新课标高二数学同步测试2
空间向量及其运算测试题答案
新课标高二数学同步测试（2－1第三章3.1）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ）A ．c b a ++-2121B ．c b a ++2121C ．c b a +-2121D ．c b a +--21212．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ）A ．OC OB OA OM --=2 B ．OC OB OA OM 213151++=C ．=++MC MB MA 0D ．=+++OC OB OA OM 03．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，'5AA =，090BAD ∠=，''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（ ）A ．85B ．85C ．52D ．504．与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ） A ．（31，1，1）B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）5．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB 与的夹角是（ ）A ．0B ．2πC ．πD ．32π 6．已知空间四边形ABCD 中，c OC ，b OB ，a OA ===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN =（ ） A ．cb a 213221+- B ．c b a 212132++-C ．c b a 212121-+D ．c b a 213232-+7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=•=•=•AD AB ，AD AC ，AC AB ，则BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定图8．空间四边形OABC 中，OB=OC ，AOB=AOC=600，则cos BC ，OA = （ ）A ．21B ．22 C ．21 D ．09．已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则∆ABC 的面积为（ ）A ．3B ．32C ．6D ．2610． 已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为（ ）A ．55 B ．555 C ．553 D ．511 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则b a ,为邻边的平行四边形的面积为 ． 12．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且GN MG 2=，现用基组{}OC OB OA ,,表示向量OG ，有OG =x OC z OB y OA ++，则x 、y 、z 的值分别为 ． 13．已知点A(1，2，11)、B(4，2，3)，C(6，1，4)，则ABC 的形状是 ．14．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成1200的角，则k= ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)． 15．（12分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长． 16．（12分）如图在空间直角坐标系中BC =2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是 )0,21,23(，点D 在平面yOz 上，且∠BDC =90°，∠DCB =30°. （1）求向量OD 的坐标；（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值O'N MD'C'B'A'C BADzy x 图17．（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直． 18．（12分）四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ={2，－1，－4}，AD ={4，2，0}，AP ={－1，2，－1}. （1）求证：PA ⊥底面ABCD ； （2）求四棱锥P —ABCD 的体积； 19．（14分）如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.（1）求BN 的长；（2）求cos<11,CB BA >的值； （3）求证：A 1B ⊥C 1M .20．（14分）如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°.（1）证明：C 1C ⊥BD ；（2）假定CD =2，CC 1=23，记面C 1BD 为α，面CBD 为β，求二面角α—BD —β的平面角的余弦值；（3）当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明.参考答案一、1．A ；解析：)(21111BC BA A A BM B B M B ++=+==c +21（－b a +）=－21a +21b +c ．评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.2．A ；解析：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 既可．只有选项A ．3．B ；解析：只需将A A AD AB C A '++='，运用向量的内即运算即可，2||C A C A '='．4．C ；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b a b a b λ=⇔≠//,0． 5．C ；解析：||||cos b a b a ⋅⋅=θ，计算结果为－1．6．B ；解析：显然OA OC OB OM ON MN 32)(21-+=-=． 7．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形．8．D ；解析：建立一组基向量OC OB OA ,,，再来处理BC OA ⋅的值． 9．D ；解析：应用向量的运算，显然><⇒>=<AC AB AC AB AC AB AC AB ,sin ||||,cos ，从而得><=AC AB AC AB S ,sin ||||21． 10．C ； 二、11．56；解析：72||||,cos -=>=<b a ba b a ，得753,sin >=<b a ，可得结果．12．OC OB OA 313161++； 解析：OC OB OA OA OC OB OA OM ON OA MN OA MG OM OG 313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+= 13．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：222||||||AC BC AB +=．14．39-；解析：219132||||,cos 2-=+=⋅⋅>=<k k b a b a b a ，得39±=k ．三、15．解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）．由于M 为'BD 的中点，取''A C 中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）．根据空间两点距离公式，可得22236||()()()242424a a a a a MN a a =-+-+-=． 16．解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中,由∠BDC =90°,∠DCB =30°，BC =2，得BD =1，CD =3，∴DE =CD ·sin30°=23.OE =OB －BE =OB －BD ·cos60°=1－2121=. ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量OD [TX →]的坐标为{0，－23,21}. （2）依题意：}0,1,0{},0,1,0{},0,21,23{=-==OC OB OA ， 所以}0,2,0{},23,1,23{=-=--=-=OB OC BC OA OD AD . 设向量AD 和BC 的夹角为θ，则cos θ=222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅⋅BC AD BC AD 1051-=. 17． 证：如图设321,,r SC r SB r SA ===，则SN SM SH SG SF SE ,,,,,分别为121r ，)(2132r r +，)(2121r r +，321r ，)(2131r r +，221r ，由条件EH=GH=MN 得： 223123212132)2()2()2(rr r r r r r r r -+=-+=-+ 展开得313221r r r r r r ⋅=⋅=⋅∴0)(231=-⋅r r r ，∵1r ≠0，23r r -≠0， ∴1r ⊥（23r r -）即SA ⊥BC ． 同理可证SB ⊥AC ，SC ⊥AB ．18． （1）证明：∵AB AP ⋅=－2－2+4=0，∴AP ⊥AB . 又∵AD AP ⋅=－4+4+0=0，∴AP ⊥AD .∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴AP ⊥底面ABCD . （2）解：设AB 与AD 的夹角为θ，则 cos θ=1053416161428||||=+⋅++-=⋅⋅AD AB AD ABV =31|AB |·|AD |·sin θ·|AP |=161411059110532=++⋅-⋅ （3）解：|（AB ×AD ）·AP |=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P —ABCD 体积的3倍.猜测：|（AB ×AD ）·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）.评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.19．如图，建立空间直角坐标系O —xyz . （1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2） ∴1BA ={－1，－1，2}，1CB ={0，1，2，}，1BA ·1CB =3，|1BA |=6，|1CB |=5∴cos<1BA ，1CB >=30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA . （3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1={－1，1，2}，M C 1={21,21，0}.∴B A 1·M C 1=－2121++0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M . 图评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件. 20．（1）证明：设CB =a ，CD =b ，1CC =c ，则|a |=|b |，∵CB CD BD -==b －a ， ∴BD ·1CC =（b －a ）·c =b ·c －a ·c =|b |·|c |cos60°－|a |·|c |cos60°=0， ∴C 1C ⊥BD .（2）解：连AC 、BD ，设AC ∩BD =O ，连OC 1，则∠C 1OC 为二面角α—BD —β的平面角. ∵21)(21=+=CD BC CO （a +b ），2111=-=CC CO O C （a +b ）－c∴CO ·211=O C （a +b ）·［21（a +b ）－c ］=41（a 2+2a ·b +b 2）－21a ·c －21b ·c =41（4+2·2·2cos60°+4）－21·2·23cos60°－21·2·23cos60°=23. 则|CO |=3，|O C 1|=23，∴cos C 1OC =33||||11=⋅⋅O C CO O C CO （3）解：设1CC CD=x ，CD =2， 则CC 1=x 2.∵BD ⊥平面AA 1C 1C ，∴BD ⊥A 1C ∴只须求满足：D C C A 11⋅=0即可. 设A A 1=a ，AD =b ，DC =c ， ∵C A 1=a +b +c ，D C 1=a －c ，∴D C C A 11⋅=（a +b +c ）（a －c ）=a 2+a ·b －b ·c －c 2=xx 242+－6， 令6－242xx -=0，得x =1或x =－32（舍去）.评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.。
3.1空间向量及其运算测试题(答案)
精心整理新课标高二数学同步测试（2－1第三章3.1）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（）A ．c b a ++-2121B ．c b a ++2121C ．c b a +-2121D ．c b a +--21212．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （）A ．OC OB OA OM --=2 B ．OC OB OA OM 213151++=C ．=++MC MB MA 0D ．=+++OC OB OA OM 03．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，'5AA =，090BAD ∠=，''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（）A ．85B ．85C ．52D ．504．与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（） A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1） D ．（2，－3，－22）5．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB 与的夹角是（）A ．0B ．2πC ．πD ．32π 6．已知空间四边形ABCD 中，c OC ，b OB ，a OA ===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN =（）A ．c b a 213221+-B ．c b a 212132++-C ．c b a 212121-+D ．c b a 213232-+7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=•=•=•AD AB ，AD AC ，AC AB ，则?BCD 是（）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定8．空间四边形OABC 中，OB=OC ，?AOB=?AOC=600，则cos BC ，OA = （ ）图A ．21 B ．22 C ．?21D ．09．已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则∆ABC 的面积为（）A ．3B ．32C ．6D ．2610．已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为（）A ．55 B ．555 C ．553 D ．511 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则b a ,为邻边的平行四边形的面积为．12．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN上，且GN MG 2=，现用基组{}OC OB OA ,,表示向量OG ，有OG =x OC z OB y OA ++，则x 、y 、z 的值分别为．13．已知点A(1，?2，11)、B(4，2，3)，C(6，?1，4)，则?ABC 的形状是． 14．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成1200的角，则k=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．15．（12分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长． 16．（12分）如图在空间直角坐标系中BC =2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是 )0,21,23(，点D 在平面yOz 上，且∠BDC =90°，∠DCB =30°. （1）求向量OD 的坐标；（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值17．（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直．18．（12分）四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ={2，－1，－4}，AD ={4，2，0}，AP ={－1，2，－1}. （1）求证：PA ⊥底面ABCD ； （2）求四棱锥P —ABCD 的体积；19．（14分）如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.（1）求BN 的长；（2）求cos<11,CB BA >的值；（3）求证：A 1B ⊥C 1M .20．（14分）如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°.O'N MD'C'B'A'C B ADzy x 图（1）证明：C 1C ⊥BD ；（2）假定CD =2，CC 1=23，记面C 1BD 为α，面CBD 为β，求二面角α—BD —β的平面角的余弦值；（3）当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明. 参考答案一、1．A ；解析：)(21111BC BA A A BM B B M B ++=+==c +21（－b a +）=－21a +21b +c ．评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.2．A ；解析：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 既可．只有选项A ．3．B ；解析：只需将A A AD AB C A '++='，运用向量的内即运算即可，2||C A C A '='．4．C ；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b a b a b λ=⇔≠//,0． 5．C ；解析：||||cos b a b a ⋅⋅=θ，计算结果为－1．6．B ；解析：显然OA OC OB OM ON MN 32)(21-+=-=． 7．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形．8．D ；解析：建立一组基向量OC OB OA ,,，再来处理BC OA ⋅的值． 9．D ；解析：应用向量的运算，显然><⇒⋅>=<AC AB AC AB AC AB AC AB ,sin ||||,cos ，从而得><=AC AB AC AB S ,sin ||||21． 10．C ； 二、11．56；解析：72||||,cos -=>=<b a ba b a ，得753,sin >=<b a ，可得结果．12．OC OB OA 313161++；解析：13．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：222||||||AC BC AB +=． 14．39-；解析：219132||||,cos 2-=+=⋅>=<k k b a b a b a ，得39±=k ．三、15．解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）．由于M 为'BD 的中点，取''A C 中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）．根据空间两点距离公式，可得22236||()()()242424a a a a a MN a a =-+-+-=． 16．解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中,由∠BDC =90°,∠DCB =30°，BC =2，得BD =1，CD =3，∴DE =CD ·sin30°=23.OE =OB －BE =OB －BD ·cos60°=1－2121=. ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量OD [TX →]的坐标为{0，－23,21}. （2）依题意：}0,1,0{},0,1,0{},0,21,23{=-==OC OB OA ， 所以}0,2,0{},23,1,23{=-=--=-=OB OC BC OA OD AD . 设向量AD 和BC 的夹角为θ，则cos θ=222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅⋅BC AD BC AD 1051-=. 17．证：如图设321,,r SC r SB r SA ===，则SN SM SH SG SF SE ,,,,,分别为121r ，)(2132r r +，)(2121r r +，321r ，)(2131r r +，221r ，由条件EH=GH=MN 得： 展开得313221r r r r r r ⋅=⋅=⋅∴0)(231=-⋅r r r ，∵1r ≠0，23r r -≠0， ∴1r ⊥（23r r -）即SA ⊥BC ． 同理可证SB ⊥AC ，SC ⊥AB ．18．（1）证明：∵AB AP ⋅=－2－2+4=0，∴AP ⊥AB .又∵AD AP ⋅=－4+4+0=0，∴AP ⊥AD .∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴AP ⊥底面ABCD . （2）解：设AB 与AD 的夹角为θ，则 cos θ=1053416161428||||=+⋅++-=⋅⋅AD AB AD AB V =31|AB |·|AD |·sin θ·|AP |=161411059110532=++⋅-⋅ （3）解：|（AB ×AD ）·AP |=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P —ABCD 体积的3倍.猜测：|（AB ×AD ）·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）.评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力. 19．如图，建立空间直角坐标系O —xyz .（1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2）∴1BA ={－1，－1，2}，1CB ={0，1，2，}，1BA ·1CB =3，|1BA |=6，|1CB |=5 ∴cos<1BA ，1CB >=30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA .（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1={－1，1，2}，M C 1={21,21，0}.∴B A 1·M C 1=－2121++0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M . 评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件. 20．（1）证明：设CB =a ，CD =b ，1CC =c ，则|a |=|b |，∵CB CD BD -==b －a ， ∴BD ·1CC =（b －a ）·c =b ·c －a ·c =|b |·|c |cos60°－|a |·|c |cos60°=0， ∴C 1C ⊥BD .（2）解：连AC 、BD ，设AC ∩BD =O ，连OC 1，则∠C 1OC 为二面角α—BD —β的平面角. ∵21)(21=+=CD BC CO （a +b ），2111=-=CC CO O C （a +b ）－c 图∴CO ·211=O C （a +b ）·［21（a +b ）－c ］ =41（a 2+2a ·b +b 2）－21a ·c －21b ·c =41（4+2·2·2cos60°+4）－21·2·23cos60°－21·2·23cos60°=23.则|CO |=3，|O C 1|=23，∴cos C 1OC =33||||11=⋅⋅O C CO O C CO （3）解：设1CC CD=x ，CD =2，则CC 1=x 2.∵BD ⊥平面AA 1C 1C ，∴BD ⊥A 1C ∴只须求满足：D C C A 11⋅=0即可. 设A A 1=a ，AD =b ，DC =c ， ∵C A 1=a +b +c ，D C 1=a －c ，∴D C C A 11⋅=（a +b +c ）（a －c ）=a 2+a ·b －b ·c －c 2=xx 242+－6， 令6－242xx -=0，得x =1或x =－32（舍去）.评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.。
