2020年山东省菏泽市高二(下)期中数学试卷(A卷)

期中数学试卷（A卷）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列求导结果正确的是（）A. （1-x2）′=1-2xB.C. （sin60°）′=-cos60°D.2.n∈N*，则（21-n）（22-n）…（100-n）等于（）A. B. C. D.3.抛掷2颗骰子，所得点数之和ξ是一个随机变量，则P（ξ≤4）等于（）A. B. C. D.4.若f′（x0）=2，则=（）A. 1B. 2C. 4D. 65.给出下列结论：在回归分析中（1）可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好；（2）可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好；（3）可用相关系数r的值判断模型的拟合效果，r越大，模型的拟合效果越好；（4）可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．以上结论中，不正确的是（）A. （1）（3）B. （2）（3）C. （1）（4）D. （3）（4）6.校园科技节展览期间，安排小王、小李等4位志愿者到3个不同展区提供义务服务，每个展区至少有1人，则不同的安排方案共有的种数为（）A. 36B. 72C. 18D. 817.已知（x-1）9（1-x）=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a8=（）A. -45B. 27C. -27D. 458.设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（）A. B. C. D.9.函数f（x）的导函数f'（x），满足关系式f（x）=x2+2xf'（2）-ln x，则f'（2）的值为（）A. B. C. D.10.设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A. P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B. P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）C. 对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）D. 对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）11.将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A=“三个点数之和等于15”，B=“至少出现一个5点”，则概率P（A|B）等于（）A. B. C. D.12.如图，将一个四棱锥的每一个面染上一种颜色，使每两个具有公共棱的面染成不同颜色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（）A. 36B. 48C. 72D. 108二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若随机变量X～B（n，p），且E（X）=10，D（X）=8，则p=______．14.设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为x+y=0，则实数a=______．15.下列说法中，正确的有______．①回归直线恒过点（，），且至少过一个样本点；②根据2×2列列联表中的数据计算得出κ2≥6.635，而P（κ2≥6.635）≈0.01，则有99%的把握认为两个分类变量有关系，即有1%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；③κ2是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当κ2的值很小时可以推断两类变量不相关；④某项测量结果ξ服从正态分布N（1，a2），当3P（ξ≤5）=0.81，则P（ξ≤-3）=0.19．16.定义：在等式中，把叫做三项式（x2-x+1）n的n次系数列（如三项式的1次系数列是1，-1，1）．则三项式（x2-x+1）n的2次系数列各项之和等于______；=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知（m是正实数）的展开式中前3项的二项式系数之和等于37．（1）求n的值；（2）若展开式中含项的系数等于112，求m的值．18.已知函数．（1）求曲线y=f（x）在x=2处的切线方程；（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．19.实验中学从高二级部中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1个相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级6名选手，现从每个班级6名选手中随机抽取3人回答这个问题已知这6人中，甲班级有4人可以正确回答这道题目，而乙班级6人中能正确回答这道题目的概率每人均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立，互不影响的．（1）求甲、乙两个班级抽取的6人都能正确回答的概率；（2）分别求甲、乙两个班级能正确回答题目人数的期望E（X），E（Y）和方差D （X）、D（Y），并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好？20.随着我国经济的发展，居民收入逐年增长．某地区2014年至2018年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份20142015201620172018年份代号t12345人均纯收入y567810（）求关于的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测2019年该地区农村居民家庭人均纯收入为多少？