二次函数图像的平移
二次函数中的平移与缩放
二次函数中的平移与缩放在数学中，二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数是一种非常重要的函数类型，它在几何图形的描述以及物理、经济等领域中都有广泛的应用。
本文将探讨二次函数中的平移与缩放，以帮助读者更好地理解和应用二次函数。
一、平移平移是指二次函数在坐标平面上沿着x轴或y轴方向上的移动。
平移可以使得二次函数在图像上上下左右地移动，而函数的形状保持不变。
我们将分别讨论二次函数在x轴和y轴方向上的平移。
1. x轴方向上的平移对于二次函数y = ax^2 + bx + c，我们可以通过改变c的值来实现在x轴方向上的平移。
当c的值增大时，二次函数的图像向上平移；当c的值减小时，二次函数的图像向下平移。
例如，考虑二次函数y = x^2。
当我们将c的值从0增至1时，二次函数的图像将在坐标平面上向上平移一个单位。
同样地，当我们将c的值从0减至-1时，二次函数的图像将向下平移一个单位。
2. y轴方向上的平移除了在x轴方向上的平移，我们还可以通过改变b的值来实现在y轴方向上的平移。
当b的值增大时，二次函数的图像向左平移；当b的值减小时，二次函数的图像向右平移。
以二次函数y = x^2为例，当我们将b的值从0增至1时，二次函数的图像将在坐标平面上向左平移一个单位。
反之，当我们将b的值从0减至-1时，二次函数的图像将向右平移一个单位。
二、缩放缩放是指二次函数图像的整体尺寸的改变。
通过改变a的值，我们可以实现二次函数图像在x轴和y轴方向上的缩放。
1. x轴方向上的缩放对于二次函数y = ax^2 + bx + c，当a > 1时，二次函数图像在x轴方向上被压缩；当0 < a < 1时，二次函数图像在x轴方向上被拉伸。
例如，考虑二次函数y = 2x^2。
与y = x^2相比，这个函数图像在x轴方向上被压缩了。
这意味着二次函数图像的峰值更尖锐，曲线更陡峭。
【数学知识点】二次函数的性质和平移规律
【数学知识点】二次函数的性质和平移规律一般地，把形如y=ax²+bx+c（a≠0）（a、b、c是常数）的函数叫做二次函数，下面总结了二次函数的性质和平移规律，供大家参考。
1.二次函数的图像是抛物线，抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
2.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
3.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
4.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)。
当c>0时，图像与y轴正半轴相交。
当c<0时，图像与y轴负半轴相交。
上加下减，左加右减y=a(x+b)²+c，是将y=ax²的二次函数图像按以下规律平移(1)c>0时，图像向上平移c个单位(上加上)。
(2)c<0时，图像向下平移c个单位(下减)。
(3)b>0时，图像向左平移b个单位(左加)。
(4)b<0时，图像向右平移b个单位(右减)。
一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;②二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，y=ax2+bx+c变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
③二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程y=ax2+bx+c（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
二次函数一般式的平移
二次函数一般式的平移
二次函数一般式是y=ax+bx+c，其中a、b、c为常数，代表二次函数的特征参数。
平移是将函数图像沿x、y轴方向移动一定距离的操作。
本文将介绍如何通过平移的方式改变二次函数的图像位置。
首先，我们考虑二次函数沿x轴方向平移。
如果要将二次函数
y=ax+bx+c向右平移h个单位，我们只需要将x替换为x-h，即可得到平移后的函数式为y=a(x-h)+b(x-h)+c。
同理，如果要将二次函数向左平移h个单位，可以将x替换为
x+h，即可得到平移后的函数式为y=a(x+h)+b(x+h)+c。
其次，我们考虑二次函数沿y轴方向平移。
如果要将二次函数
y=ax+bx+c向上平移k个单位，我们只需要在函数式中加上k，即可得到平移后的函数式为y=ax+bx+c+k。
同理，如果要将二次函数向下平移k个单位，只需要在函数式中减去k，即可得到平移后的函数式为y=ax+bx+c-k。
通过以上方法，我们可以轻松地将二次函数沿x、y轴方向平移。
需要注意的是，平移后二次函数的图像不会改变形状，只会改变位置。
- 1 -。
二次函数图像的转化与性质
二次函数图像的转化与性质二次函数是初中数学中的重要内容，它的图像具有独特的特点和性质。
在学习二次函数时，我们不仅需要了解它的基本形式和图像特点，还需要学习如何进行图像的转化。
本文将介绍二次函数图像的转化方法以及转化后的性质，帮助中学生更好地理解和应用二次函数。
