中考数学专题练习十三图形的相似( 与全等)
初三图形的相似练习题
初三图形的相似练习题在初三的数学学习中，相似形是一个非常基础且重要的概念。
了解并掌握相似形的性质和运用方法，对于解决各种几何问题起到至关重要的作用。
为了帮助同学们更好地理解和掌握相似形的知识，下面将提供一些相似形的练习题供大家练习。
练习题1：已知图形ABCD与图形EFGH是相似形，已知AB=4cm，EF=6cm，BC=5cm，FG=10cm。
求图形EFGH的其他边长。
解答：由相似形的性质可知，相似形的对应边长之间的比例相等。
设ED为图形ABCD与图形EFGH对应的边长。
根据比例关系可以得到：AB/EF = BC/FG = CD/GH = AD/EH代入已知条件，得到：4/6 = 5/10 = CD/10解方程可得：CD = 20/3 cm由此可知，图形EFGH的其他边长为：EF = 6cm，FG = 10cm，GH = 2*(20/3) = 40/3 cm，EH = 2*4 = 8cm。
练习题2：已知图形PQRS与图形IJKL是相似形，已知PQ=8cm，IJ=12cm，PR=10cm，KL=15cm。
求图形PQRS的其他边长。
解答：同样地，根据相似形的性质可得到：PQ/IJ = PR/KL = PS/JL = QS/KI代入已知条件，得到：8/12 = 10/15 = PS/15解方程可得：PS = 20/3 cm由此可知，图形PQRS的其他边长为：PQ = 8cm，PR = 10cm，RS = 2*(20/3) = 40/3 cm，QS = 2*8 = 16cm。
练习题3：已知图形WXYZ与图形ABCD是相似形，已知WX=12cm，AB=8cm，YZ=16cm。
求图形WXYZ的其他边长。
解答：同样地，根据相似形的性质可得到：WX/AB = WY/AD =XZ/BC = YZ/CD代入已知条件，得到：12/8 = WY/AD = XZ/BC = 16/CD解方程可得：CD = 32/3 cm由此可知，图形WXYZ的其他边长为：WX = 12cm，XY = 2*(32/3) = 64/3 cm，YZ = 16cm，ZW = 2*12 = 24cm。
中考数学复习《图形的相似》经典题型及练习题
中考数学复习《图形的相似》经典题型及练习题知识点一：比例线段 1.比例线段在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．2.比例的基本性质 (1)基本性质：a cb d=⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0） (2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd±；（b 、d ≠0） (3)等比性质：a cb d =＝…＝mn ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔ ......a c mb d n++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）变式练习1：若35a b=，则a b b +=85. 解：设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解.注意：列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱. 比和比例顺口溜两数相除也叫比，两比相等叫比例。
外项积等内项积，等积可化八比例。
分别交换内外项，统统都要叫更比。
同时交换内外项，便要称其为反比。
前后项和比后项，比值不变叫合比。
前后项差比后项，组成比例是分比。
两项和比两项差，比值相等合分比。
前项和比后项和，比值不变叫等比。
注意：已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解. OBAF E D C BAl 5l 4l 3l 2l 13.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例. 即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC=. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.变式练习1：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，要使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于53.变式练习2：如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若AB BC ＝12，则DEEF＝( B )A .13B .12C .23D ．1,变式练习3：如图，AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G ，且AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，那么BC CE 的值等于___35___. 解比例 顺口溜外项积等内项积，列出方程并解之。
初三数学图形的相似试题答案及解析
