2015-2016年上海市金山中学高一(上)数学期末试卷及答案PDF

2015-2016学年上海市金山中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．（3.00分）若全集U=R，A={x|x＞2}，B={x|x＞5}，则A∩∁U B=．2．（3.00分）已知a＞1，则不等式a+的最小值为．3．（3.00分）幂函数y=f（x）的图象经过点（，2），则f（x）=．4．（3.00分）函数F（x）=x﹣的零点个数为．5．（3.00分）已知sin（﹣α）=，则cos（π﹣α）=．6．（3.00分）函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，则点A 坐标为．7．（3.00分）已知，且2π＜α＜3π，则=．8．（3.00分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上为减函数，且f（2）=0，则使得f（x）＜0的x的取值范围是．9．（3.00分）若关于x的不等式ax2+4ax+3≤0的解集为空集，则实数a的取值范围是．10．（3.00分）已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是．11．（3.00分）若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是．12．（3.00分）设非空集合s={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有y=x2∈S．给出如下四个命题：①若m=1，则S={1}；②若m=﹣，则≤l≤1；③若l=，则﹣≤m≤0．④若l=1，则﹣1≤m≤0或m=1．其中正确命题的是．二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．（3.00分）下列命题成立的是（）A．如果a＞b，c≠0，那么B．如果a＞b，那么a2＞b2C．如果a＞b，c＞d，那么a+d＞b+c D．如果a＞b，c＞d，那么a﹣d＞b﹣c 14．（3.00分）原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．4个15．（3.00分）函数，x∈[﹣1，+∞）是增函数的一个充分非必要条件是（）A．a＜1且b＞3 B．a＞﹣1且b＞1 C．a＞1且b＞﹣1 D．a＜﹣2且b＜2 16．（3.00分）函数f（x）的图象无论经过怎样平移或沿直线翻折，函数f（x）的图象都不能与函数的图象重合，则函数f（x）可以是（）A．y=（）x B．y=log2（2x）C．y=log2（x+1）D．y=22x﹣1三、解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（8.00分）解关于x的方程：log 2（x+14）﹣log（x+2）=3+log2（x+6）．18．（10.00分）设集合A={x||x﹣a|＜2}，，若A⊆B．求实数a的取值范围．19．（10.00分）设是R上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）判定f（x）在R上的单调性．20．（12.00分）世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地，如图点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x，x∈[10，20]．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为（k为正常数），求总造价T关于S 的函数T=f（S）；试问如何选取|AM|的长使总造价T最低（不要求求出最低造价）．21．（12.00分）设函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的定义域交集为D．若对任意的x∈D，都有f（f（x））=x，则称函数f（x）是集合M的元素．（1）判断函数f（x）=﹣x+1和g（x）=2x﹣1是否是集合M的元素，并说明理由；（2）设函数f（x）=，试求函数f（x）的反函数f﹣1（x），并证明f ﹣1（x）∈M；（3）若f（X）=（a，b为常数且a＞0），求使f（x）＜1成立的x的取值范围．2015-2016学年上海市金山中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．（3.00分）若全集U=R，A={x|x＞2}，B={x|x＞5}，则A∩∁U B={x|2＜x≤5} ．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x＞2}，B={x|x＞5}，∴∁U B={x|x≤5}，∴A∩（∁U B）={x|2＜x≤5}故答案为{x|2＜x≤5}2．