100测评网新课标高二数学同步测试(7)—(2-2第一章1.5—1.7)
普通高中课程标准实验教科书——数学选修2—2[人教版]高中学生学科素质训练新课标高二数学同步测试（7）—（2－2第一章1.5—1.7）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．将和式的极限)0(.......321lim1>+++++∞→p n n P pp p p n 表示成定积分 （ ）A ．dx x ⎰101B ．dx x p ⎰1C ．dx x p ⎰10)1(D ．dx n x p⎰10)(2．下列等于1的积分是（ ）A ．dx x ⎰1B ．dx x ⎰+1)1(C ．dx ⎰101D ．dx ⎰10213．dx x |4|102⎰-=（ ）A ．321 B ．322C ．323D ．325 4．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为 （ ）A ．320gt B ．20gtC ．220gtD ．620gt5．曲线]23,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积 （ ）A ．4B ．2C ．25D ．3 6．dx e ex x⎰-+1)(=（ ）A ．e e 1+B ．2eC ．e2D ．ee 1-7．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）A ．［0，2e ］B ．［0，2］C ．［1，2］D ．［0，1］ 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为（ ）A ．()[]dy y y ⎰--11B ．()[]dx x x ⎰-+-2101C ．()[]dy y y ⎰--2101D ．()[]dx x x ⎰+--119．如果1N 力能拉长弹簧1cm ，为将弹簧拉长6cm ，所耗费的功是 （ ）A ．0.18B ．0.26C ．0.12D ．0.28 10．将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为ρ的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为 （ ）A ．⎰32dx x ρB ．()⎰+212dx x ρC ．⎰1dx x ρ D ．()⎰+321dx x ρ二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．将和式)21.........2111(lim nn n n +++++∞→表示为定积分 ． 12．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ．13．由x y c o s =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 ． 14．按万有引力定律，两质点间的吸引力221rm m kF =，ｋ为常数，21,m m 为两质点的质量，ｒ为两点间距离，若两质点起始距离为ａ，质点1m 沿直线移动至离2m 的距离为ｂ处，试求所作之功（ｂ＞a ） ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)． 15．（12分）计算下列定积分的值 （1）⎰--312)4(dx x x ；（2）⎰-215)1(dx x ；（3）dx x x ⎰+20)sin (π；（4）dx x ⎰-222cos ππ；16．（12分）求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积．2 与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值.17．（12分）求由抛物线axy418．（12分）一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功．19．（14分）设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2.（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.（2）若直线x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.20．（14分）抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求S max．参考答案一、1．B；2．C；3．C；4．C；5．D；6．D；7．B；8．C；9．A；10．A；图二、11．dx x ⎰+1011；12．dx x ⎰-102)1(；13．dx x ⎰π20|cos |；14．)11(21b a m km-； 三、15．（1）（2）（3）（4）16．解：首先求出函数x x x y 223++-=的零点：11-=x ，02=x ，23=x .又易判断出在)0 , 1(-内，图形在x 轴下方，在)2 , 0(内，图形在x 轴上方，所以所求面积为dx x x x A ⎰-++--=01 23)2(dx x x x ⎰++-+20 23)2(1237=17．解：焦点坐标为)0,(a F ，设弦AB 、CD 过焦点F ，且OF AB ⊥． 由图得知：FBD FBE AGF ACF S S S S >=>，故AFBDOA ACFDOA S S >． 所求面积为：22 023842a dy a y a A a ⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=．18．解：物体的速度233)(bt bt dtdxV ='==．媒质阻力422229)3(t kb bt k kv F zu ===，其中k 为比例常数，k>0．当x=0时，t=0；当x=a 时，311)(bat t ==，又ds=vdt ，故阻力所作的功为3277130320302727727)3(111b a k t kb dt bt k dt v k dt v kv ds F W t t t zu zu ====⋅==⎰⎰⎰⎰19．解：（1）设f （x ）=ax 2+bx +c ，则f ′（x ）=2ax +b ，又已知f ′（x ）=2x +2 ∴a =1，b =2.∴f （x ）=x 2+2x +c又方程f （x ）=0有两个相等实根， ∴判别式Δ=4－4c =0，即c =1. 故f （x ）=x 2+2x +1. （2）依题意，有所求面积=31|)31()12(0123201=++=++--⎰x x x dx x x . （3）依题意，有x x x x x x t td )12(d )12(2021++=++⎰⎰---，∴023123|)31(|)31(t t x x x x x x ---++=++，－31t 3+t 2－t +31=31t 3－t 2+t ，2t 3－6t 2+6t －1=0， ∴2（t －1）3=－1，于是t =1－321. 评述：本题考查导数和积分的基本概念.20．解 依题设可知抛物线为凸形，它与x 轴的交点的横坐标分别为x 1=0，x 2=－b/a ，所以320261)(b adx bx ax S ab =+=⎰-(1) 又直线x ＋y=4与抛物线y=ax 2＋bx 相切，即它们有唯一的公共点，由方程组⎩⎨⎧+==+bx ax y y x 24得ax 2＋(b ＋1)x －4=0，其判别式必须为0，即(b ＋1)2＋16a=0． 于是,)1(1612+-=b a 代入（1）式得： )0(,)1(6128)(43>+=b b b b S ，52)1(3)3(128)(+-='b b b b S ；令S'(b)=0；在b ＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b ＜3时，S'(b)＞0；当b ＞3时，S'(b)＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S 取得最大值，且29maxS ．=========================================================== 适用版本：人教版,苏教版, 鲁教版,北京版,语文A 版,语文S 版,冀教版,沪教版,北大师大版,人教版新版,外研版,新起点,牛津译林,华师大版,湘教版,新目标,苏科版,粤沪版,北京版,岳麓版 适用学科：语文,数学,英语,科学,物理,化学,生物,政治,历史,地理 适用年级：一年级,二年级,三年级,四年级,五年级,六年级,七年级,八年级,九年级,小一,小二,小三,小四,小五,小六,初一,初二,初三,高一,高二,高三,中考,高考,小升初 适用领域及关键字：100ceping,51ceping,52ceping,ceping,xuexi,zxxx,zxjy,zk,gk,xiti,教学,教学研究,在线教学,在线学习,学习,测评,测评网,学业测评, 学业测评网,在线测评, 在线测评网,测试,在线测试,教育,在线教育,中考,高考,中小学,中小学学习,中小学在线学习,试题,在线试题,练习,在线练习,在线练习,小学教育,初中教育,高中教育,小升初复习,中考复习,高考复习,教案,学习资料,辅导资料,课外辅导资料,在线辅导资料,作文,作文辅导,文档,教学文档,真题,试卷,在线试卷,答案,解析,课题,复习资料,复习专题,专项练习,学习网,在线学习网,学科网,在线学科网,在线题库,试题库,测评卷,小学学习资料，中考学习资料,单元测试,单元复习,单元试卷,考点,模拟试题,模拟试卷,期末考试,期末试卷,期中考试,期中试卷=========================================================== 本卷由《100测评网》整理上传,专注于中小学生学业检测,练习与提升.。
新课标高二数学同步测试(2)—(2-1第二章2.1-2.3)
新课标高二数学同步测试（2）—（2－1第二章2.1－2.3）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +by 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（ ）2．已知椭圆222253n y m x +和双曲线222232ny m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）A ．x ＝±y 215 B ．y ＝±x 215 C ．x ＝±y 43D ．y ＝±x 433．过抛物线y =ax 2（a ＞0）的焦点F 用一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于 （ ）A ．2aB ．a21 C ．4a D ．a4 4．若椭圆)0(12222〉〉=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为（ ）A ．1716B ．17174 C ．54D ．552 5．椭圆31222y x +=1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是（ ）A ．±43B ．±23 C ．±22 D ．±43 6．设F 1和F 2为双曲线-42x y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是（ ）A ．1B ．25 C ．2D ．57．已知F 1、F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF 1⊥PF 2，e 1和e 2分别是椭圆和双曲线的离心率，则有 （ ）A ．221≥e eB ．42221≥+e eC ．2221≥+e eD ．2112221=+e e 8．已知方程1||2-m x +m y -22=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．m<2B ．1<m<2C ．m<－1或1<m<2D ．m<－1或1<m<239．已知双曲线22a x －22b y =1和椭圆22m x +22by =1(a >0,m>b >0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形10．椭圆13422=+y x 上有n 个不同的点: P 1, P 2, …, P n , 椭圆的右焦点为F. 数列｛|P n F|｝是公差大于1001的等差数列, 则n 的最大值是（ ） A ．198 B ．199C ．200D ．201二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．已知点（－2，3）与抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点的距离是5，则p =___ __．12．设圆过双曲线16922y x -=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 ．13．双曲线16922y x -＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为 ．14．若A 点坐标为（1，1），F 1是5x 2＋9y 2=45椭圆的左焦点，点P 是椭圆的动点，则|PA|＋|P F 1|的最小值是_______ ___．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）．15．（12分）已知F 1、F 2为双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°．求双曲线的渐近线方程．16．（12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，向量与是共线向量． （1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点， 1F 、2F 分别是左、右焦点，求∠21QF F 的取值范围；17．（12分）如图椭圆12222=+by a x (a >b >0)的上顶点为A ，左顶点为B , F 为右焦点, 过F 作平行与AB 的直线交椭圆于C 、D 两点. 作平行四边形OCED, E 恰在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）若平行四边形OCED 的面积为6, 求椭圆方程．18．（12分）双曲线12222=-by a x (a >1,b >0)的焦距为2c,直线l 过点(a ,0)和(0,b ),且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥54c.求双曲线的离心率e 的取值范围．19．（14分）如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1.以A 、B为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形，|AM |=17，|AN |=3，且|BN |=6.建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程20．（14分）已知圆C 1的方程为(x －2)2+(y －1)2=320，椭圆C 2的方程为22a x +22by =1（a >b >0），C 2的离心率为22，如果C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程．图参考答案一、1．D ；解析一：将方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +by 2=0转化为标准方程：x b ay b y a x -==+22222,1.因为a＞b ＞0，因此，ab 11>＞0，所以有：椭圆的焦点在y 轴，抛物线的开口向左，得D 选项. 解析二：将方程ax +by 2=0中的y 换成－y ，其结果不变，即说明：ax +by 2=0的图形关于x 轴对称，排除B 、C ，又椭圆的焦点在y 轴.故选D.评述：本题考查椭圆与抛物线的基础知识，即标准方程与图形的基本关系.同时，考查了代数式的恒等变形及简单的逻辑推理能力.2．D ；解析：由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上，∴椭圆焦点（2253n m -，0），双曲线焦点（2232n m +，0），∴3m 2－5n 2=2m 2+3n 2∴m 2=8n 2又∵双曲线渐近线为y =±||2||6m n ⋅²x ∴代入m 2=8n 2，|m |=22|n |，得y =±43x ． 3．C ；解析：抛物线y =ax 2的标准式为x 2＝a 1y ，∴焦点F （0，a41）. 取特殊情况，即直线PQ 平行x 轴，则p =q . 如图，∵PF ＝PM ，∴p ＝a 21，故a pp p q p 421111==+=+． 4．D ；5．A ；解析：由条件可得F 1（－3，0），PF 1的中点在y 轴上，∴P 坐标（3，y 0），又P 在31222y x +=1的椭圆上得y 0=±23，∴M 的坐标（0，±43），故选A.评述：本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，中点坐标公式以及运算能力.6．A ；解法一：由双曲线方程知|F 1F 2|＝25，且双曲线是对称图形，假设P （x ，142-x ），由已知F 1P ⊥F 2 P ，有151451422-=+-⋅--x x x x ，即1145221,52422=-⋅⋅==x S x ，因此选A . 评述：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、两条直线垂直的条件、三角形面积公式以及运算能力.7．D ； 8．D ； 9．B ； 10．C ； 二、11．4；解析：∵抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点坐标是（2p ，0），由两点间距离公式，得223)22(++p =5．解得p =4.12．316；解析：如图8—15所示，设圆心P （x 0，y 0），则|x 0|＝2352+=+a c ＝4，代入16922y x -＝1，得y 02＝9716⨯，∴|OP |＝3162020=+y x ．评述：本题重点考查双曲线的对称性、两点间距离公式以及数形结合的思想. 13．516；解析：设|PF 1|＝M ，|PF 2|＝n （m ＞n ），a ＝3、b ＝4、c ＝5，∴m －n ＝６ m 2＋n 2＝4c 2，m 2＋n 2－（m －n ）2＝m 2＋n 2－（m 2＋n 2－2mn ）＝2mn ＝4³25－36＝64，mn ＝32. 又利用等面积法可得：2c ²y ＝mn ，∴y ＝516． 14．26-；三、15．解：（1）设F 2（c ，0）（c ＞0），P （c ，y 0），则2222by a c -=1．解得y 0=±a b 2，∴|PF 2|=ab 2，在直角三角形PF 2F 1中，∠PF 1F 2=30°解法一：|F 1F 2|=3|PF 2|，即2c =ab 23，将c 2=a 2+b 2代入，解得b 2=2a 2解法二：|PF 1|=2|PF 2|，由双曲线定义可知|PF 1|－|PF 2|=2a ，得|PF 2|=2a .∵|PF 2|=a b 2，∴2a =ab 2，即b 2=2a 2，∴2=a b故所求双曲线的渐近线方程为y =±2x ．16．解：（1）∵a b y c x c F M M 21,),0,(=-=-则，∴acb k OM 2-=．∵a b k AB 与,-=是共线向量，∴a b ac b -=-2，∴b =c,故22=e ． （2）设1122121212,,,2,2,FQ r F Q r F QF r r a F F c θ==∠=∴+==22222221212122121212124()24cos 11022()2r r c r r r r c a a r r r r r r r r θ+-+--===-≥-=+当且仅当21r r =时，cos θ=0，∴θ]2,0[π∈．说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题．求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题．17．