相似综合复习
2020年九年级中考数学复习专题训练：《相似综合 》(含答案)
2020年九年级中考数学复习专题训练：《相似综合》1．如图1，点P从菱形ABCD的顶点B出发，沿B→D→A匀速运动到点A，BD的长是；图2是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象．（1）点P的运动速度是cm/s；（2）求a的值；（3）如图3，在矩形EFGH中，EF＝2a，FG﹣EF＝1，若点P、M、N分别从点E、F、G三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，当点M到达点G（即点M与点G重合）时，三个点随之停止运动；若点P不改变运动速度，且点P、M、N的运动速度的比为2：6：3，在运动过程中，△PFM关于直线PM的对称图形是△PF'M，设点P、M、N的运动时间为t（单位：s）．①当t＝s时，四边形PFMF'为正方形；②是否存在t，使△PFM与△MGN相似，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．2．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝6，动点P从点A出发以1个单位/秒的速度沿AB运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度沿CB 运动，过点P作EP⊥AB，交BD于E，连接EQ．当点Q与点B重合时，两动点均停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当t＝1时，求线段EP的长；（2）运动过程中是否存在某一时刻，使△BEQ与△ABD相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接CE，求运动过程中△CEQ的面积S的最大值．3．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C 重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．4．如图（1），在矩形ABCD中，AD＝nAB，点M，P分别在边AB，AD上（均不与端点重合），且AP＝nAM，以AP和AM为邻边作矩形AMNP，连接AN，CN．【问题发现】（1）如图（2），当n＝1时，BM与PD的数量关系为，CN与PD的数量关系为．【类比探究】（2）如图（3），当n＝2时，矩形AMNP绕点A顺时针旋转，连接PD，则CN与PD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由．【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，已知AD＝4，AP＝2，当矩形AMNP旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段CN的长．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D、E分别是AB、BC的中点．连接DE．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动．同时，动点Q从点C 出发，沿折线CE﹣ED向终点D运动，在CE、ED上的速度分别是每秒3个单位长度和4个单位长度，连接PQ，以PQ、PD为边作▱DPQM．设▱DPQM与四边形ACED重叠部分图形的面积是S（平方单位），点P的运动时间为t（s）．（1）当点P在AD上运动时，PQ的长为（用含t的代数式表示）；（2）当▱DPQM是菱形时，求t的值；（3）当0＜t＜2时，求S与t之间的函数关系式；（4）当△DPQ与△BDE相似时，直接写出t的值．6．如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，过点D作DE⊥DC交直线AB于点E，过点E 作EH⊥AD于点H，过点B作BF⊥AD于点F．（1）如图1，若∠BAD＝60°，AF＝3，AH＝2，求AC的长；（2）如图2，若BF＝DH，在AC上取一点G，连接DG、GE，若∠DGE＝75°，∠CDG＝45°﹣∠CAB，求证：DG＝CG．7．（1）问题引入：如图1所示，正方形ABCD和正方形AEFG，则BE与DG的数量关系是，＝；（2）类比探究：如图2所示，O为AD、HG的中点，正方形EFGH和正方形ABCD中，判断BE和CF的数量关系，并求出的值；（3）解决问题：①若把（1）中的正方形都改成矩形，且＝＝，则（1）中的结论还成立吗？若不能成立，请写出BE与GD的关系，并求出值；②若把（2）中的正方形也都改成矩形，且＝＝2n，请直接写出BE和CF的关系以及的8．在正方形ABCD中，点E是直线AB上动点，以DE为边作正方形DEFG，DF所在直线与BC 所在直线交于点H，连接EH．（1）如图1，当点E在AB边上时，延长EH交GF于点M，EF与CB交于点N，连接CG，①求证：CD⊥CG；②若tan∠HEN＝，求的值；（2）当正方形ABCD的边长为4，AE＝1时，请直接写出EH的长．9．如图a，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE交于点G．（1）求证：AF⊥DE；（2）如图b，连接BG，BD，BD交AF于点H．①求证：GB2＝GA•GD；②若AB＝10，求三角形GBH的面积．10．如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB＝90°．将△ADP沿AP 翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．（1）求证：AD2＝DP•PC；（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；（3）如图2，连接AC分别交PM、PB于点E、F．若AD＝3DP，探究EF与AE之间的的数量关系．11．△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2cm．长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts．（1）当0≤t≤1时，PM＝，QN＝（用t的代数式表示）；（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？12．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝4，点E在边AB上（不与点A、B重合），过点D作DF⊥DE，交边BC的延长线于点F．（1）求证：△DAE∽△DCF．（2）设线段AE的长为x，线段BF的长为y，求y与x之间的函数关系式．（3）当四边形EBFD为轴对称图形时，则cos∠AED的值为．13．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M在BC上，连接AM，作∠AMN＝∠AMB，点N 在直线AD上，MN交CD于点E．（1）求证：△AMN是等腰三角形；（2）求证：AM2＝2BM•AN；（3）当M为BC中点时，求ME的长．14．如图，在平面直角坐标系中，过原点O及A（8，0）、C（0，6）作矩形OABC，连接AC，一块直角三角形PDE的直角顶点P始终在对角线AC上运动（不与A、C重合），且保持一边PD始终经过矩形点B，PE交x轴于点Q（1）＝；（2）在点P从点C运动到点A的过程中，的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围，如果不变，请说明理由，并求出其值；（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，则PC的长为．15．如图，在矩形OABC中，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（4，3），动点N，P分别从点B，A同时出发，点N以1单位/秒的速度向终点C运动，点P以5/4单位/秒的速度向终点C运动，连结NP，设运动时间为t秒（0＜t＜4）（1）直接写出OA，AB，AC的长度；（2）求证：△CPN∽△CAB；（3）在两点的运动过程中，若点M同时以1单位/秒的速度从点O向终点A运动，求△MPN的面积S与运动的时间t的函数关系式（三角形的面积不能为0），并直接写出当S ＝时，运动时间t的值．16．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），连结AE，BD交于点F．（1）若点E为CD中点，AB＝2，求AF的长．（2）若tan∠AFB＝2，求的值．，（3）若点G在线段BF上，且GF＝2BG，连结AG，CG，＝x，四边形AGCE的面积为S1，求的最大值．△ABG的面积为S217．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边BC，AC上的点，且∠ADE＝∠B．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）若AB＝5，BC＝6，求AE的最小值；（3）如图2，若△ABC为等边三角形，AD⊥DE，BE⊥DE，点C在线段DE上，AD＝3，BE ＝4，求DE的长．18．如图，△ABC中，AB＝AC，点P为BC边上一动点（不与B，C重合），以AP为边作∠APD＝∠ABC，与BC的平行线AD交于点D，与AC交于点E，连结CD．（1）求证：△ABP∽△DAE．（2）已知AB＝AC＝5，BC＝6．设BP＝x，CE＝y．①求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；＝时，求CE的值．②当S△ACD19．如图，在矩形ABCD的边AB上取一点E，连接CE并延长和DA的延长线交于点G，过点E作CG的垂线与CD的延长线交于点H，与DG交于点F，连接GH．（1）当tan∠BEC＝2且BC＝4时，求CH的长；（2）求证：DF•FG＝HF•EF；（3）连接DE，求证：∠CDE＝∠CGH．20．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友好四边形”．（1）如图1，在4×4的正方形网格中，有一个网格Rt△ABC和两个网格四边形ABCD与ABCE，其中是被AC分割成的“友好四边形”的是；（2）如图2，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，点B'落在边AC，过点A作AD∥A'B'交CA'的延长线于点D，求证：四边形ABCD是“友好四边形”；（3）如图3，在△ABC中，AB≠BC，∠ABC＝60°，△ABC的面积为6，点D是∠ABC 的平分线上一点，连接AD，CD．若四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形”，求BD 的长．参考答案1．解：（1）由图2可知，s点P从点B运动到点D，∵BD＝，∴点P的运动速度＝÷＝1（cm/s），故答案为：1；（2）如图1，作DQ⊥BC于点Q，当点P在BD上时，a＝×BC×DP，∵四边形ABCD为菱形，点P的运动速度为1，∴AD＝BC＝1×a＝a，∴a＝×a×DP，解得，DQ＝2，在Rt△BDQ中，BQ＝＝1，∴CQ＝a﹣1，在Rt△CDQ中，CD2＝CQ2+DQ2，即a2＝（a﹣1）2+22，解得，a＝；（3）①∵点P的运动速度1cm/s，点P、M的运动速度的比为2：6 ∴点M的运动速度3cm/s，由题意得，EF＝2a＝5，∵FG﹣EF＝1，∴FG＝6，∴PF＝5﹣t，FM＝3t，由翻转变换的性质可知，PF＝PF′，FM＝FM′，当PF＝FM时，PF＝PF′＝FM＝FM′，∴四边形PFMF'为菱形，又∠F＝90°，∴四边形PFMF'为正方形，∴5﹣t＝3t，即t＝1.25时，四边形PFMF'为正方形，故答案为：1.25；②存在，∵点P的运动速度1cm/s，点P、M、N的运动速度的比为2：6：3，∴点M的运动速度3cm/s，点N的运动速度1.5cm/s，∴PF＝5﹣t，FM＝3t，GN＝1.5t，∵点M的运动速度3cm/s，FG＝6，∴0≤t≤2，当△PFM∽△MGN时，＝，即＝，解得，t＝，当△PFM∽△NGM时，＝，即＝，解得，t1＝﹣7﹣（舍去），t2＝﹣7+，综上所述，当t＝或﹣7+时，△PFM与△MGN相似．2．解：（1）当t＝1时，则AP＝1，∴BP＝AB﹣AP＝3，∵EP⊥AB，∴∠EPB＝∠A＝90°，∴EP∥AD，∴△BPE∽△BAD，∴，∴，∴EP＝；（2）∵∠A＝90°，AD＝3，AB＝4，∴BD＝＝＝5，∵EP⊥AB，∴∠EPB＝∠A＝90°，∴EP∥AD，∴△BPE∽△BAD，∴，∴，∴BE＝5﹣t，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBQ，若∠BEQ＝∠A＝90°，∴△BAD∽△QEB，∴，∴＝，∴t＝28（不合题意舍去），若∠BQE＝∠A＝90°，∴△BAD∽△EQB，∴，∴t＝，（3）∵S＝×CQ×PB＝×2t×（4﹣t）＝﹣（t﹣2）2+4，∴当t＝2时，S最大值为4，∴△CEQ的面积S的最大值为4．3．证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，∴△BAD∽△DCE；（2）如图2中，作AM⊥BC于M．在Rt△ABM中，设BM＝4k，∵＝，∴，由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2，∴102＝（3k）2+（4k）2，∴k＝2或﹣2（舍弃），∴AM＝6，BM＝8，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BC＝2BM＝2×2k＝16，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，∴∠BAD＝∠ACB，∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴，∴＝，∵DE∥AB，∴，∴＝．（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．理由：作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，∴四边形AMHN为矩形，∴∠MAN＝90°，MH＝AN，∵AB＝AC，AM⊥BC，∵AB＝10，∴BM＝CM＝8，∴BC＝16，在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝6，∵AN⊥FH，AM⊥BC，∴∠ANF＝90°＝∠AMD，∵∠DAF＝90°＝∠MAN，∴∠NAF＝∠MAD，∴△AFN∽△ADM，∴，∴，∴CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝8﹣＝，当DF＝CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形，∵FH⊥DC，∴CD＝2CH＝7，∴BD＝BC﹣CD＝16﹣7＝9，∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝9．4．解：（1）BM＝PD，，理由如下：当n＝1，则AD＝AB，AP＝AM，∴AD﹣AP＝AB﹣AM，∴DP＝BM，∵四边形ABCD是矩形，四边形AMNP是矩形，∴AD＝CD＝AB，AP＝AM＝NP，∠ADC＝∠APN＝90°，∴AC＝AD，AN＝AP，∴AC﹣AN＝（AD﹣AP），∴CN＝PD，故答案为：BM＝PD，；（2）CN与PD之间的数量关系发生变化，，理由如下：如图（1）在矩形ABCD和矩形AMNP中，∵当n＝2．AD＝2AB，AP＝2AM，∴，，∴.，如图（3）连接AC，∵矩形AMNP绕点A顺时针旋转，∴∠NAC＝∠PAD，∴△ANC∽△APD，∴，∴；（3）如图，当点N在线段CM上时，∵AD＝4，AD＝2AB，∴AB＝CD＝2，∴AC＝＝＝，∵AP＝2，AP＝2AM，∴AM＝1，∴CM＝＝＝，∴CN＝CM﹣MN＝﹣2；如图，当点M在线段CN上时，同理可求CM＝，∴CN＝CM+MN＝+2；综上所述：线段CN的长为或．5．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝＝6，∵D、E分别是AB、BC的中点．∴DE∥AC，DE＝AC＝4，BD＝AD＝5，BE＝CE＝3，∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动，∴AP＝5t，∴BP＝10﹣5t，∵DE∥AC，∴△BPQ∽△BAC，∴，∴∴PQ＝8﹣4t，故答案为：8﹣4t；（2）当点P在AD上运动时，∵四边形DPQM是菱形，∴PD＝PQ，∴5﹣5t＝8﹣4t，∴t＝﹣3（不合题意舍去），当点P在BD上运动时，过点P作PH⊥DQ于H，∵四边形DPQM是菱形，∴PD＝PQ，且PH⊥DQ，∴DH＝HQ＝DQ＝[4﹣4（t﹣1）]＝4﹣2t，∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠ACB＝90°＝∠PHD，∴PH∥BE，∴△PDH∽△BDE，∴，∴，∴t＝，PH＝3t﹣3，综上所述：当t＝时，▱DPQM是菱形；（3）当0＜t＜1时，S＝×（8﹣4t+4）×（3﹣3t）＝6t2﹣24t+18，当t＝1时，不能作出▱DPQM，当1＜t＜2时，S＝×（8﹣4t）×（3t﹣3）＝﹣6t2+18t﹣12；（4）当点P在AD上时，不存在△DPQ与△BDE相似，当点P在BD上时，则∠PDQ＝∠BDE，若∠PQD＝∠DEB＝90°时，∴△PDQ∽△BDE，∴，∴∴t＝，若∠DPQ＝∠DEB＝90°时，∴△QPD∽△BED，∴，∴∴t＝综上所述：当t＝或时，△DPQ与△BDE相似．6．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB，CD∥AB，∵BF⊥AD于F，∴∠AFB＝90°，∵∠BAD＝60°，∴AB＝2AF＝6，BF＝AF＝3，∵EH⊥AD于H，∴AE＝2AH＝4，EH＝AH＝2，∵DE⊥DC交AB于E，∴∠DEA＝90°，∴AD＝2AE＝8，∴CB＝AD＝8，如图1，作AM⊥CB于M，则∠ABM＝∠BAD＝60°，∴BM＝（1/2）AB＝3，AM＝BM＝3，∴CM＝CB+BM＝11，在Rt△ACM中：AC＝＝＝2．（2）如图2，作EN⊥AC于N，连接DN、CE，则∠CNE＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB，CD∥AB，∵DE⊥DC交AB于E，∴∠CDE＝∠DEA＝90°，∵EH⊥AD于H，∴∠DHD＝∠EHA＝90°，∵BF⊥AD于F，∴∠DFB＝∠AFB＝90°，∴∠DHE＝∠BFA，∵∠DEH+∠HEA＝∠HEA+∠BAF＝90°，∴∠DEH＝∠BAF，∵DH＝BF，∴△DEH≌△BAF（AAS），∴DE＝BA＝CD，∴△CDE是等腰直角三角形，∠DCE＝∠DEC＝45°，∵∠CDE＝∠CNE＝90°，∴C、D、N、E四点共圆，∴∠DNC＝∠DEC＝45°，∵∠CDG＝45°﹣∠CAB，∴∠CDG+∠CAB＝45°，∵CD∥AB，∴∠CAB＝∠DCG，∴∠DGN＝∠DCG+∠CDG＝45°＝∠DNC，∴△DGN是等腰直角三角形，∠GDN＝90°，DG＝DN，∵∠CDG+∠GDE＝∠GDE+∠EDN＝90°，∴∠CDG＝∠EDN，∴△CDG≌△EDN（SAS），∴EN＝CG，∵∠CGD＝75°，∴∠CGN＝∠CGD﹣∠DGN＝30°，∴GN＝EN＝CG，∴DG＝GN＝CG7．解：（1）如图1中，连接AC，AF．∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，AC＝AB，AF＝AE，∠BAC＝45°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＝∠DAG，∴△BAE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG，∵AC＝AB，AF＝AE，∴＝，∵∠BAC＝∠EAF＝45°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE∽△CAF，∴＝＝，∵DG＝BE，∴＝．故答案为：BE＝DG，．（2）如图2中，连接OB，OE，OF，OC．∵四边形ABCD是正方形，OA＝OD，∴∠A＝∠CDO＝90°，AB＝CD，∴△AOB≌△DOC（SAS），∴OB＝OC，同法可证OE＝OF，∴∠OBC＝∠OCB，∠OEF＝∠OFE，∵BC∥AD，∴∠CBO＝∠AOB，∴tan∠CBO＝tan∠AOB＝2，同法可证：tan∠FEO＝2，∴tan∠CBO＝tan∠FEO，∴∠CBO＝∠FEO，∴∠OBC＝∠OCB＝∠OEF＝∠OFE，∴∠BOC＝∠EOF，∴∠EOB＝∠FOC，∵OE＝OF，OB＝OC，∴△OEB≌△OFC（SAS），∴BE＝FC，∵tan∠COD＝tan∠COD＝2，∴∠FOG＝∠COD，∴∠FOC＝∠GOD，∵＝＝，∴△FOG∽△GOD，∴＝＝．（3）①如图3中，结论不成立，BE＝3DG．连接BE，AC，AF，CF．∵四边形ABCD，四边形AEFG都是矩形，∴∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，∵AB＝3AD，AE＝3AG，∴△BAE∽△DAG，∴＝＝3，∴BE＝3DG，由题意：＝，＝，∴＝，∴＝，∵tan∠BAC＝tan∠EAF＝，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE∽△CAF，∴＝＝，∴＝．②如图4中，连接OE，OB，OF，OC．由（2）可知，∠BOC＝∠EOF，OE＝OF，OB＝OC，∴∠EOB＝∠FOC，∴△EOB≌△FOC（SAS），∴BE＝CF．同法可证△FOC∽△GOD，∴＝，设EH＝k，则GH＝2nk，∴OG＝nk，∴OF＝＝•k，∵BE＝CF，∴＝＝．8．证明：（1）①∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，∴∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠A＝∠DCG＝90°，∴CD⊥CG；②如图1，过点N作NP∥DE，∵四边形DEFG是正方形，∴EF＝GF，∠EFH＝∠GFH＝45°，且HF＝HF，∴△EFH≌△GFH（SAS），∴EH＝GH，∠HEF＝∠HGF，∵∠HEF＝∠HGF，EF＝GF，∠EFM＝∠GFN，∴△EFM≌△GFN（ASA），∴FM＝NF，EM＝GN，∵tan∠HEN＝＝，∴EF＝4MF＝4NF＝GF，∴GM＝3MF＝EN＝3NF，∴NP∥DE，∴△PNE∽△MFE，∴，∴PN＝MF，∵NP∥DE，∴＝，∴；（2）如图1，∵AD＝4，AE＝1，∴DE＝＝＝，∴EF＝GF＝，∴NF＝EF＝，∵GN2＝GF2+NF2，∴GN＝，∵∴GH＝GN＝，∴EH＝GH＝若点E在点A左侧，如图2，设AB与DH于点O，过点F作FN⊥AB，∵∠DEA+∠FEB＝90°，∠DEA+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠FEB，且∠DAE＝∠FNE＝90°，DE＝EF，∴△ADE≌△NEF（AAS）∴AE＝NF＝1，DA＝EN＝4，∴AN＝3，BN＝1，∵DA∥NF，∴，∴ON＝，∴BO＝，∴AO＝∵DA∥BH，∴，∴BH＝，∴EH＝＝＝9．证明：（1）∵正方形ABCD，E、F分别为边AB、BC的中点，∴AD＝BC＝DC＝AB，AE＝BE＝AB，BF＝CF＝BC，∴AE＝BF，∵在△ADE和△BAF中，∴△ADE≌△BAF（SAS）∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAF+∠DAF＝90°∴∠ADE+∠DAF＝90°＝∠AGD，∴AF⊥DE；（2）①如图b，过点B作BN⊥AF于N，∵∠BAF＝∠ADE，∠AGD＝∠ANB＝90°，AB＝AD，∴△ABN≌△ADG（AAS）∴AG＝BN，DG＝GN，∵∠AGE＝∠ANB＝90°，∴EG∥BN，∴，且AE＝BE，∴AG＝GN，∴AN＝2AG＝DG，∵BG2＝BN2+GN2＝AG2+AG2，∴BG2＝2AG2＝2AG•AG＝GA•DG；②∵AB＝10，∴AE＝BF＝5，∴DE＝＝＝5，∵×AD×AE＝×DE×AG，∴AG＝2，∴GN＝BN＝2，∴AN＝DG＝4，∴△DGH∽△BNH，∴＝＝2，∴GH＝2HN，且GH+HN＝GN＝2，∴GH＝，＝×GH×BN＝××2＝．