2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高一(上)期中数学试卷(解析版)

2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={（x，y）|x+y=2}，N={（x，y）|x﹣y=4}，那么M∩N 为（）A．x=3，y=﹣1 B．（3，﹣1）C．{3，﹣1}D．{（3，﹣1）}2．（5分）函数y=的定义域是（）A．[0，2） B．[0.1）∪（1，2）C．（1，2） D．[0，1）3．（5分）下列函数中，值域是（0，+∞）的是（）A．y=（）1﹣x B．y=x2 C．y=5D．y=4．（5分）函数的图象是（）A．B．C．D．5．（5分）若f（x）=，则不等式f（x）＞f（8x﹣16）的解集是（）A．（0，+∞）B．（0，2]C．[2，+∞）D．[2，）6．（5分）下列三角函数值的符号判断正确的是（）A．sin156°＜0 B．C． D．tan556°＜07．（5分）设，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a8．（5分）若函数在[﹣1，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6]B．[﹣8，﹣6）C．（﹣8，﹣6]D．[﹣8，﹣6]9．（5分）已知定义域为R的函数f（x）在（8，+∞）上为减函数，且函数y=f （x+8）函数为偶函数，则（）A．f（6）＞f（7）B．f（6）＞f（9）C．f（7）＞f（9）D．f（7）＞f（10）10．（5分）某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．已知在过滤过程中废气中的污染物数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为：P=P0e﹣kt，（k，P0均为正的常数）．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%．那么，至少还需（）时间过滤才可以排放．A．小时B．小时C．5小时D．10小时11．（5分）幂函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么，αβ=（）A．1 B．2 C．D．12．（5分）定义域为R的函数f（x）=（x）+bf（x）+c=0恰有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5，则f（x1+x2+x2+x4+x5）等于（）A．0 B．21g2 C．31g2 D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．（5分）设一扇形的弧长为4cm，面积为4cm2，则这个扇形的圆心角的弧度数是．14．（5分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=a有最大值，则不等式log a（x2﹣5x+7）＞0的解集为．15．（5分）已知符号函数sgn（x）=，则函数f（x）=sgn（lnx）﹣|lnx|的零点个数为．16．（5分）设函数f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1），给出下述命题：①f（x）有最小值；②当a=0时，f（x）的值域为R；③若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是a≥﹣4；④a=1时，f（x）的定义域为（﹣1，0）；则其中正确的命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知集合A={x|3≤x＜7}，B={2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．18．（12分）化简求值（1）化简；（2）若2lg（3x﹣2）=lgx+lg（3x+2），求的值．19．（12分）已知x满足不等式（log2x）2﹣log2x2≤0，求函数（a∈R）的最小值．20．（12分）心理学家通过研究学生的学习行为发现；学生的接受能力与老师引入概念和描述问题所用的时间相关，教学开始时，学生的兴趣激增，学生的兴趣保持一段较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力，x表示讲授概念的时间（单位：min），可有以下的关系：f（x）=（Ⅰ）开讲后第5min与开讲后第20min比较，学生的接受能力何时更强一些？（Ⅱ）开讲后多少min学生的接受能力最强？能维持多少时间？（Ⅲ）若一个新数学概念需要55以上（包括55）的接受能力以及13min时间，那么老师能否在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个概念？21．