八年级数学上册《2.1 数又不够用了》教学设计 北师大版
2.1 课件 数怎么又不够用了(北师大版八年级上册)8
1.交换律 、2.结合律、 3.分配律；
4.各种整式乘法公式：平方差公式， 完全平方公式，多项式乘以多项式； 等等
注：有理数的运算律和运算法则在实数范围 内同样适用
典型例题 例1：
1.
2 3 3 2
典型例题 例1：
2.
3 2 1 2 1 2 )
3 ( 2 3
典型例题 例1：
a a b b
(a≥0,b≥0)
(a≥0,b＞0)
典型例题
12 3 5
6 3 2
(1)
9 5 20
(2)
12 6 8
(3) (1 3)(2 3) (4) (2 3 1)2
总结
• 有理数范围内各种运算律在实数范围内仍 然适用； • 对于根式的3种化简方法，类似于合并同类 项、运用整式乘法公式、把只含有乘除的 式子的被开方数放在同一个根号下面化简.
3.
2 2 3 2 (2 3) 2 5 2.
典型例题 例1：
4.
( 2 1)
2
2 2
( 2 ) 2 2 1 1 2 2 2 1 3 2 2
练习一
1 3 1 3
Hale Waihona Puke 7 7 72( 5 )2
1 2 ( 2 ) 2
做一做：
两个公式 ：
a b a b
2.6
实数(2)
学习目标
• 1.了解有理数的运算法则在实数范围内仍然 适用； • 2. 正确运用公式及运算法则、运算律，进 行简单的根式合并和化简.
自学提纲
• 阅读课本第57到第58页，完成一下任务： • 1.填57页做一做的空； • 2.注意两个公式.
分组展示、合作探究
北师大版初中数学八年级上册第二章《2.1认识无理数》 教案
北师大版数学八年级上册《认识无理数（2）》教案一、学生起点分析学生在小学阶段已经学习了非负数，七年级又学习了有理数.本章第一课时的学习，学生感受到了生活中确实存在着不是有理数的数，让学生认识到所学的数又不够用了，从而激发他们学习的好奇心，能积极主动地参与到学习中，充分认识到学习无理数引入的必要性，发展学生的合情推理能力.二、教学任务分析《数不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节，第一课时让学生感受数的发展，感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 本课时为第二课时，内容是建立无理数的基本概念，借助计算器，感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数，并能结合实际判别有理数和无理数.在活动中进一步发展学生独立思考的意识和合作交流的能力，在学习中领悟数学知识来源于生活，体会数学知识与现实世界的联系，而且对今后学习数学也有着重要意义.为此，本节课的教学目标是: 1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想.2．探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力.3．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力.4.充分调动学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神，提高他们的辨识能力.三、教学过程设计本节课设计六个教学环节:第一环节：新课引入；第二环节：活动与探究；第三环节：知识分类整理；第四环节：知识运用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置.第一环节：新课引入内容:想一想：1. 有理数是如何分类的？整数（如1-，0，2，3，…) 有理数 分数(如31，52-，119，0.5，… ) 2. 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π，0.020020002…上节课又了解到一些数，如22=a ，25=b 中的a ，b 不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目.意图：通过这些问题让学生发现有理数不够用了，存在既不是整数，也不是分数的数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目.效果：激发学生的好奇心和求知欲，引出本节课题“数不够用了（2）”. 第二个环节：活动与探究1. 探索无理数的小数表示内容：借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a 和面积为5的正方形的边长b 进行估计.请看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a 的取值范围大致是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于2?说说你的理由.边长a 面积s 1<a <21<s<4 1.4<a <1.5[来源:学+科+1.96<s<2.25 1.41<a <1.42 1.9881<s<2.0164 1.414<a <1.415 1.999396<s<2.002225 1.4142<a <1.41431.99996164<s<2.00024449归纳总结:a 是介于1和2之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则a 一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数.请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b 的值.目的：让学生有充分的时间进行思考和交流，逐渐地缩小范围，借助计算器探索出a =1.41421356…，b =2.2360679…，是无限不循环小数的过程，体会无限逼近的思想.效果：学生感受到无理数确实是无限不循环的，为后续定义无理数打下基础. 2. 探索有理数的小数表示，明确无理数的概念内容：请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式.议一议：分数化成小数，最终此小数的形式有哪几种情况？ 探究结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数. 即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.强调：像0.585885888588885…，1.41421356…，－2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数叫做无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故π是无理数).[来源:学.科.网Z.X.X.K]目的：通过学生的活动与探究，得出无理数的概念.效果：通过师生互动的教学活动，既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力，又感受到无理数存在的必然性，建立了无理数的概念. 第三个环节：知识分类整理内容：到目前为止我们所学过的数可以分为几类？(按小数的形式来分).强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别.无理数还可以进行怎样的分类?目的：培养学生总结归纳的能力，把新学知识纳入已有的知识体系，进一步发展学生的思维判断能力，加强学生对分类思想的理解.效果：通过师生的共同探究，形成对中学现阶段数的系统认识，提高了总结归纳能力. 第四个环节：知识运用与巩固内容：认识一个数是无理数还是有理数.有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数数整数分数例1填空: 0.351， 4.96••-，32-， 3.14159， 6， －5.2323332…，3π，1234567891011…(由相继的正整数组成).例2 判断下列说法是否正确(1)有限小数是有理数; （ ） (2)无限小数都是无理数; （ ） (3)无理数都是无限小数; （ ） (4)有理数是有限数. （ ）例3以下各正方形的边长是无理数的是（ ） (A ）面积为25的正方形； (B ） 面积为254的正方形； (C ） 面积为8的正方形； (D ） 面积为1.44的正方形. [来源:Z 。
北师大版数学八年级上册1《数怎么又不够用了》教案3
北师大版数学八年级上册1《数怎么又不够用了》教案3一. 教材分析《数怎么又不够用了》这一节主要是让学生了解有理数的乘方运算。
通过这一节的学习，学生能够掌握有理数乘方的概念，理解有理数乘方的运算规则，并能够运用有理数乘方解决实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了有理数的基本运算，对数学概念有一定的理解能力。
但是，对于有理数的乘方运算，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解有理数乘方的概念和运算规则，并通过大量的练习让学生熟练掌握。
三. 教学目标1.让学生了解有理数的乘方概念，理解有理数乘方的运算规则。
2.培养学生运用有理数乘方解决实际问题的能力。
3.培养学生合作学习、积极思考的学习习惯。
四. 教学重难点1.有理数乘方的概念。
2.有理数乘方的运算规则。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入有理数乘方的概念：小明有一块长为2米，宽为3米的长方形土地，他想将这块土地划分成若干个1平方米的小块，问小明最少需要划分多少块？2.呈现（10分钟）通过PPT展示有理数乘方的定义和运算规则，引导学生理解有理数乘方的概念。
3.操练（10分钟）让学生进行有理数乘方的运算练习，教师及时给予指导和反馈。
4.巩固（10分钟）通过一些具体的例子，让学生运用有理数乘方解决实际问题，巩固所学知识。
5.拓展（5分钟）引导学生思考：有理数乘方在实际生活中有哪些应用？6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调有理数乘方的概念和运算规则。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关有理数乘方的练习题，让学生课后巩固所学知识。
8.板书（5分钟）板书本节课的主要知识点，方便学生复习。
通过本节课的教学，发现部分学生在理解有理数乘方概念时还存在一定的困难，需要在今后的教学中加强引导和解释。
另外，在运用有理数乘方解决实际问题时，学生的运算能力还有待提高。
2.1 数怎么又不够用了 课件 3(北师大版八年级上)
如上面的a
无限不循环小数叫无理数。
想一想
你能找到其他的无理数吗？
1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是 无理数？ 0.4583，3.7，-∏，-1/7，18
-
559 180
，3.97，-234.10101010……
..
