2020届高中数学二轮总复习 小题训练(十三)理 新课标(湖南专用)
2020年湖南高三二模数学试卷(理科)
当
时， 有两个零点；
当
时， 无零点．
（2）
．
解析:
（ 1 ）方法一：
，
，
若
，则
，在
上单调递增，且
，
此时 存在唯一零点；
若
，令
，得
；
当
，
， 单调递增；当
时，
，
时，
， 单调递减，
∴
，且当
时，
，当
，
，
所以当
，即
时， 无零点；
当
，即
时， 有一个零点；
当
，即
时， 有两个零点．
综上：当
或
时， 有一个零点；
当
时， 有两个零点；
，且当
时，
，则函数
9. 设 ， 满足约束条件
A. B. C. D.
，则
的取值范围是（ ）．
10.
2
若函数 A. B. C. D.
在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）．
11.
的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ， 为
的外心，则
（ ）．
A.
B.
C.
D.
12. 已知函数 取值范围是（ ） A. B. C. D.
．
故选： ．
6
7. A 解析:
所以当
时，
又因为
，
∴
，
所以 的最小正周期为 ，
当
时，
，
所以 在
上为减函数．
故选 ．
，其图象关于直线
对称，
，
，
，
8. C
解析:
偶函数 满足
，故函数的周期为 ．
高中数学二轮总复习 小题训练(十三)理 新课标(湖南专
2013届高中数学二轮总复习 小题训练（十三） 理 新课标(湖南专用)时量：40分钟 满分：75分一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.设全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤－1，x ∈R }，B ＝{y |y >1，y ∈R }，则( B )A ．A ∪(∁UB )＝R B ．(∁U A )∪(∁U B )＝RC ．A ∩(∁U B )＝∅D ．∁U (A ∪B )＝∅2.某校高三年级各班之间举行课间操比赛，七位评委员为某班打出的分数如下：9.3,8.3,9.3,9.8,9.5,9.3,9.6，去掉一个最高分和一个最低分后，所得数据的平均值和方差分别为( D )A ．9.3,0.16B ．9.3,0.016C ．9.4,0.16D ．9.4,0.0163.“a ＝－1”是“直线ax ＋(2a －1)y ＋1＝0和直线3x ＋ay ＋3＝0垂直”的( A )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：直线ax ＋(2a －1)y ＋1＝0与直线3x ＋ay ＋3＝0垂直，所以3a ＋(2a －1)a ＝0，所以a ＝0或a ＝－1.4.阅读下边的流程图，若输入a ＝6，b ＝1，则输出的结果是( A )A ．2B ．4C ．6D ．05.已知A 、B 、C 三点共线，O 是这条直线外的一点，满足mOA →－2OB →＋OC →＝0，则点A 分BC →的比为( A )A ．－12B ．－13C.12D.136.直线y ＝－x ＋2与曲线x |x |＋y 2＝4的公共点的个数是( B )A ．1B ．2C ．3D ．47.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，消耗B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是( D )A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元解析：设甲、乙两种产品各需生产x 、y 吨，可使利润z 最大，故本题即已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ≤132x ＋3y ≤18x ≥0y ≥0，求目标函数z ＝5x ＋3y 的最大值，可求出最优解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝4，故z max ＝15＋12＝27.8.已知数列{a n }的通项公式a n ＝(12)n －1·[(12)n －1－13]，则{a n }中( B ) A ．最大项为a 1，最小项为a 3B ．最大项为a 1，最小项为a 4C ．最大项为a 1，最小项不存在D ．最大项不存在，最小项为a 4解析：令(12)n －1＝x (n ∈N *)，则x ∈(0,1]，讨论y ＝x 2－13x 在(0,1]内的单调性即得． 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上．(一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)9.若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝ －6 . 10.利用分数法进行4次实验得到最佳点，则其精度为 18. 解析：利用分数法进行4次实验，就要用F 4F 5＝58代替0.618，其精度为1F 5＝18. 11.不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解为 {x |x ≤－32，x ≠－2} . 解析：|x ＋1||x ＋2|≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ |x ＋1|≥|x ＋2|x ＋2≠0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2x ＋2x ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＋x ＋x ＋1－x －x ≠－2，解得x ≤－32且x ≠－2.(二)必做题(12～16题)12.函数y ＝－x x －3的定义域是 (－∞，3)∪(3,4) . 13.命题“对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是 存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 .14.给出四条曲线：①y ＝2x －1，②y ＝x ＋1x ，③y ＝tan x ，④y ＝12sin(2x －π4)，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有 3 条．15.已知∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABC ，若PA ＝AB ＝BC ＝1，则四面体PABC 的外接球(顶点都在球面上)的面积为 3π .16.动点P 在平面区域C 1：x 2＋y 2≤2(|x |＋|y |)内，动点Q 在曲线C 2：(x －4)2＋(y －4)2＝1上，则平面区域C 1的面积为 8＋4π ，|PQ |的最小值为 22－1 .解析：平面区域C 1如图，SC 1＝4·[12π·(2)2＋12×2×2]＝4(π＋2)＝4π＋8.|PQ |的最小值为圆心(1,1)与圆心(4,4)的距离减去两圆半径，为－2＋－2－2－1＝22－1.。
高中数学二轮总复习 综合训练(二) 理 新课标(湖南专用)
高中数学二轮总复习 综合训练（二） 理 新课标(湖南专用)时量：50分钟 满分：50分解答题：本大题共4小题，第1,2,3小题各12分，第4小题14分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．1.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0,0<φ<π2，x ∈R )的图象上相邻两条对称轴之间的距离为π2，其图象上一个最高点为P (π6，3)． (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[π12，π2]时，求f (x )的值域． 解： (1)由f (x )图象上的一个最高点为P (π6，3)得A ＝3. 又由f (x )图象上相邻两条对称轴之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π. 所以ω＝2πT ＝2ππ＝2. 由点P (π6，3)在图象上，得3sin(2×π6＋φ)＝3，即sin(φ＋π3)＝1， 则φ＋π3＝2k π＋π2，即φ＝2k π＋π6(k ∈Z )， 又0<φ<π2，则φ＝π6. 故f (x )＝3sin(2x ＋π6)． (2)因为x ∈[π12，π2]，所以2x ＋π6∈[π3，7π6]． 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取最大值3， 当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取最小值－32. 故f (x )的值域为[－32，3]．2.如图所示的几何体是由四棱锥P －ABCD 与三棱锥P －BCE 组合成而成，已知四边形PABE 是边长为2a 的正方形，BC ⊥平面PABE ，DA ∥CB ，且BC ＝2AD ＝2a ，M 是PC 的中点．(1)求证：DM ∥平面PABE ；(2)求点E 到平面PCD 的距离；(3)求平面PCD 与平面PABE 所成二面角的余弦值．解析：以A 为坐标原点，分别以直线AP 、AB 、AD 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．因为PA ＝AB ＝2a ，BC ＝2AD ＝2a ，则A (0,0,0)，P (2a,0,0)，B (0,2a,0)，E (2a,2a,0)，D (0,0，a )，C (0,2a,2a )，M (a ，a ，a )．(1)证明：因为DM →＝(a ，a,0)，AB →＝(0,2a,0)，AP →＝(2a,0,0)，所以DM →＝12AB →＋12AP →， 所以DM →与AB →，AP →共面．又D ∉平面PABE ，所以DM ∥平面PABE .(2)DC →＝(0,2a ，a )，DP →＝(2a,0，－a )．设n ＝(x ，y ，z )为平面PCD 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DC →＝0n ·DP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2ay ＋az ＝02ax －az ＝0，取z ＝2，则y ＝－1，x ＝1，所以n ＝(1，－1,2)．又PE →＝(0,2a,0)，设E 到平面PCD 的距离为d ，则d ＝|PE →·n ||n |＝2a 6＝6a 3， 所以点E 到平面PCD 的距离为63a . (3)由(2)知平面PCD 的法向量n ＝(1，－1,2)，而平面PABE 的一个法向量m ＝(0,0,1)． 设平面PCD 与平面PABE 所成的角为θ，则cos θ＝m ·n |m |·|n |＝26×1＝63. 3.从某中学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)由图中数据求a 的值以及身高在[165,170)之内的学生人数b ；(2)若要从身高在[170,175)，[175,180)，[180,185]的三组内的学生中，用分层抽样方法选取6名学生参加某项选拔，求各组分别选取的人数；(3)学校决定在(2)中选取的6名学生中随机抽取3名学生进行某项测试，设身高在[170,175)内的学生被抽取的人数为ξ，求ξ的分布列以及ξ的数学期望．解析：(1)由频率分布直方图可知，组距为5，所以(0.07＋a ＋0.04＋0.02＋0.01)×5＝1，所以a ＝0.06.身高在[165,170)组内的学生人数b ＝0.07×5×100＝35人．(2)因为身高在[170,175)，[175,180)，[180,185]的学生人数分别为0.06×5×100＝30人，0.04×5×100＝20人，0.02×5×100＝10人，利用分层抽样方法从中抽取6名学生，则每组分别抽取3060×6＝3人，2060×6＝2人，1060×6＝1人， 所以在[170,175)，[175,180)，[180,185]三组中分别抽取3人，2人，1人．(3)在选取的6名学生中随机抽取3名学生进行测试，身高在[170,175)内的学生被抽取的人数ξ的可能取值分别为0,1,2,3，且P (ξ＝0)＝C 33C 6＝120，P (ξ＝1)＝C 13·C 23C 6＝920， P (ξ＝3)＝C 33C 36＝120，P (ξ＝2)＝920， 所以ξ所以E ξ＝0×20＋1×20＋2×20＋3×20＝20＝2. 4.某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x (x ≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q (x )＝3000＋50x (单位：元)，为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积) 解析：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，依题意得f (x )＝Q (x )＋8000×100004000x ＝50x ＋20000x＋3000(x ≥12，x ∈N )． 方法1：f (x )＝50x ＋20000x ＋3000≥250x ·20000x＋3000＝5000， 当且仅当50x ＝20000x，即x ＝20上式取“＝”． 因此，当x ＝20时，f (x )取得最小值5000(元)．方法2：f (x )＝50x ＋20000x ＋3000，f ′(x )＝50－20000x2， f ′(x )＝0(x ≥12)⇔x ＝20.12≤x <20时，f ′(x )<0，f (x )是减函数；x >20时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，所以当且仅当x ＝20时，f (x )有最小值f (20)＝5000.答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费最小值为5000元．。
2020新课标高考数学(理)二轮总复习(课件+专题限时训练)1-6-2
专题限时训练 (小题提速练)(建议用时：45分钟)一、选择题1．若∀x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x 2>x 1，y 1＝sin x 1x 1，y 2＝sin x 2x 2，则( ) A ．y 1＝y 2 B ．y 1>y 2 C ．y 1<y 2D ．y 1，y 2的大小关系不能确定 答案：B解析：设y ＝sin x x ，则y ′＝(sin x )′·x －sin x ·(x )′x 2＝x cos x －sin x x 2.因为在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上x <tan x ，所以x cos x －sin x <0，所以y ′<0，所以y ＝sin x x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，所以y 1>y 2.2．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[1,2) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2答案：C解析：f ′(x )＝4x －1x ＝(2x －1)(2x ＋1)x .∵x ＞0，∴由f ′(x )＝0得x ＝12.令f ′(x )＞0，得x ＞12；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜12.由题意得⎩⎨⎧k －1≥0，k －1＜12＜k ＋1⇒1≤k ＜32.3．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－1,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(0,1)答案：D解析：f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )． 当a ≤0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0,1)内单调递增，无最小值． 当a >0时，f ′(x )＝3(x －a )(x ＋a )．当x ∈(－∞，－a )和(a ，＋∞)时，f (x )单调递增， 当x ∈(－a ，a )时，f (x )单调递减，所以当a <1，即0<a <1时，f (x )在(0,1)内有最小值．4．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞)答案：D解析：∵2x (x －a )<1，∴a >x －12x . 令f (x )＝x －12x ，∴f ′(x )＝1＋2－x ln 2>0. ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )>f (0)＝0－1＝－1， ∴a 的取值范围为(－1，＋∞)．5．(2019·曲靖二模)已知偶函数f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，其导函数为f ′(x )，对定义域内的任意x ，都有2f (x )＋xf ′(x )＞0成立，若f (2)＝1，则不等式x 2f (x )＜4的解集为( ) A ．{x |x ≠0，±2} B ．