解：(Ⅰ) ∵焦点为F(c, 0), AB 斜率为a b , 故CD 方程为y=ab(x －c). 于椭圆联立后消去y 得2x 2－2c x －b 2=0. ∵CD 的中点为G(a bc c 2,2-), 点E(c, －a bc )在椭圆上, ∴将E(c, －abc)代入椭圆方程并整理得2c 2=a 2, ∴e =22=a c . (Ⅱ)由(Ⅰ)知CD 的方程为y=22(x －c), b =c, a =2c. 与椭圆联立消去y 得2x 2－2c x －c 2=0. ∵平行四边形OCED 的面积为 S=c|y C －y D |=22c D C D C x x x x 42-+）（=22c 6262222==+c c c ,∴c=2, a =2, b =2. 故椭圆方程为12422=+y x 18．解：直线l 的方程为bx +a y －ab =0.由点到直线的距离公式,且a >1,得到点(1,0)到直线l 的距离d 1 =22)1(ba ab +-．同理得到点(－1,0)到直线l 的距离d 2 =22)1(b a a b ++.s= d 1 +d 2=22b a ab +=cab2.由s ≥54c,得cab 2≥54c,即5a 22a c -≥2c 2. 于是得512-e ≥2e 2.即4e 2－25e+25≤0.解不等式,得45≤e 2≤5. 由于e>1>0,所以e 的取值范围是525≤≤e . 19．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点.依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A 、B 分别为C 的端点. 设曲线段C 的方程为，y 2=2px （p ＞0），（x A ≤x ≤x B ，y ＞0） 其中x A 、x B 分别为A 、B 的横坐标，p ＝|MN |．所以M （2p -，0），N （2p，0） 由|AM |＝17，|AN |＝3得：（x A ＋2p ）2＋2px A ＝17 ① （x A 2p-）2＋2px A ＝9②并由p >0，解得⎩⎨⎧==14A x p 或⎩⎨⎧==22A x p由①②两式联立解得x A ＝p4，再将其代入①式因为△AMN 是锐角三角形，所以2p＞x A ，故舍去⎩⎨⎧==22Ax p所以p ＝4，x A ＝1．由点B 在曲线段C 上，得x B ＝|BN |2p-＝4． 综上得曲线段C 的方程为y 2＝8x （1≤x ≤4，y ＞0）．解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点.作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F .设A （x A ，y A ）、B （x B ，y B ）、N （x N ，0） 依题意有x A ＝|ME |＝|DA |＝|AN |＝3，y A ＝|DM |＝22||||22=-DA AM由于△AMN 为锐角三角形，故有 x N ＝|ME |＋|EN |＝|ME |＋22||||AE AN -＝4，x B ＝|BF |＝|BN |＝6．设点P （x ，y ）是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合 ｛（x ，y ）|（x －x N ）2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y ＞0｝ 故曲线段C 的方程为y 2＝8（x －2）（3≤x ≤6，y ＞0）．评述：本题考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想，考查了抛物线的概念和性质、曲线和方程的关系以及综合运用知识的能力. 20．由e=22，得a c =22，a 2=2c 2,b 2=c 2．设椭圆方程为222b x +22by =1．又设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)．由圆心为(2,1)，得x 1+x 2=4,y 1+y 2=2．又2212b x +221b y =1，2222b x +222b y =1，两式相减，得 222212b x x -+22221b y y -=0．∴1)(221212121-=++-=--y y x x x x y y∴直线AB 的方程为y －1= －(x －2)，即y= －x +3．将y= －x +3代入222b x +22by =1，得3x 2－12x +18－2b 2=0又直线AB 与椭圆C 2相交，∴Δ=24b 2－72>0． 由|AB |=2|x 1－x 2|=2212214)(x x x x -+=3202,得2²372242-b =320．解得 b 2=8，故所求椭圆方程为162x +82y =1．。
新课标高二数学文同步测试(2)(选修1-1第二章)
C1 的方程为(x－2)2+(y－1)2=
20 3
，椭圆
C 2
的方程为
x2 a2
+
y2 b
=1
（a>b>0），C2 的离心率为
2 ，如果 C
与C
2
相交于 A、B 两点，且线段 AB 恰为圆 C
2
1
2
1
的直径，求直线 AB 的方程和椭圆 C2 的方程。
参考答案
一、1．D；解析一：将方程 a2x +b2y2=1 与 ax+by2=0 转化为标准方程：
3m2 5n2
2m2 3n2
程是
（）
A．x＝± 15 y
2
B．y＝±
3．过抛物线 y=ax2（a＞0）的焦点
15 x C．x＝± 3 y
2
4
F 用一直线交抛物线于 P、Q
3x D．y＝± 两点，若线段4PF
与
FQ
的
长分别是 p、q，则 1 1 等于
pq
（）
A．2a
B． 1 2a
C．4a
D． 4 a
12 3
0
2
4 ），故选 A.
评述：本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，中点坐标公式以及运算能力.
6．A；解法一：由双曲线方程知|F1F2|＝2
5 ，且双曲线是对称图形，假设 P（x，
x2 1 4
），由已知 F1 P⊥F2
P，有
x2 4 x
1 5
x
x
42
1 5
1，即 x 2
24 5
2
线焦点（ 2m2 3n2 ，0），∴3m 2－5n2=2m2+3n2∴m 2=8n2 又∵双曲线渐近线为 y=±
新课标高二数学同步测试—(2-1第三章3.2)
10．A正．四3棱柱 ABCD
AB，CD 的中点，
EAF1BB．1C61BDD1
C．
中，底面边长为 2
62
G ．则三棱锥 B1
，侧棱长为D4．，E3，F EFD1 的体积 V
分别为棱
二、A填．空题66：请把答案填在（ B．题1中63横）3线上（每小题
16 6C分．，共3 24
D．16
分）．
22
5．A；分析： Q ABB1 A1 为正方形， A1B AB1 ，又平面 AB1D 平面 ABB1A1 ， A1B 面 AB1D ， A1B 是
平面 AB1D 的一个法向量，设点C 到平面 AB1D 的距离为 d ，则
d ACuuuAr 1B = AC ( A1A AB)
18．（12 分）已知棱长为 1 的正方体 A1C ，E、F 分别是1 B1 C 、1 C D 的中点． （1）求证：E、F、D、B 共面； （2）求点 A1 到平面的 BDEF 的距离； （3）求直线 A1 D 与平面 BDEF 所成的角．
19．（14 分）已知正方体 ABCD－1A1 B1 C1 D 的棱长为 2，点 E 为棱 AB 的中点，求： （Ⅰ）D1 E 与平面 BC1 D 所成角的大小； （Ⅱ）二面角 D－BC1 －C 的大小； （Ⅲ）异面直线 B1 D1 与 BC1 之间的距离．
Ⅰ Q D为的PC中点，
uuur OD
2 4
a,0,
1 2
h
,
uuur 又PA
2 2
a,0,h
，
uuur OD
1 2
uuur PA.
uuur uuur OD∥∥ PA.
新课标高二数学同步测试—(2-1第三章3.1)
向量是（ ）
A．
1 2
a
1 2
b
c
B．
1 2
a
1 2
b
c
图
1 C． 2
a
1 2
b
c
D．
1 2
a
1 2
b
c
2．在下列条件中，使 M 与 A、B、C 一定共面的是 （）
A． OM 2OA OB OC
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．
15．（12 分）如图，已知正方体 ABCD A' B 'C ' D ' 的棱
长为 a，M 为 BD' 的中点，点 N 在 AC' '上，且 | A' N | 3 | NC ' | ，试求 MN 的长．
z
D' O' N
C'
A'
B'
（
）
'
等于
A．85
B． 85
C． 5 2
D．50
4．与向量 a (1,3, 2) 平行的一个向量的坐标是
（）
A．（13 ，1，1）
13 C．（－2 ， 2 ，－1）
B．（－1，－3，2）
D．（ 2 ，－3，－2 2 ）
5．已知 A（－1，－2，6），B（1，2，－6）O 为坐标原点，则向量OA,与OB 的夹角是
(ON
OM
)
高二数学选择性必修二同步检测试卷与答案解析
高二数学选择性必修二同步检测试卷全套《4.1 数列的概念》同步检测试卷注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单选题1．下列说法正确的是( )A．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的B．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的C．数列11n⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是递增数列D．数列()11nn⎧⎫-⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭是摆动数列2．已知数列12，23，34，…，1nn+，则0.96是该数列的( )A．第20项 B．第22项 C．第24项 D．第26项3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于( )A．11 B．12 C．13 D．144．已知数列{a n}的通项公式a n＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是( )A.15B．5 C．6 D．231log3log325+5．已知递减数列{a n}中，a n＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是( )A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，0]6．数列{a n}中，a n＝－n2＋11n，则此数列最大项是( )A．第4项 B．第6项 C．第5项 D．第5项和第6项7．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n.①第二步：将数列①的各项乘n，得到数列(记为)a1，a2，a3，…，a n. 则n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n＝( )A ．n 2B ．(n －1)2C ．n(n －1)D ．n(n ＋1)8．由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n≥2时，b n ＝a b n －1，则b 6的值是( )A ．9B ．17C ．33D ．65 二、多选题9．(多选)一个无穷数列{a n }的前三项是1,2,3，下列可以作为其通项公式的是( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n 3－6n 2－12n －6 C ．a n ＝12n 2－12n ＋1 D ．a n ＝26611n n -+ 10．(多选)数列{F n }：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记数列{F n }的前n 项和为S n ，则下列结论正确的是( )A ．S 5＝F 7－1B ．S 5＝S 6－1C ．S 2 019＝F 2 021－1D ．S 2 019＝F 2 020－1 11．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+12．“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．记大衍数列为{}n a ，其前n 项和为*,n S n ∈N ，则（ ）A ．20220a =B ．357202111115051011a a a a ++++=C ．232156S =D ．246489800a a a a ++++=三、填空题13．已知数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________． 14．已知数列{a n }的通项公式a n ＝1nn +，则a n ·a n ＋1·a n ＋2＝________. 15.数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＋S n －1＝2n －1(n≥2)，且S 2＝3，则a 1＋a 3的值为________． 16.如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图(2)中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+，（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前多少项和最大．18．在数列{}n a 中，2293n a n n =-++.（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？ （2）求数列中的最大项.19．数列{a n }满足a 1= 1 ,a n+1 +2a n a n+1- a n =0. （1）写出数列的前5项；（2）由（1）写出数列{a n}的一个通项公式； （3）实数199是否为这个数列中的一项？若是,应为第几项？20．已知数列2299291n n n ⎧⎫-+⎨⎬-⎩⎭. (1)求这个数列的第10项； (2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间1233⎛⎫ ⎪⎝⎭，内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由． 21．已知函数f(x)＝x －1x.数列{a n }满足f(a n )＝－2n ，且a n >0.求数列{a n }的通项公式． 22．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝22n n (n ∈N *)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由． 答案解析 一、单选题1．下列说法正确的是( )A ．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的B ．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的C ．数列11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是递增数列 D ．数列()11nn ⎧⎫-⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭是摆动数列【答案】D【解析】数列是有序的，而数集是无序的，所以A ，B 不正确；选项C 中的数列是递减数列；选项D 中的数列是摆动数列． 2．已知数列12，23，34，…，1n n +，则0.96是该数列的( ) A ．第20项 B ．第22项 C ．第24项 D ．第26项 【答案】C 【解析】由1nn +＝0.96，解得n ＝24. 3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x 等于( )A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【解析】观察数列可知，后一项是前两项的和，故x＝5＋8＝13.4．已知数列{a n}的通项公式a n＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是( )A.15B．5 C．6 D．231log3log325+【答案】B【解析】a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝log232＝log225＝5. 5．已知递减数列{a n}中，a n＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是( )A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，0]【答案】C【解析】a n＋1－a n＝k(n＋1)－kn＝k<0.6．数列{a n}中，a n＝－n2＋11n，则此数列最大项是( )A．第4项 B．第6项 C．第5项 D．第5项和第6项【答案】D【解析】a n＝－n2＋11n＝－2112n⎛⎫-⎪⎝⎭＋1214，∵n∈N＋，∴当n＝5或n＝6时，a n取最大值．故选D.7．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n.①第二步：将数列①的各项乘n，得到数列(记为)a1，a2，a3，…，a n. 则n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n＝( )A．n2 B．(n－1)2 C．n(n－1) D．n(n＋1) 【答案】C【解析】由题意得a k＝nk.k≥2时，a k－1a k＝2211(1)1nnk k k k⎛⎫=-⎪--⎝⎭.∴n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n＝n21111112231n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝n211n⎛⎫-⎪⎝⎭＝n(n－1)．故选C.8．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{a n}，数列{b n}满足b1＝2，当n≥2时，b n＝a b n－1，则b6的值是( )A．9 B．17 C．33 D．65【答案】C【解析】∵b n ＝a b n －1，∴b 2＝a b 1＝a 2＝3，b 3＝a b 2＝a 3＝5，b 4＝a b 3＝a 5＝9，b 5＝a b 4＝a 9＝17，b 6＝a b 5＝a 17＝33. 二、多选题9．(多选)一个无穷数列{a n }的前三项是1,2,3，下列可以作为其通项公式的是( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n 3－6n 2－12n －6 C ．a n ＝12n 2－12n ＋1 D ．a n ＝26611n n -+ 【答案】AD【解析】对于A ，若a n ＝n ，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，符合题意；对于B ，若a n ＝n 3－6n 2－12n ＋6，则a 1＝－11，不符合题意；对于C ，若a n ＝12n 2－12n ＋1，当n ＝3时，a 3＝4≠3，不符合题意；对于D ，若a n ＝26611n n -+，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，符合题意．故选A 、D.10．(多选)数列{F n }：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记数列{F n }的前n 项和为S n ，则下列结论正确的是( )A ．S 5＝F 7－1B ．S 5＝S 6－1C ．S 2 019＝F 2 021－1D ．S 2 019＝F 2 020－1 【答案】AC【解析】根据题意有F n ＝F n －1＋F n －2(n≥3)，所以S 3＝F 1＋F 2＋F 3＝1＋F 1＋F 2＋F 3－1＝F 3＋F 2＋F 3－1＝F 4＋F 3－1＝F 5－1，S 4＝F 4＋S 3＝F 4＋F 5－1＝F 6－1，S 5＝F 5＋S 4＝F 5＋F 6－1＝F 7－1，…，所以S 2 019＝F 2 021－1.故选A 、C.11．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin 2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+【答案】BD【解析】因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设；选项B ：01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+=23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；选项C ：，12sin2,2a π==22sin 0,a π==332sin22a π==-不符合题设； 选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.故选：BD.12．“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．记大衍数列为{}n a ，其前n 项和为*,n S n ∈N ，则（ ）A ．20220a =B ．357202111115051011a a a a ++++=C ．232156S =D ．246489800a a a a ++++=【答案】BCD【解析】根据数列前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,，则奇数项为：2112-，2312-，2512-，2712-，2912-，，偶数项为：222，242，262，282，2102，，所以通项公式为221,(2,(2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数）为偶数），对于A ， 22020020==2a ，故A 错误；对于B ，35720211111a a a a ++++22222222=++++31517120211---- 1111224466820202022⎛⎫=++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭111111*********20202505100222202211⎛⎫=⨯-+-++-=-= ⎪⎝⎭，故B 正确； 对于C ，()()2313232422S a a a a a a =++++++222212323122+++-=，由()()22221211236n n n n +++++=，所以()()2323231461112215626S ++⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，24648a a a a ++++()222221242922421224=⨯+⨯+⨯++⨯=++()()242412241298006+⨯+=⋅=，故D 正确.