0.12345678910111213…… （小数部分由相继的正整数组成）
2.（1）设面积为10的正方形的边长 为x，x是有理数吗？说说你的理由 （2）.估计x的值（结果精确到十分 位），并用计算器验证你的估计。 （3）.如果结果精确到百分位呢？
a 是一个无限不循环小数！
估计面积为5的正方形的边长 的值（结果精确到十分位）
计算结果精确到百分位呢？ 事实上b=2.236067978……
练一练：把下列各数表示成小数，你 发现了什么？
3，4/5，5/9，-8/45，2/11
上面这些数都是有理数，因此有理数 总可以用有限小数或无限循环小数表示， 反过来，任何有限小数或无限循环小数 也都是有理数。
然而，第一个发现这样的数的人 却被抛进大海，你想知道这其中的曲 折离奇吗？这得追溯到 2500 年前，有 个叫毕达哥拉斯的人，他是一个伟大 的数学家，他创立了毕达哥拉斯学派， 这是一个非常神秘的学派，他们以领 袖毕达哥拉斯为核心，认为毕达哥拉 斯是至高无尚的，他所说的一切都是 真理。 毕达哥拉斯( Pythagoras) 认为“宇 宙间的一切现象都能归结为整数或整数 之比，即都可用有理数来描述。
1.9881<s<2.0164
1.414<a<1.415
1.4142<a<1.4143
1.999396<s<2.002225
1.99996164<s<2.00024449
《认识无理数》word教案 (公开课)2022年北师大版 (4)
2.1 认识无理数〔1〕教学设计一、学生起点分析通过前一章?勾股定理?的学习，学生已经明白什么是勾股数，但也发现并不是所有的直角三角形的边长都是勾股数，甚至有些直角三角形的边长连有理数都不是，例如：①腰长为1的等腰直角三角形的底边长不是有理数，②两条直角边分别为1，2的直角三角形的斜边长不是有理数，这为引入“新数〞奠定了必要性．二、教学任务分析?数不够用了?是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级〔上〕第二章?实数?的第一节．本节内容安排了2个课时完成，第1课时让学生感受无理数的存在，初步建立无理数的印象，结合勾股定理知识，会根据要求画线段；第2课时借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数．本课是第1课时，学生将在具体的实例中，通过操作、估算、分析等活动，感受无理数的客观存在性和引入的必要性，并能判断一个数是不是有理数．本节课的教学目标是：①通过拼图活动，让学生感受客观世界中无理数的存在；②能判断三角形的某边长是否为无理数；③学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能力和探索精神；④能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解；三、教学过程设计本节课设计了6个教学环节：第一环节：置疑；第二环节：课题引入；第三环节：获取新知；第四环节：应用与稳固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置．第一环节：质疑内容：【想一想】⑴一个整数的平方一定是整数吗？⑵一个分数的平方一定是分数吗？目的：作必要的知识回忆，为第二环节埋下伏笔，便于后续问题的说理．效果：为后续环节的进行起了很好的铺垫的作用第二环节：课题引入内容：1．【算一算】一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平方，并提出问题：x是整数〔或分数〕吗？2．【剪剪拼拼】把边长为1的两个小正方形通过剪、拼，设法拼成一个大正方形，你会吗？目的：选取客观存在的“无理数“实例，让学生深刻感受“数不够用了〞．效果：巧设问题背景，顺利引入本节课题．第三环节：获取新知内容：【议一议】→【释一释】→【忆一忆】→【找一找】a=，请问：①a可能是整数吗？②a可能是分数吗？【议一议】：22a=的a为什么不是整数？【释一释】：释1．满足22a=的a为什么不是分数？释2．满足22【忆一忆】：让学生回忆“有理数〞概念，既然a不是整数也不是分数，那么a一定不是有理数，这说明：有理数不够用了，为“新数〞〔无理数〕的学习奠定了根底【找一找】：在以下正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段目的：创设从感性到理性的认知过程，让学生充分感受“新数〞〔无理数〕的存在，从而激发学习新知的兴趣效果：学生感受到无理数产生的过程，确定存在一种数与以往学过的数不同，产生了学习新数的必要性．第四环节：应用与稳固内容：【画一画1】→【画一画2】→【仿一仿】→【赛一赛】【画一画1】：在右1的正方形网格中，画出两条线段：1．长度是有理数的线段 2．长度不是有理数的线段【画一画2】：在右2的正方形网格中画出四个三角形 〔右1〕2．三边长都是有理数 2．只有两边长是有理数3．只有一边长是有理数 4．三边长都不是有理数【仿一仿】：例：在数轴上表示满足()220x x =>的x解： 〔右2〕仿：在数轴上表示满足()250x x =>的x【赛一赛】：右3是由五个单位正方形组成的纸片，请你把它剪成三块，然后拼成一个正方形，你会吗？试试看！ 〔右3〕 目的：进一步感受“新数〞的存在，而且能把“新数〞表示在数轴上效果：加深了对“新知〞的理解，稳固了本课所学知识．第五环节：课堂小结内容： 1．通过本课学习，感受有理数又不够用了， 请问你有什么收获与体会？ 2．客观世界中，确实存在不是有理数的数，你能列举几个吗？3．除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？ 目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化．效果：学生总结、相互补充，学会进行概括总结．第六环节：布置作业习题六、教学设计反思〔一〕生活是数学的源泉，兴趣是学习的动力大量事实都证明一点，与生活贴得越近的东西最容易引起学习者的浓厚兴趣，才能激发学习者的学习积极性，学习才可能是主动的．本节课中教师首先用拼图游戏引发学生学习的欲望，把课程内容通过学生的生活经验呈现出来，然后进行大胆置疑，生活中的数并不都是有理数，那它们究竟是什么数呢？从而引发了学生的好奇心，为获取新知，创设了积极的气氛．在教学中，不要盲目的抢时间，让学生能够充分的思考与操作．〔二〕化抽象为具体常言道：“数学是锻炼思维的体操〞，数学教师应通过一系列数学活动开启学生的思维，因此对新数的学习不能仅仅停留于感性认识，还应要求学生充分理解，并能用恰当数学语言进行解释．正是基于这个原因，在教学过程中，刻意安排了一些环节，加深对新数的理解，充分感受新数的客观存在，让学生觉得新数并不抽象．〔三〕强化知识间联系，注意纠错既然称之为“新数〞，那它当然不是有理数，亦即不是整数，也不是分数，所以“新数〞不可以用分数来表示，这为进一步学习“新数〞，即第二课时教学埋下了伏笔，在教学中，要着重强调这一点：“新数〞不能表示成分数，为无理数的教学奠好基．[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
八年级数学上册第二章第一节数怎么又不够用了教案北师大版
第二章实数２．数怎么又不够用了（二）一、学生起点分析通过第一课时的学习，让学生先感受到了生活中确实存在着不是有理数的数，咱们所学的数又不够用了，从而激发学生学习的好奇心、踊跃主动地参与到学习中，充分感受到无理数引入的必要，发展学生的合情推理能力.二、教材任务分析《数怎么不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节.第1课时让学生感受数的发展，成立无理数的概念，第2课时借助计算器感受无理数是无穷不循环小数，会判断一个数是无理数.本课时为第2课时，内容是成立无理数的大体概念，并能结合实际判别有理数和无理数，同时在活动中进一步发展学生独立思考和合作交流的意识和能力，而且在学习中领悟数学知识来源于生活，体会数学知识与现实世界的联系.而且对此后学习数学也有着重要意义.三、教学目标分析（一）教学目标知识与技术目标1．借助计算器探索无理数是无穷不循环小数,并从中体会无穷逼近的思想.2．会对所学的数进行分类，并说明理由.3．探索无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数仍是有理数.进程与方法目标1．通过学生活动准确熟悉到有理数都可以划成有限小数和无穷循环小数，发展学生的抽象归纳能力.2．通过对有理数的相关知识的归纳和总结，能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类.3．进一步让学生将有理数和无理数结合实际问题进行分析推理，培育学生解决问题的能力.情感与态度目标1．让学生理解估算的意义，掌握估算的方式，同时发展学生的估算能力，在数学活动发挥学生的踊跃作用.2．充分调动学生参与数学问题的踊跃性，培育学生的合作精神.（二）教学重点：1．无理数概念的成立进程.2．了解无理数与有理数的区别，并能正确判断.（三）教学难点1．无理数概念的成立及估算.2．会判断一个数是无理数仍是有理数，有理数与无理数的区别.四、教学方式1. 教学方式：引导、探讨、发现与合作交流相结合.2. 课前准备：多媒体、计算器.五、教学进程本节课设计六个教学环节；第一环节：新课引入；第二环节：活动与探讨；第三环节：知识分类整理；第四环节：知识运用与巩固；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置 第一环节：新课引入想一想：1. 有理数如何分类的？ 整数（如-1，0，2，3，…):都可看成有限小数有理数分数(如-31，52，119，… )：可不可能都化成有限小数或无穷小数? 2.上节课了解到一些数，如a 2=2，b 2=5中的a ，b 既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？用意：通过这些问题让学生发现有理数不够用了，这些数既不是整数，也不是分数，激发学生的求知欲，去揭露它的真面目.效果：激发学生的好奇心和求知欲，引出本节课题“数怎么又不够用了”.第二个环节：活动与探讨（一）探索无理数的小数表示内容：借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a 和面积为5的正方形的边长b 进行估量.归纳总结:a ，b 既不是整数，也不是分数，则a ，b 必然不是有理数.若是写成小数形式，它们是无穷不循环小数.用意：借助计算器探索出a =1.…，b =2.2360679…，是一个无穷不循环小数，并从中感受无穷逼近的数学思想.效果：学生感受到无理数确实是无穷不循环的，为后续以无穷部循环小数概念无理数打下基础.（二）探索有理数的小数表示，明确无理数的概念内容：请同窗们以学习小组的形式活动：一同窗举出任意一分数，另一同窗将此分数表示成小数，并总结此小数的形式。
北师大版八年级上册数学全册教案
备课教案学校：将乐县第四中学备课人：陈流财班级：八（4）2016年9月八年级数学上册教学计划一、学情分析八年级是初中学习过程中的关键时期，在我们班上，两极分化问题很是严重，对优等生来说他们能够理解知识形成技能具备一定的数学能力，而对后进生来说简单的基础知识还不能够掌握成绩不容乐观。
为使学生学好进一步学习所必需的代数、几何的基础知识与基本技能，进一步培养学生运算能力、发展思维能力和空间观念，使学生能够运用所学知识解决实际问题，逐步形成数学创新意识，作为教师，我将实行因材施教策略。
二、教材内容分析本学期数学内容包括第一章《勾股定理》、第二章《实数》，第三章《图形的平移与旋转》，第四章《四边形性质探索》，第五章《位置的确定》，第六章《一次函数》, 第七章《二元一次方程组》，第八章《数据的代表》。
第一章《勾股定理》的主要内容是勾股定理的探索和应用。
第二章《实数》主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的概念和运算。
本章的内容虽然不多，但在初中数学中占有十分重要的地位。
第三章《图形的平移与旋转》主要内容是生活中一些简单几何图形的平移和旋转。
第四章《四边形性质探索》的主要内容是四边形的有关概念、几种特殊的四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形）的性质和判定以及三角形、梯形的中位线。
第五章《位置的确定》主要讲述平面直角坐标系中点的确定，会找出一些点的坐标。
第六章《一次函数》的主要内容是介绍函数的概念，以及一次函数的图像和表达式，学会用一次函数解决一些实际问题。
第七章《二元一次方程组》要求学会解二元一次方程组，并用二元一次方程组来解一些实际的问题。
第八章《数据的代表》主要讲述平均数和中位数、众数的概念，会求平均数和能找出中位数及众数。
三、教学目标要求上半学期完成第一章到第四章第四节，下半学期完成第四章第五节到本册教材结束。
掌握平方根与立方根、实数、平面坐标系、一次函数、勾股定理、四边形性质等知识并形成相应数学技能。
北师大版数学八年级上册1《数怎么又不够用了》说课稿3
北师大版数学八年级上册1《数怎么又不够用了》说课稿3一. 教材分析《数怎么又不够用了》是北师大版数学八年级上册第一单元的第一课时，本节课的主要内容是负数的引入和初步认识。
学生在七年级已经学习了有理数，对正数和负数有了初步的了解，但是还没有系统地学习负数。