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=-．21.为迎接“五一”节的到来，某单位举行“庆五一，展风采”的活动．现有6人参加其中的一个节目，该节目由A，B两个环节可供参加者选择，为增加趣味性，该单位用电脑制作了一个选择方案：按下电脑键盘“Enter”键则会出现模拟抛两枚质地均匀骰子的画面，若干秒后在屏幕上出现两个点数n和m，并在屏幕的下方计算出的值．现规定：每个人去按“Enter”键，当显示出来的d小于时则参加A环节，否则参加B环节．（1）求这6人中恰有2人参加该节目A环节的概率；（2）用X，Y分别表示这6个人中去参加该节目A，B两个环节的人数，记ξ=|X-Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望．22.某工厂有两台不同机器A和B生产同一种产品各10万件，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示：该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到（90，100）的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达到（80，90）的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到（60，80）的产品，质量等级为合格．将这组数据的频率视为整批产品的概率．（1）完成下列2×2列联表，以产品等级是否达到良好以上（含良好）为判断依据，判断能不能在误差不超过0.05的情况下，认为B机器生产的产品比A机器生产的产品好；A生产的产品B生产的产品合计良好以上（含良好）合格合计器A和B生产的产品中各随机抽取2件，求4件产品中A机器生产的优等品的数量（3）已知优秀等级产品的利润为12元/件，良好等级产品的利润为10元/件，合格等级产品的利润为5元/件，A机器每生产10万件的成本为20万元，B机器每生产10万件的成本为30万元；该工厂决定：按样本数据测算，两种机器分别生产10万件产品，若收益之差达到5万元以上，则淘汰收益低的机器，若收益之差不超过5万元，则仍然保留原来的两台机器．你认为该工厂会仍然保留原来的两台机器吗？附：①独立性检验计算公式：．P（K2≥k）0.250.150.100.050.025k 1.3232.0722.7063.8415.024答案和解析1.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，（1-x2）′=-2x，A错误；对于B，=，其导数（）′=，B错误；对于C，sin60°=为常数，则（sin60°）′=0，C错误；对于D，（ln x3）′==，D正确；故选：D．根据题意，依次分析计算选项中函数的导数，综合即可得答案．本题考查导数的计算，涉及导数的计算公式，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵n∈N*，∴（21-n）（22-n）…（100-n）=．故选：A．利用排列数公式求解．本题考查排列数公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用．3.【答案】C【解析】解：抛掷2颗骰子，所得点数之和ξ是一个随机变量，基本事件总数n=6×6=36，ξ≤4包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，2），共6个，∴P（ξ≤4）==．故选：C．基本事件总数n=6×6=36，ξ≤4包含的基本事件有6个，由此能求出P（ξ≤4）的值．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：f′（x0）=2，则=2•=2•=2f′（x0）=4．故选：C．本题考查了函数在某一点处的导数定义与应用问题，是基础题．5.【答案】B【解析】解：对于（1），用相关指数R2的值判断模型的拟合效果时，R2越大，模型的拟合效果越好，所以（1）正确；对于（2），用残差平方和判断模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好；所以（2）错误；（3）用相关系数r的值判断模型的拟合效果时，|r|越大，模型的拟合效果越好，不是r 越大，模型的拟合效果越好，所以（3）错误；（4）用残差图判断模型的拟合效果时，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适；带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，所以（4）正确．综上知，不正确的命题序号是（2）（3）．故选：B．（1）在回归分析中，根据R2越大，模型的拟合效果就越好；（2）用残差平方和判断模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果就越好；（3）用相关系数r的值判断模型的拟合效果时，|r|越大，模型的拟合效果越好；（4）用残差图判断模型的拟合效果时，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适；带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．本题考查了回归分析模型的应用问题，解题的关键是理解对于拟合效果好坏的几个量的大小反映拟合效果的问题，是基础题．6.【答案】A【解析】解：∵将4位志愿者分配到3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，∴先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，共有C24A33=36．故选：A．先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步乘法原理得到结果本题考查排列组合及简单的计数问题，是一个基础题，本题又是一个易错题，排列容易重复，注意做到不重不漏．7.【答案】A【解析】解：（x-1）9（1-x）=-（x-1）10，设（x-1）10的通项公式为T k+1=（-1）k x10-k．