2.3.1平面向量基本定理课件.ppt

231平面向量的基本定理(共23张PPT)

3.在梯形ABCD中，AD ∥ BC, O为梯形所在平面内任意一点，设OA a, OB b, OC c, OD d .E , F分别为AB, CD的中点，则（） 1 (a b c d ) 2 1 C.EF (c d a b) 2 A.EF 1 (a b c d ) 2 1 D.EF (a b c d ) 2 B.EF
1 1 解析：如图， EF ( AD BC) [(d a ) (c b)] 2 2 1 (c d a b ) 2
全优50页基础夯实
2.在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别是 CD，BC 的中点，设 → → → → AM＝a，AN＝b.试以 a，b 为基底表示向量AB和AD.
OC 1 e1 2 e2 即 a 1 e1 +2 e2
平面向量基本定理：
LOGO
如果 e1 , e2 是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任意一个向量a , 有且只有一对实数 1 , 2 , 使 a 1 e1 2 e2 .
其中e1， e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 .
一、①λ
a 的定义及运算律 ②向量共线定理 ( a ≠0) 向量a与b 共线 b a
A,B,C三点共线
二、定理的应用： 1. 证明向量共线 2. 证明三点共线: AB=λBC 3. 证明两直线平行: AB=λCD AB∥CD
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
2.3.1 平面向量的基本定理及坐标表示
一个重要结论
如图, OA、 OB 不共线, 且 AP t AB ( t R ), 用 OA, OB 表示 OP .

第二章§2.3.1平面向量基本定理

上页下页
规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练
学习目标研读
课前自主探究
课堂互动讲练
第．零向量不能作为基底，二 1．零向量不能作为基底，两个非零向量共线时不能作章为平面向量的一组基底．只有平面内两个不共线的向量为平面向量的一组基底．平．平面内不共线的两个向量可以作为基底，面 2．平面内不共线的两个向量可以作为基底，对于同一个向量，用不同基底表示时，实数对并不一定相同．向个向量，用不同基底表示时，实数对并不一定相同．量 3．证明三点共线，应结合题目条件，把e1与e2看作一组．证明三点共线，应结合题目条件，基底，选择适当的任两点确定向量，基底，选择适当的任两点确定向量，依据向量共线的条件判定向量共线，由这两个向量又有公共点，件判定向量共线，由这两个向量又有公共点，可证三点共线．共线．
规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练
学习目标研读
课前自主探究
课堂互动讲练
第二章平面向量
上页
例1 如图所示，已知，e ，作向量＝e ＋2e ，如图所示，已知e1 2 作向量a＝ 1 2 b＝e2＋2e1，并作出向量－b. 并作出向量a－＝分析】【分析】本题主要考察平面向量基本定理的作图问题．作图问题．
学习目标研读
课前自主探究
课堂互动讲练
第二章平面向量
§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
上页下页
规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练
学习目标研读
课前自主探究
课堂互动讲练
第二章平面向量
情境设疑
为了在直立的墙面上固定一幅画，为了在直立的墙面上固定一幅画，有时用一个钉，有时用多个钉，有时用一个钉，有时用多个钉，你能否用向量的有关知识来解释其中的道理？向量的有关知识来解释其中的道理？

高一数学人教A版必修4课件：2.3.1 平面向量基本定理

明目标、知重点
跟踪训练 2 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 的中点，E，F 为 BC 的三等分点，若A→B＝a，A→C
＝b，用 a、b 表示A→D、A→E、A→F 解 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C
明目标、知重点
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.
明目标、知重点
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？答不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹角为 π－∠CAB.
明目标、知重点
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
→→ 以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则
→
→
OC＝a＋b，BA＝a－b.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.
明目标、知重点
∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°. ∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 反思与感悟求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.

