第二课时命题及其关系、充要条件
理科数学学霸笔记02命题及其关系、充分条件与必要条件
考点02命题及其关系、充分条件与必要条件一、命题及其关系1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题原命题：若p，则q逆命题：若q，则p否命题：若非p则非q；逆否命题：若非q则非p(2)四种命题间的关系(3)常见的否定词语正面词语：=、>(<)、是、都是、任意(所有)的、任两个、至多有1(n)个、至少有1个否定词：≠、≤（≥）、不是、不都是、某个、某两个、至少有2(n+1)个、1个也没有3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．提醒：当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．二、充分条件与必要条件1．充分条件与必要条件的概念(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q且q/⇒p，则p是q的充分不必要条件；(3)若p/⇒q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；(5)若p/⇒q且q/⇒p，则p是q的既不充分也不必要条件.2．必记结论(1)等价转化法判断充分条件、必要条件①p是q的充分不必要条件⇔非q是非p的充分不必要条件；②p是q的必要不充分条件⇔非q是非p的必要不充分条件；③p是q的充要条件⇔非q是非p的充要条件；④p是q的既不充分也不必要条件⇔非q是非p的既不充分也不必要条件.例2：设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：由(a－b)a2<0可知a2≠0，则一定有a－b<0，即a<b；但a<b即a－b<0时，有可能a＝0，所以(a－b)a2<0不一定成立，故“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件，故选 A.。
第2课时：命题及其关系、充分条件与必要条件
四种命题及其关系 在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的 条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的 关系，要注意四种命题关系的相对性，一个命题定 为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题” 和“逆否命题”．
分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题、 命题的否定，并判断它们的真假： (1)若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根； (2)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数．
答案：
B
3．(2011· 济南调研)若命题“ax2－2ax－3＞0 不成 立”是真命题，则实数 a 的取值范围是________．
解析： ax2－2ax－3≤0 恒成立，当 a＝0 时，－ 3≤0 成立； a＜0 当 a≠0 时，得 ， 2 Δ＝4a ＋12a≤0 解得－3≤a＜0，故－3≤a≤0.
设命题 p：(4x－3)2≤1；命题 q：x2－(2a＋1)x＋a(a ＋1)≤0，若¬ p 是¬ q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围．
解析： 设 A＝{x|(4x－3)2≤1}， B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}， 1 易知 A＝ x 2≤x≤1 ，B＝{x|a≤x≤a＋1}． 由¬ p 是¬ q 的必要不充分条件， 从而 p 是 q 的充分 1 a≤ ， 不必要条件，即 A B，∴ 2 a＋1≥1. 1 故所求实数 a 的取值范围是0，2.
(3)正方形一定是菱形，菱形不一定是正方形， 所以 p 是 q 的充分而不必要条件． 1 1 (4)当 a>b 时，a<b不一定成立，如 a＝2，b＝－1. 1 1 当a<b时，a>b 不一定成立，如 a＝－3，b＝2. 所以 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
高三一轮复习 命题及其关系、充分条件与必要条件
第二课时命题及其关系、充分条件与必要条件考纲要求：1.命题的四种形式(A) 2.充分条件、必要条件、充分必要条件(B)知识梳理：1．命题(1)命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．(2)四种命题及相互关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．2p⇒q且q pp q且q⇒pp⇔qp q且q p 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()(2)“sin 45°＝1”是真命题．()(3)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则非q”．()(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(5)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(6)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．()(7)q不是p的必要条件时，成立．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√(6)√(7)√2．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．(用“充分”“必要”“充要”填空)提示：由题知p⇒q⇔s⇒t，又t⇒r，r⇒q，故p是t的充分条件，r是t的充要条件．答案：充分充要3．写出命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假性．解：(1)逆命题：若b2＝ac，则a，b，c成等比数列，假命题．(2)否命题：若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac，假命题．(3)逆否命题：若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列，真命题．4．在下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：x2＝3x＋4，q：x＝3x＋4；(2)p：x－3＝0，q：(x－3)(x－4)＝0；(3)p：b2－4ac≥0(a≠0)，q：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根．答案：(1)必要(2)充分(3)充要例题讲解：[典题1](1)命题“若a>b则a－1>b－1”的否命题是________．(2)命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是________．(3)下列命题中为真命题的是________．(填序号)①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；②命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题；③命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题；④命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题．(4)已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是________．(填序号)①否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”，是真命题；②逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题；③逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题；④逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题．解析：(1)根据否命题的定义可知，命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．(2)将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.(3)对于①，命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故①为假命题；对于②，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知②为真命题；对于③，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故③为假命题；对于④，命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故④为假命题．(4)由f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝e x－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．答案：(1)若a≤b，则a－1≤b－1(2)若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0(3)②(4)④小结：(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．[典题2](1)设x∈R，则“1<x<2”是“|x－2|<1”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)(2)设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)(3)“a ＝2” 是“函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[2，＋∞)上为增函数”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：(1)|x －2|<1⇔1<x <3.由于{x |1<x <2}是{x |1<x <3}的真子集，所以“1<x <2”是“|x －2|<1”的充分不必要条件．(2)∵3a >3b >3，∴a >b >1，此时log a 3<log b 3正确；反之，若log a 3<log b 3，则不一定得到3a >3b >3，例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3<log b 3成立，但推不出a >b >1.故“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件．(3)“a ＝2”⇒“函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[2，＋∞)上为增函数”，但反之不成立． 答案：(1)充分不必要 (2)充分不必要 (3)充分不必要小结：充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断．(2)集合法：根据p ，q 成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法．①非q 是非p 的充分不必要条件⇔p 是q 的充分不必要条件；②非q 是非p 的必要不充分条件⇔p 是q 的必要不充分条件；③非q 是非p 的充要条件⇔p 是q 的充要条件．练习1．设p ：1＜x ＜2，q ：2x ＞1，则p 是q 成立的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：由2x ＞1，得x ＞0，所以p ⇒q ，但q ⇒/p ，所以p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要2．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：当数列{a n }的首项a 1＜0时，若q ＞1，则数列{a n }是递减数列；当数列{a n }的首项a 1＜0时，要使数列{a n }为递增数列，则0＜q ＜1，所以“q ＞1”是“数列{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要[典题3](1)记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________．(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．解析：(1)由x 2＋x －6<0，得－3<x <2，即A ＝(－3,2)，由x －a >0，得x >a ，即B ＝(a ，＋∞)， 若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则A ⊆B ，即a ≤－3.(2)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．答案：(1)(－∞，－3] (2)[0,3][探究1] 本例(2)条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，m ＝9， 即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．[探究2] 本例(2)条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m <－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．注意：由充分条件、必要条件求参数．解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的子集关系求解．但是，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证，不等式中的等号是否能够取得，决定着端点的取值．练习：已知p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________． 解析：设P ＝{x |x >1或x <－3}，Q ＝{x |x >a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，，因此a ≥1.答案：[1，＋∞)总结：1．判断四种命题间关系的方法写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．充分、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断“若p 则q ”，“若q 则p ”的真假即可．(2)利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}：若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若AB ，则p 是q 的充分不必要条件，若A ＝B ，则p 是q的充要条件．注意： 1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p 则q ”的形式．3．要注意“A 是B 的充分不必要条件”与“A 的充分不必要条件是B ”的区别． 课后作业：1．设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是________． 解析：根据逆否命题的定义，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．答案：若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤02．设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：特值法：当a ＝10，b ＝－1时，a ＋b ＞0，ab ＜0，故a ＋b ＞0ab ＞0；当a ＝ －2，b ＝－1时，ab ＞0，但a ＋b ＜0，所以ab ＞0a ＋b ＞0.故“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要 3．已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是________． 