四川省雅安中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文---精校解析 Word版
四川省雅安市天全中学2017-2018学年高二下学期期中数学(文)试题 Word版含解析
2017-2018学年四川省雅安市天全中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内．1．函数y=的导数是（）A．y'=e x B．y'=lnx C．y′=D．y'=﹣x﹣22．函数f（x）=xlnx在点x=1处的导数为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．函数f（x）=﹣x3+x2+3x的单调递增区间为（）A．C．D．4．在复平面内，复数（2+i）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．下列中正确的是（）A．函数y=48x﹣x3有两个极值点B．函数y=x3﹣x2+x有两个极值点C．函数y=x3有且只有1个极值点D．函数y=e x﹣x无极值点6．若复数z=1﹣i，则（1+z）=（）A．3﹣i B．3+i C．1+3i D．37．已知函数y=f（x）的图象如图所示，则下列说法中错误的是（）A．f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递减B．f（x）在区间（1，4）上单调递增C．当4＜x＜7时，f′（x）＞0 D．当x=1时，f′（x）=08．设函数f（x）=+lnx，则（）A．为f（x）的极小值点B．x=2为f（x）的极大值点C．为f（x）的极大值点D．x=2为f（x）的极小值点9．若复数z满足zi=1+i，则z等于（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1+i10．若复数z=，则|z|=（）A．B．C．1 D．11．设a，b∈R，且i（a+i）=b﹣i，则a﹣b=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣212．函数f（x）=xcosx的导函数f′（x）在区间[﹣π，π]上的图象大致是（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知函数f（x）=3﹣8x+x2，且f′（x0）=﹣4，则x0=．14．设i为虚数单位，复数z=（a3﹣a）+i，（a∈R）为纯虚数，则a的值为．15．曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处的切线与y轴垂直，则a=．16．设x=2和x=﹣4是函数f（x）=x3+px2+qx的两个极值点，则p+q=．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．设i是虚数单位，复数z=．（Ⅰ）若z=，求实数k的值；（Ⅱ）若z为纯虚数，求复数z．18．如图，在四棱柱P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，E是棱PA的中点，PD⊥BC．求证：（Ⅰ）PC∥平面BED；（Ⅱ）△PBC是直角三角形．19．已知函数f（x）=x3+bx2+c．若x=﹣2时，f（x）有极大值0，求实数b，c的值．20．若直线y=t与函数y=x3﹣3x的图象有三个公共点，求实数t的取值范围．21．设函数f（x）=x3﹣3mx+n（m＞0）的极大值为6，极小值为2，求：（Ⅰ）实数m，n的值；（Ⅱ）f（x）在区间[0，3]上的最大值和最小值．22．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣x+（k＞0），（1）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当k≠1时，求函数f（x）的单调区间．2015-2016学年四川省雅安市天全中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内．1．函数y=的导数是（）A．y'=e x B．y'=lnx C．y′=D．y'=﹣x﹣2【分析】根据导数的运算公式即可得到结论．【解答】解：∵y=，∴y'=﹣x﹣2，故选：D【点评】本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础．2．函数f（x）=xlnx在点x=1处的导数为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】求出函数的导数，即可得到结论．【解答】解：函数的导数为f′（x）=lnx+x=1+lnx，在f′（1）=1+ln1=1，故选：C【点评】本题主要考查导数的计算，比较基础．3．函数f（x）=﹣x3+x2+3x的单调递增区间为（）A．C．D．【分析】令f′（x）＞0，解出即可．【解答】解：f′（x）=﹣x2+2x+3，令f′（x）＞0，解得﹣1＜x＜3．∴函数f（x）=﹣x3+x2+3x的单调递增区间为（﹣1，3）．故选：B．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础题．4．在复平面内，复数（2+i）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数（2+i）2=3+4i的点（3，4）位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．5．下列中正确的是（）A．函数y=48x﹣x3有两个极值点B．函数y=x3﹣x2+x有两个极值点C．函数y=x3有且只有1个极值点D．函数y=e x﹣x无极值点【分析】A．求出导数，求出y′=0，则x=±4，检验在x=±4处附近导数符号，即可判断；B．求出导数，由判别式小于0，即可判断；C．求出导数，由于y′=3x2≥0，即可判断；D．求出导数，y′=0，得x=0，检验在x=0处附近导数的符号，即可判断．【解答】解：A．函数y=48x﹣x3的导数y′=48﹣3x2，y′=0，则x=±4，在x=±4处附近导数符号异号，则均为极值点，故A正确；B．函数y=x3﹣x2+x的导数y′=3x2﹣2x+1，判别式△=4﹣12＜0，y′＞0，函数单调递增，故无极值，故B错；C．y=x3的导数y′=3x2≥0，函数单调递增，无极值，故C错；D．函数y=e x﹣x的导数y′=e x﹣1，y′=0，得x=0，在x=0处附近导数左负右正，故为极小值点，故D错．故选A．【点评】本题考查导数的运用：求函数的极值，注意判断导数在某点处的符号是否异号，属于基础题．6．若复数z=1﹣i，则（1+z）=（）A．3﹣i B．3+i C．1+3i D．3【分析】由题意可得=1+i，代入要求的式子化简可得．【解答】解：∵z=1﹣i，∴=1+i，∴（1+z）=（2﹣i）（1+i）=2﹣i2+i=3+i故选：B【点评】本题考查复数代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．7．已知函数y=f（x）的图象如图所示，则下列说法中错误的是（）A．f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递减B．f（x）在区间（1，4）上单调递增C．当4＜x＜7时，f′（x）＞0 D．当x=1时，f′（x）=0【分析】通过图象显然看出A，B的说法正确；x=1是f（x）的极值点，所以f′（1）=0，所以D的说法正确；并且看出当4＜x＜7时，函数f（x）单调递减，所以f′（x）＜0，所以C的说法错误．【解答】解：由图象可知：f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递减，在（1，4）上单调递增，x=1是f（x）的极值点，∴f′（1）=0，当4＜x＜7时，f（x）单调递减，∴f′（x）＜0；∴说法错误的是C．故选C．【点评】考查通过函数图象判断函数的单调性，函数极值点的概念，函数单调性和函数导数符号的关系．8．设函数f（x）=+lnx，则（）A．为f（x）的极小值点B．x=2为f（x）的极大值点C．为f（x）的极大值点D．x=2为f（x）的极小值点【分析】求导数f′（x），令f′（x）=0，得x=2可判断在2左右两侧导数符号，由极值点的定义可得结论．【解答】解：f′（x）=﹣=，当0＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时f′（x）＞0，所以x=2为f（x）的极小值点，故选：D．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，属基础题．9．若复数z满足zi=1+i，则z等于（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1+i【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵zi=1+i，∴﹣iiz=﹣i（1+i），化为z=﹣i+1．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．10．若复数z=，则|z|=（）A．B．C．1 D．【分析】首先对所给的式子进行整理，分子和分母同乘以分母的共轭复数1﹣i，这样分母变为一个实数，把复数写成a+bi的形式，即1+i，求出模长即可．【解答】解：∵复数z=====1+i，∴|z|==故选D．【点评】本题需要先对所给的复数式子整理，展开运算，得到a+bi的形式，则复数的模长可以代入公式得到结果，本题可以作为一个选择或填空出现在高考卷的前几个题目中．11．设a，b∈R，且i（a+i）=b﹣i，则a﹣b=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣2【分析】根据复数相等的定义建立条件关系即可得到结论．【解答】解：∵i（a+i）=b﹣i=﹣1+ai，∴a=﹣1，b=﹣1，则a﹣b=﹣1﹣（﹣1）=0，故选：C【点评】本题主要考查复数相等的应用，比较基础．12．函数f（x）=xcosx的导函数f′（x）在区间[﹣π，π]上的图象大致是（）A．B．C． D．【分析】判断一个函数在定区间上的图象形状，我们可以根据函数的解析式分析函数的性质，由函数f（x）=xcosx的解析式，我们求出导函数f′（x）的解析式，将x=0代入，判断是否经过原点，可以排除到两个答案，再利用导函数的最值，对剩余的两个答案进行判断，即可得到答案．【解答】解：∵f（x）=xcosx，∴f‘（x）=xcosx=cosx﹣xsinx，∵f‘（0）=1，可排除C、D；又∵f‘（x）在x=0处取最大值；故排除B故选A【点评】本题考查的知识点是函数的图象与图象的变化，其中分析函数的性质，及不同性质在图象上的表现是解答本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知函数f（x）=3﹣8x+x2，且f′（x0）=﹣4，则x0=2．【分析】求出f′（x）=﹣8+2x，由f′（x0）=﹣4，得到所求．【解答】解：∵函数f（x）=3﹣8x+x2，∴f′（x）=﹣8+2x，且f′（x0）=﹣4，∴﹣8+2x0=﹣4，解得x0=2；故答案为：2．【点评】本题考查了导数的运算，明确基本函数的导数是关键．14．设i为虚数单位，复数z=（a3﹣a）+i，（a∈R）为纯虚数，则a的值为﹣1．【分析】由已知复数为纯虚数，确定出a的值即可．【解答】解：∵设i为虚数单位，复数z=（a3﹣a）+i，（a∈R）为纯虚数，∴a3﹣a=0，且≠0，解得：a=﹣1或a=1（舍去）或a=0（舍去），则a的值为﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题考查了复数代数形式的混合运算，熟练掌握复数的性质是解本题的关键．15．曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处的切线与y轴垂直，则a=﹣2．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：函数的导数为f′（x）=4x3+2ax，则f′（﹣1）=﹣4﹣2a，∵y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处的切线与y轴垂直，∴y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处的切线导数f′（﹣1）=﹣4﹣2a=0，解得a=﹣2，故答案为：﹣2【点评】本题主要考查导数的几何意义，直线垂直斜率之间的关系是解决本题的关键．16．设x=2和x=﹣4是函数f（x）=x3+px2+qx的两个极值点，则p+q=﹣21．【分析】x=2和x=﹣4是函数f（x）=x3+px2+qx的两个极值点，则x=2和x=﹣4是函数f′（x）=3x2+2px+q的两个根，进而由韦达定理可得答案．【解答】解：x=2和x=﹣4是函数f（x）=x3+px2+qx的两个极值点，∴x=2和x=﹣4是函数f′（x）=3x2+2px+q的两个根，∴2+（﹣4）=﹣2=﹣，2×（﹣4）=﹣8=，解得：p=3，q=﹣24，故p+q=﹣21，故答案为：﹣21【点评】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，其中将极值问题转化为二次方程根的问题，是解答的关键．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．设i是虚数单位，复数z=．（Ⅰ）若z=，求实数k的值；（Ⅱ）若z为纯虚数，求复数z．【分析】根据复数的有关概念建立条件关系即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）由得，…（2分）从而，…（4分）根据复数相等可知．…（6分）（Ⅱ），…（8分）若z为纯虚数，则…（10分）解得k=2，从而z=i．…（12分）【点评】本题主要考查复数的有关概念的应用，比较基础．18．如图，在四棱柱P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，E是棱PA的中点，PD⊥BC．求证：（Ⅰ）PC∥平面BED；（Ⅱ）△PBC是直角三角形．【分析】（Ⅰ）先利用中位线的性质证明出OE∥PC，进而根据线面平行的判定定理证明出PC∥平面BDE．（Ⅱ）先利用线面垂直的判定定理证明出BC⊥平面PDC，进而根据线面垂直的性质推断出BC⊥PC，则△PBC的形状可判断．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接OE．在矩形ABCD中，AO=OC．因为AE=EP，所以OE∥PC．因为PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．（Ⅱ）在矩形ABCD中，BC⊥CD．因为PD⊥BC，CD∩PD=D，PD⊂平面PDC，DC⊂平面PDC，所以BC⊥平面PDC．因为PC⊂平面PDC，所以BC⊥PC．即△PBC是直角三角形．【点评】本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．19．已知函数f（x）=x3+bx2+c．若x=﹣2时，f（x）有极大值0，求实数b，c的值．【分析】求函数的导数，根据函数极值和导数之间的关系建立方程即可得到结论．【解答】解：由f（x）得f'（x）=3x2+2bx，由题意可知，即，解得．【点评】本题主要考查函数极值和导数之间的关系，建立方程组是解决本题的关键．20．若直线y=t与函数y=x3﹣3x的图象有三个公共点，求实数t的取值范围．【分析】利用导数研究函数y=x3﹣3x的图象与性质，求出函数在极大值与极小值，画出函数的图象，根据图象求出t的取值范围．【解答】解：∵y=x3﹣3x，∴y'=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），…（2分）∴当x∈（﹣∞，﹣1）或x∈（1，+∞）时，y'＞0，y=x3﹣3x为增函数；当x∈（﹣1，1）时，y'＜0，y=x3﹣3x为减函数；…（4分）∴当x=1时，y=x3﹣3x有极小值是13﹣3×1=﹣2；当x=﹣1时，y=x3﹣3x有极大值是（﹣1）3﹣3×（﹣1）=2；…（6分）画出图象，如图所示；由题意，结合图象得﹣2＜t＜2．…（10分）【点评】本题考查了利用导数研究函数的图象与性质的问题，解题时应画出函数的图象，结合图象解答问题，是中档题目．21．设函数f（x）=x3﹣3mx+n（m＞0）的极大值为6，极小值为2，求：（Ⅰ）实数m，n的值；（Ⅱ）f（x）在区间[0，3]上的最大值和最小值．【分析】（1）根据函数f（x）=x3﹣3mx+n（m＞0）的极大值为6，极小值为2，求导f′（x）=0，求得该函数的极值点x1，x2，并判断是极大值点x1，还是极小值点x2，代入f（x1）=6，f（x2）=2，解方程组可求得m，n的值．（Ⅱ）根据（Ⅰ）知f（x）=x3﹣3x+4，分别求出端点值，然后再和极值比较，得到最值．【解答】解：（I）由f（x）得f'（x）=3x2﹣3m，令f'（x）=0，即3x2﹣3m=0，得，∵函数f（x）=x3﹣3mx+n（m＞0）的极大值为6，极小值为2，∴f（）=2，f（）=6即，解得，（II）由（I）知f（x）=x3﹣3x+4，从而f（0）=03﹣3×0+4=4，f（3）=33﹣3×3+4=22，f（1）=13﹣3×1+4=2，所以f（x）有最小值2，有最大值22．【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件，以及求函数的最值的问题，属于基础题．22．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣x+（k＞0），（1）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当k≠1时，求函数f（x）的单调区间．【分析】（I）利用导数的几何意义可得切线的斜率，即可得出；（II），x∈（﹣1，+∞），通过对k分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：（I）当k=2时，f（x）=ln（1+x）﹣x+x2，，由于f（1）=ln2，，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，即3x﹣2y+2ln2﹣3=0．（II），x∈（﹣1，+∞）当0＜k＜1时，由，得x1=0，，∴在（﹣1，0）和上f'（x）＞0；在上f'（x）＜0，故f（x）在（﹣1，0）和单调递增，在单调递减．当k＞1时，，得，x2=0．∴在和（0，+∞）上f'（x）＞0；在上f'（x）＜0，故f（x）单调递增区间是和（0，+∞），减区间是．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性及其几何意义，考查了推理能力方法、推理能力与计算能力，属于难题．。
2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(文科)Word版含解析
2017-2018学年高二下学期期中试卷（文科数学）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意.）1．若命题“p 或q”为真，“非p”为真，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假2．已知命题p ：存在x 0＞0，使2＜1，则￢p 是（ ） A ．对任意x ＞0，都有2x ≥1B ．对任意x ≤0，都有2x ＜1C ．存在x 0＞0，使2≥1D ．存在x 0≤0，使2＜13．如果函数y=f （x ）的图象如图，那么导函数y=f′（x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．设f （x ）=x a ﹣ax （0＜a ＜1），则f （x ）在[0，+∞）内的极大值点x 0等于（ ）A ．0B ．aC ．1D ．1﹣a5．函数f （x ）=x 2﹣2lnx 的单调减区间是（ ）A ．（0，1]B ．[1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1]及（0，1]D ．[﹣1，0）及（0，1]6．已知函数f （x ）=x 2+2xf′（1），则f （﹣1）与f （1）的大小关系是（ ）A ．f （﹣1）=f （1）B ．f （﹣1）＞f （1）C ．f （﹣1）＜f （1）D ．不能确定7．已知椭圆+=1（m ＞0 ）的左焦点为F 1（﹣4，0），则m=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．98．抛物线y=x2的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣29．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A．B．C．或D．或10．已知△ABC的顶点B，C在椭圆+=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．10 B．20 C．8 D．1611．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=112．设f（x）=x3+bx2+cx+d，又k是一个常数，已知当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，现给出下列命题：①f（x）﹣4=0和f′（x）=0有一个相同的实根②f（x）=0和f′（x）=0有一个相同的实根③f（x）+3=0的任一实根大于f（x）﹣1=0的任一实根④f（x）+5=0的任一实根小于f（x）﹣2=0的任一实根．其中错误的命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．命题：“若a＞0，则a2＞0”的否命题是．14．若曲线+=1表示双曲线，则k的取值范围是．15．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是．16．已知条件p：x2﹣3x﹣4≤0；条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，若￢q是￢p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．18．求函数f（x）=x3﹣x2﹣8x+1（﹣6≤x≤6）的单调区间、极值．19．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．20．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．21．已知椭圆M：，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A（，1）在椭圆M上．直线l的斜率为，且与椭圆M交于B、C两点．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．22．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间．