(－2,0)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(0,2) 答案：B解析：令g (x )＝x 2f (x )－4，g (2)＝0. ∵g (－x )＝x 2f (－x )－4＝x 2f (x )－4＝g (x )，∴g (x )在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上为偶函数．当x ＞0时，g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]＞0成立． ∴函数g (x )在(0，＋∞)上为增函数． ∴不等式x 2f (x )＜4⇔g (|x |)＜g (2)． ∴|x |＜2，x ≠0.解得x ∈(－2,0)∪(0,2)．6．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意的0<a <b ，则必有( ) A ．af (b )≤bf (a ) B ．bf (a )≤af (b ) C ．af (a )≤f (b ) D ．bf (b )≤f (a )答案：A解析：因为xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2≤－2f (x )x 2≤0，则函数f (x )x 在(0，＋∞)上单调递减． 由于0<a <b ，则f (a )a ≥f (b )b ，即af (b )≤bf (a )．7．(2019·甘肃模拟)若点(m ，n )在函数f (x )＝13x 3－x (x >0)的图象上，则n －m ＋22的最小值是( ) A.13 B ．23 C.223 D ．2 2答案：C解析：∵点(m，n)在函数f(x)＝13x3－x(x>0)的图象上，∴n＝13m3－m，则n－m＋22＝13m3－2m＋2 2.令g(m)＝13m3－2m＋22(m＞0)，则g′(m)＝m2－2，可得g(m)在(0，2)递减，在(2，＋∞)递增，∴g(m)的最小值是g(2)＝223.8．定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，已知f(x＋1)是偶函数，且(x－1)f′(x)<0.若x1<x2，且x1＋x2>2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)＝f(x2)C．f(x1)>f(x2) D．不确定答案：C解析：由(x－1)f′(x)<0可知，当x>1时，f′(x)<0，函数单调递减．当x<1时，f′(x)>0，函数单调递增．因为函数f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)，f(x)＝f(2－x)，即函数f(x)图象的对称轴为x＝1.所以，若1≤x1<x2，则f(x1)>f(x2)；若x1<1，则x2>2－x1>1，此时有f(x2)<f(2－x1)，又f(2－x1)＝f(x1)，所以f(x1)>f(x2)．综上，必有f(x1)>f(x2)．9．已知函数f(x)＝ax－1＋ln x，若存在x0>0，使得f(x0)≤0有解，则实数a的取值范围是()A．a>2 B．a<3 C．a≤1 D．a≥3 答案：C解析：函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，不等式ax－1＋ln x≤0有解，即a≤x－x ln x在(0，＋∞)上有解，令h(x)＝x－x ln x，可得h′(x)＝1－(ln x＋1)＝－ln x．令h′(x)＝0，可得x＝1，当0<x<1时，h′(x)>0，当x>1时，h′(x)<0，可得当x＝1时，函数h (x )＝x －x ln x 取得最大值1，要使不等式a ≤x －x ln x 在(0，＋∞)上有解，只要a 小于等于h (x )的最大值即可，即a ≤1.10．直线y ＝a 分别与直线y ＝2(x ＋1)，曲线y ＝x ＋ln x 交于点A ，B ，则|AB |的最小值为( ) A ．3 B ．2 C.324 D ．32答案：D解析：解方程2(x ＋1)＝a ，得x ＝a2－1.设方程x ＋ln x ＝a 的根为t (t ＞0)，则t ＋ln t ＝a ， 则|AB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －t ＋ln t 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2－ln t 2＋1. 设g (t )＝t 2－ln t2＋1(t ＞0)， 则g ′(t )＝12－12t ＝t －12t (t ＞0)．令g ′(t )＝0，得t ＝1.当t ∈(0,1)时，g ′(t )＜0；当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )＞0，所以g (t )min ＝g (1)＝32，所以|AB |≥32，所以|AB |的最小值为32.11．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]答案：C解析：当x ∈(0,1]时，得a ≥－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x ，令t ＝1x ，则t ∈[1，＋∞)，a ≥－3t 3－4t 2＋t ，令g (t )＝－3t 3－4t 2＋t ，t ∈[1，＋∞)，则g ′(t )＝－9t 2－8t ＋1＝－(t ＋1)·(9t －1)，显然在[1，＋∞)上，g ′(t )<0，g (t )单调递减，所以g (t )max ＝g (1)＝－6，因此a ≥－6.同理，当x ∈[－2,0)时，得a ≤－2.由以上两种情况得－6≤a ≤－2，显然当x ＝0时也成立， 故实数a 的取值范围为[－6，－2]．12．设函数f (x )＝3sin πm x ，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋f 2(x 0)＜m 2.则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案：C解析：由正弦函数的图象知，f (x )的极值点x 0满足f (x 0)＝±3. ∴πx 0m ＝k π＋π2，k ∈Z .∴x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12·m .∴不等式x 20＋f 2(x 0)＜m 2⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122m 2＋3＜m 2(k ∈Z )⇔m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＞3(k ∈Z )． 存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋f 2(x 0)＜m 2⇔存在整数k 使不等式m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＞3成立．当k ≠0且k ≠－1时，必有⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＞1，此时不等式显然不成立．∴k ＝0或－1时，m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＞3⇔34m 2＞3⇔m ＞2或m ＜－2. 二、填空题13．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是__________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0解析：作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0.解得－22<m <0.14．(2019春·潍坊期中)已知函数f (x )的定义域为R ，f (－2)＝－2，若对∀x ∈R ，f ′(x )＜3，则不等式f (x )＞3x ＋4的解集为________． 答案：(－∞，－2)解析：根据题意，设g (x )＝f (x )－3x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－3.由对∀x ∈R ，f ′(x )＜3，则g ′(x )＜0，即g (x )在R 上为减函数． 又由f (－2)＝－2，则g (－2)＝f (－2)＋6－4＝0， 则f (x )＞3x ＋4⇒f (x )－3x －4＞0⇒g (x )＞g (－2)， 即不等式的解集为(－∞，－2)．15．(2019·南开区二模)已知函数f (x )＝e x －1e x －2sin x ，其中e 为自然对数的底数，若f (2a 2)＋f (a －3)＜0，则实数a 的取值范围为________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1解析：∵f (x )＝e x －1e x －2sin x ，∴f (－x )＝e －x －e x ＋2sin x ＝－f (x )， ∵f (x )′＝e x ＋1e x －2cos x ≥2e x ·e －x －2cos x ≥0，∴f (x )在R 上单调递增且为奇函数．由f (2a 2)＋f (a －3)＜0，可得f (2a 2)＜－f (a －3)＝f (3－a )， ∴2a 2＜－a ＋3，解得－32<a <1. 16．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对于任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________． 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞解析：由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立．令h (x )＝x 2＋52x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min .又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.专题限时训练 (大题规范练)(建议用时：30分钟)1．(2019·河南模拟)已知函数f (x )＝x ln x ＋e. (1)若f (x )≥ax 恒成立，求实数a 的最大值； (2)设函数F (x )＝e x －1f (x )－x 2－2x ＋1，求证：F (x )＞0. 解析：(1)函数f (x )＝x ln x ＋e 的定义域为(0，＋∞)， f (x )≥ax 恒成立⇔a ≤x ln x ＋e x .令φ(x)＝x ln x＋ex，则φ′(x)＝x－ex2，可得φ(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(e)＝2，∴a≤2.故实数a的最大值为2.(2)由(1)可知f(x)≥2x，只需证明2x≥x2＋2x－1e x－1.令g(x)＝2x－x2＋2x－1e x－1，则g′(x)＝2－3－x2e x－1＝2e x－1＋x2－3e x－1.令h(x)＝2e x－1＋x2－3，h′(x)＝2e x－1＋2x＞0在(0，＋∞)恒成立．注意到h(1)＝0，所以当x∈(0,1)时，h(x)＜0，g′(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，h(x)＞0，g′(x)＞0，∴g(x)在(0,1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝0.∴2x≥x2＋2x－1e x－1.当且仅当x＝1时取等号，而f(x)≥2x，当且仅当x＝e时取等号，∴F(x)＞0.2．(2019·蓉城名校联盟联考)已知函数f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋2ln x，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)是否存在最大整数k，当a≤k时，对任意的x≥2，都有f(x)<e x(x－1)－ax－ln x成立？(其中e为自然对数的底数，e＝2.718 28…)，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2ax －2(a ＋1)＋2x ＝2(ax －1)(x －1)x，所以当a ∈(－∞，0]时，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当a ∈(0,1)时，f (x )在(0,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a 上单调递减；当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ∈(1，＋∞)时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(1，＋∞)上单凋递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1上单调递减．(2)ax 2－2(a ＋1)x ＋2ln x <e x (x －1)－ax －ln x 对x ≥2恒成立⇔ax 2－(a ＋2)x ＋3ln x <e x (x －1)． ①当x ＝2时，得4a －(a ＋2)×2＋3ln 2<e 2， 所以2a <e 2＋4－ln 8<8＋4－2＝10， 所以a <5，则整数k 的最大值不超过4.下面证明：当a ≤4时，不等式①对于x ≥2恒成立， 设g (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋3ln x －e x (x －1)(x ≥2)， 则g ′(x )＝2ax －(a ＋2)＋3x －x e x . 令h (x )＝2ax －(a ＋2)＋3x －x e x .则h ′(x )＝2a －3x 2－(x ＋1)e x <2a －(x ＋1)e x ≤2a －3e 2≤8－3e 2<0，所以h (x )在[2，＋∞)上单调递减，所以h (x )＝2ax －(a ＋2)＋3x －x e x ≤h (2)＝3a －12－2e 2≤232－2e 2<0. 即当x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )<0， 所以g (x )在[2，＋∞)上单调递减，所以g(x)＝ax2－(a＋2)x＋3ln x－e x(x－1)≤g(2)＝2a－4＋3ln 2－e2<8－4＋3－e2＝7－e2<0.所以a≤4时，不等式①恒成立，所以k的最大值为4.。
高中数学二轮总复习 小题训练(三)理 新课标(湖南专用)
2013届高中数学二轮总复习 小题训练（三） 理 新课标(湖南专用)时量：40分钟 满分：75分一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.设复数z 满足z (1－2i)＝4＋2i(i 为虚数单位)，则|z |为( B ) A ．1 B ．2 C.32 D.852.函数y ＝log 12x －的定义域是( D ) A ．[1，＋∞) B．(23，＋∞)C ．[23，1]D ．(23，1]解析：由log 12(3x －2)≥0，得0<3x －2≤1，所以23<x ≤1，所以函数y ＝log 12x －的定义域为(23，1]，故选D.3.如果等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 7＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 9的值为( C ) A ．18 B ．27 C ．36 D ．544.函数f (x )＝(3sin x －4cos x )·cos x 的最小正周期及最大值分别是( A )A ．π，12B ．π，52C ．2π，12D ．2π，3解析：f (x )＝3sin x ·cos x －4cos 2x ＝32sin2x －2(cos2x ＋1) ＝32sin2x －2cos2x －2 ＝52sin(2x －φ)－2， (其中cos φ＝35，sin φ＝45.)所以最小正周期T ＝2π2＝π，最大值f (x )max ＝52－2＝12，故选A.5.若向量a 与向量b 的夹角为60°，且|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( C )A ．2B ．4C ．6D ．12解析：因为(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，即|a |2－a ·b －6|b |2＝－72.又|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos60°＝2|a |，所以|a |2－2|a |－24＝0，所以|a |＝6(|a |＝－4舍去)，故选C.6.命题p ：已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则A 1A 2B 1B 2＝－1是l 1⊥l 2的充要条件；命题q ：方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m <12，下列命题中是真命题的是( C )A ．p ∧(綈q )B ．p ∧qC ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q )解析：因为p 为假，q 为真，所以(綈p )∧q 为真，故选C. 7.