高中数学第二章平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件新人教A版必修4

1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断 c，d 能否作为基底．解：设存在实数 λ，使 c＝λd，则 2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0，由于向量 a，b 不共线，所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的，从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________．答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________．答案：12(a＋b)
探究点一对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，

第二章 2.3.1 平面向量基本定理

§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1 平面向量基本定理学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．知识点一平面向量基本定理1．平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.2．基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．知识点二两向量的夹角与垂直1.夹角：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角(如图所示)．当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向．2．垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b . 思考如何正确理解两向量夹角概念答案 (1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA →与向量AB →的夹角，∠BAD 才是向量CA →与向量AB →的夹角．1．平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底．( × ) 提示只有不共线的两个向量才可以作为基底． 2．零向量可以作为基向量．( × )提示由于0和任意向量共线，故不可作为基向量． 3．平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．( × )提示基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底．4．若e 1，e 2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( √ )题型一对基底概念的理解例1 设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2 C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2 D ．e 1和e 1＋e 2考点平面向量基本定理题点基底的判定答案 B解析选项B 中，6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)，∴6e 1－8e 2与3e 1－4e 2共线，∴不能作为基底，选项A ，C ，D 中两向量均不共线，可以作为基底．故选B.反思感悟考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．跟踪训练1 若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )A ．e 1－e 2，e 2－e 1B ．2e 1－e 2，e 1－12e 2C ．2e 2－3e 1，6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1＋3e 2 考点平面向量基本定理题点基底的判定答案 D解析选项A 中，两个向量为相反向量，即e 1－e 2＝－(e 2－e 1)，则e 1－e 2，e 2－e 1为共线向量；选项B 中，2e 1－e 2＝2⎝⎛⎭⎫e 1－12e 2，也为共线向量；选项C 中，6e 1－4e 2＝－2(2e 2－3e 1)，为共线向量．根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D 符合．题型二用基底表示向量例2 如图所示，在▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以a ，b 为基底表示DE →，BF →.考点平面向量基本定理题点用基底表示向量解 ∵四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点， ∴AD →＝BC →＝2BE →，BA →＝CD →＝2CF →， ∴BE →＝12AD →＝12b ，CF →＝12BA →＝－12AB →＝－12a .∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE →＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b ，BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →＝b －12a .引申探究若本例中其他条件不变，设DE →＝a ，BF →＝b ，试以a ，b 为基底表示AB →，AD →. 解取CF 的中点G ，连接EG .∵E ，G 分别为BC ，CF 的中点， ∴EG →＝12BF →＝12b ，∴DG →＝DE →＋EG →＝a ＋12b .又∵DG →＝34DC →＝34AB →，∴AB →＝43DG →＝43⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝43a ＋23b .又∵AD →＝BC →＝BF →＋FC →＝BF →＋12DC →＝BF →＋12AB →，∴AD →＝BC →＝b ＋12⎝⎛⎭⎫43a ＋23b ＝23a ＋43b . 反思感悟将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．跟踪训练2 如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.考点平面向量基本定理的应用题点利用平面向量基本定理求参数答案 43解析设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.题型三向量的夹角例3 已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，设a ＋b 与a 的夹角为α，a －b 与a 的夹角是β，求α＋β.考点向量夹角的定义及夹角的范围题点求向量的夹角解如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BC →＝OA →＝a . 因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为正三角形，所以∠OAB ＝60°＝∠ABC ，即a －b 与a 的夹角β＝60°.