05数学分析

安庆师范学院：04—05 数学分析B卷答案

数学系一年级第二学期期末考试试卷
《数学分析》B参考答案
一判断题：（7×2分=14分）
（1）幂级数在收敛区间内每一点绝对收敛。（√）
（2）若为点集的聚点的任意邻域内均含有中异于的点。（√）
（3）在[a，b]上有界，则在[a，b]上可积.（×）
（4）若收敛，则也收敛（×）
（5）闭集必为闭域。(×)
(5分)
(7分)
2、
解：原式= (3分)
=
= (7分)
3、
解：原式 (3分)
= (5分)
= (7分)
4、要制作一个有盖的圆柱形罐头，其体积为V不变，
问怎样选择其高与底面半径使得其表面积最小？
解：设其高为h,半径为r,则有
于是:S=2 (2分)
故有:
令 =0得为S(r)的最小值点(5分)
此时求得，且。
又当时收敛，当时发散
故当时收敛，当时发散 (4分)
3、（证明条件收敛）
解：（1），而发散，所以 (3分)
（2）由于所以当时单调递减
且
由牛顿—莱布尼兹公式判别法知：条件收敛。(7分)
五、把在内展开成正弦级数。（8分）
解：对作奇式周期延拓，
（4分）
所以
当时右边级数收敛于（8分）
从而在上不一致收敛。…………5分
（3）、，使得，此时有，而收敛，故在上一致收敛，因级数在上收敛，连续，于是在内一次可微，特别在点可微，由的任意性知在内一次可微。…………7分
同理可证，在内可微。
事实上，，使得，此时有，而收敛，故在上一致收敛，故在内可微，特别在点可微，由的任意性知：在内可微。

复旦大学2005年数学分析考研试题

５、级数
∞
∑u
n =1 1
n
( x) 在 [a, b] 上收敛，且存在常数 G，使得对任何自然数 n 及实数 x ∈ [a, b] ，
∞
恒有
∑u
n =1
n
( x) < G ，证明级数 ∑ u n ( x) 在 [a, b] 上一致收敛。
n =1
设 f (u ) 是定义在 u ≥ u 0 上的实函数，在任意区间 [u 0 , x ] 上可积，且 uf (u ) 是递增函数。若
lim
1 f (u )du = a ，证明： lim f ( x) = a x →∞ x →∞ x ∫ u0
x
∫∫
D
sin(π x 2 + y 2 )
x +y
2 n 2
dxdy ，其中 D＝｛ ( x, y ) 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ｝
１．设函数 H ( x1 , x 2 ,...x n ) = −
∑x
i =1
i
log 2 xi ，并且 xi > 0, ∑ xi = 1(i = 1,2,...n) ，证明：
i =1
n
H ( x1２．设函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上常义可积，函数 g ( x ) 以 T 为周期（ T > 0 ）在 [0, T ] 上可积，且 g ( x) ≥ 0 ，则 lim
n →∞
∫
a
b
f ( x) g (nx)dx =
1 g ( x)dx ∫ f ( x)dx T∫ 0 a
20０５年复旦大学数学分析考研试题０５年复旦大学数学分析考研试题
一、严格表达下述概念（１５）１．请给出函数项级数一致收敛的定义。２．第一类曲线积分的数学定义。３．以

苏州大学考研真题数学分析2005(含答案)

1 2
2
f (x)dx 0
0
以下分三种情况讨论：
( a ) 当 x M x 0时 f ( x M ) f (x 0 ) 0 m a x x[0,2 ] f ( x ) 0 L (b) 当 x M x 0时 ,由 f(x) 的周期性，得 2 f(x0 ) f (x M ) f(x0 ) f (x M ) f(x0 2 ) f (x M ) L (x0 x M ) L (x0 2 x M ) 2 L (c )当 x M < x 0时 , 由 f ( x ) 的周期性，得 2 f(x0 ) f (x M ) f(x M ) f (x0 ) f(x M 2 ) f (x0 ) L(x0 x M ) L(x M 2 x0 ) 2 L 从而由 ( a ) ， ( b ) ，(c )知道 m a x xR f ( x ) L
则 f ( x0 ) 0.证明： f ( x )在[0,1]上只有有限个零点。
证明：设若不然 f ( x )在 [0,1]上有无穷多个零点，不妨设 { x n } [0,1], f (x n ) 0, n 1, 2
则存在 { x n }的一个子列{x nk } , 使得 x nk x0 ( k )且 f (x nk ) 0，从而 f ( x0 ) 0
4（. 16）将方程 x u

y
u

0变为以极坐标 r, 为自变量的形式，其中极坐标
y
x
变换为 x=rcos ,y=rsin ,(r 0)

2005年华东师大数分试题及解答

2005年数学分析一．（每题6分，共24分）判断下列命题的真伪（正确的命题请简要证明，错误的命题请举出反例）1．A a n n =∞→lim 的一个充要条件是：存在正整数N ，对于任意正数ε，当N n >时均有ε<-A a n .2.设()x f 在[)+∞,a 上连续，()x f 在[)+∞,a 上一致连续，那么()()2x f 在[)+∞,a 上一致连续.3.设0>n a ，01lim =∞→na nn ，那么正项级数∑∞=1n n a 收敛. 4.()y x f ,在点()00,y x 沿任意方向导数都存在，则函数()y x f ,在点()00,y x 连续. 二．（每题8分，共64分）计算下列各题；1．求极限⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x n 220sin 11lim 2．求极限n n n n 22cos 2sin lim +∞→3．求曲线y x x y 2=，在()1,1处的切线方程. 4．设()x f 在R 上连续，()()⎰=te t dx xf tg 2，求()t g '.5．求dxdy y x y x ⎰⎰≤++12243.6．设()11,1=f ，()a f x =1,1'，()b f y =1,1'，()()()()y x f x f x f x g ,,,=，求()1'g .7．设S 是有向曲面1222222=++c z b y a x 外侧，求第二型曲面积分⎰⎰S zdxdy .8．设椭球面0,0,0,1222222>>>=++z y x cz b y a x 的切平面与三个坐标平面所围成的几何体的最小体积.三．（第一题至第四题每题12分，第五题14分，共62分）证明以下个题： 1.设()x f 在有限区间()b a ,上一致连续，求证：()x f 在区间()b a ,上有界.2.已知n a n 112=-，⎰+=121n n n dx x a ，求证：()∑∞=-11n n na 条件收敛.3.设()x f 在区间[]b a ,连续，()0>x f .求证：函数列(){}nx f 在[]b a ,上一致收敛于1.4.设()y x f ,在[][]d c b a ,,⨯上连续，求证：()[]()y x f y g b a x ,max ,∈=在[]d c ,上连续.5.设()x f 在区间[)+∞,a 上的有界连续函数，并且对于任意实数c ，方程()C x f =至多只有有限个解，求证：()x f x +∞→lim 存在.2005年数学分析答案一、判断下列命题的真伪，正确的命题请简要证明，错误的命题请举出反例（每题6分，共24分）：1.错误。

