【复习必备】2018年秋高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标：1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点)2.会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题．(难点)3.分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．平面向量数量积的坐标表示：设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.3．两点间的距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.4．向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. [基础自测]1．思考辨析(1)两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，满足x 1y 2－x 2y 1＝0，则向量a ，b 的夹角为0°.( ) (2)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ⊥b ⇔x 1x 2－y 1y 2＝0.( )(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．( ) [解析] (1)×.因为当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 的夹角也可能为180°. (2)×.a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)×.因为两向量的夹角有可能为180°. [答案] (1)× (2)× (3)×2．已知a ＝(2，－1)，b ＝(2,3)，则a·b ＝________，|a ＋b |＝________. 1 25 [a ·b ＝2×2＋(－1)×3＝1，a ＋b ＝(4,2)，|a ＋b |＝42＋22＝2 5.] 3．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，m )，若a ⊥b ，则m ＝________. 23[因为a ⊥b ，所以a ·b ＝1×(－2)＋3m ＝0， 解得m ＝23.]4．已知a ＝(3,4)，b ＝(5,12)，则a 与b 夹角的余弦值为________． 6365[因为a ·b ＝3×5＋4×12＝63，|a |＝32＋42＝5，|b |＝52＋122＝13， 所以a 与b 夹角的余弦值为a·b |a ||b |＝635×13＝6365.][合 作 探 究·攻 重 难]F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．图2­4­4(2)已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10. ①求a 的坐标；②若c ＝(2，－1)，求a (b ·c )及(a·b )c .[思路探究] (1)建系→求有关点、向量的坐标→求数量积(2) ①先由a ＝λb 设点a 坐标，再由a·b ＝10求λ. ②依据运算顺序和数量积的坐标公式求值．(1)2 [(1)以A 为坐标原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴建立平面直角坐标系，则B (2，0)，D (0,2)，C (2，2)，E (2，1)．可设F (x,2)，因为AB →·AF →＝(2，0)·(x,2)＝2x ＝2， 所以x ＝1，所以AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2. (2)①设a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ＞0)， 则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2， ∴a ＝(2,4)．②∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝10， ∴a (b·c )＝0a ＝0，(a·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10)．] [规律方法] 数量积运算的途径及注意点进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解.[跟踪训练]1．(1)设向量a ＝(1，－2)，向量b ＝(－3,4)，向量c ＝(3,2)，则向量(a ＋2b )·c ＝( ) A ．(－15,12) B ．0 C ．－3D ．－11(2)已知a ＝(2，－1)，b ＝(3,2)，若存在向量c ，满足a·c ＝2，b·c ＝5，则向量c ＝________.(1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫97，47 [(1)依题意可知，a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，∴(a ＋2b )·c＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.(2)设c ＝(x ，y )，因为a·c ＝2，b·c ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝2，3x ＋2y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝97，y ＝47，所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫97，47.](1)等于( )A ．4B ．5C ．3 5D ．4 5(2)若向量a 的始点为A (－2,4)，终点为B (2,1)，求： ①向量a 的模；②与a 平行的单位向量的坐标； ③与a 垂直的单位向量的坐标.【导学号：84352253】[思路探究] 综合应用向量共线、垂直的坐标表示和向量模的坐标表示求解． (1)D [(1)由y ＋4＝0知y ＝－4，b ＝(－2，－4)，∴2a －b ＝(4,8)，∴|2a －b |＝4 5.故选D. (2)①∵a ＝AB →＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)， ∴|a |＝42＋－2＝5.②与a 平行的单位向量是±a |a |＝±15(4，－3)，即坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35或⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35.③设与a 垂直的单位向量为e ＝(m ，n )，则a·e ＝4m －3n ＝0，∴m n ＝34.又∵|e |＝1，∴m 2＋n 2＝1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝45或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－35，n ＝－45，∴e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45或e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.][规律方法] 求向量的模的两种基本策略字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.