2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)ABF

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2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)ACP

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．解：平面∏与曲面22z x y =+在(1,2,5)-的切平面的法向量为}{}{002,2,12,4,1n x y =-=--从而平面∏的方程为：2450x y z ---=又l 的方向向量为110(1)11i j k s i j a k a ==-++--由0n s ⋅=求得5a =-在l 上取一点，不妨取01x =求得00(1).53y b z b =-+=+由于000(,,)x y z 在平面∏上，代入平面方程中可求得2b =-.2．计算下列对坐标的曲线积分：(1)()22d -⎰Lx y x ，其中L 是抛物线y =x 2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧； (2)d L xy x ⎰其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；(3)d d L y x x y +⎰，其中L 为圆周x =R cos t ，y =R sin t 上对应t 从0到π2的一段弧； (4)()()22d d L x y x x y y x y +--+⎰，其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行)； (5)2d d d x x z y y z Γ+-⎰，其中Γ为曲线x =kθ，y =a cos θ，z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧；(6)()322d 3d d x x zy y x y z Γ++-⎰，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线； (7)d d d L x y y z -+⎰，其中Γ为有向闭拆线ABCA ，这里A ，B ，C 依次为点（1,0,0），(0,1,0)，(0,0,1)；(8)()()222d 2d Lx xy x y xy y -+-⎰，其中L 是抛物线y =x 2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧．解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2，()()22222435001156d d 3515L x y x x x x x x ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ (2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为图11-1cos 0πsin x a a t t y a t =+⎧≤≤⎨=⎩L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a )故 ()()()()()12π200π320ππ322003d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π2L L L a xy x xy x xy x a a t a a t t x a t t t a t t t t a =+'=⋅++=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)()π20π220π220d d sin sin cos cos d cos 2d 1sin 220Ly x x y R t R t R tR t t R t tR t +=-+⎡⎤⎣⎦=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰ (4)圆周的参数方程为：x =a cos t ，y =a sin t ，t :0→2π．故 ()()()()()()222π202π220d d 1cos sin sin cos sin cos d 1d 2πL x y x x y y x y a t a t a t a t a t a t t a a t a +--+=+---⎡⎤⎣⎦=-=-⎰⎰⎰ (5)()()()2π220π3220π3320332d d d sin sin cos cos d d 131ππ3x x z y y z k k a a a a k a k a k a Γθθθθθθθθθθ+-=⋅+⋅--=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰ (6)直线Γ的参数方程是32=⎧⎪=⎨⎪=⎩x t y t z t t 从1→0．。

2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)LU

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分：(1)222,2,1,0.2,0.1;z x xy y x y x y =-+==-∆=∆=-(2)e ,1,1,0.15,0.1.xy z x y x y ===∆=∆=解：(1)22()()()2()9.688 1.68z x x x x y y y y z ∆=+∆-+∆+∆++∆-=-= d (2)(4) 1.6z x y x x y y =-∆+-+∆=(2)()()0.265e e e(e 1)0.30e.x x y y xy z +∆+∆∆=-=-=d e e e ()0.25e xy xy xy z y x x y y x x y =∆+∆=∆+∆=2．当Σ为xOy 面内的一个闭区域时，曲面积分()d d ,,R x y x y z ∑⎰⎰与二重积分有什么关系？解：因为Σ：z =0，在xOy 面上的投影区域就是Σ故()()d d d d ,,,,0R x y R x y x y z x y ∑∑=±⎰⎰⎰⎰当Σ取的是上侧时为正号，Σ取的是下侧时为负号．3．计算对坐标的曲线积分：(1)d Lxyz z ⎰，Γ为x 2+y 2+z 2=1与y =z 相交的圆，方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅶ、Ⅷ封限；(2)()()()222222d d d Ly z x z x y x y z -+-+-⎰，Γ为x 2+y 2+z 2=1在第Ⅰ封限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy 平面部分，yOz 平面部分和zOx 平面部分．解:(1)Γ：2221x y z y z ⎧++=⎨=⎩ 即2221x z y z⎧+=⎨=⎩其参数方程为：cos x t y t z t =⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ t ：0→2π 故：2π02π2202π202π0d cos d sin cos d sin 2d 1cos 4d 216xyz z t t t t t t t t t t t t Γ===-==⎰⎰(2)如图11-3所示．图11-3Γ=Γ1+Γ2+Γ3．Γ1：cos sin 0x t y t z =⎧⎪=⎨⎪=⎩t ：0→π2，故()()()()()1222222π2220π3320π320d d d sin sin cos cos d sin cos d 2sin d 24233y z x z x y x y z t t t t tt t tt tΓ-+-+-⎡⎤=--⋅⎣⎦=-+=-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰ 又根据轮换对称性知 ()()()()()()1222222222222d d d 3d d d 4334y z x z x y x y z y z x z x y x y z ΓΓ-+-+-=-+-+-⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=-⎰⎰4．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a ,0)沿椭圆移动到B (0,b )，求力所做的功．解：依题意知 F =kxi +kyj ，且L ：cos sin x a t y a t =⎧⎨=⎩，t ：0→π2。

