高中数学选修1-1：3.1.1变化率问题-3.1.2导数的概念
人教A版高中数学选修1-1 3.1.1 变化率和导数的概念 教案
3.1.1 变化率和导数的概念一、教学目标：1.知识与技能：（1）通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程；（2）了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（3）会求具体简单函数的平均变化率和某点的瞬时变化率；2. 过程与方法通过动手计算培养学生观察、分析、比较和抽象概括的能力，体会“逼近”的思想方法；3. 情态与价值观经历从生活中的变化率问题抽象概括出平均变化率的过程，体会数学知识来源于生活，又服务于生活。
体会数学概念形成的“归纳—演绎”的模式。
二、教学重点.难点重点：导数的概念；难点：导数的概念；三、学情分析学生已有的知识结构是，进入高中后对函数的认识有了一定的积累，在两年多的时间里从生活和与其他学科的交汇中逐步提高了这方面的能力，在物理学中已经学习过加速度的定义（是速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值），抽象概括思想也逐步深入学生心中，转化成了学生自己的知识技能，这些为学好平均变化率奠定扎实的基础．四、教学方法通过观察.类比.思考.交流和讨论等.五、教学过程新课引入利用幻灯片展示微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接关系。
导数是微积分的核心概念之一。
它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）等问题最一般、最有效的工具，也是解决运动、速度、等实际问题的最有力的工具。
引出学习本章的意义及重要性。
设计意图：利用熟悉的问题激发学生的兴趣与情感，为新课程的自然引入提供契机。
六、自主学习1、曲线上一点处的切线斜率不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f k PQ --=， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0，∴xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。
高中数学选修1-1第三章 变化率与导数2_导数的概念及其几何意义2_1导数的概念
2.1导数的概念一、教学目标：1.知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。
2.过程与方法：(1)通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力;(2)通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。
3.情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.二、教学重点：了解导数的概念及求导数的方法。
教学难点：理解导数概念的本质内涵三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）复习：设函数)(x f y =，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从)(0x f 变到)(1x f ，函数值y 关于x 的平均变化率为当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值（这个值称为：当x 1趋于x 0时，平均变化率的极限），那么这个值就是函数)(x f y =在点x 0的瞬时变化率。
（二）探究新课在数学上，称瞬时变化率为函数)(x f y =在点x 0的导数，通常用符号)(0x f '表示，记作例1一条水管中流过的水量y （单位：3m ）是时间x （单位：s ）的函数x x f y 3)(==。
求函数)(x f y =在x =2处的导数)2(f '，并解释它的实际意义。
解：当x 从2变到2＋Δx 时，函数值从3×2变到3（2＋Δx ），函数值y 关于x 的平均变化率为3323)2(3)2()2(=∆∆=∆⨯-∆+=∆-∆+xx x x x f x f （3m /s ）. 当x 趋于2，即Δx 趋于0时，，平均变化率趋于3，所以3)2(='f （3m /s ）.导数)2(f '表示当x =2s 时水流的瞬时变化率，即水流的瞬时速度。
也就是如果水管的中的水以x =2s 时的瞬时速度流动的话，每经过1s ，水管中流过的水量为33m 。
人教A版高中数学选修1-1精品教案 1.1变化率问题、1.2 导数的概念(含答案)
§3．1.1 变化率问题
§3．1.2 导数的概念
【学情分析】：
本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次：
1、借助气球膨胀率问题，了解变化率的含义；借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义.
2、以速度模型为出发点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数内涵.
学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨，以便顺利地使学生形成导数的概念。
【教学目标】：
知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.
【教学重点】：
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.
【教学难点】：
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义. )()0t s t t t
+-根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移
来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于
)()000t t t s t t
→→-。
高中数学(人教A版选修1-1)课件3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念
课 标 研 读
1.考纲要求 (1)了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内 涵． (2)通过函数图像直观地理解导数的几何意义． (3)能根据导数的定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝ 1 x ，y＝ x，y＝ x的导数．
3
(4)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四 则运算法则求简单函数的导数． (5)会使用导数公式表．
2．设物体的运动方程为S＝S(t)，如果一个物体在时刻t0 时位于S(t0)，在时刻t0＋Δt这段时间内，物体的位置增量是 ΔS＝S(t0＋Δt)－S(t0)．那么位置增量ΔS与时间增量Δt的比， St0＋Δt－St0 就是这段时间内物体的________，即 v ＝ . Δt
当这段时间很短，即 Δt 很小时，这个平均速度就接近时 刻 t0 的速度．Δt 越小， v 就越接近于时刻 t0 的速度，当 Δt→0 St0＋Δt－St0 ΔS 时，这个平均速度的极限 v＝lim Δt ＝lim 就 Δt Δt→0 Δt→0 是物体在时刻 t0 的速度即为________．
(6)了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究 函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间． (7)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以 及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小 值． (8)通过利润最大、用料最省、效率最高等优化问题， 体会导数在解决实际问题中的作用．
(3)要有意识解答一些导数与解析几何、函数单调性、函 数极值、最值、方程、不等式、代数不等式的证明等知识交 汇的综合题，提高综合解题的能力．
3． 1
变化率与导数
3．1.1 变化率问题 3．1.2 导数的概念
高中数学3.1.1-2变化率问题导数的概念课件新人教A版选修1-1
6.导数的பைடு நூலகம்念理解不明
[典例]
已知
f(x) 在
x ＝ x0 处 的 导 数 为
4
，
则
lim
Δx→0
fx0＋2ΔΔxx－fx0＝________.