2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意.）1．若命题“p 或q”为真，“非p”为真，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假【考点】复合命题的真假．【分析】根据“非p”为真，得到p 假，根据命题“p 或q”为真，则p 真或q 真，从而得到答案．【解答】解：若命题“p 或q”为真，则p 真或q 真，若“非p”为真，则p 为假，∴p 假q 真，故选：B ．2．已知命题p ：存在x 0＞0，使2＜1，则￢p 是（ ） A ．对任意x ＞0，都有2x ≥1B ．对任意x ≤0，都有2x ＜1C ．存在x 0＞0，使2≥1D ．存在x 0≤0，使2＜1【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由全称命题和特称命题的关系和否定规律可得．【解答】解：∵命题p ：存在x 0＞0，使2＜1为特称命题，∴￢p 为全称命题，即对任意x ＞0，都有2x ≥1．故选：A3．如果函数y=f （x ）的图象如图，那么导函数y=f′（x ）的图象可能是（ ）A．B．C．D．【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】由y=f（x）的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负．【解答】解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，故选A．等于（）4．设f（x）=x a﹣ax（0＜a＜1），则f（x）在[0，+∞）内的极大值点xA．0 B．a C．1 D．1﹣a【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，推出极值点即可．【解答】解：令f′（x）=ax a﹣1﹣a=0（0＜a＜1），得x a﹣1=1，所以x=1．=1是函数f（x）在[0，+∞）内的极大值点．经验证，x故选：C．5．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（）A．（0，1] B．[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]及（0，1] D．[﹣1，0）及（0，1]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间，可以先算出函数f（x）=x2﹣2lnx的导数，再解不等式f′=（x）＜0，可得出函数的单调减区间．【解答】解：求出函数f（x）=x2﹣2lnx的导数：而函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间由f′（x）＜0，得（﹣1，1）因为函数的定义域为（0，+∞）所以函数的单调减区间为（0，1]故选A6．已知函数f（x）=x2+2xf′（1），则f（﹣1）与f（1）的大小关系是（）A．f（﹣1）=f（1）B．f（﹣1）＞f（1） C．f（﹣1）＜f（1） D．不能确定【考点】导数的运算．【分析】由f（x）的解析式，利用求导法则求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出f′（1）的值，从而确定出f（x）的解析式，然后分别把x等于1和﹣1代入即可求出f（1）和f（﹣1）的值，即可比较出大小．【解答】解：由f（x）=x2+2xf′（1），求导得f′（x）=2x+2f′（1），把x=1代入得：f′（1）=2+2f′（1），解得：f′（1）=﹣2，∴f（x）=x2﹣4x，∴f（﹣1）=（﹣1）2﹣4×（﹣1）=5，f（1）=12﹣4×1=﹣3，则f（﹣1）＞f（1）．故选B（﹣4，0），则m=（）7．已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1A．2 B．3 C．4 D．9【考点】椭圆的简单性质．（﹣4，0），可得25﹣m2=16，即可求出m．【分析】利用椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），【解答】解：∵椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1∴25﹣m2=16，∵m＞0，∴m=3，故选：B．8．抛物线y=x2的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2【考点】抛物线的简单性质．【分析】先化为抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：抛物线y=x2的标准方程为x2=4y，焦点在y轴上，2p=4，∴=1，∴准线方程 y=﹣=﹣1．故选：A．9．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A．B．C．或D．或【考点】圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质．【分析】先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a 和b，则c可求得，继而求得离心率．当m＜0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得．最后综合答案即可．【解答】解：依题意可知m=±=±4当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e==当m=﹣4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e=故选D10．已知△ABC的顶点B，C在椭圆+=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．10 B．20 C．8 D．16【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长【解答】解：由椭圆+=1，可知焦点在x轴，a=5，b=4，c=3，由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a=20，故选：B．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．12．设f（x）=x3+bx2+cx+d，又k是一个常数，已知当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，现给出下列命题：①f（x）﹣4=0和f′（x）=0有一个相同的实根②f（x）=0和f′（x）=0有一个相同的实根③f（x）+3=0的任一实根大于f（x）﹣1=0的任一实根④f（x）+5=0的任一实根小于f（x）﹣2=0的任一实根．其中错误的命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由已知中f（x）=x3+bx2+cx+d，当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0，分析出函数简单的图象和性质后，逐一分析四个结论的正误，即可得到答案．【解答】解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0故f（x）﹣4=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极大值点，故（1）正确；f（x）=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极小值点，故（2）正确；f（x）+3=0有一实根小于函数最小的零点，f（x）﹣1=0有三个实根均大于函数最小的零点，故（3）错误；f（x）+3=0有一实根小于函数最小的零点，f（x）﹣2=0有三个实根均大于函数最小的零点，故（4）错误；故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．命题：“若a＞0，则a2＞0”的否命题是若a≤0，则a2≤0 ．【考点】四种命题．【分析】写出命题的条件与结论，再根据否命题的定义求解．【解答】解：命题的条件是：a＞0，结论是：a2＞0．∴否命题是：若a≤0，则a2≤0．故答案是若a≤0，则a2≤0．14．若曲线+=1表示双曲线，则k的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）．【考点】双曲线的定义．【分析】根据双曲线的性质知，（4+k）（1﹣k）＜0，进而求得k的范围．【解答】解：要使方程为双曲线方程需（4+k）（1﹣k）＜0，即（k﹣1）（k+4）＞0，解得k＞1或k＜﹣4故答案为（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）15．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是﹣3 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，解方程可得答案．【解答】解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，∴y′=2ax﹣，∴，解得：，故a+b=﹣3，故答案为：﹣316．已知条件p：x2﹣3x﹣4≤0；条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，若￢q是￢p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是m≥4或m≤﹣4 ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别解关于p，q的不等式，求出￢q，￢p的关于x的取值范围，从而求出m的范围．【解答】解：∵条件p：x2﹣3x﹣4≤0；∴p：﹣1≤x≤4，∴￢p：x＞4或x＜﹣1，∵条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，∴q：3﹣|m|≤x≤3+|m|，∴￢q：x＞3+|m|或x＜3﹣|m|，若￢q是￢p的充分不必要条件，由m=0，显然不成立．则，解得：m≥4或m≤﹣4，故答案为：m≥4或m≤﹣4．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立，可得△=4a2﹣4×4＜0，﹣2＜a＜2．由命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，且a≠2，可得5﹣2a＞1，a＜2．由p∨q为真，p∧q为假，可得命题p与q必然一真一假．解出即可．【解答】解：命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立，∴△=4a2﹣4×4＜0，解得﹣2＜a＜2．命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，∴5﹣2a＞1，解得a＜2．∵p∨q为真，p∧q为假，∴命题p与q必然一真一假．当p真q假时，，且a≠2，此时a∈∅．当q真p假时，，且a≠2，解得a≤﹣2．综上可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．18．求函数f（x）=x3﹣x2﹣8x+1（﹣6≤x≤6）的单调区间、极值．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值．【解答】解：∵f（x）=x3﹣x2﹣8x+1，∴f′（x）=x2﹣2x﹣8，令f′（x）=0，得x=﹣2或x=4．当x∈（﹣6，﹣2）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2，4）时，f′（x）＜0；当x∈（4，6）时，f′（x）＞0．∴f（x）的递增区间为[﹣6，﹣2），（4，6]，递减区间为[﹣2，4]．当x=﹣2时，f（x）取得极大值f（﹣2）=；当x=4时，f（x）取得极小值f（4）=﹣．19．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．【考点】抛物线的标准方程．【分析】依题意，设抛物线方程为y2=2px，可求得过焦点且倾斜角为135°的直线方程为y=﹣x+p，利用抛物线的定义结合题意可求得p，从而可求得抛物线方程；同理可求抛物线方程为y2=﹣2px时的结果．【解答】解：如图所示，依题意，设抛物线方程为y2=2px，则直线方程为y=﹣x+p．设直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D．则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+，即x1++x2+=8．①又A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线和直线的交点，由消去y，得x2﹣3px+=0，∵△=9p2﹣4×=8p2＞0．∴x1+x2=3p．将其代入①得p=2，∴所求抛物线方程为y2=4x．当抛物线方程设为y2=﹣2px（p＞0）时，同理可求得抛物线方程为y2=﹣4x．故所求抛物线方程为y2=4x或y2=﹣4x．20．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件；绝对值不等式的解法．【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用￢p是￢q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，建立条件关系即可求出m的取值范围．【解答】解：由||=，得|x﹣4|≤6，即﹣6≤x﹣4≤6，∴﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∴q：1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，且等号不能同时取，∴，解得m≥9．21．已知椭圆M：，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A（，1）在椭圆M上．直线l的斜率为，且与椭圆M交于B、C两点．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）把点A代入椭圆方程，结合a=2解出b，则椭圆的标准方程可求；（Ⅱ）写出直线的点斜式方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0解出m的范围，求出相应的两个根，由点到直线的距离公式求出A到BC边的距离，写出面积后利用基本不等式求面积的最大值，验证得到的m值符合判别式大于0．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，解得．故所求椭圆方程为；（Ⅱ）设直线l的方程为，则m≠0．设B（x1，y1），C（x2，y2），代入椭圆方程并化简得，由△=2m2﹣4（m2﹣2）=2（4﹣m2）＞0，可得0＜m2＜4①．由①，得，故．又点A到BC的距离为，故=，当且仅当m2=4﹣m2，即m=时取等号，满足①式．所以△ABC面积的最大值为．22．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值；（Ⅱ）先求出函数h（x）的导数，通过讨论a的范围，从而得到函数的单调性．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），当a=1时，f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣=，x （0，1） 1 （1，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）极小∴f（x）在x=1处取得极小值1；（Ⅱ）h（x）=x+﹣alnx，h′（x）=1﹣﹣=，①当a+1＞0时，即a＞﹣1时，在（0，1+a）上，h′（x）＜0，在（1+a，+∞）上，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1+a）递减，在（1+a，+∞）递增；②当1+a≤0，即a≤﹣1时，在（0，+∞）上h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上递增．。
四川省雅安中学20172018学年高二数学下学期期中试题理
雅安中学2017—2018学年下期期中考试高二年级数学试题（理科）（本试卷满分150分，答题时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上,并检查条形码粘贴是否正确.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后，将答题卡收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. 已知集合},1{2a A =，}4,2{=B ，则“2=a ”是“A B ⋂=}4{”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 复数=-+ii11 A ．i -B ．iC ．1D ．1-3. 已知向量），（01,1=a ，)2,0,1(-=b ，且k ＋与-2互相垂直，则k 值是 A ．1B ．51C ．53 D ．57 4.在等比数列{}n a 中， 37,a a 是函数()3214913f x x x x =++-的极值点，则5a = A ．3± B ． -3C ．3D ．45.正方体1111ABCD A B C D 中,1DA 与平面11C CA 所成角的正弦值为A ．12B 2 3D 36.若函数x kx x f ln )(-=在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是 A ．]2,(--∞B ．)1,(--∞C ．),1(+∞D ．[)1,+∞7.若函数2()1x af x x +=+在1x =处取极值,则a =A ．1B ．2C ．3D ．-38. 棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AA 1中点，则点B 1到平面BCE 的距离是9.已知函数)()(23R x c x ax x x f ∈+-+=，下列结论错误的是 A.函数)(x f 一定存在极大值和极小值B.若函数)(x f 在),(),,(21+∞-∞x x 上是增函数，则33212≥-x xC.函数)(x f 的值域是RD.函数)(x f 一定存在三个零点 10. 如图， AB 是O 的直径，PA 垂直于O 所在平面， C 是圆周上不同于,A B 两点的一点，且2AB =， 3PA BC ==，则二面角A BC P --的大小为11. 直线l 的方程为Ax ＋By ＝0，若从1,2,3,6,7,8这六个数字中每次取两个不同的数作为A 、B 的值，则表示不同直线l 的条数是 12. 定义在R 上的函数()f x 与其导函数()f x '满足()()1xf x f x e ->'+，则下列不等式一定成立的是A ． 552 B ．45 C ．22 D ． 1A ．30︒ C ．60︒B ．45︒ D ．90︒A ．36条B ．30条C ．26条D ．15条A ．()()01f e ef +< B.()()01f e ef +> C ．()()01f e f +< D ．()()01f e f +>二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.长方体1111ABCD A B C D -中， 12AA AB ==， 1AD =，点E 、F 、 G 分别是1DD 、AB 、1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角为 .14.用红、黄、蓝三种不同的颜色涂33⨯方格，使得每行没有相同颜色且每列也没有相同颜色的涂法种数是_______（用数字作答）. 15.函数xex x f 1ln )(+=的单调递增区间是_________. 16.若函数1ln 21)(2+-=x x x f 在其定义域内的一个区间)1,1(+-k k 上不是单调函数，则实数k 的取值范围是__________．三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(10分)若复数z 满足)2(z i z -=， （1）求复数z ;（2）求|2|i z +-18．(12分) 已知函数3()f x ax bx c =++的图像关于原点对称,且过点(1,1),(2,26). (1)求()f x 的解析式; (2)函数()f x 的单调区间;(3)求函数()f x 在]1,1[-上的最小值.19．(12分) 已知矩形ABCD ，22AD AB ==，点E 是AD 的中点，将DEC ∆沿CE 折起到D EC '∆的位置，使二面角D EC B '--是直二面角.（1）证明：BE CD '⊥；（2）求二面角D BC E '--的余弦值.20．(12分).在四棱锥ABCD P -中，ABP ∆是等边三角形，底面ABCD 是直角梯形，BC AD AD AB //,⊥，E 是线段AB 的中点，⊥PE 底面ABCD ，已知22===BC AB DA .（1）求AP 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）试在平面PCD 上找一点M ，使得⊥EM 平面PCD .21．(12分)已知函数()ln f x x ax =-在2x =处的切线l 与直线230x y +-=平行． （1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程()22f x m x x +=-在]2,21[上恰有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围.22．（12分）设函数()1e x f x -=-． （1）证明：当1x >-时，()1xf x x ≥+； （2）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求实数a 的取值范围雅安中学2017—2018学年下期期中考试高二年级数学试题参考答案（理科）一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABDBADCADCCA二、填空题13、90； 14、12； 15、),1(+∞； 16、)23,1[. 三、解答题17、（1）i +1； （2）5. 18、（1）x x x f 34)(3-=；（2）在),21(),21,(+∞--∞上递增，在)21,21(-上递减； （3）最小值1)21()1()(-==-=f f x f . 