本节课通过实例和activities 引导学生认识和理解负数，为后续的数学学习打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对有理数有了初步的认识，但是对负数的理解还不够深入。
学生对负数的认识可能还停留在日常生活中，如温度、高度等方面。
因此，在教学过程中，我们需要通过实例和 activities 引导学生从数学的角度理解和认识负数，提高他们的数学思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：通过实例和 activities，让学生了解负数的引入和初步认识，掌握负数的定义和性质，能够正确地表示和理解负数。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论和探究，培养学生自主学习和合作学习的能力，提高他们的数学思维能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学与生活的紧密联系，培养学生的数学兴趣，提高他们的数学素养。
四. 说教学重难点1.教学重点：负数的引入和初步认识，负数的定义和性质。
2.教学难点：负数的理解和应用，负数的运算。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、实例教学法、小组合作法、讨论探究法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片、黑板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入：通过日常生活实例，如温度、高度等，引导学生感受负数的存在，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍负数的定义和性质，让学生理解负数的概念。
3.实例分析：通过具体的例子，让学生理解和掌握负数的表示方法，如-3、-5 等。
4.小组合作：让学生进行小组合作，讨论和探究负数的性质，如负数的加减法、乘除法等。
5.总结提升：对负数的学习进行总结，强调负数在实际生活中的应用。
2.1 数怎么又不够用了(第1课时)课件 (北师大版八年级上)
h C
B
5.长,宽分别是3，2的长方形，它的对角线的 长可能是整数吗？可能是分数吗？
3分钟 感受有理数又不够用了 1.通过拼图活动，_____________________ 。 有理数或不是有理数 。 2.会确定一个数是______________________
欣赏有趣的图形：
1
1
毕达哥拉斯树 螺形图
学生自学，教师巡视（5分钟）
自学检测1：（6分钟）
有理数能完全满足我们的生活需要吗？
问:(1)a可能是整数吗？ (2)a可能是分数吗？
a 2
2
a
点拨
a 2
2
a2=2，1<a2<4 ， 得到1<a <2， a一定不是整数； 因为 a2=2，
a aa
说明数真的不够用了
所以 a一定不是分数。
在等式a 2=2中，a既不是整数， 也不是分数，那么a一定不是有理 数。
当堂训练：（15分钟） （A型）
1.若x2=8，则x是整数吗？是分数吗？是有理
数吗？
2.面积为6的长方形，长是宽的2倍，则宽为（ C ）
A、小数 B、分数 C、不是有理数
D、不能确定
3.在直角三角形ABC中，∠C＝90°若a＝2， b＝3，则c满足什么条件？C是有理数吗？
C2=13
（B型）
4.如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h A 可能是整数吗？可能是分数吗？
第二章
实数
2.1 数怎么又不够用了
学习目标：（1分钟）
1、体会生活中确实存在着不是有理 数的数。 2、感受数真的不够用了。
自学指导1 (2分钟） 自学课本P32 做一做前的内容，动手完成拼图 活动，解决下列问题： 1.大正方形面积是多少？ 2.设大正方形边长是a,a满足什么条件？ 3. a可能是整数吗？为什么？ 4.a可能是分数吗？为什么？
北师大版数学八年级上册1《数怎么又不够用了》教学设计1
北师大版数学八年级上册1《数怎么又不够用了》教学设计1一. 教材分析《数怎么又不够用了》是北师大版数学八年级上册第一单元的第一节课。
本节课主要介绍了有理数的乘方和平方根的概念。
学生在七年级已经学习了有理数的概念，对本节课的内容有一定的认知基础。
但是，乘方和平方根的概念对学生来说较为抽象，需要通过实例和练习来加深理解。
教材通过丰富的例题和练习，帮助学生掌握有理数的乘方和平方根的求法，并能应用于实际问题中。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于有理数的概念和运算规则有一定的了解。
但是，对于乘方和平方根的概念，学生可能较为陌生，需要通过具体的例子和实际操作来理解和掌握。
学生的学习兴趣较高，对于新知识有一定的探究欲望。
三. 教学目标1.理解有理数的乘方和平方根的概念。
2.掌握有理数的乘方和平方根的求法。
3.能够运用有理数的乘方和平方根解决实际问题。
四. 教学重难点1.教学重点：有理数的乘方和平方根的概念，以及它们的求法。
2.教学难点：理解乘方和平方根的内在联系，以及如何运用它们解决实际问题。
五. 教学方法1.实例教学：通过具体的例子来讲解乘方和平方根的概念，让学生通过观察和操作来理解。
2.问题驱动：提出问题，引导学生思考和探究，激发学生的学习兴趣。
3.练习巩固：通过大量的练习题，让学生巩固所学知识，并及时发现并解决问题。
六. 教学准备1.PPT课件：制作精美的PPT课件，配合实例和练习，清晰展示乘方和平方根的概念和求法。
2.练习题：准备一定数量的练习题，包括基础题和提高题，以巩固学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：“一个小球从地面抛出，上升到10米高，然后落回地面，求小球上升和下降的距离的平方根。
”让学生思考和讨论，引出平方根的概念。
2.呈现（15分钟）通过PPT课件，展示乘方和平方根的定义和性质。
用具体的例子来解释乘方和平方根的概念，让学生通过观察和操作来理解。
教学设计 八年级数学
义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册《数怎么又不够用了》教学设计《数怎么又不够用了》教学设计年级八年级科目数学授课时间45分钟课时共2课时课题名称 2.1数怎么又不够用了教材北师大数学八年级上册第二章《实数》第一节第一课时一、学生起点分析八年级学生已经在学习《有理数》的过程中体会到数不够用了，刚刚学完《勾股定理》，再次感受到需要研究新的数了.在此基础上，学生能在“自学—展示—点评—当堂训练”的驾驭式自主高效课堂模式中积极参与讨论问题，大胆发表自己的见解和看法，从非常直观的操作中发现问题，实现数的发展.二、教学内容分析：《数怎么又不够用了》是初中阶段的第二次数系扩充的入门课，在七年级学生经历了数系的第一次扩充——在小学的非负有理数知识基础上引进负数，让学生对数的了解扩充到有理数范围。
这一章通过引入无理数，将有理数扩充到实数范围内，是初中阶段第二次数系的扩张。
本节课也是这第二次数系扩充的最关键的一步——无理数的引入。
这一节课主要让学生产生认知冲突，感受到引入新数的必要性，认识到生活中大量存在这样的新数。
三、教材任务分析《数怎么不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节. 本节内容安排了2个课时完成，第1课时让学生感受数的发展，建立无理数的概念，第2课时借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数.这是第1课时，学生将在具体的背景中，通过操作、估算、分析等活动，感受无理数的产生的实际背景和引入的必要性，并能判断一个数是无理数，并能说出理由.四、教学目标分析（一）教学目标知识与技能目标1．通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.2．能判断给出的数是否为无理数，并能说出理由.过程与方法目标1．学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养学生的动手能力和合作精神.2．通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断识别某些数是否为有理数、无理数，训练他们的思维判断力.3．借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.情感与态度目标1．激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情.2．引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作精神与钻研精神，借助计算器进行估算.学生对展示的答案进行点评，修改，讲解学生根据自学指导 进行问题展示3．了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋半的献身精神. （二）教学重点1．让学生经历无理数发现的过程，感知生活中确实存在着不同于有理数的数.2．会判断一个数是否为有理数，是否不是有理数. 3．用计算器进行无理数的估算. （三）教学难点1．把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.2．判断一个数是不是有理数.五、教学学法1．教学方法：自主学习、学生展示、学生点评与合作交流、老师点评、当堂检测相结合，实现学教滚动，小步快进，让学生动起来，活起来. 2．课前准备：导学案，多媒体，两个边长为1的正方形，剪刀，短绳.六、教学过程：本节课设计六个教学环节；第一环节：学习目标展示；第二环节：导学指导与检测；第三环节：三讲环节；第四环节：当堂训练；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置.教学流程框图：让学生对展示中出现的难点进行讨论学生根据自学指导进行自学学生自主学习学习目标展示当堂训练三讲环节展示学习目标 1、通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性．2、会判断一个数是不是有理数导学指导与检测1.参考课本32页，让学生动手操作：将两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形。
北师大版数学八年级上册1《数怎么又不够用了》说课稿1
北师大版数学八年级上册1《数怎么又不够用了》说课稿1一. 教材分析北师大版数学八年级上册1《数怎么又不够用了》这一节主要是引导学生认识有理数，并通过实际问题引入有理数的分类。
教材通过简单的实例让学生感受实数系统的完整性，从而引出有理数的概念。
这一节内容是整个初中数学的基础，对于学生来说非常重要。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数的基本概念，对于实数的性质和运算有一定的了解。
但是，对于有理数的概念和分类，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要通过生动的实例和实际问题，让学生理解和掌握有理数的概念和分类。
三. 说教学目标1.让学生理解有理数的概念，掌握有理数的分类。
2.培养学生运用有理数解决实际问题的能力。
3.培养学生合作交流的能力，提高学生的数学素养。
四. 说教学重难点1.有理数的概念和分类。
2.有理数的运算。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，让学生在解决问题的过程中理解和掌握有理数的概念和分类。
2.使用多媒体课件，通过生动的实例和实际问题，帮助学生理解和掌握有理数的概念和分类。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在合作交流中提高数学素养。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考实数系统的完整性，引出有理数的概念。
2.新课讲解：通过多媒体课件，生动地展示有理数的实例和实际问题，帮助学生理解和掌握有理数的概念和分类。
3.课堂练习：让学生通过实际的练习题，巩固对有理数概念和分类的理解。
4.小组合作：让学生分组讨论和解决实际问题，提高学生的合作交流能力和数学素养。
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调有理数的概念和分类，提醒学生注意有理数的运算。
七. 说板书设计板书设计主要包括有理数的概念和分类，以及有理数的运算公式。
通过板书，让学生清晰地了解有理数的基本概念和运算方法。
八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、作业完成情况和课堂练习的成绩来进行。
对于掌握有理数概念和分类的学生，可以给予表扬和鼓励，对于还没有完全掌握的学生，需要个别辅导和指导。
2.1 同步素材 数怎么又不够用了(北师大版八年级上册)2
（二）、探究实数的相反数、倒数、绝对值．
学习建议：请同学们结合课本55页的内容认真思考、 小组合作、积极交流探讨完成以上探究，完成后小组展示 你们组所探讨的成果．
通过今天的学习,说说你的收获和体会?
