第十章积分习题课
高等数学(下)课件D10_习题课
f ( x, y )dy
(2) I= ∫1 dy ∫1 f ( x, y )dx + ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
2 y 1 y
2
2
2
2
解：根据积分限可得积分区域
1 1 D = {( x, y ) | ≤ y ≤ 1, ≤ x ≤ 2} 2 y U{( x, y ) |1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ 2}
2 2 1 1 D − x 1
1 1 1[+−)1x 1(|−x 2 2 2 d − | 31 = ∫( x y ] = ∫ x ) − 1 d x − − 1 1 3 3 1 2 x1 = =∫3 ) 1 − ( −x . d 0 3 2 3
D 直x 及 2 3 ∫ y ,其是 =2 物 线 线 例算 σ 中由y − 抛yx 计x = d ∫
6、会用二重积分计算质量、质心、一阶矩和转动惯 量等。 7、掌握第一型曲面积分的概念，会确定曲面在坐标 平面上的投影区域，会计算简单曲面上的第一型 曲面积分。 8、对三重积分可以理解为密度函数为的所占的区域 为的物体的质量。理解这一点对三重积分的许多 性质的理解有极大的帮助。 9、还应将三重积分和以前各类积分比较，一方面可 以加强理解，另一方面也使同学不易忘记和混淆。
xσ [ xx d ∫ y = yy] ∫ d ∫∫ dy 1
22 D
3 4 2 x2y 2 yyd [2 y2 9 = y ] = 2 ) = −] . [ ( y 1 ∫ ⋅2d ∫ − y y 8= 1 1 8 2 2
D 直1 = 2 ∫ +−d 其是 = x 1 线 − 例算12 yσ 中由y 、 计y x 2 , ∫
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十章
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十章第十章 定积分的应用一、 填空题 1． 求曲线8,2222=+=y x x y 所围成图形面积A （上半平面部分），则A =2． 曲线xxe y e y -==,及1=x 所围面积A =3． 曲线θθcos 1,cos 3+==r r 所围面积A = 4． 曲线)0(>=λλθae r 从0=θ到αθ=一段弧长S =5． 曲线⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x 从0=t 到π=t 一段弧长S =6． 均匀摆线)0(cos 1sin π≤≤⎩⎨⎧-=-=t t y tt x ，弧长4=S ，则其重心坐标是 7． 曲线0,0),0(==≤=y x x ey x所围图形绕Ox 轴旋转所得旋转体的体积为 ；而绕Oy 轴旋转所得旋转体的体积为 8． 抛物线)(a x x y -=与直线x y =所围图形的面积为9． 在抛物线24x y =上有一点P ，已知该点的法线与抛物线所围成的弓形面积为最小，则P 点的坐标是 10．设有一内壁形状为抛物面22y xz +=的容器，原来盛有)(83cm π的水，后来又入注)(643cm π的水，设此时水面比原来提高了hcm ，则h =11．由曲线,2,1=+=x x x y 及2=y 所围图形的面积S = 曲线xx xy 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A =二、选择填空题1． 曲线)0(ln ,ln b a a y x y <<==与y 轴所围成图形的面积为A ，则A =（ ） （A ）⎰baxdxln ln ln （B ）⎰bae ex dxe （C）⎰b ay dye ln ln（D ）⎰b a e e xdxln2．曲线x y x y ==,1，2=x 所围成的图形面积为A ，则A =（ ） （A ）dx x x)1(21-⎰（B ）dx x x )1(21-⎰ （C ）⎰⎰-+-2121)2()12(dyy dy y（D ）⎰⎰-+-2121)2()12(dxx dx x3．曲线xe y =下方与该曲线过原点的切线左方及y 轴右方所围成的图形面积A =（ ）（A ）dxex ex)(10-⎰（B ）dy y y y e )ln (ln 1-⎰（C ）dxxe e ex x )(1⎰-（D ）dy y y y )ln (ln 10-⎰4．曲线)0(cos 2>=a a r θ所围图形面积A =（ ） （A）()θθπd a 220cos 221⎰（B ）θθππd a ⎰-2cos 221（C）()θθπd a 220cos 221⎰（D ）()θθπd a 220cos 2212⎰5．曲线πθπθθ=-==,,ae r 所围图形面积A =（ ）（A）⎰πθθ02221d e a（B ）⎰πθθ20222d e a （C）⎰-ππθθd e a 22（D ）⎰-ππθθd e a 2226．曲线θθ2cos ,sin 22==r r 所围图形面积A =（ ）（A ）()()⎰⎰+-222121212cos 2sin 2θθθθd d（B ）()()⎰⎰+46262cos sin 2πππθθθθd d （C ）()()⎰⎰+462602cos 21sin 221πππθθθθd d（D ）()()⎰⎰+462602cos sin 22πππθθθθd d7．曲线()21ln x y -=上210≤≤x 一段弧长S =（ ） （A）dx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2102111（B ）⎰-+212211dx x x（C ）dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--+2102121 （D ）dxx ⎰-+21022])1[ln(18．摆线)0()cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 一拱与x 轴所围图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积=V （ ） （A ）()⎰-ππ2022cos 1dt t a（B ）())]sin ([cos 12202t t a d t a a--⎰ππ（C ）()⎰--ππ2022)]sin ([cos 1t t a d t a（D ）()⎰-adt t a ππ2022cos 19．星形线⎪⎩⎪⎨⎧==ta y t a x 33sin cos 的全长S =（ ）（A ）⎰-⋅202)sin (cos 3sec 4πdtt t a t（B ）⎰-⋅022)sin (cos3sec 4πdtt t a t （C ）⎰-⋅π02)sin (cos 3sec 2dtt t a t （D ）⎰-⋅02)sin (cos 3sec 2πdtt t a t10．心形线)cos 1(4θ+=r 与直线2,0πθθ==围成图形绕极轴旋转的旋转体体积 =V （ ） （A ）⎰+202)cos 1(16πθθπd（B ）⎰+2022sin )cos 1(16πθθθπd（C ）⎰++2022]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd（D ）⎰++0222]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd11．两个半径为a 的直交圆柱体所围的体积为V=（ ）（A ）⎰-adxx a 022)(4 （B ）⎰-adx x a 022)(8（C ）⎰-a dxx a 022)(16 （D ）⎰-adx x a 022)(212．矩形闸门宽a 米，高h 米，垂直放在水中，上沿与水面齐，则闸门压力p =（ ） （A ）⎰h ahdh 0（B ）⎰a ahdh 0（C ）⎰hahdh 021（D ）⎰h ahdh 0213．横截面为S ，深为h 的水池装满水，把水全部抽到高为H 的水塔上，所作功=W （ ）（A ）⎰-+h dy y h H S 0)( （B ）⎰-+H dy y h H S 0)(（C ）⎰-h dy y H S 0)( （D ）⎰+-+H h dy y h H S 0)(14．半径为a 的半球形容器，每秒灌水b ，水深)0(a h h <<，则水面上升速度是（ ）（A ）⎰hdy y dh d2π （B ）⎰--h dy a y a dhd 022])([π（C ）⎰h dy y dh d b2π （D ）⎰-h dy y ay dhd b02)2(15．设)(),(x g x f 在区间[]b a ,上连续，且m x g x f <<)()(（m为常数），则曲线b x a x x f y x g y ====,),(),(所围平面图形绕直线m y =旋转而成的旋转体体积为（ ）（A ）⎰-+-b adx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（B ）⎰---b adx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（C ）⎰-+-b adx x g x f x g x f m )]()()][()([π（D ）⎰---b adx x g x f x g x f m )]()()][()([π三、计算题1．求抛物线2x y =与2x 2y -=所围图形的面积。
高等数学 课后习题答案 第十章
习题十1. 根据二重积分性质，比较ln()d Dx y σ+⎰⎰与2[ln()]d Dx y σ+⎰⎰的大小，其中：（1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；（2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤.解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有图10-112x y ≤+≤从而0l n ()1x y ≤+<故有2l n ()[l n ()]x y x y +≥+ 所以2l n ()d [l n ()]dDDx y x yσσ+≥+⎰⎰⎰⎰（2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥.图10-2 从而 ln(x+y)>1 故有2l n ()[l n ()]x y x y +<+ 所以2l n ()d [l n ()]dDDx y x yσσ+<+⎰⎰⎰⎰2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值：（1）,{(,)|02,02}I D x y x y σ==≤≤≤≤⎰⎰;（2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}DI x y D x y x y σ==≤≤≤≤⎰⎰;（3）2222(49)d ,{(,)|4}DI x y D x y x y σ=++=+≤⎰⎰.解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤因而04xy ≤≤.从而2≤≤故2d DD σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即2d d DDσσσ≤≤⎰⎰⎰⎰而d Dσσ=⎰⎰（σ为区域D 的面积），由σ=4得8σ≤≤⎰⎰(2) 因为220sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而220sin sin 1x y ≤≤故 220d sin sin d 1d DDDx y σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即220sin sin d d DDx y σσσ≤≤=⎰⎰⎰⎰而2πσ=所以2220sin sin d πDx y σ≤≤⎰⎰（3）因为当(,)x y D ∈时，2204x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤故229d (49)d 25d DDDx y σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即 229(49)d 25Dx y σσσ≤++≤⎰⎰而2π24πσ=⋅=所以 2236π(49)d 100πDx y σ≤++≤⎰⎰3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：（1）222(,{(,)|};Da D x y x y a σ=+≤⎰⎰（2）222,{(,)|}.D x y x y a σ=+≤⎰⎰解：（1）(,Da σ-⎰⎰在几何上表示以D 为底，以z 轴为轴，以（0，0，a ）为顶点的圆锥的体积，所以31(π3D a a σ=⎰⎰（2）σ⎰⎰在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球的体积，故32π.3a σ=⎰⎰4. 设f(x ，y)为连续函数，求2220021lim(,)d ,{(,)|()()}πDr f x y D x y x x y y r r σ→=-+-≤⎰⎰.解：因为f(x ，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得，(,),D ξη∃∈使得2(,)d (,)π(,)Df x y f r f σξησξη=⋅=⋅⎰⎰又由于D 是以（x0，y0）为圆心，r 为半径的圆盘，所以当0r→时，00(,)(,),x y ξη→于是：0022200000(,)(,)11lim(,)d limπ(,)lim (,)ππlim (,)(,)Dr r r x y f x y r f f r r f f x y ξησξηξηξη→→→→=⋅===⎰⎰5. 画出积分区域，把(,)d Df x y σ⎰⎰化为累次积分：（1）{(,)|1,1,0}D x y x y y x y =+≤-≤≥;(2)2{(,)|2,}D x y y x x y =≥-≥(3)2{(,)|,2,2}D x y y y x x x =≥≤≤解：（1）区域D 如图10-3所示，D 亦可表示为11,01y x y y -≤≤-≤≤.所以1101(,)d d (,)d yDy f x y y f x y xσ--=⎰⎰⎰⎰(2) 区域D 如图10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=y2的交点为（1，-1），（4，2），区域D 可表示为22,12y x y y ≤≤+-≤≤.图10-3 图10-4所以2221(,)d d (,)d y Dyf x y y f x y xσ+-=⎰⎰⎰⎰（3）区域D 如图10-5所示，直线y=2x 与曲线2y x =的交点(1，2)，与x=2的交点为(2，4),曲线2y x =与x=2的交点为（2，1），区域D 可表示为22,1 2.y x x x ≤≤≤≤图10-5所以2221(,)d d (,)d xDxf x y x f x y yσ=⎰⎰⎰⎰.6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序：（1）2220d (,)d yy y f x y x⎰⎰; (2)eln 1d (,)d xx f x y y⎰⎰;(3)1320d (,)d y y f x y x-⎰; (4)πsin 0sin2d (,)d xxx f x y y-⎰⎰;(5)123301d (,)d d (,)d yyy f x y y y f x y x-+⎰⎰⎰⎰.解：（1）相应二重保健的积分区域为D ：202,2.y y x y ≤≤≤≤如图10-6所示.