[随堂即时演练]
1．已知函数 y＝2x2－1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，1
＋Δy)，则ΔΔxy等于
()
A．4
B．4x
C．4＋2Δx
D．4＋2(Δx)2
3.1
变化率与导数
3．1.1 & 3.1.2 变化率问题 导数的概念
平均变化率 [提出问题] 假设下图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直 角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数 y＝f(x)表示．
导数的概念
[提出问题] 一质点的运动方程为 s＝8－3t2，其中 s 表示位移，t 表示时间． 问题 1：试求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度． 提示：ΔΔst＝8－31＋ΔtΔ2t－8＋3×12＝－6－3Δt. 问题 2：当 Δt 趋近于 0 时，“问题 1”中的平均速度趋近于什么？ 如何理解这一速度？ 提示：当 Δt 趋近于 0 时，ΔΔst趋近于－6.这时的平均速度即 为 t＝1 时的瞬时速度．
解析：ΔΔxy＝21＋ΔxΔx2－1－1＝4＋2Δx. 答案：C
求函数的平均变化率
[例 1] 求函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变 化率，并求当 x0＝2，Δx＝0.1 时平均变化率的值．
[解] 函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化 率为fxx0＋0＋ΔΔxx－－fxx0 0
＝[3x0＋Δx2＋Δx2]－3x02＋2＝6x0·ΔxΔ＋x3Δx2＝6x0＋3Δx. 当 x0＝2，Δx＝0.1 时， 函数 y＝3x2＋2 在区间[2,2.1]上的平均变化率为 6×2＋3×0.1 ＝12.3.
选修1-1：3.1.2导数的概念
§3.1.2 导数的概念学习目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数.学习过程： 一、 创设情景道路限速有两种方式，一种是区间测速，另一种是点位测速，你能说明两者是如何工作吗？(一) 复习：1.平均变化率：2.某点附近处的平均片花变化率：3.几何意义(二) 探究计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: (1) 运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 二、学习新知1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况:思考: 当t ∆趋近于0时,平均速度v 有什么样的变化趋势？结论:小结:2.导数的概念函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是:0000()()lim lim x x f x x f x f x x ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 称它为函数()y f x =在0x x =出的导数,记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆说明: (1)导数'0()f x 即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率;(2)0x x x ∆=-,当0x ∆→时,0x x →,所以000()()()lim xxf x f x f x x x →-'=-.三、典例分析例1 (1)求函数23x y =在1=x 处的导数.(2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 分析: 先求)()(00x f x x f y f -∆+=∆=∆,再求x y ∆∆,最后求xyx ∆∆→∆0lim . 解: (1)(2)例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh 时,原油的温度(单位:C )为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解:注: 一般地,'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况.四、课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为.2.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数.3.例2中,计算第3h 时和第5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.五、课堂反馈2．下列各式中正确的是（ ）A xx f x x f y x x x ∆-∆-=→∆=)()(|000'limB xx f x x f x f x ∆∆-∆-=→∆)()()(000'limC xx f x x f y x x x ∆+∆+=→∆=)()(|000'limDxx x f x f x f x ∆∆--=→∆)()()(0000'lim3．设4)(+=ax x f ，若2)1('=f ，则a 的值（ ）A 2B . －2C 3D －34．任一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23t t s -=，则物体的初速度是（ ） A 0 B 3 C －2 D t 23-5．函数xx y 1+=， 在1=x 处的导数是6．13-=x y ，当2=x时 ，=∆∆→∆xyx l i m7．设圆的面积为A ，半径为r ，求面积A 关于半径r 的变化率。
高二文科数学选修1-1第三章导数的概念及运算带答案
导数的概念及运算[必备知识]考点1 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 1．定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δ x →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δ x →0 ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δ x →0ΔyΔx ＝lim Δ x →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 2．几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 考点2 基本初等函数的导数公式若y ＝f (x )，y ＝g (x )的导数存在，则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 考点4 复合函数的导数设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u ′＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′＝f ′(u )，则复合函数y ＝f [φ(x )]在点x 处也有导数y ′x ＝f ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [必会结论]1．f ′(x 0)与x 0的值有关，不同的x 0，其导数值一般也不同． 2．f ′(x 0)不一定为0，但[f (x 0)]′一定为0.3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 4．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 一、疑难辨析判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) 2．曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) 3．与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )4．对于函数f (x )＝－x 2＋3x ，由于f (1)＝2，所以f ′(1)＝2′＝0.( )5．物体的运动方程是s ＝－4t 2＋16t ，则该物体在t ＝0时刻的瞬时速度是0.( ) 6．若f (x )＝f ′(a )x 2＋ln x (a ＞0)，则f ′(x )＝2xf ′(a )＋1x .( )答案 1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.× 6.√ 二、例题练习1．已知函数()y f x =，那么下列说法错误的是( ) A.()()00y f x x f x +∆=∆-叫做函数值的增量 B.()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆叫做函数在0x 到0x x +∆之间的平均变化率 C.()f x 在0x 处的导数记为y ' D.