因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形，所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝90°－60°＝30°，即a ＋b 与a 的夹角α＝30°，所以α＋β＝90°.反思感悟 (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．(2)特别地，a 与b 的夹角为θ，λ1a 与λ2b (λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.跟踪训练3 在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12AB ，则AB →与BC →的夹角是( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 考点向量夹角的定义及夹角的范围题点求向量的夹角答案 C 解析如图，作向量AD →＝BC →，则∠BAD 是AB →与BC →的夹角，在△ABC 中，因为∠C ＝90°，BC ＝12AB ，所以∠ABC ＝60°，所以∠BAD ＝120°.平面向量基本定理的应用典例如图，点A ，B ，C 是圆O 上三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点P .若OC →＝mOA →＋2mOB →，AP →＝λAB →，则λ＝________.答案 23解析 ∵OP →与OC →共线，∴存在实数μ，使OP →＝μOC →＝mμOA →＋2mμOB →.∵AP →＝OP →－OA →，∴AP →＝mμOA →＋2mμOB →－OA →＝(mμ－1)OA →＋2mμOB →＝λAB →＝λ(OB →－OA →)＝－λOA →＋λOB →. ∵OA →与OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧mμ－1＝－λ，2mμ＝λ，解得λ＝23.[素养评析] 1.利用平面向量基本定理解决问题时，要抓住用基底表示向量时系数λ1，λ2的唯一性．2．本题主要考查利用平面向量基本定理，建立方程运算求出未知向量，体现了数学运算的核心素养．1．给出下列三种说法：①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．其中，说法正确的为( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 考点平面向量基本定理题点基底的含义与性质答案 B2.如图所示，设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，给出下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →. 其中可作为该平面内所有向量的基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④ 考点平面向量基本定理题点基底的判定答案 B解析 ②中DA →与BC →共线，④中OD →与OB →共线，①③中两向量不共线，故选B.3．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(2x －3y )e 1＋(3x －4y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x ＝________，y ＝________.考点平面向量基本定理的应用题点利用平面向量基本定理求参数答案－15 －12解析 ∵向量e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＝6，3x －4y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－15，y ＝－12.4．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．考点平面向量基本定理的应用题点利用平面向量基本定理求参数答案 12解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →) ＝－16AB →＋23AC →，又∵AB →与AC →不共线，∴λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝－16＋23＝12.5．在△ABC 中，点D ，E ，F 依次是边AB 的四等分点，试以CB →＝e 1，CA →＝e 2为基底表示CF →.考点平面向量基本定理题点用基底表示向量解 AB →＝CB →－CA →＝e 1－e 2，因为D ，E ，F 依次是边AB 的四等分点，所以AF →＝34AB →＝34(e 1－e 2)，所以CF →＝CA →＋AF →＝e 2＋34(e 1－e 2)＝34e 1＋14e 2.1．对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量．②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．一、选择题1．如图所示，矩形ABCD 中，BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →等于( )A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1) 考点平面向量基本定理题点用基底表示向量答案 A解析 OC →＝12AC →＝12(BC →－BA →)＝12(BC →＋DC →)＝12(5e 1＋3e 2)． 2．如图所示，用向量e 1，e 2表示向量a －b 为( )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2考点平面向量基本定理题点用基底表示向量答案 C3．若|a |＝|b |＝|a －b |＝r (r >0)，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 考点向量夹角的定义及夹角的范围题点求向量的夹角答案 C4．已知A ，B ，D 三点共线，且对任一点C ，有CD →＝43CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13 C ．－13 D ．－23 答案 C解析因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数t ，使AD →＝tAB →，则CD →－CA →＝t (CB →－CA →)．所以CD →＝CA →＋t (CB →－CA →)＝(1－t )CA →＋tCB →. 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－t ＝43，t ＝λ，解得λ＝－13.5．设点D 为△ABC 中边BC 上的中点，O 为AD 上靠近点A 的三等分点，则( ) A.BO →＝－16AB →＋12AC →B.BO →＝16AB →－12AC →C.BO →＝56AB →－16AC →D.BO →＝－56AB →＋16AC →考点平面向量基本定理题点用基底表示向量答案 D解析依题意，得BO →＝AO →－AB →＝13AD →－AB →＝13×12(AB →＋AC →)－AB →＝－56AB →＋16AC →，故选D. 6．若OP →1＝a ，OP →2＝b ，P 1P →＝λPP →2(λ≠－1)，则OP →等于( )A ．a ＋λbB ．λa ＋(1－λ)bC ．λa ＋bD.11＋λa ＋λ1＋λb 考点平面向量基本定理题点用基底表示向量答案 D解析 ∵P 1P —→＝λPP 2—→，∴OP →－OP →1＝λ(OP →2－OP →)，∴(1＋λ)OP →＝OP →1＋λOP →2， ∴OP →＝11＋λOP →1＋λ1＋λOP →2＝11＋λa ＋λ1＋λb .7．