2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)OF

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．利用全微分代替全增量，近似计算：(1) (1.02)3·(0.97)2;(3)(1.97)1.05.解：(1)设f (x ,y )=x 3·y 2，则 223(,)3,(,)2,x y f x y x y f x y x y ==故d f (x ,y )=3x 2y 2d x +2x 3y d y =xy (3xy d x +2x 2d y )取x =1,y =1,d x =0.02,d y =-0.03，则(1.02)3·(0.97)2=f (1.02,0.97)≈f (1,1)+d f (1,1)d 0.02d 0.03x y ==-=13×12+1×1[3×1×1×0.02+2×12×(-0.03)]=1.(2)设f (x ,y则(,)(,)x y f x y f x y ===故d (,)d d )f x y x x y y =+取4,3,d 0.05,d 0.07x y x y ====-,则d 0.05d 0.07(4.05,2.93)(4,3)d (4,3)0.053(0.07)]15(0.01)54.998x y f f f ==-=≈+=⨯+⨯-=+⨯-=(3)设f (x ,y )=x y ,则d f (x ,y )=yx y -1d x +x y ln x d y ，取x =2,y =1,d x =-0.03,d y =0.05,则1.05d 0.03d 0.05(1.97)(1.97,1.05)(2,1)d (2,1)20.0393 2.0393.x y f f f =-==≈+=+=2．证明：22d d x x y y x y++在整个xOy 平面内除y 轴的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数．证：22x P x y =+，22y Q x y =+，显然G 是单连通的，P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数，并且．()2222∂∂-==∂∂+P Q xy y x x y ，(x ,y )∈G 因此22d d x x y y x y ++在开区域G 内是某个二元函数u (x ,y )的全微分．由()()22222222d d 11ln 22d x y x x y y d x y x y x y ++⎡⎤==+⎢⎥++⎣⎦知()()221ln ,2u x y x y =+．3．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a ,0)沿椭圆移动到B (0,b )，求力所做的功．解：依题意知 F =kxi +kyj ，且L ：cos sin x a t y a t=⎧⎨=⎩，t ：0→π2 ()()()()π2022π20π222022d d cos sin sin cos d sin 2d 2cos 2222LW kx x ky y ka t t kb t b t tk b a t tk b a t k b a =+=-+⋅⎡⎤⎣⎦-=--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-=⎰⎰⎰(其中k 为比例系数)4．设L 为xOy 面内x 轴上从点(a ,0)到点(b ,0)的一段直线，证明：()(),d 0d bL a P x y x P x,x =⎰⎰，其中P (x , y )在L 上连续．证：L ：0x x a x b y =⎧≤≤⎨=⎩，起点参数为x =a ，终点参数为x =b ．故()(),d ,0d bL a P x y x P x x =⎰⎰5．求抛物面壳221()(01)2z x y z =+≤≤的质量，此壳的面密度大小为z ρ=. 22221:():22xy z x y D x y ∑=++≤。

2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)WI

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．(0 < t < 2π)为何值时，曲线L ：x = t -sin t , y =1-cos t , z = 4sin2t在相应点的切线垂直于平面0x y +=，并求相应的切线和法平面方程。