某几何体的三视图如图所示，它的体积为( C )A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π解析：该几何体下半部分是半径为3，高为5的圆柱，体积为V ＝π×32×5＝45π，上半部分是半径为3，高为4的圆锥，体积为V ＝13×π×32×4＝12π，所以体积为57π.8.已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．(－1,2)解析：因为f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， 又因为f (x )既有极大值又有极小值， 则方程f ′(x )＝0有两不等实根，所以(6a )2－3×4×3(a ＋2)>0，即a 2－a －2>0，所以a <－1或a >2.二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上．(一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)9.在极坐标系中，点(1,0)到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2的距离为 22.10.利用黄金分割法确定最佳点时，各试点依次记为x 1，x 2，…，x n ，…，若第k 次实验后的存优范围是(x k －1，x k －3)，则第k ＋1个试点的值为 x k －1＋x k －3－x k .解析：由黄金分割法知，第k 个试点是好点，所以第k ＋1个试点的值为x k －1＋x k －3－x k . 11.设f (x )＝|x －1|＋|x －a |，若∀x ∈R ，f (x )≥2成立，则a 的取值范围是 (－∞，－1]∪[3，＋∞) .解析：|x －1|＋|x －a |≥|a －1|，∀x ∈R ，f (x )≥2成立，所以|a －1|≥2， 所以a ≤－1或a ≥3. (二)必做题(12～16题)12.从3名男生和1名女生中选3人，分别担任班长，体育委员，宣传委员，其中女生不担任体育委员，那么不同任职方式有 18 种．解析：因为女生不担任体育委员，则体育委员共有C 13种安排方法，而班长与宣传委员共有A 23种安排方法，则共有C 13·A 23＝3×3×2＝18种．13.已知随机变量ξ的期望是E ξ，方差D ξ＝1，则η＝2ξ＋5的方差D η＝ 4 .解析：D η＝D (2ξ＋5)＝22×D ξ＝4.14.如果我国农业总产值每年以9%的增长率增长，“求几年后，我国农业总产值将翻一番”的算法程序框图如下，则①②处分别填① P <200 ，② P ＝P ×(1＋R ) .15.由直线x ＝0，y ＝2，y ＝x 所围成的封闭曲线绕x 轴旋转一周而围成的几何体的表面积是 4(3＋2)π .解析：如图，所围成的几何体为圆柱中挖去一圆锥，其底面圆半径为2，高为2，圆柱的侧面积及一底面积之和为2π×2×2＋π×22＝12π，圆锥的母线长为22，则圆锥的侧面积为π×2×22＝42π，故表面积为12π＋42π＝4(3＋2)π. 16.已知以T ＝4为周期的函数f (x )＝⎩⎨⎧m 1－x 2，x ∈－1，1]1－|x －2|，x ∈，3]，其中m ＞0.若方程3f (x )＝x 恰有5个实数解，则m的取值范围为 (153，7) . 解析：因为当x ∈(－1,1]时，将函数化为方程x 2＋y 2m2＝1(y ≥0)，实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当x ∈(1,3]的图象，再根据周期性作出函数其他部分的图象，由图易知直线y ＝x3与第二个半椭圆(x －4)2＋y 2m 2＝1(y ≥0)相交，而与第三个半椭圆(x －8)2＋y 2m2＝1(y ≥0)无公共点时，方程恰有5个实数解，将y ＝x 3代入(x －4)2＋y 2m 2＝1(y ≥0)得：(9m 2＋1)x 2－72m 2x ＋135m 2＝0，令t ＝9m 2(t >0)，则(t ＋1)x 2－8tx ＋15t ＝0，由Δ＝(8t )2－4×15t (t ＋1)>0，得t >15，由9m 2>15，且m >0得m >153， 同样由y ＝x3与第三个椭圆(x －8)2＋y 2m2＝1(y ≥0)方程联立，及Δ<0可计算得0<m <7，综上知m ∈(153，7)．。
2020—2021年新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析.docx
高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．765．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣ C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种 C．18种 D．19种10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=211．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．212．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B 满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.63520．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a ∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C 两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵=，又复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=2﹣i．故选：B．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程组可得．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a7=8，前7项和S7=42，∴a1+6d=8，7a1+d=42，解得a1=4，d=故选：D点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．76考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c 的值，当b=0时满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=209，b=76c=57a=76，b=57，不满足条件b=0，c=19，a=57，b=19不满足条件b=0，c=0，a=19，b=0满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．故选：A．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模，本题属于基础知识的考查．5．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数与指数函数、三角函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=log3π＞1，0＜b=logπ3＜1，c=cos3＜0，∴a＞b＞c．故选：D．点评：本题考查了对数函数与指数函数、三角函数的单调性，属于基础题．6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣ C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：结合图象，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的图象可得==﹣，∴ω=．再根据五点法作图可得•+φ=0，求得φ=﹣，故选：C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义为区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知AD的斜率最大，BD的斜率最小，由，解得，即A（，），此时z==，由，解得，即B（），此时z==，故z=的取值范围是[，]，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及直线斜率公式是解决本题的关键．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体．解答：解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V1=1×1=1；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V2=×1×1=；故该几何体的体积V=V1+V2=；故选：A．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种 C．18种 D．19种考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，即可得出结论．解答：解：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，所以球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有++1=19种，故选：D．点评：本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=2考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，再通过椭圆及双曲线的基本概念即可得到答案．解答：解：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，则A（﹣1，0），B（1，0），C（1+cosθ，sinθ），所以AC==，对于椭圆而言，2c=2，2a=AC+BC=+1，所以==；对于双曲线而言，2c=2，2a=AC﹣BC=﹣1，所以==；故﹣=﹣=1，故选：A．点评：本题考查椭圆、双曲线的概念，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．11．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．解答：解：由题意知，函数f（x）=﹣在[﹣3π，3π]是奇函数且是反比例函数，g（x）=xcosx﹣sinx在[﹣3π，3π]是奇函数；g′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx；故g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；故作函数f（x）与g（x）在[﹣3π，3π]上的图象如下，结合图象可知，有6个交点；故选：B．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．12．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B 满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]考点：椭圆的简单性质．专题：平面向量及应用．分析：通过确定A是MB的中点，利用圆x2+y2=1的直径是2，可得MA≤2，即点M到原点距离小于等于3，从而可得结论．解答：解：如图，连结OM交圆于点D．∵=，∴A是MB的中点，∵圆x2+y2=1的直径是2，∴MA=AB≤2，又∵MD≤MA，OD=1，∴OM≤3，即点M到原点距离小于等于3，∴t2+4≤9，∴≤t≤，故选：C．点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是150°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件即可得到，所以根据进行数量积的运算即可得到3，所以求出cos＜＞=，从而便求出与的夹角．解答：解：∵；∴=；∴；∴与的夹角为150°．故答案为：150°．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的计算公式，向量夹角的范围．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：a n=4S n﹣3，当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵a n=4S n﹣3，∴当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1=1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，∴数列是等比数列，首项为，公比为﹣，∴=．令n=4，则S4=+=．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为20π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，求出x，可得r，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．解答：解：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，所以x=1，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πr2=20π．故答案为：20π．点评：本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：首先由题意，画出图象，然后利用定积分表示面积解答：解：曲线+=1，即y=（1﹣）2即图象与两坐标轴围成的图形如图阴影部分其面积为（1﹣）2dx=（1﹣2+x）dx=（+x）|=；故答案为：点评：本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后计算．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）由余弦定理可得2accosB=a2+c2﹣b2，代入已知等式整理得cosA=﹣，即可求得A．（Ⅱ）由已知可求∠DAC=，由正弦定理有=，又BD=3CD，可得3sinB=2sinC，由B=﹣C化简即可得解．解答：解：（Ⅰ）因为2accosB=a2+c2﹣b2，所以2（a2﹣b2）=a2+c2﹣b2+bc．…（2分）整理得a2=b2+c2+bc，所以cosA=﹣，即A=．…（4分）（Ⅱ）因为∠DAB=，所以AD=BD•sinB，∠DAC=．…（6分）在△ACD中，有=，又因为BD=3CD，所以3sinB=2sinC，…（9分）由B=﹣C得cosC﹣sinC=2sinC，…（11分）整理得tanC=．…（12分）点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）取PD边中点E，连接AE，EM，根据MN⊥CD容易得到CD⊥AE，而根据已知条件可以说明PO⊥平面ABCD，从而得到CD⊥PO，这样CD就垂直于平面PAD内两条相交直线，由线面垂直的判定定理从而得到AD⊥CD；（Ⅱ）取BC中点F，连接OF，由（Ⅰ）便可知道OA，OF，OP 三条直线两两垂直，从而可分别以这三条直线为x，y，z轴，可设AB=2，这样即可求得图形中一些点的坐标．从而求出向量的坐标，这时候设平面PBD的法向量为，根据即可求出的坐标，若设MN和平面PBD所成角为θ，从而根据sinθ=即可求得答案．解答：解：（Ⅰ）证明：如图，取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN；∴四边形ANME是平行四边形，MN∥AE；∵MN⊥CD，∴AE⊥CD，即CD⊥AE；取AD中点O，连PO，△PAD是等边三角形，则PO⊥AD；又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD；∴PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，即CD⊥PO；故CD⊥平面PAD，AD⊂平面PAD；∴CD⊥AD，即AD⊥CD；（Ⅱ）由AB=AD，AD⊥CD，得▱ABCD是正方形；取BC边的中点F，连接OF，则分别以OA，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（﹣1，0，0），P （0，0，），E（﹣，0，）；=（2，2，0），=（1，0，）；设平面PBD的法向量，则：；∴；∴，取z=1，∴；==（，0，﹣）；设直线MN与平面PBD所成的角为θ，则：sinθ=|cos＜，＞|==．点评：考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用向量解决直线和平面所成角的问题，能求空间点的坐标，注意线面角和直线和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.635考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K2的值，从临界值表中可以知道K2＞5.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；（Ⅱ）按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．