一、平移变换平移变换是指将二次函数的图像沿着横轴或纵轴方向移动一定的单位长度。
平移变换可以改变二次函数图像的位置，但不改变其形状。
常见的平移变换有水平平移和垂直平移两种。
1. 水平平移水平平移是指将二次函数的图像沿着横轴方向移动。
具体操作是，在二次函数的自变量x中加上一个常数h，即可实现水平平移。
例如，对于二次函数y=x^2，若要将其向右平移2个单位，则可得到新的函数y=(x-2)^2。
这样，二次函数的图像将整体向右平移2个单位。
2. 垂直平移垂直平移是指将二次函数的图像沿着纵轴方向移动。
具体操作是，在二次函数的因变量y中加上一个常数k，即可实现垂直平移。
例如，对于二次函数y=x^2，若要将其向上平移3个单位，则可得到新的函数y=x^2+3。
这样，二次函数的图像将整体向上平移3个单位。
二、翻折变换翻折变换是指将二次函数的图像沿着横轴或纵轴方向翻折。
翻折变换可以改变二次函数图像的形状，但不改变其位置。
常见的翻折变换有关于x轴翻折和关于y 轴翻折两种。
1. 关于x轴翻折关于x轴翻折是指将二次函数的图像沿着x轴翻折。
具体操作是，将二次函数的因变量y取相反数，即可实现关于x轴翻折。
例如，对于二次函数y=x^2，若要将其关于x轴翻折，则可得到新的函数y=-x^2。
这样，二次函数的图像将关于x 轴对称。
2. 关于y轴翻折关于y轴翻折是指将二次函数的图像沿着y轴翻折。
具体操作是，将二次函数的自变量x取相反数，即可实现关于y轴翻折。
例如，对于二次函数y=x^2，若要将其关于y轴翻折，则可得到新的函数y=(-x)^2。
这样，二次函数的图像将关于y 轴对称。
三、性质分析通过平移变换和翻折变换，我们可以改变二次函数图像的位置和形状，从而得到新的二次函数。
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数图像平移、旋转总归纳一、二次函数的图象的平移，先作出二次函数y=2x2+1的图象①向上平移3个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2+4；②向下平移4个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2-3；③向左平移5个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x+5）2+1；④向右平移6个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x-6）2+1．由此可以归纳二次函数y=ax2+c向上平移m个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax2+c+m；向下平移m 个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax+c-m；向左平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x+n）2+c；向右平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x-n）2+c，二、二次函数的图象的翻折在一张纸上作出二次函数y=x2-2x-3的图象，⑤沿x轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是:y=x2+2x-3．⑥沿y 轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是：y=x2+2x-3由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c若沿x轴翻折，所得图象的函数表达式是:y=-ax2-bx-c，若沿y轴翻折，所得图象的函数表达式是：y=ax2-bx+c三、二次函数的图象的旋转，将二次函数y=-2x+x-1的图象，绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=221221x-x+1；由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c的图象绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=-ax2-bx-c．（备用图如下）1、（202*桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y=-（x+1）2+2 B．y=-（x－1）2+4C．y=-（x－1）2+2D．y=-（x+1）2+42、（202*浙江宁波中考）把二次函数y＝（x－1）2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为________．3、飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是s=60t-1.5t2，飞机着陆后滑行的最远距离是（）A．600m B．300mC．1200mD．400m4、（202*襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来．5、已知二次函数yax2bxc的图象与x轴交于点（－2，0），(x1，0)且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c<0，④2a－b+l＞0．其中的有正确的结论是（填写序号）__________．6、已知二次函数y＝ax2（a≥1）的图像上两点A、B的横坐标分别是－1、2，点O是坐标原点，如果△AOB是直角三角形，则△OAB的周长为。