∴S△GHB10．（1）证明：过点P作PG⊥AB于点G，如图1所示：则四边形DPGA和四边形PCBG是矩形，∴AD＝PG，DP＝AG，BG＝PC，∵∠APB＝90°，∴∠APG+∠GPB＝∠GPB+∠PBG＝90°，∴∠APG＝∠PBG，∴△APG∽△PBG，∴＝，∴PG2＝AG•BG，即AD2＝DP•PC；（2）解：四边形PMBN是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∵BM∥PN，BN∥MP，∴四边形PMBN是平行四边形，∵DP∥AB，∴∠DPA＝∠PAM，由题意可知：∠DPA＝∠APM，∴∠PAM＝∠APM，∵∠APB﹣∠PAM＝∠APB﹣∠APM，即∠ABP＝∠MPB∴AM＝PM，PM＝MB，∴四边形PMBN是菱形；（3）解：∵AD＝3DP，∴设DP＝1，则AD＝3，由（1）可知：AG＝DP＝1，PG＝AD＝3，∵PG2＝AG•BG，∴32＝1•BG，∴BG＝PC＝9，AB＝AG+BG＝10，∵CP∥AB，∴△PCF∽△BAF，∴＝＝，∴＝，∵PM＝MB，∴∠MPB＝∠MBP，∵∠APB＝90°，∴∠MPB+∠APM＝∠MBP+∠MAP＝90°，∴∠APM＝∠MAP，∴PM＝MA＝MB，∴AM＝AB＝5，∵AB∥CD，∴△PCE∽△MAE，∴＝＝，∴＝，∴EF＝AF﹣AE＝AC﹣AC＝AC，∴＝＝．11．解：（1）由题意得：AM＝t，∵PM⊥AB，∴∠PMA＝90°，∵∠A＝60°，∴∠APM＝30°，∴PM＝AM＝t．∵∠C＝90°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴AB＝2AC＝4，BC＝AC＝2，∵MN＝1，∴BN＝AM﹣AM﹣1＝3﹣t，∵QN⊥AB，∴QN＝BN＝（3﹣t）；故答案为：tcm，（3﹣t）cm．（2）四边形MNQP有可能成为矩形，理由如下：由（1）得：QN＝（3﹣t）．由条件知，若四边形MNQP为矩形，则需PM＝QN，即t＝（3﹣t），∴t＝．∴当t＝s时，四边形MNQP为矩形；（3）由（2）知，当t＝s时，四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC．除此之外，当∠CPQ＝∠B＝30°时，△QPC∽△ABC，此时＝tan30°＝．∵＝cos60°＝，∴AP＝2AM＝2t．∴CP＝2﹣2t．∵＝cos30°＝，∴BQ＝（3﹣t）．又∵BC＝2，∴CQ＝2 ．∴．综上所述，当s或s时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．12．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，∴∠ADE+∠EDC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDC+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，且∠A＝∠DCF＝90°，∴△DAE∽△DCF；（2）∵△DAE∽△DCF，∴，∴∴y＝x+4；（3）∵四边形EBFD为轴对称图形，∴DE＝BE，∵AD2+AE2＝DE2，∴16+AE2＝（6﹣AE）2，∴AE＝，∴DE＝BE＝，∴cos∠AED＝＝，故答案为：．13．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠NAM＝∠BMA，∵∠AMN＝∠AMB，∴∠AMN＝∠NAM，∴AN＝MN，即△AMN是等腰三角形；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2，AB＝CD＝3，∴∠NAM＝∠BMA，作NH⊥AM于H，如图所示：∵AN＝MN，NH⊥AM，∴AH＝AM，∵∠NHA＝∠ABM＝90°，∠NAM＝∠BMA，∴△NAH∽△AMB，∴＝，∴AN•BM＝AH•AM＝AM2，∴AM2＝2BM•AN；（3）解：∵M为BC中点，∴BM＝CM＝BC＝×2＝1，由（2）得：AM2＝2BM•AN，即：AM2＝2AN，∵AM2＝AB2+BM2＝32+12＝10，∴10＝2AN，∴AN＝5，∴DN＝AN﹣AD＝5﹣2＝3，设DE＝x，则CE＝3﹣x，∵AN∥BC，∴△DNE∽△CME∴＝，即＝，解得：x＝，即DE＝，∴CE＝DC﹣DE＝3﹣＝，∴ME＝＝＝．14．解：（1）∵A（8，0）、C（0，6），∴OA＝8，OC＝6，∵四边形OABC是矩形，∴∠ABC＝∠OAB＝90°，BC＝OA＝8，AB＝OC＝6，∴＝＝，故答案为：；（2）的值不发生变化，＝，理由如下：∵∠OAB＝∠BPQ＝90°，∴∠AOB+∠BPQ＝180°，∴A、B、P、Q四点共圆，∴∠PQB＝∠PAB，∵∠ABC＝∠BPQ＝90°，∴△PBQ∽△BCA，∴＝＝；（3）设BQ交AP于M，如图所示：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝10，由折叠的性质得：BQ⊥AP，PM＝AM，∴∠AMB＝90°＝∠ABC，∵∠BAM＝∠CAB，∴△ABM∽△ACB，∴＝，即＝，解得：AM＝3.6，∴PA＝2AM＝7.2，∴PC＝AC﹣PA＝10﹣7.2＝2.8；故答案为：2.8．15．（1）证明：∵四边形OABC是矩形，A（4，0），B（4，3），∴OA＝BC＝4，AB＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴AC＝＝＝5；（2）解：由题意得：BN＝t，AP＝t，∵＝，＝＝，∴＝，∴PN∥AB，∴△CPN∽△CAB；（3）解：分两种情况：①当0＜t＜2时，延长NP交OA于D，如图1所示：由（2）得：PD∥AB，∴△APD∽△ACO，∴＝＝，即＝＝，解得：PD＝t，AD＝t，∴PN＝3﹣t，DM＝4﹣t﹣t＝4﹣2t，∴△MPN的面积S＝PN×DM＝×（3﹣t）×（4﹣2t）＝t2﹣t+6，即S＝t2﹣t+6（0＜t＜2）；②当2＜t＜4时，延长NP交OA于D，如图2所示：由（2）得：PD∥AB，∴△APD∽△ACO，∴＝＝，即＝＝，解得：PD＝t，AD＝t，∴PN＝3﹣t，DM＝t+﹣4t＝2t﹣4，∴△MPN的面积S＝PN×DM＝×（3﹣t）×（2t﹣4）＝﹣t2+t﹣6，即S＝﹣t2+t﹣6（2＜t＜4）；当S＝，0＜t＜2时，则t2﹣t+6＝，整理得：t2﹣6t+6＝0，解得：t＝3﹣，或t＝3+（不合题意舍去），∴t＝3﹣；当S＝，2＜t＜4时，则﹣t2+t﹣6＝，整理得：t2﹣6t+10＝0，∵△＝36﹣40＜0，∴此方程无解；综上所述，当S＝时，运动时间t的值为（3﹣）秒．16．解：（1）∵点E为CD中点，AB＝AD＝CD＝2，∴DE＝，∴AE＝＝＝5，∵AB∥CD，∴△ABF∽△EDF，∴，∴AF＝2EF，且AF+EF＝5，∴AF＝；（2）如图1，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BD＝AB，AO⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO，∴AO＝DO＝BO＝AB，∵tan∠AFB＝＝2，∴OF＝AO＝AB，∴DF＝OD﹣OF＝AB，BF＝OB+OF＝AB，∴；（3）如图2，设AB＝CD＝AD＝a，则BD＝a，∵＝x，∴DE＝xa，∴S△ADE＝×AD×DE＝xa2，∵△ABF∽△EDF，∴＝x，∴DF＝x•BF，∴S△ABF＝a2，∵GF＝2BG，∴S2＝S△ABG＝S△ABF＝，∵AB＝CB，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，∴△ABG≌△CBG（SAS）∴S△ABG ＝S△CBG，∴S1＝四边形AGCE的面积＝a2﹣xa2﹣2×∴＝﹣3x2+3x+4＝﹣3（x﹣）2+∴当x＝时，的最大值为．17．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠ADC为△ABD的外角，∴∠ADE+∠EDC＝∠B+∠DAB，∵∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE，∴＝，∴AB•CE＝BD•CD；（2）解：设BD＝x，AE＝y，由（1）得，5×（5﹣y）＝x×（6﹣x），整理得，y＝x2﹣x+5＝（x﹣3）2+，∴AE的最小值为；（3）解：作AF⊥BE于F，则四边形ADEF为矩形，∴EF＝AD＝3，AF＝DE，∴BF＝BE﹣EF＝1，设CD＝x，CE＝y，则AF＝DE＝x+y，由勾股定理得，AD2+CD2＝AC2，CE2+BE2＝BC2，AF2+BF2＝AB2，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∴32+x2＝AC2，y2+42＝BC2，（x+y）2+12＝AC2，∴x2﹣y2＝7，y2+2xy＝8，解得，x＝，y＝，∴DE＝x+y＝．18．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠APC＝∠ABC+∠BAP，∠APC＝∠APD+∠EPC，∠APD＝∠ABC，∴∠BAP＝∠EPC，∴△ABP∽△PCE，∵BC∥AD，∴△PCE∽△DAE，∴△ABP∽△DAE；（2）解：①∵△ABP∽△PCE，∴＝，即＝，∴y＝﹣x2+x（0＜x＜6）；②∵△ABP∽△DAE，∴＝，即＝，∴AD＝，∵AD∥BC，∴，∵，∴，∴，即13x2+24x﹣100＝0，∴x＝2，（舍去）1∴．19．（1）解：在Rt△BCE中，当tan∠BEC＝2，∴＝2，即＝2，解得，BE＝2，由勾股定理得，CE＝＝＝2，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠ECH＝∠BEC，∴tan∠ECH＝＝2，即＝2，∴EH＝4，∴CH＝＝10；（2）证明：∵∠FEG＝∠FDH＝90°，∠EFG＝∠DFH，∴△EFG∽△DFH，∴＝，∴DF•FG＝HF•EF；（3）证明：∵△EFG∽△DFH，∴∠CGD＝∠CHE，又∠GCD＝∠HCE，∴△GCD∽△HCE，∴＝，又∠GCD＝∠HCE，∴△CDE∽△CGH，∴∠CDE＝∠CGH．20．解：（1）AB＝2，BC＝1，AD＝4，由勾股定理得，AC＝＝，CD＝＝，AE＝＝2，CE＝＝5，＝＝＝，∴△ABC∽△EAC，∴四边形ABCE是“友好四边形”，≠，∴△ABC与△ACD不相似，∴四边形ABCD不是“友好四边形”，故答案为：四边形ABCE；（2）证明：根据旋转的性质得，∠A'CB'＝∠ACB，∠CA'B'＝∠CAB，∵AD∥A'B'，∴∠CA'B'＝∠D，∴∠CAB＝∠D，又∠A'CB'＝∠ACB，∴△ABC∽△DAC，∴四边形ABCD是“友好四边形”；（3）如图3，过点A作AM⊥BC于M，在Rt△ABM中，AM＝AB•sin∠ABC＝AB，∵△ABC的面积为6，∴BC×AB＝6，∴BC×AB＝24，∵四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形”，且AB≠BC，∴△ABD∽△DBC∴，∴BD2＝AB×BC＝24，∴BD＝＝2．。
相似总复习
相似总复习考点：比例线段的性质1．若32=-b b a ，则b a = 2．已知：432z y x == ，求zy x z y x -+++= 相似三角形的判定1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的（ ）1．（1）填空：∠ABC=_____，BC=_____；（2）判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论。
【类题】：如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB 和△DCE 的顶点都在格点上，ED 的延长线交AB 于点F ．（1）求证：△ACB ∽△DCE ；（2）求证：EF ⊥AB ．题型：等边对等角1． 已知：在ABC ∆中，AB AC =．D 是线段BC 上一点，连接AD ，若B B A D ∠=∠．求证：△BAC ∽△BDA题型：三个角相等的相似1．如图，A 、E 、B 在一条直线上，∠B=∠A=∠CED=90°，求证：△ACE ∽△BED【类题】：（1）如图，在等边△ABC 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，，求证：△ABP ∽△PCD ；【类题】：（2）如图，△ABC 中，点D 是BC 一点，点E 、F 分别在AB ，AC 上，若 ∠B=∠C=∠EDF ，求证：△BDE ∽△CFD ；（四边形可以吗？）【提升】：如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形．（1）求证：梯形是等腰梯形；（2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变．设求与的函数关系式；考点：比例式与乘积式的证明1．在ABC ∆中,若C BAD ∠=∠．求证：（1）AC BD AD AB ⋅=⋅；（2）BC BD AB ⋅=2【类题】：1．如图，AD ⊥BC,AB ⊥AC ，求证：(1)BC BD AB ⋅=2;(2)BC CD AC ⋅=2(3)CD BD AD ⋅=2ABCD 24AD BC AD BC ==∥，，，M AD MBC △ABCD P Q BC MC 60MPQ =︒∠PC x MQ y ==，，yx A DC B PM Q60考点：相似三角形性质应用1． 在同一时刻，身高DE 为1.6米的小强在阳光下的影长EF 为0.8米，一棵大树的影长AC为4.8米，则树高AB （ ）A 、4.8米B 、6.4米C 、9.6米D 、10米2．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P 处放一水平的平面镜,光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（ ）A 、6米B 、8米C 、18米D 、24米3．如图，零件的外径为25mm ，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等，OC=OD ）量零件的内孔直径AB ．若OC ∶OA=1∶2，量得CD ＝10mm ，则零件的厚度_____x mm ．4.小明边移动边观察，发现站到点E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD ＝1.2m ，CE ＝0.8m ，CA ＝30m （点A 、E 、C 在同一直线上）．身高EF 是1.7m ，请你帮小明求出楼高AB （结果精确到0.1m ）．考点：周长比与面积比1． 如图，、分别是、的中点，△ADE 与△ABC 周长比（ ）,（ ）；A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．2∶32．ABC △和DEF △，22AB DE AC DF A D ==∠=∠，，，如果ABC △周长16，面积12，DEF △的周长、面积为（ ）A ．8，3B ．8，6C ．4，3D ．４，63．如图，□ABCD 中，⑴求证：△ABF ∽△CEB;⑵若△DEF 的面积为2，求□ABCD 的面积【类题】：如图，△ABC ，DC ＝AC, CF 平分∠ACB ，点E 是AB 的中点（1）求证：EF ∥BC.（2）若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积.考点：位似1．如图，与是位似图形，位似中心坐标．2．如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，位似比为2∶3，已知AB ＝4，则DE 的长为 __．D E AB AC :ADE ABC S S =△△ABC △A B C '''△。
相似复习1
相似图形：1.比例基本性质及运用（1）线段成比例及有关概念的意义： 叫做成比例线段，简称比例线段（2）比例的性质，如果a ：b=c ：d ，那么 ；反之亦成立。
注意：灵活地运用比例线段的多种不同的变化形式，例由a c =b d 推出b d =a c等，但无论怎样变化，它们都保持ad=bc 的基本性质不变．2. 相似三角形的性质和判定（1）相似三角形定义： 做相似三角形， 叫做相似比．相似比为1的两个三角形 。
（2）相似三角形的性质：① ．② ．③ ．④ ．（3）相似三角形的判定：① ．② ．③ ．④直角三角形 ．3.相似多边及位似图形(1) 定义： 叫做相似多边形．(2) 相似多边形的性质：①相似多边形的周长的比等于 ；②相似多边形的对应对角线的比等于 ；③相似多边形的面积的比等于 .(3) 位似图形的定义： 叫做位似图形，这个点叫做 ，这时的相似比又叫做（4）位似图形的性质：① ．② ．③ ．4.相似的应用: 相似形的性质与识别在日常生活中有非常广泛的应用，如可应用其对应边成比例来求一些线段的长;可运用相似三角形的原理来进行测量等；物长与影长注意：（1）证线段等积式或等比式成立需注意两个方面：①等积式和等比式的相互转化，利用积相等作为中间过渡进行验证；②相似三角形目标的确定，方法是： ，如果出现点在同一直线上时考虑 代换或 代换（2）注意使用倒推分析法典型习题1.在一张比例尺为1：5000000的中国地图上，A 市与B 市两地相距70毫米，则A 市距B 市的距离为（ ）A ．350公里B ．35公里C ．3500公里D ．3.5公里2. 下列长度的各组线段中，能构成比例的是（ ）A ．2，5，6，8B ．3，6，9，18C ．1，2，3，4D ．3，6，7，93. 西安新建成的“大唐芙蓉园”，占地面积约为800 000m 2，若按比例尺1：2000缩小后，其面积大约相当于（ ）A ．一个篮球场的面积 B ．一张乒乓球台台面的面积C ．《贵阳晚报》的一个版面的面积D ．《数学》课本封面的面积4. 如图已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ：DB=3：5，那么CF ：CB 等于（ ）A ．5：8B ．3：8C ．3：5D ．2：55. 已知线段a 、b ，求作线段x ，使x ＝a b 22，正确的作法是（ ）A ．B ．C ．D ．6.如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交于E ，∠CPD=∠A=∠B ，BC 交PD 于F ，AD 交PC 于G ，则图中相似三角形有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对7.，P 是Rt △ABC 斜边AB 上任意一点（A ，B 两点除外），过P 点作一直线，使截得的三角形与Rt △ABC 相似，这样的直线可以作（ ）A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条8. 如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，继续往前走3米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 等于（ ）A ．4.5米B ．6米C ．7.2米D ．8米9.如图，有一块三角形余料ABC ，它的边BC=120cm ，高AD=80cm ，要把它加工成正方形零件PQMN ，使正方形的一边QM 在BC 上，其余两个顶点P 、N 分别在AB 、AC 上，则加工成的正方形零件的边长是（ ）A ．48cmB ．46cmC ．42cmD ．40cm10. 圆桌上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影，如图，已知桌面的直径1.2米，桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）A ．0.36π平方米B ．0.81π平方米C ．2π平方米D ．3.24π平方米11. 如图，矩形ABCD 中，E 为DC 的中点，AD ：AB=3：2，CP ：BP=1：2，连接EP 并延长，交AB 的延长线于点F ，AP 、BE 相交于点O ．下列结论：①EP 平分∠CEB ；②BF 2=PB •EF ；③PF •EF=2AD 2；④EF •EP=4AO •PO ．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．③④12.如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（-1，0）．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A ′B ′C ．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ）A ．−21aB ．−21(a+1)C ．−21(a −1)D ．−21(a+3)13. 两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个较大的正方形，如用两个边长分别为a ，b 的正方形拼成一个大正方形．图中Rt △ABC 的斜边AB 的长等于 （用a ，b的代数式表示）．14. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4cm ，BC=3cm ．动点M ，N 从点C 同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿CA 、CB 向终点A ，B 移动，同时动点P 从点B 出发，以每秒2cm 的速度沿BA 向终点A 移动，连接PM ，PN ，设移动时间为t （单位：秒，0＜t ＜2.5）．（1）当t 为何值时，以A ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似？（2）是否存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由．15. 已知四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 边上的点，DE 与CF 交于点G ．成立？并证明你的结论；16.数学活动---求重叠部分的面积．问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC 和△DEF 叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D 与边AB 的中点重合，DE 经过点C ，DF 交AC 于点G ．求重叠部分（△DCG ）的面积．（1）独立思考：请回答老师提出的问题．（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△DEF 绕点D 旋转，使DE ⊥AB 交AC 于点H ，DF 交AC 于点G ，如图2，你能求出重叠部分（△DGH ）的面积吗？请写出解答过程．（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将△DEF 绕点D 旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题．“爱心”小组提出的问题是：如图3，将△DEF 绕点D 旋转，DE ，DF 分别交AC 于点M ，N ，使DM=MN ，求重叠部分（△DMN ）的面积．任务：①请解决“爱心”小组提出的问题，直接写出△DMN 的面积是 .②请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图4中画出图形，标明字母，不必解答（注：也可在图1的基础上按顺时针旋转）．。
图形的相似综合复习题