解：1cos ,sin ,2cos2t x t y t z '''=-==, 在t 处切向量为{}1cos ,sin ,2cos 2t T t t =-, 已知平面的法向量为{1,1,2n =.且T ∥n ,故2cos 1cos sin 11tt t-==解得π2t=，相应点的坐标为π2⎛- ⎝.且{1T = 故切线方程为π11211x y -+-==法平面方程为π1102x y z -++--=即 π042x y ⎛⎫+-=+⎪⎝⎭.2．当Σ为xOy 面内的一个闭区域时，曲面积分()d d ,,R x y x y z ∑⎰⎰与二重积分有什么关系？解：因为Σ：z =0，在xOy 面上的投影区域就是Σ故()()d d d d ,,,,0R x y R x y x y z x y ∑∑=±⎰⎰⎰⎰当Σ取的是上侧时为正号，Σ取的是下侧时为负号．3．证明：22d d x x y yx y ++在整个xOy 平面内除y 轴的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数．证：22x P x y =+，22yQ x y =+，显然G 是单连通的，P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数，并且．()2222∂∂-==∂∂+P Q xy y x x y ，(x ,y )∈G 因此22d d x x y yx y ++在开区域G 内是某个二元函数u (x ,y )的全微分．由()()22222222d d 11ln 22d x y x x y y d x y x y x y ++⎡⎤==+⎢⎥++⎣⎦知()()221ln ,2u x y x y =+．4．验证下列P (x , y )d x +Q (x , y )d y 在整个xOy 面内是某一函数u (x , y )的全微分，并求这样的一个函数u (x , y )： (1)(x +2y )d x +(2x +y )d y ； (2)2xy d x +x 2d y ；(3)(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y ； (4)(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y ．解：证：(1)P =x +2y ，Q =2x +y ．2P Q y x ∂∂==∂∂，所以(x +2y )d x +(2x +y )d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分． ()()()()()(),0,0022022d d ,22d d 2222222x y xy yu x y x y x y x y x x yx y x y xy x y xy =+++=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=++⎰⎰⎰(2)P =2xy ,Q =x 2, 2P Qx y x∂∂==∂∂，故2xy d x +x 2d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分． ()()(),20,02022d d ,0d d x y xy u xy x x y x y x x yx y=+=+=⎰⎰⎰(3)P =3x 2y +8xy 2，Q =x 3+8x 2y +12y e y，2316∂∂=+=∂∂P Q x xy y x，故(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y 是某个定义在整个xOy 面内函数u (x ,y )的全微分，()()()()()(),22320,03200322d ,38812e 0d d 812e 412e 12e 12x y y xyy y y u x x y x y x y x x y y x y x x y y x y x y y =++++=+++=++-+⎰⎰⎰(4)P =2x cos y +y 2cos x ，Q =2y sin x -x 2sin y ，2sin 2cos P x y y x y ∂=-+∂，2cos 2sin Qy x x y x∂=-∂，有P Qy x∂∂=∂∂，故(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y 是某一个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分， ()()()()()(),220,020022d d ,2cos cos 2sin sin 2d d 2sin sin sin cos x y xyu x y x y x y y x y x x y x x yy x x y y x x y=++-=+-=+⎰⎰⎰5．求下列线性微分方程的通解：(1)e x y y -'+=;解：由通解公式d de e e e d e ()e e d xx x x x x x y x c x c x c -----⎰⎡⎤⎰⎡⎤==⋅+=+⋅+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 2(2)32xy y x x '+=++；解：方程可化为 123y y x x x'+=++ 由通解公式得11d d 22e (3) e d 12(3)d 132.32x x x x y x x c x x x x c x x c x x x-⎡⎤⎰⎰=++⋅+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=++⋅+⎢⎥⎣⎦=+++⎰⎰ sin (3)cos e ;x y y x -'+=解： cos d cos d sin sin e e ().e e d x xx x x x y x c x c ---⎰⎡⎤⎰==+⋅+⎢⎥⎣⎦⎰(4)44y xy x '=+;解： 22(4)d (4)d 22e e 4e d 4e d x xx x x x y x x c x x c ----⎰⎡⎤⎰⎡⎤==++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()222222e e e 1x x x c c -=-+=-.3(5)(2)2(2)x y y x '-=+-;解：方程可化为2d 12()d 2y y x x x x -=-- 11d d 222ln(2)2ln(2)3e 2(2)e d e 2(2)e d (2)2(2)d (2)(2)x x x x x x y x x c x x c x x x c x c x --------⎰⎡⎤⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-+⎣⎦⎡⎤=--+⎣⎦=-+-⎰⎰⎰22(6)(1)24.x y xy x '++=解：方程可化为 2222411x x y y x x '+=++ 222222d d 1123ln(1)224e ed 14e 4d 3(1)xxx x x x x x y x c x x c x x c x -++-+⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥+⎣⎦+⎡⎤=+=⎣⎦+⎰⎰6．利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分： (1)d d d y x z y x z Γ++⎰，其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2= a 2，x +y +z = 0，若从x 轴的正向看去，这圆周是取逆时针的方向； (2)()()()222222d d d x y z y z x y z x Γ++---⎰，其中Γ是用平面32x y z ++=截立方体：0≤x ≤1，0≤y ≤1，0≤z ≤1的表面所得的截痕，若从Ox 轴的正向看去，取逆时针方向； (3)23d d d y x xz y yz z Γ++⎰，其中Γ是圆周x 2+y 2= 2z ，z =2，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向； (4)22d 3d d +-⎰y x x y z z Γ，其中Γ是圆周x 2+y 2+z2= 9，z =0，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向．解：(1)取Σ为平面x +y +z =0被Γ所围成部分的上侧，Σ的面积为πa 2（大圆面积），Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos n αβγ==．由斯托克斯公式22d d dcos cos cos ddπy x z y x zR Q Q PP Rsy z x yz xssaaΓ∑∑∑αβγ++⎡∂∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫∂∂⎛⎫--=++-⎪⎢⎥⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)记为Σ为平面32x y z++=被Γ所围成部分的上侧，可求得Σ（是一个边长为2的正六边形）；Σ的单位法向量为{}cos,cos,cosαβγ==n．由斯托克斯公式()()()(((()222222d d d2222d22d3d232492x y zy z x yz xy z x y sz xsx y zsΓ∑∑∑++---⎡+----=--⎢⎣=++==⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰(3)取Σ：z=2，D xy：x2+y2≤4的上侧，由斯托克斯公式得：()()()2223d d dd d0d d d d3d d35d d5π220π-+=++--+=-+=-=-⨯⨯=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x xz y yz zy z z x x yzz xx yzx yΓ∑∑(4)圆周x 2+y 2+z 2=9，z =0实际就是xOy 面上的圆x 2+y 2=9，z =0，取Σ：z =0，D xy ：x 2+y 2≤9由斯托克斯公式得：()()()222d 3d d d d d d d d 000032d d d d π39π+-=++---===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyD y x x y z zy z z x x yx yx yΓ∑∑7．计算下列对面积的曲面积分：（1）4d 23s z x y ∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰，其中∑为平面1234x y z ++=在第I 卦限中的部分；（2）()2d 22s xy xx z ∑--+⎰⎰，其中∑为平面2x +2y +z =6在第I 卦限中的部分；(3)()d s x y z ∑++⎰⎰,其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2上z ≥h (0<h <a )的部分； (4)()d s xy yz zx ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =被柱面x 2+y 2=2ax 所截得的有限部分； (5)()222d s R x y ∑--⎰⎰，其中∑为上半球面z =解：（1）4:423z x y ∑=--(如图10-69所示)图10-69d d d s x y x y ==故4d 4d d d d 23331232xy xy D D s x y x y z x y ∑⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭=⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)∑:z =6-2x -2y (如图10-70所示)。