１、实数的定义： 有理数和无理数统称为实数． ２、实数的分类： 有理数 实数 无理数 实数
正实数 正无理数 0 负有理数 负实数 负无理数
《数学》(北师大版八年级上册)
§2.6.1 实 数
兰州市第五十六中学 刘海军
3
学生观察下列所给出的数字，并思考教师提出 的问题．教师把制作好的卡片提前发给学生，让学 生根据自己的思路贴入相对应的集合中． 5 1 2， ， ， ， ， 2 ， 20 ， 5， 3 8 ， 4 ， 2 4 9 3
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； 反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实 数和数轴上的点是一一对应的．
实数 a
-2
-1
Ａ
0
1
2
实数的相反数、倒数、绝对值: a 是一个实数，则
（1）相反数：a与 a 互为相反数；0的相反数仍是 0 ； （2）倒 数）； （3）绝对值：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它 的相反数；0的绝对值是0； 即：
正有理数
３、实数与数轴上点之间的对应关系： 实数与数轴上的点是一一对应的． ４、实数的相反数、倒数、绝对值： 实数和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义 完全相同．
请同学们认真完成导学案中当堂 检测．
1.课本习题2.8的知识技能1、2、3； 2.预习实数第二课时．
实数与数轴上的点的对应关系：
| a |
1 数：当 a 0 时，a与 a 互为倒数（0没有倒
2.1 课件 数怎么又不够用了(北师大版八年级上册)4
4. 96,
…
..
2 , 3
-5.232332…
, 12334567891011… 3
…
有理数集合
无理数集合
例2 判断题
？
（
(1)有限小数是有理数;
√） √）
(2)无限小数都是无理数; （ ╳ ）
(3)无理数都是无限小数; （
(4)有理数是有限小数.
（ ╳ ）
强 调
1.无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或
δ=1,于是就等于π了.
1706年英国的数学家威廉.琼斯(WillianJones,1675~1749)首
先改用π表示圆周率,后来被数学家们所接受,一直沿用至今.
数够用了吗?
再见!!!
a是有理数吗?
解:由勾股定理得:a2=32+52,即
a2=34.因为34不是完全平方数，
所以a不是有理数.
5
a
3
五、练一练
1.随堂练习. 2.习题2.2. 3.家庭作业:学习丛书.
本课小结:
1.无理数的定义.
2.数的分类. 3.判定一个数是无理数还是有理数.
设计面积为5π的圆的半径为.
(1)a是有理数吗?说说你的理由.
1 1
1
1
1
1 1
1
1 2 1 2 1 2
1
1 2
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
a 2 a
2
.
a 2
2
小组讨论：
a
a a
a a
a a
北师大版八年级上册1认识无理数第二章：2.1数怎么又不够用了课程设计 (2)
北师大版八年级上册1认识无理数第二章：2.1数怎么又不够用了课程设计一、前言本课程设计是为了帮助八年级学生更好地理解数的概念和发展历程，以及认识无理数的本质和应用。
本设计将围绕“数怎么又不够用了”的问题展开，通过多种方式引导学生深入探究无理数的特性和应用，培养学生的思考能力和数学素养。
二、设计目标1.知识目标•了解数的发展历程，认识无理数的本质和特性；•掌握无理数的表示方法和基本运算法则；•了解无理数在实际生活中的应用。
2.能力目标•培养学生的探究精神和创新思维，引导学生探究无理数的本质和应用；•培养学生的数学思维和解题能力，提高数学素养。
3.情感目标•培养学生的数学兴趣，增强对数学的理解和热爱；•培养学生的团队合作和交流能力，提高集体荣誉感和归属感。
三、教学内容1.数的概念和发展历程•数的起源和发展历程；•数的概念，整数、有理数、无理数的区别和联系。
2.无理数的本质和特性•真分数与带小数的关系；•无理数的本质和特性；•无理数的表示方法。
3.无理数的运算法则•无理数的加减法和乘除法；•计算实例和解题方法。
4.无理数在实际生活中的应用•金融、科学、艺术等方面的实际应用；•珂朵莉数和黄金分割数。
四、教学过程设计1.导入（15分钟）教师通过提问和讲解，引导学生回顾数的概念和发展历程，并以“数怎么又不够用了”为引子，引导学生思考数的发展历程和无理数的本质。
2.讲解和探究（35分钟）教师讲解无理数的概念和特性，介绍无理数的表示方法和运算方法，并以具体的计算实例和解题方法，引导学生深入探究无理数的运算规律和特性。
3.练习和讨论（35分钟）学生分组进行小组竞赛，在学生组内通过“小组竞赛”的方式，鼓励学生深入探究无理数的本质和应用，提高学生的数学思维和解题能力。
4.评价（15分钟）教师通过出题、批改、分析等形式，对学生的学习进行评价和反馈，包括学生的思考能力、探究能力、解题能力和团队合作能力等，以及对学生的数学素养进行综合评价。
北师大版八年级数学上册《2.1 数不够用了(第2课时)》课件
无理数的概念
(2)边长a的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索. (3)小明将他的探索过程整理如下,你的结果呢?
边长a
面积S
1<a<2
1<S<4
1.4<a<1.5
D
面积为3的正方形的边长为a．(1)a的整数部分是几？(2)估计a的值．(结果精确到百分位)分析：利用“夹逼法”进行估计即可．
无理数的估计
解：(1)因为a2=3,1＜3＜4， 所以1＜a＜2， 所以a的整数部分为1． (2)当1.7＜a＜1.8时，
无理数的估计
2.89＜a2＜3.24，所以a的十分位是7．当1.73＜a＜1.74时，2.9929＜a2＜3.0276，所以a的百分位是3．所以a≈1.73 ．
1. 判断题
×
√
√
×
2.以下各正方形的边长是无理数的是（ ）
A.面积为25的正方形； B.面积为的正方形；C.面积为8的正方形； D.面பைடு நூலகம்为1.44的正方形.
C
3 .下列各数，是大于-4而小于-3的无理数的是（ ）A.-2.56879 B.-3.121221222…C.-2. D.2.383883888…4.请你写出一个大于2且小于4的无理数: .