故选：BCD 三、填空题13．已知数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________． 【答案】9【解析】由a n ＝19－2n>0，得n<192.∵n ∈N *，∴n≤9.14．已知数列{a n }的通项公式a n ＝1nn +，则a n ·a n ＋1·a n ＋2＝________. 【答案】3n n + 【解析】a n ·a n ＋1·a n ＋2＝1n n +·12n n ++·23n n ++＝3n n +. 15.数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＋S n －1＝2n －1(n≥2)，且S 2＝3，则a 1＋a 3的值为________． 【答案】-1【解析】∵S n ＋S n －1＝2n －1(n≥2)，令n ＝2， 得S 2＋S 1＝3，由S 2＝3得a 1＝S 1＝0， 令n ＝3，得S 3＋S 2＝5，所以S 3＝2，则a 3＝S 3－S 2＝－1，所以a 1＋a 3＝0＋(－1)＝－1.16.如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图(2)中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________.【解析】因为OA 1＝1，OA 2，OA 3OA n a 1＝1，a 2，a 3a n 四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+，（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前多少项和最大．【解析】（1）当1n =时，11321132a S ==-+=；当2n ≥时，()()()22132132111n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=-+----+⎣⎦332n =-；所以：32,1332,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩；（2）因为()22321321n S n n n n =-+=--+()216257n =--+；所以前16项的和最大．18．在数列{}n a 中，2293n a n n =-++.（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？ （2）求数列中的最大项.【解析】（1）令22107,293107,291100n a n n n n =--++=---=，解得10n =或112n =-（舍去）.所以10107a =- （2）229105293248n a n n n ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭， 由于*n ∈N ，所以最大项为213a =19．数列{a n }满足a 1= 1 ,a n+1 +2a n a n+1- a n =0. （1）写出数列的前5项；（2）由（1）写出数列{a n }的一个通项公式；（3）实数199是否为这个数列中的一项？若是,应为第几项？ 【答案】(1)见解析（2）121n a n =-（3）50【解析】（1）由已知可得11a =，213a =，315a =，417a =，519a =.（2）由（1）可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…，所以它的一个通项公式为121n a n =-. （3）令119921n =-，解得50n =，故199是这个数列的第50项. 20．已知数列2299291n n n ⎧⎫-+⎨⎬-⎩⎭. (1)求这个数列的第10项； (2)98101是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间1233⎛⎫ ⎪⎝⎭，内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由．【解析】(1)设a n ＝f(n)＝2299291n n n -+- ＝(31)(32)(31)(31)n n n n ---+＝3231n n -+.令n ＝10，得第10项a 10＝f(10)＝2831. (2)令3231n n -+＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项． (3)证明：∵a n ＝3231n n -+＝1－331n +， 且n ∈N *，∴0<1－331n +<1， ∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内． (4)令13<a n ＝3231n n -+<23， ∴3196,9662,n n n n +<-⎧⎨-<+⎩∴7,68,3n n ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故在区间1233⎛⎫⎪⎝⎭，内有数列中的项，且只有一项为a 2＝47. 21．已知函数f(x)＝x －1x.数列{a n }满足f(a n )＝－2n ，且a n >0.求数列{a n }的通项公式． 【解析】∵f(x)＝x －1x ，∴f(a n )＝a n －1na ，∵f(a n )＝－2n.∴a n －1na ＝－2n ，即2n a ＋2na n －1＝0. ∴a n.∵a n >0，∴a n－n.22．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝22n n (n ∈N *)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．【解析】存在最大项．理由：a 1＝12，a 2＝2222＝1，a 3＝2332＝98，a 4＝2442＝1，a 5＝2552＝2532，….∵当n≥3时，221122(1)2(1)22n n n n a n n a n n++++=⨯=＝1211n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2<1， ∴a n ＋1<a n ，即n≥3时，{a n }是递减数列． 又∵a 1<a 3，a 2<a 3，∴a n ≤a 3＝98. ∴当n ＝3时，a 3＝98为这个数列的最大项．《4.2 等差数列》同步检测试卷注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单选题1．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．122．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O)，则S 200等于( )A ．100B ．101C ．200D ．2014．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于( ) A ．15 B ．35 C ．66 D ．1005．设数列{a n }是等差数列，若a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．216.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．67．现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．298．已知命题：“在等差数列{a n }中，若4a 2＋a 10＋a ( )＝24，则S 11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为( ) A ．15 B ．24 C ．18 D ．28 二、多选题9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d.已知a 3＝12，S 12>0，a 7<0，则( ) A ．a 6>0 B ．－247<d<－3 C ．S n <0时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 10.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7＝a 4，则( )A ．a 1＋a 3＝0B ．a 3＋a 5＝0C ．S 3＝S 4D ．S 4＝S 511．等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选项正确的是（ ） A ．0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为812．在等差数列{}n a 中每相邻两项之间都插入()*k k ∈N个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{}n b .若9b 是数列{}n a 的项，则k 的值可能为（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 三、填空题13．已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 3＝9，a 4＋a 5＋a 6＝7，则S 9－S 6＝________. 14．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k ＝________. 15．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．16. 已知等差数列{a n }的公差d>0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28. (1)则数列{a n }的通项公式为a n ＝________； (2)若b n ＝nS n c+ (c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，则c ＝________. 四、解答题17．若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .18．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22. (1)数列{a n }前多少项和最大？ (2)求{|a n |}的前n 项和S n .19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为等差数列，a 1＝12，d ＝－2. (1)求S n ，并画出{S n }(1≤n≤13)的图象；(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n }的最大(或最小)的项； (3){S n }有多少项大于零？20．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，求a 2＋a 3－a 4＋a 5＋a 6. 21．设S n 是数列{a n }的前n 项和且n ∈N *，所有项a n ＞0，且S n ＝14a 2n ＋12a n －34. (1)证明：{a n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．22．求等差数列{4n ＋1}(1≤n≤200)与{6m －3}(1≤m≤200)的公共项之和． 答案解析 一、单选题1．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12 【答案】B 【解析】∵1=S n S n+奇偶，∴1651=150n n +.∴n ＝10，故选B. 2．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1 【答案】B【解析】等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O)，则S 200等于( )A ．100B ．101C ．200D ．201 【答案】A【解析】由A ，B ，C 三点共线得a 1＋a 200＝1，∴S 200＝2002(a 1＋a 200)＝100. 4．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于( ) A ．15 B ．35 C ．66 D ．100 【答案】C 【解析】易得a n ＝1,1,25, 2.n n n -=⎧⎨-≥⎩|a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1， 令a n ＞0则2n －5＞0，∴n≥3. ∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10| ＝1＋1＋a 3＋…＋a 10 ＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.5．设数列{a n }是等差数列，若a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．21 【答案】C【解析】∵a 1＋a 3＋a 5＝105＝3a 3， ∴a 3＝35，∵a 2＋a 4＋a 6＝99＝3a 4， ∴a 4＝33， ∴d ＝a 4－a 3＝－2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝41－2n ， 令a n ＞0，∴41－2n ＞0， ∴n ＜412， ∴n≤20.6.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】C【解析】a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S m ＝1()2m m a a +＝0，得a 1＝－2，所以a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，解得m ＝5，故选C.7．现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．29 【答案】B【解析】钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝(1)2n n +. 当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210＞200.∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．8．已知命题：“在等差数列{a n }中，若4a 2＋a 10＋a ( )＝24，则S 11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为( ) A ．15 B ．24 C ．18 D ．28 【答案】C【解析】设括号内的数为n ，则4a 2＋a 10＋a (n)＝24， 即6a 1＋(n ＋12)d ＝24.又因为S 11＝11a 1＋55d ＝11(a 1＋5d)为定值， 所以a 1＋5d 为定值． 所以126n +＝5，解得n ＝18. 二、多选题9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d.已知a 3＝12，S 12>0，a 7<0，则( ) A ．a 6>0 B ．－247<d<－3 C ．S n <0时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 【答案】ABCD【解析】依题意得a 3＝a 1＋2d ＝12，a 1＝12－2d ，S 12＝1122a a +×12＝6(a 6＋a 7)．而a 7<0，所以a 6>0，a 1>0，d<0，A 选项正确．且716167161240,51230,2112470,a a d d a a d d a a a d d =+=+<⎧⎪=+=+>⎨⎪+=+=+>⎩ 解得－247<d<－3，B 选项正确．由于S 13＝1132a a +×13＝13a 7<0，而S 12>0，所以S n <0时，n 的最小值为13.由上述分析可知，n ∈[1,6]时，a n >0，n≥7时，a n <0；当n ∈[1,12]时，S n >0，当n≥13时，S n <0.所以当n ∈[7,12]时，a n <0，S n >0，nnS a <0，且当n ∈[7,12]时，|a n |为递增数列，S n 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项．故选A 、B 、C 、D. 10.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7＝a 4，则( )A ．a 1＋a 3＝0B ．a 3＋a 5＝0C ．S 3＝S 4D ．S 4＝S 5 【答案】BC 【解析】由S 7＝177()2a a +＝7a 4＝a 4，得a 4＝0，所以a 3＋a 5＝2a 4＝0，S 3＝S 4，故选B 、C. 11．等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选项正确的是（ ） A ．0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为8【答案】ABD【解析】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为753a a =，可得1163(4)a d a d +=+，解得13a d =-，又由等差数列{}n a 是递增数列，可知0d >，则10a <，故A 、B 正确； 因为2217()2222n d d d dS n a n n n =+-=-， 由7722dn d -=-=可知，当3n =或4时n S 最小，故C 错误，令27022n d d S n n =->，解得0n <或7n >，即0n S >时n 的最小值为8，故D 正确． 故选：ABD ．12．在等差数列{}n a 中每相邻两项之间都插入()*k k ∈N个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{}n b .若9b 是数列{}n a 的项，则k 的值可能为（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 【答案】ABD【解析】由题意得：插入()*k k ∈N个数，则11ab =，22k a b +=，323k a b +=，434k a b +=⋅⋅⋅所以等差数列{}n a 中的项在新的等差数列{}n b 中间隔排列，且角标是以1为首项，k+1为公差的等差数列，所以1(1)(1)n n k a b +-+=， 因为9b 是数列{}n a 的项，所以令**1(1)(1)9,,n k n N k N +-+=∈∈， 当2n =时，解得7k =， 当3n =时，解得3k =， 当5n =时，解得1k =，故k 的值可能为1,3,7，故选：ABD 三、填空题13．已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 3＝9，a 4＋a 5＋a 6＝7，则S 9－S 6＝________. 【答案】5【解析】∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，而S 3＝9，S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝7，∴S 9－S 6＝5. 14．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k ＝________. 【答案】8【解析】∵a n ＝11(1),(2),nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩∴a n ＝2n －10.由5＜2k －10＜8，得7.5＜k ＜9，又k ∈N *，∴k ＝8.15．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________． 【答案】405【解析】由a 203＋a 204>0知a 1＋a 406>0，即S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d>0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.16. 已知等差数列{a n }的公差d>0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28. (1)则数列{a n }的通项公式为a n ＝________； (2)若b n ＝nS n c+ (c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，则c ＝________. 【答案】(1)4n －3 (2)－12【解析】(1)∵S 4＝28，∴14()42a a +⨯＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14，又∵a 2a 3＝45，公差d>0， ∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9， ∴115,29,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11,4,a d =⎧⎨=⎩∴a n ＝4n －3.(2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝nS n c+＝22n n n c -+，∴b 1＝11c +，b 2＝62c+，b 3＝153c +.又∵{b n }也是等差数列， ∴b 1＋b 3＝2b 2， 即2×62c +＝11c +＋153c+， 解得c ＝－12(c ＝0舍去)． 四、解答题17．若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n . 【解析】∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n. 当n≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋(1)2n n -d ＝13n ＋(1)2n n -×(－4) ＝15n －2n 2；当n≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n ) ＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n ＝2×(131)42+⨯－(15n －2n 2) ＝2n 2－15n ＋56.∴T n ＝22152(4),21556(5).n n n n n n ⎧-≤⎪⎨-+≥⎪⎩18．