高一数学-学习目标导航(概率的基本性质) 精品
高一数学人必修课件概率的基本性质
条件概率定义及计算方法
条件概率定义
在事件B发生的条件下，事件A发 生的概率，记作P(A|B)。
计算方法
P(A|B) = P(AB) / P(B)，其中 P(AB)表示事件A和事件B同时发 生的概率，P(B)表示事件B发生的 概率。
乘法公式推导与应用举例
乘法公式推导
由条件概率的定义可得P(AB) = P(A|B)P(B)，进一步推导可得P(ABC) = P(A|BC)P(BC) = P(A|BC)P(B|C)P(C)。
VS
意义
大数定律为概率论提供了坚实的理论基础 ，使得我们可以根据大量试验的结果来推 断某一事件的真实概率。同时，它也解释 了为什么在实际生活中，很多随机现象在 大量重复出现后会呈现出一种规律性。中心极限定理内容和意义
要点一
内容
中心极限定理是概率论和数理统计中的重要定理之一，它 指出当大量独立、同分布的随机变量之和进行标准化处理 后，其分布将趋近于标准正态分布。也就是说，不论原始 随机变量的分布如何，只要满足独立同分布的条件，其和 的分布都会呈现出正态分布的形状。
3
分布函数的性质
连续型随机变量的分布函数具有单调不减性、右 连续性以及取值范围在[0,1]之间。
04
数字特征与期望、方差、协方差和相关系 数
数学期望定义及计算方法
数学期望定义
数学期望是概率论和数理统计中重要的数字特征之一，用于描述随机变量取值的“平均值”或“期望 值”。对于离散型随机变量，数学期望是所有可能取值与其对应概率的乘积之和；对于连续型随机变 量，数学期望则是通过积分计算得到的。
计算方法
计算方差时，需要先求出随机变量的数学期望，然后计算每个取值与数学期望的差的平方，再求这些平方的平均 值。对于离散型随机变量，可以直接使用公式进行计算；对于连续型随机变量，则需要先求出概率密度函数，再 进行积分计算。
高一数学-高一数学概率的基本性质5 精品
3.1.3 概率的基本性质［学习目标导航］学习提示1.理解事件的包含关系、事件的相等、并事件（和事件）、交事件（积事件）、互斥事件、对立事件等基本概念.2.掌握概率的基本性质.重点是对基本概念及性质的理解，难点是性质的应用.［教材优化全析］全析提示我们知道，一个事件可能包含试验的多个结果，比如在掷骰子这个试验中，“出现的点数小于或等于3”这个事件就包含了“出现的点数为1”“出现的点数为2”“出现的点数为3”这3个结果，这样我们把每一个结果可看作元素，而每一个事件可看作一个集合，因此事件之间的关系及运算几乎等价于集合之间的关系与运算.构成事件的每一个结果看作元素，而每一个事件看作一个集合，那么事件间关系与运算类同于集合间关系与运算.对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B），记作B ⊇A（或A⊆B）.若B ⊇A，同时A⊇B，那么称事件A与事件B相等，记作A=B.事件A发生，则事件B发生，说明构成事件A的结果也在事件B中，故为子集关系.若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A 与事件B的并事件（或和事件），记作A∪B（或A+B）.并（和）事件的每一个结果都在事件A或事件B中，恰为集合的并集.若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A 与事件B的交事件（或积事件），记作A∩B（或AB）.事件A、B同时发生，即找两事件所包含的公共结果，即取交集.若A∩B为不可能事件（A∩B=∅），那么称事件A与事件B互斥. 事件A、B互斥，用集合观点就是A∩B=∅，但A∪B不一定等于U（U为全集）.若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件.事件A、B对立，即A∩B=∅，且A∪B=U.两个事件互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交.例如，从一堆产品（其中正品和次品都多于2件）中任取2件，其中：（1）“恰有一件次品和恰有两件次品”就是互斥事件；（2）“至少有一件次品和全是次品”就不是互斥事件；（3）“至少有一件次品和全是正品”也是互斥事件.再如，掷一个六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字的正方体玩具.事件A：向上的数字大于4，事件B：向上的数字小于3，两种事件不可能同时出现，则A、B是互斥事件；若事件A：向上的数字大于4，事件B：向上的数字为偶数，则A、B两事件不是互斥的，因为向上的数字为6时，既是事件A发生，又是事件B发生.判断两个事件是否互斥就是研究代表两个事件的集合有无公共部分，若有则一定不互斥，若没有则一定互斥.对于对立事件，从集合的角度看，由事件B所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.由互斥事件和对立事件的定义知，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.如掷正方体玩具向上的数字大于4（事件A）和向上的数字小于3（事件B）两个事件，A、B是互斥的但不是对立的，因为A、B两个事件可以都不发生.若事件A是向上的数字为偶数，事件B是向上的数字为奇数，则A、B是对立事件.对立事件就集合而言就是互为补集关系.互斥是对立的前提，对立必定互斥，但互斥不一定对立.概率的基本性质共有5条：应牢记概率的5条性质，［典型例题探究］【例1】某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.（1）A与C；（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C；（5）C与E.分析：利用互斥事件、对立事件的定义.解：（1）由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报，即事件A 与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.（2）事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件.由于事件B发生可导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件.（3）事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不互斥. 规律发现互斥事件是不可能同时发生的事件，而对立事件不仅不能同时发生而且必须有一个发生，故对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件.（4）事件B“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报”中有这些可能：“什么也不订”“只订甲报”“只订乙报”.由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件.只要找出各个事件包含的所有结果，它们之间能不能同时发生便很容易知道，这样便可判定两事件是否互斥.（5）由（4）的分析，事件E“一种报纸也不订”只是事件C的一种可在互斥的前提下，看两事规律总结1.学习时要搞清几个相联系的概念的意义，比如互斥事件、对立事件等，只有弄清事件之间的关系类型，才能做到准确利用公式．2.要记准一些符号及其意义，比如:事件A∪B，表示事件A与事件B中至少有一个发生，而我们往往会想当然地认为是事件A 与B 同时发生，事实上当A 与B 互斥时，它们不可能同时发生．3.要注重典型例题的学习，通过例题的学习加深对概念的理解，逐步掌握一些具体的解题方法．［知识应用自测］ 思路导引1.甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是21，乙获胜的概率是31，则甲不胜的概率是A.21 B.65 C.61 D.32 答案：B 解析：甲不胜即下成和棋或乙获胜，而下成和棋与乙获胜是两个互斥事件，故P =21+31=65，故选B. ←利用互斥事件概率公式. 