最新高一数学《平面向量》期末练习题及答案

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平面向量练习题及答案

平面向量练习题及答案一、选择题1. 设向量a和向量b是两个不共线的向量，若向量c=2向量a-3向量b，向量d=向量a+4向量b，那么向量c和向量d的夹角的余弦值是（）A. 1/2B. -1/2C. 0D. 12. 若向量a和向量b的模长分别为3和4，且它们的夹角为60°，则向量a和向量b的点积是（）A. 6B. 12C. 15D. 183. 已知向量a=（1，2），向量b=（3，4），则向量a和向量b的向量积的大小是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题4. 若向量a=（x，y），向量b=（2，-1），且向量a与向量b共线，则x=______，y=______。

5. 向量a=（3，4），向量b=（-1，2），则向量a和向量b的夹角的正弦值是______。

三、计算题6. 已知向量a=（2，3），向量b=（4，-1），求向量a和向量b的点积。

7. 已知向量a=（-1，3），向量b=（2，-4），求向量a和向量b的向量积。

8. 已知向量a=（1，0），向量b=（2，3），求向量a在向量b上的投影。

四、解答题9. 设向量a=（1，-1），向量b=（2，3），求证向量a和向量b不共线。

10. 已知向量a=（x，y），向量b=（1，1），若向量a和向量b的点积为6，求x和y的值。

答案：1. B2. C3. B4. 2，-15. 根号下（（3+4）的平方-（3*(-1)+4*2）的平方）除以（5*根号下2）6. 向量a和向量b的点积为：2*4+3*(-1)=57. 向量a和向量b的向量积为：(3*(-4)-4*2)i-(2*3-1*4)j=-20i+2j8. 向量a在向量b上的投影为：(向量a·向量b)/向量b的模长^2 * 向量b = (1*2+0*3)/(2^2+3^2) * 向量b = (2/13) * (2，3)9. 证：假设向量a和向量b共线，则存在实数k使得向量a=k向量b。

平面向量专题练习(带答案详解)

平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。

3 B。

2 C。

1 D。

02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。

-4 B。

-1 C。

1 D。

43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。

1 B。

5/3 C。

3/5 D。

7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。

-4 B。

-2 C。

2 D。

45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。

充分必要条件 B。

必要不充分条件 C。

充分不必要条件 D。

既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。

$\frac{8}{3}$ B。

$\frac{26}{9}$ C。

$\frac{2}{3}$ D。

$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。

$\frac{\pi}{6}$ B。

$\frac{\pi}{4}$ C。

$\frac{\pi}{3}$ D。

$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。

18 B。

高一数学平面向量专项练习题

高一数学平面向量专项练习题1．已知平面向量a ，b 的夹角为23π，2a =，1b =，则a b ⋅=（）A ．1B ．1-CD ．2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB AC ⋅uu u r uu u r等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16 3．已知,a b 是不共线的向量，且5,28,3()AB a b BC a b CD a b =+=-+=-，则（）. A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线 D ．A ，C ，D 三点共线4．已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点,,A B C ，其中0OA OB ⋅=，存在实数,λμ满足0OC OA uOB λ++=，则实数,λμ的关系为A ．221λμ+=B ．111λμ+= C ．1λμ= D ．1λμ+=5．已知向量(1,2),(1,3)a b =-=，则||a b -=（）A B ．2 C D 6．若1a b ==r r ，(2)a b a +⊥，则向量a 与b 的夹角为（）A ．30B ．60C ．120D ．1507．在△ABC 中，若AB 2BC -2=AB AC ⋅，则△ABC 是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形8．在ABC ∆中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+等于（）A ．12B ．23C ．16D ．139．若()2,4,a b a b a ==+⊥,则a 与b 的夹角为( )A ．23πB ．3πC ．43πD ．π10．已知非零向量a ，b 的夹角是60°，a b =，a ⊥(λa -b )，则λ=A ．12B ．1C ．32D ．211．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，||1AD =，则AC AD ⋅=（）A ．B ．2C ．3D 12．已知12,e e 是两个单位向量，且夹角为3π，则12e te +与12te e +数量积的最小值为（）A ．32-B ．6-C ．12D ．313．已知向量a,b r r 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．014．在ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+uuu r uu u r uuu r ，则λμ+=A ．2B ．2-C ．12D ．12- 15．在边长为2的正ABC ∆中，设2BC BD =，3CA CE =，则AD BE ⋅=（） A ．-2 B ．-1 C ．23- D ．83- 16．已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦17．两个非零向量,a b 满足||||2||a b a b a +=-=，则向量b 与a b -夹角为（） A ．56π B ．6π C ．23π D ．3π 18．AB 是半径为1的圆O 的直径，P 是圆O 上一点，Q 为平面内一点，且1233BQ BP AB =-，1AQ AB ⋅=，则BQ BP ⋅的值为（） A ．12 B ．1 CD ．5219．已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的( )（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）A ．重心外心垂心B ．重心外心内心C ．外心重心垂心D ．外心重心内心20．已知1e ，2e 是不平行的向量，设12a e ke =+，12b ke e =+，则a 与b 共线的充要条件是实数k 等于________．21．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且1a =，12b ⎛= ⎝⎭r ，则(2)a b b +⋅=________． 22．已知正方形ABCD 的边长为4，2AE AB =，则AC DE ⋅=__________． 23．已知平面向量,a b 满足3a =，2b =，3a b ⋅=-，则2a b += . 24．已知||1a =，()a b a +⊥，则⋅=a b _________.25．在等腰梯形ABCD 中，2DC AB =，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，记DA a =，DC b =，若用,a b 表示DF ，则DF =________.26．在ABC ∆中，4AC =，3BC =，30ACB ∠=︒，点E 为边AC 的中点，2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则CA CB ⋅=______；CD BE ⋅=______.27．在ABC ∆中，D 为AB 的中点，点O 满足2CO OD =，OA OB ⊥，若10AB =，则AC BC ⋅=___________。

(word版)高一数学平面向量练习题(含答案)