初三数学图形的相似试题答案及解析1. 如图，已知直线l 1∥l 2，线段AB 在直线l 1上，BC 垂直于l 1交l 2于点C ，且AB=BC ，P 是线段BC 上异于两端点的一点，过点P 的直线分别交l 2、l 1于点D 、E （点A 、E 位于点B 的两侧），满足BP=BE ，连接AP 、CE ． （1）求证：△ABP ≌△CBE ；（2）连结AD 、BD ，BD 与AP 相交于点F ．如图2． ①当=2时，求证：AP ⊥BD ；②当=n （n ＞1）时，设△PAD 的面积为S 1，△PCE 的面积为S 2，求的值．【答案】（1）证明见解析 •证明见解析 ‚n+1【解析】（1）由BC 垂直于l 1可得∠ABP=∠CBE ，由SAS 即可证明；（2）①延长AP 交CE 于点H ，由（1）及已知条件可得AP ⊥CE ，△CPD ∽△BPE ，从而有DP=PE ，得出四边形BDCE 是平行四边形，从而可得到CE//BD ，问题得证； ②由已知条件分别用S 表示出△PAD 和△PCE 的面积，代入即可． 试题解析：（1）∵BC ⊥直线l 1， ∴∠ABP=∠CBE ， 在△ABP 和△CBE 中∴△ABP ≌△CBE （SAS ）；（2）①延长AP 交CE 于点H ，∵△ABP ≌△CBE ， ∴∠PAB=∠ECB ，∴∠PAB+∠AEE=∠ECB+∠AEH=90°， ∴AP ⊥CE ，∵=2，即P 为BC 的中点，直线l 1//直线l 2， ∴△CPD ∽△BPE ，∴==，∴DP=PE ，∴四边形BDCE 是平行四边形， ∴CE//BD ， ∵AP ⊥CE ， ∴AP ⊥BD ；②∵=N∴BC=n•BP ，∴CP=（n ﹣1）•BP ， ∵CD//BE ，∴△CPD ∽△BPE ， ∴==n ﹣1，即S 2=（n ﹣1）S ，∵S △PAB =S △BCE =n•S ， ∴S △PAE =（n+1）•S ， ∵==n ﹣1，∴S 1=（n+1）（n ﹣1）•S ， ∴==n+1．【考点】1、全等三角形的性质与判定；2、相似三角形的性质与判定；3、平行四边形的性质与判定2. 如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD 四边的中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，然后顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1的中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2，再顺次连接四边形A 2B 2C 2D 2四边的中点，得到四边形A 3B 3C 3D 3，…，按此方法得到的四边形A 8B 8C 8D 8的周长为 ．【答案】【解析】顺次连接正方形ABCD 四边的中点得正方形A 1B 1C 1D 1，则得正方形A 1B 1C 1D 1的面积为正方形ABCD 面积的一半，即，则周长是原来的；顺次连接正方形A 1B 1C 1D 1中点得正方形A 2B 2C 2D 2，则正方形A 2B 2C 2D 2的面积为正方形A 1B 1C 1D 1面积的一半，即，则周长是原来的；顺次连接正方形A 2B 2C 2D 2得正方形A 3B 3C 3D 3，则正方形A 3B 3C 3D 3的面积为正方形A 2B 2C 2D 2面积的一半，即，则周长是原来的；顺次连接正方形A 3B 3C 3D 3中点得正方形A 4B 4C 4D 4，则正方形A 4B 4C 4D 4的面积为正方形A 3B 3C 3D 3面积的一半，则周长是原来的；…故第n 个正方形周长是原来的，以此类推：正方形A 8B 8C 8D 8周长是原来的，∵正方形ABCD 的边长为1， ∴周长为4，∴按此方法得到的四边形A 8B 8C 8D 8的周长为， 故答案为：．【考点】1、中点四边形；2、三角形的中位线的性质；3、相似图形的面积比等于相似比的平方3.如图，AB∥DC，DE=2AE，CF=2BF，且DC=5，AB=8，则EF= ．【答案】7．【解析】如图，延长AD、BC交于G．∵AB∥EF∥DC，DC=5，AB=8，∴GD：GA=5：8.∵DE=2AE，∴GD：GE=5：7.∴DC：EF=5：7.解得EF=7．【考点】平行线分线段成比例．4.在平面直角坐标系中,已知点（﹣4,2）,（﹣2,﹣2）,以原点为位似中心,把△缩小,所得三角形与△的相似比为,则点的对应点′的坐标是A．（﹣2,1）B．（﹣8,4）C．（﹣8,4）或（8,﹣4）D．（﹣2,1）或（2,﹣1）【答案】D．【解析】试题分析:根据题意得:则点E的对应点E′的坐标是（﹣2,1）或（2,﹣1）．故选D．考点:位似变换．5.如左图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（）【答案】A．【解析】首先求得△ABC三边的长分别为：,,然后分别求得A,B,C,D各三角形的三边的长,△ABC三边的长A中三角形三边长分别为：,B中三角形三边长分别为：,C中三角形三边长分别为：,D中三角形三边长分别为：,然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似,即可求得答案．故选A．【考点】相似三角形的判定．6.如图，已知等腰△ABC的面积为16cm2，点D，E分别是AB，AC边的中点，则梯形DBCE 的面积为___ ___cm2．【答案】12.【解析】∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE=BC，DE∥BC. ∴△ADE∽△ABC. ∴.∵等腰△ABC的面积为16cm2，∴△ADE的面积是4cm2.∴梯形DBCE的面积16-4=12（cm2）.【考点】1.相似三角形的判定和性质；2.三角形中位线定理．7.如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于E．（1）证明△PAE∽△CDP；（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，设AP＝x，BE＝y，求y与x的函数关系式及y的取值范围；（3）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2），y＜2；（3）存在，AP+AQ=3，理由见解析.【解析】（1）利用矩形的性质可以得到∠A=∠D，利用PE⊥PC可以得到∠APE=∠DCP，从而证明两三角形相似；（2）利用上题证得的三角形相似，列出比例式，进而得到两个变量之间的函数关系；（3）假设存在符合条件的Q点，由于PE⊥PC，且四边形ABCD是矩形，易证得△APE∽△DCP，可得AP•PD=AE•CD，同理可通过△AQE∽△DCQ得到AQ•QD=AE•DC，则AP•PD=AQ•QD，分别用PD、QD表示出AP、AQ，将所得等式进行适当变形即可求得AP、AQ 的数量关系．