C
2. 下列整数中，与最接近的整数是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
C
B
(1)有限小数是有理数; （ ）(2)无限小数都是无理数; （ ）(3)无理数都是无限小数; （ ）(4)有理数是有限小数. （ ）
含有圆周率型：例如：π，0.7π
北师大版八年级数学上册第二章《实数》学案
第二章 实数1．数怎么不够用了课型及教学方法 概念课 启发式学习目标 1、了解无理数的产生 2、理解无理数的概念 3、会判断一个数是否无理数学习重点 无理数概念的理解 ；会判断无理数学习难点 无理数概念的理解一、章节引入内容：a .小红是刚升入八年级的新生，一个周末的上午，当工程师的爸爸给小红出了两个数学题：（1）两个数3.252525……与3.252252225……一样吗？它们有什么不同？（2）一个边长为6cm 的正方形木板，按如图的痕迹锯掉四个一样的直角三角形.请计算剩下的正方形木板的面积是多少？剩下的正方形木板的边长又是多少厘米呢？你能帮小红解决这个问题吗？b .你能求出面积为2的正方形的边长吗？你知道圆周率 的精确值吗？它们能用整数或分数（即有理数）来表示吗？二：引入（一）发现新数内容：将课前已准备好的两个边长为1的小正方形剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形.在学生活动的基础上，教师利用多媒体展示其中一种剪拼过程，并抛出下面的议一议： （1）设大正方形的边长为a ，a 应满足什么条件？（2）满足：a 2=2的数a 是一个什么样的数？a 可能是整数吗？说明你的理由？（3）a 可能是分数吗？说说你的理由？ 引出课题《数怎么又不够用了》内容： 面积为5的正方形，它的边长b 可能是有理数吗？说说你的理由。
三：，学生阅读34、35页，知识分类整理内容：有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数数整数分数到目前为止我们所学过的数可以分为几类？四：知识运用与巩固内容：认识一个数是无理数还是有理数. 例1 填空: 0.351, -32, 3.14159, -5.2323332…,3， 1234567891011…(由相继的正整数组成).例2 判断下列说法是否正确:(1)有限小数是有理数; （ ） (2)无限小数都是无理数; （ ） (3)无理数都是无限小数; （ ） (4)有理数是有限数. （ ）例3 以下各正方形的边长是无理数的是（ ） （A ）面积为25的正方形； (B) 面积为254的正方形； (C) 面积为8的正方形； (D) 面积为1.44的正方形. 强调:1. 无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.2. 任何一个有理数都可以化成分数qp形式（p ，q 为整数且互质），而无理数则不能. 练一练： 课本P 33、36 随堂练习.第五个环节：课时小结1．什么叫无理数？2．数的分类？3．如何判定一个数是无理数还是有理数.作业习题2.2，2.2补充：利用方程思想将无限循环小数化为分数师生备注：有理数集合 无理数集合… … ..,96.4第二章 实数2. 平方根（一）课型及教学方法 概念课 阅读理解课学习目标1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．2．了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．3．了解算术平方根的性质． 教学重点：了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根． 教学难点：对算术平方根的概念和性质的理解．一、导入阅读理解：38-39页内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空： x 2= ，y 2= ，z 2= ，w 2= ．算术平方根的概念：一般地，如果 那么 ，记为 ，读作“根号a ”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00 ．性质：1、非负性 2、负数没有算术平方根 3、非负数的算术平方根只有一个 典型例题：例1 求下列各数的算术平方根：（1）900； （2）1； （3）6449； （4）14． （4）14的算术平方根是14．：例2 自由下落物体的高度h （米）与下落时间t （秒）的关系为h =4.9t 2．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？ ．反馈练习一、填空题：1．若一个数的算术平方根是7，那么这个数是 ；11 1 1 1 A B O CD E x yzw2．9的算术平方根是 ； 3．2)32(的算术平方根是 ； 4．若22=+m ，则2)2(+m = ． 二、求下列各数的算术平方根：36，144121，15，0.64，410-，225，0)65(． 三、如图，从帐篷支撑竿AB 的顶部A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C 到帐篷支撑竿底部B 的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？ （补充）例 已知042=++-y x ，求x y 的值．小结（1）算术平方根的概念，式子a 中的双重非负性：一是a ≥0，二是a ≥0．（2）算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．（3）求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．第六环节：作业布置习题2.3备选习题：内容：1．已知()0232212=++++-z y x ，求x+y+z 的值． 2．若x ，y 满足52112=+-+-y x x ，求xy 的值． 3．求55=-+x x 中的x ．4．若115+的小数部分为a ，115-的小数部分为b ，求a +b 的值．5．△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ，b 满足04412=+-+-b b a ，求c 的取值范围师生备注：CB A２．平方根（二）课型及教学方式 概念课 阅读理解学习目标：1.了解平方根、 开平方的概念.2.明确算术平方根与平方根的区别和联系. 3.进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系. 重点:平方根的概念、性质、运算教学难点:1. 平方根与算术平方根的区别和联系.（一）复习1．什么叫算术平方根?3的平方等于9，那么9的算术平方根就是____3______.52的平方等于 254 ，那么254 的算术平方根就是_____52_________.展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长___7_____米. 问题：平方等于9，254,49的数还有吗？第二环节 : 新课学习 （一）探究新知填空：32=(9 )(-3)2=(9 ) ( )2=9 02=0(12)2=(14)()214= (不存在)2=-4(12-)2=(14)阅读40-41页：形成概念(1)一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根.而把正的平方根叫算术平方根。
八年级数学上册(2.1 数又不够用了)教学设计 北师大版 教案
数又不够用了一、教学内容与分析：（一）内容：建立无理数的概念，借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数。
（二）分析：让学生感受数的发展，建立无理数的概念，借助计算器感受无理数是无限不循环小数，并能结合实际判别有理数和无理数，同时在活动中进一步发展学生独立思考和合作交流的意识和能力，而且在学习中领悟数学知识来源于生活，体会数学知识与现实世界的联系.而且对今后学习数学也有着重要意义. 二、教学目标与分析： ( 一)目标:1．通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.2．能正确地进行推理和判断识别某些数是否为有理数、无理数，训练他们的思维判断力，并能说出理由. （二）分析：通过学生活动准确认识到有理数都可以划成有限小数和无限循环小数，通过对有理数的相关知识的归纳和总结，能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类.无限不循环小数是无理数。
三、问题诊断分析：本节课学生可能出现的问题是有理数与无理数概念的区别。
特别注意，任何有限小数和无限循环小数都是有理数. 四、教学支持条件分析： 五、教学过程： （一）、想一想 1. 有理数如何分类的？整数（如-1，0，2，3，…):都可看成有限小数有理数分数(如-31，52，119，… )：可不可能都化成有限小数或无限小数? 2、.直角边长分别为3和1的直角三角形的斜边长是不是有理数？（二）、探究1、a 2=2中的a 是有理数吗？为什么？2、面积为5的正方形，它的边长b 可能是有理数吗？说说你的理由。
3、a 2=2，b 2=5中的a ，b 既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？ （三）、活动与探究1、探索无理数的小数表示：借助计算器以小组讨论的形式对 面积为2的正方形的边长a 和面积为5的正方形的边长b 进行估计.归纳总结:a ，b 既不是整数，也不是分数，则a ，b 一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数.2、探索有理数的小数表示，明确无理数的概念请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式。
八年级数学上册 第二章 实数教案 北师大版 教案
第二章实数§2.1.1 数怎么又不够用了(一)知识与技能目标：1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出现由.过程与方法目标：1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神.2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力.情感态度与价值观目标：1.激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情.2.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神.3.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的献身精神.教学重点1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.2.会判断一个数是否为有理数.教学难点1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.2.判断一个数是否为有理数.教学方法师生共同讨论法.教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.教具准备有两个边长为1的正方形，剪刀.投影片两张：第一张：做一做(记作§2.1.1 A)；第二张：补充练习(记作§2.1.1 B).教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课［师］同学们,我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢?［生］在小学我们学过自然数、小数、分数.［生］在初一我们还学过负数.［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.Ⅱ.讲授新课1.问题的提出［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？［生］好.(学生非常高兴地投入活动中).［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请同学们把自己拼的图展示一下.同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下：下面再请大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？［生甲］a是正方形的边长，所以a肯定是正数.［生乙］因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知a2=2.