图10-6D 亦可表示为：04,.2xx y ≤≤≤所以22242d (,)d d (,)d .yx yy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰(2) 相应二重积分的积分区域D：1e,0ln.x y x≤≤≤≤如图10-7所示.图10-7D亦可表示为：01,e e,yy x≤≤≤≤所以e ln1e100ed(,)d d(,)dyxx f x y y y f x y x=⎰⎰⎰⎰(3) 相应二重积分的积分区域D为：01,32,y x y≤≤≤≤-如图10-8所示.图10-8D亦可看成D1与D2的和，其中D1：201,0,x y x≤≤≤≤D2：113,0(3).2x y x≤≤≤≤-所以2113213(3)200010d(,)d d(,)d d(,)dy x xy f x y x x f x y y x f x y y--=+⎰⎰⎰⎰⎰.(4) 相应二重积分的积分区域D为：0π,sin sin.2xx y x≤≤-≤≤如图10-9所示.图10-9D亦可看成由D1与D2两部分之和，其中D1：10,2arcsinπ;y y x-≤≤-≤≤D2：01,arcsinπarcsin.y y x y≤≤≤≤-所以πsin 0π1πarcsin 0sin12arcsin 0arcsin 2d (,)d d (,)d d (,)d xyx yyx f x y y y f x y x y f x y x----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5) 相应二重积分的积分区域D 由D1与D2两部分组成，其中 D1：01,02,y x y ≤≤≤≤ D2：13,03.y x y ≤≤≤≤-如图10-10所示.图10-10D 亦可表示为：02,3;2xx y x ≤≤≤≤-所以()123323012d ,d d (,)d d (,)d yyxxy f x y x y f x y x x f x y y--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰7. 求下列立体体积：（1）旋转抛物面z=x2+y2,平面z=0与柱面x2+y2=ax 所围； （2）旋转抛物面z=x2+y2,柱面y=x2及平面y=1和z=0所围. 解：（1）由二重积分的几何意义知，所围立体的体积V=22()d d Dx y x y+⎰⎰其中D ：22{(,)|}x y x y ax +≤由被积函数及积分区域的对称性知，V=2122()d d D x y x y+⎰⎰，其中D1为D 在第一象限的部分.利用极坐标计算上述二重积分得cos πππcos 344442220001132d d 2d cos d π4232a a V r r r a a θθθθθθ====⎰⎰⎰⎰.(2) 由二重积分的几何意义知，所围立体的体积22()d d ,DV x y x y =+⎰⎰其中积分区域D 为xOy 面上由曲线y=x2及直线y=1所围成的区域，如图10-11所示.图10-11D 可表示为：211, 1.x x y -≤≤≤≤所以21122221()d d d ()d DxV x y x y x x y y-=+=+⎰⎰⎰⎰2111232461111188d ()d .333105x x y y x x x x x --⎡⎤=+=+--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 8. 计算下列二重积分：（1）221d d ,:12,;Dx x y D x y x y x ≤≤≤≤⎰⎰(2)e d d ,x yDx y ⎰⎰D 由抛物线y2=x,直线x=0与y=1所围；（3）d ,x y ⎰⎰D 是以O(0,0)，A(1，-1)，B(1，1)为顶点的三角形;(4)cos()d d ,{(,)|0π,π}Dx y x y D x y x x y +=≤≤≤≤⎰⎰.解：（1）()22222231221111d d d d d d xx Dx xx x x x y x y x x x x y yy ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2421119.424x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦(2) 积分区域D 如图10-12所示.图10-12D 可表示为：201,0.y x y ≤≤≤≤所示22110000e d d d e d d e d()xx x y y y y yD xx y y x y y y ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 21111ed (e 1)d e d d y x y y yy y y y y y y y==-=-⎰⎰⎰⎰1111120000011de d e e d .22yy yy y y y y y =-=--=⎰⎰⎰(3) 积分区域D 如图10-13所示.图10-13 D 可表示为：01,.x x y x ≤≤-≤≤所以2110d d arcsin d 2xxx x y x y x y xx --⎡==+⎢⎣⎰⎰⎰⎰⎰112300ππ1πd .2236x x x ==⋅=⎰ππππ0πππ0(4)cos()d d d cos()d [sin()]d [sin(π)sin 2]d (sin sin 2)d 11.cos cos 222x Dxx y x y x x y y x y xx x x x x xx x +=+=+=+-=--⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰9. 计算下列二次积分：10112111224sin (1)d d ;(2)d e d d e d .yy y xxyxy x xy x y x +⎰⎰⎰⎰解：（1）因为sin d xx x ⎰求不出来，故应改变积分次序。
大学物理第十章课后答案
题图10-1题10-1解图d第十章习题解答10-1 如题图10-1所示，三块平行的金属板A ，B 和C ，面积均为200cm 2,A 与B 相距4mm ，A 与C 相距2mm ，B 和C 两板均接地，若A 板所带电量Q =3.0×10-7C ，忽略边缘效应,求：（1）B 和C 上的感应电荷？（2）A 板的电势（设地面电势为零）。
分析：当导体处于静电平衡时，根据静电平衡条件和电荷守恒定律，可以求得导体的电荷分布，又因为B 、C 两板都接地，所以有ACAB U U =。
解：（1）设B 、C 板上的电荷分别为B q 、C q 。
因3块导体板靠的较近，可将6个导体面视为6个无限大带电平面。
导体表面电荷分布均匀，且其间的场强方向垂直于导体表面。
作如图中虚线所示的圆柱形高斯面。
因导体达到静电平衡后，内部场强为零，故由高斯定理得：1A C q q =-2A B q q =-即 ()A B C q q q =-+ ①又因为： ACAB U U =而: 2AC ACdU E =⋅ AB AB U E d =⋅∴ 2AC AB E E =于是：002C B σσεε =⋅ 两边乘以面积S 可得： 002C B S S σσεε =⋅即： 2C B q q = ②联立①②求得: 77210,110C B q C q C --=-⨯=-⨯题图10-2(2) 00222C C A AC C AC AC q d d d U U U U E S σεε =+==⋅=⋅=⋅ 733412210210 2.2610()200108.8510V ----⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯10-2 如题图10-2所示，平行板电容器充电后，A 和B 极板上的面电荷密度分别为+б和－б，设P 为两极板间任意一点，略去边缘效应，求：（1）A,B 板上的电荷分别在P 点产生的场强E A ,E B ;（2）A,B 板上的电荷在P 点产生的合场强E ； (3)拿走B 板后P 点处的场强E ′。
大学物理课后习题详解(第十章)中国石油大学
根据高斯定理可得 方向由的正负确定
10-22 如图所示，在xOy平面内有与y轴平行、位于和处的两条无限长平 行均匀带电直线，电荷线密度分别为和。求z轴上任一点的电场强度。
[解] 无限长带电直线在线外任一点的电场强度 所以 P点的场强 由对称性知合场强的z方向分量为零，x方向分量 而
所以 方向指向x轴负方向 10-23 如图所示，在半径为R，体电荷密度为的均匀带电球体内点处放
所以 证毕。
10-27 电量q均匀分布在长为2l的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离 为a的点P的电势(以无穷远为零电势点)。 [解] 取如图所示的电荷元dq，，它在P点产生的电势为
则整个带电直线在P点产生的电势为
10-28 如图所示，在点电荷+q的电场中，若取图中点P处为电势零点， 则点M的电势为多少? [解] 取P点为电势零点，则M点电势为
10-10 如图所示，一厚度为b的无限大带电平板，其体电荷密度为 (0≤x≤b)，式中k为正常量。求：(1)平板外两侧任一点和处的场强大小； (2)平板内任一点P处的电场强度； (3)场强为零的点在何处? [解] (1)过点作一圆柱体穿过无限大带电平板，由高斯定理
即 所以 因此平板外一点的场强与距平板的距离无关， (2)板内(即0≤x≤b区域) (3)若电场强度为0，则 此时，此即为场强为0的点。
10-1l 一半无限长的均匀带电直线，线电荷密度为。试证明：在通过带 电直线端点与直线垂直的平面上，任一点的电场强度 E的方向都与这直 线成45°角。 [解] 如图选择直角坐标系，在棒上取电荷元
它在过棒端的垂直面上任意点贡献场强为
由于
且
所以
总场强的分量为 它与负y方向的夹角是
10-12 一带电细线弯成半径为R的半圆形，线电荷密度，式中为一常 量，为半径R与x轴所成的夹角，如图所示。试求环心O处的电场强度。 [解] 取电荷元
(整理)高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答
第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分： （1）LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧； 解:(1+．（2）(1)L x y ds ++⎰，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解:(1)3Lx y ds -+=+⎰．（3）22Lx y ds +⎰，其中L 为圆周22x y x +=；解:222Lx y ds +=⎰．（4）2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解: 2Lx y z d =⎰2 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥度1ρ=。
解 故所求重心坐标为444,,333πππ⎛⎫⎪⎝⎭．习题10—21 设L 为xOy 面内一直线y b =（b 为常数），证明xyoABC(,)0LQ x y dy =⎰。
证明：略.2 计算下列对坐标的曲线积分： （1）Lxydx ⎰，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧。
解 :45Lxydx =⎰。
（2）⎰-++Ldy y x dx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y --=11从对应于0=x 时的点到2=x 时的点的一段弧；解34)()( 2222=-++⎰Ldy y x dx y x ．（3）,Lydx xdy +⎰L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧；解 0.Lydx xdy +=⎰（4）22Lxy dy x ydx -⎰，其中L 沿右半圆222x y a +=以点(0,)A a 为起点，经过点(,0)C a 到终点(0,)B a -的路径；解 22Lxy dy x ydx -⎰44a π=-。
（5）3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ；解 3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰3187874t dt ==-⎰。
习题课10-2
- 13 -
习 题 课（二）
= 2 ∫∫ 2 y 2 zdydz = 2 ∫ dy ∫
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
1
2 y 2
π 4 = = ∫ (1 2π 3 1 ( z 2 y )dydz = 同理 ∫∫ 2
1 3 2 2 y ) dy
D yz
1
1
2 y 2 zdz
Σ : y = y( x , z )
( x , z ) ∈ Dxz
∫∫
Σ
f ( x , y , z ) dS =
∫∫
Dxz
2 2 f ( x , y( x , z ), z ) 1 + y x + yz dxdz
-1-
习 题 课（二）
例1 计算下列曲面积分 （1） ( x + y )dS , 其中 Σ 为由锥面 z = ∫∫
习 题 课（二）
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy Σ = ∫∫ ( z x P z yQ + R )dxdy
证 设 cos α , cos β , cos γ 为 Σ 指定测的法向量的方向 余弦。由于 n = ±{ z x , z y ,1} zx 所以 cos α = ± 2 2 1 + zx + z y 1 cos γ = ± 2 1 + zx + z2 y
Dxy
= ∫
π
2d 0
∫ ρ dρ = 0
3
1
π
8
∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy
Σ
=
π
8
+
π
8
习题课10不积分与定积分(二)反常积分
0
1
20 1
(1 2
x2
x2 1
e t 2
dt)
1 0
1 2
1 x2d ( x2 et2 dt)
0
1
1 2
1 2x3ex4 dx
0
1 ex4 4
1 0
1 (e1 1) 4
n
n1 (k 1)
5. x sin x dx
x sin x dx
0
k
k 0
n1
n1
(k t) sin(k t)dt
解: 1. xf (x)dx xdf (x) xf (x) f (x)dx
xf (x) f (x) c
2. f (x)的一个原函数为 sin x f (x) (sin x)
x
x
xf (x)dx xdf (x) xf (x) f (x)dx
x(sin x ) sin x c cos x 2sin x c
a
2
F(x) f (x) f ( a x ) 1 (x a) f ( a x )
22
2
1 2
(x
a)
f
(1 )
1 2
(x
a)
f
(
a
2
x)
1 2
(x
a)
f
( 2
)(1
a
2
x
)
0
F
(b)
F
(a)
0
令G(x) x a ( f (a) f (x))
x
f (x)dx)
2
a
2.设 f (x)在[a, b]上单增连续，证明
习题课 十
一.计算下列积分:
1. xf (x)dx
辽宁工业大学高数习题课(10)
（这里 L 为区域 D 的正向边界曲线) 3．利用积分与路径无关的条件计算法.
c . Pdx Qdy 与路径无关 Pdx Qdy 0 ，为区域内任意闭曲线
L
c
P Q , ( x, y ) G ─单连域. y x
du Pdx Qdy, ( x, y ) G —单连域.