二次函数的平移问题
二次函数的平移问题关于二次函数的平移变换问题二次函数的平移变换可以分为上下平移和左右平移两种情况。
1.上下平移对于原函数y=ax²+bx+c，若要进行上下平移，可以进行以下变换：向上平移m个单位，得到平移后的函数y=ax²+bx+c+m；向下平移m个单位，得到平移后的函数y=ax²+bx+c-m。
需要注意的是，m为正数，若m为负数，则对应的加（减）号需要改为减（加）号。
一般称这种变换为上加下减或上正下负。
2.左右平移对于原函数y=ax²+bx+c，若要进行左右平移，可以进行以下变换：先将函数化为顶点式y=a(x-h)²+k；向左平移n个单位，得到平移后的函数y=a(x-h+n)²+k；向右平移n个单位，得到平移后的函数y=a(x-h-n)²+k。
需要注意的是，n为正数，若n为负数，则对应的加（减）号需要改为减（加）号。
一般称这种变换为左加右减或左正右负。
例题：1.将抛物线y=-x²向左平移一个单位，再向上平移三个单位，平移后的表达式为（）A。
y=-(x-1)²+3B。
y=-(x+1)²+3C。
y=-(x-1)²-3D。
y=-(x+1)²-32.抛物线y=x²+bx+c向右平移两个单位，再向下平移三个单位，得到的抛物线表达式为y=x²-2x-3，则b、c的值分别为（）A。
b=2，c=2B。
b=2，c=0C。
b=-2，c=-1D。
b=-3，c=23.将函数y=x²+x的图像向右平移a（a>0）个单位，得到函数y=x²-3x+2的图像，则a的值为（）A。
1B。
2C。
3D。
44.已知二次函数y=x²-bx+1（-1≤b≤1），当b从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动。
下列关于抛物线移动方向的描述中，正确的是（）A。
二次函数图象的平移和对称变换
二次函数图象的平移、旋转、轴对称专题有关图象的变换一般可采用两种基本的方法，其一是利用特殊点进行变换，其二是利用坐标变换的规律进行变换。
所谓利用特殊点进行变换，即选取原图象上一些特殊的点，把这些点按指定的要求进行变换，再把变换后的点代入到新的解析式中，从而求出变换后的解析式，利用特殊点进行变换，又可以从一般形式入手，选取图象上的三个特殊的点进行变换，也可以把一般形式化为顶点式，选取顶点作为特殊点，然后进行变换。
利用坐标变换的方法，根据题目的要求，利用坐标变换的规律，从而进行变换。
下面由具体的例子进行说明。
一、平移。
例1、把抛物线y=x2-4x+6向左平移3个单位，再向下平移4个单位后，求其图象的解析式。
法（一）选取图象上三个特殊的点，如（0，6），（1，3），（2，2）【选取使运算最简单的点】，然后把这三个点按要求向左平移3个单位，再向下平移4个单位后得到三个新点（-3，2），（-2，-1），（-1，-2），把这三个新点代入到新的函数关系式的一般形式y=ax2+bx+c中，求出各项系数即可。
例2、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其向上平移4个单位，再向右平移3个单位，求其解析式。
法（二）先利用配方法把二次函数化成2()=-+的形式，确定其顶点（2，-3），然y a x h k后把顶点（2，-3）向上平移4个单位，再向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点为（5，1），因为是抛物线的平移，因此平移前后a的值应该相等，这样我们就得到新的抛物线的解析式中a=2，且顶点为（5，1），就可以求出其解析式了。
【平移规律：在原有函数的基础上“左加右减、上加下减”】.法（三）根据平移规律进行平移，不论哪种抛物线的形式，平移规律为“左右平移即把解析式中自变量x改为x加上或减去一个常数，左加右减，上下平移即把整个解析式加上或减去一个常数，上加下减。
”例3、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其向上平移4个单位，再向右平移3个单位，求其解析式。
二次函数专题—函数图像的平移
二次函数专题（3）——函数图像的平移我们知道图像的平移，图像本身不会发生改变，只是图像的位置发生改变。
函数图像的平移也是遵循这样原理，只是我们在平移过程中函数的解析式也发生改变，这节专题主要就是探讨函数平移与解析式的计算。
1. 基础情境：点坐标平移①水平平移：纵坐标不变横坐标加减我们以A（1,2）为例，把A往右平移2个单位到A’，很明显A’的纵坐标不变，但是横坐标变为了1+2=3，即A’（3,2）；同理把A往左平移2个单位到A’’（-1，2）②竖直平移：横坐标不变，纵坐标加减我们以A（1,2）为例，把A往上平移三个单位到A’，很明显A’的横坐标不变，但是纵坐标变为了2+3=5，即A’（1,5）；同理把A往下平移三个单位到A’’（1，-1）,如下图：2. 函数平移：一次函数图像平移①水平平移问题：我们以y=2x+2为例，把它向右平移2个单位，那么新的图像函数解析式为何？分析：由于平移过后仍然是条直线，两点决定一条直线，所以我们选取两个特殊点就可以算出新的函数表达式。
