高三数学基础达标知能演练复习题65
高三数学总复习知能达标训练第一章
高三数学总复习知能达标训练第一章第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≥0C ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0解析 写命题的否定需要注意“任意”和“存在”的互换，还要注意小于等于的否定是大于，根据上述分析，可知选C.答案 C2．(2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是A ．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数答案 D3．下列命题中，真命题是A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析 m ＝0时，f (x )＝x 2＋mx 是偶函数．故选A.答案 A4．下列4个命题：p 1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13x p 2：∃x ∈(0,1)，12log x ＞13log xp 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞12log x p 4：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜13log x 其中的真命题是A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析 p 1是假命题，p 2是真命题，对于p 3，x ＝12时，1212⎛⎫ ⎪⎝⎭＝ 12＝22＜1，12log 12＝1，∴p 3是假命题，对于p 4，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，而13log x ＞13log 13＝1， ∴是真命题，故选D.答案 D5．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∧p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析 ∵y ＝2x 在R 上为增函数，y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数， ∴y ＝－2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为增函数， ∴y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，故p 1是真命题．y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数是错误的，故p 2是假命题．∴q 1：p 1∨p 2是真命题，因此排除B 和D ，q 2：p 1∧p 2是假命题，q 3：綈p 1是假命题，(綈p 1)∨p 2是假命题，故q 3是假命题，排除A.故选择C.答案 C6．下列命题的否定是真命题的有①p：Δ＜0时方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根；②p：存在一个整数b，使函数f(x)＝x2＋bx＋1在[0，＋∞)上不是单调函数；③p：∃x∈R，使x2＋x＋1≥0不成立．A．0 B．1C．2 D．3答案 B二、填空题(3×4分＝12分)7．命题“存在向量a，b，使|a＋b|＝|a|＋|b|”的否定是________，它是________命题．答案对任意向量a，b，|a＋b|≠|a|＋|b|.假．8．已知命题：“∃x∈[1,2]，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则a的取值范围是________．解析当1≤x≤2时，8≥x2＋2x≥3，如果“∃x∈[1,2]，使x2＋2x＋a≥0”为真命题应有－a≤8，所以a≥－8.答案a≥－89．已知命题p：∃m∈R，m＋1＜0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立，若p∧q为假命题，则实数m的取值范围是________．解析因为p∧q为假命题，所以p、q中至少有一个为假命题，而命题p：∃m∈R，m＋1＜0为真命题，所以命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立必定为假命题，所以Δ＝m2－4×1≥0，解得m≤－2或m≥2，又命题p：∃m∈R，m＋1＜0为真命题，所以m＜－1，故综上可知：m≤－2.答案m≤－2三、解答题(38分)10．(12分)写出下列命题的“否定”，并判断其真假：(1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.解析 (1)綈p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14＜0，这是假命题，因为∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0恒成立． (2)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0，真命题，这是由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1＞0成立．(4)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题，这是由于x ＝－1时，x 3＋1＝0.11．(12分)设命题p ：函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －32x 是R 上的减函数，命题q ：函数f (x )＝x 2－4x ＋3在[0，a ]的值域为[－1,3]．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求a 的取值范围．解析 由0＜a －32＜1得32＜a ＜52.∵f (x )＝(x －2)2－1在[0，a ]上的值域为[－1,3]，得2≤a ≤4.∵p 且q 为假，p 或q 为真，得p 、q 中一真一假．若p 真q 假得，32＜a ＜2，若p 假q 真得，52≤a ≤4.综上，32＜a ＜2或52≤a ≤4.12．(14分)已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x ＞1c恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题．求c 的取值范围． 解析 由命题p 知：0＜c ＜1.由命题q 知：2≤x ＋1x ≤52，要使x ＋1x ＞1c 恒成立，则2＞1c ，即c ＞12.又由p 或q 为真，p 且q 为假知， p 、q 必有一真一假，当p 为真，q 为假时，c 的取值范围为0＜c ≤12.当p 为假，q 为真时，c ≥1. 综上，c的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪ 0＜c ≤12或c ≥1.。
高三数学基础达标知能演练复习题7
[基础达标]1．(2014·河北邢台一模)抛物线y2＝4x上与焦点的距离等于5的点的横坐标是()A．2 B．3C．4 D．5解析：选C．利用抛物线的定义可知，抛物线y2＝4x上与焦点的距离等于5，则x＋1＝5，所以点的横坐标为4.2．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A．y2＝±22x B．y2＝±2xC．y2＝±4x D．y2＝±42x解析：选D．因为双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则p2＝2，所以p＝22，所以抛物线方程为y2＝±42x.3．(2014·河南郑州市质量预测)过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为() A．4 B．8C．12 D．16解析：选D．抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为(2，0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB的方程为y＝－x＋2，代入抛物线方程y2＝8x，得x2－12x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长|AB|＝x1＋x2＋4＝12＋4＝16.4．(2014·福建省质量检查)设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，垂足为A，如果△A PF为正三角形，那么|PF|等于()A．4 3 B．6 3C．6 D．12解析：选C．设点P的坐标为(x P，y P)，则|PF|＝x P＋32.过点P作x轴的垂线交x轴于点M，则∠PFM＝∠A PF＝60°，所以|PF|＝2|MF|，即x P ＋32＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x P －32，解得x P ＝92，所以|PF |＝6. 5．直线y ＝x ＋1截抛物线y 2＝2px 所得弦长为26，此抛物线方程为( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝6xC ．y 2＝－2x 或y 2＝6xD ．以上都不对解析：选C ．由⎩⎨⎧y ＝x ＋1，y 2＝2px ，得x 2＋(2－2p )x ＋1＝0. 设弦的两端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2p －2，x 1x 2＝1. 则26＝1＋12·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2·（2p －2）2－4.解得p ＝－1或p ＝3，故抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝6x .6．以抛物线x 2＝－4y 的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是______________．解析：抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为2，所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝4.答案：x 2＋y 2＝47．(2014·福建厦门模拟)已知动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，则此动圆必过定点________．解析：因为动圆的圆心在抛物线y 2＝4x 上，且x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1，0)．答案：(1，0)8．(2012·高考安徽卷)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若|A F |＝3，则|B F |＝________．解析：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1，0)，又|A F |＝3，由抛物线定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2. 将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知，y ＝22，∴A(2，22)，∴直线A F 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2，或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2， ∴|B F |＝12－(－1)＝32. 答案：329．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(32，6)，求抛物线与双曲线的方程．解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p ＝2C ．设抛物线方程为y 2＝4c ·x ， ∵抛物线过点(32，6)， ∴6＝4c ·32，∴c ＝1，故抛物线方程为y 2＝4x .又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点(32，6)，∴94a 2－6b 2＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1，∴94a 2－61－a 2＝1. ∴a 2＝14或a 2＝9(舍)．∴b 2＝34，故双曲线方程为4x 2－4y 23＝1.10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，O B 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作M N ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p 2＝5，∴p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)∵点A 的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M (0，2)．又∵F (1，0)，∴k F A ＝43，∵M N ⊥F A ，∴k M N ＝－34.又F A 的方程为y ＝43(x －1)，M N 的方程为y －2＝－34x ，联立方程组，解得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. [能力提升]1．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：选C ．设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋2＝42，∴x 0＝32，∴y 20＝42x 0＝42×32＝24， ∴|y 0|＝2 6.∵F (2，0)，∴S △POF ＝12|OF |·|y 0|＝12×2×26＝2 3.2. 如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线l ′于点C ，若|BC|＝2|B F |，且|A F |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x解析：选C ．分别过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别为E ，G ，过点F 作FH ⊥A E ，垂足为H ，设E C 与x 轴交于点M ，如图所示．由抛物线的定义，可知|B F |＝|B G |，|A F |＝|A E |.在R t △BC G 中，sin ∠G CB ＝|B G ||BC|＝|B F ||BC|＝12，故∠G CB ＝∠E CA ＝30°.又C E ⊥A E ，所以∠CA E ＝60°.在R t △A FH 中，cos ∠F A H ＝|A H ||A F |，即cos 60°＝|A H |3，解得|A H |＝32.故|EH |＝|A E |－|A H |＝3－32＝32.因为A E ⊥E C ，FH ⊥A E ，所以四边形MFHE 是矩形．故|MF |＝|EH |＝32，而|MF |＝p ，所以p ＝32.故抛物线的方程为y 2＝3x .3．(2014·河南开封模拟)已知抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的焦点为F ，准线l 与对称轴交于R 点，过抛物线上一点P (1，2)作P Q ⊥l 于Q ，则抛物线的焦点坐标是________，梯形P QR F 的面积是________．解析：把P (1，2)代入y ＝ax 2，得a ＝2，所以抛物线方程为x 2＝12y ，故焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.又R ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－18，|F R|＝14，|P Q|＝2＋18＝178，所以梯形的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋178×1＝1916. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 1916 4．(2013·高考安徽卷)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．解析：法一：如图，以(0，a )为圆心，a 为半径作圆，当圆与抛物线有三个或四个交点时，C 存在．联立y ＝x 2，x 2＋(y －a )2＝a 有(y －a )(y －a ＋1)＝0.即y ＝a 或y ＝a －1.故a －1≥0，即a ≥1.法二：当C 与原点重合时，∠ACB 最小．故若存在C 使得∠ACB为直角，则∠A O B ≤π2，即O A →·O B →≥0，故a 2－a ≥0，又a >0，所以a ≥1.答案：[1，＋∞)5．已知圆C 过定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A ，B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)当△O AB 的面积等于10时，求k 的值．解：(1)由题意，点C 到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等， 故点C 的轨迹E 的方程为y 2＝－x .(2)由方程组⎩⎨⎧y 2＝－x ，y ＝k （x ＋1）消去x 后， 整理得ky 2＋y －k ＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由根与系数的关系有y 1＋y 2＝－1k ，y 1y 2＝－1.设直线l 与x 轴交于点N ，则N(－1，0)．∴S △O AB ＝S △O AN ＋S △O BN ＝12|O N||y 1|＋12|O N||y 2|＝12|O N||y 1－y 2|＝12×1×（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋4. ∵S △O AB ＝10，∴12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋4＝10， 解得k ＝±16.6．(选做题)(华约自主招生试题)点A 在直线y ＝kx 上，点B 在y ＝－kx 上，其中k >0，|O A|·|O B|＝k 2＋1且A 、B 在y 轴同侧．(1)求AB 中点M 的轨迹C ；(2)曲线C 与抛物线x 2＝2py (p >0)相切，求证：切点分别在两条定直线上，并求切线方程．解：(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则y 1＝kx 1，y 2＝－kx 2.由|O A|·|O B|＝k 2＋1得，x 21＋（kx 1）2·x 22＋（－kx 2）2＝k 2＋1，化简得x 1x 2＝1.因为点M 为线段AB 的中点，所以x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22＝k （x 1－x 2）2， 所以x 20－y 20k 2＝（x 1＋x 2）24－（x 1－x 2）24＝x 1x 2＝1. 故点M 的轨迹方程为x 2－y 2k 2＝1，点M 的轨迹C 是焦点为(±k 2＋1，0)，实轴长为2的双曲线．(2)证明：将x 2＝2py (p >0)与x 2－y 2k 2＝1联立，消去x 得y 2－2pk 2y＋k 2＝0.①因为曲线C 与抛物线相切，所以Δ＝4p 2k 4－4k 2＝0.又因为p 、k >0，所以pk ＝1.结合①解得y ＝k ，x ＝±2，因此两切点分别在定直线x ＝2，x ＝－2上，两切点为D(2，k )，E (－2，k )．由x 2＝2py 得y ＝x 22p ，则y ′＝x p ，于是抛物线在点D(2，k )处的切线方程为y ＝2p (x －2)＋k ，即y ＝2p x －1p ，在点E (－2，k )处的切线方程为y ＝－2p (x ＋2)＋k ，即y ＝－2p x －1p .沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。
高三数学试题-高三数学基础达标知能演练复习题68 最新
