1.4.1-1.4.2全称量词与存在量词(李用)

1.4.2 存在量词
思考：下列语句是命题吗？⑴与⑶，⑵与⑷之 间有什么关系？ ⑴2x+1=3； ⑵x 能被 2 和 3 整除； ⑶存在一个 x0∈R，使 2x0+1=3； ⑷至少有一个 x0∈Z，x0 能被 2 和 3 整除.
存在量词： 短语“存在一个” “至少有一个” ，这些词 语都是表示整体的一部分的词通常叫做存在 量词。用符号“ ”表示 常用的存在量词还有： “存在一个” ， “有一个” ， “有些” ， “至少有一个” ， “ 至多有一个”, “某些” ， “有的”等.
特称命题“∃x∈A， 命题 全称命题“∀x∈A，p(x)” p(x)” ①所有的x∈A，p(x)成 ①存在x∈A，使p(x)成 立 立 ②对一切x∈A，p(x)成 ②至少有一个x∈A， 立 使p(x)成立 表述 ③对每一个x∈A，p(x) ③对有些x∈A，p(x)成 立 方法 成立 ④任意一个x∈A，p(x) ④对某个x∈A，p(x)成 成立 立 ⑤凡x∈A，都有p(x)成 ⑤有一个x∈A，使p(x) 立 成立

4 ．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些 是特称命题，并判断真假： (1) 当 a ＞ 1 时，则对任意 x ，曲线 y ＝ ax 与曲线 y ＝logax有交点． (2)∃x∈R，使得x2－x＋1≤0. (3)被5整除的整数的末位数字都是0. (4)有的四边形没有外接圆．

解析：Leabharlann [规范作答] (1)∵当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0， ∴原命题是假命题. … … … … … … … … … … … 3分 (2)∵当x＝0时，|x|≤0成立， ∴原命题是真命题. … … … … … … … … … … … 6分 (3)∵当x＝1时，log2x＝0， ∴原命题是假命题. … … … … … … … … … … … 9分

3. 本例 (1) 中“ >” 改为“ ≥ ”， (2) 中“ ≤ ”改为 “<”，两命题的真假性如何？ 解析： (1)∀x∈R，x2＋2x＋1≥0是真命题． (2)∃x0∈R，|x0|<0是假命题．

4．判断下列命题的真假： (1)∀x∈R，sin x＋cos x≤ 2. (2)∀x∈{3,5,7},3x＋1 是偶数；

解析： (1)为全称命题． (2)为特称命题． (3)不是命题． (4)为全称命题． (5)为特称命题．

将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表 示，并判断真假． (1)实数的平方是非负数； (2)整数中1最小； (3) 方程 ax2 ＋ 2x ＋ 1 ＝ 0(a<1) 至少存在一个负根； (4)对于某些实数x，有2x＋1>0； (5)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.
例如： 1 ）有一个素数不是奇数。 2）有的平行四边形是菱形。
含有存在量词的命题叫做特称命题 （或存在命题）
特称命题“存在M中的一个x,使p(x) 成 立”可用符号简记为
x ∈ M, p(x ) 0 0
读做“存在一个x0,使p(x0)成立”.
课 前 练 习：
假 假 真
, a是向量
真
假
1．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说 法正确的是( ) A．∀x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy B．∃x0，y0∈R，使x＋y≥2x0y0 C．∀x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy D．∃x0<0，y0<0，使x＋y≤2x0y0 解析： 这是一个全称命题，且x，y∈R，故 选A. 答案： A
解析： (1)①∃x∈R，y∈R,2x＋3y＋2<0.真命题； ②∃x∈{三角形}，x 不是等腰三角形，真命题； ③∃x∈R，x2－3x＋6<0.假命题； ④∀t 为正实数， t>0 且 t<t.假命题． (2)①a.对任意实数 x，都有 x2≥0； b．对所有实数 x，都有 x2≥0； c．对每一个实数 x，都有 x2≥0.


[解题过程]
题号
(1) (2) (3) (4) (5)
符号表示
∀x∈R，x2≥0 ∀x∈Z，x≥1 ∃x<0，有ax2＋2x＋1＝ 0(a<1) ∃x∈R，有2x＋1>0 若∀a⊂α，l⊥a，则l⊥α
真假判 断 真 假 真 真 真

[题后感悟] 同一个全称命题或特称命题，可 能有不同的表述方法，现列表总结如下，在 实际应用中可以灵活选择：

(4)因为对于x2－x＋1＝0，Δ<0，所以方程x2－ x ＋ 1 ＝ 0 无实数根，所以“ ∃ x0∈R ， x － x0 ＋ 1 ＝0”是假命题．
◎∀x∈[－1,2]，使4x－2x＋1＋2－a<0恒成立， 求实数a的取值范围． 【错解】 令 t ＝ 2x ，则不等式 4x － 2x ＋ 1 ＋ 2 － a<0化为：t2－2t＋2－a<0，① 由已知①式有解． ∴Δ≥0， 即(－2)2－4(2－a)≥0，解得a≥1.