()f x 在0x 处的导数记为()0f x '【答案】C【解析】由导数的定义可知C 错误．故选C.2. 已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________.【答案】 －12【解析】 Δy ＝⎝⎛⎭⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 3.设函数()f x 在1x =处可导，则()()11lim 2x f x f x∆→+∆--∆等于（）A ．()1f 'B ．()112f '- C ．()21f '-D ．()1f '- 【答案】B【解析】函数()f x 在1x =处()()()0111limx f x f f x ∆→+∆-'=∆()()0112lim 2x f x f x∆→+∆-=--∆，所以()()()0111lim122x f x f f x ∆→+∆-'=--∆．4．若函数()y f x =在区间(),a b 内可导，且()0,x a b ∈，若0()f x '=4，则()()0002limh f x f x h h→--的值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．12 【答案】C【解析】由函数()y f x =在某一点处的导数的定义可知()()()()()000000022lim2lim 282h h f x f x h f x f x h f x h h→→----'===5.若()()0003lim1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x '=__________．【答案】13【解析】由于()()()()()000000033lim 3lim 313x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆，所以()013f x '=． 6．[课本改编]曲线y ＝x 2在(1,1)处的切线方程是( ) A ．2x ＋y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x ＋y ＋1＝0 D ．2x －y －1＝0答案 D 解析 ∵y ′＝2x ，∴k ＝y ′| x ＝1＝2；故所求切线方程为：y －1＝2(x －1)即2x －y－1＝0，故选D.7．函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 由条件知f ′(5)＝－1，又在点P 处切线方程为y －f (5)＝－(x －5)，∴y ＝－x ＋5＋f (5)，即y ＝－x ＋8，∴5＋f (5)＝8，∴f (5)＝3，∴f (5)＋f ′(5)＝2. 8．函数y ＝x ·e x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．y ＝2e x B ．y ＝x －1＋eC ．y ＝－2e x ＋3eD ．y ＝2e x －e答案 D解析 函数y ＝x ·e x 的导函数是f ′(x )＝e x ＋x e x ，在点(1，e)处，把x ＝1代入f ′(x )＝e x ＋x e x ，得k ＝f ′(1)＝2e ，点斜式得y －e ＝2e(x －1)，整理得y ＝2e x －e.9．已知函数2()cos 3g x x x =+，则2()πg'=_______________．【答案】13． 【解析】因为2()sin 1g x x '=-+，所以2()πg'=2π21sin 113233-+=-=．故填13．10=')1(f _______________．【答案】e【解析】0x =得(0)1f =，∴(1)e f '=．11．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln xf f x x ='+，则(1)f '= A ．e - B ．1- C ．1D ．e【答案】B 【解析】∵函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln (0)f x x xf x ='+>，1x =代入()f x '可得(1)2(1)1f f '='+，解得(1)1f '=-．故选B ．12．若2()24ln f x x x x =--，则()0f x '>的解集为_______________． 【答案】(2,)+∞【解析】由()224ln f x x x x =--，得()()4220f x x x x'=-->，则由不等式()42200x x x-->>，得()2200x x x -->>，从而可解得2x >．故()0f x '>的解集为(2,)+∞．13.求下列函数的导数：(1)y ＝e x sin x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝x －sin x 2cos x2；(3)＝xx ln ；[解] (1)y ′＝(e x )′sin x ＋e x (sin x )′＝e x sin x ＋e x cos x . (2)因为y ＝x 3＋1x 2＋1，所以y ′＝3x 2－2x 3.(3)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝1－12cos x .14．[2015·天津高考]已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________．答案 3解析 因为f (x )＝ax ln x ，所以f ′(x )＝a ln x ＋ax ·1x ＝a (ln x ＋1)．由f ′(1)＝3得a (ln1＋1)＝3，所以a ＝3.15．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，0)【解析】曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解．又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x＝0有正实数解．∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0.16．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( ) A ．26 B ．29 C ．212 D ．215 【答案】C【解析】因为f ′(x )＝x ′·[]x －a 1x －a 2…x －a 8＋[]x －a 1x －a 2…x －a 8′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋ []x －a 1x －a 2…x －a 8′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.17．[2016·襄阳调研]曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°答案 B 解析 由y ′＝3x 2－2得y ′| x ＝1＝1，即曲线在点(1,3)处的切线斜率为1，所以切线的倾斜角为45°，故选B.18．[2016·大同质检]一点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π2B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D.⎝⎛⎦⎤π2，3π4 答案 B 解析 ∵y ′＝3x 2－1，∴tan α＝3x 2－1≥－1，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 19．[2016·深圳中学实战考试]函数y ＝x 33－x 2＋1(0<x <2)的图象上任意点处切线的倾斜角记为α，则α的最小值是( ) A.π4B.π6C.5π6D.3π4答案 D 解析 由于y ′＝x 2－2x ，当0<x <2时，－1≤y ′<0，据导数的几何意义得－1≤tan α<0，当tan α＝－1时，α取得最小值，即αmin ＝3π4. 20．[2016·山西师大附中质检]已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)根据已知得点P (2,4)是切点且y ′＝x 2，所以在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′| x ＝2＝4.所以曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′| x ＝x 0＝x 20.所以切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2,4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.21．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上的任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. 备用：1.