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22. (1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n . 【解析】(1)由11923,2422,a d a d +=⎧⎨+=-⎩得150,3,a d =⎧⎨=-⎩∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53. 令a n >0，得n<533， ∴当n≤17，n ∈N *时，a n >0； 当n≥18，n ∈N *时，a n <0， ∴{a n }的前17项和最大． (2)当n≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋(1)2n n -d ＝－32n 2＋1032n. 当n≥18，n ∈N *时， |a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝2223103310317172222n n ⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n ＝223103,17,*,223103884,18,*,22n n n n N n n n n N ⎧-+≤∈⎪⎪⎨⎪-+≥∈⎪⎩19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为等差数列，a 1＝12，d ＝－2. (1)求S n ，并画出{S n }(1≤n≤13)的图象；(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n }的最大(或最小)的项； (3){S n }有多少项大于零？ 【解析】(1)S n ＝na 1＋(1)2n n - d ＝12n ＋(1)2n n -×(－2)＝－n 2＋13n.图象如图．(2)S n＝－n2＋13n＝－2132n⎛⎫-⎪⎝⎭＋1694，n∈N*，∴当n＝6或n＝7时，S n最大；当1≤n≤6时，{S n}单调递增；当n≥7时，{S n}单调递减．{S n}有最大值，最大项是S6，S7，S6＝S7＝42.(3)由图象得{S n} 中有12项大于零．20．已知等差数列{a n}的前n项和S n＝n2－2n，求a2＋a3－a4＋a5＋a6.【解析】∵S n＝n2－2n，∴当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－2n－[(n－1)2－2(n－1)]＝n2－2n－(n－1)2＋2(n－1)＝2n－3，∴a2＋a3－a4＋a5＋a6＝(a2＋a6)＋(a3＋a5)－a4＝2a4＋2a4－a4＝3a4＝3×(2×4－3)＝15.21．设S n是数列{a n}的前n项和且n∈N*，所有项a n＞0，且S n＝14a2n＋12a n－34.(1)证明：{a n}是等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．【解析】(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝14a21＋12a1－34，解得a1＝3或a1＝－1(舍去)．当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝14(a2n＋2a n－3)－14(a2n－1＋2a n－1－3)．所以4a n＝a2n－a2n－1＋2a n－2a n－1，即(a n＋a n－1)(a n－a n－1－2)＝0，因为a n＋a n－1＞0，所以a n－a n－1＝2(n≥2)．所以数列{a n}是以 3为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知a n＝3＋2(n－1)＝2n＋1.22．求等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)与{6m－3}(1≤m≤200)的公共项之和．【解析】由4n＋1＝6m－3(m，n∈N*且1≤m≤200,1≤n≤200)，可得2,31,m tn t=⎧⎨=-⎩(t∈N*且23≤t≤67)．则等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)，{6m－3}(1≤m≤200)的公共项按从小到大的顺序组成的数列是等差数列{4(3t －1)＋1}(t ∈N *且23≤t≤67)，即{12t －3}(t ∈N *且23≤t≤67)，各项之和为67×9＋67662×12＝27 135.《4.3 等比数列》同步检测试卷注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单选题1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．242．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则57a a 等于( ) A.56 D ．65 C. 23 D ．323．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A ．100 B ．－100 C ．10 000 D ．－10 000 4．在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1 D ．a 5＝15．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．166．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193 【答案】C7．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 2＋a 5＝0，则52S S 等于( ) A ．11 B ．5 C ．－8 D ．－118．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝2，S 10＝6，则a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20等于( ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．24二、多选题9．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7a 8>1，7811a a -- <0.则下列结论正确的是( ) A ．0<q<1 B ．a 7a 9<1 C ．T n 的最大值为T 7 D ．S n 的最大值为S 7 10．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6＝8a 3，则( ) A ．数列{a n }的公比为2 B ．数列{a n }的公比为8 C.63S S ＝8 D ．63SS ＝9 11．下列说法正确的是（ ）A ．若{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，…仍为等差数列()k N *∈B ．若{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，仍为等比数列()k N *∈C ．若{}n a 为等差数列，10a >，0d <，则前n 项和n S 有最大值D ．若数列{}n a 满足21159,4n nn a a a a +=-+=，则121111222n a a a +++<--- 12．在数列{}n a 中，2a 和6a 是关于x 的一元二次方程240x bx -+=的两个根，下列说法正确的是（ ）A ．实数b 的取值范围是4b ≤-或4b ≥B ．若数列{}n a 为等差数列，则数列{}n a 的前7项和为4bC ．若数列{}n a 为等比数列且0b >，则42a =±D ．若数列{}n a 为等比数列且0b >，则26a a +的最小值为4 三、填空题13．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．14．设数列{a n }为公比q>1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________.15．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．16．等比数列{a n }中，若a 1＋a 3＋…＋a 99＝150，且公比q ＝2，则数列{a n }的前100项和为________． 四、解答题17．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13. (1)S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＝12na -； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．18．容器A 中盛有浓度为a%的农药m L ，容器B 中盛有浓度为b%的同种农药m L ，A ，B 两容器中农药的浓度差为20%(a>b)，先将A 中农药的14倒入B 中，混合均匀后，再由B 倒入一部分到A 中，恰好使A 中保持m L ，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?19．已知等差数列{}n a 中，22a =，156a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n S .20．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*n S nn N =∈，数列{}n b 满足12b=，()*1322,n n b b n n N -=+≥∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：数列{}1n b +是等比数列； （3）设数列{}n c 满足1nn n a c b =+，其前n 项和为n T ，证明：1n T <. 21．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n a S -=. （1）求n a 与n S ； （2）记21n nn b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .22．已知数列{}n a 满足：114a =，11230n n n n a a a a ++-+=. （Ⅰ）证明：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记()221n n n b a n =++，求使[][][][]1232020n b b b b ++++≤成立的最大正整数n的值.（其中，符号[]x 表示不超过x 的最大整数） 答案解析 一、单选题1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24 【答案】A【解析】由题意知(3x ＋3)2＝x(6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24. 2．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则57a a 等于( ) A.56 D ．65 C. 23 D ．32【答案】D【解析】公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q<1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5，a 4＋a 6＝qq ＝5. 解得q57a a ＝21q＝22⎛ ⎝⎭＝32. 3．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A ．100 B ．－100 C ．10 000 D ．－10 000 【答案】C【解析】∵a 3a 8a 13＝a 38，∴lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝3lg a 8＝6.∴a 8＝100.∴a 1a 15＝a 28＝10 000，故选C.4．在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( )A ．a 1＝1B ．a 3＝1C ．a 4＝1D ．a 5＝1 【答案】B【解析】由题意，可得a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝1，即(a 1·a 5)·(a 2·a 4)·a 3＝1，又因为a 1·a 5＝a 2·a 4＝a 23，所以a 53＝1，得a 3＝1.5．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【答案】C【解析】等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.6．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193 【答案】C【解析】设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由71112112a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-＝381，解得a 1＝192.7．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 2＋a 5＝0，则52S S 等于( ) A ．11 B ．5 C ．－8 D ．－11 【答案】D【解析】设{a n }的公比为q.因为8a 2＋a 5＝0. 所以8a 2＋a 2·q 3＝0.所以a 2(8＋q 3)＝0. 因为a 2≠0，所以q 3＝－8.所以q ＝－2.所以52S S ＝5121(1)1(1)1a q qa q q----＝5211q q --＝13214+-＝333-＝－11.故选D.8．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝2，S 10＝6，则a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20等于( ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．24【解析】选C 设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 2n －S n ＝q nS n ，所以S 10－S 5＝q 5S 5，所以6－2＝2q 5，所以q 5＝2，所以a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝a 1q 15＋a 2q 15＋a 3q 15＋a 4q 15＋a 5q 15＝q 15(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＝q 15S 5＝23×2＝16.二、多选题9．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7a 8>1，7811a a -- <0.则下列结论正确的是( ) A ．0<q<1 B ．a 7a 9<1C ．T n 的最大值为T 7D ．S n 的最大值为S 7 【答案】ABC【解析】 ∵a 1>1，a 7·a 8>1，7811a a --<0，∴a 7>1,0<a 8<1， ∴0<q<1，故A 正确． a 7a 9＝a 28<1，故B 正确；T 7是数列{T n }中的最大项，故C 正确；因为a 7>1，0<a 8<1，S n 的最大值不是S 7，故D 不正确；故选A 、B 、C.10．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6＝8a 3，则( ) A ．数列{a n }的公比为2 B ．数列{a n }的公比为8 C.63S S ＝8 D ．63SS ＝9 【答案】AD【解析】因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6＝8a 3，所以63a a ＝q 3＝8，解得q ＝2，所以63S S ＝611q q --＝1＋q 3＝9，故选A 、D.11．下列说法正确的是（ ）A ．若{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，…仍为等差数列()k N *∈B ．若{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，仍为等比数列()k N *∈C ．若{}n a 为等差数列，10a >，0d <，则前n 项和n S 有最大值D ．若数列{}n a 满足21159,4n n n a a a a +=-+=，则121111222n a a a +++<--- 【答案】ACD【解析】对于A 中，设数列{}n a 的公差为d ， 因为12k k S a a a =+++，2122k k k k k S S a a a ++-=+++，3221223k k k k k S S a a a ++-=+++，，可得()()()()22322k k k k k k k S S S S S S S k d k N *--=---==∈，所以k S ，2k k S S -，32k k S S -，构成等差数列，故A 正确；对于B 中，设数列{}n a 的公比为()0q q ≠，当1q =-时，取2k =，此时2120S a a =+=，此时不成等比数列，故B 错误； 对于C 中，当10a >，0d <时，等差数列为递减数列， 此时所有正数项的和为n S 的最大值，故C 正确；对于D 中，由2159n nn a a a +=-+，可得()()2135623n n n n n a a a a a +-=-+=-⋅-， 所以2n a ≠或3n a ≠， 则()()1111132332n n n n n a a a a a +==------，所以1111233n n n a a a +=----， 所以1212231111111111222333333n n n a a a a a a a a a ++++=-+-++---------- 1111111333n n a a a ++=-=----. 因为14a =，所以2159n nn n a a a a +=-+>，可得14n a +>，所以11113n a +-<-，故D 正确.故选：ACD12．在数列{}n a 中，2a 和6a 是关于x 的一元二次方程240x bx -+=的两个根，下列说法正确的是（ ）A ．实数b 的取值范围是4b ≤-或4b ≥B ．若数列{}n a 为等差数列，则数列{}n a 的前7项和为4bC ．若数列{}n a 为等比数列且0b >，则42a =±D ．若数列{}n a 为等比数列且0b >，则26a a +的最小值为4 【答案】AD【解析】对A ，240x bx -+=有两个根，24140b ∴∆=-⨯⨯≥，解得：4b ≤-或4b ≥，故A 正确； 对B ，若数列{}n a 为等差数列，2a 和6a 是关于x 的一元二次方程240x bx -+=的两个根， 26a a b ∴+=，则()()76712777222a a a S a b++===，故B 错误； 对C ，若数列{}n a 为等比数列且0b >，由韦达定理得：26264a a b a a +=⎧⎨⋅=⎩，可得：20a >，60a >，40a ∴>，由等比数列的性质得：2426a a a =⋅，即42a ===，故C 错误；对D ，由C 可知：24264a a a =⋅=，且20a >，60a >，264a a ∴+≥=，当且仅当262a a ==时，等号成立，故D 正确.故选AD.三、填空题13．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________． 【答案】3或27【解析】设此三数为3，a ，b ，则223(6)3a b a b=+⎧⎨-=⎩解得33a b =⎧⎨=⎩或15,27,a b =⎧⎨=⎩所以这个未知数为3或27.14．设数列{a n }为公比q>1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________. 【答案】18【解析】由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝54a a ＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝1322⎛⎫+⎪⎝⎭×32＝18. 15．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米． 【答案】2048【解析】这10个正方形的边长构成以2为公比的等比数列{a n }(1≤n≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝21122⎛⎫ ⎪⎝⎭＝211＝2 048.16．等比数列{a n }中，若a 1＋a 3＋…＋a 99＝150，且公比q ＝2，则数列{a n }的前100项和为________． 【答案】450 【解析】由241001399a a a a a a ++++++＝q ，q ＝2，得24100150a a a +++＝2⇒a 2＋a 4＋…＋a 100＝300，则数列{a n }的前100项的和S 100＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝150＋300＝450. 四、解答题17．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13. (1)S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＝12na -； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． 【解析】(1)证明：因为a n ＝13×13⎛⎫ ⎪⎝⎭n －1＝13n ， S n ＝111113331213nn ⎛⎫--⎪⎝⎭=-，所以S n ＝12n a -.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n)＝－(1)2n n +.所以{b n }的通项公式为b n ＝－(1)2n n +. 18．容器A 中盛有浓度为a%的农药m L ，容器B 中盛有浓度为b%的同种农药m L ，A ，B 两。
新课标高二数学理同步测试(9)(选修2-2第三章)
20．（14
分）已知：A、B
是
ABC
的两个内角，
m
cos
A
B 2
i
5 2
sin
A B 2
j
，
其中 i 、 j 为相互垂直的单位矢量．若 | m |
=
3
2 4
，试求
tanA·tanB
的值．
z:(1)
z
10 z
是实数，且1
z
10 z
6
．(2)z
的实部和虚部都是整数．
18．（12 分）设复数|z－i|=1,
且 z0,
z2i.