2.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D.“至少有一个黑球”与“都是红球” 答案：C解析：A 中两个事件能同时发生故不互斥，同样B 中两个事件也不互斥，D 中两个事件是对立事件，故选C.←找出每个事件包含的所有可能结果，再利用互斥、对立事件的定义.3.抽查10件产品，设事件A ：至少有两件次品，则A 的对立事件为 A.至多两件次品 B.至多一件次品 C.至多两件正品 D.至少两件正品 答案：B解析：利用对立事件定义或利用补集思想.←利用补集思想.4.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量小于4.85 g 的概率为0.32，那么质量在［4.8，4.85）（g ）范围内的概率是A.0.62B.0.38C.0.02D.0.68 答案：C解析：设质量小于4.8 g 的事件为A ，质量小于4.85 g 的事件为B ，质量在［4.8，4.85）（g ）的事件为C ，则A ∪C =B ，则A 、C 为互斥事件.∴P （B ）=P （A ∪C ）=P （A ）+P （C ）. ∴P （C ）=P （B ）－P （A ）=0.32－0.3=0.02. 故选C .←找准事件之间的关系，套用相应公式.5.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03、丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为A.0.09B.0.98C.0.97D.0.96 答案：D解析：设“抽得正品”为事件A ，“抽得乙级品”为事件B ，“抽得丙级品”为事件C ，由题意，P （A ）=1－P （B ∪C ）=1－P （B ）－P （C ）=1－0.03－0.01=0.96，故选D.←利用对立事件概率公式.6.某射手射击一次击中10环、9环、8环的概率分别是0.3，0.3，0.2，←找准事件间的关系，合理利。
高一数学第七章概率知识点
高一数学第七章概率知识点概率是数学中的一个重要概念，研究随机事件发生的可能性大小。
在高一数学课程的第七章中，我们将学习概率的基本概念、计算方法以及与概率相关的统计分布。
本文将介绍一些重要的概率知识点，使读者对概率有一个初步的了解。
一、概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性大小的一种数值。
在实际问题中，随机事件可能有多个结果，每个结果发生的概率是不同的。
概率的取值范围是0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
二、事件的分类在概率问题中，我们可以将事件分为两类：互斥事件和不互斥事件。
当两个事件不能同时发生时，称这两个事件为互斥事件；当两个事件可以同时发生时，称这两个事件为不互斥事件。
三、概率的计算公式我们通过事件发生的次数与总次数之比来计算概率。
对于一个随机事件A，如果事件A发生的次数为n，总次数为N，那么事件A发生的概率可以表示为P(A) = n/N。
在计算概率时，我们需要注意事件的互斥性和相互独立性。
四、加法定理和条件概率加法定理是指对两个不互斥事件A和B，事件A或事件B发生的概率可以表示为P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A且B)。
条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，表示为P(A|B) = P(A且B)/P(B)。
条件概率是概率理论中一个重要的概念，常用于解决实际问题。
五、独立事件和相互依赖事件当事件A的发生与事件B的发生没有任何关系时，称事件A与事件B是独立事件；当事件A的发生与事件B的发生有关系时，称事件A与事件B是相互依赖事件。
对于独立事件，我们可以根据乘法定理来计算其概率。
六、排列组合与概率在概率问题中，我们常常需要考虑的是从一个集合中抽取若干个元素，形成一个子集合的问题。
这就涉及到排列和组合的问题。
排列是指从n个元素中取出m个元素，并且考虑元素的顺序；组合是指从n个元素中取出m个元素，但不考虑元素的顺序。
排列组合与概率密切相关，可以通过排列组合的方法来计算概率。
人教版高中数学高一必修三导学案第三课时 概率的基本性质1
高中数学-打印版精校版 第三课时 3.1.3 概率的基本性质（1）一、情境引入：1、集合有相等、包含关系，如{1，3}={3，1}，{2，4}⊂{2，3，4，5}等；2、在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C 1={出现1点}，C 2={出现2点}，C 3={出现1点或2点}，C 4={出现的点数为偶数}……问题：观察上例，类比集合与集合的关系、运算，你能发现事件的关系与运算吗？二、新课学习：1、事件的关系与运算（1）一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生，则事件B 发生，这时称事件 包含事件 。
（2）一般地，若B A ⊇，且A B ⊇，那么称事件A 与事件B ，记作 。
（3）若某事件发生当且仅当事件A 或事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的 (或 )，记作 。
（4）若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的 (或 )，记作 。
（5）若A ∩B 为不可能事件（A ∩B= ），那么称事件A 与事件B ，其含义是：（6）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为 事件，其含义是：2、概率事件的几个基本性质（1）由于事件的频数总是 试验的次数，所以频率在 之间，从而任何事件的概率在 之间，即： 。
（2）在每次试验中，必然事件 发生，因此它的频率为 ，从而必然事件的概率为 。
（3）在每次试验中，不可能事件一定不出现，因此它的频率为 ，从而不可能事件的概率为 。
（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式： ；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以 ，于是有 。
3、应用举例例1、从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张)中，任取一张。
判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，对立事件？并说明理由。
①“抽出红桃”与“抽出黑桃”；②“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；③“抽出的牌的点数是5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”。
高一数学-高一数学概率的基本性质2 精品
概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。
教学过程及教学情境设计:
问题
问题设计意图
师生活动
探究:在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C1={出现1点}，C2={出现2点}，C3={出现3点}，C4={出现4点}, C5={出现5点}, C6={出来6点}, D1={出来的点数不大于1}, D2={出现的点数大于3}, D3={出现的点数小于5}; E={出现的点数小于7}, F={出现的点数大于6}; G={出现的点数为偶数}, H={出现的点数为奇数}……
（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；
（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；
探究中与上面相对应概念的事件分别是哪些?