函数f (x )＝ln x －2xx 的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝0答案 C解析 f ′(x )＝1－ln xx 2，则f ′(1)＝1，故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.2.[2014·江西高考]若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 答案 (e ，e)解析 令f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1，设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，∴x 0＝e ，此时y 0＝x 0ln x 0＝eln e ＝e ，∴点P 的坐标为(e ，e)．[2014·江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________． 答案 －3解析 由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)，得4a ＋b2＝－5.①又y ′＝2ax －b x 2，所以当x ＝2时，4a －b 4＝－72，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.3. [2016·沈阳模拟]若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是( ) A ．1 B.164C ．1或164D ．1或－164[正解] 易知点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上， (1)当O (0,0)是切点时，同上面解法．(2)当O (0,0)不是切点时，设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2.①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②由①，②联立，得x 0＝32(x 0＝0舍)，所以k ＝－14，∴所求切线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0.依题意，Δ＝116－4a ＝0，∴a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.[答案] C[2016·沈阳模拟]若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7答案 A解析 ∵y ＝x 3，∴y ′＝3x 2.设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为：y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，得a ＝－1. 综上，a ＝－1或a ＝－2564.故选A.。
高中数学 选修1-1 23.变化率与导数
23.变化率与导数教学目标 班级____姓名________1.通过具体的自然现象，认识函数的平均变化率.2.掌握变化率的基本概念.3.理解变化率的物理意义及几何意义.教学过程一、变化率的概念.1.反映变化快慢的量，就是我们要研究的变化率.2.定义：我们把1212)()(x x x f x f --称为函数)(x f y =从1x 到2x 的平均变化率. 习惯上，用x ∆表示12x x -，即12x x x -=∆.（x ∆是相对于1x 的变化量，可能大于0，可能小于0，但不能等于0.）类似12y y y -=∆. 平均变化率可表示为x y ∆∆或x x f x x f ∆-∆+)()(11. 3.变化率的两个应用：（1）物理意义：平均速度.（2）几何意义：割线斜率.二、导数.1.瞬时变化率：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000，我们称它为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)('0x f 或0|'x x y =，即xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(l i m l i m )('00000. 2.瞬时速度：tt s t t s v t ∆-∆+=→∆)()(lim 1101. 3.切线斜率：xx f x x f k x ∆-∆+=→∆)()(lim 110. 三、例题分析.1.求平均变化率.例1：求函数652+=x y 在[2,4]内的平均变化率.练1-1：已知函数532)(2-+=x x x f ，当41=x ，1=∆x 时，求函数增量y ∆和平均变化率xy ∆∆.练1-2：某盏路灯距离地面高8m ，一个身高2m 的人从路灯下出发，以1m/s 的速度匀速沿直线离开路灯，求人影长度的平均变化率.2.求函数在某处的导数.例2：利用导数的定义，求函数x x x f 3)(2+-=在2=x 处的导数.练2：求函数x x y 232-=在1=x 处的导数.作业：求32)(2+-=x x x f 在4=x 处的导数.。
高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课件新人教A版选修1-1
求平均变化率的主要步骤 1．计算函数值的改变量 Δy＝f(x2)－f(x1)． 2．计算自变量的改变量 Δx＝x2－x1. 3．得平均变化率ΔΔyx＝fxx22－－xf1x1.
求瞬时速度
若一物体的运动方程为 s＝239t2＋＋32，t－t≥332，0≤t<3， (路程单位： m，时间单位：s)．求：
2．函数 f(x)在 x＝x0 处的导数
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的_瞬__时__变__化__率_____称为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导
数，记作_____f_′_(x_0_)或__y_′_|x_＝__x_0________，即 f′(x0)＝lim Δx→0
ΔΔyx＝_Δlix_m→_0__f_x_0＋__Δ_Δ_xx_－__f_x_0.
lim
Δx→0
ΔΔyx不存在；
(2)当对ΔΔxy取极限时，一定要把ΔΔyx变形到当 Δx→0 时，分母是一个非零常数
的形式．
[构建·体系]
1．已知函数 y＝f(x)＝x2＋1，当 x＝2，Δx＝0.1 时，Δy 的值为( )
A．0.40
B．0.41
C．0.43
D．0.44
【解析】 ∵x＝2，Δx＝0.1，
教材整理 2 导数的概念
阅读教材 P74 导数的概念～P75 例 1 以上部分，完成下列问题． 1(1．)定函义数式y：＝Δfl(ixxm→)0在ΔΔxxy＝＝x_Δ0l_ix处_m→_0的_f_瞬x_0_＋时__Δ变_Δx_x化_－_率_f_x_0_ _. (2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 0 时，___平__均__变__化__率___趋 近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．
[探究共研型] 函数在某点处的导数 探究 导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？ 【提示】 导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度．
人教版高中数学选修1-1课件：3.1.2 导数的概念
教学建议
2．对于导数定义：在定义 f′(x0)＝
∆������ ∆������
＝
������
������0+∆������ −������ ∆������
������0
给出后，可以给出定义的
几种变化形式： f′(x0)＝
∆������ ∆������
＝
������ ������0 −������ ������0−∆������ ；
������0−∆������ −������ ∆������
������0
的形式．
③函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量 Δx 取值
越小，越能准确体现函数的变化情况．
备课素材
3．函数在某点的导数即为函数在该点的瞬时变化率，就是在该点的函 数改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个数值，不是变 数．它是一个局部概念，它与函数y＝f(x)在点x0处及其附近的函数值有 关，与Δx无关．
重点难点
[重点] 瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念． [难点] 导数的概念．
教学建议
1．学生此前没接触过极限概念，现在遇到了极限自然会产生疑问，为了帮助学生 理解，教师需要描述、解释、举例、补充，实践说明，将函数极限知识提前讲一 些，淡化形式，重在极限思想的描述．注意“适度”提出函数的极限，不去追求 理论上的抽象性和严谨性．
(3)求平均变化率∆������＝������ ������0+∆������ −������ ������0 ，要注意 Δx，Δy 的值可正，可负，但 Δx≠0，
∆������
∆������
Δy 可为零，若函数 f(x)为常函数，则 Δy＝0.