[基础达标]1．(2013·高考山东卷)已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩∁U B＝() A．{3} B．{4}C．{3，4} D．∅解析：选A．∵U＝{1，2，3，4}，∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1，2，3}．又∵B＝{1，2}，∴{3}⊆A⊆{1，2，3}．又∁U B＝{3，4}，∴A∩∁U B＝{3}．2．(2014·安徽合肥市质量检测)已知集合A＝{x∈R||x|≥2}，B＝{x∈R|x2－x－2＜0}，且R为实数集，则下列结论正确的是() A．A∪B＝R B．A∩B≠∅C．A⊆(∁R B) D．A⊇(∁R B)解析：选C．集合A＝{x|x≥2或x≤－2}，B＝{x|－1＜x＜2}，所以A⊆(∁R B)．3．已知集合A＝{1，10，110}，B＝{y|y＝lg x，x∈A}，则A∩B ＝()A．{110} B．{10}C．{1} D．∅解析：选C．∵B＝{y|y＝lg x，x∈A}＝{y|y＝lg 1，y＝lg 10，y＝lg 110}＝{0，1，－1}，∴A∩B＝{1}．4．(2014·湖北省八校联考)已知M＝{a||a|≥2}，A＝{a|(a－2)(a2－3)＝0，a∈M}，则集合A的子集共有()A．1个B．2个C．4个D．8个解析：选B．|a|≥2⇒a≥2或a≤－2.又a∈M，(a－2)(a2－3)＝0⇒a ＝2或a＝±3(舍)，即A中只有一个元素2，故A的子集只有2个．5．(2014·湖北武汉市武昌区考试)已知全集U＝R，集合A＝{x|lg(x ＋1)≤0}，B＝{x|3x≤1}，则∁U(A∩B)＝()A．(－∞，0)∪(0，＋∞) B．(0，＋∞)C．(－∞，－1]∪(0，＋∞) D．(－1，＋∞)解析：选C．lg(x＋1)≤0⇒0＜x＋1≤1⇒－1＜x≤0，3x≤1⇒x≤0，则A∩B＝(－1，0]，∁U(A∩B)＝(－∞，－1]∪(0，＋∞)．6．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a ＞0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________．解析：∵1∉{x |x 2－2x ＋a ＞0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.答案：(－∞，1]7．已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝________．解析：A ＝{－1，2}，B ＝∅时，m ＝0；B ＝{－1}时，m ＝1；B ＝{2}时，m ＝－12.答案：0，1，－128．(2012·高考天津卷)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)＜0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________．解析：A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}＝{x ∈R |－5＜x ＜1}，由A ∩B ＝(－1，n )可知m ＜1，则B ＝{x |m ＜x ＜2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.答案：－1 19．集合A ＝{x |－2＜x ＜－1或x ＞1}，集合B ＝{x |a ≤x ＜b }，A ∪B ＝{x |x ＞－2}，A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}，求实数a ，b 的值．解：∵A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}，∴b ＝3.又A ∪B ＝{x |x ＞－2}，∴－2＜a ≤－1.又A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}，∴－1≤a ＜1，∴a ＝－1.10．设集合A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，集合B ＝{x |ax －1＝0}．(1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系；(2)若B ⊆A ，求实数a 组成的集合C ．解：由x 2－8x ＋15＝0，得x ＝3或x ＝5.∴A ＝{3，5}．(1)当a ＝15时，由15x －1＝0，得x ＝5.∴B ＝{5}，∴B A ．(2)∵A ＝{3，5}且B ⊆A ，∴若B ＝∅，则方程ax －1＝0无解，有a ＝0.若B ≠∅，则a ≠0，由方程ax －1＝0，得x ＝1a ，∴1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或a ＝15，∴C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15. [能力提升]1．(2014·河南洛阳市考试)已知集合A ＝{x |x －2x ≤0，x ∈N }，B ＝{x |x ≤2，x ∈Z }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选D ．由x －2x ≤0得0＜x ≤2，因此A ＝{1，2}；由x ≤2得0≤x ≤4，因此B ＝{0，1，2，3，4}，满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数是23＝8.2．(2014·河南省三市高三第二次调研)设U 为全集，对集合X ，Y ，定义运算“*”，X *Y ＝∁U (X ∩Y )．对于任意集合X ，Y ，Z ，则(X *Y )*Z ＝( )A ．(X ∪Y )∩∁U ZB ．(X ∩Y )∪∁U ZC ．(∁U X ∪∁U Y )∩ZD ．(∁U X ∩∁U Y )∪Z解析：选B ．依题意得(X *Y )＝∁U (X ∩Y )＝(∁U X )∪(∁U Y )，(X *Y )*Z ＝∁U [(X *Y )∩Z ]＝∁U [∁U (X ∩Y )∩Z ]＝{∁U [∁U (X ∩Y )]}∪∁U Z ＝(X ∩Y )∪∁U Z .3．已知全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，则∁U A ＝________． 解析：因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n －1，x ，n ∈Z ， 当n ＝0时，x ＝－2；n ＝1时不合题意；n ＝2时，x ＝2；n ＝3时，x ＝1；n ≥4时，x ∉Z ；n ＝－1时，x ＝－1；n ≤－2时，x ∉Z .故A ＝{－2，2，1，－1}，又U ＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁U A ＝{0}．答案：{0}4．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中正确结论的序号是________．解析：①中，－4＋(－2)＝－6∉A ，所以不正确；②中设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，所以②正确；③令A 1＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z }，则A 1，A 2为闭集合，但A 1∪A 2不是闭集合，所以③不正确．答案：②5．(2014·河北衡水模拟)设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}．(1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3，2}，∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}，∴(∁I M )∩N ＝{2}．(2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{2}，当B ＝∅时，a －1＞5－a ，得a ＞3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝25－a ＝2，解得a ＝3， 综上所述，所求a 的取值范围为{a |a ≥3}．6．(选做题)已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，B ＝{x |(x －a )·(x －3a )＜0}．(1)若A ⊆B ，求a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(3)若A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，求a 的取值范围．解：∵A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，∴A ＝{x |2＜x ＜4}．(1)若A ⊆B ，当a ＝0时，B ＝∅，显然不成立；当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，应满足⎩⎨⎧a ≤23a ≥4⇒43≤a ≤2；当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，应满足⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a ≥4，此时不等式组无解， ∴当A ⊆B 时，a 的取值范围是[43，2]．(2)∵要满足A ∩B ＝∅，当a ＝0时，B ＝∅满足条件；当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，a ≥4或3a ≤2.∴0＜a ≤23或a ≥4；当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }．∴a ＜0时成立，综上所述，a 的取值范围是(－∞，23]∪[4，＋∞)．(3)要满足A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，显然a ＝3.。
山东省普通高中2023届高三模拟演练数学试题
一、单选题二、多选题1.已知点是的重心，则（ ）A．B．C．D．2. 设非零向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ）A．B．C．D．3. 已知是虚数单位，则复数的虚部是A ．B ．C．D ．14. 设是方程的解，则属于区间（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）5.已知定义在上的奇函数满足，，则（ ）A．B．C．D．6. 在平面直角坐标系中，已知任意角以轴的正半轴为始边，若终边经过点且，定义：，称“”为“正余弦函数”；对于正余弦函数，以下性质中正确的是（ ）A ．函数关于对称B ．函数关于对称C ．函数在单调递增D．函数值域为7. 平面平面的一个充分条件是（ ）A．存在一条直线B．存在一条直线C．存在两条平行直线D．存在两条异面直线8.已知数列满足，则（ ）A．B．C．D．9. 已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（ ）A ．椭圆的离心率的取值范围是B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是C ．存在点使得D ．的最小值为210.若实数，则下列不等式中一定成立的是（ ）A．山东省普通高中2023届高三模拟演练数学试题山东省普通高中2023届高三模拟演练数学试题三、填空题四、解答题B．C．D．11.下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ）A．B．C ．的共轭复数为D ．的虚部为12.已知函数及其导函数的定义域均为R ，记，若，均为奇函数，则（ ）A．B．C．D．13.已知数列的前项和为,,,,则满足的正整数的所有取值为__________．14. 已知向量，满足，，则向量与的夹角为______．15.双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线E 的离心率为______．16. 如图，某地要在矩形区域内建造三角形池塘，、分别在、边上.米，米，，设，.（1）试用解析式将表示成的函数；（2）求三角形池塘面积的最小值及此时的值.17. 近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇，与此同时，相关管理部门推出了针对电商商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品好评率为，对服务好评率为，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．(1)是否可以在犯错误率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？(2)若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率．注：1.注2.18. 已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）设,其中为的导函数.证明：对任意 .19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过点分别作直线、交椭圆于两点，设两直线、的斜率分别为，且，探究：直线是否过定点，并说明理由．20. 2021年，是中国共产党建党百年华诞.为迎接建党100周年，某单位组织全体党员开展“学党史，知党情，感党恩”系列活动.在学党史知识竞赛中，共设置20个小题，每个小题5分.随机对100名党员的成绩进行统计，成绩均在内，现将成绩分成5组，按照下面分组进行统计分析：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知甲､乙､丙分别在第3，4，5组，现在用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人（包含甲､乙､丙）参加党史知识抢答赛.（1）求这100人的平均得分(同一组数据用该区间的中点值作代表)；（2）求第4组选取参加抢答赛的人数；（3）若从参加抢答赛的6人中随机选取两人参加上级部门的党史知识复赛，求甲､乙､丙3人至多有一人被选取的概率.21. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，．(1)求的值；(2)求的面积．。
高三数学基础达标知能演练复习题
[基础达标]1. 如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线N O 、A M 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直解析：选C ．建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，M (0，0，1)，O (1，1，0)，N(2，1，2)，N O →＝(－1，0，－2)，A M→＝(－2，0，1)，N O →·A M →＝0，则直线N O 、A M 的位置关系是异面垂直．2．两个不同的平面α，β的法向量分别为m ，n ，向量a ，b 是平面α及β之外的两条不同的直线的方向向量，给出四个论断：①a ⊥b ；②m ⊥n ；③m ∥a ；④n ∥B ．以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．解析：依题意，可得以下四个命题：(1)①②③⇒④；(2)①②④⇒③；(3)①③④⇒②；(4)②③④⇒①.不难发现，命题(3)，(4)为真命题，而命题(1)，(2)为假命题．答案：①③④⇒②或②③④⇒① 3．已知在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，求点A 1到平面AB 1D 1的距离．解：如图所示建立空间直角坐标系D xyz ，则A 1(2，0，4)，A(2，0，0)， B 1(2，2，4)，D 1(0，0，4)， AD1→＝(－2，0，4)，AB 1→＝(0，2，4)， AA 1→＝(0，0，4)， 设平面AB 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD 1→＝0，n ·AB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4z ＝0，2y ＋4z ＝0， 解得x ＝2z 且y ＝－2z ， 不妨设n ＝(2，－2，1)，设点A 1到平面AB 1D 1的距离为d ，则d ＝|AA 1→·n ||n |＝43.4. 如图所示，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD ．证明：如图所示，取BC 的中点O ，连接A O . 因为△ABC 为正三角形，所以A O ⊥BC ．因为在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以A O ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，以O B →，OO 1→，O A →为x 轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A 1(0，2，3)， A(0，0，3)，B 1(1，2，0)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， BA1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0)． 因为n ⊥BA 1→，n ⊥BD →， 故⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0n ·BD →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝－3，故n ＝(1，2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量，而AB 1→＝(1，2，－3)，所以AB1→＝n ，所以AB 1→∥n ， 故AB 1⊥平面A 1BD ．5. 如图所示，在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，E 、F 分别是P C 、P D 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面P AB ；(2)求证：平面P AD ⊥平面P DC ．证明：(1)以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，A P 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P (0，0，1)，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12.EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0， A P →＝(0，0，1)，AD→＝(0，2，0)， DC→＝(1，0，0)，AB →＝(1，0，0)． ∵EF →＝－12AB →， ∴EF→∥AB →，即EF ∥AB ． 又AB ⊂平面P AB ，EF ⊄平面P AB ， ∴EF ∥平面P AB ．(2)∵A P →·DC →＝(0，0，1)·(1，0，0)＝0， AD →·DC →＝(0，2，0)·(1，0，0)＝0，∴A P →⊥DC→，AD →⊥DC →， 即A P ⊥DC ，AD ⊥DC ． 又A P ∩AD ＝A ， ∴DC ⊥平面P AD ． 又∵DC ⊂平面P DC ，∴平面P AD ⊥平面P DC ．[能力提升]1．在四棱锥P -ABCD 中，P D ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，P D ＝DC ，E 、F 分别是AB 、P B 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面P CB ，并证明你的结论．解：(1)证明：如图，以DA 、DC 、D P 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D(0，0，0)、A(a ，0，0)、B(a ，a ，0)、C(0，a ，0)、E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0、P (0，0，a )、F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2.EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，a 2，DC →＝(0，a ，0)．∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD ． (2)设G (x ，0，z )，则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2， 若使GF ⊥平面P CB ，则由FG →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a ，0，0)＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2； 由FG →·C P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a )＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 2＝0，得z ＝0.∴G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，即G 点为AD 的中点． 2. 如图，在多面体ABC-A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是正方形，AB ＝AC ，BC ＝2AB ，B 1C 1綊12BC ，二面角A 1-AB-C 是直二面角．求证：(1)A 1B 1⊥平面AA 1C ； (2)AB 1∥平面A 1C 1C ．证明：∵二面角A 1-AB-C 是直二面角，四边形A 1ABB 1为正方形． ∴AA 1⊥平面BAC ．又∵AB ＝AC ，BC ＝2AB ， ∴∠CAB ＝90°，即CA ⊥AB ， ∴AB ，AC ，AA 1两两互相垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝2，则A(0，0，0)，B 1(0，2，2)，A 1(0，0，2)，C(2，0，0)，C 1(1，1，2)．(1)A 1B 1→＝(0，2，0)，A 1A →＝(0，0，－2)，AC→＝(2，0，0)， 设平面AA 1C 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1A →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2z ＝0，2x ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝0.取y ＝1，则n ＝(0，1，0)． ∴A 1B 1→＝2n ，即A 1B 1→∥n .∴A 1B 1⊥平面AA 1C ．(2)易知AB 1→＝(0，2，2)，A 1C 1→＝(1，1，0)，A 1C →＝(2，0，－2)，设平面A 1C 1C 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1C 1→＝0，m ·A 1C →＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1－2z 1＝0， 令x 1＝1，则y 1＝－1，z 1＝1， 即m ＝(1，－1，1)． ∴AB 1→·m ＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，∴AB 1→⊥m .又AB 1⊄平面A 1C 1C ， ∴AB 1∥平面A 1C 1C ． 3. 如图，四棱锥S -ABCD 中，ABCD 为矩形，S D ⊥AD ，且S D⊥AB ，AD ＝a (a >0)，AB ＝2AD ，S D ＝3AD ，E 为CD 上一点，且C E ＝3D E .(1)求证：A E ⊥平面S BD ；(2)M ，N 分别为线段S B ，CD 上的点，是否存在M ，N ，使M N ⊥CD 且M N ⊥S B ，若存在，确定M ，N 的位置；若不存在，说明理由．解：(1)证明：因为四棱锥S -ABCD 中，ABCD 为矩形，S D ⊥AD ，且S D ⊥AB ，AD ∩AB ＝A ，所以S D ⊥平面ABCD ．BD 就是S B 在平面ABCD 上的射影．因为AB ＝2AD ，E 为CD 上一点，且C E ＝3D E .∴tan ∠DA E ＝D E AD ＝12，tan ∠DBA ＝AD AB ＝12， ∴∠DA E ＝∠DBA ，∴∠DA E ＋∠BDA ＝90°.∴A E ⊥BD ，∴A E ⊥S B ．∵S B ∩BD ＝B ， ∴A E ⊥平面S BD ．(2)假设存在点M ，N 满足M N ⊥CD 且M N ⊥S B ．建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知，D(0，0，0)，A(a ，0，0)，C(0，2a ，0)，B(a ，2a ，0)，S (0，0，3a )，设D M →＝DB →＋t B S →＝(a ，2a ，0)＋t (－a ，－2a ，3a )＝(a －ta ，2a －2ta ，3ta )(t ∈[0，1])，即M (a －ta ，2a －2ta ，3ta )，N(0，y ，0)，y ∈[0，2a ]， N M →＝(a －ta ，2a －2ta －y ，3ta )．使M N ⊥CD 且M N ⊥S B ， 则⎩⎪⎨⎪⎧N M →·DC →＝0，N M →·B S →＝0，⎩⎪⎨⎪⎧（a －ta ，2a －2ta －y ，3ta ）·（0，2a ，0）＝0，（a －ta ，2a －2ta －y ，3ta ）·（－a ，－2a ，3a ）＝0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧2a （2a －2ta －y ）＝0，－a （a －ta ）－2a （2a －2ta －y ）＋3ta 2＝0，t ＝14∈[0，1]，y ＝32a ∈[0，2a ]．故存在点M ，N 使M N ⊥CD 且M N ⊥S B ，M (34a ，32a ，34a )，N(0，32a ，0)．。
高三数学试题-高三数学基础达标知能演练复习题66 最新