设a ，b 为基底向量，已知向量AB →＝a －k b ，CB →＝2a ＋b ，CD →＝3a －b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于( ) A ．2 B ．－2 C ．10D ．－10考点平面向量基本定理的应用题点利用平面向量基本定理求参数答案 A解析 AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a －k b )＋(－2a －b )＋(3a －b )＝2a －(k ＋2)b ，∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →＝λAD →，即a －k b ＝λ[2a －(k ＋2)b ]＝2λa －λ(k ＋2)b ，∵a ，b 为基底向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝1，k ＝λ(k ＋2)，解得λ＝12，k ＝2.8．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足O P →＝13⎝⎛⎭⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为( )A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．△ABC 的重心D ．AB 边的中点答案 B解析 ∵O 是△ABC 的重心，∴OA →＋OB →＋OC →＝0，∴OP →＝13⎝⎛⎭⎫－12OC →＋2OC →＝12OC →，∴点P 是线段OC 的中点，即AB 边中线的三等分点(非重心)．故选B.9．已知a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－e 2，c ＝－2e 1＋4e 2(e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量)，则c ＝________.(用a ，b 表示) 考点平面向量基本定理题点用基底表示向量答案 2a －2b 解析设c ＝λa ＋μb ，则－2e 1＋4e 2＝λ(e 1＋e 2)＋μ(2e 1－e 2) ＝(λ＋2μ)e 1＋(λ－μ)e 2，因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2＝λ＋2μ，4＝λ－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝－2，故c ＝2a －2b .10.如图，在△MAB 中，C 是边AB 上的一点，且AC ＝5CB ，设MA →＝a ，MB →＝b ，则MC →＝________.(用a ，b 表示)考点平面向量基本定理题点用基底表示向量答案 16a ＋56b解析 MC →＝MA →＋AC →＝MA →＋56AB →＝MA →＋56(MB →－MA →)＝16MA →＋56MB →＝16a ＋56b .11．已知e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为______________．考点平面向量基本定理题点基底的含义与性质答案 (－∞，4)∪(4，＋∞)解析若能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线．a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，由a ≠k b ，即得λ≠4.12．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为________．考点向量夹角的定义及夹角的范围题点求向量的夹角解析由题意可画出图形，在△OAB 中，因为∠OAB ＝60°，|b |＝2|a |，所以∠ABO ＝30°，OA ⊥OB ，即向量a 与c 的夹角为90°. 三、解答题13．在梯形ABCD 中，AB →∥CD →，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB ＝k .设AD →＝e 1，AB →＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC →，BC →，MN →. 考点平面向量基本定理题点用基底表示向量解方法一如图所示，∵AB →＝e 2，且DC AB ＝k ，∴DC →＝kAB →＝k e 2.又∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC →＝－AB →－CD →－DA →＝－AB →＋DC →＋AD → ＝e 1＋(k －1)e 2.又∵MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，且NB →＝－12BC →，AM →＝12AD →，∴MN →＝－AM →－BA →－NB →＝－12AD →＋AB →＋12BC →＝k ＋12e 2.方法二如图所示，过C 作CE ∥DA ，交AB 于点E ，交MN 于点F .同方法一可得DC →＝k e 2.则BC →＝BE →＋EC →＝－(AB →－DC →)＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2， MN →＝MF →＋FN →＝DC →＋12EB →＝DC →＋12(AB →－DC →)＝k ＋12e 2. 方法三如图所示，连接MB ，MC .同方法一可得DC →＝k e 2， BC →＝e 1＋(k －1)e 2. 由MN →＝12(MB →＋MC →)，得MN →＝12(MA →＋AB →＋MD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝k ＋12e 2. 14.如图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为对称中心的点B 的对称点，OD →＝2DB →，DC 与OA 交于E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．考点平面向量基本定理题点用基底表示向量解 (1)由题意知A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →＝23b .由平行四边形法则知OB →＋OC →＝2OA →，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)EC →∥DC →，又∵EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，∴2－λ2＝153，∴λ＝45.15.如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．考点平面向量基本定理的应用题点利用平面向量基本定理求参数解如图，以OA ，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，则OC →＝OD →＋OE →.在Rt △OCD 中，∵|OC →|＝23， ∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°， ∴|OD →|＝4，|CD →|＝2，故OD →＝4OA →，OE →＝2OB →，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.。