备课素材
高中数学选修(1-1)3.1.1变化率与导数
中，平均速度是( )
A．4
B．4.1
C．0.41
D．－1.1
解析： v ＝ΔΔst＝8＋2.21.21－－28＋22＝2.102－.1 22＝4.1， 答案：B
9
3．函数 f(x)在 x＝x0 处的导数可表示为( ) A．f′(x0)＝Δlixm→0fx0＋ΔΔxx－fx0 B．f′(x0)＝ lim [f(x0＋Δx)－f(x0)]
20
[解] f(x)＝2x2＋3x－5， ∴Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1) ＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2·x21＋3·x1－5) ＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx ＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.
21
(1)当 x1＝4，Δx＝1 时，Δy＝2＋(4×4＋3)×1＝21， ∴ΔΔxy＝211＝21； (2)当 x1＝4，Δx＝0.1 时， Δy＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92， ∴ΔΔxy＝10.9.12＝19.2；
答案：A
11
4．已知函数 y＝f(x)＝－x2＋x 的图象上一点(－1，－2) 及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔΔxy＝______.
解析：Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋ Δx)－(－2)＝－(Δx)2＋3Δx，所以ΔΔxy＝－ΔxΔ2x＋3Δx＝3－Δx， 故应填 3－Δx.
答案：3－Δx
12
5．求函数 y＝x2 在点 x＝1 处的导数． 解：Δy＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2， ∴ΔΔxy＝2＋Δx.y′|x＝1＝Δlixm→0(2＋Δx)＝2.
13
14
1.函数的平均变化率的理解 定义中的 x1，x2 是指其定义域内不同的两个数，记 Δx ＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则当 Δx≠0 时，fxx22－－xf1x1＝ΔΔxy 称作函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率，理解平均变化率 应注意以下几点：
3.1.1_变化率问题_3.1.2导数的概念_教案(人教A版选修1-1)
3．1 变化率与导数3．1.1变化率问题3．1.2导数的概念●三维目标1.知识与技能通过大量的实例的分析，让学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数．2．过程与方法通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法．●重点、难点重点：了解导数概念的形成，理解导数有内涵．难点：在平均变化率的基础上探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵．通过列举大量实例增强学生对导数概念形成的理解，以化解重点；通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点．实例：(1)当你吹气球时会发现随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的会越来越慢．(2)从高空放下一件物体，随着时间的变化，物体下降的速度会越来越快．1．如何用数学的观点刻画物体运动的快慢？【提示】可以运用平均变化率来刻画．2．实例(2)中，当t1≈t2时刻时，平均变化率有什么样的特点？【提示】平均变化率接近t1或t2时刻的速度．1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，在哪一点附近平均变化率最大？【思路探究】 (1)Δx 、Δy 分别为多少？(2)平均变化率怎么求？(3)哪一点附近的平均变化率大？【自主解答】 在x ＝1附近的平均变化率为 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－1＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)＝(2＋Δx )2－22＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx .若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1＜k 2＜k 3，故在x ＝3附近的平均变化率最大．1．解答本题的关键是弄清在某点处自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy .2．求函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的三个步骤 (1)求自变量的增量：Δx ＝x 2－x 1. (2)求函数值的增量：Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (3)作商求函数的平均变化率：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小．【解】 函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为sin π6－sin 0π6－0＝3π，在π3到π2之间的平均变化率为sin π2－sin π3π2－π3＝3(2－3)π. ∵2－3＜1，∴3π＞3(2－3)π.∴函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为3(2－3)π，且在0到π6之间的平均变化率较大．s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 (t ≥3)29＋3(t －3)2(0≤t ＜3) 求(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度． (2)物体的初速度v 0.【思路探究】 (1)求物体在[3,5]内的平均速度应选择哪一段函数的解析式？(2)物体的初速度v 0的含义是什么？如何去求？【自主解答】 (1)∵物体在t ∈[3,5]内时，s ＝3t 2＋2，且时间增量Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs ＝f (0＋Δt )－f (0)＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为li m Δt →0 ΔsΔt＝li mΔt →0 (3Δt －18)＝－18， 即物体的初速度为－18 m/s.1．解答本例首先要弄清第(1)问是求平均变化率，而第(2)问实际上是求t ＝0时的瞬时速度(即瞬时变化率)．2．求瞬时速度应先求平均速度v ＝Δs Δt ，再用公式v ＝li mΔt →0 ΔsΔt，求得瞬时速度． 3．如果物体的运动方程是s ＝s (t )，那么函数s ＝s (t )，在t ＝t 0处的导数，就是物体在t ＝t 0时的瞬时速度．一辆汽车按规律s ＝2t 2＋3做直线运动，求这辆车在t ＝2时的瞬时速度(时间单位：s ，位移单位：m)．