X 的可能取值为90，130，170，210，求出相应的概率，即可求出X的分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）K2=≈5.657，因为5.657＞5.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1：3，按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m家和n家，则（m，n）可能为（0，9），（1，8），（2，7），（3，6）．与之对应，X的可能取值为90，130，170，210．…（6分）P（X=90）=，P（X=130）=，P（X=170）=，P（X=210）=，…（10分）分布列表如下：X 90 130 170 210P期望EX=90×+130×+170×+210×=180．…（12分）点评：本题考查独立性检验的应用，考查X的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），代入抛物线方程，运用判别式等于0和大于0，解不等式即可得到k的范围；（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C （x1，y1），D（x2，y2），代入直线方程，由条件结合二次方程的韦达定理，再由判别式为0，即可判断．解答：解：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），分别代入x2=4y，得x2﹣4kx+4ka+4=0（1），x2+4kx﹣4ka+4=0（2），由△1=0得k2﹣ka﹣1=0，由△2＞0得k2+ka﹣1＞0，故有2k2﹣2＞0，得k2＞1，即k＜﹣1，或k＞1．（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C（x1，y1），D（x2，y2），则（y1+1）（y2+1）=λ（y0+1）2．将y1+1=﹣k（x1﹣a），y2+1=﹣k（x2﹣a），y0+1=k（x0﹣a）代入上式，得（x1﹣a）（x2﹣a）=λ（x0﹣a）2，即x1x2﹣a（x1+x2）+a2=λ（x0﹣a）2．由（2）得x1+x2=﹣4k，x1x2=﹣4ka+4，由（1）得x0=2k，代入上式，得4+a2=λ（4k2﹣4ka+a2）．又△1=0得k2﹣ka﹣1=0，即4k2﹣4ka=4，因此4+a2=λ（4+a2），λ=1．故存在常数λ=1，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用判别式和韦达定理，考查运算化简的能力，属于中档题．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a ∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用已知函数g（x）的解析式，分别计算g（），g（x），可得两者相等；再利用g′（x）求得最大值；（Ⅱ）利用f′（x）可得f（x）的最小值h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t），由（Ⅰ）可知g（）＜0，g（1）＞0，利用函数零点的判定定理即得结论．解答：解：（Ⅰ）∵g（）=+x+（x﹣）ln=x++（﹣x）lnx，∴g（x）=g（），则g′（x）=﹣（1+）lnx，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．所以g（x）的最大值为g（1）==2．（Ⅱ）∵f（x）=x++alnx，∴f′（x）=1﹣+=．令f′（x）=0，即x2+ax﹣1=0，则△=a2+4＞0，不妨取t=＞0，由此得：t2+at﹣1=0或写为：a=﹣t．当x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．从而f（x）的最小值为f（t）=t++alnt=t++（﹣t）lnt，即h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t）（或h（a）=+aln）．由（Ⅰ）可知g（）=g（e2）=﹣e2＜0，g（1）=2＞0，分别存在唯一的c∈（0，1）和d∈（1，+∞），使得g（c）=g （d）=0，且cd=1，因为a=﹣t（t＞0）是t的减函数，所以y=h（a）有两个零点a1=﹣d和a2=﹣c，又﹣d+﹣c=﹣（c+d）=0，所以y=h（a）有两个零点且互为相反数．点评：本题考查利用导数判断函数的单调性及零点判定定理，考查转化与化归思想、运算求解能力、数据处理能力和推理论证能力．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C 两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．考点：与圆有关的比例线段；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用切割线定理，可得PB=PC，且PO平分∠BPC，可得PO⊥BC，又AC⊥BC，可得AC∥OP；（Ⅱ）由切割线定理得DC2=DA•DB，即可求出AB．解答：（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，所以PB=PC，且PO平分∠BPC，所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP．…（4分）（Ⅱ）解：由PB=PC得PD=PB+CD=5，在Rt△PBD中，可得BD=4．则由切割线定理得DC2=DA•DB，得DA=1，因此AB=3．…（10分）点评：本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用切割线定理是关键．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cos θ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．点评：本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、极坐标方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．考点：绝对值不等式的解法；基本不等式．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值．解答：解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），当且仅当a=b=c=时，等号成立．此时，ab+bc取得最大值=1．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式的解法，属于中档题．。
湖南高考数学二轮备考专项练习(含答案)
湖南高考数学二轮备考专项练习（含答案）数学的温习离不开多做题，下面是2021年湖南高考数学二轮备考专项练习，希望对考生有所协助。
题型一、频率散布直方图的运用例1：某校100名先生期中考试语文效果的频率散布直方图如下图，其中效果分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]。
(1)求图中a的值;(2)依据频率散布直方图，估量这100名先生语文效果的平均分;(3)假定这100名先生语文效果某些分数段的人数(x)与数学效果相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学效果在[50,90)之外的人数。
分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90) x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5破题切入点：(1)依据样本频率之和为1，求出参数a的值。
(2)依据频率散布直方图战争均值的计算公式，求出样本平均值。
(3)由直方图可计算语文效果在每分段上的频数，再依据语文和数学效果在同一段上的人数比，便可计算数学效果在[50,90)之间的人数，进而求解。
解：(1)由频率散布直方图知(2a+0.02+0.03+0.04)10=1，解得a=0.005。
(2)由频率散布直方图知这100名先生语文效果的平均分为550.00510+650.0410+750.0310+850.0210+950.00510=73(分)。
(3)由频率散布直方图知语文效果在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.00510100=5,0.0410100=40,0.0310100=30,0.0210100=20。
由题中给出的比例关系知数学效果在上述各分数段的人数依次为5,40=20,30=40,20=25。
故数学效果在[50,90)之外的人数为100-(5+20+40+25)=10。
题型二茎叶图的运用例2：从甲、乙两个城市区分随机抽取16台自动售货机，对其销售额停止统计，统计数据用茎叶图表示(如下图)。
2020届高中数学二轮总复习 小题训练(十)理 新课标(湖南专用)
2020届高中数学二轮总复习 小题训练（十） 理 新课标(湖南专用)时量：40分钟 满分：75分一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.下列四个命题正确的是( B )A ．∀n ∈R ，n 2≥nB ．∃n ∈R ，∀m ∈R ，m ·n ＝mC ．∀n ∈R ，∃m ∈R ，m 2<nD ．∀n ∈R ，n 2<n解析：取n ＝12，可知选项A 不正确．取n ＝－1，验证可知选项C 、D 不正确，故应选B.2.如图，直三棱柱的正视图面积为2a 2，则其侧视图的面积为( C )A ．2a 2B ．a 2C.3a 2D.34a 2解析：由于S 正＝2a 2可知直三棱柱侧棱长为2a ，又直三棱柱底面三角形的高为32a ，则S 侧视图＝32a ×2a ＝3a 2，故应选C. 3.已知奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )－g (x )＝e x，则有( A ) A ．g (0)<f (2)<f (3) B ．g (0)<f (3)<f (2) C ．f (2)<g (0)<f (3) D ．f (2)<f (3)<g (0)解析：依题设，f (－x )－g (－x )＝e －x ，即f (x )＋g (x )＝－e －x ，与f (x )－g (x )＝e x联立，求得f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝－e －x ＋ex 2，则g (0)＝－1，f (x )为单调增函数，则f (3)>f (2)>f (0)＝0，故应选A.4.已知两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数曲线如下图所示，则有( A )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2解析： 由正态分布N (μ，σ2)的定义可知μ1<μ2，σ1<σ2，故选A.5.等差数列{a n }的通项公式是a n ＝1－2n ，其前n 项和为S n ，则数列{S n n}的前11项和为( D )A ．－45B ．－50C ．－55D ．－66解析：S n ＝a 1＋a n n 2，所以S n n ＝a 1＋a n2＝－n ，所以前11项的和为－66.6.⎠⎛02(x 3－3x 2＋3x ＋4)d x 的值为( B )A ．8B ．10C ．0D ．12解析：令f (x )＝x 3－3x 2＋3x －1＝(x －1)3. f (x )关于点(1,0)对称，所以⎠⎛02f (x )d x ＝0，所以原式＝⎠⎛02(f (x )＋5)d x ＝⎠⎛025d x ＝10.7.将一块长轴长为20 cm ，短轴长为16 cm 的椭圆形玻璃镜子改造成为一块矩形镜子，则可划出的矩形镜子的最大面积为( C )A ．40 cm 2B ．80 cm 2C ．160 cm 2D ．320 cm 2解析：由题意可知椭圆镜子边界轨迹方程为x 2100＋y264＝1.设矩形镜子的一个顶点P(10cos θ，8sin θ)， 则S 矩形＝4×10cos θ×8sin θ＝160sin 2θ≤160， 故应选C .8.定义函数y ＝f(x)，当∀x∈M 时，f(x)∈M，则函数f(x)为自对称函数．已知函数g(x)＝－x1＋|x|，M ＝[a ，b](其中a<b)，则使得g(x)为自对称函数的有序对(a ，b)有( A )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：因为g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋xx≥0－x1－x x<0，且g(x)为奇函数，当x≥0时，g′(x)＝－11＋x2<0，即g(x)在[0，＋∞)上是减函数． 同理可知g(x)在(－∞，0]上是减函数，又g(0)＝0，故g(x)是R 上的减函数，要使M ＝{y |y ＝g (x )，x ∈M }，则⎩⎪⎨⎪⎧g a ＝bg b ＝a ，解得a ＝b ＝0，与b >a 矛盾，故选A.二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上．(一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)9.用0.618法优选试点，经过 5 次试验后，存优范围缩小为原来的0.6184倍． 10.在极坐标系中，和极轴垂直相交的直线l 与圆ρ＝4相交于A 、B 两点，若|AB |＝4，则直线l 的极坐标方程为 ρcos θ＝2 3 .解析：设圆心为O .由题设∠AOB ＝60°，极点O 到l 的距离为d ＝4cos30°＝23，则l 的极坐标方程为ρcos θ＝2 3.11.∀x ∈R ，且x ≠0，不等式|x ＋1x|>|a －5|＋1恒成立，则实数a 的取值范围是(4,6) .解析：由于|x ＋1x|≥2，则|a －5|＋1<2，即|a －5|<1，解得4<a <6. (二)必做题(12～16题)12.已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，且a·(a ＋b )＝2，则a 与b 的夹角的大小为 π3. 解析： 由已知a·(a ＋b )＝a 2＋a·b ＝|a|2＋a·b ＝1＋a·b ＝2，所以a·b ＝1，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝12，所以〈a ，b 〉＝π3.13.已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ的值是 1 .解析：因为点A (－1,2)，B (1，－1)，C (3，－4)，由OC →＝λOA →＋μOB →得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)，因此⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝32λ－μ＝－4，求得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1μ＝2，故λ＋μ＝1.14.在计算机运行程序中，常常要进行二进制数与十进制数的转换与运算，如：十进制数字8转换成二进制数是1000，记作8(10)＝1000(2)，二进制数111转换成十进制数是7，记作111(2)＝7(10)，二进制的四则运算，如11(2)＋101(2)＝1000(2)，请计算11(2)×111(2)＋1111(2)＝ 100100 (2)．解析：由题可知，在二进制数的运算中是“逢二进一”，因此11(2)×111(2)＝10101(2)，而10101(2)＋1111(2)＝100100(2)．15.已知方程x 3＝4－x 在区间(k ，k ＋12)内有唯一实数解，且k 是12的整数倍，则实数k的值为 1 .解析：令f (x )＝x 3＋x －4.由f ′(x )＝3x 2＋1>0，可知f (x )是R 上的增函数．又f (1)＝－2<0，f (32)＝78>0，故f (x )在(1，32)上有且仅有一个零点，从而k ＝1.16.数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝1－1a n －1(n ＝2,3,4，…)，则a 4＝ 2 ；若{a n }有一个形如a n ＝A sin(ωn ＋φ)＋B 的通项公式，其中A ，B ，ω，φ为实数，且A >0，ω>0，|φ|<π2，则此通项公式可以为a n ＝3sin(2π3n －π3)＋12 (写出一个即可)．解析：依题意，a 1＝2，a 2＝1－1a 1＝12，a 3＝1－1a 2＝－1，a 4＝1－1a 3＝2.由此可知{a n }是周期为3的周期数列， 故2πω＝3，得ω＝2π3. 又数列{a n }的最大项为2，最小项为－1，故B ＝2－12＝12，因此a n ＝A sin(2π3n ＋φ)＋12.又⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝A sin 2π3＋φ＋12＝2a 2＝A sin4π3＋φ＋12＝12，求得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3φ＝－π3，故a n ＝3sin(2π3n －π3)＋12.。
2020届高中数学二轮总复习 综合训练(三) 理 新课标(湖南专用)