新人教版数学必修4同步课件：平面向量基本定理

(方法 2)因为�� = �� + ��,
而��
=
1 2
��
=
1 2
(��
−
�� ),
所以��
=
��
+
1 2
(��
分析根据平面向量基本定理,结合向量的线性运算进行求解.
解(1)(方法 1)如图,因为�� = �� + ��, �� = �� + ��, 所以 2�� = �� + �� + �� + ��.
的其他向量的基底的是( )
A.①②
B.①③
C.①④ D.③④
解析∵�� 与�� 不共线,�� 与�� 不共线,∴①③可以作为基底,
其他两组分别共线,故不可以,选 B.
答案B
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
平面向量基本定理的应用
2.3.1 平面向量基本定理
-1-
首页
核心素养培养目标
核心素养形成脉络
1.理解基底的定义,并能判断两个向量是否是平面向量基本定理
基底.培养数学抽象及逻辑推理素养. 2.理解并掌握平面向量基本定理,会用基底表示平面向量.培养数学抽象、数学运算素养. 3.掌握两个向量夹角以及两个向量垂直的定义.培养数学运算、数学抽象素养.

2020版人教A数学必修3 课件：2.3.1 平面向量基本定理

2.(2018·黄石市高一检测)已知平行四边形ABCD,则下列各组向量中,是该平面内所有向量基底的是( D ) (A) AB , DC (B) AD , BC (C) BC , CB (D) AB , DA
解析:由于 AB , DA 不共线,所以是一组基底.
3.如图,M,N 是△ABC 的一边 BC 上的两个三等分点,若 AB =a, AC =b,则
正解:由已知得 BA = OA - OB =2a-2b, BC = OC - OB =(-a+3b)-2b=-a+b, 显然 BA =-2 BC ,可见 BA 与 BC 共线,且是反向共线,故 BA 与 BC 的夹角为 180°.
学霸经验分享区
(1)对基底的理解 ①基底的特征基底具备两个主要特征:a.基底是两个不共线向量; b.基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件. ②零向量与任意向量共线,故不能作为基底. (2)准确理解平面向量基本定理 ①平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式,且分解是唯一的. ②平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解决几何问题时,我们可以选择适当的基底,将问题中涉及的向量向基底化归, 使问题得以解决.
题型三任意一向量基底表示的唯一性应用 [例 3] 如图所示,在△ABC 中,点 M 是 AB 的中点,且 AN = 1 NC ,BN 与 CM 相
2 交于 E,设 AB =a, AC =b,试用基底 a,b 表示向量 AE .
解:易得 AN = 1 AC = 1 b, AM = 1 AB = 1 a,
新知导学课堂探究
新知导学·素养养成

人教版高中数学必修4(A版) 平面向量基本定理 PPT课件

2.3.1 平面向量基本定理
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|；（2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线存在唯一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a =0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向量a都可以由这个平面内两个不共线的向量e1，e2表示出来，从而可形成一个定理.你能完整地描述这个定理的内容吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

高中数学必修四《平面向量的基本定理》PPT

栏目导引
第二章平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目导引
第二章平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目导引
第二章平面向量
【名师点评】两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
栏目导引
第二章平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目导引
第二章平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹角为________．
答案：60°
栏目导引
第二章平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一对基底概念的理解例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：