解答：选取原一次函数上两点（0,2）、（-1,0），经过平移后这两点坐标变为（2,2）和（1,0），计算得y=2x-2.观察：平移后，一次函数的系数k（2）不变，b减小了两倍（由2变为-2）推广：对于所有一次函数y=kx+b，向右平移2个单位的函数解析式怎么求？分析：可以按照上面的思路，取特殊点求取新的一次函数解析式解答：方法一：坐标法取两个特殊点（0，b）、（1，k+b），经过平移后这两点坐标变为（2,b）和（3,k+b），计算函数表达式得y=kx+b-2k。
这个式子我们还可以改写成这样y=（k-2）x+b。
反思：解析法特殊点法虽然可以帮助我们解决问题，但是需要计算，有没有更加快速的计算一次函数解析式方法？有！我们回到最初函数的定义，比如坐标系中有一个点A（x,y）,其中y=kx+b 代表是x与y之间的等量关系。
如果把A（x,y）向右平移2单位变成A’（m,y），此时m=x+2。
二次函数平移规律总结
二次函数平移规律总结二次函数是数学中一种常见的函数类型，它的一般形式为 y =ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数。
在二次函数的图像中，有一个重要的性质就是平移。
通过平移，我们可以改变函数图像的位置和形态，使其更符合我们的需求。
在本文中，我将对二次函数的平移规律进行总结，并带来一些有趣的实例。
平移是指将函数图像沿着横纵坐标轴进行移动，其目的是改变函数的位置。
对于二次函数，平移主要分为两种：平移横轴和平移纵轴。
接下来，我将分别介绍这两种平移，并给出相应的公式。
一、平移横轴平移横轴是指将函数图像在横轴方向上进行移动。
具体来说，对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，我们可以通过改变 x 的值来实现平移横轴。
1. 向左平移：将函数图像向左平移 h 个单位距离。
在公式中，将 x 替换为 (x-h)。
例如，对于函数 y = x^2 + 2x + 1，如果我们想将其向左平移 3 个单位距离，那么新的函数表示为 y = (x-3)^2 + 2(x-3) + 1。
2. 向右平移：将函数图像向右平移 h 个单位距离。
在公式中，将 x 替换为 (x+h)。
例如，对于函数 y = x^2 + 2x + 1，如果我们想将其向右平移 3 个单位距离，那么新的函数表示为 y = (x+3)^2 + 2(x+3) + 1。
二、平移纵轴平移纵轴是指将函数图像在纵轴方向上进行移动。
具体来说，对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，我们可以通过改变常数项 c 的值来实现平移纵轴。
1. 向上平移：将函数图像向上平移 k 个单位距离。
在公式中，将 c 替换为 (c+k)。
例如，对于函数 y = x^2 + 2x + 1，如果我们想将其向上平移 2 个单位距离，那么新的函数表示为 y = x^2 + 2x + (1+2)。
2. 向下平移：将函数图像向下平移 k 个单位距离。
在公式中，将 c 替换为 (c-k)。
二次函数的平移
二次函数的平移二次函数是数学中的一种基本函数，其代数表达式形式为f(x) =ax^2 + bx + c（a ≠ 0）。
在平面直角坐标系中，二次函数的图像通常呈现出一种弧形，这种弧形被称为抛物线。
二次函数的平移就是将原来的抛物线在平面上移动或改变位置的过程。
一、平移的基本概念平移是指将图形在平面上按照某个方向和距离进行移动，而不改变其形状和大小。
在二次函数中，平移可以分为水平平移和垂直平移两种情况。
1. 水平平移水平平移是指将二次函数图像沿着x轴的正方向或负方向进行移动。
当把二次函数f(x) = ax^2 + bx + c沿x轴正方向平移h个单位时，新的函数表达式变为f(x) = a(x - h)^2 + b(x - h) + c。
其中，h为平移的距离。
当h为正值时，表示向右平移；当h为负值时，表示向左平移。
2. 垂直平移垂直平移是指将二次函数图像沿y轴的正方向或负方向进行移动。
当把二次函数f(x) = ax^2 + bx + c沿y轴正方向平移k个单位时，新的函数表达式变为f(x) = a(x^2 + b + c + k)。
其中，k为平移的距离。
当k为正值时，表示向上平移；当k为负值时，表示向下平移。
二、平移对二次函数图像的影响平移操作会改变二次函数图像的位置，进而影响图像的顶点和轴对称性。
1. 顶点的变化二次函数图像的顶点是图像的最高或最低点，其坐标为顶点坐标（h, k）。
在进行水平平移时，顶点的横坐标会发生变化，新的顶点坐标为（h + X, k）。
在进行垂直平移时，顶点的纵坐标会发生变化，新的顶点坐标为（h, k + Y）。
2. 轴对称性的变化二次函数图像相对于顶点有一条垂直于x轴的对称轴。
进行平移操作后，对称轴的位置也会发生变化。
在进行水平平移时，对称轴的方程为x = h + X。
在进行垂直平移时，对称轴的方程为y = k + Y。
三、示例假设原二次函数为f(x) = x^2，在水平方向上平移3个单位，垂直方向上平移2个单位。
二次函数平移规律总结