加深对各基本概念的理解
师:哪些事件是”事件的包含”:
生:如H事件包含C1事件等
师:哪些事件是”并(和)事件”?
生:如C1+C2={出现1点或5点}
师:哪些事件是”交事件”?
生:如D2D3=C4等
师:哪些事件是”互斥事件”?
生:如E和H,C1和C2等
师:哪些事件是”对立事件”?
生:如G与H互为对立事件
结合概念,你能说说互斥事件和对立事件的联系和区别吗?
加深对概念的理解
生:讨论后给出相应结论
师:互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
高中数学教学设计：概率的基本性质(1课时)教案
高中数学教学设计：概率的基本性质（1课时）教案一、教学目标学生经历用集合间的关系及运算类比得出事件间的关系及运算的教学过程，正确理解事件的包含关系，并事件、交事件、相等事件以及互斥事件、对立事件的概念，掌握概率的几个基本性质，会运用它们处理教材中的例、习题，进一步体会类比思想，提升理解能力，激发学习兴趣。
二、教学重点和难点重点：事件的关系及运算，概率的几个基本性质。
难点：事件的关系及概率运算，类比思想的渗透。
三、教学辅助骰子、多媒体课件四、教学过程1.问题导入前面我们学习了随机事件的频率与概率的意义，得知每天发生的事情具有随机性，难预测，比如今天我刚到数学组办公室，一位学生问了一题：已知集合是掷一颗骰子，出现向上的点数为，集合是掷一颗骰子，出现向上的点数为奇数，试判断它们间的关系。
你们愿意解答吗？有什么启示呢？学生解答后，把集合改为事件，事件出现向上的点数为，事件出现向上的点数为奇数并写出掷一颗骰子的其他事件。
我们的启示：类比集合的关系及运算研究事件的关系及运算，引出课题。
2.引导探究，发现概念与性质先让学生类比得出一些关系及运算并相互交流，再观看多媒体课件内容（教材的重点内容），加深对事件的关系及运算的理解，师生形成的共识如下：2.1事件的关系及运算2.1.1包含关系一般地，对于事件与事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或事件包含于事件）,记作(或)。
不可能事件记为，任何事件都包含不可能事件，。
2.1.2相等关系如果事件发生，那么事件一定发生，反过来也对，这时，我们说这两个事件相等，记作。
2.1.3并事件若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）。
2.1.4交事件若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件与事件的交事件（或积事件），记作（或）。
2.1.5互斥事件若为不可能事件（），那么称事件与事件互斥。
其含义是：事件与事件在任何一次试验中不会同时发生。
数学教案：概率的基本性质
一、教学目标1. 让学生理解概率的定义和基本性质。
2. 培养学生运用概率知识解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过合作交流，提高分析和解决问题的能力。
二、教学内容1. 概率的定义：随机事件A发生的可能性。
2. 概率的基本性质：a. 概率的范围：0 ≤P(A) ≤1b. 必然事件的概率：P(必然事件) = 1c. 不可能事件的概率：P(不可能事件) = 0d. 独立事件的概率：P(A∩B) = P(A) ×P(B)（A、B相互独立）三、教学重点与难点1. 教学重点：概率的定义及其基本性质。
2. 教学难点：概率的基本性质的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解概率的基本性质。
2. 运用案例分析法引导学生运用概率知识解决实际问题。
3. 组织小组讨论法，让学生合作交流，提高分析和解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过抛硬币、抽签等实例，引导学生认识概率的概念。
2. 讲解概率的定义：随机事件A发生的可能性称为事件A的概率，记作P(A)。
a. 概率的范围：0 ≤P(A) ≤1b. 必然事件的概率：P(必然事件) = 1c. 不可能事件的概率：P(不可能事件) = 0d. 独立事件的概率：P(A∩B) = P(A) ×P(B)（A、B相互独立）4. 案例分析：运用概率的基本性质解决实际问题，如计算彩票中奖概率、判断考试成绩等。
5. 小组讨论：让学生运用概率的基本性质，分析现实生活中遇到的概率问题，并进行交流分享。
6. 课堂小结：总结概率的基本性质及其应用。
7. 课后作业：布置相关练习题，巩固概率的基本性质。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对概率基本性质的理解程度。
2. 练习题：布置针对性的练习题，检查学生掌握概率基本性质的情况。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，了解他们运用概率知识解决实际问题的能力。
七、教学拓展1. 概率的运算规则：介绍概率的加法规则、乘法规则等。
概率的基本性质教案