[基础达标]1．(2014·山东济南期末){a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( )A ．40B ．200C ．400D ．20解析：选C ．S 20－2S 10＝20（a 1＋a 20）2－2×10（a 1＋a 10）2＝10(a 20－a 10)＝100D ．又a 10＝a 2＋8d ，∴33＝1＋8d ，∴d ＝4.∴S 20－2S 10＝400.2．数列{1＋2n －1}的前n 项和为( )A ．1＋2nB ．2＋2nC ．n ＋2n －1D ．n ＋2＋2n解析：选C ．由题意得a n ＝1＋2n －1，所以S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n －1. 3．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( ) A ．158或5 B ．3116或5C ．3116D ．158解析：选C ．设数列{a n }的公比为q .由题意可知q ≠1，且9（1－q 3）1－q＝1－q 61－q，解得q ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，由求和公式可得S 5＝3116.4．(2014·江南十校联考)已知函数f (x )＝x a 的图象过点(4，2)，令a n ＝1f （n ＋1）＋f （n ），n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 014＝( )A ． 2 013－1B ． 2 014－1C ． 2 015－1D ． 2 015＋1解析：选C ．由f (4)＝2可得4a ＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 1∴a n ＝1f （n ＋1）＋f （n ）＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ， S 2 014＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 015－ 2 014)＝ 2 015－1.5．(2014·北京东城一模)已知函数f (n )＝n 2cos nπ，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( )A ．0B ．－100C ．100D ．10 200解析：选B ．f (n )＝n 2cos nπ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2 （n 为奇数）n 2 （n 为偶数）＝(－1)n ·n 2， 由a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝(－1)n ·n 2＋(－1)n ＋1·(n ＋1)2＝(－1)n [n 2－(n ＋1)2]＝(－1)n ＋1·(2n ＋1)，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.6．(2014·广东广州市调研测试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则S 7的值为________．解析：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＋a 4＋a 5＝12得a 1＋2d ＋a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝12，即3a 1＋9d ＝12，化简得a 1＋3d ＝4，故S 7＝7a 1＋7×62d ＝7(a 1＋3d )＝7×4＝28.答案：287．若数列{a n }是首项、公差都为1的等差数列，则数列{1a n （a n ＋2）}的前n 项和为________． 解析：由题意可知a n ＝n ， 则1a n （a n ＋2）＝1n （n ＋2）＝12(1n －1n ＋2)， 所以前n 项和为12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2) ＝12(32－1n ＋1－1n ＋2)． 答案：12(32－1n ＋1－1n ＋2) 8．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n . ∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2. 答案：2n ＋1－29．已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列，求：(1)p ，q 的值；(2)数列{x n }前n 项和S n 的公式．解：(1)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3.又因为x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，解得p ＝1，q ＝1.(2)由(1)，知x n ＝2n ＋n ，所以S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n )＝2n ＋1－2＋n （n ＋1）2. 10．(2014·广东惠州调研)已知向量p ＝(a n ，2n )，向量q ＝(2n ＋1，－a n ＋1)，n ∈N *，向量p 与q 垂直，且a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝log 2a n ＋1，求数列{a n ·b n }的前n 项和S n . 解：(1)∵向量p 与q 垂直，∴2n ＋1a n －2n a n ＋1＝0，即2n a n ＋1＝2n ＋1a n ，∴a n ＋1a n＝2，∴{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝log 2a n ＋1＝n －1＋1＝n ，∴a n ·b n ＝n ·2n －1， ∴S n ＝1＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n ·2n －1，①∴2S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，② ①－②得，－S n ＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋2n －1－n ·2n＝1－2n1－2－n ·2n ＝(1－n )2n －1， ∴S n ＝1＋(n －1)2n .[能力提升]1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝( )A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18C ．⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2（1≤n ≤3）n 2－6n ＋18（n >3）D ．⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2（1≤n ≤3）n 2－6n （n >3）解析：选C ．∵由S n ＝n 2－6n ，得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2.∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7，∴n ≤3时，a n <0，n >3时，a n >0，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2（1≤n ≤3），n 2－6n ＋18（n >3）. 2．(2014·山东济南3月模拟)数列{a n }中，a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( )A ．76B ．78C ．80D ．82解析：选B ．由已知a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，得a n ＋2＋(－1)n ＋1a n ＋1＝2n ＋1，得a n ＋2＋a n ＝(－1)n (2n －1)＋(2n ＋1)，取n ＝1，5，9及n ＝2，6，10，结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78.3．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________． 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3.所以a n ＝a 1q n －1＝3×3n －1＝3n ，故b n ＝log 3a n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1. 则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 答案：n n ＋14．(2014·山西晋中名校高三联合测试)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)，记S n 为{a n }的前n 项和，则S 2 014＝________．解析：由a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)可得该数列是周期为4的数列，且a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－1，a 4＝0，所以S 2 014＝503(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2 013＋a 2 014＝503×(－2)＋1＋(－2)＝－1 018.答案：－1 0185．已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足S n ＝12－12a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设f (x )＝log 3x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n ，求T 2 014.解：(1)当n ＝1时，a 1＝13，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.又S n ＝12－12a n ，所以a n ＝13a n －1，即数列{a n }是首项为13，公比为13的等比数列，故a n ＝(13)n .(2)由已知可得f (a n )＝log 3(13)n ＝－n ，所以b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )＝－1－2－…－n ＝－n （n ＋1）2， 故1b n＝－2(1n －1n ＋1)， 于是T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝－2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝－2(1－1n ＋1)＝－2n n ＋1， 所以T 2 014＝－4 0282 015.6．(选做题)(2014·湖北襄阳调研)已知数列{a n }，如果数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n ＋a n －1，n ≥2，n ∈N *，则称数列{b n }是数列{a n }的“生成数列”．(1)若数列{a n }的通项为a n ＝n ，写出数列{a n }的“生成数列”{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }的通项为c n ＝2n ＋b (其中b 是常数)，试问数列{c n }的“生成数列”{q n }是否是等差数列，请说明理由；(3)已知数列{d n }的通项为d n ＝2n ＋n ，求数列{d n }的“生成数列”{p n }的前n 项和T n .解：(1)当n ≥2时，b n ＝a n ＋a n －1＝2n －1， 当n ＝1时，b 1＝a 1＝1适合上式，∴b n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)q n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋b ，n ＝1，4n ＋2b －2，n ≥2，当b ＝0时，q n ＝4n －2，由于q n ＋1－q n ＝4， ∴此时数列{c n }的“生成数列”{q n }是等差数列． 当b ≠0时，由于q 1＝c 1＝2＋b ，q 2＝6＋2b ，q 3＝10＋2b ，此时q 2－q 1≠q 3－q 2，所以此时数列{c n }的“生成数列”{q n }不是等差数列．(3)p n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3·2n －1＋2n －1，n ≥2， 当n >1时，T n ＝3＋(3·2＋3)＋(3·22＋5)＋…＋(3·2n －1＋2n －1)， ∴T n ＝3＋3(2＋22＋23＋…＋2n －1)＋(3＋5＋7＋…＋2n －1)＝3·2n ＋n 2－4.又n ＝1时，T 1＝3，适合上式，∴T n ＝3·2n ＋n 2－4.。
高三数学试题-高三数学基础达标知能演练复习题70 最新
[基础达标]1．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称命题是()A．∃a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2B．∃a＜0，b＞0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2C．∀a＞0，b＞0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2D．∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2解析：选D．全称命题含有量词“∀”，故排除A、B，又等式a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2对于全体实数都成立．2．(2014·湖北省八校联考)已知命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为()A．所有的指数函数都不是单调函数B．所有的单调函数都不是指数函数C．存在一个指数函数，它不是单调函数D．存在一个单调函数，它不是指数函数解析：选C．命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为：存在一个指数函数，它不是单调函数．3．已知命题p：m，n为直线，α为平面，若m∥n，n⊂α，则m ∥α，命题q：若a＞b，则ac＞bc，则下列命题为真命题的是() A．p或q B．綈p或qC．綈p且q D．p且q解析：选B．命题q：若a＞b，则ac＞bc为假命题，命题p：m，n为直线，α为平面，若m∥n，n⊂α，则m∥α也为假命题，因此只有綈p或q为真命题．4．(2014·深圳市调研)下列命题为真命题的是()A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件C．命题“若x＜－1，则x2－2x－3＞0”的否命题为“若x＜－1，则x2－2x－3≤0”D．已知命题p：∃x∈R，使得x2＋x－1＜0，则綈p：∀x∈R，使得x2＋x－1＞0解析：选B．对于A，“p真q假”时p∨q为真命题，但p∧q为假命题，故A错；对于C，否命题应为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”，故C错；对于D，綈p应为“∀x∈R，使得x2＋x－1≥0”，故D错．5．(2014·湖南六校联考)已知命题p：∃x∈(－∞，0)，2x＜3x，命题q：∀x∈(0，1)，log2x＜0，则下列命题为真命题的是() A．p∧q B．p∨(綈q)C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )解析：选C ．由指数函数的图象与性质可知，命题p 是假命题，由对数函数的图象与性质可知，命题q 是真命题，则命题“p ∧q ”为假命题，命题“p ∨(綈q )”为假命题，命题“(綈p )∧q ”为真命题，命题“p ∧(綈q )”为假命题．6．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是____________________．解析：否定为全称命题：“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≠0”．答案：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≠07．已知命题p ：“∀x ∈N *，x ＞1x ”，命题p 的否定为命题q ，则q是“________”；q 的真假为________(填“真”或“假”)．解析：q ：∃x 0∈N *，x 0≤1x 0，当x 0＝1时，x 0＝1x 0成立，故q 为真． 答案：∃x 0∈N *，x 0≤1x 0真 8．(2014·安徽省名校联考)命题“∃x ∈R ，2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：“∃x ∈R ，2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则“∀x ∈R ，2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2.答案：[－22，22]9．已知命题p ：存在一个实数x ，使ax 2＋ax ＋1＜0.当a ∈A 时，非p 为真命题，求集合A ．解：非p 为真，即“∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0”为真．若a ＝0，则1≥0成立，即a ＝0时非p 为真；若a ≠0，则非p 为真⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＝a 2－4a ≤0⇔0＜a ≤4. 综上知，所求集合A ＝[0，4]．10．已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围．解：∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0＜c ＜1，即p ：0＜c ＜1.∵c ＞0且c ≠1，∴0＜c ＜1.又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数， ∴c ≤12，即q ：0＜c ≤12.∵c ＞0且c ≠1，∴0＜c ≤12.又∵“p 或q ”为真，∴p 、q 只要有一个为真即可．∴0＜c ＜1.故实数c 的取值范围是{c |0＜c ＜1}．[能力提升]1．(2014·东北四市调研)已知命题p 1：存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0成立；p 2：对任意x ∈[1，2]，x 2－1≥0.以下命题为真命题的是( )A ．(綈p 1)∧(綈p 2)B ．p 1∨(綈p 2)C ．(綈p 1)∧p 2D ．p 1∧p 2解析：选C ．∵方程x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3＜0， ∴x 2＋x ＋1＜0无解，故命题p 1为假命题，綈p 1为真命题；由x 2－1≥0，得x ≥1或x ≤－1.∴对任意x ∈[1，2]，x 2－1≥0，故命题p 2为真命题，綈p 2为假命题．∵綈p 1为真命题，p 2为真命题，∴(綈p 1)∧p 2为真命题．2．(2014·湖南省五市十校联合检测)下列命题中是假命题的是( )A ．∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin βB ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·x m 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减D ．∀a ＞0，函数f (x )＝(ln x )2＋ln x －a 有零点解析：选B ．对于A ，当α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；对于B ，当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 为偶函数；对于C ，当m ＝2时，f (x )＝(m －1)·x m 2－4m ＋3＝x －1＝1x ，满足条件；对于D ，令ln x＝t ，∀a ＞0，对于方程t 2＋t －a ＝0，Δ＝1－4(－a )＞0，恒有解，故满足条件．3．命题“∀x ∈R ，∃m ∈Z ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1”是________命题．(填“真”或“假”)解析：由于∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34，因此只需m 2－m ＜34，即－12＜m ＜32，所以当m ＝0或m ＝1时，∀x ∈R ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1成立，因此命题是真命题．答案：真4．已知下列命题：①命题“∃x ∈R ，x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1＜3x ”；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“(綈p )∧(綈q )为真命题”；③“a ＞2”是“a ＞5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是________．解析：命题“∃x ∈R ，x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”，故①错；“p ∨q ”为假命题说明p 假q 假，则(綈p )∧(綈q )为真命题，故②正确；a ＞5⇒a ＞2，但a ＞2⇒/ a ＞5，故“a ＞2”是“a ＞5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．答案：②5．(2014·湖南省五市十校高三第一次联合检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1（x ＜－2）x ＋3（－2≤x ≤12）（x ∈R ）.5x ＋1（x ＞12）(1)求函数f (x )的最小值；(2)已知m ∈R ，命题p ：关于x 的不等式f (x )≥m 2＋2m －2对任意m ∈R 恒成立；q ：函数y ＝(m 2－1)x 是增函数．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．解：(1)作出函数f (x )的图象(图略)，可知函数f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，故f (x )的最小值为f (x )min ＝f (－2)＝1.(2)对于命题p ，m 2＋2m －2≤1，故－3≤m ≤1；对于命题q ，m 2－1＞1，故m ＞2或m ＜－ 2.由于“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－3≤m ≤1－2≤m ≤2，解得－2≤m ≤1. ②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＞1或m ＜－3m ＜－2或m ＞2，解得m ＜－3或m ＞ 2. 故实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪[－2，1]∪(2，＋∞)．6．(选做题)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2＜0，得(x －3a )(x －a )＜0.又a ＞0，所以a ＜x ＜3A ．当a ＝1时，1＜x ＜3，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1＜x ＜3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x ＜－4或x ＞2，即2＜x ≤3. 所以q 为真时实数x 的取值范围是2＜x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎨⎧1<x <32<x ≤3⇔2<x <3， 所以实数x 的取值范围是(2，3)．(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，即綈p ⇒綈q 且綈q ⇒/ 綈p . 设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x ＞3}，则A B ．所以0＜a ≤2且3a ＞3，即1＜a ≤2.所以实数a 的取值范围是(1，2]．。
