2020年重庆巴蜀中学高三适应性月考卷1理科数学试题及答案

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重庆市巴蜀中学2020届高三高考适应性月考(二)数学(理)-答案

理科数学参考答案·第1⻚（共12⻚）巴蜀中学2020届⾼考适应性⽉考卷（⼆）理科数学参考答案⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分）题号123456789101112答案DCBDBDADCBDD【解析】1．根据同⻆三⻆形函数关系，且，故选D ．2．因为集合是由正的奇数构成的集合，所以，故选C ．3．，，因为，，所以，故选B .4．，所以，故选D ．5．对称轴⽅程为，所以，当时，，故选B ．6．表示的进位取整的分段函数，不是奇函数，也不关于对称，所以选项错误，两个数分别进位取整之和不⼩于两个数之和的取整，故选D ．7．所以有，得到，即，因为，所以∴，故选A ．8．复合函数中，内函数是偶函数，复合函数必然也是偶函数，内函数是周期函数，其周期必然是复合函数的周期，内函数的对称轴，也必然为复合函数的对称轴，所以A ，B ，C 错误.理科数学参考答案·第2⻚（共12⻚）或者选择排除法：对于A ，令和，得到，⽭盾；对于B ，令，得到和，⽭盾；对于C ，，得到和，⽭盾；对于D ，，只需取即可，故选D ．9．因为平⾯，，转换为⻓⽅体模型，，所以三棱锥外接球的表⾯积为，故选C ．10．取的中点为，因为，所以的最⼩值为，故选B ．11．当时，，即，所以；当时，，即，，故选D ．12．⼏何法：联⽴直线与抛物线消去得，同理，记的中点为，的中点为，所以，⼜因为直线过点（为中线，所以也为中线，所以三点共线），所以，所以，从⽽抛物线的⽅程为，故选D ．极限法：重合时，点就是，所以就是抛物线在点处的切线，因为，⽽，所以，所以，从⽽抛物线的⽅程为，故选D ．代数法：设，，，，同理理科数学参考答案·第3⻚（共12⻚），，所以直线为，化简得；同理直线为，联⽴两条直线消去得所以，所以，从⽽抛物线的⽅程为，故选D ．⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分）题号13141516答案5【解析】13．，所以.14．定义域为，或，且在上单调递减，在上单调递增，⼜因为，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的单调递增区间为.15．解法⼀：解法⼆：16．因为，代⼊，得，化简得，所以.令，，所以在时，，在理科数学参考答案·第4⻚（共12⻚）时，，所以在上单调递增，在上单调递减.因为，当时，，当时，，因为有两个不同的根，所以实数的取值范围是.三、解答题（共70分．解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤）17．（本⼩题满分12分）解：（1）……………………………（2分）所以函数的最⼩正周期为，…………………………………………（3分）当且仅当时，取得最⼤值为，……………………（5分）此时的集合为.……………………………………………（6分）（2），…………………………………………（8分）因为是偶函数，所以，即………（10分）所以的最⼩值为.………………………………………（12分）18．（本⼩题满分12分）（1）证明：连接交于点，连接，因为底⾯是平⾏四边形，所以是的中点，⼜因为是的中点，在三⻆形中，为中位线，所以……………………………………（3分）⼜因为平⾯，平⾯，…………………………………………（4分）所以平⾯.……………………………………………………（5分）（2）解：因为底⾯，平⾯，所以，在直⻆三⻆形中，，，所以⼜因为，所以三⻆形，都是等边三⻆形，理科数学参考答案·第5⻚（共12⻚）所以.……………………………………………………（6分）以为轴正⽅向，为轴正⽅向，过作的平⾏线为轴正⽅向，建⽴空间直⻆坐标系，，，，……………………………………………………（7分），所以，因为平⾯，取平⾯的⼀个法向量为………………………………………………（8分）设平⾯的⼀个法向量为，因为平⾯，平⾯所以，，所以………………………（9分）令，则，所以.……………………………（10分）所以与夹⻆的余弦值…………………（11分）所以⼆⾯⻆的余弦值为.……………………………………………（12分）19．（本⼩题满分12分）解：（1）记表示甲运动员两次射击命中环数之和，则包含“第⼀次10环第⼆次8环”，“第⼀次8环第⼆次10环”，“第⼀次9环第⼆次9环”这三种情况，………………………………………………………………………（2分）所以，所以甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率为.……………………（5分）（2）记表示甲在第轮胜利，表示甲在第轮平局，表示甲在第轮失败，则，，…………………………（7分）①当甲获得最终胜利结束3轮⽐赛时，则第2轮，第3轮甲连续胜利，第1轮甲没有获得理科数学参考答案·第6⻚（共12⻚）胜利，其概率；…………………………………………………（9分）②当⼄获得最终胜利结束3轮⽐赛时，则第2轮，第3轮⼄连续胜利，第1轮⼄没有获得胜利，其概率…………………………………………………（11分）所以经过3轮⽐赛结束的概率所以经过3轮⽐赛结束的概率为.………………………………………………（12分）20．（本⼩题满分12分）解：（1）因为，所以，所以，………………………（2分）所以将代⼊⽅程得，所以，………………（4分）所以椭圆的标准⽅程为…………………………………………………（5分）（2）设，不妨假设因为，所以椭圆的⽅程为，的直线为……………………………………………………（6分）直线与椭圆联⽴得消去整理得由⻙达定理得，，………………………………………（8分）因为，即，………………………………………（9分）所以，，代⼊得，所以，所以，…………………………………………………………………………（11分）所以椭圆的⽅程为.…………………………………………………（12分）21．（本⼩题满分12分）解：（1）因为，则，……………………………（1分）所以时，，…………………………………………（2分）所以在上单调递增，⼜，……………………………………（3分）所以时，，时，，则的解集为.………………………………………………………（4分）（2）解法⼀：因为时，恒成⽴，等价于恒成⽴，即，因为都是偶函数，所以只需时，成⽴即可.……………………………（5分）令，，，令，，.…………………（6分）（ⅰ）当，即时，，所以在上单调递增，⼜因为，所以时，，即，所以在上单调递增，⼜因为，所以时，，所以时满⾜要求；…………………………（8分）（ⅱ）当，时，，不成⽴，所以；……………………（9分）（ⅲ）当且时，即且时，时，，在上单调递减，理科数学参考答案·第7⻚（共12⻚）⼜因为，所以时，，即，所以在上单调递减，⼜因为，所以时，，所以且时不满⾜要求，…………………………………………………………………（11分）综上所述，实数的取值范围是.…………………………………………（12分）解法⼆：因为时，恒成⽴.令，，令，.…………………………（6分）（ⅰ）当，即时，，所以在上单调递增，⼜因为，所以时，，时，即时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且所以时，，所以时满⾜要求；…………………………………（8分）（ⅱ）当，时，，不成⽴，所以；……………………（9分）（ⅲ）当且时，即且时，时，，在上单调递减，⼜因为，所以时，，即，所以在上单调递减，⼜因为，所以时，，所以且时不满⾜要求，……………（11分）理科数学参考答案·第8⻚（共12⻚）综上所述，实数的取值范围是.……………………………（12分）解法三：因为时，恒成⽴，等价于恒成⽴，即，因为都是偶函数，所以只需时，成⽴即可.………………………………（5分）（ⅰ）当时，，，所以时不成⽴；………………………………………………………………（6分）（ⅱ）当时，令，.令，⼜因为，所以，由（1）知，所以时，，所以，即时，单调递增，⼜因为，所以，所以时，满⾜要求；………………………………………………………（8分）（ⅲ）当时，，当时，，所以在上单调递减，则时，，所以不成⽴，…………………（11分）综上所述，实数的取值范围是.…………………………………………（12分）解法四：因为时，恒成⽴，即当时，成⽴.令，即时，，理科数学参考答案·第9⻚（共12⻚）所以，，即.……………………………………………………………………………（5分），，令，，.………………………………………………………………（6分）（ⅰ）当，即时，，所以在上单调递增，⼜因为，所以时，，即，所以在上单调递增，⼜因为，所以时，，所以时满⾜要求；…………………………（8分）（ⅱ）当时，时，，在上单调递减，⼜因为，所以时，，即，所以在上单调递减，⼜因为，所以时，，所以时不满⾜要求，………………………………………………………（11分）综上所述，实数的取值范围是.…………………………………………（12分）解法五：当时，，即，即，当时，都成⽴；……………………………………………………（5分）当时，，令，理科数学参考答案·第10⻚（共12⻚）理科数学参考答案·第11⻚（共12⻚），令……………（6分），令，………………………………………………（8分）所以在上是单调递减的函数，⼜因为，所以时，，时，，即时，，时，.所以在上单调递增，在上单调递减，且，所以时，，时，.⼜因为，所以时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减.…………………………（10分）由洛必达法则：……………………………………………………………………（11分）所以，即实数的取值范围是……………………………………（12分）22．（本⼩题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数⽅程】解：（1）因为，所以，即，理科数学参考答案·第12⻚（共12⻚）所以曲线的直⻆坐标⽅程为，………………………………………（2分）消去参数得，所以的普通⽅程为………………………………………（5分）（没讨论，直接写成斜率或的均扣1分）（2）因为在直线上，直线的参数⽅程联⽴曲线，…………………（6分）得，化简得，………………（8分）所以，所以的值为.………………………………（10分）23．（本⼩题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）当时，（ⅰ）当时，，即得，此时，满⾜要求的的取值范围是……………………………………………………………………（2分）（ⅱ）当时，，即得，此时，满⾜要求的的取值范围是；……………………………………（3分）（ⅲ）当时，，即得，此时，满⾜要求的的取值范围是；……………………………………（4分）综上所述，的解集是………………………………………………（5分）（2）因为的解集不是空集，所以，………………………（6分）因为，，………………………………………………（7分）所以，当且仅当时取得等号，………………………………………………………（9分）所以，即，所以实数的取值范围是.……………………………………………………………（10分）。

巴蜀中学2020届高考适应性月考卷(二)理数-答案

理科数学参考答案·第1页（共12页）巴蜀中学2020届高考适应性月考卷（二）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．根据同角三角形函数关系22sin cos 1αα+=，且cos 0α<，故选D ． 2．因为[17]A =，，集合B 是由正的奇数构成的集合，所以AB ={1357}，，，，故选C ． 3．(32)a b λ+=+，，(31)c =-，，因为()//a b c +，633λ+=-，所以3λ=-，故选B . 4．(13)0.4P X <=≤，所以(35)0.4P X <=≤，故选D ． 5．对称轴方程为ππ2π32x k -=+，所以π5π212k x =+，当1k =-时，π12x =-，故选B ． 6．()H x 表示的进位取整的分段函数，不是奇函数，也不关于1x =对称，所以A B ，选项错误，两个数分别进位取整之和不小于两个数之和的取整，故选D ．7． sin sin sin cos sin cos B C A B A C +=+，sin sin()B A C =+，sin sin()C A B =+，所以有sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos A C A C A B A B A B A C +++=+，得到cos sin A B +cos sin 0A C =，即co s (s i n s i n )0A B C +=，因为sin sin 0B C +≠，所以cos 0A =，∴π2A =，故选A ．8．复合函数中，内函数是偶函数，复合函数必然也是偶函数，内函数是周期函数，其周期必理科数学参考答案·第2页（共12页）然是复合函数的周期，内函数的对称轴，也必然为复合函数的对称轴，所以A ，B ，C 错误.或者选择排除法：对于A ，令1x =-和1x =，得到(cos1)sin 2f =±，矛盾；对于B ，令π3π22x =，，得到(0)1f =和(0)1f =-，矛盾；对于C ，π3π44x =，，得到1f =⎝⎭和1f =-⎝⎭，矛盾；对于D ，2(sin )12sin f x x =-，只需取2()12f x x =-即可，故选D ． 9．因为SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，转换为长方体模型，222248R SA AB BC =++=，所以三棱锥S ABC -外接球的表面积为24π8πR =，故选C ．10．取BC 的中点为O ，22()()PB PC PO OB PO OC PO OB =++=-，因为||2OB =，|||PO PA =|||||1AO OA PA +-=≥，所以PB PC 的最小值为3-，故选B ．11．当0ω>时，5πππ13π6366ω+<≤，即26ω<≤，所以2345ω=，，，；当0ω<时，11πππ7π6366ω-<+-≤，即6ω-<≤4-，54ω=--，，故选D ． 12．几何法：联立直线1l 与抛物线C 消去y 得2A B x x pk +=，同理2M N x x pk +=，记AB 的中点为P ，MN 的中点为Q ，所以P Q x x pk ==，又因为直线PQ 过点E （EP 为中线，所以EQ 也为中线，所以P Q E ，，三点共线），所以2E x pk k ==，所以2p =，从而抛物线C 的方程为24x y =，故选D ．极限法：M N ，重合时，E 点就是()M N ，所以2l 就是抛物线在E 点处的切线，因为2E x k =，而x y p '=，所以2kk k p==，所以2p =，从而抛物线的方程为24x y =，故选D ．代数法：设11()A x y ，，22()B x y ，，33()M x y ，，44()A x y ，，221212121222ABx x y y p p k x x x x --===-- 122x x k p+=，同理223434343434222MNx x y y x x p p k k x x x x p --+====--，223113131322AM x x y y p p k x x x x --===-- 132x x p+，222424242424222BNx x y y x x p p k x x x x p --+===--，所以AM 直线为1311()2x x y y x x p+-=-，化理科数学参考答案·第3页（共12页）简得1313()20x x x py x x +--=；同理BN 直线为2424()20x x x py x x +--=，联立两条直线消去y 得22132424242413242424(2)(2)42()42()42()x x x x pk x pk x x x p k pk x x x pk x x x x pk x x pk x x -----+====+---+-+，所以2k pk =，所以2p =，从而抛物线的方程为24x y =，故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】 13．|||2i ||12i |z =++，所以||z =5.14．定义域为22240x x -->，4x <-或6x >，且2224x x --在(4)-∞-，上单调递减，在(6)+∞，上单调递增，又因为1013<<，所以()f x 在(4)-∞-，上单调递增，在(6)+∞，上单调递减，所以()f x 的单调递增区间为(4)-∞-，.15．解法一：sin(4020)2sin 20cos40sin 40cos20sin 20cos40sin 60︒-︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒=解法二：sin 202sin 20cos40sin 20sin 20cos40sin 20cos40sin 20(cos40︒+︒︒=︒+︒︒+︒︒=︒︒ 21)sin 20cos402cos 20sin 20sin 20cos40sin 40cos20sin 20cos40++︒︒=︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=sin 60︒=16．因为1()ln f x x a x =++，211()f x x x '=-代入()()01f x f x x '-=+，得21ln 101x a x x x x ++--=+，化简得2111ln 0x a x x ----=，所以2111ln a x x x =---(0)x >.令211()1ln g x x x x =---，223331212(2)(1)()x x x x g x x x x x x -++-+'=+-==-，所以在(02)x ∈，时，()0g x '>，在(2)x ∈+∞，时，()0g x '<，所以()g x 在(02)，上单调递增，在(2)+∞，上单调递减.因为1(2)ln 24g =-，当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()g x →-∞，因为()a g x =理科数学参考答案·第4页（共12页）有两个不同的根，所以实数a 的取值范围是1ln 24a <-. 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）1π()sin 221sin 2123f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ……………………………（2分）所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，…………………………………………（3分）当且仅当ππ22π32x k k +=+∈Z ，时，()f x 取得最大值为2， ……………………（5分）此时x 的集合为ππ12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，. ……………………………………………（6分）（2）π()()sin 2213g x f x x ϕϕ⎛⎫=+=+++ ⎪⎝⎭， …………………………………………（8分）因为()g x 是偶函数，所以ππ2π32k k ϕ+=+∈Z ，，即ππ212k k ϕ=+∈Z ，， ………（10分）所以ϕ的最小值为π12ϕ=. ………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）（1）证明：连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，因为底面ABCD 是平行四边形，所以O 是BD 的中点，又因为E 是SD 的中点，在三角形SBD 中，OE 为中位线，所以//.OE SB ……………………………………（3分）又因为SB ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ， …………………………………………（4分）所以//SB 平面ACE . ……………………………………………………（5分）（2）解：因为SA ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以SA ⊥AC ，在直角三角形SAC 中，2SA =，SC = 2.AC = 又因为2AB AD ==，所以三角形ABC ，ACD 都是等边三角形，所以BD =. ……………………………………………………（6分）以OD 为x 轴正方向，OA 为y 轴正方向，过O 作AS 的平行线为z 轴正方向，理科数学参考答案·第5页（共12页）建立空间直角坐标系O xyz -，(000)O ，，，00)D ，，(010)A ，，，(012)S ，，， ……………………………………………………（7分）(12)DS =，所以224333DE DS ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，，，324.33OE OD DE ⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭，，因为BD ⊥平面SAC ，取平面SAC 的一个法向量为1(300).n OD ==，，………………………………………………（8分）设平面ACE 的一个法向量为2222()n x y z =，，，因为OA ⊂平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，所以20n OA =，20n OE =，所以2222024033y y z =⎧++=，，………………………（9分）令24x =，则2z =20y =，所以2(40n =，，.……………………………（10分）所以1n 与2n夹角的余弦值1212cos ||||319n n n n θ===…………………（11分）所以二面角S AC E --……………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）解：（1）记X 表示甲运动员两次射击命中环数之和，则18X =包含“第一次10环第二次8环”，“第一次8环第二次10环”，“第一次9环第二次9环”这三种情况，………………………………………………………………………（2分）所以(18)P X ==1211111C 33333⨯+⨯=，所以甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率为13. ……………………（5分）（2）记i A 表示甲在第i 轮胜利，i B 表示甲在第i 轮平局，i C 表示甲在第i 轮失败，则151151()384382i P A ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭，1()3i P B =，1().6i P C = …………………………（7分）①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮，第3轮甲连续胜利，第1轮甲没有获得胜利，理科数学参考答案·第6页（共12页）其概率1P =111112228⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭；…………………………………………………（9分） ②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮，第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，其概率2P =1155666216⨯⨯=， …………………………………………………（11分）所以经过3轮比赛结束的概率1215324821621627P P P =+=+==，所以经过3轮比赛结束的概率为427. ………………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（1）因为c e a ==，所以2234c a =，所以2214b a =， ………………………（2分）所以222214x y b b +=，将1P ⎛ ⎝⎭代入方程得21b =，所以24a =， ………………（4分）所以椭圆E 的标准方程为22 1.4x y += …………………………………………………（5分）（2）设1122()()M x y N x y ，，，，不妨假设12y y <，因为2214b a =，所以椭圆的方程为222214x y b b +=，MN的直线为2x +.……………………………………………………（6分）直线与椭圆联立得2222214x x y b b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，消去x整理得221612120y b ++-=，由韦达定理得12y y +=，212334b y y -=，………………………………………（8分）因为||2||MD ND =，即122y y =-， ………………………………………（9分）所以2y-=1y =，代入得233324b --=，所以23b =，所以212a =，…………………………………………………………………………（11分）所以椭圆E 的方程为221123x y +=. …………………………………………………（12分）理科数学参考答案·第7页（共12页）21．（本小题满分12分）解：（1）因为212()(1)e1x x f x x -=+-，则2122()ex x f x x -'=，……………………………（1分）所以x ∈R 时，()0f x '≥， …………………………………………（2分）所以()f x 在()-∞+∞，上单调递增，又(0)0f =，……………………………………（3分）所以(0)x ∈-∞，时，()0f x <，(0)x ∈+∞，时，()0f x >，则()0f x >的解集为(0)+∞，. ………………………………………………………（4分）（2）解法一：因为x ∈R 时，222e e 1mx x x++≥恒成立，等价于22e 1e emx x x x+-≥恒成立，即212e e ()e mx x xx +∈R ≥，因为都是偶函数，所以只需[0)x ∈+∞，时，222e e 10mx xx +--≥成立即可. ……………………………（5分）令22()2e e 1mxxx F x +=--，(0)0F =，2222()2(21)e 2e 2e [(21)e 1]mxxx x mx xF x mx mx +-'=+-=+-，(0)0F '=，令2()(21)e 1mx xG x mx -=+-，(0)0G =，22222()2e (21)(21)e (421)e mxxmxxmxxG x m mx mx m x m ---'=++-=+-.…………………（6分）（ⅰ）当210m -≥，即12m ≥时，()0G x '≥，所以()G x 在[0)+∞，上单调递增，又因为(0)0G =，所以[0)x ∈+∞，时，()0G x ≥，即()0F x '≥，所以()F x 在[0)+∞，上单调递增，又因为(0)0F =，所以[0)x ∈+∞，时，()0F x ≥，所以12m ≥时满足要求； …………………………（8分）（ⅱ）当0m =，1x =时，22e e 1<+，不成立，所以0m ≠； ……………………（9分）（ⅲ）当210m -<且0m ≠时，即12m <且0m ≠时， 1202||m x m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，时，()0G x '<，()G x 在1202||m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，又因为(0)0G =，所以1202||m x m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，时，()0G x <，即()0F x '<，理科数学参考答案·第8页（共12页）所以()F x 在1202||m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，又因为(0)0F =，所以1202||m x m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，时，()0F x <，所以12m <且0m ≠时不满足要求，…………………………………………………………………（11分）综上所述，实数m 的取值范围是12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，. …………………………………………（12分）解法二：因为x ∈R 时，222e e 10mx xx +--≥恒成立.令22()2e e 1mxxx F x +=--，2222()2(21)e 2e 2e [(21)e 1]mxxx x mxxF x mx mx +-'=+-=+-，令2()(21)e 1mxxG x mx -=+-，222()(421)e mxxG x m x m -'=+-. …………………………（6分）（ⅰ）当210m -≥，即12m ≥时，()0G x '≥，所以()G x 在()-∞+∞，上单调递增，又因为(0)0G =，所以(0)x ∈-∞，时，()0G x <，(0)x ∈+∞，时，()0G x >，即(0)x ∈-∞，时，()0F x '<，(0)x ∈+∞，时，()0F x '>，所以()F x 在(0)-∞，上单调递减，在(0)+∞，上单调递增，且(0)0F =，所以x ∈R 时，()0F x ≥，所以12m ≥时满足要求；…………………………………（8分）（ⅱ）当0m =，1x =时，22e e 1<+，不成立，所以0m ≠； ……………………（9分）（ⅲ）当210m -<且0m ≠时，即12m <且0m ≠时， 1202||m x m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，时，()0G x '<，()G x 在1202||m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，又因为(0)0G =，所以1202||m x m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，时，()0G x <，即()0F x '<，所以()F x 在1202||m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，又因为(0)0F =，所以1202||m x m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，时，()0F x <，所以12m <且0m ≠时不满足要求，……………（11分）综上所述，实数m 的取值范围是12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，. ……………………………（12分）理科数学参考答案·第9页（共12页）解法三：因为x ∈R 时，222e e 1mx xx++≥恒成立，等价于22e 1e emx x x x+-≥恒成立，即212e e ()e mx x xx +∈R ≥，因为都是偶函数，所以只需[0)x ∈+∞，时，222e e 10mxxx +--≥成立即可. ………………………………（5分）（ⅰ）当0m ≤时，22e 2mx ≤，1e 2ex x +≥，所以0m ≤时不成立； ………………………………………………………………（6分）（ⅱ）当12m ≥时，令22()2e e 1mx x x F x +=--，2222()2(21)e 2e 2e [(21)e 1]mxxx x mxxF x mx mx +-'=+-=+-.令2()(21)e1mx xG x mx -=+-，又因为[0)x ∈+∞，，所以212()(1)e 1x x G x x -+-≥，由（1）知()0f x '≥，所以12m ≥时，()0G x ≥，所以()0F x '≥，即[0)x ∈+∞，时，()F x 单调递增，又因为(0)0F =，所以()0F x ≥，所以12m ≥时，满足要求； ………………………………………………………（8分）（ⅲ）当102m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，222ln(21)2(21)()(21)e 1e 1e 1e 1mxxmx mxxmx mxxx mx m G x mx -++-+-+-=+-=-<-=-，当102x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，(21)e 10x mx m +--<，所以()F x 在102x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上单调递减，则102x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()(0)0F x F <=，所以102m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不成立，…………………（11分）综上所述，实数m 的取值范围是12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，. …………………………………………（12分）解法四：因为x ∈R 时，222e e 1mx xx ++≥恒成立，即当x ∈R 时，222e e 10mxxx +--≥成立.令22()2e e 1mxxx F x +=--，即x ∈R 时，()0F x ≥，所以12(1)2ee 10m F +=--≥，2e 11ln 2m ++≥，即2e 1ln 102m +->≥.……………………………………………………………………………（5分）理科数学参考答案·第10页（共12页）2222()2(21)e 2e 2e [(21)e 1]mxxx x mx xF x mx mx +-'=+-=+-，(0)0F '=，令2()(21)e 1mx xG x mx -=+-，(0)0G =，22222()2e (21)(21)e (421)e mxxmxxmxxG x m mx mx m x m ---'=++-=+-.………………………………………………………………（6分）（ⅰ）当210m -≥，即12m ≥时，()0G x '≥，所以()G x 在[0)+∞，上单调递增，又因为(0)0G =，所以[0)x ∈+∞，时，()0G x ≥，即()0F x '≥，所以()F x 在[0)+∞，上单调递增，又因为(0)0F =，所以[0)x ∈+∞，时，()0F x ≥，所以12m ≥时满足要求；…………………………（8分）（ⅱ）当102m <<时，1202||m x m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，时，()0G x '<，()G x 在1202||m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，又因为(0)0G =，所以1202||m x m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，时，()0G x <，即()0F x '<，所以()F x 在1202||m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，又因为(0)0F =，所以1202||m x m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，时，()0F x <，所以102m <<时不满足要求，………………………………………………………（11分）综上所述，实数m 的取值范围是12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，.…………………………………………（12分）解法五：当x ∈R 时，222ee 1mx xx++≥，即22e 1e2x mx x++≥，即22e 1ln 2x mx x ++≥，当0x =时，m ∈R 都成立； ……………………………………………………（5分）当0x ≠时，22e 1ln 12x m x x +-≥，令22e 1ln12()x g x x x +=-， 22242e 1e 1ln ln 2221()x x x xg x x x '⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=+，理科数学参考答案·第11页（共12页）22232e e 12ln e 12()xx x x x g x x ⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭'=，令()h x =2222e e 12ln e 12x x x x x ⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭， ……………（6分） ()h x '=22222222(2e )(e 1)2e (e 1)22e 21(e 1)e 12x x x x xx x x x ''+-+-+++ 22222222(42)e (e 1)4e e 4e 1(e 1)e 1x x x x xx x x x ++-=-+++ 22222222224e 2e e 2e 4e (e 1)(e 1)(e 1)x x x x x x x x x ++-+++=+222224e e e 1(e 1)x x x x x -+=+，令()F x =2224e e e 1x x x x -+，()F x '=22222(84)e 4e e 4e (21e )0x x x x x x x +-=+-≤，………………………………………………（8分）所以()F x 在R 上是单调递减的函数，又因为(0)0F =，所以(0)x ∈-∞，时，()0F x >，(0)x ∈+∞，时，()0F x <，即(0)x ∈-∞，时，()0h x '>，(0)x ∈+∞，时，()0h x '<.所以()h x 在(0)-∞，上单调递增，在(0)+∞，上单调递减，且(0)0h =，所以(0)x ∈-∞，时，()0h x <，(0)x ∈+∞，时，()0h x <.又因为3()()h x g x x '=，所以(0)x ∈-∞，时，()0g x '>，(0)x ∈+∞，时，()0g x '<，所以()g x 在(0)-∞，上单调递增，在(0)+∞，上单调递减.…………………………（10分）由洛必达法则：2222222e 1(e 1)2e 21e 10()22(e 1)4e 42[2(e 1)]x x x x x x x x g x x x x -'-+→=====++'+，， ……………………………………………………………………（11分）所以12m ≥，即实数m 的取值范围是1.2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，……………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）因为4cos ρθ=，所以24cos ρρθ=，即224x y x +=，所以曲线1C 的直角坐标方程为2240x y x +-=，………………………………………（2分）1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，，消去参数得sin cos sin 0x y ααα--=，理科数学参考答案·第12页（共12页）所以2C 的普通方程为sin cos sin 0.x y ααα--=………………………………………（5分）（没讨论π2α=，直接写成斜率k 或tan α的均扣1分）（2）因为(10)P ，在直线2C 上，直线2C 的参数方程联立曲线1C ，…………………（6分）得222(1cos )sin 44cos t t t ααα++=+，化简得22cos 30t t α--=， ………………（8分）所以12||||||3PA PB t t == ，所以||||PA PB 的值为3. ………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）当2m =时，()|1|2|2|.f x x x =++-（ⅰ）当1x -≤时，()14233f x x x x =--+-=-，即339x -，≤得2x -≥，此时，满足要求的x 的取值范围是21x --；≤≤ ……………………………………………………………………（2分）（ⅱ）当12x -<<时，()1425f x x x x =++-=-，即59x -，≤得4x -≥，此时，满足要求的x 的取值范围是12x -<<； ……………………………………（3分）（ⅲ）当2x ≥时，()12433f x x x x =++-=-，即339x -，≤得4x ≤，此时，满足要求的x 的取值范围是24x ≤≤； ……………………………………（4分）综上所述，()9f x ≤的解集是[24].-， ………………………………………………（5分）（2）因为()2f x ≤的解集不是空集，所以min ()2f x ≤， ………………………（6分）因为|1||||1|x x m m ++-+≥，||0x m -≥， ………………………………………………（7分）所以()|1||||||1|f x x x m x m m =++-+-+≥，当且仅当x m =时取得等号，………………………………………………………（9分）所以|1|2m +≤，即31m -≤≤，所以实数m 的取值范围是31m -≤≤.……………………………………………………………（10分）。