南师大05数分

南京师范大学2005年硕士研究生招生入学初试试卷数学分析一、判断正确与否，说明理由。

（5分*3=15分） 1、∑nu 收敛，)(,1∞→→n v n ，则∑nn vu 收敛。

2、若dx x f a⎰+∞)(收敛，dx x f a⎰+∞')(收敛，则0)(lim =+∞→x f x 。

3、在f(x)在[a,b]上具有界值性（即f(x)可取得f(a)和f(b)之间的一切实数）的单调函数必一致连续。

二、计算下列各题：（7分*7=49分）1、2133sin sin limxx x x → 2、)0(cos )!2(lim!\>∞+→a a n n n n 3、xx x x x x 1223232lim 0⎪⎪⎭⎫⎝⎛++→4、dx x x ⎰-1002)1( 5、求yx y x y x f ++=233),(在（0，0）处的重极限和累次极限。

6、忘了 7、xyy x arctanln22=+，求y '和y ''。

三、（10分）f(x)在),[+∞a 单调递减，f(x)>0，证明dx x f a⎰+∞)(和dx x x f a⎰+∞2cos )(敛散性相同。

四、（15分）已知knx n n xe x f -=)(，当k 为何值时，函数列)}({x f n 在),0[+∞上（1）收敛，（2）一致收敛，（3）积分与极限可交换，即dx x f dx x f n n n n )(lim )(lim 0⎰⎰+∞+∞∞→∞→=。

五、（15分）考察∑+++)1(2sin )1(2)12(cosn n xn n x n 在（1）[l l ,-]和（2）),(+∞-∞上的一致收敛性。

六、（15分）（忘了）七、（16分）交换积分顺序,先对x 再对y,最后对z 积分:dz z y x f dy dx J x xy x ⎰⎰⎰----+=111112222),,(.八、（15分）证明⎰+∞+∞0,[sin a dy yxy在）上一致收敛，而在),0(+∞上不一致收敛。

2005数学分析解答

2005数学分析解答D解：112022000111011ln()|ln(1)ln [(1)ln(1)(1)ln ]|2ln 2y yDdxdy dxdy x y dy y x y x y dy ydyy y y y y y ==+++=+-=++-+-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5、计算第二类曲线积分：22C ydx xdyI x y--=+⎰，22:21C x y +=方向为逆时针。

解：22220022222tan 2222cos ,[0,2)2sin cos cos 222113cos 22cos 2213(2)(1)12arctan 421(2)(1)2311421C x x y ydx xdy I d x y x x x x d x dx x x x x ππθθθπθθθθθθθθ+∞+∞=-∞-∞=⎧⎪∈⎨=⎪⎩---=−−−→=+++-+-++−−−−−→=--++++=-⎰⎰⎰换元万能公式代换226426212dx d x ππ+∞+∞-∞-∞+=-+++⎰6、设a>0,b>0,证明：111b ba ab b ++⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭。

证明：1111()1111(1)111()'()1[ln(1)]0()()()b bxb b bbxa a ab f x b b x a a b f b b b a a b f b b b a b a b a b f x Taylor x x x a b f x ++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭---⎛⎫=++-> ⎪+-⎝⎭，构造函数展开可以证明所以递增，从而得证一、设f(x)为[a,b]上的有界可测函数，且2[,]()0,a b f x dx =⎰证明：f(x)在[a,b]上几乎处处为0。

证明：反证法，假设A={x|f(x)≠0}，那么mA>0。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案05

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案05第五章导数和微分习题§5.1导数的概念1、已知直线运动方程为2510t t s +=，分别令01.0,1.0,1=∆t ，求从t=4至t t ∆+=4这一段时间内运动的平均速度及时的瞬时速度。

2、等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义。

3、设4)(,0)(0='=x f x f ，试求极限xx x f x ∆+∆→∆)(lim 00。

4、设⎩⎨⎧<+≥=,3,,3,)(2x b ax x x x f 试确定的a,b 值，使f在x=3处可导。

5、试确定曲线y x ln =上哪些点的切线平行于下列直线：（1）;1-=x y （2）32-=x y6、求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程：（1）).1,0(,cos )2();1,2(,42p x y p x y ==7、求下列函数的导函数： ⎩⎨⎧<≥+==,0,1,0,1)()2(;)()1(3x x x x f xx f8、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(x x xx x f m（m 为正整数），试问：（1）m 等于何值时,f 在x=0连续；（2）m 等于何值时,f 在x=0可导；（3）m 等于何值时,f '在x=0连续。

9、求下列函数的稳定点：(1)f(x)=sinx-cosx ；(2)x x x f ln )(-=。

10、设函数f 在点0x 存在左右导数，试证明f 在点0x 连续。

11、设0)0()0(='=g g ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )()(x x xx g x f求)0(f '。

12、设f 是定义在R 上的函数，而且对任何Rxx ∈21,，都有)()()(2121x f x f x x f =+。

若1)0(='f ，证明对任何R x ∈，都有)()(x f x f ='。

2005北京大学数学分析答案

2005北京大学数学分析答案北京大学2005 数学专业研究生数学分析 1. 设xxx x x x f sin sin 1sin )(22--=，试求)(sup lim x f x +∞→和)(inflim x f x +∞→.解: 22sin 1()sin sin (0,1].sin x x f x x x x x-=∈-首先我们注意到.在的时候是单调增的222222sin 1sin .sin sin ,sin 11x x x x x x x x xx x x x -≤≤---并且在充分大的时候显然有所以易知在当然此上极限可以令2,2x k k ππ=+→+∞这么一个子列得到. 2222sin sin ().lim 0,lim inf 0,limsin sin x x x x x xf x x x x x→+∞→+∞→+∞==--对于的下极限我们注意到而所以有此下极限当然可以令(21),.x k k π=+→+∞这么个子列得到2. (1)设)(x f 在开区间),(b a 可微，且)(x f '在),(b a 有界。