【解】 设这辆车在t ＝2附近的时间变化量为Δt ，则位移的增量Δs ＝[2(2＋Δt )2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt ＋2(Δt )2，Δs Δt ＝8＋2Δt ，当Δx 趋于0时，平均变化率ΔsΔt 趋于8. 所以，这辆车在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s.【思路探究】 求Δy →求ΔyΔx→取极限→得f ′(1) 【自主解答】 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[3(1＋Δx )2＋a (1＋Δx )＋b ]－(3＋a ＋b )＝3(Δx )2＋(6＋a )Δx .Δy Δx ＝3(Δx )2＋(6＋a )Δx Δx＝3Δx ＋6＋a . li mΔx →0 ΔyΔx＝li mΔx →0 (3Δx ＋6＋a )＝6＋a . ∴f ′(1)＝6＋a .1．求函数f (x )在某点处导数的步骤与求瞬时变化率的步骤相同，简称：一差、二比、三极限．2．利用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的两个注意点(1)在求平均变化率Δy Δx 时，要注意对Δy Δx 的变形与约分，变形不彻底可能导致li mΔx →0 ΔyΔx 不存在．(2)当对Δy Δx 取极限时，一定要把ΔyΔx变形到当Δx →0时，分母是一个非零常数的形式．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值．【解】 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －(a ＋c )＝2a ·Δx ＋(Δx )2，∴Δy Δx ＝2a ·Δx ＋(Δx )2Δx＝2a ＋Δx . 因此f ′(1)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(2a ＋Δx )＝2a .∴2a ＝2，a ＝1.求物体的瞬时速度、初速度时要注意步骤的规范性(12分)(2013·长沙高二检测)一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度．【思路点拨】 本题已知函数解析式，求初速度即t ＝0时的瞬时速度，t ＝2时的瞬时速度和t ∈[0,2]时的平均速度，可以用一差、二比、三极限的方法．【规范解答】 (1)当t ＝0时的速度为初速度． 在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]，∴Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02)＝3Δt －(Δt )2，2分 Δs Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt＝3－Δt ，3分 lim Δt →ΔsΔt ＝lim Δt →0(3－Δt )＝3.4分 ∴物体的初速度为3. (2)取一时间段[2,2＋Δt ]，∴Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22)＝－Δt －(Δt )2，6分 Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt＝－1－Δt ，7分 lim Δt →ΔsΔt ＝lim Δt →0(－1－Δt )＝－1，8分 ∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1. (3)当t ∈[0,2]时，Δt ＝2－0＝2.Δs ＝s (2)－s (0)＝(3×2－22)－(3×0－02)＝2 10分 v ＝Δs Δt ＝22＝1.∴在0到2之间，物体的平均速度为1.12分解答此类问题首先要理解概念与公式的内涵，其次在解题过程中要严格按规定步骤解答，切忌跨步，以免出错．1．平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx 趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．2．函数在一点处的导数，就是在该点函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个定值，不是变数.1．已知物体位移公式s ＝s (t )，从t 0到t 0＋Δt 这段时间内，下列说法错误的是( ) A ．Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)叫做位移增量B.Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 叫做这段时间内物体的平均速度 C.ΔsΔt 不一定与Δt 有关 D.lim Δt →ΔsΔt叫做这段时间内物体的平均速度 【解析】 D 错误，应为t ＝t 0时的瞬时速度． 【答案】 D2．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43D ．0.44【解析】 ∵x ＝2，Δx ＝0.1，∴Δy ＝f (2＋0.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41. 【答案】 B3．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b【解析】Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝a ＋b ·Δx ，f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(a ＋b ·Δx )＝a . 【答案】 C4．一物体运动的方程是s ＝3＋t 2，求物体在t ＝2时的瞬时速度．【解】 Δs ＝(2＋Δt )2－4＝4Δt ＋(Δt )2.∴ΔsΔt＝4＋Δt .∴当Δt →0时，瞬时速度为4.一、选择题1．已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2【解析】 Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2.∴Δy Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx . 【答案】 C2．自由落体运动的公式为s ＝s (t )＝12gt 2(g ＝10 m/s 2)，若v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt ，则下列说法正确的是( )A ．v 是在0～1 s 这段时间内的速度B ．v 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．5Δt ＋10是物体在t ＝1 s 这一时刻的速度D ．5Δt ＋10是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度【解析】 由平均速度的概念知：v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝5Δt ＋10.故应选D.【答案】 D3．(2013·惠州高二检测)某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t (t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )A.12316米/秒B.12516米/秒 C ．