重庆市渝中区巴蜀中学2020届高三数学“一诊”模拟测试题理(含解析)

重庆市渝中区巴蜀中学2020届高三数学“一诊”模拟测试题理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的 1.已知复数()131i i z i-=+，则其共轭复数z 的虚部为（）A. -1B. 1C. -2D. 2【答案】B 【解析】【分析】利用复数乘法、除法运算化简z ，由此求得z 的共轭复数z ，进而求得z 的虚部.【详解】依题意()()()()3134221112i i i iz i i i i +-+-====-++-，故2z i =+，其虚部为1. 故选：B.【点睛】本小题主要考查复数乘法、除法的运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部，属于基础题. 2.已知集合1|0x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，集合(){}|lg 21B x y x ==-，则A B =（） A. (]0,1B. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦D.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】解分式不等式求得集合A ，求函数定义求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由10x x -≥解得01x <≤，由210x 解得12x >，故1,12A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦，故选：C.【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查分式不等式的解法，考查对数函数的定义域，属于基础题.3.设a ，e 均为单位向量，当a ，e 的夹角为23π时，a 在e 方向上的投影为（）A. B. 12-C.12【答案】B 【解析】【分析】根据向量投影计算公式，计算出所求的投影. 【详解】a 在e 上的投影为21cos ,cos 32a a e π<>==-，故选：B.【点睛】本小题主要考查向量投影的概念和运算，考查单位向量，属于基础题. 4.已知等差数列{}n a 满足3243a =a ，则数列{}n a 中一定为零的项是（） A. 6a B. 7aC. 8aD. 9a【答案】A 【解析】【分析】将已知条件转化为1,a d 的形式，由此判断出一定为零的项.【详解】设公差为d ，由3243a =a 得15a d =-，∴6150a a d =+=，故选：A.【点睛】本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题.5.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（） A. 获得A 等级的人数减少了 B. 获得B 等级的人数增加了1.5倍 C. 获得D 等级的人数减少了一半 D. 获得E 等级的人数相同【答案】B 【解析】【分析】设出两年参加考试的人数，然后根据图表计算两年等级为A,B,C,D,E 的人数，由此判断出正确选项.【详解】设2016年参加考试x 人，则2018年参加考试2x 人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：年份 ABCDE2016 0.28x 0.32x 0.30x 0.08x 0.02x2018 0.48x 0.8x 0.56x 0.12x 0.04x由图可知A,C,D 选项错误，B 选项正确，故本小题选B.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查数据分析与处理能力，属于基础题. 6.执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A. 201921-B. 201922-C. 202022-D. 202021-【答案】C 【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，由于()2019232019202021222222212S -=+++⋯+==--．故选：C ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 7.设函数()23cos 2sin 232f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，将函数()f x 的图像向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值是（） A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式、辅助角公式化简()f x ，求得()f x 向左平移ϕ个单位后的()g x 的解析式，根据()g x 为偶函数，求得ϕ的表达式，由此求得ϕ的最小值. 【详解】()πππcos 2cos 2sin 2cos 2626f x x x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦12cos 22x x =+sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移()0ϕϕ>，得()sin 226g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又()g x 为偶函数，令π2π62k πϕ+=+，得26k ππϕ=+，由于0ϕ>，k Z ∈，∴ϕ最小值为6π，故选：A.【点睛】本小题主要考查诱导公式、辅助角公式，考查三角函数图像变换，考查根据三角函数的奇偶性求参数，属于中档题.8.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()112nn n n S a =-+，则135S S S ++=（） A. 0 B.564C. 1764 D. 2164【答案】D 【解析】【分析】根据题目所给已知条件，求得135,,S S S 的值，进而求得它们的和. 【详解】()()()11122nn n n n S S S n -=--+≥，若n 为偶数，则112n nS -=，∴112k k S +=（k 为奇数）. 则135111214166464S S S ++=++=，故选：D.【点睛】本小题主要考查()12n n n a S S n -=-≥的运用，属于基础题.9.已知抛物线C ：()220y px p =>，过其焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，记AOB ∆的面积为S ，且满足323AB FB S ==，则p =（） A.12B. 1C.32D. 2【答案】D 【解析】【分析】结合抛物线的定义，计算出三角形OAB 的面积S ，由此列方程，解方程求得p 的值. 【详解】设FB a =， ()()1122,,,A x y B x y ，则211122AOB S p y y ∆=⨯⨯-，根据抛物线的定义可知()222122y y AB AF BFa -=--=.依题意3232AB FB S ==，则3211322222a p a =⨯⨯⨯，∴2p =，故选：D.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查与抛物线有关的三角形面积的计算，考查方程的思想，属于基础题.10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）287 2872821D.219【答案】C 【解析】【分析】将三视图还原为原图，几何体是底面为边长为2的等边三角形，高为2的三棱锥.根据等边三角形外接圆的半径，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.【详解】将三视图还原为原图如图，可得几何体是底面为边长为2的等边三角形，高为2的三棱锥.等比三角形的外接圆半径为123π3sin3==，所以其外接球的222237133R⎛⎫=+=⎪⎪⎝⎭，21R=.则3428213V Rππ==球，故选：C.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查三棱锥外接球体积有关计算，属于基础题.11.已知函数()2ln2,03,02x x x xf xx x x->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的关于直线1y=-对称的点在()1g x kx=-的图像上，则k的取值范围是( )A.13(,)34B.13(,)24C.1(,1)3D.1(,1)2【答案】D【解析】【分析】根据对称关系可将问题转化为()f x与1y kx=--有且仅有四个不同的交点；利用导数研究()f x的单调性从而得到()f x的图象；由直线1y kx=--恒过定点()0,1A-，通过数形结合的方式可确定(),AC ABk k k-∈；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得ACk和ABk，进而得到结果.【详解】()1g x kx=-关于直线1y=-对称的直线方程为：1y kx=--∴原题等价于()f x与1y kx=--有且仅有四个不同的交点由1y kx=--可知，直线恒过点()0,1A-当0x>时，()ln12ln1f x x x'=+-=-()f x∴在()0,e上单调递减；在(),e+∞上单调递增由此可得()f x图象如下图所示：其中AB、AC为过A点的曲线的两条切线，切点分别为,B C由图象可知，当(),AC ABk k k-∈时，()f x与1y kx=--有且仅有四个不同的交点设(),ln2C m m m m-，0m>，则ln21ln1ACm m mk mm-+=-=-，解得：1m=1ACk∴=-设23,2B n n n⎛⎫+⎪⎝⎭，0n≤，则23132220ABn nk nn++=+=-，解得：1n=-31222ABk∴=-+=-11,2k⎛⎫∴-∈--⎪⎝⎭，则1,12k⎛⎫∈ ⎪⎝⎭本题正确选项：D【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.12.在ABC∆中，A、B、C为其三内角，满足tan A、tan B、tan C都是整数，且A B C>>，则下列结论中错误的是（）A. 25A π>B. 3B π>C. 49A π<D. 512B π<【答案】A 【解析】【分析】首先判断出,,A B C 均为锐角，根据tan A 、tan B 、tan C 都是整数，求得tan A 、tan B 、tan C 的值，进而判断出结论错误的选项.【详解】由于0C B A π<<<<，所以B 、C 都是锐角，又tan B 、tan C 都是正整数，这样()ta ta n tan 0tan tan n 1tan B CA CBC B +=+-->=，可见A 也是锐角.这时，tan 1C ≥，tan 2B ≥，tan 3A ≥.有tan tan tan 1tan tan 1A BC A B +=≥-，即()()tan 1tan 12A B --≤.但是tan 12A -≥，tan 11B -≤，比较可知只可能tan 3A =，tan 2B =，tan 1C =.由tan B >3B π>，选项B 是正确的.至于选项C 和D ，由5tan 2tan 12A π=+>，可知512A π<，又54129ππ<，故选项C 正确；又由512A B π>>，选项D 正确、A 选项错误. 故选：A.【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查三角形内角和定理，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分 13.已知()()()()52501252111x a a x a x a x +=+++++++，则2a =______.【答案】10 【解析】【分析】将二项式等价变形为()()55211x x +=++⎡⎤⎣⎦，根据变形后的二项式展开式的通项公式，求得2a 的值.【详解】()()55211x x +=++⎡⎤⎣⎦，其通项公式为()151r r r T C x +=+，故()22351T C x =+，所以22510a C ==.故答案为：10【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 为直径的圆交C 的一条渐近线于点P （P 在第一象限内），若线段1PF 的中点Q 在C 的另一条渐近线上，则C 的离心率e =______. 【答案】2 【解析】【分析】根据垂直平分线的性质和渐近线的性质，求得1260FOQ POQ POF ∠=∠=∠=︒，由此求得3b a =，进而利用21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭计算出双曲线的离心率. 【详解】由图可知，OQ 是线段1F P 的垂直平分线，又OP 是12Rt F PF ∆斜边的中线，∴OP c =，且1260FOQ POQ POF ∠=∠=∠=︒，∴tan 603ba=︒=，所以2e =. 故答案为：2【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查双曲线的渐近线，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15.中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布()210000,10N，且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为______台.【答案】375【解析】【分析】先求得元件1和2并联电路正常工作的概率，乘以元件3正常工作的概率，由此求得部件正常工作超过10000小时的概率.利用二项分布均值计算计算公式，计算出1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值.【详解】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为12，则部件正常工作超过10000小时的概率为21131228⎡⎤⎛⎫-⨯=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为310003758⨯=台.故答案为：375【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查二项分布的识别和二项分布期望的计算，属于基础题.16.已知正方体1111ABCD A B C D-的棱长为2，P为体对角线1BD上的一点，且()()10,1BP BDλλ=∈，现有以下判断：①11A D C P⊥；②若1BD⊥平面PAC，则13λ=；③PAC∆周长的最小值是2223PAC∆为钝角三角形，则λ的取值范围为20,3⎛⎫⎪⎝⎭，其中正确判断的序号为______.【答案】①②④【解析】【分析】利用线面垂直证明线线垂直，由此判断①正确.在直角三角形中，利用射影定理求得13PB BD =，由此判断②正确.将1ABD ∆和1CBD ∆展开成平面，由此求得AP CP +的最小值，进而求得三角形PAC ∆周长的最小值，由此判断③错误.先求得APC ∆为直角三角形时λ的值，由此确定λ的取值范围【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，1A D ⊥平面11ABC D ，又1C P ⊂平面11ABC D ，故11A D C P ⊥，①正确；由1BD ⊥平面PAC ，在1Rt ABD ∆中，212,AB AD BD ===由于1BD AP ⊥，由射影定理得21AB BP BD =⋅,即4PB PB =⋅=13PB BD ==,可得13λ=，故②正确；将1ABD ∆和1CBD ∆展开，可得AP CP +，又AC = 利用1BD ⊥平面11AC D ，可得当APC ∆为直角三角形时，23λ=，故当APC ∆为钝角三角形时，λ的取值范围为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，④正确. 所以正确判断为①②④. 故答案为：①②④【点睛】本小题主要考查正方体中的线线、线面垂直有关命题真假性判断，考查距离和的最值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 三、解答题：解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤17.在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的内角平分线，点D 在线段BC 上，且2BD CD =.（1）求sin B 的值；（2）若1AD =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）5sin 5B =；（2）98ABC S ∆=【解析】【分析】（1）利用正弦定理列方程，求得1sin cos 2B B =，两边平方后利用同角三角函数的基本关系式求得sin B 的值.（2）首先求得cos B 的值，利用两角和的正弦公式求得sin BDA ∠，然后求得AB ，进而求得AC ，从而求得三角形ABC 的面积. 【详解】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD AD BAD B =∠，即sin 45sin BD ADB︒=，在ACD ∆中，由正弦定理得()sin sin 90CD AD CAD B =∠︒-，即sin 45cos CD AD B=︒，两式相除得sin 1cos 2B CD B BD ==，即1sin cos 2B B =， ∴()22211sin cos 1sin 44B B B ==-，即21sin 5B =，又0B π<<，所以sin 0B >，故5sin 5B =. （2）由90BAC ∠=︒，得B 是锐角，于是25cos B =，所以()sin sin 45sin cos45cos sin 45BDA B B B ︒︒∠=+=+︒310=，在ABD ∆中，由正弦定理得sin 32sin 2BDA AB ADB ∠==，于是32tan 4AC AB B ==，所以113232922248ABC S AB AC ∆=⋅=⋅⋅=. 【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，属于基础题.18.如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P的位置（P ∉平面ABCE ）.（Ⅰ）证明：AE PB ⊥；（Ⅱ）若直线PB 与平面ABCE 所成的角为4π，求二面角A PE C --的余弦值. 【答案】（I ）见解析；（II ）5. 【解析】【分析】（I ）先证明AE POB ⊥平面，再证明AE PB ⊥；（II ）在平面POB 内作PQ⊥OB,垂足为Q ，证明OP⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角A PE C --的余弦值.【详解】（I ）证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ， ∵AB||CE,AB=CE，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE， ∴△ADE 为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD 中，3C ADE π∠=∠=，23DAB ABC π∠=∠=, ∴在等腰ADB ∆中，6ADB ABD π∠=∠=∴2362DBC πππ∠=-=,即BD⊥BC， ∴BD⊥AE，翻折后可得：OP⊥AE,OB⊥AE，又,,OP POB OB POB OP OB O ⊂⊂=平面平面，AE POB ∴⊥平面，,PB POB AE PB ⊂∴⊥平面；（II ）解：在平面POB 内作PQ⊥OB,垂足为Q ，因为AE⊥平面POB ，∴AE⊥PQ，因为OB ⊂平面ABCE, AE ⊂平面ABCE,AE ∩OB=O∴PQ⊥平面ABCE ，∴直线PB 与平面ABCE 夹角为4PBQ π∠=，又因为OP=OB ，∴OP⊥OB，∴O、Q 两点重合，即OP⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为3131313(0,0,(,0,0),(0,(,0,),(,2222222P E C PE EC ∴=-=, 设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z =，则111302,,0132x zPE nEC nx y⎧-=⎪⎧⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪+=⎪⎩设3x=，则y=-1,z=1，∴1(3,-1,1)n =，由题意得平面PAE的一个法向量2(0,1,0)n=，设二面角A-EP-C为α，1212||5|cos|=||||5n nn nα⋅==.易知二面角A-EP-C为钝角，所以5cos=-α.【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化分析推理能力.19.已知点233M⎝⎭在椭圆C：()222210x ya ba b+=>>上，且点M到C的左、右焦点的距离之和为2（1）求C的方程；（2）设O为坐标原点，若C的弦AB的中点在线段OM（不含端点O，M）上，求OA OB⋅的取值范围.【答案】（1）2212xy+=；（2）45,33⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义和椭圆上点的坐标，求得椭圆的标准方程.（2）设出,A B 的坐标，求得AB 中点的坐标，由OM 的斜率得到()12122x x y y +=+，利用点差法求得AB 的斜率，设出直线AB 的方程并代入椭圆方程，写出判别式以及韦达定理，利用平面向量的坐标运算，化简求得OA OB ⋅的取值范围.【详解】（1）由条件知2241133a b +=，2a =，所以a =1b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设点A 、B 的坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，则AB 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭在线段OM 上，且12OM k =， ∴()12122x x y y +=+，又221112x y +=，222212x y +=，两式相减得()()()()1212121202x x x x y y y y -++-+=，易知120x x -≠，120y y +≠，所以()1212121212y y x xx x y y -+=-=--+，即1AB k =-.设AB 方程为y x m =-+，代入2212xy +=并整理得2234220x mx m -+-=.由()2830m∆=->解得23m<，又由12223x x m +⎛=∈ ⎝，∴0m <<由韦达定理得1243m x x +=，()212213m x x -=，故()()12121212OA OB x x y y x x x m x m ⋅=+=+-+-+()()22221212414233m m x x m x x m m-=-++=-+243m =-.而0m <<OA OB ⋅的取值范围是45,33⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查点差法，考查向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题.20.武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.（1）为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方图：现从年龄在[]42,52内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在[]47,52内的人数为ξ，求()3P ξ=；（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A 型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X （单位：万人）都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表：劳动节当日客流量X13X << 35X ≤≤ 5X >频数（年） 2 4 4以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立.该游船中心希望投入的A 型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A 型游船最多使用量（单位：艘）要受当日客流量X （单位：万人）的影响，其关联关系如下表：劳动节当日客流量X13X << 35X ≤≤ 5X >A 型游船最多使用量1 2 3若某艘A 型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A 型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元.记Y （单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y 的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘A 型游船才能使其当日获得的总利润最大？【答案】（1）()4353P ξ==；（2）投入3艘A 型游船使其当日获得的总利润最大【解析】【分析】（1）首先计算出在[)42,47，[]47,52内抽取的人数，然后利用超几何分布概率计算公式，计算出()3P ξ=.（2）分别计算出投入1,2,3艘游艇时，总利润的期望值，由此确定当日游艇投放量. 【详解】（1）年龄在[)42,47内的游客人数为150，年龄在[]47,52内的游客人数为100；若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在[)42,47内的人数为6人，年龄在[]47,52内的人数为4人.可得()31464103435C C C P ξ===. （2）①当投入1艘A 型游船时，因客流量总大于1，则()3E Y =（万元）. ②当投入2艘A 型游船时，若13X <<，则30.5 2.5Y =-=，此时()521132105P Y P X ⎛⎫==<<== ⎪⎝⎭；若3X ≥，则326Y =⨯=，此时()()()463555P Y P X P X ==≤≤+>=；此时Y 的分布列如下表：此时()142.56 5.355E Y =⨯+⨯=（万元）. ③当投入3艘A 型游船时，若13X <<，则312Y =-=，此时()()21213105P Y P X ==<<==；若35X ≤≤，则320.5 5.5Y =⨯-=，此时()()25.5355P Y P X ==≤≤=；若5X >，则339Y =⨯=，此时()()2955P Y P X ==>=；此时Y 的分布列如下表：此时()1222 5.59 6.2555E Y =⨯+⨯+⨯=（万元）. 由于6.2 5.33>>，则该游船中心在2020年劳动节当日应投入3艘A 型游船使其当日获得的总利润最大.【点睛】本小题主要考查分层抽样，考查超几何分布概率计算公式，考查随机变量分布列和期望的求法，考查分析与思考问题的能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 21.已知函数21()(1)2,2xf x x e ax ax a R =+++∈. (1)讨论()f x 极值点的个数；(2)若00(2)x x ≠-是()f x 的一个极值点，且-2(2)>e f -，证明: 0()<1f x .【答案】(1) 当2a e -=-时，()f x 无极值点；当0a ≥时，()f x 有1个极值点；当2a e -<-或20e a --<<时，()f x 有2个极值点；(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求导得到()()()2xf x x e a '=++；分别在0a ≥、2a e -<-、2a e -=-和20e a --<<四种情况下根据()f x '的符号确定()f x 的单调性，根据极值点定义得到每种情况下极值点的个数；（2）由（1）的结论和()22f e -->可求得()2,a e-∈-∞-，从而得到()0ln xa =-，代入函数解析式可得()0f x ；令()()ln 2,t a =-∈-+∞可将()0f x 化为关于t 的函数()g t ，利用导数可求得()g t 的单调性，从而得到()1g t ≤，进而得到结论.【详解】（1）()()()()222x x f x x e ax a x e a '=+++=++①当0a ≥时，0x e a +>∴当(),2x ∈-∞-时，()0f x '<；当()2,x ∈-+∞时，()0f x '>()f x ∴在(),2-∞-上单调递减；在()2,-+∞上单调递增2x ∴=-为()f x 的唯一极小值点，无极大值点，即此时()f x 极值点个数为：1个②当0a <时，令()0f x '=，解得：12x =-，()2ln x a =- ⑴当2a e -<-时，12x x <()1,x x ∴∈-∞和()2,x +∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '<()f x ∴在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递增；在()12,x x 上单调递减1x x ∴=为()f x 的极大值点，2x x =为()f x 的极小值点，即()f x 极值点个数为：2个⑵当2a e -=-时，12x x =，此时()0f x '≥恒成立且不恒为0()f x ∴在R 上单调递增，无极值点，即()f x 极值点个数为：0个⑶当20e a --<<时，12x x >()2,x x ∴∈-∞和()1,x +∞时，()0f x '>；()21,x x x ∈时，()0f x '<()f x ∴在()2,x -∞，()1,x +∞上单调递增；在()21,x x 上单调递减2x x ∴=为()f x 极大值点，1x x =为()f x 的极小值点，即()f x 极值点个数为：2个综上所述：当2a e -=-时，()f x 无极值点；当0a ≥时，()f x 有1个极值点；当2a e -<-或20e a --<<时，()f x 有2个极值点（2）由（1）知，若()002x x ≠-是()f x 的一个极值点，则()()22,,0a ee--∈-∞-⋃-又()2222f e a e ---=-->，即2a e -<- ()2,a e-∴∈-∞-02x ≠- ()0ln x a ∴=-()()()()()()()()ln 22011ln 1ln 2ln ln 2ln 222a f x a e a a a a a a a -⎡⎤∴=-++⋅-+-=-+--⎣⎦令()()ln 2,t a =-∈-+∞，则t a e =- ()()21222t g t e t t ∴=-+-，()2,t ∈-+∞则()()()2114422t tg t e t t t t e '=-+=-+当2t >-时，40t +>，0t e >∴当()2,0t ∈-时，()0g t '>；当()0,t ∈+∞时，()0g t '<()g t ∴在()2,0-上单调递增；在()0,∞+上单调递减 ()()max 01g t g ∴==，即()1g t ≤ ()01f x ∴≤【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用问题，涉及到利用导数讨论函数极值点的个数、证明不等式的问题；本题中证明不等式的关键是能够通过换元的方式将()0f x 转化为关于t 的函数，利用导数求得函数最值之后即可证得结论；易错点是换元时忽略自变量的取值范围，导致定义域错误.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点()1,0P - ，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．【答案】（1）22193x y +=，10x y -+=；（2【解析】【分析】(1)利用三角恒等式消参得到曲线C 的普通方程，利用极坐标公式得到直线l 的直角坐标方程；（2）先证明点P 在直线l 上，再利用直线参数方程t 的几何意义解答.【详解】（1）因为曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），所以曲线C 的普通方程为22193x y +=.因为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin cos 1,10x y ρθρθ-=∴-+=. 所以直线l 的直角坐标方程为10x y -+=.（2）由题得点()1,0P -在直线l 上，直线l的参数方程为12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆的方程得2280t -=，所以1212+40t t t t ==-<，所以12|PA|+|PB|=||2t t -==. 【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 23.已知函数()()210f x x a x a =++->. （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（2）()5,+∞ 【解析】【分析】（1）利用零点分段法去绝对值，将不等式()4f x >转化为不等式组来求解得不等式()4f x >的解集.（2）化简不等式()42f x x >-为2x a +>，由此得到2a x >-或2a x <--，结合恒成立知识的运用，求得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()121f x x x =++-，故()4f x >等价于1314x x ≤-⎧⎨-+>⎩或1134x x -<≤⎧⎨-+>⎩或1314x x >⎧⎨->⎩，解得1x <-或53x >.故不等式()4f x >的解集为5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或.（2）当[]3,1x ∈--时，由()42f x x >-得22240x a x x ++-+->，即2x a +>，即2a x >-或2a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立. 又()max 25x -=，()min 21x --=-，故a 的取值范围为()(),15,-∞-+∞.又0a >，所以5a >，综上，a 的取值范围为()5,+∞.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.。