试题解析：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，∴∠AEP+∠APE=90°，∵PE⊥PC，∴∠APE+∠CPD=90°，∴∠AEP=∠DPC，∴△PAE∽△CDP；（2）（解法一）∵AP＝x，BE＝y，∴DP＝3－x，AE＝2－y. 4分∵△PAE∽△CDP，∴， 5分即，∴. 6分（解法二）∵AP＝x，BE＝y，∴DP＝3－x，AE＝2－y. 4分∵∠A=∠D=90°，∴tan∠AEP=, tan∠DPC=,∵∠AEP=∠DPC，∴tan∠AEP= tan∠DPC. ∴=,即，∴.（解法三）∵AP＝x，BE＝y，∴DP＝3－x，AE＝2－y.如图1，连结CE, ∵∠A=∠B=∠D="90°,"∴AE2+AP2=PE2,PD2+CD2=CP2,BE2+BC2=CE2,又∵∠CPE=90°，∴PE2+CP2=CE2,∴AE2+AP2+PD2+CD2=BE2+BC2,即(2-y)2+x2+(3-x)2+22=y2+32,整理得：.∵=，∴当时，y有最小值，y的最小值为，又∵点E在AB上运动(显然点E与点A不重合),且AB＝2，∴＜2综上所述，的取值范围是≤＜2；（3）存在，理由如下：如图2，假设存在这样的点Q，使得QC⊥QE.由（1）得：△PAE∽△CDP，∴，∴，∵QC⊥QE，∠D＝90°，∴∠AQE＋∠DQC＝90°,∠DQC＋∠DCQ＝90°，∴∠AQE=∠DCQ.又∵∠A=∠D=90°，∴△QAE∽△CDQ，∴，∴∴，即，∴，∴，∴.∵AP≠AQ，∴AP＋AQ＝3.又∵AP≠AQ，∴AP≠，即P不能是AD的中点，∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在，故当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时AP＋AQ＝3．考点: 相似三与性质角形的判定；矩形的性质.8.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P在BC边上运动，连接DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E，设DP=x，AE=y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是A. B. C. D.【答案】C.【解析】由题意可知△ADE∽△DPC；∴；∴，为反比例函数，应从C,D里面进行选择．由于x最小应不小于CD，最大不超过BD，所以3≤x≤5．故选C．【考点】动点问题的函数图象．9.若，则___________.【答案】.【解析】设a=2k，进而用k表示出b的值，代入求解即可．试题解析：设a=2k，则b=9k．.考点: 比例的性质．10.如图，正方形ABCD中,点N为AB的中点，连接DN并延长交CB的延长线于点P，连接AC交DN于点M，若PN=3，则DM的长为______________ 。
中考数学函数图象中的全等与相似20题必练
【函数图象申的金等与相似】本专题的制作目的是提高学生在函数图象中的全等与相似这一部分的解题能力。
分了两个模块：①函数图象中的全等（10题）；②函数图象中的相似（10题）；共20题。
复习回顾函数，全等与相似的基础知识点，进行综合巩固练习。
重要的不是题目的数量，而是题目的质量把所有题目都做“过’一遍不是你最大的收获最大的收获应该是当做过无数题目后回过头，发现过去的岁月不是为了走过一次次坑而是为了填上无数个洞函数图象申的全等u歪理(1）根据题目找判定全等三角形的条件，化未知为己知(2）在坐标系中结合函数图象找关系，结合解析式一般可以找出高关的万程关系，从而可以解决真中的数值关系．E国温＠如图，一）欠函数y=2x-4与x轴交于点A，与y轴交于点E，过点A作A E的垂线交y轴于点B ，连接AB，以AB为边向上作正方形ABCD（如圄所示），则点D的坐标是（）．A.(3, ../3)B.( 2扫，；）C.(3, 2)D.(2, 3)。
如图，坐标平面上，6.AB C与6.DEF全等，冥中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F，且A B= BC= 10, A点的坐标为（－6,2),B、C两点在方程式y= -6的图形上，D、E两点在y轴上，则F点纵坐标为2，则直线EF解析式为一一一·yFxB＠如图，在平面直角坐标系中，直线y = -x + 4交x轴于点A，交y 车由于点B,C 是OA 的中点y( 1 ）求直线BC 的解中斤式．BC-OD (2) D 为AB 上一点，且ζDCA ＝正BCO ，连接OD 、CD ，求CD的值．( 3)p 为x轴上一点，且P到直线BC 的距离等于线段BC 的长，求点P的坐标．x。
如国，平面直角坐标系中，己知点P(2,2),C 为y轴正半轴上一点，连接PC’，线段PC 绕点P顺时针旋转90。
至线段PD ，过点D作直线AB.i x 轴，垂足为B，直线AB 与直线OP 交于点A,且BD =4AD ，直线CD 与直线OP 交于点Q，则点Q的坐标为一一一·＠如图在平面直角坐标系中，。
初三数学图形的相似练习题
初三数学图形的相似练习题相似是初中数学的一个重要概念，也是数学中常常涉及到的内容之一。
相似图形是指具有相同形状但是尺寸不同的图形。
在初三数学中，有很多关于相似图形的练习题，下面我将为大家提供一些常见的相似练习题，希望对大家的数学学习有所帮助。
练习题一：已知△ABC中，∠B=30°，∠C=60°，D为BC边上任意一点，过D点分别作DE⊥AB，DF⊥AC，连接EF。
证明：△DEF为等边三角形。
解答：首先，根据题目中的条件，我们可以知道∠ACB=90°，因此△ABC是个直角三角形。
接下来我们可以列出△BDE和△CDF的角度比例关系：∠BDE=∠CDF=90°。
再由△ABC与△BDE以及△ABC与△CDF的角度比例关系，我们可以得出：∠BED=∠DFC=30°。