8米/秒 D.674米/秒【解析】 ∵ΔsΔt＝(4＋Δt )2＋34＋Δt －16－34Δt ＝(Δt )2＋8Δt ＋－3Δt 4(4＋Δt )Δt＝Δt ＋8－316＋4Δt ，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝8－316＝12516.【答案】 B4．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( )A ．k 1＜k 2B ．k 1＞k 2C ．k 1＝k 2D ．无法确定【解析】 k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝2x 0－Δx ，而Δx 可正可负，故k 1、k 2大小关系不确定．【答案】 D5．已知点P (x 0，y 0)是抛物线y ＝3x 2＋6x ＋1上一点，且f ′(x 0)＝0，则点P 的坐标为( ) A ．(1,10) B ．(－1，－2) C ．(1，－2)D ．(－1,10)【解析】 Δy ＝3(x 0＋Δx )2＋6(x 0＋Δx )－3x 20－6x 0＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2＋6Δx ，∴lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(6x 0＋3Δx ＋6)＝6x 0＋6＝0. ∴x 0＝－1，y 0＝－2. 【答案】 B 二、填空题6．(2013·洛阳高二检测)一小球沿斜面自由滚下，其运动方程是s (t )＝t 2, (s 的单位：米，t 的单位：秒)，则小球在t ＝5时的瞬时速度为________．【解析】 v ′(5)＝lim Δt →s (5＋Δt )－s (5)Δt ＝lim Δt →0(10＋Δt )＝10【答案】 10米/秒7．已知函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 【解析】 f ′(1)＝lim Δx →a (1＋Δx )＋4－a －4Δx ＝lim Δx →0 a ΔxΔx＝2，∴a ＝2.【答案】 28．若函数f (x )在x ＝a 处的导数为m ，那么lim Δx →f (a ＋Δx )－f (a －Δx )Δx＝________.【解析】 ∵lim Δx →f (a ＋Δx )－f (a )Δx ＝m ，则lim Δx →0 f (a －Δx )－f (a )－Δx＝m .∴lim Δx →f (a ＋Δx )－f (a －Δx )＝lim Δx →0 f (a ＋Δx )－f (a )＋f (a )－f (a －Δx )＝lim Δx →f (a ＋Δx )－f (a )Δx ＋lim Δx →0 f (a －Δx )－f (a )－Δx＝m ＋m ＝2m .【答案】 2m 三、解答题9．已知f (x )＝(x －1)2，求f ′(x 0)，f ′(0)．【解】 ∵Δf ＝(x 0＋Δx －1)2－(x 0－1)2＝2x 0·Δx －2Δx ＋(Δx )2 ，∴Δf Δx ＝2x 0Δx －2Δx ＋(Δx )2Δx＝2x 0－2＋Δx ， f ′(x 0)＝lim Δx →ΔfΔx ＝lim Δx →0(2x 0－2＋Δx )＝2x 0－2， 把x 0＝0代入上式，得f ′(0)＝2×0－2＝＝－2. 10．设质点做直线运动，已知路程s 是时间t 的函数： s ＝3t 2＋2t ＋1.(1)求从t ＝2到t ＝2＋Δt 的平均速度，并求当Δt ＝1，Δt ＝0.1时的平均速度； (2)求当t ＝2时的瞬时速度．【解】 (1)从t ＝2到t ＝2＋Δt 内的平均速度为：Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝3(2＋Δt )2＋2(2＋Δt )＋1－3×4－2×2－1Δt＝14Δt ＋3(Δt )2Δt＝14＋3Δt .当Δt ＝1时，平均速度为14＋3×1＝17； 当Δt ＝0.1时，平均速度为14＋3×0.1＝14.3. (2)t ＝2时的瞬时速度为： v ＝lim Δt →ΔsΔt ＝lim Δt →0(14＋3Δt )＝14. 11．(2013·黄冈高二检测)枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果枪弹的加速度是a ＝5×105 m/s 2，它从枪口射出所用的时间为t 1＝1.6×10－3 s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．【解】 ∵s (t )＝12at 2，∴Δs ＝s (t 1＋Δt )－s (t 1)＝12a (t 1＋Δt )2－12at 21＝at 1Δt ＋12a (Δt )2， Δs Δt ＝at 1Δt ＋12a (Δt )2Δt ＝at 1＋12a Δt . ∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为 v ＝lim Δt →Δs Δt ＝lim Δt →0 (at 1＋12a Δt )＝at 1. 由题意a ＝5×105 m/s 2，t 1＝1.6×10－3s ， ∴v ＝at 1＝5×105×1.6×10－3＝800(m/s)，即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.。
人教高中数学选修1-1课件：3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
D.f′(x0)=b
【解析】选C. y f (x0 x) f (x0) a bgx，
x
x
f′(x0)= lim y lim (a bgx) a.
x x0
x0
3.已知函数f(x)= 1， 则 f ( 2 ) =
.
x
2
【解析】 f (
2 ) lim f (
2 x) f ( 2 )
或 y |x＝x0
lim f (x0 x) f (x0)＝lim y
x0
x
x0 x
【对点训练】
1.已知函数f(x)=20x-19,则表达式 lim f (3 x) f (3)
的值为 ( )
x0
x
A.3
B.Δx
C.3+Δx D.20
【解析】选D.因为 lim f (3 x) f (3)
【对点训练】
1.函数y=x3在 [0，1] 上的变化率为A,在[1，2]上的变化 率为B,则 A 的值2 为 ( )
B
A.28 B. 1
C. 7 D. 4
28
4
7
【解析】选B.因为
A
(1)3 2
0
1，B
23
1
7，
所以 A 1 .
10 4
2 1
2
B 28
2.质点运动规律s=t2+3,则在时间[3,3+Δt]中,相应的
v h(0.5) h(0) 4.05（m / s）.
在1≤t0≤.52这0 段时间里的平均速度是
=-8.2(m/s).
v h(2) h(1) 2 1
结论:平均变化率概念
我们把式子__f(_x_2 )__f_(_x1_)_称为函数y=f(x)从__到__的平
2020秋高中数学人教A版选修1-1：第三章3.1-3.1.2导数的概念
[学习目标] 1.理解平均变化率、瞬时变化率的概念 (重点)． 2.了解导数概念的实际背景，理解瞬时变化率 就是导数(难点)． 3.会求函数在某点处的导数(重点)．
1．函数的变化率 变化率类型
定义
实例
平均 变化率
解：函数 f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化
率为
f（x0＋Δx）－f（x0） （x0＋Δx）－x0
＝
[3（x0＋Δx）2＋2]－（3x20＋2） Δx
＝6x0·Δx＋Δ3x（Δx）2＝6x0＋3Δx.
当 x0＝2，Δx＝0.1 时，函数 y＝3x2＋2 在区间[2，2.1]上 的平均变化率为 6×2＋3×0.1＝12.3.