（12分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若对任意m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0，都有．（1）用定义证明函数f（x）在定义域上是增函数；（2）若，求实数a的取值范围；（3）若不等式f（x）≤（1﹣2a）t+2对所有和x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]都恒成立，求实数t的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=log a，g（x）=1+log a（x﹣1），（a＞0且a≠1），设f（x）和g（x）的定义域的公共部分为D，（1）求集合D；（2）当a＞1时．若不等式g（x﹣）﹣f（2x）＞2在D内恒成立，求a的取值范围；（3）是否存在实数a，当[m，n]⊊D时，f（x）在[m，n]上的值域是[g（n），g （m）]，若存在，求实数a的取值范围，若不存在说明理由．2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={（x，y）|x+y=2}，N={（x，y）|x﹣y=4}，那么M∩N 为（）A．x=3，y=﹣1 B．（3，﹣1）C．{3，﹣1}D．{（3，﹣1）}【解答】解：将集合M和集合N中的方程联立得：，①+②得：2x=6，解得：x=3，①﹣②得：2y=﹣2，解得：y=﹣1，∴方程组的解为：，则M∩N={（3，﹣1）}．故选：D．2．（5分）函数y=的定义域是（）A．[0，2） B．[0.1）∪（1，2）C．（1，2） D．[0，1）【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：0≤x＜2，且x≠1．所以原函数的定义域为[0，1）∪（1，2）．故选：B．3．（5分）下列函数中，值域是（0，+∞）的是（）A．y=（）1﹣x B．y=x2 C．y=5D．y=【解答】解：A．对任意x∈R，；∴该函数值域为（0，+∞），∴该选项正确；B．y=x2≥0；∴该函数值域为[0，+∞），∴该选项错误；C．∵；∴；∴该函数的值域不是（0，+∞），∴该选项错误；D.；∴0≤1﹣2x＜1；∴0≤y＜1；即该函数的值域为[0，1），不是（0，+∞），∴该选项错误．故选：A．4．（5分）函数的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：令x=0，则=1，即图象过（0，1）点，排除C、D；令x=1，则=＜1，故排除A故选：B．5．（5分）若f（x）=，则不等式f（x）＞f（8x﹣16）的解集是（）A．（0，+∞）B．（0，2]C．[2，+∞）D．[2，）【解答】解：由知，f（x）是定义在[0，+∞）上的增函数，则不等式f（x）＞f（8x﹣16）得，⇒⇒2≤x＜，故选：D．6．（5分）下列三角函数值的符号判断正确的是（）A．sin156°＜0 B．C． D．tan556°＜0【解答】解：A、因为156°在第二象限，所以sin156°＞0，故A错误；B、因为=，所以B错误；C、因为=，所以C正确；D、因为tan556°=tan（360°+196°）=tan196°，且196°在第三象限，所以tan556°＞0，故D错误；故选：C．7．（5分）设，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【解答】解：∵a=ln3＞1，b=＞=，c=＜=．∴a＞b＞c．故选：A．8．（5分）若函数在[﹣1，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6]B．[﹣8，﹣6）C．（﹣8，﹣6]D．[﹣8，﹣6]【解答】解：∵函数在[﹣1，+∞）上单调递减，∴y=3x2﹣ax+5在[﹣1，+∞）上单调递增，∴，解得﹣8＜a≤﹣6．故选：C．9．（5分）已知定义域为R的函数f（x）在（8，+∞）上为减函数，且函数y=f （x+8）函数为偶函数，则（）A．f（6）＞f（7）B．f（6）＞f（9）C．f（7）＞f（9）D．f（7）＞f（10）【解答】解：∵y=f（x+8）为偶函数，∴f（x+8）=f（﹣x+8），即y=f（x）关于直线x=8对称．又∵f（x）在（8，+∞）上为减函数，∴f（x）在（﹣∞，8）上为增函数．由f（8+2）=f（8﹣2），即f（10）=f（6），又由6＜7＜8，则有f（6）＜f（7），即f（7）＞f（10）．故选：D．10．（5分）某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．已知在过滤过程中废气中的污染物数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为：P=P0e﹣kt，（k，P0均为正的常数）．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%．那么，至少还需（）时间过滤才可以排放．A．小时B．小时C．5小时D．