高三数学试题-高三数学基础达标知能演练复习题64 最新
[基础达标]1．(2014·河北省唐山质量检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＝15，S 5＝55，则数列{a n }的公差是( )A ．14B ．4C ．－4D ．－3解析：选B ．∵{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，∴a 1＋a 5＝22，∴2a 3＝22，a 3＝11，∴公差d ＝a 4－a 3＝4.2．(2014·辽宁大连市双基测试)设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 5＝15，且a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13等于( )A ．120B ．105C ．90D ．75解析：选B ．设数列{a n }的公差为d ，由a 1＋a 2＋a 3＝15，得a 2＝5，由a 1a 2a 3＝80，得a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16，故25－d 2＝16，d ＝3，则a 1＝2，a 11＋a 12＋a 13＝3a 1＋33d ＝6＋99＝105.3．(2014·安徽望江中学第九次模拟)设数列{a n }是公差d <0的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n ＝( )A ．5B ．6C ．5或6D ．6或7解析：选C ．由题意得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大．4．(2013·高考辽宁卷)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列{a n n }是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4解析：选D ．因为d >0，所以a n ＋1>a n ，所以p 1是真命题．因为n ＋1>n ，但是a n 的符号不知道，所以p 2是假命题．同理p 3是假命题．由a n ＋1＋3(n ＋1)d －a n －3nd ＝4d >0，所以p 4是真命题．5．(2014·浙江省名校联考)已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n 满足S n S n －1－S n －1 S n ＝2S n S n －1(n ∈N *且n ≥2)，则a 81＝( )A ．638B ．639C ．640D ．641解析：选C ．由已知S n S n －1－S n －1 S n ＝2S n S n －1可得，S n －S n －1＝2，∴{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2，∴a 81＝S 81－S 80＝1612－1592＝640.6．(2013·高考广东卷)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________．解析：法一：a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10，3a 5＋a 7＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d )＝2×10＝20.法二：a 3＋a 8＝2a 3＋5d ＝10，3a 5＋a 7＝4a 3＋10d ＝2(2a 3＋5d )＝2×10＝20.答案：207．在数列{a n }中，若点(n ，a n )在经过点(5，3)的定直线l 上，则数列{a n }的前9项和S 9＝________．解析：∵点(n ，a n )在定直线l 上，∴数列{a n }为等差数列，∴a n ＝a 1＋(n －1)D ．将(5，3)代入，得3＝a 1＋4d ＝a 5.∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝3×9＝27.答案：278．(2014·河南三市调研)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________．解析：由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.答案：1309．(2014·浙江温州市适应性测试)已知{a n }是递增的等差数列，a 1＝2，a 22＝a 4＋8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设等差数列的公差为d ，d >0.由题意得，(2＋d )2＝2＋3d ＋8，d 2＋d －6＝(d ＋3)(d －2)＝0，得d ＝2.故a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝2＋(n －1)·2＝2n ，得a n ＝2n .(2)b n ＝a n ＋2a n ＝2n ＋22n .S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n ＋22n )＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋(22＋24＋…＋22n )＝（2＋2n）·n2＋4·（1－4n）1－4＝n(n＋1)＋4n＋1－43.10．已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且满足2S n ＝a2n＋n－4(n∈N*)．(1)求证：数列{a n}为等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．解：(1)证明：当n＝1时，有2a1＝a21＋1－4，即a21－2a1－3＝0，解得a1＝3(a1＝－1舍去)．当n≥2时，有2S n－1＝a2n－1＋n－5，又2S n＝a2n＋n－4，两式相减得2a n＝a2n－a2n－1＋1，即a2n－2a n＋1＝a2n－1，也即(a n－1)2＝a2n－1，因此a n－1＝a n－1或a n－1＝－a n－1.若a n－1＝－a n－1，则a n＋a n－1＝1.而a1＝3，所以a2＝－2，这与数列{a n}的各项均为正数相矛盾，所以a n－1＝a n－1，即a n－a n－1＝1，因此数列{a n}为等差数列．(2)由(1)知a1＝3，d＝1，所以数列{a n}的通项公式a n＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即a n＝n＋2.[能力提升]1．数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝r·a n＋r(n∈N*，r∈R且r≠0)，则“r＝1”是“数列{a n}为等差数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A．当r＝1时，易知数列{a n}为等差数列；由题意易知a2＝2r，a3＝2r2＋r，当数列{a n}是等差数列时，a2－a1＝a3－a2，即2r －1＝2r 2－r ，解得r ＝12或r ＝1，故“r ＝1”是“数列{a n }为等差数列”的充分不必要条件．2．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10>0并且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 构成的集合为( )A ．{5}B ．{6}C ．{5，6}D ．{7}解析：选C ．在等差数列{a n }中，由S 10>0，S 11＝0得，S 10＝10（a 1＋a 10）2>0⇒a 1＋a 10>0⇒a 5＋a 6>0， S 11＝11（a 1＋a 11）2＝0⇒a 1＋a 11＝2a 6＝0，故可知等差数列{a n }是递减数列且a 6＝0，所以S 5＝S 6≥S n ，其中n ∈N *，所以k ＝5或6.3．(2014·湖北荆门调研)已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是________．解析：设数列{a n }为该等差数列，依题意得a 1＋a n ＝124＋1564＝70.∵S n ＝210，S n ＝n （a 1＋a n ）2，∴210＝70n 2，∴n ＝6. 答案：64．(2014·福建龙岩质检)已知数列{a n }的首项为2，数列{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 2＝－2，b 7＝8，则a 8＝________．解析：∵{b n }为等差数列，且b 2＝－2，b 7＝8，设其公差为d ，∴b 7－b 2＝5d ，即8＋2＝5D ．∴d ＝2.∴b n ＝－2＋(n －2)×2＝2n －6.∴a n ＋1－a n ＝2n －6.由a 2－a 1＝2×1－6，a 3－a 2＝2×2－6，…，a n －a n －1＝2×(n －1)－6，累加得：a n －a 1＝2×(1＋2＋…＋n －1)－6(n －1)＝n 2－7n ＋6，∴a n ＝n 2－7n ＋8.∴a 8＝16.答案：165．(2014·山东济南模拟)设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≤b n ＋1(n ∈N *)；②b n ≤M (n ∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界”数列．(1)若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ；(2)判断(1)中的数列{S n }是否为“特界”数列，并说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝18，解得a 1＝8，d ＝－2，∴S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－n 2＋9n . (2)由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝（S n ＋2－S n ＋1）－（S n ＋1－S n ）2＝a n ＋2－a n ＋12＝d 2＝－1＜0， 得S n ＋S n ＋22＜S n ＋1，故数列{S n }适合条件①.而S n ＝－n 2＋9n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922＋814(n ∈N *)， 则当n ＝4或5时，S n 有最大值20，即S n ≤20，故数列{S n }适合条件②.综上，数列{S n }是“特界”数列．6．(选做题)(2014·广东深圳质检)各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和．(1)求a 1，a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)是否存在正整数m 、n ，使得向量a ＝(2a n ＋2，m )与向量b ＝(－a n ＋5，3＋a n )垂直？说明理由．解：(1)当n ＝1时，a 21＝4S 1－2a 1－1，即(a 1－1)2＝0，解得a 1＝1.当n ＝2时，a 22＝4S 2－2a 2－1＝4a 1＋2a 2－1＝3＋2a 2，解得a 2＝3或a 2＝－1(舍去)．(2)a 2n ＝4S n －2a n －1，①a 2n ＋1＝4S n ＋1－2a n ＋1－1.②②－①得：a 2n ＋1－a 2n ＝4a n ＋1－2a n ＋1＋2a n＝2(a n ＋1＋a n )，即(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＝2(a n ＋1＋a n )．∵数列{a n }各项均为正数，∴a n ＋1＋a n >0，a n ＋1－a n ＝2，∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列．∴a n ＝2n －1.(3)∵a n ＝2n －1，∴a ＝(2a n ＋2，m )＝(2(2n ＋3)，m )≠0，b ＝(－a n ＋5，3＋a n )＝(－(2n ＋9)，2(n ＋1))≠0，∴a⊥b⇔a·b＝0⇔m(n＋1)＝(2n＋3)(2n＋9)＝[2(n＋1)＋1][2(n＋1)＋7]⇔m(n＋1)＝4(n＋1)2＋16(n＋1)＋7⇔m＝4(n＋1)＋16＋7n＋1. ∵m，n∈N*，∴n＋1＝7，m＝4×7＋16＋1，即n＝6，m＝45.∴当n＝6，m＝45时，a⊥B．。
高三数学总复习知能达标训练
高三数学总复习知能达标训练第二章第十一节定积分的观点与微积分基本定理(时间 40 分钟，满分 80 分)一、选择题 (6× 5 分＝ 30 分)ππ1．(2011 湖·南 )由直线 x ＝－ 3， x ＝ 3， y ＝ 0 与曲线 y ＝ cos x 所围成的关闭图形的面积为1 B ．1A. 2 3C. 2D. 33cos xdx ＝sin x|3ππ分析S ＝＝ sin 3－sin－3＝ 3.33答案 D2．以初速度 40 m/s 竖直向上抛一物体， t 秒时辰的速度 v ＝ 40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为160 80A. 3 mB. 3 m40 20 C. 3 mD. 3 m分析v ＝ 40－10t 2＝ 0， t ＝2，2210 3210160|0 ＝40×2－(40 10t )dx ＝ 40t － 3 t3 ×8＝3 (m)．答案A3．一物体在变力 F(x)＝ 5－ x 2(力单位： N ，位移单位： m)作用下，沿与 F(x)成 30°方向作直线运动，则由 x ＝1 运动到 x ＝2 时 F(x)作的功为2 3 A. 3 JB.3 J4 3C. 3JD ． 2 3 J分析因为 F(x)与位移方向成 30°角．如图： F 在位移方向上的分力 F ′＝F ·cos 30 ，°2 x 2) ·cos 30 dx °W ＝(5132x 2 )d x＝ 2(512 31 3 |＝ 2 5x －3x13 84 3＝ 2 ×3＝ 3 (J)．答案C4．由曲线 y ＝x 2 和直线 x ＝0，x ＝1，y ＝ t 2，t ∈ (0,1)所围成的图形 (如图 )(暗影部分 )的面积的最小值为2 1A. 3B.31 1C.2D.411 32 3分析 1 3x 2 d x3，S ＝t － t＝t －3t ＝ 3t1x 2 d x －(1－t)t 2 S 2＝ t1 1 32 ＝3－3t －(1－t)t2 3 2 1＝3t －t ＋3， S 1＋ 2＝ 4 3 2 1 ∈ ．t － ＋ ，(0,1)S 3 t 3 t11可由导数求适当t＝2时， S1＋S2取到最小值，最小值为4.答案D5．计算A．4πC．π分析2x2 d x 的结果是4B． 2ππD.22x2 d x 表示曲线y＝4－x2与两坐标轴围成的暗影部分的面积，412由图知该面积为4πr ＝π.答案C6．(2011 ·标全国卷课 )由曲线 y＝x，直线 y＝x－2 及 y 轴围成的图形的面积为10A. 3B．416C. 3D．6分析如图， y＝ x与 y＝ x－ 2 交点为 P(4,2)，2( x x 2)d x ＝231416∴S＝03x 22x22x |0＝3.答案C二、填空题 (3× 4 分＝ 12 分)7．从如下图的长方形地区内任取一个点M(x，y)，则点 M 取自暗影部分的概率为 ________．1231S阴11分析依据题意得： S 阴＝03x d x ＝x|0＝1，则点M取自暗影部分的概率为S矩＝3×1＝3.答案1 38．设 y＝f(x)为区间 [0,1] 上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，能够用随机模拟方法近似计算积1分0 f ( x) d x .先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的平均随机数x1，x2，，x N和y1，y2，，yN，由此获得 N 个点 (x i，y i)(i＝ 1,2，， N)．再数出此中知足y i≤f(x i )(i ＝1,2，， N)的点数 N1，那么1由随机模拟方法可得积分 f ( x) d x的近似值为________．分析由平均随机数产生的原理知：在区间 [0,1] 知足 y i≤ f(x i )的点都落在了函数0≤ x≤ 1N1，由积分的几何意义知又因为 0≤f(x)≤ 1，所以由 0≤ y≤ 1围成的图形面积是Ny≤ f xy＝f(x)的下方，1f (x) d x ＝N1.0N答案N1 N．已知一次函数的图象经过点，且1f(x)f (x) d x ＝1，则f(x)＝________.9(3,4)0分析设 f(x)＝ kx＋b(k≠0)，因为图象过点 (3,4)，所以 3k＋b＝4.①1 (kx k1k又∫10f(x)dx＝02b)d x＝2x ＋bx |0＝2＋ b＝ 1，②6 2所以由①②得 k＝5，b＝5.6 2故 f(x)＝5x＋5.6 2答案5x＋5三、解答题 (38 分 )10．(12 分 )如图在地区Ω＝{( x，y)|－ 2≤ x≤2,0≤y≤4} 中随机撒 900 粒豆子，假如落在每个区域的豆子数与这个地区的面积近似成正比，试预计落在图中暗影部分的豆子数．分析地区Ω的面积为 S1＝16.图中暗影部分的面积221232S2＝S1－2 x d x ＝16－3x3|2＝3.设落在暗影部分的豆子数为m，m S2由已知条件900＝S1，900S2即 m＝S1＝600.所以落在图中暗影部分的豆子约为600 粒．11．(12 分)一质点在直线上从时辰t＝0(s)开始以速度 v＝t2－4t＋ 3(m/s)运动，求：(1)在 t＝ 4 s 的地点；(2)在 t＝ 4 s 内运动的行程．分析(1)在时辰 t＝4 时该点的地点为421 3244(t |004t 3) d t＝3t－2t＋3t＝3(m)，4即在 t＝ 4 s 时辰该质点距出发点3m.(2)因为 v(t)＝t2－ 4t＋3＝(t－1)(t－3)，所以在区间 [0,1] 及[3,4] 上的 v(t)≥0，在区间 [1,3] 上 v(t)≤0，所以 t＝ 4 s 时的行程为14t3)d t ＋324t3)d t ＋44t3) d tS＝(t 2(t(t2 013 13211＋3t|0t32t23t3＝ t －2t＋133|1324444|3＋3t －2t＋3t＝3＋3＋3＝4(m)即质点在 4 s 内运动的行程为 4 m.12．(14 分)已知 f(x)为二次函数，且 f(－ 1)＝2，f′ (0)＝ 0，1f ( x) d x ＝－2. 0(1)求 f(x)的分析式；(2)求 f(x)在[ －1,1]上的最大值与最小值．分析(1)设 f(x)＝ax2＋bx＋ c(a≠ 0)，则 f′(x)＝2ax＋b.由 f(－ 1)＝2，f′ (0)＝0，得a－ b＋ c＝2 b＝ 0，即c＝ 2－a b＝ 0.∴f(x)＝ax2－a＋2.又∫10f(x)dx＝∫10[ax2＋(2－ a)]dx1123＝3ax ＋ 2－ a x |0＝ 2－3a＝－ 2.∴a＝ 6，∴c＝－ 4.进而 f(x)＝6x2－4.(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[ －1,1]，所以当 x＝0 时， f(x)min＝－ 4；当 x＝±1 时， f(x)max＝2.。
高三数学下学期多选题单元达标专项训练学能测试试卷
一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数123,12 ()1,222x xf x xf x⎧--≤≤⎪=⎨⎛⎫>⎪⎪⎝⎭⎩，则下列说法正确的是（）A．若函数()=-y f x kx有4个零点，则实数k的取值范围为11,246⎛⎫⎪⎝⎭B．关于x的方程*1()0()2nf x n N-=∈有24n+个不同的解C．对于实数[1,)x∈+∞，不等式2()30xf x-≤恒成立D．当1[2,2](*)n nx n N-∈∈时，函数()f x的图象与x轴围成的图形的面积为1【答案】AC【分析】根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D利用特值法进行判断.【详解】当312x≤≤时，()22f x x=-；当322x<≤时，()42f x x=-；当23x<≤，则3122<≤x，1()1222⎛⎫==-⎪⎝⎭x xf x f；当34x<≤，则3222<≤x，1()2222⎛⎫==-⎪⎝⎭x xf x f；当46x<≤，则232<≤x，11()2242⎛⎫==-⎪⎝⎭x xf x f；当68x<≤，则342<≤x，1()1224⎛⎫==-⎪⎝⎭x xf x f；依次类推，作出函数()f x的图像：对于A ，函数()=-y f x kx 有4个零点，即()y f x =与y kx =有4个交点，如图，直线y kx =的斜率应该在直线m , n 之间，又16m k =，124=n k ，11,246⎛⎫∴∈⎪⎝⎭k ，故A 正确； 对于B ，当1n =时，1()2f x =有3个交点，与246+=n 不符合，故B 错误； 对于C ，对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立，即3()2≤f x x恒成立，由图知函数()f x 的每一个上顶点都在曲线32y x =上，故3()2≤f x x恒成立，故C 正确； 对于D ， 取1n =，[1,2]x ∈，此时函数()f x 的图像与x 轴围成的图形的面积为111122⨯⨯=，故D 错误； 故选：AC 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.2．设函数2,0()12,02x e x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩，对关于x 的方程2()()20f x bf x b -+-=，下列说法正确的有（ ）．A．当2b =-+1个实根 B ．当32b =时，方程有5个不等实根 C ．若方程有2个不等实根，则17210b <≤ D ．若方程有6个不等实根，则322b -+<< 【答案】BD 【分析】先作出函数()f x 的图象，进行换元()f x t =，将方程转化成关于t 的二次方程，结合()f x 函数值的分布，对选项中参数值与根的情况逐一分析判断四个选项的正误即可. 