2019-2020年整理第六章 参数估计汇编

第六章 参数估计题型归类与解题方法1. 点估计1.1 矩估计法设总体X 的分布形式已知，m θθθ,,,21 是总体分布中的未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求m θθθ,,,21 的矩估计的步骤如下：（1）总体X 的前m 阶矩⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧======),,,()(),,,()(),,,()(21212222111m m m mmm X E X E X E θθθμμθθθμμθθθμμ （2）解（1）中的m 个方差得未知参数m θθθ,,,21⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111m m m mm μμμθθμμμθθμμμθθ （3）用样本矩∑==n i ki k X n A 11代替相应的总体k 阶矩k μ，得到m θθθ,,,21 的矩估计⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(21^212^2211^1m m m m m A A A A A A A A A θθθθθθ 例6.1 设总体X 以等概率θ/1取值θ,,2,1 ，求未知参数θ的矩估计量 解 由2/)1()/1()/1(2)/1(1)(1θθθθθμ+=⨯++⨯+⨯== X E 得121-=μθ，故θ的矩估计量为 12122^-=-=X A θ 例6.2 设总体X 的概率密度为)0(,010,),(1>⎩⎨⎧<<=-θθθθ其它x x x f求未知参数θ的矩估计量解 1)(111+===⎰-θθθμθdx x x X E ，解得 111μμθ-=，故θ的矩估计量为 XXA A -=-=1111^θ 例6.3 设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧<<-=其它,00,/)(6),(3θθθθx x x x f 求未知参数θ的矩估计量 解 2/)(6)(131θθθμ=-⋅==⎰dx x x x X E解得12μθ=，故θ的矩估计量为X A 221^==θ例6.4 设总体X 的概率密度为}exp{1),,(21221θθθθθ--=x x f )0,(21+∞<<+∞<<<-∞θθx求21,θθ的矩估计量解2121211}e x p {1)(θθθθθμθ+=--⋅==⎰+∞dx x x X E ，)(2}exp{1)(212212122221θθθθθθθμθ++=--⋅==⎰+∞dx x x X E ，解得 2122μμθ-=，21211μμμθ--=，故21,θθ的矩估计量分别为∑=--=--=n i i X X n X A A A 122121^1)(1θ，∑=-=-=n i i X X n A A 12212^2)(1θ 1.2 极大似然估计法设总体X 的分布形式已知，m θθθ,,,21 是总体分布中的未知参数，),,,(21n x x x 为样本),,,(21n X X X 的观测值，求m θθθ,,,21 的极大似然估计的步骤如下：（1） 求似然函数),,,;,,,(2121n m x x x L θθθ，若总体X 为离散型，其分布律为 ),2,1)(;,,,(}{21 ===k x P x X P k m k θθθ 则 );,,,(),,,;,,,(2112121i m ni n m x P x x x L θθθθθθ ∏==若总体X 为连续型，其概率密度为);,,,(21x f m θθθ ，则);,,,(),,,;,,,(2112121i m ni n m x f x x x L θθθθθθ ∏==（2） 求似然函数),,,;,,,(2121n m x x x L θθθ的极大值点或最大值点，若似然函数L 是关于m θθθ,,,21 的可微函数，则解以下对数似然方程组0)(ln =∂∂iL θ ),,2,1(m i = 所得解即为待估参数的极大似然估计值，若似然方程无解或似然函数不可微，则利用似然函数的性质和最大值点的意义求似然函数的最大值点（3） 用样本),,,(21n X X X 代替（2）中结果的),,,(21n x x x ，得到mθθθ,,,21 的极大似然估计量.例6.5 设总体),(~λπX n x x x ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求未知参数λ的极 大似然估计量解 因X 的分布律为),2,1,0(!}{ ===-k k e k X P k λλ故似然函数为∏=-=ni i x x e L i1!)(λλλ两边取对数得 )!l n (ln )()(ln 11∑∏==-+-=ni ni iix x n L λλλ， 令 0/))((ln 1=+-=∑=n x n d L d ni i λλ，解得 x x n ni i ==∑=11λ，故λ的极大似然估计值为x =^λ，极大似然估计量为X =^λ例6.6 设总体X 的概率密度为)0(0,00,),(>⎩⎨⎧<≥=-θθθθx x e x f x今从X 中抽取10个个体，得数据如下：1050，1100，1080，1200，1300，1250，1340，1060，1150，1150.试求θ的极大似然估计值.解 似然函数为 )0()(1≥=∏=-i ni x x e L iθθθ两边取对数得 ∑=-=ni ixn L 1ln )(ln θθθ，令 0))((ln 1=-=∑=ni i x n d L d θθθ，解得θ的极大似然估计值为 xxnni i11^==∑=θ 例6.7 求例6.4中21,θθ的极大似然估计量 解 似然函数为 )}(exp{1),(1211221θθθθθθ>--=∏=i i ni x x L两边取对数得 ∑=-+-=ni ixn n L 12212211ln ),(ln θθθθθθ，0),(ln 2121≠=∂∂θθθθnL注意到1θ>i x ，故i i x θθ≤≤=1^min 时，),(ln 21θθL 达到最大.