10小时【解答】解：由题意，前5个小时消除了90%的污染物，∵P=P0e﹣kt，∴（1﹣90%）P0=P0e﹣5k，∴0.1=e﹣5k，即﹣5k=ln0.1∴k=﹣ln0.1；则由10%P0=P0e﹣kt，即0.1=e﹣kt，∴﹣kt=ln0.1，即（ln0.1）t=ln0.1，∴t=5．故选：C．11．（5分）幂函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么，αβ=（）A．1 B．2 C．D．【解答】解：BM=MN=NA，点A（1，0），B（0，1），所以MN ，分别代入y=xα，y=xβ故选：A．12．（5分）定义域为R的函数f（x）=（x）+bf（x）+c=0恰有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5，则f（x1+x2+x2+x4+x5）等于（）A．0 B．21g2 C．31g2 D．1【解答】解：当x=2时，f（x）=1，则由f2（x）+bf（x）+c=0得1+b+c=0．∴x1=2，c=﹣b﹣1．当x＞2时，f（x）=lg（x﹣2），由f2（x）+bf（x）+c=0得[lg（x﹣2）]2+blg（x ﹣2）﹣b﹣1=0，解得lg（x﹣2）=1，x2=12或lg（x﹣2）=b，x3=2+10b．当x＜2时，f（x）=lg（2﹣x），由f2（x）+bf（x）+c=0得[lg（2﹣x）]2+blg（2﹣x）﹣b﹣1=0），解得lg（2﹣x）=1，x4=﹣8或lg（2﹣x）=b，x5=2﹣10b．∴f（x1+x2+x3+x4+x5）=f（2+12+2+10b﹣8+2﹣10b）=f（10）=lg|10﹣2|=lg8=3lg2．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．（5分）设一扇形的弧长为4cm，面积为4cm2，则这个扇形的圆心角的弧度数是2．【解答】解：因为扇形的弧长l为4，面积S为4，所以扇形的半径r为：r=4，r=2，则扇形的圆心角α的弧度数为=2．故答案为：2．14．（5分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=a有最大值，则不等式log a（x2﹣5x+7）＞0的解集为（2，3）．【解答】解：设t=lg（x2﹣2x+3）=lg[（x﹣1）2+2]≥lg2，若a＞1，则f（x）≥a lg2，此时函数有最小值，不满足条件．．若0＜a＜1，则f（x）≤a lg2，此时函数有最大值，满足条件．则不等式log a（x2﹣5x+7）＞0等价为0＜x2﹣5x+7＜1，即，则，解得2＜x＜3，即不等式的解集为（2，3），故答案为：（2，3）15．（5分）已知符号函数sgn（x）=，则函数f（x）=sgn（lnx）﹣|lnx|的零点个数为2．【解答】解：由题意，f（x）=sgn（lnx）﹣|lnx|=，显然x=1是函数f（x）的零点，当x＞1时，令1﹣lnx=0得，x=e；则x=e是函数f（x）的零点；当0＜x＜1时，﹣1+lnx＜0，故没有零点；故函数f（x）=sgn（lnx）﹣|lnx|的零点个数为2；故答案为：2．16．（5分）设函数f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1），给出下述命题：①f（x）有最小值；②当a=0时，f（x）的值域为R；③若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是a≥﹣4；④a=1时，f（x）的定义域为（﹣1，0）；则其中正确的命题的序号是②．【解答】解：①f（x）有最小值不一定正确，因为定义域不是实数集时，函数f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1）的值域是R，无最小值，题目中不能排除这种情况的出现，故①不对．②当a=0时，f（x）的值域为R是正确的，因为当a=0时，函数的定义域不是R，即内层函数的值域是（0，+∞）故（x）的值域为R故②正确．③若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是a≥﹣4．是不正确的，由f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，可得内层函数的对称轴﹣≤2，可得a ≥﹣4，由对数式有意义可得4+2a﹣a﹣1＞0，解得a＞﹣3，故由f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，应得出a＞﹣3，故③不对；④a=1时，f（x）=lg（x2+x﹣2），令x2+x﹣2＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，故函数的定义域是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故④不对；综上，②正确，故答案为：②．