，无解．对于C ，当f (x )＝2时，x >0，不成立，所以选D. 3． (2013·天津)函数f (x )＝2x |log 0.5 x |－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 当0<x <1时，f (x )＝2x log 0.5x －1，令f (x )＝0，则log 0.5x ＝⎝⎛⎭⎫12x由y ＝log 0.5x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f (x )在(0,1)上有一个零点．当x >1时，f (x )＝－2x log 0.5x －1＝2x log 2x －1， 令f (x )＝0得log 2x ＝⎝⎛⎭⎫12x，由y ＝log 2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，故选B.4． 根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16答案 D解析 因为组装第A 件产品用时15分钟， 所以cA＝15，① 所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30，②联立①②解得c ＝60，A ＝16.5． 已知关于x 的方程|x 2－6x |＝a (a >0)的解集为P ，则P 中所有元素的和可能是 ( )A ．3,6,9B ．6,9,12C ．9,12,15D ．6,12,15答案 B解析 令f (x )＝|x 2－6x |，作图象如下：知f(x)＝|x2－6x|的图象关于直线x＝3对称，它与直线y＝a交点的个数为2,3或4个．所以方程根的和为6,9,12.选B.6．(2013·辽宁)已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B等于() A．a2－2a－16 B．a2＋2a－16C．－16 D．16答案 C解析f(x)＝[x－(a＋2)]2－4－4a，g(x)＝－[x－(a－2)]2＋12－4a，在同一坐标系内作f(x)与g(x)的图象(如图)．依题意知，函数H 1(x )的图象(实线部分)， 函数H 2(x )的图象(虚线部分)．∴H 1(x )的最小值A ＝f (a ＋2)＝－4－4a ， H 2(x )的最大值B ＝g (a －2)＝12－4a ， 因此A －B ＝(－4－4a )－(12－4a )＝－16. 二、填空题7． 函数f (x )＝x 2－2x 的零点个数为________．答案 3解析 由于f (－1)＝1－2－1＝12>0，又f (0)＝0－1<0，则在区间(－1,0)内有1个零点； 又f (2)＝22－22＝0，f (4)＝42－24＝0，故有3个零点．8． 若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．答案 －12，－13解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a －b ＝032－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－6.∴g (x )＝－6x 2－5x －1的零点为－12，－13.9． 设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为________．答案 7解析 由y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1， 如图画出f (x )的图象，由f (x )＝12知有4个根， 由f (x )＝1知有3个根，故共有7个零点．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0 有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 画出函数y ＝f (x )与y ＝a －x 的图象，如图所示，所以a >1.三、解答题11．已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝12|x |＋2. (1)求函数g (x )的值域；(2)求满足方程f (x )－g (x )＝0的x 的值．解 (1)g (x )＝12|x |＋2＝⎝⎛⎭⎫12|x |＋2， 因为|x |≥0，所以0<⎝⎛⎭⎫12|x |≤1，即2<g (x )≤3，故g (x )的值域是(2,3]．