由于∠B=30°，所以∠BED=∠DFC=∠B=30°，所以△DEF是等边三角形。
练习题二：在坐标平面上，已知A(1,1)、B(4,3)、C(2,6)为三角形ABC的顶点，D(x,y)为点A关于BC边的对称点。
求点D的坐标。
解答：设D(x,y)为点A关于BC边的对称点，根据关于x轴对称的性质，D的y坐标与A的y坐标相等，即y=1。
又根据关于y轴对称的性质，D的x坐标与A的x坐标相等，即x=1。
所以点D的坐标为D(1,1)。
练习题三：若△ABC∽△ADE，已知AB=5cm，AC=6cm，AD=8cm，求DE的长度。
解答：根据相似三角形的性质，我们可以得出：AB/AD = AC/AE。
将已知数值代入，可以得到：5/8 = 6/AE。
通过简单的计算，可以得到AE=9.6cm。
所以DE的长度为AE-AD，即DE=9.6-8=1.6cm。
练习题四：在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(0,0)，B(4,0)，C(x,y)，且△ABC为等腰直角三角形，求点C的坐标。
解答：因为△ABC是等腰直角三角形，所以AB=AC。
中考数学专题练习：图形的相似 (含答案)
中考数学专题练习：图形的相似（含答案）1．（·永州)如图,在△ABC中,点D是边AB上的一点,∠ADC＝∠ACB,AD＝2,BD＝6,则边AC的长为( )A. 2B. 4C. 6D. 82．如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,且AEAB＝ADAC＝13,则S△ADE ∶S四边形BCED的值为( )A．1∶ 3 B．1∶3C．1∶8 D．1∶93．（·自贡)如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,若△ADE的面积为4,则△ABC的面积为( )A．8 B．12 C．14 D．164．（·杭州)如图,在△ABC中,点D在AB边上,DE∥BC,与边AC交于点E,连接BE,记△ADE,△BCE的面积分别为S1,S2,( )A．若2AD>AB,则3S1>2S2B．若2AD>AB,则3S1<2S2C．若2AD<AB,则3S1>2S2D．若2AD<AB,则3S1<2S25．（·泸州)如图,正方形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AF,BE相交于点G,若AE＝3ED,DF＝CF,则AGGF的值是( )A.43B.54C.65D.766．如图,D是△ABC内一点,E是△ABC外一点,∠EBC＝∠DBA,∠ECB＝∠DAB.求证：∠BDE＝∠BAC.7．如图△ABC中,∠A＝36°,AB＝AC,BD是∠ABC的平分线．(1)求证：AD2＝CD·AC；(2)若AC＝a,求AD.8．如图,AD是△ABC的中线,E为AD上一点,射线CE交AB于点F.(1)若E为AD的中点,求AF BF；(2)若AEED＝1k,求AFBF.参考答案1．B 2.C 3.D 4.D 5.C6．证明：∵∠EBC＝∠DBA,∠ECB＝∠DAB.∴△EBC∽△DBA.∴BEBD＝BCBA,∴BEBC＝BDBA.∵∠EBC＝∠DBA,∴∠EBC＋∠CBD＝∠DBA＋∠CBD,即∠EBD＝∠CBA,∴△EBD∽△CBA,∴∠BDE＝∠BAC.7．(1)证明：∵△ABC中,AB＝AC,∠A＝36°, ∴∠ABC＝∠C＝72°,∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD＝∠DBC＝12∠ABC＝36°,∴∠BDC＝∠C＝72°,∵∠DBC＝∠A,∠C＝∠C,∴△CBA∽△CDB,∴CDCB＝CBCA,∴CB2＝CD·AC又∵∠BDC＝∠C,∠A＝∠DBA,∴CB＝BD＝AD. ∴AD2＝CD·AC；(2)解：∵AD2＝CD·AC,CD＝AC－AD.∴AD2＝(AC－AD)·AC＝AC2－AD·AC,∴(ADAC)2＝1－ADAC.设ADAC＝k,得到方程k2＝1－k,∴k2＋k－1＝0,解得k＝－1±52.∴k＝5－12(负值已舍去),即ADAC＝5－12,∵AC＝a,∴AD＝5－12a.8．解：(1)如解图,作DG∥AB交CF于点G, ∵AD是△ABC的中线,∴CD＝12BC,即CDBC＝12,∵DG∥AB,∴△CDG∽△CBF,∴DGBF＝CDCB＝12.∵E为AD的中点,∴AE＝ED,∴AEED＝1.∵DG∥AB,∴△EDG∽△EAF,∴AFDG＝AEED＝1.∵DGBF·AFDG＝12×1.∴AFBF＝12；(2)∵AD是△ABC的中线,∴CD＝12 BC,∴CDBC＝12.∵DG∥AB,∴△CDG∽△CBF,∴DGBF＝CDCB＝12.∵E为AD上的一点,且AEED＝1k,又∵DG∥AB,∴△EDG∽△EAF,∴AFDG＝AEED＝1k,∵DGBF·AFDG＝12·1k,∴AFBF＝12k.。
中考数学专题练习十三 图形的相似(与全等).doc
专题十三 图形的相似（与全等）（时间：90分钟 满分：100分）一、选择题（每小题3分，共33分）1．(2011年茂名)如图，在△ABC 中．D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若DE ＝5，则BC 等于 ( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．122．（2011年十堰）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M 、N 重合．过角尺顶点C 作射线OC ．由做法得△MOC ≌△NOC 的依据是 ( )A ．AASB ．SASC ．ASAD ．SSS3．(2011年威海)在□ABCD 中，点E 为AD 的中点，连接BE ，交AC 于点F ，则AF ：CF ＝ ( ) A ．1：2 B ．1：3 C ．2：3 D ．2：54．（2011年北京）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AD ＝1，BC ＝3，则的值为 ( )A ．