图形的相似综合复习题一．选择题（共10小题）1．已知△ABC∽△DEF，若∠A＝35°，∠B＝65°，则∠F的度数是（）A．35°B．65°C．80°D．100°2．已知三个数2、3、4，如果再添加一个数，使得这四个数成比例，那么这个数可以是（）A．1.5B．2C．2.5D．33．下列条件中，不能判定△ABC与△DEF相似的是（）A．∠A＝∠D＝70°，∠B＝∠E＝50°B．∠A＝∠D＝70°，∠B＝50°，∠E＝60°C．∠A＝∠E，AB＝12，AC＝15，DE＝4，EF＝5D．∠A＝∠E，AB＝12，BC＝15，DE＝4，DF＝54．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形．如果其中一个是等腰角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”，如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD 和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为（）A．113°B．92°C．113°或92°D．92°或134°5．如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是（）A．OA•CD＝AB•OD B．C．∠A＝∠D D．∠B＝∠C6．如图，点D、E分别在AC、AB上，∠AED＝∠C，且BC＝2DE，则S四边形BEDC：S△ABC 的值为（）A．1：3B．2：3C．3：4D．4：97．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，DE：AE＝1：3，连接AC交BE于点F，则△AEF的面积与△BCF的面积之比为（）A．3：4B．9：16C．9：1D．3：18．如图，矩形ABCD∽矩形EFGH，已知AB＝3cm，BC＝5cm，EF＝6cm，则FG的长为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm9．如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2BD，则的值为（）A．B．C．D．10．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB＝6，则线段BC的长是（）A．2B．4C．1D．3二．填空题（共6小题）11．如图，点A（3，1）在反比例函数的图象上，过A作直线AB⊥y轴于B，在第三象限的反比例函数图象上找一点P，使PH⊥AB于H，若P、H、A三点组成的三角形与△AOB相似，则P点的坐标是．12．如图，直线AD∥BE∥CF，直线AC交AD，BE，CF于点A，B，C；直线DF交AD，BE，CF于点D，E，F，已知＝，则＝．13．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝2米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为米．14．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小得到△A′B′C′，若＝，△A′B′C′的周长为2，则△ABC的周长为．15．如图，平面直角坐标系中，正方形EFBG和正方形ABCD是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，点F，B，C在x轴上，若AD＝6，则点G的坐标为．16．已知过点B（3，﹣1）的抛物线y＝x2﹣x+c与坐标轴交于点A、C如图所示，连结AC，BC，AB，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作AM⊥MP交y轴于点P，当点P在点A上方，且△AMP与△ABC相似时，点M的坐标为．三．解答题（共4小题）17．如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点F，延长BC到点E，使得四边形ACED 是一个平行四边形，平行四边形ACED的对角线AE分别交BD、CD于点G、点H．（1）证明：DG2＝FG•BG；（2）若AB＝8，BC＝12，则线段GH的长度．18．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．（1）求证：四边形ODEC是矩形；（2）连接AE，交CD于点F，当∠ADB＝60°，AD＝4时，直接写出EA的长．19．如图，已知△ABC∽△AEF，若B，E，F三点共线，线段EF与AC交于点O．（1）求证：△ABE∽△ACF；（2）若AF＝4，BC＝6，△AOF的面积为8，求△BOC的面积．20．如图①，有一块三角形余料△ABC，它的边BC＝10，高AD＝6．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，AD交PN于点E，则加工成的正方形零件的边长为多少？小颖解得此题的答案为，小颖善于反思，她又提出了如下的问题：（1）如果原题中所要加工的零件是一个矩形，且此矩形由两个并排放置的正方形组成．如图②，此时，这个矩形零件的相邻两边长又分别是多少？（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图③，这样，此矩形零件的相邻两边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求这个矩形面积的最大值以及这个矩形面积达到最大值时矩形零件的相邻两边长又分别是多少？。
《相似》全章复习与巩固(知识讲解)九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题27.43《相似》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【要点梳理】【知识点一】成比例线段1、定义：四条线段,,,a b c d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段,,,a b c d 叫做成比例线段，简称比例线段。
2、性质：（1）基本性质：如果a cb d=，那么ad bc =；反之，若ad bc =(),,,0a b c d 都不等于，那么a c b d =（2）等比性质：如果()==0a c m b d n b d n =+++≠ ，那么a c m a b d n b +++=+++ （3）合比性质：如果a c b d =，那么a b c d b d ++=，a b c d b d --=【知识点二】平行线分线段成比例1、定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例2、推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例【知识点三】相似多边形1、定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。
相似多边形对应边的比叫做相似比2、性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方【知识点四】相似三角形1、定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形2、判定：（1）两角分别相等的两个三角形相似（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（3）三边成比例的两个三角形相似3、性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方【知识点五】黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ()AC BC >，如果AC BC AB AC=，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，即:0.618:1AC AB ≈【知识点六】位似图形1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P ,'P 所在的直线都经过同一点O ，且有'OP =()0k OP k ⋅≠，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O 叫做位似中心2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比3、画图步骤：（1）尺规作图法：①确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数()0k k ≠，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为k【典型例题】类型一、成比例线段和平行线分线段成比例1．已知三条线段a b c ，，满足1324a b c +==，且17a b c ++=．（1）求a b c ，，的值；（2）若线段d 是线段a 和b 的比例中项，求d 的值．【点拨】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k 法”用k 表示出a 、b 、c 可以使计算更加简便．【变式1】已知:2:3,:3:4a b b c ==，且26a b c +-=，求,,a b c 的值【答案】4a =，6b =，8c =．【分析】根据比的性质，可得a ，b ，c 用k 表示，根据解方程，可得k 的值，即可得答案．解：∵:2:3a b =，:3:4b c =，∴设2a k =，3b k =，4c k =，∴()22346k k k ⋅+-=，整理得：36k = ，解得：2k =，∴24a k ==，36b k ==，48c k ==．【点拨】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出2a k =，3b k =，4c k =是解题关键．【变式2】如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF PD=，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．，的长；（1）求AM DM（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？【点拨】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．2．如图，已知AD∥BE∥CF，它们以此交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F．若25DE EF =，AC=14，（1）求AB 的长．（2）如果AD=7，CF=14，求BE 的长．【点拨】本题考查平行线分线段成比例的知识，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【变式1】如图，已知AD//BE//CF，它们依次交直线1l、2l于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．（1）求DEDF的值；（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．【点拨】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH 是解决问题的关键．【变式2】如图，在ABC ∆中，点D 是边AB 上的一点.（1）请用尺规作图法，在ABC ∆内，求作ADE ∠，使ADE B ∠=∠，DE 交AC 于E ；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若2AD DB =，求AE EC的值.【点拨】本题考查了作一个角等于已知角，平行线分线段成比例定理，熟练掌握利用尺规作一个角等于已知角的作图方法是解题的关键.类型二、相似三角形判定和性质3．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是边AB 上的中线，EF 垂直平分CD ，分别交AC ，BC 于E ，F ，连接DE ，DF ．(1)求证：OCE OFD ∽△△．(2)当7AE =，24BF =时，求线段EF 的长．【答案】(1)见分析(2)25EF =【分析】（1）如图（见分析），先根据线段垂直平分线的性质可得90EOC DOF ∠=∠=︒，ED EC =，FD FC =，再根据三角形全等的判定定理证出EDF ECF ≅ ，根据全等三角形的性质可得12∠=∠，从而可得421∠=∠=∠，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）如图（见分析），延长FD 至G ，使DG DF =，连接AG ，EG ，先根据线段垂直平分线的判定与性质可得EG EF =，再根据三角形全等的判定定理证出ADG BDF ≅△△，根据全等三角形的性质可得24AG BF ==，7B ∠=∠，然后根据平行线的判定与性质可得90EAG ∠=︒，最后在Rt AEG △中，利用勾股定理即可得．（1）证明：∵EF 垂直平分CD ，∴90EOC DOF ∠=∠=︒，ED EC =，FD FC =，在EDF 和ECF △中，ED EC FD FC EF EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()EDF ECF SSS ≅ ，∴12∠=∠，∵90ACB ∠=︒，90EOC ∠=︒，∴233490∠+∠=∠+∠=︒，∴421∠=∠=∠，在OCE △和OFD △中，9014EOC DOF ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩，∴OCE OFD ．（2）解：如图，延长FD 至G ，使DG DF =，连接AG ，EG ．则ED 垂直平分FG ，【点拨】本题考查了相似三角形的判定、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，较难的是题（2），构造全等三角形和直角三角形是解题关键．【变式1】如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC=∠ACB=90°，E 为AB 的中点，（1）求证：AC 2=AB•AD ；（2）求证：CE ∥AD ；（3）若AD=4，AB=6，求的值．=．∴AF4【变式2】如图，在△ABC中，（1）求作：∠BAD=∠C，AD交BC于D．（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）．（2）在（1）条件下，求证：AB2=BD•BC．【点拨】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了相似三角形的判定与性质．中，过点C作CD//AB，E是AC的中点，连接DE并延长，4．如图，在ABC交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF()1求证：四边形AFCD是平行四边形．()2若GB3=，BC6=，3BF=，求AB的长．2【变式1】已知：如图6，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，BE⊥DC，垂足为E，交AC于点F.求证：(1)△ABF∽△BED；(2)求证：AC BD BE DE=.【变式2】如图，已知▱ABCD．（1）用直尺和圆规在BC边上取一点E，使AB=AE，连结AE；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的前提下，求证：AE=CD；∠EAD=∠D；（3）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，直接写出EF：FA的值．【答案】（1）见分析（2）证明见分析（3）1:2分析：(1)以点A为圆心，AB为半径作圆，该圆与BC的交点即为所求的点E;(2)根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EAD,根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB,即可得证；(3)由四边形ABCD是平行四边形，可证得△BEF∽△AFD即可求得EF∶FA的值．解：（1）如图所示：；（2）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD，∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB，∴∠B=∠EAD，∵∠B=∠D，∴∠DAE=∠D；（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△BEF ∽△AFD ，∴=，∵E 为BC 的中点，∴BE=BC=AD ，∴EF ：FA=1：2．【点拨】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是关键．5．如图，在ABC 中，点D 、点E 分别在AC 、AB 上，点P 是BD 上的一点，联结EP 并延长交AC 于点F ，且A EPB ECB ∠=∠=∠．(1)求证：BE BA BP BD ⋅=⋅；(2)若90ACB ∠=︒，求证：CP BD ⊥．【变式1】已知ADE C ∠=∠，AG 平分BAC ∠交DE 于F ，交BC 于G ．(1)求证：ADF ∽ACG ；(2)连接DG ，若DG AC ∥，25AF AG =，6AD =，求CE 的长度．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握以上的定理并熟练的运用．【变式2】如图，∠A＝∠C＝∠EDF，CF＝4，CD＝AD＝6；(1)求AE的长．(2)求证：△ADE∽△DFE．【点拨】此题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法以及根据相似三角形性质列出比例式进行求解是解题的关键．类型三、相似三角形拓展与提升6．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．(1)如图①，若PQ⊥BC，求t的值；(2)如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？【点拨】此题是相似形综合题，主要考查的是菱形的性质、等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．【变式1】已知，点E 、F 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、AD 上．(1)如图1，当四边形EFGH 是正方形时，求证：AE AH AB +=；(2)如图2，已知AE AH =，CF CG =，当AE 、CF 的大小有_________关系时，四边形EFGH 是矩形；(3)如图3，AE DG =，EG 、FH 相交于点O ，:4:5OE OF =，已知正方形ABCD 的边长为16，FH 长为20，当OEH △的面积取最大值时，判断四边形EFGH 是怎样的四边形？证明你的结论．【答案】(1)见分析(2)AE CF =(3)平行四边形，证明见分析【分析】（1）利用平行四边形的性质证得BEF AHE ∠=∠，根据角角边证明AEH BFE △≌△．（2）当AE CF =，证得AEH FCG △≌△，EBF △是等腰直角三角形，∠HEF =∠EFG =90°，即可证得四边形EFGH 是矩形．（3）利用正方形的性质证得AEGD 为平行四边形，过点H 作HM BC ⊥，垂足为点M ，交EG 于点N ，由平行线分线段成比例，设4OE x =，5OF x =，HN h =，则可表示出HN ，从而把△OEH 的面积用x 的代数式表示出来，根据二次函数求出最大值，则可得OE =OG ，OF =OH ，即可证得平行四边形．解：（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴90A B ∠=∠=︒，∴90AEH AHE ∠+∠=°．∵四边形EFGH 为正方形，∴EH EF =，90HEF ∠=︒，∴90AEH BEF ∠+∠=︒，∴BEF AHE ∠=∠．在AEH △和BFE △中，∵90A B ∠=∠=︒，AHE BEF ∠=∠，EH FE =，∴AEH BFE △≌△．∴AH BE =．∴AE AH AE BE AB +=+=；（2）AE CF =；证明如下：∵四边形ABCD 为正方形，∴90A B ∠=∠=︒，AB =BC =AD =CD ，∵AE =AH ，CF =CG ，AE =CF ，∴AH =CG ，∴AEH FCG △≌△，∴EH =FG ．∵AE =CF ，∴AB －AE =BC －CF ，即BE =BF ，∴EBF △是等腰直角三角形，∴∠BEF =∠BFE =45°，∵AE =AH ，CF =CG ，∴∠AEH =∠CFG =45°，∴∠HEF =∠EFG =90°，∴EH ∥FG ，∴四边形EFGH 是矩形．（3）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB CD ∥．【点拨】此题考查了正方形的性质，矩形的判定和平行四边形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，有一定的综合性，解题的关键是熟悉这些知识并灵活运用．【变式2】已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A．(1)如图1，当点G 在AD 上，F 在AB(2)将正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒，如图2，求：CE DG 的值为多少；(3)AB =AG AD =，将正方形AFEG 绕A 逆时针方向旋转(0360)αα︒<<︒，当C ，G ，E 三点共线时，请直接写出DG 的长度．正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转DAG CAE∴∠=∠12AG AD AE AC == GAD EAC ∴ ∽ 82AB =，22AG =82AD AB ∴==,AG =,,G E C 三点共线，Rt AGC △中，GC AC =由（2）知△ADG∽△【点拨】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．类型三、位似7．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.⑴以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2⑵连接⑴中的AA′，求四边形AA′C′C的周长.（结果保留根号）【点拨】此题主要考查了位似图形的画法以及勾股定理等知识，利用位似比得出对应点位置是解题关键．【变式一】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（5，2）．(1)以点B为位似中心，在网格内画出△ABC的位似△A1BC1，使得△A1BC1与△ABC的位似比为2；(2)直接写出点A1的坐标和△A1BC1的面积．(2)如图所示1A ：()3,7；11Δ116846222A BC S =⨯-⨯⨯-⨯【点拨】此题考查了位似变换和三角形面积求法，【变式二】如图，ABC 在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为()1,3A ，()2,1B ，()5,2C （正方形网格中，每个小正方形的边长为1），以点O 为位似中心，把ABC 按相似比2：1放大，得到对应A B C '''V ．(1)请在第一象限内画出A B C '''V ；(2)若以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点D 的坐标．【答案】(1)见分析(2)()14,4D ；()26,0D ；()32,2D -【分析】（1）根据点O 为位似中心，()1,3A ，()2,1B ，()5,2C ，把ABC 按相似比2：1放大，得到对应A B C '''V ，求出点'A ，'B ，'C 的坐标，在网格中描点顺次连线即得；C(2)设D(x,y)，∵平行四边形的对角线互相平分，且综上，()14,4D ；()26,0D ；()32,2D -．【点拨】本题主要考查了位似三角形，平行四边形，解决问题的关键是熟练掌握位似三角形的定义及画法，平行四边形对角线的性质和线段中点坐标公式．。
人教版相似复习题课件
180°－45°＝135°，由勾股定理得 BC＝ 22＋22＝2 2.