平面向量练习题一、单选题（本大题共7小题，共35.0分） 1. 已知向量a ⃗ =(m,1)，b ⃗ =(−1,2)，若，则a ⃗ 与b ⃗ 夹角的余弦值为( )A. −2√1313B. 2√1313C. −6√1365D. 6√13652. 已知向量a ⃗ =(x 2,x +2),b ⃗ =(−√3,−1),c ⃗ =(1,√3)，若a ⃗ //b ⃗ ，则a⃗ 与c ⃗ 夹角为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π63. 下列命题中正确的是( )A. 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量，则A,B,C,D 四点共线；B. 若a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则a⃗ //c ⃗ ； C. 不相等的两个向量一定不平行； D. 两个相等向量的模相等．4. 已知|b ⃗ |=3，a ⃗ 在b ⃗ 上的投影向量为12b ⃗ ，则a ⃗ ·b ⃗ 的值为( )A. 3B. 92C. 2D. 125. 在等腰三角形ABC 中，AB =AC =√5，BC =2，若P 为边BC 上的动点，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=( ) A. 2 B. 4 C. 8D. 06. 非零向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，则ΔABC 为( ) A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形D. 等边三角形7. 如图所示，在ΔABC 中，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点P 是BN 上一点，若m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m 的值为( ) A. 13 B. 19 C. 1 D. 2二、多选题（本大题共6小题，共30.0分）8. 下列命题中，正确的是( )A. 对于任意向量a ⃗ ，b ⃗ 有||a ⃗ +b ⃗ |≤|a ⃗ |+|b ⃗ |B. 若a ⃗ ·b ⃗ =0，则a ⃗ =0或b ⃗ =0C. 对于任意向量a ⃗ ，b ⃗ 有|a ⃗ ·b ⃗ |≤|a ⃗ ||b ⃗ |D. 若a ⃗ ，b ⃗ 共线，则a⃗ ⋅b ⃗ =±|a ⃗ ||b ⃗ | 9. 设向量a ⃗ =(k,2),b⃗ =(1,−1)，则下列叙述错误的是( ) A. 若k <−2，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为钝角 B. |a⃗ |的最小值为2 C. 与b ⃗ 垂直的单位向量为(√22,√22)D. 若|a ⃗ |=2|b ⃗ |，则k =2√2或−2√210. 设向量a ⃗ =(2,0),b ⃗ =(1,1)，则( )A. |a ⃗ |=|b⃗ | B. 与b ⃗ 同向的单位向量是(12,12) C. (a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗D. a ⃗ 与b ⃗ 的夹角是π4．11. 已知向量m⃗⃗⃗ =(1,0)，n ⃗ =(12,12)，则( ) A. |m ⃗⃗⃗ |=√2|n ⃗ | B. (m⃗⃗⃗ −n ⃗ )// n ⃗ C.D. m⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角为π4 12. 下列说法错误的是( )A. 若a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则a⃗ //c ⃗ B. 若a ⃗ //b ⃗ ，则存在唯一实数λ使得a ⃗ =λb ⃗C. 两个非零向量a ⃗ ，b ⃗ ，若|a ⃗ −b ⃗ |=|a ⃗ |+|b ⃗ |，则a ⃗ 与b ⃗ 共线且反向D. 已知a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(1,1)，且a ⃗ 与a ⃗ +λb ⃗ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53,+∞)13. 已知点O 为△ABC 所在平面内一点，且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则下列选项正确的是A. AO ⃗⃗⃗⃗⃗=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 直线AO 必过BC 边的中点 C. S △AOB ︰S △AOC =3︰2D. |OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，且OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√13第II 卷（非选择题）三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）14. 在四边形ABCD 中，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,4)，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,6)，则四边形ABCD 的面积是________．15. 已知a ⃗ ，b ⃗ 是两个不共线的向量，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +k b ⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +3b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ −b ⃗ ，若A ，B ，D 三点共线，则实数k = .16. 已知非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，则|a ⃗ +b ⃗||a ⃗ −b ⃗ |= ．17. 设向量m ⃗⃗⃗ =2a ⃗ −3b ⃗ ，n ⃗ =4a ⃗ −2b ⃗ ，p ⃗ =3a ⃗ +2b⃗ ，试用m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 表示p ⃗ ，p⃗ = ．四、解答题（本大题共9小题，共108.0分）18. 已知向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 是同一平面内的三个向量，其中a⃗ =(1,−1) (Ⅰ)若|c ⃗ |=3√2，且c ⃗ //a ⃗ ，求向量c ⃗ 的坐标； (Ⅱ)若b ⃗ 是单位向量，且，求a ⃗ 与b ⃗ 的夹角θ．19. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，(a ⃗ +b ⃗ )⋅(2a ⃗ −b ⃗ )=8．(1)求a ⃗ 与b ⃗ 的夹角θ; (2)求|a ⃗ +b ⃗ |.20. 在直角梯形ABCD 中，已知AB //CD ，∠DAB =90°，AB =6，AD =CD =3，对角线AC 交BD 于点O ，点M 在AB 上，且OM ⊥BD ．(1)求AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； (2)若N 为线段AC 上任意一点，求AN ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．21. 已知a ，b ，c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且△ABC 的面积S =14c 2．(Ⅰ)记m ⃗⃗⃗ =(2c,1)，n ⃗ =(2a −√2b,cosB)，若m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ． (i)求角C ，(ii)求ab 的值；(Ⅱ)求ab 的取值范围．22. 已知a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(2,1)．(1)当k 为何值时，k a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 共线⋅ (2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +3b ⃗ ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．23. 已知向量a ⃗ =(−3,2)，b ⃗ =(2,1)，c⃗ =(3,−1)，t ∈R ． (1)求|a ⃗ +t b ⃗ |的最小值； (2)若a ⃗ −t b ⃗ 与c⃗ 共线，求t 的值．24. 设e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 是不共线的非零向量，且，b ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗(1)若，求λ,μ的值；(2)若e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 是互相垂直的单位向量，求a⃗ 与b ⃗ 的夹角θ．25. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，BM =23BC ，AN =14AB ．(1)试用向量a ⃗ ，b ⃗ 来表示DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)AM 交DN 于O 点，求AO ∶OM 的值．26. 已知O 为直线AB 外一点，(1)若OC ⃗⃗⃗⃗⃗=34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：A 、B 、C 三点共线；(2)若O 为坐标原点，A(2,−3)，B(8,1)，判断△OAB 的形状，并给予证明．答案和解析1.【答案】B【解答】解：设a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ 依题意，a ⃗ −2b ⃗ =(m +2,−3)，由，则(a ⃗ −2b ⃗ )·b ⃗ =0，即−m −2−6=0，解得m =−8，则a ⃗ =(−8,1)，a ⃗ ·b ⃗ =−8×(−1)+1×2=10， |a ⃗ |=√(−8)2+12=√65，|b ⃗ |=√(−1)2+22=√5．所以cosθ=a ⃗ ·b ⃗ |a ⃗ |·|b⃗ |=10√65×√5=2√1313，故选B ．2.【答案】A本题主要考查用数量积表示两个向量的夹角，两个向量的夹角公式，属于基础题．由题意可得a →与 b →反向，故a →与c →的夹角即为−b →与c →的夹角，利用两个向量的夹角公式求解即可．【解答】解：∵向量a →=(x 2,x +2)，b →=(−√3,−1)，c →=(1,√3)，若a →//b →，则a →与b →反向， ∴a →与c →的夹角即为−b →与c →的夹角，设为θ， ∴cosθ=−b ⃗ ·c ⃗|b ⃗ |·|c ⃗ |=−−√3−√32×2=√32，，∴θ=π6，即a →与c →的夹角为π6．故选A ．3.【答案】D【解答】A 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线时，A ，B ，C ，D 四点不一定共线，判定A 错误， B 中，a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ 中，若b ⃗ =0⃗ ，则不成立，B 错误， C 中，零向量的方向不确定，因此人们规定它可以与任何向量平行，则C 错误， D 中，两个相等向量的模是一定相等的，D 正确．4.【答案】B本题主要考查向量的数量积，投影向量，向量的模，属于基础题．根据题意得到|a ⃗ |cos⟨a ⃗⃗⃗ ,b ⃗ ⟩=12|b ⃗ |即可．【解答】解：因为a ⃗ 在b ⃗ 上的投影向量为12b ⃗ ，所以|a⃗ |cos⟨a ⃗⃗⃗ ,b ⃗ ⟩=12|b ⃗ |，又因为|b ⃗ |=3所以a ⃗ ·b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos⟨a ⃗ ,b ⃗ ⟩=12|b⃗ |2=12×32=92，故选B ．5.【答案】C解题的关键设AD 是等腰三角形ABC 的高，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，利用勾股定理求出AD 的长即可．【解答】解：设AD 是等腰三角形ABC 的高，则AD =√5−1=2，故AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=8，故选C ．6.【答案】D本题考查向量的数量积的应用，考查三角形的判断，属于基础题．利用向量的数量积为0可得到等腰三角形，利用向量的数量积求出∠BAC =60°，得到等边三角形．【解答】解：∵非零向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0， ∴|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，三角形是等腰三角形．又因为cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，且0°⩽<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >⩽180°，所以∠BAC =60°，所以三角形是等边三角形．故选D ．本题考查了平面向量基本定理，属于基础题．根据向量的加法以及三点共线的向量表示列式即可解答．【解答】解：因为AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以3m AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3m AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为B ，P ，N 三点共线，所以3m +23=1，解得m =19．故选B ．8.【答案】ACD本题主要考查向量的三角不等式，向量的数量积概念及运算，属于基础题．根据向量的三角不等式，向量的数量积概念及运算，结合选项依次分析判断即可．【解答】解：对于A ，对任意向量a ⃗ ，b ⃗ ，有|a ⃗ +b ⃗ |≤|a ⃗ |+|b ⃗ |，当且仅当a⃗ 与b ⃗ 共线时取等号，故A 正确；对于B ，若a ⃗ ·b ⃗ =0，则a ⃗ =0⃗ 或b ⃗ =0⃗ 或a ⃗ ⊥b ⃗ ，故B 错误；对于C ，对任意向量a ⃗ ，b ⃗ ，因为a ⃗ ·b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >≤|a ⃗ ||b ⃗ |，当且仅当a ⃗ 、b ⃗ 同向共线时取等号，故C 正确；对于D ，若向量a ⃗ ，b ⃗ 共线，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为0°或180°，有a ⃗ ·b ⃗ =±|a ⃗ |·|b ⃗ |，故D 正确．故选ACD ．9.【答案】CD本题考查了单位、零、共线、相反、相等向量的概念，向量的模，向量的夹角，平面向量共线的充要条件，向量的数量积和平面向量的坐标运算，属于中档题．利用向量的夹角，结合向量数量积的坐标运算和平面向量共线的充要条件，对A 进行判断，利用向量模的坐标运算，对B 与D 进行判断，利用共线、单位向量和向量模的坐标运算对C 进行判断，从而得结论．【解答】解：对于A 、因为向量a ⃗ =(k,2),b ⃗ =(1,−1)，所以当k <−2时，a ⃗ ·b ⃗ =k −2<0且−k −2≠0，即a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为钝角，因此A 正确；对于B 、因为|a ⃗ |=2+4≥2，所以|a ⃗ |的的最小值为2，因此B 正确；对于C 、设与b ⃗ 垂直的单位向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y )且|m ⃗⃗⃗ |=1，所以x −y =0且√x 2+y 2=1，解得{x =√22y =√22或{x =−√22y =−√22, 因此与b ⃗ 垂直的单位向量为(√22,√22)或(−√22,−√22)，所以C 不正确；对于D 、因为|a ⃗ |=2|b ⃗ |，所以√k 2+4=2√2，解得k =2或−2，所以D 不正确；故选CD ．10.【答案】CD本题考查向量的坐标计算，关键是掌握向量模长公式，夹角公式，垂直的判定方法以及单位向量的概念，属于基础题．根据题意由向量的坐标计算公式依次分析选项，验证选项中结论是否成立，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，∵a ⃗ =(2,0)，b ⃗ =(1,1)，∴|a ⃗ |=√22+02=2，|b ⃗ |=√12+12=√2． |a ⃗ |≠|b ⃗ |．故选项A 错误;对于B ，令c ⃗ =(12,12)，则|c ⃗ |=√(12)2+(12)2=√22，由单位向量的定义知与b ⃗ 同向的单位向量不可能是(12,12)．故选项B 错误;对于C ，∵a ⃗ =(2,0)，b ⃗ =(1,1)， ∴a ⃗ −b ⃗ =(1,−1)，故(a ⃗ −b⃗ )·b ⃗ =1×1+(−1)×1=0，．故选项C 正确;对于D ，∵a ⃗ =(2,0)，b ⃗ =(1,1)， ∴cos <a ⃗ ，b ⃗ >=√22+0√12+12=√22，又∵<a ⃗ ，，∴a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为．故选项D 正确．所以选CD ．11.【答案】ACD本题主要考查向量的模、向量的坐标运算、向量的夹角、向量平行的判断及向量垂直的判断，根据题意逐项进行判断即可得到结果．【解答】解：A ．|m ⃗⃗⃗ |=√12+02=1,|n ⃗ |=√(12)2+(12)2=√22，因此|m ⃗⃗⃗ |=√2|n ⃗ |，所以A 正确；B .m ⃗⃗⃗ −n ⃗ =(12,−12)，因此12×12−(−12)×12=1≠0，所以m ⃗⃗⃗ −n ⃗ 与n ⃗ 不平行，所以B 错误；C .(m ⃗⃗⃗ −n ⃗ )·n ⃗ =12×12+(−12)×12=0，所以(m ⃗⃗⃗ −n ⃗ )⊥n ⃗ ，所以C 正确； D .m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ =1×12+0×12=12，则cos <m⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ·n⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=121×√22=√22，因此，所以D 正确．故选ACD ．12.【答案】ABD本题考查了共线向量及零向量，考查向量的坐标运算，属于基础题．对各选项逐一判定正误，即可得到答案．【解答】解：对于A ：两个向量a ⃗ ，b ⃗ ，如果b ⃗ =0⃗ ，则a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则a⃗ ，c ⃗ 不一定为共线向量，故错误；对于B ：若a ⃗ //b ⃗ ，则a ⃗ =λb ⃗ ，如果a ⃗ =b ⃗ =0⃗ ，则实数λ不唯一，故错误；对于C ：两个非零向量a ⃗ ，b ⃗ ，若|a ⃗ −b ⃗ |=|a ⃗ |+|b ⃗ |，可得(a ⃗ −b ⃗ )2=(|a ⃗ |+|b ⃗ |)2，即−2a ⃗ ·b ⃗ =2|a ⃗ ||b ⃗ |，cosθ=−1，则两个向量的夹角为π，则a ⃗ 与b ⃗ 共线且反向，故正确；对于D ：已知a⃗ =(1,2)，b ⃗ =(1,1)，所以a ⃗ +λb ⃗ =(1+λ,2+λ)，因为a ⃗ 与a ⃗ +λb ⃗ 的夹角为锐角，可得且a ⃗ 与a ⃗ +λb⃗ 不同向，即{1+λ+2(2+λ)>0,2(1+λ)≠2+λ，解得且λ≠0，故错误，故说法错误的是ABD ．故选ABD ．13.【答案】ACD本题考查平面向量的线性运算及相关知识，属于难题．A 项直接由平面向量的线性运算即可，其余选项由AO⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，取BC 的中点为M ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，再取AB 的中点N ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则2NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，即NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则N ，M ，O 三点共线，连接AO ，交BC 于点Q ，结合图像依次判断即可．【解答】解：对于A 项，由AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 得， AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )+3(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0⃗ ，得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故A 项正确; 再由AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 得 AO⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，取BC 的中点为M ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，再取AB 的中点N ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则2NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，即NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则N ，M ，O 三点共线，连接AO ，交BC 于点Q ，如图所示：则直线AO 必过BC 边的中点，是错误，故B 项错误;对于C 项，因为△OMQ ∽△ACQ ，得MQCQ =OM AC =14，又因为BM =CM ，则BQ CQ =64=32，则S △AOBS△AOC=12AO×ℎ112AO×ℎ2=ℎ1ℎ2=BQ CQ=32.故C 项正确;对于D 项，若|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，且，则OM ⊥BC ，即AC ⊥BC ，如图所示：则OM =√22，得AC =4OM =2√2，在中，QC =45MC =2√25，得AQ =√AC 2+QC 2=√8+825=4√135，在中，MQ =15MC =√210，得OQ =√OM 2+MQ 2=√12+2100=√135，则AO =AQ +OQ =4√135+√135=√13，即|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√13.故D 项正确．故答案为ACD ．14.【答案】30本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积以及向量的模，属于基础题．根据向量的加减运算和向量的数量积的运算，得到四边形ABCD 为矩形，再根据向量的模的计算得到，矩形的长和宽，即可求出面积．【解答】解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,4)，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,6)， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4×3−2×6=0，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,6)=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−2)=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ //AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴四边形ABCD 为矩形，∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√42+(−2)2=√20，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32+62=√45， ∴四边形ABCD 的面积为√20×√45=30，故答案为：30．15.【答案】−8本题考查向量共线、平面向量的基本定理以及向量的加减运算，A ，B ，D 三点共线，可得存在实数λ，使得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用平面向量的基本定理即可得出．【解答】解：∵CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +3b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ −b ⃗ ，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ⃗ −3b ⃗ +2a ⃗ −b ⃗ =a ⃗ −4b ⃗ ．又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +k b ⃗ ，且A ，B ，D 三点共线， ∴一定存在实数λ，使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴2a ⃗ +k b ⃗ =λ(a ⃗ −4b ⃗ )，∴{λ=2,k =−4λ,∴k =−8．故答案为−8．16.【答案】√3本题考查向量的概念及几何表示，向量的模，向量的线性运算，属于中档题．设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ，由|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，得△OAB 为正三角形，设其边长为1，计算可得．【解答】解：如图，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ． ∵|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |， ∴BA =OA =OB ．∴△OAB 为正三角形，设其边长为1，则|a ⃗ −b ⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，|a ⃗ +b ⃗ |=2×√32=√3． ∴|a ⃗ +b⃗ ||a ⃗ −b⃗ |=√31=√3．故答案为√3．17.【答案】−74m⃗⃗⃗ +138n⃗ 设p ⃗ =x m ⃗⃗⃗ +y n ⃗ ，则3a ⃗ +2b ⃗ =x(2a ⃗ −3b ⃗ )+y(4a ⃗ −2b ⃗ )=(2x +4y)a ⃗ +(−3x −2y)b ⃗根据向量相等求出x ，y ，这样可以求出p ⃗ ．【解答】解：设p⃗ =x m ⃗⃗⃗ +y n ⃗ ，则3a ⃗ +2b ⃗ =x(2a ⃗ −3b ⃗ )+y(4a ⃗ −2b ⃗ )=(2x +4y)a ⃗ +(−3x −2y)b ⃗ ，得{2x +4y =3,−3x −2y =2,解得{x =−74,y =138.所以p⃗ =−74m ⃗⃗⃗ +138n⃗ ． 18.【答案】解：(1)设c ⃗ =(x,y)，由|c ⃗ |=3√2，且c ⃗ //a ⃗ ，得{y +x =0x 2+y 2=18, 所以{x =−3y =3或{x =3y =−3, 故c⃗ =(−3,3)，或c ⃗ =(3,−3)． (2)因为|b ⃗ |=1，且a ⃗ ⊥(a ⃗ −2b ⃗ )，所以a ⃗ ⋅(a ⃗ −2b ⃗ )=0，即a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =0，所以2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =0，a ⃗ ⋅b ⃗ =1， cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=√22，因为夹角所以a ⃗ 与b ⃗ 的夹角θ=π4．【解析】本题考查向量的坐标的求法，考查向量的夹角的求法，考查向量平行、向量垂直、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．(1)设c ⃗ =(x,y)，由|c ⃗ |=3√2，且c ⃗ //a ⃗ ，列出方程组，能求出向量c ⃗ 的坐标； (2)由|b ⃗ |=1，且a ⃗ ⊥(a ⃗ −2b ⃗ )，得2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =0，a ⃗ ⋅b ⃗ =1，由此能求出a ⃗ 与b ⃗ 的夹角．19.【答案】解：(1)因为(a ⃗ +b ⃗ )⋅(2a ⃗ −b ⃗ )=8，所以7+2cosθ=8，所以cosθ=12．因为0∘≤θ≤180∘，所以θ=60∘．(2)|a ⃗ +b ⃗ |2=(a ⃗ +b ⃗ )2=a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2，因为|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos60∘=2×1×12=1，所以|a ⃗ +b ⃗ |2=4+2+1=7，所以|a ⃗ +b ⃗ |=√7．20.【答案】解：(1)因为∠DAB =90°，所以以A 为坐标原点，AB 、AD 分别为x 、y 轴，建立平面直角坐标系如下图：因为AB //CD ，AB =6，AD =CD =3，所以A (0,0)，B (6,0)，C (3,3)，D (0,3)．又因为对角线AC 交BD 于点O ，所以由AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3t,3t )，即O (3t,3t )，因此DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3t,3t −3)，DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,−3)，而DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以−3×3t −6×(3t −3)=0，解得t =23，因此O (2,2)．又因为点M 在AB 上，所以设M (m,0)，因此OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −2,−2)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,3)，而OM ⊥BD ，所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−6(m −2)−6=0，解得m =1，即M (1,0)，因此AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，而BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,3)，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−6，即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为−6； (2)因为N 为线段AC 上任意一点，所以由(1)知：可设N (n,n )(0⩽n ⩽3)(包括端点)，因此AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(n,n )，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(n −1,n )，所以AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n (n −1)+n 2=2n 2−n ．因为函数y =2n 2−n 的图象开口上，对称轴为n =14，而0⩽n ⩽3，所以函数y =2n 2−n 的值域为[−18,15]，即AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[−18,15]．21.【答案】解：(Ⅰ)(i)由m⃗⃗⃗ //n ⃗ 得：，，，，∵B ∈(0,π)，所以sinB ≠0，得：，∴C =π4; (ii)由S =14c 2，得：，∴√2ab =c 2，又由余弦定理得：a 2+b 2−√2ab =c 2，联立得：a 2+b 2−2√2ab =0，得：a 2b2−2√2ab+1=0，∴ab =√2±1，故：ab 的值为√2−1或√2+1； (Ⅱ)由a 2+b 2−2abcosC =c 2，；得：，当且仅当C =π4时取等；∴a 2+b 2−2√2ab ⩽0，∴a 2b2−2√2ab+1⩽0，得：√2−1⩽ab ⩽√2+1．故：ab 的取值范围为[√2−1,√2+1]．22.【答案】解：(1)k a ⃗ −b ⃗ =k(1,0)−(2,1)=(k −2,−1)，a ⃗ +2b ⃗ =(1,0)+2(2,1)=(5,2)．因为k a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 共线，所以2(k −2)−(−1)×5=0，解得k =−12．(2)因为A ，B ，C 三点共线，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，即2a ⃗ +3b ⃗ =λ(a ⃗ +m b ⃗ )，所以{2=λ,3=mλ, 解得m =32．23.【答案】解：(1)∵a ⃗ =(−3,2)，b ⃗ =(2,1)， ∴a ⃗ +t b⃗ =(2t −3,t +2)， ∴|a ⃗ +t b ⃗ |=√(2t −3)2+(t +2)2=√5t 2−8t +13(t ∈R)，∴当t =45时，|a ⃗ +t b ⃗ |的最小值为7√55，(2)∵a ⃗ −t b ⃗ =(−3−2t,2−t)，c ⃗ =(3,−1)，a ⃗ −t b ⃗ 与c ⃗ 共线， ∴(−3−2t)×(−1)=3(2−t)， ∴t =35．24.【答案】解：(1)λa ⃗ +μb ⃗ =λ(e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ )+μ(e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ )=(λ+μ)e 1⃗⃗⃗ +(3μ−2λ)e 2⃗⃗⃗ ，∵4e 1⃗⃗⃗ −3e 2⃗⃗⃗ =λa⃗ +μb ⃗ ， ∴{λ+μ=4,3μ−2λ=−3,∴λ=3，μ=1．(2)a ⃗ ⋅b ⃗ =(e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ )⋅(e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ )=e 1⃗⃗⃗ 2+e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ −6e 2⃗⃗⃗ 2=−5，l a ⃗ l =√(e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ )2=√e 1⃗⃗⃗ 2−4e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +4e 2⃗⃗⃗ 2=√5， |b ⃗ |=√(e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ )2=√e 1⃗⃗⃗ 2+6e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +9e 2⃗⃗⃗ 2=√10， ∴cosθ=a ⃗ ⋅b⃗ |a|⃗⃗⃗⃗ |b ⃗ |=5×10=−√22，又∵θ∈[0,π]， ∴θ=3π4．25.【答案】解：(1)∵AN =14AB ，∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =14a ⃗ ，∴DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14a ⃗ −b ⃗ ；∵BM =23BC ，∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23b ⃗ ，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +23b ⃗ ； (2)D ，O ，N 三点共线，则DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，存在实数λ，使DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14λa ⃗ −λb ⃗ ， ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ +14λa ⃗ −λb ⃗=14λa ⃗ +(1−λ)b ⃗ ，同理，A ，O ，M 三点共线，存在μ，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =μAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μa ⃗ +23μb ⃗ ， ∴{14λ=μ1−λ=23μ, 解得λ=67，μ=314，∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =314AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1114AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AO ：OM =3：11．26.【答案】(1)证明：∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴34OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +1BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗得：BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3AC⃗⃗⃗⃗⃗ ．又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点C ，所以A 、B 、C 三点共线． (2)解：△ABC 为直角三角形．证明：∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−3)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,1)， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,1)−(2,−3)=(6,4)． ∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×6−3×4=0，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即△ABC 为直角三角形．。