2019高数(下)试题及答案

第二学期期末考试试卷一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4a =-,()3,4,0b =,则以a ,b为边的平行四边形的面积等于.2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ⎛⎫⎪⎝⎭处的切平面方程是.3. 交换积分次序()220,x dx f x y dy =⎰⎰.4. 对于级数11n n a∞=∑（a ＞0），当a 满足条件时收敛.5. 函数12y x=-展开成x 的幂级数为.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 平面20x z -=的位置是（）（A ）通过y 轴（B ）通过x 轴（C ）垂直于y 轴（D ）平行于xoz 平面2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的（）（A ）充要条件（B ）充分但非必要条件（C ）必要但非充分条件（D ）既非充分又非必要条件3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10x y dz ===（）（A ）e （B ）()e dx dy + （C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）（A ）敛散性不确定（B ）发散（C ）条件收敛（D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（）（A ）2121x y e=- （B ）2121x y e-=- （C ）212x y Ce-= （D ）2121x y Ce=-三、(本题满分8分)设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521x y z-+==，求该平面方程．四、(本题满分8分)设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数，试求z x ∂∂和2zx y∂∂∂．五、(本题满分8分)计算三重积分y zdxdydz Ω=⎰⎰⎰，其中(){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤．六、(本题满分8分)计算对弧长的曲线积分L ⎰，其中L 是圆周222x y R +=在第一象限的部分．七、(本题满分9分)计算曲面积分3xdydz zdzdx dxdy ∑++⎰⎰，其中∑是柱面221x y +=与平面0z =和1z =所围成的边界曲面外侧．八、(本题满分9分)求幂级数11n n nx ∞-=∑的收敛域及和函数．九、(本题满分9分)求微分方程4x y y e ''-=的通解．十、(本题满分11分)设L 是上半平面()0y >内的有向分段光滑曲线，其起点为()1,2，终点为()2,3，记2221L x I xy dx x y dy y y ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰1．证明曲线积分I 与路径L 无关； 2．求I 的值．第二学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 已知向量()1,1,4a =-,()3,4,0b =,则以a ,b为边的平行四边形的面积等于.2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ⎛⎫⎪⎝⎭处的切平面方程是210x y z --+=.3. 交换积分次序()220,x dx f x y dy =⎰⎰()20,ydy f x y dx⎰⎰.4. 对于级数11n n a∞=∑（a ＞0），当a 满足条件1a >时收敛.5. 函数12y x=-展开成x 的幂级数为()10222n n n x x ∞+=-<<∑.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 平面20x z -=的位置是（ A ）（A ）通过y 轴（B ）通过x 轴（C ）垂直于y 轴（D ）平行于xoz 平面2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的（ C ）（A ）充要条件（B ）充分但非必要条件（C ）必要但非充分条件（D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10x y dz ===（ B ）（A ）e （B ）()e dx dy + （C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ D ）（A ）敛散性不确定（B ）发散（C ）条件收敛（D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ D ）（A ）2121x y e=- （B ）2121x y e-=- （C ）212x y Ce-= （D ）2121x y Ce=-三、(本题满分8分)设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线 43521x y z-+==，求该平面方程．解: 由于平面通过点()3,1,2A -及直线上的点()4,3,0B -，因而向量()1,4,2AB →=-平行于该平面。

2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)RK

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．设f (x ,y ) = x +(yf x (x ,1) .解：1(,)1(x f x y y y =+- 则(,1)101x f x =+=.2．证明本章关于梯度的基本性质(1)~(5).证明：略3．设()()(),,,,,,w f x y z u g x z v h x y ===，求,,w w w x y z∂∂∂∂∂∂. 解：,w w w v w w u w v w w u x x v x y u y v x z u z∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂，4．求抛物面壳221()(01)2z x y z =+≤≤的质量，此壳的面密度大小为z ρ=. 22221:():22xy z x y D x y ∑=++≤221d d ()d 2xy D M s z s x y x y ∑∑ρ===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12π222001222205322220d (1)d 2π1)(1)(1)2π2π221)(1)(1)21553r r r r r r d r r r θ=+=+-++⎡==+-+⎢⎥⎣⎦⎰5．证明: 本章关于旋度的基本性质(1)~(3)（可应用算符∇解：略。

6．求下列各齐次方程满足所给初始条件的解：220(1)(3)d 2d 0,1x y x y xy x y =-+== ;解： 22d d 3y y x x y x =-⎛⎫- ⎪⎝⎭令y ux =，则得 2d 2d 3u u u xx u +=-- 分离变量，得 233d d u x u u u x-=- 积分得 3ln ln(1)ln(1)ln u u u cx -+-++=即 231ln ln u c u x-= 得方程通解为 223y x cy -=以x =0，y =1代入上式得c =1.故所求特解为 223y x y -=. 1(2),2x x y y y y x='=+= . 解：设y ux =，则d d d d y u u x x x=+ 原方程可变为 d d x u u x =积分得 21ln ln 2u x c =+. 得方程通解为 222(ln ln )y x x c =+以x =1，y =2代入上式得c =e 2.故所求特解为 222(ln 2)y x x =+.7．把对坐标的曲线积分()()d d ,,LP x Q y x y x y +⎰化成对弧长的曲线积分，其中L 为： (1)在xOy 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；(2)沿抛物线y = x 2从点(0,0)到点(1,1)；(3)沿上半圆周x 2+y 2 = 2x 从点(0,0)到点(1,1)．解：(1)L的方向余弦πcos cos cos 42αβ===，。