(2)△DEF 中，∠DEF＝135°，分别计算△ABC 的边 AB、BC
和△DEF 的边 DE、EF，AB＝2，BC＝2 2；EF＝2，DE＝ 2.
因为ADBE＝
2＝ 2
2，BECF＝2 2 2＝
2，
所
以
AB DE
＝
BC EF
，
(1)把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图 形并写出点B1的坐标；
(2)把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C，画出 △A2B2C的图形并写出点B2的坐标；
(3)把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比 为1∶2，画出△AB3C3的图形．
┃ 习题讲练
5．如图5，在△ABC中，AB＝AC＝1，点D，E在直线 BC上运动．设BD＝x，CE＝y.
(1)如果∠BAC＝30°，∠DAE＝105°，试确定y与x之间 的函数关系式；
(2)如果∠BAC＝α，∠DAE＝β，当α，β满足怎样的关系 时，(1)中y与x之间的函数关系式还
图1
┃ 习题讲练
2．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线 为边的三角形叫格点三角形．在如图1所示的5×5的方格中， 作格点△ABC和△OAB相似(相似比不为1)，则点C的坐标是 __________(_4_,0_)_或__(_3_,2__) _．
┃ 习题讲练 图2
┃ 习题讲练
8．一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5 m，AC 长为2.5 m，面积为1.5 m2，工人师傅要把它加工成一个面积 最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案， 甲的设计方案如图8①，乙的设计方案如图②.
中考数学《相似》专项复习综合练习题-附带答案
中考数学《相似》专项复习综合练习题-附带答案一、单选题1．已知△ABC∽△DEF相似比为3：1 且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．6 B．3 C．18 D．542．如图，在△ABC中，两条中线BE CD相交于点O，则S△DOE：S△COB等于（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：33．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（）A．10米B．12米C．15米D．22.5米4．阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7米的亮区DE ，（如图所示），已知亮区到窗口下的墙角的距离EC=8.7米，窗口高AB=1.8米，则窗口底边离地面的高BC为（）A．4米B．3.8米C．3.6米D．3.4米5．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积， S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．不能确定6．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点 BE：EC＝1：2 ，AE与BD相交于点F ，若S△BEF＝2，则S△ABD＝（）A ．24B ．25C ．26D ．237．如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后 在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1.2米 桌面距离地面1米 若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）A ．0.36 π 平方米B ．0. 81 π 平方米C ．2 π 平方米D ．3.24 π 平方米8．若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似。
如图，如果扇形AOB 与扇形 A1O1B1 是相似扇形 且半径 O1A1（ r 为不等于0的常数）那么下面四个结论：①∠AOB ＝∠ A 1O 1B 1；②△AOB ∽△ A 1O 1B 1 ；③AB:A 1B 1 =k ；④扇形AOB 与扇形 A 1O 1B 1的面积之比为 k2 。
第二十七章《相似》重点知识复习提纲(黄来胜)
第二十七章 《相似》重点知识单元复习知识点1 比例的性质① bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅． 1、若 = 则 =__________ 2、若 = 则a ：b=__________ 3、已知:== 且3a+2b-c=14 ,则 a+b+c 的值为_____ 知识点2 三角形相似的判定方法⑴、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. ⑵、三边对应成比例，两三角形相似.⑶、两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.⑷、两角对应相等，两三角形相似。
附：判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。
知识点3 相似三角形常见的图形b a 32b b a +b a b a -+22592a 3b 5c B C1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝴蝶型”）（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“子母型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
2、几种基本图形的具体应用： （1）若DE ∥BC （A型和X 型）则△ADE ∽△ABC （2）射影定理 若CD 为Rt △ABC则Rt △ABC ∽Rt △ACD∽Rt △CBD且AC 2=AD ·AB ，CD 2=AD ·BD ，BC 2=BD ·AB ； （3）当AD AE AC AB或AD ·AB=AC ·AE 时，△ADE（4）满足：1、AC 2=AD ·AB ，2、∠ACD=∠B ，3、∠ACB=∠ADC ， B E A C D 12A B C D E 12A A BB C C D D E E 12412B (D )B (3)B (2)都可判定△ADC ∽△ACB ．练习: 在直角梯形ABCD 中.AD=7 AB=2 DC=3 P 为AD 上一点,以P 、A 、B 的顶点的三角形与P 、D 、C 为顶点的三角形相似,那么这样的点P 有几个?为什么? 提示:分两种情况.知识点4 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等． 练习：1、如图，在△ABC 与△CAD 中，DA ∥BC ，CD 与AB 相交于E 点，且AE ︰EB=1︰2，EF ∥BC 交AC 于F 点，△ADE 的面积为1，求△BCE和△AEF 的面积．你还能求出△CEF 的面积吗？2、如图，已知：△ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB ，P 点在AC 上(与点A 、C 不重合)，Q 点在BC 上．(1)当△PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长；(2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长；3、如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m ，已知小明的身高是1.6 m ，他的影长是2 m ．求古塔的高度．知识点5 位似图形有关的概念与性质及作法1、 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比. 注：（1） 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点.（2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.（3） 位似图形的对应边互相平行或共线.2．位似图形的性质： 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.3. 画位似图形的一般步骤：（1） 确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）（2） 分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.（3） 根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.（4） 顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.4、 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O 为位似中心，相似比为k （k>0）,原图形上点的坐标为（x,y ）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点CB DAP的坐标为(-kx,-ky),提高练习1、如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.2、如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PE⊥BP，P 为垂足，PE交DC于点E，(1)设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；(2)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由.3、如图，在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC上任意一点，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F.(1)设BP=，△PEF的面积为，求与的函数解析式和的取值范围；(2)当P在BC边上什么位置时，值最大.。
中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案)
中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．【证明体验】如图1，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点90DPC A B ∠=∠=∠=︒，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅． 【思考探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点，当DPC A B β∠=∠=∠=时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在ABC 中22AB =45B ∠=︒以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △，点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若5CE =CD 的长．2．综合实践问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在ABC 中90,4B AB BC ∠=︒==分别取AB ，AC 的中点D ，E ，作ADE ．如图2所示，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连接BD ，CE ．(1)探究发现旋转过程中线段BD 和CE 的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用如图3，当DE 所在直线首次经过点B 时，求CE 的长． (3)延伸思考如图4，在Rt ABC △中90,8,6ABC AB BC ∠=︒==，分别取AB ，BC 的中点D ，E ．作BDE ，将BDE 绕点B 逆时针旋转，连接AD ，CE ．当边AB 平分线段DE 时，求tan ECB ∠的值．3．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．(1)写出图中两对相似三角形；(2)连接FG ，如果45α=︒，42AB =3AF =，求FG 的长．4．如图，在ABC 中6cm AB =，12cm BC =和90B ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设移动时间为()s t ．(1)当2t =时，求PBQ 的面积； (2)当t 为多少时，PBQ 的面积是28cm ？ (3)当t 为多少时，PBQ 与ABC 是相似三角形？5．下面是小新同学在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．如图，已知在矩形ABCD 中点E 为边AB 上一点（不与点A 、点B 重合），先将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点B 落在点F 处，CF 交AD 于点H ．(1)观察发现：写出图1中一个与AEG △相似的三角形：______．（写出一个即可）(2)迁移探究：如图2，若4AB =，6BC =当CF 与AD 的交点H 恰好是AD 的中点时，求阴影部分的面积． (3)如图③，当点F 落在边AD 上时，延长EF ，与FCD ∠的角平分线交于点M ，CM 交AD 于点N ，当FN AF ND =+时，请直接写出ABBC的值．6．【阅读】如图1，若ABD ACE ∽，且点B 、D 、C 在同一直线上，则我们把ABD △与ACE △称为旋转相似三角形．(1)【理解】如图2，ABC 和ADE 是等边三角形，点D 在边BC 上，连接CE ．求证：ABD △与ACE △是旋转相似三角形．(2)【应用】如图3，ABD △与ACE △是旋转相似三角形AD CE ，求证：③ABC ADE △△∽；③AC DE =；(3)【拓展】如图4，AC 是四边形ABCD 的对角线90,D B ACD ∠=︒∠=∠，25,20BC AC ==和16AD =，试在边BC 上确定一点E ，使得四边形AECD 是矩形，并说明理由．7．综合与实践如图1，已知纸片Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 上的高（AD BC ⊥于点D ）． 观察发现（1）请直接写出图中的一组相似三角形．（写出一组即可）实践操作第一步：如图2，将图1中的三角形纸片沿BE 折叠（点E 为AC 上一点），使点A 落在BC 边上的点F 处； 第二步：BE 与AD 交于点G 连接GF ，然后将纸片展平． 猜想探究（2）猜想四边形AEFG 是哪种特殊的四边形，并证明猜想． （3）探究线段GF ，BE ，GE 之间的数量关系，并说明理由．8．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=．证明思路是如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明AB BDAC CD=．(1)利用图2证明AB BDAC CD=； (2)如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，AB=2，求DE 的长．9．【教材原题】如图③，在ABC 中DE BC ∥，且3AD =，2DB =图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________ ；【改编】将图③中的ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到如图③所示的位置，连接BD 、CE ．求证：ABD ACE ∽△△；【应用】如图③，在ABC 和ADE 中90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒点D 在边BC 上，连接CE ，则ACE △与ABD △的面积比为__________．10．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明AB BDAC CD=； (2)基础训练：如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，2AB =求DE 的长；(3)拓展升华：如图4，ABC 中6AB = ，AC=4，AD 为BAC ∠的角平分线，AD 的中垂线EF 交BC 延长线于F ，当3BD =时，求AF 的长．11．定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在ABC 与AED △中ABC AED ∽△△．所以称ABC 与AED △为“阳似三角形”，连接EB DC ，，则DCEB为“阳似比”．(1)如图1，已知R ABC 与Rt AED △为“阳似三角形”，其中90CBA DEA ∠=∠=︒，当30BAC ∠=︒时，“阳似比”DCEB=______； (2)如图2，二次函数234y x x =-++交x 轴于点A 和B 两点，交y 轴于点C ．点M 为直线12y x =在第一象限上的一个动点，且OMB △与CNB 为“阳似三角形”，连接CM ③当点N 落在二次函数图象上时，求出线段OM 的长度； ③若32CN =34BM MC +的最小值．12．已知在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ．(1)在图1中写出其中的两对相似三角形．(2)已知1BD =，DC=2，将CBD △绕着点D 按顺时针方向进行旋转得到C BD '，连接AC '，BC ． ③如图2，判断AC '与BC 之间的位置及数量关系，并证明； ③在旋转过程中当点A ，B ，C '在同一直线上时，求BC 的长．13．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“和谐四边形”，这条对角线叫“和谐线”．(1)如图1，在44⨯的正方形网格中有一个网格Rt ABC △和两个网格四边形ABCD 与四边形ABCE ，其中是被AC 分割成的“和谐四边形”的是______．(2)如图2，BD 平分ABC ∠，43BD =10BC =，四边形ABCD 是被BD 分割成的“和谐四边形”，求AB 长； (3)如图3，A 为抛物线24y x =-+的顶点，抛物线与x 轴交于点B ，C ．在线段AB 上有一个点P ，在射线BC 上有一个点Q ．P 、Q 5/秒，5个单位/秒的速度同时从B 出发分别沿BA ，BC 方向运动，设运动时间为t ，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M ，使得四边形BQMP 是以PQ 为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．14．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：ABC 中D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，延长DE 、CA 交于点F ，DE=EF ，AB=5，求AE 的长．小白的想法是：过点E 作EH BC ∥交AC 于H ，再通过相似三角形的性质得到AE 、BE 的比，从而得出AE 的长．请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：ABC 中AD 平分BAC ∠交BC 于D ，E 为AB 边上一点，AE=AD ，H 、Q 为BC 上两点，CQ DH =和DQ mDH =，G 为AC 上一点，连接EQ 交HG 、AD 于F 、P ，180EFG EAD ∠+∠=︒猜想并验证EP 与GH的数量关系．15．【温故知新】（1）九（1）班数学兴趣小组认真探究了课本P 91第13题：如图1，在正方形ABCD 中E 是AD 的中点，F 是CD 上一点，且3CF DF =，图中有哪几对相似三角形?把它们表示出来，并说明理由．③小华很快找出ABE DEF △△∽，他的思路为：设正方形的边长4AB a =，则2,AE DE a DF a ===，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程； ③小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于ABE 与DEF 中的比例线段来证明EBF △与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；【拓展创新】（2）如图2，在矩形ABCD 中E 为AD 的中点，EF EC ⊥交AB 于F ，连结FC ．()AB AE > ③求证：AEF ECF ∽△△；③设2,BC AB a ==，是否存在a 值，使得AEF △与BFC △相似．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（3）52．(1)2BD CE =(2)6CE =(3)1tan 2ECB ∠=3．(1)DMG ③DBM △，EMF ③EAM △ (2)53FG =4．(1)8(2)2秒或4秒(3)当t 为3或1.2秒钟，使PBQ 与ABC 相似．5．(1)FHG △或DHC （写出一个即可）(2)阴影部分的面积是23 (3)AB BC 的值为357．（1）ABC DBA ∽ ABC CAD ∽ DBA DAC ∽（其中一个即可，答案不唯一）；（2）四边形AEFG是菱形，（3）212GF GE BE =⋅ 8． 5 9．【教材原题】ADE ABC △△∽，35【应用】13 10．5(3)611．23105337 12．(1)BCD ACD ∽ BCD BAC ∽△△ CAD BAC △∽△（任写两对即可）(2)③2AC BC '= AC BC '⊥ ③BC 2595+2595-+13．(1)四边形ABCE ；(2)10AB =或245； (3)1118t = 2881t = 1825t = 180169t =．14．阅读理解 54AE =；解决问题，猜想：12EP m GH m +=+． 15．③存在 3。