12 B ．13C ．14D ．19 5．（2011年威海）在△ABC 中，AB>AC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，点F 在BC 边上，连接DE 、DF 、EF ，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD 与△EDF 全等 ( ) A ．EF ∥AB B ．BF ＝CF C ．∠A ＝∠DFE D ．∠B ＝∠DEF6．（2011年宿迁）如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD ≌△ACD 的条件是( ) A ．AB ＝AC B ．BD ＝CD C ．∠B ＝∠C D ．∠BDA ＝∠CDA7．（2011年潍坊）如图，△ABC 中，BC ＝2，DE 是它的中位线，下面三个结论：①DE ＝1；②△ADE ∽△ABC ；③△ADE 的面积与△ABC 的面积之比为1：4．其中正确的有 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个8．（2011年南昌）如图，在下列条件中，不能证明△ABD ≌△ACD 的是 ( ) A ．BD ＝DC ，AB ＝AC B ．∠ADB ＝∠ADC ，BD ＝DC C ．∠B ＝∠C ，∠BAD ＝∠CAD D ．∠B ＝∠C ，BD ＝DC9．（2011年荆州）如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交于点E ，∠CPD ＝∠A ＝∠B ，BC 交PD 于点F ，AD 交PC 于点G ，则图中相似三角形有 ( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对10．（2011年陕西）如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，它们相交于点G，延长BE交CD的延长线于点H．则图中相似三角形共有( )A．2对B．3对C．4对D．5对11．（2011年重庆）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE 对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③A G∥CF；④S△PQC＝3．其中正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每小题4分，共16分）12．（2011年湖州）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，△AOD与△BOC 的面积之比为1：9，若AD＝1，则BC的长是_______．13．（2011年重庆）如图，△ABC中，DE∥BC，DE分别交边AB、AC于D、E两点．若AD：AB＝1：3．则△ADE与△ABC的面积比为______．14．（2011年扬州）如图，DE是△ABC的中位线，M、N分别是BD、CE的中点，MN＝6，则BC＝_______．15．（2011年江西省）如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB＝30°；有以下四个结论：①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG：DE＝3：4．其中正确结论的序号是______．三、解答题（共51分）16．（7分）（2011年广州）如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE＝AF．求证：△ACE≌△ACF．17．（8分）（2011年台州）如图，在□ABCD中，分别延长BA、DC到点E、H，使得AE＝AB，CH＝CD．连接EH，分别交AD、BC于点F、G．求证：△AEF≌△CHG．18．（12分）（2011年河南省）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，延长CB到点E，使BE＝AD，连接DE交AB于点M．(1)求证：△AMD≌△BME；(2)若N是CD的中点，且MN＝5，BE＝2，求BC的长．19．（12分）（2011年宜昌）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F．(1)证明：∠DFA＝∠FAB；(2)证明：△ABE≌△FCE．20．（12分）（2011年义乌）如图，已知E、F是□ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)请写出图中除△ABE≌△CDF外其余两对全等三角形（不再添加辅助线）．参考答案1.C2.D3.A4.B5.C6.B7.D8.D9.B 10.C 11.C 12.3 13.1：9 14.8 15.①②③④16.略17.略18.(1)略(2)819.略20.(1)略(2)①△ABC≌△CDA ②△BCE≌DAF。
《图形的相似》专题练习附答案