(完整版)高中数学平面向量习题及答案

第二章平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．(第1题)A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB ＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x ＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O 是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c ＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，β OB ＝(－β，3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝2|a ||b |cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21． ∴ a 与b 的夹角是3π． 5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第6题)(第1题)7．C解析：由(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72．而|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2|a |， ∴ |a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6． 8．D解析：由 OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA , 即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ， ∴ O 是△ABC 的三条高的交点． 9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |． ∴ 四边形ABCD 为梯形． 10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量．二、填空题 11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k )＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32． 12．－1．解析：∵ M (－1，3)，N (1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ) ＝－(CA )2 ＝－2CA ＝－25．思路2：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°， ∴ cos ∠CAB ＝CA AB＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0， BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323．解析：a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋m b )⊥(a －b )，∴ (a ＋m b )·(a －b )＝(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0 m ＝323． 15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于D(第13题)点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ，∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形．三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)． AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝(47，2)．解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)， AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点， ∴ AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． (第18题)19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b )·(b －21a )＝21b 2－21a 2＋43a ·b ．又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin 3π)＝8sin (θ－3π)，最大值为8， ∴ |2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b |表示2a ，b 终点间的距离．|2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ |的最大值为直径的长为4．(第19题)。

高中数学平面向量测试题及答案

高中数学平面向量测试题及答案一、选择题1、下列哪一组向量是平行向量？A. (3，4)与(4，3)B. (3，4)与( - 4，- 3)C. (3，4)与( - 4，9)D. (3，4)与(7，8)2、下列哪一组向量是共线向量？A. (1，2)与(2，3)B. (1，1)与(2，2)C. (1，2)与( - 2，4)D. (1， - 1)与( - 2，2)3、下列哪一组向量是垂直向量？A. (1，2)与(2，1)B. (3，4)与(4，3)C. ( - 3，4)与(4， - 3)D.平面向量是数学中的一个重要概念，是解决许多实际问题的重要工具。

以下是一些经典的平面向量测试题，可以帮助大家了解和评估自己的平面向量水平。

给出平面向量的基本概念和性质，包括向量的表示、向量的模、向量的加法、减法和数乘等。

给出一个向量的坐标表示，包括在直角坐标系中的表示和在极坐标系中的表示。

给定两个向量 a和 b，求它们的数量积、夹角和模长。

给定一个向量 a，求它的单位向量、零向量和负向量。

给定一个平面向量场，求其中的平行向量、共线向量和线性无关向量。

给定一个三维平面向量场，求其中的法向量和切线向量。

给定一个向量的模长和夹角，求这个向量的坐标表示。

给定两个三维向量 a和 b，求它们在空间中的位置关系，如平行、共线和垂直等。

给定一个平面向量 a和一个非零向量 b，求 a和 b的垂直平分面和a和 b的中垂线。

给定一个向量的正交分解和极坐标表示，求这个向量的直角坐标表示和极坐标表示。

以上是平面向量经典测试题的一些例子，这些题目可以帮助大家巩固平面向量的基本概念和性质，提高解决实际问题的能力。

解释：平面向量是由两个数值和一个字母组成的，其中字母表示向量的方向，而数值表示向量的模长。

选项A符合这个要求，而其他选项都不符合。

解释：平面向量的基本运算包括加法、减法和数乘，而D选项中的“数乘和加法”实际上是包含了这三种运算，因此不是平面向量的运算。

高一数学(平面向量期末复习答案

第一课时：向量的概念及其几何运算【知识梳理】1. 向量的有关概念：向量的概念、向量的模（或长度、相等向量、相反向量、平行向量（共线向量）：加法：物理背景、三角形法则、平行四边形法则。

减法：三角形法则向量的数乘运算的定义 1. 向量加法的运算性质（1）a ＋b=b ＋a ；（2）(a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c)；（3）若a 与b 为相反向量，则a ＋b ＝0；（4）若b ＋c ＝a ，则c ＝a －b ；（5）|a ±b|≤|a|＋|b|()，|a ±b|≥||a|－|b||(何时取到等号)；（6）向量加法的多边形法则 2.向量数乘的运算性质(1) λ(μa)=(λμ) a ； (2) (λ＋μ) a =λa ＋μa ；(3) λ(a ＋b)=λa ＋λb ； 3向量的数量积a ²b=|a||b|cos θ.：向量的夹角定义及其范围、内积物理背景（做功）、投影、内积的几何意义4、.向量中重要定理（1）一维向量共线定理：向量a （a ≠0）与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b =λa . （2）平面向量基本定理：若e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a ＝λ1e 1＋λ2e 2.一个不得不知道的定理：设o 是平面上任意一点，C 点在直线AB 上的条件：存在实数λ μ使1,=++=μλμλ且O B O A O C【课前基础训练】1．两个非零向量相等当且仅当_____________（ A ）（A ）长度相等且方向相同（B ）长度相等且方向不同（C ）长度不相等且方向相同（D ）长度不相等且方向不同2．设O 是正△ABC 的中心，则向量,,是（C ）（A ）有相同起点的向量（B ）平行向量（C ）模相等的向量（D ）相等向量 3．=-+AD BC AB（D ）（A ）（B ）CD （C ）（D ）4．已知非零向量，满足关系式：||||-=+，那么向量，应满足的条件是（ D ）（A ）方向相同（B ）方向相反（C ）模相等（D ）互相垂直 5．向量的加法满足交换律：=+b a ；结合律：=++)( ； 6．设a 表示“向西走3公里”，b 表示“向南走3公里”，则b a +表示； 7．边长为1的正方形ABCD 中，若 a AB =，b BC =，c AC =，则=+-||c b a 2 ；8．已知52-=，25=，则=b 425- a ；9．若c b a +=，则)(2)3(2)2(3b a b c b a +-+-+= a - ；10．与是同一平面不共线的向量，k +与3-共线，则实数k = 31- ；【范例分析】例1在三角形ABC 中，设a = =,已知43,41==,试以,为基底表示向量a b 4321-例2 已知在三角形ABC 中，平面上点o 满足=++，求证:O 是三角形ABC 的重心例3 在平行四边形ABCD 中，M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BD=3BN ，试推断点M 、N 、C 是否共线？并说明理由.【课后作业】一． 1．若O 是△ABC 内一点，OC OB OA ++＝0，则O 是△ABC 的（ D ）（A ）内心（B ）外心（D ）重心（C ）垂心 2．若O 为□ABCD 的中心，14e AB =，26e BC =，则1223e e -等于（B ）（A ）（B ）BO （C ）（D ）3．如图，D ，E 分别为△ABC 的边BC ，CA 上的中点，且a BC =，b CA =，则=DE（A ）b a 2121+ （B ）b a 2121-（C ）2121+- （D ）2121--9．如图，△ABC 中D 为BC 边的中点，E 是AB 上一点，且AE BE 2=，设=，b CA =，则=DE （C ）（A ）3232+ （B ）6132+ （C ）b a 3261+ （D ）b a 3267+8．21,e e 为平面向量的一组基底，21924e e a -=，211855e e b +-=，则与的关系为（ D ）（A ）共线，且同向（B ）不一定共线（C ）平行，可能相等（D ）共线，且异向二．填空题13．已知||a = 6，||b = 8，||b a -= 10，则||b a += 10 ；14．若点P 是△ABC 的外心，且PB PA +＝PC ，则△ABC 的内角C = 120度．17．向量a 与b 不共线，设-=3，32+=，若存在实数x ，y 使得x －y q =b a -，则=),(y x ⎪⎭⎫⎝⎛111,115 ； 19．若21,e e 是平面向量的一组基底，0)1(2))(1(121=-++--e y e e y x ，则=),(y x ()1.12 ． 20．如图，已知向量，，求作：（1）+；（2）-．2-=21．如图，在△ABC 中，a AB =，b BC =，AD 为BC 边的中线，G 为△ABC 的重心，求向量AG ． 3132+第二课时平面向量的坐标运算及数量积.【数量积的运算性质】（1）a ²b ＝b ²a ；（2）(λa)²b ＝λ(a ²b)＝a ²(λb)；（3）(a ＋b)²c ＝a ²c ＋b ²c ；（4）a ⊥b a ²b ＝0；（5）a 2＝|a|2；（6）|a ²b|≤|a||b|；（6）b a b a ⋅∙=θcos（7）bba a ∙=θcos ab C【向量的坐标表示】（1）设i 、j 是与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若a ＝xi ＋yj ，则a ＝(x ，y) （2）若点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则＝(x 2－x 1，y 2－y 1). （3）向量的坐标运算设向量a=(x1，y1),b=(x2，y2),则（1）a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)；（2）a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)；（3）λa ＝(λx 1，λy 1)；（4）a ²b ＝x 1x 2＋y 1y 2；（5）向量a ，b(b ≠0)共线1221y x y x =⇔ ；（6）a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；（7）|a| 2121y x += ；（8）222221212121cos y x y x y y x x ba ba +∙++=⋅∙=θ【课前基础训练】1．若向量的始点坐标为)1,3(，终点坐标为)3,1(--，则向量的坐标为（ D ）（A ）)3,1(-- （B ）)4,4( （C ）)2,4(-- （D ）)4,4(--2．下列向量为单位向量的是（C ）（A ）+= （B ）)21,21(= （C ）)sin ,(cos αα= （D ）)23,1(-=3．下列向量共线的是（ C ）（A ）)3,2(=，)6,4(-=（B ）i a 3=，3=（C ）)6.3,3(-=，)6.0,21(-=（D ）)1,0(=，)0,2(=4．设A ，B ，C 三点共线，且它们的纵坐标分别是2，5，10，则λ=中实数λ的值（A ）83 （B ）38 （C ）83- （D ）38- （C ）5.给出下面四个命题：①长度相等方向相反的向量叫做相反向量；②同一平面内有两个不共线非零向量b a ,，则b a ,所在平面内的任一向量均可以唯一表示成),(R b a ∈+μλμλ；③∥⇔存在唯一实数λ，使=λa ；其中正确的命题是（A ）（A ）①②（B ）①③（C ）②③ （D ）①②③6．若)4,3(-=，)12,5(=，则a 与b 的夹角的余弦值为（ B ）（A ）6563 （B ）6533 （C ）6533- （D ）6563-7．给定两个向量)4,3(=，)1,2(-=，且)(x +⊥)(-，则x 等于（C ）（A ）23 （B ）223 （C ）323 （D ）4238．下列三个命题：（1）0=+BA AB ；（2）=-；（3）c b a )(⋅是向量，其中真命题的个数是（ C ）（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3【范例分析】例1 已知向量a 、b 满足：|a|=4，且a ²(a －b)=12，求向量b 在a 方向上的投影. 1例2 已知非零向量a 、b 满足： (a －b)⊥b ，且(a ＋2b)⊥(a －2b)，求向量a 与b 的夹角.60度例3 已知向量a 、b 、c 两两之间的夹角为120°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，求向量a ＋b ＋c 与a的夹角.150°例4 设向量a 、b 不共线，已知,2kb a AB +=,b a BC +=,2b a CD -=且A 、B 、D 三点共线，求实数k 的值1-例5 设e 为单位向量，且向量a ≠e ，若对任意实数t ，不等式|a －te|≥|a －e|恒成立，求证：(a －e)⊥e.例6 已知向量a 、b 满足：|a|=4，|b|=3，(2a －3b)²(2a ＋b)=61，当t ∈[0，1]时，求tb a +的取值范围[]4,32例7设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a ，4b －2c ，2(a －c ），d 的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d 的坐标.()6,2--例8：已知向量),2,1(),1,3(-==O B O A 且//,⊥求向量的坐标()6,11例9 已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－4， 3)，求向量a 在b 方向上的投影.51例10 设向量a 与b 的夹角为θ，已知 a ＋b ＝(2，－8)，a －b ＝(－8，16)，求cos θ的值.6563-例11 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，—4)，5=c ，若25)(=∙+c b a ，求向量a 与c 的夹角 120°例12 已知点A(0，1)，B(0，—1),C(1,0),O 为坐标原点，动点P 满足2)(2=∙，求向量OP 与OC 的夹角的取值范围⎪⎭⎫ ⎝⎛6,0π向量综合练习一、选择题1．已知36||=a ，1||=b ，9-=⋅b a ，则a 与b 的夹角是（ D ）（A ）30° （B ）45° （C ）135° （D ）150°2．对于向量，和实数λ，给出下列结论：①a =||；②||||||b a b a ≤⋅；③)()(b a b a ⋅=⋅λλ．其中正确结论的个数为（ D ）（A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）33．已知||= 2，向量a 在单位向量方向上的投影为3-，则向量a 与的夹角为（ D ）（A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150° 4．若=，且A （2 ，y ），B （－3 ，2），=（x ，1），则有（ B ）（A ）x = －1，y = －1（B ）x = －5，y = 1（C ）x = 5，y = －1 （D ）x = －5，y = 35．在△ABC 中，=（2 ，3），=（1 ，21-），则B cos = （ A ）（A ）651-（B ）21（C ）651 （D ）21-6.已知点A 、B 的坐标分别为（2，-2），（4，3），向量m 的坐标为（2k -1,7）,且AB m //则k 的取值范围为（C ）（A ）109- （B ）109 （C ）1019- （D ）10197．有下列三个命题①0=++CA BC AB ；②c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(；③()()22492323b a b a b a -=-⋅+其中，是真命题的有（ D ）（A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③二、填空题1．若)4,3(-=a ，)2,5(=b ，则+= ()6.2 ；-= ()2,8- ； 2．点)3,4(M 关于点)3,5(-N 的对称点L 的坐标 ()9,6- ；3．△ABC 顶点为)3,2(A ，)2,3(--B ，重心为)1,1(G ，则C 点的坐标为 ()2,4 ； 4．点P 在平面上作匀速直线运动，速度是每秒)5,2(=v ，当t = 0时，P 在)2,6(--处，则t = 5时，点P 的坐标为 ()23,4 ；5．在△ABC 中，设)7,3(A ，)5,2(-B ，若AC ，BC 的中点都在坐标轴上，则C 点的坐标为 ()7,2-或()5,3-- ．6．||= 5，||= 8，且与的夹角为150°，则⋅= -； 7．若3||||||=-==，则⋅= 23 ；8．若)1,1(=a ，)1,2(-=b ，则⋅= 1 ；b a ⋅-)2(= -2 ；9．已知)3,1(-=，)2,0(=，则a 在b10．已知)2,(λ=a ，)1,2(-=b ，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 ()+∞,1 ．11．已知O （0 ，0）和A （6 ，3）两点，若点P 在直线OA 上，且OP PA 2=，又P 是OB 的中点，则点B 的坐标是 ()2,4 ；12．已知b a m +=2，b a n 2+=，则b a 22-= )(2n m - （用向量，表示）； 13．已知=（3 ，3），=（1 ，0），则⋅-)2(= 1 ；14．已知3,52-=⋅==b a ，则=-|2|b a _6________；15．已知||a = 2，||b = 1，a ，的夹角为60°，又m 3+=，m -=2，且c ⊥，则实数m 的值是 -1或6 ．16．已知三个力)4,3(1=F ，)5,2(2-=F ，),(3y x F =的合力为零，求3F 的坐标____()1,5-____．三、解答题1．已知点A （―1 ，―4），B （5 ，2），线段AB 上的三等分点依次是1P ，2P ，求1P ，2P 点的坐标．()2.11-P ()0,32P2．已知单位向量与的夹角为60°求证：)2(-⊥i ．3．已知两点)2,4(-A ，)4,4(-B ，（1）求方向与AB 一致的单位向量；⎪⎭⎫⎝⎛-53,54（2）过)1,1(C 作向量CD 与AB 共线，且||=4，求D 点坐标．⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-57,521517,511HUO4．如果向量a 与b ，c 的夹角都是45°，而c ⊥b ，且1||||||===c b a ，求)()2(+⋅-的值．22-5．已知8||=a 6||=b ，a 与b 的夹角<a ,b >＝60°求)2()(b a b a -⋅+．32-6．设-=2，23+=，37=，求证A ，B ，C 三点共线．7．已知||a = 4，||b = 3，b a ⋅ = 6，求b a +的模．378．已知△ABC中，A（2 ，－1），B（3 ，2），C（－3 ，－1），BC边上的高AD，求点D和AD的坐标．()1,1()2,1-9．△ABC中，A（－1 ，－4），B（5 ，2），C（3 ，4），求证△ABC是直角三角形，并求△ABC的面积．12。