中考数学——相似的综合压轴题专题复习及答案
中考数学——相似的综合压轴题专题复习及答案一、相似1．在△ABC中，∠ABC=90°．（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC= ，求tanC的值；（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC= ，，直接写出tan∠CEB的值．【答案】（1）解：∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠AMB=∠BNC=90°，∴∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABC=90°，∴∠ABM+∠CBN=90°，∴∠BAM=∠CBN，∵∠AMB=∠NBC，∴△ABM∽△BCN（2）解：如图2，过点P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N.∵∠BAP+∠1=∠CPM+∠1=90°，∴∠BAP=∠CPM=∠C，∴MP=MC∵tan∠PAC=，设MN=2m,PN=m,根据勾股定理得，PM=,∴tanC=（3）解：在Rt△ABC中，sin∠BAC= = ，过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，∵∠DEB=90°，∴CH∥AG∥DE，∴ =同（1）的方法得，△ABG∽△BCH∴，设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，∵AB=AE，AG⊥BE，∴EG=BG=4m，∴GH=BG+BH=4m+3n，∴，∴n=2m，∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，在Rt△CEH中，tan∠BEC= =【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出∠AMB=∠BNC=90°，根据同角的余角相等得出∠BAM=∠CBN，利用两个角对应相等的两个三角形相似得出：△ABM∽△BCN；（2）过点P作PF⊥AP交AC于F，在Rt△AFP中根据正切函数的定义，由tan∠PAC=,同（1）的方法得，△ABP∽△PQF，故,设AB= a，PQ=2a，BP= b，FQ=2b（a＞0，b＞0），然后判断出△ABP∽△CQF，得从而表示出CQ，进根据线段的和差表示出BC，再判断出△ABP∽△CBA，得出再得出BC，从而列出方程，表示出BC,AB，在Rt△ABC中，根据正切函数的定义得出tanC的值；（3）在Rt△ABC中，利用正弦函数的定义得出：sin∠BAC=,过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，根据平行线分线段成比例定理得出，同（1）的方法得，△ABG∽△BCH ，故，设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，根据等腰三角形的三线合一得出EG=BG=4m，故GH=BG+BH=4m+3n，根据比例式列出方程，求解得出n与m的关系，进而得出EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，在Rt△CEH中根据正切函数的定义得出tan∠BEC的值。
专题27.46 《相似》全章复习与巩固(培优篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基
专题27.46《相似》全章复习与巩固（培优篇）（专项练习）一、单选题1．已知AB ＝2，点P 是线段AB 上的黄金分割点，且AP ＞BP ，则AP 的长为（ ）A B 1 C 352D ．32．如图，在△ABC 中，已知MN△BC ，DN△MC ．小红同学由此得出了以下四个结论：△AN CN ＝AM AB ；△AD DM＝AM MB ；△AM MB ＝AN CN ；△AD AM ＝ANAC .其中正确结论的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．我们把宽与长的比等于黄金比)的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形ABCD ()AB BC <中,ABC ∠的平分线交AD 边于点E ,EF BC ⊥于点F ,则下列结论错误．．的是（ ）A ．AE DEAD AE= B ．CF BFBF BC= C ．AE BEBE BC= D ．DE ABEF BC= 4．如图，正方形ABCD 中，AB=12，点E 在边BC 上，BE=EC ，将△DCE 沿DE 对折至△DFE ，延长EF 交边AB 于点G ，连接DG 、BF ，给出下列结论：△△DAG△△DFG ；△BG=2AG ；△△EBF△△DEG ；△S △BEF =725.其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．正方形ABCD 的边长为1cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接BF 、DE ，则图中阴影部分的面积是( )cm 2．A ．B ．C ．D ．6．如图，已知在等腰Rt △ABC 中，△ACB ＝90°，AD 为BC 边的中线，过点C 作CE △AD 于点E ，交AB 于点F ．若AC ＝2，则线段EF 的长为（ ）A ．35B C D ．237．如图，在矩形ABCD 中，点E 是对角线上一点，连接AE 并延长交CD 于点F ，过点E 作EG △AE 交BC 于点G ，若AB ＝8，AD ＝6，BG ＝2，则AE ＝（ ）A B C D 8．如图，在平面直角坐标系中，已知()20A -，，()04B ，，点C 与坐标原点O 关于直线AB对称．将ABC 沿x 轴向右平移，当线段AB 扫过的面积为20时，此时点C 的对应点1C 的坐标为（ ）A ．7855⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．9855⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．1855⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．1655⎛⎫- ⎪⎝⎭，9．如图，将矩形ABCD 折叠，使点D 落在AB 上点D ′处，折痕为AE ；再次折叠，使点C 落在ED ′上点C ′处，连接FC ′并延长交AE 于点G ．若AB =8，AD =5，则FG 长为（ ）A ．BC ．203D ．410．如图，在平面直角坐标系中，点A 、点B 在x 轴上，OB =5，OA =2，点C 是y 轴上一动点，连接AC ，将AC 绕点A 顺时针方向旋转60︒得到AD ，连接BD ，则BD 的最小值为（ ）A ．72B ．52C D 二、填空题11．如图，////AC EF DB ，若8AC =，12BD =，则EF =________．12．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D 是BC 边上一点，且3BD CD =，连接AD ，并取AD 的中点E ，连接BE 并延长，交AC 于点F ，则EF 的长为________．13．如图，在ABC 中，90,8,6,ACB AC BC AD ∠=︒==为边BC 上的中线，BE 是ABC 的角平分线，,AD BE 交于点F ．则EF 的长为______．14．如图，AD BC ⊥，垂足为C ，BF BC ⊥，点P 为线段BC 上一动点，连接AP ，过D 作DE AP ⊥交BF 于E ，连接PE ，若4AC BC ==，1CD =，则PE 长的最小值为______．15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，将矩形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转α角，得到矩形A ′B ′CD ′，B ′C 与AD 交于点E ，AD 的延长线与A ′D ′交于点F ．当矩形A 'B 'CD '的顶点A '落在CD 的延长线上时，则EF ＝_____．16．如图，Rt △ABC 中，△ACB =90°，AC =BC ，D 、E 分别在AC 、BC 上，CE =AD ，CG △DE 于点F ，FE =1，FG =3，则AC =______．17．如图，在菱形ABCD 中，ABC ∠是锐角，过点A 作AE BC ⊥于点E ，作EAF ABC ∠=∠，交CD 于点F ．连接EF 、BD ，若25ABCD S =菱形，25EF BD =，则AEF 的面积为_____．18．如图，平面直角坐标系中有正方形ABCD 和正方形EFGH ，若点A 和点E 的坐标分别为(2,3)-，(1,1)-，则两个正方形的位似中心的坐标是__________．三、解答题19．所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中较长部分对于全部之比，． (1 )如图△，在ABC 中，△A ＝36°，AB AC =，△ACB 的平分线CD 交腰AB 于点D ．请你根据所学知识证明：点D 为腰AB 的黄金分割点：(2) 如图△，在Rt ABC △中，△ACB ＝90°，CD 为斜边AB 上的高，AD BD >，1AB =，若点D 是AB 的黄金分割点，求BC 的长，20．如图，在等边ABC 中，D 是BC 的中点，过点A 作AE BC ∥，且AE DC =，连接CE ．(1) 求证：四边形ADCE 是矩形；(2) 连接BE 交AD 于点F ，连接CF ．若4AB =，求CF 的长．21．已知菱形ABCD 中，E 是BC 边上一点． (1) 在BC 的右侧求作AEF ，使得EF BD ∥，且12EF BD =；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2) 在（1）的条件下，若12EAF ABC ∠=∠，求证：AE =．22．已知不等臂跷跷板AB 长为3米，当AB 的一端点A 碰到地面时，（如图1）点B 离地高1.5米；当AB 的另一端点B 碰到地面时，（如图2）点A 离地高1米，求跷跷板AB 的支撑点O 到地面的距离为多少米？23．如图1．已知四边形ABCD 是矩形．点E 在BA 的延长线上．. AE AD EC =与BD 相交于点G ，与AD 相交于点,.F AF AB =()1求证：BD EC ⊥；()2若1AB =，求AE 的长；()3如图2，连接AG ，求证：EG DG -=．24．如图1，在矩形ABCD 中，P 为CD 边上一点（DP ＜CP ），△APB=90°．将△ADP 沿AP 翻折得到△AD′P ，PD′的延长线交边AB 于点M ，过点B 作BN△MP 交DC 于点N ．（1）求证：AD 2=DP•PC ；（2）请判断四边形PMBN 的形状，并说明理由；（3）如图2，连接AC，分别交PM，PB于点E，F．若DPAD =12，求EFAE的值．参考答案1．B【分析】根据黄金分割点的定义和AP＞BP得出AB，代入数据即可得出AP 的长度．解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且AP ＞BP ，则AP ×21． 故选：B ．【点拨】本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的352，较长的线段=． 2．C解：△△MN △ BC ，△ AN ：CN = AM ：BM ，该项错误；△△DN △ MC ，△ AD ：DM = AN ：NC ，再由（1）得 AD ：DM = AM ：BM ，该项正确；△根据（1）知，此项正确；△根据（2）知，此项正确．所以正确的有3个，故选C ．点睛：本题考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．3．C【分析】先根据矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定可得四边形ABFE 是正方形，再根据正方形的性质可得AE EF AB BF ===，再根据黄金矩形的定义逐项判断即可得．解：四边形ABCD 是矩形， 90,A ABC AD BC ∴∠=∠=︒=，EF BC ⊥，即90BFE ∠=︒，∴四边形ABFE 是矩形，BE 是ABC ∠的平分线，且,?EA AB EF BC ⊥⊥， AE EF ∴=，∴四边形ABFE 是正方形，AE EF AB BF ∴===，又四边形ABCD 是黄金矩形，且AB BC <，AB BC ∴=设1)(0)AB a a =≠，则2BC a =，1),2AE EF BF AB a AD BC a ∴======，(3,(3DE AD AE a CF BC BF a ∴=-==-=，1)BE a ，则AB B A A C E D ==DE AE ==， 即AE DEAD AE=，选项A 正确；CF BF AB BF BC BC == 即 CF BF BF BC=，选项B 正确；AE BE BE B C 即 AE BE BE BC≠，选项C 错误；AE DE DE AB EF BC===，则选项D 正确； 故选：C ．【点拨】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质，掌握理解黄金矩形的定义是解题关键．4．C【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF ，△A=△GFD=90°，于是根据“HL”判定Rt△ADG△Rt△FDG ，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF ，△BGE 为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，进而求出△BEF 的面积，再由△BEF 是等腰三角形，而△GED 显然不是等腰三角形，判断△是错误的，即可得答案．解：如图，由折叠可知，DF=DC=DA ，△DFE=△C=90°， △△DFG=△A=90°，在Rt△ADG 和Rt△FDG 中，AD DFDG DG =⎧⎨=⎩， △Rt△ADG△Rt△FDG ，故△正确； △正方形边长是12， △BE=EC=EF=6，设AG=FG=x ，则EG=x+6，BG=12﹣x ，由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，即：（x+6）2=62+（12﹣x）2，解得：x=4△AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，故△正确；BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，故△错误；△S△GBE=12×6×8=24，S△BEF：S△BGE=EF：EG，△S△BEF=610×24=725，故△正确．综上可知正确的结论是3个．故选C．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质、图形的翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键.5．B解：试题分析：阴影部分的面积可转化为两个三角形面积之和，根据角平分线定理，可知阴影部分两个三角形的高相等，正方形的边长已知，故只需将三角形的高求出即可，根据△DON△△DEC可将△ODC的高求出，进而可将阴影部分两个三角形的高求出．连接AC，过点O作MN△BC交AB于点M，交DC于点N，PQ△CD交AD于点P，交BC于点Q△AC为△BAD的角平分线，△OM=OP，OQ=ON；设OM=OP=h1，ON=OQ=h2，△ON△BC△，即，解得△OM=OP故选B.考点：角平分线的性质，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质点评：解题的关键是读懂题意及图形，正确作出辅助线，将阴影部分分成几个规则图形面积相加或相减求得．6．B【分析】过点B作BH△BC，交CF的延长线于H，由勾股定理可求AD的长，由面积法可求CE，由“AAS”可证△ACD△△CBH，可得CD＝BH＝1，AD＝CH△ACF△△BHF，可得BH FHAC FC=＝12，可求CF的长，即可求解．解：如图，过点B作BH△BC，交CF的延长线于H，△AD为BC边的中线，AC＝BC＝2，△CD＝BD＝1，△AD△11S22ACDAC CD AD CE =⨯⨯=⨯⨯，△CE，△△ADC +△BCH ＝90°，△BCH +△H ＝90°，△△ADC ＝△H ，在△ACD 和△CBH 中，90ADC H ACD CBH AC BC ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，△△ACD △△CBH （AAS ），△CD ＝BH ＝1，AD ＝CH△AC △BC ，BH △BC ，△AC △BH ，△△ACF △△BHF ， △BH FH AC FC=＝12，△CF△EF ＝CF ﹣CE ， 故选：B ．【点拨】本题考查了相似三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．7．B【分析】过点E 作AB 的平行线，分别交,AD BC 于点,M N ，先根据矩形的性质与判定可得四边形ABNM 和四边形CDMN 都是矩形，设(0)EM x x =>，则8EN x =-，再根据相似三角形的判定证出DEM DBA ，根据相似三角形的性质可得34x DM =，从而可得336,444x AM x GN =-=-，然后根据相似三角形的判定证出AEM EGN ，根据相似三角形的性质可得x 的值，最后在Rt AEM △中，利用勾股定理即可得．解：如图，过点E 作AB 的平行线，分别交,AD BC 于点,M N ，四边形ABCD 是矩形，8,6AB AD ==，6,90,BC AD BAD AD BC ∴==∠=︒，∴四边形ABNM 是矩形，8,90MN AB AME ENG ∴==∠=∠=︒，同理可得：四边形CDMN 是矩形，DM CN ∴=，设(0)EM x x =>，则8EN MN EM x =-=-，EM AB ，DEMDBA ∴， DM EM DA BA∴=，即68DM x =， 解得34x DM =， 34x CN ∴=，364AM AD DM x =-=-， 2BG =，344x GN BC BG CN ∴=--=-， 90,AME EG AE ∠=︒⊥，90EAM AEM GEN AEM ∴∠+∠=︒=∠+∠，EAM GEN ∴∠=∠，在AEM △和EGN △中，90AME ENG EAM GEN ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩， AEM EGN ∴，AM EM EN GN ∴=，即3643844x x x x -=--，解得4825=x 或8x =， 经检验，4825=x 是所列分式方程的根，且符合题意；8x =不是所列分式方程的根，舍去，483114,625425EM AM x ∴==-=，AE ∴=== 故选：B ．【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．8．