坐标表示下的运算：若a ＝x ，y ，则a·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2. [跟踪训练]2．若向量a ＝(2x －1,3－x )，b ＝(1－x,2x －1)，则|a －b |的最小值为________． 2 [由已知得a －b ＝(3x －2,4－3x )， 所以|a －b |＝x －2＋－3x2＝18x 2－36x ＋20＝x －2＋2，当x ＝1时，|a －b |取最小值为 2.][探究问题]1．设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？提示：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 2．已知向量a ＝(1,2)，向量b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x 等于？ 提示：由已知得a －b ＝(1－x,4)． ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝0. ∵a ＝(1,2)，∴1－x ＋8＝0，∴x ＝9.(1)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－∞，－2)D ．(－2,2)(2)已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标.【导学号：84352254】[思路探究] (1)可利用a ，b 的夹角为锐角⇔⎩⎪⎨⎪⎧a·b>0，a ≠λb 求解．(2)设出点D 的坐标，利用BD →与BC →共线，AD →⊥BC →列方程组求解点D 的坐标．(1)B [(1)当a 与b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同，夹角为0°，所以要使a与b 的夹角为锐角，则有a·b>0且a ，b 不同向．由a·b ＝2＋k >0得k >－2，且k ≠12，即实数k的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，选B. (2)设点D 的坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)． ∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴存在实数λ，使BD →＝λBC →， 即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ，∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.① 又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0，② 即2x ＋y －3＝0.由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即D 点坐标为(1,1)，AD →＝(－1,2)， ∴|AD →|＝－2＋22＝5，综上，|AD →|＝5，D (1,1)．]母题探究：1.将例3(1)中的条件“a ＝(2,1)”改为“a ＝(－2,1)”“锐角”改为“钝角”，求实数k 的取值范围．[解] 当a 与b 共线时，－2k －1＝0，k ＝－12，此时a 与b 方向相反，夹角为180°， 所以要使a 与b 的夹角为钝角，则有a ·b ＜0 且a 与b 不反向．由a·b ＝－2＋k ＜0得k ＜2. 由a 与b 不反向得k ≠－12，所以k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2. 2．将例3(1)中的条件“锐角”改为“π4”，求k 的值．[解] cos π4＝a·b |a ||b |＝2＋k5·1＋k 2， 即22＝2＋k 5·1＋k2，整理得3k 2－8k －3＝0， 解得k ＝－13或3.[规律方法] 1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积． (2)求模．利用|a|＝x 2＋y 2计算两向量的模． (3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求夹角余弦值． (4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．2．涉及非零向量a ，b 垂直问题时，一般借助a⊥b ⇔a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0来解决．[当 堂 达 标·固 双 基]1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) 【导学号：84352255】A ．|a |＝|b |B ．a·b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直D [A 项，|a |＝1，|b |＝22，故|a |≠|b |；B 项，a ·b ＝1×12＋0×12＝12；C 项，1×12≠0×12；D 项，a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，(a －b )·b ＝12×12－12×12＝0，故选D.]2．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2B [a ·b ＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，|a |＝32＋－2＝10，|b |＝12＋－2＝5，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝510·5＝22.又0≤θ≤π，∴θ＝π4.]3．设a ＝(2,4)，b ＝(1,1)，若b ⊥(a ＋m b )，则实数m ＝________.【导学号：84352256】－3 [a ＋m b ＝(2＋m,4＋m )， ∵b ⊥(a ＋m b )，∴(2＋m )×1＋(4＋m )×1＝0， 得m ＝－3.]4．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )·b ，则|c |＝________. 82 [易得a·b ＝2×(－1)＋4×2＝6， 所以c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)， 所以|c |＝82＋－2＝8 2.]5．平面直角坐标系xOy 中，O 是原点(如图2­4­5)．已知点A (16,12)，B (－5,15)．图2­4­5(1)求|OA →|，|AB →|；(2)求∠OAB . 【导学号：84352257】 [解] (1)由OA →＝(16,12)， AB →＝(－5－16,15－12)＝(－21,3)，得|OA →|＝162＋122＝20， |AB →|＝－2＋32＝15 2.(2)cos ∠OAB ＝cos 〈AO →，AB →〉 ＝AO →·AB→|AO →||AB →|.其中AO →·AB →＝－OA →·AB → ＝－(16,12)·(－21,3)＝－[16×(－21)＋12×3]＝300， 故cos ∠OAB ＝30020×152＝22，∴∠OAB ＝45°.。