高中数学平面向量测试题及答案

平面向量测试题一、选择题：1。

已知ABCD 为矩形,E 是DC 的中点，且−→−AB =→a ，−→−AD ＝→b ，则−→−BE ＝（）（A ） →b +→a 21 （B ） →b －→a 21 (C ） →a ＋→b 21 (D) →a －→b 212．已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（ )（A) −→−AB ＝－−→−BC （B ） −→−AC ＝−→−BC 21(C ） −→−BA ＝−→−BC （D ） −→−BC ＝−→−AC 213．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（）（A ）)(21→→-b a （B ） )(21→→-a b （C ） →a ＋→b 21 (D ） )(21→→+b a4．设→a ,→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ,−→−BC ＝－4→a －→b ，−→−CD ＝－5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是 ( ）(A ）−→−AD ＝−→−BC （B)−→−AD ＝2−→−BC （C ）−→−AD ＝－−→−BC（D ）−→−AD ＝－2−→−BC5．将图形F 按→a ＝（h ，k ）(其中h 〉0，k 〉0)平移，就是将图形F( ）（A ）向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。

（B ）向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。

（C ）向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。

(D) 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。

6．已知→a ＝()1,21，→b ＝(),2223-，下列各式正确的是（ )(A) 22⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛→→b a (B ） →a ·→b ＝1 （C ） →a ＝→b （D ） →a 与→b 平行 7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量,且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线,则k 的值是（）（A ） 1 (B ）－1 (C) 1± (D ）任意不为零的实数8．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ,且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（）（A) 矩形（B ）菱形（C) 直角梯形（D ）等腰梯形9．已知M （－2,7）、N(10，－2)，点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→−PM ,则P 点的坐标为( ）（A ） (－14,16）（B ）（22，－11）（C ）（6，1）（D) （2，4）10．已知→a ＝(1，2)，→b ＝（－2,3），且k →a +→b 与→a －k →b 垂直，则k ＝（ ) (A) 21±-（B ） 12±（C ） 32±（D) 23±11．把函数2)sin(3--=πx y 的图象经过按→a 平移得到x y sin =的图象，则→a ＝（）（A) ()2,3π-（B) ()2,3π（C ） ()2,3--π（D) ()2,3-π12．△ABC 的两边长分别为2、3，其夹角的余弦为31 ，则其外接圆的半径为（）（A ）229（B ）429（C ）829（D ）922二、填空题：13．已知M 、N 是△ABC 的边BC 、CA 上的点，且−→−BM ＝31−→−BC ，−→−CN ＝31−→−CA ，设−→−AB＝→a ，−→−AC ＝→b ，则−→−MN ＝ 14．△ABC 中，C A B cos sin sin =,其中A 、B 、C 是△ABC 的三内角，则△ABC 是三角形。

（完整版）高一数学平面向量期末练习题及答案

（完整版）⾼⼀数学平⾯向量期末练习题及答案平⾯向量⼀、选择题：本⼤题共10⼩题，每⼩题5分，共50分。

1、下列向量组中能作为表⽰它们所在平⾯内所有向量的基底的是（）A ．)0,0(=a ρ)2,1(-=b ρ B ．)2,1(-=a ρ )4,2(-=b ρC ．)5,3(=a ρ )10,6(=b ρD ．)3,2(-=a ρ)9,6(=b ρ2、若ABCD 是正⽅形，E 是CD 的中点，且a AB =，b AD =，则BE = ( )A ．a b 21+B ．a b 21- Ｃ．b a 21+ Ｄ．b a 21- 3、若向量a r 与b r 不共线，0a b ?≠r r ，且()a a b c a a b=-r r rr r r r ，则向量a r 与c r的夹⾓为（） A ．π2B ．π6C ．π3D ．04、设，是互相垂直的单位向量，向量m 3)1(-+=，m )1(-+=，)()(-⊥+,则实数m 为（）A ．-2B ．2 Ｃ．21-Ｄ．不存在 5、在四边形ABCD 中，b a AB 2+=，b a BC --=4，b a CD 35--=，则四边形ABCD 的形状是（）A ．长⽅形B ．平⾏四边形Ｃ．菱形Ｄ．梯形 6、下列说法正确的个数为（）（1）)()()(λλλ?=?=?；（2）||||||?=?；（3）?+?=?+)( （4）)()(??=??；（5）设,,为同⼀平⾯内三个向量，且c 为⾮零向量，,不共线，则)()(?-?与垂直。

A ．2 B. 3 C. 4 D. 57、在边长为1的等边三⾓形ABC 中，设a BC =，b CA =，c AB =，则a c c b b a ?+?+?的值为（ A ．23 B ．23- Ｃ．0 Ｄ．3 8、向量=（-1，1），且与+2⽅向相同，则?的范围是（）A ．（1，+∞）B ．（-1，1）Ｃ．（-1，+∞）Ｄ．（-∞，1） 9、在△OAB 中，=（2cos α，2sin α），=（5cos β，5sin β），若?=-5，则S △OAB = （） A ．3 B ．23Ｃ．35 Ｄ．23510、若⾮零向量、满⾜||||b b a =-，则（）A. |2||2|->B. |2||2|-<C. |2||2|->D. |2||2|-< ⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分。

