2019精选医学34常用连续型随机向量分布.ppt
合集下载
概率论课件第3章 随机向量及其分布
i1 i2
, xin =FX1,X2 , ,Xn x1, x2 ,
, xn
§3.1.2 随机变量的独立性
定义3.1.3 设,F, P为概率空间, X1, X 2, , X n
为其上的随机向量,如果
FX1,X2, ,Xn x1, x2, , xn =FX1 x1 FX2 x2 FXn xn
f Xn xn
§3.2 二维离散型随机向量
若随机向量(X,Y) 所有可能取值是可列多对 (xi，yj)(i，j=1,2, …)，则称(X,Y)是二维离散型 随机变量. 设 P{X=xi,Y=yj}=pij ， (i，j=1,2, …) 则pij (i，j=1,2, …)称为(X,Y)的(联合)概率分布律。
所以，ξ，η不相互独立。
离散型随机变量的条件分布
对于离散型随机向量，当p.j>0时，称
P
X xi Y y j
P{X xi ,Y y j} pij
P{Y y j}
p. j
为Y=yj条件下X的条件分布律。
类似地
当pi.>0时，在X=xi条件下Y的条件分布律
P Y y j X xi
x1 X x1 h1, x2 Y x2 h2
P X x1 h1,Y x2 h2 P X x1 h1,Y x2
P X x1,Y x2 h2 P X x1,Y x2
F x1 h1, x2 h2 F x1 h1, x2 F x1, x2 h2 F x1, x2
第3章 随机向量及其分布
随机向量的概念及其分布函数 二维离散型随机向量 二维连续型随机向量 随机变量函数的分布
§3.1随机向量的概念及其分布函数
二维随机向量及其分布
定义1 设，F, P 为概率空间,如果 X i为随机变量, i 1, 2, , n ,则称向量 X1, X 2 , , X n 为随机向量。
常见连续型随机变量的分布[业界优制]
![常见连续型随机变量的分布[业界优制]](https://img.taocdn.com/s3/m/b394693358fafab069dc02e2.png)
0
2xexdx
0
2
2
21 1 DX
2 2 2
扶风书屋
10
例3
某人乘车或步行上班，他等车的时间X（单位：分钟） 服从参数为0.2的指数分布，如果等车时间超过10分钟， 他就步行上班.
若以Y 表示他一周（五天工作日）步行上班的天数， 求：他一周内至少有一天步行上班的概率.
扶风书屋
11
解
0.2e0.2x， x 0；
其中 0 为常数,则称 X 服从参数为的指数
分布. 记作X ~ e() ，或 X ~ E().
分布函数
1 ex , x 0, F(x)
0, x 0.
扶风书屋
7
应用与背景
某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如 无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的 寿命等都服从指数分布.
对于任意的 0 < a < b,
扶风书屋
12
三、正态分布
定义 设连续型随机变量X 的概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x μ 2σ2
)2
x
,
2 πσ
其中 μ, σ(σ 0) 为常数,则称 X 服从参数为 μ, σ
的正态分布或高分布,记为 X ~ N ( μ,σ 2 ).
扶风书屋
13
正态概率密度函数的几何特征
(1)曲线关于 x μ 对称; (2) 当x μ时, f ( x)取得最大值 1 ;
)
E(X
2)
[E( X )]2
a2
ab 3
b2
a
b 2
2
(b a)2 12
扶风书屋
4
例1
设随机变量 服从区间 3， 6上的均匀分布，
随机向量及其分布【概率论及数理统计PPT】
n 维随机向量是一维随机变量的推广 一维随机变量及其分布
n 维随机向量及其分布 由于从二维推广到n 维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
二、二维随机向量及其分布函数
设随机试验E的样本空间是Ω。 X=X()和Y=Y()是定义在Ω上的随机变 量,由它们构成的向量(X,Y),称为二维随机向 量。 二维随机向量(X,Y)的性质不仅与X及Y的 性质有关,而且还依赖于X和Y的相互关系,因 此必须把(X,Y)作为一个整体加以研究。 为此,首先引入二维随机向量(X,Y)的分 布函数的概念。
说明
由上面的几何解释,易见: 随机点(X,Y)落在矩形区域:
x1<x≤x2,y1<y≤y2 内的概率为：
P{x1<X≤x2 ,y1<Y≤y2} =F(x2,y2)-F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)
其中:
这里我们介绍了二维随机向量的概念、 二维随机向量的分布函数及其性质。
二维随机向量也分为离散型和连续型， 下面我们分别讨论它们。
求:(1)X,Y的边缘分布;
(2)X+Y的概率分布.