所以
AB
dx dy ydz [1 (1 x )]dx 2;
1
0
BC
dx dy ydz [(1 z ) (1 z )z ]dz ( 2 z )dz
0
0
1
1
3 2
CA
dx dy ydz 1 dx 1
采用框图中线路2→21的方法计算；此时应注意首先要利
用积分曲线方程将被积函数中的分母化简，去掉奇点，使 其满足格林公式的条件。
解法1：化为定积分计算。
x a cos t L 的参数方程为： , t 从 0 变到 2 . 则 y a sint
( x y )dx ( x y )dy I L x2 y2 1 2 2 [(a cos t a sint )(a cos t ) (a cos t a sint )(a sint )]dt a 0 1 2 2 [( a 2 )dt 2 a 0
0
1
从而
I
dx dy ydz (
3 1 1 2 2
AB
BC
) dx dy ydz
CA
2
解法2：利用斯托克斯公式计算. 设 为平面 x y z 1 上 L AB BC CA 所围成部分的上侧，
《高数》第十章习题课-线面积分的计算
12
练习题: P184 题 3(5) ; P185 题6; 10 3(5). 计算
其中L为上半圆周 提示:
沿逆时针方向.
I ex sin y d x (ex cos y 2)dy 2 ydx
L
L
2 ydx
L AB AB
L
L
:
xy
a a
(1 cos sin t
其中L为上半圆周
沿逆时针方向.
P185 6 . 设在右半平面 x > 0 内, 力
构成力场,其中k 为常数,
场力所作的功与所取的路径无关.
证明在此力场中
P185 10. 求力
沿有向闭曲线 所作的
功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三
角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向.
3
16
二、曲面积分的计算法
1. 基本方法
曲面积分
第一类( 第二类(
对面积 对坐标
) )
转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
(2)
积分元素投影
第一类: 第二类:
始终非负 有向投影
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
17
2. 基本技巧
(1) 利用对称性及重心公式简化计算 重心公式
20
例4. 设 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n 为的 单位外法向向量, 试证
证明: 设 n (cos , cos , cos )
(常向量)
则 cos( n ,a ) d S n a 0 dS
二重积分的计算及应用习题课1精品文档
2a,x
D2
将积分 D分 区成 D 域 1,D2
D1
D3
及D3三部 , 分
D1
: y2 2a
xa
a2 y2,
y2
0 ya;
D 2:2ax2a,ay2a;
D3:a a2y2 x2a,
0ya;
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8
D1
y2 :
2a
xa
0 ya;
a2 y2,
D 2:2 ya 2x2a,ay2a;
(2) f(x,y)f(x,y)时 ,
I2f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy.
D 1
D 2
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15
4.D 关y于 x对.称
f(x ,y)d x d yf(y,x )d x d y
D
D
5 .D 1,D 2 关 y 于 x 对 . 称
f(x,y)d x d yf(y,x)d x d y
D1 D2
o 1x
作辅助线 yx将D 分成 D1, D2 两部分
2D 2(xy)dxdy2Ddxdy
2(
21)
3
2
说明: 若不利用对称性，需分块积分以去掉绝对值符号.
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练习题
P182 题1（2）
A
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20
练习题
P182 题6
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其它情形依此类推.
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P182 题1(1) 设有空间闭区域
1 { x ,y , ( x ) |x 2 y 2 z 2 R 2 ,z 0 }
2 { ( x ,y , x ) |x 2 y 2 z 2 R 2 , x 0 ,y 0 , z 0 }
第十章曲线积分与曲面积分习题课
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
b
a f ( x ) d F x ( b ) F ( a )( F ( x ) f ( x ))
牛顿--莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
D( Q x P y)dx d L Py dQ xd (沿 y L 的)正向
格林公式
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3.三重积分与曲面积分的联系
思路:
ILPdxQdy
(x,y)
非闭
I PdxQdy (x0,y0)
P
Q
P
定 义
n
n
f(x,y,z)d sl i0 im 1f(i,i,i) si R (x ,y,z)dx l d i0i m 1 y R (i,i,i)( S i)xy
联 系
PdydQzdzdRxdxd (yP c oQ sco s R co)dsS
计
f(x, y,z)ds
R(x,y,z)dxdy
算
a y 1 (x ) z 1 (x ,y )
f(x ,y )d s bf[x ,y (x )1 ] y 2 d,(d x 线 s ( 曲 元 ))
L
a
f(x ,y )d x bf[x ,y (x )d ],(d x 线 x (投 元 ))影 素
L
a
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f(x ,y ,z)d S f[x ,y ,z(x ,y )]1 zx 2 zy2 dxd
旋度 rA o ( tR Q )i ( P R ) j ( Q P )k y z z x x y
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二、典型例题
例 1 计 算 I (x22x)ydx (x2y4)d, y L
其 中 L为 由 点 O(0,0)到 点 A(1,1)的 曲 线 ysi nx. 2
微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社_第十章[1]
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第十章习题10_11.指出下列各微分方程的阶数:)3 5(y，)4-y5 x°=0;(1) 2x(y' ) -2yy,xd0; ⑵(y〃⑶Xy 2y'' χ2yq ⑷ 2 2 2 2(X -y )dx (X y )dy=0.解: (1)因为方程中未知函数y的最高阶导数的阶数为1,故该方程为一阶微分方程(2) 二阶.(3) 三阶.(4) 一阶.2. 验证下列给定函数是其对应微分方程的解：(1) y=(x C)e», y' y=e»;X X(2) Xy=C I e C2e , xy'' 2y' -Xy ^0;(3) X -cos2t Cιcos3t C2sin3t, x" 9x=5cos2t;2 2⑷X -1, Xyy" X(y' )2-yy' oC l C2解(1):y = e」_(x C) e」y y = e~ -(X C)e」(X C)e」=ey = (x c)e」是微分方程y、y =e *的解.X _X . X X、 .(2) 在方程Xy =C l e ∙ c?e 两边对X求导有y ■ x√ = C l e -^e 上方程两边对X求导有 2 y Xy =C I eX c2e」，即2 y Xy =Xy 即Xy 2 y - xy = 0所以X y = C l^ ■ c2e」所确定的函数y = y( x)是方程x^ 2 y - xy = 0的解.(3)X= -2 Sin 2t 7c1sin 3t 3c2cos 3tX = -4 cos 2t —9c1cos 3t —9c2Sin 3tX 9^=-4 cos 2t —9c1cos 3t —9c2Sin 3t■ 9 cos 2t ' 9c1cos 3t 9c2Sin 3t=5 cos 2t所以X=CoS 2t c1cos 3t ■ c2 Sin 3t 是微分方程√ 9 5 cos 2t 的解.2 2Xy(3)方程 1两边对X 求导得C1c2C 2X C I yy=O(1)(1) 式两边对X 求导得2C 2 ■ C1( y )- syy = 0 (2)(2) 式两边同乘以X 得2C 2XC 1X (y ) C I Xyy =0(3)(3) -(2)得 Xyy (K^- y y 02 2所以 —^y ^ =1是方程Xy^ X(y ) - yy ■ = 0的解. C 1 C3. 已知曲线的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求这曲线所满足的微分方程.解：设(X , y)是曲线y = f (X )上任一点，则过该点的切线方程为 Y - y = y∙(X - x),由已知X =0时,Y = x,得x -y = -xy ■即xy "-y ∙ x = 0为y = f (x)所满足得微分方程 4. 求通解为y=Ce x ∙χ的微分方程，这里 C 为任意常数.解：由y=CeX-χ得√ = C e 1 ,而由已知C^ =^X 得 y >y -x T 故通解为 ^Ce XX 的微分方程为y ■ = y 一 X 1 .习题10-21. 求下列微分方程的通解或在给定的初始条件下的特解: (2) xydx 、.一1 一 X 2 dy=0;2 2⑶(Xy x)dx (y -χ y)dy=0;2 I 2(4) Sin XCoS ydχ cos xdy=0;(6) yy'∙χe y =0, y(1)=0; ⑺ y'=e 2τ,y x ^=0 .(1) y =⑸亠d X-丄d y=0,y1 y 1 X解:(1)原方程分离变量得dy dx 1 y 1 - X(V^Z 0),两边积分得2In 1+y| = _ln 1 _x +G 即 In (1 一x)(1 + y) = G , 即 ∣(1 —x)(1 +y)∣ =e c1 , (1 — x)(1 +y) =±e c1 , 记_e c1 =c,有(1 —x)(1 ∙ y) =c(c =0),而当 y∙1=0即y = —1时,显然是方程的解，上又y = 0显然是方程的解方程的通解为 y = ce 1 * (C 为任意常数).2 y 2 X(3) ---------------------------- 分离变量得 dy = ——dx,两边积分得In(1 +y 2)=ln X^^C 1 ,即1 + y X -1In —2^^- =c 1从而 I J ry^= ±e°1 (x? -1),记 C= ±e°1有『 =c(x? -1) —1.X -1(4) 分离变量得，一S i n 2X dx ,两边积分得，tan y-— C 即 CoS y CoS XCoS Xtan y ■ SeC x = c .2 3 2 3(5) 原方程可化为：y(1 ∙ y)dy =x(1 - x)dx,两边积分得 - - - X C 2 3 23亠 11 5 、 由yχ±=1 得c=—+—=—,所以原方程满足初始条件的特解为2 3 6 23 23yy x x5 33 22即 2 (x 3 - y 3)3X 2 - y 2 )= . 52 32 362(6) 分离变量得-ye^y dy =xdx,两边积分得 y^ e C21由y(1) =0得C ,故原方程满足初始条件的特解为2.y 12(y 1)e(X 1). 21(7) 分离变量得 e y dy=e 2x dχ ,两边积分得e y =-e 2x +c,由yxτ=0 得式取C =O 时包含了 y - _1 ,故方程的解为(1 _x)(1 y) =c(C 为任意常数)(2)分离变量得21 一 X = 0, y = 0 ,两边积分得XdX dyJ 1 -x? =In y +c 1,可知1ιC,所以,原方程满足初始条件的特解为 e y (e 2x 1).2 22.物体冷却速度与该物质和周围介质的温差成正比，具有温度为 T o 的物体放在保持常温为:•的室内，求温度 T 与时间t 的关系. 解：设t 时刻物体的温度为 T,由题意有dTk(T-：.) (k 为比例系数)dt -J —p分离变量得 --------- =_kdt,两边积分得，In τ _- -kt ■ C 1 ,得 T =Ce —工,由题意有T 「： t =0时,T =T O ,代入上式得 ,C =T 0 —「・.T=(T O —:・)e*(k 为比例系数).3. 求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解: y y⑵ y = Sin ；X X23 3、，⑶ 3χy dy = (2y -X )dχ;2 2⑷ xy'∙χy=y ,y(1)=1 ；(5) χy =y(lny-lnx),y(1) =1;(6) (y-x 2)dx =(x y 4)dy;⑺(X y)dx (3x 3y -4)dy =0.r du dxXU :=叮 U 即两边积分得 √V∏u 2 X即 u . 