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知集合A={x|3≤x＜7}，B={2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A={x|3≤x＜7}，B={2＜x＜10}在数轴上表示可得：故A∪B={x|2＜x＜10}，C R A={x|x＜3，或x≥7}（C R A）∩B={2＜x＜3，或7≤x ＜10}；（2）依题意可知①当C=∅时，有5﹣a≥a，得；②当C≠∅时，有，解得；综上所述，所求实数a的取值范围为（﹣∞，3]．18．（12分）化简求值（1）化简；（2）若2lg（3x﹣2）=lgx+lg（3x+2），求的值．【解答】解：（1）原式===（2）由2lg（3x﹣2）=lgx+lg（3x+2），得，∴．又（3x﹣2）2=x（3x+2），∴x=2或（舍），∴．19．（12分）已知x满足不等式（log2x）2﹣log2x2≤0，求函数（a∈R）的最小值．【解答】解：解不等式（log2x）2﹣log2x2≤0，得1≤x≤4，所以2≤2x≤16当a＜2时，；当2≤a≤16时，y min=1当a＞16时，20．（12分）心理学家通过研究学生的学习行为发现；学生的接受能力与老师引入概念和描述问题所用的时间相关，教学开始时，学生的兴趣激增，学生的兴趣保持一段较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力，x表示讲授概念的时间（单位：min），可有以下的关系：f（x）=（Ⅰ）开讲后第5min与开讲后第20min比较，学生的接受能力何时更强一些？（Ⅱ）开讲后多少min学生的接受能力最强？能维持多少时间？（Ⅲ）若一个新数学概念需要55以上（包括55）的接受能力以及13min时间，那么老师能否在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个概念？【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，由于f（5）=53.5，f（20）=47，则f（5）＞f（20）则开讲后第5min比开讲后第20min，学生的接受能力更强一些；（Ⅱ）当0＜x≤10时，f（x）=﹣0.1（x﹣13）2+59.9，则当x=10时，f（x）min=f（10）=59，当x＞16时，f（x）＜﹣3×16+109=59，故开讲后10min（包括10分钟）学生的接受能力最强，能维持6 min．（Ⅲ）由得6＜x≤10；由得16＜x则t=（10﹣6）+6+（﹣6）=＜13．答：老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个概念．21．（12分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若对任意m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0，都有．（1）用定义证明函数f（x）在定义域上是增函数；（2）若，求实数a的取值范围；（3）若不等式f（x）≤（1﹣2a）t+2对所有和x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]都恒成立，求实数t的取值范围．【解答】证明：（1）设任意x1，x2满足﹣1≤x1＜x2≤1，由题意可得，∴f（x）在定义域[﹣1，1]上位增函数；解：（2）由（1）知，∴即a的取值范围为；（3）由（1）知f（x）max≤（1﹣2a）t+2对任意a∈[﹣1，1]都恒成立，即1≤﹣2ta+t+2对任意a∈[﹣1，1]都恒成立，∴，即t的取值范围为．22．（12分）已知函数f（x）=log a，g（x）=1+log a（x﹣1），（a＞0且a≠1），设f（x）和g（x）的定义域的公共部分为D，（1）求集合D；（2）当a＞1时．若不等式g（x﹣）﹣f（2x）＞2在D内恒成立，求a的取值范围；（3）是否存在实数a，当[m，n]⊊D时，f（x）在[m，n]上的值域是[g（n），g （m）]，若存在，求实数a的取值范围，若不存在说明理由．【解答】解：（1）f（x）的定义域为：＞0，∴x＞3或x＜﹣3；g（x）的定义域为：x﹣1＞0，∴x＞1，∴集合D为（3，+∞）；（2）1+log a（x﹣）﹣log a＞2，∴log a＞1，∴a＜，设h（x）=，t=2x﹣3，∴g（t）==（t+）+，∴g（t）＞g（3）=，∴1＜a≤．（3）f（x）=log a（1﹣），μ（t）=1﹣在（3，+∞）上递增，μ（3）=0，当a＞1时，f（x）在3，+∞）上递增，g（x）在3，+∞）上递增，当m＜n时，g（m）＜g（n），不合题意，舍去；当0＜a＜1时，f（x）在3，+∞）上递减，g（x）在3，+∞）上递减，由f（m）=g（m），f（n）=g（n），∴m，n是f（x）=g（x）的两根，∴=a（x﹣1），∴ax2+（2a﹣1）x﹣3a+3=0，∴m+n＞6，mn＞9，∴a＜，又m+n＞2，∴a＜或a＞，又△＞0，（2a﹣1）2﹣4a（3﹣3a）＞0∴a＜或a＞，∴0＜a＜．。