B【分析】连接AA 1、BB 1，过C 点作CE △x 轴于E 点，过B 点作BD △CE ，交EC 的延长线于点D ，根据A (-2，0)、B (0，4)，OA =2，OB =4，进而得到AC =2，BC =4，再证Rt △DBC △Rt △ECA ，得到422BD CD BC CE AE AC ====，设AE =x ，则有CD =2x ，OE =AO +AE =2+x ，在Rt △ACE 中，222AC CE AE =+，即有22222()2x x +=+，解方程求出x ，即可求出AE ，则C 点坐标可求，再根据AB 扫过的面积为20，求得15AA =，可知△ABC 向右平移了5个单位，则问题得解．解：平移后的效果如图，连接AA 1、BB 1，过C 点作CE △x 轴于E 点，过B 点作BD △CE ，交EC 的延长线于点D ，根据平移的性质可知AA 1=BB 1，且11//AA BB ，即有四边形11AA BB 是平行四边形．△CE △x 轴，BD △CE ，△△D =△CEA =90°，根据对称的性质可知△AOB △△ACB ，△△ACB =△AOB =90°，AO =AC ，OB =BC ，△A (-2，0)、B (0，4)，△OA =2，OB =4，△AO =AC =2，OB =BC =4，△△ACB =90°=△D ，△△DCB +△ACE =90°，△DCB +△DBC =90°，△△ACE =△CBD ，△Rt △DBC △Rt △ECA ， △422BD CD BC CE AE AC ====， 设AE =x ，则有CD =2x ，△OE =AO +AE =2+x ，△△D =△CEA =90°=△AOB ，△四边形OBDE 是矩形，△BD =OE ，即BD =2+x ， △422BD CD BC CE AE AC ====， △222BD x CE +==， △在Rt △ACE 中，222AC CE AE =+，△有22222()2x x +=+，解得65x =，（负值舍去）， △65AE =， △1625OE x =+=，2825x CE +==， △C 点坐标为168()55-，， 根据平移的性质可知直线AB 扫过的图形为是平行四边形11AA BB ，△根据题意有1120AA BB S =平行四边形，△11114AA BB S AA OB AA =⨯=平行四边形，△1420AA =，△15AA =，△可知△ABC向右平移了5个单位，△C168()55-，也向右平移了5个单位才得到C1，△即169555 -+=，△C1点坐标为98 () 55，，故选：B．【点拨】本题考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，求出C点的坐标是解答本题的关键．9．C【分析】过点G作GI△AB，GH△ED'，垂足分别为I、H，由折叠的性质可得C′E=5-4=1，在Rt△EFC′中，设FC′=x，则EF=3-x，由勾股定理得：12+（3-x）2=x2，解得：x=53，再证明△BC′D'△△C′GH，设C′H=3m，则GH=4m，C′G=5m，则HD'=GI=AI=4-3m，ID'=5-（4-3m）=1+3m=GH=4m，可得到C′G=5m=5，从而解决问题．解：由折叠的性质得，△AD'E=△D=90°，AD=AD'，又△△DAB=90°，△四边形ADED'是矩形，△AD=AD'，△四边形ADED'是正方形，过点G作GI△AB，GH△ED'，垂足分别为I、H，△AD'ED是正方形，△AD=DE=ED'=AD'=5，BC=BC′=5，△C=△BC′F=90°，FC=FC′，△D'B=EC=8-5=3，在Rt△C′BD'中，C′D'=4，△C′E=5-4=1，在Rt△EFC′中，设FC′=x，则EF=3-x，由勾股定理得：12+（3-x）2=x2，解得：x=53，△△BC′D'+△GC′H=90°，△GC′H+△C′GH=90°，△△BC′D'=△C′GH，又△△GHC′=△BD'C′=90°，△△BC′D'△△C′GH，△C′H：GH：C′G=BD'：C′D'：BC′=3：4：5，设C′H=3m，则GH=4m，C′G=5m，△HD'=GI=AI=4-3m，ID'=5-（4-3m）=1+3m=GH=4m，解得：m=1，△C′G=5m=5，△FG=203；故选：C．【点拨】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造三角形相似是解题的关键．10．A【分析】构造等边三角形OAE，过点E作AE△EF，垂足为E，交x轴于点F，截取ED=OC,证明△AOC△△AED，得到AC=AD，且△CAD=60°，从而得到点D在直线EF上，过点B作BD△EF，此时BD最小．解：构造等边三角形OAE，过点E作AE△EF，垂足为E，交x轴于点F，截取ED=OC,△等边三角形OAE，△AO=AE，△OAE=△AOE=60°，△ED=OC, △AED=△AOC=90°，△△AOC△△AED，△AC =AD ，且△CAD =60°，△点D 在直线EF 上，过点B 作BD △EF ，此时BD 最小，△OB =5，OA =2，△AE∥BD ，△OEF =△OFE =30°，△OF =OE =OA =AE =2，AB =3，△F A =4，FB =7，AE FA BD FB=， △247BD =， 解得BD =72， 故选A ．【点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握三角形相似的判定，垂线段最短原理是解题的关键．11．245【分析】根据平行线AC△EF 分线段成比例得到.EF BF CA AB =同理EF AF DB AB =，则由比例的性质得到DB EF BF DB AB -=，根据等量代换推知EF DB EF CA DB-=，所以把相关数据代入即可求得EF 的值．解：如图,△AC △EF ，△.EF BF CA AB= 又△EF △DB ， △EF AF DB AB=， 则由比例的性质知,DB EF AB AF DB AB --= 即DB EF BF DB AB -=， △EF DB EF CA DB-=， △AC =8，BD =12，△12812EF EF -= △EF =245. 故答案是：245. 【点拨】考查平行线分线段成比例定理：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例.12【分析】利用△ABC 是直角三角形构造直角坐标系，过点D 作DM △AC 于M ，过点D 作DN △AB 于N ，利用图中各线段的长度，再结合一次函数、中点坐标公式可以求出图中各点的坐标，即可求出EF 的长．解：根据△BAC =90°可知△ABC 是直角三角形，则以直角△ABC 的顶点A 点为坐标原点O ，以AC 为x 轴，以AB 为y 轴构造直角坐标系，过点D 作DM △AC 于M ，过点D 作DN △AB 于N ，如图，由AB =AC =4，可知B 点坐标为(4,0)，C 点坐标为(0,4)，则直线BC 的解析式为4y x =-，△BD =3CD ，△4CD =BC ，△DM △AC ，DN △AB ，△有MD AB ∥，MD AB ∥， 则有CD CM MD BC CA AB ==，即有：14CD CM MD BC CA AB ===， 则可求得D 点坐标为：(1,3)，又△E 点为AD 中点，△根据中点坐标公式又E 点坐标为：13(,)22，则直线BE 的解析式为：31277y x =-+， 则易得F 点坐标为：12(0,)7，则EF 的长度为：EF =【点拨】本题考查了运用直角坐标系求线段的长度的问题，设计根据点的坐标求解一次函数解析式、中点坐标公式、线段长度公式等知识，利用直角三角形的特点构建直角坐标系是解答本题的关键．13【分析】过点E 作EG △AB ，垂足为G ，证明△CBE △△GBE ，求得CE ，EG ，AE 的长，过点F 作FO △AC ，垂足为O ，利用平行线分线段成比例定理求解即可．解：△90,8,6,ACB AC BC ∠=︒==，过点E 作EG △AB ，垂足为G ，△BE 是ABC 的角平分线，△△CBE =△GBE ，△△C =△BGE =90°，BE =BE ，△△CBE △△GBE ，△BC =BG =6，EC =EG ，设CE =x ，则EG =x ，AE =8-x ,AG =AB -BG =4,在直角三角形AEG 中，根据勾股定理，得222AE EG AE =+，即222(8)4x x -=+，解得x =3，△CE =3，AE =5，过点F 作FO △AC ，垂足为O ，90ACB ∠=︒，△FO∥BC ， △OF OE BC CE =， △623OF BC OE CE ===即FO =2OE ， △AD 是中线，BC =6，△CD =3，△FO∥DC ， △8OF AE OE DC +=， △2538OE OE +=， 解得OE =1513， 在直角三角形OEF 中，22225EF EO OF EO =+=，△EF． 【点拨】本题考查了勾股定理，三角形全等，平行线分线段成比例定理，中线，角的平分线，构造辅助线实施全等证明，平行线分线段成比例证明是解题的关键．14【分析】设DE 交AP 于点Q ，DE 交BC 于点H ，根据DE AP ⊥，确定点Q 在以AD 为直径的圆周上运动，得到当点Q 与点P 重合时，PE 最小，此时，点Q 、点P 与点H 重合，取AD 的中点O ，连接OP ，利用勾股定理求出CP ，再证明△CDP △△BPE ，利用勾股定理求出答案．解：设DE 交AP 于点Q ，DE 交BC 于点H ，△DE AP ⊥，△90AQD EQP ∠=∠=︒，△点Q 在以AD 为直径的圆周上运动，当点Q 与点P 重合时，PE 最小，此时，点Q 、点P 与点H 重合，取AD 的中点O ，连接OP ，△52OA OD OP ===，32OC =,△2CP ==， △AD △BF ，△△CPD △△BPE ，△2BP CP ==，△△CDP △△BPE ，△PE PD =【点拨】此题考查图形中的动点问题，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定，正确理解点Q 的位置与点P 的位置确定PE 的最小值位置是解题的关键．15．154##334 【分析】根据矩形的性质得90D '∠=︒，根据勾股定理得222=+A C A D CD '''，再证明A DF A D C '''△∽△得A D DF A D CD''''=，证明CDE CB A ''△∽△得CD ED CB A B '''=，分别计算DF 和DE 的长即可得解．解：△四边形ABCD 是矩形，矩形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转α角，得到矩形A ′B ′CD ′， △90D '∠=︒，=4AD A D BC ''==，3CD CD AB '===，在Rt A CD ''△中，=90D '∠︒，△222=+A C A D CD ''''，△5A C '=，2A D '=，△=DA F CA D '''∠∠，=90A DF D ''∠∠=︒，△A DF A D C '''△∽△，△A D DF A D CD ''''=， △243DF =， △DF 32=， 同理可得CDE CB A ''△∽△， △CD ED CB A B '''=， △343ED =， △ED 94=， △EF ＝ED +DF 154=， 故答案为：154． 【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．16．【分析】过点D 作DT △AD 交AB 于点T ，连接ET ，连接CT 交DE 于点M ，通过推导角度可知CT =CG ，且四边形DTEC 为矩形，设CF 为x ，表示出DF ，利用相似可求出x ，进而可得结果．解：过点D 作DT △AD 交AB 于点T ，连接ET ，连接CT 交DE 于点M ，△Rt △ABC 中，△ACB =90°，AC =BC ，△△A =△B =45°，△DT △AD ，△△ADT 为等腰直角三角形，△CE =AD ，△DT =CE ，△DT ∥CE ，△DCE =90°，△四边形DTEC 为矩形，△DE =CT ，设△BCG =α，则△CDE =α，△△DCT =α，△△CTB =45°+α，△△CGT =45°+α，△CT =CG ，△DE =CG ，设CF =x ,则DE =CG =x +3，△DF =x +2，△△CFE △△DFC ， △CF EF DF CF=，即2CF EF DF =⋅， △22x x =+，解得x =2或x =-1（舍），△CF =2，△DF =4，CE =AD△CD△AC故答案为：【点拨】本题考查三角形与四边形综合知识，需要同学们熟练掌握等腰直角三角形的性质、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，选择适当的辅助线将AD =CE 这一条件联系起来是解题关键．17．8【分析】连接AC ，设2CE a =，由菱形的性质和AE BC ⊥可证()ABE ADF ASA ≌，由全等三角形的性质可得BE DF =，从而推出CEF CBD ∠=∠，由相似三角形的判定得出CEF CBD ∽△△，所以25EC EF BC BD，所以5AB AD BC a ===，3BE a =，利用勾股定理得4AE a =，然后再证明FAE ABC △∽△，由相似三角形的性质得1625AEF ABC S S =△△，即可求解．解：连接AC ，设2CE a =，△四边形ABCD 是菱形，AE BC ⊥，△AB AD DC BC ===， AD BC ∥，ABC ADC ∠=∠，CBD CDB ∠=∠，90AEB =︒∠，△90DAE AEB ∠=∠=︒，△90ABC BAE EAF DAF ∠+∠=∠+∠=︒，△EAF ABC ∠=∠，△BAE DAF ∠=∠，在ABE △和ADF 中，BAE DAF AB ADABE ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △()ABE ADF ASA ≌，△BE DF =，AE AF =，△CE CF =，△CEF CFE ∠=∠，△CBD CDB ∠=∠，BCD ECF ∠=∠， △()11802CEF ECF ∠=︒-∠，()11802CBD BCD ∠=︒-∠， △CEF CBD ∠=∠，△CEF CBD ∽△△， △25ECEF BC BD ， △5BC a =，△5AB AD BC a ===，523BE BC EC a a a =-=-=，△4AE a ==，△4AF AE a ==，△45AF AE BA BC ==， 又△FAE ABC ∠=∠，△FAE ABC △∽△，△22416525AEF ABC S AE a S BC a ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△， △四边形ABCD 是菱形，25ABCD S =菱形， △12522ABC ADC ABCD S S S ===△△菱形， △161625825252AEF ABC S S ==⨯=△△． 故答案为：8．【点拨】本题是相似综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识． 掌握菱形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．18．1(,0)4或3(4,-)2 【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是点A 和E 是对应顶点，B 和F 是对应顶点；另一种是点A 和G 是对应顶点，C 和E 是对应顶点．解：△平面直角坐标系中有正方形ABCD 和正方形EFGH ，点A 和点E 的坐标分别为(2,3)-，(1,1)-，△(2,0)B -，(2,1)H -，(2,0)G ，（1）当点A 和E 是对应顶点，B 和F 是对应顶点时，位似中心就是AE 与BF 的交点， 如图所示：连接AE ，交x 轴于点N ，点N 即为两个正方形的位似中心，设AE 所在直线解析式为：y kx b =+，把(2,3)A -，(1,1)E -代入得：故321k b k b=-+⎧⎨-=+⎩， 解得：4313k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故4133y x =-+；当0y =时，即41033x =-+，解得14x =，即点坐标为1(4，0)， ∴两个正方形的位似中心的坐标是：1(4，0)．（2）当点A 和G 是对应顶点，B 和H 是对应顶点时，位似中心就是AG 与BH 的交点，如图所示：连接AG ，DF ，BH ，CE 并延长交于点M ，设AG 所在直线解析式为：y kx b =+，把(2,3)A -，(2,0)G 代入得：故3202k b k b =-+⎧⎨=+⎩， 解得：3432k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故3342y x =-+； 设BH 所在直线解析式为：y mx n =+，把(2,0)B -，(2,1)H -代入得：1412m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 故1142y x =--，联立直线BH 、AG 得方程组：33421142y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得：432x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩， 故3(4,)2M -， 综上所述：两个正方形的位似中心的坐标是：1(4，0)或3(4,)2-． 故答案为：1(4，0)或3(4,)2-．【点拨】此题主要考查了位似图形的性质以及函数交点求法以及位似变化中对应点的连线一定经过位似中心．注意：本题应分两种情况讨论．根据点的对应关系利用一次函数求直线的交点是解题关键．19．(1)证明见分析(2)2【分析】（1）根据三角形内角和定理，等边对等角，等角对等边确定BC =AD ，△BCD =△A ，根据相似三角形的判定定理和性质即可证明．（2）根据黄金分割的定义求出BD 的长度，根据相似三角形的判定定理和性质求出BC 2，进而即可求出BC 的长度．（1）证明：△在ABC 中，△A ＝36°，AB AC =， △180722A B ACB ︒-∠∠=∠==︒． △CD 为△ACB 的平分线， △1362ACD BCD ACB ∠∠=∠︒==， △△ACD =△BCD =△A ．△AD =DC ．△18072BDC B BCD ∠=︒-∠-∠=︒．△△BDC =△B ，△BDC >△BCD ．△DC =BC ，BC >BD ．△BC =AD ．△AD >BD ．△CBD ABC ∠=∠，△CBD ABC ∽△△． △BC BD BA BC=，即AD BD BA AD =． △点D 是腰AB 的黄金分割点．（2）解：△点D 是AB 的黄金分割点，AD BD >，△AD BD AB AD ==．△1AB =，△2AD =．△1BD =．△90ACB ∠=︒，CD 是△ABC 斜边上的高，△90ACB CDB ∠=∠=︒．△ABC CBD ∠=∠，△ACB CDB ∽△△． △AB BC CB BD=．△)2114BC AB BD =⋅==． △2BC =．【点拨】本题考查三角形内角和定理，等边对等角，等角对等边，相似三角形的判定定理和性质，综合应用这些知识点是解题关键．20．(1)见分析【分析】（1）由AE BC ∥，AE DC =，可得四边形ADCE 是平行四边形，由ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点，得到△ADC ＝90°，结论得证；（2）由等边三角形的三线合一求得BD ，在Rt ABD △中，由勾股定理得AD ，BE ，由AD EC ，D 为BC 的中点，得到F 为BE 的中点，△BCE 是直角三角形，由斜边上中线等于斜边的一半得到答案．（1）证明：△AE BC ∥，AE DC =，△四边形ADCE 是平行四边形．△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点，△AD BC ⊥．△90ADC ∠=︒．△四边形ADCE 是矩形．（2）解：如图，△ABC 是等边三角形，4AB =，△4BC AB ==．△D 是BC 的中点，△2BD =．在Rt ABD △中，90ADB ∠=︒，△AD =△四边形ADCE 为矩形，△==EC AD 90ECB ∠=︒，AD EC ∥．△BE =△AD EC ∥，D 为BC 的中点， △1==BF BD FE DC． △F 为BE 的中点．△△BCE 是直角三角形，△12==CF BE 【点拨】此题考查了矩形判定和性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定、平行线分线段成比例、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质和判定是解题的关键．21．(1)见分析；(2)见分析.