1 U =CX将u = 丫代入得 y X y =CXX 、V(2)令U 贝U y = uχ, y =U XU 代入原方程得X du du dχSin U 即 ------- =—dχS i ruX两边积分得I n t a-in := XnC l ,≡ta U n= =cx,u = 2 arctan CX ,22(1) ×y -y-χ2解:(1)原方程可化为1 (；)2 ,令=_yXy =U XU 代入原方程得：l n U 亠 1 U )= Xn 亠C将U='代入得y二2xX arctan CX .(3)原方程可化为找=2(Y)1X 2(一)”y du,令U ,则X U V,代入上式得dχ 3 X 3 y X dχdχ23U两边积分得ln(1 ：：U 3)-_ I n X ■ C1 ,即 3x( j U )=CyU 代入得X原方程可化为du2U 「2U XdxU - 2 =GUXy(1) =1 得C »12二CXy - =(-)2,X X_u -2 Udxdu=UX , — =U X ,代入上式dxdy=I n X,两边积分得■ c1将U='代入得'-2=GXyy—2 = -Xy ,即2x2X所以原方程满足初始条件的特解为2x2 1 X(5)原方程可化为3lndx X 令UJ dyUdx• X巴，上方程可化为dxduU 亠X — =Ul n udu dXdx U(InUT) X两边积分得I n∣nu _ 1= IrX 即InU —1 =CX亦即u =e1 CX将U=Y 代入得 1 -CX^=Xe由初始条件y(i) =1得c--i故原方程满足初始条件的特解为^=Xe 1 -X(6)原方程可化为dydx X亠y亠4解方程组y —X 2=0X y 4=0 y ~ -3X=U _1,原方程化为y =V -3 dv du这是一个齐次方程，按齐次方程的解法：令' =~ ,方程可化为-^τdUdu两边积分可得，整理可得，2arctan ' ∙ In up 「2) = C 将∙=V 代入上式得UV222 arctan — In(U V)=C U将U=X 亠1,v = y 亠3代入上式得2即(3)dt =2dx ,t -2积分得 3t 2 In ∣t 「2 = 2 x C .将 t = X + y 代入上式得，x+3y+2ln x + y-2 = c∙4. 求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解: (1) y'-y =Si nx;n X⑵ y - y=x e ；X⑶(x-2y)dy dx=0;(4) (1 XSiny)y '-cosy -0;yX⑸ y -(x 1)e , y(0)=1;X +1 ,1 2⑺ y - y Inx, y(1)W; X X2(8) y'N xy =(xsinx) ∙, y(0)=1;(10) y=— X y Xy(9) y =X 4 y 32Xy2 arctan— In(X 1)2 (y 3)2 =C(7)原方程可化为巴dxX 亠y 3x 3y —4 d t令 t = X ■ y ,≡ 一 =1dxdy 、,代入上方程得dxdt 2t — 4 dx3t — 4,丄2x⑹y "22xy=Cy (o )二;3二 e ^y (2 ye'dy c) _yy=e (2e (y -1) C) =2( y -1) ce~y(4)原方程可化为Xtan y = SeC y ,这是一个关于y 的一阶非齐次线性微分方程dy且 P (y) = - tan y ,Q ( y) = SeC y ,所以解：(1)这是一阶非齐次线性微分方程P(X)= _1, Q(X) =Sin X_P(x)dxP.y =e ∙( Q(x)e- (X) dx dχ +c)dx卫X=e ( Sin χe 一 dx C) =e x ( Sin X e ^dχ ■ C)XXX-Sin x e 一 一CoS x e-=e (C)X1= Ce- -(Sin x 亠 CoS x)2这是一阶非齐次线性微分方程 ，P(x) =-n ,Q(x)Xn X=Xe-P (X )dχP.y =e( Q(x)e(x)dx dx +c)dx^e Xn X_严= nln X(X e e dx c) = e ( XX_pln X ■e e dx C)nn Xnx」n X =x ( X e X dχ c) = x ( e dχ c) = x (e C)原方程可化为 竺∙χ=2y,这是一个关于y 的一阶齐次线性微分方程,且dyP(y) =1,Q(y) =2y ,所以(Q(y)e；(y)dydy +c)(y )dy=eI d y(2y e dy C)_p (y)dyP X =e ∙ ( Q(y)e ■ tan ydy_ t=e ∙( SeC ye ■1 X------- (SeC y CoS ydy ■ C) CoS y ' 1 (y ■ C)cos y(5)这是一阶非齐次线性微分方程且P(X) J,Q(x) = (X - 1)e x ,所以 X 十1------dx—dx=e x 1 ( (X 1)e x e -X 1 dx C) ・ x ・X=(X 1)( e dx C)=(X 1)(e C)故,原方程满足初始条件的特解是2X2 X ,且 P(X)2 ,Q(x)2 ,所以1 +x1 + x_ P(x)dxy =e(Q(X)e(X)dXdx +c)将初始条件 y(0) =1代入上式中得C=O-P (x)dy = e(Q(X)e(X )dχdχ +c)22x^e-x 2dx c) 2C JD (I ÷ ), =e(I X( 一 .I X22Xeln(1 ∙x 2 )dy e dχ +c) 12 ( 2x 2dx ■ C) 1 x^(-x 3 ' C) 1 X 32将初始条件y(0) =1代入上式得C=,所以原方程满足初始条件的特解是3I 32(1 ■ X )χ2)(7)这是一阶非齐次线性微分方程,且 P(X)12,Q (X) = InX 所以 X X(y )d ydy +c)tan ydydy +c)(6)这是一阶非齐次线性微分方程Xdx c) = χ3( 3dx c) = 3χ4 cx 533 43z = y 代入上式得原方程的通解为y = 3x CX .d X3 3 1 _3 2(10)原方程可化为-Xy=X y ,这是关于y 的〉=3的伯努利方程，令Z=X X , dy上述方程可化为dx X dz 33z = 3X 3 ,这是一阶非齐次线性微分方程_ P (X)dχP(x)dχy =e_( Q(x)e dx C)1 1X dX 2 - 7d×1=e ( InXe dx 亠 C)X 2 =x^ - — In XdX 亠 C)2 2 二 x(_ In X ——C) X X =2(1 In x) CX 将初始条件 y(1) =1代入上式得 C = _1 所以,原方程满足初始条件的特解是 (8)这是一阶非齐次线性微分方程 -"P(x)dxy = 2(1 In x) - X . 2,且 P(X)= 2X , Q(x) = xsin X e^ ,所以 ∣P (x)dxy =e ( Q(x)e dx C) _2XdX 」2 2xd X=e ( XSin X e e dx ■ C )2=e ( X Sin XdX - C) 2 =e (Sin X-X cos X C) 将初始条件y(0) =1 代入上式得 C =：1 ,故原方程满足初始条件的特解是 2 y =e * (Sin X- XCaS X 亠1).(9)原方程可化为* 13y y = X X 1 3 3—y =X X-2 ,这是-2的伯努利方程，方程两边同除以14』)^y3=y ,则上面方程化为P(X) --,Q(x) =3X 3,其通解为XI dX 3 -z = e x( 3x e试求y=f(χ)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y(2)的特解.9解：依题意有πtπI f (x)dx t2f(t)-f(1),两边同时对t 求导有:3 π- 2f (t) 2tf (t) t f3 -(t) t 2 f (t) =3f 2(t) —2tf (t)亦即χ2y ^3y 2 —2Xy故y=f(x)所满足的微分方程是χ2y'=3y 2-2Xy ,该方程可化为y 2 y=3( ) -2(), X X这是齐次方程•可求得该齐次方程的通解为3y —X 二CXy 将初始条件 y(2)2代入上式得 c = -1 ,所以，该微分方程满足条件 92y(2) 的特解是9*6 .设某生物群体的出生率为常数 a ,由于拥挤及对食物的竞争的加剧等原因，死亡率与当时群体中的个体量成正比 (比例系数为b >0).如果t=0时生物个体总数为 X 0,求时刻t 时 的生物个体的总数(注：将生物群体中的个体量当做时间t 的连续可微变量看待).解：设时刻t 时的生物个体的总数为 X,依题意得dxdx a bx 即 dtdt bx = a解得 Jata btX =e (_eC)b又t =0时x = X 0 ,代入上式得C =X oa ,, ,故 bdz32 yz = _2 y dy这是关于y 的一阶非齐次线性微分方程 ，且P (y) =2 y,Q( y) = _2 y 3 ,其通解为：2 2.y 3 y-e( (-2y e )dy C)2 2_y / y2=e (e (1 - y2_y 2=1 一 y CeZ=e-fydy((-2y 3)e∙2 ydyIdy■ C))■ C)将 ^X-代入上式得原方程的通解为1F =1X-y 2 ce 』5. 设函数f(x)在［1, + ∞)上连续，若由曲线 平面图形绕X 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 y=f(x),直线x=1,x=t(t > 1)与X 轴所围成的bt za bta 、 a Z a 、 btX =e (— e+ x 0 — — ) = — +(x 0 — — )ebb b b 3x7.已知 f(x) = [ f-d X + 3x4,求 f(x).I 3 .丿解：方程两边对X 求导得f (X) =3f (x) ∙ 3 即 y '3y =3这是一阶非齐次线性微分方程 ，P(x) = _3,Q(X)=3 ,其通解为--∙3dχ∙3dχ .3x 3xy =e ( 3e dχ ∙ C) =e ( 3e 一 dx ∙ C)3x_3x3 X=e ( _e ∙ m e) - 一 1 x ・ce3xt由已知f (X) = f (―)dt ∙ 3x - 3 得 f (O) - -3 ,代入上式得 e - -2 ,所以 b 3&已知某商品的成本C = C(X)随产量X 的增加而增加，其增长率为且产量为零时，固定成本 C(O) = C O > 0.求商品的生产成本函数C(x).H 1 +x + C /白 H 1解：由C (X)得CC =1 ,这是一阶非齐次线性微分方程1 +x1+X1P(X),Q(x) =1,其通解为1 +x由初始条件C(0) =C °代入上式得 C 1 =c °∙所以商品的生产成本函数C(X)=(I - X) Iln(1 X) C 0 ].9.某公司对某种电器设备的使用费用进行考察，结果发现，随该电路使用时间 X 的延长，它的保养维修费会加倍增长， 因而平均单位时间的使用费 S 也在增加，即S 为X 的函数Sgx), 其变化率为d S b b 1 S — a , d X X X其中a,b 均为正常数•若当x=×0时S = S 0,试问：使用时间为多少时，其平均单位时间的 使用费S 最高？解：原方程 竺=b s -b Ja 可化为 竺- b s = -(b 2I)a ,这是一阶非齐次线性微分方 dx X X dx X X 程,且 P(X) - -b ,Q(x) - -(b 2I)a ,其通解为，X XC '(X)=IxC=(1 x)〔In(1 x) C 1 1丄dχ1 xdx C 1)2习题10；1.求下列微分方程的通解：(1) y :::=xe X；(2) y 〃 1 ；2 ；1 X2 (3) (1 x)y''∙ 2xy'=0; ⑷y 〃 -(y)2O 23d X(5) X2 仁0;(6) yy " -(y')2 (y)3=od t解：(1)对方程两端连续积分三次得Il- Xy =(X - 1)e' C 1X V 1“y =(X - 2)e 亠c 1x 亠 C 22X L C I X y = (x -3) e C 2X C 32这就是所求的通解•(2) 对方程两端连续积分两次得y =arctan X C 1由已知X b bS =e X dX ( J b I)a ^,dXb dχ Xb _1 b =X (ax C) e X dx c^x b ( -(b 2I)aX __bχ- dx 亠 C) =-CX bX =X o 时，S = S o 代入上式得 s o x o f a,C = X o b1S 二--a r bcx X ,令S y O 得唯一驻点 x =(2)r7 ,将C bc s o x o - bΓ x o =( ) bs 0x 0 -ab X o,由问题的实际意义知，最值存在，所 b ,rC X 得a代入得是时间=( )bs 0 X 0 - abX o时,其平均单位时间的使用费 S 最高.y = arctan XdX C I X=XarCtan1 X -―In(12X)C I XC 2这就是所求的通解(3) 令y = p(x),则y =P(X)，于是原方程可化为2 *(IX)P 2xp = 0分离变量得 空 2^xτdx ,积分得P 1 X再积分得 y = c 1 arctan X C 2.d⅞=dX P亦即dx X C 1| X ■ C i | ■ C 2(5)令 X=P (X ),则 X=P,原方程变为 dxdp 卄 P 1=0,即 PdP = dx 13dx.X2两边积分得P 2 -1 C1X2C i Xd X亦即兰―dtXIdx =dt . 1 ■ cx 2 积分得一..1 C 2 . 从而 1 亠c 1χ2 =(C I t 亠C 2)2 . 