答案： C
3 ．下列命题，是全称命题的是 ________ ；是 特称命题的是________． ①正方形的四条边相等； ②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数． 解析： ①③是全称命题，②④是特称命题． 答案： ①③ ②④
【正解】 令 t＝2
x
已知不等式化为：22x－2· 2x＋2－a<0①
1 ，∵x∈[－1,2]，∴t∈2，4，
则不等式①化为：t2－2t＋2－a<0， 即 a>t2－2t＋2，
1 原命题等价于：∀t∈2，4，a>t2－2t＋2
恒成立，
令 y＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1， 当
(1)、(3)是全称命题，(2)、(4)是特称命题，对
(1)当 a＞1 时，y＝ax 与 y＝logax 都是增函数且两函数是互为 反函数；图象关于直线 y＝x 对称故没有交点． ∴(1)是假命题． 对于(2)，∵x
2
12 3 3 －x＋1＝x－2 ＋ ≥ 恒成立， 4 4
∴(2)是假命题． 对于(3)，∵末位数字是 5 的整数也能被 5 整除． ∴(3)是假命题．
②a.存在角α∈R，使sin α＝cos α成立； b．至少有一个角α，使sin α＝cos α成立； c．对于有些角α，满足sin α＝cos α.

判断下列命题的真假： (1)∀x∈R，x2＋2x＋1>0； (2)∃x0∈R，|x0|≤0； (3)∀x∈N*，log2x>0； π (4)∃x0∈R，sin x0＝2.
2.(1)用“量词”表述下列命题，并判断真假： ①存在实数对(x，y)，使 2x＋3y＋2<0 成立； ②有些三角形不是等腰三角形； ③至少有一个实数使不等式 x2－3x＋6<0 成立； ④对所有正实数 t， t为正且 t<t. (2)用文字语言表述下列命题： ①∀x∈R，x2≥0；②∃α∈R，sin α＝cos α.

不等式不是在 R 内有解，而是在[－1,2]内恒成立． t 的取值范围，缺少了约束条件． 换元后，没有求解 【错因】
用 t 替换 2 后，据 x∈[1,2]，求出
x
1 t∈2，4，确定原来命题
1 的等价命题：∀t∈2，4，a>t2－2t＋2
恒成立，进而求解.
π (4)∵当 x∈R 时，sin x∈[－1,1]，而2>1， π ∴不存在 x0∈R，使 sin x0＝2， ∴原命题是假命题. ………………………………12 分
[ 题后感悟 ] (1) 要判定全称命题“ ∀ x∈M ， p(x)” 是真命题，必须对限定集合 M 中的每个 元 素 x 验 证 p(x) 成 立 ； 但 要 判 定 全 称 命 题 “ ∀ x∈M ， p(x)” 是假命题，只要能举出一个 反例，即在集合 M 中找到一个元素 x0 ，使得 p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题． (2) 要判定特称命题 “ ∃ x0∈M ， p(x0)” 是真命 题，只需要找到集合 M中的一个元素 x0使 p(x0) 成立即可．只有当对集合M中的任意一个元素 x，p(x)都不成立时，才说明这个特称命题是假 命题．
1.4.1
全称量词
思考?
下列语句是命题吗?(1)与(3)之间,(2)与(4)之间 有什么关系? (1) x 3 ; (2)2x+1是整数; (3)对所有的 x R, x 3; (4)对任意一个
x Z,
2x+1是整数.
短语“对所有的””对任意一 短语”对所有的””对任意一 个”在逻辑中通常叫做全称量词, 并用符号 ”表示.含有全称 “ 量词的命题,叫做全称命题. ,
(4)“ 圆内接四边形，其对角互补”的实质是 “所有的圆内接四边形，其对角都互补”， 所以该命题是全称命题且为真命题． (5) 虽然不含逻辑联结词，其实 “ 指数函数都 是单调函数”中省略了“所有的”， 所以该命题是全称命题且为真命题．

1.判断下列语句是全称命题还是特称命题： (1)没有一个实数α，tan α无意义． (2)存在一条直线其斜率不存在． (3) 所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 吗？ (4)圆外切四边形，其对角互补． (5)有的指数函数不是单调函数．

[解题过程]
π (1)特称命题． α＝2时， tan α 不存在， 所以，
特称命题“有一个实数 α，tan α 无意义”是真命题． (2)不是命题． (3)含有全称量词，所以该命题是全称命题，又任何一个 圆的圆心到切线的距离都等于半径， 所以，全称命题“所有圆的圆心到其切线的距离都等于 半径”是真命题．
2 (3)∃x0∈Q，x0 ＝3；
(4)∃x0∈R，x2 0－x0＋1＝0.
解析： (1)∵sin x＋cos x＝