【详解】函数()22,0,0()132,01,022x x e x e x f x x x x x x ⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨-++>--+>⎪⎪⎩⎩，作图如下：由图可知，3(),2f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，令()f x t =，则3,2t ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，则方程转化为220b bt t +-=-，即222()22204b b t t b t t b b ϕ⎛⎫=--- +-=+⎪-⎝=⎭选项A 中，223b =-+时方程为(22234230t t -+-=+，即(2310t +=，故31t =，即131,12()f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭=，看图知存在三个根，使得()31f x =，故A错误； 选项B 中，32b =，方程即231022t t -+=，即22310t t -+=，解得1t =或12t =，当()1f x t ==时看图可知，存在3个根，当1()2f x t ==时看图可知，存在2个根，故共5个不等的实根，B 正确；选项C 中，方程有2个不等实根，则有两种情况：（1）122bt t ==，则31,22b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或10,22b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，此时2204b b +--=，即2480b b -+=，解得223b =-±，132b =-2）12t t ≠时，即(]123,,02t t =∈-∞或(]12,,0t t ∈-∞.①当(]123,,02t t =∈-∞时132t =，代入方程得2220332b b +⎛⎫-⋅ ⎪⎝-=⎭，解得1710b =，由123210t t b =-=，得(]21,05t =∉-∞，不满足题意，舍去；②当(]12,,0t t ∈-∞时220b bt t +-=-，则()2420b b ∆=-->，1220t t b =-≥，120t t b +=<，解得223t <--，故C 错误；选项D 中，方程有6个不等实根，则1211,1,,122t t ⎛⎤⎛⎤∈∈⎥⎥⎝⎦⎝⎦且12t t ≠，222()2422b bt t b t t b b ϕ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭+-=+-图象如下：需满足：()2193024*********b b b b b ϕϕϕ⎧⎛⎫=-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=-≥⎨⎪⎛⎫⎪=-+-< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：32232b -+<<，故D 正确.故选：BD. 【点睛】 关键点点睛：本题解题关键在于对方程2()()20f x bf x b -+-=进行换元()f x t =，变成关于t 的二次方程根的分布问题，结合函数()f x 图象中函数值的分布情况来突破难点.3．对于函数()f x 定义域中任意的()1212,x x x x ≠，有如下结论，当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是（ ） A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+C ．1212()()f x f x x x --＞0D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】由对数的运算性质判断A ，B ，由对数函数的单调性判断C ，由对数的运算结合基本不等式判断D ． 【详解】 对于A ，()()112122lg lg lg f x x x x x x +=+≠⋅，即()()()1212f x x f x f x +≠⋅，故A 错误； 对于B ，()()()()12112122lg lg lg f x x x x x x f x f x ⋅=+=+=，故B 正确；对于C ，()lg f x x =在定义域中单调递增，()()12120f x f xx x -∴->，故C 正确；对于D ，()1212,0x x x x >≠，利用基本不等式知111222lg lg 22x x x x x x f +⎛⎫> ⎪+⎛⎫⎪⎭⎝= ⎝⎭，又()()()22121211lg lg lg lg 222f x f x x x x x x x +===+，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故D 错误； 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查对数函数的性质，考查基本不等式的应用，解决本题的关键点是将对数形式化为根式，即2121lg lg lg 2x x x x =+，利用对数的运算结合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．4．已知函数()221,0log 1,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数可能为（ ） A ．2 B ．6 C ．5 D ．4【答案】ACD 【分析】先画出()f x 的图象，再讨论方程()()22210f x f x a -+-=的根，求得()f x 的范围，再数形结合，得到答案. 【详解】画出()f x 的图象如图所示：令()t f x =，则22210t t a -+-=，则24(2)a ∆=-，当0∆=，即22a =时，1t =，此时()1f x =，由图1y =与()y f x =的图象有两个交点，即方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为2个，A 正确；当>0∆时，即22a <时，1t =，则0<≤故111<+≤111≤<，当1t =()1f x =-(1,1)∈-，则x 有2解，当1t =t (1,2]∈，则x 有3解；若t (2,1∈+，则x 有2解，故方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为5个或4个，CD 正确；故选：ACD 【点睛】本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大.5．已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不断，若存在常数()t t R ∈，使得()()0f x t tf x ++=对任意的实数x 成立，则称()f x 是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．常值函数()(0)f x a a =≠为回旋函数的充要条件是1t =-；B ．若(01)x y a a =<<为回旋函数，则1t >；C ．函数2()f x x =不是回旋函数；D ．若()f x 是2t =的回旋函数，则()f x 在[0]4030，上至少有2015个零点. 【答案】ACD 【分析】A.利用回旋函数的定义即可判断；B.代入回旋函数的定义，推得矛盾，判断选项；C.利用回旋函数的定义，令0x =，则必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，推得矛盾；D.根据回旋函数的定义，推得()()22f x f x +=-，再根据零点存在性定理，推得零点的个数. 【详解】A.若()f x a =，则()f x t a +=，则0a ta +=，解得：1t =-，故A 正确；B.若指数函数()01xy a a =<<为回旋函数，则0x t x a ta ++=，即0t a t +=，则0t <，故B 不正确；C.若函数()2f x x =是回旋函数，则()220x t tx ++=，对任意实数都成立，令0x =，则必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，显然0t =不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故C 正确；D. 若()f x 是2t =的回旋函数，则()()220f x f x ++=，对任意的实数x 都成立，即有()()22f x f x +=-，则()2f x +与()f x 异号，由零点存在性定理得，在区间(),2x x +上必有一个零点，可令0,2,4,...20152x =⨯，则函数()f x 在[]0,4030上至少存在2015个零点，故D 正确.故选：ACD 【点睛】本题考查以新定义为背景，判断函数的性质，重点考查对定义的理解，应用，属于中档题型.6．对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ） A ．,[]1x x x ∃∈+RB ．,,[][][]x y x y x y ∀∈++RC ．函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[0,1)D ．若t ∃∈R ，使得3451,2,3,,2nt t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦同时成立，则正整数n 的最大值是5 【答案】BCD 【分析】由取整函数的定义判断，由定义得[][]1x x x ≤<+，利用不等式性质可得结论． 【详解】[]x 是整数， 若[]1x x ≥+，[]1x +是整数，∴[][]1x x ≥+，矛盾，∴A 错误；,x y ∀∈R ，[],[]x x y y ≤≤，∴[][]x y x y +≤+，∴[][][]x y x y +≤+，B 正确；由定义[]1x x x -<≤，∴0[]1x x ≤-<，∴函数()[]f x x x =-的值域是[0,1)，C 正确；若t ∃∈R ，使得3451,2,3,,2n t t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦同时成立，则1t ≤<，t ≤<t ≤<t ≤<，，t ≤<=6n ≥，则不存在t同时满足1t ≤<t <5n ≤时，存在t ∈满足题意， 故选：BCD ． 【点睛】本题考查函数新定义，正确理解新定义是解题基础．由新定义把问题转化不等关系是解题关键，本题属于难题．7．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R x Qy f x x C Q∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,正确的为( ) A ．函数()f x 是偶函数B ．1x ∀,2R xC Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立C ．任取一个不为零的有理数T ,f x T f x 对任意的x ∈R 恒成立D ．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形 【答案】ACD 【分析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可． 【详解】对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x C Q ∈，则R x C Q -∈，满足()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确；对于B ，取12,R R x C Q x C Q ππ=∈=-∈，则()()1201f x x f +==，()()120f x f x +=，故选项B 错误；对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x C Q ∈，则R x T C Q +∈，满足()()f x f x T =+，故选项C 正确；对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；②直角顶点A 在1y =上，斜边不在x 轴上，此时点B 的横坐标为无理数，则点A 的横坐标也应为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；③直角顶点A 在x 轴上，斜边在1y =上，此时点B ，点C 的横坐标为有理数，则BC 中点的横坐标仍然为有理数，那么点A 的横坐标也应为有理数，这与点A 的纵坐标为0矛盾，故不成立；④直角顶点A 在x 轴上，斜边不在1y =上，此时点A 的横坐标为无理数，则点B 的横坐标也应为无理数，这与点B 的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()33C x f x ，，使得ABC ∆为等腰直角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．8．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]()f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列正确的是（ ） A ．函数()f x 是R 上单调递增函数B ．对于任意实数a b ，，都有()()()f a f b f a b +≤+ C ．函数()()g x f x ax =-（0x ≠）有3个零点，则实数a 的取值范围是34434532⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，， D ．对于任意实数x ，y ，则()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件 【答案】BCD 【分析】取反例可分析A 选项，设出a ，b 的小数部分，根据其取值范围可分析B 选项，数形结合可分析C 选项，取特殊值可分析D 选项． 【详解】解：对于A 选项，()()1 1.21f f ==，故A 错误；对于B 选项，令[]a a r =+，[](,b b q r =+q 分别为a ，b 的小数部分)， 可知[]01r a a =-<，[]01q b b =-<，[]0r q +≥， 则()[][][][][][][]()()f a b a b r q a b r q a b f a f b ⎡⎤+=+++=++++=+⎣⎦，故B 错误；对于C 选项，可知当1k x k ≤<+，k Z ∈时，则()[]f x x k ==， 可得()f x 的图象，如图所示：函数()()()0g x f x ax x =-≠有3个零点，∴函数()f x 的图象和直线y ax =有3个交点，且()0,0为()f x 和直线y ax =必过的点，由图可知，实数a 的取值范围是][3443,,4532⎛⎫⋃⎪⎝⎭，故C 正确；对于D 选项，当()()f x f y =时，即r ，q 分别为x ，y 的小数部分，可得01r ≤<，01q ≤<，[][]101x y x r y q r q -=+--=-<-=；当1x y -<时，取0.9x =-，0.09y =，可得[]1x =-，[]0y =，此时不满足()()f x f y =，故()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】本题考查函数新定义问题，解答的关键是理解题意，转化为分段函数问题，利用数形结合思想；9．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数()1,0,x Q f x x Q∈⎧=⎨∉⎩（Q 是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质、结构”．关于()f x 的性质，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 是周期函数C ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=D ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x ⋅= 【答案】ABC 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；验证()()1f x f x +=，可判断B 选项的正误；分1x Q ∈、1x Q ∉两种情况讨论，结合函数()f x 的定义可判断C 选项的正误；取20x =，1x Q ∉可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，任取x Q ∈，则x Q -∈，()()1f x f x ==-； 任取x Q ∉，则x Q -∉，()()0f x f x ==-.所以，对任意的x ∈R ，()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，A 选项正确； 对于B 选项，任取x Q ∈，则1x Q +∈，则()()11f x f x +==； 任取x Q ∉，则1x Q +∉，则()()10f x f x +==.所以，对任意的x ∈R ，()()1f x f x +=，即函数()f x 为周期函数，B 选项正确； 对于C 选项，对任意1x Q ∈，2x ∈Q ，则12x Q x +∈，()()1211f x x f x +==； 对任意的1x Q ∉，2x ∈Q ，则12x x Q +∉，()()1210f x x f x +==. 综上，对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=，C 选项正确； 对于D 选项，取20x =，若1x Q ∉，则()()()12101f x x f f x ⋅==≠，D 选项错误.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知函数的定义依次讨论各选项，分自变量为无理数和有理数两种情况讨论，对于D 选项，可取1x Q ∉，20x =验证.10．已知函数12()123x x x f x x x x ++=+++++，下列关于函数()f x 的结论正确的为（ ） A ．()f x 在定义域内有三个零点 B ．函数()f x 的值域为R C ．()f x 在定义域内为周期函数 D ．()f x 图象是中心对称图象【答案】ABD 【分析】将函数变形为111()3123f x x x x ⎛⎫=-++⎪+++⎝⎭，求出定义域，结合导数求函数的单调性即可判断BC ，由零点存在定理结合单调性可判断A ，由()()46f x f x --=+可求出函数的对称点，即可判断D. 【详解】解：由题意知，1111()111312311123f x x x x x x x ⎛⎫=-+-+-=-++ ⎪++++++⎝⎭， 定义域为()()()(),33,22,11,-∞-⋃--⋃--⋃-+∞，()()()22211()01213f x x x x '=++>+++，所以函数在()()()(),3,3,2,2,1,1,-∞------+∞定义域上单调递增，C 不正确；当1x >-时，()3371230,004111523f f ⎛⎫-=-++<=+> ⎪⎝⎭，则()1,-+∞上有一个零点， 当()2,1x ∈--时，750,044f f ⎛⎫⎛⎫-<-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以在()2,1x ∈--上有一个零点， 当()3,2x ∈--时，1450,052f f ⎛⎫⎛⎫-<-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以在()3,2x ∈--上有一个零点， 当3x <-，()0f x >，所以在定义域内函数有三个零点，A 正确； 当0x <，1x +→-时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →+∞， 又函数在()1,-+∞递增，且在()1,-+∞上有一个零点，则值域为R ，B 正确；()1111(4)363612311123f x f x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=+++=--++=- ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以()()46f x f x --=+，所以函数图象关于()2,3-对称，D 正确； 故选:ABD.结论点睛:1、()y f x =与()y f x =-图象关于x 轴对称；2、()y f x =与()y f x =-图象关于y 轴对称；3、()y f x =与()2y f a x =-图象关于x a =轴对称；4、()y f x =与()2y a f x =-图象关于y a =轴对称；5、()y f x =与()22y b f a x =--图象关于(),a b 轴对称.二、导数及其应用多选题11．已知函数()21xx x f x e+-=，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 存在两个不同的零点 B ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值C ．当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D ．若[),x t ∈+∞时，()2max 5f x e=，则t 的最小值为2 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项． 【详解】对于A ．2()010f x x x =⇒+-=，解得12x -±=，所以A 正确； 对于B ．22(1)(2)()x xx x x x f x e e--+-=-=-'， 当()0f x '>时，12x -<<，当()0f x '<时，1x <-或2x >，所以(,1),(2,)-∞-+∞是函数的单调递减区间，(1,2)-是函数的单调递增区间， 所以(1)f -是函数的极小值，(2)f 是函数的极大值，所以B 正确．对于C ．当x →+∞时，0y →，根据B 可知，函数的最小值是(1)f e -=-，再根据单调性可知，当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；对于D ：由图象可知，t 的最大值是2，所以D 不正确． 故选：ABC. 【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是(2,)+∞是函数的单调递减区间，但当x →+∞时，0y →，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．12．设函数()ln f x x x =，()212g x x =，给定下列命题，其中正确的是（ ） A ．若方程()f x k =有两个不同的实数根，则1,0k e⎛⎫∈- ⎪⎝⎭； B ．若方程()2kf x x =恰好只有一个实数根，则0k <；C ．若120x x >>，总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则m 1≥；D ．