2020届重庆市巴蜀中学高三高考适应性月考数学(理)试题Word版含解析

2020届重庆市巴蜀中学高三高考适应性月考数学（理）试题一、单选题1．已知α是第二象限角，且sin 45α=，则cosα＝（） A ．45 B ．45- C ．35 D ．35- 【答案】D【解析】通过同角三角函数的平方关系，结合α是第二象限角，cosα为负值，直接代入解得答案.【详解】∵α是第二象限角，且sin 45α=，可得3cos 5α==-, 故选：D .【点睛】本题考查同角三角函数关系，注意象限角的符号即可，属于基础题.2．集合A ＝{x |（x ﹣1）（x ﹣7）≤0}，集合B ＝{x |x ＝2k +1，k ∈N }，则A ∩B ＝（）A ．{1，7}B ．{3，5，7}C ．{1，3，5，7}D ．{1，2，3，4，5，6，7}【答案】C【解析】先求出集合A 与B ，求出两集合的交集即可．【详解】 ∵集合()(){}{}|=17017|Ax x x x x ≤≤≤＝﹣﹣，集合B ={x |x =2k +1,k ∈Z }，∴A ∩B ={1，3，5，7}，故选：C .【点睛】本题考查集合的运算，此类题目一般比较简单，只需将两集合解出，再进行交并补运算即可求解.3．向量a =r （1，2），b =r （2，λ），c =r （3，﹣1），且（a b +r r ）∥c r，则实数λ＝（）A ．3B ．﹣3C ．7D ．﹣7【答案】B 【解析】向量a r ，b r ，计算可得a b +r r ，再由c r 和（a b +r r ）∥c r ，代入向量平行的性质公式计算，即可求解.【详解】根据题意, 向量=a r （1，2），=b r （2，λ），则()=32+a b λ+，r r ， c =r （3，﹣1），且（a b +r r ）∥c r ,则有()()3132+0λ⨯--=，解可得=3λ-，故选：B .【点睛】本题考查平面向量的坐标运算和平行的性质，属于平面向量常考题型.4．已知随机变量X 服从正态分布N （3，σ2），且P （x ≤1）＝0.1，则P （3＜X ≤5）＝（）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4 【答案】D【解析】根据已知随机变量X 服从正态分布N （3，σ2），得到正态分布曲线关于=3x 对称，又根据题目P （x ≤1）＝0.1，由对称性可得()50.1P x ≥＝，因此得到P （1≤X ≤5）的值，再乘12即为所求. 【详解】∵随机变量X 服从正态分布N （3，σ2），∴正态分布曲线关于=3x 对称，又P （x ≤1）＝0.1，∴()50.1P x ≥＝，∴()()510.1235==0.422P X P X ≤≤-⨯≤1＜＝，故选：D【点睛】本题考查正态分布概率问题，此类问题通常根据正态分布曲线的对称性质推导求解，属于基础题.5．函数πsin(2)3y x =-的图象的一条对称轴方程为（） A ．π12x =B ．π12x =-C ．π6x =D ．π6x =- 【答案】B 【解析】试题分析：令232x k πππ-=+，即5212k x ππ=+()k Z ∈，当1k =-时，12x π=-，故选B. 【考点】1、两角差的正弦函数；2、正弦函数的图象与性质.6．定义H （x ）表示不小于x 的最小整数，例如：H （1.5）＝2，对x ，y ∈R ，则下列正确的是（）A ．H （﹣x ）＝﹣H （x ）B ．H （2﹣x ）＝H （x ）C ．H （x +y ）≥H （x ）+H （y ）D ．H （x ﹣y ）≥H （x ）﹣H （y ）【答案】D【解析】根据题意，可用特殊值法进行逐一排除，最后得到正确选项.【详解】∵定义H （x ）表示不小于x 的最小整数， A 选项，令()()1.5, 1.5=11.5=2x H H =----，，显然错误， B 选项，令()()3,233x H H =-≠，显然错误，C 选项，令()()()1.5, 2.5,=4=5x y H x y H x H y ==++，，故错误，D 选项根据排除法，因此正确，故选：D .【点睛】此类问题属于定义新概念题型，根据定义去判断各个推论是否正确，此类问题最快速的办法是举特例进行排除，可快速锁定答案，属于中等题.7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b +c ＝acosB +acosC ，则A ＝（）A ．2πB ．3πC ．6πD ．23π 【答案】A【解析】由题意代入余弦定理，可得到三边a ，b ，c 的等式，化简可得222a b c =+，从而得到△ABC 为直角三角形，A 为直角.【详解】由b +c ＝acosB +acosC ，根据余弦定理可得，22222222a c b a b c b c a a ac ab+-+-++＝， 22222222a c b a b c b c c b+-+-++＝， ()()()2332a b c bc b c b c b c bc +++-++＝()()()()222=2a b c bc b c b c b bc c bc +++-+-+，进一步化简可得222a b c =+∴△ABC 为直角三角形，2A π＝. 故选：A .【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，通过余弦定理找到各边之间的关系，然后推导出角的大小，属于中等题.8．对任意x ∈R ，存在函数f （x ）满足（）A ．f （cosx ）＝sin 2xB ．f （sin 2x ）＝sinxC ．f （sinx ）＝sin 2xD ．f （sinx ）＝cos 2x 【答案】D【解析】根据题意，对任意x ∈R ，存在函数f （x ）满足，对选项逐一判断即可.【详解】对于A 选项，取x =4π,则cos x =2,sin2x =1,∴f (2)=1；取x =4π-,则cos x x =-1,∴f ()=-1；∴f (2)=1和-1，不符合函数的定义，故不满足题意；对于B 选项，取x =0,则sin2x =0,∴f (0)=0；取x =2π,则sin2x =0,∴f (0)=1；∴f (0)=0和1，不符合函数的定义，故不满足题意；对于C 选项，取x =4π,则sin x ,sin2x =1,∴f )=1；取x =34π,则sin x =2,sin2x =-1,∴f (2)=-1；∴f (2)=1和-1，不符合函数的定义，故不满足题意；对于D 选项，∵22=12sin cos x x -,∴f （sinx ）＝cos 2x ＝212sin x -，即对任意x ∈R ，存在函数f （sinx ）＝cos 2x ，只有D 选项满足题意.故选：D .【点睛】本题考查三角函数二倍角公式和函数的解析式，需要对公式和概念的熟练掌握，属于简单题.9．在三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且SA ＝2，AB ＝1，BC =S ﹣ABC 外接球的表面积为（）A ．4πB ．6πC ．8πD ．10π【答案】C【解析】由勾股定理可得AC ，求得△ABC 外接圆的半径，从而再利用勾股定理可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥S -ABC 的外接球的表面积．【详解】∵AB ⊥BC ，AB ＝1，BC =∴由勾股定理可得AC =2，∴AC 是△ABC 外接圆的直径，∴△ABC 外接圆的半径为r =1，∵SA ⊥平面ABC ，且SA ＝2，设球心到平面ABC 的距离为d ,则由勾股定理可得2222211(2)R d d =+=+-，∴22=1R d =，，∴三棱锥S −ABC 的外接球的表面积为248R ππ=.故选：C .【点睛】本题考查几何体外接球的表面积，此类问题常常先求底面的外接圆半径，再与球心到底面距离、球的半径运用勾股定理求解，属于中等难度题型.10．已知AB u u u r •AC =u u u r 0，|BC |＝4，P 是三角形ABC 平面内任意一点，且满足|PA u u u r |＝1，则PB u u u r •PC uuu r 的最小值是（）A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣1 【答案】B【解析】利用已知0AB AC ⋅=u u u r u u u r，得到AB AC ⊥，|BC |＝4，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，再根据P 点满足|PA u u u r |＝1，设P 点坐标为()cos sin P θθ，，代入点坐标计算PB PC ⋅u u u r u u u r ，再根据辅助角公式和坐标之间的关系可得PB PC ⋅u u u r u u u r 的取值范围，从而得解.【详解】∵0AB AC ⋅=u u u r u u u r，∴AB AC ⊥，建立如图直角坐标系，设()()()0,00,,0A B y C x ，，，又|BC |＝4，∴2224x y += ∵|PA u u u r|＝1，∴设()cos sin P θθ，， ()()cos sin cos sin B P y x P C θθθθ⋅=--⋅--，，u u u r u u u r22cos +cos sin +sin x y θθθθ=--()+1θϕ=-()4cos +1θϕ=--,∵()1cos 1θϕ-≤-≤,35PB PC -≤⋅≤u u u r u u u r ,故最小值为3-，故选：B .【点睛】本题考查向量积的最值问题，通常建立直角坐标系，设未知数，得到各个向量的坐标，运用坐标运算计算出含有未知量的解析式，再进一步运用函数思想找出取值范围，属于中等题.11．已知f （x ）＝sin （ωx 6π+）（ω∈Z ）x ∈（0，3π]时f （x ）12=有唯一解，则满足条件的ω的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】D 【解析】对ω进行分类讨论，当0>ω，通过0,,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦可确定6x πω+的范围,636ππωπ⎛⎤+ ⎥⎝⎦，由f （x ）12=，得到2,233πωππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，从而得到[)2,6ω∈，再根据ω∈Z ，可得ω的值；当0ω<时,同理可得ω的值.【详解】当0>ω时,0,,,,36636x x ππππωπω⎛⎤⎛⎤∈∴+∈+ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦Q 513,3666πωπππ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭， ∵()12f x =有唯一解， 2,233πωππ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，[)2,6ω∈，又,2,3,45,Z ωω∈∴=，当0ω<时,0,,,,36366x x πππωππω⎛⎤⎡⎫∈∴+∈+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭Q 117,,3666πωπππ⎡⎫∴+∈--⎪⎢⎣⎭∴42,,(6,4]33πωππω⎛⎤∈--∈-- ⎥⎝⎦, 又,5,4Z ωω∈∴=--,综上所述, 2,3,4,5,5,4ω=--故选：D .【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，函数零点与方程的根的关系，求三角函数的ω值时，利用函数图像数求出ω的范围，即可求得ω值，属于中等题.12．已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0），直线l 1：y ＝kx +t 与抛物线C 交于A ，B 两点（A 点在B 点右侧），直线l 2：y ＝kx +m （m ≠t ）交抛物线C 于M ，N 两点（M 点在N 点右侧），直线AM 与直线BN 交于点E ，交点E 的横坐标为2k ，则抛物线C 的方程为（）A ．x 2＝yB ．x 2＝2yC ．x 2＝3yD ．x 2＝4y 【答案】D【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，3344(,),(,)M x y N x y ，利用根与系数关系公式，推出12+2x x pk =，34+2x x pk =，取A 、B 中点P ，M 、N 中点Q ，则E 、P 、Q 三点共线，且所在直线方程为x =pk ，又根据E的横坐标为2k ，求解即可．【详解】如图所示,设1122(,),(,)A x y B x y ,则直线l 1：y ＝kx +t 与抛物线C 联立消去y ，可得2220,x pkx pt --=∴12+2x x pk =，设3344(,),(,)M x y N x y ,则直线l 2：y ＝kx +m 与抛物线C 联立消去y可得2220,x pkx pm --=∴34+2x x pk =，取A 、B 中点P ，M 、N 中点Q ，则E 、P 、Q 三点共线,且所在直线方程为x =pk ，∵E 的横坐标为2k ，∴22k pk p ==，，∴抛物线C 的方程为：x 2＝4y.故选：D .【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及平面几何知识，取A 、B 中点，M 、N 中点与E 三点共线,考查分析能力及转化能力，属于中档题.二、填空题13．设复数z 满足12z i =+2+i ，则|z |＝_____ 【答案】5【解析】复数方程的两边同乘1+2i ，然后利用多项式展开化简，即可确定z ，再进一步求得z ．【详解】复数z 满足212z i i=++，所以()()212=2245z i i i i i =++-++=，故5z =故答案为：5.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的模的计算，属于基础题.14．函数f （x ）＝log 13（x 2﹣2x ﹣24）的单调递增区间是_____ 【答案】（﹣∞，﹣4）.【解析】先求出函数f （x ）的定义域，确定真数部分函数的单调性，再由复合函数的单调性可知函数的单调增区间.【详解】函数的定义域为22240x x >﹣﹣，即为64{|}x x x -＞或＜，令2224t x x =﹣﹣，则原函数13y log t ＝，因为13y log t ＝在（0，+∞）单调递减， 2224t x x =﹣﹣在（-∞，-4）单调递减，在（6，+∞）单调递增，由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（-∞，-4），故答案为：（-∞，-4）.【点睛】本题考查复合函数单调性，复合函数单调性的判断遵循“同增异减”的判断法则，前提是先求定义域，然后找出中间函数的单调区间，再判断复合函数的单调区间即可，属于基础题. 15．sin 20°+2sin 20°cos 40°＝_____.【答案】2. 【解析】利用20301040301==0+︒︒︒︒︒︒-，进行角的转化，再利用和差公式化简即可求解. 【详解】sin 202sin 20cos 40︒︒︒+()()()=sin 30102sin 3010cos 3010︒︒︒︒︒︒--++()()=sin 301012cos 3010︒︒︒︒⎡⎤-++⎣⎦()()sin 12sin30cos10cos3010cos30cos102sin30sin10︒︒︒︒︒︒︒︒-+=-()1cos10101sin10n 2︒︒︒︒⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭1cos1010cos102︒︒︒︒=+1310sin10cos10sin1010cos1022sin ︒︒︒︒︒︒--sin 20cos 0in 202+s ︒︒︒-==【点睛】本题为计算题，主要考察正余弦和差公式的灵活应用，此类问题中非特殊角三角函数化简求值，如20°、40°等角度，一般找出与特殊角的和差关系，再利用和差公式化简即可，属于中等题. 16．已知函数f （x ）＝lnx 1x ++a ，f ′（x ）是f （x ）的导函数，若关于x 的方程f ′（x ）1f x x -=+（）0有两个不等的根，则实数a 的取值范围是_____【答案】（﹣∞，14-ln 2）【解析】根据题意可得f ′（x ），代入关于x 的方程f ′（x ）()1f x x -=+0，方程有2个交点转化为y ＝121x --lnx 1x -与y ＝a 有两个不同的交点，则令g （x ）＝121x --lnx 1x-，求导研究g （x ）的图象从而可得a 的取值范围. 【详解】根据题意可得，f ′（x ）22111x x x x-=-=，x ＞0 ∵关于x 的方程关于x 的方程f ′（x ）()1f x x -=+0有两个不相等的实数根，∴221x x-=lnx 1x ++a 有两个不相等的实数根， ∴y ＝121x --lnx 1x-与y ＝a 有两个不同的交点；令g （x ）＝121x --lnx 1x-， ∴g ′（x ）()()23233212112x x x xx x x x x -+-+=-+==-，令g ′（x ）＝0，x ＝2或﹣1（舍负）；令g ′（x ）＞0，0＜x ＜2；令g ′（x ）＜0，x ＞2； ∴g （x ）的最大值为g （2）＝114--ln 21124-=-ln 2； ∴a 14-＜ln 2；∴a 的取值范围为（﹣∞，14-ln 2）. 故答案为：（﹣∞，14-ln 2）. 【点睛】本题主要考查导数的运算、导数在函数中的应用、函数零点等基础知识，考查了转化能力、运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想方法，属于较难题．三、解答题17．已知函数f （x ）＝sinxcosx cos 2x +1 （1）求f （x ）的最小正周期和最大值，并写出取得最大值时x 的集合；（2）将f （x ）的函数图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数g （x ）是偶函数，求φ的最小值. 【答案】（1）最小正周期为T =π，f （x ）取得最大值为2，此时x 的集合为{x |x ＝kπ12π+，k ∈Z }.（2）12π【解析】（1）由三角函数公式化简可得f （x ）＝sin （2x 3π+）+1，由此可得最小正周期及最大值，由当且仅当2x 3π+=2kπ2π+，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值，解出x 的集合；（2）通过平移变换可得g （x ）=sin （2x +2φ3π+）+1，若函数g （x ）是偶函数，运用三角函数的诱导公式，令23πϕ+=2k ππ+，k ∈Z 即可，从而得到φ的最小值．【详解】（1）f （x ）＝sinxcosx +cos 2x +112=sin 2x +cos 2x +1＝sin （2x 3π+）+1，所以函数f （x ）的最小正周期为T 22π==π，当且仅当2x 3π+=2kπ2π+，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值为2，此时x 的集合为{x |x ＝kπ12+π，k ∈Z }.（2）g （x ）＝f （x +φ）＝sin （2x +2φ3π+）+1，因为g （x ）是偶函数，所以2φ3π+=kπ2π+，k ∈Z ，即φ12=kπ12+π，k ∈Z ，所以φ的最小值为12π.【点睛】本题主要考查了利用公式化简三角函数，求三角函数的周期、最值、极值点和三角函数的图像和性质等，需要特别注意集合的书写规范，属于基础题.18．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，E 是线段SD 上一点.（1）若E是SD的中点，求证：SB∥平面ACE；（2）若SA＝AB＝AD＝2，SC＝，且DE23DS，求二面角S﹣AC﹣E的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】（1）由题意连结BD，交AC于点O，连结OE，可证OE∥SB，SB∥平面ACE得证；（2）建立空间直角坐标系，求得平面SAC与平面ACE的法向量，代入公式求二面角的余弦值即可. 【详解】（1）证明：连结BD，交AC于点O，连结OE，∵底面ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，∵E是SD的中点，∴OE∥SB，∵SB⊄平面ACE，OE⊂平面ACE，∴SB∥平面ACE.（2）∵SA⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴SA⊥AC，在Rt△SAC中，SA＝2，SC＝2，∴AC＝2，∵AB＝AD＝2，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴BD＝以O为原点，OD为x轴，OA为y轴，过O作AS的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，O（0，0，0），D0，0），A（0，1，0），S（0，1，2），DS =u u u r（1，2），23DE DS ==u u u r u u u r（3-，2433，）， OE OD DE =+=u u u r u u u r u u u r（24333，，）， ∵BD ⊥平面SAC ，取平面SAC 的一个法向量n OD ==u u u r r0，），设平面ACE 的法向量m =r（x ，y ，z ），则024033m OA y m OE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u uv r u u u v r ，取x ＝4，得m =r （4，0，，设二面角S ﹣AC ﹣E 的平面角为θ，则cosθ19m n m n ⋅===⋅r r r r .∴二面角S ﹣AC ﹣E的余弦值为19.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，二面角的向量求法，意在考查学生的分析转化能力和计算求解能力，属于基础题.19．甲、乙两名射击运动员在进行射击训练，已知甲命中10环，9环，8环的概率分别是13，13，13，乙命中10环，9环，8环的概率分别是18，14，58，任意两次射击相互独立. （1）求甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率；（2）现在甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两人各射击1次，环数高于对方为胜，环数低于对方为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者，比赛结束，求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率【答案】（1）13（2）427【解析】（1）甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18包含“第一次10环和第二次8环”，“第一次8环第二次10环”，“第一次9环和第二次9环”这三种情况，分别求三种情况概率再求和；（2）求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率，先确定甲胜利，平局，失败的概率，恰好进行3轮射击后比赛结束情形包括两种：①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，由第2轮、第3轮甲连续胜利，第一轮甲没有获得胜利，算出其概率P118=；②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮、第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，其概率P25=216，两情形概率之和即为所求.【详解】（1）记X表示甲运动员两次射击命中环数之和，则X＝18包含“第一次10环和第二次8环”，“第一次8环第二次10环”，“第一次9环和第二次9环”这三种情况，∴甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率为：P1211111 33333C=⨯⨯+⨯=.（2）记A i表示甲在第i轮胜利，B i表示甲在第i轮平局，∁i表示甲在第i轮失败，∴P（A i）151151384382⎛⎫=⨯++⨯=⎪⎝⎭，P（B i）13=，P（∁i）16=，①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，由第2轮、第3轮甲连续胜利，第一轮甲没有获得胜利，其概率P1111112228⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭，②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮、第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，其概率P21155 666216 =⨯⨯=，∴经过3轮比赛结束的概率P12154 821627P P=+=+=.【点睛】本题考查了概率的计算，第一种为已知取值，求取此值的概率，常常利用排列组合、枚举法、概率公式等方法计算，第二种需要分析判断得到结果所有的可能情况，再根据每种状况求出概率，属于中档题.20．已知椭圆E ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率e =（1）若点P （1，2）在椭圆E 上，求椭圆E 的标准方程；（2）若D （2，0）在椭圆内部，过点D 的直线交椭圆E 于M .N 两点，|MD |＝2|ND |，求椭圆E 的方程.【答案】（1）2214x y +=（2）221123x y +=【解析】（1）因为c e a ==，所以2234c a =，则2214b a =，所以222214x y b b +=，将P （1程，得b 2＝1，所以a 2＝4，可得椭圆方程；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），设y 1＜y 2，因为2214b a =，所以椭圆的方程为222214x y b b+=，MN 的直线方程为x =+2，联立求解韦达定理，结合条件|MD |＝2|ND |，可得y 1＝﹣2y 2，所以解得1y =22y =b 2＝3，a 2＝12，求得椭圆E 的方程. 【详解】（1）因为2c e a ==，所以2234c a =，则2214b a =，所以222214x y b b +=，将P （1b 2＝1，所以a 2＝4，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），不妨设y 1＜y 2，因为2214b a =，所以椭圆的方程为222214x y b b+=，MN 的直线方程为x =+2，联立2222214x x y b b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得，16y 2+12﹣12b 2＝0，所以y 1+y2=，y 1y 22334b -=①.因为|MD |＝2|ND |，即y 1＝﹣2y 2，所以1y =22y = 代入①，得b 2＝3，a 2＝12，所以椭圆E 的方程为221123x y +=.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，一种为根据离心率及椭圆上的点建立方程组求解，考查计算能力；另一种为已知弦长之间的关系求解，利用弦长关系转化得到纵坐标的关系，结合韦达定理即可求解，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 21．已知函数f （x ）＝()21211x x x e -+-（1）求f （x ）＞0的解集；（2）若x ∈R 时，2221mxxx e e +≥+恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）（0，+∞）（2）[12，+∞）【解析】（1）通过对f （x ）求导，可得x ∈R 时，f ′（x ）≥0，所以f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又f （0）＝0，x ∈（0，+∞）时f （x ）＞0，不等式得解；（2）若x ∈R 时，2221mxxxe e+≥+恒成立，不等式转化为2e 2mx ≥e x1xe +（x ∈R ），因为都是偶函数，所以只需x ∈[0，+∞）时，2e 2mxx+-e 2x﹣1≥0成立即可，构造新的函数F （x ）＝2e 2mxx+-e 2x﹣1，求导后再对导函数进行分类讨论，可得实数m 的取值范围. 【详解】（1）因为f （x ）＝()21211x x x e-+-，则f ′（x ）＝2122xxx e -；所以x ∈R 时，f ′（x ）≥0，所以f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又f （0）＝0，所以x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜0，x∈（0，+∞）时f（x）＞0，∴f（x）＞0的解集为（0，+∞）.（2）因为x∈R时，2e2mx x+≥e2x+1恒成立，等价于221mx xxxeee+-≥恒成立，即2e2mx≥e x1xe+（x∈R），因为都是偶函数，所以只需x∈[0，+∞）时，2e2mx x+-e2x﹣1≥0成立即可，令F（x）＝2e2mx x+-e2x﹣1，F（0）＝0，F′（x）＝2（2mx+1）e2mx x+-2e2x＝2e2x[（2mx+1）e2mx x--1]，F′（0）＝0，令G（x）＝（2mx+1）e2mx x--1，G（0）＝0，G′（x）＝2me2mx x-+（2mx+1）（2mx﹣1）e2mx x-=（4m2x2+2m﹣1）e2mx x-①当2m﹣1≥0，即m12≥时，G′（x）≥0，所以G（x）在[0，+∞）上单调递增，又因为G（0）＝0，所以x∈[0，+∞）时，G（x）≥0，即F′（x）≥0，所以F（x）在[0，+∞）上单调递增，又因为F（0）＝0，所以x∈[0，+∞）时，F（x）≥0，所以m1 2≥时满足要求；②当m＝0，x＝1时，2e＜e2+1，不成立，所以m≠0；③当2m﹣1＜0且m≠0时，即m12＜且m≠0时，x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，上单调递减，又因为G（0）＝0，所以x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，时，G（x）＜0，即F′（x）＜0，所以F（x）在122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，上单调递减，又因为F（0）＝0，所以x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，时，F（x）＜0，所以m12＜且m≠0时不满足要求.综上所述，实数m的取值范围是[12，+∞）.【点睛】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立求参数问题，将不等式恒成立转化为构造差函数，求函数的最值是解决本题的关键，也是本题的难点，需要对导函数进一步求导和分类讨论，综合性较强，运算量较大，难度较大．22．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线C2的参数方程为1x tcosy tsinαα=+⎧⎨=⎩（t为参数）.（1）求曲线C1的直角坐标方程和直线C2的普通方程；（2）若P（1，0），直线C2与曲线C1相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值.【答案】（1）曲线C1：x2+y2﹣4x＝0；直线C2：xsinα﹣ycosα﹣sinα＝0（2）3【解析】（1）求曲线C1的直角坐标方程需利用直角坐标与极坐标关系互化关系式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，将ρ＝4cosθ，等式两边乘ρ得ρ2＝4ρcosθ代入即可，直线C2的参数方程消去参数t即为普通方程；（2）因为P（1，0）在直线C2上，将直线C2的参数方程1x tcosy tsinαα=+⎧⎨=⎩（t为参数）代入曲线C1：x2+y2﹣4x＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，根据根与系数关系可得则t1t2＝﹣3，故可求|PA|•|PB|＝|t1t2|＝3.【详解】（1）曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，可得ρ2＝4ρcosθ，即为x2+y2﹣4x＝0，直线C2的参数方程为1x tcosy tsinαα=+⎧⎨=⎩（t为参数），可得xsinα﹣ycosα﹣sinα＝0；（2）因为P（1，0）在直线C2上，将直线C2的参数方程1x tcosy tsinαα=+⎧⎨=⎩（t为参数）代入x2+y2﹣4x＝0，可得（1+tcosα）2+（tsinα）2﹣4（1+tcosα）＝0，化为t2﹣2tcosα﹣3＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝﹣3，可得|PA|•|PB|＝|t1t2|＝3.【点睛】本题考查极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化、求弦长关系问题，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化，可利用转化关系直接求解，求弦长关系问题通常借助联立二次方程，转化为根与系数关系问题求解.23．已知函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣m|（1）当m＝2时，求f（x）≤9的解集；（2）若f（x）≤2的解集不是空集，求实数m的取值范围.【答案】（1）[﹣2，4]（2）[﹣3，1]【解析】（1）当m＝2时，函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣2|≤9,对x分类讨论，分别在三个区间1122x x x--≤≤＜，，＞，去掉绝对值求解不等式即可求得解集；（2）若f（x）≤2的解集不是空集，转化为f（x）min≤2成立，又根据|x+1|+|x﹣m|≥|m+1|恒成立，f （x）min＝|m+1|≤2，解得﹣3≤m≤1.【详解】（1）当m＝2时，f（x）＝|x+1|+2|x﹣2|332512331x xx xx x-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪-+-⎩，＞，，＜.∵f（x）≤9，∴3392xx-≤⎧⎨⎩＞或5912xx-+≤⎧⎨-≤≤⎩或3391xx-+≤⎧⎨-⎩＜，∴2＜x≤4或﹣1≤x≤2或﹣2≤x＜﹣1，∴﹣2≤x≤4，∴不等式的解集为[﹣2，4]；（2）∵f（x）≤2的解集不是空集，∴f（x）min≤2.∵|x+1|+|x﹣m|≥|m+1|，|x﹣m|≥0，∴f（x）＝|x+1|+2|x﹣m|≥|m+1|，当且仅当x＝m时取等号，∴|m+1|≤2，∴﹣3≤m≤1，∴实数m的取值范围为[﹣3，1].【点睛】本题考查含有绝对值不等式的解法和求参数范围问题，解含有绝对值不等式一般进行分区间讨论去掉绝对值，然后求解不等式即可；不等式恒有解求参数问题一般进行等价转化成求函数最值问题，然后通过函数最值确定参数的取值范围，属于中等题.。