解析：由|x －m |<1得m －1<x <1＋m ，又因为|x －m |<1的充分不必要条件是13<x <13，借助数轴，所以⎩⎨⎧m －1≤13，m ＋1≥12，解得－12≤m ≤43. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，43 4．已知a ，b ，c ∈R ，命题“如果a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________． 解析：“a ＋b ＋c ＝3”的否定是“a ＋b ＋c ≠3”，“a 2＋b 2＋c 2≥3”的否定是“a 2＋b 2＋c 2<3”，故该命题的否命题是：如果a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3.答案：如果a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<35．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：cos 2α＝0等价于cos 2α－sin 2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立．答案：充分不必要6．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是________．(填序号)解析：只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以①为假命题；②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②为真命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③为假命题；根据两个平面垂直的性质定理易知④为真命题．答案：②④7．已知α，β的终边在第一象限，则“α>β ”是“sin α＞sin β ”的________条件．解析：∵角α，β的终边在第一象限，∴当α＝π3＋2π，β＝π3时，满足α>β，但sin α＝ sin β，故sin α>sin β不成立，即充分性不成立；当α＝π3，β＝π6＋2π时，满足sin α>sin β，但α>β不成立，即必要性不成立，故“α>β ”是“sin α>sin β ”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要8．在斜三角形ABC 中，命题甲：A ＝π6，命题乙：cos B ≠12，则甲是乙的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：因为△ABC 为斜三角形，所以若A ＝π6，则B ≠π3且B ≠π2，所以cos B ≠12且 cos B ≠0；反之，若cos B ≠12，则B ≠π3，不妨取B ＝π6，A ＝π4，C ＝7π12，满足△ABC 为斜三角形．答案：充分不必要9．“a ≥3”是“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的________条件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择填空)．解析：若“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题，等价于∀x ∈[1,2]，x 2≤a 为真命题，则a ≥4.则“a ≥3”是“a ≥4”的必要不充分条件．答案：必要不充分10．在下列三个结论中，正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①若A 是B 的必要不充分条件，则綈B 也是綈A 的必要不充分条件；②“⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件．解析：易知①②正确．对于③，若x ＝－1，则x 2＝1，充分性不成立，故③错误． 答案：①②11．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)12．有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，假命题．②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，真命题．答案：②③13．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：若函数f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数，则φ＝k π，k ∈Z ，所以由“φ＝0”，可以得到“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”，但由“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”，可以得到φ＝k π，k ∈Z ，因此“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的充分不必要条件．答案：充分不必要14．使函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ≤1，log a x ，x >1在(－∞，＋∞)上是减函数的一个充分不必要条件是________．(填序号)①17≤a <13；②0<a <13；③17<a <13；④0<a <17. 解析：由f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数可得3a －1<0,0<a <1,7a －1≥0，即17≤a <13，所求应该是⎣⎡⎭⎫17，13的真子集，故③正确．答案：③ 15．在四边形ABCD 中，“存在λ∈R ，使得，”是“四边形ABCD 为平行四边形”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：若存在λ∈R ，使得，，则AB ∥CD ，AD ∥BC ，故四边形ABCD 为平行四边形．反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则存在λ＝1满足题意．答案：充要16．已知函数f (x )＝13x －1＋a (x ≠0)，则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的________条件．(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填写)解析：若f (x )＝13x －1＋a 是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即f (－x )＋f (x )＝0，∴13－x －1＋a ＋13x －1＋a ＝2a ＋3x 1－3x ＋13x －1＝0，即2a ＋3x －11－3x ＝0，∴2a －1＝0，即a ＝12，f (1)＝12＋12＝1.若f (1)＝1，即f (1)＝12＋a ＝1，解得a ＝12，代入得，f (－x )＝－f (x )，f (x )是奇函数．∴“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件．答案：充要17．若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是________． 解析：方程x 2－mx ＋2m ＝0对应二次函数f (x )＝x 2－mx ＋2m ，若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3，则f (3)<0，解得m >9，即方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是m >9.答案：m >918．已知p ：|x －a |<4；q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为________．解析：∵綈p 是綈q 的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件．对于p ，|x －a |<4，∴a －4<x <a ＋4，对于q,2<x <3，∴(2,3)(a －4，a ＋4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤2，a ＋4≥3(等号不能同时取到)， ∴－1≤a ≤6.答案：[－1,6]。
1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件[小题体验]1．给出命题：“若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有________个．2．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的______条件．3．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是________．1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒/B)两者的不同．[小题纠偏]1．设a，b均为非零向量，则“a∥b”是“a与b的方向相同”的________条件．2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________________.考点一四种命题及其相互关系基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．命题“若a2>b2，则a>b”的否命题是()A．若a2>b2，则a≤b B．若a2≤b2，则a≤bC．若a≤b，则a2>b2D．若a≤b，则a2≤b22．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题3．给出以下四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；④若ab是正整数，则a，b都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)[谨记通法]1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．如“题组练透”第3题②易忽视．2．命题真假的2种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．考点二充分必要条件的判定重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2015·北京高考)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．(2017·衡阳联考)设p：x2－x－20>0，q：log2(x－5)<2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[由题悟法]充要条件的3种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y ＝1”是“xy＝1”的某种条件．[即时应用]1．(2016·天津高考)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件2．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点三充分必要条件的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2017·皖北第一次联考)已知p：x≥k，q：3x＋1<1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是()A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－∞，－1)2．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.[由题悟法]根据充要条件求参数的值或取值范围的关键点(1)先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[即时应用]1．已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：x>a，且⌝q的一个充分不必要条件是⌝p，则a的取值范围是()A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]2．已知“命题p：(x－m)2＞3(x－m)”是“命题q：x2＋3x－4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________________．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m＝3”是“A∩B＝{4}”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(2017·山东重点中学模拟)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定4．命题p：“若x2<1，则x<1”的逆命题为q，则p与q的真假性为()A．p真q真B．p真q假C．p假q真D．p假q假5．若x>5是x>a的充分条件，则实数a的取值范围为()A．a>5 B．a≥5C．a<5 D．a≤5二保高考，全练题型做到高考达标1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”2．(2016·四川高考)设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．有下列命题：①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确的是()A．①②③B．②③④C．①③④D．①④4．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是()A．a≥4 B．a>4C．a≥1 D．a>16．命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b∈R)，”否命题的真假性为________．7．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．8．下列命题：①“a >b ”是“a 2>b 2”的必要条件；②“|a |>|b |”是“a 2>b 2”的充要条件；③“a >b ”是“a ＋c >b ＋c ”的充要条件． 其中是真命题的是________(填序号)．9．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的________条件．10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．3．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}． (1)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求a 的取值范围． (2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．。
02简易逻辑--命题及其关系、充分条件与必要条件
a b c a b c 的倾斜度为 l = max , , , min , , ，则 b c a b c a
“l = 1” 是“△ABC为等边三角形”的（ 为等边三角形” B 为等边三角形
）
例8: 设0 < x <
π
2 A.充分不必要条件 充分不必要条件
, 则“ x sin x < 1”是“ x sin x < 1”的 B ） （
(
)(
)
重难点突破： 重难点突破：
1.反证法与逆否命题： 反证法与逆否命题： 反证法与逆否命题 例1:已知 a, b, c ∈ R, 若a + b + c < 1 已知
1 a 证明： 证明： , b, c中至少有一个小于 3 2.充要条件的证明： 充要条件的证明： 充要条件的证明
注意找出题中的条件与结论
4.常用的正面词语和它的否定词语 常用的正面词语和它的否定词语
正面词语 等于 小于 大于 是 都是 否定 不等于 不小于（大于 或等于） 不大于（小于 或等于） 不是 不都是（至少 有一个不是） 正面词语 任意的 所有的 至多有一个 至少有一个 至多有n个 否定 某个 某些 至少有两个 一个也没有 至少有n+1 个
“对任何x ∈ R, x − 2 + x − 4 > 3” 例3:命题 命题 的否定是？ 的否定是？
∃x ∈ R, x − 2 + x + 4 ≤ 3例4:命题“若x 命题2 Nhomakorabea2
< 1, 则 − 1 < x < 1”的逆否命题是
D
.若 A. x ≥ 1, 则x ≥ 1或x ≤ −1 若 − 1 < x < 1, 则x 2 < 1 B.