解:(1)由分析得:
X -1
0
1
P 0.25 0.4 0.35
Y
0
1
2
P 0.25 0.5 0.25
(2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3,
X+Y -1 0 1 2 3
P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05
P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05
=1
称(X,Y)服从区域D上的均匀分布。
例6. 若(X,Y)～
试求:(1)常数 A；(2) P{ X<2, Y<1}； (3) P(X≤x,Y≤y)； (4)P{(X,Y)∈D},其中D为 2x+3y≤6.
n 维随机向量及其分布 由于从二维推广到n 维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
二、二维随机向量及其分布函数
设随机试验E的样本空间是Ω。 X=X()和Y=Y()是定义在Ω上的随机变 量,由它们构成的向量(X,Y),称为二维随机向 量。 二维随机向量(X,Y)的性质不仅与X及Y的 性质有关,而且还依赖于X和Y的相互关系,因 此必须把(X,Y)作为一个整体加以研究。 为此,首先引入二维随机向量(X,Y)的分 布函数的概念。
说明
由上面的几何解释,易见: 随机点(X,Y)落在矩形区域:
x1<x≤x2,y1<y≤y2 内的概率为：
P{x1<X≤x2 ,y1<Y≤y2} =F(x2,y2)-F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)
其中:
这里我们介绍了二维随机向量的概念、 二维随机向量的分布函数及其性质。
二维随机向量也分为离散型和连续型， 下面我们分别讨论它们。
求:(1)X,Y的边缘分布;
(2)X+Y的概率分布.
解:(1)由分析得:
X -1
0
1
P 0.25 0.4 0.35
Y
0
1
2
P 0.25 0.5 0.25
(2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3,
X+Y -1 0 1 2 3
P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05
P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05
=1
称(X,Y)服从区域D上的均匀分布。
例6. 若(X,Y)～
试求:(1)常数 A；(2) P{ X<2, Y<1}； (3) P(X≤x,Y≤y)； (4)P{(X,Y)∈D},其中D为 2x+3y≤6.
随机向量精品PPT课件
二、协方差矩阵
❖ 协方差定义为
Cov x, y E x E x y E y
❖ 若Cov(x,y)=0，则称x和y不相关。 ❖ 两个独立的随机变量必然不相关，但两个不相关的
随机变量未必独立。 ❖ 当x=y时，协方差即为方差，也就是
Cov x, x V x
❖ x x1, x2, , xp 和y y1, y2, , yq 的协方差矩阵 （简称协差阵）定义为
x1 | x2
f2
x2
六、独立性
❖ 两个连续型随机向量的独立
f x, y fx x fy y
❖ n个连续型随机向量的独立
f x1, , xn f1 x1 fn xn
❖ 在实际应用中，若随机向量之间的取值互不影响，
则认为它们之间是相互独立的。
数字特征
❖ 一、数学期望（均值） ❖ 二、协方差矩阵 ❖ 三、相关矩阵
❖ 当p=1时，上述等式就是我们熟知的如下等式：
V ax b a2V x
❖ 例2.3.2 设随机向量x=(x1,x2,x3)′的数学期望和 协方差矩阵分别为
5
4 1 2
μ
2 7
和
Σ
1 2
9 3
253
令y1=2x1−x2+4x3, y2=x2−x3, y3=x1+3x2−2x3, 试求y=(y1,y2,y3)′的数学期望和协方差矩阵。
一、数学期望（均值）
❖ 随机向量 x (x1, x2, , xp )的数学期望
E x E x1 , E x2 , , E xp
记为μ=(μ1,μ2,⋯,μp)′。
❖ 随机矩阵X=(xij)的数学期望
E
x11
E X E xij
连续型随机变量的分布【概率论及数理统计PPT】
1
dx =1
3
1 1 x 2
? 思考: P(-1/2<X<2)=
课堂练习
1.