含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）

含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）1．已知向量．（1）若，求x的值；（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．【答案】（1）（2）时，取到最大值3；时，取到最小值.【解析】【分析】（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值．（2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值．【详解】解：（1）∵向量．由，可得：，即，∵x∈[0，π]∴．（2）由∵x∈[0，π]，∴∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；当，即时．【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．2．已知中，点在线段上，且，延长到，使．设．（1）用表示向量；（2）若向量与共线，求的值．【答案】（1）,；（2）【解析】【分析】（1）由向量的线性运算，即可得出结果；（2）先由(1)得，再由与共线，设，列出方程组求解即可.【详解】解：（1）为BC的中点，，可得，而（2）由（1）得，与共线，设即，根据平面向量基本定理，得解之得，．【点睛】本题主要考查向量的线性运算，以及平面向量的基本定理，熟记定理即可，属于常考题型.3．（1）已知平面向量、，其中，若，且，求向量的坐标表示；（2）已知平面向量、满足，，与的夹角为，且（+）（），求的值.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）设，根据题意可得出关于实数、的方程组，可求得这两个未知数的值，由此可得出平面向量的坐标；（2）利用向量数量积为零表示向量垂直，化简并代入求值，可解得的值．【详解】（1）设，由，可得，由题意可得，解得或.因此，或；（2），化简得，即，解得4．已知向量，向量.（1）求向量的坐标；（2）当为何值时，向量与向量共线.【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据向量坐标运算公式计算；（2）求出的坐标，根据向量共线与坐标的关系列方程解出k;试题解析：（1）（2），∵与共线，∴∴5．已知向量与的夹角，且，．（1）求，；（2）求与的夹角的余弦值．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出的值；（2）计算出的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得与的夹角的余弦值．【详解】（1）由已知，得，；（2）设与的夹角为，则，因此，与的夹角的余弦值为.6．设向量,,记（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在上的值域．【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】分析：（1）利用向量的数量积的坐标运算式，求得函数解析式，利用整体角的思维求得对应的函数的单调减区间；（2）结合题中所给的自变量的取值范围，求得整体角的取值范围，结合三角函数的性质求得结果.详解：（1）依题意,得．由,解得故函数的单调递减区间是．（2）由（1）知,当时,得,所以,所以,所以在上的值域为．点睛：该题考查的是有关向量的数量积的坐标运算式，三角函数的单调区间，三角函数在给定区间上的值域问题，在解题的过程中一是需要正确使用公式，二是用到整体角思维.7．在中，内角，，的对边分别是，，，已知，点是的中点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求中线的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（1）由正弦定理，已知条件等式化边为角，结合两角和的正弦公式，可求解；（2）根据余弦定理求出边的不等量关系，再用余弦定理把用表示，即可求解；或用向量关系把用表示，转化为求的最值.【详解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得.又，且，∴，即.（Ⅱ）方法一：在中，由余弦定理得，∵，当且仅当时取等号，∴.∵是边上的中线，∴在和中，由余弦定理得，，①.②由①②，得，当且仅当时，取最大值.方法二：在中，由余弦定理得，∵，当且仅当时取等号，∴.∵是边上的中线，∴，两边平方得，∴，当且仅当时，取最大值.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在三角形中应用，考查基本不等式和向量的模长公式的灵活运用，是一道综合题.8．已知平面向量，.(1)若，求的值；(2)若，与共线，求实数m的值.【答案】（1）；（2）4.【解析】（1）求出，即可由坐标计算出模；（2）求出，再由共线列出式子即可计算.【详解】(1)，所以；(2)，因为与共线，所以，解得m＝4.9．已知向量．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）首先求出的坐标，再根据，可得，即可求出，再根据向量模的坐标表示计算可得；（Ⅱ）首先求出的坐标，再根据计算可得；【详解】解：（Ⅰ）因为，所以，由，可得，即，解得，即，所以；（Ⅱ）依题意，可得，即，所以，因为，所以与的夹角大小是．10．如图，在中，，，，，.（1）求的长；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将用和表示，利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值，即可得出的长；（2）将利用和表示，然后利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值．【详解】（1），，，，，，.；（2），，，.【点睛】本题考查平面向量模与数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底将题中所涉及的向量表示出来，考查计算能力，属于中等题.11．如图所示，在中，，，，分别为线段，上一点，且，，和相交于点.（1）用向量，表示；（2）假设，用向量，表示并求出的值.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）把放在中，利用向量加法的三角形法则即可；（2）把，作为基底，表示出，利用求出.【详解】解：由题意得，，所以，（1）因为，，所以.（2）由（1）知，而而因为与不共线，由平面向量基本定理得解得所以，即为所求.【点睛】在几何图形中进行向量运算:(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.12．已知向量与的夹角为，且，.（1）若与共线，求k；（2）求，；（3）求与的夹角的余弦值【答案】（1）；（2），；（3）.【解析】【分析】（1）利用向量共线定理即可求解.（2）利用向量数量积的定义：可得数量积，再将平方可求模.（3）利用向量数量积即可夹角余弦值.【详解】（1）若与共线，则存在，使得即，又因为向量与不共线，所以，解得，所以.（2），，（3）.13．已知.（1）当为何值时，与共线（2）当为何值时，与垂直？（3）当为何值时，与的夹角为锐角？【答案】（1）；（2）；（3）且.【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示：即可求解.（2）利用向量垂直的坐标表示：即可求解.（3）利用向量数量积的坐标表示，只需且不共线即可求解.【详解】解：（1）.与平行，，解得.（2）与垂直，，即，（3）由题意可得且不共线，解得且.14．如图，在菱形ABCD中，，．（1）若，求的值；（2）若，，求．（3）若菱形ABCD的边长为6，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由向量线性运算即可求得值；（2）先化，再结合（1）中关系即可求解；（3）由于，，即可得，根据余弦值范围即可求得结果．【详解】解：（1）因为，，所以，所以，，故．（2）∵，∴∵ABCD为菱形∴∴，即．（3）因为，所以∴的取值范围：．【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．15．已知，，与夹角是．（1）求的值及的值；（2）当为何值时，？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用数量积定义及其向量的运算性质，即可求解；（2）由于，可得，利用向量的数量积的运算公式，即可求解．【详解】（1）由向量的数量积的运算公式，可得，.（2）因为，所以，整理得，解得．即当值时，．【点睛】本题主要考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量垂直的坐标运算是解答的关键，着重考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．设向量（I）若（II）设函数【答案】（I）（II）【解析】【详解】(1)由＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及，得4sin2x＝1.又x∈，从而sinx＝，所以x＝.(2)sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，当x∈时，－≤2x－≤π，∴当2x－＝时，即x＝时，sin取最大值 1.所以f(x)的最大值为.17．化简．（1）．（2）．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果；（2）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果.【详解】（1）；（2）.18．已知点,,，是原点.（1）若点三点共线，求与满足的关系式；（2）若的面积等于3，且,求向量.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)由题意结合三点共线的充分必要条件确定m,n满足的关系式即可；(2)由题意首先求得n的值，然后求解m的值即可确定向量的坐标.【详解】（1），，由点A，B，C三点共线，知∥，所以，即；（2）由△AOC的面积是3，得，，由，得，所以，即,当时，，?解得或，当时，，方程没有实数根，所以或．【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．如图，在直角梯形中，为上靠近B的三等分点，交于为线段上的一个动点．（1）用和表示；（2）求；（3）设，求的取值范围．【答案】(1)；(2)3；(3).【解析】【分析】(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；(2)选定一组基向量，将由这一组基向量的唯一表示出而得解；(3)由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解.【详解】(1)依题意，，，；(2)因交于D，由(1)知，由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则，，；(3)由已知，因P是线段BC上动点，则令，，又不共线，则有，，在上递增，所以，故的取值范围是.【点睛】由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．20．设向量满足，且．（1）求与的夹角；（2）求的大小.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知得，展开求得，结合夹角公式即可求解；（2）由化简即可求解．【详解】（1）设与的夹角为θ由已知得，即，因此，得，于是，故θ=，即与的夹角为；（2）由．21．已知，，(t∈R)，O是坐标原点．（1）若点A，B，M三点共线，求t的值；（2）当t取何值时，取到最小值？并求出最小值．【答案】（1）t；（2）当t时，?的最小值为.【解析】【分析】（1）求出向量的坐标，由三点共线知与共线，即可求解t的值．（2）运用坐标求数量积，转化为函数求最值．【详解】（1），，∵A，B，M三点共线，∴与共线，即，∴，解得：t.（2），，，∴当t时，?取得最小值．【点睛】关键点点睛：（1）由三点共线，则由它们中任意两点构成的向量都共线，求参数值.（2）利用向量的数量积的坐标公式得到关于参数的函数，即可求最值及对应参数值.22．设向量，，.(1)求；(2)若，，求的值；(3)若，，，求证：A，，三点共线.【答案】(1) 1(2)2(3)证明见解析【解析】【分析】（1）先求，进而求；（2）列出方程组，求出，进而求出；（3）求出，从而得到，得到结果.(1)，；(2)，所以，解得：，所以；(3)因为，所以，所以A，，三点共线.23．在平面直角坐标系中，已知，.（Ⅰ）若，求实数的值；（Ⅱ）若，求实数的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求出向量和的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于的方程，解出即可；（Ⅱ）由得出，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数的方程，解出即可.【详解】（Ⅰ），，，，，，解得；（Ⅱ），，，解得.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查利用共线向量和向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.24．在中，，，，点，在边上且，.（1）若，求的长；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先设，，根据题意，求出，，再由向量模的计算公式，即可得出结果；（2）先由题意，得到，，再由向量数量积的运算法则，以及题中条件，得到，即可求出结果.【详解】（1）设，，则，，因此，所以，，（2）因为，所以，同理可得，，所以，∴，即，同除以可得，.【点睛】本题主要考查用向量的方法求线段长，考查由向量数量积求参数，熟记平面向量基本定理，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.25．已知向量，，，且．（1）求，；（2）求与的夹角及与的夹角．【答案】（1），；（2），．【解析】【分析】（1）由、，结合平面向量数量积的运算即可得解；（2）记与的夹角为，与的夹角为，由平面向量数量积的定义可得、，即可得解.【详解】（1）因为向量，，，且，所以，所以，又，所以；（2）记与的夹角为，与的夹角为，则，所以．，所以．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算与应用，考查了运算求解能力，属于基础题.26．平面内给定三个向量，，.（1）求满足的实数，；（2）若，求实数的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）依题意求出的坐标，再根据向量相等得到方程组，解得即可；（2）首先求出与的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得；【详解】解：（1）因为，，，且，，，，.，解得，.（2），，，.，，，.，解得.27．如图，已知中，为的中点，，交于点，设，．（1）用分别表示向量，；（2）若，求实数t的值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）根据向量线性运算，结合线段关系，即可用分别表示向量，；（2）用分别表示向量，，由平面向量共线基本定理，即可求得t的值.【详解】（1）由题意，为的中点，，可得，，．∵，∴，∴（2）∵，∴∵，，共线，由平面向量共线基本定理可知满足，解得．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量共线基本定理的应用，属于基础题.28．已知，向量，.（1）若向量与平行，求k的值；（2）若向量与的夹角为钝角，求k的取值范围【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）利用向量平行的坐标表示列式计算即得结果；（2）利用，且不共线，列式计算即得结果.【详解】解：（1）依题意，，，又，得，即解得或；（2）与的夹角为钝角，则，即，即，解得或.由（1）知，当时，与平行，舍去，所以.【点睛】思路点睛：两向量夹角为锐角（或钝角）的等价条件：（1）两向量夹角为锐角，等价于，且不共线；（2）两向量夹角为钝角，等价于，且不共线.29．已知．(1)若，求的值；(2)若，求向量在向量方向上的投影．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先得到，根据可得,即可求出m；（2）根据求出m=2,再根据求在向量方向上的投影.【详解】；；；；；；；在向量方向上的投影为．【点睛】本题主要考查了向量坐标的加法和数量积的运算，向量垂直的充要条件及向量投影的计算公式，属于中档题.30．平面内给定三个向量.（1）求；（2）求满足的实数m和n；（3）若，求实数k.【答案】（1）6；（2）；（3）.【解析】（1）利用向量加法的坐标运算得到，再求模长即可；（2）先写的坐标，再根据使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可.【详解】解：（1）由，得，；（2），，，，故，解得；（3），，，，，，即，解得.【点睛】结论点睛：若，则等价于；等价于.试卷第1页，共3页试卷第1页，共3页。

高一数学平面向量测试题及答案

第二章平面向量一、选择题1.若三点P （1；1）；A （2；-4）；B （x ；-9）共线；则（） A.x=-1B.x=3C.x=29D.x=512.与向量a=(-5；4)平行的向量是（） A.（-5k ；4k ）B.(-k 5；-k4) C.(-10；2) D.(5k ；4k)3.若点P 分AB 所成的比为43；则A 分BP 所成的比是（） A.73B.37 C.- 37 D.-734.已知向量a 、b ；a ·a =-40；|a |=10；|b |=8；则向量a 与b 的夹角为（）° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-；|a |=4；|b |=5；则向量a ·b =（）3B.-103C.102D.106.已知a =(3；0)；b =(-5；5)；则a 与b 的夹角为( ) A.4πB.43π C.3πD.32π 7.已知向量a =(3；4)；b =(2；-1)；如果向量a +x ·b 与b 垂直；则x 的值为（）A.323 B.233 C.2 D.-52 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ；且点P 在有向线段21P P 的延长线上；则λ的取值范围是（）A.(-∞；-1)B.(-1；0)C.(-∞；0)D.(-∞；-21) 9.设四边形ABCD 中；有DC =21AB ；且|AD |=|BC |；则这个四边形是（）A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形10.将y=x+2的图像C按a=(6；-2)平移后得C′的解析式为（）A.y=x+10B.y=x-6C.y=x+6D.y=x-1011.将函数y=x2+4x+5的图像按向量a经过一次平移后；得到y=x2的图像；则a等于（）A.(2；-1)B.(-2；1)C.(-2；-1)D.(2；1)12.已知平行四边形的3个顶点为A(a；b)；B(-b；a)；C(0；0)；则它的第4个顶点D的坐标是（）A.(2a；b)B.(a-b；a+b)C.(a+b；b-a)D.(a-b；b-a)二、填空题13.设向量a=(2；-1)；向量b与a共线且b与a同向；b的模为25；则b= 。