二次函数平移规律总结二次函数是高中数学中重要的内容之一，它的图像特点丰富多彩，而二次函数的平移规律更是其中的重要内容之一。
通过对二次函数平移规律的总结，我们可以更好地理解和掌握二次函数的性质和特点。
下面，我将对二次函数平移规律进行总结，希望能为大家的学习和理解提供帮助。
首先，我们来看二次函数的一般形式：y=ax²+bx+c。
其中，a、b、c分别为二次项系数、一次项系数和常数项。
对于二次函数y=ax²+bx+c，我们可以通过平移变换得到新的二次函数。
具体来说，对于函数y=ax²+bx+c，我们可以通过以下几种平移方式得到新的二次函数：1. 上下平移，当二次函数y=ax²+bx+c上下平移h个单位时，新的二次函数为y=ax²+bx+(c+h)。
这里，如果h大于0，那么函数图像将向上平移h个单位；如果h小于0，那么函数图像将向下平移|h|个单位。
2. 左右平移，当二次函数y=ax²+bx+c左右平移k个单位时，新的二次函数为y=a(x-k)²+bx+c。
其中，如果k大于0，那么函数图像将向右平移k个单位；如果k 小于0，那么函数图像将向左平移|k|个单位。
3. 综合平移，当二次函数y=ax²+bx+c进行上下平移h个单位和左右平移k个单位时，新的二次函数为y=a(x-k)²+bx+(c+h)。
这种综合平移方式将同时对函数图像进行上下和左右的平移。
通过以上总结，我们可以得出二次函数平移规律的结论，对于二次函数y=ax²+bx+c，当对其进行上下平移h个单位和左右平移k个单位时，新的二次函数为y=a(x-k)²+bx+(c+h)。
这一规律可以帮助我们更好地理解二次函数的图像特点，也为解决相关问题提供了便利。
在实际应用中，二次函数的平移规律也有着广泛的应用。
比如在物理学中，二次函数的平移规律可以用来描述抛物线运动的轨迹；在经济学中，二次函数的平移规律可以用来描述成本、收益等关系。
二次函数图像的平移规律
7．把二次函数y=2x2-4x+5的图像, 如何平移 可得到y=2x2+4x+1的图像.
y 2x 12 6
4 4
2 2
y 2x 62 1
-10 -10
-5 -5
OO
5 5
10
xx 10
y 2x 12 1
-2
-2
y 2yx27x2312 5
-4 -4
1．抛物线的上下平移
（1）把二次函数y=(x+1)2的图像，沿y轴向 上平移３个单位，得到_y_=_(_x_+_1_)_2+__3_的图像；
y 2x －162
24Biblioteka y 2x 32上下左右
-10
-5
y
y=x2+4
8
6
4
y=x2
2
y=x2-2
O
5
x 10
-2
-4
y
8 6 4 2
-10
-5
O
5
x 10
y 2x 62 2
-2
y 2x2 2 y 2x 52 2
-4
y 2x 62 6
yy
8 8
y 2x 32 1
6 6
（2）把二次函数_y_=_x_2_+_3_的图像，沿y轴向 下平移2个单位，得到y=x 2+1的图像。
2．抛物线的左右平移 （1）把二次函数y=(x+1) 2的图像，沿x轴向 左平移３个单位，得到_y_=__(x_+_4_)_2_的图像； （2）把二次函数__y_=_(_x_+_2_)_2+__1_的图像，沿 x轴向右平移2个单位，得到y=x 2+1的图像。
九年级数学讲义二次函数的图像及平移变换讲解
九年级数学讲义二次函数的图像及平移变换讲解一、基础知识图像的平移：（1）平移：将图像F 每个点，都沿着同一个方向，移动相同的距离，得到一个新图像F '， 我们称这个过程为一次平移；常见的平移有向左（右）平移，向上（下)平移；（2）以二次函数的顶点式来说明二次函数的平移：020)(y x x a y +-=−−−−−→−个单位向左平移h 020))((y x h x a y +-+=； 020)(y x x a y +-=−−−−−→−个单位向上平移k k y x x a y ++-=020)(；归纳为：左加右减，上加下减**（3）对称：此处只学习关于x 轴、y 轴、原点对称；图形对称前后，形状、大小均保持不变。
20)(y x x a y +-=−−−−−→关于x 轴对称200()y a x x y -=-+， 即200()y a x x y =--- 020)(y x x a y +-=−−−−−→关于y 轴对称200()y a x x y =--+， 即200()y a x x y =++ 020)(y x x a y +-=−−−−−→关于原点对称200()y a x x y -=--+，即200()y a x x y =-+-二、例题解析与跟进训练：练习：求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标及与x 轴的交点坐标．（1）y=4x 2+24x+35； （2）y=﹣3x 2+6x+2；（3）y=x2﹣x+3；（4）y=2x2+12x+18．例1 已知抛物线y=ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3）和点P（t，0），且t≠0．（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；（2）若t=﹣4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．