概率的基本性质教案一、概率的定义概率是指某一事件发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数来表示。
其中，0表示不可能发生，1表示一定会发生。
二、概率的基本性质1. 非负性任何事件的概率都不会小于0，即P(A)≥0。
2. 规范性样本空间中所有事件的概率之和为1，即P(Ω)=1。
3. 可列可加性对于任意两个不相容事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。
4. 对立事件的概率对立事件是指在样本空间中，与某一事件A不相容的事件。
对于任意事件A，其对立事件为A‾，有P(A‾)=1−P(A)。
5. 加法公式对于任意两个事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)。
6. 乘法公式对于任意两个事件A和B，有P(A∩B)=P(A)⋅P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
三、概率的应用1. 排列组合排列和组合是概率计算中常用的方法。
排列是指从n个不同元素中取出m种不同的排列方式。
组合是指从n个不同元个元素进行排列，有A n m=n!(n−m)!种不同的组合方式。
素中取出m个元素进行组合，有C n m=n!m!(n−m)!2. 条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
设事件A和B是两个不相容事件，且P(A)≠0，则在事件A发生的条件下，事件B。
发生的概率为P(B|A)=P(A∩B)P(A)3. 独立事件独立事件是指两个事件之间互不影响，即P(A∩B)=P(A)⋅P(B)。
如果事件A和B是独立事件，则有P(B|A)=P(B)。
4. 贝叶斯公式贝叶斯公式是一种常用的概率计算方法，用于计算在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
设事件A和B是两个不相容事件，且P(A)≠0，则有P(B|A)=P(A|B)⋅P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，P(A|B)⋅P(B)+P(A|B‾)⋅P(B‾)事件A发生的概率。
四、练习题1.从一副扑克牌中随机抽取一张牌，求其为红桃的概率。
数学教案：概率的基本性质
数学教案：概率的基本性质教学目标：1. 理解概率的定义和基本性质；2. 学会计算简单事件的概率；3. 能够应用概率的基本性质解决实际问题。
教学重点：1. 概率的定义和基本性质；2. 计算简单事件的概率；3. 应用概率解决实际问题。
教学准备：1. 教学PPT或者黑板；2. 教学素材和练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入概率的概念，让学生回顾之前学过的随机事件和必然事件的定义；2. 提问：什么是概率？概率有哪些基本性质？二、概率的定义（10分钟）1. 讲解概率的定义：概率是衡量一个随机事件发生的可能性大小的数值；2. 强调概率的取值范围：概率的取值范围在0到1之间，即0≤P(A)≤1；3. 举例说明概率的计算方法。
三、计算简单事件的概率（10分钟）1. 讲解如何计算简单事件的概率：如果一个事件有n个等可能的结果，且这些结果都是互斥的，这个事件的概率就是1/n；2. 举例说明如何计算抛硬币、掷骰子等简单事件的概率；3. 让学生尝试计算一些简单事件的概率，并给予解答和反馈。
四、概率的基本性质（10分钟）1. 讲解概率的基本性质：互补性、独立性和全概率公式；2. 互补性：如果事件A和事件B是互斥的，事件A和事件B的概率之和为1，即P(A)+P(B)=1；3. 独立性：如果事件A和事件B是独立的，事件A和事件B发生的概率等于事件A的概率乘以事件B的概率，即P(A∩B)=P(A)×P(B)；4. 全概率公式：如果有一系列互斥的事件{B1,B2,…,Bn}，它们的概率之和为1，任意事件A的概率可以表示为P(A)=P(A∩B1)+P(A∩B2)+…+P(A∩Bn)。
五、应用概率解决实际问题（10分钟）1. 讲解如何应用概率解决实际问题，如概率论在赌博、保险、统计学等领域中的应用；2. 举例说明如何应用概率解决实际问题，如计算赌徒获胜的概率、保险公司赔付的概率等；3. 让学生尝试解决一些实际问题，并给予解答和反馈。
《概率的基本性质》课件
组合公式
C(n, r) = n! / (r! x (n - r)!)
结论
概率的基本性质包括非负性、规范性、单调性，以及加法公式和积法公式。 独立事件、条件概率、排列与组合等是概率理论的重要内容。
此外，概率理论还有许多其他实际应用，如风险评估、投资分析、模型预测 等。
排列与组合
• 排列是指从n个元素中选取r个元素，考虑元素顺序的不同排列方式。 • 组合是指从n个元素中选取r个元素，不考虑元素顺序的不同组合方式。
排列定义
从n个元素中选取r个 元素，考虑元素顺序 的不同排列方式。
组合定义
从n个元素中选取r个 元素，不考虑元素顺 序的不同组合方式。
排列公式
P(n, r) = n! / (n - r)!