2020届重庆市巴蜀中学高考适应性月考数学(理)试题Word版含解析

2020届重庆市巴蜀中学高考适应性月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|20A x x x =-->,集合1|12xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,则A B =I ( )A ．(),0-∞B ．()2,+∞C ．(),1-∞-D ．()0,∞+【答案】C【解析】化简集合A 和B ,根据交集定义,即可求得A B I . 【详解】∴ {}2|20A x x x =-->∴ 化简可得()(),12,A =-∞-⋃+∞根据指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数∴ 121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝,即01122x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故0x < ∴ (),0B =-∞故(),1A B =-∞-I 故选:C. 【点睛】本题考查了集合的交集,在集合运算比较复杂时,可以使用数轴来辅助分析问题,属于基础题. 2．已知复数12iz i -=+(i 为虚数单位),则z 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】化简12iz i -=+,可得()()()()1211322255i i i z i i i i ---===-++-,即可求得z 对应的点. 【详解】Q ()()()()1211322255i i i z i i i i ---===-++- ∴ z 对应的点为13,55⎛⎫- ⎪⎝⎭,故在第四象限故选:D. 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算,以及复数的基本概念的应用,其中解答中熟练应用复数的运算法则化简是解答的关键,属于基础题.3．已知实数x ,y 满足102022x y x y y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥-⎩则z x y =+的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合即可求得z x y =+的最小值. 【详解】作出可行域,由z x y =+,得y x z =-+,Q 当y x z =-+与边界直线20x y +-=重合时,z 取得最小值. ∴ 可取公共点13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭,可知min 13222z =+= 故选:B. 【点睛】本题考查线性规划的相关内容,解题关键是根据约束条件画出不等式组表示的平面区域,数形结合解决问题,属于中档题.4．命题p :2m =,命题q :直线()1120m x y m --+-=与直线230mx y m +-=垂直,则p 是q成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】Q 由直线()1120m x y m --+-=与直线230mx y m +-=垂直 ∴ 可得(1)20m m --=,即220m m --=,解得1m =-或2m =.故:由直线()1120m x y m --+-=与直线230mx y m +-=垂直不能推出:2m =∴命题p 是命题q 不必要条件Q 由2m =时直线分别是: 100x y --=,30x y +-=,此时两条直线垂直.故命题p 能推出命题q∴ 命题p 是命题q 充分条件综上所述,p 是q 充分不必要条件. 故选:A. 【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题. 5．已知()tan 2πθ-=,则sin sin 2πθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( ) A ．25B ．25-C ．25±D ．45【答案】B【解析】由()tan 2πθ-=,可得tan 2θ=-,根据诱导公式化简sin sin 2πθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,即可求得答案. 【详解】Q ()tan 2πθ-= ∴ tan 2θ=-Q sin sin cos sin 2πθθθθ⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭222cos sin tan cos sin 1tan θθθθθθ==++ 22145-==-+ 故选:B. 【点睛】本考查了由诱导公式求三角函数值,能熟练使用诱导公式是解本题关键,考察了计算能力,属于基础题. 6．“辛卜生公式”给出了求几何体体积的一种计算方法:夹在两个平行平面之间的几何体,如果被平行于这两个平面的任何平面所截,截得的截面面积是截面高（不超过三次）的多项式函数,那么这个几何体的体积,就等于其上底面积、下底面积与四倍中截面面积的和乘以高的六分之一.即:()046hV S S S '=++,式中h ,S ,S ',0S 依次为几何体的高,下底面积,上底面积,中截面面积.如图,现将曲线()20y x x =≥与直线2y =及y轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周得到一个几何体.利用辛卜生公式可求得该几何体的体积V =( )A ．2π B ．πC ．2πD ．4π【答案】C【解析】根据“辛卜生公式”:()046hV S S S '=++,根据旋转体特点,结合已知,即可求得答案. 【详解】Q 根据辛卜生公式:()046hV S S S '=++ Q 根据题意可知该几何体是由,曲线()20y x x =≥与直线2y =及y 轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周得到.∴ 0S '=,22S ππ==,201S ππ=⋅=,∴ 根据辛卜生公式()220426V πππ=⨯++= 故选:C. 【点睛】本题考查了求旋转体体积,解题的关键是能够理解辛卜生公式,考查了理解能力和计算能力,属于基础题. 7．已知()f x 是R 上的偶函数,当0x ≥时,有()()3f x f x +=-,当[)0,3x ∈时,()2xf x =,则12log 192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A ．12B ．13C ．2D ．3【答案】D【解析】利用偶函数()f x 满足()()3f x f x +=-求出函数的周期,然后化简12log 192f ⎛⎫ ⎪⎝⎭,通过周期性和偶函数性质,即可求得答案. 【详解】Q 当0x ≥时,()()3f x f x +=-,∴ ()()6f x f x +=,故()f x 最小正周期:6T =.Q ()122log 192log 192f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,又Q ()f x 为偶函数故()()()222log 192log 192log 643f f f -==⨯()()2log 3226log 3log 323f f =+===故选D. 【点睛】本题考查了函数的周期性,需要掌握(+)()f m x f x =的周期为m ,当所求的变量不在所给的函数定义域内,利用函数的周期和奇偶性化简到定义域内,这是解此类型题的关键. 8．如图是一程序框图,则输出的S 值为( )A ．20222023B ．10112013C ．10102021D ．20202021【答案】C【解析】由程序框图可得111133520192021S =+++⨯⨯⨯L ,根据数列的裂项求和,即可得出答案. 【详解】由程序框图可知:111133520192021S =+++⨯⨯⨯L 1111111233520192021⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 11120201010122021220212021⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭ 故选:C. 【点睛】本题考查数列的裂项求和,解题关键是能够理解程序框图,考查了分析能力,属于基础题.9．已知向量()2,0a =r ,向量(b =r ,向量c r满足c a b --=r r r ,则c r 的最大值为( )A B ．C ． 3D ．【答案】D【解析】设(),c x y =r ,()2,0a =r,(b =r ,则(3,c a b x y --=-r r r ,即可求得()(2233x y -+=,将c r的起点放到坐标原点,则终点在以(为圆心,,即可求得cr 的最大值.【详解】Q 设(),c x y =r ,()2,0a =r,(b =r∴ (3,c a b x y --=-r r r故c a b --==r r r即()(2233x y -+=Q将c r的起点放到坐标原点,则终点在以(为圆心,.∴c r的最大值即:圆心到原点的距离+半径,=故选:D. 【点睛】本题主要考查向量的模的最值问题,根据向量模的几何意义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题型. 10．巴蜀中学作为一所中华名校,不仅是培养学生的摇篮,也是培养教师的摇篮,每一年都有许多实习老师到巴蜀中学实习.现有甲乙等4位实习老师被分到高二年级的（1）,（2）,（3）三个班级实习.要求每个班级至少有一名实习老师,每个实习老师只能到一个班级实习,则甲不去高二（1）班,乙必须去高二（3）班实习的概率为( ) A ．736B ．16C ．29D ．772【答案】A【解析】根据题意,基本事件数234336n C A =⋅=,甲去（3）班,有222A =种,甲去（2）班,有2112225C C C +⋅=种,即可求得答案.【详解】根据题意基本事件数234336n C A =⋅=Q ①甲去（3）班,有222A =种,②甲去（2）班,有2112225C C C +⋅=种,∴ 甲不去高二（1）班,乙必须去高二（3）班实习的概率为:736P =, 故选:A. 【点睛】本题考查排列组合的简单应用.在排列组合的过程中,一般我们要注意:特殊元素优先排,相邻元素捆绑排这样一个原则.11．已知抛物线24x y =的焦点为F ,过直线2y x =-上任一点引抛物线的两条切线,切点为A ,B ,则点F 到直线AB 的距离( ) A ．无最小值B ．无最大值C ．有最小值,最小值为1D ．有最大值,【答案】D【解析】设()11,A x y ,()22,B x y ,可得2114x y =,2224x y =,即可求得A 为切点的切线方程1l 和以B 为切点的切线方程2l ,设过直线2y x =-上任一点为()00,P x y ,将()00,P x y 代入1l 和2l ,即可求得直线AB 的方程,进而求得点F 到直线AB 的距离. 【详解】设()11,A x y ,()22,B x y ,可得2114x y =,2224x y =Q 以A 为切点的切线方程为1l :()1112x y y x x -=-,即112x y x y =-——① 同理可得,以B 为切点的切线方程为2l :222x y x y =- ——② 设过直线2y x =-上任一点为()00,P x y∴ ()00,P x y 代入①②得10012002,2,2x y x y x y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以直线AB 的方程为002xy x y =-,即002x y x y =-, 又Q 002y x =-,即0122x y x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭Q AB 过定点()2,2P ,∴ 当PF AB ⊥时,()0,1F 到l 的距离的最大值为=当AB 过点F 时,距离的最小值为0故选:D . 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,综合性强,本题涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.12．已知函数()()()()()22213122x x f x a a e a x e x =---+++有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,22e +⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,11,2e ⎛⎫⎪⎝⎭U D ．11,11,22e +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 【答案】D【解析】因为()0f x =,故()()()()222131220x x a a e a x e x ---+++=,化简为:()()()e 221e 20x xa x a x ⎡⎤⎡⎤-+--+=⎣⎦⎣⎦,即2e x x a +=,221e x x a +-=,构造函数()2ex x g x +=,求其最值即可求得实数a 的取值范围. 【详解】Q 由()0f x =,()()()()222131220x x a a e a x e x ---+++=∴ 得()()()e 221e 20x xa x a x ⎡⎤⎡⎤-+--+=⎣⎦⎣⎦,可得:2e x x a +=,221e xx a +-=, 设()2e x x g x +=,则()()1e xx g x -+'=, Q 当()0g x '>时,1x <-当()<0g x '时,1x >-∴ ()g x 在(),1-∞-上单调递增,在()1,-+∞上单调递减,故()20g -=,()()max 1e g x g =-=, 当2x >-,()0g x >.Q x →-∞,()g x →-∞,x →+∞,()0g x +→.要使方程有4个不同的零点,则0e021e 21a a a a<<⎧⎪<-<⎨⎪-≠⎩,可得11e 22a +<<,1a ≠, 故选:D. 【点睛】本题考查了函数零点问题,要将函数的求零点问题转化为求方程根的问题,就自变量取不同范围进行讨论求解这是解题关键.二、填空题13．二项式2462x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为______. 【答案】－32【解析】写出二项式2462x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开通项公式:()()462142rr r r r T C x x --+=-,即可求得答案. 【详解】Q 二项式2462x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开通项公式: ()()()46224814422rrrr r r rr T C x x C x ---+=-=-∴ 当3r =时,()()32483442232rr rC x C -=--=-∴二项式2462x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为:32-. 故答案为:32-. 【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项,解题关键是掌握二项展开式的通项公式,考查分析能力和计算能力,属基础题.14．已知函数()()()sin 2cos 202f x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++<< ⎪⎝⎭,将()f x 的图像向右平移12π个单位后得到的函数图像关于y 轴对称,则ϕ的值为______. 【答案】512π【解析】将()()()sin 2cos 202f x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++<<⎪⎝⎭化简可得:()24f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭, 将()f x 的图像向右平移12π个单位后得:()212g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,根据()g x 图像关于y 轴对称,即可求得答案. 【详解】Q ()()()sin 2cos 202f x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++<<⎪⎝⎭∴ 由辅助角公式可得:()24f x x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭将()f x 的图像向右平移12π个单位后得:()212g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴ ()212g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图像关于y 轴对称 ∴()122k k ππϕπ+=+∈Z ,512k ϕππ=+,又02πϕ<<,∴0k =,512ϕπ=. 故答案为:512π. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换、及三角函数的图像变换和三角函数的性质的应用,其中根据三角恒等变换的公式,化简得到函数的解析式,掌握三角函数的图像变换和三角函数的性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.15．已知双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)的左,右焦点为1F ,2F ,以12F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点P ,线段2PF 与双曲线的交点M 为2PF 的中点,则双曲线C 的离心率为______.1【解析】因为以12F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点P ,故222x y c by x a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得,,x a y b =⎧⎨=⎩,求得(),P a b ,由中点坐标公式解得,22a c b M +⎛⎫⎪⎝⎭,将其代入22221x ya b-=,即可求得双曲线C 的离心率. 【详解】Q 以12F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点P ,∴ 222x y c by xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得:,,x a y b =⎧⎨=⎩ 故(),P a b , 又Q ()2,0F c ,∴,22a c b M +⎛⎫ ⎪⎝⎭,代入双曲线方程22221x y a b-= 可得:22240c ac a +-=,化简可得2240e e +-=∴1e =-±,又1e >,∴1e =.故答案为1. 【点睛】本题考查了求双曲线离心率的问题,解题关键双曲线的几何性质及离心率的求法,数形结合是本题的关键,查分析能力和计算能力,属于中档题.16．已知数列{}n a ,满足()()*112n n na n a n +--=∈N ,{}na 的前n 项和为nS,对任意的*n ∈N ,当5n ≠时,都有5n S S <,则5S 的取值范围为______. 【答案】()5,6【解析】由()112n n na n a +--=,当1n =,得12a =.由()()1121212n n n n na n a n a na +++⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩ 可得212n n n a a a +++=,即可求得{}n a 为等差数列,结合当5n ≠时,都有5n S S <,即可求得5S 的取值范围. 【详解】Q 由()112n n na n a +--=, ∴ 当1n =,得12a =.Q ()112n n na n a +--=——①可得()1212n n n a na +++-=——②∴ 由①②得:212n n n a a a +++=,故{}n a 为等差数列.又Q 120a =>,5S 最大,则0d <,50a >,60a <,即240,250d d +>⎧⎨+<⎩1225d ⇒-<<-, 又51010S d =+,可得()55,6S ∈ 故答案为:()5,6. 【点睛】本题解题关键是根据已知条件判断出数量是等差数列,掌握数列单调性是解本题的关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.三、解答题17．已知数列{}n a ,是一个等差数列,且22a =,145a a +=,数列{}n b 是各项均为正数的等比数列,且满足:112b =,24164b b ⋅=. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; （2）求证:11222n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+<.【答案】（1）n a n =，12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）证明见解析【解析】（1）因为{}n a 为等差数列,设公差为d ,则1112,35,a d a a d +=⎧⎨++=⎩即可求得首项和公差,即可求得{}n a .因为{}n b 为等比数列,2243164b b b ⋅==,23118b b q ==,即可求得公比,进而求得{}n b . （2）因为n a n =,12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以()23111111123122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,根据数列求和错位相减法,即可求得n T ,进而求得答案. 【详解】（1）Q {}n a 为等差数列,设公差为d ,∴1112,35,a d a a d +=⎧⎨++=⎩∴11,1,a d =⎧⎨=⎩∴()11n a a n d n =+-=.Q {}n b 为等比数列,0n b >,设公比为q ,则0q >, ∴2243164b b b ⋅==,23118b b q ==, ∴12q =,1111222n nn b -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）令112233n n n T a b a b a b a b =+++⋅⋅⋅+,∴ ()23111111123122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭——①可得:()2311111112122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭——②∴由①-②得:23111112211111111222222212nn n n n T n n ++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-,∴1112222n nn T n -⎛⎫⎛⎫=--⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故11222n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+<. 【点睛】本题考查求等差数列通项公式和数列求和.错位相减法求数列和,适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,考查了学生的计算能力,属于基础题型.18．2019年双十一落下帷幕,天猫交易额定格在268(单位:十亿元)人民币(下同),再创新高,比去年218(十亿元)多了50(十亿元),这些数字的背后,除了是消费者买买买的表现,更是购物车里中国新消费的奇迹,为了研究历年销售额的变化趋势,一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据y (单位:十亿元).