例2 已知抛物线C1的解析式是y=2x2﹣4x+5，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，求抛物线C2的解析式．例3 已知二次函数y=﹣2x2，怎样平移这个函数的图象，才能使它经过（0，1）和（1，6）两点？写出平移后的函数解析式．例4 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示．（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；（2）画出抛物线y=ax2+bx+c当x＜0时的图象；（3）利用抛物线y=ax2+bx+c，写出x为何值时，y＞0．当堂练习1．已知抛物线y=4x2﹣11x﹣3．（Ⅰ）求它的对称轴；（Ⅱ）求它与x轴、y轴的交点坐标．2．（1）请在坐标系中画出二次函数y=﹣x2+2x的大致图象；（2）在同一个坐标系中画出y=﹣x2+2x的图象向上平移两个单位后的图象；（3）直接写出平移后的图象的解析式．注：图中小正方形网格的边长为1．3．已知点A（﹣2，﹣c）向右平移8个单位得到点A′，A与A′两点均在抛物线y=ax2+bx+c上，且这条抛物线与y轴的交点的纵坐标为﹣6，求这条抛物线的顶点坐标．4．如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：（1）抛物线y2的顶点坐标；（2）阴影部分的面积S=______________；（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．5．已知二次函数的图象经过点（0，3），（﹣3，0），（2，﹣5），且与x轴交于A、B两点．（1）试确定此二次函数的解析式；（2）判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由．6．已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，﹣2），求这个二次函数的解析式．7．推理运算：二次函数的图象经过点A（0，﹣3），B（2，﹣3），C（﹣1，0）．（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移_________个单位，使得该图象的顶点在原点．8．一次函数y=x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．一个二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A，B．（1）求点A，B的坐标，并画出一次函数y=x﹣3的图象；**（2）求二次函数的解析式及它的最小值．课后挑战1．已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：（1）求该二次函数的关系式；（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．2．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．3．二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y 轴正半轴上，且AB=OC．（1）求C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值．。
初中数学 二次函数的图像的平移变换对顶点有何影响
初中数学二次函数的图像的平移变换对顶点有何影响
二次函数的图像的平移变换是指对二次函数的自变量x和因变量y进行变换，使得图像在平面上的位置发生移动。
平移变换对于二次函数的图像的顶点有以下影响：
1. 顶点的位置发生移动：平移变换会改变二次函数图像的顶点的位置。
顶点是二次函数图像的最高点或最低点，它的坐标表示为(xv, yv)。
平移变换可以使顶点向左或向右移动，也可以使顶点向上或向下移动。
2. 顶点的横坐标发生变化：平移变换会改变顶点的横坐标。
如果对二次函数的自变量x进行平移变换，使得图像在横轴方向上移动h个单位，则顶点的横坐标xv会减去h。
如果h 为正数，顶点向右移动；如果h为负数，顶点向左移动。
3. 顶点的纵坐标发生变化：平移变换会改变顶点的纵坐标。
如果对二次函数的因变量y进行平移变换，使得图像在纵轴方向上移动k个单位，则顶点的纵坐标yv会加上k。
如果k 为正数，顶点向上移动；如果k为负数，顶点向下移动。
4. 顶点的形状和性质不变：平移变换不会改变二次函数图像的顶点的形状和性质。
顶点仍然是图像的最高点或最低点，它所代表的值仍然是函数的最大值或最小值。
平移变换只是改变了图像的位置，而不影响顶点的形状和性质。
总结起来，平移变换对二次函数图像的顶点会改变其位置，包括横坐标和纵坐标的变化。
然而，平移变换不会改变顶点的形状和性质。
了解这些影响可以帮助我们更好地理解和分析二次函数的图像。
二次函数平移
二次函数平移
二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象是抛物线，a不仅决定抛物线的开口方向，而且决定抛物线的形状大小（开口大小）。
由于抛物线y=ax+bx+c(a≠0)通过配方法可转化为y=a(x-h)+k的形式，因此