独立事件
独立事件是指两个或多个事件之间相互不影响的事件。 • 独立事件的概率等于各事件概率的乘积。
独立事件举例
抛两个骰子，第一个骰子得到6的概率是1/6，第二个骰子得到4的概率也是1/6，两个事件 同时发生的概率为1/36。
独立事件公式
P(A and B) = P(A) x P(B)
条件概率
条件概率是在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。 • 条件概率公式：P(A|B) = P(A and B) / P(B) • 全概率公式：P(A) = P(A and B1) + P(A and B2) + ... + P(A and Bn) • 贝叶斯公式：P(Bi|A) = [P(A|Bi) x P(Bi)] / [P(A|B1) x P(B1) + P(A|B2) x P(B2) + ... + P(A|Bn) x P(Bn)]
几何概率
高中数学 3.1.3概率的基本性质目标导学 新人教A版必修3
3．1.3 概率的基本性质1．理解、掌握事件间的包含关系和相等关系．2．掌握事件的交、并运算，理解互斥事件和对立事件的概念及关系．3．掌握概率的性质，并能用之解决有关问题．1．事件的关系(1)包含关系．一般地，对于事件A与事件B，如果事件A____，则事件B一定____，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)，记作____(或A B)．不可能事件记作____，任何事件都包含不可能事件，即______．类比集合，事件B包含事件A可用图表示，如图所示．(2)相等关系．一般地，若______，且______，那么称事件A与事件B相等，记作A＝B．类比集合，事件A与事件B相等可用图表示，如图所示．【做一做1】同时抛掷两枚硬币，向上面都是正面为事件M，向上面至少有一枚是正面为事件N，则有( )A．M N B．M N C．M＝N D．M＜N2．事件的运算(1)并事件．若某事件C发生当且仅当事件A发生____事件B发生，则称此事件为事件A与事件B 的____(或和事件)，记作C＝______(或C＝A＋B)．类比集合的运算，事件A与事件B的并事件可用图表示，即如图所示的阴影部分．(2)交事件．若某事件C发生当且仅当事件A发生____事件B发生，则称此事件为事件A与事件B 的交事件(或积事件)，记作C＝______(或C＝AB)．类比集合，事件A与事件B的交事件可用图表示，即如图所示的阴影部分．(3)互斥事件．若A____B为______(A∩B＝)，那么称事件A与事件B互斥，其含义是，事件A与事件B在任何一次试验中______发生．①事件A、事件B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，即事件A与B 互不包含，A B，B A．②如果事件A与事件B是互斥事件，那么A与B这两个事件同时发生的概率为0.③与集合类比，可用图表示，如图所示．(4)对立事件．若A∩B为____事件，A∪B为____事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中______一个发生．①对立事件的特征：一次试验中，不会同时发生，且必有一个事件发生．②对立事件是特殊的互斥事件，即对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．③从集合角度看，事件A的对立事件，是全集中由事件A所含结果组成的集合的补集．【做一做2－1】抛掷一枚均匀的正方体骰子，事件P＝{向上的点数是1}，事件Q＝{向上的点数是3或4}，M＝{向上的点数是1或3}，则P∪Q＝__________，M∩Q＝__________.【做一做2－2】在30件产品中有28件一级品，2件二级品，从中任取3件，记“3件都是一级品”为事件A，则A的对立事件是__________．3．概率的几个性质(1)范围．任何事件的概率P(A)∈______.(2)必然事件的概率．必然事件的概率P(A)＝____.(3)不可能事件的概率．不可能事件的概率P(A)＝____.(4)概率加法公式．如果事件A与事件B互斥，则有P(A∪B)＝______.①事件A与事件B互斥，如果没有这一条件，加法公式将不能应用．②如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)，即彼此互斥事件和的概率等于其概率的和．③在求某些稍复杂的事件的概率时，可将其分解成一些概率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易．(5)对立事件的概率．若事件A与事件B互为对立事件，那么A∪B为必然事件，则有P(A∪B)＝______＋______＝1.①公式使用的前提必须是对立事件，否则不能使用此公式．②当一事件的概率不易直接求，但其对立事件的概率易求时，可运用此公式，即使用间接法求概率．【做一做3－1】事件A与B是对立事件，且P(A)＝0.6，则P(B)等于( )A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．1 【做一做3－2】已知P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，且A与B是互斥事件，则P(A∪B)＝__________.答案：1．(1)发生发生B A A(2)B A A B【做一做1】 A 事件N包含两种结果：向上面都是正面或向上面是一正一反．则当M 发生时，事件N一定发生．则有M N.2．(1)或并事件A∪B(2)且A∩B(3)∩不可能事件不会同时(4)不可能必然有且仅有【做一做2－1】 {向上的点数是1或3或4} {向上的点数是3}【做一做2－2】至少有一件是二级品3．(1)[0,1] (2)1 (3)0 (4)P(A)＋P(B) (5)P(A) P(B)【做一做3－1】 A P(B)＝1－P(A)＝0.4.【做一做3－2】 0.3 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3.1．若事件A与事件B不互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)不成立剖析：否定一个等式不成立，只需举出一个反例即可．例如：抛掷一枚均匀的正方体骰子，向上的点数是1或2或3或4或5或6为事件A，且A＝B，则A∪B表示向上的点数是1或2或3或4或5或6，则P(A)＝P(B)＝P(A∪B)＝1，P(A)＋P(B)＝1＋1＝2，所以此时P(A∪B)≠P(A)＋P(B)，即P(A∪B)＝P(A)＋P(B)不成立．上例中P(A∪B)＝P(A)＋P(B)不成立的原因是事件A与事件B不是互斥事件．其实对于任意事件A与B，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)(不要求证明也不要求会用)，那么当且仅当A∩B＝，即事件A与事件B是互斥事件时，P(A∩B)＝0，此时才有P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)成立．2．