19、（1）∵22AD AB ==，E 是AD 的中点，∴BAE ∆，CDE ∆是等腰直角三角形， ∴90BEC ∠=，即BE EC ⊥， 又∵平面D EC '⊥平面BEC ，平面D EC '平面BEC EC =，∴BE ⊥平面D EC '，∴BE CD '⊥；（2）如图，以EB ，EC 为x 轴、y 轴，过点E 且垂直于平面BEC 的射线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，22(0,,)22D '， 易知平面BEC 的一个法向量为1(0,0,1)n =； 设平面D BC '的一个法向量为2222(,,)n x y z =， 由(2,2,0)BC =-，22(0,,)22D C '=-，求得2(1,1,1)n =，∴1212123cos ,3||||n n n n n n ⋅<>==，∴二面角D BC E '--的余弦值为33. 20、（1）因为⊥PE 底面ABCD ，过E 作BC ES //，则AB ES ⊥，以EB 、EP ES 、分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则)0,0,0(E ，)0,0,1(B ，)0,1,1(C ，)0,0,1(-A ，)0,2,1(-D ，)3,0,0(P ，),3,1,1(),0,1,2(-=-=∴PC CD求得平面PCD 的法向量为)3,2,1(=m ，而)3,0,1(=∴AP ，22|48301||,cos |=⋅++=><∴m AP ∴AP 与平面PCD 所成角的正弦值为22（2）设M （x ，y ，z ），由⊥EM 平面PCD 知m EM //，)3,2,(λλλλ==∴m EM ，)3,2,(λλλM ∴,)3,12,1(λλλ--=∴CM ,又),3,1,1(),0,1,2(--=-=CP CD CM CP CD 、、共面， ∴存在唯一实数b a 、使得CP b CD a CM +=，而)3,,2(b b a b a CP b CD a ---=+，⎪⎩⎪⎨⎧=-=---=-∴bb a ba 331221λλλ，解得83=λ，)833,86,83(M ∴符合题意.21、（1）()1'f x a x=- ∵函数在2x =处的切线与直线230x y +-=平行 ∴1122k a =-=-，解得： 1a =；（2）由（1）得()lnf x x x=-，∴()22f x m x x+=-，即23ln0x x x m-++=设()23ln(0)h x x x x m x=-++>，则()()()22111231'23x xx xh x xx x x---+=-+==列表得：∴当时，()h x的极小值为()12h m=-，又()15ln2,22ln224h m h m⎛⎫=--=-+⎪⎝⎭∵方程()22f x m x x+=-在]2,21[上恰有两个不相等的实数根，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≥)2()1()21(hhh,解得：5ln224m+≤<；22、（1）证明：注意到1x>-时，10x+>，于是有()1xf xx≥+，即11e1e e e1111x x x xx xxx x x----≥⇔-≥⇔≥⇔≥++++. 令()()e1xg x x=-+，()1x∈-+∞，．()e1xg x'=-，令()0g x'=，得0x=．当x变化时，()()g x g x'，的变化情况如下表：x()1 0-，0()0+∞，()g x'-0+()g x可见()g x 在(]10-，上单调递减，在[)0 +∞，上单调递增，所以当1x >-时， ()()0min 0e 100g g ==-+=，故当1x >-时，()()00g x g ≥=，即e 1x x ≥+，从而()1xf x x ≥+，且当且仅当0x =时等号成立． （2）解：由0x ≥时，011x xe ax -≥-≤+恒成立，故0a ≥. 设()+e 11x xh x ax -=-+，[)0 x ∈+∞，， 则()()()2211ee11xxax axh x ax ax --+-'=-=-++()()22e e 11xx ax ax -⎡⎤=-+⎣⎦+． 设()()2e 1x k x ax =-+，[)0 x ∈+∞，， 则()()2e 21e 22x x k x a ax a x a '=-+=--.()012k a '=- 当120a -≥，即102a ≤≤时，()22x k x e a ''=-，0x ≥时，1x e ≥，2122a ≤，故()0k x ''≥.所以()k x '单调递增，()()00k x k ''≥=，故()k x 单调递增，()()00k x k ≥=恒成立，符合题意.当120a -<，即12a >时，存在0δ>，()0,x δ∈时，()0k x '<，()k x 单调递减， ()()00k x k <=，与()0k x ≥恒成立矛盾.综合上述得实数a 的取值范围是10 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．。
四川省雅安中学2017-2018学年高二下学期9月月考数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年四川省雅安中学高二（下）月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i3．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=﹣2，c=3 B．b=﹣2，c=2 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣14．若（m2﹣5m+4）+（m2﹣2m）i＞0，则实数m的值为（）A．1 B．0或2 C．2 D．05．下列说法正确的是（）A．类比推理是由特殊到一般的推理B．演绎推理是特殊到一般的推理C．归纳推理是个别到一般的推理D．合情推理可以作为证明的步骤6．设f（x）存在导函数且满足=﹣1，则曲线y=f（x）上的点（1，f（1））处的切线的斜率为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．27．函数f（x）的定义域为（a，b），其导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在区间（a，b）内极小值点的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．18．函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+4的单调递减区间是（）A．（﹣3，1）B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣1，3）D．（3，+∞）9．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+3=0垂直，则a=（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣10．曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．11．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．B．1 C．D．212．已知函数f（x）=，给出下列结论：①（1，+∞）是f（x）的单调递减区间；②当k∈（﹣∞，）时，直线y=k与y=f（x）的图象有两个不同交点；③函数y=f（x）的图象与y=x2+1的图象没有公共点．其中正确结论的序号是（）A．①②③ B．①③C．①②D．②③二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=．14．函数f（x）=x﹣lnx的单调减区间为．15．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C=，则经过h后池水中药品的浓度达到最大．16．若直线l与曲线C满足下列两个条件：（i）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ii）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C，下列正确的是（写出所有正确的编号）．①直线l：y=x+1在点P（0，1）处“切过”曲线C：y=e x②直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx③直线l：y=﹣x+π在点P（π，0）处“切过”曲线C：y=sinx④直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3．三．解答题（本大题共6小题，共70分）17．计算：（1）（4﹣i5）（6+2i7）+（7+i11）（4﹣3i）；（2）．18．已知复数z=m（m﹣1）+（m2+2m﹣3）i，当实数m取什么值时，复数z是：（1）零；（2）纯虚数；（3）z=2+5i；（4）表示复数z对应的点在第四象限．19．在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线l：ρsin（θ﹣）=．（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的极坐标．20．为了保护环境，某工厂在政府部门的支持下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品．（Ⅰ）当x∈[30，50]时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不亏损？（Ⅱ）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少．21．已知函数f（x）=﹣x3+x2﹣2x（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为﹣4，求a的值；（Ⅱ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若过点（0，﹣）可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．22．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数在R上是增函数，求实数a取值范围；（Ⅲ）如果函数g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2有两个不同的极值点x1，x2，证明：a＞．2015-2016学年四川省雅安中学高二（下）4月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由=，则复数在复平面内对应的点的坐标为：（﹣1，﹣1），位于第三象限．故选：C．2．若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，故选：A．3．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=﹣2，c=3 B．b=﹣2，c=2 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣1【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】利用实系数方程虚根成对，求解即可．【解答】解：1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则1﹣i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，可得﹣b=1+i+1﹣i，b=﹣2，c=（1+i）（1﹣i）=2．故选：B．4．若（m2﹣5m+4）+（m2﹣2m）i＞0，则实数m的值为（）A．1 B．0或2 C．2 D．0【考点】复数的基本概念．【分析】由（m2﹣5m+4）+（m2﹣2m）i＞0，可得m2﹣5m+4＞0，m2﹣2m=0，解得m．【解答】解：∵（m2﹣5m+4）+（m2﹣2m）i＞0，∴m2﹣5m+4＞0，m2﹣2m=0，解得m=0．故选：B．5．下列说法正确的是（）A．类比推理是由特殊到一般的推理B．演绎推理是特殊到一般的推理C．归纳推理是个别到一般的推理D．合情推理可以作为证明的步骤【考点】演绎推理的意义；进行简单的合情推理．【分析】根据归纳推理、类比推理、演绎推理、合情推理的定义，即可得到结论．【解答】解：因为归纳推理是由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；合情推理的结论不一定正确，不可以作为证明的步骤，故选C．6．设f（x）存在导函数且满足=﹣1，则曲线y=f（x）上的点（1，f（1））处的切线的斜率为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】导数的几何意义；变化的快慢与变化率．【分析】根据极限的运算法则的应用，曲线在某处切线斜率的意义即可求出．【解答】解：y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）==﹣1，故选：A．7．函数f（x）的定义域为（a，b），其导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在区间（a，b）内极小值点的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】导数的运算；函数的图象．【分析】根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，，然后得到答案【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点．故选：D．8．函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+4的单调递减区间是（）A．（﹣3，1）B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣1，3）D．（3，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由f′（x）＜0⇒函数f（x）单调递减区间即可．【解答】解：由f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x2﹣2x﹣3）=3（x﹣3）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜3，∴函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+4的单调递减区间是（﹣1，3）．故选C．9．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+3=0垂直，则a=（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出导函数y′，再由两直线垂直时斜率之积为﹣1，列出方程求出a的值．【解答】解：由题意得，y′==，∵在点（3，2）处的切线与直线ax+y+3=0垂直，∴=，解得a=﹣2，故选B．10．曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；定积分．【分析】先对函数进行求导，求出在x=1处的导数值即为切线的斜率值，从而写出切线方程，然后求出切线方程与两坐标轴的交点可得三角形面积．【解答】解：∵y=x3﹣3x2+1，∴y'=3x2﹣6x∴f'（1）=﹣3，点（1，﹣1）处的切线为：y=﹣3x+2与坐标轴的交点为：（0，2），（，0）S=，故选B．11．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．B．1 C．D．2【考点】点到直线的距离公式．【分析】由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x ﹣2的距离即为所求．【解答】解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．直线y=x﹣2的斜率等于1，令y=x2﹣lnx，得y′=2x﹣=1，解得x=1，或x=﹣（舍去），故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣2平行的切线经过的切点坐标为（1，1），点（1，1）到直线y=x﹣2的距离等于，∴点P到直线y=x﹣2的最小距离为，故选：C．12．已知函数f（x）=，给出下列结论：①（1，+∞）是f（x）的单调递减区间；②当k∈（﹣∞，）时，直线y=k与y=f（x）的图象有两个不同交点；③函数y=f（x）的图象与y=x2+1的图象没有公共点．其中正确结论的序号是（）A．①②③ B．①③C．①②D．②③【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】①先求出函数的导数，令导函数小于0，解出即可判断；②根据函数的单调性画出函数的图象，通过图象读出即可；③求出f（x）的最大值小于y=x2+1的最小值，从而得到答案．【解答】解：①f′（x）=，令f′（x）＜0，解得：x＞1，∴函数f（x）在（1，+∞）递减，故①正确；②∵f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减，∴f（x）max=f（1）=，x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，x→+∞时，f（x）→0，画出函数f（x）的图象，如图示：，∴当k∈（﹣∞，0）时，直线y=k与y=f（x）的图象有1个不同交点，当k∈（0，）时，直线y=k与y=f（x）的图象有两个不同交点，故②错误；③函数f（x）≤，而y=x2+1≥1，∴函数y=f（x）的图象与y=x2+1的图象没有公共点，故③正确；故选：①③．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=10．【考点】复数求模；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的模的平方等于复数的模的乘积，直接计算即可．【解答】解：复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=|3+i||3+i|==10．故答案为：10．14．函数f（x）=x﹣lnx的单调减区间为{x|0＜x＜1} ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求函数f（x）的导数，然后令导函数小于0求x的范围即可．【解答】解：∵f（x）=x﹣lnx∴f'（x）=1﹣=令＜0，则0＜x＜1故答案为：{x|0＜x＜1}15．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C=，则经过2h后池水中药品的浓度达到最大．【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：C===5，当且仅当t=2时取等号．因此经过2h后池水中药品的浓度达到最大．故答案为：2．16．若直线l与曲线C满足下列两个条件：（i）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ii）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C，下列正确的是③④（写出所有正确的编号）．①直线l：y=x+1在点P（0，1）处“切过”曲线C：y=e x②直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx③直线l：y=﹣x+π在点P（π，0）处“切过”曲线C：y=sinx④直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出每一个中曲线C的导数，得到曲线在点P出的导数值，求出曲线在点P处的切线方程，再由曲线在点P两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足（ii），即可得出正确的选项．【解答】解：对于①，函数y=e x的导数f′（x）=y=e x，则f′（0）=1，则切线方程为y=x+1，设g（x）=e x﹣（x+1），则g′（x）=e x﹣1，当x＞0，g′（x）＞0，函数g（x）递增，当x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）递减，则当x=0时，函数取得极小值同时也是最小值g（0）=1﹣1=0，则g（x）≥g（0）=0，即e x≥x+1，则曲线不在切线的两侧，故①错误．对于②，由y=lnx，得y′=，则y′|x=1=1，曲线在P（1，0）处的切线为y=x﹣1，由g（x）=x﹣1﹣lnx，得g′（x）=1﹣，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．则g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）=0．即y=x﹣1恒在y=lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，故②错误，对于③，由y=sinx，得y′=cosx，则y′|x=π=﹣1，直线y=﹣x+π是过点P（0，0）的曲线的切线，又x∈（﹣，0）时x＜sinx，x∈（0，）时x＞sinx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=﹣x+π两侧，故③正确；对于④，由y=x3，得y′=3x2，则y′|x=0=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C的切线，又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧，故④正确；综上，以上正确的是③④．故答案为：③④．三．解答题（本大题共6小题，共70分）17．计算：（1）（4﹣i5）（6+2i7）+（7+i11）（4﹣3i）；（2）．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】（1）首先利用虚数单位i的运算性质化简，然后利用复数代数形式的乘法运算化简；（2）直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解答】解：（1）（4﹣i5）（6+2i7）+（7+i11）（4﹣3i）=（4﹣i）（6﹣2i）+（7﹣i）（4﹣3i）=47﹣39i；（2）==1﹣38i．18．已知复数z=m（m﹣1）+（m2+2m﹣3）i，当实数m取什么值时，复数z是：（1）零；（2）纯虚数；（3）z=2+5i；（4）表示复数z对应的点在第四象限．【考点】复数的基本概念．【分析】（1）实部与虚部同时为零，求解即可；（2）实部为0，虚部不为0，复数是纯虚数，求出m即可；（3）实部为2，虚部为5求解即可得到m的值，使得z=2+5i（4）表示复数z对应的点在第四象限．实部大于0，虚部小于哦，求出m的范围即可．【解答】解：（1）由可得m=1；（2）由可得m=0；（3）由可得m=2；（4）由题意，解得即﹣3＜m＜019．