2020年全国中考数学试题分类（14）——图形的相似一．黄金分割（共1小题） 1．（2020•泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足MM MM=MM MM=√5−12，后人把√5−12这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则△ADE 的面积为（ ）A ．10﹣4√5B ．3√5−5C ．5−2√52D ．20﹣8√5 二．平行线分线段成比例（共4小题）2．（2020•营口）如图，在△ABC 中，DE ∥AB ，且MM MM=32，则MM MM的值为（ ）A ．35B ．23C ．45D ．323．（2020•成都）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 被l 1，l 2，l 3所截，AB ＝5，BC ＝6，EF ＝4，则DE的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．1034．（2020•宜宾）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，连结CD 交BE 于点O ．若AC ＝8，BC ＝6，则OE 的长是 ．5．（2020•无锡）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且DB ＝2AD ，AE ＝3EC ，连接BE ，CD ，相交于点O ，则△ABO 面积最大值为 ．三．相似三角形的判定（共3小题）6．（2020•昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（）A．4个B．5个C．6个D．7个7．（2020•攀枝花）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，AF的中点为H，连接BG、DH．给出下列结论：①AF⊥DE；②DG=85；③HD∥BG；④△ABG∽△DHF．其中正确的结论有．（请填上所有正确结论的序号）8．（2020•南京）如图，在△ABC和△A'B'C'中，D、D'分别是AB、A'B'上一点，MMMM=M′M′M′M′．（1）当MMM′M′=MMM′M′=MMM′M′时，求证△ABC∽△A'B'C'．证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（2）当MMM′M′=MM M′M′=MMM′M′时，判断△ABC 与△A 'B 'C ′是否相似，并说明理由．四．相似三角形的判定与性质（共29小题） 9．（2020•贵港）如图，在△ABC 中，点D 在AB 边上，若BC ＝3，BD ＝2，且∠BCD ＝∠A ，则线段AD 的长为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．9210．（2020•海南）如图，在▱ABCD 中，AB ＝10，AD ＝15，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE 于点G ，若BG ＝8，则△CEF 的周长为（ ）A ．16B ．17C ．24D ．25 11．（2020•牡丹江）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝10，点E 在BC 边上，DF ⊥AE ，垂足为F ．若DF ＝6，则线段EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 12．（2020•遂宁）如图，在正方形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，连接AE 、DE ，分别交BD 、AC 于点P 、Q ，过点P 作PF ⊥AE 交CB 的延长线于F ，下列结论： ①∠AED +∠EAC +∠EDB ＝90°， ②AP ＝FP ， ③AE =√102AO ，④若四边形OPEQ 的面积为4，则该正方形ABCD 的面积为36， ⑤CE •EF ＝EQ •DE ．其中正确的结论有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个13．（2020•遵义）如图，△ABO 的顶点A 在函数y =MM（x ＞0）的图象上，∠ABO ＝90°，过AO 边的三等分点M 、N 分别作x 轴的平行线交AB 于点P 、Q ．若四边形MNQP 的面积为3，则k 的值为（ ）A ．9B ．12C ．15D ．18 14．（2020•眉山）如图，正方形ABCD 中，点F 是BC 边上一点，连接AF ，以AF 为对角线作正方形AEFG ，边FG 与正方形ABCD 的对角线AC 相交于点H ，连接DG ．以下四个结论： ①∠EAB ＝∠GAD ； ②△AFC ∽△AGD ； ③2AE 2＝AH •AC ； ④DG ⊥AC ．其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 15．（2020•海南）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 、F 在AD 边上，BF 和CE 交于点G ，若EF =12AD ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．25B ．30C ．35D ．40 16．（2020•益阳）如图，在矩形ABCD 中，E 是DC 上的一点，△ABE 是等边三角形，AC 交BE 于点F ，则下列结论不成立的是（ ）A ．∠DAE ＝30°B ．∠BAC ＝45° C ．MM MM=12D ．MM MM=√3217．（2020•云南）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是CD 的中点．则△DEO 与△BCD 的面积的比等于（ ）A ．12B ．14C ．16D ．1818．（2020•潍坊）如图，点E 是▱ABCD 的边AD 上的一点，且MM MM=12，连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，若DE ＝3，DF ＝4，则▱ABCD 的周长为（ ）A ．21B ．28C ．34D ．42 19．（2020•哈尔滨）如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作EF ∥BC ，交AD 于点F ，过点E 作EG ∥AB ，交BC 于点G ，则下列式子一定正确的是（ ）A ．MM MM=MM MMB ．MM MM=MM MMC ．MM MM=MM MMD ．MM MM=MM MM20．