事件与集合之间的对应关系剖析：事件与集合之间的对应关系如下表：事件集合必然事件全集不可能事件()空集()事件B包含于事件A(B A)集合B包含于集合A(B A)事件B与事件A相等(B＝A)集合B与集合A相等(B＝A)事件B与事件A的并事件(B∪A)集合B与集合A的并集(B∪A)事件B与事件A的交事件(B∩A)集合B与集合A的交集(B∩A)事件B与事件A互斥(B∩A＝)集合B与集合A的交集为空集(B∩A＝)事件A的对立事件集合A的补集()题型一 判断互斥(对立事件)【例题1】 判断下列各事件是否是互斥事件，如果是互斥事件，那么是否是对立事件，并说明理由．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中： (1)恰有1名男生和恰有2名男生； (2)至少有1名男生和至少有1名女生； (3)至少有1名男生和全是女生．反思：判断互斥事件和对立事件时，主要用定义来判断．当两个事件不能同时发生时，这两个事件是互斥事件；当两个事件不能同时发生且必有一个发生时，这两个事件是对立事件．题型二 概率加法公式的应用 【例题2】 某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21，0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或7环的概率； (2)射中7环以下的概率．分析：(1)利用互斥事件的概率加法公式解决；(2)转化为求对立事件的概率． 反思：求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的并(如本题(1))，二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率(如本题(2))．题型三 易错辨析【例题3】 抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是16，记事件A 为“出现奇数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，求P (A ∪B )．错解：设向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点分别记为事件C 1，C 2，C 3，C 4，C 5，C 6，则它们两两是互斥事件，且A ＝C 1∪C 3∪C 5，B ＝C 1∪C 2∪C 3.P (C 1)＝P (C 2)＝P (C 3)＝P (C 4)＝P (C 5)＝P (C 6)＝16.则P (A )＝P (C 1∪C 3∪C 5)＝P (C 1)＋P (C 3)＋P (C 5)＝16＋16＋16＝12.P (B )＝P (C 1∪C 2∪C 3)＝P (C 1)＋P (C 2)＋P (C 3)＝16＋16＋16＝12.故P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋12＝1. 错因分析：错解的原因在于忽视了“和事件”概率公式应用的前提条件，由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事件，即出现1或3时，事件A ，B 同时发生，所以不能应用公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )求解．答案：【例题1】 解：(1)是互斥事件．理由是在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件．不是对立事件．理由是当选出的2名同学都是女生时，这两个事件都没有发生，所以不是对立事件．(2)不是互斥事件．理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”这两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”这两种结果，当选出的是1名男生、1名女生时，它们同时发生．这两个事件也不是对立事件．理由是这两个事件能同时发生，所以不是对立事件．(3)是互斥事件．理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”这两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生．是对立事件．理由是这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，所以是对立事件．【例题2】 解：(1)设“射中10环”为事件A ，“射中7环”为事件B ，则“射中10环或7环”的事件为A ∪B ，事件A 和事件B 是互斥事件，故P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.21＋0.28＝0.49，所以射中10环或7环的概率为0.49.(2)设“射中7环以下”为事件C ，“射中7环或8环或9环或10环”为事件D ， 则P (D )＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97.又事件C 和事件D 是对立事件，则P (C )＝1－P (D )＝1－0.97＝0.03.所以射中7环以下的概率是0.03.【例题3】 正解：记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A 1，A 2，A 3，A 4，由题意知这四个事件彼此互斥．则A ∪B ＝A 1∪A 2∪A 3∪A 4.故P (A ∪B )＝P (A 1∪A 2∪A 3∪A 4)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝16＋16＋16＋16＝23.1．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是( ) A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有两个红球2．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )A．60% B．30% C．10% D．50%3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，且已知P(A)＝0.65，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.34．一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件；哪些是对立事件．事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6,7,8,9,10环．5某公务员去外地开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4，求：(1)他乘火车或乘飞机去的概率；(2)他不乘轮船去的概率．答案：1．D A项中，若取出的3个球是3个红球，则这两个事件同时发生，故它们不是互斥事件，所以A项不符合题意；B项中，这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，则它们是互斥事件且是对立事件，所以B项不符合题意；C项中，若取出的3个球是1个红球2个白球时，它们同时发生，则它们不是互斥事件，所以C项不符合题意；D项中，这两个事件不能同时发生，是互斥事件，若取出的3个球都是红球，则它们都没有发生，故它们不是对立事件，所以D项符合题意．