在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线l：ρsin（θ﹣）=．（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．【分析】（1）圆O的方程即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，可得圆O 的直角坐标方程为：x2+y2=x+y，即x2+y2﹣x﹣y=0．（2）由，可得直线l与圆O公共点的直角坐标为（0，1），由此求得线l与圆O公共点的极坐标．【解答】解：（1）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，故圆O 的直角坐标方程为：x2+y2=x+y，即x2+y2﹣x﹣y=0．直线l：，即ρsinθ﹣ρcosθ=1，则直线的直角坐标方程为：y﹣x=1，即x﹣y+1=0．（2）由，可得，直线l与圆O公共点的直角坐标为（0，1），故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为．20．为了保护环境，某工厂在政府部门的支持下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品．（Ⅰ）当x∈[30，50]时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不亏损？（Ⅱ）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少．【考点】函数最值的应用．【分析】（Ⅰ）利用每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品，及处理成本y （万元）与处理量x（吨）之间的函数关系，可得利润函数，利用配方法，即可求得结论；（Ⅱ）求得二氧化碳的每吨平均处理成本函数是分段函数，再分段求出函数的最值，比较其大小，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）当x∈[30，50]时，设该工厂获利为S，则S=20x﹣（x2﹣40x+1600）=﹣（x﹣30）2﹣700所以当x∈[30，50]时，S＜0，因此，该工厂不会获利，所以国家至少需要补贴700万元，才能使工厂不亏损（Ⅱ）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：①当x∈[10，30）时，P（x）=，∴P′（x）==∴x∈[10，20）时，P′（x）＜0，P（x）为减函数；x∈（20，30）时，P′（x）＞0，P（x）为增函数，∴x=20时，P（x）取得最小值，即P（20）=48；②当x∈[30，50]时，P（x）=﹣40≥﹣40=40当且仅当x=，即x=40∈[30，50]时，P（x）取得最小值P（40）=40∵48＞40，∴当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少．21．已知函数f （x ）=﹣x 3+x 2﹣2x （a ∈R ）．（Ⅰ）若函数f （x ）在点P （2，f （2））处的切线的斜率为﹣4，求a 的值；（Ⅱ）当a=3时，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅲ）若过点（0，﹣）可作函数y=f （x ）图象的三条不同切线，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得a=1；（Ⅱ）求出当a=3时f （x ）的导数，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；（Ⅲ）设点A （t ，﹣t 3+t 2﹣2t ）是函数f （x ）图象上的切点，求得切线的斜率，可得切线的方程，代入点（0，﹣），可得方程有三个不同的实数解，设g （t ）=t 3﹣at 2+，求出导数，求出极值，令极大值大于0，极小值小于0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）f （x ）=﹣x 3+x 2﹣2x 的导数为f ′（x ）=﹣x 2+ax ﹣2，因为函数f （x ）在点P （2，f （2））处的切线的斜率为﹣4，所以﹣4+2a ﹣2=﹣4，解得a=1；（Ⅱ）当a=3时，f ′（x ）=﹣x 2+3x ﹣2=﹣（x ﹣1）（x ﹣2），当1＜x ＜2时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增；当x ＜1或x ＞2时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减，所以函数f （x ）的单调递增区间为（1，2），单调递减区间为（﹣∞，1）和（2，+∞）；（Ⅲ）设点A （t ，﹣t 3+t 2﹣2t ）是函数f （x ）图象上的切点，则过点A 的切线斜率k=﹣t 2+at ﹣2，所以过点A 的切线方程为y +t 3﹣t 2+2t=（﹣t 2+at ﹣2）（x ﹣t ），因为点（0，﹣）在该切线上，所以﹣+t 3﹣t 2+2t=（﹣t 2+at ﹣2）（0﹣t ），即t 3﹣at 2+=0，若过点（0，﹣）可作函数y=f （x ）图象的三条不同切线，则方程t 3﹣at 2+=0三个不同的实数根，令g （t ）=t 3﹣at 2+=0，则函数y=g （t ）的图象与x 轴有三个不同的交点，g′（t）=2t2﹣at=0，解得t=0或t=，因为g（0）=，g（）=﹣a3+，所以令g（）=﹣a3+＜0，即a＞2，所以实数a的取值范围是（2，+∞）．22．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数在R上是增函数，求实数a取值范围；（Ⅲ）如果函数g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2有两个不同的极值点x1，x2，证明：a＞．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）根据导数的几何意义，可以求出a的值，再根据切点坐标在曲线上和切线上，即可求出b的值，从而得到答案；（2）将函数f（x）在R上是增函数，转化为f'（x）＞0在R上恒成立，利用参变量分离转化成a＜e x﹣x在R上恒成立，利用导数求h（x）=e x﹣x的最小值，即可求得实数a的取值范围；（3）根据x1，x2是g（x）的两个极值点，可以得到x1，x2是g′（x）=0的两个根，根据关系，利用分析法，将证明不等式转化为，即求的最小值问题，利用导数即可证得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x﹣x2﹣ax，∴f′（x）=e x﹣x﹣a，∴根据导数的几何意义可得，切线的斜率k=f'（0）=1﹣a，∵切线方程为y=2x+b，则k=2，∴1﹣a=2，解得a=﹣1，∴f（x）=e x﹣x2+x，∴f（0）=1，即切点（0，1），∴1=2×0+b，解得b=1；（Ⅱ）由题意f'（x）＞0即e x﹣x﹣a≥0恒成立，∴a≤e x﹣x恒成立．设h（x）=e x﹣x，则h′（x）=e x﹣1．∴（）min（），∴a≤1；（Ⅲ）∵g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2，∴g（x）=e x﹣x2﹣ax﹣ax2+x2=e x﹣ax2﹣ax，∴g′（x）=e x﹣2ax﹣a，∵x1，x2是函数g（x）的两个不同极值点（不妨设x1＜x2），∴e x﹣2ax﹣a=0（*）有两个不同的实数根x1，x2当时，方程（*）不成立则，令，则由p′（x）=0得：x p x p′x∴当时，方程（*）至多有一解，不合题意；当时，方程（*）若有两个解，则所以，．2016年10月20日。
四川省雅安中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题
【全国百强校】四川省雅安中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若,x y R ∈，则“22x y >”是“x y >”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2．设函数()y f x =可导，则()()0131limx f x f x →+-等于() A ．()'1f B ．3()'1f C ．()1'13f D ．以上都不对 3．函数2(2)y x =-在1x =处的导数等于() A ．1- B ．2- C ．3- D ．4- 4．命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ）A ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x ≤B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x ≤C ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x ≤D ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x ≤5．在复平面上，复数241i i ++对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．i 为虚数单位，则()41 1i i +⎛⎫=⎪-⎝⎭ A ．i -B ．1-C ．1D ．i 7．若()32()61f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围是（ ）A ．(－1,2)B ．(－∞,－1)∪(2,+∞)C ．(－3,6)D ．(－∞,－3)∪(6,+∞)8．命题：“若()220a b a b R +=∈，，则0a b ==”的逆否命题是()A ．若()0a b a b R ≠≠∈，，则220a b +≠B ．若()0a b a b R =≠∈，，则220a b +≠C ．若0a ≠且()0b a b R ≠∈，，则220a b +≠D ．若0a ≠或()0b a b R ≠∈，，则220a b +≠9．函数()ln f x a x x =+在区间[]23，上单调递增，则实数a 的取值范围为() A ．3a >- B ．2a >- C ．3a ≥- D ．2a ≥-10．若a ＞0，b ＞0，且函数f （x ）=4x 3﹣ax 2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab 的最大值等于（ ）A ．2B ．3C ．6D ．911．满足条件3z i z i -++=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是() A ．椭圆 B ．圆 C ．一条直线 D ．两条直线 12．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()'f x ，满足()()'f x f x <，且()02f =，则不等式()20x f x e -<的解集为() A ．()2+∞，B ．()2-∞，C ．()0+∞，D ．()0-∞，二、填空题 13．若复数1212(z i z i i =+=-，为虚数单位)，则12z z 的模为__________ ．14．设函数()f x 满足()()()23'11f x x f x f =+-，则()'1f =___________． 15．某产品的销售收入1y （万元）是产量x （千台）的函数2117y x =，生产成本2y （万元）是产量x （千台）的函数3222y x x =-，已知0x >，为使利润最大，应生产_________（千台）．16．函数()y f x =在其定义域3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内可导，其图象如下图所示，记()y f x =的导函数为()'y f x =，则不等式()'0f x ≤的解集为__________．三、解答题17．已知复数2(4)(2),z a a i a R =-++∈．（1）若z 为实数，求实数a 的值；（2）若z 为纯虚数，求实数a 的值；（3）若z 在复平面上对应的点在直线210x y ++=上，求实数a 的值．18．已知命题:? p m R ∈且10m +，命题2:? ,10q x R x mx ∀∈++>恒成立．()1若命题q 为真命题，求m 的取值范围；()2若p q ∧为假命题且p q ∨为真命题，求m 的取值范围．19．已知函数()3211132f x x x =+-． ()1求函数()f x 在点116⎛⎫- ⎪⎝⎭，处的切线方程； ()2若直线y m =与()f x 的图象有三个不同的交点，求m 的范围．20．设()3221f x x ax bx =+++的导数为()'f x ,若函数()'y f x =的图象关于直线12x =-对称,且()'10f =. （1）实数,a b 的值；（2）求函数()f x 的极值.21．已知函数()()1ln f x x a x =--．()1求函数()f x 的单调区间；()2若()0f x ≥对[)1x ∈+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．D【分析】2,1x y =-=-可得充分性不成立；1,2x y =-=-可得必要性不成立，从而可得结论.【详解】因为“22x y >”不能推出“x y >”（如2,1x y =-=-）；“x y >”也不能推出“22x y >”（如1,2x y =-=-），所以，若,x y R ∈，则“22x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，故选D.【点睛】本题主要考查不等式的性质以及充分条件与必要条件的定义，属于基础题.2．C【解析】分析：利用导数的定义()'1f =()()0x f x x f x limx →+-即可得到结果. 详解：∵函数y=f （x ）可导，根据导数的定义()'1f =()()0x f x x f x lim x →+-可知()()0131133x f x f lim x→+-=()1 '13f ， 故选C ．点睛：本题考查平均变化率的极限，即导数的定义，深刻理解概念是解题的关键，属于基础题．3．B【解析】分析：求函数的导数，结合函数的导数公式进行求解即可．详解：：函数的导数为y′=2x﹣4，∴y′|x=1=﹣2，故选：B ．点睛：本题主要考查函数的导数的计算，根据函数的导数公式是解决本题的关键，属于基础题．4．C【解析】根据任意和存在否定规则可得：*x R n N ∀∈∃∈，，使得2n x >”的否定形式是*x R n N ∃∈∀∈，，使得2n x ≤，故选C5．A【分析】化简复数，判断对应点的象限.【详解】24(24)(1)6231(1)(1)2i i i i i i i i ++-+===+++-，对应点为(3,1)在第一象限. 故答案选A【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题.6．C【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算及虚数单位i 的运算性质化简求值 详解：()()44241(1)1111i i i i i i ⎛⎫++⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭故选：C点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设()12,,,,z a bi z c di a b c dR =+=+， 则()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++， ()()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d+-++-+===++-+. 7．D【分析】先求出导数()'f x ，由()f x 有极大值、极小值可知'0f x 有两个不等实根，利用判别式大于零求解即可.【详解】解：函数()32()61f x x ax a x =++++， 所以()2'()326f x x ax a =+++，因为函数有极大值和极小值，所以方程'0f x 有两个不相等的实数根， 即()23260x ax a +++=有两个不相等的实数根，2(2)43(6)0a a ∴∆=-⨯⨯+>，解得：3a <-或6a >.故选：D.【点睛】本题以函数的极值为载体，考查导数在求函数极值中的应用，将函数有极大值和极小值，转化为方程'0f x 有两个不相等的实数根是解题的关键. 8．D【解析】根据逆否命题的写法得到，逆否命题是将原命题的条件和结论互换位置，并且都进行否定，故得到逆否命题是若()0,0,a b a b R ≠≠∈或，则220a b +≠.故答案为D ．9．D【解析】分析：根据函数的导数与单调性的关系，f （x ）=alnx+x 在区间[2，3]上单调递增，只需f′（x ）≥0在区间[2，3]上恒成立，考虑用分离参数法求解．详解：根据函数的导数与单调性的关系，f （x ）=alnx+x 在区间[2，3]上单调递增，只需f′（x ）≥0在区间[2，3]上恒成立．由导数的运算法则，f′（x ）=10a x +≥，移向得，1a a x x≥-≥-，，a 只需大于等于﹣x 的最大值即可，由﹣x ≤﹣2，∴a≥﹣2故选：D ．点睛：：函数单调性与导函数的符号之间的关系要注意以下结论（1）若在(),a b 内()0(0)f x >'<，则()f x 在(),a b 上单调递增（减）．（2）()f x 在(),a b 上单调递增（减）⇔ ()'0f x ≥（0≤）在(),a b 上恒成立，且在(),a b 的任意子区间内都不恒等于0．（不要掉了等号．）（3）若函数()f x 在区间(),a b 内存在单调递增（减）区间，则()0(0)f x >'<在(),a b 上有解．（不要加上等号．）10．D【解析】试题分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a ，b 满足的条件；利用基本不等式求出ab 的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等． 解：∵f′（x ）=12x 2﹣2ax ﹣2b又因为在x=1处有极值∴a+b=6∵a ＞0，b ＞0∴当且仅当a=b=3时取等号所以ab 的最大值等于9故选D点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．11．A【解析】分析：转化复数方程为复平面点的几何意义，然后判断轨迹即可.详解：|z ﹣i|+|z+i|=3的几何意义是：复数z 在复平面上对应点到（0，1）与（0，﹣1）的距离之和为3，而且两点之间的距离为2，所以距离之和大于两点的距离，所以z 的轨迹满足椭圆的定义．故选：A ．点睛：本题考查复数模的几何意义以及轨迹的判断，椭圆的定义的应用，基本知识的考查． 12．C【解析】分析：构造函数g （x ）=()xf x e ，利用导数研究函数的单调性，转化不等式即可得到结论． 详解：构造函数g （x ）=()x f x e ，则函数的导数为g′（x ）=2'()()()x xx f x e f x e e -， ∵f′（x ）＜f （x ），∴g′（x ）＜0，即g （x ）在R 上单调递减；又∵f （0）=2，∴g （0）=()00f e =2，则不等式f （x ）﹣2e x ＜0化为()x f x e ＜2，它等价于g （x ）＜2，即g （x ）＜g （0），∴x ＞0， 即所求不等式的解集为（0，+∞）．故选：C ．点睛：用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =；如()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =；如()()xf x f x '<构造()()f x g x x=；如()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等.13【解析】分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．详解：z 1z 2=（1+i ）（2﹣i ）=3+i ，∴|z 1z 2．．点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．14．1-【解析】分析：求函数的导数，先求出f′（1），f （1）的值，求出函数的解析式，即可得到结论． 详解：∵f （x ）=x 2+3f′（1）x ﹣f （1），∴f′（x ）=2x+3f′（1），令x=1，则f′（1）=2+3f′（1），即f′（1）=1-，故答案为1-点睛：本课题考查导运算及赋值法，考查逻辑推理能力与计算能力，属于基础题. 15．6【解析】分析：由题意得到利润关于产量的函数式，再由导数求得使利润最大时的产量． 详解：由题意，利润y=()2322312172182y y x x xx x -=--=-（x ＞0）． y′=36x ﹣6x 2，由y′=36x﹣6x 2=6x （6﹣x ）=0，得x=6（x ＞0），当x ∈（0，6）时，y′＞0，当x ∈（6，+∞）时，y′＜0．∴函数在（0，6）上为增函数，在（6，+∞）上为减函数．则当x=6（千台）时，y 有最大值为144（万元）．故答案为：6．点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.16．1,1[2,3)3⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦【解析】 由f ′(x )≤0时，f (x )单调递减. 由函数图像可知当1[1][23]3x ∈-⋃，， 时，f (x )单调递减， 所以f ′(x )≤0的解集为][1,12,33⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭. 17．（1）2a =-（2）a =2（3）1a =-【分析】（1）z 为实数则虚部为0；（2）z 为纯虚数则实部为0且虚部不为0；（3）z 在复平面上对应的点()242a a -+，，满足直线的方程代入列出方程即可得解.【详解】（1）若z 为实数，则20a +=，2a =-； （2）若z 为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩， 解得实数a 的值为2；（3）z 在复平面上对应的点()242a a -+，，在直线210x y ++=上，则()242210a a -+++=，即2210a a ++= 解得1a =-．【点睛】本题考查复数的有关概念，复数的几何意义，属于基础题.18．（1）22m -<<（2）2m ≤-或12m -<<．【解析】分析：（1）由命题q 为真命题可知240m =-<，即可得到结果；（2）分别解出命题p ，q 的m 的取值范围，p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，可得p ，q 必然一真一假．