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件
【解析】 命题 p：－2≤x≤10，由 q 是 p 的必要不充分条件 知，
{x|－2≤x≤10} {x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}，
∴m1－＞m0பைடு நூலகம்－2 或m1－＞m0＜－2 ，
1＋m＞10
1＋m≥10
∴m≥9，即 m 的取值范围是[9，＋∞)．
【答案】 [9，＋∞)
易错易误之一 “条件”与“结论”颠倒黑白酿失误
分不必要条件，即x12≤x≤1
{x|a≤x≤a＋1}，
∴a≤12， a＋1≥1，
∴0≤a≤12.
【答案】 0，12
规律方法 3 1.借助命题间的等价关系直接建立参数 a 的不等 关系，避免了繁琐转换计算，将失误降到最低．
2．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转 化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的 不等式求解．
充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即 “p⇒q”⇔“q⇐p”； (2)传递性：若 p 是 q 的充分(必要)条件，q 是 r 的充分(必要) 条件，则 p 是 r 的充分(必要)条件． 注意区分“p 是 q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必 要条件是 q”两者的不同，前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”．
【尝试解答】 (1)当 φ＝π 时，y＝sin(2x＋φ)＝sin(2x＋π)＝－ sin 2x，此时曲线 y＝sin(2x＋φ)必过原点，但曲线 y＝sin(2x＋φ)过 原点时，φ 可以取其他值，如 φ＝0.因此“φ＝π”是“曲线 y＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．
(2)若綈 p 是 q 的必要不充分条件，则 q⇒綈 p 但綈 p q，其
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
p是q的充 分条件
p⇒q
A⊆B
p是q的必要条件
q⇒p
A⊇B
p是q的充要条件
p⇒q且q⇒p A＝B
p是q的充分不必要条件 p⇒q且q p A B
p是q的必要不充分条件 p q且q⇒p A B
p是q的既不充分条件 也不必要条件
p q且q p A B且A B
二、“基本技能”运用好 1．通过对四种命题及其相互关系的复习，提高学生的抽象概
答案：A
[一“点”就过] 判断命题真假的 2 种方法
直接 判断
判断一个命题为真命题，要给出严格的推理 证明；说明一个命题是假命题，只需举出一 个反例即可
根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题 间接 与否命题同真同假”这一性质，当一个命题 判断 直接判断不易进行时，可转化为判断其逆否
命题的真假
[提醒] (1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改 写；(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前 提．(3)命题的否命题是条件和结论都否定，而命题的否定是条 件不变只否定结论．
答案：充分不必要 充要
三、“基本思想”很重要 1．利用等价转化思想判断命题真假及充分与必要条件． 2．利用集合思想、数形结合思想解决充分、必要条件的应用
问题．
1．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是
()
A．若α≠π4，则tan α≠1
B．若α＝π4，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠π4
答案：C
3．(2020·广东中山一中第一次统测)下列命题中为真命题的是
A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
()
B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题
2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．1．易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B ⇒/A)；与A的充分不必要条件是B(B ⇒A且A ⇒/B)两者的不同．[试一试]1．(2013·福建高考)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A“x＝2且y＝－1”满足方程x＋y－1＝0，故“x＝2且y＝－1”可推出“点P在直线l：x＋y－1＝0上”；但方程x＋y－1＝0有无数多个解，故“点P在直线l：x＋y －1＝0上”不能推出“x＝2且y＝－1”，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的充分不必要条件．2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：____________________.解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．答案：“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”1．判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法：设“若p，则q”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B时，则p是q的充分不必要条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件；若B A时，则p是q的必要不充分条件；③若A⊆B且B⊆A，即A＝B时，则p是q的充要条件．(3)等价转化法：p是q的什么条件等价于綈q是綈p的什么条件．2．转化与化归思想由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．[练一练]1．(2014·济南模拟)设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B由x2－3x>0得x>3或x<0，此时得不出x>4，但当x>4时，不等式x2－3x>0恒成立，所以正确选项为B.2．与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是________．解析：原命题与其逆否命题为等价命题．答案：若b∈M，则a∉M命题及其相互关系1.命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：选C 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 2．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log 2a >0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”；③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价．解析：对于①，若log 2a >0＝log 21，则a >1，所以函数f (x )＝log a x 在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x ＋y 是偶数，则x 、y 都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.答案：②④[类题通法]在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手. 充分必要条件的判定[典例] p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2013·北京高考)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)由q ⇒綈p 且綈p ⇒/ q 可得p ⇒綈q 且綈q ⇒/p ，所以p 是綈q 的充分而不必要条件．(2)由sin φ＝0可得φ＝k π(k ∈Z )，此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．[答案] (1)A (2)A[类题通法]充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p ，则q ”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A 是B 的什么条件”中，A 是条件，B 是结论，而“A 的什么条件是B ”中，A 是结论，B 是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．[针对训练]下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)在△ABC 中，p ：A ＝B ，q ：sin A ＝sin B ；(2)p ：|x |＝x ，q ：x 2＋x ≥0.解：(1)若A ＝B ，则sin A ＝sin B ，即p ⇒q .又若sin A ＝sin B ，则2R sin A ＝2R sin B ，即a ＝b .故A ＝B ，即q ⇒p .所以p 是q 的充要条件．(2)p ：{x ||x |＝x }＝{x |x ≥0}＝A ，q ：{x |x 2＋x ≥0}＝{x |x ≥0，或x ≤－1}＝B ，∵A B ，∴p 是q 的充分不必要条件．充分必要条件的应用[典例] x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围；(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围．[解] (1)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴m ≤3. 综上，可知m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S ⇒/P . ∴[－2,10] [1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．[类题通法]利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围，其依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是：(1)若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q 且q ⇒/ p ； (2)若p 是q 的必要不充分条件，则p ⇒/q ，且q ⇒p ； (3)若p 是q 的充要条件，则p ⇔q .[针对训练](2013·浙江名校联考)一次函数y ＝－m n x ＋1n的图像同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )A ．m >1，且n <1B ．mn <0C ．m >0，且n <0D ．m <0，且n <0解析：选B 因为y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，故－m n >0，1n<0，即m >0，n <0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0.。