［生丙］由a2=2可判断a应是1点几.［师］大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a 是整数吗？a 是分数吗？请大家分组讨论后回答.［生甲］我们组的结论是：因为12=1，22=4，32=9，…整数的平方越来越大，所以a 应在1和2之间，故a 不可能是整数.［生乙］因为913131,943232,412121=⨯=⨯=⨯，…两个相同因数的乘积都为分数，所以a 不可能是分数. ［师］经过大家的讨论可知，在等式a 2=2中，a 既不是整数，也不是分数，所以a 不是有理数，但在现实生活中确实存在像a 这样的数，由此看来，数又不够用了.2.做一做 投影片§2.1.1 A(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？(2)设该正方形的边长为b ，则b 应满足什么条件？ (3)b 是有理数吗？［师］请大家先回忆一下勾股定理的内容.［生］在直角三角形中，若两条直角边长为a ，b ，斜边为c ，则有a 2+b 2=c 2.［师］在这个题中，两条直角边分别为1和2，斜边为b ，根据勾股定理得b 2=12+22，即b 2=5，则b 是有理数吗？请举手回答.［生甲］因为22=4，32=9，4＜5＜9，所以b 不可能是整数. ［生乙］没有两个相同的分数相乘得5，故b 不可能是分数. ［生丙］因为没有一个整数或分数的平方为5，所以5不是有理数.［师］大家分析得很准确，像上面讨论的数a ，b 都不是有理数，而是另一类数——无理数.关于无理数的发现是发现者付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a 2=2中的a 不是有理数.我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.Ⅲ.课堂练习 (一)课本P 25随堂练习如图，正三角形ABC 的边长为2，高为h ，h 可能是整数吗？可能是分数吗？解：由正三角形的性质可知BD =1，在Rt △ABD 中，由勾股定理得h 2=3.h 不可能是整数，也不可能是分数.(二)补充练习 投影片(§2.1.1 B)为了加固一个高2米、宽1米的大门，需要在对角线位置加固一条木板，设木板长为a 米，则由勾股定理得a 2=12+22，即a 2=5，a 的值大约是多少？这个值可能是分数吗？解：a 的值大约是2.2，这个值不可能是分数. Ⅳ.课时小结1.通过拼图活动，让学生感受有理数又不够用了，经历无理数产生的实际背景和引入的必要性.2.能判断一个数是否为有理数.Ⅴ.课后作业(一)课本P49习题2.1解：设长、宽分别为3、2的长方形的对角线长为a，得a2=32+22，a2=13a不可能是整数，也不可能是分数.(二)预习内容：P49~P51预习提纲：(1)借助计算器，采用估算的方法探索a2=2中的a的大小.(2)无理数的概念.(3)会判断一个数是有理数或无理数.Ⅵ.活动与探究下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段.解：如图，AB=2，BE=1，AB、BE是有理数.AD2=AB2+BD2=22+32=13，AC2＝1＋1＝2.AE2=AB2+BE2=22+12=5.AC、AD、AE既不是整数，也不是分数，所以不是有理数.板书设计§2.1.1 数怎么又不够用了(一)一、问题的提出(讨论a2=2中的a既不是整数，也不是分数)二、做一做(由勾股定理得b2=5，且b既不是整数，也不是分数)三、练习四、小结五、作业§2.1.2 数怎么又不够用了(二)知识与技能目标：1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.2.会判断一个数是有理数还是无理数.过程与方法目标：1.借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.2.探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练大家的思维判断能力.情感态度与价值观目标：1.让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力.2.充分调动学生的积极性，培养他们的合作精神，提高他们的辨识能力.教学重点1.无理数概念的探索过程.2.用计算器进行无理数的估算.3.了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断.教学难点1.无理数概念的建立及估算.2.用所学定义正确判断所给数的属性.教学方法老师指导学生探索法教具准备计算器.投影片三张：第一张：补充练习(记作§2.1.2 A);第二张：补充练习(记作§2.1.2 B)；第三张：补充练习(记作§2.1.2 C).教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］同学们，我们在上节课了解到有理数又不够用了，并且我们还发现了一些数，如a2=2,b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它的真面目.Ⅱ.讲授新课1.导入［师］请看图大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.［生］因为3个正方形的面积分别为1，2，4，而面积又等于边长的平方，所以面积大的正方形边长就大.［师］大家能不能判断一下面积为2的正方形的边长a的大致范围呢？［生］因为a2大于1且a2小于4，所以a大致为1点几.［师］很好.a肯定比1大而比2小，可以表示为1＜a＜2.那么a究竟是1点几呢？请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢？如1.12=1.21，1.22=1.44，1.32=1.69，1.42=1.96，1.52=2.25，而a2=2，故a应比1.4大且比1.5小，可以写成1.4＜a＜1.5，所以a是1点4几，即十分位上是4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字.［生］因为1.412=1.9881，1.422=2.0164，所以a应比1.41大且比1.42小，所以百分位上数字为1.［生］因为1.4112=1.990921，1.4122=1.993744，1.4132=1.996569，1.4142=1.999396，1.4152=2.002225，所以a应比1.414大而比1.415小，即千分位上的数字为4.［生］因为1.41422=1.99996164，1.41432=2.00024449，所以a应比1.4142大且比1.4143小，即万分位上的数字为2.［师］大家非常聪明，请一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格的形式反映出来.［生］我的探索过程如下.边长a 面积S1＜a＜2 1＜S＜41.4＜a＜1.5 1.96＜S＜2.251.41＜a＜1.42 1.9881＜S＜2.01641.414＜a＜1.415 1.999396＜S＜2.0022251.4142＜a＜1.4143 1.99996164＜S＜2.00024449［师］还可以继续下去吗？［生］可以.［师］请大家继续探索，并判断a是有限小数吗？［生］a=1.41421356…，还可以再继续进行，且a是一个无限不循环小数.［师］请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.边长b会不会算到某一位时，它的平方恰好等于5？请大家分组合作后回答.(约4分钟)［生］b=2.236067978…，还可以再继续进行，b也是一个无限不循环小数.［生］边长b不会算到某一位时，它的平方恰好等于5，但我不知道为什么.［师］好.这位同学很坦诚，不会就要大胆地提出来，而不要冒充会，这样才能把知识学扎实，学透，大家应该向这位同学学习.这个问题我来回答.如果b 算到某一位时，它的平方恰好等于5，即b 是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是5，所以b 不可能是有限小数.2.无理数的定义请大家把下列各数表示成小数. 3，112,458,95,54，并看它们是有限小数还是无限小数，是循环小数还是不循环小数.大家可以每个小组计算一个数，这样可以节省时间.［生］3=3.0，54=0.8，95=•5.0，•=71.0458，••=818.1112［生］3，54是有限小数，112,458,95是无限循环小数.［师］上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数.像上面研究过的a 2=2,b 2=5中的a ，b 是无限不循环小数. 无限不循环小数叫无理数(irrational number).除上面的a ，b 外，圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，0.5858858885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.3.有理数与无理数的主要区别(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.(2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能. 4.例题讲解下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14，－34，••75.0，0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).解：有理数有3.14，－34，••75.0.无理数有0.1010010001…. Ⅲ.课堂练习 (一)随堂练习下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.4583，•7.3，－π，－71，18. 解：有理数有0.4583，•7.3，－71，18.无理数有－π. (二)补充练习 投影片(§2.1.2 A)解：(1)错.例π－1是无理数. (2)错.例•5.1是有理数.(3)对.因为无理数就是无限不循环小数，所以是无限小数.(4)对.因为两个符号相反的无理数之和是有理数.例π－π=0. 投影片(§2.1.2 B)解：有理数有0.351，－••69.4,32，3.14159，无理数有－5.2323332…，123456789101112…. 投影片(§2.1.2 C)在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数.［生］有理数集合填0，115，－3. 无理数集合填－π，－23π，0.323323332….Ⅳ.课时小结本节课我们学习了以下内容. 1.用计算器进行无理数的估算. 2.无理数的定义.3.判断一个数是无理数或有理数. Ⅴ.课后作业 1.P 30习题2.2. 2.预习内容：平方根. Ⅵ.探究与活动设面积为5π的圆的半径为a . (1)a 是有理数吗？说说你的理由.(2)估计a 的值(精确到十分位，并利用计算器验证你的估计). (3)如果精确到百分位呢？ 解：∵πa 2=5π ∴a 2=5(1)a 不是有理数，因为a 既不是整数，也不是分数，而是无限不循环小数. (2)估计a ≈2.2. (3)a ≈2.24. 板书设计§2.1.2 数怎么又不够用了一、导入 二、新课 1.无理数的定义2.举例 三、练习 四、补充练习 五、课时小节 六、课后作业§2.2.1 平方根(一)知识与技能目标：1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.2.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根.3.了解算术平方根的性质. 过程与方法目标：1.加强概念形成过程的教学，提高学生的思维水平.2.鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神. 情感态度与价值观目标：1.让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲.2.训练学生动脑、动口、动手能力.教学重点了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根. 教学难点了解算术平方根的概念、性质.教学方法导学法.教具准备投影片两张：第一张：例题(记作§2.2.1 A)；第二张：补充练习(记作§2.2.1 B).教学过程Ⅰ.新课导入上节课我们学习了无理数、了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.比如在a2=2中，2是有理数，而a是无理数.