详解：解：()2140m ∴=-<，解得22m -<<． ()2若命题p ：m R ∈且10m +≤，解得1m ≤-．p q ∧为假命题且p q ∨为真命题，p q ∴，必然一真一假．当p 真q 假时，122m m m ≤-⎧⎨≤-≥⎩或，解得2m ≤-，当p 假q 真时，122m m >-⎧⎨-<<⎩，解得12m -<<． m ∴的取值范围是2m ≤-或12m -<<．点睛：本题考查了复合命题及真假的判断，考查了二次不等式的解法，属于基础题.19．（1）126130x y --=（2）516⎛⎫-- ⎪⎝⎭，【解析】 分析：（1）根据题意，对f （x ）求导可得f′（x ），从而可得f′（1）的值，即可得函数f （x ）在点（1，﹣16）处的切线的斜率，由直线的点斜式方程计算可得答案； （2）对f （x ）求导可得f′（x ），借助导数与单调性的关系分析可得f （x ）的单调性和极值，分析直线y=m 与f （x ）的图象的位置关系即可得答案．详解：()1由已知得：()2'f x x x =+ ()'12f ∴= 则切线方程为：()1216y x +=- 即126130x y --=()2令()2'0f x x x =+=解得：10x x =-=，当 1x <-时，()'0f x >当10x -<<时，()'0f x <当 0x >时，()'0f x >()f x ∴的极大值是()516f -=- ()f x 的极小值是()01f =-所以要使直线y m =与()f x 的图象有三个不同的交点，m 516⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．20．（1）12b =-；（2）()f x 的极大值是21,极小值是6-.【解析】试题分析：（1）先对()f x 求导，()f x 的导数为二次函数，由对称性可求得a ，再由()10f '=即可求出b ；（2）对()f x 求导，分别令()f x '大于0和小于0，即可解出()f x 的单调区间，继而确定函数的极值.试题解析：（1）因()3221f x x ax bx =+++,故()2'62f x x ax b =++,从而()22'666a a f x x b ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭,即()'y f x =关于直线6a x =-对称,从而由条件可知162a -=-,解得3a =,又由于()'0f x =,即620ab ++=解得12b =-. （2）由（1）知()()()()32223121,'6612612f x x x x f x x x x x =+-+=+-=-+.令()'0f x =,得1x =或2x =-,当(),2x ∈-∞-时,()()'0,f x f x > 在(),2-∞-上是增函数,当()2,1x ∈-时,()()'0,f x f x <在()2,1-上是减函数,当()1,x ∈+∞时,()()'0,f x f x > 在()1,,+∞上是增函数,从而()f x 在2x =-处取到极大值()221f -=, 在1x =处取到极小值()16f =-. 考点：利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质.21．（1）见解析（2）1a ≤【解析】分析：（1）正确求得函数的导函数是关键，再求得导函数后，利用f'（x ）＞0，解自变量的取值范围时要对参数a 进行讨论，很明显由f′（x ）以及x ＞0，可分a ≤0和a ＞0来讨论得解．（2）由f （x ）≥0对x ∈[1，+∞）上恒成立可分a ≤1和a ＞1来讨论转化为函数的最小值大于等于0的问题来求解．详解：解：(Ⅰ())'1(0)a x a f x x x x-=-=> 当0a ≤时， ， ()f x 在()0+∞，上为增函数当0a >时，()'0x a f x x a x，-===， ()f x 在()0a ，上为减函数，在()a +∞，上为增函数(Ⅱ())'1a x a f x x x -=-=， 当1a ≤时，在[)1+∞，上恒成立，则()f x 是单调递增的， 则()()10f x f ≥=恒成立，则1a ≤当1a >时，在()1a ，上单调递减，在()a +∞，上单调递增， 所以()1x a ∈，时，()()10f x f ≤=这与()0f x ≥恒成立矛盾，故不成立 综上：1a ≤．点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.。
四川省雅安中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学
雅安中学2017—2018学年下期期中考试高二年级数学试题（理科）（本试卷满分150分，答题时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上,并检查条形码粘贴是否正确.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后，将答题卡收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. 已知集合},1{2a A =，}4,2{=B ，则“2=a ”是“A B ⋂=}4{”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2. 复数=-+ii 11 A ．i -B ．iC ．1D ．1- 3. 已知向量），（01,1=，)2,0,1(-=，且k ＋与-2互相垂直，则k 值是 A ．1 B ． 51 C ．53 D ．57 4.在等比数列{}n a 中， 37,a a 是函数()3214913f x x x x =++-的极值点，则5a =A ．3±B ． -3C ．3D ．45.正方体1111ABCD A B C D -中,1DA 与平面11C CA 所成角的正弦值为A ．12B D 6.若函数x kx x f ln )(-=在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是A ．]2,(--∞B ．)1,(--∞C ．),1(+∞D ．[)1,+∞7.若函数2()1x a f x x +=+在1x =处取极值,则a =A ．1B ．2C ．3D ．-38. 棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AA 1中点，则点B 1到平面BCE 的距离是9.已知函数)()(23R x c x ax x x f ∈+-+=，下列结论错误的是A.函数)(x f 一定存在极大值和极小值B.若函数)(x f 在),(),,(21+∞-∞x x 上是增函数，则33212≥-x x C.函数)(x f 的值域是RD.函数)(x f 一定存在三个零点10. 如图， AB 是O 的直径， PA 垂直于O 所在平面， C 是圆周上不同于,A B 两点的一点，且2AB =，PA BC =A BC P --的大小为11. 直线l 的方程为Ax ＋By ＝0，若从1,2,3,6,7,8这六个数字中每次取两个不同的数作为A 、B 的值，则表示不同直线l 的条数是12. 定义在R 上的函数()f x 与其导函数()f x '满足()()1x f x f x e->'+，则下列不等式一定成立的是 A ．552 B ．45 C ． 22 D ． 1A ．30︒C ．60︒ B ．45︒D ．90︒ A ．36条 B ．30条 C ．26条 D ．15条A ．()()01f e ef +< B.()()01f e ef +> C ．()()01f e f +< D ．()()01f e f +>二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.长方体1111ABCD A BC D -中， 12AA AB ==，1AD =，点E 、F 、 G 分别是1DD 、AB 、1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角为 .14.用红、黄、蓝三种不同的颜色涂33⨯方格，使得每行没有相同颜色且每列也没有相同颜色的涂法种数是_______（用数字作答）.15.函数x ex x f 1ln )(+=的单调递增区间是_________. 16.若函数1ln 21)(2+-=x x x f 在其定义域内的一个区间)1,1(+-k k 上不是单调函数，则实数k 的取值范围是__________．三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(10分)若复数z 满足)2(z i z -=，（1）求复数z ;（2）求|2|i z +-18．(12分) 已知函数3()f x ax bx c =++的图像关于原点对称,且过点(1,1),(2,26).(1)求()f x 的解析式;(2)函数()f x 的单调区间;(3)求函数()f x 在]1,1[-上的最小值.19．(12分) 已知矩形ABCD ，22AD AB ==，点E 是AD的中点，将DEC ∆沿CE 折起到D EC '∆的位置，使二面角D EC B '--是直二面角.（1）证明：BE CD '⊥；（2）求二面角D BC E '--的余弦值.20．(12分).在四棱锥ABCD P -中，ABP ∆是等边三角形，底面ABCD 是直角梯形，BC AD AD AB //,⊥，E 是线段AB 的中点，⊥PE 底面ABCD ，已知22===BC AB DA .（1）求AP 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）试在平面PCD 上找一点M ，使得⊥EM 平面PCD .21．(12分)已知函数()ln f x x ax =-在2x =处的切线l 与直线230x y +-=平行．（1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程()22f x m x x +=-在]2,21[上恰有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围.22．（12分）设函数()1e x f x -=-．（1）证明：当1x >-时，()1x f x x ≥+； （2）设当0x ≥时，()1x f x ax ≤+，求实数a 的取值范围雅安中学2017—2018学年下期期中考试高二年级数学试题参考答案（理科）一、选择题二、填空题13、 90； 14、12； 15、),1(+∞； 16、)23,1[. 三、解答题17、（1）i +1； （2）5.18、（1）x x x f 34)(3-=；（2）在),21(),21,(+∞--∞上递增，在)21,21(-上递减； （3）最小值1)21()1()(-==-=f f x f .19、（1）∵22AD AB ==，E 是AD 的中点，∴BAE ∆，CDE ∆是等腰直角三角形，∴90BEC ∠= ，即BE EC ⊥， 又∵平面D EC '⊥平面BEC ，平面D EC ' 平面BEC EC =，∴BE ⊥平面D EC '，∴BE CD '⊥；（2）如图，以EB ，EC 为x 轴、y 轴，过点E 且垂直于平面BEC 的射线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B ，C ，22D '， 易知平面BEC 的一个法向量为1(0,0,1)n = ；设平面D BC '的一个法向量为2222(,,)n x y z = ，由(BC = ，D C '=，求得2(1,1,1)n = ，∴121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>== ， ∴二面角D BC E '--的余弦值为3. 20、（1）因为⊥PE 底面ABCD ，过E 作BC ES //，则AB ES ⊥，以EB 、EP ES 、分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则)0,0,0(E ，)0,0,1(B ，)0,1,1(C ，)0,0,1(-A ，)0,2,1(-D ，)3,0,0(P ，),3,1,1(),0,1,2(-=-=∴求得平面PCD 的法向量为)3,2,1(=，而)3,0,1(=∴，22|48301||,cos |=⋅++=><∴ ∴AP 与平面PCD 所成角的正弦值为22 （2）设M （x ，y ，z ），由⊥EM 平面PCD 知//，)3,2,(λλλλ==∴，)3,2,(λλλM ∴,)3,12,1(λλλ--=∴, 又),3,1,1(),0,1,2(--=-=、、共面，∴存在唯一实数b a 、使得b a +=，而)3,,2(b b a b a b a ---=+，⎪⎩⎪⎨⎧=-=---=-∴b b a b a 331221λλλ，解得83=λ， )833,86,83(M ∴符合题意.21、（1）()1'f x a x =- ∵函数在2x =处的切线与直线230x y +-=平行∴1122k a =-=-，解得： 1a =；（2）由（1）得()ln f x x x =-，∴()22f x m x x +=-，即23ln 0x x x m -++= 设()23ln (0)h x x x x m x =-++>， 则()()()22111231'23x x x x h x x x x x---+=-+== 列表得：∴当时， ()h x 的极小值为()12h m =-， 又()15ln2,22ln224h m h m ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭∵方程()22f x m x x +=-在]2,21[上恰有两个不相等的实数根， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≥0)2(0)1(0)21(h h h ,解得： 5ln224m +≤<；22、（1）证明：注意到1x >-时，10x +>，于是有()1x f x x ≥+，即11e 1e e e 1111x x x x x x x x x x ----≥⇔-≥⇔≥⇔≥++++. 令()()e 1x g x x =-+，()1 x ∈-+∞，．()e 1x g x '=-，令()0g x '=，得0x =．当x 变化时，()()g x g x '，的变化情况如下表：可见()g x 在(]1 0-，上单调递减，在[)0 +∞，上单调递增，所以当1x >-时，()()0min 0e 100g g ==-+=，故当1x >-时，()()00g x g ≥=，即e 1x x ≥+，从而()1x f x x ≥+，且当且仅当0x =时等号成立．（2）解：由0x ≥时，011x x e ax -≥-≤+恒成立，故0a ≥. 设()+e 11x x h x ax -=-+，[)0 x ∈+∞，， 则()()()2211ee 11x x ax axh x ax ax --+-'=-=-++()()22e e 11x x ax ax -⎡⎤=-+⎣⎦+． 设()()2e 1x k x ax =-+，[)0 x ∈+∞，，则()()2e 21e 22x x k x a ax a x a '=-+=--.()012k a '=-当120a -≥，即102a ≤≤时，()22x k x e a ''=-，0x ≥时，1x e ≥，2122a ≤，故()0k x ''≥. 所以()k x '单调递增，()()00k x k ''≥=，故()k x 单调递增，()()00k x k ≥=恒成立，符合题意.当120a -<，即12a >时，存在0δ>，()0,x δ∈时，()0k x '<，()k x 单调递减， ()()00k x k <=，与()0k x ≥恒成立矛盾.综合上述得实数a 的取值范围是10 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．。
四川省雅安中学2017-2018学年高二下学期第一次月考数学(文)试题含解析
四川省雅安中学2017-2018学年高二下学期第一次月考试题数学（文）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷（选择题）一、单选题1．设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2．下列说法正确的是（ ）A. 若()0'f x 不存在，则曲线()y f x =在点()()00x f x ，处就没有切线 B. 若曲线()y f x =在点()()00x f x ，处有切线，则()0'f x 必存在C. 若()0'f x 不存在，则曲线()y f x =在点()()00x f x ，处的切线斜率不存在D. 若曲线()y f x =在点()()00x f x ，处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线 3．用反证法证明命题：“若,,,,1,1a b c d R a b c d ∈+=+=，且1a c b d +>，则,,,a b c d 中至少有一个负数”的假设为（ ）A. ,,,a b c d 中至少有一个正数B. ,,,a b c d 全都为正数C. ,,,a b c d 全都为非负数D. ,,,a b c d 中至多有一个负数4．已知直线 与曲线 相切，则 的值为（ ）A. B. C. D.5．给定两个命题,p q ，“()p q ⌝∨为假”是“p q ∧为真”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6．给出下列命题：①命题“若240b ac -<，则方程20ax bx c ++=（0a ≠）无实根”的否命题； ②命题“在ABC 中， AB BC CA ==，那么ABC 为等边三角形”的逆命题； ③命题“若0a b >>，则④“若1m ≥，则()()22130mx m x m -+++>的解集为R ”的逆命题．其中真命题的序号为（ ）A. ①②③B. ①②④C. ②④D. ①②③④7．若函数()32f x x bx cx d =+++的单调递减区间为()12-，，则bc 的值为（ ）A. 3B. 6C. 9D. 6-8．不等式22530x x --≥成立的一个必要不充分条件是（ ）A. 0x ≥B. 0x <或2x >C. D. 或3x ≥ 9．对于函数()321f x x ax x =+-+的极值情况，4位同学有下列说法：甲：该函数必有2个极值；乙：该函数的极大值必大于1；丙：该函数的极小值必小于1；丁：方程()0f x =一定有三个不等的实数根。
四川省雅安市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题(精品解析)
雅安市2017—2018学年下期期末检测高中二年级数学（文科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求得，再根据，可求得= 。
详解：因为，所以= 。
故选B。
点睛：本题考查集合的运算，集合的运算应先确定集合中的元素，然后根据集合运算的定义即可求得。
本题考查学生的运算能力和转化能力。
2.若（，是虚数单位），则，的值分别等于（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】分析：由，可得，由复数相等可得，解得。
详解：因为，所以。
所以。
故选A。
点睛：本题考查复数的运算及复数相等等知识。
复数的加、减、乘运算和二项式的加、减、乘运算类似，其间注意。
3.用反证法证明“若，则”时，假设内容应是（）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】试题分析：∵用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“”的否定为：“”，故选：C．考点：反证法与放缩法．4.下列函数为奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：判断函数为奇函数，应先求函数的定义域，定义域应关于原点对称，的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数。
奇函数，应满足，可得选项B、C不对。
详解：对于选项A，定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数。
所以选项A错；对于选项B，，故选项B错；对于选项C，，所以为偶函数，故选项C错；对于选项D，，所以函数为奇函数，故选项D正确。
故选D。
点睛：判断函数的奇偶性，应先求函数的定义域，奇函数、偶函数的定义域应关于原点对称，不关于原点对称既不是奇函数也不是偶函数。
再找与的关系，如，则函数为偶函数；如，则函数为奇函数。
5.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】特殊命题的否定为全称命题，改量词，否结论，故命题“”的否定是.本题选择A选项.6.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：，的底数相同，故可用函数在R上为减函数，可得。
四川省雅安中学2017-2018学年高二下学期第一次月考数学(文)---精校解析 Word版