y=a(x-h)+k或y=ax+bx+c的图象都可由最基本的二次函数
y=ax(a≠0)通过平移而得到。
即：二次函数y=a(x-h)+k(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=h，顶点坐标为（h，k)，是由抛物线y=ax(a≠0)向右（左）平移|h|个单位长度，再向上（下）平移|k|个单位长度得到的。
涉及抛物线平移的问题时，首先将抛物线解析式化成顶点式，其次根据“左加右减，上加下减”的原则对解析式右侧的代数式进行变形。
需要特别注意的是，左加右减是对自变量而言的，上加下减是对解析式整体而言的。
对于抛物线的平移问题，关键是正确掌握平移规律，特别注意左右平移的情况，抛物线的平移问题，实质就是平移顶点位置问题，因此化成顶点式是解决问题的前提。
初中数学 二次函数的图像的平移变换对开口方向有何影响
初中数学二次函数的图像的平移变换对开口方向有何影响
二次函数的图像的平移变换是指对二次函数的自变量x和因变量y进行变换，使得图像在平面上的位置发生平移。
平移变换对于二次函数图像的开口方向有以下影响：
1. 开口方向不变：平移变换不会改变二次函数图像的开口方向。
开口方向可以是向上开口（凹形）或向下开口（凸形）。
平移变换只会改变图像的位置，而不会改变开口方向。
2. 顶点的位置发生改变：平移变换会改变二次函数图像的顶点的位置。
顶点是二次函数图像的最高点（向下开口）或最低点（向上开口），它的坐标表示为(xv, yv)。
平移变换会使顶点的横坐标和纵坐标发生改变，从而改变图像的位置。
3. 平移方向和距离：平移变换会改变二次函数图像的位置。
平移的方向可以是水平方向或垂直方向，平移的距离可以是正数或负数。
水平方向的平移会使图像沿着横轴左右移动，而垂直方向的平移会使图像沿着纵轴上下移动。
4. 图像的形状和性质不变：平移变换不会改变二次函数图像的形状和性质。
开口方向、顶点的位置、对称轴、最小值或最大值等特征都保持不变。
平移变换只是改变了图像的位置，而不影响图像的形状和性质。
总结起来，平移变换对二次函数图像的开口方向没有影响。
平移变换会改变图像的位置，包括顶点的位置和整个图像沿着横轴或纵轴的移动。
然而，平移变换不会改变图像的形状和性质。
了解这些影响可以帮助我们更好地理解和分析二次函数的图像。
二次函数与平移、伸缩的关系
二次函数与平移、伸缩的关系二次函数是数学中常见的一种函数形式。
它的一般形式为：$$y = ax^2 + bx + c$$其中，$a$、$b$、$c$是常数，$x$是自变量，$y$是因变量。
在二次函数的图像中，平移和伸缩是常见的变化方式。
本文将探讨二次函数与平移、伸缩之间的关系。
平移变换二次函数的平移变换是通过改变函数中的常数项来实现的。
对于一般形式的二次函数：$$y = ax^2 + bx + c$$当常数$c$的值发生变化时，二次函数的图像将在平面上沿着纵轴（$y$轴）的方向上进行平移。
平移的方向和距离取决于常数$c$的增减。
如果$c$增大，函数图像将向上平移；如果$c$减小，函数图像将向下平移。
伸缩变换二次函数的伸缩变换是通过改变函数中的系数来实现的。
对于一般形式的二次函数：$$y = ax^2 + bx + c$$当系数$a$的值发生变化时，二次函数的图像将在平面上沿着横轴（$x$轴）的方向上进行伸缩。
伸缩的程度取决于系数$a$的大小。
如果$a$的绝对值增大，函数图像将变得更狭长、更陡峭；如果$a$的绝对值减小，函数图像将变得更扁平、更缓和。
平移和伸缩的综合变换常数项$c$和系数$a$的变化可以综合起来，实现二次函数图像的平移和伸缩的组合变换。
例如，当常数项$c$增大且系数$a$的绝对值减小时，函数图像将向上平移并变得更扁平；当常数项$c$减小且系数$a$的绝对值增大时，函数图像将向下平移并变得更狭长。
通过平移和伸缩的变化，我们可以调整二次函数图像在平面上的位置、形状和大小，从而更好地理解和分析二次函数的特点和行为。
以上就是二次函数与平移、伸缩的关系的内容。
希望本文对您有所帮助！。
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上加下减
函数
y=ax2
开口方向 a>0时,向上 a<0时,向下
对称轴 y轴 y轴
顶点坐标
（0,0）
（0,k）
a>0 时 , 向上 y=ax2+k a<0时,向下
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2、观察图象,回答问题
(1) 函数 y=3(x-1) 2 的 图象与y=3x2的图象有 什么关系?
知识回顾
左 右 平 移
各种形式的二次函数（ a≠ 0）的图象 （平移）关系
y = a( x – h )2 + k
上 下 平 移
y = ax2 + k
上下平移
y = a(x – h )2
左右平移
y=
ax2
（上加下减，左加右减）
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一般的，抛物线y=a(x-h)² +k与y=ax² 形状相同，位 置不同。把抛物线y=ax² 向上（下）向左（右）平 移，可以得到抛物线y=a(x-h)² +k。平移的方向、 距离要根据h、k的值来决定。
y=3x2
0.25.
-1
-0.75.
-0.5. -0.25
0.
0.25.
0.5.
0.75.