绘制如下表1: 表1根据以上数据绘制散点图,如图所示.(1)根据散点图判断,y a bx =+与2y cx d =+哪一个适宜作为销售额y 关于x 的回归方程类型？(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及下表中的数据,建立y 关于x 的回归方程,并预测2020年天猫双十一销售额;(注:数据保留小数点后一位)(3)把销售额超过10(十亿元)的年份叫“畅销年”,把销售额超过100(十亿元)的年份叫“狂欢年”,从2010年到2019年这十年的“畅销年”中任取3个,求取到的“狂欢年”个数ξ的分布列与期望. 参考数据:2i i t x =.参考公式:对于一组数据()11,u v ,()22,u v ,…,(),n n u v ,其回归直线$µva u β=+$的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为µ1221111ni ni u v nuvu nuβ==-=-∑∑,µµv u αβ=-$. 【答案】（1）2y cx d =+更适宜（2）$22.7 2.0y x =-，预测2020年双十一的销售额为324.7十亿元（3）答案见解析【解析】（1）根据其图像的形状,即可得出答案.（2）根据101102211010i ii i t y t ybtt =-=-=-∑∑$,a y bt =-$$,即可求得y 关于x 的回归方程,即可预测2020年天猫双十一销售额;（3）因为畅销年个数为8,狂欢年个数为4,ξ的可能取值为0,1,2,3,分别求出()0P ξ=,()1P ξ=,()2P ξ=,()3P ξ=,即可求得随机变量X 的分布列和数学期望.【详解】（1）根据其图像的形状可知,2y cx d =+更适宜.（2）1011022110677701038.5102285005702.725380148301055021110i ii i t y t ybtt =-=--⨯⨯====≈--∑∑$,$102 2.738.5 2.0ay bt =-=-⨯≈-$, ∴ $22.7 2.0y x =-,当1x =时,$324.7y =（十亿元）, ∴预测2020年双十一的销售额为324.7十亿元.（3）畅销年个数为8,狂欢年个数为4,ξ的可能取值为0,1,2,3()34384105614C P C ξ====,()2144382431567C C P C ξ⋅====, ()2144382432567C C P C ξ⋅====,()34384135614C P C ξ====,∴()1331301231477142E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了概率的求法和离散型随机变量分布列及其数学期望,在列分布列时,要弄清随机变量所满足的分布列类型,结合相应公式求出事件的概率,进而得出概率分布列以及数学期望,考查计算能力.19．已知,在ABC V 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,()sin cos ,sin p A C A =+u r,()cos sin ,sin q C A C =--r ,若1cos 22B p q +⋅=u r r .（1）求角B ;（2）若3b =,求ABC V 面积的最大值.【答案】（1）23B π=（2）4【解析】（1）因为()sin cos ,sin p A C A =+u r ,()cos sin ,sin q C A C =--r ,1cos 22Bp q +⋅=u r r 可得:222cos sin sin sin cos p q C A A C B ⋅=--=u r r,根据正弦定理可得222a c ac b ++=,即可求得答案.（2）由余弦定理:2222cos b a c ac B =+-,2293a c ac ac =++≥,则3ac ≤,根据三角形面积公式即可求得答案. 【详解】（1）Q ()sin cos ,sin p A C A =+u r ,()cos sin ,sin q C A C =--r ,1cos 22Bp q +⋅=u r r ∴ 222cos sin sin sin cos p q C A A C B ⋅=--=u r r,可得:2221sin sin sin sin 1sin C A A C B ---=-,∴ 222sin sin sin sin sin A C A C B ++=.由正弦定理:222a c ac b ++=故:2222cos a c b ac ac B +-=-=∴ 1cos 2B =-, Q 0B π<<, ∴23B π=.（2）由余弦定理:2222cos b a c ac B =+-,∴2293a c ac ac =++≥,∴3ac ≤,当且仅当a c =时,()max 3ac =,∴1sin 244ABC S ac B ac ==≤V .∴ABC V 面积的最大值为:4.【点睛】本题主要考查正弦定理,余弦定理解三角形和三角形面积公式,解题关键是利用正弦定理sin sin sin a b c A B C==边化角,再利用和角的正弦公式化简所给式子,属于基础题.20．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的两个焦点为1F ,2F ,焦距为直线l :1y x =-与椭圆C 相交于A ,B 两点,31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点. （1）求椭圆的标准方程;（2）若直线l :y kx m =+与椭圆C 相交于不同的两点M ,N ,()0,Q m ,若3OM ON OQ λ+=u u u u r u u u r u u u r（O 为坐标原点）,求m 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=（2）113m <<或113m -<<-【解析】（1）因为31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点,设()11,A x y ,()22,B x y ,将其代入22221x ya b+=利用点差法,即可求得答案.（2）因为M ,Q ,N 三点共线,133OQ OM ON λ=+u u u r u u u u r u u u r , 根据三点共线性质可得:1133λ+=,则2λ=,将直线l和椭圆C 联立方程22,33y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消掉y ,结合已知,利用韦达定理即可求得答案. 【详解】（1）Q焦距为则c =设()11,A x y ,()22,B x y ,Q 31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点,根据中点坐标公式可得:1232x x +=,1212y y +=-, 又Q 将其()11,A x y ,()22,B x y 代入椭圆C :22221x ya b+=∴ 2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩ ∴ 将两式作差可得:()()()()22121212120b x x x x a y y y y +-++-=, ∴()()22121222121231ABb x x y y b k x x a y y a+-==-==-+, ∴223a b =——①. Q 222a c b -=——②由①②得: 2231a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆的标准方程为2213x y +=. （2）Q M ,Q ,N 三点共线,133OQ OM ON λ=+u u u r u u u u r u u u r∴ 根据三点共线性质可得: 1133λ+=,则2λ=设()11,M x y ,()22,N x y ,则1212033x x +=,∴122x x =-.将直线l 和椭圆C 联立方程22,33y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消掉y . 可得:()222136330kxkmx m +++-=.220310k m ∆>⇒-+>——①,根据韦达定理:122613km x x k +=-+,21223313m x x k-=+, 代入122x x =-,可得:22613km x k =+,222233213m x k--=+, ∴ ()222222363321313k m m kk --⨯=++,即()2229131m k m -⋅=-. Q 2910m -≠,219m ≠, ∴22213091m k m -=≥-——②, 代入①式得22211091m m m --+>-,即()22211091m m m -+->-, ∴()()2221910m m m --<,∴2119m <<满足②式, ∴113m <<或113m -<<-.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理解决. 21．已知函数()ln f x x x =. （1）求()f x 的单调区间与极值；（2）若不等式23ln 0322x x x e x λλ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+对任意[]1,3x ∈恒成立，求正实数λ的取值范围. 【答案】（1）单减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()f x 的单增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,()1ef x =-极小值,无极大值.（2）127ln32λ≤【解析】（1）因为()ln f x x x =,定义域为()0,∞+,则()1ln f x x '=+,即可求得()f x 的单调区间与极值;（2）223e ln 0322x x x x x x λλ⋅⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+,故2302x x +>,将其化简可得2233ln e 22x x x x x x λλ⎛⎫⎛⎫+⋅+≥⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()23e 2x f x x f λ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭,由（1）知()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单增,23e 2x x x λ+≥,23ln 2x x xλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤,即可求得正实数λ的取值范围.【详解】（1）Q ()ln f x x x =∴ ()1ln f x x '=+,定义域为()0,∞+,又∴()0f x '>,1e x >,()0f x '<,10e x <<.∴()f x 的单减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭,()f x 的单增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭∴()1111ln e e e e f x f ⎛⎫===- ⎪⎝⎭极小值,无极大值.（2）Q 223e ln 0322xx x x x x λλ⋅⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+,故2302x x +>∴将223eln 0322xxx x x x λλ⋅⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+化简可得: 2233ln e 22x x x x x x λλ⎛⎫⎛⎫+⋅+≥⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴()23e 2xf x x f λ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭. Q 2322x x +≥,0e e 1x λ>=,∴由（1）知()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单增, ∴23e 2x x x λ+≥,∴23ln 2x x x λ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,即23ln 2x x xλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤. 令()23ln 2x x h x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭=, ()223232ln 322x x x x h x x +⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+'∴= 令()23232ln 322x k x x x x +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭+, 则()22332223322x k x x x x +'=-⎛⎫++ ⎪⎝⎭3321223322x x x x ⎛⎫+ ⎪=- ⎪ ⎪++⎝⎭29231403322x x x x x ---=⋅<⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭, ∴ ()k x 在[]1,3上单减,()751ln 052k =->,()5273ln 032k =-<, ∴()01,3x ∃∈,()00k x =且在()01,x 上,()0k x >,()0h x '>,()h x 单增,在()0,3x 上,()0k x <,()0h x '<,()h x 单减.()()(){}()()min 27ln 52min 1,3,1ln ,3ln 23h x h h h h ===∴=∴()()13h h > ∴127ln32λ≤. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用和不等式恒成立问题.对于恒成立问题,通常利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的不等关系式.着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.22．在直角坐标系xOy 中,曲线1C :22cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C :24sin 3ρρθ=-,曲线1C 与曲线2C 相交于M ,N 两点.（1）求曲线2C 的直角坐标方程与直线MN 的一般方;（2）点3,04P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,求PM PN +. 【答案】（1）2C ：2243x y y +=-，直线MN ：4430x y -+=（2【解析】（1）将曲线1C :22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩化简为:2cos 2sin 2x y θθ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,根据22sin cos 1θθ+=消参,即可得到2C 的直角坐标方程,将1C 和2C 直角坐标方程作差,即可求得直线MN 的一般方程.（2）将MN l :34y x =+方程,改写成直线参数方程: 342x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,将其代入1C ,即可求得PM PN +.【详解】（1）1C :()2224x y -+=即2240x x y -+=. ——① 2C :2243x y y +=-——②将①-②得: MN l :4430x y -+-=,∴ 曲线2C 的直角坐标方程: 2243x y y +=-,直线MN 的一般方程为:4430x y -+=.（2）MN l :34y x =+, ∴ 3,04P ⎛⎫- ⎪⎝⎭在MN l 上, 直线MN 的参数方程为:342x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,代入1C :()2224x y -+=,整理得257016t +=,根据韦达定理: 12t t +=125716t t =⋅, ∴10t >,20t >.故:12PM PN t t +=+=. 【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标方程.解题关键是掌握直线的标准参数方程,结合韦达定理来求线段和,意在考查学生的转化能力和计算求解能力,属于基础题.23．已知函数()122f x x x a =-++.（1）若1a =,求不等式()4f x ≥的解集;（2）证明:对任意x ∈R ,()22f x a a ≥+-.【答案】（1）[)5,1,3x ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦U （2）证明见解析【解析】（1）当1a =时,()122f x x x =-++,分别讨论1x ≤-,11x -<<和1x ≥时求解()4f x ≥,即可求得答案;（2）因为()()221f x x x a x a =-++++,根据||||||||||a b a b a b -≤+≤+即可求得答案.【详解】（1）当1a =时,()122f x x x =-++①当1x ≤-时,()1224f x x x =---≥,得53x ≤-；②当11x -<<时,()12234f x x x x =-++=+≥,得1x ≥,∴x ∈∅③当1x ≥时,()122314f x x x x =-++=+≥,得1x ≥, ∴[)5,1,3x ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦U . （2）Q ()()()22121f x x x a x a x x a x a =-++++≥---++()2121222a x a a a a a =+++≥+=+≥+-.∴ 对任意x ∈R ,()22f x a a ≥+-.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解,其中解答中合理分类讨论去掉绝对值,转化为等价不等式求解是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.。

巴蜀中学2020届高考适应性月考卷(一)及其答案(理数)

当
a
e
时，
f
x
xx2eelnx
2e, x 1, x, x 1.
在,1,1,e 单调递减，在e,单调递增，
则 f xmin min f 1, f e 0 ，所以满足对任意的实数 x ， f (x) ≥ 0 恒成立，、
从而选项 B 正确. 【解析点评】解法 1：主要是寻找函数的最小值大于或等于 0，求参数范围；解法 2：主要是利用参数全分离，构造新的已知函数，直接求参数范围；解法 3：主要在特殊情况下的不等式恒成立，这也是做选择题的一种好的方法.
D. c < a < b
【考点】比较大小
【命题意图】比较对数与幂大小，利用函数单调性寻找每个数学的估算范围，属于简单题.
答案：A.
解析：陕西
解法：因为 log7 1 < log7 2 < log7 7 ，所以 0 < a < 1；
log0.7 0.7 < log0.7 0.2 ，所以 b > 1；
0 < 0.70.2 < 0.70 ，所以 0 < c < 1；
15．（巴蜀中学 2020 届高考适应性月考卷（一）理数）已知函数 y = e x 上任意一点 P(x0 , e x0 ) ，在 P
点处的切线 l1 交 x 轴于点 A ，l2 过点 P 且 l1 ⊥ l2 ，l2 与 x 轴交于点 B ，则线段 AB 长度的取值范围
为
.
【考点】切线
【命题意图】考查了函数切线，用切点坐标表示线段的长，再求其范围，属于简单题.
第九套 - 1
由 g(x) = g(−x) 知： a = 4 且 aω = 4ω = π + kπ ,k ∈ Z ，即： 4ω = π + kπ , k ∈ Z

巴蜀中学2020届高考适应性月考卷理科数学试卷及其答案(六)

A． 188 243
B． 55 243
C． 95 243
D． 148 243
10．已知
f
(x)
1
a 2x 1
是定义域为
R
的奇函数，且对任意实数
x
，都有
f
(x2
mx
2)
1 3
，则
m
的取值范围是
（）
A． 2 m 2
B． 0 m 2
C． 4 m 4
D． m 2
11．锐角 △ABC 的三边分别为 a ， b ， c ， a 2bcosB ，则 c 的取值范围是（） bf2 3x，
f
(x)
f
6
x
0
那么函数
y
f
x 的图
象（）
A．关于点
7 12
,
0
对称
B．关于点
7 12
,
0
对称
C．关于直线 x 7 对称 12
D．关于直线 x 7 对称 12
9．图 1 是某个闭合电路的一部分，每个元件正常导电的概率为 2 ， 3
则从 A 到 B 这部分电路能通电的概率为（）
A． 5 e 4
B． 5 e 3
C． 5 e 1 3
D． 5 e 1 4
7．“ ln x ln y ”是“ (1)x (1)y ”的（） 32
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．已知函数
f
x
sin(x )
0,| |
2
满足
f
(x)
A． 1,3
B．
1 2
,
2

2020年3月重庆市巴蜀中学2020届高三毕业班阶段性质量检测数学(理)试题(解析版)

绝密★启用前重庆市巴蜀中学2020届高三毕业班下学期3月阶段性质量检测数学(理)试题(解析版)2020年3月（完卷时间120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，已知复数z 对应的点与复数1i +对应的点关于实轴对称，则z i=（）A. 1i +B. 1i -+C. 1i --D. 1i - 【答案】C【解析】【分析】先求出复数z,再求z i得解. 【详解】由题得z=1-i , 所以1i i i 11i 1i z +==---=-. 故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数除法的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2. 已知集合(){},|20A x y x y =+=,(){},|10B x y x my =++=.若A B =∅,则实数m =（）A. 2-B. 12- C. 12 D. 2【答案】C【解析】【分析】根据集合,A B 元素所表示的意义,以及集合,A B 关系,即可求解.【详解】因为A B =∅,所以直线20x y +=与直线10x my ++=平行,所以12m =. 故选:C .【点睛】本题主要考查集合的概念与运算、解方程等基础知识,属于基础题.3. 已知两个单位向量12,e e ,若()1212-⊥e e e ,则12,e e 的夹角为（） A. 23π B. 3π C. 4π D. 6π【答案】B【解析】【分析】由已知可求出12e e ⋅,再由向量夹角公式,即可求解.【详解】因为()1212-⊥e e e ,所以()12102=-⋅e e e ,所以11222=⋅e e e , 所以12,cos e e <>=12,又因为[]12,0,e e π<∈>,所以12,e e π3<>=. 故选:B . 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与夹角,意在考查逻辑推理,数学运算,属于基础题.4. 随机变量()2~,N ξμσ,若(1)0.3P ξ≤=,(15)0.4P ξ<<=,则μ=（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据正态分布的对称性列方程,解方程求得μ的值.。

2020学年重庆市巴蜀中学高三(上)一诊数学试卷(理科)