2．D 甲不输棋包含甲获胜或甲、乙两人下成和棋，则甲、乙两人下成和棋的概率为90%－40%＝50%.3．C 设抽到的不是一等品为事件B，则A与B不能同时发生，且必有一个发生，则A 与B是对立事件，故P(B)＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.4．分析：要判断所给的事件是对立事件还是互斥事件，首先要将这两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两个事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中必有一个发生．解：A与C互斥(不可能同时发生)，B与C互斥，C与D互斥．C与D是对立事件．5．解：设乘火车去开会为事件A，乘轮船去开会为事件B，乘汽车去为事件C，乘飞机去为事件D，它们彼此互斥，则P(A)＝0.3，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，P(D)＝0.4.(1)P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.(2)设不乘轮船去开会为事件E，则P(E)＝P(A∪C∪D)＝P(A)＋P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＋0.4＝0.8，另解：E与B是对立事件，则P(E)＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8.。
高一数学学案：3.1.3概率的基本性质
学习目标：1、通过掷骰子试验，体会试验中发生的事件，从中探讨并掌握事件的包含关系、相等关系。
2、用集合类比事件：从而引出“并事件”，“交事件”及“互斥事件”,“对立事件”等概念。
问题提出：1。
两个集合之间存在着包含与相等的关系,集合可以进行交、并、补运算,你还记得子集、等集、交集、并集和补集的含义及其符号表示吗?2. 我们可以把一次试验可能出现的结果看成一个集合（如连续抛掷两枚硬币），那么必然事件对应全集，随机事件对应子集,不可能事件对应空集，从而可以类比集合的关系与运算,分析事件之间的关系与运算,使我们对概率有进一步的理解和认识．知识探究（一）：事件的关系与运算在掷骰子试验中,我们用集合形式定义如下事件：C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C3＝｛出现3点｝，C4＝｛出现4点｝，C5＝{出现5点｝,C6＝｛出现6点｝，D1＝{出现的点数不大于1｝，D2＝｛出现的点数大于4｝，D3＝｛出现的点数小于6｝，E＝｛出现的点数小于7｝,F＝｛出现的点数大于6｝,G＝｛出现的点数为偶数｝，H＝｛出现的点数为奇数｝，等等。
思考1：上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？高＆考%资（源#网wxc］思考2：如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？在集合中,集合C1与这些集合之间的关系怎样描述？一般地，对于事件A与事件B，如果当事件A发生时，事件B一定发生，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）记为：特别地，不可能事件用Ф表示,它与任何事件的关系约定为，任何事件都包含不可能事件。
思考3：分析事件C1与事件D1之间的包含关系,按集合观点这两个事件之间的关系应怎样描述？一般地，当两个事件A、B满足：若B A,且A B，则称事件A 与事件B相等，记作思考4：如果事件C5发生或C6发生，就意味着哪个事件发生?反之成立吗?一般地,当且仅当事件A发生或事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作思考5：类似地，当且仅当事件A发生且事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的交事件（或积事件）,记作C=A ∩B（或AB）,在上述事件中能找出这样的例子吗?［来源:高＆考％资（源#网wxc]思考6：两个集合的交可能为空集,两个事件的交事件也可能为不可能事件,即A∩B＝，此时，称事件A与事件B互斥，那么在一次试验中，事件A与事件B互斥的含义怎样理解？在上述事件中能找出这样的例子吗？思考7：若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件,则称事件A与事件B互为，那么在一次试验中，事件A与事件B互为对立事件的含义怎样理解？在上述事件中能找出这样的例子吗?思考8：事件A与事件B的和事件、积事件,分别对应两个集合的并、交，那么事件A与事件B互为对立事件，对应的集合A、B是什么关系?思考9：若事件A与事件B相互对立,那么事件A与事件B互斥吗？反之，若事件A与事件B互斥，那么事件A与事件B相互对立吗?知识迁移:例1某射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环;事件C:命中环数小于6环；事件D:命中环数为6、7、8、9、10环．例2一个人打靶时连续射击两次事件“至少有一次中靶"的互斥事件是（）A.至多有一次中靶B。
高中数学新人教版A版精品教案《3.1.3 概率的基本性质》
（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：PA∪B= PA PB；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以PA∪B= PA PB=1，于是有PA=1—PB．
3、例题分析：
例1一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件哪些是对立事件
教
学
小
结
课后
反思
3
（2）在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C1={出现1点}，C2={出现2点}，C3={出现1点或2点}，C4={出现的点数为偶数}……
师生共同讨论：观察上例，类比集合与集合的关系、运算，你能发现事件的关系与运算吗？
2、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本P115；
（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；
解：记“出现奇数点或偶数点”为事件C,则C=A∪B,因为A、B是互斥事件，所以PC=PA PB= =1
答：出现奇数点或偶数点的概率为1
例3如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是 ，取到方块（事件B）的概率是 ，问：
（1）取到红色牌（率是多少？
通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习数学的情趣。