若函数()()()2F x f x ag x =-有两个极值点，则实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 【答案】ACD 【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为()y f x =与y k =有两个不同的交点，即可判断A 选项；易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，将条件等价于y k =和ln xy x=只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B 选项；当120x x >>时，将条件等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出m 的范围，即可判断C 选项；2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，()f x 的定义域(0,)+∞，()ln 1f x x '=+， 令()0f x '>，有ln 1x >-，即1x e>， 可知()f x 在1(0,)e 单调递减，在1+e∞（，）单调递增，所以极小值等于最小值， min 11()()f x f e e∴==-，且当0x →时()0f x →，又(1)0f =，从而要使得方程()f x k =有两个不同的实根，即()y f x =与y k =有两个不同的交点，所以1(,0)k e∈-，故A 正确； 对于B ，易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，()0f x ≠，方程2()kf x x =有且只有一个实数根，等价于y k =和ln xy x=只有一个交点， 2ln 1(ln )-'=x y x ，又0x >且1x ≠， 令0y '>，即ln 1x >，有x e >， 知ln xy x=在0,1（）和1e （，）单减，在+e ∞（，）上单增， 1x =是一条渐近线，极小值为e ,由ln xy x=大致图像可知0k <或=k e ，故B 错误；对于C ，当120x x >>时，[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-恒成立， 等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立， 即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数， 即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立，即ln 1+≥x m x在(0,)+∞上恒成立， 令ln 1()x r x x +=，则2ln ()xr x x -'=，令()0r x '>得ln 0x <，有01x <<，从而()r x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 则max ()(1)1r x r ==，于是m 1≥，故C 正确；对于D ，2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点， 等价于()ln 120F x x ax +-'==有两个不同的正根，即方程ln 12x a x+=有两个不同的正根， 由C 可知，021a <<，即102a <<，则D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力．13．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式(ln 1)x e e mx x -+32()3ef x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）A ．3a =B ．1b =C ．m 的值可能是e -D ．m 的值可能是1e-【答案】ABC 【分析】求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1ee x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x ee x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.【详解】由题意可得()1112f a b -=-+-+=，因为()2321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，所以()1620f a ''=-+=-，解得3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.因为1x >，所以()()32ln []13xeee mx xf x x x e x -+≥--+等价于()1ln 1e x x e x e m x --++≤+. 设()()10xg x e x x =-->，则()10xg x e '=->，从而()g x 在()0,∞+上单调递增.因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+， 则ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），从而()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.故选：ABC. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得()3231f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.14．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值 B ．若0a >，则函数()f x 有极值C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭【答案】ABD 【分析】先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x'-=-=， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值， 又当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点， 当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1x a=时，()f x 取得极小值，同时也是最小值， ∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞， 当1ln 0a +=，即1a e=时，()f x 有且只有一个零点； 当1ln 0a +<，即10a e<<时，()f x 有且仅有两个零点， 综上可知ABD 正确，C 错误． 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．15．某同学对函数()sin e ex xxf x -=-进行研究后，得出以下结论，其中正确的是（ ） A ．函数()y f x =的图象关于原点对称B ．对定义域中的任意实数x 的值，恒有()1f x <成立C ．函数()y f x =的图象与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点的距离相等D ．对任意常数0m >，存在常数b a m >>，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减 【答案】BD 【分析】由函数奇偶性的定义即可判断选项A ；由函数的性质可知()sin 1xxx f x e e-=<-可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x x e e x --->，构造函数()sin 0x x h x e e x x -=-->，求导判断单调性，进而求得最值即可判断选项B ；函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()0，πk (k Z ∈，且)0k ≠，可判断选项C ；求导分析()0f x '≤时成立的情况，即可判断选项D. 【详解】对于选项A ：函数()sin e e x xxf x -=-的定义域为{}|0x x ≠，且()()sin sin x x x xx xf x f x e e e e ----===--，所以()f x 为偶函数，即函数()y f x =的图象关于y 轴对称，故A 选项错误； 对于选项B ：由A 选项可知()f x 为偶函数，所以当0x >时，0x x e e -->，所以()sin 1x xx f x e e -=<-，可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x xe e x --->，可设()sin 0x x h x e e x x -=-->，，()cos x x h x e e x -'=+±，因为2x x e e -+>，所以()cos 0x x h x e e x -±'=+>，所以()h x 在()0+∞，上单调递增，所以()()00h x h >=，即()sin 1xxx f x e e-=<-恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()()00k k Z k π∈≠，，且，交点()0π-，与()0π，间的距离为2π，其余任意相邻两点的距离为π，故C 选项错误； 对于选项D ：()()()()2cos sin 0xx x x xxee x e e xf x ee-----+-'=≤，可化为e x (cos x －sin x )()cos sin 0xex x --+≤，不等式两边同除以x e -得，()2cos sin cos sin x e x x x x -≤+，当()32244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈⎪⎝⎭，，cos sin 0x x -<，cos sin 0x x +>，区间长度为12π>，所以对于任意常数m >0，存在常数b >a >m ，32244a b k k ππππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，，，()k Z ∈，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减，故D 选项正确；故选：BD 【点睛】思路点睛：利用导数研究函数()f x 的最值的步骤： ①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性； ③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.16．已知函数()()2214sin 2xxe xf x e -=+，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．对任意m ∈R ，都有()()f m f m =，且()0f m ≥【答案】AD 【分析】由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D. 【详解】 解：对A ，()()222114sin =2cos 2xx xx e x e f x x e e-+=+-，定义域为R ，关于原点对称，()2211=2cos()2cos()()x x x xe ef x x x f x e e --++---=-=，()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称，()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确；对B ，1()2sin xx f x e x e'=-+， 11()2sin()=(2sin )()x xx x f x e x e x f x e e--''-=-+---+=-， ()f x '∴是奇函数，令1()2sin xxg x e x e =-+， 则1()+2cos 2+2cos 0x xg x e x x e '=+≥≥， ()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误；对C ，1()2sin x x f x e x e'=-+，且()'f x 在(),-∞+∞上单调递增， 又(0)0f '=，π,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()y f x ∴=在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错误；对D ，()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，()()f m f m ∴=，且()(0)0f m f ≥=，故D 正确.故选：AD. 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.17．已知函数()sin xf x x=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1 D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减【答案】ACD 【分析】先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可， 对于选项A ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，最后作出判断； 对于选项B ：由()f x 在区间(]0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得1212sin sin x x x x >，进而作出判断； 对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，进而作出判断；对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin xg x f x x''==，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.【详解】()2cos sin x x xf x x -'=， (]0,x π∈，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <， 所以sin cos xx x<，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<， 所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<， 所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()f x 在区间(]0,π上单调递减，故选项A 正确； 当120x x π<<≤时，()()12f x f x >，所以1212sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误； 由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==， 所以当(]0,x π∈时，()[)0,1f x ∈，故选项C 正确；对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得： 所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，所以()()sin xg x f x x''==，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1， 所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]0,π上单调递增，因为()0g π'=， 从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]0,π上单调递减，故选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin xf x x=的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.18．若方程()2110x m x -+-=和()120x m ex -+-=的根分别为()1212,x x x x <和3x ，()434x x x <，则下列判断正确的是（ ）A ．3201x x <<<B ．1310x x -<<C ．(),1m ∈-∞-D．1112x ⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】ABD 【分析】根据题意将问题转化为，1x ，2x 和3x ，4x 分别是y m =与11y x x =--和12x xy e-=-交点的横坐标，再用导数研究函数11y x x =--和12x xy e-=-的单调性与取值情况，作出函数图象，数形结合即可解决问题. 【详解】解：由题，1x ，2x 和3x ，4x 分别是11m x x =--和12x xm e-=-的两个根， 即y m =与11y x x =--和12x xy e-=-交点的横坐标. 对于函数11y x x =--，定义域为{}0x x ≠，21'10y x=+>，所以函数在(),0-∞和()0,∞+上单调递增，且1x =时，1y =-；对于函数12x xy e -=-，11'x xy e--=，所以函数在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞单调递减，且当,2x y →+∞→-，0x =时，2y =-，1x =时，1y =-；故作出函数11y x x =--，12x xy e-=-的图像如图所示， 注意到：当()0,1x ∈时，11122x xx x x e---<-<-， 由图可知，3201x x <<<，()2,1m ∈--， 从而()11112,1x x --∈--，解得11,12x ⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以选项AD 正确，选项C 错误， 又121310x x x x -=<<. 故选：ABD .【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归转化思想与数形结合思想，是中档题.19．（多选题）已知函数31()1x x xe x f x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，，，函数()()g x xf x =，下列选项正确的是（ ）A ．点(0,0)是函数()f x 的零点B ．12(0,1),(1,3)x x ∃∈∈，使12()()f x f x >C ．函数()f x 的值域为)1e ,-⎡-+∞⎣D ．若关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是222e e,(,)e 82⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦ 【答案】BC 【分析】根据零点的定义可判断A ；利用导数判断出函数在()0,1、()1,3上的单调性性，求出各段上的值域即可判断B ；利用导数求出函数的最值即可判断C ；利用导数求出函数的最值即可判断D. 【详解】对于选项A ，0是函数()f x 的零点，零点不是一个点，所以A 错误. 对于选项B ，当1x <时，()(1)xf x x e '=+，可得， 当1x <-时，()f x 单调递减； 当11x -<<时，()f x 单调递增； 所以，当01x <<时， 0()<<f x e ，当1x >时，4(3)()x e x f x x-'=， 当13x <<时，()f x 单调递减； 当3x >时，()f x 单调递增；()y f x =图像所以，当13x <<时， 3()27e f x e << ，综上可得，选项B 正确；对于选项C ，min 1()(1)f x f e=-=-，选项C 正确. 对于选项D ，关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根⇔关于x 的方程()[()2]0-=g x g x a 有两个不相等的实数根 ⇔关于x 的方程()20-=g x a 有一个非零的实数根⇔函数()y g x =与2y a =有一个交点，且0x ≠，22,1(),1x xx e x g x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩当1x <时，/2()(2)=+xg x e x x ，当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下：x2x <-2-20x -<<0 01x << /()g x +-+()g x极大值 极小值极大值2(2)g e -=，极小值(0)0g =，当1≥x 时，3(2)'()e x g x x-= 当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下： x112x << 2 2x >/()g x-+()g xe极小值极小值(2)4e g =，()y g x =图像综上可得，22424<<e a e 或2a e >，a 的取值范围是222e e,(,)e 82⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，D 不正确.故选：BC 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，利用导数研究方程的根，考查了转化与化归的思想，属于难题.20．关于函数()sin x f x e a x =+，(),x π∈-+∞，下列结论正确的有（ ） A ．当1a =时，()f x 在()0,(0)f 处的切线方程为210x y -+= B ．当1a =时，()f x 存在惟一极小值点0x C ．对任意0a >，()f x 在(),π-+∞上均存在零点 D ．存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点 【答案】ABD 【分析】逐一验证，选项A ，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项B ，通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C 、D ，通过构造函数，将零点问题转化判断函数的交点问题.。
高三数学总复习知能达标训练