1
x
-0.25. -0. 5. -0.75. -1.
y=3x2-1
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二次函数y=ax2与y=ax2+k的图象有什么关系？
二次函数y= ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象 当k > 0 时 向上平移k个单位得到. 当k < 0 时 向下平移-k个单位得到.
顶点坐标
对称轴
直线x=h
开口方向
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大 在对称轴的左侧,y随着x的增大 y随x 而减小. 在对称轴的右侧, y随 而增大. 在对称轴的右侧, y随 变化规律 着x的增大而增大. 着x的增大而减小.
最值 开口大小
当x=h时,最小值为0.
a 越大,开口越小.
当x=h时,最大值为0.
想一想
你知道 函数 y=3x2-1的大 致图象和位 置吗?
y 1.
y=3x2
0.75. 0.5. 0.25.
-1
-0.75.
-0.5. -0.25
0.
0.25.
0.5.
0.75.
1-0.25.ຫໍສະໝຸດ -0. 5.-0.75.
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-1.
这两函数的图像有什么关系？ 二次函数 y=3x2-1图像可以由y=3x2 的 图象向下平移一个单位得到
抛物线y=a(x-h)² +k的特点如下：
（1）当a>0时，开口向上；当 a<0时，开口向下。
a 越大,开口越小. a 越小,开口越大.
（2）对称轴是直线x=h
（2）增减性
a>0时在x=h的左侧,y随着x的增大而减小. 在x=h的右侧, y随着x的增大而增大. a<0时在x=h的左侧,y随着x的增大而增大. 在x=h的右侧, y随着x的增大而减小.
a 越小,开口越大.
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二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的关系
二次函数y=a(x-h)2的图象可以看作是抛 物线y=ax2先沿着x轴向右平移后得到的 • 当h < 0 时 向左平移∣h∣个单位得到. • 当h > 0 时 向右平移∣h∣个单位得到.
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二次函数y=3(x1)2+2的图象和抛物 线y=3x² ,y=3(x-1)2有 什么关系?它的开口 方向,对称轴和顶点坐 标分别是什么?
y 3x 2
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
X=1
二次函数y=3(x-1)2+2的图象可以看作是抛物 线y=3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线 x=1上平移2个单位后得到的 先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中 2-2,会是什么样? 作二次函数 y=3(x-1) 初中数学资源网
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
初中数学资源网 a 越大,开口越小 a 越小,开口越大. .
y
y=2x2+1与
y=2x2的图 象有什么关 系?
5 4. 3. 2. 1.
y=2x2+1
y=2x2
-3.
-2
-1
0. -1
1.
2.
3.
x
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y ax2
y= ax2 (a<0)
（0，0）
（0，0）
y轴 在x轴的上方(除顶点外) 向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
y轴
在x轴的下方( 除顶点外) 向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
位置
开口方向 增减性 最值 开口大小
2-6x+4如何移动才能得 3. 将抛物线 y=x . 到y=x2.
逆向思考,由y=x2-6x+4 =(x-3)2-5知:先向左平 移3个单位,再向上平移 5个单位. 初中数学资源网
结束寄语
下课了!
•读书要从薄到厚, 再从厚到薄.
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向上
（0，0）直线x=1 以直线x=0为界 线 （1，0）直线x=1 以直线x=1为界 线
y=3(x-1)2
向上
y=3(x+1)2
向上 （-1， 直线 抛物 线 初中数学资源网 0） x=-1
以直线x=-1为界 线
二次函数y=a(x-h)2的性质
抛物线 y=a(x-h)2 (a>0) （h，0） y=a(x-h)2 (a<0) （h，0） 直线x=h 向下
y 3x 2
y 3x 1
2
把y=3x² 的图像沿轴向右 平移1个单位就得到 y=3(x-1)² 的图像
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猜一猜,在同一坐标系中作 二次函数y=3(x+1)2的图象, 会在什么位置?
y 3x 2
y 3x 1
2
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画图看一看
把y=3x² 的图像沿轴向右平 y 3x 1 移1个单位就得到y=3(x-1)² 的图像 把y=3x² 的图像沿轴向左平 移1个单位就得到y=3(x+1)² 的图像 函数 图像 开口
方向
y=3x²
y 3x 2
2
y 3x 1
2
顶点坐 标
对称轴
y随x变化规律
抛物 线 抛物 线
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二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表： y=ax2 (a>0) 抛物线 顶点坐标 对称轴
（3）顶点坐标是（h ，k） 初中数学资源网
思维与拓展
1.函数y=x2-1的图象，可由y=x2的图象向 下 移 1 个单位. 平 ___
2.抛物线y=ax2向左平移一个单位,再向下
平移8个单位且y=ax2过点(1,2).则平移后的 2-8 y=2(x+1) 解析式为——————