2019-2020学年重庆市巴蜀中学高三（上）一诊数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数，则其共轭复数的虚部为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．22．（5分）已知集合，B＝{x|y＝lg（2x﹣1）}，则A∩B＝（）A．（0，1]B．[0，1]C．D．3．（5分）设，均为单位向量，当，的夹角为时，在方向上的投影为（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）已知等差数列{a n}满足4a3＝3a2，则{a n}中一定为零的项是（）A．a6B．a8C．a10D．a125．（5分）新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）．其中“选择考”，成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A、B、C、D、E五个等级，某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到：如图表针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（）A．获得A等级的人数减少了B．获得B等级的人数增加了1.5倍C．获得D等级的人数减少了一半D．获得E等级的人数相同6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．22019﹣1B．22019﹣2C．22020﹣2D．22020﹣17．（5分）设函数f（x）＝cos（2x﹣）+sin（2x﹣），将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x）为偶函数，则φ的最小值是（）A．B．C．D．8．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝（﹣1）n a n+，则S1+S3+S5＝（）A．0B．C．D．9．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过其焦点F的直线与C交于A，B两点，O是坐标原点，记△AOB的面积为S，且满足|AB|＝3|FB|＝，则p＝（）A．B．1C．D．210．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π11．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝kx﹣1，f（x）的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y＝﹣1的对称点在g（x）的图象上，则k的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，1）D．（，1）12．（5分）在△ABC中，A，B、C为其三内角，满足tan A，tan B、tan C都是整数，且A＞B＞C，则下列结论中错误的是（）A．A＞B．B＞C．A＜D．B＜二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知（2+x）5＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+……+a5（1+x）5，则a2＝．14．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆交C的一条渐近线于点P（P在第一象限内），若线段PF1的中点Q 在C的另一条渐近线上，则C的离心率为．15．（5分）中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接面成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作，由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（10000，102），且各个元件能否正常工作相互独立．现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为台16．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P为体对角线BD1上的一点，且BP ＝λBD1（λ∈（0，1）），现有以下判断，①A1D⊥C1P②若BD1⊥平画P AC，则λ＝③△P AC周长的最小值是2+2④若△P AC为钝角三角形，则λ的取值范国为（0，）．其中正确判断的序号为．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是∠BAC的内角平分线，点D在线段BC上，且BD＝2CD．（1）求sin B的值；（2）若AD＝1，求△ABC的面积18．（12分）如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（Ⅰ）证明：AE⊥PB；（Ⅱ）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．19．（12分）已知点M（，）在椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上，且点M到C 的左、右焦点的距离之和为2．（1）求C的方程；（2）设O为坐标原点，若C的弦AB的中点在线段OM（不含端点O，M）上，求・的取值范围．20．（12分）武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城，其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风量区等等（1）为了解“五・一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如下的频率分布直方图：现从年龄在[42，52]内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在[47，52]内的人数为ξ，求P（ξ＝3）（2）为了给游客提供更舒适的旅的体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投人至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐观光，由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X（单位：万人）都大于1．将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得如表劳动节当日客流量X1＜X＜33≤X≤5X＞5频数（年）244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立．该游船中心希望投入的A型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A型游船最多使用量（单位艘）要受当日客流量X（单位：万人）的影响，其关联关系如表劳动节当日客流量X1＜X＜33≤X≤5X＞5A型游船最多使用量123若某艘A型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元记Y（单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投人多少艘A型游船才能使其当日获得的总利润最大．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+1）e x++2ax，a∈R（1）讨论f（x）极值点的个数（2）若x0（x0≠﹣2）是f（x）的一个极值点，且f（﹣2）＞e﹣2，证明：f（x0）≤1．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为轴的坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（）＝．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P（﹣1，0），直线l和曲线C交于A，B两点，求|P A|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|（a＞0）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞4的解集；（2）若不等式f（x）＞4﹣2x对任意的x∈[﹣3，﹣1]恒成立，求a的取值范围．2019-2020学年重庆市巴蜀中学高三（上）一诊数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数，则其共轭复数的虚部为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【分析】利用复数的运算法则求出z＝2﹣i，从而＝1+i．由此能求出共轭复数的虚部．【解答】解：复数＝＝＝＝2﹣i．∴＝2+i．∴共轭复数的虚部为1．故选：B．【点评】本题考查复数的共轭复数的虚部的求法，考查复数的运算法则、共轭复数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）已知集合，B＝{x|y＝lg（2x﹣1）}，则A∩B＝（）A．（0，1]B．[0，1]C．D．【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合＝{0＜x≤1}，B＝{x|y＝lg（2x﹣1）}＝{x|x＞}，∴A∩B＝{x|}＝（]．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（5分）设，均为单位向量，当，的夹角为时，在方向上的投影为（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】在方向上的投影为，代入数值计算即可．【解答】解：因为，均为单位向量，且，的夹角为，所以在方向上的投影为：＝，故选：B．【点评】本题考查了平面向量投影的计算，属基础题．4．（5分）已知等差数列{a n}满足4a3＝3a2，则{a n}中一定为零的项是（）A．a6B．a8C．a10D．a12【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵4a3＝3a2，∴4（a1+2d）＝3（a1+d），可得：a1+5d＝0，∴a6＝0，则{a n}中一定为零的项是a6．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）．其中“选择考”，成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A、B、C、D、E五个等级，某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到：如图表针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（）A．获得A等级的人数减少了B．获得B等级的人数增加了1.5倍C．获得D等级的人数减少了一半D．获得E等级的人数相同【分析】根据频率分布直方图扇形图，利用频率与样本容量的关系即可解答．【解答】解：由题可知：设2016年参加选择考的总人数为：a人；则：2018年参加选择考的总人数为：2a人；2016年评定为A、B、C、D、E五个等级的人数为：A：0.28a、B：0.32a、C：0.30a、D：0.08a、E：0.02a；2018年评定为A、B、C、D、E五个等级的人数为：A：0.48a、B：0.80a、C：0.56a、D：0.12a、E：0.04a；对各个选项进行比较可得B正确．故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图和扇形图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．22019﹣1B．22019﹣2C．22020﹣2D．22020﹣1【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝2+22+23+…+22019的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝2+22+23+…+22019的值，由于S＝2+22+23+…+22019＝＝22020﹣2．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．（5分）设函数f（x）＝cos（2x﹣）+sin（2x﹣），将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x）为偶函数，则φ的最小值是（）A．B．C．D．【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用平移变换和伸缩变换的应用和性质求出结果．【解答】解：函数f（x）＝cos（2x﹣）+sin（2x﹣），＝sin（2x+），将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）＝sin（2x+2φ+）的图象，由于g（x）为偶函数，故：2x+2φ+（k∈Z），解得：φ＝（k∈Z），当k＝0时，φ的最小值为．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．8．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝（﹣1）n a n+，则S1+S3+S5＝（）A．0B．C．D．【分析】直接利用函数的关系式的应用和偶函数的性质的应用求出结果．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝（﹣1）n a n+，则：当n为偶数时，，所以：．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的应用，偶函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．9．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过其焦点F的直线与C交于A，B两点，O是坐标原点，记△AOB的面积为S，且满足|AB|＝3|FB|＝，则p＝（）A．B．1C．D．2【分析】联立直线与抛物线，根据韦达定理以及面积公式列式可得．【解答】解：设直线AB的方程为：x＝ty+，将其代入抛物线C的方程得：y2﹣2pty﹣p2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝2pt①，y1y2＝﹣p2②，又|AB|＝3|BF|，∴|AF|＝2|BF|，∴y1＝﹣2y2，③∴s＝|OF|×|y1﹣y2|＝××＝×＝，联立①②③可得t2＝，由弦长公式得|AB|＝x1+x2+p＝ty1++ty2++p＝t（y1+y2）+2p＝2pt2+2p＝，∴＝×，解得：p＝2．故选：D．【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出外接球的半径，进一步求出球的体积．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以：d＝，故：，所以：．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．11．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝kx﹣1，f（x）的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y＝﹣1的对称点在g（x）的图象上，则k的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，1）D．（，1）【分析】由题意可化为函数f（x）图象与y＝﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点，结合题意作图求解即可．【解答】解：因为函数f（x）＝的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y＝﹣1的对称点在g（x）的图象上，而函数g（x）＝kx﹣1关于直线y＝﹣1的对称图象为y＝﹣kx﹣1，所以函数f（x）＝的图象与y＝﹣kx﹣1有且只有四个不同的交点，作出函数f（x）＝的图象与y＝﹣kx﹣1的图象如下，易知直线y＝﹣kx﹣1恒过点A（0，﹣1），设直线AC与y＝xlnx﹣2x相切于点C（x，xlnx﹣2x），则y′＝lnx﹣1，故lnx﹣1＝，解得x＝1，故k AC＝﹣1，设直线AB与y＝x2+x相切于点B（x，x2+x），y′＝2x+，故2x+＝，解得x＝﹣1，故k AB＝﹣2+＝﹣，所以﹣1＜﹣k＜﹣，解得＜k＜1，故选：D．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用．12．（5分）在△ABC中，A，B、C为其三内角，满足tan A，tan B、tan C都是整数，且A＞B＞C，则下列结论中错误的是（）A．A＞B．B＞C．A＜D．B＜【分析】由题意易得B，C都是锐角，利用诱导公式，两角和的正切函数公式可求tan A ＝＞0，可得A也为锐角，由tan C≥1，tan B≥2，tan A≥3，可得（tan A﹣1）（tan B﹣1）≤2，结合tan A﹣1≥2，tan B﹣1≥1，比较可知只可能tan A＝3，tan B＝2，tan C＝1，逐项分析即可得解．【解答】解：△ABC中，由于A＞B＞C，所以B，C都是锐角，由于tan B，tan C都是整数，由A+B+C＝π，得tan A＝﹣tan（B+C）＝﹣＝＞0，可得A也为锐角，这时，tan C≥1，tan B≥2，tan A≥3，可得：＝tan C≥1，可得：tan A+tan B≥tan A tan B﹣1，可得：tan A﹣1+tan B（1﹣tan A）≥﹣2，可得：（tan A﹣1）（1﹣tan B）≥﹣2，可得：（tan A﹣1）（tan B﹣1）≤2，由于：tan A﹣1≥2，tan B﹣1≥1，比较可知只可能tan A＝3，tan B＝2，tan C＝1，由于：tan B，可知B＞，故B正确；由于：tan＝2+＞tan A，可知A＜，又＜，故选项C正确；又由于＞A＞B，可得选项D正确；故选：A．【点评】本题主要考查了两角和的正切公式，诱导公式的应用问题，体现了分类讨论的数学思想方法，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知（2+x）5＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+……+a5（1+x）5，则a2＝10．【分析】由二项式定理及展开式通项公式得：[1+（1+x）]5展开式的通项为T r+1（1+x）r，令r＝2得a2＝＝10，得解．【解答】解：（2+x）5＝[1+（1+x）]5，则[1+（1+x）]5展开式的通项为T r+1（1+x）r，令r＝2得a2＝＝10，故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属简单题．14．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆交C的一条渐近线于点P（P在第一象限内），若线段PF1的中点Q 在C的另一条渐近线上，则C的离心率为2．【分析】如图：因为Q，O分别是PF1，F！F2的中点，所以OQ∥F2P，∵F1F2为圆的直径，∴OQ⊥PF1，再根据直线PF1的方程与y＝﹣x联立得Q的坐标，根据中点公式得P的坐标，将其代入y＝x可得c2＝4a2，可得离心率．【解答】解：如图：因为Q，O分别是PF1，F！F2的中点，所以OQ∥F2P，∵F1F2为圆的直径，∴OQ⊥PF1，直线PF1的方程为：y＝（x+c）与y＝﹣x联立解得Q（﹣，），根据中点公式得P（，），将其代入y＝x得：c2＝4a2，∴e2＝＝4，∴e＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了双曲线的性质，属中档题．15．（5分）中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接面成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作，由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（10000，102），且各个元件能否正常工作相互独立．现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为375台【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过10000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过10000小时”当且仅当“超过10000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过10000小时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘，最后乘以1000得答案．【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（10000，102），得：三个电子元件的使用寿命超过10000小时的概率为P＝，设A＝{超过10000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B＝{超过10000小时时，元件3正常}，C＝{该部件的使用寿命超过10000小时}．则P（A）＝1﹣（1﹣）2＝，P（B）＝，∵事件A，B为相互独立事件，事件C为A、B同时发生的事件，∴P（C）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝×＝．∴这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为1000×＝375．故答案为：375．【点评】本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，是中档题．16．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P为体对角线BD1上的一点，且BP ＝λBD1（λ∈（0，1）），现有以下判断，①A1D⊥C1P②若BD1⊥平画P AC，则λ＝③△P AC周长的最小值是2+2④若△P AC为钝角三角形，则λ的取值范国为（0，）．其中正确判断的序号为①②④．【分析】①根据空间中的垂直关系，即可判断A1D⊥C1P的正误；②利用正方体的特征，判断BD1⊥平面P AC时对应λ的值即可；③建立空间直角坐标系，即可求得△P AC周长的最小值；④通过建立空间直角坐标系，求出△P AC为钝角三角形时λ的取值范围．【解答】解：对于①，A1D⊥面ABC1D1，C1P⊂面ABC1D1，∴A1D⊥C1P，①正确；对于②，若BD1⊥平面P AC，几何体是正方体，∴P在平面AB1C中，则λ＝，②正确；对于③，建立空间直角坐标系，如图所示，设P（x，x，2﹣x），x∈[0，2]，A（2，0，0），C（0，2，0）；|P A|＝|PB|＝＝＝≥＝，∴△P AC的周长最小值为2+2×＝2+，∴③错误；对于④，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|＝1，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），∴＝（﹣1，﹣1，1），＝（﹣λ，﹣λ，λ），＝+＝（λ，λ﹣1，﹣λ），＝+＝（λ﹣1，λ，﹣λ），显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC＝cos＜，＞＝＜0，等价于•＜0，即λ（λ﹣1）+（λ﹣1）λ+（﹣λ）（﹣λ）＝λ（3λ﹣2）＜0，故0＜λ＜，④正确；故答案为：①②④．【点评】本题考查空间直角坐标系的应用，夹角与距离的关系，考查空间想象能力以及计算能力．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是∠BAC的内角平分线，点D在线段BC上，且BD＝2CD．（1）求sin B的值；（2）若AD＝1，求△ABC的面积【分析】（1）在△ABD中，由正弦定理可得，在△ACD中，由正弦定理可得，两式相除可得sin B＝cos B，结合范围0＜B＜π，利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值．（2）由同角三角函数基本关系式可求cos B，利用两角和的正弦函数公式可求sin∠BDA，在△ABD中，由正弦定理可得AB的值，可求AC＝AB tan B的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）在△ABD中，由正弦定理可得：，即：，在△ACD中，由正弦定理可得：，即，两式子相除可得：＝，即sin B＝cos B，可得：sin2B＝cos2B＝（1﹣sin2B），即sin2B＝，又0＜B＜π，可得：sin B＝．（2）由∠BAC＝90°，可得B是锐角，于是cos B＝，所以sin∠BDA＝sin（B+45°）＝sin B cos45°+cos B sin45°＝，在△ABD中，由正弦定理可得：AB＝AD•＝，于是AC＝AB tan B＝，所以S△ABC＝AB•AC＝＝．【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（Ⅰ）证明：AE⊥PB；（Ⅱ）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．【分析】（1）连接BD，设AE的中点为O，可证AE⊥PO，AE⊥BO，故而AE⊥平面POB，于是AE⊥PB；（II）证明PO⊥OB，建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．【解答】（I）证明：连接BD，设AE的中点为O，∵AB∥CE，AB＝CE＝CD，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE＝BC＝AD＝DE，∴△ADE，△ABE为等边三角形，∴OD⊥AE，OB⊥AE，又OP∩OB＝O，∴AE⊥平面POB，又PB⊂平面POB，∴AE⊥PB．（II）解：在平面POB内作PQ⊥平面ABCE，垂足为Q，则Q在直线OB上，∴直线PB与平面ABCE夹角为∠PBO＝，又OP＝OB，∴OP⊥OB，∴O、Q两点重合，即PO⊥平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，），E（，0，0），C（1，，0），∴＝（，0，﹣），＝（，，0），设平面PCE的一个法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝得＝（，﹣1，1），又OB⊥平面P AE，∴＝（0，1，0）为平面P AE的一个法向量，设二面角A﹣EP﹣C为α，则|cosα|＝|cos＜＞|＝＝＝，易知二面角A﹣EP﹣C为钝角，所以cosα＝﹣．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与二面角的计算，属于中档题．19．（12分）已知点M（，）在椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上，且点M到C 的左、右焦点的距离之和为2．（1）求C的方程；（2）设O为坐标原点，若C的弦AB的中点在线段OM（不含端点O，M）上，求・的取值范围．【分析】（1）由题意可得：+＝1，2a＝2，解得a，b．即可得出椭圆的标准方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线OM的方程为：y＝x．弦AB的中点在线段OM （不含端点O，M）上，可得＝×．由+＝1，+＝1，相减可得：＝﹣1＝k AB．设直线AB的方程为：y＝﹣x+m，代入椭圆方程可得：3x2﹣4mx+2m2﹣2＝0．△＞0．解得m2＜3．把根与系数的关系代入・＝x1x2+y1y2＝x1x2+（﹣x1+m）（﹣x2+m）化简即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：+＝1，2a＝2，解得a＝，b＝1．∴椭圆的标准方程为：+y2＝1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线OM的方程为：y＝x．弦AB的中点在线段OM（不含端点O，M）上，∴＝×，化为：x1+x2＝2（y1+y2）．由+＝1，+＝1，相减可得：+（y1+y2）（y1﹣y2）＝0．∵x1﹣x2≠0，∴+（y1+y2）＝0．∴＝﹣1＝k AB．设直线AB的方程为：y＝﹣x+m，代入椭圆方程可得：3x2﹣4mx+2m2﹣2＝0．△＝16m2﹣24（m2﹣1）＝8（3﹣m2）＞0．解得m2＜3．又＝∈（0，），∴．由根与系数的关系可得：x1+x2＝，x1x2＝．∴・＝x1x2+y1y2＝x1x2+（﹣x1+m）（﹣x2+m）＝2x1x2﹣﹣m（x1+x2）+m2＝2×﹣+m2＝m2﹣．而．∴・＝m2﹣∈．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、斜率计算公式、不等式的解法、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（12分）武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城，其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风量区等等（1）为了解“五・一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如下的频率分布直方图：现从年龄在[42，52]内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在[47，52]内的人数为ξ，求P（ξ＝3）（2）为了给游客提供更舒适的旅的体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投人至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐观光，由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X（单位：万人）都大于1．将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得如表劳动节当日客流量X1＜X＜33≤X≤5X＞5频数（年）244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立．该游船中心希望投入的A型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A型游船最多使用量（单位艘）要受当日客流量X（单位：万人）的影响，其关联关系如表劳动节当日客流量X1＜X＜33≤X≤5X＞5A型游船最多使用量123若某艘A型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元记Y（单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投人多少艘A型游船才能使其当日获得的总利润最大．【分析】（1）采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在[42，47）内的人数为6人，由此能求出年龄在[47，52）内的人数为4人，P（ξ＝3）的值．（2）当投入1艘A型游船时，因客流量总大于1，则E（Y）＝3（万元），当投入2艘A 型游船时，求出Y的分布列，从而E（Y）＝（万元）．当投入3艘A型游船时，求出Y的分布列，从而E（Y）＝2×＝6.2（万元），由此能求出该游艇船中心在2020年劳动节当时应投入3艘A型游船使其当时获得的总利润最大．【解答】解：（1）年龄在[42，47）内的游客人数为150，年龄在[47，52]内的游客人数为100，若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在[42，47）内的人数为6人，年龄在[47，52）内的人数为4人，∴P（ξ＝3）＝＝．（2）①当投入1艘A型游船时，因客流量总大于1，则E（Y）＝3（万元），②当投入2艘A型游船时，若1＜X＜3，则Y＝3﹣0.5＝2.5，此时P（Y＝）＝P（1＜X＜3）＝，若X≥3，则Y＝3×2＝6，此时P（Y＝6）＝P（3≤X≤5）+P（X＞5）＝，此时，Y的分布列为：Y 2.56P此时E（Y）＝（万元）．③当投入3艘A型游船时，若1＜X＜3，则Y＝3﹣1＝2，此时P（Y＝2）＝P（1＜K＜3）＝，若3≤X≤5，则Y＝3×2﹣0.5＝5.5，此时P（Y＝5.5）＝P（3≤X≤5）＝，若X＞5，则Y＝3×3＝9，此时P（Y＝9）＝P（X＞5）＝，此时，Y的分布列如下表：Y2 5.59P此时，E（Y）＝2×＝6.2（万元）．由于6.2＞5.3＞3，则该游艇船中心在2020年劳动节当时应投入3艘A型游船使其当时获得的总利润最大．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+1）e x++2ax，a∈R（1）讨论f（x）极值点的个数（2）若x0（x0≠﹣2）是f（x）的一个极值点，且f（﹣2）＞e﹣2，证明：f（x0）≤1．【分析】（1）对f（x）求导，对于a的取值进行分类讨论，进而得出f（x）的增减性与极值点的个数；（2）根据题目条件和第（1）问，确定a的范围，得到f（x0）的表达式，再利用换元法令t＝ln（﹣a），求出函数g（t）的最大值，从而得证f（x0）≤1．【解答】（1）解：f（x）的定义域为R，f′（x）＝（x+2）（e x+a）；若a≥0，则e x+a＞0；∴当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（﹣2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴x＝﹣2是f（x）唯一的极小值点，无极大值点，故此时f（x）有1个极值点；若a＜0，令f′（x）＝（x+2）（e x+a）＝0，则x1＝﹣2，x2＝ln（﹣a）；当a＜﹣e﹣2时，x1＜x2，可知当x∈（﹣∞，x1）∪（x2．+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0；∴x1，x2分别是f（x）的极大值点和极小值点，故此时f（x）有2个极值点；当a＝﹣e﹣2时，x1＝x2，f′（x）≥0，此时f（x）在R上单调递增，无极值点；当﹣e﹣2＜a＜0时，x1＞x2，同理可知，f（x）有2个极值点；综上，当a＝﹣e﹣2时，f（x）无极值点；当a≥0时，f（x）有1个极值点；当a＜﹣e﹣2或﹣e﹣2＜a＜0时，f（x）有2个极值点．（2）证明：若x0（x0≠﹣2）是f（x）的一个极值点，由（1）知a∈（﹣∞，﹣e﹣2）∪（﹣e﹣2，0）；又f（﹣2）＝﹣e﹣2﹣2a＞e﹣2；∴a∈（﹣∞，﹣e﹣2）；则x0＝ln（﹣a）；∴；令t＝ln（﹣a）∈（﹣2，+∞），则a＝﹣e t；∴；∴；又∵t∈（﹣2，+∞）；∴t+4＞0；令g′（t）＝0，得t＝0；当t∈（﹣2，0）时，g′（t）＞0，g（t）单调递增；当t∈（0，+∞）时，g′（t）＜0，g（t）单调递减；∴t＝0是g（t）唯一得极大值点，也是最大值点，即g（t）≤g（0）＝1；∴f[ln（﹣a）]≤1，即f（x0）≤1．【点评】本题考查了利用导数求函数的单调区间、极值，涉及转化思想，分类讨论，换元法，属难题．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为轴的坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（）＝．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P（﹣1，0），直线l和曲线C交于A，B两点，求|P A|+|PB|的值．【分析】（1）消去参数α可得曲线C的普通方程；根据互化公式可得直线l的直角坐标方程；（2）根据参数t的几何意义可得．【解答】解：（1）由消去参数α，得+＝1，即曲线C的普通方程为：+＝1，由ρsin（θ﹣）＝，得ρsinθ﹣ρcosθ＝1，化为直角坐标方程为：x﹣y+1＝0．（2）由（1）知，点P（﹣1，0）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数），即（t为参数），代入+＝1并化简得2t2﹣﹣8＝0，△＞0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，得t1+t2＝，t1t2＝﹣1，所以|P A|+|PB|＝|t1|+|t2|＝|t1﹣t2|＝＝，所以|P A|+|PB|＝．【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．。

巴蜀中学2020届高考适应性月考卷(一)理数-答案

15
16
4
(1， )
2
【解析】
13． T5 C64 (2x)2 60x2.
14．
f

f

1 8

f
(3)
4.
15．可得 A(x0 1，0)，B(e2x0 x0，0)，AB e2x0 1 1 .
16．|
f
(t

2)

f
(t) || a(6t2
…………………………………（5 分）
OP，OB，OM 两两互相垂直，
以 O 为坐标原点， OB，OM，OP 分别为 x，y，z 轴的正
方向建系如图，
则
B

1 2
，0，0 ，P

0，0，
3 2
，
C

1 2
，
3，0
，D

3 2
即
5m2

32m

48

0

m

12 5
，4，
经验证
m定点

12 ，0 5

.
21．（本小题满分 12 分）
…………………………（12 分）
解：（1） f (x) (x 2)(ex a) ，
当 a e2 时，若 x (， 2) 或 (ln a， ) 时， f (x) 0 ， f (x) 单调递增； x (2，ln a)
0.02 49.5) 38.75，
中位数为
37

5

0.2 0.45

39
2 9

重庆市巴蜀中学校2024届高三上学期适应性月考(一)数学试题及参考答案

1
，则 6 7 = 1，因此， 1 + 4 + 6 7 =− 4 + 1 =− 3，C 对；.当 = 7 时，
6
0< 有两种情况：
−1<1 ⇒1<
<2或 1≤
−1<5 ⇒
= 4，
1≤ +1<5
+1 = 5
从而可得的范围为 1,2 ∪ 4 ，D 错.选：ABC.
13．二项式
1
−2
2
3
的展开式的通项为
2,即:4 2 = 16 2 + 4 2 − 2 ⋅ 4
⋅2
3
⋅ ,即
2
13
=
5
5
2,因为 2 +
2=
2,所以 2 +
2 = 13 2 ⇒
2 10
= ,即的渐近线方程为
2 10
=± .选:C.
5
5
5
1
7．满足 + 1 =
，且当 ∈ 0,1 时， = 1 −
2
2 − 1 ，当 ∈ 1,2 时，可得
1
>
2+
+ 1；
2
e −1
（2）若关于的方程 = sin + 1 在 0,π 内有解，求实数的取值范围.
参考答案： 1． 2 − 2 − 3 ≤ 0，所以 + 1 − 3 ≤ 0，即−1 ≤ ≤ 3， = | − 1 ≤ ≤ 3 ， = | ≥ 2 ，所以 ∩ = 2,3 ，
选：C.
2．由log3 + 1 < 0，得−1 < < 0，因而“ < 0”是“log3 + 1 < 0”的必要而不充分条件.选：A. 3．由题−3 ≤ ≤ 1，所以−4 ≤ − 1 ≤ 0，所以的定义域为 −4,0 ， = − 1 的定义域为 −4,0 .