【分析】（1）连接AC 交BD 于O ，在BC 右侧作△CEF =△CBD ，再在射线EF 截取EF =OB ，连接AE 、AF ，即可得△AEF ；（2）延长EF 交AD 延长线于点G ，先证明四边形BEGD 是平行四边形，可得EG =BD =2EF ，△G =△CBD ，（1）解：如图，连接AC 交BD 于O ，在BC 右侧作△CEF =△CBD ，再在射线EF 截取EF =OB ，连接AE 、AF ，则△AEF 即为所要求作的三角形，再证~EAF EGA ，可得EF AE AE EG=，最后证得结果；（2）证明：延长EF 交AD 延长线于点G ，△四边形ABCD 是菱形，△AD //BC∥又△EF //BD ，EF =12BD ，△四边形BEGD 是平行四边形，△EG =BD =2EF ，△G =△CBD ，又△在菱形ABCD 中，△CBD =12△ABC ，12EAF ABC ∴∠=∠， EAF G ∴∠=∠，又△AEF GEA ∠=∠，~EAF EGA ∴，EF AE AE EG∴=， 2222AE EF EG EF EF EF ∴=⋅=⋅=，AE ∴=；【点拨】本题考查作图-复杂作图、相似三角形的性质与判定、菱形的性质、平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．跷跷板AB 的支撑点O 到地面的距离为0.6米．【分析】过点B 作BN ⊥AH 于点N ，AM ⊥BH 于点M ，直接利用相似三角形的判定与性质分别得出OH AO BN AB=，OH BO AM AB =，即可得出答案． 解：如图所示：过点B 作BN ⊥AH 于点N ，AM ⊥BH 于点M ，可得HO ∥BN ，则△AOH ∽△ABN ， 故OH AO BN AB=， ∵AB 长为3米，BN 长为1.5米， ∴1.53OH AO =， ∴2OH OA =同理可得：△BOH ∽△BAM ， 则OH BO AM AB=， ∵AB 长为3米，AM 长为1米， ∴313OH AO -=，即3213OH OH -= ∴OH ＝0.6，答：跷跷板AB 的支撑点O 到地面的距离为0.6米．【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出比例式，建立方程是解题关键．23．（1）见分析；（2；（3）见分析 【分析】（1）由矩形的形及已知证得△EAF△△DAB ，则有△E=△ADB ，进而证得△EGB=90º即可证得结论；（2）设AE=x ，利用矩形性质知AF△BC ，则有EA AF EB BC=，进而得到x 的方程，解之即可；（3）在EF 上截取EH=DG ，进而证明△EHA△△DGA ，得到△EAH=△DAG ，AH=AG ，则证得△HAG 为等腰直角三角形，即可得证结论．解：（1）△四边形ABCD 是矩形，△△BAD=△EAD=90º，AO=BC ，AD△BC ，在△EAF 和△DAB ，AE AD EAF DAB AF AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△EAF△△DAB(SAS)，△△E=△BDA ，△△BDA+△ABD=90º，△△E+△ABD=90º，△△EGB=90º，△BG△EC ；（2）设AE=x ，则EB=1+x ，BC=AD=AE=x ，△AF△BC ，△E=△E ，△△EAF△△EBC ， △EA AF EB BC =，又AF=AB=1， △11x x x=+即210x x --=，解得：x =x =（舍去） 即； （3）在EG 上截取EH=DG ，连接AH ，在△EAH 和△DAG ，AE AD HEA GDA EH DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△EAH△△DAG(SAS)，△△EAH=△DAG ，AH=AG ，△△EAH+△DAH=90º，△△DAG+△DAH=90º，△△HAG=90º，△△GAH 是等腰直角三角形，△222AH AG GH +=即222AG GH =，，△GH=EG -EH=EG -DG ，△EG DG -=．【点拨】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．24．（1）证明见分析；（2）四边形PMBN 是菱形，理由见分析；（3）49EF AE = 【分析】（1）过点P 作PG△AB 于点G ，易知四边形DPGA ，四边形PCBG 是矩形，所以AD=PG ，DP=AG ，GB=PC ，易证△APG△△PBG ，所以PG 2=AG•GB ，即AD 2=DP•PC ；（2）DP△AB ，所以△DPA=△PAM ，由题意可知：△DPA=△APM ，所以△PAM=△APM ，由于△APB -△PAM=△APB -△APM ，即△ABP=△MPB ，从而可知PM=MB=AM ，又易证四边形PMBN 是平行四边形，所以四边形PMBN 是菱形；（3）由于12DP AD =，可设DP=k ，AD=2k ，由（1）可知：AG=DP=k ，PG=AD=2k ，从而求出GB=PC=4k ，AB=AG+GB=5k ，由于CP△AB ，从而可证△PCF△△BAF ，△PCE△△MAE ，从而可得59AF AC ＝，513AE AC ＝，从而可求出EF=AF -AE=59AC -513AC =20117AC ，从而可得2041175913AC EF AE AC ==． 解：（1）过点P 作PG△AB 于点G ，△易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形，△AD=PG，DP=AG，GB=PC△△APB=90°，△△APG+△GPB=△GPB+△PBG=90°，△△APG=△PBG，△△APG△△PBG，△PG GB AG PG＝，△PG2=AG•GB，即AD2=DP•PC；（2）△DP△AB，△△DPA=△PAM，由题意可知：△DPA=△APM，△△PAM=△APM，△△APB-△PAM=△APB-△APM，即△ABP=△MPB△AM=PM，PM=MB，△PM=MB，又易证四边形PMBN是平行四边形，△四边形PMBN是菱形；（3）由于12 DPAD，可设DP=k，AD=2k，由（1）可知：AG=DP=k，PG=AD=2k，△PG2=AG•GB，△4k2=k•GB，△GB=PC=4k，AB=AG+GB=5k，△CP△AB，△△PCF△△BAF，△45 CF PCAF AB==，△59 AFAC＝，又易证：△PCE△△MAE，AM=12AB=52k,△48552CE PC kAE AM k===△513 AEAC＝，△EF=AF-AE=59AC-513AC=20117AC，△2041175913ACEFAE AC==.【点拨】本题考查相似三角形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．。
2020-2021哈尔滨中考数学——相似的综合压轴题专题复习
2020-2021哈尔滨中考数学——相似的综合压轴题专题复习一、相似1．如图，△ABC是一锐角三角形余料，边BC=16cm，高AD=24cm，要加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上．求：（1）AK为何值时，矩形EFGH是正方形？（2）若设AK=x，S EFGH=y，试写出y与x的函数解析式．（3）x为何值时，S EFGH达到最大值．【答案】（1）解：设边长为xcm，∵矩形为正方形，∴EH∥AD，EF∥BC，根据平行线的性质可以得出： = 、 = ，由题意知EH=x，AD=24，BC=16，EF=x，即 = ， = ，∵BE+AE=AB，∴ + = + =1，解得x= ，∴AK= ，∴当时，矩形EFGH为正方形（2）解：设AK=x，EH=24-x，∵EHGF为矩形，∴ = ，即EF= x，∴S EFGH=y= x•（24-x）=- x2+16x（0＜x＜24）（3）解：y=- x2+16x配方得：y= （x-12）2+96，∴当x=12时，S EFGH有最大值96【解析】【分析】（1）设出边长为xcm，由正方形的性质得出，EH∥AD，EF∥BC，根据平行线的性质，可以得对应线段成比例，代入相关数据求解即可。
（2）设AK=x，则EH=16-x，根据平行的两三角形相似，再根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比，用含x的代数式表示出EF的长，根据矩形面积公式即可得出y与x的函数解析式。
（3）将（2）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可得出矩形EFGH的面积取最大值时的x的值。
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1．（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；（2）联结AC、BC，若△ABC的面积为6，求此抛物线的表达式；（3）在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，当△CGF为直角三角形时，求点Q的坐标．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=1，而抛物线与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0）∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，当x=0时，y=﹣3a，∴C（0，﹣3a）（2）解：∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），∴AB=4，OC=3a，∴S△ACB= AB•OC=6，∴6a=6，解得a=1，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3（3）解：设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，如图，∵点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，∴QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3，∴OF=2m+1，HF=1，当∠CGF=90°时，∵∠QGH+∠FGH=90°，∠QGH+∠GQH=90°，∴∠GQH=∠HGF，∴Rt△QGH∽Rt△GFH，∴ = ，即，解得m=9，∴Q的坐标为（9，0）；当∠CFG=90°时，∵∠GFH+∠CFO=90°，∠GFH+∠FGH=90°，∴∠CFO=∠FGH，∴Rt△GFH∽Rt△FCO，∴ = ，即 = ，解得m=4，∴Q的坐标为（4，0）；∠GCF=90°不存在，综上所述，点Q的坐标为（4，0）或（9，0）．【解析】【分析】（1）根据抛物线是轴对称图形和已知条件可求得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，再用交点式可求得抛物线的解析式，然后根据抛物线与y轴交于点C可得x=0，把x=0代入解析式即可求得点C的坐标；（2）由（1）的结论可求得AB=4，OC=3a，根据三角形ABC的面积=AB•OC=6可求得a的值，则解析式可求解；（3）设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，根据中心对称的性质可得QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3。
中考数学复习《相似》专题训练-附带有答案
中考数学复习《相似》专题训练-附带有答案一、单选题1．已知△ABC∽△A′B′C′，BCA′C′=23，ABA′B′=34则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（）A．49B．23C．916D．342．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（）A．DE∥BC B．∠AED=∠BC．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC3．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，E是矩形ABCD的边CD上的点，BE交AC于O，已知△COE与△BOC的面积分别为2和8，则四边形AOED的面积为（）A．16 B．32 C．38 D．405．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C(1,2)、D(2,0)，以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为(6,0)，则点A的坐标为（）A．(3,5)B．(3,6)C．(2,6)D．(3,8)6．如图，直线，直线AC分别交，和于点A，B，C，直线DF分别交，和于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（）A．B．2 C．D．7．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B′的坐标是（）A．（－2，3）B．（2，－3）C．（3，－2）或（－2，3）D．（－2，3）或（2，－3）8．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足BPAP =APAB，则称点P是AB的黄金分割点，世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”，若图中AB＝8，则BP的长度是（）A．12−4√5B．4+4√5C．4√5−4D．2二、填空题9．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，D是斜边AB的中点，G是Rt△ABC的重心，GE⊥AC于点E．若BC=6 cm，则GE= cm．10．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形．若DE=2cm，则AC的长为．的图象11．如图，一次函数y=x+b（b>0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y=8x交于点C，若AB=BC，则b的值为．12．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为．13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，交BC于点E，若BD＝6，AE＝5，AB ＝7，则AC＝.三、解答题14．如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交于CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．15．在△ABC中，点D、E、F分别在AC、AB、BC上，且DE=3，BF=4.5，ADAC =AEAB=25求证：EF∥AC．16．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，求BF的长度．17．如图，AB是⊙O的弦，点C是AB⌢的中点，连接BC，过点A作AD∥BC交⊙O于点D．连接CD，延长DA 至E，连接CE，使CD=CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AB=6，AE=4求AD的长．18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且ADAC =DFCG．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若ADAC =12，求AFFG的值．答案1．C2．D3．B4．C5．B6．D7．D8．A9．210．2√5cm11．212．（2.5，5）13．45714．解答：设BE=x∵EF=32，GE=8∴ FG=32-8=24∵平行四边形ABCD∴AD∥BC∴△AFE∽△CBE∴EFEB =AFBC则32x =AD+DFBC=DFBC+1∵DG∥AB∴△DFG∽△CBG∴DFBC =FGBG则DFBC =248+x则32x =248+x+1解得：x=±16（负数舍去）故BE=16．15．证明：∵AD AC=AE AB =25∠DAE =∠CAB ∴△ADE ∽△ACB ∴DE BC =AD AC =25，∠AED =∠B ∴DE ∥BC ∵DE =3 ∴BC =7.5 ∵BF =4.5∴CF =BC −BF =7.5−4.5=3=DE又∵DE ∥CF∴四边形CDEF 是平行四边形 ∴EF ∥CD ，即EF ∥AC ．16．解：设BF=x ，则CF=4﹣x ，由翻折的性质得B ′F=BF=x ，当△B ′FC ∽△ABC ，∴B′FAB =CFBC 即x3=4−x 4解得x=127，即BF=127．当△FB ′C ∽△ABC ，∴FB′AB =FCAC 即x3=4−x 4，解得：x=2．∴BF 的长度为：2或127．17．（1）证明：连接OC ，如图所示：∵AB ⌢=AB ⌢，OC 过圆心 ∴OC ⊥AB ∵CD =CE ∴∠E =∠D ∵AD ∥BC ∴∠DAB =∠B ∵∠B =∠D ∴∠B =∠DAB ∴AB ∥EC ∵OC ⊥AB∴OC ⊥EC ∵OC 为半径 ∴CE 是⊙O 的切线（2）解：连接AC ，如图所示：∵AE ∥BC ，AB ∥EC∴四边形AECB 是平行四边形∠ACE =∠CAB ∴EC =AB =6 ∵AC⌢=BC ⌢ ∴∠CAB =∠B ∴∠ACE =∠B ∵∠B =∠D ∴∠D =∠ACE ∵∠E =∠E ∴△CDE ∽△ACE ∴ECAE =ED EC∵EC =6，AE =4 ∴ED =9∴AD =ED −AE =9−4=518．（1）证明：∵∠AED=∠B ，∠DAE=∠DAE ∴∠ADF=∠C ∵AD AC =DFCG ∴△ADF ∽△ACG（2）解：∵△ADF ∽△ACG ∴AD AC = AFAG又∵AD AC =12 ∴AFAG = 12∴AF FG=1。
九年级中考复习数学考点训练——几何专题：《相似综合》(二)(word版,带答案)