k=0，1， (10)令10-k=8，解得k=2．∴a8=-（-1）2=-45．故选：A．（x-1）9（1-x）=-（x-1）10，设（x-1）10的通项公式为T k+1=（-1）k x10-k．令10-k=8，解得k即可得出．本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：本题是一个古典概型，∵袋中有80个红球20个白球，若从袋中任取10个球共有C10010种不同取法，而满足条件的事件是其中恰有6个红球，共有C806C204种取法，由古典概型公式得到P=，故选：D．本题是一个古典概型，试验包含的总事件是袋中有80个红球20个白球，从袋中任取10个球共有C10010种不同取法，而满足条件的事件是其中恰有6个红球，共有C806C204种取法，根据古典概型公式得到结果．本题非常具有代表性，本题考查古典概型，这样的问题可以变形一系列题目，其中恰有6个红球的概率把6变为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10个红球，也可以变化球的颜色来构造题目．9.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数的导数的计算，根据函数的导数公式进行求解是解决本题的关键．求函数的导数，令x=2解方程即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=2x+2f′（2）-，则f′（2）=2×2+2f′（2）-，得f′（2）=，故选：A．10.【答案】C【解析】解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ1＜μ2，从图中容易得到P（X≤t）≥P（Y≤t）．故选：C．直接利用正态分布曲线的特征，集合概率，直接判断即可．本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．11.【答案】B【解析】解：至少出现一个5点的情况有：63-53=91，至少出现一个5点的情况下，三个点数之和等于15有一下两类：①恰好一个5点，则另两个点数只能是4和6，共有×=6；②恰好出现两个5点，则另一个点数也只能是5点，共有1种情况．∴P（A|B）===．本题利用条件概率公式P（A|B）=求解．本题考查了条件概率的公式，需要求出基本事件的个数，运用正难则反的思想，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：底面必须一种颜色，整个图形只有3种颜色，或有4种颜色，三色时，+=24+48=72．故选：C．底面选一色，然后通过图形3色或4色，根据分类加法以及乘法原理求解即可．本题主要考查排列组合里的涂色问题，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，即类中有步，步中有类．13.【答案】0.2【解析】解：∵随机变量X～B（n，p），且E（X）=10，D（X）=8，∴，解得n=50，p=0.2．故答案为：0.2．利用二项分布的性质列出方程组，由此能求出结果．本题考查概率的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】-2【解析】解：由f（x）=x3+ax2，得f′（x）=3x2+2ax，∴f′（1）=3+2a=-1，①又f（1）=1+a=-1，解得a=-2，①式成立．故答案为：-2．求出原函数的导函数，利用曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为x+y=0，可得f′（1）=-1，结合f（1）=-1即可求得a值．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础的计算题．15.【答案】②④【解析】解：对于选项①回归直线恒过点（，），且至少过一个样本点；由于点（，）为中心对称点，所以有可能不经过该点，故错误．②根据2×2列列联表中的数据计算得出κ2≥6.635，而P（κ2≥6.635）≈0.01，则有99%的把握认为两个分类变量有关系，即有1%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；对独立性检测的定义本身就按这种理解方式进行．故正确．③κ2是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当κ2的值很小时可以推断两类变量不相关；不是用值的大小来判定是否相关，故错误．④某项测量结果ξ服从正态分布N（1，a2），当3P（ξ≤5）=0.81，则P（ξ≤-3）=0.19．由于正态分布的图象关于μ=1对称，所以P（ξ≤5）=0.81时，P（ξ＞5）=0.19，所以P（ξ≤-3）=P（ξ＞5）=0.19，故正确；直接利用回归直线，独立性检测和正态分布的相关的应用求出结果．本题考查的知识要点：主要对教材中出现的相关的定义和图象的理解和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16.【答案】1 -30【解析】解：令x=1，可得（x2-x+1）2的2次系数列各项之和=1．（x2-x+1）5的通项公式为：T k+1=（x2-x）k，（x2-x）k的通项公式为：T r+1=（x2）k-r（-x）r=（-1）r x2k-r，令2k-r=7，可得：k=4，r=1；k=5，r=3．∴=--=-30．故答案为：1，-30．令x=1，可得（x2-x+1）2的2次系数列各项之和．（x2-x+1）5的通项公式为：T k+1=（x2-x）k，（x2-x）k的通项公式为：T r+1=（x2）k-r（-x）r=（-1）r x2k-r，令2k-r=7，即可得出．本题考查了二项式定理、方程的解法、转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵的展开式中前3项的二项式系数之和等于37，∴++=1+n+n（n-1）=37，化简得n2+n-72=0，解得n=8或n=-9（不合题意，舍去）；故n=8．（2）由（1）知：=（+）8；其展开式的通项公式为：T r+1=•（）8-r•（）r=m8-r••x；令r-16=-1⇒r=6；∴展开式中含项的系数等于：m2•=112⇒m2=4⇒m=2（负值舍）．