高中平面向量测试题及答案

高中平面向量测试题及答案(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--平面向量一、选择题1．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．22．已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →⊥a ，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．23．如果向量a ＝(k,1)与b ＝(6，k ＋1)共线且方向相反，那么k 的值为( )A ．－3B ．2C ．－174．在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →、BC →分别为a 、b ，则AH →＝( ) a －45b a ＋45b C ．－25a ＋45b D ．－25a －45b 5．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，n )，若|a ＋b |＝a ·b ，则n ＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．36．已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( )A ．最大值为8B ．是定值6C ．最小值为2D ．与P 的位置有关7．设a ，b 都是非零向量，那么命题“a 与b 共线”是命题“|a ＋b |＝|a |＋|b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 8.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°9．设O 为坐标原点，点A (1,1)，若点B (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，1≤x ≤2，1≤y ≤2，则OA →·OB →取得最大值时，点B 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．无数10．a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1·λ2＋1＝0D ．λ1λ2－1＝011．如图，在矩形OACB 中，E 和F 分别是边AC 和BC 的点，满足AC ＝3AE ，BC ＝3BF ，若OC →＝λOE →＋μOF →其中λ，μ∈R ，则λ＋μ是( )D ．112．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝－12，则△ABC 的形状为( )A ．等腰非等边三角形B ．等边三角形C ．三边均不相等的三角形D ．直角三角形第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题13．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.14．已知a ＝(2＋λ，1)，b ＝(3，λ)，若〈a ，b 〉为钝角，则λ的取值范围是________． 15．已知二次函数y ＝f (x )的图像为开口向下的抛物线，且对任意x ∈R 都有f (1＋x )＝f (1－x )．若向量a ＝(m ，－1)，b ＝(m ，－2)，则满足不等式f (a ·b )>f (－1)的m 的取值范围为________．16.已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin θ，14，b ＝(cos θ，1)，c ＝(2，m )满足a ⊥b 且(a ＋b )∥c ，则实数m ＝________. 三、解答题17．已知向量a ＝(－cos x ，sin x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ，x ∈[0，π]．(1)求函数f (x )的最大值；(2)当函数f (x )取得最大值时，求向量a 与b 夹角的大小．18．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证MF 1→·MF 2→＝0.19．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(2sin B,2－cos2B )，n ＝(2sin 2(π4＋B2)，－1)，m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若a ＝3，b ＝1，求c 的值．20．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈[π2，π]．(1)求a ·b 及|a ＋b |； (2)求函数f (x )＝a ·b ＋|a ＋b |的最大值，并求使函数取得最大值时x 的值．21．已知OA →＝(2a sin 2x ，a )，OB →＝(－1,23sin x cos x ＋1)，O 为坐标原点，a ≠0，设f (x )＝OA →·OB →＋b ，b >a . (1)若a >0，写出函数y ＝f (x )的单调递增区间；(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[π2，π]，值域为[2,5]，求实数a 与b 的值．22．已知点M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|PN →|.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若－187≤NA →·NB →≤－125，求直线l 的斜率的取值范围．平面向量答案1.[解 a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)，∵a ＋b 与4b －2a 平行，∴36＝x ＋14x －2，∴x ＝2，故选D.2.[解AB →＝(2,3)，∵AB →⊥a ，∴2(2k －1)＋3×2＝0，∴k ＝－1，∴选B.3.[解由条件知，存在实数λ<0，使a ＝λb ，∴(k,1)＝(6λ，(k ＋1)λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6λ(k ＋1)λ＝1，∴k ＝－3，故选A.4.[解析] AF →＝b ＋12a ，DE →＝a －12b ，设DH →＝λDE →，则DH →＝λa －12λb ，∴AH →＝AD →＋DH →＝λa＋⎝⎛⎭⎫1－12λb ，∵AH →与AF →共线且a 、b 不共线，∴λ12＝1－12λ1，∴λ＝25，∴AH →＝25a ＋45b . 5.[解析] ∵a ＋b ＝(3,1＋n )，∴|a ＋b |＝9＋(n ＋1)2＝n 2＋2n ＋10，又a ·b ＝2＋n ，∵|a ＋b |＝a ·b ，∴n 2＋2n ＋10＝n ＋2，解之得n ＝3，故选D.6.[解析]设BC 边中点为D ，则AP →·(AB →＋AC →)＝AP →·(2AD →) ＝2|AP →|·|AD →|·cos ∠P AD ＝2|AD →|2＝6.7.[解析] |a ＋b |＝|a |＋|b |⇔a 与b 方向相同，或a 、b 至少有一个为0；而a 与b 共线包括a 与b 方向相反的情形，∵a 、b 都是非零向量，故选B.8.[解析] 由条件知|a |＝5，|b |＝25，a ＋b ＝(－1，－2)，∴|a ＋b |＝5，∵(a ＋b )·c ＝52，∴5×5·cos θ＝52，其中θ为a ＋b 与c 的夹角，∴θ＝60°.∵a ＋b ＝－a ，∴a ＋b 与a 方向相反，∴a 与c 的夹角为120°.9.[解析] x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，即(x －1)2＋(y －1)2≥1，画出不等式组表示的平面区域如图，OA →·OB →＝x ＋y ，设x ＋y ＝t ，则当直线y ＝－x 平移到经过点C 时，t 取最大值，故这样的点B 有1个，即C 点．10.[解析] ∵A 、B 、C 共线，∴AC →，AB →共线，根据向量共线的条件知存在实数λ使得AC →＝λAB →，即a ＋λ2b ＝λ(λ1a ＋b )，由于a ，b 不共线，根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧1＝λλ1λ2＝λ，消去λ得λ1λ2＝1.11.[解析] OF →＝OB →＋BF →＝OB →＋13OA →，OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋13OB →，相加得OE →＋OF →＝43(OA →＋OB →)＝43OC →，∴OC →＝34OE →＋34OF →，∴λ＋μ＝34＋34＝32.12.[解析] 根据⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0知，角A 的内角平分线与BC 边垂直，说明三角形是等腰三角形，根据数量积的定义及AB →|AB →|·AC →|AC →|＝－12可知A ＝120°.故三角形是等腰非等边的三角形．13.[解析] a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝2×1×12＝1，|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝4＋4＋4×1＝12，∴|a ＋2b |＝2 3.14.[解析] ∵〈a ，b 〉为钝角，∴a ·b ＝3(2＋λ)＋λ＝4λ＋6<0，∴λ<－32，当a 与b 方向相反时，λ＝－3，∴λ<－32且λ≠－3.15.[解析] 由条件知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (－1)＝f (3)，∵m ≥0，∴a ·b ＝m ＋2≥2，由f (a ·b )>f (－1)得f (m ＋2)>f (3)，∵f (x )在[1，＋∞)上为减函数，∴m ＋2<3，∴m <1，∵m ≥0，∴0≤m <1.16.[解析] ∵a ⊥b ，∴sin θcos θ＋14＝0，∴sin2θ＝－12，又∵a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫sin θ＋cos θ，54，(a ＋b )∥c ，∴m (sin θ＋cos θ)－52＝0，∴m ＝52(sin θ＋cos θ)，∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2θ＝12，∴sin θ＋cos θ＝±22，∴m ＝±522.17.[解析] (1)f (x )＝a ·b ＝－cos 2x ＋3sin x cos x ＝32sin2x －12cos2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－12. ∵x ∈[0，π]，∴当x ＝π3时，f (x )max ＝1－12＝12.(2)由(1)知x ＝π3，a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，设向量a 与b 夹角为α，则cos α＝a ·b |a |·|b |＝121×1＝12，∴α＝π3.因此，两向量a 与b 的夹角为π3.18.[解析] (1)解：∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ，∵过(4，－10)点，∴16－10＝λ，即λ＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(－3＋23，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝－3＋m 2，又∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1→·MF 2→＝0，即MF 1→⊥MF 2→.19.[解析] (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0，∴4sin B ·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋B 2＋cos2B －2＝0，∴2sin B [1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋B ]＋cos2B －2＝0，∴2sin B ＋2sin 2B ＋1－2sin 2B －2＝0， ∴sin B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π6或56π.(2)∵a ＝3，b ＝1，∴a >b ，∴此时B ＝π6，方法一：由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴c 2－3c ＋2＝0，∴c ＝2或c ＝1. 方法二：由正弦定理得b sin B ＝a sin A ，∴112＝3sin A ，∴sin A ＝32，∵0<A <π，∴A ＝π3或23π，若A ＝π3，因为B ＝π6，所以角C ＝π2，∴边c ＝2；若A ＝23π，则角C ＝π－23π－π6＝π6，∴边c ＝b ，∴c ＝1.综上c ＝2或c ＝1. 20.[解析](1)a ·b ＝cos3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos2x ，|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝⎛⎭⎫sin 3x 2－sin x 22＝2＋2⎝⎛⎭⎫cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝2＋2cos2x ＝2|cos x |，∵x ∈[π2，π]，∴cos x <0，∴|a ＋b |＝－2cos x .(2)f (x )＝a ·b ＋|a ＋b |＝cos2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x －122－32 ∵x ∈[π2，π]，∴－1≤cos x ≤0，∴当cos x ＝－1，即x ＝π时f max (x )＝3.21.[解析] (1)f (x )＝－2a sin 2x ＋23a sin x cos x ＋a ＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋b ， ∵a >0，∴由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得，k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴函数y ＝f (x )的单调递增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )(2)x ∈[π2，π]时，2x ＋π6∈[7π6，13π6]，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－1，12]当a >0时，f (x )∈[－2a ＋b ，a ＋b ] ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝2a ＋b ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4，当a <0时，f (x )∈[a ＋b ，－2a ＋b ] ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2－2a ＋b ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3综上知，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4 22.[解析] 设动点P (x ，y )，则MP →＝(x －4，y )，MN →＝(－3,0)，PN →＝(1－x ，－y )．由已知得－3(x －4)＝6(1－x )2＋(－y )2，化简得3x 2＋4y 2＝12，得x 24＋y 23＝1. 所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为y ＝k (x －1)，设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1消去y 得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 因为N 在椭圆内，所以Δ>0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.因为NA →·NB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(1＋k 2)(x 1－1)(x 2－1)＝(1＋k 2)[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝(1＋k 2)4k 2－12－8k 2＋3＋4k 23＋4k 2＝－9(1＋k 2)3＋4k 2，所以－187≤－9(1＋k 2)3＋4k2≤－125.解得1≤k 2≤3.所以－3≤k ≤－1或1≤k ≤ 3.。