(2)由f (x )－g (x )＝0得2x －12|x |－2＝0， 当x ≤0时，显然不满足方程，当x >0时，由2x －12x －2＝0， 整理得(2x )2－2·2x －1＝0，(2x －1)2＝2，故2x ＝1±2，因为2x >0，所以2x ＝1＋2，即x ＝log 2(1＋2)．12．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a ≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x 元(9≤x ≤11)时，一年的销售量为(12－x )2万件．(1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大？并求出L 的最大值Q (a )． 解 (1)分公司一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为L ＝(x －3－a )(12－x )2，x ∈[9,11]．(2)L ′(x )＝(12－x )2－2(x －3－a )(12－x )＝(12－x )(18＋2a －3x )．令L ′＝0得x ＝6＋23a 或x ＝12(不合题意，舍去)． ∵3≤a ≤5，∴8≤6＋23a ≤283. 在x ＝6＋23a 两侧，L ′的值由正变负． 所以①当8≤6＋23a <9，即3≤a <92时， L max ＝L (9)＝(9－3－a )(12－9)2＝9(6－a )；②当9≤6＋23a ≤283，即92≤a ≤5时， L max ＝L ⎝⎛⎭⎫6＋23a ＝⎝⎛⎭⎫6＋23a －3－a ⎣⎡⎦⎤12－⎝⎛⎭⎫6＋23a 2＝4⎝⎛⎭⎫3－13a 3， 所以Q (a )＝⎩⎨⎧ 9(6－a )，3≤a <92，4⎝⎛⎭⎫3－13a 3，92≤a ≤5.故若3≤a <92，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝9(6－a )(万元)；若92≤a ≤5，则当每件售价为⎝⎛⎭⎫6＋23a 元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝4⎝⎛⎭⎫3－13a 3(万元)． 13．已知函数f (x )＝e x －m －x ，其中m 为常数．(1)若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立，求m 的取值范围；(2)当m >1时，判断f (x )在[0,2m ]上零点的个数，并说明理由．解 (1)f ′(x )＝e x －m －1，令f ′(x )＝0，得x ＝m .故当x ∈(－∞，m )时，e x －m <1，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(m ，＋∞)时，e x －m >1，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴当x ＝m 时，f (m )为极小值，也是最小值．令f (m )＝1－m ≥0，得m ≤1，即若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立，则m 的取值范围是(－∞，1]．(2)由(1)知f (x )在[0,2m ]上至多有两个零点，当m >1时，f (m )＝1－m <0.∵f (0)＝e －m >0，f (0)f (m )<0，∴f (x )在(0，m )上有一个零点．∵f (2m )＝e m －2m ，令g (m )＝e m －2m ，∵当m >1时，g ′(m )＝e m －2>0，∴g (m )在(1，＋∞)上单调递增，∴g (m )>g (1)＝e －2>0，即f (2m )>0.∴f (m )·f (2m )<0，∴f (x )在(m,2m )上有一个零点．故f (x )在[0,2m ]上有两个零点．。
函数与方程的应用与解决实际问题
函数与方程的应用与解决实际问题数学中的函数与方程是解决实际问题中常用的工具，它们在经济、物理、生物等各个领域中都发挥着重要的作用。
本文将以几个实际问题为例，介绍函数与方程在解决这些问题中的应用与方法。
一、名人效应问题在社交媒体的时代，我们经常听到某位名人加入某个平台后，该平台的用户数大幅增加。
我们可以利用函数来描述这个现象。
假设某个平台的用户数随时间变化的函数为y=f(x)，其中x表示时间，y表示用户数。
我们可以利用已知数据点，如某位名人加入该平台后的用户数变化，来建立函数的数学模型。
通过求解方程f(x)=y，我们可以预测未来某个时间点的用户数。