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【最新考纲】1•理解命题的概念，了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2. 理解充分条件、必要条件与充要条件的含义..夯实双基I©|基础梳理用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题, 其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.2. 四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系⑵四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性;②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.3. 充分条件与必要条件(1) 如果p? q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2) 如果p? q,那么p与q互为充要条件.(3) 如果p? / q,且q ? / p,则p是q的既不充分也不必要条件.4. 集合与充要条件设集合A = {x|x满足条件p}, B= {x|x满足条件q}，则有(1)若A? B,则p是q的充分条件，若A B,则p是q的充分不必要条件.⑵若B? A，则p是q的必要条件，若 B —A，则p是q的必要不充分条件.(3) 若A = B,则p是q的充要条件；(4) 若A B,且B A，则p是q的既不充分也不必要条件.©I学情自测1. (质疑夯基)判断下列结论的正误.(正确的打“"”，错误的打“X” )(1)语句x2—3x+ 2= 0是命题.()⑵命题“若P,则q”的否命题是“若p,则綈q”.( )(3) 命题“如果p不成立，则q不成立”等价于“如果q成立，则p成立”.()(4) “ p是q的充分不必要条件”与“ p的充分不必要条件是q”表达的意义相同.()解析：(1)变量x没有赋值，无法判断语句的真假，故不是命题.(2)若“p,则q”的否命题是“若綈p,则綈q”.(3)—个命题与其逆否命题同真假.(4)p是q的充分不必要条件是指p? q且q? / p; p的充分不必要条件是q，是指q? p且p? / q,因此它们表达的意义不同.答案：⑴x (2)x (3)V (4)xn2 .命题“若a= ~4，则tan a = 1”的逆否命题是()nA.若讣~4，贝y tan aM 1nB. 若a= ~4，贝S tan a M 1nC. 若tan a M 1，贝y aM 4D .若tan a M 1，则a=n解析：命题的条件是p：a= 4，结论是q：tan a=1•由命题的四种形式，可知命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p” ，n显然綈q：tan aM，綈p：a 4，所以该命题的逆否命题是“若tan naM，贝卩aM 4”.答案：C3. (2015 重庆卷)“x= 1” 是“ x2—2x+1 = 0” 的()A. 充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D .既不充分也不必要条件解析：求出方程x2—2x+1 = 0的实数根后再作判断.因为x2—2x+ 1 = 0有两个相等的实数根，为x= 1,所以“x= 1” 是“x2—2x+1 = 0”的充要条件.答案：A4. 命题“若a>—3,则a> —6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a >—6,则a> —3”是假命题，从而其否命题也是假命题.所以假命题的个数为2个.答案：B5. （2014 •东卷）在厶ABC中，角A, B, C所对应的边分别为a, b, c,贝卩“ a< b” 是“ sin A< sin B” 的（）A .充分必要条件B.充分非必要条件C .必要非充分条件D .非充分非必要条件a b解析：由正弦定理孟=為 =2R（R为三角形外接圆半径）得，a= 2Rsin A, b = 2Rsin B,故a< b? 2Rsin A< 2Rsin B? sin A< sin B.答案：A■…［名师微博•通法领悟”…一个区别“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论；“A的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论.在进行充分、必要条件的判断中，要注意这两种说法的区别.两条规律1. 逆命题与否命题互为逆否命题；2. 互为逆否命题的两个命题同真假.三种方法充分条件、必要条件的判断方法1. 定义法：直接判断“若p,则q”、“若q,则p”的真假.并注意和图示相结合，例如“ p? q”为真，则p是q的充分条件.2. 等价法：利用p? q与綈q?綈p, q? p与綈p?綈q, p? q 与綈q?綈p的等价关系.对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.3. 集合法：设集合A= {x|x满足p}, B = {x|x满足q},若A? B, 则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A= B,则p是q的充要条件.分展集训丨軍扯瓶甘谜扁刮邈■高效提能I一、选择题1.（2015安徽卷）设p：x v 3,q：—1v x v3,则p是q成立的（）A .充分必要条件B. 充分不必要条件C .必要不充分条件D.既不充分也不必要条件P11——o ------------------------------- ►■10 3 X 解析：将p, q对应的集合在数轴上表示出来如图所示，易知，当p 成立时，q不一定成立；当q成立时，p 一定成立，故p是q成立的必要不充分条件.答案：C2. （2015 山东卷）设m€ R，命题“若m>0,则方程x2+ x—m = 0有实根”的逆否命题是（）A .若方程x2+ x—m= 0有实根，则m>0B.若方程x2+ x—m= 0有实根，则m<0C .若方程x2+ x—m= 0没有实根，则m>0D .若方程x2+ x—m= 0没有实根，则m< 0解析：根据逆否命题的定义，命题“若m>0,则方程x2+ x—m =0有实根”的逆否命题是“若方程x2+ x—m= 0没有实根，则m< 0”.答案：D3. 已知条件p：x w 1条件q：x2—x>0,则p是綈q成立的()A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：由x2—x> 0得x v 0或x> 1,所以綈q：0< x< 1,由{x|0< x< 1} {x|x< 1}知，p是綈q的必要不充分条件.答案：B4. 已知集合A = {1, m2+1}, B={2, 4},贝S “ m = .3” 是“ A A B={4} ”的()A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：A A B = {4}? m2+ 1 = 4? m= ± 3,故“m = 3”是“ A A B= {4}”的充分不必要条件.答案：A5. 已知p：x> k, q：(x+ 1)(2 —x)v 0,如果p是q的充分不必要条件，贝S k的取值范围是()A. [2,+x )B. (2,+x )C. [1 ,+x )D. ( — x,—1]解析：由q：(x+1)(2 —x)v0,得x v — 1 或x>2,又p是q的充分不必要条件，所以k>2,即实数k的取值范围是(2,+工).答案：B6. (2015 陕西卷)“ sin a = COS a ”是“ cos2a = 0” 的()A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析：先将COS2 a=0等价转化，再利用充分条件、必要条件的定义进行判断.cos2a=0 等价于CoS a-sin2a=0,即COS a=^sin a由COS a = sin a可得到COS2 a=0，反之不成立.答案：A二、填空题7. 已知a, b, c都是实数，则在命题“若a>b,则ac2>bc2” 与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是■解析：由a>b? / ac2>bc2,但ac2>bc2? a>b,故原命题是假命题，逆命题是真命题，从而逆否命题是假命题，否命题是真命题.答案：218. “ m v4”是“一元二次方程x2+ x+ m= 0有实数解”的_______ 件.解析：x2+ x+ m= 0有实数解等价于△= 1 —4m > 0,1 11即m<4,因为m v4? m<反之不成立.故“m v；”是“一元二次方程x2+ x + m = 0有实数解”的充分不必要条件.答案：充分不必要9.已知集合A = {x|y= lg(4—x),集合B= {x|x v a},若“ x€ A”是“x€ B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 _________ .解析：A = {x|x v4},由题意知A工B，所以a>4.答案：(4,+x )三、解答题10 .已知函数f(x)是(一)上的增函数，a, b€ R，对命题“若 a + b》0,则f(a) + f(b)》f( —a) + f(—b)".写出否命题，判断其真假，并证明你的结论.解：否命题：已知函数f(x)在(一 = ,+ = )上是增函数，a, b取, 若a+ b v 0,贝S f(a) + f(b)v f( —a) + f( —b).该命题是真命题，证明如下：*«a + b v0,「a v —b, b v —a.又•/f(x)在(— x,+c)上是增函数.••f(a) v f(—b), f(b) v f(—a),因此f(a) + f(b) v f(—a)+ f( —b),f •否命题为真命题.11 .若x v m—1或x>m+ 1是x2—2x—3>0的必要不充分条件，求实数m的取值范围.解：由已知易得{x|x2—2x—3>0}「{x|x v m—1 或x>m+ 1}, 又{x|x2—2x—3>0}= {x|x v —1 或x>3},—1< m—1 —1v m—1•••或，・g m< 2.m+ 1 v 3 m+ 1 < 3故实数m的取值范围是[0, 2].。
02命题及其关系、充分条件与必要条件
变式训练 2
给出下列命题： ①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充 分不必要条件； ②“a＝2”是“函数 f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数” 的充要条件； ③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0 与直线 mx－6y＋5＝ 0 互相垂直”的充要条件； ④设 a，b，c 分别是△ABC 三个内角 A，B，C 所对的边，若 a ＝1，b＝ 3，则 A＝30° B＝60° 是 的必要不充分条件. 其中真命题的序号是________. ．
所以 B＝60° B＝120° 或 ，因此④正确.