这就是所求的通解• (6)令y =P(y),则∙ p,代入原方程得. dy dp 2 3 yp ——-P + P =0 即 P y dy J些-P P 2dy =O若P=O,则y = 0, y = c 是方程的解.c ι p=C ,即 y(4)令 y= P(X),则 y =P ■,原方程可化为两边积分得1 -=X PC i ,即1 X C 1dy再积分得若 y d ^.p.p 3 =O ,分离变量得y.dyp — Py积分得C l yp “y(1 - P )即 P^C l y于是：dyc1y Hn J即( c 1 )dy =c 1dx.dt 1 ■ c 1yy积分得 C l (X _y)y =c 2e 2. 求下列微分方程满足初始条件的特解：3⑴ y F nx , y(1)T, y '⑴,y 〃(1)=1; 32(2) xy 〃 对=1, y(l)=0, y ' (1)=1; (3) y 〃 y 2 =1,y(0)=0, y ' (0)=1.解：(1)方程两边积分得：y " = X In X —X ∙ q ,由 y 1 =1- 得 C 1 = 0 ,于是 y " = x In x - x ,2上式两边再积分得y = — In X -∙3 X?c 2.2 43由y(1)得C 2 4由 y (1) =1 得 C 1 =1 ,于是 (In X 1),从而X3X In 2=0 ,于是 两边再积分得 由y(1) =0得I3X In 6 II 11X- — X36 C 3.36所以，原方程满足初始条件的特解为 11 3In X-——X36 11+—— 36 (2)令y ■ = p(x)，则y = p :原方程化为 X 2空XP =1.即如1P dx Xdx一阶非齐次线性方微分方程1 P(X)= 一，Q(x) =X ,X-2其通解为 dx X-2(Xe1dx y X1dx c 1) = 一(In X ■ c 1)X1即 y (In X G ),X1 1 2y (In x 1)dx = j(ln X 1)d(ln X 1) (11 n x) c2• x 21由y(1) =O 得c221 2 1 1 2y (1 In x) 即y = In x In x.2 2 2(3)令y J p ,则y χ = p ■,原方程可化为d P 21 一p ,由y (0) =1 ,即X =0 时，P =1 . dxdy显然p =1是上述方程的解，即 1 ,积分得y = x ∙ c,由y(0) =0得C=O ,所以，dx原方程满足初始条件的特解为y = X .3. 已知某个二阶非齐次线性微分方程有三个特解y1=x, y2^∙e x和y3=1∙χ∙e x,求这个方程的通解.解：因为y1, y2, W是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解，则y? - y1= e x, y3 - y? = 1是Xe某对应的齐次微分方程的特解且一=e x=常数，故e x和1是其对应的二阶齐次线性微分方1程的两个线性无关的特解，故对应齐次线性方程的通解为y = C1亠c2e x又y1 =x是这个二阶非齐次线性微分方程的特解，故这个方程的通解是y = C1亠C2e x亠X .4. 求下列齐次线性方程的通解或在给定条件下的特解：(1) y〃My' 4y=0; (2) y〃-y' -2y=0;(3) y〃5y' 6y=0, y(0)=1, y' (0) ≡6;πππ 6⑷ y" -2y' -10y=0, y( )=0, y'(—)= e .6 6解：(1)特征方程为r2 -4r ∙4 = 0 ,它有两个相等的特征根r1 = r2 = 2 ,所以，所求的通解为y = (c1■ c2x)e2x .(2) 特征方程为r —r —2 = 0 ,它有两个不相等的实特征根r1 = T,r2 = 2,故所求的通解为y = c1e ■ c2e2x.(3) 特征方程为r2 5r，6 = 0 ,它有两个不相等的实特征根r1 = -2, r2 = -3 ,故所求的通解为y =c1e I +c2e'x由y(0) =1 得G +c2=1 ,又由y(0) =6 及厂=—2c1e'x—3c2e'x得2c1 +3c2 = —6 ,解方程组c1 c2 =1 C1 = 91 2得42c1 3c2 = -6 J c2 = -8所以，原方程满足初始条件的特解为y =9e'x _8e^.(4) 特征方程为r2-2r -10 = 0,它有两个共轭复数根,1 X Oy = --e cos 3X35. 求下列非齐次线性微分方程的通解或给定初始条件下的特解:(1) y'' +3y' -10 y =144xe-2x;2⑵ y'' -6y' 8y=8x 4x-2;ππ(3) y" y=cos3x, y( )=4, y'(-)=-1;2 24x⑷ y〃-8y,16y=e , y(0)=0,y' (0) =1.2解: (1)特征方程r ∙ 3r -10 = 0有两个不相等的实数根r1 = -5, D = 2 ,故对应齐次方程的通解为Y ^C I e^X■ c2e2x因为■ - -2不是特征方程的根，故可特解为* 2 Xy =(AXB )e代入原方程可解得 A =「12, B =1.所以y =(1 -12 X) =e X .所求通解为-2 X -5 X 2 Xy = (1 —12 x)e ■ c1e ■ c2e(2)特征方程r2 - 6r= 0有两个不同的特征根r1 = 2, r2 = 4 ,故对应齐次方程的通4-2x=(-2 Ax A -2B)e 仏=1±3i ,故方程的通解为y =e x(c1CoS 3x 亠c2sin 3x),ππ- π Z由y( ) =o, y ( ) = e 得G =6 61-,C2 =0,故所求特解为3y = ( -4 AX 4B 4 Ax )e -2x2x 4 xY =c1e 亠c2e 又因为∙=O不是特征方程的根，故可设特解为* 2y =AX bx = 2Ax∙B,y =2A ,代入原方程可解得2 2=X 2x 1 =(x 1) ∙Y=G CoS X c2 Sin X为: 考察方程y y则y*l3iAe3ix3i X=e 因为w =3i不是特征方程的根，故可设特解为* 3ixy = Ae1■ -9 Ae ,代入方程y ■ y = e?",得A ,所以8* 1 3i x 1y e (cos 3x 亠i Sin 3x)8 8取y的实部，即得到方程y y = cos 3x的特解.故原方程y亠y = cos 3x的通解为由初始条件y — =4,12 J(4)特征方程r2 -8r* 1y 1 = -一cos 3x81y cos 3x c1 cos X c2 Sin X8y = 3 sin 3x - c1 Sin x 亠c2 cos X8y - =1得G =-,c^4,故所求的特解为2 81 丄5 丄y = --cos 3X 一cos X 4 sin x8 81^=0有两个相等的实根r1 = r2 = 4，故对应齐次方程的通解解为A =1,B =2,C =1,所求通解为y =(X ∙ 1)2 2x亠c1e 4x亠c?e(3)特征方程为r2 1 =0 , 它有两个共复数根r1,2=±i ,故对应齐次方程的通解为因为.=4是特征方程的重根，故可设特解为*2 4xy =AXe1将其代入方程y“—8y'16y =e 4x得A,故特解为 2所以原方程的特解为 y = 1x 5e 4x (c 1 ■ c 2 x)e 4x24x -24x4 X4x_又由 y =Xe 2x e c 2e 4c 2xe 及 y (0) = 1 ,得 C 2 =1 .1所以，所求特解为y =丄x 2e 4x xe 4x2 6. 设对一切实数X,函数f(x)连续且满足等式f '(x )=x 2 ∙ ∖ (t)dt ,且 f(0)=2,求函数f(x). f (x) = 2x 亠f (x)，即y —y = 2x ，特征方程r —1=0有两个不同的实根r 1 =1,r 2 =-1,故对应齐次方程的通解为Y =C I e X ∙c 2e^因为■ =0不是特征方程的根，故可设特解为Y= Ax B,代入原方程得--2xC 1 e x ■ C 2e J又由题设得「(0) = 0 ,及 y • = -2 ■ C I e X -■ C 2得y " +ay ' +by=θe xf^c 1 +c 2 =2 解方程得C 1 =2, C 2C1 -C2 =2所以满足题设条件特解为y - -2x 2e x--2, B =0 ,故特解为y =…2 ∏,所以方程的通解为C i -C 2 = 2 .=0f(x)X--2x 2e .7.设二阶常系数非齐次线性微分方程12 4x =—X e 2解：方程两边求导得由已知 f (0) =2 得 c 1 ■ C 2 =2的一个特解为y=e2x∙(1 x)e x,试确定常数a,b「并求该微分方程的通解. 解：将已给的特解代入原方程，得(4 2a b)e2x (3 2 a b)e X (I a b)Xe X= : e x比较两端同类项的系数，有4 2a b =OIab=O3 2a b =:解得a = _3, b = 2, = _1.于是原方程为y J3y 2y 二_e x .其特征方程为r2-3r∙2=0,特征根为r1=1,r2=2 ,对齐次方程的通解为X 2 X= c1e 亠c2e又因为，=1是特征方程的单根，故设特解为y = AXe X ,代方程y'"—3y ' 2y = -e x，可解得A=1,故特解为y^xe x所以该微分方程的通解为X 丄2χ丄Xy = c1e 亠c2e 亠Xe .& 设函数(X)可微，且满足X X「(x)=e 亠I (t 一X):(t)d t，求(X) •X X X解：由:(X) = e X亠I (t —x) '(t)d t 得:(0) = 1,又：(x) = e X亠∣ t「(t)d t —x ∣(t)d t ⅛*0*0X两边求导得：:(x)=e X∙χ>(x)-°:(t)dt -X :(x),即X「(X) =e x - 0 ;：(t)dt ,从而：(0) =1再求导得：：(X)= ^^(X),即、、二e可求得对应齐次方程的通解为Y =C I CoSX ∙ C2 sin X ,又因为，=1不是特征方程2r 7=0的根，故可设特解为* Xy =Ae1将其代方程y'y=e x中可求得 A = 1,故方程的通解为y=c一一--1XI CoS X c2 Sin X — e ..又2 2由1(0) =1, ：(0) =1 及y - -G Sin X c2 cos X e得1 1C l, C2 ,所以2 2 2y1 X. 1 X =-(C ox S S i, r即(Xe = 丁(CoS X Sin X e ).2 29∙求方程y'' -y' -2y=3e^在x=0处与直线^X相切的解.解：特征方程r 2 —r _2=0有两个实根r 1=-1,r 2=2,故对应的齐次方程的通解为Y =c 1e* ■ c 2e 2x ,又因为‘ --1是特征方程的单根，故可方程的特解为*Xy = AXe _代入原方程可解得 A=-I ,故原方程的通解为_x2x_xy = c 1e _ ■ c 2e—xe _ , (1)由已知在X =O 处与直线y =X 相切，则y(0)= 0, y (0) =1 ,又X2 XXXy = -c 1 e ^ - 2c 2e-e ^ ■ Xe 一， (2)将y(0) =0, y(0) =1分别代入(1)，( 2)式中得2可解得c 1 , c 2 32 2所以，所求的解为 y--—e -Xe3 310.设函数y(x)的二阶导函数连续且 y'(0)=0,试由方程y(x)=1 1 ∙ y (t)-2y(t) 6t e 」d t3占确定此函数.1解:方程两边对X 求导得y (x) = —[ —y ∙(x) — 2 y(x)亠6xe 」],即y 亠3 y 亠2 y = 6xe 」 (1)3 它的特征方程r 2 3r ∙2 =0有两个相异的实根 r 1 =-1,r 2 =-2,故方程(1)对应的齐次方程的通解是Y ^C I e ^ ■ c 2e^x又• = -1是特征方程的单根，故方程(1)的特解可设为*-K 2y =X(AX B)e (AX Bx) =e将其代入方程(1),可解得A=3, B=—6 ,从而特解为y =(3x 2—6x)e 」，方程(1)的 通解为_V2 X2 _Vy = c 1e C 2e(3 X - 6x)e ,…⑵1由 y(x) =1— ；［ —y (t) —2y(t) 6te 丄］dt 得 y(0) =1 ,又 3 •V2 Yy2 __x^=-C I e —2c 2e (6 x —6)e—(3 X —6x)e ,… ⑶c 1 c 2 = 0 c 1 2C 2 - -2由y(0) =1,y(0) =0 及(2),(3)式可得G c 2 =1 G 亠 2c 2 - -6X2 X2Xy =8J7e 一 (3x -6x)e 一即由所给方程确定的函数为y(x^8e^ -7e-x (3χ6 _6x)e 」11. 一质点徐徐地沉入液体， 的运动规律.解：由题设条件与牛顿第二定律有习题10∙41.某公司办公用品的月平均成本 C 与公司雇员人数 X 有如下关系:C ' =C 2e^-2C6m g2 •因而有 kd 2sm —7 = mg dt -k 空 （k 为比例系数） dt 2d S k ds即 g,…⑴ dt m dt这是一个二阶线性非齐次方程，它的特征方程 kr = 0有两个不相等的实根 mk r =0, r ,它对应的齐次方程的通解m c 2 e k tm,又因∙ =0特征方程的单根，故 可设特解为S =At ,代入方程（1）可得A mg kk ,故方程（1）的通解为 c 1 c 2e m mg t. k且 s _ _kc 2e mkηm mg,又开始沉入时即kt=0 时,s = 0, ds = 0 ,将其代入上两式可解得dtC1C22m g S 厂 k2m g2kmg t.k故方程（1）的满足已知条件y(0) =1, y (0) =0 的特解为 当沉入时，液体的反作用力与下沉的速度成正比例，求质点且C（0）=1,求C（X）.解：方程C ∙ = C 2e* _2C 可变形为:C 2C =e~ C=这是：• = 2的伯努利方程,令 Z -C I --C J ,方程可化为：Z •一2Z ,这是一阶非齐次线性微分方程且P(X)= -2 ,Q(x) = _e —,其通解为：= e 2x (1e~x dx m) =1e3311(为了与成本C 区别，这里的任意常数用 m 表示),于是 e 」 me 2x ,由已知C(O)=I ,可C 3其中a , b 为正的已知常数，若R o) =0, S (0) =S(购买成本)，求R(t)与S (t ).解：先解一阶线性方程 S - _bS ,求出S(t),分离变量得：竺-_bdt ,积分得 ^C I e^tSS(0) = S 0 ,可得C 1 = S 0 ,所以S(t) = S 0M ,将S(t) = S 0/ 代入所给方程—e bt ,积分得:R(t) — e bt C 2,由已知条件R(0) =0得C ? SCbS3.设D=D(t)为国民债务，Y=Y(t)为国民收入，它们满足如下的关系:D' R Y +P , Y' ="Y其中：■, ^-,为正已知常数. (1)若 D(O)=D 0,Y(0)=Y °,求 D(t)和 Y(t);⑵求极限Iim D°tτ 乂 丫⑴解：(1)先解方程Y= Y,求出Y(t)；分离变量得：也 =dt ,积分得Y=C 1e t ,由Y(O)=Y O 得YC l =丫0 ,所以 Y(t) =Λe t ,将 Y(t) =Y °e t 代入D 丄〉丫「中得：D =〉Y °e t 「，积分得 O(Y O Y QG Y OD -e ,-C ?,由 D(O)=D O 得 C^D O,所以Z =e^-2dx-Jdx.X ∣~i'2x .3x((-e 一)edx m) = e ( -e~ dx m) 得:m =2,从而 1=1e js 2e 2x3 C 333x1 2eX3e2.设R=R(t)为小汽车的运行成本, 3e x,所以 C(X)=FS=S(t)为小汽车的转卖价值，它满足下列方程: aR'-,S ' --bS, S由已知条件 所以R(t)=a bS。