高三数学总复习知能达标训练第七章第五节直线、平面垂直的判定及其性质(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.其中正确命题的个数是A．0B．1C．2 D．3解析①④正确；②错，α与β可相交；③错，m与n可异面，可相交，故选C.答案 C2．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是A．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βB．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αC．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则m⊥α解析n⊥α，n⊥β⇒α∥β，∵m⊥β，∴m⊥α，故选B.答案 B3．(2011·浙江)下列命题中错误的是A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析两个平面α，β垂直时，设交线为l，则在平面α内与l平行的线都平行于平面β，故A 正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，那么由面面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确；两个平面都与第三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故C正确；两个平面α，β垂直时，平面α内与交线平行的直线与β平行，故D错误．答案 D4．(2011·大纲全国卷)已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD等于A. 3 B．2C. 2 D．1解析如图，连接BC，在直二面角α－l－β中，AC⊥l，∴AC⊥β，∴AC⊥BC，∴△ABC为直角三角形，∴BC＝22－12＝ 3.Rt△BCD中，BC＝3，BD＝1，∴CD＝BC2－BD2＝ 2.答案 C5．二面角α－l－β的大小为锐角，P∈l，P A⊂α，PB⊂β且P A⊥l，则A．∠APB的最大值等于二面角的平面角B．∠APB的最小值等于二面角的平面角C．二面角的平面角既不是∠APB的最大值，也不是∠APB的最小值D．∠APB就是二面角的平面角解析如图，在平面β内作PC⊥l，则∠APC为二面角的平面角，cos ∠APB＝cos ∠BPC·cos ∠APC≤cos ∠APC，即∠APB≥∠APC，故选B.答案 B6．(2011·辽宁)如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析易证AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，A正确；AB∥DC，DC⊂平面SCD，故AB∥平面SCD，B正确；由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同．答案 D二、填空题(3×4分＝12分)7．α，β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．答案可填①③④⇒②与②③④⇒①中的一个8．已知P是△ABC所在平面α外一点，O是点P在平面α内的射影(1)若P到△ABC的三个顶点的距离相等，则O是△ABC的________；(2)若P A、PB、PC与平面α所成的角相等，则O是△ABC的________；(3)若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的________；(4)若平面P AB、平面PBC、平面PCA与平面α所成的角相等，且O在△ABC的内部，则O 是△ABC的________；(5)若P A、PB、PC两两垂直，则O是△ABC的________．答案(1)外心(2)外心(3)内心(4)内心(5)垂心9．若Rt△ABC在给定平面α上的射影有如下的判断：①可能是一条线段；②可能是直角三角形；③可能是钝角三角形；④可能是锐角三角形；⑤可能是一条直线；⑥可能是一条射线．其中正确判断的序号是________(把你认为正确判断的序号都填上)．答案①②③④三、解答题(38分)10．(12分)(2011·湖南)如图，在圆锥PO中，已知PO＝2，⊙O的直径AB＝2，点C在AB上，且∠CAB＝30°，D为AC的中点．(1)证明：AC⊥平面POD；(2)求直线OC和平面P AC所成角的正弦值．解析 (1)证明 因为OA ＝OC ，D 是AC 的中点，所以AC ⊥OD .又PO ⊥底面⊙O ，AC ⊂底面⊙O ，所以AC ⊥PO .而OD ，PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面POD .(2)由(1)知，AC ⊥平面POD ，又AC ⊂平面P AC ，所以平面POD ⊥平面P AC .在平面POD 中，过O 作OH ⊥PD 于H ，则OH ⊥平面P AC .连接CH ，则CH 是OC 在平面P AC 上的射影，所以∠OCH 是直线OC 和平面P AC 所成的角．在Rt △ODA 中，OD ＝OA ·sin 30°＝12.在Rt △POD 中，OH ＝PO ·ODPO 2＋OD 2＝2×122＋14＝23. 在Rt △OHC 中，sin ∠OCH ＝OH OC ＝23.故直线OC 和平面P AC 所成角的正弦值为23.11．(12分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P ＝A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于点D .(1)求证：PB 1∥平面BDA 1；(2)求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值．解析 (1)证明 连接AB 1，与BA 1交于点O ，连接OD .∵C 1D ∥AA 1，A 1C 1＝C 1P ，∴AD ＝PD .又∵AO ＝B 1O ，∴OD ∥PB 1.又OD ⊂平面BDA 1，PB 1⊄平面BDA 1，∴PB 1∥平面BDA 1.(2)如图，过A 作AE ⊥DA 1于点E ，连接BE .∵BA ⊥CA ，BA ⊥AA 1，且AA 1∩AC ＝A ，∴BA ⊥平面AA 1C 1C .∴BE ⊥DA 1.∴∠BEA 为二面角A －A 1D －B 的平面角．在Rt △A 1C 1D 中，A 1D ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝52， 又S △AA 1D ＝12×1×1＝12×52·AE ，∴AE ＝255.在Rt △BAE 中，BE ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝355， ∴cos ∠BEA ＝AE BE ＝23. 故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23.12．(14分)(2011·浙江)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．(1)证明：AP ⊥BC ；(2)已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.求二面角B －AP －C 的大小．解析 (1)证明 由AB ＝AC ，D 是BC 的中点，得AD ⊥BC ，又PO ⊥平面ABC ，得PO ⊥BC ，因为PO ∩AD ＝O ，所以BC ⊥平面P AD ，故BC ⊥P A .(2)如图，在平面P AB 内作BM ⊥P A 于M ，连CM . 因为BC ⊥P A ，得P A ⊥平面BMC ，所以AP ⊥CM .故∠BMC 为二面角B －AP －C 的平面角．在Rt△ADB中，AB2＝AD2＋BD2＝41，得AB＝41.在Rt△POD中，PD2＝PO2＋OD2，在Rt△PDB中，PB2＝PD2＋BD2，所以PB2＝PO2＋OD2＋BD2＝36，得PB＝6.在Rt△POA中，P A2＝AO2＋OP2＝25，得P A＝5.又cos∠BP A＝P A2＋PB2－AB22P A·PB＝13，从而sin∠BP A＝223.故BM＝PB sin∠BP A＝4 2.同理CM＝4 2.因为BM2＋MC2＝BC2，所以∠BMC＝90°，即二面角B－AP－C的大小为90°.。
高三数学基础达标知能演练复习题6
[基础达标]1．(2013·高考湖北卷)已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：选D ．由双曲线C 1知：a 2＝sin 2θ，b 2＝cos 2θ⇒c 2＝1，由双曲线C 2知：a 2＝cos 2θ，b 2＝sin 2θ⇒c 2＝1.2．(2014·福建宁德一模)已知椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点，则a 的值为( )A ． 2B ．10C ．4D ．34解析：选C ．因为椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点(±7，0)，则有a 2－9＝7，∴a ＝4.3．(2014·辽宁六校联考)已知点P (2，5)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线上的一点，E ，F 分别是双曲线的左，右焦点，若EP →·FP→＝0，则双曲线的方程为( )A ．x 23－y 24＝1B ．x 24－y 23＝1C ．x 24－y 25＝1D ．x 25－y 24＝1解析：选C ．由条件易得b a ＝52，且(2＋c ，5)·(2－c ，5)＝0，联立求得a 2＝4，b 2＝5.4．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1A F 2＝90°，且|A F 1|＝3|A F 2|，则双曲线的离心率等于( )A ．52B ．102C ．152D ． 5解析：选B ．由⎩⎨⎧|A F 1|－|A F 2|＝2a |A F 1|＝3|A F 2|⇒⎩⎨⎧|A F 1|＝3a |A F 2|＝a，由∠F 1A F 2＝90°，得|A F 1|2＋|A F 2|2＝|F 1F 2|2，即(3a )2＋a 2＝(2c )2，得e ＝102.5．(2014·山西阳泉调研)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的渐近线方程是( )A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．x ±3y ＝0D ．3x ±y ＝0 解析：选C ．易知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离为b ，而b 2c ＝14，所以b ＝12c ，a ＝c 2－b 2＝32c ，∴b a ＝33，故该双曲线的渐近线方程是x ±3y ＝0.6．(2013·高考天津卷)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．解析：由题意可知抛物线的准线方程为x ＝－2，∴双曲线的半焦距c ＝2.又双曲线的离心率为2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝17．已知双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标是(－3，0)，且焦距与实轴长之比为5∶3，则双曲线的标准方程是________．解析：可求得a ＝3，c ＝5.焦点的位置在x 轴上，所得的方程为x 29－y 216＝1.答案：x 29－y 216＝18．(2014·浙江杭州调研)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，左、右顶点分别为A 1和A 2，过焦点F 2与x 轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P ，若|P A 1→|是|F 1F 2→|和|A 1F 2→|的等比中项，则该双曲线的离心率为________．解析：由题意可知|P A 1→|2＝|F 1F 2→|×|A 1F 2→|，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＋(a ＋c )2＝2c (a ＋c )，化简可得a 2＝b 2，则e ＝c a ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝ 2.答案： 29．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x 2＋y 2＝10相交于点P (3，－1)，若此圆过点P 的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程． 解：切点为P (3，－1)的圆x 2＋y 2＝10的切线方程是3x －y ＝10. ∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，∴两渐近线方程为3x ±y ＝0.设所求双曲线方程为9x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵点P (3，－1)在双曲线上，代入上式可得λ＝80，∴所求的双曲线方程为x 2809－y 280＝1.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：MF 1→·MF 2→＝0. 解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m 3－23， kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23. ∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0. [能力提升]1．(2014·安徽省“江南十校”联考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 恰好是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，且双曲线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2p ，2b 2p ，则该双曲线的离心率是( ) A ．2 B ．104C ．132D ．264解析：选D ．由题意知p 2＝c ，所以p ＝2c ，双曲线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 22c ，2b 22c ，将点的坐标代入双曲线方程，得9a 24c 2－b 2c 2＝1，即9a 2－4b 2＝4c 2.又b 2＝c 2－a 2.所以9a 2－4c 2＋4a 2＝4c 2，即13a 2＝8c 2，e ＝c a ＝264.2．(2014·山西阳泉高三第一次诊断)已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B ．由题意知a ＝1，b ＝1，c ＝2，∴|F 1F 2|＝22，在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝|F 1F 2|2＝8，即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝8，①由双曲线定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4，②①－②得|PF 1||PF 2|＝4.3．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________． 解析：由题可知A 1(－1，0)，F 2(2，0)，设P (x ，y )(x ≥1)， 则P A 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )， P A 1→·PF 2→＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x －2＋y 2 ＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5.∵x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18，∴当x ＝1时，P A 1→·PF 2→取得最小值－2. 答案：－24．(2013·高考湖南卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上．∵PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝2c ，且∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3C ．又点P 在双曲线右支上，∴|PF 1|－|PF 2|＝(3－1)c ＝2A ．∴e ＝c a ＝23－1＝3＋1. 答案：3＋15．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋O N →＝tO D →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b 23x . 即bx －23y ＝0. ∴|bc |b 2＋12＝ 3. ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，D(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12.∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3. ∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．6．(选做题)直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且|AB|＝3，又l 关于直线l 1：y ＝b a x 对称的直线l 2与x 轴平行．(1)求双曲线C 的离心率e ；(2)求双曲线C 的方程．解：(1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过一、三象限的渐近线l 1：x a －y b ＝0的倾斜角为α.因为l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P ，l 与x 轴的交点为M .而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴的交点为Q.依题意有∠Q PO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α.又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，所以tan 30°＝b a ＝33.于是e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，所以e ＝233.(2)由于b a ＝33，于是设双曲线方程为x 23k 2－y 2k 2＝1(k ≠0)， 即x 2－3y 2＝3k 2.将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中， 得x 2－3×3(x －2)2＝3k 2.化简得到8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB|＝1＋3|x 1－x 2|＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2362－4×8×（36＋3k 2）8＝9－6k 2＝3， 求得k 2＝1.故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。
高三数学总复习知能达标训练第七章
高三数学总复习知能达标训练第七章第一节空间几何体的结构、三视图和直观图(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．利用斜二测画法可以得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是A．①②B．①C．③④D．①②③④解析因为斜二测画法规则依据的是平行投影的性质，则①②正确；对于③④，只有平行于x轴的线段长度不变，所以不正确．答案 A2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是A．①②B．②③C．③④D．①④答案 B3．(2011·江西)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为解析如图所示，点D1的投影为C1，点D的投影为C，点A的投影为B，故选D.答案 D4．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是解析A、B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，答案选D.答案 D5．(2011·山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是A．3 B．2C．1 D．0解析底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个矩形侧面放置在水平面上时，它的主视图和俯视图可以是全等的矩形，因此①正确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意的两个相等的矩形，因此②正确；当圆柱侧放时(即左视图为圆时)，它的主视图和俯视图可以是全等的矩形，因此③正确．答案 A6．如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台解析 可以利用线面平行的判定定理和性质定理证明EH 綊B 1C 1綊FG ，则A 、B 、C 正确，故选D. 答案 D二、填空题(3×4分＝12分)7．正视图为一个三角形的几何体，那么它可以是________(写出三种)． 答案 直三棱柱 三棱锥 圆锥8．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．解析 由三视图可知多面体为如图所示的三棱锥，其中SA 最长，SA ＝AB 2＋BC 2＋SC 2＝2 3.答案 2 39．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________．解析 DC ＝AB sin 45°＝22， BC ＝AB sin 45°＋AD ＝22＋1， S 梯形ABCD ＝12(AD ＋BC )DC ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2222＝22＋14，S ＝42S 梯形ABCD ＝2＋22. 答案 2＋22 三、综合题(38分)10．(12分)下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱． 其中，真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)． 答案 ②④11．(12分)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．解析 设底面边长为x ，则V ＝34x 2x ＝23， ∴x ＝2.由题意知这个正三棱柱的左视图为长为2，宽为3的矩形，其面积为2 3. 答案 2 312．(14分)找出与下列几何体对应的三视图，在三视图的横线上填上对应的序号．答案(3)(4)(6)(1)(8)(5)(2)(7)。
高三数学总复习知能达标训练第六章
高三数学总复习知能达标训练第六章第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划(时间分钟，满分分)一、选择题(×分＝分)．(·大纲全国卷)若变量，满足约束条件(\\(＋≤，－≤－，≥，))则＝＋的最小值为．．．．解读如图，作出可行域(阴影)，再作出初始直线：＋＝，即＝－，发现向上移动时越来越大，故平移到过点时最小，又()，∴＝＋＝.答案．设变量，满足约束条件(\\(≥，＋－≤，－＋≤，))则目标函数＝－的最大值为．－．．解读作出可行域如图．＝－在()取得最大值．＝×－＝.答案．(·湖北)已知向量＝(＋)，＝(，－)，且⊥.若，满足不等式＋≤，则的取值范围为．[－] ．[－]．[－] ．[－]解读∵＝(＋)，＝(，－)，且⊥，∴·＝(＋)＋(－)＝，即＋－＝，又＋≤表示的区域如图阴影，∴当＋－＝过点(，－)时，＝－，当＋－＝过点()时，＝，∴∈[－]．答案．设不等式组(\\(＋－≥，－＋≥，－＋≤，))表示的平面区域为，若指数函数＝的图象上存在区域上的点，则的取值范围是．(] ．[]．(] ．[，＋∞)解读不等式组(\\(＋－≥－＋≥－＋≤))对应的区域如图所示，若指数函数＝的图象上存在区域上的点，则＞，解方程组(\\(＋－＝－＋＝))，得(\\(＝＝))，由＝得＝，则＜≤.答案．若实数，满足不等式组(\\(＋－≥，－－≤，－＋≥，))且＋的最大值为，则实数等于．－．－．．解读不等式组(\\(＋－≥－－≤－＋≥))，对应的区域如图所示，作直线：＋＝，可观察出＋在点取到最大值.解方程组(\\(－－＝＋＝))，得(\\(＝＝))代入－＋＝得＝.答案．(·湖南)设＞，在约束条件(\\(≥≤＋≤))下，目标函数＝＋的最大值小于，则的取值范围是．(＋) ．(＋，＋∞)．() ．(，＋∞)解读画出可行域如图所示．将目标函数化为斜截式为＝－＋，结合图形可以看出当目标函数过＝与＋＝的交点时取到最大值，联立(\\(＝，＋＝，))得交点坐标为.将其代入目标函数得＝，由题意得＜，又＞，∴＜＜＋.答案二、填空题(×分＝分)．若变量，满足条件(\\(－≤－＋≥))，则＝＋的最大值为．解读作出可行域如图所示作出直线：＋＝，由图可知当：＋＝由图可知当平移到点时，最大，解方程组(\\(－＝－＋＝))得(\\(＝()＝()))，∴，∴＝＋＝.答案．已知变量，满足约束条件(\\(＋－≤＋－≥－≤))，若目标函数＝＋(其中＞)仅在点()处取得最大值，则的取值范围为．解读由约束条件表示的可行域如图所示，作直线：＋＝，过()点作的平行线′，则直线′介于直线＋－＝与过()点与轴垂直的直线之间，因此，－＜－，即＞.答案．设＞，在约束条件(\\(≥，≤，＋≤，))下，目标函数＝＋的最大值为，则的值为．解读画出可行域如图．目标函数化为斜截式为＝－＋.当目标函数过＝与＋＝的交点时，有最大值，联立(\\(＝＋＝))得交点坐标为，代入目标函数得＝＋·＝，解得＝.答案三、解答题(分)．(分)已知(\\(＋－≥，－＋≥，－－≤，))＋在，取何值时取得最大值、最小值？最大值、最小值各是多少？解读如图所示可作出不等式组表示的区域，过原点作垂直于直线＋－＝，垂足为，则＋在、点分别取得了最大值和最小值．由(\\(－－＝，－＋＝，))得(\\(＝，＝.))即()．由(\\(＝()，＋－＝，))得(\\(＝()，＝().))即.∴＋的最大值和最小值分别为，.．(分)、两地分别生产同一规格产品千吨、千吨，而、、三地分别需要千吨、千吨，千吨，每千吨的运费如下表．怎样确定调运方案，使总的运费为最小？解读设从到运千吨，则从到运(－)千吨；从到运千吨，则从到运(－)千吨；从到运(－－)千吨，则从到运(＋－)千吨，则线性约束条件为(\\(≤≤，≤≤，≤＋≤，))线性目标函数为＝＋＋(－－)＋(－)＋(－)＋(＋－)＝－＋＋，如上图作出可行域，可观察出目标函数在()点取到最小值，即从到运千吨，从到运千吨，从到运千吨，从到运千吨，可使总的运费最少．．(分)设、满足≤＋≤且＋≥－.()求点(，)所表示的平面区域；()设＞－，在()所确定的区域里，求函数(，)＝－的最大值和最小值．解读()点(，)所在的平面区域如图(阴影部分)．其中：＝－，：＝－＋，：＋＝，：＋＝.()(，)是直线：－＝在轴上的截距，直线必与阴影相交．由＞－，则通过顶点时，(，)最大，又点的坐标为(－)，于是(，)的最大值为3a＋.如果－＜≤，则通过点(，－)时，(，)最小，此时最小值为－2a－.如果＞，则通过点()时，(，)最小，此时最小值为－3a＋.。