证明
f
(x)
x a
e x2 2a
0
x0 x0
(a>0)
是某一个随机变量X的密度函数。
x 0 x 1
2.设随机变量X~ f ( x ) ax b 1 x 2
0
对于随机变量 X ,如果存在非负可积函数
f(x) , x (,) ,使得对任意 a b , 有
b
P(a X b) a f ( x)dx
则称 X为连续型随机变量，称 f(x)为 X 的 概率密度函数，简称为概率密度或密度函数.
(III) 概率密度函数的性质
1 o f (x) 0
小
(由 ex2 dx 可得） 0
0μ
x
σ大
(2)概率密度图形是以x=μ为对称轴的R上的连续函数,
在x=μ点f(x)取得最大值; (3)若σ固定,μ改变,密度曲线随对称轴左右移动,形状保持不变;
若μ 固定, σ改变,σ越大,曲线越平坦,σ越小,曲线越陡峭.
例8. 设随机变量 X~U(2 ,5). 现在对 X进行三次独立 观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。
若
e x
X ~ f (x)
x0
0 x0
正态分布
一般正态分布
X ~N(μ,σ2)
定义:称 随机变量 X服从参数为 μ,σ2的正态分布, σ>0，
μ是任意实数，若
(x)2
f(x)
X ~ f (x)
e , 1
2 2
概率论 Ch3连续型随机变量与分布(4,5,6).ppt
x
1 2
x
fX Y
t
1 2
dt
x 1
2t 3
dt
1
0
1 3
x
2
1
1
x 1 1 x2 x2
x 1 1 x2
x2
⑵由分布函数性质知
3 1
3 1
1
P0
X
2
Y
2
FX Y
2
2
FX
Y
0
2
1 3
3 2
2
1
0
5 12
也可由密度函数性质得到:
P
0
X
3 2
Y
1 2
3 2 0
fX Y
x
1 2
dx
3 2
2xdx
13
5.
12
⑶由定义: fY X y x
fX
x
x3 4
0,
而
f x, y
,
fX x
当0 x 2时,
f
x,
y
2xy
0 x 2, 0 y x , X x 2
0
其余
2xy
0
0 y x 2
其余
故当 0 x 2 时,
2 xy
fY X
例1 设二维随机变量 X ,Y 的联合分布函数为
F x, y AB arctan xC arctan y,
求常数 A, B,C.
解 由分布函数 F x, y的性质得:
lim
x y
F
x,
y
A
B
π 2
C
π 2
1,
lim
x, y
F
连续型随机变量常见的几种分布PPT课件
(5).标准正态分布
▲ 称 0, 1的正态分布为标准正态分布.
其密度函数和分布函数常用 ( x)和 ( x)表示：
(x)
1
x2
e 2,
x
2
1
x t2
(x)
e 2 dt
2
其图形为:
22
第22页/共49页
(x)
(x)
密度函数( x)
分布函数 ( x)
23
第23页/共49页
▲ 标准正态分布的重要性
P(|Y | ) 0.6826 P(| Y | 2 ) 0.9544 P(| Y | 3 ) 0.9974
可以认为：
Y 的取值几乎全部集中在 [ 3 , 3 ]
区间内。这在统计学上称作“3 准则”
（三倍标准差原则）
31
第31页/共49页
例3.已知自动车床生产的零件的长度X(毫米)服从正
1 P( X d 80 d ) 1 (80 d )
0.5 0.5
0.5
35
第35页/共49页
即 ( 80 d ) 1 0.99 0.01 0.5
反查正态分布表，由于表中无0.01的 ( x) 的值
故采用如下方法处理:
(u) 1 (u) (u) 1 (u)
现 1 (u) 0.01 (u) 0.99
3. 正态分布
正态分布是应用最广泛的
一种连续型分布.
数学家德莫佛最早发现了二项 分布的一个近似公式，这一公式被 认为是正态分布的首次露面.
德莫佛
正态分布在十九世纪前叶由数 学家高斯加以推广，所以通常也称 为高斯分布.