2020届高中数学二轮总复习 综合训练（三） 理 新课标(湖南专用)时量：50分钟 满分：50分解答题：本大题共4小题，第1,2,3小题各12分，第4小题14分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．1.已知钝角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且有(2a －c )cos B ＝b cos C .(1)求角B 的大小；(2)设向量m ＝(cos2A ＋1，cos A )，n ＝(1，－85)，且m ⊥n ，求tan(π4＋A )的值． 解析：(1)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理，得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B ·cos C ， 所以2sin A ·cos B －sin C ·cos B ＝sin B ·cos C ，即2sin A ·cos B ＝sin B ·cos C ＋sin C ·cos B ，所以2sin A ·cos B ＝sin(B ＋C )．因为在△ABC 中，sin(B ＋C )＝sin A ，所以2sin A cos B ＝sin A .又sin A ≠0，所以cos B ＝22，B ＝π4. (2)因为m ⊥n ，所以m ·n ＝0，即cos2A ＋1－85cos A ＝0，所以2cos 2A －85cos A ＝0， 即2cos A (cos A －45)＝0. 因为cos A ≠0，所以cos A ＝45， 所以sin A ＝35，tan A ＝34， 则tan(A ＋π4)＝1＋tan A 1－tan A ＝1＋341－34＝7. 2.设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]上任取一个数，b 是从区间[0,2]上任取一个数，求方程有实根的概率． 解析：方程有实根的充要条件为a 2≥b 2.(1)基本事件共12个，其中(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)满足条件，则P ＝912＝34. (2)试验的全部结果构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2}，满足题意的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，所以P ＝3×2－12×223×2＝23. 3.如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，SA ⊥平面ABCD ，AB ＝2，AD ＝1，SB ＝7，∠BAD ＝120°，E 在棱SD 上．(1)当SE＝3ED时，求证SD⊥平面AEC；(2)当二面角S－AC－E的大小为30°时，求直线AE与平面CDE所成角的正弦值．解析：方法1：(1)在平行四边形ABCD中，由AD＝1，CD＝2，∠BAD＝120°，易知CA⊥AD.又SA⊥平面ABCD，所以CA⊥SA，所以CA⊥平面SAD，所以SD⊥AC，在直角三角形SAB中，易得SA＝3，在直角三角形SAD中，∠ADE＝60°，SD＝2，又SE＝3ED，所以DE＝12，可得AE＝AD2＋DE2－2AD·DE cos60°＝1＋14－2×12×12＝32.所以AE2＋DE2＝AD2，所以SD⊥AE.又因为AC∩AE＝A，所以SD⊥平面AEC.(2)由(1)可知，CA⊥SA，CA⊥AE，可知∠EAS为二面角E－AC－S的平面角，所以∠EAS＝30°，此时E为SD的中点．过A作AF⊥CD，连接SF，则CD⊥平面SAF，所以平面SAF⊥平面SCD.作AG⊥SF，则AG⊥平面SCD，连接EG.可得∠AEG为直线AE与平面SCD所成的角．因此AF＝32，SA＝3，所以AG＝32×3152＝155.在Rt△AGE中，sin∠AEG＝AGAE＝155，直线AE与平面CDE所成角的正弦值大小为155. 方法2：依题意易知CA⊥AD，SA⊥平在ACD.以A 为坐标原点，AC 、AD 、SA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则易得A (0,0,0)，C (3，0,0)，D (0,1,0)，S (0,0，3)．(1)由SE ∶ED ＝3，有E (0，34，34)， 易得⎩⎪⎨⎪⎧ SD →·AC →＝0SD →·AE →＝0，从而SD ⊥平面ACE .(2)由AC ⊥平面SAD ，二面角E －AC －S 的平面角，∠EAS ＝30°.又易知∠ASD ＝30°，则E 为SD 的中点，即E (0，12，32)． 设平面SCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DC →＝3x －y ＝0n ·SD →＝y －3z ＝0，令z ＝1，得n ＝(1，3，1)。
2020届高中数学二轮总复习 高考仿真试题 理 新课标(湖南专用)
2020届高中数学二轮总复习 高考仿真试题 理 新课标(湖南专用)时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 1＝1＋i ，z 2＝2＋b i ，若z 1z 2为纯虚数，则实数b ＝( A )A ．－2B ．2C ．－1 D.解析：z 1z 2＝1＋i 2＋b i ＝1＋i 2－b i 4＋b 2＝2＋b ＋2－b i 4＋b2为纯虚数，得2＋b ＝0，即b ＝－2.选A.2.设a ，b 都是非零向量，若函数f (x )＝(x a ＋b )·(a －x b )(x ∈R )是偶函数，则必有( C ) A ．a⊥b B ．a∥bC ．|a|＝|b |D ．|a|≠|b |解析：f (x )＝(x a ＋b )·(a －x b )＝(－a·b )x 2＋(a 2－b 2)x ＋a·b 为偶函数，得f (－x )＝f (x )恒成立，故a 2－b 2＝0，即|a|2＝|b|2，故|a|＝|b|.选C.3.a ＝3是直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件解析：当a ＝3时，直线3x ＋2y ＋9＝0和直线3x ＋2y ＝－4平行；反之，若两直线平行，则它们的斜率相等，得－a 2＝－3a －1，解得：a ＝3或a ＝－2.但检验知，当a ＝－2时，直线－2x ＋2y －6＝0和直线3x －3y ＝－9重合．故a ＝3是这两直线平行的充要条件．4.当a ＝3时，下面的程序段输出的结果是( C ) IF a <3 THEN y ＝2×a ELSE y ＝a ×a PRINT y A ．6 B ．7 C ．9 D ．10解析：该程序揭示的是分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a a ＜3a 2a ≥3的对应法则．选C.5.(x ＋12x)8的展开式中常数项为( B )A.3516B.358C.354D ．105 解析：T r ＋1＝C r 8(x )8－r(12x)r ＝C r 8(12)r x 4－r ，令4－r ＝0⇒r ＝4，故展开式中的常数项为T 5＝C 48(12)4＝358.6.设l 、m 、n 表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，给出下列4个命题： ①若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α；②若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，则l ∥m ∥n ；④若α∩β＝m ，β∩γ＝l ，α∩γ＝n ，且n ∥β，则m ∥l . 其中正确命题的个数是( B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：易知命题①正确；在命题②的条件下，直线l 可能在平面α内，故命题为假；在命题③的条件下，三条直线可以相交于一点，故命题为假；在命题④中，由α∩γ＝n 知，n ⊂α且n ⊂γ，由n ⊂α及n ∥β，α∩β＝m ，得n ∥m ，同理n ∥l ，故m ∥l ，命题④正确．故选B.7.已知数列{a n }的前n 项之和S n ＝2n －1，n ∈N *，则a 1＋a 22＋a 33＋…＋a nn ＝( C )A ．2n ＋1－2B ．2n－1C ．2n ＋1－3D ．2n－2解析：由S n ＝2n －1⇒a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2，从而a 1＋a 22＋a 33＋…＋a nn ＝1＋22＋23＋…＋2n ＝2n ＋1－3.8.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，若|a －b |≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( D )A.19B.29C.718D.49解析：任意找两人玩这个游戏，共有6×6＝36中猜字结果，其中满足|a －b |≤1的有如下情形：①若a ＝1，则b ＝1,2；②若a ＝2，则b ＝1,2,3；③若a ＝3，则b ＝2,3,4；④若a ＝4，则b ＝3,4,5；⑤若a ＝5，则b ＝4,5,6；⑥若a ＝6，则b ＝5,6，总共16种，故他们“心有灵犀”的概率为P ＝1636＝49.第Ⅱ卷非选择题(共110分)二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，满分35分．(一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)9.若直线3x ＋4y ＋m ＝0与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝－2＋sin θ(θ为参数)没有公共点，则实数m的取值范围是 m ≥10或m ＜0 .解析：曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝－2＋sin θ(θ为参数)的普通方程是(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，圆心(1，－2)到直线3x ＋4y ＋m ＝0的距离d ＝|3·1＋4－2＋m |32＋42＝|m －5|5，令|m －5|5>1，得m >10或m <0.10.设关于x 的不等式|x |＋|x －1|<a (a ∈R )．若不等式的解集为∅，则a 的取值范围是 a ≤1 .解析：因为|x |＋|x －1|≥|x －(x －1)|＝1，所以若不等式|x |＋|x －1|＜a 的解集为∅，则a 的取值范围是a ≤1. 11.如图，圆M 与圆N 交于A 、B 两点，以A 为切点作两圆的切线分别交圆M 和圆N 于C 、D 两点，延长DB 交圆M 于点E ，延长CB 交圆N 于点F ，已知BC ＝5，BD ＝10，则CF DE＝ 1 .解析：根据弦切角定理，知∠BAC ＝∠BDA ，∠ACB ＝∠DAB ，故△ABC ∽△DBA ，则AB DB＝BC BA，故AB 2＝BC ·BD ＝50，AB ＝5 2. 根据切割线定理，知CA 2＝CB ·CF ，DA 2＝DB ·DE ，两式相除，得CA 2DA 2＝CB DB ·CFDE(*)．由△ABC ∽△DBA ，得AC DA ＝AB DB ＝5210＝22，CA 2DA 2＝12，又CB DB ＝510＝12，由(*)得CFDE＝1.(二)必做题(12～16题)12.某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 182 人．解析：设该校其他教师有x 人，则x 26＋104＋x ＝1656，所以x ＝52，故全校教师共有26＋104＋52＝182人．13.圆柱形容器的内壁底半径是10 cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为 100π cm 2.解析：设实心铁球的半径为R ，则43πR 3＝π×102×53，得R ＝5，故这个铁球的表面积为S＝4πR 2＝100π cm 2.14.将函数y ＝cos ωx (ω>0)的图象向左平移φ(－π2<φ<π2)个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是 y ＝cos(2x －π6) .解析：将函数y ＝cos ωx (ω>0)的图象向左平移φ个单位后得y ＝cos ω(x ＋φ)，由图知34T ＝9π12，从而ω＝2.又由－1＝cos(2·7π12＋2φ)得φ＝－π12＋k π(k ∈Z )，由题知φ＝－π12.则平移后的图象所对应函数的解析式是y ＝cos(2x －π6)． 15.设平面区域D 是由双曲线y 2－x 24＝1的两条渐近线和抛物线y 2＝－8x 的准线所围成的三角形(含边界与内部)．若点(x ，y )∈D ，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为 3 .解析：双曲线y 2－x 24＝1的两条渐近线为y ＝±12x ，抛物线y 2＝－8x 的准线为x ＝2，当直线y ＝－x ＋z 过点A (1,2)时，z max ＝3.16.定义：若对平面点集A 中的任一个点(x 0，y 0)，总存在正实数r ，使得集合{(x ，y )|x －x 02＋y －y 02＜r }⊆A ，则称A 为一个开集，给出下列集合：①{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}； ②{(x ，y )|x ＋y ＋2＞0}； ③{(x ，y )||x ＋y |≤6}；④{(x ，y )|0＜x 2＋(y －2)2＜1}．其中是开集的有 ②④ .(请写出所有符合条件的序号) 解析：下面画图进行判断：① ②③ ④显然①③不存在符号要求的集合(当(x 0，y 0)在边界上时)，只有②④正确．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分)已知向量a ＝(1＋sin2x ，sin x －cos x )，b ＝(1，sin x ＋cos x )，函数f (x )＝a·b . (1)求f (x )的最大值及相应的x 的的值；(2)若f (θ)＝85，求cos2(π4－2θ)的值．解析： (1)因为a ＝(1＋sin2x ，sin x －cos x )， b ＝(1，sin x ＋cos x )，所以f (x )＝1＋sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝1＋sin2x －cos2x＝2sin(2x －π4)＋1.因此，当2x －π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋3π8时，f (x )取得最大值2＋1.(2)f (θ)＝1＋sin2θ－cos2θ及f (θ)＝85，得sin2θ－cos2θ＝35，两边平方得，1－sin4θ＝925，即sin4θ＝1625，因此，cos2(π4－2θ)＝cos(π2－4θ)＝sin4θ＝1625.18.(本小题满分12分)某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分按等级采用5分制，若设“创新性”得分为x ，yx 作品数量 实用性 1分 2分 3分 4分 5分 创 新 性 1分 1 3 1 0 1 2分 1 0 7 5 1 3分 2 1 0 9 3 4分 1 b 6 0 a 5分 0 0 1 13(2)若“实用性”得分的数学期望为16750，求a 、b 的值．解析： (1)从表中可以看出，“创新性为4分且实用性为3分”的作品数量为6件，所以“创新性为4分且实用性为3分”的概率为650＝0.12.(2)由表可知“实用性”得分y 有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，且每个等级分别为5件，b ＋4件，15件，15件，a ＋8件．所以“实用性”得分y 的分布列为y 1 2 3 4 5 P550b ＋45015501550a ＋850又因为“实用性”得分的数学期望为50，所以1×550＋2×b ＋450＋3×1550＋4×1550＋5×a ＋850＝16750.因为作品数量共有50件，所以a ＋b ＝3. 解得a ＝1，b ＝2.19.(本小题满分12分)如图，三棱锥P —ABC 的顶点P 在圆柱轴线O 1O 上，底面△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，且∠ABC ＝60°，O 1O ＝AB ＝4，⊙O 1上一点D 在平面ABC 上的射影E 恰为劣弧AC 的中点，(1)设三棱锥P —ABC 的体积为33，求证：DO ⊥平面PAC ； (2)若⊙O 上恰有一点F 满足DF ⊥平面PAC ，求二面角D —AC —P 的余弦值．解析： 方法1：(1)连接DE 、OE ，设OE 与AC 的交点为G ，连接PG ， 因为△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，所以△ABC 为直角三角形，又∠ABC ＝60°，AB ＝4， 故BC ＝2，AC ＝23，S △ABC ＝23，所以V P —ABC ＝13S △ABC ×PO ＝13×23×PO ＝33，故PO ＝12.因为E 是劣弧AC 的中点，所以OE ⊥AC ，OG ＝12BC ＝1，又因为DE ⊥平面ABC ，故DE ⊥AC ， 所以AC ⊥平面DEOO 1，故DO ⊥AC . 在矩形DEOO 1中，tan ∠PGO ＝PO OG ＝12，tan ∠DOO 1＝DO 1OO 1＝12，故∠PGO ＝∠DOO 1，又∠DOO 1＋∠DOG ＝90°， 故∠PGO ＋∠DOG ＝90°，所以DO ⊥PG ， 所以DO ⊥平面PAC .