2．函数 y＝f(x)，当自变量 x 由 x0 改变到 x0＋Δx 时， Δy＝( )
A．f(x0＋Δx) B．f (x 0)＋Δx C．f (x 0)·Δx D．f (x 0＋Δx)－f (x 0)
解析：函数值的改变量为 f (x 0＋Δx)－f (x 0)， 所以Δy＝f (x0＋Δx)－f (x 0)．
①当 Δx＝2 时，ΔΔxy＝－4.9×2－3.3＝－13.1； ②当 Δx＝1 时，ΔΔxy＝－4.9×1－3.3＝－8.2； ③当 Δx＝0.1 时，ΔΔxy＝－4.9×0.1－3.3＝－3.79； ④当 Δx＝0.01 时，ΔΔxy＝－4.9×0.01－3.3＝－3.349. (2)当Δx 越来越小时，函数 f(x)在区间[1，1＋Δx]上 的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.
1．思考判断(正确的打“√”，错的打“×”) (1)函数在某一点的导数与Δx值的正、负无 关．( ) (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值是Δx＝0时的平均 变化率．( ) (3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为0.( ) (4)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]点变化 快慢的物理量．( )
高中数学人教A版选修1-1优化课件：3.1 3.1.1 3.1.2 导数的概念
的方法与步骤．
难点：1.理解实际问题中的平均变化
4.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过
率．
渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背
2.理解函数在某点处的导数是
景．
本节的难点，正确理解这一概
5.了解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数．
念为进一步研究导数奠定基础.
6.掌握函数在一点处导数的定义.
探究三 变化率的应用 [典例 3] 航天飞机发射后的一段时间内，第 t 时的高度 h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其 中 h 的单位为 m，t 的单位为 s. (1)h(0)，h(1)分别表示什么； (2)求第 1 s 内高度的平均变化率； (3)求第 1 s 末高度的瞬时变化率，并说明它的意义．
又∵f ′(1)＝2，∴a＝2.
答案：2
4．若 f(x)＝x2－3x，则 f ′(0)＝________.
解析：f
′(0)＝ Δlxim→0
f0＋Δx－f0 Δx
＝ Δlxim→0
Δx2－3Δx Δx
＝Δlxim→0 (Δx－3)＝－3.
答案：－3
探究一 平均变化率的求法 [典例 1] 求函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δ x]上的平均变化率，并求当 x0 ＝2，Δx＝0.1 时平均变化率的值．
A．0.41
B．3
C．4
D．4.1
解析：ΔΔst＝3＋2.21.21－－32＋22＝4.1. 答案：D
3．设 f(x)＝ax＋4，若 f ′(1)＝2，则 a＝________.
解析：∵f(x)＝ax＋4，
∴f
′(1)＝ Δlxim→0
f1＋Δx－f1 Δx
＝Δlxim→0 a1＋Δx＋Δx4－a＋4＝a
人教A版高中数学选修1-1 3.1.1 变化率和导数的概念 素材
变化率和导数的概念---------学习要点1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率(1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1. (2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．(3)意义：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)平均变化率的几何意义：设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的斜率，如图所示．2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率3．导数的概念例1、求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 的值为13，哪一点附近的平均变化率最大？解析： 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2＋Δx ； 在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx ； 若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193， 由于k 1＜k 2＜k 3，故在x ＝3附近的平均变化率最大．类题通法：求平均变化率的步骤(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 1)－f (x 0)．(2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 1－x 0.(3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0. 要点2：求瞬时速度例2、一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度．解析：(1)当t ＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]， ∴Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02)＝3Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt ＝3－Δt ，0lim t ∆→Δs Δt ＝0lim t ∆→(3－Δt )＝3. ∴物体的初速度为3.(2)取一时间段[2,2＋Δt ]，∴Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22)＝－Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt ＝－1－Δt ， 0lim t ∆→ΔsΔt ＝0lim t ∆→(－1－Δt )＝－1， ∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1.类题通法：1．求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)．(2)求平均速度v ＝Δs Δt； (3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，Δs Δt无限趋近于常数v ，即为瞬时速度． 2．求Δy Δx(当Δx 无限趋近于0时)的极限的方法 (1)在极限表达式中，可把Δx 作为一个数来参与运算；(2)求出Δy Δx的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可． 要点3：求函数在某点处的导数例3、 (1)函数y ＝x 在x ＝1处的导数为________．(2)如果一个质点由定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3，①当t 1＝4，Δt ＝0.01时，求Δy 和比值Δy Δt； ②求t 1＝4时的导数．解析： (1)Δy ＝1＋Δx －1，Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， 0lim t ∆→11＋Δx ＋1＝12，所以y ′|x ＝1＝12. 答案：(1)12(2)解：①Δy ＝f (t 1＋Δt )－f (t 1)＝3t 21·Δt ＋3t 1·(Δt )2＋(Δt )3，故当t 1＝4，Δt ＝0.01时，Δy ＝0.481201，Δy Δt＝48.120 1. ②0lim t ∆→Δy Δt ＝0lim t ∆→[3t 21＋3t 1·Δt ＋(Δt )2]＝3t 21＝48， 故函数y ＝t 3＋3在t 1＝4处的导数是48，即y ′|t 1＝4＝48.类题通法：1．用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx； (3)求极限0lim x ∆→Δy Δx.2．瞬时变化率的变形形式0limx ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx ＝0lim x ∆→f (x 0＋n Δx )－f (x 0)n Δx ＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )2Δx ＝f ′(x 0)．。