高斯
11
第11页/共49页
(1). 正态分布的定义
随机向量函数的分布ppt
§5 多维随机变量的函数的分布与一维随机变量的情形类似，若已知多个随机变量(X 1,X 2,…,X n )的联合分布,需要确定它们的函数 Z=g(X 1,X 2,…,X n ) 的分布。
以下介绍几种常见的多个随机变量的函数的分布，且以两个随机变量的函数和连续型随机变量为主。
一、Z=X+Y 的分布先考虑(X ，Y)是离散型且X 与Y 相互独立的场合，不失一般性，设X 和Y 都取非负整数值，各自的概率分布为{a k }及{b k }，下面来计算随机变量Z=X+Y 的分布律。
因为{Z=r}={X=0，Y=r}∪{X=1，Y=r-1}∪…∪{X=r,Y=0}利用独立性的假定得到c r=P{Z=r}=a0b r+a1b r-1+…+a r b0,r=0,1,2,…,这就是求离散型独立随机变量和的概率分布公式——离散卷积公式，亦称离散褶积公式。
在X与Y非独立时，Z=X+Y分布律的求法类似。
例1 (泊松分布对和的封闭性) 设X 1，X 2独立， ~()(1,2)k k X Po k λ=1212~()X X Po λλ++证明：证：因为 ， 0N k ∈∀ ki i k X i X k X X 02121),()(=-====+及X 1,X 2独立,故 12120()()()ki P X X k P X i P X k i =+====-∑12()120!()!i k i k i e i k i λλλλ--+==-∑12()1201()!k i i k i k i C e k λλλλ-+-==∑122()12()!e k λλλλ-++=)(~2121λλ++⇒Po X X例2 设离散型r,v.(X,Y)的联合分布律如下：(X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)P ij1/18 5/18 3/18 3/18 4/18 2/18求(1)X+Y的分布律，(2)MAX(X,Y)的分布律解：先列如下的草表,Z=X+Y,T=MAX(X,Y) (X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) Z 2 3 4 3 4 5 T 1 2 3 2 2 3P ij1/18 5/18 3/18 3/18 4/18 2/18 再由概率的加法原理,进行相应的合并则可得Z=X+Y和T=MAX（X，Y）的分布律为：Z=X+Y 2 3 4 5 概率 1/18 8/18 7/18 2/18 T=MAX(X,Y) 1 2 3 概率 1/18 12/18 5/18 现在来考虑(X,Y)是连续型随机变量,设(X,Y)的密度函数为f(x,y),则Z=X+Y 的分布函数为 (){}(,)Z x y zF z P Z z f x y dxdy +≤=≤=⎰⎰o xyx+y=z 如图，积分区域G ：x+y≤z 是直线x+y=z 的左半平面，化成累次积分得()[(,)][(,)]z y z Z F z f x y dx dy f z y y dz dy +∞-+∞-∞-∞-∞-∞==-⎰⎰⎰⎰[(,)]z f z y y dy dz+∞-∞-∞=-⎰⎰Z 故有密度函数()()(,),Z Z d f z F z f z y y dy dz +∞-∞==-⎰X Y 由，的对称性，还有()()(,),Z Z d f z F z f x z x dx dz+∞-∞==-⎰以上两式是两个连续型随机变量之和的密度函数的一般公式,特别地,当X与Y相互独立时,有()()()z X Y f z f x f z x dx +∞-∞=-⎰以及()()(),z X Y f z f z y f y dy +∞-∞=-⎰(),()X Y f x f y 其中分别是X和Y的密度函数。
常见连续型随机变量的分布ppt课件
故 b=-1.65
最新课件
26
正态变量的标准化
定理 若 X~N(,2)，则 UX~N(0,1).
F(x)P{Xx} P {X x } (x )
已 X ~ N ( μ , 知 σ 2 ) 求 P ,{ c X d }.
P {cXd}F(d)F(c) d σμc σμ.
即 P { c X d } d μ c μ .
最新课件
12
三、正态分布
定义设连续型随机X变 的量 概率密度为 f(x) 1 e(x2σμ2)2 , x,
2πσ 其中μ, σ(σ0)为常数 ,则称X服从参数μ,为 σ 的正态分布或高,记 斯为 分X布~ N(μ,σ2).
最新课件
13
正态概率密度函数的几何特征
(1)曲线x关 μ对 于 ;称 (2)当 xμ时 ,f(x)取得最1大 ; 值
σ
E(X) 1
t2
(μσt)e 2dt
2
μ1
et2 2dtσ
t2
te2dt
μ.