（3.00分）已知a＞1，则不等式a+的最小值为1+2．．【解答】解：a+=a﹣1++1≥1+2，当且仅当a﹣1=，即a=1+时等号成立．∴不等式a+的最小值为1+2．故答案为1+2．3．（3.00分）幂函数y=f（x）的图象经过点（，2），则f（x）=．【解答】解：设f（x）=x k，∵y=f（x）的图象经过点（，2），∴，∴=，∴．故答案为．4．（3.00分）函数F（x）=x﹣的零点个数为2．【解答】解：令得x2=4，∴x=±2；∴函数F（x）有两个零点．5．（3.00分）已知sin（﹣α）=，则cos（π﹣α）=﹣．【解答】解：∵sin（﹣α）=cosα=，∴cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣．故答案为：﹣6．（3.00分）函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，则点A 坐标为（﹣2，﹣1）．【解答】解：令x+3=1，解得x=﹣2，则当x=﹣2时，函数y=log a（x+3）﹣1=﹣1，即函数图象恒过一个定点（﹣2，﹣1）．故答案为：（﹣2，﹣1）7．（3.00分）已知，且2π＜α＜3π，则=．【解答】解：∵2π＜α＜3π，∴π＜＜，∴sin＜0，∴（）2=（1﹣cosα）=（1﹣）=，∴=﹣，故答案为：﹣．8．（3.00分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上为减函数，且f（2）=0，则使得f（x）＜0的x的取值范围是（﹣2，2）．【解答】解：根据题意：可作满足条件的函数图象：如图：f（x）＜0的x的取值范围是（﹣2，2）故答案为：（﹣2，2）9．（3.00分）若关于x的不等式ax2+4ax+3≤0的解集为空集，则实数a的取值范围是．【解答】解：当a=0，﹣3≤0不成立，符合要求；当a≠0时，因为关于x的不等式ax2+4ax++3≤0的解集为ϕ，即所对应图象均在x轴上方，故须解得0＜a＜综上满足要求的实数a的取值范围是[0，）故答案为：[0，）．10．（3.00分）已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是．【解答】解：依题意，有0＜a＜1且2a﹣1＜0，解得0＜a＜，又当x＜1时，（2a﹣1）x+4a＞6a﹣1，当x＞1时，log a x＜0，因为f（x）在R上单调递减，所以6a﹣1≥0解得a≥综上：a∈．故答案为：．11．（3.00分）若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是（﹣∞，2] ．【解答】解：不等式x2﹣kx+k﹣1＞0可化为（1﹣x）k＞1﹣x2∵x∈（1，2）∴k≤=1+x∴y=1+x是一个增函数∴k≤1+1=2∴实数k取值范围是（﹣∞，2]故答案为：（﹣∞，2]12．（3.00分）设非空集合s={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有y=x2∈S．给出如下四个命题：①若m=1，则S={1}；②若m=﹣，则≤l≤1；③若l=，则﹣≤m≤0．④若l=1，则﹣1≤m≤0或m=1．其中正确命题的是①②③④．【解答】解：由定义设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有y=x2∈S可知：符合定义的参数m的值一定大于等于﹣1，符合条件的l的值一定大于等于0，小于等于1，如此才能保证l∈S时，有l2∈S即l2≤l，再对各个命题进行判断：对于①m=1，m2=1∈S故必有，可得l=1，S={1}，故正确；②m=﹣，则，解得≤l≤1，故正确；③若l=，则，可解得﹣≤m≤0，故正确；④若l=1，则可解得﹣1≤m≤0或m=1，故正确．故答案为：①②③④二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．（3.00分）下列命题成立的是（）A．如果a＞b，c≠0，那么B．如果a＞b，那么a2＞b2C．如果a＞b，c＞d，那么a+d＞b+c D．如果a＞b，c＞d，那么a﹣d＞b﹣c 【解答】解：A．c＜0时不成立；B.0＞a＞b时不成立；C．∵a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d，因此不成立；D．∵a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d，则a﹣d＞b﹣c，故正确．故选：D．14．（3.00分）原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．4个【解答】解：否命题：“若A∪B=B，则A∩B=A”为真命题；逆否命题：“若A∩B=A，则A∪B=B”为真命题．因此逆命题与原命题也为真命题．故选：D．15．（3.00分）函数，x∈[﹣1，+∞）是增函数的一个充分非必要条件是（）A．a＜1且b＞3 B．a＞﹣1且b＞1 C．