令 01),(ln 1222212221=+--=∂∂∑=ni ixn n L θθθθθθθ，解得 11121θθθ-=-=∑=x x n ni i ，故21,θθ的极大似然估计量分别为i ni X ≤≤=1^1min θ，i ni X X ≤≤-=1^2min θ2. 点估计的评价标准2.1 无偏估计量的判断与证明例 6.8 设总体X 的期望为μ，方差为2σ，n X X X ,,,21 ；m Y Y Y ,,,21 分别是来自总体X 的两个样本，证明 ])()([2121212Y Y X X m n S mi i n i i -+--+=∑∑==是2σ的无偏估计量，其中Y X ,分别为两个样本的样本均值.证 由 =--∑=])(11[21n i i X X n E 221])(11[σ=--∑=m i i Y Y m E ，]})([])([{21)(21212Y Y E X X E m n S E mi i n i i -+--+=∑∑== 222])1()1[(21σσσ=-+--+=m n m n故2S 是2σ的无偏估计量.例6.9 设随机变量X 在区间],0[θ上服从均匀分布，θ未知， n X X X ,,,21 是来自X 的一个样本，令),,,max(21)(n n X X X X =，试证明)(n X 是θ的有偏估计量，而)(1n X nn +是θ的无偏估计量. 证 由题设知X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他，00,1)(θθx x f ，的分布函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=θθθx x x x x F ，，10/0,0)(故)(n X 的分布函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=θθθx x x x x F nn n ，，10/0,0)()()(n X 的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==-其他,00,)()(1')()(θθx x n x F x f n nn n 因01)(10)(≠+=⋅=-⎰θθθn ndx x nx X E n nn ，故)(n X 是θ的有偏估计量，因 θ=+=+)(1]1[)()(n n X E n n X n n E ，故)(1n X nn +是θ的无偏估计量.例6.10 设总体),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是来自X 的一个样本，试确定常数C ，使∑-=+-1121)(n i i i X XC是2σ的无偏估计量.解 因)1,,2,1)(2,0(~21-=-+n i N X X i i σ，故)1,0(~21N X X ii σ-+从而 )1(~2)(2221χσi i X X -+，由2χ分布的可加性得)1(~)(21211212--∑-=+n X Xn i i i χσ因 =-∑-=+])([1121n i i i X XCE CE X X CE n i i i 211212])([σ=-∑-=+])(21[11212∑-=+-n i ii X Xσ 22)1(2σσ=-=n C 故 )1(21-=n C2.2 有效性的判断与证明例6.11 设总体)1,(~μN X ，21,X X 是X 的样本，验证21^13132X X +=μ， 21^24341X X +=μ，21^32121X X +=μ都是μ的无偏估计量，并问哪一个更有效.解 μμμμ=+=+=+=3132)(31)(32)3132()(2121^1X E X E X X E Eμμμμ=+=+=+=4341)(43)(41)4341()(2121^2X E X E X X E Eμμμμ=+=+=+=2121)(21)(21)2121()(2121^3X E X E X X E E故^1μ，^2μ，^3μ都是μ的无偏估计量.95)(91)(94)3132()(2121^1=+=+=X D X D X X D D μ 85)(169)(161)4341()(2121^2=+=+=X D X D X X D D μ 21)(41)(41)2121()(2121^3=+=+=X D X D X X D D μ因219585>>，故^3μ最有效. 2.3 一致性的判断与证明通常利用大数定理、切比雪夫不等式及极限的性质来证明一致性例6.13 设总体的期望μ和方差2σ均存在，证明：（1）样本均值∑==ni i X n X 11是μ的一致估计；（2）若总体服从正态分布，则样本方差212)(11∑=--=ni i X X n S 是2σ的一致估计. 证 （1）因 n X X X ,,,21 独立同分布，且),2,1()(n i X E i ==μ，故由辛钦大数定理得 μP ni i X n X →=∑=11，即X 是μ的一致估计.