证明)(x f 在),(b a 一致连续.证明:()(,).()(,).f x x a b M f x a b '∈设在时上界为因为在开区间上可微12,(,),x x a b ∀∈对于由,Lagrange 中值定理存在12121212(,),()()()x x f x f x f x x M x x ξξ'∈-=-≤-使得. 这显然就是12,,.()(,).Lipschitz x x f x a b 条件所以由任意性易证明在上一致收敛(2) 设)(x f 在开区间),(b a )(+∞<<<-∞b a 可微且一致有1121122212(1)2(1)2(1)sin 22!(21)!2!p p pt t ppt kp t p ---++∞=---==-∑。

华南理工2005数学分析试题和解答

华南理工大学2005年攻读硕士学位研究生入学考试试题注：本题在解答过程中，参考了博士家园论坛的意见，特别是Zhubin846152 给出了3、10、11题的解答，在此表示感谢！一、设2n 2n 1n 12a2ax x x ,0a x +-=>>+. 求极限n n x lim ∞→ 解：显然有()0a a a x x 22n 1n >≥+-=+，又11x a 2a 1x x n n 1n ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+ 即，序列为单调减小，且有下界，故存在极限，不妨设A x l i mn n =∞→，则对2n 2n 1n 2a2ax x x +-=+两边取极限，得222a 2aA A A +-=，即a A =，故a x lim n n =∞→ 二、求积分⎰+-C 4433yx dx y dy x , 其中C 是圆:1y x 22=+,逆时针为正向. 解：令[]πθθθ20,sin y ,cos x ，∈==，有()()[]πθθθθθθθθθθπππ23d 2sin 21-1d sin 2cos sin cos d sin cos y x dx y dy x 20220222222044C 4433=⎪⎭⎫⎝⎛=-+=+=+-⎰⎰⎰⎰三、讨论函数序列()tn nt sin t f n=在()∞,0上的一致收敛性.解：利用定义来做，就可以了。

2()()lim ()0(1)0,0,,0|()()||(2)0,0,0,0sin |()()||||(0,)0n n n n n f t f t f t t N f t f t t n ntf t f t nt εδδεεδδδε→∞===∀>>∀>∃=<-=≤<∀>>∀<≤∀>-==≤≤∈利用定义来做：令，根据一致收敛的定义知，上式一致收敛于四、设()y ,x z z =由方程0x z y ,y z x F =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++所确定.证明: xy z y z y x z x -=∂∂⋅+∂∂⋅ 证明: 0x z y ,y z x F =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++两边分别对x 和y 求偏导数， 0y z x 11F y 1z y z y 1F ,0x 1z x z x 1F x z y 11F 221221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂'=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+' 从而有，xF y F F F y z y z ,x F y F F x 1z F xz 2121221122'+''-'⋅=∂∂'+''-⋅⋅'=∂∂，故有 ()xy z xF y F x F y F xy z x F y F F F y z y x F y F F x 1z F x yz y x z x 21212121221122-='+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'-='+''-'⋅⋅+'+''-⋅⋅'⋅=∂∂+∂∂ 即，问题得证. 五、设()x f 是偶函数,在0x =的某个邻域中有连续的二阶导数,()()20f ,10f =''=,试证明无穷级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛1n 1n 1f 绝对收敛.证明:由题意,可写出()x f 的在0x =处的Taylor 展开式()()()()()2222x o x 1x o x !20f 0f x f ++=+''+=从而有⎪⎭⎫⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛22n 1o n 11n 1f ，故， 2222222n 2n 1n 1n 1o n 1n 1o n 1=+<⎪⎭⎫⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+，而级数∑∞=1n 2n 2为收敛的，由比较判别法知，级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛1n 1n 1f 为绝对收敛的，问题得证.六、设曲线()()⎩⎨⎧==t y y t x x 由方程组()⎩⎨⎧=-+=-++2y 2x te 1t 12t y x y确定.求该曲线在0t =处的切线方程和法平面方程.（注：原题为法线方程，个人觉得曲线不可能有法线，只能有法平面，平面才能有法线）解:由题意得：0y ,1x ,2y 2x 1y x 0t ==⎩⎨⎧=-=+=有，时，当，()⎩⎨⎧-+=--++=2-y 2x te F 1t 12t y x F y21()()()()()(),3e 2t -21te 1t ,y D F ,F D ,-31te 121y ,x D F ,F D ,321e 2t 2x ,t D F ,F D 0t yy0t 210t y0t 210t y 0t 21=-==-==-=======故，有切线方程3y31x 3-t =-=，法平面()03y 1-x 33t =++-，也即切线方程 y 1x t -=-=，法平面1y x t =++-七、求幂级数()()∑∞=++-0n n2n x 1n n 1的收敛域,并求该级数的和.解: 收敛半径()()11n n 1lim 1R n 2nn =++-=∞→,当1x =时,级数变为()()∑∞=++-0n 2n 1n n 1, 显然为发散的.同样级数在1x -=处也发散. 从而,收敛域为()1,1-. 当()1,1x -∈时，有 ()()()()()()∑∑∑∑++=++-=∞=n n n 2n n 2n x -x -n x -n x 1n n 1x f 对第一部分，()()()()()()()()()()( ⎝⎛='⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑∑∑∑∞=∞=+∞=∞=-∞=1n 0n 1n 0n n 21n 1n 20n n 21-n x -x -1n x -x -1n x -x -n x -x n x f第二部分，()()()()()()()()()()()20n 1n 0n n 1n 1n 0n n2x 1x x 1x -x -x -x -x -1n x -x -n x -x -n x f +='⎪⎭⎫⎝⎛+='⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑∑∑∞=+∞=∞=-∞=故()()()()()321x 11x x x 1x x -x f +-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，同样，对第三部分，()x1xx f 3+-=，从而有()()()()()333232223x 1xx x 1x 2x x x x x x x 1x x 1xx 11x x +--=+---++-=+-+++-=原式八、求第二曲面积分: ⎰⎰+-S zdxdy ydxdz xdydz ,S 为椭球面1cz b y a x 222222=++的上半部分,其定向为下侧.解：不妨添加交线所围的部分在0z 1cz b y a x 222222==++,方向取向上,记Q ，所围空间记体积为V,故有()abc 32-0abc 32zdxdy ydxdz xdydz dxdydz111zdxdy ydxdz xdydz zdxdy ydxdz xdydz Q VS Sππ=+-=+-++--=+--=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰',其中S '为取外法线方向为正的曲面,九、 (1) 设0a 0>, 证明积分 ()⎰∞+0222axdx关于0a a ≥一致收敛;证明：()()()()()()()()()εδπεδεπεδεππππεπθθθπθθπ<-<-=>∀=<-≤-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=-=->∀-=⋅=⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈=+=⎰⎰∞2121404021402142321231414124214204240222a f a f a a a ,0a a a a a a a 1a a 1a a 1a 144a 4a a f a f ,0a f ,4a d cos cos 1a 1a f 20,, tg a x ,,a x dxa f 有时，，使得，当存在即可满足，对只需取要有一致收敛，故，对要从而，则，且记也即()⎰∞+0222axdx关于0a a ≥一致收敛(2) 0a >,计算积分⎰∞+022a x dx和()⎰∞+0322axdx解：()662620462026603222202202222216a 16a 1d 814cos2cos4a 1d cos a 1cos d cos a 1a xdx2a d a 1cos d cos 11a 1a x dx ,20,, tg a x ππθθθθθθθθπθθθθπθθπππππ=⋅=+-===+==⋅=+⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞则有，令十、设 ()x f 在[)∞,0上有连续的二阶导数, ()()B x f ,A x f ≤''≤. 试证明()AB 2x f ≤'.证明：利用到了一元二次函数的判别式来做的[0,)22()lim '()0'()'()max {|'()|}||,(1)||0b Taylor "()||2|||()()||'()()()|||||()22||2||(2x x f x f x f x f b f x C A f B A f x f b f b x b x b C x b x b B A x b ξ→∞∈+∞∴===≠≥-=-+-≥---⇔+-首先由于有界，。