2
2
D(X) 2
最新课件
18
正态分布下的概率计算
P{Xx}F(x) 1 e dt x (t2 σμ2)2
2πσ
原函数不是
?
初等函数
方法一:利用MATLAB软件包计算 方法二:转化为标准正态分布查表计算
最新课件
最新课件
21
例1 证明 ( x ) 1 (x ).
证明
x
(x)
1
x2
e 2dx
2π
1
x2
e 2 dx
x 2π
1
x2
e 2 dx
2π
x
1
x2
最新课件
26
正态变量的标准化
定理 若 X~N(,2)，则 UX~N(0,1).
F(x)P{Xx} P {X x } (x )
已 X ~ N ( μ , 知 σ 2 ) 求 P ,{ c X d }.
P {cXd}F(d)F(c) d σμc σμ.
即 P { c X d } d μ c μ .
最新课件
12
三、正态分布
定义设连续型随机X变 的量 概率密度为 f(x) 1 e(x2σμ2)2 , x,
2πσ 其中μ, σ(σ0)为常数 ,则称X服从参数μ,为 σ 的正态分布或高,记 斯为 分X布~ N(μ,σ2).
最新课件
13
正态概率密度函数的几何特征
(1)曲线x关 μ对 于 ;称 (2)当 xμ时 ,f(x)取得最1大 ; 值
σ
E(X) 1
t2
(μσt)e 2dt
2
μ1
et2 2dtσ
t2
te2dt
μ.
2
2
D(X) 2
最新课件
18
正态分布下的概率计算
P{Xx}F(x) 1 e dt x (t2 σμ2)2
2πσ
原函数不是
?
初等函数
方法一:利用MATLAB软件包计算 方法二:转化为标准正态分布查表计算
最新课件
最新课件
21
例1 证明 ( x ) 1 (x ).
证明
x
(x)
1
x2
e 2dx
2π
1
x2
e 2 dx
x 2π
1
x2
e 2 dx
2π
x
1
x2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
小于x0 的概率，即 ( x0 ) P( x x0 )
医药数理统计方法
医药数理统计方法
若X~N（0，1），查表可得 P（X x） ( x) P（X x） 1 ( x) P（x1 X x2） ( x2 ) ( x1 )
当 x 0 时，( x)可查标准正态分布表求值； 当 x 0 时， ( x) 1 ( x)
2
2
(0.5) (2.5) (0.5) (1 (2.5))
0.69146 1 0.99379 0.68525
(2)P{| X | 2} 1 P{ X 2} 1 P{2 X 2}
1
(
2 2Leabharlann 3)(
2 2
3
)
（２）当μ恒定时， σ愈大，表示Ｘ医药的数理取统值计方愈法
分散，曲线愈“胖”；σ愈小，x的取值愈集中在μ附
近，曲线愈“瘦”。
5、正态曲线下的总面积等于1，即
医药数理统计方法
1
e
(
x u )2 2 2
dx
1
2
定理3-5 （1）若X服从正态布 N( , 2) ，则对任意 常数a、b有：
f(X)
2. 关于
对称。
即正态分布以均数为中心，
左右对称。
医药数理统计方法
2.在
X
处取得概率密度函数的最大值，在
处有拐点，表现为钟形曲线。
医药数理统计方法
4. 正态分布有两个参数，即均数µ和标准差σ。 µ是位置参数，σ是变异度参数(形状参数)。
医药数理统计方法
（１）当σ恒定时，μ愈大，则曲线沿Ｘ轴愈向 右移动；反之，μ愈小，曲线沿x轴愈向左移动。
P{a X b} (b ) (a )
医药数理统计方法
3 ~ 原则
医药数理统计方法
例3-19 设 X N (3, 22 ) ,求 (1)P{2 X 4};(2)P{| X | 2}.