重点
概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。
难点
概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
一、情境设置，导入新课：
教学设计：
1、创设情境：（1）集合有相等、包含关系，如{1，3}={3，1}，{2，4}С{2，3，4，5}等；
高一数学概率的基本性质
到四川来，觉得此地人建造房屋最是经济。火烧过的砖，常常用来做柱子，孤零零的砌起四根砖柱，上面盖上一个木头架子，看上去瘦骨嶙嶙，单薄得可怜；但是顶上铺了瓦，四面编了竹篦墙，墙 上敷了泥灰，远远的看过去，没有人能说不像是座房子。我现在住的“雅舍”正是这样一座典型的房子。不消说，这房子有砖柱，有竹篦墙，一切特点都应有尽有。讲到住房，我的经验不算少，什么 “上支下摘”，“前廊后厦”，“一楼一底”，“三上三下”，“亭子间”，“茅草棚”，“琼楼玉宇”和“摩天大厦”各式各样，我都尝试过。我不论住在哪里，只要住得稍久，对那房子便发生感情， 非不得已我还舍不得搬。这“雅舍”，我初来时仅求其能蔽风雨，并不敢存奢望，现在住了两个多月，我的好感油然而生。虽然我已渐渐感觉它是并不能蔽风雨，因为有窗而无玻璃，风来则洞若凉亭， 有瓦而空隙不少，雨来则渗如滴漏。纵然不能蔽风雨，“雅舍”还是自有它的个性。有个性就可爱。
“亥去子归”，又是一个春秋的轮回，一场意想不到新冠病毒流行，把我们彻底关进楼房里，由于病毒的恶性传播，全国都进入了紧急状态，居家隔离个季节，不能出去赏梅，心理有些遗憾，但是，楼下的几株梅花，还是给了我不少的慰籍。看到一个个逆流而上的身影，奔赴武汉，支持武汉，听到来自武汉疫 区一个个感人的故事，我心绪难平，冬天再冷，风雪再肆虐，梅花不是一样在绽放吗？而战斗在武汉疫区的白衣天使们，不正如这风雪中绽放的梅花吗？梅雪争春，凌寒绽放，相信，我们一定会迎来战 胜疫情后，最美的春天。宝马线上娱城电子游戏
高一数学概率的基本性质
事件 的关系 和运算
概率的 几个基 本性质
3.1.3 概率的基本性质
一、 事件的关系和运算
事件 关系
事件 运算
3.事件的并 (或和) 4.事件的交 (或积) 5.事件的互斥 6.对立事件
1、投掷一枚硬币，考察正面还是反面朝上。 A={正面朝上} ，B={反面朝上}
A，B是对立事件
A∩C= “有4件次品”
B∩C =
3.1.3 概率的基本性质
二、概率的几个基本性质
（1）、对于任何事件的概率的范围是： 0≤P（A）≤1
其中不可能事件的概率是P（A）=0 必然事件的概率是P（A）=1
不可能事件与必然事件是一般事件的特殊情况
3.1.3 概率的基本性质
二、概率的几个基本性质
（2）、当事件A与事件B互斥时，A∪B的频率 fn(A∪B)= fn(A)+ fn(B)
求P（A∪B）
解法一： 因为P（A）=3/6=1/2，P（B）=3/6=1/2 所以P（A∪B）= P（A）+ P（B）=1
3、某检查员从一批产品中抽取8件进行检查，观察 其中的次品数 记：A =“次品数少于5件” ; B = “次品数恰有2件”
C = “次品数多于3件” ; D = “次品数至少有1件” 试写出下列事件的基本事件组成：
A∪ B ， A ∩C, B∩ C ;
A∪B = A ( A,B 中至少有一个发生）
A，B是互斥（事件）
2、某人对靶射击一次，观察命中环数 A =“命中偶数环” B =“命中奇数环” C =“命中 0 数环”
A，B是互斥 事件
A，Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ对立事件
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高一数学概率的基本性质1.doc
必修3学案 §3.1.3概率的基本性质 姓名 ☆学习目标：1.正确理解事件的包含,并,交, 相等事件, 以及互斥事件, 对立事件的概念；2. 理解并掌握概率的三个基本性质；3.正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系．☻知识情境：（1）必然事件：在条件S 下， 发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件；（2）不可能事件：在条件S 下， 发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下 的事件，叫相对于条件S 的随机事件； 探究：在掷骰子的试验中, 我们可以定义许多事件, 例如:C 1={出现1点}; C 2={出现2点}; C 3={出现3点};C 4={出现4点}; C 5={出现5点}; C 6={出现6点};D 1={出现的点数不大于1};D 2={出现的点数大于3}; D 3={出现的点数小于5};E={出现的点数小于7}; F={出现的点数大于6};G={出现的点数为偶数}; H={出现的点数为奇数}; ………………还能写出这个试验中出现的其他一些事件吗？类比集合与集合的关系、运算，你能发现它们之间的关系与运算吗？ ☻知识生成： 1.事件的关系与运算①对于事件A 与事件B , 如果事件A 发生,事件B 一定发生, 就称事件 包含事件 . (或称事件 包含于事件 ).记作A B , 或B A . 如上面试验中 与②如果B ⊇A 且A ⊇B , 称事件A 与事件B 相等.记作A B . 如上面试验中 与 ③如果事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生. 则称此事件为事件A 与事件B 的并. (或称和事件), 记作A ⋃B (或A +B ). 如上面试验中 与④如果事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生. 则称此事件为事件A 与事件B 的交. (或称积事件), 记作A ⋂B (或A ⨯B ). 如上面试验中 与⑤如果A ⋂B 为不可能事件(A ⋂B =∅), 那么称事件A 与事件B 互斥.其含意是: 事件A 与事件B 在任何一次实验中 同时发生.⑥如果A ⋂B 为不可能事件,且A ⋃B 为必然事件，称事件A 与事件B 互为对立事件. 其含意是: 事件A 与事件B 在任何一次实验中 发生.2. 概率的几个基本性质10.由于事件的频数总是小于或等于试验的次数. 所以, 频率在0~1之间, 从而任何事件的概 在0~1之间.即①必然事件的概率: ; ; ②不可能事件的概率: .20. 当事件A 与事件B 互斥时, A ⋃B 发生的频数等于A 发生的频数与B 发生的频数之和. 从而A ⋃B 的频率()()()n n n f A B f A f B ⋃=+. 由此得概率的加法公式:30.如果事件A 与事件B 互为对立, 那么, A ⋃B 为必然事件, 即()P A B ⋃=.因而:☆案例探究：例1一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6、7、8、9、10环. 分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚:互斥事件是指的两事件，而对立事件首先是互斥事件，并且两个事件中。