2020届重庆市巴蜀中学高三下学期适应性月考数学(理)试题Word版含解析

2020届重庆市巴蜀中学高三下学期适应性月考数学（理）试题一、单选题1．已知复数z 满足()2z i i i -⋅=-，则z =（） A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】D【解析】首先得到2iz i i-∴=+，再化简复数. 【详解】2iz i i--=()2222111i i i i z i i i i i i --+∴=+=+=+=---. 故选：D 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题型. 2．已知集合{}|1A x x =<，1|1B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =I （） A ．{}|01x x x <>或 B ．{}|010x x x <<<或 C ．{}|0x x < D ．φ【答案】C【解析】解不等式得出集合B ，根据交集的定义写出A ∩B ．【详解】()()1|1=1,0B x x ⎧⎫=<+∞⋃-∞⎨⎬⎩⎭，,则A B =I {}|0x x <故选：C 【点睛】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．3．在等差数列 {}n a 中， n S 表示 {}n a 的前 n 项和，若 363a a += ，则 8S 的值为（）A ．3B ．8C ．12D ．24 【答案】C【解析】由题意可知，利用等差数列的性质，得18363a a a a +=+=，在利用等差数列的前n 项和公式，即可求解，得到答案。

【详解】由题意可知，数列{}n a 为等差数列，所以18363a a a a +=+=， ∴由等差数列的求和公式可得1888()831222a a S +⨯=== ，故选C 。

【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，及前n 项和公式的应用，其中解答中数列等差数列的性质和等差数列的前n 项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

4．已知随机变量X 服从正态分布(1,1)N -，则(01)P X <≤=（）（附：若2(,)X N μσ-，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=）A ．0.1359B ．0.906C ．0.2718D ．0.3413【答案】A【解析】由题意可知1,1μσ=-=，利用3σ原则，计算结果. 【详解】由题意可知1,1μσ=-=()()012P X P X μσμσ<≤=+<≤+()()112222P X P X μσμσμσμσ=-<≤+--<≤+ ()10.95450.68270.13592=⨯-=. 故选：A 【点睛】本题考查正态分布曲线的特性和曲线所表示的意义，意在考查3σ原则和曲线的对称性，属于基础题型. 5．将函数()sin 2f x x =的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来的12，再向右平移6π个单位长度后得到()g x ，则()g x 的解析式为A ．()sin()6g x x π=-B ．()sin()6g x x π=+C ．2()sin(4)3g x x π=- D ．()sin(4)6g x x π=-【答案】C【解析】将函数()sin2f x x =的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来的12得到sin 4y x =，再向右平移6π个单位长度后得到()g x ，2()sin 4()sin(4)63g x x x ππ=-=-，故选C. 6．已知点(,)a b 在函数11()221x f x =-+的图象上，则下列四点中也在图象上的是（） A ．(,1)a b -+ B ．(,)a b --C ．(,1)a b --D ．(,)a b -【答案】B【解析】首先计算()()0f x f x -+=，由此判断选项. 【详解】()()1111221221x x f x f x --+=-+-++ 2111221x x x=--++ 21111012x x+=-=-=+ ， ∴点(,)a b 在函数11()221x f x =-+的图象上时，点(),a b --也在图象上. 故选：B 【点睛】本题考查函数的对称性的简单应用，属于基础题型，本题的关键是根据函数的形式，判断()()0f x f x -+=.7．如图是一个算法的程序框图，若该算法输出的结果是1011，则选择框里应该填入的是（）A ．9?i <B ．10?i <C ．11?i <D ．12?i <【答案】C【解析】首先判断程序框图的作用，然后根据输出结果判断选项. 【详解】由程序框图可知，程序是求数列()1111...1223341n n ++++⨯⨯⨯-的和， ()11111n n n n=---（2n ≥）根据裂项相消法可知()1111...1223341n n ++++⨯⨯⨯- 11111111......223341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n n n-=-= ，由题意可知11011i i -=，解得：11n =，这里i n = ，∴10i =进入循环，11=i 退出循环， ∴选择框里应填入11?i <.故选：C 【点睛】本题考查根据程序框图的的输出结果，求判断框的内容，属于基础题型，本题的关键是读懂循环结构，并会用裂项相消法求和.8．从“舞蹈、相声、小品、歌唱、杂技 ”5个候选节目中选出4个节目参加“艺术节”的汇演，其中第一出场节目不能是“舞蹈”，则不同的演出方案种数是（） A ．72 B ．96 C ．120 D ．144【答案】B【解析】分选到的4个节目没有“舞蹈”和有“舞蹈”两类情况讨论，按照先选再排的方法求解. 【详解】当选出的4个节目没有“舞蹈”，则有4424A =种演出方法，当选出的4个节目有“舞蹈”，则再选3个，则有344C =种选择方案，第一场有3种方法，再安排其他节目有336A =种方案，则不同的演出方案有43672⨯⨯=种方法，综上，共有247296+=种方案. 故选：B 【点睛】本题考查排列的应用，意在考查分析问题的能力，属于基础题型.9．已知正项数列{}n a 满足：12n n a a +>，n S 是{}n a 的前n 项和，则下列四个命题中错误的是（）A ．112nn a a +>B ．()212kk kS S>+⋅C ．12(2)n n S a a n <-≥D ．1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列【答案】D【解析】由条件逐一分析选项，A,;利用不等式迭代得到选项；B.由条件可知112kk a a +> ，222kk a a +>，……22kk k a a >，得到12212...2...k k k kka a a a a a +++++>+++，再证明；C. 由条件对不等式进行放缩得到123123 (2222)n n n nn n n n n n a a a a S a a a a a ---=++++<+++++，再求和证明；D.设数列{}n a 是公比为4的等比数列，说明结论. 【详解】A.0n a >Q ，根据已知可知231121222......2nn n n n a a a a a +-->>>>，112n n a a +∴>，故A 正确；B.0n a >，()()12122212.........k k k k k k ka a a a a a S S a a a +++++++++=+++ 12212...1...k k kka a a a a a +++++=++++ ，由A 可知112k k a a +> ，222k k a a +>，……22kk k a a >,12212...2...k k k kka a a a a a +++++∴>+++，()221212k k kk k kS S S S ∴>+⇒>+，故B 正确； C.由A 可知1122n n n n a a a a -->⇒<……,222222n n n n a a a a -->⇒<111122n n n n a a a a -->⇒<()2n ≥， 123123......2222n n n nn n n n n n a a a a S a a a a a ---∴=++++<+++++ 1211......122n n n a --⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭1112211212n n n n a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭122n n n aa -=- ，由A 可知112nn aa -> ，()2n ≥ 11222n n n n aa a a -∴-<- ， 12n n S a a ∴<- ()2n ≥，故C 成立；D.若数列{}n a 是正项等比数列，并且公比4q =，则142n na a +=>，此时1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，不是递增数列，故D 不正确. 故选：D 【点睛】本题考查数列，不等式，证明的综合问题，意在考查推理证明，数列的综合应用，属于难题，本题的关键是根据条件进行迭代，从而根据不等式进行证明.10．已知三棱锥P ABC -中，90PAB PAC BAC ︒∠=∠=∠=，1PA =，2AB AC ==，M ，N 分别为PB ，PC 的中点，则直线MN 被三棱锥P ABC -外接球截得的线段长为（）A ．7B ．2C ．33D ．22【答案】A【解析】首先将三棱锥P ABC -补全如图所示的长方体，求球心到直线MN 的距离，再求直线MN 被三棱锥P ABC -外接球截得的线段长. 【详解】由题意，将三棱锥P ABC -补全如图所示的长方体，外接球的球心长方体的对角线的中点O ，22221223R =++= ,即32R =， OM ⊥平面PAB ，ON ⊥平面PAC ， OM ON ∴⊥，且1OM ON ==OMN ∴∆是等腰直角三角形，2MN =点O 到直线MN 的距离就是等腰直角三角形的高1222OH MN ==， ∴ 直线MN 被三棱锥P ABC -外接球截得的线段长为229122742R OH -=-=.故选：A 【点睛】本题考查球和几何体的组合体的综合问题，意在考查空间想象能力，作图能力，计算能力，属于中档题型，三棱锥的条件是三条棱两两垂直，或是对棱相等时都可以采用补体，将三棱锥补成长方体，再分析外接球的问题.11．已知1F ，2F 分别为双曲线22143x y -=的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，2F 关于直线1PF 的对称点为M ，1F 关于直线2PF 的对称点为N ，则当||MN 最小时，12F PF ∠的大小为（） A ．150︒ B ．120︒C ．90︒D ．60︒【答案】B【解析】根据对称性得到1224PN PM PF PF a -=-==，根据余弦定理得到()212121621cos3MN PF PF F PF =+⋅-∠，由三角函数的有界性得到得到||MN 的最小值.【详解】根据对称性知：2PM PF =，1PN PF =，故1224PN PM PF PF a -=-==. 根据余弦定理：2222cos MN PM PN PM PN MPN =+-⋅∠()()()()2121212121221cos 231621cos3PF PF PF PF F PF PF PF F PF π=-+⋅--∠=+⋅-∠120PF PF ⋅>Q ，12cos31F PF ∠≤故当121cos30F PF -∠=，即1223F PF π∠=时，||MN 有最小值. 故选：B 【点睛】本题考查了双曲线内三角函数最值，余弦定理，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题型. 12．已知0a <，不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对任意的实数1x >恒成立，则实数a 的最小值为（） A ．12e-B ．2e -C ．1e-D ．e -【答案】D【解析】首先不等式变形为ln ln ax a x xe x e --≥⋅，()xf x xe=()1x >，不等式等价于()()ln a f x f x -≥，然后利用函数的单调性可得ln x a x ≥-对任意1x >恒成立，再利用参变分离ln x a x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立，转化为求函数的最小值. 【详解】不等式变形为()ln x axe xa x -≥- ，即ln ln ax a x xe x e --≥⋅，设()xf x xe =()1x >，则不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对任意的实数1x >恒成立，等价于()()ln af x f x-≥对任意1x >恒成立，()()10x f x x e '=+>，则()f x 在()1,+∞上单调递增，ln a x x -∴≥ ，即ln x a x ≥-对任意1x >恒成立，ln x a x ⎛⎫∴-≤ ⎪⎝⎭恒成立，即min ln x a x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，令()ln x g x x= ，则()()2ln 1ln x g x x -'= ()1x >，当1x e <<时，()0g x '<，()g x 在()1,e 上单调递减，当x e >时，()0g x '> ，()g x 在(),e +∞上单调递增，x e ∴=时，()g x 取得最小值()g e e = ，a e ∴-≤ ，即a e ≥-，a ∴的最小值是e -.故选：D 【点睛】本题考查函数，导数，不等式恒成立的综合问题，意在考查转化与化归的思想，计算能力，本题的关键和难点是不等式的变形ln ln ax a x xe x e --≥⋅，并能构造函数并转化为()()ln af x f x-≥对任意1x >恒成立.二、填空题 13．（题文）的二项展开式中的常数项为________．【答案】15【解析】试题分析：展开式的通项公式为，令，常数项为【考点】二项式定理14．若变量,x y 满足约束条件1,1,1,y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值是_______.【答案】5【解析】画出可行域分析最大值点即可. 【详解】由题画出可行域,将目标函数2z x y =+化为2y x z =-+, 易得在(2,1)处取得最大值为2215z =⨯+=.故答案为：5 【点睛】本题主要考查了线性规划的一般方法,属于基础题型.15．若a r，b r，c r 均为单位向量，a r，b r的夹角为60︒，且c ma nb =-rr r，则mn 的最大值为________. 【答案】1【解析】()22222c ma nbm n mna b =-=+-⋅r rr rr ，再利用基本不等式求mn 的最大值.【详解】()22222c ma nbm n mna b =-=+-⋅r rr rr111cos602a b ⋅=⨯⨯=o rr ，221m n mn ∴+-=， 222m n mn +≥Q ，21mn mn ∴-≤ ，即1mn ≤ ，等号成立的条件是m n = ，mn ∴的最大值为1.故答案为：1 【点睛】本题考查向量数量积，基本不等式求最值的综合应用，属于基础题型.16．已知抛物线22(0)y px p =>与直线:4320l x y p --=在第一、四象限分别交于A ，B 两点，F 是抛物线的焦点，若||||AF FB λ=u u u r u u u r，则λ=________.【答案】4【解析】首先判断直线l 过抛物线的焦点，方程联立求点,A B 的坐标，并得到AF ，BF 的值，求λ. 【详解】直线:l 当0y =时，2p x =， ∴直线l 过抛物线的焦点，,,A F B 三点共线，联立直线与抛物线方程，224320y pxx y p ⎧=⎨--=⎩ ，得2281720x px p -+=，解得：2A x p = ，8B p x =， 522A p AF x p ∴=+=，528B p BF x p =+=，4AF FBλ==u u u r u u u r .故答案为：4 【点睛】本题考查直线与抛物线的简单综合问题，焦半径公式，意在考查计算能力，属于基础题型.三、解答题17．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos a b c B =+. （1）求角C 的大小；（2）若5a b +=，c =，求ABC V 的面积. 【答案】（1）3π；（2【解析】（1）首先根据正弦定理，边角互化得到2sin sin 2sin cos A B C B =+，再利用三角恒等变形得到cos C 的值；（2）根据余弦定理得2213a b ab =+-，变形求ab 和三角形的面积. 【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B =+，()sin sin A B C =+Q ，可得()2sin sin 2sin cos B C B C B +=+ 得：2sin cos sin B C B =，sin 0B ≠Q ,1cos 2C ∴=, 0C π<<Q ，3C π∴=；（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，代入可得()222133a b ab a b ab =+-=+-，()231312ab a b ∴=+-= ，4ab ∴= ，1sin 2ABC S ab C ∆∴==【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，意在考查转化与化归的思想，属于基础题型.18．某学校有30位高级教师，其中60%人爱好体育锻炼，经体检调查，得到如下列联表.（1）根据以上信息完成22⨯列联表，并判断有多大把握认为“身体好与爱好体育锻炼有关系”？（2）现从身体一般的教师中抽取3人，记3人中爱好体育锻炼的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：【答案】（1）详见解析；（2）分布列见解析，35E ξ=【解析】（1）首先求22⨯列联表，并计算27.879K >，得到答案；（2）由题意可知0,1,2ξ=，并按照超几何分布概型求概率，并写出分布列和数学期望. 【详解】（1）由题意可知爱好体育锻炼的人有3060%18⨯=人，22⨯列联表如下表所示，()223016842107.87920101812K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯∴有99.5%的把握认为“身体好与爱好体育锻炼有关系”.（2）身体一般的人数有10人，任取3人，其中爱好体育锻炼的人有2人，则0,1,2ξ=()383107015C P C ξ===，()12283107115C C P C ξ=== ,()21283101215C C P C ξ=== ,ξ0 1 2P 715715 11577130121515155E ξ∴=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查独立性检验，超几何概率类型求分布列和数学期望，意在考查对数据的分析，理解题意，抽象概括为数学问题，属于基础题型.19．如图，三棱锥S ABC -中，90ASC ABC ︒∠=∠=，30CAB ︒∠=，60CAS ︒∠=，30SB =，43AC =.（1）求证：平面ASC ⊥平面ABC ；（2）M 是线段AC 上一点，若534AM =A SM B --的大小. 【答案】（1）详见解析；（2）135o【解析】（1）过点S 作SH AC ⊥于点H ，连接BH ，要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，即证明SH ⊥平面ABC ；（2）以点H 为坐标原点，,HA HS 所在直线分别为x 轴，z 轴，在平面ABC 上垂直于AC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，分别求平面ASM 和平面SMB 的一个法向量为n r ，m r，利用公式cos ,m n <>r r求二面角的大小. 【详解】（1）证明：过点S 作SH AC ⊥于点H ，连接BH ，在Rt ASC ∆中，由90ASC ∠=o ，60CAS ∠=o ，43AC =可得3AS =6SC =，在Rt AHS ∆中，由SH AC ⊥，60CAS ∠=o ，可得3SH =，3AH =，在Rt ABC ∆中，由43AC =30CAB ∠=o ，可得6AB =，在ABH ∆中，由余弦定理可得22262621BH =+-⨯=o，即BH =，在SHB ∆中，3SH =，BH =SB =，222SB SH BH ∴=+SH BH ∴⊥又SH AC ⊥，BH AC H =I ，SH ∴⊥平面ABC ， SH ⊂Q 平面ASC ，∴平面ASC ⊥平面ABC .（2）如图所示，以点H 为坐标原点，,HA HS 所在直线分别为x 轴，z 轴，在平面ABC 上垂直于AC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,3S，()B -，M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则34SM ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r，()3SB =--u u r ，易知平面ASM 的一个法向量为()0,1,0n =r，设平面SMB 的一个法向量为(),,m x y z r=，则00m SM m SB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vr u u v r，即304330x z y z ⎧--=⎪⎨⎪-+-=⎩，令1z =，得()7,1m =--r，于是cos ,2m n m n m n ⋅<>===-r r r rr r ，又二面角A SM B --为钝角，所以二面角A SM B --为135o .【点睛】本题考查面面垂直的证明，二面角，意在推理证明，利用空间向量解决空间角，属于中档题型，本题第一问的关键是作辅助线，并且根据三边长度满足勾股定理，证明SH BH⊥.20．如图，B，A是椭圆22:14xC y+=的左、右顶点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是BQk，AQk，APk.（1）求证：14BQ AQk k⋅=-；（2）若直线PQ过定点6,05⎛⎫⎪⎝⎭，求证：4AP BQk k=.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）设()11,Q x y，代入斜率公式求14BQ AQk k⋅=-；（2）设直线PQ的方程是65x my=+，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示1AP AQk k⋅=-，再根据（1）的结论证明.【详解】（1）设()11,Q x y21211122111111422444BQ AQxy y yk kx x x x-⋅=⋅===-+---；（2）设直线PQ 的方程是65x my =+，设()()1122,,,P x y Q x y 与椭圆方程联立，226514x my x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得：()22126440525m y my ++-= ， ()1221254m y y m +=-+ ，()12264254y y m =-+ ，12121212442255AP AQ y y y y k k x x my my ⋅=⋅=--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()()2122221212226425441664481652525254254m y y m m m y y m y y m m -+==-++-++++()2226416448164m m m -==--+++ ，1AP AQ k k ∴⋅=- ,由（1）可知14BQ AQ k k ⋅=-，两式消去AQ k ，解得：4AP BQ k k =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值和定点，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.21．已知函数()ln xe f x a x x-=．（1）当0a =时，求函数()f x 在()0,∞+上的最小值；（2）若202e a <≤，求证：()0f x >．【答案】（1）()min f x e =（2）证明见解析【解析】（1）由0a =得()()0xe f x x x>=，对其求导，解对应的不等式，判断单调性，即可得出最值；（2）先对函数求导，得到()()21--'=x x e ax f x x，根据202ea <≤，判断函数()f x 的单调性，求出最小值，再由导数的方法研究()f x 最小值的范围，即可证明结论成立. 【详解】（1）当0a =时，由()()0x e f x x x >=，得()()21x x e f x x-'=，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 在()0,1上单调递减；当()1,+x ∈∞时，()0f x '>，()f x 在()1,+∞上单调递增，∴()()min 1f x f e ==．（2）由题意，函数的定义域为()0,+∞，()()()2211x x x e x e ax a f x x xx ---'=-=，令()()1xg x x e ax =--，0x >，则()xg x xe a '=-，设()xt x xe a =-，则()()+10xt x x e '=>，易知()g x '在()0,+∞上单调递增，∵202e a <≤，∴()00g a '=-<，()2220g e a '=->，所以存在唯一的()10,2x ∈，使()10g x '=，当()10,x x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减，当()1+x x ∈∞，时，()0g x '>，()g x 单调递增，又∵()0=1g -，()2220g e a =-≥，∴当()10,x x ∈时，()()00g x g <<，即()g x 在()10,x 上无零点， ∴存在唯一的(]01,2x x ∈，使()00g x =，即()0001=xx e ax -，∵()10g a =-<，∴012x <<，则000=1x e ax x -．当()00,x x ∈时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,+x x ∈∞时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 单单调递增． ∴()()00000min0001ln =ln ln 11x e af x f x a x a x a x x x x ⎛⎫==--=- ⎪--⎝⎭，012x <<．令()1ln 1h x x x =--，则()h x 在()1+¥，上单调递减，∵012x <<∴()()021ln20h x h >=->，又∵0a >∴()min 0f x >，从而()0f x >．【点睛】本题主要考查求函数的最值，以及由导数的方法证明不等式恒成立，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，极值，最值等即可，属于常考题型. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【答案】（1）1C ：2cos ρθ=，2C ：2240x y y +-=；（2）5【解析】（1）先消参得1C 的普通方程，再由cos ,sin x y ρθρθ==进行转换即可；（2）两曲线联立求得交点坐标，再由两点间距离公式求解即可. 【详解】（1）曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），转换为直角坐标方程为：22(1)1x y -+=，即222x y x +=，转化为极坐标方程为：2cos ρθ=.曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，两边同乘ρ，得24sin ρρθ=，即2240x y y +-=；（2）联立2222240x y x x y y ⎧+=⎨+-=⎩，得00x y =⎧⎨=⎩或4585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 不妨设(0,0)A ，48(,)55B，则5AB ==.【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了两点间的距离的求解，属于基础题. 23．已知函数()22f x x x m =-++. （1）当1m =时，解不等式()3f x ≤；（2）若不等式()3f x ≤的解集不是空集，求实数m 的取值范围．【答案】（1）4[0,]3；（2）42m -≤≤【解析】（1）分段讨论去绝对值求解不等式即可；（2）讨论m 和-1的大小，求函数的最小值，只需最小值满足不等式即可. 【详解】（1）1m =时，()32213f x x x ≤⇔-++≤11223x x x ≤-⎧⇔⎨---+≤⎩或111223x x x -<<⎧⎨+-+≤⎩或12213x x x ≥⎧⎨-++≤⎩，解得：40x 3≤≤，所以不等式的解集为4[0,]3.（2）①当1m <-时，22,1()22,122,x x m x f x x x m x m x x m x m -+--<⎧⎪=---≤≤-⎨⎪-++>-⎩，即32,1()2,132,x m x f x x m x m x m x m -+-<⎧⎪=--≤≤-⎨⎪-+>-⎩. ∴1x =时，()f x 取得最小值1m --，∴13m --≤，解得41m -≤<-， ②当01x ≠时，33,1()3133,1x x f x x x x -≤⎧=-=⎨->⎩，所以1x =时，()f x 取得最小值0，03≤，故01x ≠符合，③当1m >-时，32,()2,132,1x m x m f x x m m x x m x -+-<-⎧⎪=-++-≤≤⎨⎪-+>⎩，所以1x =时，()f x 取得最小值1m +，∴13m +≤，即得12m -<≤，综上：42m -≤≤．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解及含绝对值函数的最值的求解，涉及分类讨论的思想，属于中档题.。