北方交通大学2005年硕士研究生数学分析真题

1 北方交通大学2005年硕士研究生入学考试数学分析试题一、（本题满分25分）用一致连续的定义证明（1）函数2)(x x f =在(,)a b 上一致连续；（2）2)(x x f =在(,)-∞+∞上非一致连续。

二、（本题满分25分）（1）计算定积分20sin n n I xdx π=⎰。

（2）证明 222!!12!!1lim (21)!!(21)(21)!!22n n n n n n n π→∞⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦⎣⎦。

三、（本题满分25分）设)(x f 在),0(+∞二阶可导，且M x f ≤'')(，0)(lim =+∞→x f x ，证明 0)(lim ='+∞→x f x 。

四、（本题满分25分）设函数()f u 具有连续的导函数，计算曲线积分2221111()(()3)()2212x x f dydz f x y y dzdx z x y dxdy y y x y ∑++++-+--++++⎰⎰其中曲面∑的方程为1z =，(12)z ≤≤，取外侧。

五、（本题满分25分）设连续序列)}({x f n 在区间],[b a 上一致收敛于)(x f ，（1）若)(x f 在区间],[b a 上无零点，证明当n 充分大时，)}({x f n 在区间],[b a 上也无零点。

（2）证明序列})(1{x f n 在区间],[b a 上一致收敛于)(1x f 。

六、（本题满分25分）设r =()u f r =在),0(+∞上有连续的二阶导函数，而且0r =的右侧小邻域()u f r =有界，又设()u f r =满足()ln div gradf r r =求当0r >时的()f r 。

北京大学2005数学分析试题及解答

时, 从而
f (x)
=
sin2
x
−
sin x x2
1
−
sin x x2
,
lim sup f (x) = 1, lim inf f (x) = 0.
x→+∞
x→+∞
2. (1) 因为 f ′(x) 在 (a, b) 上有界, 可设 |f ′(x)| ⩽ L. ∀ x, y ∈ (a, b),
2
22
(2k)!
2
(2k + 1)!
k=0
k=0
= 1 − cos 2 ∑ ∞ (−1)k22k x4k + sin 2 ∑ ∞ (−1)k22k+1 x4k+2.
22
(2k)!
2
(2k + 1)!
k=0
k=0
(2)

0, cos 2 (−1)k22k
f
(n)(0)
=
− sin
(2) 设 f (x) 在开区间 (a, b) (−∞ < a < b < +∞) 上可微且一致连续, 试问 f ′(x) 在 (a, b) 上是否一定有界. (若肯定回答, 请证明; 若否定回答, 举例说明)
3. 设 f (x) = sin2 (x2 + 1) ,
(1) 求 f (x) 的麦克劳林展开式. (2) 求 f (n)(0), n = 1, 2, 3, · · ·.
4. 试作出定义在 R2 中的一个函数 f (x, y), 使得它在原点处同时满足以下三个条件:
(1) f (x, y) 的两个偏导数都存在;
(2) 任何方向极限都存在;
(3) 在原点处不连续. ∫

中科院2005年研究生入学数学分析试题及解答

中科院2005年研究生入学数学分析试题及解答中国科学院硕士研究生2005年入学考试《数学分析》试题1. (15分)计算:0x →2. (15分)设,0,a b a b >≠,证明2ln ln a b a b a b -<<+-.3. (10分)求111lim 12n n n n →∞⎛⎫+++⎪+⎝⎭.4. (10分)判断级数1(1)nn n∞=-∑的敛散性.5. (15分)设函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域中连续,222()(,)x y tF t f x y dxdy+≤=⎰⎰,求0()lim t F t t +→'.6. (15分)求球面2222xy z a++=包含在柱面22221x y a b+=(b a ≤)内的那部分面积.7. (15分)设函数(,)()f x y xy ϕ=,其中(0)0ϕ=,且()u ϕ在0u =的某个邻域中满足()u k u αϕ≤，其中常数12α>，0k >。