(完整版)平面向量测试题及详解

平面向量第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1．(文)(2011·北京西城区期末)已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] C[解析] AB →＝(3，y －1)，∵AB →∥a ，∴31＝y －12，∴y ＝7.(理)(2011·福州期末)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．2[答案] D[解析] a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)， ∵a ＋b 与4b －2a 平行，∴36＝x ＋14x －2，∴x ＝2，故选D.2．(2011·蚌埠二中质检)已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →⊥a ，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] B[解析] AB →＝(2,3)，∵AB →⊥a ，∴2(2k －1)＋3×2＝0，∴k ＝－1，∴选B.3．(2011·北京丰台期末)如果向量a ＝(k,1)与b ＝(6，k ＋1)共线且方向相反，那么k 的值为( )A ．－3B ．2C ．－17D.17[答案] A[解析] 由条件知，存在实数λ<0，使a ＝λb ，∴(k,1)＝(6λ，(k ＋1)λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6λ(k ＋1)λ＝1，∴k ＝－3，故选A.4．(文)(2011·北京朝阳区期末)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)等于( )A ．－49B ．－43C.43D.49[答案] A[解析] 由条件知，P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·(2PM →) ＝P A →·AP →＝－|P A →|2＝－⎝⎛⎭⎫23|MA →|2＝－49.(理)(2011·黄冈期末)在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →、BC →分别为a 、b ，则AH →＝( )A.25a －45bB.25a ＋45b C ．－25a ＋45bD ．－25a －45b[答案] B[解析] AF →＝b ＋12a ，DE →＝a －12b ，设DH →＝λDE →，则DH →＝λa －12λb ，∴AH →＝AD →＋DH →＝λa＋⎝⎛⎭⎫1－12λb ， ∵AH →与AF →共线且a 、b 不共线，∴λ12＝1－12λ1，∴λ＝25，∴AH →＝25a ＋45b .5．(2011·山东潍坊一中期末)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，n )，若|a ＋b |＝a ·b ，则n ＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3[答案] D[解析] ∵a ＋b ＝(3,1＋n )，∴|a ＋b |＝9＋(n ＋1)2＝n 2＋2n ＋10，又a ·b ＝2＋n ，∵|a ＋b |＝a ·b ，∴n 2＋2n ＋10＝n ＋2，解之得n ＝3，故选D.6．(2011·烟台调研)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( ) A ．最大值为8 B ．是定值6 C ．最小值为2 D ．与P 的位置有关[答案] B[解析] 设BC 边中点为D ，则 AP →·(AB →＋AC →)＝AP →·(2AD →)＝2|AP →|·|AD →|·cos ∠P AD ＝2|AD →|2＝6.7．(2011·河北冀州期末)设a ，b 都是非零向量，那么命题“a 与b 共线”是命题“|a ＋b |＝|a |＋|b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件[答案] B[解析] |a ＋b |＝|a |＋|b |⇔a 与b 方向相同，或a 、b 至少有一个为0；而a 与b 共线包括a 与b 方向相反的情形，∵a 、b 都是非零向量，故选B.8．(2011·甘肃天水一中期末)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°[答案] C[解析] 由条件知|a |＝5，|b |＝25，a ＋b ＝(－1，－2)，∴|a ＋b |＝5，∵(a ＋b )·c ＝52，∴5×5·cos θ＝52，其中θ为a ＋b 与c 的夹角，∴θ＝60°.∵a ＋b ＝－a ，∴a ＋b 与a 方向相反，∴a 与c 的夹角为120°.9．(文)(2011·福建厦门期末)在△ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6[答案] B[解析] 解法1：如图以C 为原点，CA 、CB 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A (3,0)，B (0,3)，设M (x 0，y 0)，∵BM →＝2MA →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2(3－x 0)y 0－3＝2(－y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2y 0＝1，∴CM →·CB →＝(2,1)·(0,3)＝3，故选B. 解法2：∵BM →＝2MA →，∴BM →＝23BA →，∴CB →·CM →＝CB →·(CB →＋BM →)＝|CB →|2＋CB →·⎝⎛⎭⎫23BA → ＝9＋23×3×32×⎝⎛⎭⎫－22＝3.(理)(2011·安徽百校联考)设O 为坐标原点，点A (1,1)，若点B (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，1≤x ≤2，1≤y ≤2，则OA →·OB →取得最大值时，点B 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．无数[答案] A[解析] x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，即(x －1)2＋(y －1)2≥1，画出不等式组表示的平面区域如图，OA →·OB →＝x ＋y ，设x ＋y ＝t ，则当直线y ＝－x 平移到经过点C 时，t 取最大值，故这样的点B 有1个，即C 点．10．(2011·宁夏银川一中检测)a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1·λ2＋1＝0D ．λ1λ2－1＝0[答案] D[分析] 由于向量AC →，AB →有公共起点，因此三点A 、B 、C 共线只要AC →，AB →共线即可，根据向量共线的条件可知存在实数λ使得AC →＝λAB →，然后根据平面向量基本定理得到两个方程，消去λ即得结论．[解析] ∵A 、B 、C 共线，∴AC →，AB →共线，根据向量共线的条件知存在实数λ使得AC →＝λAB →，即a ＋λ2b ＝λ(λ1a ＋b )，由于a ，b 不共线，根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧1＝λλ1λ2＝λ，消去λ得λ1λ2＝1.11．(文)(2011·北京学普教育中心)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量运算a ⊕b ＝(a 1，a 2)⊕(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知m ＝⎝⎛⎭⎫2，12，n ＝⎝⎛⎭⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊕OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )的最大值及最小正周期分别为( )A ．2；πB ．2；4π C.12；4π D.12；π [答案] C[解析] 设点Q (x ′，y ′)，则OQ →＝(x ′，y ′)，由新定义的运算法则可得： (x ′，y ′)＝⎝⎛⎭⎫2，12⊕(x ，y )＋⎝⎛⎭⎫π3，0 ＝⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，12y ，得⎩⎨⎧x ′＝2x ＋π3y ′＝12y，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′－π6y ＝2y ′，代入y ＝sin x ，得y ′＝12sin ⎝⎛⎭⎫12x ′－π6，则 f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6，故选C. (理)(2011·华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校联考)如图，在矩形OACB 中，E 和F 分别是边AC 和BC 的点，满足AC ＝3AE ，BC ＝3BF ，若OC →＝λOE →＋μOF →其中λ，μ∈R ，则λ＋μ是( )A.83B.32C.53 D ．1[答案] B[解析] OF →＝OB →＋BF →＝OB →＋13OA →，OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋13OB →，相加得OE →＋OF →＝43(OA →＋OB →)＝43OC →，∴OC →＝34OE →＋34OF →，∴λ＋μ＝34＋34＝32.12．(2011·辽宁沈阳二中阶段检测)已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝－12，则△ABC 的形状为( )A ．等腰非等边三角形B ．等边三角形C ．三边均不相等的三角形D ．直角三角形 [答案] A[分析] 根据平面向量的概念与运算知，AB →|AB →|表示AB →方向上的单位向量，因此向量AB →|AB →|＋AC→|AC →|平行于角A 的内角平分线．由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0可知，角A 的内角平分线垂直于对边，再根据数量积的定义及AB →|AB →|·AC →|AC →|＝－12可求角A .[解析] 根据⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0知，角A 的内角平分线与BC 边垂直，说明三角形是等腰三角形，根据数量积的定义及AB →|AB →|·AC →|AC →|＝－12可知A ＝120°.故三角形是等腰非等边的三角形．[点评] 解答本题的关键是注意到向量AB →|AB →|，AC →|AC →|分别是向量AB →，AC →方向上的单位向量，两个单位向量的和一定与角A 的内角平分线共线．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(文)(2011·湖南长沙一中月考)设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于________．[答案]5[解析] 3a ＋b ＝(3,6)＋(－2，y )＝(1,6＋y )， ∵a ∥b ，∴－21＝y2，∴y ＝－4，∴3a ＋b ＝(1,2)，∴|3a ＋b |＝ 5.(理)(2011·北京朝阳区期末)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.[答案] 2 3[解析] a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝2×1×12＝1，|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝4＋4＋4×1＝12， ∴|a ＋2b |＝2 3.14．(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)已知a ＝(2＋λ，1)，b ＝(3，λ)，若〈a ，b 〉为钝角，则λ的取值范围是________．[答案] λ<－32且λ≠－3[解析] ∵〈a ，b 〉为钝角，∴a ·b ＝3(2＋λ)＋λ＝4λ＋6<0， ∴λ<－32，当a 与b 方向相反时，λ＝－3，∴λ<－32且λ≠－3.15．(2011·黄冈市期末)已知二次函数y ＝f (x )的图像为开口向下的抛物线，且对任意x ∈R 都有f (1＋x )＝f (1－x )．若向量a ＝(m ，－1)，b ＝(m ，－2)，则满足不等式f (a ·b )>f (－1)的m 的取值范围为________．[答案] 0≤m <1[解析] 由条件知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (－1)＝f (3)，∵m ≥0，∴a ·b ＝m ＋2≥2，由f (a ·b )>f (－1)得f (m ＋2)>f (3)， ∵f (x )在[1，＋∞)上为减函数，∴m ＋2<3，∴m <1，∵m ≥0，∴0≤m <1.16．(2011·河北冀州期末)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin θ，14，b ＝(cos θ，1)，c ＝(2，m )满足a ⊥b 且(a ＋b )∥c ，则实数m ＝________.[答案] ±522[解析] ∵a ⊥b ，∴sin θcos θ＋14＝0，∴sin2θ＝－12，又∵a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫sin θ＋cos θ，54，(a ＋b )∥c ， ∴m (sin θ＋cos θ)－52＝0，∴m ＝52(sin θ＋cos θ)，∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2θ＝12，∴sin θ＋cos θ＝±22，∴m ＝±522.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2011·甘肃天水期末)已知向量a ＝(－cos x ，sin x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ，x ∈[0，π]．(1)求函数f (x )的最大值；(2)当函数f (x )取得最大值时，求向量a 与b 夹角的大小． [解析] (1)f (x )＝a ·b ＝－cos 2x ＋3sin x cos x ＝32sin2x －12cos2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－12. ∵x ∈[0，π]，∴当x ＝π3时，f (x )max ＝1－12＝12.(2)由(1)知x ＝π3，a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，设向量a 与b 夹角为α，则cos α＝a ·b |a |·|b |＝121×1＝12， ∴α＝π3.因此，两向量a 与b 的夹角为π3.18．(本小题满分12分)(2011·呼和浩特模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证MF 1→·MF 2→＝0.[解析] (1)解：∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ， ∵过(4，－10)点，∴16－10＝λ，即λ＝6， ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(－3＋23，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝－3＋m 2，又∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0，即MF 1→⊥MF 2→.19．(本小题满分12分)(2011·宁夏银川一中月考，辽宁沈阳二中检测)△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(2sin B,2－cos2B )，n ＝(2sin 2(π4＋B2)，－1)，m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若a ＝3，b ＝1，求c 的值．[分析] 根据向量关系式得到角B 的三角函数的方程，解这个方程即可求出角B ，根据余弦定理列出关于c 的方程，解这个方程即可．[解析] (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0， ∴4sin B ·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋B 2＋cos2B －2＝0， ∴2sin B [1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋B ]＋cos2B －2＝0， ∴2sin B ＋2sin 2B ＋1－2sin 2B －2＝0， ∴sin B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π6或56π.(2)∵a ＝3，b ＝1，∴a >b ，∴此时B ＝π6，方法一：由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴c 2－3c ＋2＝0，∴c ＝2或c ＝1. 方法二：由正弦定理得b sin B ＝asin A，∴112＝3sin A ，∴sin A ＝32，∵0<A <π，∴A ＝π3或23π，若A ＝π3，因为B ＝π6，所以角C ＝π2，∴边c ＝2；若A ＝23π，则角C ＝π－23π－π6＝π6，∴边c ＝b ，∴c ＝1. 综上c ＝2或c ＝1.20．(本小题满分12分)(2011·山东济南一中期末)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈[π2，π]．(1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)求函数f (x )＝a ·b ＋|a ＋b |的最大值，并求使函数取得最大值时x 的值． [解析] (1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝cos2x ，|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝⎛⎭⎫sin 3x 2－sin x 22 ＝2＋2⎝⎛⎭⎫cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2 ＝2＋2cos2x ＝2|cos x |， ∵x ∈[π2，π]，∴cos x <0，∴|a ＋b |＝－2cos x .(2)f (x )＝a ·b ＋|a ＋b |＝cos2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x －122－32 ∵x ∈[π2，π]，∴－1≤cos x ≤0，∴当cos x ＝－1，即x ＝π时f max (x )＝3.21．(本小题满分12分)(2011·河南豫南九校联考)已知OA →＝(2a sin 2x ，a )，OB →＝(－1,23sin x cos x ＋1)，O 为坐标原点，a ≠0，设f (x )＝OA →·OB →＋b ，b >a .(1)若a >0，写出函数y ＝f (x )的单调递增区间；(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[π2，π]，值域为[2,5]，求实数a 与b 的值．[解析] (1)f (x )＝－2a sin 2x ＋23a sin x cos x ＋a ＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋b ， ∵a >0，∴由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得，k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴函数y ＝f (x )的单调递增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )(2)x ∈[π2，π]时，2x ＋π6∈[7π6，13π6]，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－1，12] 当a >0时，f (x )∈[－2a ＋b ，a ＋b ]∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝2a ＋b ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4，当a <0时，f (x )∈[a ＋b ，－2a ＋b ]∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2－2a ＋b ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝3综上知，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4 22．(本小题满分12分)(2011·北京朝阳区模拟)已知点M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|PN →|.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若－187≤NA →·NB →≤－125，求直线l 的斜率的取值范围．[解析] 设动点P (x ，y )，则MP →＝(x －4，y )，MN →＝(－3,0)，PN →＝(1－x ，－y )．由已知得－3(x －4)＝6(1－x )2＋(－y )2，化简得3x 2＋4y 2＝12，得x 24＋y 23＝1. 所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为y ＝k (x －1)，设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1 消去y 得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.因为N 在椭圆内，所以Δ>0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.因为NA →·NB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(1＋k 2)(x 1－1)(x 2－1)＝(1＋k 2)[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝(1＋k 2)4k 2－12－8k 2＋3＋4k 23＋4k 2＝－9(1＋k 2)3＋4k 2，所以－187≤－9(1＋k 2)3＋4k 2≤－125.解得1≤k 2≤3. 所以－3≤k ≤－1或1≤k ≤ 3.。

高一数学必修4平面向量练习题及答案(完整版)

a an t 1平面向量练习题一、选择题1、若向量= (1,1), = (1,－1), =(－1,2),则等于()abc cA 、+B 、C 、D 、+ 21-a 23b 21a 23-b 23a 21-b23-a 21b2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与共线的单位向量是（）AB A 、B 、)1010,10103(-=e 1010,10103()1010,10103(--=或e C 、D 、)2,6(-=e )2,6()2,6(或-=e 3、已知垂直时k 值为（）b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与A 、17B 、18C 、19D 、204、已知向量=(2，1)， =(1，7)， =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么的最OP OA OB XB XA ⋅小值是 ( )A 、-16B 、-8C 、0D 、45、若向量分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a,b 的值分别可以是)1,2(),2,1(-==n m （）A 、－1 ，2B 、－2 ，1C 、 1 ，2D 、 2，16、若向量a =(cos ,sin )，b =(cos ,sin )，则a 与b 一定满足（）αβαβA 、a 与b 的夹角等于－B 、(a ＋b )⊥(a －b )αβC 、a ∥bD 、a ⊥b7、设分别是轴，轴正方向上的单位向量，，。

若用来表示j i ,x y j i OP θθsin 3cos 3+=i OQ -=∈),2,0(πθ与的夹角，则等于（）OP OQ A 、B 、C 、D 、θθπ+2θπ-2θπ-8、设，已知两个向量，，则向量长度的最大值是πθ20<≤()θθsin ,cos 1=OP ()θθcos 2,sin 22-+=OP 21P P （）A 、B 、C 、D 、2323二、填空题9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使取得最小值的点P 的坐标是BP AP ⋅i r t 2、10、把函数的图象，按向量（m>0）平移后所得的图象关于轴对称，则m 的最sin y x x =-(),a m n =-y 小正值为__________________、11、已知向量、=⊥=-=m AB OA m OB OA 则若,),,3(),2,1(三、解答题12、求点A （－3，5）关于点P （－1，2）的对称点、/A 13、平面直角坐标系有点].4,4[),1,(cos ),cos ,1(ππ-∈=x x Q x P （1）求向量的夹角的余弦用x 表示的函数；OQ OP 和θ)(x f （2）求的最值、θ14、设其中x ∈[0，]、，)2cos ,sin 2(x x OA =，x ，OB )1cos (-=2π(1)求f(x)=的最大值和最小值；OB OA ·(2)当 ⊥，求||、OA OB AB 15、已知定点、)1,0(-B 、，动点P 满足：、)1,0(A )0,1(C 2||−→−−→−−→−=⋅PC k BP AP （1）求动点的轨迹方程，并说明方程表示的图形；P （2）当时，求的最大值和最小值、2=k ||−→−−→−+BP APa t i me l i ng i nt e n t 3参考答案一、选择题1、B ；2、B ；3、C ；4、B ；5、D ；6、B ；7、D ；8、C 二、填空题9、(0，0)10、56m π=11、4三、解答题12、解：设（ｘ，ｙ），则有，解得、所以（1，－1）。

高一数学必修4《平面向量》测试卷(含答案),推荐文档

《平面向量》测试卷
考试时间：120 分钟满分：150 分
一.选择题.(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
1.对于任意向量 a和b ，下列命题中正确的是（）
A.若 a,b 满足 a b ，且 a与b 同向，则 a b B. a b a b
C. a b a b
D. a b a b
2.已知平面向量
a
(1,1),
b
(1,
1)
，则向量
1
a
3
b
等于（
）
22
A. (2, 1)
B. (2,1)
C. (1, 0)
D. (1, 2)
3.下列各组向量中，可以作为基底的是（）
A. e1 (0, 0), e2 (1, 2)
B. e1 (1, 2), e2 (5, 7)
AE BF ( 2,1) (1 2, 2) 2
21.解: (1)由题意知a
b
1
2
(3m 5n) (2m
n)
9,3m来自 5n7,2m n
3
cos3m
5n,
2m
n
2 (3m
5n)
(2m
n)
3
3
3m 5n 2m n 14
(2) (2m
n)
x 0, y 5
C (0, 5)
(3)设M则(a,b), OM (a,b),OD (1, 4)
O, M , D三点共线
a b 1 4
b 4a
MA MB (2 a,1 b) (3 a, 2 b)
(2 a,1 4a) (3 a, 2 4a)
17a2 7a 8
2 x AB
2x

高一数学平面向量试题答案及解析

高一数学平面向量试题答案及解析1.已知向量a b则向量a在向量b方向上的投影为 ( )A．B．C．0D．1【答案】B【解析】略2.已知平面向量0)满足(1)当时，求的值；(2)当的夹角为时，求的取值范围。

【答案】解：(1) 即，化简得，即的值为……………………………………6分(2)如图，设，由题，的夹角为，因此，在△ABO中，∠OBA=，根据正弦定理，即的取值范围是。

…………………………………12分【解析】略3.在中，，是边上任意一点（与不重合），若，则=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意画出相应的图形，如图所示：过A作AO⊥BC，交BC于点O，以BC所在的直线为x轴，AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，设A（0，a），B（b，0），C（c，0），D（d，0），∵|AB|2=|AD|2+|BD|×|DC|，∴a2+b2=a2+d2+（d-b）（c-d），即d2-b2+（d-b）（c-d）=0，∴（d+b）（d-b）+（d-b）（c-d）=0，即（d-b）（b+c）=0，∵D与B不重合，∴d≠b，即d-b≠0，∴b+c=0，即b=-c，∴B与C关于y轴对称，∴AB=AC，则△ABC为等腰三角形．得到∠B=∠C=75°4.已知中，点是的中点，过点的直线分别交直线于两点，若，，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，三点共线，所以，．【考点】1．平面向量基本定理；2．三点共线；3．基本不等式求最值．5.（本小题满分12分）已知点（1）若，求的值；（2）若，其中为坐标原点，求的值。