，则“”的必要不充分条件考点：1、充分条件，必要条件；2、绝对值不等式，二次不等式.2. 下列说法正确的是A. 若不存在，则曲线在点处就没有切线若曲线处有切线，则不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在若曲线处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线不存在时，曲线在点处不一定没有切线，，曲线在点处有切线时，不一定存在，错误；，当不存在时，曲线处的切线斜率不存在，C当曲线在点处的切线斜率不存在时，用反证法证明命题：“，则时的假设为中至少有一个正数 B. 全为正数全都大于等于中至多有一个负数中至少有一个负数”时的假设为“全都大于等于已知直线与曲线相切，则的值为D.与曲线相切，设切点坐标是，由曲线可得，所以切线的斜率是据此有：，求解方程组有：.本题选择B选项.(1)导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)，“为假”是“为真”的为假”，则“为真”，包括假，假真，为真，当真假真时，为真”，则为真，必有“①命题“若，则方程②命题“在中，，那么为等边三角形”的逆命题；③命题“若，则，则其中真命题的序号为【解析】①命题“若，则方程）无实根”的否命题是“若（）有实根”，是正确的；②命题“中，，那么为等边三角形”的逆命题是“是等边三角形，③命题“若则的解集为的解集为，则，∵不等式的解集为时，的解集为，∴逆命题是错误的；∴正确命题有①②③；故选7. 若函数的单调递减区间为的值为A. 3B. 6C. 9D.【解析】函数的单调减区间为的解集是是的两个实数根．解得．C．不等式成立的一个必要不充分条件是B. C. D. 或【解析】解不等式，得：，故不等式成立的一个必要不充分条件是：，对于函数数的极大值必大于1；丙：该函数的极小值必小于【解析】，显然，判别式，故有两个不相等的零点，且一正一负，二次函数，开口向上，且在上为正，上为负，在上递增，上递减，上递增．由极值的定义可知：函数必有两个极值点，且处是极大值点，由以上性质作函数或是曲线处切线的倾斜角为，则角B. C. D.【答案】B故答案选B．，函数的最大值等于【解析】试题分析：,,当且仅当,即时等号成立故的最大值等于已知函数，的图象分别与直线交于两点，则B. C. D.【解析】由题意，，其中，，且，所以，则，为增函数.，得..时时在上单调递减，在时,.B.已知函数【答案】，求导，有两个极值点，，有两个不相等的根，的范围故答案为：的图象是折线段，其中，则用数字作答【解析】由导数的几何意义知已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式_____________【答案】【解析】设，函数上是减函数，，，，，解得．故答案为：，构造;，构造；，构造16. 已知函数及其导数若存在，使得则称是______________，【答案】【解析】中的函数，则，解得中的函数，要使，则，由对任意的x，有，可知方程无解，原函数没有巧中的函数，要使，则，由函数与中的函数，要使，则中的函数，要使，则，，，，显然函数在故答案为：；.【解析】试题分析：（1）根据导数的除法运算法求导即可；18. 命题p：关于x的不等式，对一切：函数是增函数为假，求实数a的取值范围．【答案】.假时，真时，的取值范围为已知函数．的极值；在区间极大值为，极小值为）令，求根后，结合函数单调性即可得极值；，得减区间是1和4别是的两根，，极小值为由上得．的单调递减区间为解得：m的取值范围：点睛：利用函数的导数研究函数的单调性有两种题型，一种是求单调区间，只需令导数大于件的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为平均利润是．）；）产品的销售价为.）先根据题意表示出销售价、月平均销售量、以及月平均利润，即可写出与与每件产品的销售价为月平均销售量为元与的函数关系式为.,时,所以函数产品的销售价为(元函数在实际问题中的应用；2、导数在函数研究中的应用函数当时，求证：函数的图象存在唯一零点的充要条件是【答案】见解析.时，）取得极小值也是最小值．即可证明；必要性：充分性：时，．上单调递减，在时，函数时，函数的图象在上有唯一的一个零点必要性：，时，单调递增区间为，单调递减区间为．处有极小值也是最小值．时，，在上单调递增；当时，，在只有唯一解．在上有唯一解时必有综上：在时，上有唯一解的充要条件是已知函数讨论的单调性；若对任意的恒有a<0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数1当时，，或；时，得，或，；时，综上所述，当时，的递减区间为和；时，在时，的递减区间为和2由Ⅱ可知，当时，在区间上单调递减，取最大值；取最小值；恒成立，整理得，．。
四川省雅安中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)
高二下期5月期中考试题数学（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 若，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】分析：由x2＞y2，解得|x|＞|y|，即可判断出结论．详解：由x2＞y2，解得|x|＞|y|，因此“x2＞y2”是“x＞y”的既不充分也不必要条件．故选：D．点睛：本题考查了不等式的解法与性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2. 设函数可导，则等于A. B. 3 C. D. 以上都不对【答案】C【解析】分析：利用导数的定义=即可得到结果.详解：∵函数y=f（x）可导，根据导数的定义=可知=，故选：C．点睛：本题考查平均变化率的极限，即导数的定义，深刻理解概念是解题的关键，属于基础题．3. 函数在处的导数等于A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：求函数的导数，结合函数的导数公式进行求解即可．详解：：函数的导数为y′=2x﹣4，∴y′|x=1=﹣2，点睛：本题主要考查函数的导数的计算，根据函数的导数公式是解决本题的关键，属于基础题．4. 命题“，使得”的否定形式是A. ，使得B. ，使得C. ，使得D. ，使得【答案】D【解析】根据任意和存在否定规则可得：，使得”的否定形式是，使得，故选C5. 在复平面上，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数所对应点的坐标，结合复数的几何意义即可得到答案．详解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（3，1），位于第一象限．故选：A．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．6. i为虚数单位，则A. B. C. 1 D. i【答案】C【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算及虚数单位i的运算性质化简求值详解：故选：C点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，7. 若函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是A. B.C. D.【解析】分析：由题意求导f′（x）=3x2+2ax+（a+6）；若函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则△=（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；从而求得实数a的取值范围．详解：∵f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，∴f′（x）=3x2+2ax+（a+6）；又∵函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，∴△=（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；故a＞6或a＜﹣3；故选：B．点睛：函数有极值等价于导函数有“变号零点”，即导函数有零点，且导函数在零点附近的值正负相反.8. 命题：“若，则”的逆否命题是A. 若，则B. 若，则C. 若且，则D. 若或，则【答案】D【解析】分析：根据逆否命题的定义，直接作答即可，注意常见逻辑连接词的否定形式．详解：“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”；故选：D．点睛：此类题型考查四种命题的定义与相互关系，要注意常见逻辑连接词的运用与其各自的否定方法、形式，属于基础题．9. 函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据函数的导数与单调性的关系，f（x）=alnx+x在区间[2，3]上单调递增，只需f′（x）≥0在区间[2，3]上恒成立，考虑用分离参数法求解．详解：根据函数的导数与单调性的关系，f（x）=alnx+x在区间[2，3]上单调递增，只需f′（x）≥0在区间[2，3]上恒成立．由导数的运算法则，f′（x）=，移向得，，a只需大于等于﹣x的最大值即可，由﹣x≤﹣2，∴a≥﹣2点睛：：函数单调性与导函数的符号之间的关系要注意以下结论（1）若在内，则在上单调递增（减）．（2）在上单调递增（减）（）在上恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．（不要掉了等号．）（3）若函数在区间内存在单调递增（减）区间，则在上有解．（不要加上等号．）10. 若，，且函数在处有极值，则的最大值等于A. 2B. 3C. 6D. 9【答案】D【解析】分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等详解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，又因为在x=1处有极值，∴a+b=6，∵a＞0，b＞0，∴，当且仅当a=b=3时取等号，所以ab的最大值等于9．故选：D．点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.11. 满足条件的复数z在复平面上对应点的轨迹是A. 椭圆B. 圆C. 一条直线D. 两条直线【答案】A【解析】分析：转化复数方程为复平面点的几何意义，然后判断轨迹即可.详解：|z﹣i|+|z+i|=3的几何意义是：复数z在复平面上对应点到（0，1）与（0，﹣1）的距离之和为3，而且两点之间的距离为2，所以距离之和大于两点的距离，所以z的轨迹满足椭圆的定义．故选：A ．点睛：本题考查复数模的几何意义以及轨迹的判断，椭圆的定义的应用，基本知识的考查．12. 已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：构造函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性，转化不等式即可得到结论．详解：构造函数g（x）=，则函数的导数为g′（x）=，∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0，即g（x）在R上单调递减；又∵f（0）=2，∴g（0）==2，则不等式f（x）﹣2e x＜0化为＜2，它等价于g（x）＜2，即g（x）＜g（0），∴x＞0，即所求不等式的解集为（0，+∞）．故选：C ．点睛：用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造；如构造；如构造；如构造等.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 若复数为虚数单位，则的模为__________．【答案】【解析】分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．详解：z1z2=（1+i）（2﹣i）=3+i，∴|z1z2|==．故答案为：．点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．14. 设函数满足，则___________．【答案】【解析】分析：求函数的导数，先求出f′（1），f（1）的值，求出函数的解析式，即可得到结论．详解：∵f（x）=x2+3f′（1）x﹣f（1），∴f′（x）=2x+3f′（1），令x=1，则f′（1）=2+3f′（1），即f′（1）=，故答案为：点睛：本课题考查导运算及赋值法，考查逻辑推理能力与计算能力，属于基础题.15. 某产品的销售收入（万元）是产量x（千台）的函数，生产成本（万元）是产量x（千台）的函数，已知，为使利润最大，应生产_________（千台）．【答案】6【解析】分析：由题意得到利润关于产量的函数式，再由导数求得使利润最大时的产量．详解：由题意，利润y=（x＞0）．y′=36x﹣6x2，由y′=36x﹣6x2=6x（6﹣x）=0，得x=6（x＞0），当x∈（0，6）时，y′＞0，当x∈（6，+∞）时，y′＜0．∴函数在（0，6）上为增函数，在（6，+∞）上为减函数．则当x=6（千台）时，y有最大值为144（万元）．故答案为：6．16. 函数在定义域内的图象如图所示记的导函数为，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】由f′(x)≤0时，f(x)单调递减.由函数图像可知当时，f(x)单调递减，所以f′(x)≤0的解集为.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 已知复数若z为纯虚数，求实数a的值；若z在复平面上对应的点在直线上，求实数a的值．【答案】（1）2（2）【解析】分析：（1）若z为纯虚数，实部为0，虚部不为0，求实数a的值；（2）求出z在复平面上对应的点的坐标，代入直线x+2y+1=0，求实数a的值．详解：Ⅰ若z为纯虚数，则，且，解得实数a的值为2；Ⅱ在复平面上对应的点，在直线上，则，解得．点睛：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数018. 已知命题且，命题恒成立．若命题q为真命题，求m的取值范围；若为假命题且为真命题，求m的取值范围．【答案】（1）（2）或．【解析】分析：（1）由命题q为真命题可知，即可得到结果；（2）分别解出命题p，q的m的取值范围，p∧q为假命题且p∨q为真命题，可得p，q必然一真一假．详解：解：，解得．若命题p：且，解得．为假命题且为真命题，必然一真一假．当p真q假时，，解得，当p假q真时，，解得．的取值范围是或．点睛：本题考查了复合命题及真假的判断，考查了二次不等式的解法，属于基础题.19. 已知函数．求函数在点处的切线方程；若直线与的图象有三个不同的交点，求m的范围．【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）根据题意，对f（x）求导可得f′（x），从而可得f′（1）的值，即可得函数f（x）在点（1，﹣）处的切线的斜率，由直线的点斜式方程计算可得答案；（2）对f（x）求导可得f′（x），借助导数与单调性的关系分析可得f（x）的单调性和极值，分析直线y=m与f（x）的图象的位置关系即可得答案．详解：由已知得：则切线方程为：即令解得：当时，当时，当时，的极大值是的极小值是所以要使直线与的图象有三个不同的交点，m点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．20. 设的导数为，若函数的对称轴为直线，且求实数的值求函数的极值．【答案】（1）（2）在处取到极大值，在处取到极小值．【解析】试题分析：（1）先对求导，的导数为二次函数，由对称性可求得，再由即可求出；（2）对求导，分别令大于和小于，即可解出的单调区间，继而确定函数的极值.试题解析：（1）因,故,从而,即关于直线对称,从而由条件可知,解得,又由于,即解得.（2）由（1）知.令,得或,当时,在上是增函数,当时,在上是减函数,当时,在上是增函数,从而在处取到极大值, 在处取到极小值.考点：利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质.21. 已知函数．求函数的单调区间；若对上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）正确求得函数的导函数是关键，再求得导函数后，利用f'（x）＞0，解自变量的取值范围时要对参数a进行讨论，很明显由f′（x）以及x＞0，可分a≤0和a＞0来讨论得解．（2）由f（x）≥0对x∈[1，+∞）上恒成立可分a≤1和a＞1来讨论转化为函数的最小值大于等于0的问题来求解．详解：解：Ⅰ当时，，在上为增函数当时，，在上为减函数，在上为增函数Ⅱ，当时，在上恒成立，则是单调递增的，则恒成立，则当时，在上单调递减，在上单调递增，所以时，这与恒成立矛盾，故不成立综上：．点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.。
四川省雅安中学高二数学下学期期中试题文
四川省雅安中学高二数学下学期期中试题文、选择题（本大题共 12小题，共60分）2•设函数• 「可导，则」 等于A x-*0 AX4.命题“ gR S'，使得"二J ”的否定形式是（）1.若〒71，则“ •. ”是“工”的 A.充分不必要条件C.充分条件B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件A. ' IB.-D.以上都不对3.A.B. C. D.函数y =仗-2）=］、处的导数等于，使得，使得■，使得 ' ，使得--5.在复平面上，复数对应的点位于A.第一象限B.第三象限C.第二象限D.第四象限7. 若函数•. • 一 . ■、| .：；；：-有极大值和极小值，则实数 a的取值范围是A. (- 1, 2)B. ( - 8* - 3)u + 虽、C. I ；「込邈D.「一儿- ’J J 匕4旳8.命题："若a' + b' =0(4 b^K),则G 二占二0”的逆否命题是()A. 若疋7； H 心.，“三汨，则J :B. 若a -0(a,占E 町，则,+於壬0C.若■； * i.l 且:■:上、技匸X ： ，则 『+ H 0D .若产冨：；■或m(“：,联匕氧：，则 『+ /工09.函数f©Ualru + x 在区间［2、引上单调递增，则实数 a 的取值范围为10.若」 ， ，且函数 亠：-―财• 一5 ■一在厂二i 处有极值，则应的最大值等于6.C. 1D. iB.C. ■::D.卜工…-A. 2B. 3C. 6D. 9i 为虚数单位，则11.满足条件|.- J 「的复数z 在复平面上对应点的轨迹是12. 已知定义在 R 上的可导函数丁'（羽的导函数为f '（羽，满足厂（耳）弋“刑，且f （0） = 2，则不等式 的解集为（）A. I ：B.:-莎?）C.：亠⑺D.13. 若复数^ = 1+^ Z 2 = 2 -珞为虚数单位），则幻陀的模为14. 设函数"町满足 ＜（x ） = x J + 3f （L ）x-/（l ），则「⑴二15. 某产品的销售收入儿（万元）是产量x （千台）的函数 旳二17『，生产成本乃（万元）是产量x匕=2丁-/,已知上A 0,为使利润最大，应生产 __________________ （千台）16. __________________________ 函数y 二fG ）在定义域（-亍 旳内的图象如图所示.」记y = © 的导函数为y = /i M ，则不等式 门灯＜ o 的解集为 .A.椭圆B.圆C. 一条直线D.两条直线 、填空4小题，共20 分）（千台）的函数三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 已知复数-:/ - ； I，' ■ -；■ ,■：■ U若z为纯虚数，求实数a的值；.若z在复平面上对应的点在直线.L二「上，求实数a的值.18. 已知命题，■ •但怎# 命题! ■-恒成立.若命题q为真命题，求m的取值范围;「若•为假命题且：，为真命题，求m的取值范围.19. 已知函数. .■ 3£a门：求函数i •在点- 1处的切线方程；（2〕若直线y = m与佩兀）的图象有三个不同的交点，求m的范围.20. 设+ + 的导数为『(X),若函数y二广(x)的对称轴为直线H二-扌,且71)二0(1)求实数e &的值.「求函数「的极值.21. 已知函数v 仁，问是否存在实数杠：使：1•绢在| |上取得最大值3，最小值■： ?若存在，求出U的值；若不存在，说明理由.22. 已知函数「心1 I -，求函数，的单调区间；「若心］H对：上恒成立，求实数a的取值范围.高二下期5月期中考试题数学（文科）、选择题（本大题共 12小题，共60分） 23.若x, yeR ,则“ J"”是W 的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】解：由巴丄茫，解得|"| > |'<因此“ J A 是“ 2护 的既不充分也不必要条件. 故选：D.由.•，，解得灯，讨，即可判断出结论.【答案】C25.函数「-汀「[在处的导数等于A. - 1B. -2C. -3D. [-4【答案】BI ~~D.以上都不对24.【解析】解：函数的导数为林.1,4【答案】A2 +也(2 + 4i)(l - 06 + 2i1 +( =(1 + 0(1 -0 -^复数；；；对应的点的坐标为（乳1）,位于第一象限.28. i 为虚数单位，则，二；三:26.命题“A. VXER. ZEN* ，使得 n<x 2 B . C. 3x6，使得 n <x 2D .，使得尺此, ，使得n<x 2【答【解析】 解：因为全称命题VxeK,引1 E ，使得 n N2”的否27. 在复平面上，复数 •对应的点位于A.B. 第三象限D. 第四象限【解解:B X ER, Z R NVxER, VnENA.C. 1D. i 【答案】C【解析】因为竺m，所以r=129. 若函数.. . :有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是A. 1 -B.〔一各C. 〔…二 GD. I …. .一【答案】B【解析】解：•「f （工）二丿 + 口, + @ + + I""7，-■fOT = 3x2 + 2ux4-（«+ 6）；又| •■函数；i - —厂—；—■. ■ ■,— |有极大值和极小值，■•厶• 1 爲川匕-4- ?.■ '•、•）、：；故！…或-〔；30. 命题："若/ + b' = O（Q*0ER），则。
四川省雅安市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题-含答案