二、贷款问题在银行贷款中，我们通常需要计算每个月的还款额。
假设贷款总额为P元，贷款期限为n个月，年利率为r%，我们可以通过函数来描述每个月的还款额。
假设每月的还款额为y元，其中x表示还款的月数。
我们可以建立方程f(x)=P/n+y*(1+r/100/12)^x。
通过求解这个方程，我们可以计算出每个月的还款额。
三、溶解速度问题在化学实验中，溶解速度是一个重要的指标。
假设某种溶液的质量为m克，溶解时间为t分钟。
我们可以用函数来描述溶解速度。
假设溶解速度为v克/分钟，我们可以建立方程f(t)=m-v*t。
通过求解这个方程，我们可以计算出溶解完成所需的时间。
四、物体自由落体问题在物理实验中，研究物体自由落体是常见的课题。
假设物体下落的距离为y米，下落的时间为t秒。
我们可以用函数来描述物体的下落过程。
假设下落速度为v米/秒，我们可以建立方程f(t)=y-v*t。
通过求解这个方程，我们可以计算出物体自由落体所需的时间和下落的距离。
总结起来，函数与方程在解决实际问题中发挥着重要的作用。
通过建立函数的数学模型并求解方程，我们可以预测未来的趋势、计算出具体的数值，从而解决实际问题。
在实际应用中，我们可以根据问题的特点选择合适的函数形式，并利用已知的数据点求解方程来获得实际解。
函数与方程的综合应用问题
函数与方程的综合应用问题函数与方程在数学中是常见的工具，通过它们的综合应用，我们能够解决各种实际问题。
本文将通过几个具体案例来探讨函数与方程在实际问题中的应用。
案例一：汽车油耗问题假设一辆汽车在市区行驶时，平均每小时消耗x升的汽油。
已知该汽车从A地到B地的距离为d千米，我们要计算从A地到B地需要消耗多少汽油。
解决这个问题，我们可以建立一个函数关系，将消耗的汽油量y表示为x的函数，即y = f(x)。
其中，y表示消耗的汽油量，x表示行驶的时间（单位为小时）。
函数f(x)可以通过汽车的平均油耗得到。
另外，我们知道行驶的时间t与距离d之间存在着关系，即t = d / v，其中v为汽车的行驶速度。
将这个关系带入到前面的函数中，我们可以得到一个关于汽油消耗量y与距离d的方程。
通过求解这个方程，我们即可得到从A地到B地所需的汽油消耗量。
案例二：物体自由落体问题假设一个物体从高处自由落体，求解物体下落的位移与时间之间的关系。
我们可以利用物体的运动方程来解决这个问题。
物体自由落体的运动方程可以表示为：h = h0 + v0t - (1/2)gt^2。
其中，h表示物体下落的位移，h0表示初始高度，v0表示初始速度，t表示时间，g表示重力加速度。
通过这个方程，我们可以得到任意时刻物体的下落位移。
我们还可以求解物体下落所需的时间，即求解这个方程关于t的方程。
通过解方程，我们可以获得物体自由落体过程中的各个参数，进而得到关于位移和时间的函数关系。
通过上述两个案例的介绍，我们可以看到函数与方程在实际问题中的应用非常广泛。
无论是汽车油耗问题还是物体自由落体问题，通过建立合适的函数关系和方程模型，我们能够解决各种实际问题。
在实际应用中，我们还需要注意对函数与方程的正确理解和运用。
例如，对于函数关系，我们需要注意选择适当的自变量和因变量，并确定函数关系的准确表达式。
对于方程求解，我们需要灵活运用各种求解方法，如代入法、消元法等。
函数与方程的应用
函数与方程的应用数学中的函数与方程是数学中的两个重要概念，它们在各个领域中都有着广泛的应用。
本文将探讨函数与方程在实际生活中的应用，包括物理、经济、工程等方面。
一、函数的应用函数是数学中的一种基本概念，广泛应用于各个领域。
下面将以物理和经济领域为例，说明函数的应用。
1. 物理中的函数应用在物理学中，函数常常用于描述运动的过程。
以直线运动为例，当物体做匀速直线运动时，其位移与时间之间的关系可以用一次函数来表示。
设物体的位移为S，时间为t，匀速直线运动的速度为v，则有S=vt，其中v为常数。
通过这个函数，我们可以方便地计算在任意时间点物体的位置。
同样地，对于变速直线运动，我们可以利用二次函数或更高次的函数来描述位移与时间之间的关系。
2. 经济中的函数应用在经济学中，函数被广泛应用于建立数学模型，用于分析市场供需、消费行为等经济现象。
以供应函数为例，它描述了某种商品在不同价格下的供应数量。
根据供应函数的性质，我们可以得到供给曲线，进而研究供应与价格之间的关系。
类似地，需求函数可以描述消费者在不同价格下的购买数量，通过需求函数可以得到需求曲线，并研究需求与价格之间的关系。
通过对供给与需求函数进行分析，我们可以得到市场的均衡价格和数量，为经济决策提供理论依据。
二、方程的应用方程是描述量与量之间关系的数学工具，它在工程、化学等领域中得到广泛应用。