【答案】（1）；（2）．【解析】（1）首先求的坐标表示，然后再用模的公式进行化简，最后解得；（2）根据向量的坐标表示向量的和，和向量的数量积的坐标表示，得到，最后两边平方，解得．试题解析：解：（1）A（1，0），B（0，1），，化简得（若，则，上式不成立）所以（2），，【考点】1．向量的坐标表示；2．三角函数的化简．6.已知平面向量，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B．【考点】（1）平面向量共线（平行）的坐标表示；（2）平面向量的坐标运算．7.已知为锐角，，且，则为．【答案】或【解析】因为，，故为或．【考点】平行向量的坐标表示8.已知是所在平面上一点，满足，则点（）A．在与边垂直的直线上B．在的平分线所在直线上C．在边的中线所在直线上D．以上都不对【答案】A【解析】移项得设AB边的中点为D，则所以O在与边垂直的直线上，选A．【考点】向量加减法的几何意义，数量积的性质．9.如果向量与的夹角为θ，那么我们称×为向量与的“向量积”，×是一个向量，它的长度|×|=||||sinθ，如果||=3，||=2，·=-2，则|×|=__________．【答案】【解析】由向量数量积知；所以．【考点】新定义问题、向量的运算．10.（本小题满分10分）已知向量，向量．（1）若向量与向量垂直，求实数的值；（2）当为何值时，向量与向量平行？并说明它们是同向还是反向．【答案】（1）；（2），同向．【解析】（1）本题考察的是平面向量的垂直问题，这类问题要写出两个向量的坐标表示，然后利用两向量的数量积等于0，即可得到所需答案．本题中分别写出向量与向量的坐标，两向量垂直数量积等于0，代入相关数值，即可求出实数的值．（2）本题考察的是两向量平行（共线）的问题，两向量平行，则．代入相关数值，即可求出实数的值，再利用向量共线定理即可得出是否同向．试题解析：，．（1）由向量与向量垂直，得，解得．（2），得，解得．此时，所以方向相同【考点】平面向量数量积的运算11.设的夹角为锐角，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，设与夹角为且为锐角，则：，且，解得且，所以实数的取值范围是，故选A．【考点】平面向量数量积的计算12.已知的顶点坐标为，，，点P的横坐标为14，且，点是边上一点，且.（1）求实数的值与点的坐标；（2）求点的坐标；（3）若为线段（含端点）上的一个动点，试求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由，根据向量共线，设出P点坐标即可得设出Q点坐标,根据可得一个方程，然后利用Q在AB上利用向量共线得另一个方程，解方程组可得Q点坐标。

高一数学平面向量期末复习试题

高一数学平面向量期末复习试题高一数学平面向量期末复习试题(必修4)(共160分,考试时间120分钟 ) 得分:一.填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案写在横线处)1．若有以下命题:① 两个相等向量的模相等;② 若和都是单位向量,则;③ 相等的两个向量一定是共线向量; ④ ,,则;⑤ 零向量是唯一没有方向的向量;⑥ 两个非零向量的和可以是零.其中正确的命题序号是.2. 在水流速度为4的河流中,有一艘船沿与水流垂直的方向以8的速度航行,则船自身航行速度大小为____________.3. 任给两个向量和,则下列式子恒成立的有________________.① ②③④4. 若,且,则四边形的形状为________.5．梯形的顶点坐标为,,且,,则点的坐标为___________.6. 的三个顶点坐标分别为,,,若是的重心,则点的坐标为__________,__________________.7. 若向量,,,则___________(用和表示).8. 与向量平行的单位向量的坐标为 ________________.9. 在中,已知,,,则________________.10.设,,若与的夹角为钝角,则的取值范围是 __ ____.11. 直线平行于向量,则直线的斜率为____________.12. 已知,,则的取值范围是 _________.13.已知向量.不共线,且,则与的夹角为 __________.14.在中, ,,则下列推导正确的是__ _ .① 若则是钝角三角形② 若,则是直角三角形③ 若,则是等腰三角形④ 若,则是直角三角形⑤ 若,则△ABC是正三角形二.解答题(本大题共6小题,共90分,请在答题卷指定区域内作答,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤)15.已知且,,计算16设..分别是的边..上的点,且,,若记,,试用,表示...17. 已知,,且与夹角为120°求⑴;⑵;⑶与的夹角.18. 已知向量=,= .⑴求与;⑵ 当为何值时,向量与垂直?⑶ 当为何值时,向量与平行?并确定此时它们是同向还是反向?19. 已知=,= ,=,设是直线上一点,是坐标原点⑴求使取最小值时的;⑵对(1)中的点,求的余弦值.20. 在中,为中线上的一个动点,若求:的最小值.江苏省沛县湖西中学_-_第二学期期末复习试题第二章平面向量参考答案一．填空题:1.①④;2.;3.②③;4.等腰梯形;5.(4,2);6.,;7.;8.或;89.;10.;11.;12.;13.;14②③④⑤.二．解答题:15.因为,由,所以,.16.由题意可得,,,,,,所以;;.17.由题意可得,,(1);(2)(3)设与的夹角为,则,又,所以,与的夹角为.18.因为所以,,,(1) , ;(2)当向量与垂直时,则有,,即解得所以当时,向量与垂直;(3)当向量与平行时,则存在使成立,于是解得,当时,,所以时向量与平行且它们同向.19.(1)设,则,由题意可知又.所以即,所以,则,当时,取得最小值,此时,即.(2)因为.20.因为,,又,所以,当且仅当即为的中点时,取得最小值且为.。

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平面向量一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1、下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A ．)0,0(=a ρ)2,1(-=b ρ B ．)2,1(-=a ρ )4,2(-=b ρC ．)5,3(=a ρ )10,6(=b ρD ．)3,2(-=a ρ)9,6(=b ρ2、若ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，且a AB =，b AD =，则BE = ( )A ．a b 21+B ．a b 21- Ｃ．b a 21+ Ｄ．b a 21- 3、若向量a r 与b r 不共线，0a b ⋅≠r r ，且()a a b c a a b⋅=-⋅r r rr r r r ，则向量a r 与c r的夹角为（） A ．π2B ．π6C ．π3D ．04、设，是互相垂直的单位向量，向量m 3)1(-+=，m )1(-+=，)()(-⊥+,则实数m 为（）A ．-2B ．2 Ｃ．21-Ｄ．不存在 5、在四边形ABCD 中，b a AB 2+=，b a BC --=4，b a CD 35--=，则四边形ABCD 的形状是（）A ．长方形B ．平行四边形Ｃ．菱形Ｄ．梯形 6、下列说法正确的个数为（）（1）)()()(λλλ⋅=⋅=⋅；（2）||||||⋅=⋅；（3）⋅+⋅=⋅+)( （4）)()(⋅⋅=⋅⋅；（5）设,,为同一平面内三个向量，且c 为非零向量，b a ,不共线，则b ac a c b )()(⋅-⋅与垂直。

A ．2 B. 3 C. 4 D. 57、在边长为1的等边三角形ABC 中，设=，=，=，则⋅+⋅+⋅的值为（ A ．23 B ．23- Ｃ．0 Ｄ．3 8、向量a =（-1，1），且a 与a +2b 方向相同，则b a ⋅的范围是（）A ．（1，+∞）B ．（-1，1）Ｃ．（-1，+∞）Ｄ．（-∞，1） 9、在△OAB 中，OA =（2cos α，2sin α），OB =（5cos β，5sin β），若OB OA ⋅=-5，则S △OAB = （） A ．3 B ．23Ｃ．35 Ｄ．23510、若非零向量a 、b 满足||||=-，则（）A. |2||2|b a b ->B. |2||2|b a b -<C. |2||2|b a a ->D. |2||2|b a a -< 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

11、若向量)4,3(-=a ρ，则与a ρ平行的单位向量为________________ ，与a ρ垂直的单位向量为______________________。

12、已知)3,2(=a ρ，)4,3(-=b ρ，则)(b a ρρ-在)(b a ρρ+上的投影等于___________ 。

13、已知三点(1,2),(2,1),(2,2)A B C -， ,E F 为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅u u u r u u u r＝_____．14．设向量a ρ与b ρ的夹角为θ，定义a ρ与b ρ的“向量积”：a ⨯ρ是一个向量，它的模θsin ||||||⋅⋅=⨯b a b a ρρρρ.若)3,1(),1,3(=--=b a ρρ，则=⨯||b a ρρ .三、解答题：本大题共6小题，共80分。

15．（本小题满分12分）设向量=（3，1），=（-1，2），向量⊥，∥，又+=，求OD 。

16．（本小题满分12分）已知向量(3,4),(6,3),(5,3)OA OB OC x y =-=-=---u u u r u u u r u u u r．（Ⅰ）若点,,A B C 能构成三角形，求,x y 满足的条件；（Ⅱ）若ABC ∆为等腰直角三角形，且B ∠为直角，求,x y 的值． 17、（本小题满分14分）已知A(2,0)，B(0,2)，C(cos α,sin α)，(0<α<π)。

（1）若7||=+OC OA （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角；（2）若BC AC ⊥，求tan α的值。

18、（本小题满分14分）如图，O ，A ，B 三点不共线，2=，OB OD 3=，设a OA =，b OB =。

（1）试用,表示向量；（2）设线段AB ，OE ，CD 的中点分别为L ，M ， N ，试证明L ，M ，N 三点共线。

19、（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(1,2)a =-，又点(8,0),(,),(sin ,)(0)2A B n t C k t πθθ≤≤(1)若,AB a ⊥u u u r且|||AB OA =u u u r u u u r，求向量OB uuu r ；(2)若向量AC uuu r 与向量a 共线，当4>时，且sin t θ取最大值为4时，求OA OC •u u u r u u u v20、（本小题满分14分）已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin )2222x x a x x b ==-r r ，且[0,]2x π∈，求：（1）a b ⋅r r 及||a b +r r ；（2）若()2||f x a b a b λ=⋅-+r r r r 的最小值为32-，求实数λ的值。

平面向量测试题参考答案一、选择题：（每小题5分） DBAAD BBCDA二、填空题：（每小题5分） 11、)54,53(;)54,53(-- )53,54(;)53,54(-- 12、526-13、 3 14、 2三、解答题：本大题共6小题，共80分。

15．解：设=（x ,y ），∵OB OC ⊥，∴0=⋅OB OC ，∴2y – x =0，①又∵∥，=（x +1，y-2），∴3( y-2) – (x +1)=0，即：3y – x-7=0，② 由①、②解得，x =14，y=7，∴OC =（14，7），则OD =OC -OA =（11，6）。

16、解：（Ⅰ）若点,,A B C 能构成三角形，则这三点不共线，(3,1),AB =u u u rQ(2,1),AC x y =--u u u r∴3(1)2y x -≠-，∴,x y 满足的条件为31y x -≠ （Ⅱ）(3,1),AB =u u u r Q (1,)BC x y =---u u u r，若B ∠为直角，则AB BC ⊥u u u r u u u r， ∴3(1)0x y ---=，又||||AB BC =u u u r u u u r ，∴22(1)10x y ++=，再由3(1)y x =--，解得03x y =⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=⎩．17、解：⑴∵)sin ,cos 2(αα+=+OC OA ，7||=+OC OA ，∴7sin )cos 2(22=++αα，∴21cos =α．又),0(πα∈，∴3πα=，即3π=∠AOC ，又2π=∠AOB ，∴与的夹角为6π． ⑵)sin ,2(cos αα-=，)2sin ,(cos -=αα，由⊥，∴0=⋅，可得21sin cos =+αα， ①∴41)sin (cos 2=+αα，∴43cos sin 2-=αα， ∵),0(πα∈，∴),2(ππα∈，又由47cos sin 21)sin (cos 2=-=-αααα，ααsin cos -＜0， ∴ααsin cos -＝－27，②由①、②得471cos -=α，471sin +=α，从而374tan +-=α．18、解：(1)∵B ，E ，C 三点共线，∴OE =x OC +(1-x )OB =2 x a ρ+(1-x )b ，①同理，∵A ，E ，D 三点共线，可得，=y a ρ+3(1-y)，②比较①，②得，⎩⎨⎧-=-=)1(31,2y x y x 解得x=52， y=54,∴=b ρ5354+。

（2）∵2b a +=，103421b a OM +==，232)(21ba +=+=， 10126OM +=-=，102OM +=-=， ∴6=，∴L ，M ，N 三点共线。

19、解: (1)(8,),820AB n t AB a n t =-⊥∴-+=u u u r u u u rQ又222|||,564(3)5OB AB n t t =∴⨯=-+=u u u u r u u u r Q ,得8t =± (24,8)OB ∴=u u u r 或(8,8)OB =--u u u r(2)(sin 8,)AC k t θ=-u u u rAC u u u rQ 与a 向量共线, 2sin 16t k θ∴=-+232sin (2sin 16)sin 2(sin )4k t k k k θθθθ=-+=--+Q4,104k k ∴>∴>>,∴当sin 4k θ=时，sin t θ取最大值为32k由324k =，得8k =，此时,(4,8)6OC πθ==u u ur(8,0)(4,8)32OA OC ∴•=•=u u u r u u u v20、解：（1）33cos cos sin sin cos 22222x x x xa b x ⋅=-=r r||a b +=r r2|cos |x ===又0cos ]2,0[≥∴∈x x π从而||2cos a b x +=r r（2）2()cos 24cos 2cos 4cos 1f x x x x x λλ=-=--12)(cos 222---=λλx由于[0,]2x π∈ 故0cos 1x ≤≤①当0λ<时，当且仅当cos 0x =时，()f x 取得最小值1-，这与题设矛盾 ②当01λ≤≤时，当且仅当cos x λ=时，()f x 取得最小值221λ--，由23122-=--λ及01λ≤≤得12λ=③当1λ>时，当且仅当cos 1x =时，()f x 取得最小值14λ-，由3142λ-=-，得58λ=与1λ>矛盾综上所述，12λ=即为所求。