九年级中考复习数学考点训练——几何专题：《相似的综合》（二）1．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？2．如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．（1）求证：∠GDA＝∠GCB；（2）连接FE，求证：∠GDA＝∠GFE；（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，试判断是否为定值，若为定值请求出；若不存在定值请说明理由．3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，AE与CD相交于点F，过点E作EG ∥CD交AC的延长线于点G．若AE平分∠BAC，CE＝CF．（1）①求证：∠ABC＝∠ACD；②求证：△EGC∽△CBD（2）如图2，若∠BAC＝90°，AD＝2，BD＝6，求CG的长．4．如图，点A（10，0），B（0，20），连接AB，动点M、N分别同时从点A，O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，移动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示点M的坐标为（，），点N的坐标为（，）；（2）当四边形AMNB的面积恰好为76时，求此时t的值；（3）当t为何值时，△MON与△AOB相似．5．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接OM、CM，且CM 交BD于点N，ND＝1．（1）证明：△MNO～△CND；（2）求BD的长．6．如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高．（1）证明：△ABD∽△CBE；（2）若△ABC和△BDE的面积分别是24和6，DE＝2，求点B到直线AC的距离．7．如图1，正方形ABCD的边长为4，把三角板的直角顶点放置BC中点E处，三角板绕点E旋转，三角板的两边分别交边AB、CD于点G、F．（1）求证：△GBE∽△ECF；（2）设BG＝x，CF＝y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围；（3）如图2，连接AC交GF于点Q，交EF于点P．当△AGQ与△CEP相似，求线段AG的长．8．我们做如下的规定：如果一个三角形在运动变化时保持形状和大小不变，则把这样的三角形称为三角形板．把两块边长为4的等边三角形板ABC和DEF叠放在一起，使三角形板DEF的顶点D与三角形板ABC的AC边中点O重合，把三角形板ABC固定不动，让三角形板DEF绕点O旋转，设边DE与边AB相交于点M，边DF与边BC相交于点N．（1）如图1，当边DF经过点B，即点N与点B重合时，易证△ADM∽△CND．此时，AMCN＝．（2）将三角形板DEF绕点O沿逆时针方向旋转得到图2，问AMCN的值是否改变？说明你的理由．（3）在（2）的条件下，设AM＝x，两块三角形板重叠面积为y，则y与x的函数关系式为．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B运动，过点P作PD⊥AB交边AC或边BC于点D，点E是射线PB上的一点，且PE＝2PD，以PD、PE为邻边作矩形PEFD．设矩形PEFD与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t（秒）．（1）用含t的代数式表示线段PE的长．（2）当点F落在BC上时，求t的值．（3）当矩形PEFD与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．（4）若△ABC重心为G，矩形DPEF中心为O，当点O与点G到直线AB距离相同时，请直接写出t的值．10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E为AC边上一点，连接BE交CD于点F，过点E作EG⊥BE交AB于点G，（1）如图1，当点E为AC中点时，线段EF与EG的数量关系是；（2）如图2，当，求的值；（3）如图3，当，不需要求解过程，直接写出的值．参考答案1．解：∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝＝5，则BP＝t，AQ＝2t，AP＝5﹣t，∵∠P AQ＝∠BAC，当＝时，△APQ∽△ABC，即＝，解得t＝；当＝时，△APQ∽△ACB，即＝，解得t＝；答：t为s或s时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．2．（1）证明：∵点E是AB的中点，GE⊥AB，∴GE是AB的垂直平分线，∴GA＝GB，同理：GD＝GC，在△AGD和△BGC中，，∴△AGD≌△BGC（SAS），∴∠GDA＝∠GCB；（2）证明：∵∠AGD＝∠BGC，∴∠AGB＝∠DGC，∵＝，∴△AGB∽△DGC，∴＝，∵∠AGE＝∠DGF，∴∠AGD＝∠EGF，∴△AGD∽△EGF，∴∠GDA＝∠GFE；（3）解：如图1，延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AH⊥BH，∵△AGD≌△BGC，∴∠GAD＝∠GBC，在△GAM和△HBM中，∠GAD＝∠GBC，∠GMA＝∠HMB，∴∠AGB＝∠AHB＝90°，∴∠AGE＝∠AGB＝45°，∴＝，∵△AGD∽△EGF，∴＝＝．3．解：（1）①证明：∵CE＝CF，∴∠CEF＝∠CFE．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，又∵∠CEF＝∠ABC+∠BAE，∠CFE＝∠ACD+∠CAE，∴∠ABC＝∠ACD；②证明：∵EG∥CD，∴∠CEG＝∠DCB，∠ACD＝∠G，∵∠ABC＝∠ACD，∴∠ABC＝∠G，∴△EGC∽△CBD；（2）在△AEB和△AEG中，∴△AEB≌△AEG（AAS），∴AG＝AB．∠ABC＝∠G，∵AD＝2，BD＝6，∴AB＝AD+BD＝2+6＝8，∴AG＝8．∵∠ABC＝∠ACD，∠BAC＝∠CAD，∴△ABC∽△ACD，∴AB：AC＝AC：AD，∴AC2＝ABAD＝8×2＝16，∴AC＝4（舍负），∴CG＝AG﹣AC＝8﹣4＝4．4．解：（1）∵ON＝2tcm，OM＝（10﹣t）cm，∴N（0，2t），M（10﹣t，0）；故答案为：0，2t，10﹣t，0；（2）∵S四边形AMNB＝S△ABO﹣S△MON，∴76＝×10×20﹣×2t×（10﹣t），∴t＝4或6，∴当t＝4或6时，四边形AMNB的面积为76cm2．（3）∵△MON与△AOB相似，∠MON＝∠AOB＝90°，∴＝或∴或，解得：t＝5或2，∴当t＝5或2时，△MON与△AOB相似．5．∵OM是△ACD的中位线，∴OM＝CD．∵由（1）知，△MNO～△CND，ND＝1，∴＝＝，∴ON＝，∴OD＝ON+ND＝，∴BD＝2OD＝3．6．解：（1）证明：∵AD、CE分别是BC、AB边上的高，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE；（2）∵△ABD∽△CBE，∴＝，又∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BCA，∴＝．∵△ABC和△BDE的面积分别是24和6，DE＝2，∴＝，∴AC＝4，∴点B到直线AC的距离为：＝＝6．7．解：如图1，延长FE交AB的延长线于F'，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE＝2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠F'＝∠CFE，在△BEF'和△CEF中，，∴△BEF'≌△CEF（SSA），∴BF'＝CF，EF'＝EF，∵∠GEF＝90°，∴GF'＝GF，∴∠BGE＝∠EGF，∵∠GBE＝∠GEF＝90°，∴△GBE∽△GEF；（2）∵∠FEG＝90°，∴∠BEG+∠CEF＝90°，∵∠BEG+∠BGE＝90°，∴∠BGE＝∠CEF，∵∠EBG＝∠C＝90°，∴△BEG∽△CFE，∴，由（1）知，BE＝CE＝2，∵BG＝x，CF＝y，∴＝，∴y＝（0≤x≤4）；（3）∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∵△AGQ与△CEP相似，∴①△AGQ∽△CEP，∴∠AGQ＝∠CEP，由（2）知，∠CEP＝∠BGE，∴∠AGQ＝∠BGE，由（1）知，∠BGE＝∠FGE，∴∠AGQ＝∠BGQ＝∠FGE，∴∠AGQ+∠BGQ+∠FGE＝180°，∴∠BGE＝60°，∴∠BEG＝30°，在Rt△BEG中，BE＝2，∴BG＝，∴AG＝AB﹣BG＝4﹣，②△AGQ∽△CPE，∴∠AQG＝∠CEP，∵∠CEP＝∠BGE＝∠FGE，∴∠AQG＝∠FGE，∴EG∥AC，∴△BEG∽△BCA，∴＝，∴，∴BG＝2，∴AG＝AB﹣BG＝2，即：当△AGQ与△CEP相似，线段AG的长为2或4﹣．8．解：（1）∵∠A＝∠C＝∠EDB＝60°，∴∠ADM+∠CDN＝120°，∠ADM+∠AMD＝120°，∴∠CDN＝∠AMD，∴△ADM∽△CND，∴，∴AMCN＝ADCD，∵顶点D与三角形板ABC的AC边中点O重合，∴AD＝CD＝2，∴AMCN＝ADCD＝2×2＝4，故答案为：4；（2）AMCN的值不会改变．在△ADM与△CND中，∵∠A＝∠C＝60°，∠DNC＝∠DBN+∠BDN＝30°+α，∠ADM＝30°+α，∴∠ADM＝∠CND，∴△ADM∽△CND∴，∴AMCN＝ADCD＝2×2＝4，∴AMCN的值不会改变；（3）情形1，当0°＜α＜60°时，1＜AM＜4，即1＜x＜4，此时两三角形板重叠部分为四边形DMBN，如图2，过D作DQ⊥AB于Q，DG⊥BC于G，∴DQ＝DG＝，由（2）知，AMCN＝4，得CN＝，于是y＝AB2﹣AMDQ﹣CNDQ＝4﹣x﹣（1＜x＜4）；情形2，当60°≤α＜90°时，AM≥4时，即x≥4，此时两三角形板重叠部分为△DPN，如图3，过点D作DH∥BC交AM于H，易证△MBP∽△MHD，∴，又∵MB＝x﹣4，MH＝x﹣2，DH＝2，∴BP＝，∴PN＝4﹣﹣，于是y＝PNDG＝（4﹣﹣）＝﹣，综上所述，y＝．故答案为：y＝．9．解：（1）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，∴AB＝，如图2，当D与C重合时，CP⊥AB，cos∠A＝，即，AP＝，tan∠A＝，即，∴PD＝t，∴当0＜t≤时，如图1，PE＝2PD＝2×t＝2t，如图3，AP＝2t，∴PB＝4﹣2t，tan∠DBP＝，即，PD＝8﹣4t，当＜t≤4时，如图3，PE＝2PD＝2（8﹣4t）＝16﹣8t；（2）当点F落在BC上时，如图4，BE＝4﹣4t，EF＝PD＝t，∵EF＝2BE，∴t＝2×（4﹣4t），t＝（秒）；（3）当0＜t≤时，如图1，矩形PEFD与△ABC重叠部分图形是矩形PEFD，S＝PDPE＝t2t＝10t2；如图5，当E与B重合时，PB＝2PD，则4﹣2t＝2×，t＝1，当1＜t≤时，如图6，cos∠A＝，即，AD＝5t，∴CD＝8﹣5t，∵DM∥AB，∴∠CDM＝∠A，∴cos∠A＝cos∠CDM＝，即，DM＝4﹣t，S＝（4﹣t+4﹣2t）t＝﹣t2+20t；综上，S与t之间的函数关系式是：S＝．（4）∵AQ＝QB，G是△ABC的重心，∴QG：GC＝1：2，∵AC＝8，BC＝4，∴AB＝，∴CK＝，∵GJ∥CK，∴△QGJ∽△QCK，∴，∴，∴GJ＝，当点O与点G到直线AB距离相同时，当0＜t≤时，PD＝，解得：t＝，当＜t≤4时，PD＝，解得：t＝，综上所述，当点O与点G到直线AB距离相同时，t的值为或．10．解：如图1，过E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，∵CD⊥AB，∴四边形EMDN为矩形，∴∠MEN＝90°，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∴AD＝CD，∵点E为AC的中点，CD⊥AB，EN⊥DC，∴EN＝AD，同理可知，EM＝CD，∴EN＝EM，∵∠GEB＝90°，∠MEN＝90°，∴∠NEF＝∠GEM，在△EFN和△EGM中，，∴△EFN≌△EGM（ASA），∴EF＝EG，故答案为：EF＝EG；（2）如图2，过点E作EP⊥AB于点P，作EQ⊥CD于点Q，则△CEQ和△APE均为等腰直角三角形，∴＝＝，由（1）可知，∠QEF＝∠PEG，∵∠EQF＝∠EPG＝90°，∴△EQF∽△EPG，∴＝＝；（3）如图3，过点E作EH⊥AB于点H，作ER⊥CD于点R，则＝＝，由（2）可知，△ERF∽△EHG，∴＝＝．。
相似单元复习
证
：① ∠BAC=90 M 斜边BC中点 AM=BM=BC/2 ∠B= ∠MAD ∠B+ ∠BDM=90 ∠E+ ∠ADE= 90 ∠BDM= ∠ADE
②
AM ME = MD AM
AM2=MD·ME
3. 如图，AB∥CD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，
求证：ED2=EO · EC. ： 证 ED2=EO·EC， 证：
∠BDF= ∠C= ∠BAD ∠F =∠F △BDF △DAF.
BD DF = AD AF
∠BAC=90°， AD⊥BC △ABC △ABD
AB BD = AC AD
AB DF = AC AF
三、探索题
1、条件探索型 、
1.已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连 已知：如图， 边上的一点， 已知 中 是 边上的一点 结CP．满足什么条件时△ ACP∽△ABC． ．满足什么条件时△ ∽ ． 解:⑴∵∠ ⑴∵∠A= ∠A，∴当∠1= ∠ACB （或∠2= ∠B） ， A） 时，△ ACP∽△ABC ∽ P 1 ∵∠A= ∠A，∴当AC:AP＝AB:AC时， 4 ⑵ ∵∠ ， ＝ 时 2 B C △ ACP∽△ABC ∽ ∵∠A= ∠A， ⑶ ∵∠ ， 当∠4＋∠ACB＝180°时， △ ACP∽△ABC ＋ ＝ ° ∽ 答：当∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B 或AC:AP＝AB:AC或 ＝ 或 ∠4＋∠ACB＝180°时,△ ACP∽△ABC. ＋ ＝ ° △ ∽
的最大边为10cm， 则三角形乙的最短边为______cm.
C A B F D E
:
三角形甲为 DEF，
ABC ，三角 DEF的最大
形乙为
边为DE，最短边为EF DEF DE:EF=6:3 10:EF=6:3 EF=5cm ABC
相似模型复习题
相似模型复习题相似模型复习题相似模型是几何学中的一个重要概念，也是许多高中数学考试中常见的题型。
相似模型的掌握对于解决几何问题非常关键，下面我们来复习一些相似模型的典型题目。
题目一：已知△ABC和△DEF是相似的，AB=8cm，AC=12cm，DE=6cm，DF=9cm，求△ABC和△DEF的周长比。
解析：由相似模型的定义可知，相似的两个三角形对应边的比例相等。
设△ABC和△DEF的周长分别为L1和L2，则有L1/AB=L2/DE=L1/12=L2/9。
根据已知条件可得L1/8=L2/6，整理得到L1/L2=4/3。
题目二：已知△ABC和△DEF是相似的，AB=6cm，BC=8cm，DE=9cm，DF=12cm，求△ABC和△DEF的面积比。
解析：相似三角形的面积比等于对应边长的平方比。
设△ABC和△DEF的面积分别为S1和S2，则有S1/DE^2=S2/AB^2=S1/81=S2/36。
根据已知条件可得S1/9=S2/4，整理得到S1/S2=9/4。
题目三：已知△ABC和△DEF是相似的，AB=10cm，BC=15cm，DE=8cm，求△ABC和△DEF的高比。
解析：相似三角形的高比等于对应边长的比例。
设△ABC和△DEF的高分别为h1和h2，则有h1/AB=h2/DE=h1/10=h2/8。
根据已知条件可得h1/10=h2/8，整理得到h1/h2=5/4。
题目四：已知△ABC和△DEF是相似的，AB=12cm，BC=16cm，DE=6cm，求△ABC和△DEF的面积比。
解析：相似三角形的面积比等于对应边长的平方比。
设△ABC和△DEF的面积分别为S1和S2，则有S1/DE^2=S2/AB^2=S1/36=S2/144。
根据已知条件可得S1/36=S2/144，整理得到S1/S2=1/4。
题目五：已知△ABC和△DEF是相似的，AB=9cm，BC=12cm，DE=4cm，求△ABC和△DEF的周长比。
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例2：已知四条线段 a=0.5m,b=25cm,c=0.2 m,d=10cm.试判断这四 条线段是否成比例？
5
基本性质
a c b d
ad=bc；
a c . b d
ad=bc
6
合比性质
a c ab cd b d b d
7
等比性质
a c m (b d n 0) b d n a c m a b d n b
8
例三
z y x 已知： 3 = 5 = -8
x+y+z 的值 求： x-y
9
例四
能与1，2，3构成比 例式的是x，则 x=____
10
a 5 已知， b 2 ab 则=＿＿＿＿＿。 b
11
练习：
已知： a = b = c = d b c d a 求： a+b+c+d 的值 a+b+c-d
45
例3
AE 1 1 （1）当 AC 2 1 1 AO 2 2 时，有 AD 3 2 1
A
O
B
E
D
C
46
（2）当
AE 1 1 AC 3 1 2
AO 2 2 时，有 AD 4 2 2
A
E
O
B
D
C
47
（3）当 时，有
AE 1 1 AC 4 ห้องสมุดไป่ตู้ 3 AO 2 AD n 2
53
如图，在△ABC中，DE∥BC， 且S△ADE :S 四 边 形 BCED ＝1:2，BC＝ 2 6。 A
4
求DE的长。
B
D
E
C
54
已知：如图，△ABC中， AE＝CE，BC＝CD， 求证：ED＝3EF。
A F E
5
B
C
D
55
6
如图:直角三角形的铁片ABC的 两条直角边BC,AC的长分别是3和4, 分别采用(1),(2)两种方法,剪出 一块正方形铁片,剪下的正方形铁 片面积哪个较大,并说明理由.
8
A B
C
13题图
34
8 如果第一个正方形的边是
第二个正方形的对角线， 则它们的面积比是______
35
9
以P为位似中心将四边形 放大2倍
P
36
以P为位似中心将四边形 缩小2倍
P
37
练一练：
试作四边形，使它和已知 的四边形位似比等于1：２， 位似中心为O使两个图形在 点O同侧。
38
9
做题依据 相似三角形的对应高之比 等于相似比
12
练习：2
已知：a.b.c为非0实数
且
b+c c+a a+b = = = k b c a
求：k 的值
13
练习：3
设：a，b，c分别是 ABC a-b= b-c c-a 的三边，且 = c a b 猜想： ABC是何种三角形，
并说明理由。
14
练习：4
1、计算 （1）若 求 的值.
（2）已知：
且2a－b＋3c=21， 求a，b，c的值.
或 5
5 1
B
20
A
C
21
第二课时
22
相似三角形 相似三角形的性质： 相似三角形的判定：
23
相似三角形的基本图形 X型，A型，双垂线型
24
练习：1 1图中有几对 相似三角形
25
练习：2 2图中有几对 相似三角形？
26
练习：3
3相似三角形的数量…...
27
4 1在 ABC中，AC>AB,点D
61
11
△ABC∽△A1B1C1，相似 比为2：3，△A1B1C1∽△A2B2C2， 相似比为5：4，则△ABC与 △A2B2C2的相似比为（ ） A．
B．
C．
D．
62
63
15
练习：5
四边形ABCD∽四边形 A`B`C`D`，他们的面积之比 为36：25，他们的相似比 _____,若四边形A`B`C`D`的 周长为15cm，则四边形ABCD 的周长为________.
16
练习：6
设a,b,c是三个互 不相同的正数，且满足
A. 3b 2c B.3a 2b C. D. 2b c
A
E
O B
D
C
48
（4）当
时，有
AE 1 1 AC n 1 1 n AO 2 2 AD 5 2 3
A
E
O B
D
C
49
例5
在格子里画出与原三角形 相似的图形
50
1
把一矩形纸片对折, 如果对折后的矩形与 原矩形相似,则原矩形 纸片的长与宽之比 为 .
51
在△ABC与△ AB C 中，有下 2 列条件： BC AC AB BC ① ② B C AC
第一课时
a c b d
A
C B
1
1线段的比：
例1：在中国地图上，连接香港 、上海、台湾三地构成一个三角 形，用刻度尺测得它们之间的距 离如图所示飞机直飞上海的距离 约为1286km，那么飞机从台湾 绕道香港再到上海的空中距离是 ____千米。
2
上海 3cm
5.4cm 台湾
3.6cm 香港
3
2比例线段 四条线段a,b,c,d中,如果 a 与b的比等于c与d的比, 即 a:b=c:d, 那么这四条线段 a,b,c,d 叫做成比例线段,简 称比例线段.
58
9
如图,测量小玻璃管口径的量具 ABC,AB的长为10cm,AC被分为60 等份.如果小玻璃管口DE正好对 着量具上20等份处(DE∥AB),那 么小玻璃管口径DE是多大?
59
10 如图,⊿ABC是等边三角形,
点D,E分别在BC,AC上,且 BD=CE,AD与BE相交于点F.
60
(1)试说明⊿ABD≌⊿BCE. (2)⊿AEF与⊿ABE相似吗? 说说你的理由. 2=AD· (3)BD DF吗?请说明理 由.
ac c b b ab a
，则有（
）
b a2
17
黄金分割
D
A
C
B
18
练习：1
.已知点C是线段AB的 黄金分割点,且AC>BC, 则AC∶AB= .
19
练习：2 若 点 C 是 线 段 AB
的黄金分割点，且AB=2，则 AC=（ ）
A、
C、
3 5
5 1
B、
D、 3
5 1 2
AB B C
③∠A＝∠ A ④∠C＝∠ C 。 如果从中任取两个条件组成一组， A 那么能判断△ABC∽△B C 的共 有（ ）组。 A、1 B、2 C、3 D、4
52
3 矩形ABCD中,AB＝4.BC＝6，M
②求DE的长； ③求△ADE的面积。
A E B M C D
是BC的中点，DE⊥AM，E是垂足。 ①求△ABM的面积；
A
A
C
C
B
56
7 .已知
ab ,则 的值为( ) c 4 1 5 A. B. C. 2 D. 4 2 5
57
a b c 0 2 3 4
8 4.如图,AB是斜靠在墙上的
长梯,梯脚B距墙脚1.6m,梯 上点D距墙1.4m,BD长0.55m, 则梯子的长为( ) A.3.85m B.4.00m C.4.40m D.4.50m
在AC上，再增加一个条 件就能使 ABD ACB A D
B
28
C
如图，在△ABC中，DE∥BC， AD = 4，DB = 2，DE = 3， 则BC =______.
A
D B
E C
29
将 ① ∠ BAD = ∠C ； ② ∠ ADB BC DA BC AC =∠CAB BA AC BA DA ；③； AB ④； CA ⑤； ⑥ 中的一个作为条件，另一个作为 结论，组成一个真命题，则条件 A 是_________，结论是_________. （注：填序号即可）
AD DB
AB BD BC
2
B
D
C
30
5
通过位似图形做内接正方形
31
6
AB=4,BC=12,AF:FD=1:3
……求： BCE的周长 E A D F G
B
C
32
7
三角形AFC相似三角形CFA, 求：相似比和n的值
A G
H D D1 D2...Dn
B E
F C C1
33
39
10
做题关键 内接矩形的长与宽的关系
40
11
1、内接矩形的长与宽的比是 1:2。 2、内接矩形的周长是12
41
12
通过确定电灯的位置，找 路灯的影子
42
第三课时
43
例1
相似三角形的数量…...
44
例2
E A
C
F D B
已知：DE//BC,DF//AC. AD:BD=1:2
则：红黄蓝面积比是