平面向量基本定理课件

命题方向2 用基底表示向量
已知O→A＝a，O→B＝b，C为线段AO上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用a、 b表示O→D的表达式为( )
A.19(4a＋3b) C.13(2a＋b)
B.116(9a＋7b) D.14(3a＋b)
[解析] ∵O→D＝O→C＋C→D＝O→C＋13C→B ＝O→C＋13(O→B－O→C)＝23O→C＋13O→B ＝49O→A＋13O→B＝19(4a＋3b)，∴选A.
∵a、b不共线，∴131211－－mn＝＝mn
⇒n＝15，
∴O→P＝15a＋25b.
在△OAB中，O→C＝14O→A，O→D＝12O→B，AD与BC交于点M，
设O→A＝a，O→B＝b，试以a、b为基底表示O→M.
[分析]
先用平面向量基本定理设出
→ OM
＝ma＋nb，分别
表示出A→M、A→D、C→M、C→B后，再利用共线向量的条件列出方
则A→B＝B→D， ∴∠DBC为向量A→B与B→C的夹角． ∵∠DBC＝120°， ∴向量A→B与B→C的夹角为120°. (2)∵E为BC的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为90°.
探索延拓创新
命题方向4 综合分析与解决问题的能力
如图，在△OAB中，O→A＝a，O→B＝b，M、N分别
∴e1＋e2 与 e1 不共线，即 e1 与 e1＋e2 可作为一组基底；
②设 e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，则
1＋2λ＝0， 2＋λ＝0，
无解，
∴e1－2e2 与 e2－2e1 不共线，即 e1－2e2 与 e2－2e1 可作为
一组基底；
③∵e1－2e2＝－12(4e2－2e1)，∴e1－2e2 与 4e2－2e1 共线，即 e1－2e2 与 4e2－2e1 不可作为一组基底；

2.3.1平面向量基本定理

分别表示向量a、例4．如图，用基底，j 分别表示向量、b 、．如图，用基底i A c 、d ，并求它们的坐标．并求它们的坐标．
2
A
A1
课堂小结：课堂小结：
1.平面向量的基本定理平面向量的基本定理
（书本94页）书本页
如果e 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于如果 1，e2是同一平面内的两个不共线的向量那么对于这一平面内的任一向量a 有且只有一对实数有且只有一对实数λ 这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数λ １、λ２使 a = λ １ e 1+ λ ２ e 2 2.向量的夹角：共起点的两个向量形成的角向量的夹角：向量的夹角
把一个向量分解为两个垂直的向量,叫做把向量正交分解把一个向量分解为两个垂直的向量叫做把向量正交分解。垂直的向量叫做把向量正交分解。
分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作分别与轴方向相同的两单位向量为基底？任一向量a 为基底？任一向量，用这组基底可表示为有且只有一对实 y a =xi + yj．数x、y，使得、， a （x，y）叫做向量a的坐标，记作，）叫做向量的坐标， j a=( x , y ) x O i 那么i （ 0 那么 =（1 ，） 1 j =( 0 ， ) 0 =（ 0 ，0）（
作业布置
P101
P102
A组 1
B组 3 4
a e2 e1
a e1 e2
a e2 e1
a e1 e2
对定理的理解: 1)基底: 不共线的向量e1 e2。不共线的向量的向量。同一平面可以有不同基底 2)平面内的任一向量都可以沿两个不共线的平面内的任一向量都可以沿两个不共线的平面内的任一向量方向分解成两个向量的和的形式；方向分解成两个向量的和的形式； 3)分解是唯一的分解是唯一的分解是唯一