雅安市2017—2018学年下期期末检测高中二年级数学（文科）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1,2A =，{}20B x x =-<，则AB =（ ）A ．{}0,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,2 2.若23ia bi i+=+（,a b R ∈，i 是虚数单位），则a ，b 的值分别等于（ ） A ．3，2- B ．3，2 C ．3，3- D ．1-，4 3.用反证法证明“若x y <，则33x y <”时，假设内容应是（ ）A ．33x y = B ．33x y > C ．33x y =或33x y > D ．33x y =或33x y < 4.下列函数为奇函数的是（ ）A ．ln y x =B ．xy e = C.sin y x x = D ．xxy e e -=-5.命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ）A ．()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-B ．()0,x ∀∉+∞，ln 1x x =- C.()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- D ．()00,x ∃∉+∞，00ln 1x x =- 6.已知0.22a =，0.20.4b =，0.60.4c =，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >> C.c a b >> D ．b c a >> 7.已知函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()322f x xf x '=+，则()2f '等于（ ）A ．8-B ．12- C.8 D ．128.设函数()33f x ax x =+，其图象在点()()1,1f 处的切线l 与直线670x y --=垂直，则直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A ．1 B ．3 C.9 D ．129.已知函数()32f x x ax bx c =+++，那么下列结论中错误的是（ ）A ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0,x -∞上单调递减B ．0x R ∃∈，使()00f x =C ．函数()y f x =的图像可以是中心对称图形D ．若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=10.如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[)30,35，[)35,40，[]40,45的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[)35,40的网民出现的频率为（ ）A ．0.04B ．0.06 C.0.2 D ．0.3 11.已知函数()21cos 4f x x x =+，则()f x 的导函数()f x '的图象大致是（ ）A ．B ． C. D ．12.定义在R 上的函数()f x 满足：()()1f x f x '>-，()04f =，则不等式()13x xe f x e >+）（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．()3,+∞ B ．()()03-∞+∞，，C.()0,+∞ D ．()(),00,-∞+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.复数z i =的共轭复数为 ．14.已知函数()21y f x =-的定义域为⎡⎣，则函数()y f x =的定义域为 ．15.已知函数()()2,21,2x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f = ．16.若函数()2xf x e mx =-定义域为()0,+∞，值域为[)0,+∞，则m 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数()12axf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a 为常数，且函数的图象过点()1,2-.（1）求a 的值； （2）若()42xg x -=-，且()()g x f x =，求满足条件的x 的值.18. 设()()()log 1log 3a a f x x x =++-（0a >，1a ≠），且()12f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.19. 已知函数()ln mf x x x=+（1）当函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与直线410y x -+=垂直时，求实数m 的值； （2）若1x ≥时，()1f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围.20. 已知关于x 与y 有表格中的数据，且x 与y 线性相关，由最小二乘法得 6.5b =.（2）现有第二个线性模型：717y x =+，且20.82R =.若与（1）的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由.参考公式：()()221211niii nii y y R y y ==-=--∑∑21. 已知函数()ln f x x =，()ag x x=，()()()F x f x g x =+. （1）当1a =-时，求函数()F x 的单调区间；（2）当1a e <<时，若函数()F x 在区间[]1,e 上的最小值是32，求a 的值； （3）设()11,A x y ，()22,B x y 是函数()f x 图象上任意不同的两点，线段AB 的中点为()00,C x y ，直线AB 的斜率为k .证明：()0k f x '>.22.微信是现代生活进行信息交流的重要工具，据统计，某公司200名员工中90的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60，其余的员工每天使用微信的时间在一小时以上，若将员工分成青年（年龄小于40岁）和中年（年龄不小于40岁）两个阶段，那么使用微信的人中75是青年人.若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中23是青年人. （1）若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出22⨯列联表：关”？附：()()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++试卷答案一、选择题1-5BACDA 6-10ABBAC 11、12：AC 二．填空题 13．i -2 14. [－1,2] 15.72 16. 24e 三．解答题 17. 解：(1)由已知得a-）（21＝2，解得a ＝1. (2)由(1)知f ()＝x ）（21，又g ()＝f ()，则x -4－2＝x ）（21，即x ）（41－x）（21－2＝0， 即2)21x ）（（－x ）（21－2＝0，令x）（21＝t ，则t ＞0， t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0，又t ＞0，故t ＝2，即x）（21＝2，解得＝－1，故满足条件的的值为－1. 18. 解： (1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a ＞0，a ≠1)， ∴a ＝2.由⎩⎨⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得∈(－1,3)，∴函数f()的定义域为(－1,3). (2)f()＝log 2(1＋)＋log 2(3－) ＝log 2(1＋)(3－)＝log 2[－(－1)2＋4] ∴当∈(－1,1]时，f()是增函数； 当∈(1,3)时，f()是减函数，故函数f()在⎥⎦⎤⎢⎣⎡230，上的最大值是f(1)＝log 24＝2.19.解： (1)()2/1xm xx f-=∴函数()x f 在点()()1,1f 处的切线的斜率()m f k -==11/函数()x f 在点()()1,1f 处的切线与直线014=+-x y 垂直，5,41=∴-=-∴m m依题意不等式1ln ≥+xmx 在1≥x 时恒成立，即 x x x m ln -≥在1≥x 时恒成立.设()1,ln ≥-=x x x x x g则()()10ln 1ln 1/><-=--=x x x x g∴函数()x g 在[)+∞,1上为减函数，()()111≥∴=≤∴m g x g 20.解：(1)依题意设y 与的线性回归方程为y ＝6.5＋a .x＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝30＋40＋60＋50＋705＝50.因为y ＝6.5＋a ^，经过(x ，y )，所以50＝6.5×5＋a .所以a ＝17.5. 所以y 与的线性回归方程为y ＝6.5＋17.5 .(2)由(1)的线性模型得y i －i y ∧与y i －y 的关系如下表所示：521()155i i iy y =-=∑，521()1000i i y y =-=∑221121()1()ni i ini i iy y R y y ==-=--∑∑=1-1550.8451000= 由于R 21＝0.845，R 2＝0.82知R 21＞R 2，所以(1)的线性模型拟合效果比较好． 解：(1)函数()x f 的定义域为()+∞,0，()22/1xa x x a x x f -=-= 因为1-=a ，所以()0/>x f，故函数在()+∞,0递增（2）当e a <<1时，()()()()0,,;0,,1//>∈<∈x f e a x x f a x所以函数在()a ,1上递减，在()e a ,上递增，()()1ln min +==a a f x f 解得e a =，符合题意。
四川省雅安市雅安中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)
四川省雅安中学高二年级文科半期考试卷一、选择题（每题5分共60分）1.设是可导函数，且，则（ ）A.2 B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义，将所给式子化成，从而求得结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查导数的定义，属于基础题.2.已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为A. B.C.D.【答案】C 【解析】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为，从而求得，再根据题中所给的方程中系数，可以得到，利用椭圆中对应的关系，求得，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知，因为，所以，即，所以椭圆的离心率为，故选C. 点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中的关系求得结果.3.已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】 由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，所以抛物线焦点坐标为，故答案选考点：抛物线方程和性质.4.下列函数中，在（2，＋∞）内为增函数的是（ ）A. B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】根据单调性排除；利用导函数在上的正负可判断出在的单调性，进而排除，可得正确结果. 【详解】选项：时，不单调，即不单调，可知错误； 选项：，当时，，即在上为增函数，可知正确；选项：，当时，，即在上单调递减，可知错误；选项：，当时，，即在上为减函数，可知错误.本题正确选项：【点睛】本题考查函数单调性的判断，关键是考查导函数的正负与函数单调性之间的关系.5.已知a ，b 为两个不相等的非零实数，则方程与所表示的曲线可能是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】试题分析：先把曲线方程整理成=1的形式，直线方程整理成y=ax+b ，通过观察选项中的直线判断出a和b 与0的关系，进而推断曲线方程形式推断其图象． 解：把曲线方程整理成=1的形式，整理直线方程得y=ax+bA，C选项中，直线的斜率a＞0，截距b＜0，则曲线方程为双曲线，焦点在x轴，故C正确，A错误．B项中直线斜率a＜0，则曲线一定不是椭圆，故B项错误．对于D选项观察直线图象可知a＞0，b＞0，则曲线的方程的图象一定是椭圆，故D不符合．故选：C．考点：曲线与方程．6.函数的极值点的个数是（）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】【分析】求导后，利用导函数的正负判断出的单调性，根据极值点的定义可得极值点个数.【详解】令，解得：，当时，；当时，在，上单调递增；在上单调递减在处取极大值；在处取极小值即有两个极值点本题正确选项：【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值的问题，属于基础题.7.已知点P在曲线上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求导后，结合基本不等式求解出切线斜率的范围，利用，得到倾斜角的正切值所处的范围，结合直线倾斜角的范围可得的范围.【详解】，即切线斜率：（当且仅当，即时取等号），又又本题正确选项：【点睛】本题考查导数的几何意义、直线斜率与倾斜角的关系，关键是能够通过导函数所处的范围，结合基本不等式求解出切线斜率所处的范围.8.已知在区间上不单调，实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：因为函数在区间上不单调，所以在上有零点，即，所以，故选D.考点：导数与函数单调性.9.双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，若这两曲线的一个交点满足轴，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据抛物线方程得点坐标，得；根据轴可知既是抛物线通径长的一半，又是双曲线通径长的一半，从而可得的关系；通过构造出关于的方程，解方程求得结果.【详解】由题意得：，即轴为抛物线通径长一半又为双曲线通径长的一半，即由得：，解得：（舍）或本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线和抛物线的几何性质的应用，属于基础题.10.已知椭圆Γ：的离心率为，过右焦点F且斜率为的直线与Γ相交于A，B两点．若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，设设直线方程为代入①中消去，可得，由可得解得．故选D11.已知，（是自然对数的底数），，则的大小关系是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意构造函数，利用函数单调性即可比较大小.【详解】记，,可得x=e可知：在上单调递增，又∴，即故选：A【点睛】本题考查三个数的大小的比较，考查构造函数，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数与方程思想，属于中档题.12.设点分别是函数和图象上的点，，若直线轴，则两点间距离的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】由轴可得，从而可用表示出，将问题转化为求解的最小值；构造函数，利用导数可求得，则可得.【详解】轴两点间距离为：由得：，则设，则当时，，即在上单调递减本题正确选项：【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，关键是能够将问题转化为求解的最值问题，从而通过，的关系可构造出新函数，将问题变为求解新函数的最值问题.二、填空题（每题5分共20分）13.已知双曲线则该曲线的虚轴长为_______．【答案】2【解析】【分析】根据双曲线方程得，进而可得虚轴长.【详解】由题意得：，则虚轴长为：本题正确结果：【点睛】本题考查双曲线标准方程中的基本定义，属于基础题.14.已知函数，则在时的导数为_________.【答案】【解析】【分析】求导得，代入求得结果.【详解】由题意得：则本题正确结果：【点睛】本题考查导数值的求解问题，属于基础题.15.已知为椭圆上一点，是椭圆的焦点，，则的面积为________．【答案】【解析】【分析】根据椭圆方程求得，利用余弦定理构造出关于的方程，解出结果后代入三角形面积公式即可求得结果.【详解】由椭圆方程得：，，设，，则中，由余弦定理得：解得：本题正确结果：【点睛】本题考查椭圆焦点三角形面积的求解，关键是能够通过余弦定理构造出关于焦半径乘积的方程，从而求得结果；也可以利用焦点三角形面积公式直接求解得到结果.16.过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，记抛物线在A，B两点处的切线的交点为P，则面积的最小值为________________.【答案】4【解析】【分析】联立直线方程与抛物线方程，可得韦达定理的形式；利用导数可列出在两点的切线方程，求解得到点坐标，结合韦达定理得到，根据斜率关系可知，利用弦长公式和两点间距离公式分别求解出和，从而可将三角形面积表示为：，进而可求得最小值.【详解】由得：设直线方程为：，，，且则联立得：则：，由得：，则时，，即点处切线斜率为：同理可得：则：，即，，则又面积的最小值为本题正确结果：【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，关键是能够利用导数快速求解出切线的斜率，从而求得两切线的交点坐标，再利用弦长公式和两点间距离公式得到三角形底和高，从而构造出关于面积的函数关系式，属于较难题.三、解答题（17题10分；其余各题都是12分；共70分）17.已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；（2）在（1）条件下，求函数的单调区间和极值；【答案】（1）0（2）单调递增区间是，单调递减区间是，在处取得极大值，为【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得,解得的值；（2）求出导函数零点,列表分析导函数符号变化规律,确定函数单调区间及极值试题解析：解：（1）函数所以又曲线处的切线与直线平行，所以（2）令当x变化时，的变化情况如下表：由表可知：的单调递增区间是，单调递减区间是所以处取得极大值，18.已知椭圆及直线：（1）当直线与该椭圆有公共点时，求实数的取值范围；（2）当时，求直线被椭圆截得的弦长【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据直线与椭圆有交点，转化为有解，判别式大于等于即可；（2）联立直线与椭圆，根据弦长公式得到，代入韦达定理和的值即可得到结果.【详解】（1）由消去，并整理得……①∵直线与椭圆有公共点∴，可解得：故所求实数的取值范围为（2）设直线与椭圆的交点为，由①得：，当时，直线被椭圆截得的弦长为【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系、直线被椭圆截得的弦长问题.对于直线与椭圆的位置关系的判断，采用的方式是联立整理为一元二次方程，根据判别式得到解得个数，从而得到位置关系.19.已知抛物线的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线AB过点（8，0），求证：直线OA，OB的斜率之积为定值【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据抛物线方程和焦点坐标得，从而可得抛物线方程；（2）当斜率不存在时，求出交点坐标，从而得到；当斜率存在时，联立直线方程与抛物线方程，可得韦达定理的形式，列出，代入韦达定理，整理可得，从而可证得结论.【详解】（1）抛物线的焦点坐标为即抛物线的方程为（2）证明：①当直线的斜率不存在时，即可得直线与抛物线交点坐标为：②当直线的斜率存在时，设方程为，联立方程组，消去得：则：，综合①②可知，直线，的斜率之积为定值【点睛】本题考查抛物线方程的求解、抛物线中的定值问题.解决定值问题的关键是能够通过直线与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理表示出所求的值，通过整理消元得到所求定值.20.已知函数．（1）若，求函数的极小值；（2）设函数，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量使得的值相等，若存在，请求出的范围，若不存在，请说明理由？【答案】（1）极小值为2；（2）不存在，详见解析．【解析】试题分析：（1）由a=4，得函数f（x）的解析式，求出其导函数以及导数为0的根，通过比较两根的大小找到函数的单调区间，进而求出f（x）的极小值；（2）若定义域内存在三个不同的自变量的取值x i（i=1，2，3），使得f（x i）-g（x i）的值恰好都相等，设f（x i）-g（x i）=m．（i=1，2，3），则对于某一实数m，方程f（x）-g （x）=m在（0，+∞）上有三个不等的实数，由此能求出在定义域内不存在三个不同的自变量的取值x i（i=1，2，3）使得f（x i）-g（x i）的值恰好都相等．解：（1）定义域为，由已知得，2分则当时，在上是减函数，当时，在上是增函数，故函数的极小值为．6分（2）若存在，设，则对于某一实数方程在上有三个不等的实根，设，则函数的图象与x轴有三个不同交点，即在有两个不同的零点．9分显然在上至多只有一个零点则函数的图象与x轴至多有两个不同交点，则这样的不存在。
四川省雅安市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题(解析版)
雅安市2017—2018学年下期期末检测高中二年级数学（文科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求得，再根据，可求得= 。
详解：因为，所以= 。
故选B。
点睛：本题考查集合的运算，集合的运算应先确定集合中的元素，然后根据集合运算的定义即可求得。
本题考查学生的运算能力和转化能力。
2.若（，是虚数单位），则，的值分别等于（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】分析：由，可得，由复数相等可得，解得。
详解：因为，所以。
所以。
故选A。
点睛：本题考查复数的运算及复数相等等知识。
复数的加、减、乘运算和二项式的加、减、乘运算类似，其间注意。
3.用反证法证明“若，则”时，假设内容应是（）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】试题分析：∵用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“”的否定为：“”，故选：C．考点：反证法与放缩法．4.下列函数为奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：判断函数为奇函数，应先求函数的定义域，定义域应关于原点对称，的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数。
奇函数，应满足，可得选项B、C不对。
详解：对于选项A，定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数。
所以选项A错；对于选项B，，故选项B错；对于选项C，，所以为偶函数，故选项C错；对于选项D，，所以函数为奇函数，故选项D正确。
故选D。
点睛：判断函数的奇偶性，应先求函数的定义域，奇函数、偶函数的定义域应关于原点对称，不关于原点对称既不是奇函数也不是偶函数。
再找与的关系，如，则函数为偶函数；如，则函数为奇函数。
5.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】特殊命题的否定为全称命题，改量词，否结论，故命题“”的否定是.本题选择A选项.6.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：，的底数相同，故可用函数在R上为减函数，可得。
【精品】四川省雅安市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题-含答案