又复数 w 使
w w 2i
z 2i z
为实数，问复数 w 在
复平面上所对应的点 Z 的集合是什么图形，并说明理由．
19．（14 分）设虚数 z1,z2，满足 z12 z2 . （1）若 z1,z2 又是一个实系数一元二次方程的两根，求 z1, z2． （2）若 z1=1+mi(i 为虚数单位，m∈R), | z1 | 2 ,复数 w=z2+3,求|w|的取值范围．
A．圆
（） B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
7． 若 非 零 复 数
x, y 满 足
x2 xy y2 0 ,则
(
x
x
)2005 y
(
x
y
)2005 y
的
值
是
A． 1
（）
B． 1
C． 22004
D． 22004
8． 如 图 所 示 ， 复 平 面 内 有 RtΔ ABC， 其 中 ∠
人教版数学高二-高二同步综合测试2必修五
人教A 版必修五高中数学模块综合测试题及答案(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.数列0，1，0，-1，0，1，0，-1，…的一个通项公式是( ) A.21)1(+-n B.cos 2πn C.cos 2)1(π+n D.cos 2)2(π+n 2.(2006全国高考卷Ⅰ,理6文8)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.若a 、b 、c 成等比数列，且c=2a,则cosB 等于( ) A.41 B.43 C.42 D.32 3.在等比数列{a n }中，a 9+a 10=a(a≠0),a 19+a 20=b,则a 99+a 100等于( ) A.89a b B.(a b )9 C.910a b D.(ab )10 4.首项为2，公比为3的等比数列，从第n 项到第N 项的和为720，则n,N 的值分别是( )A.n=2,N=6B.n=2,N=8C.n=3,N=6D.n=3,N ＞65.设α、β是方程x 2-2x+k 2=0的两根，且α,α+β,β成等比数列，则k 为( )A.2B.4C.±4D.±26.等比数列{a n }中，前n 项和S n =3n +r ，则r 等于( )A.-1B.0C.1D.37.(2006高考辽宁卷，8)若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m 的范围是( )A.(1,2)B.(2,+∞)C.[3,+∞)D.(3,+∞)8.设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100，那么a n +b n 所组成的数列的第37项的值是( )A.0B.37C.100D.-379.(2006高考陕西卷，文9)已知函数f(x)=ax 2+2ax+4(a ＞0),若x 1＜x 2，x 1+x 2=0，则( )A.f(x 1)＜f(x 2)B.f(x 1)=f(x 2)C.f(x 1)＞f(x 2)D.f(x 1)与f(x 2)的大小不能确定10.数列{a n }中，a n ＞0且{a n a n+1}是公比为q(q ＞0)的等比数列，满足a n a n+1+a n+1a n+2＞a n +2a n+3(n ∈N *)，则公比q 的取值范围是( )A.0＜q ＜221+B.0＜q ＜251+ C.0＜q ＜221+- D.0＜q ＜251+- 11.在△ABC 中，tanAsin 2B=tanBsin 2A,那么△ABC 一定是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形12.某人从2002年起，每年1月1日到银行新存入a 元(一年定期)，若年利率为r 保持不变，且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2006年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为(单位为元)( )A.a(1+r)5B.ra ［(1+r)5-(1+r)］ C.a(1+r)6 D.r a ［(1+r)6-(1+r)］二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上)13.三角形两条边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2-7x-6=0的根，则此三角形的面积是____________________.14.数列{a n }的通项公式为a n =2n-49，S n 达到最小时，n 等于_______________.15.若关于x 的方程x 2-x+a=0和x 2-x+b=0的四个根可组成首项为41的等差数列，则a+b 的值是_______________.16.如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程就超过2 200 km ，如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它行驶同样的路程得花9天多的时间，这辆汽车原来每天行驶的路程(km)范围是________________.三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)在△ABC 中，已知tan(A+B)=1,且最长边为1,tanA ＞tanB,tanB=31，求角C 的大小及△ABC 最短边的长.18.(12分)写出数列13+2,13+6,13+12,13+20,13+30,…的一个通项公式，并验证2 563是否为数列中的一项.19.(12分)(2006高考全国卷Ⅱ，文17)在△ABC 中,∠B=45°,AC=10,cosC=552， (1)求BC 边的长;(2)记AB 的中点为D,求中线CD 的长..20.(12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1=1,a n+1=nn 2 S n (n=1,2,3，…)，证明 (1)数列{nS n }是等比数列； (2)S n+1=4a n .21.(12分)一个公差不为0的等差数列{a n }共有100项，首项为5，其第1、4、16项分别为正项等比数列{b n }的第1、3、5项.(1)求{a n }各项的和S ；(2)记{b n }的末项不大于2S ，求{b n }项数的最值N ； (3)记{a n }前n 项和为S n ，{b n }前N 项和为T n ，问是否存在自然数m ，使S m =T n .22.(14分)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1 t 需耗A 种矿石10 t ，B 种矿石5 t，煤4 t；生产乙种产品1 t 需耗A种矿石4 t，B种矿石4 t，煤9 t；每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t乙种产品的利润是1 000元，工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过3 00 t,B种矿石不超过200 t，煤不超过360 t .甲、乙两种产品各生产多少，能使利润总额达到最大？(准确到0.1 t)必修五高中数学人教A版模块综合测试答案1.解析：分别取n=1,2,3,4代入验证可得.答案：D2.解析:∵a 、b 、c 成等比数列,∴b 2=ac.又∵c=2a,∴b 2=2a 2.∴cosB=ac b c a 2222-+=2222424a a a a -+=43. 答案：B3.解析：∵a 19+a 20=a 9q 10+a 10q 10=q 10(a 9+a 10)(q 为公比)，∴q 10=1092019a a a a ++=ab . 又a 99+a 100=a 19q 80+a 20q 80=q 80(a 19+a 20)=(ab )8·b=89a b . 答案：A4.解析：∵S N -S n-1=720， ∴31)31(231)31(21------n N =720，即3N -3n-1=720. 将选项代入知N=6,n=3适合上述方程.答案：C5.解析：α+β=2，αβ=k 2,又(α+β)2=αβ，∴4=k 2.∴k=±2.答案：D6.解析：当n=1时，a 1=3+r ；当n≥2时，a n =S n -S n-1=2·3n-1,要使{a n }为等比数列，则3+r=2，即r=-1.答案：A7.解析:设A ＞B ＞C,则B=3π,A+C=32π,0＜C ＜6π,于是 m=c a =C A sin sin =C C C C C sin sin 21cos 23sin )32sin(+=-π=23cotC+21, ∵3＜cotC,∴m ＞2.答案：B8.解析：设{a n }的公差为d 1,{b n }的公差为d 2，则a n =a 1+(n-1)d 1,b n =b 1+(n-1)d 2.∴a n +b n =(a 1+b 1)+(n-1)(d 1+d 2).∴{a n +b n }也是等差数列.又a 1+b 1=100,a 2+b 2=100，∴{a n +b n }是常数列.故a 37+b 37=100.答案：C9.解析：函数f(x)=ax 2+2ax+4(a ＞0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为x=-1，a ＞0, ∴x 1+x 2=0,x 1与x 2的中点为0，x 1＜x 2.∴x 2到对称轴的距离大于x 1到对称轴的距离.∴f(x 1)＜f(x 2).答案：A10.解析：令n=1，不等式变为a 1a 2+a 2a 3＞a 3a 4，∴a 1a 2+a 1a 2q ＞a 1a 2q 2.∵a 1a 2＞0,∴1+q ＞q 2.解得0＜q ＜251+. 答案：B11.解析：由题意得sin2A=sin2B,则A=B 或A+B=2π. 答案：D12.解析：2002年1月1日到2002年12月31日的钱数为a(1+r)；2003年1月1日到2003年12月31日的钱数为［a(1+r)+a ］(1+r)；2004年1月1日到2004年12月31日的钱数为｛a ［(1+r)2+(1+r)］+a ｝(1+r)，即a ［(1+r)3+(1+r)2+(1+r)］；2005年1月1日到2005年12月31日的钱数为{a ［(1+r)3+(1+r)2+(1+r)］+a}(1+r)，即 a ［(1+r)4+(1+r)3+(1+r)2+(1+r)］，∴2006年1月1日可取回的钱数为 a×)1(1])1(1)[1(4r r r +-+-+=ra ［(1+r)5-(1+r)］. 答案：B13.解析：由5x 2-7x-6=0,得x 1=-53, x 2=2(舍去), ∴cosθ=-53,sinθ=54. ∴S=21×3×5×54=6 (cm 2). 答案：6 cm 214.解析：∵a n =2n-49,∴{a n }是等差数列，且首项为-47，公差为2.由⎩⎨⎧≤=>=0,49-1)-2(n a 0,49-2n a 1-n n 解得n=25.∴从第25项开始为正，前24项都为负数，故前24 项之和最小.答案：2415.解析：由题意知，首项为41，则第四项为43，则另两根应为41+61=125,41+61×2=127. ∴a=41×43=163,b=125×127=14435. ∴a+b=163+14435=7231. 答案：7231 16.解析：这辆汽车原来每天行驶的路程为x km ，则⎩⎨⎧+<>+19),8(x 12)-9(x 200, 219)8(x 解之,得 256＜x ＜260.答案：256＜x ＜26017.解：由已知得A+B=4π,C=43π.又tanA ＞tanB,∴B 是△ABC 的最小内角.又tanB=31,∴sinB=1010. ∵B b sin =C c sin ,∴b=Cc sin ·sinB=55. ∴C=43π,其最短边长为55. 18.解：该数列的一个通项公式为a n =13+n(n+1).令13+n(n+1)=2 563，则n 2+n-2 550=0，解得n=50或n=-51(舍).∴2 563是该数列的第50项.19.解：(1)由cosC=552得sinC=55,sinA=sin(180°-45°-C)=22(cosC-sinC)=1010. 由正弦定理知BC=B AC sin ·sinA=2210·1010=2. (2)AB=B AC sin ·sinC=2210·55=2. BD=21AB=1. 由余弦定理知CD=B BC BD BC BD cos 222••-+=132********=⨯⨯⨯-+ 20.证明：(1)a n+1=S n+1-S n ,a n+1=n n 2+S n ， ∴(n+2)S n =n(S n+1-S n ).整理得nS n+1=2(n+1)S n ,∴11++n S n =2nS n . 故{nS n }是以2为公比的等比数列. (2)由(1)知11++n S n =411--n S n (n≥2). 于是S n+1=4(n+1)11--n S n =4a n (n≥2). 又S 1=a 1=1,a 2=3S 1=3,故S 2=a 1+a 2=4=4a 1.因此对于任意整数n≥1，都有S n+1=4a n .21.解：设{a n }公差为d ，a 1=5,a 4=5+3d,a 16=5+15d 分别为{b n }的第1、3、5项, ∴(5+3d)2=5(5+15d)，得d=5或d=0(舍).(1)S=100×5+299100⨯×5=25 250. (2)∵b 1=a 1=5,b 3=a 4=20，∴q 2=13b b =4. ∴q=2或q=-2(舍),b n =5·2n-1.令5·2n-1≤225250， ∴2n ≤5 050.又212＜5 050＜213，即n ＜13,且212=4 096＜5 050,∴n 的最大值N=12.(3)设有S m =T n ,即5m+2)1(-m m ×5=5(212-1)，整理得m 2+m-8 190=0， ∴m=90＜100或m=-91(舍)，即存在m=90使S 90=T 12.22.解：设生产甲、乙两种产品分别为x t 、y t ，利润总额为z 元，那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,y 0,x 360,9y 4x 200,4y 5x 300,4y 10xz=600x+1 000y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)即可行域.作直线l ：600x+1 000y=0,即作直线l ：3x+5y=0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过平行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z=600x+1 000y 取最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+360,9y 4x 200,4y 5x 得M 的坐标为 x=29360≈12.4,y=291000≈34.5. 答：应生产甲产品约12.4吨，乙产品约34.5吨，能使利润总额达到最大。
新课标高二数学同步测试(2)—(2-1第二章2.1-2.3)