答案 ①④
题 型三
充要条件的证明
【例3】已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0，且p≠1)，求证：
证明: 充分性：当 q＝－1 时， 数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
证明: 充分性：当 q＝－1 时， 证明: 充分性：当 q＝－1 时， 证明: 充分性：当 q＝－1 时， ＝S ＝p＋q＝p－1. 证明: 充分性：当 q＝－1 时， a1 1 证明:＝S1＝p＋q＝p－1. 时， 充分性：当 q＝－1 a1＝S1＝p＋q＝p－1. 1 aa1＝S1＝p＋q＝p－1. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝pn a1＝S1＝p＋q＝p－1. n－1 a1n≥2＝p＋q＝p－1. n－1＝pn－－(p－1). ＝S1 时，an＝Sn－S 当 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－－＝p 1n 1(p－1). － 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn 1 1＝pn－1(p－1). 1 当 当 n≥2 时，a ＝S －S1＝pn n＝1 时也成立. n≥2 时，an＝Sn－Sn－ － 当 (p－1). (p－1). n n n 1＝p 当 n＝1 时也成立. 当 n＝1 时也成立. 当 n＝1 时也成立. an＋1 pn(p－1) 当 当 n＝1 时也成立. n＝1 ＋1 pn(p－1) an＋1 pn(p－1) 于是* a n 时也成立. aan＋＝ n －n(p－1)＝p(n∈N*)， ＝pn－1(p－1)＝p(n∈N pn 于是 a 1 n－1 n 于是n＋1 ＝p n(p－1) ＝p(n∈N )， a an ＋ ＝ p－(p－1) ＝p(n∈N*)， p n 1(p－1) 于是 n p 于是 an 1＝－1n－1(p－1)＝p(n∈N*)， ＝ np 1 ＝p(n∈N*)， 于是n a p (p－1) a 即数列{an}为等比数列. p (p－1) n n}为等比数列. 即数列{an}为等比数列. 即数列{a n}为等比数列. 即数列{a 即数列{an}为等比数列. 即数列{a }为等比数列.
第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件
第2节命题及其关系、充分条件与必要条件考纲要求 1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.知识梳理1.命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.3.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒pp是q的必要不充分条件p⇒q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒q且q⇒p1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒B)两者的不同.3.充要关系与集合的子集之间的关系，设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}， (1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.(2)若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件. (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件.4.p 是q 的充分不必要条件，等价于綈q 是綈p 的充分不必要条件.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)“x 2＋2x －3<0”是命题.( )(2)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件.( )(3)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”.( )(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√解析 (1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.2.设a ，b ∈R 且ab ≠0，则ab >1是a >1b 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 D解析 若“ab >1”，当a ＝－2，b ＝－1时，不能得到“a >1b ”，若“a >1b ”，例如当a ＝1，b ＝－1时，不能得到“ab >1”，故“ab >1”是“a >1b ”的既不充分也不必要条件.3.命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A.若α≠π4，则tan α≠1B.若α＝π4，则tan α≠1C.若tan α≠1，则α≠π4D.若tan α≠1，则α＝π4答案 C解析 命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若綈q ，则綈p ”，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”.4.(2020·长春模拟)已知命题α：如果x <3，那么x <5，命题β：如果x ≥3，那么x ≥5，则命题α是命题β的( ) A.否命题 B.逆命题 C.逆否命题 D.否定形式答案 A解析 两个命题之间只是条件、结论都作出否定，故为否命题关系. 5.(2020·天津卷)设a ∈R ，则“a ＞1”是“a 2＞a ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 由a 2＞a ，得a 2－a ＞0， 解得a ＞1或a ＜0，∴“a ＞1”是“a 2＞a ”的充分不必要条件.6.(2021·合肥七校联考)已知集合A ＝{x |13<3x <27，x ∈R }，B ＝{x |－1<x <m ＋1，m ∈R }，若x ∈B成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________. 答案 (2，＋∞)解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13<3x <27，x ∈R ＝{x |－1<x <3}.∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， 所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.考点一 命题及其关系1.(2020·太原质检)命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( )A.若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤bB.若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋cC.若a ＋c >b ＋c ，则a >bD.若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c答案 B解析 将条件和结论都进行否定，即命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”.2.(2021·成都七中检测)给出下列命题： ①“若xy ＝1，则lg x ＋lg y ＝0”的逆命题； ②“若a ·b ＝a ·c ，则a ⊥(b －c )”的否命题；③“若b ≤0，则方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案 D解析 对于①，“若xy ＝1，则lg x ＋lg y ＝0”的逆命题为“若lg x ＋lg y ＝0，则xy ＝1”，该命题为真命题；对于②，“若a ·b ＝a ·c ，则a ⊥(b －c )”的否命题为“a ·b ≠a ·c ，则a 不垂直于(b －c )”，由a ·b ≠a ·c 可得a ·(b －c )≠0，据此可得a 不垂直于(b －c )，该命题为真命题；对于③，若b ≤0，则方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0的根的判别式Δ＝(－2b )2－4(b 2＋b )＝－4b ≥0，方程有实根，原命题为真命题，则其逆否命题为真命题；对于④，“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，该命题为真命题.3.(2018·北京卷)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0，2]都成立，则f (x )在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.答案 f (x )＝sin x ，x ∈[0，2](答案不唯一 ，再如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，1x，0<x ≤2)解析 根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f (x )min ＝f (0).感悟升华 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.考点二充分条件与必要条件的判定【例1】(1)(2020·浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案(1)B(2)A解析(1)由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交.由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内.故选B.(2)因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，因为綈q⇒綈p，但綈p⇒綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件.感悟升华充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.【训练1】 (1)(2021·昆明诊断)设集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≥0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －2x ＋1≥0.则“x ∈A ”是“x ∈B ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件(2)(2020·北京卷)已知α，β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)k β”是“sin α＝sin β”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 (1)B (2)C解析 (1)集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≥0}＝{x |x ≥2，或x ≤－1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －2x ＋1≥0＝{x |x ≥2，或x <－1}.∴B A ，∴“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件.(2)若存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)k β，则当k ＝2n (n ∈Z )，α＝2n π＋β，有sin α＝sin(2n π＋β)＝sin β；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )，α＝(2n ＋1)π－β，有sin α＝sin[(2n ＋1)π－β]＝sin β. 若sin α＝sin β，则α＝2k π＋β或α＝2k π＋π－β(k ∈Z )， 即α＝k π＋(－1)k β(k ∈Z ).故选C. 考点三 充分、必要条件的应用【例2】 (经典母题)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求实数m 的取值范围. 