雅安市2017—2018学年下期期末检测高中二年级数学（文科）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1,2A =，{}20B x x =-<，则AB =（ ）A ．{}0,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,2 2.若23ia bi i+=+（,a b R ∈，i 是虚数单位），则a ，b 的值分别等于（ ） A ．3，2- B ．3，2 C ．3，3- D ．1-，4 3.用反证法证明“若x y <，则33x y <”时，假设内容应是（ ）A ．33x y = B ．33x y > C ．33x y =或33x y > D ．33x y =或33x y < 4.下列函数为奇函数的是（ ）A ．ln y x =B ．xy e = C.sin y x x = D ．xxy e e -=- 5.命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ）A ．()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-B ．()0,x ∀∉+∞，ln 1x x =- C.()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- D ．()00,x ∃∉+∞，00ln 1x x =- 6.已知0.22a =，0.20.4b =，0.60.4c =，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >> C.c a b >> D ．b c a >>7.已知函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()322f x xf x '=+，则()2f '等于（ ）A ．8-B ．12- C.8 D ．128.设函数()33f x ax x =+，其图象在点()()1,1f 处的切线l 与直线670x y --=垂直，则直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A ．1 B ．3 C.9 D ．129.已知函数()32f x x ax bx c =+++，那么下列结论中错误的是（ ）A ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0,x -∞上单调递减B ．0x R ∃∈，使()00f x =C ．函数()y f x =的图像可以是中心对称图形D ．若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=10.如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[)30,35，[)35,40，[]40,45的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[)35,40的网民出现的频率为（ ）A ．0.04B ．0.06 C.0.2 D ．0.3 11.已知函数()21cos 4f x x x =+，则()f x 的导函数()f x '的图象大致是（ ）A ．B ． C. D ．12.定义在R 上的函数()f x 满足：()()1f x f x '>-，()04f =，则不等式()13x xe f x e >+）（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．()3,+∞ B ．()()03-∞+∞，， C.()0,+∞ D ．()(),00,-∞+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 复数z i =的共轭复数为 ．14.已知函数()21y f x =-的定义域为⎡⎣，则函数()y f x =的定义域为 ．15.已知函数()()2,21,2x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f = ．16.若函数()2xf x e mx =-定义域为()0,+∞，值域为[)0,+∞，则m 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数()12axf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a 为常数，且函数的图象过点()1,2-.（1）求a 的值； （2）若()42xg x -=-，且()()g x f x =，求满足条件的x 的值.18. 设()()()log 1log 3a a f x x x =++-（0a >，1a ≠），且()12f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.19. 已知函数()ln mf x x x=+（1）当函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与直线410y x -+=垂直时，求实数m 的值； （2）若1x ≥时，()1f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围.20. 已知关于x 与y 有表格中的数据，且x 与y 线性相关，由最小二乘法得 6.5b =.（2）现有第二个线性模型：717y x =+，且20.82R =.若与（1）的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由.参考公式：()()221211niii nii y y R y y ==-=--∑∑21. 已知函数()ln f x x =，()ag x x=，()()()F x f x g x =+. （1）当1a =-时，求函数()F x 的单调区间；（2）当1a e <<时，若函数()F x 在区间[]1,e 上的最小值是32，求a 的值； （3）设()11,A x y ，()22,B x y 是函数()f x 图象上任意不同的两点，线段AB 的中点为()00,C x y ，直线AB 的斜率为k .证明：()0k f x '>.22.微信是现代生活进行信息交流的重要工具，据统计，某公司200名员工中90的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60，其余的员工每天使用微信的时间在一小时以上，若将员工分成青年（年龄小于40岁）和中年（年龄不小于40岁）两个阶段，那么使用微信的人中75是青年人.若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中23是青年人. （1）若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出22⨯列联表：？附：()()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++试卷答案一、选择题1-5BACDA 6-10ABBAC 11、12：AC 二．填空题13． i -2 14. [－1,2] 15. 7216. 24e三．解答题 17. 解：(1)由已知得a-）（21＝2，解得a ＝1. (2)由(1)知f ()＝x ）（21，又g ()＝f ()，则x -4－2＝x ）（21，即x ）（41－x）（21－2＝0， 即2)21x ）（（－x ）（21－2＝0，令x）（21＝t ，则t ＞0， t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0，又t ＞0，故t ＝2，即x）（21＝2，解得＝－1，故满足条件的的值为－1. 18. 解： (1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a ＞0，a ≠1)， ∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得∈(－1,3)，∴函数f()的定义域为(－1,3). (2)f()＝log 2(1＋)＋log 2(3－) ＝log 2(1＋)(3－)＝log 2[－(－1)2＋4] ∴当∈(－1,1]时，f()是增函数； 当∈(1,3)时，f()是减函数，故函数f()在⎥⎦⎤⎢⎣⎡230，上的最大值是f(1)＝log 24＝2. 19.解： (1)()2/1xm xx f-=∴函数()x f 在点()()1,1f 处的切线的斜率()m f k -==11/函数()x f 在点()()1,1f 处的切线与直线014=+-x y 垂直，5,41=∴-=-∴m m依题意不等式1ln ≥+xmx 在1≥x 时恒成立，即 x x x m ln -≥在1≥x 时恒成立.设()1,ln ≥-=x x x x x g则()()10ln 1ln 1/><-=--=x x x x g∴函数()x g 在[)+∞,1上为减函数，()()111≥∴=≤∴m g x g 20.解：(1)依题意设y 与的线性回归方程为y ＝6.5＋a .x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝30＋40＋60＋50＋705＝50.因为y＝6.5＋a ^，经过(x ，y )，所以50＝6.5×5＋a .所以a ＝17.5.所以y 与的线性回归方程为y ＝6.5＋17.5 .(2)由(1)的线性模型得y i －i y ∧与y i －y 的关系如下表所示：521()155i i iy y =-=∑，521()1000i i y y =-=∑221121()1()ni i ini i iy y R y y ==-=--∑∑=1-1550.8451000= 由于R 21＝0.845，R 2＝0.82知R 21＞R 2， 所以(1)的线性模型拟合效果比较好． 解：(1)函数()x f 的定义域为()+∞,0，()22/1xa x x a x x f -=-= 因为1-=a ，所以()0/>x f，故函数在()+∞,0递增（2）当e a <<1时，()()()()0,,;0,,1//>∈<∈x f e a x x f a x所以函数在()a ,1上递减，在()e a ,上递增，()()1ln min +==a a f x f 解得e a =，符合题意。
四川省雅安市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题-含答案-精编
雅安市2017—2018学年下期期末检测高中二年级数学（文科）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1,2A =，{}20B x x =-<，则AB =（ ）A ．{}0,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,2 2.若23ia bi i+=+（,a b R ∈，i 是虚数单位），则a ，b 的值分别等于（ ） A ．3，2- B ．3，2 C ．3，3- D ．1-，4 3.用反证法证明“若x y <，则33x y <”时，假设内容应是（ ）A ．33x y = B ．33x y > C ．33x y =或33x y > D ．33x y =或33x y < 4.下列函数为奇函数的是（ ）A ．ln y x =B ．xy e = C.sin y x x = D ．xxy e e -=- 5.命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ）A ．()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-B ．()0,x ∀∉+∞，ln 1x x =- C.()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- D ．()00,x ∃∉+∞，00ln 1x x =- 6.已知0.22a =，0.20.4b =，0.60.4c =，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >> C.c a b >> D ．b c a >>7.已知函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()322f x xf x '=+，则()2f '等于（ ）A ．8-B ．12- C.8 D ．128.设函数()33f x ax x =+，其图象在点()()1,1f 处的切线l 与直线670x y --=垂直，则直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A ．1 B ．3 C.9 D ．129.已知函数()32f x x ax bx c =+++，那么下列结论中错误的是（ ）A ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0,x -∞上单调递减B ．0x R ∃∈，使()00f x =C ．函数()y f x =的图像可以是中心对称图形D ．若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=10.如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[)30,35，[)35,40，[]40,45的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[)35,40的网民出现的频率为（ ）A ．0.04B ．0.06 C.0.2 D ．0.3 11.已知函数()21cos 4f x x x =+，则()f x 的导函数()f x '的图象大致是（ ）A ．B ． C. D ．12.定义在R 上的函数()f x 满足：()()1f x f x '>-，()04f =，则不等式()13x xe f x e >+）（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．()3,+∞ B ．()()03-∞+∞，， C.()0,+∞ D ．()(),00,-∞+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 复数z i =的共轭复数为 ．14.已知函数()21y f x =-的定义域为⎡⎣，则函数()y f x =的定义域为 ．15.已知函数()()2,21,2x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f = ．16.若函数()2x f x e mx =-定义域为()0,+∞，值域为[)0,+∞，则m 的值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数()12axf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a 为常数，且函数的图象过点()1,2-.（1）求a 的值； （2）若()42xg x -=-，且()()g x f x =，求满足条件的x 的值.18. 设()()()log 1log 3a a f x x x =++-（0a >，1a ≠），且()12f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.19. 已知函数()ln mf x x x=+（1）当函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与直线410y x -+=垂直时，求实数m 的值； （2）若1x ≥时，()1f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围.20. 已知关于x 与y 有表格中的数据，且x 与y 线性相关，由最小二乘法得 6.5b =.（1）求y 与x 的线性回归方程；（2）现有第二个线性模型：717y x =+，且20.82R =.若与（1）的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由.参考公式：()()221211niii nii y y R y y ==-=--∑∑21. 已知函数()ln f x x =，()ag x x=，()()()F x f x g x =+. （1）当1a =-时，求函数()F x 的单调区间；（2）当1a e <<时，若函数()F x 在区间[]1,e 上的最小值是32，求a 的值； （3）设()11,A x y ，()22,B x y 是函数()f x 图象上任意不同的两点，线段AB 的中点为()00,C x y ，直线AB 的斜率为k .证明：()0k f x '>.22.微信是现代生活进行信息交流的重要工具，据统计，某公司200名员工中90的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60，其余的员工每天使用微信的时间在一小时以上，若将员工分成青年（年龄小于40岁）和中年（年龄不小于40岁）两个阶段，那么使用微信的人中75是青年人.若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中23是青年人. （1）若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出22⨯列联表：（2）由列联表中所得数据判断，是否有百分之99.9的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++试卷答案一、选择题1-5BACDA 6-10ABBAC 11、12：AC 二．填空题13． i -2 14. [－1,2] 15. 7216. 24e三．解答题 17. 解：(1)由已知得a-）（21＝2，解得a ＝1. (2)由(1)知f ()＝x ）（21，又g ()＝f ()，则x-4－2＝x ）（21，即x ）（41－x）（21－2＝0， 即2)21x ）（（－x ）（21－2＝0，令x）（21＝t ，则t ＞0， t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0，又t ＞0，故t ＝2，即x）（21＝2，解得＝－1，故满足条件的的值为－1. 18. 解： (1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a ＞0，a ≠1)， ∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得∈(－1,3)，∴函数f()的定义域为(－1,3). (2)f()＝log 2(1＋)＋log 2(3－) ＝log 2(1＋)(3－)＝log 2[－(－1)2＋4] ∴当∈(－1,1]时，f()是增函数； 当∈(1,3)时，f()是减函数，故函数f()在⎥⎦⎤⎢⎣⎡230，上的最大值是f(1)＝log 24＝2. 19.解：(1)()2/1xm xx f-=∴函数()x f 在点()()1,1f 处的切线的斜率()m f k -==11/函数()x f 在点()()1,1f 处的切线与直线014=+-x y 垂直，5,41=∴-=-∴m m依题意不等式1ln ≥+xmx 在1≥x 时恒成立，即 x x x m ln -≥在1≥x 时恒成立.设()1,ln ≥-=x x x x x g则()()10ln 1ln 1/><-=--=x x x x g∴函数()x g 在[)+∞,1上为减函数，()()111≥∴=≤∴m g x g 20.解：(1)依题意设y 与的线性回归方程为y ＝6.5＋a .x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝30＋40＋60＋50＋705＝50.因为y＝6.5＋a ^，经过(x ，y )，所以50＝6.5×5＋a .所以a ＝17.5.所以y 与的线性回归方程为y ＝6.5＋17.5 .(2)由(1)的线性模型得y i －i y ∧与y i －y 的关系如下表所示：521()155i i iy y =-=∑，521()1000i i y y =-=∑221121()1()ni i ini i iy y R y y ==-=--∑∑=1-1550.8451000= 由于R 21＝0.845，R 2＝0.82知R 21＞R 2， 所以(1)的线性模型拟合效果比较好．解：(1)函数()x f 的定义域为()+∞,0，()22/1xa x x a x x f -=-= 因为1-=a ，所以()0/>x f，故函数在()+∞,0递增（2）当e a <<1时，()()()()0,,;0,,1//>∈<∈x f e a x x f a x所以函数在()a ,1上递减，在()e a ,上递增，()()1ln min +==a a f x f 解得e a =，符合题意。
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，则“”是“
B.
设函数可导，则
B. 3
C.
D. 以上都不对
=
=
=，
故选：C．
在处的导数等于
B. C. D.
命题“，使得”的否定形式是
，使得 B. ，使得
，使得 D. ，使得
【答案】D
【解析】根据任意和存在否定规则可得：，使得”的否定形式是
在复平面上，复数对应的点位于
第三象限
详解：∵=
对应的点的坐标为（3，1），位于第一象限．
A．
为虚数单位，则
B. C. 1 D. i
C
，
7. 若函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是
B.
D.
，则”的逆否命题是，则
，则
且，则
或
在区间
B. C. D.
，移向得，
）若在，则在
）在上单调递增（减）（）在上恒成立，且在
）若函数在区间内存在单调递增（减）区间，则
，，且函数在处有极值，则的最大值等于A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
当且仅当a=b=3时取等号，
满足条件在复平面上对应点的轨迹是
上的可导函数的导函数为，满足，且的解
B. C. D.
，利用导数研究函数的单调性，转化不等式即可得到结论．
，则函数的导数为
=，
）＜f（x），∴g′（
=2
化为
函数常根据导数法则进行：如构造；如构造
；如构造等.
二、填空题（本大题共
若复数为虚数单位，则
【答案】
=．
故答案为：
设函数满足___________
【答案】
故答案为：
某产品的销售收入（万元）是产量（千台）的函数，生产成本（万元）是产量
，已知
【答案】6
16. 函数在定义域内的图象如图所示记的导函数为，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】由f′(x)≤0时，
由函数图像可知当
的解集为
小题，共70
已知复数
为纯虚数，求实数a的值；
在复平面上对应的点在直线上，求实数
）
Ⅰ，且
Ⅱ，
上，则
．
0已知命题且，命题
的取值范围；
为假命题且为真命题，求
（）或
为真命题可知，即可得到结果；
为真命题，可得p，q
详解：解：，解得．
且，解得．
为假命题且为真命题，必然一真一假．
假时，，解得
真时，，解得．的取值范围是或．
已知函数
求函数在点处的切线方程；
若直线与的图象有三个不同的交点，求
）
）根据题意，对f（x）求导可得
，﹣
x）求导可得
由已知得：
解得：
时，
时，
的极大值是
的极小值是
与的图象有三个不同的交点，
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
的导数为，若函数的对称轴为直线，且求实数的值
求函数
）处取到极大值，在处取到极小值
）先对求导，的导数为二次函数，由对称性可求得，再由即可求出求导，分别令大于和小于，即可解出的单调区间，继而确定函数的极值.
）因故,关于直
从而由条件可知解得又由于,解得2）由（
得或,
时在时上是减函数
,在处取到极大值在
.
已知函数．
求函数
对上恒成立，求实数
详解：解：Ⅰ
，
时，，
上为减函数，在
Ⅱ
时，在
恒成立，则
时，在上单调递减，在时，这与。