微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社_第十章[1]
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1 y 2 ec1 ( x2 1) ,记 c ec1 有 y 2 c( x 2 1) 1.
(4) 分离变量得,
1 dy sin x c dx ,两边积分得, tan y 2 2 cos x cos y c.
x 1 y 3
作变换
x u 1 ,原方程化为 y v 3
dv v u du u v
这是一个齐次方程,按齐次方程的解法: 令
v 1 du , 方程可化为 d 2 u 1 u
5
两边积分可得,整理可得, 2arctan ln u 2 (1 2 ) c 将
x y dx dy 0, y x 0 1 ； 1 y 1 x
y(1)0;
(6) yy′xey0, (7) y′e2xy，
y x 0 0 ．
dy dx 1 y 1 x (1 y 0) ,两边积分得
解: (1) 原方程分离变量得
2
ln 1 y ln 1 x c1
y 2x
y
(7) 分 离 变 量 得 e dy e dx , 两 边 积 分 得 e
1 2x e c , 由 y 2
x 0
0 得
3
c
1 1 2x y ,所以,原方程满足初始条件的特解为 e (e 1) . 2 2
2． 物体冷却速度与该物质和周围介质的温差成正比，具有温度为 T0 的物体放在保持常温 为的室内，求温度 T 与时间 t 的关系. 解: 设 t 时刻物体的温度为 T,由题意有
(5) 原方程可化为: y(1 y)dy x(1 x)dx ,两边积分得 由 y
y 2 y3 x 2 x3 c 2 3 2 3
大一高数课件第十章 10-习题课-1
半圆周 ( x − a ) 2 + y 2 = a 2 , y ≥ 0 ,沿逆时针方向 .
三、证明: 证明:
xdx + ydy 在整个 xoy 平面除去 y 的负半轴及 2 2 x +y
内是某个二元函数的全微分, 原点的开区域 G 内是某个二元函数的全微分,并 求出一个这样的二元函数 .
测验题答案
(2) I2 = ∫ ( x2 − y+ y2)d x + ( y2 − x)d y L
= ∫ ( x2 − y)d x + ( y2 − x)dy + ∫ y2 dx
L L
L: x = acost, y = asint ,
t : 0 →π
= I − ∫ a sin3 t d t = −2a3
0
π 3
非闭
I = ∫ Pdx + Qdy =0
L
闭合
∂P ∂Q ∂P = ≠ ∂y ∂x ∂y ∂x非闭 补充曲线或用公式
∂Q ∂P 闭合 I = ∫∫ ( − )dxdy ∂x ∂y ∂Q D
解
由 I = ∫ ( x2 + 2xy)dx + ( x2 + y4 )dy
1
y
A
∂P ∂ 2 知 = ( x + 2 xy ) = 2 x ∂ y ∂y ∂Q ∂ 2 = ( x + y4 ) = 2 x x ∂x ∂x o 1 ∂P ∂Q 1 2 1 , 即 = 故原式 = ∫ x dx + ∫ (1 + y 4 )dy = 23 . ∂y ∂x 0 0
λ→0 i=1
n
∫ P( x, y)dx+ Q( x, y)dy
数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第十章
第十章 定积分的应用一、填空题1． 求曲线8,2222=+=y x x y 所围成图形面积A （上半平面部分），则A = 2． 曲线x x e y e y -==,及1=x 所围面积A = 3． 曲线θθcos 1,cos 3+==r r 所围面积A = 4． 曲线)0(>=λλθae r 从0=θ到αθ=一段弧长S = 5． 曲线 ⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x 从0=t 到π=t 一段弧长S =6． 均匀摆线)0(cos 1sin π≤≤⎩⎨⎧-=-=t ty tt x ，弧长4=S ，则其重心坐标是7． 曲线0,0),0(==≤=y x x e y x 所围图形绕Ox 轴旋转所得旋转体的体积为 ；而绕Oy 轴旋转所得旋转体的体积为 8． 抛物线)(a x x y -=与直线x y =所围图形的面积为9． 在抛物线24x y =上有一点P ，已知该点的法线与抛物线所围成的弓形面积为最小，则P 点的坐标是10．设有一内壁形状为抛物面22y x z +=的容器，原来盛有)(83cm π的水，后来又入注)(643cm π的水，设此时水面比原来提高了hcm ，则h = 11．由曲线,2,1=+=x xx y 及2=y 所围图形的面积S = 曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A = 二、选择填空题1． 曲线)0(ln ,ln b a a y x y <<==与y 轴所围成图形的面积为A ，则A =（ ） （A ）⎰ba xdx ln ln ln （B ）⎰ba e ex dx e（C ）⎰baydy e ln ln （D ）⎰ba e exdx ln2．曲线x y xy ==,1，2=x 所围成的图形面积为A ，则A =（ ）（A ）dx x x )1(21-⎰（B ）dx xx )1(21-⎰（C ）⎰⎰-+-2121)2()12(dy y dy y（D ）⎰⎰-+-2121)2()12(dx x dx x3．曲线x e y =下方与该曲线过原点的切线左方及y 轴右方所围成的图形面积A =（ ） （A ）dx ex e x )(10-⎰ （B ）dy y y y e)ln (ln 1-⎰（C ）dx xe e exx )(1⎰- （D ）dy y y y )ln (ln 1-⎰4．曲线)0(cos 2>=a a r θ所围图形面积A =（ ）（A ）()θθπd a 220cos 221⎰ （B ）θθππd a ⎰-2cos 221 （C ）()θθπd a 220cos 221⎰（D ）()θθπd a 220cos 2212⎰ 5．曲线πθπθθ=-==,,ae r 所围图形面积A =（ ）（A ）⎰πθθ02221d e a （B ）⎰πθθ20222d e a （C ）⎰-ππθθd ea 22 （D ）⎰-ππθθd e a 2226．曲线θθ2cos ,sin 22==r r 所围图形面积A =（ ）（A ）()()⎰⎰+-222121212cos 2sin 2θθθθd d（B ）()()⎰⎰+462602cos sin 2πππθθθθd d（C ）()()⎰⎰+46262cos 21sin 221πππθθθθd d（D ）()()⎰⎰+462602cos sin 22πππθθθθd d7．曲线()21ln xy -=上210≤≤x 一段弧长S =（ ）（A ）dx x ⎰⎪⎭⎫⎝⎛-+212111 （B ）⎰-+2102211dx x x （C ）dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--+2102121 （D ）dx x ⎰-+21022])1[ln(1 8．摆线)0()cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 一拱与x 轴所围图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积=V （ ）（A ）()⎰-ππ2022cos 1dt t a （B ）())]sin ([cos 12202t t a d t a a--⎰ππ（C ）()⎰--ππ2022)]sin ([cos 1t t a d t a （D ）()⎰-adt t a ππ2022cos 19．星形线⎪⎩⎪⎨⎧==ta y ta x 33sin cos 的全长S =（ ）（A ）⎰-⋅202)sin (cos 3sec 4πdt t t a t（B ）⎰-⋅022)sin (cos 3sec 4πdt t t a t（C ）⎰-⋅π02)sin (cos 3sec 2dt t t a t（D ）⎰-⋅02)sin (cos 3sec 2πdt t t a t10．心形线)cos 1(4θ+=r 与直线2,0πθθ==围成图形绕极轴旋转的旋转体体积=V （ ）（A ）⎰+202)cos 1(16πθθπd（B ）⎰+2022sin )cos 1(16πθθθπd（C ）⎰++2022]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd（D ）⎰++0222]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd11．两个半径为a 的直交圆柱体所围的体积为V =（ ）（A ）⎰-adx x a 022)(4（B ）⎰-adx x a 022)(8（C ）⎰-adx x a 022)(16 （D ）⎰-adx x a 022)(212．矩形闸门宽a 米，高h 米，垂直放在水中，上沿与水面齐，则闸门压力p =（ ） （A ）⎰hahdh 0 （B ）⎰aahdh 0（C ）⎰hahdh 021（D ）⎰h ahdh 0213．横截面为S ，深为h 的水池装满水，把水全部抽到高为H 的水塔上，所作功=W （ ）（A ）⎰-+hdy y h H S 0)( （B ）⎰-+Hdy y h H S 0)(（C ）⎰-hdy y H S 0)( （D ）⎰+-+Hh dy y h H S 0)(14．半径为a 的半球形容器，每秒灌水b ，水深)0(a h h <<，则水面上升速度是（ ）（A ）⎰h dy y dh d 02π （B ）⎰--h dy a y a dh d 022])([π （C ）⎰hdy y dh db2π （D ）⎰-hdy y ay dh d b2)2(15．设)(),(x g x f 在区间[]b a ,上连续，且m x g x f <<)()(（m 为常数），则曲线b x a x x f y x g y ====,),(),(所围平面图形绕直线m y =旋转而成的旋转体体积为（ ） （A ）⎰-+-badx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（B ）⎰---badx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（C ）⎰-+-badx x g x f x g x f m )]()()][()([π（D ）⎰---badx x g x f x g x f m )]()()][()([π三、计算题1．求抛物线2x y =与2x 2y -=所围图形的面积。
高数 第十章 曲线积分与曲面积分
计算
定积分
计算
Stokes公式 计算 曲面积分 Gauss公式
重积分
16
积分概念的联系
定积分
f ( M )d lim f ( M ) i , f ( M )点函数
0
i 1
n
当 R1上区间 a, b]时, f ( M )d f ( x )dx. [
5
基本问题： 如何熟练掌握各种积分的计算
首先判断准确要求的是哪一类积分 重要的是牢牢记住各种积分的计算方法
1、I
L
f ( x , y )ds 代入曲线的方程以及ds，从而化为定积分解之
2、I Pdx Qdy 代入曲线的方程，化为定积分解之 L
P Q 闭合 y x 非闭
( y 2 z 2 ) dS; I z
( x 2 y 2 ) dS
曲面质心： 曲面形心：
x
x
dS ; y
S
;y
ydS ydS
dS ; z
S
;z
dS S
dS zzdS
15
（二）各种积分之间的联系
积分是
P cos Q cos R cos ds
，其中， ，为有向曲面上点
x, y, z 处的
法方向 的方向角。
20
2.选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论：
(1)设曲面是上半球面 : x 2 y 2 z 2 R 2 , z 0, 曲面 1 是 曲面在第一卦限中的部分 , 则有 C .