(2)由(1)知，AC ⊥平面DEOO 1， 所以平面DEOO 1⊥平面PAC ， 因为DF ⊥平面PAC ，所以DF ⊂平面DEOO 1，且DF ⊥PG ， 又F 在⊙O 上，故点F 即为点E 关于点O 的对称点． 在轴截面内可求得PO ＝OG ＝1， 所以PG ＝2，DG ＝17，DP ＝13. 由AC ⊥平面DEOO 1，得∠DGP 即为二面角D —AC —P 的平面角，在△DGP 中，由余弦定理可求得cos ∠DGP ＝33434.方法2：(1)在平面ABC 中，过点O 作AB 的垂线，交弧EC 于H ，如图建立空间直角坐标系，因为△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，所以△ABC 为直角三角形， 又∠ABC ＝60°，AB ＝4，故BC ＝2，AC ＝23，S △ABC ＝23，所以V P —ABC ＝13S △ABC ×PO ＝13×23×PO ＝33，故PO ＝12.故A (0，－2,0)，C (3，1,0)，P (0,0，12)，D (3，－1,4)，所以AC →＝(3，3,0)，AP →＝(0,2，12)，OD →＝(3，－1,4)．所以AC →·OD →＝0，AP →·OD →＝0， 故AC ⊥OD ，AP ⊥OD .又AC ∩AP ＝A ，所以DO ⊥平面PAC . (2)设点F 的坐标为(x ，y,0)， 故DF →＝(x －3，y ＋1，－4)． 因为DF ⊥平面PAC ，故DF ⊥AC ， 所以3x ＋3y ＝0，又因为F 点在⊙O 上，所以x 2＋y 2＝4. 解得⎩⎨⎧x ＝－3y ＝1或⎩⎨⎧x ＝3y ＝－1(即为点E ，舍去)，所以DF →＝(－23，2，－4)，设平面DAC 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧AD →·n ＝0AC →·n ＝0，即⎩⎨⎧3x ＋y ＋4z ＝03x ＋3y ＝0，取x ＝3，则n ＝(3，－1，－12)．则cos 〈n ，DF →〉＝－33434，由图知D －AC －P 的二面角为锐角，所以二面角D —AC —P 的余弦值为33434.20.(本小题满分13分)已知大西北的荒漠上的A 、B 两地相距2 km ，现准备在荒漠上围成一片以AB 为一条对角线的平行四边形区域ACBP 建成农场．按照规划，围墙的总长为8 km.(1)农场的最大面积能达到多少？(2)又该荒漠上有一条水沟L 恰好经过A 地，且水沟L 与AB 成α角，tan α＝34.现对整个水沟进行加固改造，但对水沟可能被农场围进的部分暂不加固．问水沟暂时不加固的部分最长有多长？ 解析：以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．由题设知，A (－1,0)，B (1,0)．(1)因为围墙的总长为8 km ， 所以2(|PA |＋|PB |)＝8， 即|PA |＋|PB |＝4.所以P 点的轨迹是椭圆，半长轴长为2，半焦距为1， 所以半短轴长为3，则椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.当P 点在短轴的端点时，农场的面积最大，最大面积为4 3 km 2.(2)水沟L 所在直线的方程为y ＝34(x ＋1)，暂时不加固的部分最长时，点P 在L 上．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝34x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－137y ＝－914(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝32.即点P 的坐标为(1，32)．由两点间的距离公式，得|AP |＝－1－12＋322＝52. 所以水沟暂时不加固的部分最长为52km.21.(本小题满分13分)过直线y ＝－m (m 为大于0的常数)上一动点Q 作x 轴的垂线，与抛物线C ：y ＝x 2相交于点P ，抛物线上两点A 、B 满足PA →＋PB →＝2QP →.(1)求证：直线AB 与抛物线C 在点P 处的切线平行，且直线AB 恒过定点；(2)是否存在实数m ，使得点Q 在直线y ＝－m 上运动时，恒有QA ⊥QB ，若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．解析： (1)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．点Q 的坐标为(x 0，－m )，点P 的坐标为(x 0，x 20)．所以PA →＝(x 1－x 0，y 1－x 20)，PB →＝(x 2－x 0，y 2－x 20)，QP →＝(0，x 20＋m )，由PA →＋PB →＝2QP →得：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2x 0y 1＋y 2＝4x 20＋2m .(*)联立直线AB 和抛物线C 方程：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋by ＝x2，可得：x 2－kx －b ＝0.故x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－b ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2b ＝k 2＋2b ， y 1y 2＝(x 1x 2)2＝b 2，代入(*)式可得：⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝k 2b ＝m因为y ′＝2x ，所以抛物线C 在点P 处的切线斜率为2x 0＝k ，故直线AB 与抛物线C 在点P 处的切线平行．因为直线AB 的方程为：y ＝kx ＋m ，且m 为常数，故直线AB 恒过定点(0，m )．(2)因为QA →＝(x 1－x 0，y 1＋m )＝(x 1－k 2，y 1＋m )，QB →＝(x 2－x 0，y 2＋m )＝(x 2－k 2，y 2＋m )．所以QA →·QB →＝(m －14)k 2＋4m 2－m ，显然当m ＝14时，恒有QA →·QB →＝0.故存在实数m ＝14，使得Q 点在直线y ＝－m 上运动时，恒有QA ⊥QB .22.(本小题满分13分) 设函数f (x )＝x ln x (x >0)． (1)求函数f (x )的最小值；(2)设F (x )＝ax 2＋f ′(x )(a ∈R )，讨论函数F (x )的单调性；(3)斜率为k 的直线与曲线y ＝f ′(x )交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，求证：x 1<1k<x 2.解：(1)f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e.因为当x ∈(0，1e)时，f ′(x )<0；当x ∈(1e，＋∞)时，f ′(x )>0，所以当x ＝1e 时，f (x )min ＝1e ln 1e ＝－1e .(2)F (x )＝ax 2＋ln x ＋1(x >0)，F ′(x )＝2ax ＋1x ＝2ax 2＋1x(x >0)．①当a ≥0时，恒有F ′(x )>0，F (x )在(0，＋∞)上是增函数； ②当a <0时，令F ′(x )>0，得2ax 2＋1>0，解得0<x <－12a ；令F ′(x )<0，得2ax 2＋1<0，解得x >－12a. 综上，当a ≥0时，F (x )在(0，＋∞)上是增函数；当a <0时，F (x )在(0，－12a)上单调递增，在(－12a，＋∞)上单调递减． (3)证：k ＝f ′x 2－′x 1x 2－x 1＝ln x 2－ln x 1x 2－x 1.要证x 1<1k <x 2，即证x 1<x 2－x 1ln x 2－ln x 1<x 2，等价于证1<x 2x 1－1ln x 2x 1<x 2x 1，令t ＝x 2x 1，则只要证1<t －1ln t<t ，由t >1知ln t >0，故等价于证ln t <t －1<t ln t (t >1)．(*)①设g (t )＝t －1－ln t (t ≥1)，则g ′(t )＝1－1t≥0(t ≥1)，故g (t )在[1，＋∞)上是增函数，所以当t >1时，g (t )＝t －1－ln t >g (1)＝0，即t －1>ln t (t >1)．②设h (t )＝t ln t －(t －1)(t ≥1)，则h ′(t )＝ln t ≥0(t ≥1)，故h (t )在[1，＋∞)上是增函数，所以当t >1时，h (t )＝t ln t －(t －1)>h (1)＝0，即t －1<t ln t (t >1)． 由①②知(*)成立，得证．。
2020届高中数学二轮总复习 小题训练(五)理 新课标(湖南专用)
2020届高中数学二轮总复习 小题训练（五） 理 新课标(湖南专用)时量：40分钟 满分：75分一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合M ＝{x |x <3}，N ＝{x |log 2x >1}，则M ∩N ＝( C ) A ．∅ B ．{x |0<x <3}C ．{x |2<x <3}D ．{x |1<x <3}2.z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1z 2为实数，则实数m 的值为( B ) A.83 B ．－32 C ．－83 D.32解析：因为z 1z 2＝m ＋2i3＋4i32＋42＝3m －8＋4m ＋6i25∈R ，所以4m ＋6＝0，所以m ＝－32，故选B.3.若tan α＝2，则tan(π4＋α)的值为( B )A ．3B ．－3 C.13 D ．－134.如图，按如下程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为( D )A ．i >5?B ．i ≥7?C ．i >9?D ．i ≥9?5.已知两条不同直线m ，n ，两个不同平面α，β，给出下面四个命题： ①m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α；②α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n ； ③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α；④α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β. 其中真命题的序号是( C ) A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．②③解析：②不正确，m 与n 可平行，亦可是异面直线；③不正确，n ∥α或n ⊂α，①④正确，故选C.6.设y ＝8x 2－ln x ，则此函数在区间(0，14)和(12，1)内分别为( C )A ．单调递增，单调递增B ．单调递增，单调递减C ．单调递减，单调递增D ．单调递减，单调递减解析：因为y ′＝16x －1x ＝16x －14x ＋14x ，当x ∈(0，14)时，y ′<0；当x ∈(12，1)时，y ′>0，所以y ＝8x 2－ln x 在(0，14)上单调递减，在(12，1)上单调递增．故选C.7.已知a ∈R ＋，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，…，可推广为x ＋axn ≥n ＋1，则a 的值为( D )A ．2nB ．n 2C ．22(n －1)D ．n n解析：x ＋1x ≥2x ·1x＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x2＝3， x ＋t x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋t x 3≥44x 333·t x3＝4， 所以t ＝33，所以x ＋a x n ＝x n ＋x n ＋…＋ax n ≥(n ＋1)n ＋1x n n n ·a x n ＝n ＋1，所以a ＝n n，故选D. 8.设a >1为常数，函数f (x )＝|log a x |，已知当x ∈[m ，n ](0<m <n )时，f (x )的值域是[0,1]，且n －m 的最小值是23，则a 的值为( A )A ．3B ．2 C.32 D.53解析：因为f (x )的值域为[0,1]，又a >1，由函数图象可知f (x )的定义域可能是[m ，a ](1a ≤m ≤1)或[1a，n ](1≤n ≤a )，其中长度最短的区间可能是[1，a ]或[1a，1]．又因为(1－1a )－(a －1)＝2a －1－a2a＝－a －12a<0，所以f (x )的可能定义域中，区间[1a，1]的长度最短，由n －m 的最小值为23，得1－1a ＝23，所以a ＝3，故选A.二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上．(一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)9.已知抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t2y ＝2t (t 为参数)，设O 为坐标原点，点M (x 0，y 0)在C 上运动，点P (x ，y )是线段OM 的中点，则点P 的轨迹的普通方程为 y 2＝x .10.函数y ＝x ＋3－x 的最大值为 6 .解析： 由柯西不等式(x ＋3－x )2≤[(x )2＋(3－x )2]·(12＋12)＝6， 所以x ＋3－x ≤6，即函数y ＝x ＋3－x 的最大值为 6.11.如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知AD ＝42，AC ＝8，圆O 的半径为4，则∠BDC 的大小为 30° .解析： 由切割线定理得AD 2＝AB ·AC ，则AB ＝AD 2AC ＝4228＝4，从而BC ＝AC －AB ＝4，又OB ＝OC ＝4，则∠BOC ＝60°，所以∠BDC ＝12∠BOC ＝30°，故填30°.(二)必做题(12～16题)12.已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝ 3 .13.现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为 0.2 .14.在如图表格中，每格填上一个正数后，使每一横行成等比数列，每一纵行成等差数列，则a ＋b ＋c ＝ 76 .1 2 4 3 6 a b c1 2 4 8 16 3 6 12 24 8 16 32 20 40 4815.＝1相切，则圆C 的标准方程是 (x －1)2＋(y ＋2)2＝2 .解析：因为圆心C 在直线2x ＋y ＝0上， 可设圆心为C (a ，－2a )， 则点C 到直线x ＋y ＝1的距离 d ＝|a －2a －1|2＝|a ＋1|2.据题意，d ＝|AC |， 则|a ＋1|2＝a －22＋－1＋2a 2，解得a ＝1.所以圆心为C (1，－2)，半径r ＝d ＝2，故所求圆的方程是(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.16.已知f (x )＝sin x ，g (x )＝cos x ，则有如下性质：(1)f ′(x )＝g (x ); (2)f 2(x )＋g 2(x )＝1；(3)f (2x )＝2f (x )g (x ); (4)g (2x )＝g 2(x )－f 2(x )．若设h (x )＝e x ＋e －x 2，k (x )＝e x －e－x 2，类比f (x )，g (x )所满足的性质，写出一个关于h (x )和k (x )的性质是 ①h ′(x )＝k (x )(或②k (2x )＝2h (x )k (x )或③h (2x )＝h 2(x )＋k 2(x )或④h 2(x )－k 2(x )＝1其中一个即可) .。
高中数学二轮总复习 小题训练(八)理 新课标(湖南专用)