（2020•柳州）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰好落在边AD 上的点F 处，点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰好落在线段BF 上的H 处，有下列结论：①∠EBG ＝45°；②2S △BFG ＝5S △FGH ；③△DEF ∽△ABG ；④4CE ＝5ED ．其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）21．（2020•锦州）如图，在△ABC 中，D 是AB 中点，DE ∥BC ，若△ADE 的周长为6，则△ABC 的周长为 ．22．（2020•鞍山）如图，在菱形ABCD 中，∠ADC ＝60°，点E ，F 分别在AD ，CD 上，且AE ＝DF ，AF 与CE 相交于点G ，BG 与AC 相交于点H ．下列结论：①△ACF ≌△CDE ；②CG 2＝GH •BG ；③若DF ＝2CF ，则CE＝7GF；④S四边形ABCG=√34BG2．其中正确的结论有．（只填序号即可）23．（2020•东营）如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E、F分别为P A、PD上的点，且P A＝3PE，PD＝3PF，△PEF、△PDC、△P AB的面积分别记为S、S1、S2．若S＝2，则S1+S2＝．24．（2020•随州）如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MH⊥BC于点H，连接BF，给出下列判断：①△MHN∽△BCF；②折痕MN的长度的取值范围为3＜MN＜15 4；③当四边形CDMH为正方形时，N为HC的中点；④若DF=13DC，则折叠后重叠部分的面积为5512．其中正确的是．（写出所有正确判断的序号）25．（2020•牡丹江）如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EM．则下列结论中：①BF＝CE；②∠AEM＝∠DEM；③AE﹣CE=√2ME；④DE2+DF2＝2DM2；⑤若AE平分∠BAC，则EF：BF=√2：1；⑥CF•DM＝BM•DE，正确的有．（只填序号）26．（2020•黑龙江）如图，直线AM 的解析式为y ＝x +1与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为（1，1）．过点B 作EO 1⊥MA 交MA 于点E ，交x 轴于点O 1，过点O 1作x 轴的垂线交MA 于点A 1，以O 1A 1为边作正方形O 1A 1B 1C 1，点B 1的坐标为（5，3）．过点B 1作E 1O 2⊥MA 交MA 于E 1，交x 轴于点O 2，过点O 2作x 轴的垂线交MA 于点A 2．以O 2A 2为边作正方形O 2A 2B 2C 2．…．则点B 2020的坐标 ．27．（2020•长沙）如图，点P 在以MN 为直径的半圆上运动（点P 不与M ，N 重合），PQ ⊥MN ，NE 平分∠MNP ，交PM 于点E ，交PQ 于点F ． （1）MM MM+MM MM= ．（2）若PN 2＝PM •MN ，则MM MM= ．28．（2020•临沂）如图，在△ABC 中，D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，H 为AF 与DG 的交点．若AC ＝6，则DH ＝ ．29．（2020•咸宁）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，点E 是边BC 上一动点（不与点B ，C 重合），∠AEF ＝90°，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ，交CD 于点G ，连接AF ，有下列结论： ①△ABE ∽△ECG ； ②AE ＝EF ；③∠DAF ＝∠CFE ；④△CEF 的面积的最大值为1． 其中正确结论的序号是 ．（把正确结论的序号都填上）30．（2020•泸州）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为．31．（2020•黑龙江）如图，直线AM的解析式为y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）．过B点作直线EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x 轴的垂线交MA于点A1．以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）．过点B1作直线E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2，…，则点B2020的坐标．32．（2020•兰州）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝2，点E在AB的延长线上，且AE＝AC，EF⊥AC于点F，连接BF并延长交CD于点G，则DG＝．33．（2020•西宁）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC和DE．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若CD＝1，BE＝2，求⊙O的半径．34．（2020•朝阳）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，过点O作OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点F，连接BD交AC于点G，连接CD，在OD的延长线上取一点E，连接CE，使∠DEC＝∠BDC．（1）求证：EC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径是3，DG •DB ＝9，求CE 的长．