条 件 等
第十章定积分应用习题课
第⼗章定积分应⽤习题课第⼗章定积分应⽤习题课⼀⾯积1．求平⾯图形的⾯积1）若曲线()0y f x =≥，x 轴及直线,x a x b ==所围曲边梯形的⾯积为()b baaA f x dx ydx ==??．2）由连续曲线()0y f x =≤，x 轴及直线,x a x b ==所围曲边梯形的⾯积为()b baaA f x dx ydx =-=-??．3）如果连续曲线()y f x =在[],a b 上可正可负，则所围图形的⾯积为()b baaA f x dx y dx ==??．4）由上、下两条连续曲线()2yf x =与()1y f x =以及两条直线,x a x b ==所围的平⾯图形，它的⾯积计算公式为()()21baA f x f x dx =-．5）由左右两条连续曲线1()x g y =，2()x g y =，及直线c y =与d y =所围成，则围成图形的⾯积为()21A [()]d d cg y g y y =-?．6) 由上下两条连续曲线()y f x =与()y g x =（它们可能相交）以及两条直线,x a xb ==所围的平⾯图形，它的⾯积计算公式为()()baA f x g x dx =-?．7）由左右两条连续曲线1()xg y =，2()x g y =（它们可能相交），及直线c y =与d y =所围成，则围成图形的⾯积为()21A ()d d cg y g y y =-?．如果所求平⾯图形是属于上述情形之⼀，就不需画图，直接⽤上述公式，否则就需画图选⽤相应公式．求平⾯图形的步骤：（1）先画草图，并求出边界曲线有关交点．（2）确定积分变量与积分区间．例1．求由抛物线2y x =与直线230x y --=所围平⾯图形的⾯积A ．解法⼀（上下曲线）先求出抛物线与直线的交点()1,1P-，()9,3Q ．⽤1x =把图形分为左、右两部分，应⽤公式分别求得它们的⾯积为(11042,3A dx ?=-==92132823x A dx -?=-=．所以12323A A A =+=．法⼆(左右曲线)．把抛物线和直线⽅程改写成()21x y g y ==，()223x y g y =+=，[]1,3y ∈-．则()()()332211132233A g y g y dy y y dy --=-=+-=．例2 计算椭圆12222=+by a x 所围成的平⾯图形⾯积．解由于椭圆关于x 轴及y 轴对称，所以只需计算位于第⼀象限部分的⾯积，然后乘以4就得到所求平⾯图形⾯积．由12222=+by a x ，解得22x a a by -±=，故第⼀象限的椭圆的⽅程是22x a aby -=从⽽04A =?，()2220041sin cos sin 4cos 422b x a t a td a t ab tdt ab ab a ππππ===??=??令．特别地，当R b a ==时，得圆的⾯积2A R π=．注：计算平⾯图形⾯积时，尽可能利⽤图形的对称性，以简化计算．2．参数⽅程的⾯积若所给的曲线⽅程为参数形式：()()x x t y y t =??=? （t αβ≤≤），其中()y t 是连续函数，()x t 是连续可微函数，且()0x t '≥且()x a α=，()x b β=，那么由()()x x t y y t =??=?，x 轴及直线,x a x b ==所围图形的⾯积A 的公式为||()|()()|A y dx t y t x t dt ββαα'==??．（αβ<）．如果由参数⽅程所表⽰的曲线是封闭的，即有()()x x αβ=，()()y y αβ=且在(),αβ内曲线⾃⾝不再相交，那么由曲线⾃⾝所围图形的⾯积为()()A y t x t dt βα'=(或()()?'βαdt t y t x )．例2另解1：化椭圆为参数⽅程cos ,sin ,x a t y b t =??=?02t π≤≤ 则所求⾯积为20A sin (cos )πb t a t dt πab '==?．另解2：第⼀象限参数⽅程为cos ,0sin ,2x a t t y b t π=?≤≤?=?，()()()2222014||4|sin sin |4sin 422A y t x t dt b t a t dt ab tdt abab πππππ'==-===．例3 求内摆线323232a y x =+所围成的⾯积．解令33cos ,sin ,x a t y a t ?=?=?由曲线既关于轴x 对称，也关于y 轴对称，只须计算第⼀象限内的⾯积1A ，再乘以4即可，于是()()()()332422220242246222006224||4sin cos 12sin cos 12sin 1sin 12sin sin 31531312.42264228A y t x t dt a t a t dt a t tdta t t dt a tdt tdt a a πππππππππ''===??=-=-??=-?=3．极坐标⽅程1）曲线()θr r =与射线()βαβθαθ<==,围成的曲边扇形的⾯积()?=βαθθd r S 2212）曲线()1r r θ=，()2r r θ=与射线()βαβθαθ<==,围成的曲边扇形的⾯积()()222112S r r d βαθθθ??=-．例4 由下列极坐标⽅程式所表曲线围成的⾯积A ，⽅程中的0a >．（1）θ2cos 2 2a r =（双纽线）；（2）()θcos 1+=a r （⼼脏形线）；（3）θ3sin a r =（三叶线）．解（1）由图形关于x 轴与y 轴对称，只需计算第⼀象限⾯积1A ，再乘以4即可，由在第⼀象限20π≤时，02cos 22≥=θa r ，知40πθ≤≤，即1A 看成θ2cos a r =与4,0πθθ==所围成，故2224410144cos 2sin 22A A a d a a ππθθθ==?==?．（2）由图形关于x 轴对称，在第⼀，⼆象限，当πθ≤≤0时，需求()0cos 1≥+=θa r ，知πθ≤≤0，故所求⾯积为()2221013221cos 22A A a d a πθθπ==?+=?．（3）由图形知，所求⾯积A 为第⼀象限内⾯积1A 的3倍，由20πθ≤≤时，要求03sin ≥=θa r ，知πθ≤≤30，即30πθ≤≤时，0≥r ，于是()223102330133sin 323311cos 6sin 6.4464A A a d a a a d πππθθπθθθθ===-=-=⼆体积1）设⼀⼏何体夹在a x =和b x =这两个平⾏平⾯之间，⽤垂直于x 轴的平⾯去截此⼏何体，设截⾯与x 轴交点为(),0x ，可得的截⾯⾯积为()A x ，如果()A x 是],[b a 上的可连续函数，此时，取x 为积分变量，它的变化区间为],[b a ．相应于],[b a 上的任⼀⼩区间[,]x x x +?的⽴体薄⽚的体积近似于底⾯积为()A x 、⾼为x d 的圆柱体的体积即体积微元d ()d VA x x =，因此所求⽴体的体积为()d baV A x x =?．2）由连续曲线()0y f x =≥、直线a x =、b x =及x 轴所围成的曲边梯形绕x ⼀周⽽成的旋转体的体积()2bx aV f x dx π=?．3）由连续曲线()0y f x =≥、直线a x =、b x =及x 轴所围成的曲边梯形绕绕y 轴旋转⼀周的体积()dx x xf V b ay ?=π2．4）平⾯图形由曲线()y g x =()0≥与直线c y =，d y =和y 轴围成绕y 轴旋转⼀周的体积()?=dcy dy y g V 2π，5）平⾯图形由曲线()y g x =()0≥与直线c y =，d y =和y 轴围成绕x 轴旋转⼀周的体积()?=dcx dy y yg V π2．6）平⾯区域?>≤≤≤≤)0()()(,a x f y x gb x a 绕x 轴旋转⼀周所形成的旋转体体积为 ?-=badx x g x f V .)]()([22π7）平⾯区域>≤≤≤≤)0()()(,a x f y x gb x a 绕y 轴旋转⼀周所形成的旋转体体积为-=badx x g x f x V .)]()([2π例5 ⼀平⾯经过半径为R 的圆柱体的底圆中⼼，并与底⾯交成⾓α，求此平⾯截圆柱体所得⽴体的体积．解取此平⾯与圆柱体的底⾯的交线为x 轴，底⾯上过圆⼼且垂直于x 轴的直线为y 轴，那么底圆的⽅程为2 22R y x =+．⽴体中过x 轴上的点x 且垂直于x 轴的截⾯是⼀个直⾓三⾓形，它的两条直⾓边的长分别为y 和αtan y ，即22x R -及αtan 22x R -，因⽽截⾯⾯积为αtan )(21)(22x R x A -=，于是所求体积为x x R V RR d tan )(2122?--=αααtan 32tan )31(21332R x x R RR =-=-．例6 求椭球球体体积：2222221x y z a b c++=．解：⽤垂直于x 轴的平⾯截椭球得截⾯为⼀椭圆，它在平⾯yoz 上的投影为222222221(1)(1)y z x x b c aa+=--，从⽽得截⾯⾯积为22()(1)x s x bc aπ=-，于是所求的椭球体积为224()(1)3aaa a x V s x dx bc dx abc a ππ--==-=??．注当a b c R ===得球2222x y z R ++=的体积为343R π．例7 求下列平⾯图形绕坐标轴旋转⼀周所得的体积()π≤≤==x y x y 00,sin ．（1）绕x 轴；（2）绕y 轴．解（1）221cos 2sin 22x x V xdx dx πππππ-===?；（2）()()??--=12102arcsin arcsin dy y dy y V y πππ()-=-=123102arcsin 2arcsin 2ydy dy y πππππ．()()().212112211arcsin 2210 2122210212231021023πππππππ=??--=?--+-=??-?--=??-y y d y dy y y y y另⼀解法02sin 2cos y V x xdx xd x ππππ==-?2002cos cos 2ππππ=??--=xdx x x ．注：从上⾯的两种解法中可看出，知道的公式越多，解决问题越⽅便，但要理解公式，记住公式．例8 过点()0,1P 作抛物线2-=x y 的切线，该切线与上述抛物线及x 轴围成⼀平⾯图形，求此图形绕x 轴旋转⼀周所成旋转体的体积．解设所作切线与抛物线相切于点()2,00-x x ，因,22100-='=x y x x故切线⽅程为().2212000x x x x y --=--⼜因该切线过点()0,1P ，所以(),12212000x x x --=--即30=x ．从⽽切线⽅程为().121-=x y 因此所求旋转体的体积 ()()33212112.46V x dx x dx πππ=---=??三平⾯曲线的弧长1）若曲线⽅程为],[),(b a x x f y ∈=，则曲线弧长为?'+=b adx x f s .)]([122）若曲线⽅程为??∈==],[,)()(βαt t y y t x x ，则曲线弧长为?'+'=βadt t y t x s .)]([)]([223）若曲线⽅程为],[),(βαθθ∈=r r ，则曲线弧长为?'+=βαθθθd r r s 22)]([)]([．例9 计算圆222R y x =+的周长．解将圆的⽅程化成参数⽅程.20,sin ,cos πθθθ≤≤??==R y R x则()().2cos sin 202022R d R d R R s πθθθθππ==+-=例10 计算内摆线323232ay x =+()0a >的周长．解法1 由于曲线关于x 轴及y 轴对称，所以，只需计算第⼀象限内曲线的长，再乘以4即得所求．13a y x ??'== ，得.6403a dx x a s a =??=法2 把曲线化为参数⽅程??==,sin ,cos 33θθa y a x 在第⼀象限的参数20πθ≤≤，于是 ,cos sin 3,sin cos 322θθθθa y a x ='-='因此4s θ=.62cos 32sin 6cos sin 12202020a a d a d a =-===??πππθθθθθθ四旋转体的侧⾯积及表⾯积1）设平⾯光滑曲线C 的⽅程为(),[.]y f x x a b =∈（不妨设()0f x ≥），这段曲线绕x 轴旋转⼀周得到旋转曲⾯得旋转曲⾯的⾯积公式(2.baS f x π=?2）如果光滑曲线C 由参数⽅程()x x t =，()y y t =，[],t a b ∈给出，且()0y t ≥，那么由弧微分知识推知曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲⾯的⾯积为2(.S y t βπ=?例11 设有曲线1-=x y ，过原点作其切线，求由此曲线，切线及x 轴围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得到的旋转体的表⾯积．解设切点为()1,00-x x ，则过原点的切线⽅程为.1210x x y -=再以点()1,00-x x 代⼊，解得11,2000=-==x y x ，则上述切线⽅程为.21x y =由曲线()211≤≤-=x x y 绕x 轴旋转⼀周所得到的旋转⾯的⾯积().15563412212121-=-='+=??πππdxx dx y y S由直线段()2021≤≤=x x y 绕x 轴旋转⼀周所得到的旋转⾯的⾯积.525212202ππ?=?=dx x S因此，所求旋转体的表⾯积为().1511621-=+=πS S S ．例12 计算半径为R 的球⾯的⾯积．解半径为R 的球⾯可以看成圆222R y x =+所围成的平⾯图形绕R 轴旋转所形成旋转体的侧⾯积．由于y xy -='，于是 2222242212R dx R dx yy x y dx y x y S R R R R R Rππππ==+=???? ?-+=---．。