高三数学总复习知能达标训练
高三数学总复习知能达标训练第七章第三节空间点、直线、平面之间的位置关系(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件答案 A2．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC答案 C3．(2012·潜江模拟)ABCD为空间四边形，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M、N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与A．AC、BD之一垂直B．AC、BD都垂直C．AC、BD都不垂直D．AC、BD不一定垂直解析∵AD＝BC，AB＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CDB.则AN＝CN，在等腰△ANC中，由M为AC的中点知MN⊥AC.同理可证MN⊥BD.答案 B4．如图，已知E、F分别为正四面体ABCD所在棱的中点，则异面直线AC与EF所成的角为A．30°B．45°C ．60°D ．90°解析 如图，取BC 中点G ，连接EG ，FG ，则∠GEF 为异面直线AC 与EF 所成角，∵EG ＝12AC ＝12BD ＝GF ，又可证AC ⊥BD ，∴∠EGF ＝90°，则∠GEF ＝45°. 答案 B5．三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析 如图，可补成一个正方体，∴AC 1∥BD 1.∴BA 1与AC 1所成角的大小为∠A 1BD 1. 又易知△A 1BD 1为正三角形， ∴∠A 1BD 1＝60°.∴BA 1与AC 1成60°的角． 答案 C6．(2012·兰州模拟)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°解析 解法一 如图，取BC 的中点D ，连接AD ，B 1D ， 由正三棱柱ABC －A 1B 1C 1知AD ⊥平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥BC 1， 又BB 1BD ＝B 1C 1BB 1＝ 2知△BB 1C 1∽△DBB 1， ∴∠B 1C 1B ＝∠BB 1D ， 因此B 1D ⊥BC 1，∴BC 1⊥平面ADB 1，则BC 1⊥AB 1.解法二 如图，取AB 、BB 1、B 1C 1、BC 的中点D 、E 、F 、G ，连接DE 、EF 、DF 、FG 、DG ， 设AB ＝1可求出DG ＝12，GF ＝22， 可证明FG ⊥平面ABC ，在Rt △DGF 中DF 2＝DG 2＋GF 2＝34， 又可求出DE ＝12AB 1＝64，EF ＝12BC 1＝64，在△DEF 中DF 2＝DE 2＋EF 2， ∴∠DEF ＝90°，即AB 1⊥C 1B .解法三 设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ， AB 1→＝a ＋c ，BC 1→＝b －a ＋c ， AB 1→·BC 1→＝(a ＋c )·(b －a ＋c )＝a ·b －a 2＋a ·c ＋c ·b －c ·a ＋c 2＝12|a |2－a 2＋12|a |2＝0. ∴AB 1→⊥BC 1→. 答案 B二、填空题(3×4分＝12分)7．如图，P A ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，且P A ＝AC ＝BC ＝a ，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于________．答案 28．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝BC ，则PC 与AB 所成角的大小为________．解析 取P A 、AC 、CB 的中点分别为E 、F 、G ，连接EF 、FG 、GE . 则∠EFG 或其补角为PC 与AB 所成的角，设P A ＝1，则EF ＝12PC ＝22， FG ＝12AB ＝22，EG 2＝EA 2＋AC 2＋CG 2＝32，在△EFG 中，cos ∠EFG ＝EF 2＋FG 2－EG 22EF ·FG ＝－12， 则∠EFG ＝120°，∴PC 与AB 所成角的大小为60°. 答案 60°9．(2011·大纲全国卷)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 和BC 所成角的余弦值为________．解析取A1B1的中点F，连接EF，AF，则EF∥B1C1∥BC.∴∠AEF为异面直线AE与BC所成的角．设正方体的棱长为a，则AF＝52a，EF＝a，∵EF⊥平面ABB1A1，∴EF⊥AF，∴AE＝AF2＋EF2＝32a，∴cos ∠AEF＝EFAE ＝2 3.答案2 3三、解答题(38分)10．(12分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D 与平面ACD1的交点．求证：D1、H、O三点共线．证明如图，连接BD、B1D1，则BD∩AC＝O，∵BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D为平面图形且为平行四边形，又H∈B1D，B1D⊂平面BB1D1D，则H∈平面BB1D1D，又∵H∈平面ACD1，且平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.即D1、H、O三点共线．11．(12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．(1)求证AC⊥BC1；(2)求证AC1∥平面CDB1；(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．解析(1)证明在直棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，则CC1⊥AC，∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，又BC∩C1C＝C，则AC⊥平面BCC1B1，又BC1⊂平面BCC1B1，∴AC⊥BC1.(2)证明如图，设BC1∩B1C＝E，连接DE，E为BC1中点，又∵D 为AB 的中点． ∴AC 1∥DE ，AC 1⊄平面CDB 1， DE ⊂平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1.(3)∠DEC (或其补角)即为异面直线AC 1与B 1C 所成的角， 在Rt △ACB 中，CD ＝12AB ＝52， DE ＝12AC 1＝52，CE ＝12CB 1＝22，在△CED 中，cos ∠DEC ＝DE 2＋CE 2－CD 22DE ·CE ＝255，即异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为255.12．(14分)(2011·广东)如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的，A ，A ′，B ，B ′分别为CD ，''C D ，DE ，''D E 的中点，O 1，O ′1，O 2，O ′2分别为CD ，C ′D ′，DE ，D ′E ′的中点．(1)证明：O ′1，A ′，O 2，B 四点共面；(2)设G 为AA ′中点，延长A ′O ′1到H ′，使得O ′1H ′＝A ′O ′1.证明：BO ′2⊥平面H ′B ′G .证明 (1)由题意知A ′，O ′1，B ′，O ′2四点共面． ∵O ′1，O ′2分别为C ′D ′，D ′E ′的中点，A ′，B ′分别为''CD ，''DE 的中点，∴O ′1A ′∥B ′O ′2. 又O 2，B 分别为DE ，DE 的中点，连接BO 2，∴BO2∥B′O′2，∴O′1A′∥BO2.∴O′1，A′，O2，B四点共面．(2)如图所示，连接AO1，并延长至H，使得O1H＝AO1，连接H′H，HB，O2O′2，O1O′1，HO′1，则得长方体HBO2O1－H′B′O′2O′1，∴HO′1∥BO′2，H′B′⊥BO′2.取A′G的中点F，连接O′1F，HF，则O′1F綊12H′G.由题意，在Rt△H′A′G中，H′A′＝2，A′G＝1，∴H′G＝H′A′2＋A′G2＝22＋12＝5，∴O′1F＝52.在Rt△HAF中，HA＝2，AF＝3，2∴HF＝HA2＋AF2＝52.在Rt△HH′O′1中，HH′＝2，H′O′1＝1，∴HO′1＝HH′2＋H′O′21＝22＋12＝ 5.∴O′1F2＋HO′21＝HF2.∴HO′1⊥O′1F.又O′1F∥H′G，∴HO′1⊥H′G.∴BO′2⊥H′G.又H′B′⊥BO′2，H′B′∩H′G＝H′，∴BO′2⊥平面H′B′G.。
高三数学基础模拟试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3B. -2C. 1D. 0答案：D2. 函数y=2x+1的图象是（）A. 一条直线B. 一条抛物线C. 一条射线D. 一个圆答案：A3. 已知函数f(x)=x^2-4x+4，则f(x)的值域是（）A. [0, +∞)B. (-∞, 0]C. (-∞, +∞)D. [0, 4]答案：A4. 在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则△ABC的面积是（）A. 6B. 8C. 10答案：A5. 已知等差数列{an}的公差为d，且a1=2，a4=10，则d=（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B6. 已知复数z=i^2019，则|z|=（）A. 1B. √2C. 2D. 3答案：A7. 函数y=lnx的图象是（）A. 一条直线B. 一条抛物线C. 一条射线D. 一个圆答案：A8. 已知等比数列{an}的公比为q，且a1=1，a3=8，则q=（）A. 2B. 4D. 16答案：B9. 已知数列{an}的通项公式an=3n-2，则数列{an}的前10项和S10=（）A. 144B. 153C. 162D. 171答案：A10. 已知函数f(x)=x^3-3x，则f'(x)=（）A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. 3x-3D. 3x+3答案：A二、填空题（每题5分，共25分）11. 函数y=√(x-1)的定义域是______。
答案：[1, +∞)12. 若sinα=1/2，则cosα=______。
答案：√3/213. 已知复数z=2+3i，则|z|=______。
答案：√1314. 函数y=2x-3在区间[1, 3]上的最大值是______。
答案：315. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，公差d=2，则S10=______。
答案：55三、解答题（每题15分，共60分）16. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），若f(1)=2，f(2)=5，f(3)=8，求a、b、c的值。
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[基础达标]1．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝( )A ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32nB ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n C ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 D ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 解析：选C ．(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)⇒a ＝5，a 1＝4，q ＝32，故a n＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1. 2．(2018·高考课标全国卷Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A ．13B ．－13C ．19D ．－19解析：选C ．设公比为q ，∵S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 1q 4＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝9a 1，a 1q 4＝9， 解得a 1＝19.3．(2018·四川广元质检)等比数列{a n }的公比q >0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝( )A ．－20B ．15C ．152D ．203解析：选C ．因为a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，所以q 2＋q －6＝0，即q ＝2或q ＝－3(舍)，所以a 1＝12.则S 4＝12（1－24）1－2＝152. 4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则项数n 为( )A ．12B ．14C ．15D ．16解析：选D ．a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝q 4＝2， 由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，得a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝1，即a 1·1－q 41－q＝1，∴a 1＝q －1. 又S n ＝15，即a 1（1－q n ）1－q＝15， ∴q n ＝16.又∵q 4＝2，∴n ＝16.5．(2018·山西太原调研)若数列{a n }满足a n ＝q n (q >0，n ∈N *)，则以下命题正确的是( )①{a 2n }是等比数列；②{1a n}是等比数列；③{lg a n }是等差数列；④{lg a 2n }是等差数列．A ．①③B ．③④C ．①②③④D ．②③④解析：选C ．∵a n ＝q n (q >0，n ∈N *)，∴{a n }是等比数列，因此{a 2n }，{1a n}是等比数列，{lg a n }，{lg a 2n }是等差数列． 6．(2018·高考辽宁卷)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.解析：因为a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，且数列{a n }是递增的等比数列，所以a 1＝1，a 3＝4，q ＝2，所以S 6＝1－261－2＝63. 答案：637．(2018·江苏扬州中学期中测试)设等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 3＝4，S k ＝63，则k ＝________．解析：设等比数列{a n }公比为q ，由已知a 1＝1，a 3＝4，得q 2＝a 3a 1＝4.又{a n }的各项均为正数，∴q ＝2.而S k ＝1－2k1－2＝63，∴2k －1＝63，解得k ＝6.答案：68．(2018·高考课标全国卷Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.解析：当n ＝1时，S 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n ＋13－(23a n －1＋13)＝23(a n －a n －1)，∴a n ＝－2a n －1，即a n a n －1＝－2， ∴{a n }是以1为首项的等比数列，其公比为－2，∴a n ＝1×(－2)n －1，即a n ＝(－2)n －1.答案：(－2)n －19．已知等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8.(1)求{a n }的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，求{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2a 1＋4d ＝8， ∴a 1＝0，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －2.(2)设等比数列{b n }的公比为q ，则由已知得q ＋q 2＝a 4.∵a 4＝6，∴q ＝2或q ＝－3.∵等比数列{b n }的各项均为正数，∴q ＝2.∴{b n }的前n 项和T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝1×（1－2n ）1－2＝2n －1. 10．设数列{a n }是一等差数列，数列{b n }的前n 项和为S n ＝23(b n－1)，若a 2＝b 1，a 5＝b 2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)∵S 1＝23(b 1－1)＝b 1，∴b 1＝－2.又S 2＝23(b 2－1)＝b 1＋b 2＝－2＋b 2，∴b 2＝4.∴a 2＝－2，a 5＝4.∵{a n }为等差数列，∴公差d ＝a 5－a 23＝63＝2，即a n ＝－2＋(n －2)·2＝2n －6.(2)∵S n ＋1＝23(b n ＋1－1)，①S n ＝23(b n －1)，②①－②得S n ＋1－S n ＝23(b n ＋1－b n )＝b n ＋1，∴b n ＋1＝－2b n .∴数列{b n }是等比数列，公比q ＝－2，首项b 1＝－2，∴b n ＝(－2)n .∴S n ＝23[(－2)n －1]．[能力提升]1．(2018·山东莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 014＝( ) A ．92 013 B ．272 013C ．92 014D ．272 014解析：选D ．由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n ，b n ＝3n .又c n ＝ba n ＝33n ，∴c 2 014＝33×2 014＝272 014.2．若数列{a n }满足a 2n ＋1a 2n＝p (p 为正常数，n ∈N *)，则称{a n }为“等方比数列”．甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列，则( )A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的充要条件C ．甲是乙的必要条件但不是充分条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析：选C ．乙⇒甲，但甲⇒ 乙，如数列2，2，－2，－2，－2，是等方比数列，但不是等比数列．3．(2018·北京市海淀区高三上学期期末测试)数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N *，都有a n ＋m a m＝a n ，则a 3＝________；{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：∵a n ＋m a m＝a n ， ∴a n ＋m ＝a n ·a m ，∴a 3＝a 1＋2＝a 1·a 2＝a 1·a 1·a 1＝23＝8；令m ＝1，则有a n ＋1＝a n ·a 1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为a 1＝2，公比q ＝2的等比数列，∴S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2. 答案：8 2n ＋1－24．(2018·皖南八校第三次联考)已知数列{a n }是等比数列，a 1，a 2，a 3依次位于下表中第一行，第二行，第三行中的某一格内，又a 1，a 2，a 3*).解析：123，6，18，即{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，∴a n ＝2·3n －1.答案：2·3n －15．(2018·高考湖北卷)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q （1＋q ＋q 2）＝－18， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1.(2)由(1)有S n ＝3[1－（－2）n ]1－（－2）＝1－(－2)n . 假设存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，即n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}．6．(选做题)(2018·东北三校联考)已知等比数列{a n }的所有项均为正数，首项a 1＝1，且a 4，3a 3，a 5成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n ＋1－λa n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n －1(n ∈N *)，求实数λ的值．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由条件可知q 3，3q 2，q 4成等差数列，∴6q 2＝q 3＋q 4，解得q ＝－3或q ＝2，∵q >0，∴q ＝2，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)记b n ＝a n ＋1－λa n ，则b n ＝2n －λ·2n －1＝(2－λ)2n －1，若λ＝2，则b n ＝0，S n ＝0，不符合条件；若λ≠2，则b n ＋1b n＝2，数列{b n }为等比数列，首项为2－λ，公比为2，此时S n ＝（2－λ）1－2(1－2n )＝(2－λ)(2n －1)， ∵S n ＝2n －1(n ∈N *)，∴λ＝1.。