a＞1且b＞﹣1 D．a＜﹣2且b＜2【解答】解：因为f（x）==1+，所以f（x）的单调性有a和﹣1的大小和a+b的正负共同决定．所以函数，x∈[﹣1，+∞）是增函数须要有a＜﹣1且a+b＜0．符合条件的有A和D但a=0，b=1时不能推出函数，x∈[﹣1，+∞）是增函数故选：D．16．（3.00分）函数f（x）的图象无论经过怎样平移或沿直线翻折，函数f（x）的图象都不能与函数的图象重合，则函数f（x）可以是（）A．y=（）x B．y=log2（2x）C．y=log2（x+1）D．y=22x﹣1【解答】解：=﹣log 2x．A．因为函数y=（）x与互为反函数，所以它们的图象关于y=x对称，所以A合适．B．y=log2（2x）=1+log2x，所以将函数y=log2（2x）沿着y轴向下平移一个单位得到y=log 2x，然后关于x轴对称后可与函数的图象重合，所以B合适．C．将函数y=log2（x+1）沿着x轴向右平移一个单位得到y=log2x，然后关于x轴对称后可与函数的图象重合，所以C合适．故选：D．三、解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（8.00分）解关于x的方程：log 2（x+14）﹣log（x+2）=3+log2（x+6）．【解答】解：∵，∴log2[（x+14）（x+2）=log2[8（x+6）]，∴（x+14）（x+2）=8（x+6），解得x=2，或x=﹣10，检验，得x=2．18．（10.00分）设集合A={x||x﹣a|＜2}，，若A⊆B．求实数a的取值范围．【解答】解：解|x﹣a|＜2得：a﹣2＜x＜a+2．∴集合A=（a﹣2，a+2）解得：﹣2＜x＜3∵A⊆B，∴．19．（10.00分）设是R上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）判定f（x）在R上的单调性．【解答】解：（1）∵f（x）是R上的奇函数．∴f（﹣x）=﹣f（x）∴1﹣a•2=a﹣2x∴a=1（2）设x1＜x2，则2x1＜2x2f（x1）﹣f（x2）=所以f（x）在R上是增函数．20．（12.00分）世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地，如图点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x，x∈[10，20]．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为（k为正常数），求总造价T关于S 的函数T=f（S）；试问如何选取|AM|的长使总造价T最低（不要求求出最低造价）．【解答】解：（1）在Rt△PMC中，显然|MC|=30﹣x，∠PCM=60°∴|PM|=|MC|tan∠PCM=（30﹣x），…2分矩形AMPN的面积S=|PM||MC|=x（30﹣x），x∈[10，20]…4分于是200≤S≤225为所求．…6分（2）矩形AMPN健身场地造价T1=37k…7分又△ABC的面积为450，即草坪造价T2=S）…8分由总造价T=T1+T2，∴T=25k（+），200≤S≤225．…10分∴T=25k（+），200≤S≤225∵+≥12，…11分当且仅当=即S=216时等号成立，…12分此时x（30﹣x）=216，解得x=12或x=18，所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低．…14分．21．（12.00分）设函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的定义域交集为D．若对任意的x∈D，都有f（f（x））=x，则称函数f（x）是集合M的元素．由；（2）设函数f（x）=，试求函数f（x）的反函数f﹣1（x），并证明f ﹣1（x）∈M；（3）若f（X）=（a，b为常数且a＞0），求使f（x）＜1成立的x的取值范围．【解答】解：（1）因为对任意x∈R，f（f（x））=﹣（﹣x+1）+1=x，所以f（x）=﹣x+1∈M（2分）因为g（g（x））=2（2x﹣1）﹣1=4x﹣3不恒等x，所以g（x）∉M（2）因为f（x）=log 2（1﹣2x），所以x∈（﹣∞，0），f（x）∈（﹣∞，0）…（5分）函数f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（1﹣2x），（x＜0）…（6分）又因为f﹣1（f﹣1（x））=log2（1﹣）=log2（1﹣（1﹣2x））=x…（9分）所以f﹣1（x）∈M…（10分）（3）因为f（x）=，所以f（f（x））=x对定义域内一切x恒成立，∴即解得：（a+b）x2﹣（a2﹣b2）x=0恒成立，故a+b=0…（12分）由f（x）＜1，得＜1即…（13分）若a=1则＜0，所以x∈（﹣∞，1）…（14分）若0＜a＜1，则且a＜，所以x∈（﹣∞，a）∪（，+∞）…（16分）若a＞1，则且a＞，所以x∈（，a）…（18分）。