高一数学必修4课件：2-3-1平面向量基本定理

第二章
2.3 2.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
→ 如图，作OA＝a，
→ OB＝b，且∠AOB＝60° ，以 OA、OB 为邻边作▱OACB， → → → → → → → → 则OC＝OA＋OB＝a＋b，＝OA－OB＝a－b，＝OA＝ BA BC a.
第二章 2.3 2.3.1
②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③， λ1λ2 当＝0 或 μ1μ2＝0 时不一定成立，应为 λ1μ2－λ2μ1＝0.故选 B.
第二章
2.3 2.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
设 e1，e2 是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1 与 e1＋e2；②e1－2e2 与 e2－2e1；③e1－2e2 与 4e2－2e1；④e1 ＋e2 与 e1－e2.其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是． ________．(写出所有满足条件的序号)
第二章 2.3 2.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[分析]
应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量 e1
与 e2 不共线和平面内向量 a 用基底 e1、e2 表示的惟一性求解．
第二章
2.3 2.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于
第二章
2.3 2.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[特别提醒]
→ → (1)从图可以看出OA与OB的夹角是 θ，但由向
→ → 量夹角的定义可知OA与BO的夹角不是 θ，而是 π－θ.

《2.3.1平面向量的基本定理及坐标表示》课件2

90°
，则称 a 与 b 垂直，
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
名师点睛 1．准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的． (2)平面向量基本定理中，实数 λ1， λ2 的唯一性是相对于基底 e1， e2 而言的，平面内任意两个不共线的向量都可作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的．

)．
1 C.4

1 D.8
1→ 1→ 1→ 1 → → 1 → → 1 AN＝2AD＋AE＝24AB＋4AC＝8AB＋8AC，∴x＝y＝
1 1 1 1 ，即 x＋y＝＋＝ . 8 8 8 4 答案 C
课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练
题型四共线向量与平面向量基本定理的综合应用 → ＝a，OB → ＝b，M、N 分【例 4】如图所示，在△OAB 中，OA 1 1 → → → 与BM →交别是边 OA、OB 上的点，且OM＝ a，ON＝ b，设AN 3 2 → 于点 P，试以 a、b 为基底表示OP.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
3→ → → → → → 又∵ OB ＝ 3，＝1，故OD＝ 3OA，OE＝ OA 3 OB，
3→ → → ∴OC＝ 3OA＋ 3 OB， 3 m 3 此时 m＝ 3，n＝，∴ ＝＝3. 3 n 3 3
课前探究学习
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式 2】已知|a|＝|b|＝2，且 a＋b 和 a 的夹角和 a－b 和 a 的夹角相等，求 a 与 b 的夹角． → ＝a，OB → ＝b，解如图，作OA 以 OA，OB 为邻边作▱OACB， → ＝a＋b，BA → ＝OA → －OB → ＝a－b，则OC → → BC＝OA＝a， ∴a＋b 与 a 夹角为∠AOC， a－b 与 a 夹角为∠ABC，a 与 b 夹角为∠AOB.

2.3.1平面向量基本定理(必修四数学优秀课件)

即（2 - ）a +(k - 4 )b = 0

k – 4 = 0 8.
2 - = 0
k =
e2是同一平面内的两个不如果 e1 、共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a 有且只有一对实数1、 2 使 a = 1 e1 + 2e2 e2叫做表我们把不共线的向量e1 、示这一平面内所有向量的一组基底。
思考（1）一组平面向量的基底有多少对？（有无数对） C F M M C A O a N B O a N E
AB与BD共线，则存在实数
λ使得AB = λBD.
由于BD = CD – CB
k =
=(2a – b) –(a +3b) = a – 4b 则需 2a + kb = (a – 4b ) 2 = 由向量相等的条件得 k = 4
8.
此处可另解：
则需 2a + kb = (a – 4b )
e2
B
A
e1 2.5e
1
3e2
· O
向量的夹角
思考1：不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量a和b，作 OA a，OB b，如图.为了反映这两个向量的位置关系，称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？
B a b b
[0°，180°]
1 a 2
总结： 1、平面向量基本定理内容 2、对基本定理的理解（1）实数对λ1、 λ２的存在性和唯一性（２）基底的不唯一性（３）定理的拓展性３、平面向量基本定理的应用求作向量、解（证）向量问题、解（证）平面几何问题
思考
设 a、b是两个不共线的向量，已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a – b,若A、B、D三点共线，求k的值。解： A、B、D三点共线