解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又∵S 为非空集合，∴1－m ≤1＋m ，解得m ≥0. 综上，m 的取值范围是[0，3].【迁移1】 本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由. 解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}.若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在.【迁移2】 设p ：P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，q ：非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}. ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， p 是q 的充分不必要条件. ∴p ⇒q 且q ⇒p ，即P S .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10， ∴m ≥9，又因为S 为非空集合， 所以1－m ≤1＋m ，解得m ≥0， 综上，实数m 的取值范围是[9，＋∞).感悟升华 1.根据充分、必要条件求解参数取值范围需抓住“两”关键 (1)把充分、必要条件转化为集合之间的关系.(2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.2.解题时要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.【训练2】 设p ：ln(2x －1)≤0，q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________. 答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析 p 对应的集合A ＝{x |y ＝ln(2x －1)≤0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x ≤1，q 对应的集合B ＝{x |(x －a )[x －(a＋1)]≤0}＝{x |a ≤x ≤a ＋1}.由q 是p 的必要而不充分条件，知A B .所以a ≤12且a ＋1≥1，因此0≤a ≤12.A 级 基础巩固一、选择题1.(2019·天津卷)设x ∈R ，则“0<x <5”是“|x －1|<1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B解析 由|x －1|<1可得0<x <2，由“0<x <5”不能推出“0<x <2”，但由“0<x <2”可以推出“0<x <5”. 故“0<x <5”是“|x －1|<1”的必要而不充分条件.2.(2021·百校联考考前冲刺)已知命题p ：“任意a >0，且a ≠1，函数y ＝1＋log a (x －1)的图象过点P ”的逆否命题为真，则P 点坐标为( ) A.(2，1) B.(1，1) C.(1，2) D.(2，2)答案 A解析 由逆否命题与原命题同真同假，可知命题p 为真命题，由对数函数性质可知，函数y ＝1＋log a (x －1)的图象过定点(2，1)，所以点P 的坐标为(2，1).3.(2019·北京卷)设函数f (x )＝cos x ＋b sin x (b 为常数)，则“b ＝0”是“f (x )为偶函数”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C解析 当b ＝0时，f (x )＝cos x 为偶函数；若f (x )为偶函数，则f (－x )＝cos(－x )＋b sin(－x )＝cos x －b sin x ＝f (x )，∴－b sin x ＝b sin x 对x ∈R 恒成立，∴b ＝0. 故“b ＝0”是“f (x )为偶函数”的充分必要条件. 4.设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列命题为真命题的是( )A.ac 2>bc 2B.a b >1C.a －c >b －cD.a 2>b 2答案 C解析 对于A ，a >b ，若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错误；对于B ，a >b ，若a >0，b <0，则ab <1，故B 错误；对于C ，a >b ，则a －c >b －c ，故C 正确；对于D ，a >b ，若a ，b 均小于0，则a 2<b 2，故D 错误.5.(2020·长沙检测)若l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，且m ⊥α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 当直线l ⊂α时，“l ⊥m ” ⇒ “l ∥α”，充分性不成立.若l ∥α，由线面平行的性质，可知在平面α内一定存在一条直线n 与l 平行，又m ⊥α，所以m ⊥n ，则m ⊥l ，可知必要性成立. 所以“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要不充分条件. 6.(2020·石家庄模拟)下列说法中正确的是( ) A.若函数f (x )为奇函数，则f (0)＝0B.若数列{a n }为常数列，则{a n }既是等差数列也是等比数列C.在△ABC 中，A >B 是sin A >sin B 的充要条件D.命题“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”的逆命题为假命题答案 C解析 A 错误，f (x )＝1x 为奇函数，但f (0)无意义；B 错误，a n ＝0为常数列，但{a n }不是等比数列；C 正确，由于A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B .D 错误，若{a n }递减，则a n ＋1<a n ⇒a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N *，所以逆命题为真命题，D 不正确.7.(2021·贵阳模拟)设函数f (x )＝e x 2－3x ，则使f (x )<1成立的一个充分不必要条件是( ) A.0<x <1B.0<x <4C.0<x<3D.3<x<4答案 A解析f(x)<1⇔e x2－3x<1⇔x2－3x<0，解得0<x<3.又“0<x<1”可以推出“0<x<3”，但“0<x<3”不能推出“0<x<1”.故“0<x<1”是“f(x)<1”的充分不必要条件.8.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是()A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]答案 A解析由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.二、填空题9.(2021·河南名校联考)设命题p：x>4；命题q：x2－5x＋4≥0，那么p是q的________________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”).答案充分不必要解析由x2－5x＋4≥0得x≤1或x≥4，可知{x|x>4}是{x|x≤1或x≥4}的真子集，∴p是q 的充分不必要条件.10.有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题.其中真命题的序号是________.答案②③解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误；②原命题的逆命题为“若x，y 互为相反数，则x＋y＝0”，正确；③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确.11.直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.答案－1<k<3解析 直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k |2<2， 解得－1<k <3.12.已知不等式|x －m |<1成立的一个充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是________. 答案 ⎣⎡⎦⎤－12，43 解析 解不等式|x －m |<1，得m －1<x <m ＋1.由题意可得⎝⎛⎭⎫13，12(m －1，m ＋1)，故⎩⎨⎧m －1≤13，m ＋1≥12且等号不同时成立，解得－12≤m ≤43. B 级 能力提升13.(2020·武昌调研)给出下列说法：①命题“若x 2＝1，则x ≠1”的否命题是“若x 2＝1，则x ＝1”；②命题“若a >2且b >2，则a ＋b >4且ab >4”的逆命题为真命题；③命题“若函数f (x )＝x 2－ax ＋1有零点，则a ≥2或a ≤－2”的逆否命题为真命题；④命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x >0”. 其中正确的序号为( )A.②B.③C.①③D.②④答案 B解析 对于①，由于否命题既否定条件又否定结论，因此命题“若x 2＝1，则x ≠1”的否命题是“若x 2≠1，则x ＝1”，所以①错误；对于②，原命题的逆命题为“若a ＋b >4且ab >4，则a >2且b >2”，取a ＝1，b ＝5，满足a ＋b >4且ab >4，但不满足a >2且b >2，所以②错误；对于③，若函数f (x )＝x 2－ax ＋1有零点，则Δ＝a 2－4≥0，解得a ≥2或a ≤－2，原命题为真命题，由于原命题与其逆否命题同真同假，所以③正确；对于④，命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≥0”，所以④错误. 14.已知偶函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则对实数a ，b ，“a >|b |”是“f (a )>f (b )”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 因为y ＝f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (|x |).又y ＝f (x )在[0，＋∞)上单调递增，若a >|b |，则f (a )>f (|b |)＝f (b )，即充分性成立；若f (a )>f (b )，则等价为f (|a |)>f (|b |)，即|a |>|b |，即a >|b |或a <－|b |，即必要性不成立，则“a >|b |”是“f (a )>f (b )”的充分不必要条件. 15.能说明“若a >b ，则1a <1b”为假命题的一组a ，b 的值依次为________. 答案 a ＝1，b ＝－1(答案不唯一，只需a >0，b <0)解析 若a >b ，则1a <1b 为真命题，则1a －1b ＝b －a ab<0，∵a >b ，∴b －a <0，则ab >0.故当a >0，b <0时，均能说明“若a >b ，则1a <1b”为假命题. 16.已知p ：实数m 满足3a <m <4a (a >0)，q ：方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________________.答案 ⎣⎡⎦⎤13，38解析 由2－m >m －1>0，得1<m <32，即q ：1<m <32. 因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a ≤32，解得13≤a ≤38.。
高中数学命题及其关系_充分条件与必要条件
3.反证法证明命题的一般步骤 (1)否定结论,(2)从假设出发,经过推理论证得出矛盾,(3)断定
假设错误,肯定结论成立. 反证法属于间接证法,当证明一个结论成立,已知条件较少,或
结论的情况较多,或结论是以否定形式出现,如某些结论中 含有“至多”､“至少”､“惟一”､“不可能”､“不都” 等指示性词语时往往考虑采用反证法证明结论成立.
四种命题的结构不明致误
【典例2】 写出命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的逆 命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假.