证明(,)f x y 在点(0,0)处可微,但函数(,)g x y =在点(0,0)处不可微. 8. (15分) 设()x ϕ在区间[0,)+∞上有连续的导数,并且(0)1ϕ=.令2222222()()x y z r f r x y z dxdydz ϕ++≤=++⎰⎰⎰(0r ≥).证明()f r 在0r =处三次可微,并求(0)f '''(右导数). 9. (20分)设函数()f x 在有限区间[,]a b 上可微,且满足()()0f a f b ''<(此处()f a '和()f b '分别表示f 在a 和b 处的右导数和左导数).则(,)c a b ∃∈,使得()0f c '=.10. (20分)设xe nn n e a x ∞==∑,求0123,,,a a a a ,并证明(ln )nn a e n γ-≥(2n ≥),其中γ是某个大于e 的常数.2005年中国科学院数学分析试题解答1. 解：利用()()11y y o y αα+=++，()0y →，()441135x o x =+⋅+，()()1122x o x =+-+，()113x o x =++，()112x o x =++，所以，原式()()()()()44011315lim 111132x x o x x o x x o x x o x →⎛⎫+⋅+--+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()0lim616x x o x x o x →+==--+. 2. 证明：不妨设0a b >>，欲证的不等式等价于ln211ab a a b b<<+-，令a x b=，不等式等价于2ln 11x x x <<+-，()1x >.令()ln f x x =-，()10f =，因为()122f x x x x x '=+- 21022x x x x x x-==>，()1x >，所以()()10f x f >=，ln 0x ->，ln x x>，ln 1xx x<-，()1x >.令()()21ln 1x h x x x -=-+，()10h =，因为()()()()222114011x h x x x x x -'=-=>++，所以()()1h x h >，即得()21ln 01x x x -->+，2ln 11xx x <+-，()1x >，故成立2ln 11x x x <<+-，()1x >，取a x b=，代入上式，不等式得证.3. 解：解法一利用111ln 2n n c nε+++=++，其中lim 0n n ε→∞=， 211111ln 2212n n c n n nε++++++=+++， 111lim 12n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭11lim 12n n n →∞⎛⎫=++⎪+⎝⎭()()2lim ln 2ln n n n n c n c εε→∞⎡⎤=++-++⎣⎦ ()2lim ln 2n n n εε→∞⎡⎤=+-⎣⎦ln2=.解法二 111lim 12n nn n →∞⎛⎫+++⎪+⎝⎭111lim 1n n k kn n →∞=⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭∑ ()11001ln 1ln 21dx x x ==+=+⎰. 4. 解：设n a n=，显然lim0n n a →∞=，{}n a 单调递减；由莱布尼茨判别法知()11nn n ∞=-∑收敛，由()1n-≥，()3n ≥，得()11n n ∞=-∑发散，故()11nn ∞=-∑. 5. 解：()()200cos ,sin tF t dr f r r rd πθθθ=⎰⎰，()()20cos ,sin F t f t t td πθθθ'=⎰，由题设条件，可知()()0lim cos ,sin 0,0t f t t f θθ+→=，且关于[]0,2θπ∈是一致收敛；于是()()2000lim lim cos ,sin t t F t f t t d tπθθθ++→→'=⎰ ()200lim cos ,sin t f t t d πθθθ+→=⎰ ()()200lim 0,00,02t f d f πθπ+→==⎰.6、计算下列曲面的面积：（1）圆柱面222a y x =+ 介乎平面0=+z x 和0=-z x 之间的部分；（2）球面2222az y x=++被椭圆柱面)0(12222a b b y a x ≤<=+所截下的部分。