2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)AB

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．在第I 卦限内作椭球面2222221x y z a b c++= 的切平面,使切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标。

解：令222222(,,)1x y z F x y z a b c=++- ∵222222,,,x y z x y z F F F a b c === ∴椭球面上任一点0000(,,)P x y z 的切平面方程为000000222222()()()0.x y z x x y y z z a b c-+-+-= 即 000222 1.x x y y z z a b c++= 切平面在三个坐标轴上的截距分别为222000,,a b c x y z ，因此切平面与三个坐标面所围的四面体的体积为222222000000166a b c a b c V x y z x y z =⋅⋅⋅= 即求2226a b c V xyz=在约束条件2222221x y z a b c ++=下的最小值，也即求xyz 的最大值问题。

设 222222(,,)1x y z x y z xyz a b c λ⎛⎫Φ=+++- ⎪⎝⎭, 解方程组22222222220,20,20,1.x y z x yz a x xz b x xy c x y z ab c λλλ⎧Φ=+=⎪⎪⎪Φ=+=⎪⎨⎪Φ=+=⎪⎪⎪++=⎩得x y z ===故切点为，此时最小体积为222.6a b cV==2．求下列各微分方程满足已给初始条件的特解：ππ(1)sin20,1,1x xy y x y y=='''++===;解：特征方程为210r+=得1,2r i=±对应齐次方程通解为12cos siny c x c x=+令*cos2sin2y A x B x=+代入原方程并整理得3cos23sin2sin2A xB x x--=-得10,3A B==故通解为121cos sin sin23y c x c x x=++.将初始条件代入上式得11221121133c cc c-==-⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨-+==-⎪⎪⎩⎩故所求特解为11cos sin sin233y x x x=--+.200633(2)109e,,77xx xy y y y y==''''-+===.解：21090r r-+=121,9r r==对应齐次方程通解为912e ex xy c c=+令*2e xy A=,代入原方程求得17A=-则原方程通解为29121e e e7x x xy c c=-++由初始条件可求得1211,22c c==故所求特解为9211(e e)e27x x xy=+-.。

2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)LE

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．22()z f x y =+,其中f 具有二阶导数，求22222,,.z z z x x y y ∂∂∂∂∂∂∂ 解：2,2,z z xf yf x y∂∂''==∂∂ 222222224,224,z f x xf f x f x z xf y xyf x y∂''''''=+⋅=+∂∂''''=⋅=∂∂ 由对称性知，22224.z f y f y∂'''=+∂2．证明：22d d x x y y x y++在整个xOy 平面内除y 轴的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数．证：22x P x y =+，22y Q x y =+，显然G 是单连通的，P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数，并且．()2222∂∂-==∂∂+P Q xy y x x y ，(x ,y )∈G 因此22d d x x y y x y ++在开区域G 内是某个二元函数u (x ,y )的全微分．由()()22222222d d 11ln 22d x y x x y y d x y x y x y ++⎡⎤==+⎢⎥++⎣⎦知()()221ln ,2u x y x y =+．3．求抛物面壳221()(01)2z x y z =+≤≤的质量，此壳的面密度大小为z ρ=. 22221:():22xy z x y D x y ∑=++≤221d d ()d 2xy D M s z s x y x y ∑∑ρ===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12π222001222205322220d (1)d 2π1)(1)(1)2π2π221)(1)(1)21553r r r r r r d r r r θ=+=+-++⎡==+-+⎢⎥⎣⎦⎰4．证明: 本章关于旋度的基本性质(1)~(3)（可应用算符∇解：略。