高等数学第10章课后习题答案(科学出版社)
第十章曲线积分与曲面积分习题详解习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分： （1）LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧；解: L AB =的参数方程为：cos ,sin x y θθ==()42ππθ-≤≤，于是2cos I ππθ-=⎰4cos (1d ππθθ-==+⎰．（2）(1)Lx y ds ++⎰ ，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解: L 是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有(1)Lx y ds ++⎰(1)OAx y ds =++⎰(1)ABx y ds +++⎰ (1)BOx y ds +++⎰，由于OA :0y =，01x ≤≤，于是ds dx ===，故 103(1)(01)2x y ds x dx ++=++=⎰⎰OA， 而:AB 1y x =-,01x ≤≤，于是ds ==． 故10(1)[(1)ABx y ds x x ++=+-+=⎰⎰，同理可知:BO 0x =（01y ≤≤），0d s =，则13(1)[01]2BOx y ds y dy ++=++=⎰⎰． xyoABC综上所述33(1)322Lx y ds -+=+=+⎰ （3）⎰，其中L 为圆周22x y x +=；解 直接化为定积分．1L 的参数方程为11cos 22x θ=+,1sin 2y θ=（02θπ≤≤）, 且12ds d θθ==．于是201cos222d πθθ=⋅=⎰⎰．（4）2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解 如图所示， 2222 LABBCCDx yzds x yzds x yzds x yzds =++⎰⎰⎰⎰．线段AB 的参数方程为 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤，则ds =2dt ==，故02200 12=⋅⋅⋅=⎰⎰dt t yzds x AB．线段BC 的参数方程为,0,2(01)x t y z t ===≤≤，则,ds dt ==故122 0020BCx yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰，线段CD 的参数方程为1,2,2x y t z t===+)10(≤≤t ，则ds ==，故1122012(2))x yzds t t t t dt =⋅⋅+=+=⎰⎰ 2 (2所以2222LBB CC Dx y z d s x y z d sx y z d sd s =++⎰⎰⎰⎰2 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥的边界曲线的重心，设曲线的密度1ρ=。
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4. 求旋转抛物面 z x2 y 2 和锥体 z x 2 y 2
所围的体积。 解: v ( x2 y 2 ( x2 y 2 )) dxdy
D
d
0
2
1
0
(r r )rdr
2
6
5. 求旋转抛物面 z x2 2 y 2 和锥体 z 6 2 x2 y 2 所围的体积。 解:
2 0
d r 2 cos 2 dr
1
2
2
x 2 dy
D.
1
1
dy
1 y 2
1 y 2
x 2 dx
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3. 累次积分 0 dxx f ( x, y)dy 交换顺序得到的积分 解:原积分区域 0 x 1, x y x 交换顺序得到的积分
2 D 2 D
0
dx sin y 2 dy
0
x
sin y dxdy
0
dy sin y 2 dx
0
y
0
y sin y 2 dy
1 sin y 2 dy 2 2 0 1 ( cos y 2 )0 1. 2
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8.
x2 求 2 d y D
其中D是由 y 0, y x , x 1 所围成的闭区域，则 1 . . f ( x, y) xy ______ 8 解:定积分的定义 因为定积分是一个数，设 a f ( x, y)dxdy,
2
思考与练习
D
对 f ( x, y) xy f ( x, y)dxdy, 在区域D上积分得
D
解:因为三角形OAE和三角形BOE对称，
AOB
( xy cos x sin y )dxdy 2
AOE
cos x sin ydxdy B
E O
A
同理， ( xy cos x sin y )dxdy 0.
COB
F C
6. 设D是 x2 y 2 4 的第一象限部分，估计
2 2 2 0
2cos
0
r 2 dr
16 . 9
2 x x2
例3. 求 ydxdy ，D是由直线 y x 及曲线 y 所围成。 解: I 2 d 0
4
D
2cos
8 1 3 2 r sin r dr cos sin d 3 4 6
为顶点的三角形.
解:
或者
x e
D
2 y2
dxdy x dx e
2 0 0 2 y2
y2
dy x dx e
2 0 0 y 0
1
x
y2
dy
x e
D
dxdy e
0
1
y2
dy x 2 dx
1 1 3 y2 1 3 x dy y e dy 3 0 3 0
D D
( B). ( x y)2d ( x y)3d
(C). ( x y)2d ( x y)3d
D D
D
D
(D).无法比较二者大小. 解:定积分不等式性质
3 2 x y 1, ( x y ) ( x y ) 因为在D上
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B. dx f ( x, y) xdy
0 0 1 1
A. dx
1 0
y y2
f ( x, y)dy
C. dx f ( x, y )dy
0
1
D. dx
0
1
x x2
0
f ( x, y)dy
解:原积分区域 0 , 0 r cos .
即
2 x2 y 2 r cos x, y 0, x 0.
2. 选择易计算的积分序
积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 3. 掌握确定积分限的方法 图示法 列不等式法 (从内到外: 线、点)
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1:
e
1
d x
ln x
0
f ( x,y) d y 交换累次积分顺序可得
解:原积分区域 1 x e,0 y ln x.
改变积分顺序后 0 y 1, e x e.
1
x
dy
0
1
y
2
y
f ( x, y)dx.
4. 已知积分区域 D {( x, y) || x | 1,| y 1| 1},二重积分
f ( x, y)dxdy
D
在直角坐标系下累次积分是
1 1
解:
f ( x, y)dxdy
D
dx f ( x, y )dy.
2
解法2
1 1 2 2 1 2 x2 2 2 d dy x dx dy x dx. 1 2 1 2 2 1 y y y y 2 y D
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9. 求 x e
D
2 y2
dxdy 其中积分区域D是 (0,0), (1,1), (0,1)
1 x
或者
I dy
0
1
2
1 1 y
2 x y dx dy x 2 y dx 2 1 y
2
2
11. 求
1
0
dy sin x3dx
y
1
解:
原式 dx sin x3dy
0 0
1
x2
sin x3 x 2 dx
0
1
1 1 3 1 [cos x ]0 (1 cos1) 3 3
D
(4 x 2 4 y 2 1)dxdy 的值在 (
2 2
)之间.
解:积分估值，因为 4x 4 y 1 在区域D上的最值 分别为1和17.同时积分区域面积是
1 4 . 4
所以积分法 —— 累次积分法
1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.
v [(6 2 x 2 y 2 ) ( x 2 2 y 2 )]dxdy
D
0
2
d
2
0
(6 3r 2 )rdr 6
作业
P108 1(2)(3)(4)，2(3)， 3(1)(3)(4)， 4(1),5(1)，
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解：原积分区域是 0 y 1,0 x 1 y.
交换积分次序得
d x
0
1
1 x
0
f ( x,y) d y.
6：求积分
D
y dxdy 其中D是 y 2 x, y x, x 2, x 4 x
y 2 x
所围的闭区域.
解：
D
41 2x 4 1 1 y dxdy dx ydy y 2 dx 2 2 x x 2 yx x x
a xydxdy aS( D), S ( D ) 表示D的面积
D D
D
a xdx ydy a dx dy
0 0 0 0
1
x2
1
x2
2. 设D {( x, y) x 0, y 0, x y 1} ,则 （B ）
( A). ( x y)2d ( x y)3d
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3. 设
( A).I1 I 2 ,
I2
x 1, y 1
xy dxdy, 则
（C ）
( B).I1 I 2 ,
(C ).I1 I 2
(D).无法比较二者大小. 解:定积分不等式性质 因为积分区域 x2 y2 1, | x | 1,| y | 1, 4. 设 解:
y
0
1
e
d x
1
e
ln x
0
f ( x,y) d y d y y f ( x,y) dx.
0 e
1
1
2:
A. C.
1 x 2 y 2 4
x 2dxdy 可表示成二重积分的是 (A)
2 3 2
2
0
2
d r cos dr B. 1
dx
4 x2 4 x2
1 其中积分区域D是 y x, y , x 2 x
所围的闭区域. 解法1 2 2 x 1 x 2 d x dx 1 2 dy 2 1 y x y D
2 1 2 1 9 3 x dx ( x x)dx . 1 4 y 1 2 x x
习题课 重积分
一、 基本概念 二、直角坐标系下积分法 三、极坐标下积分法
第十章
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一、 基本概念
1.重积分的定义、性质
• 定积分的不等式性质
• 定积分的估值
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1. 设 f ( x, y) 连续，且 f ( x, y) xy f ( x, y)dxdy,
二、极坐标下积分法