2005年数学三试题分析、详解和评注

以下题型均在05年考研文登数学辅导班中讲过2005年数学三试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）极限12sinlim 2+∞→x xx x = 2 . 【分析】本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.【详解】 12s i n l i m2+∞→x x x x =.212lim 2=+∞→x xx x 【评注】若在某变化过程下，)(~)(x x αα，则).()(lim )()(lim x x f x x f αα= 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.23【例1.28】（2）微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为 2=xy . 【分析】直接积分即可.【详解】原方程可化为 0)(='xy ，积分得 C xy =，代入初始条件得C=2，故所求特解为 xy=2.【评注】本题虽属基本题型，也可先变形xdx y dy -=，再积分求解.完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.229【例10.5】（3）设二元函数)1ln()1(y x xe z y x +++=+，则=)0,1(dz dy e edx )2(2++ .【分析】基本题型，直接套用相应的公式即可. 【详解】)1l n (y xe e xzy x y x +++=∂∂++,yx xe y z y x +++=∂∂+11, 于是 =)0,1(dzdy e edx )2(2++.完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.166【例7.6】（4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a=21 .【分析】四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a. 【详解】由题设，有=1234123121112aa a 0)12)(1(=--a a , 得21,1==a a ，但题设1≠a ，故.21=a【评注】当向量的个数小于维数时，一般通过初等变换化阶梯形讨论其线性相关性. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.312【例3.3】（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y, 则}2{=Y P =4813 . 【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】 }2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P +}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P =.4813)4131210(41=+++⨯ 【评注】全概率公式综合考查了加法公式、乘法公式和条件概率，这类题型一直都是考查的重点.完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.407【例1.31】（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a= 0.4 , b= 0.1 .【分析】首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b 的取值.【详解】由题设，知 a+b=0.5又事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，于是有}1{}0{}1,0{=+===+=Y X P X P Y X X P ，即 a=))(4.0(b a a ++, 由此可解得 a=0.4, b=0.1【评注】本题考查二维随机变量分布律的性质和独立随机事件的概念，均为大纲要求的基本内容.完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.528【习题二，1.（9）】二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a 取下列哪个值时，函数a x x x x f -+-=1292)(23恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ B ] 【分析】先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.【详解】 12186)(2+-='x x x f =)2)(1(6--x x ，知可能极值点为x=1,x=2，且 a f a f -=-=4)2(,5)1(，可见当a=4时，函数f(x) 恰好有两个零点，故应选(B).【评注】对于三次多项式函数f(x)=d cx bx ax +++23,当两个极值同号时，函数f(x) 只有一个零点；当两个极值异号时，函数f(x) 有三个零点；当两个极值有一为零时，，函数f(x) 有两个零点.完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.151【例6.26】（8）设σd y x I D⎰⎰+=221cos,σd y x I D⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(,其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则(A) 123I I I >>. （B ）321I I I >>.(C) 312I I I >>. (D) 213I I I >>. [ A ] 【分析】关键在于比较22y x +、22y x +与222)(y x +在区域}1),{(22≤+=y x y x D 上的大小.【详解】在区域}1),{(22≤+=y x y x D 上，有1022≤+≤y x ，从而有2212y x +≥>π≥22y x +≥0)(222≥+y x由于cosx 在)2,0(π上为单调减函数，于是22c o s 0y x +≤)c o s (22y x +≤≤222)c o s (y x +因此<+⎰⎰σd y x D22cos<+⎰⎰σd y xD)cos(22σd y xD⎰⎰+222)cos(，故应选(A).【评注】本题比较二重积分大小，本质上涉及到用重积分的不等式性质和函数的单调性进行分析讨论.完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.183【例8.2】（9）设,,2,1,0 =>n a n 若∑∞=1n na发散，∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则下列结论正确的是(A)∑∞=-112n n a收敛，∑∞=12n na发散 . （B ）∑∞=12n na收敛，∑∞=-112n n a发散.(C))(1212∑∞=-+n n n a a收敛. (D))(1212∑∞=--n n n a a收敛. [ D ]【分析】可通过反例用排除法找到正确答案.【详解】取n a n 1=，则∑∞=1n n a 发散，∑∞=--11)1(n n n a 收敛，但∑∞=-112n n a与∑∞=12n na均发散，排除(A),(B)选项，且)(1212∑∞=-+n n n a a发散，进一步排除(C), 故应选(D). 事实上，级数)(1212∑∞=--n n n a a的部分和数列极限存在.【评注】通过反例用排除法找答案是求解类似无穷级数选择问题的最常用方法.（10）设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是(A) f(0)是极大值，)2(πf 是极小值. （B ） f(0)是极小值，)2(πf 是极大值.（C ） f(0)是极大值，)2(πf 也是极大值. (D) f(0)是极小值，)2(πf 也是极小值.[ B ]【分析】先求出)(),(x f x f '''，再用取极值的充分条件判断即可.【详解】 x x x x x x x f cos sin cos sin )(=-+='，显然 0)2(,0)0(='='πf f ，又 x x x x f s i n c o s)(-=''，且02)2(,01)0(<-=''>=''ππf f ，故f(0)是极小值，)2(πf 是极大值，应选(B).【评注】本题为基本题型，主要考查取极值的充分条件. 对应定理公式见《数学复习指南》（经济类）P.141（11）以下四个命题中，正确的是(A) 若)(x f '在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B ）若)(x f 在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.（C ）若)(x f '在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.(D) 若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界. [ C ] 【分析】通过反例用排除法找到正确答案即可. 【详解】设f(x)=x 1, 则f(x)及21)(xx f -='均在（0，1）内连续，但f(x)在（0，1）内无界，排除(A)、(B); 又x x f =)(在（0，1）内有界，但xx f 21)(='在（0，1）内无界，排除(D). 故应选(C).【评注】本题也可直接证明：用拉格朗日中值定理，有ξξ),21)(()21()(-'=-x f f x f 在(0,1)之间，由此容易推知若)(x f '在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.（12）设矩阵A=33)(⨯ij a 满足TA A =*，其中*A 是A 的伴随矩阵，TA 为A 的转置矩阵. 若131211,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为(A)33. (B) 3. (C) 31. (D)3. [ A ]【分析】题设与A 的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：.**E A A A AA ==.【详解】由TA A =*及E A A A AA ==**，有3,2,1,,==j i A a ij ij ，其中ij A 为ij a 的代数余子式，且032=⇒=⇒=A A AE A AA T或1=A而03211131312121111≠=++=a A a A a A a A ，于是1=A ，且.3311=a 故正确选项为(A).【评注】涉及伴随矩阵的问题是常考题型，只需注意到两个重要思路：一是用行列展开定理，另一是用公式：.**E A A A AA ==完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.272【例1.8】（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A)01=λ. (B) 02=λ. (C) 01≠λ. (D) 02≠λ. [ D ]【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】方法一：令 0)(21211=++αααA k k ，则022211211=++αλαλαk k k ， 0)(2221121=++αλαλk k k . 由于21,αα线性无关，于是有 ⎩⎨⎧==+.0,022121λλk k k当02≠λ时，显然有0,021==k k ，此时1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，若1α，)(21αα+A 线性无关，则必然有02≠λ(,否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故应选(B).方法二：由于 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA ，可见1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是.001221≠=λλλ故应选(D).【评注】本题综合考查了特征值、特征向量和线性相关与线性无关的概念. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.320【例3.17】（14）设一批零件的长度服从正态分布),(2σμN ，其中2,σμ均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值)(20cm x =，样本标准差)(1cm s =，则μ的置信度为0.90的置信区间是(A) )).16(4120),16(4120(05.005.0t t +- (B) )).16(4120),16(4120(1.01.0t t +- (C))).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-(D))).15(4120),15(4120(1.01.0t t +- [ C ]【分析】总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量：).1(~--n t ns x μ【详解】由正态总体抽样分布的性质知，)1(~--n t ns x μ，故μ的置信度为0.90的置信区间是))1(1),1(1(22-+--n t n x n t nx αα，即)).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-故应选(C).【评注】正态总体),(~2σμN X 的三个抽样分布：)1,0(~N nX σμ-、)1(~--n t nS X μ、)1(~)1(222--n S n χσ是常考知识点，应当牢记. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.506【例6.16】三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分8分）求).111(lim 0xe x x x --+-→【分析】 ""∞-∞型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.【详解】 )1(1lim )111(lim 200x xx x x e x e x x x e x --→-→-+-+=--+ =2201lim x e x x x x -→+-+=x e x xx 221lim 0-→-+=.2322lim0=+-→x x e 【评注】本题属基本题型，在里用罗必塔法则求极限的过程中，应注意利用无穷小量的等价代换进行简化.完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.29【例1.45】（16）（本题满分8分）设f(u)具有二阶连续导数，且)()(),(y x yf x y f y x g +=，求.222222yg y x g x ∂∂-∂∂ 【分析】先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可.【详解】由已知条件可得)()(2y x f x y f xy x g '+'-=∂∂， )(1)()(242322y xf y y x f xy x y f x y x g ''+''+'=∂∂，)()()(1yxf y x y x f x y f x yg '-+'=∂∂，)()()()(13222222y xf yx y x f y x y x f y x x y f x y g ''+'+'-''=∂∂，所以 222222yg y x g x ∂∂-∂∂ =)()()(2222y x f y x y x f x y x y f x y ''+''+')()(222y x f y x x y f xy ''-''-=).(2xy f x y ' 【评注】本题属基本题型，但在求偏导数的过程中应注意计算的准确性.完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.171【例7.18】（17）（本题满分9分）计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .【分析】被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.【详解】记}),(,1),{(221D y x y x y x D ∈≤+=，}),(,1),{(222D y x y x y x D ∈>+=，于是σd y x D⎰⎰-+122=⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x ⎰⎰-++2)1(22D dxdy y x=⎰⎰--2021)1(πθrdr r d ⎰⎰-++Ddxdy y x )1(22⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x=8π+⎰⎰⎰⎰---+2010*******)1()1(πθrdr r d dy y x dx =.314-π【评注】形如积分σd y x f D⎰⎰),(、⎰⎰Dd y x g y x f σ)},(),,(max{、⎰⎰Dd y x g y x f σ)},(),,(min{、⎰⎰Dd y x f σ)],([、⎰⎰-Dd y x g y x f σ)},(),(sgn{等的被积函数均应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分.完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.193【例8.18】（18）（本题满分9分）求幂级数∑∞=-+12)1121(n n x n 在区间(-1,1)内的和函数S(x). 【分析】幂级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分，转化为几何级数或已知函数的幂级数展开式，从而达到求和的目的.【详解】设 ∑∞=-+=12)1121()(n n x n x S ， ∑∞=+=121121)(n nx n x S ，∑∞==122)(n n x x S ，则 )()()(21x S x S x S -=，).1,1(-∈x 由于∑∞==122)(n nxx S =221xx -， )1,1(,1))((22121-∈-=='∑∞=x x x xx xS n n, 因此 ⎰-++-=-=xxxx dt t t x xS 022111ln 211)(，又由于 0)0(1=S ，故.0,1,0,11ln 211)(1=<⎪⎩⎪⎨⎧-++-=x x xx x x S 所以 )()()(21x S x S x S -=.0,1,0,1111ln 212=<⎪⎩⎪⎨⎧---+=x x x x x x【评注】而幂级数求和尽量将其转化为形如∑∞=1n n nx 或∑∞=-11n n nx 幂级数，再通过逐项求导或逐项积分求出其和函数. 本题应特别注意x=0的情形.完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.216【例9.18】（19）（本题满分8分）设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,0)(≥'x f ,0)(≥'x g .证明：对任何a ]1,0[∈,有⎰⎰≥'+'ag a f dx x g x f dx x f x g 01).1()()()()()(【分析】可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论.【详解】方法一：设=)(x F ⎰⎰-'+'x g x f dt t g t f dt t f t g 01)1()()()()()(，则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且=')(x F )]1()()[()1()()()(g x g x f g x f x f x g -'='-'，由于]1,0[∈x 时，0)(,0)(≥'≥'x g x f ，因此0)(≤'x F ，即F(x)在[0，1]上单调递减.注意到 =)1(F ⎰⎰-'+'11)1()1()()()()(g f dt t g t f dt t f t g ，而⎰⎰⎰'-=='11110)()()()()()()()(dt t g t f t f t g t df t g dt t f t g=⎰'-1)()()1()1(dt t g t f g f ，故F(1)=0.因此]1,0[∈x 时，0)(≥x F ，由此可得对任何]1,0[∈a ，有 ⎰⎰≥'+'ag a f dx x g x f dx x f x g 01).1()()()()()(方法二：⎰⎰'-='aaa dx x g x f x f x g dx x f x g 0)()()()()()(=⎰'-adx x g x f a g a f 0)()()()(，⎰⎰'+'adx x g x f dx x f x g 01)()()()(=⎰⎰'+'-1)()()()()()(dx x g x f dx x g x f a g a f a⎰'+1.)()()()(adx x g x f a g a f由于]1,0[∈x 时，0)(≥'x g ，因此)()()()(x g a f x g x f '≥'，]1,[a x ∈， ⎰⎰-='≥'101)]()1()[()()()()(a g g a f dx x g a f dx x g x f ，从而⎰⎰'+'adx x g x f dx x f x g 01)()()()().1()()]()1()[()()(g a f a g g a f a g a f =-+≥【评注】对于积分不等式的证明，主要有两个途径：一是转化为函数不等式，二是通过恒等变形，如变量代换、分部积分等，再用积分的不等式性质进行讨论.完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.115【例4.42~46】（20）（本题满分13分）已知齐次线性方程组（i ） ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x和（ii ） ⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求a,b, c 的值.【分析】方程组（ii ）显然有无穷多解，于是方程组（i ）也有无穷多解，从而可确定a ，这样先求出（i ）的通解，再代入方程组（ii ）确定b,c 即可.【详解】方程组（ii ）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii ）有无穷多解.因为方程组（i ）与（ii ）同解，所以方程组（i ）的系数矩阵的秩小于3.对方程组（i ）的系数矩阵施以初等行变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡20011010111532321a a ，从而a=2. 此时，方程组（i ）的系数矩阵可化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000110101211532321，故T)1,1,1(--是方程组（i ）的一个基础解系.将1,1,1321=-=-=x x x 代入方程组（ii ）可得2,1==c b 或.1,0==c b当2,1==c b 时，对方程组（ii ）的系数矩阵施以初等行变换，有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡110101312211，显然此时方程组（i ）与（ii ）同解.当1,0==c b 时，对方程组（ii ）的系数矩阵施以初等行变换，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡000101202101，显然此时方程组（i ）与（ii ）的解不相同.综上所述，当a=2,b=1,c=2时，方程组（i ）与（ii ）同解.【评注】本题求a 也可利用行列式0211532321=+-=a a，得a=2.本题也可这样考虑：方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=++=++=++=++0)1(2,0,0,0532,0323221321321321321x c x b x cx bx x ax x x x x x x x x 必存在无穷多解，化系数矩阵为阶梯形，可确定a=2,b=0,c=1或a=2,b=1,c=2，再对两组数据进行讨论即可.完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.355【习题3（7）】（21）（本题满分13分）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B CC AD T 为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为n m ⨯矩阵. (I) 计算DP P T ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n mE oC A E P 1；（II ）利用(I)的结果判断矩阵C A C B T 1--是否为正定矩阵，并证明你的结论.【分析】第一部分直接利用分块矩阵的乘法即可；第二部分是讨论抽象矩阵的正定性，一般用定义.【详解】 (I) 因 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n T m T E A C o E P 1，有 DP P T =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n T m E A C o E 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡B C C A T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n m E o C A E 1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--C A C B o C A T 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n m E o C A E 1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--C A C B o o A T 1. （II ）矩阵C A C B T 1--是正定矩阵.由(I)的结果可知，矩阵D 合同于矩阵.1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-C A C B o o A M T 又D 为正定矩阵，可知矩阵M 为正定矩阵.因矩阵M 为对称矩阵，故C A C B T 1--为对称矩阵. 对T X )0,,0,0( =及任意的0),,,(21≠=T n y y y Y ，有.0)(),(11>-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---Y C A C B Y Y X C A C B o o A Y X T T T T T 故C A C B T 1--为正定矩阵.【评注】判定正定矩阵的典型方法有：（1）用顺序主子式全大于0；（2）用特征值全大于零；（3）用定义. 对于抽象矩阵，一般用后两个方法.（22）（本题满分13分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为.,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧= 求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ；（II ） Y X Z -=2的概率密度).(z f Z( III ) }.2121{≤≤X Y P 【分析】求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度; 直接用条件概率公式计算即可.【详解】（I ）关于X 的边缘概率密度)(x f X =⎰+∞∞-dy y x f ),(=.,10,0,20其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰x dy x =.,10,0,2其他<<⎩⎨⎧x x 关于Y 的边缘概率密度)(y f Y =⎰+∞∞-dx y x f ),(=.,20,0,12其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰y dx y =.,20,0,21其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-y y （II ）令}2{}{)(z Y X P z Z P z F Z ≤-=≤=，1）当0<z 时，0}2{)(=≤-=z Y X P z F Z ；2）当20<≤z 时，}2{)(z Y X P z F Z ≤-= =241z z -; 3) 当2≥z 时，.1}2{)(=≤-=z Y X P z F Z即分布函数为： .2,20,0,1,41,0)(2≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z z z z F Z 故所求的概率密度为：.,20,0,211)(其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z f Z （III ） .4341163}21{}21,21{}2121{==≤≤≤=≤≤X P Y X P X Y P 【评注】本题属基本题型，只需注意计算的准确性，应该可以顺利求解.第二步求随机变量函数分布，一般都是通过定义用分布函数法讨论.完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.436【例2.38~40】（23）（本题满分13分）设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,2σ)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（I ） i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =；（II ）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov（III ）若21)(n Y Y c +是2σ的无偏估计量，求常数c.【分析】先将i Y 表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求1Y 与n Y 的协方差),(1n Y Y Cov ，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质；估计21)(n Y Y c +，利用其数学期望等于2σ确定c 即可.【详解】由题设，知)2(,,,21>n X X X n 相互独立，且 ),,2,1(,02n i DX EX i i ===σ，.0=X E（I ）∑≠--=-=nij j i i i X n X n D X X D DY ]1)11[()(=∑≠+-n i j j i DXn DX n 221)11(=.1)1(1)1(222222σσσn n n nn n -=-⋅+- （II ） )])([(),(111n n n EY Y EY Y E Y Y Cov --==)])([()(11X X X X E Y Y E n n --==)(211X X X X X X X E n n +--=211)(2)(X E X X E X X E n +-=22121)(][20X E X D X X X E n n j j +++-∑= =.112222σσσnn n -=+- （III ）)(])([121n n Y Y cD Y Y c E +=+=)],(2[121n Y Y Cov DY DY c ++=222)2(2]211[σσσ=-=--+-c n n n n n n n c ，故 .)2(2-=n n c 【评注】通过定义求随机变量的数字特征是基本要求，也是到目前为止考查最多的情形，但读者还应注意利用数字特征的运算性质进行分析讨论，同样是求解数字特征的一个重要途径.本题前两部分为文登学校辅导班上讲授过的原题（原题求相关系数，刚好是本题的两部分，请参见数理统计部分笔记）.。