下面以工程和化学为例，说明方程的应用。
1. 工程中的方程应用在工程中，方程常常用于分析电路、控制系统等问题。
以电路为例，欧姆定律是最基本的电路方程之一，它描述了电流、电压和电阻之间的关系。
在分析电路时，我们可以通过建立方程组来求解各个元件的电流和电压，从而得到电路的各种性质。
类似地，对于控制系统，我们可以利用方程模型来描述系统的动态特性，并通过求解方程来分析和设计控制器。
2. 化学中的方程应用在化学反应中，方程扮演着至关重要的角色。
化学反应方程描述了反应物与产物之间的转化关系，反应物和产物的摩尔比可以从方程中得到。
函数与方程实际问题函数和方程在实际问题中的应用
函数与方程实际问题函数和方程在实际问题中的应用函数与方程实际问题在数学中，函数和方程是非常重要的概念。
它们不仅仅是数学的基础，也在实际生活中发挥着重要的作用。
本文将探讨函数和方程在实际问题中的应用，从中我们可以更好地理解数学知识的实际意义。
一、函数在实际问题中的应用函数是一种映射关系，它将一个或多个输入值映射为一个输出值。
在实际问题中，我们可以通过函数来描述各种现象和规律。
1.1 函数在物理问题中的应用在物理学中，很多现象可以通过函数来描述。
例如，一个自由下落物体的高度与时间的关系可以用二次函数表示。
设物体下落的时间为t，高度为h，那么函数表达式可以写为h(t) = -0.5gt^2 + v0t + h0，其中g为重力加速度，v0为初速度，h0为初位移。
通过这个函数，我们可以计算出物体在任意时刻的高度。
另外，电阻与电流的关系也可以通过函数来描述。
欧姆定律表明电阻R和电流I的关系为I = V/R，其中V为电压。
这个函数可以帮助我们计算电阻对电流的影响。
1.2 函数在经济问题中的应用经济学中也广泛使用函数来研究各种经济问题。
例如，供需关系可以用函数来表示。
假设某商品的需求函数为D(p)，供应函数为S(p)，其中p为商品的价格。
通过这两个函数，我们可以确定价格对供求关系的影响，从而做出相应的经济决策。
此外，利润函数也是经济学中常见的函数之一。
利润函数可以帮助企业家确定最大化利润的生产方式和定价策略，从而提高经济效益。
二、方程在实际问题中的应用方程是数学中的基本工具，它描述了数值之间的关系。
在实际问题中，方程常常被用于求解未知数的值。
2.1 方程在几何问题中的应用几何问题中经常需要通过方程来求解未知数。
例如，已知一个三角形的边长和角度，我们可以利用三角函数和三角方程求解其他未知数。
这在建筑、测量和航海等领域中具有重要的应用价值。
此外，曲线的方程也是几何问题中常见的应用。
通过方程，我们可以描述和分析各种曲线的性质，如直线、抛物线、圆等。
函数与方程在实际问题中的应用
函数与方程在实际问题中的应用函数与方程是数学中的重要概念，在实际问题中起着重要的作用。
无论是自然科学还是社会科学，函数与方程都能帮助我们解决问题，提供准确的数学模型和预测。
本文将从几个方面探讨函数与方程在实际问题中的应用。
一、物理学中的函数与方程应用物理学是研究自然界的基本规律的学科，而函数与方程在物理学中有着广泛的应用。
以运动学为例，我们可以通过函数与方程描述物体在空间中的运动状态。
例如，当我们知道一个物体的初速度、加速度和时间时，可以利用一元二次方程来计算物体的位移。
这个方程就是物体在运动过程中所满足的数学模型，通过求解方程，我们可以预测物体在任意时刻的位置。
二、经济学中的函数与方程应用经济学是研究人类经济活动的规律的学科，而函数与方程在经济学中也有着重要的应用。
以供需关系为例，我们可以利用函数来描述商品的供给和需求函数。
通过求解这些函数的交点，我们可以确定市场的均衡价格和数量。
同时，经济学中的消费函数和生产函数也是通过函数与方程来描述的，通过求解这些函数，我们可以分析消费者和生产者的行为，并预测市场的变化趋势。
三、生物学中的函数与方程应用生物学是研究生命现象的规律的学科，而函数与方程在生物学中也有着重要的应用。
以生物进化为例，我们可以利用函数来描述物种的进化过程。
通过求解这些函数，我们可以了解物种的演化历程以及各个时期的变化趋势。
此外，生物学中的生长曲线也是通过函数来描述的，通过求解生长曲线的方程，我们可以预测生物体的生长速度和发育趋势。
四、工程学中的函数与方程应用工程学是研究应用科学的学科，而函数与方程在工程学中有着广泛的应用。
以电路分析为例，我们可以利用函数和方程来描述电路中的电压和电流关系。
通过求解这些方程，我们可以计算电路中各个元件的电压和电流大小，从而设计出满足特定要求的电路。
此外，在工程学的其他领域，如结构力学、流体力学和热力学等，函数与方程也起着重要的作用。