即m的值为2．【解析】（1）直接利用已知列出关于n的等式，求解即可；（2）利用（1）的结论，写出展开式的通项，得到关于m的等式解之．本题考查了二项式定理展开式的通项公式与二项式系数的应用问题，是基础题目．18.【答案】解：（1）由，得f′（x）=1+，则f′（2）=，又f（2）=，∴曲线y=f（x）在x=2处的切线方程为y-=，即7x-4y-12=0；（2）设P（x0，y0）为曲线上任一点，由y′=1+，知曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为y-y0=（1+）（x-x0），即y-（）=（1+）（x-x0），令x=0，得y=-，从而得切线与直线x=0的交点坐标为（0，-）；令y=x，得y=x=2x0，从而得切线与直线y=x的交点坐标为（2x0，2x0）．∴点P（x0，y0）处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为|-|•|2x0|=6．故曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．【解析】（1）求出原函数的导函数，得到函数在x=2处的导数，再求出f（2）的值，利用直线方程的点斜式得答案；（2）可以设P（x0，y0）为曲线上任一点，得到切线方程，再利用切线方程分别与直线x=0和直线y=x联立，得到交点坐标，接着利用三角形面积公式即可．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查三角形面积的求法，考查计算能力，是中档题．19.【答案】解：（1）每个班级6名选手，现从每个班级6名选手中随机抽取3人回答这个问题，已知这6人中，甲班级有4人可以正确回答这道题目，而乙班级6人中能正确回答这道题目的概率每人均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立，互不影响的．甲、乙两个班级抽取的6人都能正确回答的概率：P==．（2）由题意得X的可能取值为1，2，3，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，X 1 2 3PE（X）==2，D（X）==，Y～B（3，），E（Y）=3×=2，D（Y）==．∵E（X）=E（Y），D（X）＜D（Y），∴甲班级代表学校参加大赛更好．【解析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙两个班级抽取的6人都能正确回答的概率．（2）由题意得X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出E（X）=2，D（X）=，再由Y～B（3，），得到E（Y）=3×=2，D（Y）==．从而E（X）=E（Y），D（X）＜D（Y），由此得到甲班级代表学校参加大赛更好．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）由所给数据计算得，，，，0×（-0.2）+1×0.8+2×2.8=12，所以==，=-=7.2-1.2×3=3.6．故所求的回归方程为．（2）由（1）可知，，故2014年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加1.2千元．当x=6时，．故预测2019年该地区农村居民家庭人均纯收入为10.8千元．【解析】（1）结合所给数据和相关公式，算出这两个系数即可得回归直线方程；（2）把x=6代入回归方程算出即可得解．本题考查线性回归方程的求法，考查学生的运算能力，属于基础题．21.【答案】解：（1）按下电脑键盘“Enter”键则会出现模拟抛两枚质地均匀骰子的画面，若干秒后在屏幕上出现两个点数n和m，并在屏幕的下方计算出的值．现规定：每个人去按“Enter”键，当显示出来的d小于时则参加A环节，否则参加B环节，基本事件总数N=6×6=36，＜包含的基本事件有24个，分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），（5，2），（5，3），（6，1），则参加A环节的概率P==，∴这6人中恰有2人参加该节目A环节的概率P==．（2）用X，Y分别表示这6个人中去参加该节目A，B两个环节的人数，记ξ=|X-Y|，ξ的可能取值为0，2，4，6，P（ξ=0）==，P（ξ=2）=+=，P（ξ=4）=+=，P（ξ=6）=（）6+（）6=，∴随机变量ξ的分布列为：ξ 0 2346P数学期望Eξ==．【解析】（1）基本事件总数N=6×6=36，利用列举法求出＜包含的基本事件有24个，则参加A环节的概率P=，由此能求出这6人中恰有2人参加该节目A环节的概率．（2）用X，Y分别表示这6个人中去参加该节目A，B两个环节的人数，记ξ=|X-Y|，ξ的可能取值为0，2，4，6，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.A生产的产品B生产的产品合计良好以上（含良好） 6 12 18合格 14 8 22合计 20 20 40所以，故不能在误差不超过0.05的情况下，认为B机器生产的产品比A机器生产的产品好．（2）由题意知，任取一件产品是A机器生产的优等品的概率为，任取一件产品是B机器生产的优等品的概率为，记”4件产品中A机器生产的优等品的数量多于B机器生产的优等品的数量“为事件C，则0.12•[0.15•（1-0.15）+（1-0.15）2]=0.13855．（3）A机器每生产10万件的利润为10×（12×0.1+10×0.2+5×0.7）-20=47万元，B机器每生产10万件的利润为10×（12×0.15+10×0.45+5×0.4）-30=53万元，所以53-47=6＞5，故该工厂不会仍然保留原来的两台机器，应该会卖掉A机器，同时购买一台B机器．【解析】（1）先根据茎叶图中的数据填写2×2列联表，然后结合K2的公式进行计算即可；（2）先求出任取一件产品分别是A、B机器生产的优等品的概率，再去求解所求事件的概率；（3）先通过茎叶图分别找出A、B机器分别生产的优秀、良好、合格产品的数量，然后求出利润即可．本题考查独立性检验、事件的概率，考查学生综合运用知识的能力和运算能力，属于基础题．。