在前面我们学过若x2=a，则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课我们就来一起研究这个问题.Ⅱ.讲授新课［师］在讲新课之前，我们先回忆一下勾股定理，请同学们回答.［生］勾股定理就是在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.［师］下面请大家根据勾股定量，结合图形完成填空.投影片：(§2.2.1A)根据下图填空x2=_________y2=_________z2=_________w2=_________［师］请大家思考后回答.［生］x2=2,y2=3,z2=4,w2=5.［师］请大家再分析一下，x，y，z，w中哪些是有理数？哪些是无理数？［生］x，y，w是无理数，z是有理数.［师］为什么呢？［生］因为没有任何整数或分数的平方等于2，3，5，所以x，y，z不是有理数，而22=4，所以z=2.［师］这位同学分析得非常正确，那么大家能不能把上图中的x，y，z，w表示出来呢？请大家仔细看书后回答.［生］x=2,y=3,z=4,w=5.［师］若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x就叫做a的算术平方根.记为“a”读作“根号a”.这就是算术平方根的定义.特别地规定0的算术平方根是0，即0=0.［师］下面我们根据算术平方根的定义求一些数的算术平方根.［例1］求下列各数的算术平方根：(1)900；(2)1；(3)6449；(4)14.解：(1)因为302=900，所以900的算术平方根是30，即900=30；(2)因为12=1，所以1的算术平方根是1，即1=1；(3)因为,6449)87(2=所以6449的算术平方根是87，即876449=； (4)14的算术平方根是14.通过上面的例题，大家思考一下，我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？ ［生］是通过平方来求的.［师］对.由此我们可以看出一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算.而且我们在例题中的步骤采取语言叙述和符号表示互相补充的做法，目的是让大家明白算术平方根的概念，以及从计算中进一步体会一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算.在以后的步骤中可以简化.［例2］自由下落的物体的高度h (米)与下落时间t (秒)的关系为h =4.9t 2.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？解：将h =19.6代入公式h =4.9t 2得 t 2=4,所以t =4=2(秒) 即铁球到达地面需要2秒.［师］下面大家再观察一下刚才咱们求出的算术平方根有什么特点.［生甲］算术平方根是整数或分数，即为有理数.［生乙］不对，那14是不是有理数？若是则是，分数还是整数？［生丙］因为没有任何一个整数或分数的平方等于14，所以14不是有理数，而是无理数. ［师］大家的分析都有道理，我提示一下从符号方面考虑. ［生甲］噢，算术平方根是正数，如14,5,3,2，2.［生乙］不对，还有零呢.正数的算术平方根是正数，零的算术平方根为零.［师］非常正确，那负数的算术平方根是否为负数呢？若(－2)2=4.则4=－2对吗？或者4-=－2对吗？［生甲］不对.因为算术平方根的定义是一个正数的x 的平方等于a ，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，所以算术平方根不可能是负数.［师］由此看来，定义中的a 和x 都为正数，即算术平方根是非负数，负数没有算术平方根.用式子表示为a (a ≥0)为非负数，这是算术平方根的性质.Ⅲ.课堂练习(一)P 32随堂练习1、2题. (二)补充练习. 投影片：(§2.2.1 B)答案：一、1.5 2.32 3. 512 344.1.445.3 0.2. 二、(1);5.125.2)3(;9.39.3)9.3()2(;2.74.7222===-=(4)23412=. Ⅳ.课时小结本节课学习了算术平方根的概念，理解了求一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算，求一个非零数的算术平方根，以及算术平方根的性质，即算术平方根是非负数.Ⅴ.课后作业P 33习题1、3.Ⅵ.活动与探究1.一个正方形的面积变为原来的n倍时，它的边长变为原来的多少倍？2.一个正方形的面积为原来的100倍时，它的边长变为原来的多少倍？解：设原来的正方形边长为a，面积为S1，后来的正方形面积为S2.1.S1=a2，S2=na2(n a)2∴后来的边长(n a)为原来边长的n倍.2.S1=a2，S2=100a2=(10a)2∴后来的边长10a为原来边长的10倍.板书设计§2.2.2 平方根(二)知识与技能目标：1.了解平方根的概念、开平方的概念.2.明确算术平方根与平方根的区别与联系.3.进一步明确平方与开方是互为逆运算.过程与方法目标：1.加强概念形成过程的教学，让学生不仅掌握概念，而且知晓它的理论数据.2.提倡学生进行自学，并能与同学互相交流与合作，变学会知识为会学知识.3.培养学生的求同和求异思维，能从相似的事物中观察到P X 们的共同点和不同点.情感态度与价值观目标：通过学生在学习中互相帮助、相互合作，并能对不同概念进行区分，培养大家的团队精神，以及认真仔细的学习态度，为学生将来走上社会而做准备，使他们能在工作中保持严谨的态度，正确处理好人际关系，成为各方面的佼佼者.教学重点1.了解平方根、开平方的概念.2.了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根.3.了解平方根与算术平方根的区别与联系.教学难点1.平方根与算术平方根的区别与联系.2.负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算的原因.教学方法讨论比较法.即主要靠大家讨论得出结论，同时对相似的概念进行比较.这样不仅能正确区分这些概念，还能使学生学得更扎实.教具准备投影片两张：第一张：平方根与算术平方根的联系与区别(记作§2.2.2 A)；第二张：补充练习(记作§2.2.2 B).教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课上节课我们学习了算术平方根的概念，性质.知道若一个正数x的平方等于a，即x2=a.则x叫a的算术平方根，记作x=a，而且a也是非负数，比如正数22=4，则2叫4的算术平方根，4叫2的平方，但是(－2)2=4，则－2叫4的什么根呢？下面我们就来讨论这个问题.Ⅱ.讲授新课1.平方根、开平方的概念［师］请大家先思考两个问题.(1)9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9，还有其他的数，它的平方也是9吗？(2)平方等于254的数有几个？平方等于0.64的数呢？ ［生］－3的平方也是9.52的平方是254，－52的平方也是254，即平方等于254的数有两个. ［生］平方等于9的数有两个，平方等于254的数有两个，由此可知平方等于0.64的数也有两个.［师］根据上一节课的内容，我们知道了是9的算术平方根，52是254的算术平方根，那么－3，－52叫9、254的什么根呢？请大家认真看书后回答.［生］－3，－52分别叫9、254的平方根.［师］那是不是说3叫9的算术平方根，－3也叫9的算术平方根，即9的算术平方根有一个是3，另一个是－3呢？［生］不对.根据平方根的定义，一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个x 就叫a 的平方根(square root)，也叫二次方根，3和－3的平方都等于9，由定义可知3和－3都是9的平方根，即9的平方根有两个3和－3，9的算术平方根只有一个是3.［师］由平方根和算术平方根的定义，大家能否找出它们有什么相同和不同之处呢？请分小组讨论后选代表回答.［生］平方根的定义中是有一个数x 的平方等于a ，则x 叫a 的平方根，x 没有肯定是正数还是负数或零；而算术平方根的定义中是有一个正数x 的平方等于a ，则x 叫a 的算术平方根，这里的x 只能是正数.由此看来都有x 2=a ，这是它们的相同之处，而x 的要求不同，这是它们的不同之处.［师］这位同学分析判断能力特棒，下面我再详细作一总结. 投影片：(§2.2.2 A)［师］什么叫开平方呢？［生］求一个数a 的平方根的运算，叫开平方(extraction of square root )，其中a 叫被开方数. ［师］我们共学了几种运算呢，这几种运算之间有怎样的联系呢？请大家讨论后回答.［生］我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算.［师］大家非常聪明且爱动脑子，回答问题正确率极高，很值得表扬，希望你们能继续发扬下去. 2.平方根的性质［师］请大家思考以下问题. (1)一个正数有几个平方根. (2)0有几个平方根? (3)负数呢？［生］第一个问题在前面已作过讨论，一个正数9有两个平方根3和－3； 因为只有零的平方为零，所以0有一个平方根是零.因为任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根，例如－3没有平方根.［师］太精彩了.一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0有一个平方根是0，负数没有平方根. 3.讲解例题［例］求下列各数的平方根. (1)64；(2)12149；(3)0.0004；(4)(－25)2；(5)11. 解：(1)因为(±8)2=64，所以64的平方根是±8，即±64=±8；(2)因为(±117)2=12149，所以12149的平方根是±117，即±12149=±117；(3)因为(±0.02)2=0.0004，所以0.0004的平方根是±0.02，即±0004.0=±0.02； (4)因为(±25)2=(－25)2，所以(－25)2的平方根是±25，即±2)25(-=±25； (5)11的平方根是±11.［师］请大家口述上题中各数的算术平方根. ［生］64的算术平方根为8；12149的算术平方根为117；0.0004的算术平方根为0.02； (－25)2的算术平方根为25；11的算术平方根为11.4.想一想(1)(64)2等于多少？(12149)2等于多少？ (2)(2.7)2等于多少？(3)对于正数a ，(a )2等于多少？ 解：(1)(64)2=64；(12149)2=12149； (2)( 2.7)2=7.2；(3)(a )2=a (a ＞0)Ⅲ.课堂练习(一)随堂练习1.求下列各数的平方根1.44，0，8，49100，441，196，10－4解：因为(±1.2)2=1.44，所以1.44的平方根是±1.2，即±44.1=±1.2； 因为02=0，所以0的平方根是0. 即±0=0；因为(±8)2=8.所以8的平方根是±8； 因为49100)710(2=±，所以49100的平方根是±710，即±71049100±=； 因为(±21)2=441，所以441的平方根是±21，即±441=±21； 因为(±14)2=196，所以196的平方根是±14，即±196=±14；因为10－4=4101，(±2101)=4101，所以4101的平方根是±2101，即±410-=±4101=±2101=±1001. 2.填空(1)25的平方根是_________；(2)2)5(- =_________；(3)(5)2=_________. 解：(1)±5；(2)5；(3)5. (二)补充练习 投影片：(§2.2.2 B)1.分析：一个数有没有平方根，就看它是不是负数，是负数就没有平方根；不是负数就有平方根.解：(1)∵(－3)2=9＞0∴(－3)2有平方根 (2)∵0的平方根是它本身 ∴0有平方根 (3)∵－0.01＜0 ∴－0.01没有平方根 (4)∵－52=－25＜0∴－52没有平方根(5)当a =0时，－a 2=0，有平方根 当a ≠0时，－a 2＜0，没有平方根.(6)∵a 2－2a +2=(a －1)2+1，无论a 取何有理数，(a －1)2+1＞0 ∴a 2－2a +2有平方根. 说明：(1)负数没有平方根(2)第(4)小题容易犯错误，－52=25＞0.2.分析：根据平方与开平方互为逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根，其中292597=，(－13)2=169，－(－4)3=64，把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂.解：(1)∵(±11)2=121 ∴121的平方根是±11 即±121=±11； (2)∵(±0.1)2=0.01 ∴0.01的平方根是±0.1 即±01.0=±0.1；(3)∵292597=，(±35)2=925∴297的平方根是±35即±972=±35； (4)∵(－13)2=169，(±13)2=169 ∴(－13)2的平方根是±13即±2)13(-=±13； (5)∵－(－4)3=64，(±8)2=64 ∴－(－4)3的平方根是±8 即±3)4(--=±8.Ⅳ.课时小结 本节课学了如下内容. 1.平方根的概念. 2.平方根的性质.3.平方根与算术平方根的区别与联系.4.求某些非负数的算术平方根和平方根. Ⅴ.课后作业习题2.4. Ⅵ.活动与探究1.对于任意数a ，2a 一定等于a 吗？ 解：不一定 当a =2时，4222==a =2当a =21时，21412==a当a =0时，02=a =0当a =－2时，4)2(22=-=a =2当a －21时，41)21(22=-=a =21. 综上所述，当a ≥0时，2a =a 当a ＜0时，2a =－a2.a 中的被开方数a 在什么情况下有意义，(a )2等于什么？解：因为任意数的平方都是非负数，也就是非负数才有平方根，所以被开方数a 必须是正数或零，即非负数时有意义.当a =1时，(1)2=12=1 当a =4时，(4)2=22=4。