（2）由抽样分布定理得)1(~)1(222--n S n χσ，故)1(2)1(22-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n S n D σ， 于是 =)(2S D 24222)1()1(1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-n S n n D σσσ12)1(422-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n S n D σσ 注意到22)(σ=S E ，由切比雪夫不等式得)(1)1(21)(1}|{|1242222∞→→--=-≥<-≥n n S D S P εσεεσ 由极限的夹逼准则得1}|{|22→<-εσS P ，所以2S 是2σ的一致估计.3. 区间估计设θ是总体分布中的未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，在给定置信水平为α-1下求置信区间的步骤如下：（1）构造一个样本函数);,,,(21θn X X X W W =，W 中除包含待估参数θ外，不能含有其他任何未知参数，并且W 的分布是已知的且不依赖于任何未知参数；（2）根据W 的分布确定常数b a ,使α-=<<1}{b W a P ；（3）对不等式b W a <<进行恒等变形得等价不等式^2^1θθθ<<，则),(^2^1θθ即为所求置信区间.下面的讨论仅限于总体是正态总体的情形.3.1 2σ已知，求μ的置信区间例6.14 一个车间生产滚珠，滚珠直径服从正态分布，从某天的产品里随机抽出5个，量得直径如下（单位：mm ）：14.6， 15.1， 14.9 ， 15.2， 15.1. 如果知道该天生产的滚珠的直径的方差是0.05，试求平均直径的置信区间.)05.0(=α解 样本均值为98.14)1.152.159.141.156.14(51=++++=x 由975.0025.01)(025.0=-=Φz ，反查标准正态分布表得96.1025.0=z ，故平均直径的置信度为95%置信区间为)176.15,784.14(505.096.198.14,505.096.198.14=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯- 3.2 2σ未知，求μ的置信区间例6.15 已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布，对10个试件做横纹抗压力实验得数据如下（单位：2/cm kg ）：482， 493， 457， 510， 446， 435， 418， 394， 469 试对该木材平均横纹抗压力进行区间估计.)05.0(=α解 样本均值为5.457)469493482(101=+++=x 样本方差 3.1240])5.457469()5.457493()5.457482[(912222=-++-+-= S 样本均方差 218.352==S S 查t 分布表得2622.2)9(025.0=t ，故平均横纹抗压力的置信度为95%置信区间为)69.482,3.432(10218.352622.25.457,10218.352622.25.457=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⨯-3.3 μ未知，求2σ的置信区间例6.16 岩石密度的测量误差服从正态分布),(2σμN ，随机抽测12个样品得2.0=S ，求2σ的置信区间. )1.0(=α解 查表得575.4)11(,675.19)11(295.0205.0==χχ，故2σ的置信度为0.9的置信区间 为 )10.0,02.0(575.42.0)112(,675.192.0)112(22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯- 3.4 2221σσ=未知，求21μμ-的置信区间例6.17 随机地从A 批导线中抽取4根，从B 批导线中抽取5根，测得其电阻（单位：Ω）为 A 批导线：0.143， 0.142， 0.143， 0.137B 批导线：0.140， 0.142， 0.136， 0.138， 0.140设测试数据分别服从正态分布),(21σμN ，),(22σμN ，且它们相互独立，又221,,σμμ未知，试求21μμ-的置信度为95%的置信区间.解A 批导线的样本均值为14125.0)137.0143.0142.0143.0(41=+++=x 样本方差 6211024.8-⨯=SB 批导线的样本均值为1392.0)140.0138.0136.0142.0140.0(51=++++=x 样本方差 6221092.5-⨯=S查t 分布表得 3646.2)7(025.0=t0042.02541092.5)15(1024.8)14(3646.2116621025.0=-+⨯⨯-+⨯⨯-⨯=+--n n S t w故21μμ-的置信度为95%的置信区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+±-21212/11)2(n n S n n t y x w α)00625.0,00214.0(= 3.5 21,μμ未知，求2221/σσ的置信区间例6.18 设两化验员B A ,独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各作10次测定，其测定值的样本方差依次为6065.0,5419.022==B A S S ，设22,B A σσ分别为B A ,所测定的测定值总体的方差，设总体服从正态分布，求方差比22/BA σσ的置信度为95%的置信区间 解 查F 分布表得03.4)9,9(025.0=F ，从而2481.0)9,9(1)9,9(025.0975.0==F F ， 故22/BA σσ的置信度为95%的置信区间为 )601.3,222.0(03.4,2481.02222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A B A S S S S。