上海交通大学2005年数学分析考研试题

三、
a1 = 2 (a + a),a1+n 设 a>0,c>0，数列 {a n } 定义如下：
1
c
c =1 ,2 2 (an + an ),n =1
，证明数列 {a n }
收敛，并求其极限；
四、
设 f ( x) = ∫ sin 1 t dt , x ≠ 0, f (0) = 0. ，试求 f ' (0)
上海交大 05 年数学分析试题
一、
设函数 f ( x) 定义在 R 上，满足 ∀x ∈ R ，有 2 f ( x) + f (1 − x) = − x 2 ，试求 f ( x) 的表达式；
二、
设 {x n } 是收敛数列， α = inf{x n }, β = sup{x n } ，证明 α , β 中至少有一个属于 {x n } 。
1
n
六、
0
1
0
2
） ∑ a 级数收敛；
∞ 2 n n =1
七、计算曲面积分 I = ∫∫
xdydz + ydzdx + zdxdy (x2 + y 2 + z 2 ) 2
3
S
，其中 S 为椭球面
x2 y2 z2 + + =1 a2 b2 c2
的外侧；
八、叙述并证明复分析中的最大模定理；九、设 f ( x) 是定义在 I = [a, b] 上的有界函数， ω ( x) 是 f ( x) 的振幅（函数），定义如下： ω ( x) =| lim f (t ) − lim f (t ) | ， 1）试证
0
x
；
1 + f 2 ( x)