高中数学二轮总复习 小题训练（八） 理 新课标(湖南专用)时量：40分钟 满分：75分一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)且为偶函数的是( B )A ．y ＝x 12B ．y ＝x 4C ．y ＝x －2D ．y ＝x 13解析：由函数为偶函数淘汰A 、D.又y ＝x －2＝1x2不过点(0,0)，淘汰C ，故选B.2.设A 、B 是全集U 的两个非空子集，且A ⊆B ，则下列结论一定正确的是( C ) A ．A ∩B ＝B B ．A ∪B ＝AC ．U ＝B ∪(∁U A )D ．U ＝A ∪(∁U B )解析：利用韦恩图可知应选C.3.若sin α＝35，α∈(π2，π)，则sin2αcos 2α的值为( B ) A ．－34 B ．－32C.34D.32解析：由α∈(π2，π)，sin α＝35，可得cos α＝－45，则sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝－32，故选B. 4.3月，第十一届全国人大三次会议对中国中学教育的现状进行综合评分，得到如图的频率分布直方图，依据直方图估计综合评分的平均分为( A )A ．82.2B ．82C ．82.8D ．83解析：x －＝65×0.016×10＋75×0.024×10＋85×0.032×10＋95×0.028×10＝82.2，故选A.5.已知向量OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设X 是直线OP 上一点，其中O 为坐标原点，则XA →·XB →的最小值是( A )A ．－8 B. 5 C ．8 D ．5 2解析：设OX →＝(2λ，λ)，则XA →＝(1－2λ，7－λ)，XB →＝(5－2λ，1－λ)，则XA →·XB →＝(1－2λ)·(5－2λ)＋(7－λ)·(1－λ)＝5(λ－2)2－8，当λ＝2时，XA →·XB →的最小值为－8，故选A.6.设m 、n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ⊥n ，m ⊥β，则n ∥β；③若α∩β＝n ，m ∥n ，则m ∥α，且m ∥β； ④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β. 其中正确命题的个数是( A ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：命题①②③错误，命题④正确，故选A.7.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点作直线l ⊥x 轴，交椭圆C 于A 、B 两点，若△OAB (O 为坐标原点)是直角三角形，则椭圆C 的离心率e 为( C )A.3－12B.3－22 C.5－12 D.5－32解析：依题设可得b 2a ＝c ，从而可得a 2－c 2＝ac ，则e 2＋e －1＝0，求得e ＝5－12(e ＝－5＋12<0舍去)，故选C.8.若函数f (x )＝|a x－1|－2a (a >0，a ≠1)存在两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( B )A ．0<a ≤12B ．0<a <12C ．0<a <1D ．1<a ≤2解析：令y ＝|a x－1|，y ＝2a ，在同一坐标系作出两函数的图象，可知，当0<a <1时，则0<2a <1，解得0<a <12；当a >1时，则2a >2，两函数图象只有一个交点，故0<a <12为所求，故选B.二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上． (一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)9.直线y ＝x ＋1被曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θy ＝1＋2sin θ(θ为参数)截得的弦长为 2 2 .解析：由曲线的参数方程可得该曲线为圆，而圆心(2,1)到x －y ＋1＝0的距离为d ＝|2－1＋1|2＝2，则弦长为l ＝222－22＝22，故应填2 2.10.已知函数f (x )＝|x －1|，若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对∀a ≠0且a ，b ∈R 恒成立，则实数x 的取值范围是 [－1,3] .解析：由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )，且a ≠0，得f (x )≤|a ＋b |＋|a －b ||a |.而|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，则f (x )≤2，解|x －1|≤2，得－1≤x ≤3，故应填[－1,3]．11.一条1000 m 长的输电线路出现了故障，在线路的开始端A 处有电，在末端B 处没电，现在用对分法检查故障所在的位置，则第二次检查点在距开始端A 处 250 m 或750 m .解析：对分法可知，第一检查点应在距开始端A 处500 m ，则第二次检查点在距开始端A 处 250 m 或750 m.(二)必做题(12～16题)12.函数y ＝log 132x －1的定义域是 (12，1] .解析：由log 13(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1，求得12<x ≤1，故应填(12，1]．13.二项式(x ＋2)5的展开式中含x 3项的系数为 40 .解析：由T r ＋1＝C r 525－r x r ，可知当r ＝3时，含x 3项的系数为C 35·22＝40.14.已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是 43cm 3.解析： 由三视图可知，该几何体为三棱锥，它的底面是底边长为2，底边上的高为2的等腰三角形，高为2.故其体积V ＝13×12×2×2×2＝43，故填43.15.在正三棱锥S －ABC 中，侧棱SC ⊥侧面SAB ，侧棱SC ＝23，则此正三棱锥的外接球的表面积为36π .解析：由正三棱锥SC 与侧面SAB 垂直，可得三条侧棱为相邻三边作出一个正方体，其棱长均为23，其外接球的直径就是此正方体的对角线，所以2R ＝23×3，即球半径R ＝3，所以球的表面积S ＝4πR 2＝36π.16.下面的数组均由三个数组成，它们是：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，…，(a n ，b n ，c n )．(1)请写出c n 的一个表达式c n ＝ n ＋2n；(2)若数列{c n }的前n 项和为M n ，则M 10＝ 2101 .(用数字作答)． 解析：由1,2,3,4,5，…，猜想a n ＝n ；由2,4,8,16,32，…，猜想b n ＝2n；由每组数都是“前两个之和等于第三个”猜想c n ＝n ＋2n，从而M 10＝(1＋2＋…＋10)＋(2＋22＋…＋210)＝10×10＋12＋2210－12－1＝2101.。
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2020届高中数学二轮总复习小题训练（六）理新课标(湖南专用)时量：40分钟满分：75分一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，若A⊆B，则实数a等于( B )A．－3 B．－2C．0 D．1解析：由A⊆B可得a＋3＝1，则a＝－2，故选B.2.已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)．若f(x)的图象如右图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象大致为( A )解析：由图象可知0<a<1，b<－1，而y＝a x＋b的图象是由y＝a x的图象向下平移|b|个单位长度得到的，故选A.3.在一个2×2列联表中，由其数据计算得K2＝13.097，则其两个变量间有关系的可能性为( A )A．99% B．95%C．90% D．无关系解析：因为如果K2的估计值K2>10.828时，就有99.9%的把握认为“两个变量有关系”，所以选项A最合适，故选A.4.如图，水平放置的三棱柱各棱长均为2，正视图是边长为2的正方形，俯视图是边长为2的正三角形，该三棱柱的侧视图的面积为( D )A ．4 B. 3C ．2 2D ．2 3解析：该三棱柱的侧视图是长为32×2＝3，宽为2的矩形，其面积为23，故选D. 5.函数y ＝sin x ·cos x ＋3cos 2x －32的图象的一个对称中心是( D ) A ．(π6，0) B ．(－2π3，32)C ．(π3，－32)D ．(5π6，0)解析：y ＝sin x ·cos x ＋3cos 2x －32＝12sin2x ＋32(1＋cos2x )－32＝sin(2x ＋π3)．令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，当k ＝2时得对称中心为(5π6，0)，故选D.6.下列命题中正确的有( B )①△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积一定是32； ②函数f (x )＝(13)x －x 的零点所在区间是(13，12)；③“m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的充分不必要条件；④p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④解析：①应有两种可能，32或34.②、③正确，对④，綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，故选B.7.两圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R 且a ≠0)和圆C 2：x 2＋y 2－4by ＋4b 2－1＝0(b ∈R 且b ≠0)恰有三条公切线，则1a 2＋1b2的最小值为( D )A.49B.19 C ．3 D ．1解析： 由题设知，圆C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4与圆C 2：x 2＋(y －2b )2＝1外切，则|C 1C 2|＝a 2＋2b 2＝3，即a 2＋4b 2＝9.从而1a 2＋1b 2＝19(a 2＋4b 2)·(1a 2＋1b 2)＝19(5＋4b 2a 2＋a 2b 2)≥19(5＋2·2b a ·a b)＝1，当且仅当a 2＝2b 2时等号成立，故选D.8.如图，一个质点从原点出发，在与y 轴、x 轴平行的方向按(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→(2,0)→(2,2)→…的规律向前移动，且每秒钟移动一个单位长度，那么到第2020秒时，这个质点所处位置的坐标是( B )A ．(14,44)B ．(12,44)C ．(44,12)D ．(44,13)解析：由图可知，质点走完一个矩形回路所走路程依次为3,5,7，…，(2n ＋1)个单位长度．由3＋5＋7＋…＋(2n ＋1)＜2020，得n ≤43.当质点走完第43个正方形时，共走了1935个单位长度，余下77个单位长度是从(43,0)→(44,44)，有45个单位长度，再向左走32个单位长度即可，此时质点的坐标为(12,44)，故选B.二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上．(一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)9.以直角坐标系xOy 的原点O 为极点，Ox 轴的正半轴为极轴，则直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos αy ＝4sin α(α为参数)截得的弦长为 4 3 .解析： 由ρsin(θ＋π4)＝2得直线方程为x ＋y ＝22，又圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos αy ＝4sin α(α为参数)的方程为x 2＋y 2＝16，则圆心(0,0)到直线x ＋y ＝22的距离d ＝222＝2，从而弦长l ＝242－22＝43，故填4 3.10.优选法中，用0.618法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的0.618.因此，n 次试验后的精度δn ＝ 0.618n －1.11.如图，已知P 是⊙O 外一点，PD 为⊙O 的切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心O ，若PF ＝12，PD ＝43，∠EFD 的度数为 30° .解析：由切割线定理得PD 2＝PE ·PF ⇒PE ＝PD 2PF ＝16×312＝4⇒EF ＝8，OD ＝4.因为OD ⊥PD ，OD ＝12PO ，所以∠P ＝30°，∠POD ＝60°，∠EFD ＝12∠POD ＝30°.(二)必做题(12～16题)12.用秦九韶算法求多项式f (x )＝2＋0.35x ＋1.8x 2－3.66x 3＋6x 4－5.2x 5＋x 6在x ＝－2时的值时，令v 0＝a 6，v 1＝v 0x ＋a 5，…，v 6＝v 5x ＋a 0时，v 3的值为 －44.46 . 解析：根据算法：v 0＝1，v 1＝1×(－2)－5.2＝－7.2，v 2＝－7.2×(－2)＋6＝14.4＋6＝20.4，v 3＝20.4×(－2)－3.66＝－40.8－3.66＝－44.46.13.若(2x ＋3)3＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3，则(a 0＋a 2)2－(a 1＋a 3)2的值为 －1 .解析：(a 0＋a 2)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3)·(a 0－a 1＋a 2－a 3)＝(2×1＋3)3·[2×(－1)＋3]3＝(2＋3)3·(－2＋3)3＝(3－4)3＝－1.14.已知sin(π4－x )＝35，则sin2x 的值为 725 .解析：因为sin(π4－x )＝35，即22cos x －22sin x ＝35， 所以cos x －sin x ＝325，所以1－2sin x ·cos x ＝1825，所以sin2x ＝725.15.一质点以速度v (t )＝t 2－3t ＋2(m/s)从时间t ＝0(s)开始做直线运动，则到t ＝3 s时，质点运动的路程是 116.解析：因为v (t )＝(t －1)(t －2)，t ∈[0,3]， 当t ∈[0,1]∪[2,3]时，v (t )≥0; 当t ∈[1,2]时，v (t )≤0.所以到t ＝3s 时，质点所走的路程为 S ＝⎠⎛01v (t )d t ＋|⎠⎛12v (t )d t |＋⎠⎛23v (t )d t＝⎠⎛01v (t )d t －⎠⎛12v (t )d t ＋⎠⎛23v (t )d t＝(13t 3－32t 2＋2t )|10－(13t 3－32t 2＋2t )|21 ＋(13t 3－32t 2＋2t )|32 ＝116. 16.已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x ＋2|＋…＋|x ＋2020|＋|x －1|＋|x －2|＋…＋|x －2020|(x ∈R )，且f (a 2－3a ＋2)＝f (a －1)，则满足条件的所有整数a 的和是 6 .解析：因为函数f(x)＝|x＋1|＋|x＋2|＋…＋|x＋2020|＋|x－1|＋|x－2|＋…＋|x－2020|(x∈R)，所以f(－x)＝|－x＋1|＋|－x＋2|＋…＋|－x＋2020|＋|－x－1|＋|－x－2|＋…＋|－x＋2020|＝|x＋1|＋|x＋2|＋…＋|x＋2020|＋|x－1|＋|x－2|＋…＋|x－2020|＝f(x)．即函数f(x)为偶函数．若f(a2－3a＋2)＝f(a－1)，则a2－3a＋2＝a－1，或a2－3a＋2＝－(a－1)，即a2－4a＋3＝0，或a2－2a＋1＝0，解得a＝1或a＝3.又由f(x)的几何意义知，f(0)＝f(1)＝f(－1)，所以当a＝2时，也满足要求，故满足条件的所有整数a的和是1＋2＋3＝6.。
2020届高中数学二轮总复习 小题训练(十四)理 新课标(湖南专用)
2020届高中数学二轮总复习 小题训练（十四） 理 新课标(湖南专用)时量：40分钟 满分：75分一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.函数f (x )＝1－2x 的定义域为( C )A ．RB ．[0，12)C ．(－∞，12]D ．[12，＋∞)2.命题“若m ≥－14，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( D )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≥－14B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m <－14C ．若方程x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≥－14D ．若方程x 2＋x －m ＝0无实根，则m <－14解析： 由逆否命题的含义可知应选D.3.在(1－2a )5展开式中，第4项为( B )A ．80a 3B ．－80a 3C ．80a 4D ．－80a 44.已知a ，b 都是实数，那么“a >|b |”是“a 2>b 2”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5.在下列五个正方体中，能得出AB ⊥CD 的个数是( D )A ．0B ．1C ．2D ．36.已知非零向量a 与b 的夹角为120°，且b 2＝－a·b ，则|a||b|＝( D ) A.12B. 3C.33D ．2 7.能够使得圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0上恰有两个点到直线2x ＋y ＋c ＝0的距离等于1的c 的一个可能的值为( C )A ．2 B. 5 C ．3 D ．3 58.设由正整数有序对(x ，y )组成如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，按x ＋y 的值由小到大的顺序排列，当x ＋y 的值相等时，按x 的值从小到大的顺序排列，则有序对(m ，n )(m ，n ∈N *)在该排列中的位置是( A )A ．第m ＋n －2m ＋n －12＋m 位B ．第m ＋n －1m ＋n2＋m 位C ．第2m ＋n －1位D ．第2m ＋n －2位 解析：x ＋y ＝2的有序对有1个，x ＋y ＝3的有序对有2个，x ＋y ＝4的有序对有3个，…，x ＋y ＝m ＋n －1的有序对有m ＋n －2个，共有m ＋n －2m ＋n －12个，而x ＋y ＝m ＋n 的有序对中，(m ，n )排在第m 位，则在整个序列中排在第m ＋n －2m ＋n －12＋m 位．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上．