解 （1） P{2 X 4} ( 4 3) ( 2 3)
1
(0.5)
(2.5)
1 [1 (0.5)] [1 (2.5)] 0.69146 1 0.99379 0.69767
医药数理统计方法
例3-20 已知某种药片的片重X服从正态分 布 N (, 2 ) ，其中μ=150(mg)。
(1)若已知σ=5，试求药片片重在140与155之间的概率；
标准正态分布是一条曲线。
概率密度函数：
(x)
1
x2
e2
(-∞＜ x ＜+∞)
0
2
（二）标准正态分布的概率计算
医药数理统计方法
x
1
x2
( x) P{ X x}
e 2 dx
2
y (x)
y (x)
在标准正态分布表中相应于x0 的值 ( x0 ) 是指总体取值
aX b N( a b,a2 2 )
（2）若 X 独立，则
N
(
1
,
2 1
),
Y
N (2 , 22 ) ，且X与Y相互
X Y
N(
1
2
,
2 1
2 2
)
二、标准正态分布
（一）标准正态分布概念
医药数理统计方法
• 标准正态分布是均数为0，标准差为1的正态分布。
记为N(0,1)。
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
u X
(u)
1
u2
e2
2
N(, 2)
N (0,1)
-∞＜X＜+∞
-∞＜u＜+∞
对 X N (, 2 ) ，有
医药数理统计方法
定理3 6 F ( x) ( x ) P( X x)
P{X x} 1 ( x )
(2) 为何值时 , P{145 X 155} 0.8?
医药数理统计方法
医药数理统计方法
医药数理统计方法
中间频数多，左右两 侧基本对称的分布。
医药数理统计方法
（一）正态分布的概念
医药数理统计方法
设连续随机变量 X 概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
其中 和 都是常数， 任意， 0 ，则称X服从
医药数理统计方法
第三章 随机变量及其分布
第四节 常用连续型随机变量分布
主要内容
*一、正态分布 二、对数正态分布 三、韦布尔分布 四、指数分布
通常分为两类：
医药数理统计方法
离散型随机变量
随
如“新生婴儿数”，
机 变
“医生做手术的数量”等.
量 连续型随机变量
例如，“身高”，“体重”， “红细胞计数”等。
例3-18 设 X ~ N (0,1) ,求
医药数理统计方法
(1)P{0.5 x 1.5};(2)P{| x | 2}.
解：(1) P{0.5 x 1.5} (1.5) (0.5)
0.9332 0.6915 0.2417
(2) P{| X | 2} 1 P{| X | 2} 1 P{2 X 2}
1 [(2) (2)] 1 [(2) (1 (2))]
2 2(2) 2 20.97725 0.0455
（三）正态分布转换为标准正态分布
医药数理统计方法
对于任意一个服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量， 可作如下的标准化变换，也称u变换，
*一、正态分布
医药数理统计方法
正态分布是一种很重要的连续型随机变量的概
率分布。医学中有许多变量(资料)是服从或近似服
从正态分布的。许多统计分析方法都是以正态分布
为基础的。因此在统计学中，正态分布无论在理论
研究上还是实际应用中，均占有重要的地位。
医学资料中有许多指标如身高、体重、红细胞 数、血红蛋白、收缩压、脉搏数等频数分布都呈正 态分布。
参数为 和 2 的正态分布. 记作 X ~ N (, 2)
f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.
（二）正态分布密度函数的特征 f(X)
医药数理统计方法
图形特点： (1)钟型 (2)中间高、两头低、 左右对称
X
1. E( X ) , D( X ) 2（证明略）
（二）正态分布密度函数的特征
医药数理统计方法
医药数理统计方法
若X~N（0，1），查表可得 P（X x） ( x) P（X x） 1 ( x) P（x1 X x2） ( x2 ) ( x1 )
当 x 0 时，( x)可查标准正态分布表求值； 当 x 0 时， ( x) 1 ( x)
2
2
(0.5) (2.5) (0.5) (1 (2.5))
0.69146 1 0.99379 0.68525
(2)P{| X | 2} 1 P{ X 2} 1 P{2 X 2}
1
(
2 2Leabharlann 3)(
2 2
3
)
（２）当μ恒定时， σ愈大，表示Ｘ医药的数理取统值计方愈法
分散，曲线愈“胖”；σ愈小，x的取值愈集中在μ附
近，曲线愈“瘦”。
5、正态曲线下的总面积等于1，即
医药数理统计方法
1
e
(
x u )2 2 2
dx
1
2
定理3-5 （1）若X服从正态布 N( , 2) ，则对任意 常数a、b有：
f(X)
2. 关于
对称。
即正态分布以均数为中心，
左右对称。
医药数理统计方法
2.在
X
处取得概率密度函数的最大值，在
处有拐点，表现为钟形曲线。
医药数理统计方法
4. 正态分布有两个参数，即均数µ和标准差σ。 µ是位置参数，σ是变异度参数(形状参数)。
医药数理统计方法
（１）当σ恒定时，μ愈大，则曲线沿Ｘ轴愈向 右移动；反之，μ愈小，曲线沿x轴愈向左移动。
P{a X b} (b ) (a )
医药数理统计方法
3 ~ 原则
医药数理统计方法
例3-19 设 X N (3, 22 ) ,求 (1)P{2 X 4};(2)P{| X | 2}.
