4.5层次分析法

例3
择业
面临毕业，可能有高校、科研单位、 面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等 单位可以去选择，一般依据工作环境、 单位可以去选择，一般依据工作环境、工资待遇 发展前途、住房条件等因素择业。 、发展前途、住房条件等因素择业。 例4 科研课题的选择 由于经费等因素， 由于经费等因素，有时不能同时开展几个课 一般依据课题的可行性、应用价值、 题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价 被培养人才等因素进行选题。 值、被培养人才等因素进行选题。
一. 层次分析法的基本步骤
1 建立层次结构模型
选择旅游地
如何在3个目的地中按照景色、 如何在3个目的地中按照景色、费 居住条件等因素选择. 用、居住条件等因素选择.
O(选择旅游地 选择旅游地) 选择旅游地
目标层
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
w3(3)
λ4
w4(3)
λ5
w5(3)
组合权向量
层对第2层的计算结果 第3层对第 层的计算结果 层对第 k 1 0.595 0.277 0.129 3.005 0.003 2 0.082 0.236 0.682 3.002 0.001 3 0.429 0.429 0.142 3 0 4 0.633 0.193 0.175 3.009 0.005 5 0.166 0.166 0.668 3 0
组合 权向量
层对第1层的权向量 第2层对第 层的权向量 层对第
第1层O 层 第2层C1,…Cn 层 第3层P1, …Pm 层
w = (w1 ,⋯, wn )
( 2) ( 2)
( 2) T
层对第2层各元素的权向量 第3层对第 层各元素的权向量 层对第
(3) (3) (3) T
w k = ( w k 1 , ⋯ , w km ) , 3)
λk
CI k
w(2) 0.263 0.475 0.055 0.090 0.110
RI=0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验 方案P 对目标的组合权重为0.595×0.263+ …=0.300 方案 1对目标的组合权重为 × 方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T
1 2 A = 1/ 4 1/ 3 1/ 3 1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5 4 7 1 2 3 3 5 1/ 2 1 1 3 成对比较阵 5 A~成对比较阵 1 / 3 是正互反阵 A是正互反阵 1 1
要由A确定 要由 确定C1,… , Cn对O的权向量 确定 的权向量
w1 w 1 w2 A = w1 ⋯ ⋯ wn w1
w1 w2 w w w w
2 2
⋯ ⋯
n 2
⋯
w1 wn w2 wn wn wn
• A的秩为 ，A的唯一非零特征根为 的秩为1， 的唯一非零特征根为 的唯一非零特征根为n 的秩为 一致阵 性质 • A的任一列向量是对应于 的特征向量 的任一列向量是对应于n 的任一列向量是对应于 • A的归一化特征向量可作为权向量 的归一化特征向量可作为权向量 对于不一致(但在允许范围内 的成对 对于不一致 但在允许范围内)的成对 但在允许范围内 比较阵A， 比较阵 ，建议用对应于最大特征根λ 的特征向量作为权向量w 的特征向量作为权向量 ，即
例1 购物 买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、 买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价 外形等方面的因素选择某一支钢笔。 格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。 买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因 买饭，则要依据色、 素选择某种饭菜。 素选择某种饭菜。 例2 旅游 假期旅游，是去风光秀丽的苏杭， 假期旅游，是去风光秀丽的苏杭，还是去迷人 的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林， 的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会 依据景色、费用、食宿条件、 依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去 哪个地方。 哪个地方。
n −1
为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI——随机模 为衡量 的大小，引入随机一致性指标 随机模 拟得到a 形成A，计算CI 即得RI。 拟得到 ij , 形成 ，计算 即得 。 Saaty的结果如下 的结果如下
n RI 1 2 10 11 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 当CR<0.1时，通过一致性检验 时 3 4 5 6 7 8 9
成对比较阵和权向量 成对比较的不一致情况
1 A= 2 ⋯⋯
1/ 2 1
4 ⋯ 7 ⋯
a12 =1/ 2 (C1 : C2 )
a13 = 4 (C1 : C3 )
不一致 一致比较