新课标高二数学同步测试（2）—（2－1第二章2.1－2.3）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +by 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（ ）2．已知椭圆222253n y m x +和双曲线222232ny m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ） A ．x ＝±y 215 B ．y ＝±x 215 C ．x ＝±y 43D ．y ＝±x 43 3．过抛物线y =ax 2（a ＞0）的焦点F 用一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于（ ）A ．2aB ．a21 C ．4a D ．a4 4．若椭圆)0(12222〉〉=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为（ ）A ．1716B ．17174 C ．54D ．552 5．椭圆31222y x +=1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是（ ）A ．±43B ．±23C ．±22D ．±43 6．设F 1和F 2为双曲线-42x y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是（ ）A ．1B ．25 C ．2D ．57．已知F 1、F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF 1⊥PF 2，e 1和e 2分别是椭圆和双曲线的离心率，则有 （ ）A ．221≥e eB ．42221≥+e eC ．2221≥+e eD ．2112221=+e e 8．已知方程1||2-m x +my -22=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．m<2B ．1<m<2C ．m<－1或1<m<2D ．m<－1或1<m<23 9．已知双曲线22a x －22b y =1和椭圆22m x +22by =1(a >0,m>b >0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m为边长的三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形10．椭圆13422=+y x 上有n 个不同的点: P 1, P 2, …, P n , 椭圆的右焦点为F. 数列｛|P n F|｝是公差大于1001的等差数列, 则n 的最大值是 （ ）A ．198B ．199C ．200D ．201 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．已知点（－2，3）与抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点的距离是5，则p =___ __．12．设圆过双曲线16922y x -=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 ．13．双曲线16922y x -＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为 ．14．若A 点坐标为（1，1），F 1是5x 2＋9y 2=45椭圆的左焦点，点P 是椭圆的动点，则|PA|＋|P F 1|的最小值是_______ ___．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）．15．（12分）已知F 1、F 2为双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°．求双曲线的渐近线方程．16．（12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，向量与OM 是共线向量．（1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点， 1F 、2F 分别是左、右焦点，求∠21QF F 的取值范围；17．（12分）如图椭圆12222=+by a x (a >b >0)的上顶点为A ，左顶点为B , F 为右焦点, 过F 作平行与AB的直线交椭圆于C 、D 两点. 作平行四边形OCED, E 恰在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若平行四边形OCED 的面积为6, 求椭圆方程．18．（12分）双曲线12222=-by a x (a >1,b >0)的焦距为2c,直线l 过点(a ,0)和(0,b ),且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥54c.求双曲线的离心率e 的取值范围．19．（14分）如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1.以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形，|AM |=17，|AN |=3，且|BN |=6.建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程图20．（14分）已知圆C 1的方程为(x －2)2+(y －1)2=320，椭圆C 2的方程为22a x +22by =1（a >b >0），C 2的离心率为22，如果C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程．参考答案一、1．D ；解析一：将方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +by 2=0转化为标准方程：x b ay b y a x -==+22222,111.因为a ＞b ＞0，因此，ab 11>＞0，所以有：椭圆的焦点在y 轴，抛物线的开口向左，得D 选项. 解析二：将方程ax +by 2=0中的y 换成－y ，其结果不变，即说明：ax +by 2=0的图形关于x 轴对称，排除B 、C ，又椭圆的焦点在y 轴.故选D.评述：本题考查椭圆与抛物线的基础知识，即标准方程与图形的基本关系.同时，考查了代数式的恒等变形及简单的逻辑推理能力.2．D ；解析：由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上，∴椭圆焦点（2253n m -，0），双曲线焦点（2232n m +，0），∴3m 2－5n 2=2m 2+3n 2∴m 2=8n 2又∵双曲线渐近线为y =±||2||6m n ⋅·x∴代入m 2=8n 2，|m |=22|n |，得y =±43x ．3．C ；解析：抛物线y =ax 2的标准式为x 2＝a 1y ，∴焦点F （0，a41）. 取特殊情况，即直线PQ 平行x 轴，则p =q . 如图，∵PF ＝PM ，∴p ＝a21，故a p p p q p 421111==+=+． 4．D ；5．A ；解析：由条件可得F 1（－3，0），PF 1的中点在y 轴上，∴P 坐标（3，y 0），又P 在31222y x +=1的椭圆上得y 0=±23，∴M 的坐标（0，±43），故选A . 评述：本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，中点坐标公式以及运算能力.6．A ；解法一：由双曲线方程知|F 1F 2|＝25，且双曲线是对称图形，假设P （x ，142-x ），由已知F 1P ⊥F 2 P ，有151451422-=+-⋅--x x x x ，即1145221,52422=-⋅⋅==x S x ，因此选A .评述：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、两条直线垂直的条件、三角形面积公式以及运算能力. 7．D ； 8．D ； 9．B ； 10．C ； 二、11．4；解析：∵抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点坐标是（2p，0），由两点间距离公式，得223)22(++p=5．解得p =4. 12．316；解析：如图8—15所示，设圆心P （x 0，y 0），则|x 0|＝2352+=+a c ＝4，代入16922y x -＝1，得y 02＝9716⨯，∴|OP |＝3162020=+y x ．评述：本题重点考查双曲线的对称性、两点间距离公式以及数形结合的思想. 13．516；解析：设|PF 1|＝M ，|PF 2|＝n （m ＞n ），a ＝3、b ＝4、c ＝5，∴m －n ＝６ m 2＋n 2＝4c 2，m 2＋n 2－（m －n ）2＝m 2＋n 2－（m 2＋n 2－2mn ）＝2mn ＝4×25－36＝64，mn ＝32. 又利用等面积法可得：2c ·y ＝mn ，∴y ＝516． 14．26-；三、15．解：（1）设F 2（c ，0）（c ＞0），P （c ，y 0），则2222b y a c -=1．解得y 0=±a b 2，∴|PF 2|=ab 2，在直角三角形PF 2F 1中，∠PF 1F 2=30°解法一：|F 1F 2|=3|PF 2|，即2c =ab 23，将c 2=a 2+b 2代入，解得b 2=2a 2解法二：|PF 1|=2|PF 2|，由双曲线定义可知|PF 1|－|PF 2|=2a ，得|PF 2|=2a .∵|PF 2|=a b 2，∴2a =a b 2，即b 2=2a 2，∴2=ab故所求双曲线的渐近线方程为y =±2x ．16．解：（1）∵a b y c x c F M M 21,),0,(=-=-则，∴acb k OM 2-=．∵OM a b k AB 与,-=是共线向量，∴ab ac b -=-2，∴b =c,故22=e ．（2）设1122121212,,,2,2,FQ r F Q r F QF r r a F F c θ==∠=∴+==22222221212122121212124()24cos 11022()2r r c r r r r c a a r r r r r r r r θ+-+--===-≥-=+当且仅当21r r =时，cos θ=0，∴θ]2,0[π∈．说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题．求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题．17．解：(Ⅰ) ∵焦点为F(c, 0), AB 斜率为a b , 故CD 方程为y=ab(x －c). 于椭圆联立后消去y 得2x 2－2c x －b 2=0. ∵CD 的中点为G(a bc c 2,2-), 点E(c, －a bc )在椭圆上, ∴将E(c, －abc)代入椭圆方程并整理得2c 2=a 2, ∴e =22=a c . (Ⅱ)由(Ⅰ)知CD 的方程为y=22(x －c), b =c, a =2c. 与椭圆联立消去y 得2x 2－2c x －c 2=0. ∵平行四边形OCED 的面积为 S=c|y C －y D |=22c D C D C x x x x 42-+）（=22c 6262222==+c c c , ∴c=2, a =2, b =2. 故椭圆方程为12422=+y x 18．解：直线l 的方程为bx +a y －ab =0.由点到直线的距离公式,且a >1,得到点(1,0)到直线l 的距离d 1 =22)1(ba ab +-．同理得到点(－1,0)到直线l 的距离d 2 =22)1(b a a b ++.s= d 1 +d 2=22b a ab +=cab2. 由s ≥54c,得cab 2≥54c,即5a 22a c -≥2c 2. 于是得512-e ≥2e 2.即4e 2－25e+25≤0.解不等式,得45≤e 2≤5. 由于e>1>0,所以e 的取值范围是525≤≤e . 19．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点.依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A 、B 分别为C 的端点.设曲线段C 的方程为，y 2=2px （p ＞0），（x A ≤x ≤x B ，y ＞0） 其中x A 、x B 分别为A 、B 的横坐标，p ＝|MN |．所以M （2p -，0），N （2p，0）由|AM |＝17，|AN |＝3得：（x A ＋2p ）2＋2px A ＝17①（x A 2p -）2＋2px A ＝9 ②由①②两式联立解得x A ＝p 4，再将其代入①式并由p >0，解得⎩⎨⎧==14A x p 或⎩⎨⎧==22A x p 因为△AMN 是锐角三角形，所以2p＞x A ，故舍去⎩⎨⎧==22A x p所以p ＝4，x A ＝1．由点B 在曲线段C 上，得x B ＝|BN |2p-＝4． 综上得曲线段C 的方程为y 2＝8x （1≤x ≤4，y ＞0）．解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点.作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F .设A （x A ，y A ）、B （x B ，y B ）、N （x N ，0） 依题意有x A ＝|ME |＝|DA |＝|AN |＝3，y A ＝|DM |＝22||||22=-DA AM由于△AMN 为锐角三角形，故有 x N ＝|ME |＋|EN |＝|ME |＋22||||AE AN -＝4，x B ＝|BF |＝|BN |＝6．设点P （x ，y ）是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合 ｛（x ，y ）|（x －x N ）2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y ＞0｝故曲线段C 的方程为y 2＝8（x －2）（3≤x ≤6，y ＞0）．评述：本题考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想，考查了抛物线的概念和性质、曲线和方程的关系以及综合运用知识的能力. 20．由e=22，得a c =22，a 2=2c 2,b 2=c 2． 设椭圆方程为222b x +22by =1．又设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)．由圆心为(2,1)，得x 1+x 2=4,y 1+y 2=2．又2212b x +221b y =1，2222b x +222b y =1，两式相减，得 222212b x x -+22221b y y -=0．∴1)(221212121-=++-=--y y x x x x y y∴直线AB 的方程为y －1= －(x －2)，即y= －x +3．将y= －x +3代入222b x +22by =1，得3x 2－12x +18－2b 2=0又直线AB 与椭圆C 2相交，∴Δ=24b 2－72>0． 由|AB |=2|x 1－x 2|=2212214)(x x x x -+=3202,得2·372242-b =320．解得 b 2=8，故所求椭圆方程为162x +82y =1．。
法与数乘运算》试题(新人教选修2-1).