总结起来，函数与方程在实际问题中的应用是多种多样的，无论是自然科学还是社会科学，都离不开它们的帮助。
函数与方程的应用如何将函数与方程应用于实际问题
函数与方程的应用如何将函数与方程应用于实际问题在数学学科中，函数和方程是两个非常重要的概念。
函数是一种特殊的关系，它将一个或多个自变量与一个因变量相关联。
方程则是一种数学等式，它陈述了两个表达式的相等关系。
函数与方程的应用十分广泛，可以用于解决各种实际问题。
本文将探讨如何将函数与方程应用于实际问题，并给出几个具体的例子。
一、金融领域的应用函数与方程在金融领域中有着重要的应用。
例如，在投资中，我们可以使用复利函数来计算未来的资金增长情况。
假设一个人每年投资10000元，并以5%的年利率进行复利计算，那么我们可以使用如下的函数来描述他的资金增长情况：F(t) = P(1+r)^t，其中F(t)表示t年后的资金总额，P表示每年的投资金额，r表示年利率。
通过这个函数，我们可以预测未来的资金增长情况，并作出合理的投资决策。
二、物理学中的运动问题函数与方程在物理学中也有广泛的应用，特别是在描述物体运动的问题上。
以匀变速直线运动为例，我们可以使用一元一次方程来表示物体的位移和时间的关系。
假设一个物体的初始位移为x0，速度为v，时间为t，那么根据匀变速直线运动的定义，可以得到如下的方程：x - x0 = vt。
通过这个方程，我们可以计算出物体在任意时刻的位移，并进一步分析其运动规律。
三、生物学中的种群模型函数与方程在生物学中也有着广泛的应用。
以种群模型为例，我们可以使用一阶常微分方程来描述物种的数量随时间变化的情况。
假设一个物种的种群数量为N，增长率为r，死亡率为d，那么可以得到如下的方程：dN/dt = rN - dN。
通过这个方程，我们可以研究物种数量的动态变化，并预测未来的发展趋势。
总结起来，函数与方程在解决实际问题时扮演着重要角色。
无论是金融领域的投资问题，还是物理学中的运动问题，或者是生物学中的种群模型，我们都可以运用函数与方程的知识来进行分析和求解。
通过建立适当的函数模型或方程模型，我们可以更好地理解和解决实际问题，为科学研究和实践应用提供支持。
函数与函数方程的应用
函数与函数方程的应用函数与函数方程的应用是数学学科中的重要内容之一。
它研究了函数与函数方程在各个领域中的实际应用以及它们在解决问题中的作用。
本文将介绍函数与函数方程在不同领域中的应用，并讨论它们在解决问题时的重要性。
一、微积分中的函数与函数方程微积分是函数与函数方程的应用最为广泛的领域之一。
通过微积分的概念和方法，我们可以研究函数的极限、导数和积分等特性，进而解决一系列与函数相关的实际问题。
例如，在物理学中，我们经常需要根据物体的运动情况来确定其位置、速度和加速度等参数。
这些物理量通常是时间的函数。
通过对这些函数进行微分和积分运算，我们可以获得关于物体运动的更多信息，帮助我们分析和解决物理学问题。
另外，在经济学中，函数与函数方程也扮演着重要的角色。
经济学家常常使用函数来描述经济变量之间的关系，如需求函数、供给函数等。
通过对这些函数进行求导和积分，我们可以研究经济变量的变化规律，为经济决策提供科学的依据。
二、工程学中的函数与函数方程工程学是另一个广泛运用函数与函数方程的领域。
在工程学中，各种物理规律和工程问题常常可以用函数来描述和解决。
举个例子，在电路设计中，我们需要根据电流和电压之间的关系来确定电路的性能和特性。
这些关系往往可以用函数方程表达，通过求解这些方程，我们可以找到合适的电路设计方案，满足特定的工程需求。
此外，在材料力学中，函数与函数方程也是解决问题的重要工具。
通过函数的数学表达式，我们可以研究材料的应力、应变和变形情况，为材料设计和结构分析提供依据。
三、生物学中的函数与函数方程在生物学中，函数与函数方程的应用也非常广泛。
生物学家通过函数的建立和分析，可以深入研究生物体的生长、发育和代谢等过程，从而揭示生命的奥秘。
举个例子，生物体的生长过程可以用函数方程来描述。
通过建立生长函数，我们可以研究生物体的不同发育阶段以及生长速率的变化规律，为农业、医学和生物工程领域提供指导。
此外，在进化生物学中，函数与函数方程也发挥着重要作用。
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专题一：
第四讲——函数与方程及其应用
一、基础训练：
1.（2010·天津高考理科）函数f(x)=23x
x +的零点所在的一个区间是( )
(A)（-2，-1） (B)（-1,0） (C)（0,1） (D)（1,2）