a23 = 8 (C2 : C3 )
w1 w1 w w2 1 w2 w2 w2 A = w1 ⋯ ⋯ wn wn w2 w1 w1 wn w2 wn wn wn
定义一致性比率 CR = CI/RI
准则层对目标的成对比较阵 选择旅游地” “选择旅游地”中 准则层对目标的权 向量及一致性检验 最大特征根λ=5.073
1 2 A = 1/ 4 1/ 3 1/ 3 1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5 4 7 1 2 3 3 5 1/ 2 1 1 3 5 1 / 3 1 1
构造矩阵
W ( 3 ) = [ w1( 3 ) , ⋯ , wn( 3 ) ]
则第3层对第 层的组合权向量 则第 层对第1层的组合权向量 层对第 层对第1层的组合权向量 第s层对第 层的组合权向量 层对第
w
(3)
=W w
( 3)
(2)
w =W W
(s) (s)
( s−1)
⋯W w
( 3)
( 2)
其中W 是由第p层对第 其中 (p)是由第 层对第 p-1层权向量组成的矩阵 层权向量组成的矩阵
2 构造两两比较矩阵 成对比较阵 和权向量 元素之间两两对比， 元素之间两两对比，对比采用相对尺度
设要比较各准则C 对目标O的重要性 设要比较各准则 1,C2,… , Cn对目标 的重要性 1 Ci : Cj ⇒ aij A = (aij ) n×n , aij > 0, a ji = , aii = 1 aij 选 择 旅 游 地
1 B1 = 1 / 2 1 / 5 2 1 1/ 2 5 2 1
方案层对C 费用 费用) 方案层对 2(费用 的成对比较阵
1 1/ 3 1/8 B2 = 3 1 1 / 3 8 3 1
方案层对C 居住 方案层对C 饮食 方案层对C 旅途 居住) 饮食) 旅途) 方案层对 3(居住 方案层对 4(饮食 方案层对 5(旅途 的成对比较阵 的成对比较阵 的成对比较阵
Aw = λ w
成对比较阵和权向量 比较尺度a 比较尺度 ij Saaty等人提出 等人提出1~9尺度 尺度——aij 取值 等人提出 尺度 1,2,… , 9及其互反数 及其互反数1,1/2, … , 1/9 及其互反数
• 便于定性到定量的转化： 便于定性到定量的转化：
尺度
a ij
1 相同
2
3 稍强
权向量(特征向量 =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T 权向量 特征向量)w 特征向量 一致性指标 CI = 5 .073 − 5 = 0 .018 5 −1 查表) 随机一致性指标 RI=1.12 (查表 查表 一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1 一致性比率 通过一致 性检验
选择旅游地” “选择旅游地”思维过程的归 纳 • 将决策问题分为 个层次：目标层 ，准则层 ， 将决策问题分为3个层次 目标层O，准则层C， 个层次： 方案层P；每层有若干元素， 各层元素间的关系 方案层 ；每层有若干元素， 用相连的直线表示。 用相连的直线表示。 • 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方 通过相互比较确定各准则对目标的权重， 案对每一准则的权重。 案对每一准则的权重。 • 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的 将上述两组权重进行综合， 权重。 权重。 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 定性分析 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。
层次分析法的基本步骤
1. 建立层次分析结构模型
深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标 准 深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标—准 则或指标—方案或对象），上层受下层影响 方案或对象），上层受下层影响， 则或指标 方案或对象），上层受下层影响，而层内各因 素基本上相对独立。 素基本上相对独立。
4
5 强
6
7
8
9 绝对强
Ci : C j的重要性
明显强
aij = 1,1/2, ,…1/9 ~ Ci : C j 的重要性与上面相反 • 心理学家认为成对比较的因素不宜超过 个 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个 • 用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p (p=2,3,4,5), d+0.1~d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较 等 种比较尺度对若干实例构造成对比较 算出权向量，与实际对比发现， 尺度较优。 阵，算出权向量，与实际对比发现， 1~9尺度较优。 尺度较优
组合权向量
记第2层 准则）对第1层 目标） 记第 层（准则）对第 层（目标） (2) (2) (2) T 的权向量为 w = ( w1 , ⋯ , w n )
同样求第3层 方案 对第2层每一元素 准则)的权向量 方案)对第 层每一元素(准则 同样求第 层(方案 对第 层每一元素 准则 的权向量 方案层对C 景色 景色) 方案层对 1(景色 的成对比较阵