新课标高二数学同步测试—（2－1第三章3.1）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=，11D A =，A A 1=.则下列向量中与MB 1相等的向量是（ ） A ．++-2121 B ．++2121C ．+-2121D ．+--21212．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是（ ）A ．--=2B ．OM 213151++=C ．=++MC MB MA 0D ．=+++OC OB OA OM 03．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，'5AA =，090BAD ∠=，''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（ ）A ．85BC．D ．50 4．与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）5．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB 与的夹角是（ ）A ．0B ．2πC ．πD ．32π 6．已知空间四边形ABCD 中，===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则=（ ） A ．213221+- B ．212132++-C ．212121-+D ．213232-+7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=∙=∙=∙AD AB ，AD AC ，AC AB ，则∆BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定8．空间四边形OABC 中，OB=OC ，∠AOB=∠AOC=600，则=（ ）A ．21B ．22 C ．-21 D ．09．已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则∆ABC 的面积为 （ ）A ．3B ．32C ．6D ．26 10． 已知),,2(),,1,1(t t t t t =--=，则||-的最小值为（ ）A ．55B ．555 C ．553 D ．511 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则b a ,为邻边的平行四边形的面积为 ． 12．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且GN MG 2=，现用基组{}OC OB OA ,,表示向量OG ，有OG =x OC z OB y OA ++，则x 、y 、z 的值分别为 ．13．已知点A(1，-2，11)、B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则∆ABC 的形状是 ． 14．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成1200的角，则k= ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)． 15．（12分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．16．（12分）如图在空间直角坐标系中BC =2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是（21,23，0），点D 在平面yOz 上，且∠BDC =90°，∠DCB =30°. （1）求向量OD 的坐标；（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值17．（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直．18．（12分）四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ={2，－1，－4}，AD ={4，2，0}，AP ={－1，2，－1}.（1）求证：P A ⊥底面ABCD ； （2）求四棱锥P —ABCD 的体积；（3）对于向量={x 1，y 1，z 1}，={x 2，y 2，z 2}，={x 3，y 3，z 3}，定义一种运算： （a ×b ）·c =x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1，试计算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的值；说明其与四棱锥P —ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的几何意义.．19．（14分）如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点. （1）求的长；（2）求cos<11,CB BA >的值； （3）求证：A 1B ⊥C 1M .20．（14分）如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°.（1）证明：C 1C ⊥BD ；（2）假定CD =2，CC 1=23，记面C 1BD 为α，面CBD 为β，求二面角α—BD —β的平面角的余弦值； （3）当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明.参考答案一、1．A ；解析：)(111BC BA A A BM B B MB +=+==c +b a +）=－21+21+．评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.2．A ；解析：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 既可．只有选项A ．3．B ；解析：只需将A A AD AB C A ++=，运用向量的内即运算即可，||C A =．4．C ；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即λ=⇔≠//,．5．C ；解析：||||cos b a ⋅=θ1．6．B ；解析：显然OM 32)(21-+=-=． 7．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形． 8．D ；解析：建立一组基向量,,，再来处理⋅的值．9．D ；解析：应用向量的运算，显然><⇒>=<AC AB ,sin ||||,cos ，从而得><=S ,sin ||||21． 10．C ； 二、11．56；解析：72||||,cos -=>=<b a ，得753,sin >=<，可得结果．12．OC OB OA 313161++； 解析：OM ON OA MN OA MG OM OG 313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+= 13．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：22214；解析：,cos <a 三、15．解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）． 由于M 为'BD 的中点，取''A C 中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）．根据空间两点距离公式，可得||MN ==．16．解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中,由∠BDC =90°,∠DCB =30°，BC =2，得BD =1，CD =3，∴DE =CD ·sin30°=23. OE =OB －BE =OB －BD ·cos60°=1－2121=.∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量OD [TX →]的坐标为{0，－23,21}. （2）依题意：}0,1,0{},0,1,0{},0,21,23{=-==OC OB OA ， 所以}0,2,0{},23,1,23{=-=--=-=. 设向量和BC 的夹角为θ，则cos θ222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅BC AD BC AD 1051-=. 17． 证：如图设321,,r r r ===，则,,,,,分别为121r ，)(2132r r +，)(2121r r +，321r ，)(2131r r +，221r ，由条件EH=GH=MN 得：223123212132)2()2()2(rr r r r r r r r -+=-+=-+ 展开得313221r r r r r r ⋅=⋅=⋅∴0)(231=-⋅r r r ，∵1r ≠，23r r -≠，∴1r ⊥（23r r -）即SA ⊥BC ． 同理可证SB ⊥AC ，SC ⊥AB ．18． （1）证明：∵AB AP ⋅=－2－2+4=0，∴AP ⊥AB . 又∵⋅=－4+4+0=0，∴AP ⊥AD .∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴AP ⊥底面ABCD . （2）解：设AB 与AD 的夹角为θ，则cos θ1053416161428||||=+⋅++-=⋅AD AB AD ABV =31|AB |·|AD |·sin θ·|AP |=161411059110532=++⋅-⋅ （3）解：|（AB ×）·|=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P —ABCD 体积的3倍.猜测：|（AB ×AD ）·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）.评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力. 19．如图，建立空间直角坐标系O —xyz . （1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2）BA={0，1，2，}，1BA ·1CB =3，∴cos<1BA ，1CB 30101||||1111=⋅CB BA . （3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1={－1，1，2}，M C 1={21,21，0}.∴B A 1·M C 1=－2121++0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M . 评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件. 20．（1）证明：设CB =a ，CD =b ，1CC =c ，则|a |=|b |，∵CB CD BD -==b －a ， ∴BD ·1CC =（－）·=·－·=||·||cos60°－||·||cos60°=0， ∴C 1C ⊥BD .（2）解：连AC 、BD ，设AC ∩BD =O ，连OC 1，则∠C 1OC 为二面角α—BD —β的平面角. ∵21)(21=+=CD BC CO（+），2111=-=CC CO O C （+）－∴CO ·211=OC （+）·［21（+）－］ =41（2+2·+2）－21·－21·=41（4+2·2·2cos60°+4）－21·2·23cos60°－21·2·23cos60°=23.则|CO |=3，|O C 1|=23，∴cos C 1OC 3311= （3）解：设1CC CD=x ，CD =2， 则CC 1=x 2.∵BD ⊥平面AA 1C 1C ，∴BD ⊥A 1C ∴只须求满足：D C C A 11⋅=0即可. 设A A 1=，AD =，DC =， ∵C A 1=a +b +c ，D C 1=a －c ，∴D C C A 11⋅=（a +b +c ）（a －c ）=a 2+a ·b －b ·c ， 令6－242x x -=0，得x =1或x =－32（舍去）. 评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.。
新课标高二数学理同步测试(7)(选修2-2第一章1.5-1.7)
3
A． xdx 2
B． 2x 2dx 1
1
C． xdx 0
D． 3x 1dx 2
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 6 分，共 24 分）．
11．将和式
lim( n n
1
1
n
1
2
.........
1 2n
)
表示为定积分
．
12．曲线 y x 2 , x 0, y 1 ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ．
A．［0， e 2 ］
B．［0，2］
C．［1，2］
D．［0，1］
8． 由 直 线 y x, y x 1， 及 ｘ 轴 围 成 平 面 图 形 的 面 积 为
（ ）
A． 011 y ydy
1
C．
2 0
1
y
y
dy
1
B．
2 0
x
1
x
dx
16．（12 分）求曲线 y x3 x 2 2x 与 x 轴所围成的图形的面积．
17．（12 分）求由抛物线 y 2 4ax 与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值.
18．（12 分）一物体按规律 x＝bt3 作直线运动，式中 x 为时间 t 内通过的距离，媒质的阻 力正比于速度的平方．试求物体由 x＝0 运动到 x＝a 时，阻力所作的功．
求所作之功（ｂ＞a）
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分)．
15．（12 分）计算下列定积分的值
（1） 3 (4x x 2 )dx ；（2） 2 (x 1)5 dx ；
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新课标高二数学同步测试（9）—（2－2第三章）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．方程2z +|z |=2+6i 的解的情况是（ ）A ．没有解B ．只有一解C ．有两解D ．多于两解2．已知z =x ＋y i (x ，y ∈R )，且 222log 8(1log )x y i x y i ++-=-，则z = （ ）A ．2＋iB ．1＋2iC ．2＋i 或1＋2iD ．无解 3．下列命题中正确的是（ ）A ．任意两复数均不能比较大小；B z =z ；C ．复数z 是纯虚数的充要条件是z +z =0；D ； 4．设)()11()11()(N n ii i i n f nn ∈+-+-+= （ ）A ．1B ．2 C5m （ ） A D ．复数无法比较大小 60的复数z 对应的点的轨迹是 （ ）A D ．抛物线720052005()y x y++的值是 （ ）A 2004D ．20042-8．点A 、B 、C 分别对应复数32z z z 、、，A ．i ±-3B ．i ±3C ．i 31±-D ．i 31±9．复数z 1＝a ＋2ｉ，z 2＝－2＋ｉ，如果|z 1|< |z 2|，则实数a 的取值范围是（ ）A ．－1<a <1B ．a >1C ．a >0D ．a <－1或a >110．如果复数z 满足|z ＋ｉ|＋|z －ｉ|＝2，那么|z ＋ｉ＋1|的最小值为______．A ．1B ．2C ．2D ．5二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．已知关于x 的实系数方程x 2－2a x+a 2－4a +4=0的两虚根为x 1、x 2，且|x 1|+|x 2|=3，则a的值为 ． 12．已知(2x －1)+i =y －(3－y )i ，其中x , y ∈R ，求x= ， y= ． 13．i ＋i 2＋i 3+……+i 2005= ．14．已知x 、y 、t ∈R ，t ≠－1且 t ≠0，求满足x ＋y i =1()1t t i t t+++时，点(x , y )的轨迹方程 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．15．（12分）设|z 1|＝5，|z 2|＝2, |z 1－z 2|＝1316．（m 2+3m －10)i ；（1）是实数；（2）是17．（z 10是实数，且6101≤+<zz ．(2)z18．（12分）设复数|z －i |=1, 且z ≠0, z ≠2i . 又复数w 使ziz i w w 22-⋅-为实数，问复数w 在复平面上所对应的点Z 的集合是什么图形，并说明理由．19．（14分）设虚数z 1,z 2，满足221z z =.（1）若z 1,z 2又是一个实系数一元二次方程的两根，求z 1, z 2． （2）若z 1=1+m i (i 为虚数单位，m ∈R), 2||1≤z ,复数w=z 2+3,求|w|的取值范围．20．（14分）已知：A 、B 是∆A BC 的两个内角，j B A i B A m 2sin 252cos→++→-=→， 其中→i 、→j 为相互垂直的单位矢量．若 | →m | =423，试求t a n A ·t a nB 的值．参考答案一、1．B ；2．C ；解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法．∵ 222log 8(1log )x yi x y i ++-=-，∴22280log 1log x yx y +⎧-=⎨=-⎩，∴32x y xy +=⎧⎨=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩或12x y =⎧⎨=⎩, ∴ z ＝2＋i 或z ＝1＋2i ．诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程） 3．B ；4．C ；解析：∵ n n i i n f )()(-+=∴ 0)3(,2)2(,0)1(=-==f f f ， ,2)4(=f ，∴ 集合{})(n f x x =中的元素为2,0,2-，选C ．；5．C ；解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法． ∵ m 2－(m 2－3m )i ＜(m 2－4m ＋3)i ＋10, 且虚数不能比较大小，∴2221030m m m m ⎧<⎪-=⎨⎪⎩，解得||100或3m m m <⎧⎪==⎨，∴ m =3. 当m ＝ 6．D 9．A A ；； 10．A A ；二、1113．i i ＋i 2＋i 2003＋i 2004)＋i 2005 =(i －1＋0＋……＋0+i ＝i .诠释：本题应抓住i n 的周期及合理分组．14．xy =1；解：此题主要考查复数相等的充要条件，轨迹方程的求法．∵ x ＋y i =1()1t t i t t +++，∴ 11t x tt y t ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪⎩， ∴xy =1,∴点(x，y)的轨迹方程为xy＝1，它是以x轴、y轴为对称轴，中心在(0，0)的等轴双曲线．三、15．【分析】利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解．【解】如图，设z1＝、z2＝后，则z1＝、z2＝如图所示．由图可知，|zz12|＝52，∠A OD＝∠BOC，由余弦定理得：cos∠A OD＝5213252222+-()××＝45∴cos16（（2）z为虚数，则虚部m2+3m－10≠0，即223100250m mm⎧+-≠⎨-≠⎩，解得m≠2且m≠±5. 当m≠2且m≠±5时，z为虚数．22223203100250m mm mm⎧--=⎪+-≠⎨⎪-≠⎩，xx解得m =－21, ∴当m =－21时，z 为纯虚数． 诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求． 17．分析与解答：设z =a +b i (a ,b ∈R,且a 2+b 2≠0). 则22)(101010b a bi a bi a bi a bi a z z +-++=+++=+i b a b b a a )101()101(2222+-+++=由(1)知z z 10+是实数，且6101≤+<zz , ∴ 0)101(22=+-ba b 即b=0或a 2+b 2=10. 又6)101(122≤+<a *当b=0当a 2由(2)∴ 18由题z ≠0, z ≠2i 且|z －i |=1, ∴ a ≠0, b ≠0且a 2+b 2－2b=0.222222222222222)2(2)2(2)2()2(2)2(2222b a ai y x xi y y x b a ai b b a y x xi y y x bia i bi a i yi x yi x z iz i w w u +-⋅-++-+=+--+⋅-++-+=+-+⋅-++=-⋅-=记已知u 为实数，∴ 02)2(2222222=+-⋅-+-+b a ay x y y x ，∵a ≠0, ∴ x 2+y 2－2y=0 即 x 2+(y －1)2=1.∴w 在复平面上所对应的点Z 的集合是以(0, 1)为圆心，1为半径的圆． 又∵ w －2i ≠0, ∴除去(0, 2)点．此题中的量比较多，由于是求w 对应点的集合，所以不妨设w 为x+y i (x,y ∈R), z =a +b i (a ,b ∈R).关于z 和w 还有一些限制条件，这些都对解题起着很重要的作用，千万不可大意．19．分析与解答：(1)∵z 1, z 2是一个实系数一元二次方程的两个虚根，因此必共轭， 可设z 1=a +b i (a ,b ∈R 且b ≠0),则z 2=a －b i , 由221z z = 得(a +b i )2=a －b i 即： a 2－b 2+2a b i =a －b i根据复数相等，⎩⎨⎧-==-b ab ab a 222∵b ≠0 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2321b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2321b a ，∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=i z iz 2321232121 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=i z i z 2321232121． (2)由于 221z z =，z 1=1+m i , w=z 2+3, ∴w=(1+m i )2+3=4－m 2+2m i . ∴ 12)2(4)4(||22222+-=+-=m m m w ,由于2|z |1≤且m ≠0, 可解得0<m 2≤1,令m 2=u, 12)2(||2+-=u w ,在u ∈(0,1)上，(u －2)2+12是减函数，∴||∈w 降低了难度，但在复数的基本概念、运算、复数与方程、复数 |2428∴cos(A －B)=45cos(A +B)．4 cos A ·cosB+4s i n A ·s i nB=5cos A ·cosB –5s i n A ·s i nB ，∴9s i n A ·s i nB= cos A ·cosB ． 又 A 、B 是∆A BC 的内角，∴ cos A ·cosB 0≠， ∴t a n A ·t a nB=91． 说明：本题将复数、三角、向量溶为一体，综合性较强．本卷由《100测评网》整理上传，专注于中小学生学业检测、练习与提升.。