北师大版-数学-八年级上册-第二章第一节 数怎么不够用了
《七年级山第二章第二节 数轴》教案数轴【教学课型】：新课◆课程目标导航：【教学目标】：1．借助生活中的实例，体会引入负数的必要性和合理性、有理数应用的广泛性． 2．会判断一个数是正数和负数．3．初步学会用正、负数表示生活中具有相反意义的量．【教学重点】： 1．体验引入负数的合理性和必要性，并会用正、负数表示具有相反意义的量． 2．引导学生回顾目前为止所学过的数，并给予分类． 【教学难点】：1．用正数和负数表示具有相反意义的量． 2．正数和负数的概念．【教学工具】：中国地形图、一支温度计、小黑板 ◆教学情景导入课题导入［师］我们在小学数学里学过哪些数呢？ ［生］学过1、2、3、0、21、32、56、0．15、0．75、……等自然数、分数、小数． ［师］在小学学习过自然数，如：0，1，2，3……另外还学过分数、小数．其中0和1是两个最根本的整数．零表示“没有”，1表示计数基本单位．在整数中，2表示比1多1，3表示比2多1，4表示比3多1……依次类推，任一个自然数都可通过由零开始逐次加1得到．如果把计数单位1化小，把它分为2份、3份……，n 份，取其中的一份做单位，则这些分数单位分别是21、31……n 1．分数32，表示2个31，分数n m ，表示m 个n1． 但这些数能满足我们生活的需要吗？还会有新的数吗？◆教学过程设计出示“中国地形图”，引导学生观察，讨论并回答下列问题： （1）世界最高峰——珠穆朗玛峰海拔高8848米表示什么？ （2）吐鲁番盆地在地形图上标着－155（米）表示什么？［师生共析］小学地理中讲过在测量地形高度时，规定海平面的高度为0米，于是高8848米表示比海平面高出8848米，称作海拔8848米，而－155（米）表示吐鲁番盆地比海平面低155米，称作海拔－155米．在这里出现了“－155（米）”，它带有“－”号（读作负）表示比海平面低的高度．［师］老师再向大家提一个问题，有谁知道“新闻联播”之后除广告外接下来的节目是什么？ ［生］天气预报［师］很好．现在我们来共同看一下某天我国部分城市的天气预报．哈尔滨小雨15 6 长春多云18 10沈阳小雨19 7 天津小雨12 8呼和浩雨夹雪8 －3 乌鲁木齐晴 4 －5特西宁小雪 5 －4 银川小雪0 －4兰州雨夹雪 3 －3 西安小雨16 7拉萨多云15 1 成都雷阵雨17 10重庆雷阵雨22 11 贵阳雷阵雨13 8 从表中可以看到什么？［生］表中的低温数字有带“－”号的．［师］这里“－”号表示什么呢？［生］表示这个温度比0 ℃低的温度．［师］对．在测量温度时，用到了温度计．（出示温度计）．那么，温度计中又以什么为基准呢？［师生共析］把冰的溶解温度定为0℃，如果温度计液面上升指在0以上第5个刻度时，则它表示的温度比0℃高5摄氏度，记作5℃．如果液面下降指在0以下第5个刻度，则它表示的温度比0℃低5摄氏度，记作－5℃，读作负5摄氏度．上面两个例子中，分别出现了－155，－3，－4，－5这样的数，我们把这样的数叫负数．一般地，若一个地方的高度比海平面高35米，它的海拔高度就是35米；若一个地方的高度比海平面低15米，它的海拔高度就是－15米．温度的情况与海拔高度类似．即温度比0℃高8℃时，温度是8℃，当温度比0℃低3℃、4℃、5℃等时，温度就分别为－3℃、－4℃、－5℃等．（出示投影片§2.1B）．学生阅读，并归纳其特点：比0大的数叫正数（positive number）如，8848、35、8……在正数前面加上“－”（读作负）号的数叫负数（negative number）如，－3、－4、－5、－155……0既不是正数，也不是负数．［生］正数：比0大的数．负数：在正数前面加上“－”号的数．零：是正、负数的界限．［师］大家总结的很好．正数的特点就是比0大的数．为了突出数的符号，可以在正数前加“+”号．如，+5，+12，+8848……．负数的特点就是在正数前面加“－”号．零既不是正数，也不是负数，是正、负数的界限，表示“基准”的数．零不是表示“没有”，它表示一个实际存在的数量．某班举行知识竞赛，评分标准是：答对一题加10分，答错一题扣10分，不回答得0分；每个队的基本分均为0分．四个代表队答题情况如下表：每个代表队的最后得分是多少？你是怎么表示的？与同伴进行交流，完成下表（出示小黑板）：第1题第2题第3题第4题第5题合计第一队第二队第三队第四队（学生阅读题后，分组讨论填写，请一位同学上黑板填写．教师、学生共同纠正）：第一队分别为：+10、－10、+10、+10、－10、+10；第二队分别为：－10、+10、0、+10、+10、+20；第三队分别为：+10、+10、－10、－10、0、0；第四队分别为：+10、－10、+10、－10、－10、－10；强调：书写负数时不要忘了“－”号．［师］生活中你见过带有“－”号的数（即负数）吗？请举例．［生］见过．股市的股票的上升与下跌中下跌数用的数为负数；企业的年收入的盈利与亏损中的亏损数也为负数等等．［师］很好．在现实生活中．经常见到这些具有相反意义的量．这些量的大小都可用正、负或0表示．表示具有相反意义的量是正、负数最直接的重要应用．大家总结一下有哪些具有相反意义的量可以用正、负数表示呢？（学生讨论、总结、出示投影片§一般情况下，正、负规定如下：符号具有相反意义的量+ 收入盈余上升零上东增加……－支出亏损下降零下西减少……［例1］（1）在知识竞赛中，如果用+10分表示加10分，那么扣20分怎样表示？（2）某人转动转盘，如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？（3）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克记作+0.02克，那么－0.03克表示什么？［师生共析］刚才我们已经知道：习惯上，人们把零上的温度、向东的行程、上升的高度等规定为正的，而把零下的温度、下降的高度、向西的行程等与前面意义相反的量规定为负的．所以我们来看例1的（1）小题：用+10分表示加10分，那么扣20分就应表示为－20分．因为扣与加是两个具有相反意义的量．在这里的“基准”为0分．相应的（2）、（3）就可以表示出来．需要注意的是：（2）的基准是转盘不动；（3）的基准是一只乒乓球的标准质量．强调：并不是所有的基准都必须为零．在用正负数表示具有相反意义的量时，每一题都必须有一定的基准．解：（1）扣20分记作－20分．（2）沿顺时针方向转12圈记作－12圈．（3）－0.03克表示乒乓球的质量低于标准质量0.03克．◆课堂板书设计§2．1 数怎么不够用了一、概念正数：比0大的数．负数：在正数前面加上“－”号的数． 零：既不是正数，也不是负数． 二、正、负数的应用 例题 课堂练习 三、数的分类 四、课时小结 五、课后作业◆练习作业设计（课堂作业设计）1、用正、负数表示：盈利6000元可记作_____元，亏损500元可记作_____元． 答案：+6000 －5002、所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合．把下列各数中的正数和负数分别填在如图中表示正数集合和负数集合的圈里．－11，4．8，+73，－2．7，127,61，－8．12，43，0．解：如下图所示：3、甲地海拔高度是30米，乙地海拔高度是－10米，哪个地方高？高的地方比低的地方高多少？答案：甲地高，甲地比乙地高40米． 4、把下列各数填到相应的集合中：1，31，0．5，+7，0，－6．4，－9，136，0．.3，5%，－26正数集合：｛…｝； 分数集合：｛ …｝； 整数集合：｛ …｝； 负数集合：｛ …｝；答案：正数集合：｛1，31，0．5，+7，136，0．.3，5%，…｝；分数集合：｛31，0．5，－6．4，136，0．.3，5%，…｝整数集合：｛1，+7，0，－9，－26，…｝负数集合：｛－6．4，－9，－26，…｝。
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数又不够用了
一、教学内容与分析：
（一）内容：建立无理数的概念，借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数。
（二）分析：让学生感受数的发展，建立无理数的概念，借助计算器感受无理数是无限不循环小数，并能结合实际判别有理数和无理数，同时在活动中进一步发展学生独立思考和合作交流的意识和能力，而且在学习中领悟数学知识来源于生活，体会数学知识与现实世界的联系.而且对今后学习数学也有着重要意义.
二、教学目标与分析：
( 一)目标:
1．通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.
2．能正确地进行推理和判断识别某些数是否为有理数、无理数，训练他们的思维判断力，并能说出理由.
（二）分析：通过学生活动准确认识到有理数都可以划成有限小数和无限循环小数，通过对有理数的相关知识的归纳和总结，能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类.无限不循环小数是无理数。
三、问题诊断分析：本节课学生可能出现的问题是有理数与无理数概念的区别。
特别注意，任何有限小数和无限循环小数都是有理数.
四、教学支持条件分析：
五、教学过程：
（一）、想一想
1. 有理数如何分类的？
整数（如-1，0，2，3，…):都可看成有限小数
有理数
分数(如-，，，… )：可不可能都化成有限小数或无限小数?
2、.直角边长分别为3和1的直角三角形的斜边长是不是有理数？
（二）、探究
1、2=2中的a是有理数吗？为什么？
2、面积为5的正方形，它的边长b可能是有理数吗？说说你的理由。
3、a2=2，b2=5中的a，b 既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？
（三）、活动与探究
1、探索无理数的小数表示：借助计算器以小组讨论的形式对
面积为2的正方形的边长a和面积为5的正方形的边长b进行估计.
归纳总结:a，b既不是整数，也不是分数，则a，b一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数.
2、探索有理数的小数表示，明确无理数的概念
请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式。
议一议：分数化成小数，最终此小数的形式有几种情况？
探究结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数.
即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
限的,但是又不是循环的,是无限不循环小数.
是无理数).
（四）、知识分类整理
（五）、知识运用与巩固
认识一个数是无理数还是有理数.
例1填空:
成).
例2判断下列说法是否正确:
(1)有限小数是有理数; （）
(2)无限小数都是无理数; （）
(3)无理数都是无限小数; （）
(4)有理数是有限数. （）
例3 以下各正方形的边长是无理数的是（）
（A）面积为25的正方形； (B) 面积为的正方形；
(C) 面积为8的正方形； (D) 面积为1.44的正方形.
例4 一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边a是有理数吗?
解:由勾股定理得:a2=32+52,即a2=34.因为34不是完全平方数，所以a不是有理数.
强调:
1. 无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.
2. 任何一个有理数都可以化成分数形式（p，q 为整数且互质），而无理数则不能.。