[剖析] 解本题易出现的错误有两个:一是对一个命题的逆命 题､否命题､逆否命题的结构认识模糊出错;二是在否定一 个结论时出错,如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b 不都是偶数”,而不应该是“a,b都是奇数”.
[正解] 逆命题:“若a+b是偶数,则a,b都是偶数.”它是假命 题;
否命题:“若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数.”它是假命题; 逆否命题:“若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数.”它是真命题.
[评析]四种命题的结构与等价关系
如果原命题是“若A,则B”,则这个命题的逆命题是“若B,则 A”,否命题是“若¬A,则¬B”,逆否命题是“若¬B,则¬A”. 这里面有两组等价的命题,即“原命题和它的逆否命题等 价,否命题与逆命题等价”.在解答由一个命题写出该命题 的其他形式的命题时,一定要明确四种命题的结构以及它 们之间的等价关系.
x2
x2
1,
2,
m m
2, 3
1,
m
2;
又≥0,即: m2 4m 12≥0;解之得m 6或m≤ 2;
高中数学疑难解析第二讲 命题及其关系、充要条件
第二讲 命题及其关系、充要条件一 知识回扣1．命题（1）定义 ，（2）分类 ，2．四种命题及其关系（1）原命题，表述形式 。
（2）逆命题，表述形式 。
（3）否命题，表述形式 。
（4）逆否命题，表述形式 。
互为逆否命题真假的判定 。
3．充要条件p 是q 的充分不必要条件⇔ 。
p 是q 的必要不充分条件⇔ 。
p 是q 的充要条件⇔ 。
p 是q 的既不必要也不充分条件⇔ 。
4．用反证法证明的一般步骤是： 、 、 。
二 基础再现考点1：命题及其关系1．给出命题：若函数()y f x =是幂函数，则函数()y f x =的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 ．2．“在△ABC 中，若∠C =090，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为 。
3．命题“若ab =0,则a =0或b =0”的逆否命题是 。
．4．命题中说法正确的个数是 。
①．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真②“a b >”与“ a c b c +>+”不等价③“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0,则220a b +≠”④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真考点2：充要条件5．“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的 。
6．命题:p 2{|0}a M x x x ∈=-<；命题:q {|||2}a N x x ∈=<，p 是q 的 条件．7．已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(3－x )＞0，若¬p 是¬q 的充分条件，则实数a 的取值范围是 。
8．直线ax +2y +3a =0和直线3x +（a －1）y =a －7平行且不重合的充要条件为 。
9．已知,,a b ∈R 则“0a b >>”是“11()()22a b<”的 条件考点3：反证法10．用反证法证明：“已知x 、y ∈R ，x +y ≥2，求 证x 、y 中至少有一个大于1”. 则所作的反设是 。
命题及其关系、充要条件
等价命题
逆命题是指将原命题的主语和谓语互换后得到的命题。
总结词
逆命题的真假值与原命题的真假值不一定相同。例如，原命题为“如果一个人是医生，那么这个人会治病”，其逆命题为“如果一个人会治病，那么这个人一定是医生”，这是一个假命题，因为不是所有会治病的人都是医生。
详细描述
逆命题
VS
否命题是指对原命题的主语和谓语都进行否定后得到的命题。
通过实例来验证一个条件是否满足充要条件的定义。
通过假设一个条件不是充要条件，然后推出矛盾，从而证明该条件是充要条件。
充要条件的判定方法
80%
80%
100%
充要条件的应用实例
在决策制定过程中，充要条件可以帮助我们判断某个决策是否是最佳选择，或者是否满足我们的期望。
在逻辑推理中，充要条件可以帮助我们判断某个结论是否必然成立，或者某个假设是否必要。
命题及其关系、充要条件
目 录
CONTENCT
命题及其表示 命题关系 充要条件
01
命题及其表示
命题的定义
命题的特性
命题的定义
命题是一个具有真或假两种状态的陈述句，它能够明确地表达某种事实或观点。
命题具有明确性、客观性和可判断性。明确性是指命题能够清晰地表达一个观点或事实；客观性是指命题的真假取决于客观事实，而不是主观臆断；可判断性是指命题可以被判定为真或假。
总结词
详细描述
复合命题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
03
充要条件
充要条件的定义
如果一个条件A的成立，是另一个条件B成立的充分且必要条件，那么我们称A是B的充要条件。
充要条件的定义
充分性是指如果条件A成立，则条件B一定成立；必要性是指如果条件B成立，则条件A一定成立。
命题及其关系、充要条件
否定一个命题时，需要将量词的方向、范 围或性质取反。例如，如果一个命题是 “对于所有x，x>0”，那么它的否定就是 “存在一个x，x≤0”。
命题的等价关系
等价命题可以通过逻辑推理来证明。 例如，如果两个命题在逻辑上互为充 分必要条件，那么它们就是等价命题。
等价命题是指两个命题的真假性相同。例如，如果一个命题是“所有偶数都可以被2整除”，那么它的等 价命题就是“对于所有x，如果x是偶数，则x可以被2整除”。
简单命题
不包含其他命题作为其组成部分的命 题。
复合命题
由简单命题通过逻辑联结词组合而成的 命题。
命题的表示方法
符号表示法
文字表示法
用文字来表达一个命题。 用符号来表达一个命题。
命题的关系
80%
等价关系
如果两个命题的真假值相同，则它们之间 是等价关系。100%蕴含关系
如果一个命题的真，导致另一个命题的真， 则它们之间是蕴含关系。
反证法
通过假设与已知事实相矛盾的命题，进而推出矛盾，从而 证明原命题正确的方法。
直接证明
直接利用已知条件和推理规则，逐步推导到结论的方法。
命题推理
推理的定义和种类
演绎推理、归纳推 理、类比推理。
推理是由一个或多个命题推导出另一个命题的思 维过程。
定义 种类
推理的规则和形式
包括前提、结论和 推理形式，如"如果 P，则Q"等。
充要条件具有传递性
充要条件不能同时不成立
如果A是B的充要条件，则B也是A 的充要条件。
如果A是B的充要条件，B是C的充 要条件，则A是C的充要条件。
如果A是B的充要条件，那么当A 成立时，B一定成立；当A不成立
第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．四种命题及相互关系2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q⇒p则q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，但q p，则p是q的充分不必要条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)如果q⇒p，且p q，则p是q的必要不充分条件；(5)如果p q，且q p，则p是q的既不充分又不必要条件．1．(教材改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是()A．“若x<y，则x2<y2”B．“若x≤y，则x2≤y2”C．“若x>y，则x2>y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”2．已知命题p：若x＝－1，则向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．0B．2C．3D．4 3．(2015·重庆)“x＞1”是“log1(x＋2)＜0”的()2A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件4．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．(教材改编)下列命题：①x＝2是x2－4x＋4＝0的必要不充分条件；②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；③sinα＝sinβ是α＝β的充要条件；④ab≠0是a≠0的充分不必要条件．其中为真命题的是________(填序号)．题型一命题及其关系例1(1)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数“的逆否命题是() A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假(1)命题“若α＝π3，则cosα＝12”的逆命题是()A．若α＝π3，则cosα≠12B．若α≠π3，则cosα≠12C．若cosα＝12，则α＝π3D．若cosα≠12，则α≠π3(2)已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是()①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③B．②C．②③D．①②③题型二充分必要条件的判定例2(1)(2015·四川)设a，b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件(1)(2015·陕西)“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)若命题p：φ＝π2＋kπ，k∈Z，命题q：f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p是q的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[方法与技巧]1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．充要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)等价法：即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A⊆B，则p是q 的充分条件或q是p的必要条件；若A B，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件．[失误与防范]1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式．3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言．。
12第二课时命题及其的关系、充要条件
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第一章·第二课时
课
前
自
助
探究1 ①此类题应先把原命题改写成“若p，则q“的形式，然后再
餐 写出其他命题．
授
对于含有大前提的命题，在改写命题形式时，大前提不要动．
人
以
②若说明命题为真，必须证明．若说明为假，只需举出一个反例即可．
以
渔
数根．
【解析】 (1)逆命题：若a＋c>b＋d，则a>b且c>d(假命题)
否命题：若a≤b或c≤d，则a＋c≤b＋d(假命题)
逆否命题：若a＋c≤b＋d，则a≤b或c≤d(真命题)
(2)逆命题：若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根，则a<0.