2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)TR

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．设11e x y z ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=，求证：222z z x y z x y∂∂+=∂∂. 证明： 11112211e e x y x y z x x x ⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∂⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦, 由z 关于x ,y 的对称性得1121e x y z y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∂=∂ 故 11111122222211e e 2e 2.x y x y x y z z x y x y z x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∂+⋅=⋅+⋅==∂∂2．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a ,0)沿椭圆移动到B (0,b )，求力所做的功．解：依题意知 F =kxi +kyj ，且L ：cos sin x a t y a t=⎧⎨=⎩，t ：0→π2 ()()()()π2022π20π222022d d cos sin sin cos d sin 2d 2cos 2222LW kx x ky y ka t t kb t b t tk b a t tk b a t k b a =+=-+⋅⎡⎤⎣⎦-=--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-=⎰⎰⎰(其中k 为比例系数)3．若流体流速()222,,x y z =A ，求单位时间内穿过18球面，22210,0,0x y z x y z ++=>>>的流量. 解：38π4．证明：场()()()()2,2,2yz x y z x z x y z x y x y z =++++++A 是有势场，并求其势函数.解：略。

5．证明: 本章关于旋度的基本性质(1)~(3)（可应用算符∇解：略。

6．求下列各齐次方程满足所给初始条件的解：220(1)(3)d 2d 0,1x y x y xy x y =-+== ;解： 22d d 3y y x x y x =-⎛⎫- ⎪⎝⎭令y ux =，则得 2d 2d 3u u u xx u +=-- 分离变量，得 233d d u x u u u x-=- 积分得 3ln ln(1)ln(1)ln u u u cx -+-++=即 231ln ln u c u x-= 得方程通解为 223y x cy -=以x =0，y =1代入上式得c =1.故所求特解为 223y x y -=. 1(2),2x x y y y y x='=+= . 解：设y ux =，则d d d d y u u x x x=+ 原方程可变为 d d x u u x =积分得 21ln ln 2u x c =+. 得方程通解为 222(ln ln )y x x c =+以x =1，y =2代入上式得c =e 2.故所求特解为 222(ln 2)y x x =+.7．求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：20(1)e ,0x y x y y -='== ;解：分离变量，得 2e d e d y x y x =。

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2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答
案）
一、解答题
1．求下列各极限：
1y x y →→ 22
00
1(2)lim ;x y x y →→+
00x y →→
00
x y →→ 00
sin (5)lim ;x y xy x →→ 222222001cos()(6)lim .()e x y x y x y x y +→→-++ 解：(1)原式
0ln 2.= (2)原式=+∞.
(3)原式
=01.4x y →→=- (4)原式
=00 2.x y →→= (5)原式=00
sin lim 100.x y xy y xy →→⋅=⨯= (6)原式=22222222222()00001()2lim lim 0.()e 2e
x y x y x x y y x y x y x y ++→→→→++==+
2．证明：22
d d x x y y x y ++在整个xOy 平面内除y 轴的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数．证：22x P x y =+，22
y Q x y =+，显然G 是单连通的，P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数，并且．
()2
222∂∂-==∂∂+P Q xy y x x y ，(x ,y )∈G 因此22
d d x x y y x y ++在开区域G 内是某个二元函数u (x ,y )的全微分．
由()()22222222d d 11ln 22d x y x x y y d x y x y x y ++⎡⎤==+⎢⎥++⎣⎦
知()()221ln ,2
u x y x y =+．
3．应用格林公式计算下列积分：
(1)()()d d 24356+-++-⎰x y x y x y Γ，其中
L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界； (2)()()222d d cos 2sin e sin 2e x x L
x y x y x xy x y x x y ++--⎰，其中L 为正向星形线()22
23330x y a a +=>；
(3)()()3222d d 2cos 12sin 3+--+⎰L x y xy y x y x x y ，其中L 为抛物线2x =πy 2上由点(0,0)到(π2
,1)的一段弧；
(4)()()22d d sin L
x y x y x y --+⎰，L
是圆周y =(0,0)到(1,1)的一段弧； (5)()()d d e sin e cos x x L x y y my y m +--⎰，其中m 为常数，L 为由点(a ,0)到(0,0)经过圆
x 2+y 2=ax 上半部分的路线（a 为正数）．
图11-4
解：(1)L 所围区域D 如图11-4所示，P =2x -y +4， Q =3x +5y -6，3Q x
∂=∂，1P y ∂=-∂，由格林公式得 ()()d d 24356d d 4d d 4d d 14322
12
L
D D D
x y x y x y Q P x y x y x y x y +-++-∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭
===⨯⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
(2)P =x 2y cos x +2xy sin x -y 2e x ，Q =x 2sin x -2y e x ，则2cos 2sin 2e x P x x x x y y
∂=+-∂， 2cos 2sin 2e x Q x x x x y x ∂=+-∂．。