2.（2010·福建高考理科）函数223,0()2ln ,0⎧+-≤=⎨-+>⎩x x x f x x x 的零点个数为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
3.(2009山东卷理)若函数f(x)=a x
-x-a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .
4.（2011北京）根据统计，一名工人组装第x
件某产品所用的时间（单位：分钟）为
()c x A f x x A <=≥（A ，c 为常数）。
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品时用时15分钟，那么c 和A 的值分别是
A. 75，25
B. 75，16
C. 60，25
D. 60，16
二、例题：
例1：（函数零点的判断）
（1）（2009天津卷理）设函数1()ln (0),3f x x x x =
->则()y f x = A 在区间1
(,1),(1,)e e 内均有零点。
B 在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点。
C 在区间1(,1)e
内有零点，在区间(1,)e 内无零点。
D 在区间1(,1)e 内无零点，在区间(1,)e 内有零点。
（2）（2011天津理）对实数a 和b ，定义运算“”：a b= 设函数f(x)=(2
-2x )
(2-x x ),x 为实数。
若函数y=f(x)-c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 （ ）
A B
C D
变式训练：（2011北京）.已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩
，若关于x 的方程()f x k =有两
个不同的实根，则实数k 的取值范围是________.
【例2】（函数零点的应用）
m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4.
①有且仅有一个零点？
②有两个零点且均比－1大？
(2)若函数F (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．
变式： (2010·扬州调研)已知函数f(x)＝log 4(4x ＋1)＋kx(k ∈R)是偶函数．
(1)求k 的值； (2)若方程f(x)－m ＝0有解，求m 的取值范围．
例3：（函数应用）
（2011湖北）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．
（Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）
变式：.为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局面，某运输公司提出五种运输方案，据预测，这五种方案均能在规定时间T 完成预期的运输任务Q 0，各种方案的运煤总量Q 与时间t 的函数关系如下图所示.在这五种方案中，运煤效率（单位时间的运煤量）逐步提高的是_________.（填写所有正确的图象的编号）
三、练习巩固:
1．对于函数f(x)=x 2+mx+n,若f(a)>0,f(b)>0,则函数f(x)在区间（a,b)内( )
(A)一定有零点(B)一定没有零点
(C)可能有两个零点(D)至多有一个零点
2.方程|x|＝cos x 在(－∞，＋∞)内( )．
A ．没有根
B ．有且仅有一个根
C ．有且仅有两个根
D ．有无穷多个根
3．关于x 的方程cos 2x －sinx ＋a ＝0在(0，π2
]上有解，则a 的取值范围为________ 4.(2009山东卷理)已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=
5.(2011山东).已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数
f x （）的零点*
0(,1),,n =x n n n N ∈+∈则 .
6．(2011·襄阳一调)利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y(万
元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210
－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为( )
A ．240
B ．200
C ．180
D ．160。