弹塑性力学5屈服准则

f f
( (
I1, I1,
I2, J2,
I3) 0 J3) 0
f
(
p,
q,
) 0
f ( 0, J2, ) 0
在应力空间中，屈服条件可以表示为屈
服曲面。屈服面在平面上的迹线一般称为 平面上的的屈服曲线，屈服面与子午平面的
交线称为子午平面上的的屈服曲线。
平面上屈服曲线的一般性质
1）屈服曲线是一条封闭的曲线；
•
f
t
2c cos 1 sin
单轴拉伸屈服应力
•
fc
2c cos 1 sin
单轴压缩屈服应力
• Mohr-Coulomb条件过高地估计了脆性材料的 抗拉强度，可与最大拉应力条件联合运用。
Drucker-Prager条件： f I1 J2 k 0
偏平面上DP条件的屈服曲线
Drucker-Prager
下，屈服条件中不包含时间和温度。
• 在初始屈服之前应力和应变之间是一一对应 关系，这样，屈服条件只是应力分量或应变 分量的函数。
f (ij ) 0
• 若材料是各向同性的，则屈服条件应该与方 向无关，这时宜采用 与坐标无关的主应力或 应力不变量表示。
• 屈服条件通常写为：
f (1, 2, 3) 0
(nn
2
C
2
1
1
n= 2 (1 +3)+ 2 (1 3)sin
1
n= 2 (1 3)cos
屈服条件为：
1
1
2 (1 3) + 2 (1 + 3)sin Ccos = 0
• 作单向拉伸和压缩实验，屈服条件可简化
当123时，Mohr-Coulomb屈服条件可写成
1 3 1 ft fC
f (13,12 ) 13 12 (13 12 kb )
1
1 2
(
2
3)
[ 1
1 2
(
2
3)]
kb
0
f
(13,
23 )
当广义压缩时，即 2 13 23 (13 23
1 2
(
kb )
1
Tresca 条件： max
1
3
2
k
• 材料常数k值可由简单实验确定 （1）单轴拉伸：屈服时1 =s，2 =3 =0， 代入屈服条件
k= s/2 （2）简单剪切：屈服时 =s 1= s， 2=0，3= s, 代入屈服条件
k= s
Mises 条件： J2 k
J2 的物理意义
• J2与弹性状态的形状改变能成正比
• 如假定单轴拉伸时 两个屈服面重合，则 Tresca六边形内接于 Mises圆；
外切Tresca六边形
• 如假定简单剪切 时两个屈服面重合， 则Tresca六边形外切 e' 于Mises圆
e'
Mises 圆
内接Tresca六边形
5.2.3 与静水压力有关的材料
• 岩石、混凝土、土等摩阻材料 • 在受拉状态下一般表现为脆性而几乎不产生
1 Rt
m Rc / Rt
Rc 为单轴抗压强度
双剪应力屈服准则（俞茂鋐，1961）
f
(13,12 )
13
12
1
Biblioteka Baidu
1 2
( 2
3)
kb
0
f
(13, 23)
当12
23或 2
1 2
( 1
3 )时
13
23
1 2
( 1
2)
3
kb
0
当12
23或 2
1 2
( 1
3 )时
广义双剪应力屈服准则（俞茂鋐，1982）
考察一任意剪切面，该面上的剪应力为n，正应 力为n，
推动剪切滑移的有效剪切力是n 阻止剪切滑动力：内摩擦力(n) tg，粘结力C
Mohr条件
n = (n) tg ＋C
随静水压力增长，减小，在 应力平面上 不是直线，而是曲线，
Coulumb条件：
对于土和受静水压力不太大的岩石，可假定 角为常数，为直线
2）屈服曲线是外凸的；
3）屈服曲线所围成的区域是单连通的；
4）对于各向同性材料，屈服曲线对于平面内
的三个坐标轴
1' ,
' 2
,是对3' 称的。在平面内的6
个60度扇形区屈服曲线具有相同的形状。
5.2.2 与静水压力无关的材料
• 材料的屈服对静水压力不敏感，剪切应 力控制着这些材料的屈服。
• 金属等晶体结构材料
塑性变形。 • 只有在受压状态，由于微裂纹的扩展或闭合，
裂纹表面的相对滑动，才可能产生类似于金 属的塑性变形。
• 拉伸和压缩的力学性能差别很大
2
f't
f'c
1
f't
fc'
• 产生应变软化现象
应变软化段
• 产生塑性体积膨胀变形
0
v
• 与静水压力有关
3
3
围
压
增
加
1
2
3
• 具有弹塑性耦合
弹性模量降低
1 2
sijeij=
1 4G
sijsij=
1 2G
J2
• J2也与八面体上的剪应力成比例
材料常数k由简单实验确定
（1）单轴拉伸：屈服时 1 =s，2 =3 =0，代 入屈服条件
J2
2 s
3
k2,
k s
3
（2）剪切：屈服时 =s 1= s，2=0，3= s,，屈服条件
J2
2 s
k2,
k s
两种屈服条件比较
5.2 屈服准则
• 5.2.1 引言 • 5.2.2 与静水压力无关的材料 • 5.2.3 与静水压力有关的材料
5.2.1 引言
基本概念 • 物体在外载荷作用下，随着载荷增大，逐步
从弹性状态过渡到塑性状态，这种过渡称为 屈服。 • 物体内质点开始产生塑性变形时，应力或应 变所必须满足的条件，叫屈服条件。一般情 况下，它是应力、应变、时间、温度等的函 数，但在不考虑时间效应和接近常温的情况
Cctan
Mohr-Coulomb
Zienkiewicz-Pande条件：
F
2 m
m
2
0
J 2 / g( )
• 双参数抛物型Mohr屈服准则：
a(
1
3 )2
4
1
3
2
Rt
1 4a
t
Rt
( 3
Rt
1 a
)
(
3
Rt
1 a
)
• 其中 Rt 为单轴抗拉强度，a为系数
a 1
m m
1
2
Rankine条件
1876年Rankine（朗金）提出最大拉应 力准则，用于确定脆性材料的拉伸破坏。
max( 1, 2, 3 ) ft
还可表达为
f (I1, J2, ) 2 3J2 cos I1 3 ft 0
Mohr-Coulomb条件：
f
1 2
(
1
3
)
1 2
(
1
3
)
sin
c cos
0
Mohr-Coulomb
• DP准则可以通过调整圆锥的大小来适应 Mohr-Coulomb准则。
• （1）圆外接于六边形
2 s in
33 sin
,
k
6c cos
33 sin
• （2）圆内接于六边形
2 s in
33 sin
,
k
6c cos
33 sin
Drucker-Prager