(一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)9.已知点A (1,0)，P 是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝1＋cos2θ(θ∈R )上任意一点，设P 到直线l ：y ＝－12的距离为d ，则|PA |＋d 的最小值是 52. 解析：y ＝1＋cos2θ＝2cos 2θ，消去θ，得x 2＝2y (0≤y ≤2)，其图象是一段抛物线．10.在调试某设备的线路中，要选一个电阻，调试者手里只有阻值为0.5,1,1.2,2,2.6,3,3.3,4.2,4.7,5,5.5，6(k Ω )等12种阻值不等的定值电阻，调试者采用分数法安排实验，则第一次试点的阻值为 4.2(或2.6) (k Ω )；至多通过 5 次实验保证从12种阻值中找出最佳阻值．11.如图，圆O 和圆O ′相交于A 、B 两点，AC 是圆O ′的切线，AD 是圆O 的切线，若BC ＝2，AB ＝4，则BD ＝ 8 .解析：易证△CBA ∽△ABD ，所以BC AB ＝AB BD，故BD ＝8.(二)必做题(12～16题)12.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[45,55)，[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95)，由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是 13 .13.若三角形ABC 的三条边长分别为a ＝2，b ＝1，c ＝2，则sin Asin A ＋C＝ 2 .14.由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x及x 轴所围成的图形的面积为 2ln2 .15.已知关于x 的方程x 3＋ax 2＋bx ＋c ＝0的三个实根可分别作为一个椭圆、一条双曲线、一条抛物线的离心率，则b －1a ＋1的取值范围是 (－2,0) .解析：由题意得f (0)＝c <0，f (1)＝a ＋b ＋c ＋1＝0，所以a ＋b ＋1＝－c >0.令f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，则函数的三个零点一个在(0,1)内，一个在(1，＋∞)内，还有一个为1.两个极值点在(0,1)和(1，＋∞)内；又令f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，则y ＝f ′(x )图象与x 轴两交点在(0,1)和(1，＋∞)内，故⎩⎪⎨⎪⎧ f ′0>0f ′1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋3<0b >0，所以a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋3<0a ＋b ＋1>0b >0.而b －1a ＋1表示点(a ，b )与(－1,1)连线的斜率，由数形结合得b －1a ＋1∈(－2,0)． 16.给出下列四个结论：①若A 、B 、C 、D 是平面内四点，则必有AC →＋BD →＝BC →＋AD →；②“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的充要条件；③如果函数f (x )对任意x ∈R 都满足f (x )＝－f (2＋x )，则函数f (x )是周期函数；④已知点(π4，0)和直线x ＝π2分别是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象的一个对称中心和一条对称轴，则ω的最小值为2.其中正确结论的序号是 ①③④ .解析：由AC →－AD →＝DC →，BC →－BD →＝DC →知①正确；由a >b >0⇒a 2＋b 2>2ab ，即a 2＋b 22>ab 成立，由a 2＋b 22>ab ，即a 2＋b 2>2ab ，不能推出a >b >0，②错误；由f (x )＝－f (2＋x )知：f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )是周期为4的周期函数，③正确；由π2－π4＝π4＝14·2πω知ω的最小值为2，④正确．。
2020届高中数学二轮总复习 综合训练(五) 理 新课标(湖南专用)
2020届高中数学二轮总复习 综合训练（五） 理 新课标(湖南专用)时量：50分钟 满分：50分解答题：本大题共4小题，第1,2,3小题各12分，第4小题14分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．1.已知向量a ＝(3sin2x ，cos2x )，b ＝(cos2x ，－cos2x )．(1)若x ∈(7π24，5π12)，a ·b ＋12＝－35，求cos4x 的值；(2)设△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且边b 所对应的角为x ，若关于x 的方程a ·b ＋12＝m 有且仅有一个实数根，求实数m 的值． 解析：由已知a ·b ＝3sin2x cos2x －cos 22x＝32sin4x －12(1＋cos4x ) ＝sin(4x －π6)－12.(1)由a ·b ＋12＝－35，得sin(4x －π6)＝－35.又7π24<x <5π12，所以π<4x －π6<3π2， 所以cos(4x －π6)＝－45，所以cos4x ＝cos[(4x －π6)＋π6]＝cos(4x －π6)cos π6－sin(4x －π6)sin π6＝3－4310. (2)由b 2＝ac 及余弦定理可得cos x ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －ac 2ac ＝12.又x ∈(0，π)，则0<x ≤π3，所以－π6<4x －π6≤7π6，从而由m ＝a ·b ＋12＝sin(4x －π3)的图象可知m ＝1或m ＝－12.2.某班研究小组为了解数学成绩和物理成绩之间是否具有相关关系，随机从本班的60名同学中抽取10名同学某次考试的成绩(百分制)如下表所示：(其中数学成绩90分(含90分)以上为优秀，物理成绩85分(含85分)以上为优秀)物理成绩优秀物理成绩不优秀合计(2)根据题(1)中表格的数据计算，有多少把握认为同学的数学成绩与物理成绩有关系？ (3)约定：数学成绩70分(不包含70分)以下为成绩一般，70分到89分为成绩中档，90分(包含90分)以上为成绩优秀，分别以样本中上述三档成绩的平均分为总体的平均分，请估计该班数学的平均成绩．附：K 2＝n ad －bc 2a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d ，P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828解析：(1)数学成 绩优秀 数学成绩不优秀合计 物理成绩优秀 4 04 物理成绩不优秀 0 66 合计 4 610(2)由于K 2＝104×6－0×024×6×4×6＝10>6.635.故有99%的把握认为数学成绩与物理成绩有关系．(3)由题设，可设成绩一般，成绩中档，成绩优秀的平均分分别为ξ1，ξ2，ξ3，且ξ1＝65＋672＝66，ξ2＝71＋84＋75＋804＝77.5，ξ3＝98＋95＋94＋924＝94.75，而平均成绩的分布列为ξ 66 77.5 94.75 P152525Eξ＝66×5＋77.5×5＋94.75×5＝82.1.由此估计该班数学平均成绩为82.1分．3.如图，已知直角梯形ACDE 所在的平面垂直于平面ABC ，∠BAC ＝∠ACD ＝90°，∠EAC ＝60°，AB ＝AC ＝AE .(1)在直线BC 上是否存在一点P ，使得DP ∥平面EAB ？请证明你的结论； (2)求平面EBD 与平面ABC 所成的锐二面角θ的余弦值． 解析：(1)线段BC 的中点就是满足条件的P . 证明如下：取AB 的中点F ，连接DP ，PF ，EF ，则FP ∥AC ，FP ＝12AC .取AC 的中点M ，连接EM ，EC . 因为AE ＝AC 且∠EAC ＝60°，所以△EAC 是正三角形，所以EM ⊥AC ，所以四边形EMCD 为矩形，所以ED ＝MC ＝12AC .又因为ED ∥AC ，ED ∥FP 且ED ＝FP ， 所以四边形EFPD 是平行四边形．所以DP ∥EF ，而EF ⊂平面EAB ，DP ⊄平面EAB ， 所以DP ∥平面EAB .(2)方法1：过B 作AC 的平行线l ，过C 作l 的垂线交l 于G ，连接DG .因为ED ∥AC ，所以ED ∥l ，l 是平面EBD 与平面ABC 所成二面角的棱． 因为平面EAC ⊥平面ABC ，DC ⊥AC ， 所以DC ⊥平面ABC ，又因为l ⊂平面ABC ，所以DC ⊥l ， 所以l ⊥平面DGC ，所以l ⊥DG ，所以∠DGC 是所求二面角D －BG －C 的平面角． 设AB ＝AC ＝AE ＝2a ，则CD ＝3a ，GC ＝2a ，所以GD ＝GC 2＋CD 2＝7a ，所以cos θ＝cos ∠DGC ＝GC GD ＝277.方法2：因为∠BAC ＝90°，平面EACD ⊥平面ABC ，所以以点A 为原点，直线AB 为x 轴，直线AC 为y 轴，建立空间直角坐标系A －xyz ，则z 轴在平面EACD 内(如图)．设AB ＝AC ＝AE ＝2a ，由已知，得B (2a,0,0)，E (0，a ，3a )，D (0,2a ，3a )．所以EB →＝(2a ，－a ，－3a )，ED →＝(0，a,0)， 设平面EBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥EB →且n ⊥ED →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·EB →＝0，n ·ED →＝0，所以⎩⎨⎧2ax －ay －3az ＝0ay ＝0，取z ＝2，得平面EBD 的一个法向量为n ＝(3，0,2)． 又因为平面ABC 的一个法向量为n ′＝(0,0,1)． cos θ＝|cos 〈n ，n′〉|＝3×0＋0×0＋2×132＋02＋22·02＋02＋12＝277. 4.某市近郊有一块大约500 m×500 m 的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其总面积为3000 m 2，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2 m ，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地的占地面积为S m 2.(1)分别写出用x 表示y 和S 的函数关系式(写出函数定义域)； (2)怎样设计能使S 取得最大值，最大值为多少？ 解析：(1)由已知xy ＝3000,2a ＋6＝y ，则y ＝3000x(6≤x ≤500)．S ＝(x －4)a ＋(x －6)a ＝(2x －10)a＝(2x －10)·y －62＝(x －5)(y －6)＝3030－6x －15000x(6≤x ≤500)．(2)S ＝3030－6x －15000x≤3030－26x ·15000x＝3030－2×300＝2430.当且仅当6x ＝15000x，即x ＝50时，“＝”成立，此时y ＝60，S max ＝2430，即设计x ＝50 m ，y ＝60 m 时，运动场地面积最大，最大值为2430 m 2.。
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2020届高中数学二轮总复习 小题训练（十三） 理 新课标(湖南
专用)
时量：40分钟 满分：75分
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1.设全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤－1，x ∈R }，B ＝{y |y >1，y ∈R }，则( B )
A ．A ∪(∁U
B )＝R B ．(∁U A )∪(∁U B )＝R
C ．A ∩(∁U B )＝∅
D ．∁U (A ∪B )＝∅
2.某校高三年级各班之间举行课间操比赛，七位评委员为某班打出的分数如下：
9.3,8.3,9.3,9.8,9.5,9.3,9.6，去掉一个最高分和一个最低分后，所得数据的平均值和方差分别为( D )
A ．9.3,0.16
B ．9.3,0.016
C ．9.4,0.16
D ．9.4,0.016
3.“a ＝－1”是“直线ax ＋(2a －1)y ＋1＝0和直线3x ＋ay ＋3＝0垂直”的( A )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
解析：直线ax ＋(2a －1)y ＋1＝0与直线3x ＋ay ＋3＝0垂直，所以3a ＋(2a －1)a ＝0，所以a ＝0或a ＝－1.
4.阅读下边的流程图，若输入a ＝6，b ＝1，则输出的结果是( A )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．0
5.已知A 、B 、C 三点共线，O 是这条直线外的一点，满足mOA →－2OB →＋OC →＝0，则点A 分
BC →的比为( A )
A ．－12
B ．－13
C.12
D.13
6.直线y ＝－x ＋2与曲线x |x |＋y 2＝4的公共点的个数是( B )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙
产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，消耗B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是( D )
A ．12万元
B ．20万元
C ．25万元
D ．27万元
解析：设甲、乙两种产品各需生产x 、y 吨，可使利润z 最大，故本题即已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ≤132x ＋3y ≤18x ≥0y ≥0，求目标函数z ＝5x ＋3y 的最大值，可求出最优解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝4，故z max ＝
15＋12＝27.
8.已知数列{a n }的通项公式a n ＝(12)n －1·[(12)n －1－13
]，则{a n }中( B ) A ．最大项为a 1，最小项为a 3
B ．最大项为a 1，最小项为a 4
C ．最大项为a 1，最小项不存在
D ．最大项不存在，最小项为a 4
解析：令(12)n －1＝x (n ∈N *)，则x ∈(0,1]，讨论y ＝x 2－13
x 在(0,1]内的单调性即得． 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上．
(一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)
9.若直线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1－2t y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝ －6 . 10.利用分数法进行4次实验得到最佳点，则其精度为 18
. 解析：利用分数法进行4次实验，就要用F 4F 5＝58代替0.618，其精度为1F 5＝18
. 11.不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解为 {x |x ≤－32，x ≠－2} . 解析：|x ＋1||x ＋2|≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ |x ＋1|≥|x ＋2|x ＋2≠0
⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋12≥x ＋22x ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＋x ＋2x ＋1－x －2≥0x ≠－2，解得x ≤－32且x ≠－2.
(二)必做题(12～16题)
12.函数y ＝lg 4－x x －3
的定义域是 (－∞，3)∪(3,4) . 13.命题“对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是 存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 .
14.给出四条曲线：①y ＝2x －1，②y ＝x ＋1x ，③y ＝tan x ，④y ＝12sin(2x －π4
)，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有 3 条．
15.已知∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABC ，若PA ＝AB ＝BC ＝1，则四面体PABC 的外接球(顶点都在球面上)的面积为 3π .
16.动点P 在平面区域C 1：x 2＋y 2≤2(|x |＋|y |)内，动点Q 在曲线C 2：(x －4)2＋(y －4)
2＝1上，则平面区域C 1的面积为 8＋4π ，|PQ |的最小值为 22－1 .
解析：平面区域C 1如图，
SC 1＝4·[12π·(2)2＋12
×2×2]＝4(π＋2)＝4π＋8. |PQ |的最小值为圆心(1,1)与圆心(4,4)的距离减去两圆半径，为4－12＋4－12－2－1＝22－1.。