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∴┐q：x＜m－1或x＞m＋1.
时
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自
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又∵┐p 是┐q 充分而不必要条件，
餐
授 人 以 渔
m －1≥1， ∴m ＋1≤5. ∴2≤m ≤4.
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餐
授
②尝试 p⇒q，q⇒p.
人 以
③一定要熟悉命题内容涉及到的知识．
渔
思考题 2 判断下列各题中 p 是 q 的什么条件？
(1)p：a>b，q： a> b. (2 )p： a> b， q： 2a> 2b－ 1. (3)p：x2－2x－3≥0，q：x≤1 或 x≥2.
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(2)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q<1.假命题． 否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0 逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则有q≥1.真命题． (3)逆命题：若实数x，y全为零，则x2＋y2＝0.真命题． 否命题：若x2＋y2≠0，则实数x，y不全为零．真命题． 逆否命题：若实数x，y不全为零，则x2＋y2≠0.真命题．
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探究 2 判定充要条件应注意： ①弄清条件 p 和结论 q 分别是什么？ ②尝试 p⇒q，q⇒p. ③一定要熟悉命题内容涉及到的知识． 思考题 2 判断下列各题中 p 是 q 的什么条件？ ( p：a>b，q： a> b. 1) ( p：a>b，q：2a>2b－1. 2) ( p：x －2x－3≥0，q：x≤1 或 x≥2. 3)
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授人以渔
题型一
例1 真假． (1)面积相等的两个三角形是全等三角形． (2)若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根． (3)若x2＋y2＝0，则实数x，y全为零． 【解析】 (1)逆命题：全等三角形的面积相等．真命题．
否命题：若a≤b或c≤d，则a＋c≤b＋d(假命题)
逆否命题：若a＋c≤b＋d，则a≤b或c≤d(真命题)
(2)逆命题：若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根，则a<0.
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2 a b
2
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【解析】 条件．
( p⇒q，p ⇐ q，∴p 是 q 的充分不必要 1) /
( q⇒p，p ⇒ q，∴p 是 q 的必要不充分条件． 2) / ( p⇒q，且 q⇒p，∴p 是 q 的充要条件． 3) ( p⇒ 4) / q，q⇒ p，∴p 是 q 的非充分非必要条件． /
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探究1 ①此类题应先把原命题改写成“若p，则q“的形式，然后再写
出其他命题． 对于含有大前提的命题，在改写命题形式时，大前提不要动． ②若说明命题为真，必须证明．若说明为假，只需举出一个反例即可 ． ③否命题是难点，注意量词和逻辑联结词．
┐q；逆否命题为若┐q则┐p.
(2)原命题与它的逆否命题等价； 逆命题与它的否命题等价．
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3．充分条件与必要条件 ( 若 p⇒q 且 q ⇒ p，则 p 是 q 的充分非必要条件； 1) / ( 若 q⇒p 且 p ⇒ q，则 p 是 q 的必要非充分条件； 2) / ( 若 p⇒q 且 q ⇒p，则 p 是 q 的充要条件； 3) ( 若 p ⇒ q 且 q ⇒ p，则 p 是 q 的非充分非必要条件． 4) / /
否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根．假命题． 逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则有q≥1.真命题． (3)逆命题：若实数x，y全为零，则x2＋y2＝0.真命题． 否命题：若x2＋y2≠0，则实数x，y不全为零．真命题． 逆否命题：若实数x，y不全为零，则x2＋y2≠0.真命题．
奇函数，则f(－x)不是奇函数”．
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3．(2011· 山东师大附中)设原命题“若p，则q”假，而逆命题真，则p是q的 ( ) B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
⇒ /
A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 解析 B 原命题假，则 p
q，而逆命题为真，则q⇒p.
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4．0＜x＜5是不等式|x－2|＜4成立的(
A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件
)
D．既不充分也不必要条件
答案
解析
A
|x－2|<4得－2<x<6 )
5．(2010· 陕西卷)“a>0”是“|a|>0”的(
A．充分不必要条件
C．充要条件 答案 A
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析
因为|a|>0⇔a>0或a<0，所以a>0⇒|a|>0，但|a|>0
a>0，所以
a>0是|a|>0的充分不必要条件，故选A.
2
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题型二
例2
充要条件的判定
( 江西高考题改编) 判断下列各题中，
p 是 q 的什么条件？ ( p：a>b，q：a>b－1. 1) ( p：a>b，q：l 2) ga>l gb ( p：a>b，q：2 >2 3) ( p：a>b，q：a >b 4)
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例题三 例3
充要条件的应用
已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若
┐p是┐q充分而不必要条件，求实数m的取值范围．
【思路分析】 最简形式．
①遇到不等式应首先化简，求出其解集的
②由非p与非q之间的关系可推得p与q之间的关系，原命题
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思考题1 分别写出下列各命题的逆命题，否命题，逆否命题，
并判断它们的真假． (1)若a>b且c>d，则a＋c>b＋d (2)(08· 安徽卷改编)若a<0，则方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数 根． 【解析】 (1)逆命题：若a＋c>b＋d，则a>b且c>d(假命题)
(3)p：x≤－1 或 x≥3，∴p⇒q，但 q⇒ p，故 p 是 q / 的充分不必要条件． (4)p⇒ q，q⇒p，∴p 是 q 的必要不充分条件 / (5)p⇒q，但 q⇒ p，∴p 是 q 的充分不必要条件 /
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否命题：若a≤b或c≤d，则a＋c≤b＋d(假命题) 逆否命题：若a＋c≤b＋d，则a≤b或c≤d(真命题)
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( 逆命题：若方程ax ＋2x＋1＝0至少有一个负数根， 2) 则a<0. 否命题：若a≥0，则方程ax ＋2x＋1＝0无负实数根 逆否命题：若方程ax ＋2x＋1＝0无负实数根，则a≥0 1 因为若a<0时，方程ax ＋2x＋1＝0两根之积为 <0，所以方 a
与逆否命题同真假． 【解析】 由题意p：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5. 课 时 作 业
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∴┐p：x＜1或x＞5.q：m－1≤x≤m＋1， ∴┐q：x＜m－1或x＞m＋1.
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2 2 2
2
程有一个负根，所以原命题为真命题，所以其逆否命题也 为真命题．
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逆命题为假命题．事实上，方程ax ＋2x＋1＝0，有两个 1 负数根时 >0此时a>0，所以逆命题不成立． a 因此否命题也是假命题．
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第二课时命题及其关系、充要条件
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2011· 考纲下载
1．理解命题的概念．
2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命
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思考题1 的真假．
分别写出下列各命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们
(1)若a>b且c>d，则a＋c>b＋d (2)(08· 安徽卷改编)若a<0，则方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根． 【解析】 (1)逆命题：若a＋c>b＋d，则a>b且c>d(假命题)