重庆市中学2025届高三上学期高考适应性月考卷(一)数学试卷含答案

数学试卷（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号.都编号，应值号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，等试用时120分钟一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1.若命题p ：20430x x x ∃>-+>，，则命题p ⌝为（）A.20430x x x ∃>-+≥，B.20430x x x ∃≤-+≤，C.20430x x x ∀>-+≤， D.20430x x x ∀≤-+≤，2.若扇形的弧长为π，面积为2π，则其圆心角（正角）为（）A.π4B.π3C.2D.π23.tan 24s 300in 0+= （）A.2-B.2C.332-D.24.已知00a b >>，，且4ab =，则114a b a b +++的最小值为（）A.1B.2C.4D.85.下列函数的图象不存在对称中心的是（）A.31y x =+B.2221x x y x -+=-C.e 1e 1x x y -=+ D.1||y x x =+6.已知π2cos 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.89 B.89- C.19 D.19-7.已知函数()212ln 22f x x ax x =--在1,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围为（）A.1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B.1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C.(),4-∞ D.(],4∞-8.已知()()()22log 1121x x f x x m x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，，，1m >，若方程()()0f f x =有6个不等实数根，则实数m 的取值范围为（）A.()1,2B.12,2⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦C.131,42⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭D.1374,2⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件A ：两次的点数之和为偶数，B ：两次的点数之积为奇数，C ：第一次的点数大于2，则（）A.()14P B = B.()23P C =C.A 与B 相互独立 D.B 与C 相互独立10.已知函数()()π2sin 102,f x x ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭，满足()π23f x f x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，都()5π12f x f ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，当ω取最小值时，则下列正确的是（）A.()f x 图象的对称轴方程为π,π122k x k =+∈Z B.()f x 在,ππ126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为13,⎤+⎦C.将函数π2sin 216y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到函数()f x 的图象D.()f x 在ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11.已知ln (()e 0),,x x f x x =∈+∞，则下列说法正确的是（）A.方程()e f x =有且只有一个实根B.存在正整数2n ≥，使得对任意的(0,)x ∈+∞，都有()()n f x f x ≥成立C.若对任意的(0,)x ∈+∞，都有()(1)1f x a x -≥+成立，则1a =D.若方程()f x m =有两个不等实根12,x x ，则12||x x m-<三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知点(A 在抛物线2:2C y px =上，则A 到C 的准线的距离为__________.13.若1e 1ln ax a x a x ⎛⎫≥+- ⎪⎝⎭对()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围为__________.14.已知函数()()sin cos 0f x a x b x ωωω=+>满足下列条件：①π3为()y f x =的极值点；②()f x 在区间3π4π,55⎡⎤⎢⎣⎦上是单调函数，则ω的取值范围是__________.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足，()*3211,23n a a a a n n n n++++=+∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n n n a a b a a ++-=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：*31,82n n S ∀∈≤<N .16.（本小题满分15分）某学生兴趣小组在研究所在学校的学生性别与身高（身高分为低于170cm 和不低于170cm ）的相关关系时，记事件A =“学生身高不低于170cm ”，事件B =“学生为女生”.据该校以往的统计结果显示，()()()121,,336P A P B P A B ===.（1）求()(),P AB P A B ；（2）若从该校的其中一个班随机抽取36名学生､依据该校以往的统计结果，完成下列列联表，并依据小概率值0.005α=的独立性检验.分析学生的性别与身高是否不低于170cm 有关？性别身高合计2-3低于170cm 不低于170cm女男合计参考公式及数据：()()()()()22,n ad bc x n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.α0.010.0050.001a x 6.6357.87910.82817.（本小题满分15分）在ABC中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，有b a =.（1）若π6A =，求B ；（2）若b =，求ABC 的面积最大值.18.（本小题满分17分）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左､右顶点分别为()()124,0,4,0A A -，虚轴长为6.（1）求双曲线C 的方程；（2）过点()6,0R 的直线l 与C 的右支交于,M N 两点，若直线1A M 与2A N 交于点P .（i ）证明：点P 在定直线上；（ii ）若直线1A N 与2A M 交于点Q ，求PR QR ⋅ 的值.19.（本小题满分17分）已知函数()()()1log 0,1log 1a a x f x a a x +=>≠+存在极大值()g a .（1）求a 的取值范围；（2）若27,24a ⎡⎤∈⎢⎣⎦，求()ln g a a -的值域.数学参考答案一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678答案C A B B D D C D【解析】1.命题p 是一个存在性命题，说明存在使2430x x -+>的实数x ，则它的否定是：不存在使2430x x -+>的实数x ，即对任意的实数2430x x -+>都不能成立，由以上的分析，可得p⌝为：20,430x x x ∀>-+≤，故选C.2.设该扇形的圆心角为θ，半径为r ，则π,π41π2π42r r r θθ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩故选A.()()3tan240sin300tan 18060sin 36060tan60sin602⋅+=++-=-= ，故选B.11444.24a b a b a b a b+++=+≥++，当且仅当2a b ==时，取“=”成立，故选B.5.A 选项中3y x =为奇函数，故31y x =+有对称中心（0，1）；B 选项中1y x x=+为奇函数，将其右移一个单位后得到2122111x x y x x x -+=-+=--，故有对称中心（1，0）；C 选项中e 1e 1x x y -=+为奇函数，有对称中心()0,0；D 选项中1y x x=+不存在对称中心，故选D.6.已知π2cos 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πππππ41sin 2sin 2cos 22cos 1216233699αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选D.7.函数()212ln 22f x x ax x =--在1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在单调递增区间，即()220f x ax x =-->'在区间1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上有解，即222a x x->，令11,24t x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，即222t t a ->有解，故取2t =，得4a <，故选C.8.作出()()22log1,1,(2),1x x f x x m x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩的图象，如图所示：()()11,2f m f m =-=，令()t f x =，先解()0f t =，知其有两根10t =和22t =+方程()10f x t ==提供2个根，故方程()2f x t =提供4个不等实根，故21m t m -≤<，即12m m -≤+<，解得1374,2m ⎛⎤+∈ ⎥ ⎝⎦，故选D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ABD AD ACD 【解析】9.基本事件(),x y 总数6636n =⨯=，事件A 包含的基本事件(),x y 有18个，()181362P A ∴==，事件B 包含的基本事件(),x y 有9个，所以()14P B =故A 正确；事件C 包含的基本事件(),x y 有24个，()242363P C ==，故B 正确；AB 包含的基本事件有9个，()()()()91,,364P AB P AB P A P B A ==≠∴与B 不是相互独立事件，故C 错误；BC 包含的基本事件有6个，()()()1,6P BC P B P C B ==∴与C 是相互独立事件，故D 正确，故选ABD.10.因为()π23f x f x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于点π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，又对任意x ∈R ，都有()5π12f x f ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，所以当5π12x =-时，()f x 取得最小值，当ω取最小值时，即周期T 最大，可得π5π4612T ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，得πT =，所以2π2T ω==，函数()f x 在5π12x =-时取得最小值，所以5π2sin 116ϕ⎛⎫-++=- ⎪⎝⎭.因为π2ϕ<，所以π3ϕ=.即()π2sin 23f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 1.令ππ2π,32x k k +=+∈Z ，得ππ,122k x k =+∈Z .故A 正确；当ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ2π2,363x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦]此时()f x 的值域为[]2,3，故B 错误；将π2sin 216y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到函数π2sin 216y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，故C 错误；当ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()π2π2,π,33x f x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故D 正确，故选AD.11.()ln e x x f x =，故()()ln e ln 1x x f x x =⋅+'，对于A 选项，()f x '只有1ex =这一个变号零点，故()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，故在1e x =处取得极小值1e 11,e e f x ∞⎛⎫⎛⎫=→+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()f x ∞→+，当10ex <<时，()ln 0e e 1x x f x =<=，故方程()e f x =只有一个实根，A 选项正确；对于B 选项，()()ln ln n n n f x f x x x x x ≥⇒≥，整理得11ln 0n n x x n -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，由于在()0,1x ∈上()ln 0,1,x x ∞<∈+上ln 0x >，故11n x n--也需要在()0,1x ∈上小于()0,1,x ∞∈+上大于0，显然不存在正整数2n ≥满足题意，B 选项错误；对于C 选项，()()()110h x f x a x =---≥，发现()10h =，故1x =必为极小值点，由()()ln e ln 1x x h x x a =⋅+-'知()10h '=得到1a =，检验当1a =时，对于()()ln e ln 11,1x x h x x x =⋅'+->时，ln ln 11,e 1x x x +>>，故()0,01h x x ><<'时，ln ln 11,0e 1x x x +<<<，故()0h x '<，故()h x 在1x =取最小值0，故C 选项正确；对于D 选项，由C 选项知()f x x ≥，且y x =是()y f x =在点()1,1处的切线，不妨设120x x <<，故()22m f x x =≥，即有120x x m <<≤，故12x x m -<，D 选项正确，故选ACD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号121314答案741,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭1515300,,747⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】12.点(A 在抛物线2:2C y px =上，则32p =，解得32p =，由抛物线的定义可知，A 到C 的准线的距离为371244A p x +=+=.13.两边同乘以x 后移项，得()e 1ln ax ax x x ax ≥+-，即()()()ln e 11ln e 1ln ax x ax x x x +≥+=+.令()()e 1x n x x =+，则()()()ln e 1e x x n ax n x n x x ≥=++'⋅，由()()0,,e 1e 0x x x n x x ∞∈+=+'+>，所以()n x 在()0,∞+上单调递增.因为()()ln n ax n x ≥，所以ln ax x ≥，所以ln x a x ≥，令()()ln 0x x x xϕ=>，则()()21ln 0x x x xϕ'-=>，当0e x <<时，()0x ϕ'>，当e x >时，()0x ϕ'<，所以()x ϕ在()0,e 上递增，在()e,∞+上递减，所以()max lne 1()e e e x ϕϕ===，所以1e a ≥.14.由函数()()πsin cos tan ,0,2b f x a x b x x a ωωωϕϕϕ⎛⎛⎫=+=+=∈ ⎪ ⎝⎭⎝，可知函数周期是2πω，由（1）知ππππcos sin 0tan 3333a f a b b ωωωω⎛⎫⎛⎫'=-=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且函数的一条对称轴是π3x =，所以()ππππππ3232m m m ωωϕϕ⨯+=+∈⇒=-++Z ；又因为()f x 在区间3π4π,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调函数，所以()3π4πππ,π,π5522k k k ωϕωϕ⎡⎤⎡⎤++⊆-++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z ，3πππ524πππ521π25k k T ωϕωϕ⎧+≥-+⎪⎪⎪+≤+⎨⎪⎪≥⎪⎩3ππππππ53224ππππππ53221π25m k m k T ωωωω⎧-++≥-+⎪⎪⎪⇒-++≤+⎨⎪⎪≥⎪⎩()()151544151507705k m k m ωωωω⎧≥-+-⎪⎪⎪⇒≤-⇒<≤⎨⎪<≤⎪⎪⎩或153047ω≤≤.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）（1）解：已知()*3211,23n a a a a n n n n++++=+∈N ，当1n =时，12a =；当2n ≥时，()23121122231n n n a a a a a n n n a n n n -++++=-⇒=⇒=- ，综上：2*2,n a n n =∈N .（2）证明：11222211111112(1)2(1)n n n n n n n a a b S b b b a a n n n ++⎛⎫⎛⎫-==-⇒=+++=- ⎪ ⎪⋅++⎝⎭⎝⎭，*2111,2(1)n S n n ⎛⎫=-∈ ⎪+⎝⎭N 单调递增，1n ∴=时，()1min 38n S S ==*2211,0,11(1)(1)n n n ∈>∴-<++N ，即12n S <，因此：*31,82n n S ∀∈≤<N .16.（本小题满分15分）解：（1）()()()121639P AB P A B P B ==⨯=∣；由全概率公式可得()()()()()P A P B P AB P B P A B =⋅+⋅∣∣，解得()23P A B =∣.（2）完成列联表如下：性别身高合计23-低于170cm不低于170cm 女20424男4812合计241236零假设为0H ：学生的性别与身高是否不低于170cm 无关，根据列联表中的数据，经计算得到220.00536(20844)97.87924121224x χ⨯⨯-⨯==>=⨯⨯⨯，根据小概率值0.005α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为学生的性别与身高是否不低于170cm 有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.17.（本小题满分15分）解：（1）在ABC 中，π1,sin ,cos 622A A A =∴== ，由正弦定理，())1cos sin 1cos sin cos ,sin 222B B A B B A B ⎫++===⎪⎪⎭，则有231cos 2cos cos tan 22223B B B B B B +=⇒=⇒=，由于()0,πB ∈，故ππ263B B =⇒=.（2）原等式变为())sin 1cos sin cos A B B A +=-，cos sin sin cos sin B A B A B A -=+，()()sin sin sin sin πsin sin B A A B A C A C =++=+-=+，1,3,sin 2ABC a c b a c S ac B =+=∴+== ，由余弦定理知2222()323cos 122a c b a c ac B ac ac ac+-+--===-，其中2()9,44a c ac a c +≤==时取等，1132224 ABCS==.法二：由2222()3233cos1221cosa cb ac acB acac ac ac B+-+--===-⇒=+，其中2()944a cac+≤=，故()()11133sincos,sin sin3221cos21cos21cosABCBB S ac B BB B B≥====+++，令41cos,34ABCt B S=+≥=.,3a cb a c=+=∴+=，则点B可看作是以,A C为焦点，3为长轴长的椭圆上的点，以AC中点为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系，则点B轨迹方程为：2219342x y+=，故11224ABC BS AC y=⋅≤⨯.18.（本小题满分17分）（1）解：设双曲线的标准方程为()222210,0x y a ba b-=>>，依题意有：4,26,3a b b==∴=，所以双曲线方程为221169x y-=.（2）（i）证明：设直线MN方程为：6x my=+，设()()1122,,,M x y N x y，联立方程2261169x myx y=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x得：()229161081800m y my-++=，1212224108180,,3916916mm y y y ym m-≠±∴+==--()11,M x y是双曲线C上的点，()()()22221111111121114416416161,,169169994x x x y x y x y y y x +--+∴-=∴=∴=∴=-，直线()111:44y A M y x x =++，直线()222:44y A N y x x =--，联立方程得()()()()21121212121244444,44444y x y y x y x x x x x x y x y x ++++=-∴==+----()()()()()12121221212121216161694492291836y y y y y y x x my my m y y m y y =⋅==--+++++5,=-解得83x =，故点P 在定直线83x =上.（ii ）解：由双曲线对称性可知，点Q 也在直线83x =上，设3488,,,33P y Q y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点P 在直线1A M 上，所以()1131120844334y y y x x ⎛⎫=+= ⎪++⎝⎭，点Q 在直线1A N 上，所以()2242220844334y y y x x ⎛⎫=+= ⎪+⎝⎭+'所以34341010100,,339PR QR y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()121212121004001004009944991010y y y y x x my my =+⋅=+⋅++++()12212121004009910100y y m y y m y y =+⋅+++2222218010040010040095591618010809999809100916916m m m m m -=+⋅=-⨯=-+--所以559PR QR ⋅= .19.（本小题满分17分）解：（1）()()()()()()21ln 1ln ln ln ln ,ln 11ln 1x x x a a x x f x f x x x x ++--==++'++，令()()1ln 1ln x h x x x x +=+-，则()()2ln 10x h x x-+=<'在()0,∞+上恒成立，所以()h x 在()0,∞+上单减.因为()()0lim ,lim 0x x h x h x ∞∞+→+→=+=，所以：①当ln 0a <，即()0,1a ∈时，()ln 0h x a ->，即()0f x '>在()0,∞+上恒成立，即()f x 在()0,∞+上单增，无极大值，不合题意，舍；②当ln 0a >，即()1,a ∞∈+时，存在()00,x ∞∈+，使得()0ln h x a =，此时，当()00,x x ∈时，()()ln 00h x a f x '->⇒>，当()0,x x ∞∈+时，()()ln 00h x a f x '-<⇒<，则()f x 在()00,x 上单增，在()0,x ∞+上单减.所以()f x 存在极大值()0f x ，符合题意.综上，()1,a ∞∈+（2）由（1）知，()027ln ln 24h x a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，且()h x 在()0,∞+上单减，()127ln ,2ln 242h h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以01,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且a 与0x 一一对应.因为()()()()()()000000001ln 1ln ln ln ln ln 1x x a x g a a f x h x x x x +++-=-=-++()()000011ln 11ln x x x x -++=++令()()()11ln 111ln ,22x x x x x x ϕ-+⋅+⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()()2ln 11x x x ϕ+-='，所以()x ϕ在1,e 12⎛⎫-⎪⎝⎭上单减，在()e 1,2-上单增.又()()()127e 1ln e 1,23ln 24ϕϕϕ⎛⎫-=-<=- ⎪⎝⎭，所以()()27ln e 1,3ln 4x ϕ⎡⎤∈--⎢⎣⎦，即()()27ln ln e 1,3ln 4g a a ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦.。

【第九套】巴蜀中学2020届高考适应性月考卷(一)(理数学生版)

21．（巴蜀中学 2020 届高考适应性月考卷（一）理数）已知 f (x) = ex (x +1) − 1 ax2 − 2ax(a > 0) . 2
（1）若 a > e−2 ，求函数 f (x) 的极值点；
（2）若 x0 (x0 ≠ −2) 是该函数的一个极值点， f (−2) > e−2 ，求证： f (x0 ) ≤ 1 .
(x)
=
x2
−
ax
+
2a,
x
≤
1,
x − a ln x, x > 1,
且对任意的实数 x ， f (x) ≥ 0 恒成立，则 a 的取值范围为（）
A.[0, 2]
B. [0, e]
C.[1, 2]
D. [1, e]
15．（巴蜀中学 2020 届高考适应性月考卷（一）理数）已知函数 y = e x 上任意一点 P(x0 , e x0 ) ，在 P
22.（巴蜀中学 2020 届高考适应性月考卷（一）理数）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
C1
:
ρ
=
4 cosθ
+
4 sin θ
，直线
l
的参数方程为

x

y
=1+ =1+
1t 2
3 2
t
（ t 为参数）．
（1）求直线 l 及曲线 C1 的直角坐标方程，并判断曲线 C1 的形状；
点处的切线 l1 交 x 轴于点 A ，l2 过点 P 且 l1 ⊥ l2 ，l2 与 x 轴交于点 B ，则线段 AB 长度的取值范围

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【答案】
【解析】计算定义域为，再根据复合函数单调性得到答案.
【详解】
，函数定义域为满足，
即，
函数单调递减，故只需求的单调递减区间，即 .
综上所述： .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了复合函数单调性，忽略掉定义域是容易发生的错误.
15．sin20°+2sin20°cos40°＝_____.
【答案】 .
【详解】
∵集合，
集合B={x|x=2k+1,k∈Z}，
∴A∩B={1，3，5，7}，
故选：C.
【点睛】
本题考查集合的运算，此类题目一般比较简单，只需将两集合解出，再进行交并补运算即可求解.
3．向量（1，2），（2，λ），（3，﹣1），且（）∥ ，则实数λ＝（）
A．3B．﹣3C．7D．﹣7
【答案】B
【详解】
联立直线与抛物线：，消去得，，
同理，记的中点为，的中点为，所以，
又因为直线过点（为中线，所以也为中线，所以三点共线），
所以，所以，从而抛物线的方程为 .
故选：D.
【点睛】
本题考查了抛物线方程，确定直线过点是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力.
二、填空题
13．设复数z满足 2+i，则|z|＝_____
【答案】5
【解析】复数方程的两边同乘1+2i，然后利用多项式展开化简，即可确定z，再进一步求得．
【详解】
复数z满足，
所以，
故
故答案为：5.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的模的计算，属于基础题.
14．函数的单调递增区间是________.
【解析】利用进行角的转化，再利用和差公式化简即可求解.
【详解】
.
故答案为： .
【点睛】
本题为计算题，主要考察正余弦和差公式的灵活应用，此类问题中非特殊角三角函数化简求值，如20°、40°等角度，一般找出与特殊角的和差关系，再利用和差公式化简即可，属于中等题.
16．已知函数f（x）＝lnx a，f′（x）是f（x）的导函数，若关于x的方程f′（x） 0有两个不等的根，则实数a的取值范围是_____
本题考查同角三角函数关系，注意象限角的符号即可，属于基础题.
2．集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣7）≤0}，集合B＝{x|x＝2k+1，k∈N}，则A∩B＝（）
A．{1，7}B．{3，5，7}
C．{1，3，5，7}D．{1，2，3，4，5，6，7}
【答案】C
【解析】先求出集合A与B，求出两集合的交集即可．
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【解析】对ω进行分类讨论，当，通过可确定的范围，由f（x），得到，从而得到，再根据ω∈Z，可得的值；当时,同理可得的值.
【详解】
当时,
，
∵ 有唯一解，
，，
又
当时,
∴ ,
又 ,
综上所述,
故选：D.
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象与性质，函数零点与方程的根的关系，求三角函数的值时，利用函数图像数求出的范围，即可求得值，属于中等题.
【详解】
∵AB⊥BC，AB＝1，
∴由勾股定理可得AC=2，
∴AC是△ABC外接圆的直径，
∴△ABC外接圆的半径为r=1，
∵SA⊥平面ABC，且SA＝2，
设球心到平面ABC的距离为d,
则由勾股定理可得，
∴ ，
∴三棱锥S−ABC的外接球的表面积为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查几何体外接球的表面积，此类问题常常先求底面的外接圆半径，再与球心到底面距离、球的半径运用勾股定理求解，属于中等难度题型.
（2）通过平移变换可得g（x）=sin（2x+2φ ）+1，若函数g（x）是偶函数，运用三角函数的诱导公式，令，k∈Z即可，从而得到φ的最小值．
【详解】
（1）f（x）＝sinxcosx cos2x+1 sin2x cos2x+1＝sin（2x ）+1，
所以函数f（x）的最小正周期为T π，
当且仅当2x 2kπ ，k∈Z时，f（x）取得最大值为2，
∴ lnx a有两个不相等的实数根，
∴y＝1 lnx 与y＝a有两个不同的交点；
令g（x）＝1 lnx ，
∴g′（x），
令g′（x）＝0，x＝2或﹣1（舍负）；
令g′（x）＞0，0＜x＜2；令g′（x）＜0，x＞2；
∴g（x）的最大值为g（2）＝1 ln2 ln2；
∴a ln2；
∴a的取值范围为（﹣∞， ln2）.
取x= ,则cosx= ,sin2x=-1,∴f( )=-1；
∴f( )=1和-1，不符合函数的定义，故不满足题意；
对于B选项，取x=0,则sin2x=0,∴f(0)=0；
取x= ,则sin2x=0,∴f(0)=1；
∴f(0)=0和1，不符合函数的定义，故不满足题意；
对于C选项，取x= ,则sinx= ,sin2x=1,∴f( )=1；
18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，E是线段SD上一点.
（1）若E是SD的中点，求证：SB∥平面ACE；
（2）若SA＝AB＝AD＝2，SC＝2 ，且DE DS，求二面角S﹣AC﹣E的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）由题意连结BD，交AC于点O，连结OE，可证OE∥SB，SB∥平面ACE得证；
10．已知 • 0，|BC|＝4，P是三角形ABC平面内任意一点，且满足| |＝1，则 • 的最小值是（）
A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1
【答案】B
【解析】利用已知，得到，|BC|＝4，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，再根据P点满足| |＝1，设P点坐标为，代入点坐标计算，再根据辅助角公式和坐标之间的关系可得的取值范围，从而得解.
【详解】
∵ ，
∴ ，
建立如图直角坐标系，
设，
又|BC|＝4，
∴
∵| |＝1，∴设，
,
∵ ,
,
故最小值为，
故选：B.
【点睛】
本题考查向量积的最值问题，通常建立直角坐标系，设未知数，得到各个向量的坐标，运用坐标运算计算出含有未知量的解析式，再进一步运用函数思想找出取值范围，属于中等题.
11．已知f（x）＝sin（ωx ）（ω∈Z）x∈（0， ]时f（x）有唯一解，则满足条件的ω的个数是（）
故答案为：（﹣∞， ln2）.
【点睛】
本题主要考查导数的运算、导数在函数中的应用、函数零点等基础知识，考查了转化能力、运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想方法，属于较难题．
三、解答题
17．已知函数f（x）＝sinxcosx cos2x+1
（1）求f（x）的最小正周期和最大值，并写出取得最大值时x的集合；
∵定义H（x）表示不小于x的最小整数，
A选项，令，显然错误，
B选项，令，显然错误，
C选项，令：D.
【点睛】
此类问题属于定义新概念题型，根据定义去判断各个推论是否正确，此类问题最快速的办法是举特例进行排除，可快速锁定答案，属于中等题.
7．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b+c＝acosB+acosC，则A＝（）
2020届重庆巴蜀中学高三适应性月考卷（二）数学（理）试题
一、单选题
1．已知α是第二象限角，且sin ，则cosα＝（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】通过同角三角函数的平方关系，结合α是第二象限角，cosα为负值，直接代入解得答案.
【详解】
∵α是第二象限角，且sin ，
可得 ,
故选：D.
【点睛】
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
【答案】D
【解析】根据已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），得到正态分布曲线关于对称，又根据题目P（x≤1）＝0.1，由对称性可得，因此得到P（1≤X≤5）的值，再乘即为所求.
【详解】
∵随机变量X服从正态分布N（3，σ2），
∴正态分布曲线关于对称，
6．定义H（x）表示不小于x的最小整数，例如：H（1.5）＝2，对x，y∈R，则下列正确的是（）
A．H（﹣x）＝﹣H（x）B．H（2﹣x）＝H（x）
C．H（x+y）≥H（x）+H（y）D．H（x﹣y）≥H（x）﹣H（y）
【答案】D
【解析】根据题意，可用特殊值法进行逐一排除，最后得到正确选项.
【详解】
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意代入余弦定理，可得到三边a，b，c的等式，化简可得，从而得到△ABC为直角三角形，A为直角.
【详解】
由b+c＝acosB+acosC，
根据余弦定理可得，
，
，
进一步化简可得
∴△ABC为直角三角形， .
故选：A.
【点睛】
本题考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，通过余弦定理找到各边之间的关系，然后推导出角的大小，属于中等题.
（2）将f（x）的函数图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数g（x）是偶函数，求φ的最小值.
【答案】（1）最小正周期为T π，f（x）取得最大值为2，此时x的集合为{x|x＝kπ ，k∈Z}.（2）
【解析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）＝sin（2x ）+1，由此可得最小正周期及最大值，由当且仅当2x 2kπ ，k∈Z时，f（x）取得最大值，解出x的集合；
【答案】（﹣∞， ln2）