解 （1） P{2 X 4} ( 4 3) ( 2 3)
1
(0.5)
(2.5)
1 [1 (0.5)] [1 (2.5)] 0.69146 1 0.99379 0.69767
医药数理统计方法
例3-20 已知某种药片的片重X服从正态分 布 N (, 2 ) ，其中μ=150(mg)。
(1)若已知σ=5，试求药片片重在140与155之间的概率；
标准正态分布是一条曲线。
概率密度函数：
(x)
1
x2
e2
(-∞＜ x ＜+∞)
0
2
（二）标准正态分布的概率计算
医药数理统计方法
x
1
x2
( x) P{ X x}
e 2 dx
2
y (x)
y (x)
在标准正态分布表中相应于x0 的值 ( x0 ) 是指总体取值
aX b N( a b,a2 2 )
（2）若 X 独立，则
N
(
1
,
2 1
),
Y
N (2 , 22 ) ，且X与Y相互
X Y
N(
1
2
,
2 1
2 2
)
二、标准正态分布
（一）标准正态分布概念
医药数理统计方法
• 标准正态分布是均数为0，标准差为1的正态分布。
记为N(0,1)。
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
u X
(u)
1
u2
e2
2
N(, 2)
N (0,1)
-∞＜X＜+∞
-∞＜u＜+∞
对 X N (, 2 ) ，有
医药数理统计方法
定理3 6 F ( x) ( x ) P( X x)
P{X x} 1 ( x )
(2) 为何值时 , P{145 X 155} 0.8?
医药数理统计方法
医药数理统计方法
医药数理统计方法
中间频数多，左右两 侧基本对称的分布。
医药数理统计方法
（一）正态分布的概念
医药数理统计方法
设连续随机变量 X 概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
其中 和 都是常数， 任意， 0 ，则称X服从
医药数理统计方法
第三章 随机变量及其分布
第四节 常用连续型随机变量分布
主要内容
*一、正态分布 二、对数正态分布 三、韦布尔分布 四、指数分布
通常分为两类：
医药数理统计方法
离散型随机变量
随
如“新生婴儿数”，
机 变
“医生做手术的数量”等.
量 连续型随机变量
例如，“身高”，“体重”， “红细胞计数”等。
例3-18 设 X ~ N (0,1) ,求
医药数理统计方法
(1)P{0.5 x 1.5};(2)P{| x | 2}.
解：(1) P{0.5 x 1.5} (1.5) (0.5)
0.9332 0.6915 0.2417
(2) P{| X | 2} 1 P{| X | 2} 1 P{2 X 2}
1 [(2) (2)] 1 [(2) (1 (2))]
2 2(2) 2 20.97725 0.0455
（三）正态分布转换为标准正态分布
医药数理统计方法
对于任意一个服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量， 可作如下的标准化变换，也称u变换，
*一、正态分布
医药数理统计方法
正态分布是一种很重要的连续型随机变量的概
率分布。医学中有许多变量(资料)是服从或近似服
从正态分布的。许多统计分析方法都是以正态分布
为基础的。因此在统计学中，正态分布无论在理论
研究上还是实际应用中，均占有重要的地位。
医学资料中有许多指标如身高、体重、红细胞 数、血红蛋白、收缩压、脉搏数等频数分布都呈正 态分布。
参数为 和 2 的正态分布. 记作 X ~ N (, 2)
f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.
（二）正态分布密度函数的特征 f(X)
医药数理统计方法
图形特点： (1)钟型 (2)中间高、两头低、 左右对称
X
1. E( X ) , D( X ) 2（证明略）
（二）正态分布密度函数的特征