35．（2020•黄冈）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为⊙O 上一点，点D 是MM̂上一点，连接AE 并延长至点C ，使∠CBE ＝∠BDE ，BD 与AE 交于点F ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若BD 平分∠ABE ，求证：AD 2＝DF •DB ．36．（2020•杭州）如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 边上，DE ∥AC ，EF ∥AB ． （1）求证：△BDE ∽△EFC ． （2）设MM MM=12，①若BC ＝12，求线段BE 的长；②若△EFC 的面积是20，求△ABC 的面积．37．（2020•杭州）如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接AE ，∠DAE 的平分线AG 与CD 边交于点G ，与BC 的延长线交于点F ．设MM MM=λ（λ＞0）．（1）若AB ＝2，λ＝1，求线段CF 的长． （2）连接EG ，若EG ⊥AF ， ①求证：点G 为CD 边的中点． ②求λ的值．五．相似三角形的应用（共4小题） 38．（2020•玉林）一个三角形木架三边长分别是75cm ，100cm ，120cm ，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm 和120cm 的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（）A．一种B．两种C．三种D．四种39．（2020•山西）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（）A．图形的平移B．图形的旋转C．图形的轴对称D．图形的相似40．（2020•绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（）A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm41．（2020•温州）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C 点发现∠1＝∠2．测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则场地的边AB为米，BC 为米．六．作图-相似变换（共1小题）42．（2020•济宁）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P在BC上．（1）求作：△PCD，使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若∠APC＝2∠ABC．求证：PD∥AB．七．位似变换（共4小题）43．（2020•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：5 44．（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A （1，2），B （1，1），C （3，1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF ，使△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF 的长度为（ ）A ．√5B ．2C ．4D ．2√5 45．（2020•兰州）如图，四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′位似，位似中心为点O ，OC ＝6，CC ′＝4，AB ＝3，则A ′B ′＝ ．46．（2020•盘锦）如图，△AOB 三个顶点的坐标分别为A （5，0），O （0，0），B （3，6），以点O 为位似中心，相似比为23，将△AOB 缩小，则点B 的对应点B '的坐标是 ．八．作图-位似变换（共2小题） 47．（2020•朝阳）如图所示的平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （﹣3，2），B （﹣1，3），C （﹣1，1），请按如下要求画图：（1）以坐标原点O 为旋转中心，将△ABC 顺时针旋转90°，得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1；（2）以坐标原点O 为位似中心，在x 轴下方，画出△ABC 的位似图形△A 2B 2C 2，使它与△ABC 的位似比为2：1．48．（2020•宁夏）在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A （1，3），B （4，1），C （1，1）． （1）画出△ABC 关于x 轴成轴对称的△A 1B 1C 1；（2）画出△ABC 以点O 为位似中心，位似比为1：2的△A 2B 2C 2．九．相似形综合题（共2小题） 49．（2020•荆州）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝20，点E 是BC 边上的一点，将△ABE 沿着AE 折叠，点B 刚好落在CD 边上点G 处；点F 在DG 上，将△ADF 沿着AF 折叠，点D 刚好落在AG 上点H 处，此时S △GFH ：S △AFH ＝2：3，（1）求证：△EGC ∽△GFH ； （2）求AD 的长；（3）求tan ∠GFH 的值．50．（2020•福建）如图，△ADE 由△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，且点B 的对应点D 恰好落在BC 的延长线上，AD ，EC 相交于点P ． （1）求∠BDE 的度数；（2）F 是EC 延长线上的点，且∠CDF ＝∠DAC ． ①判断DF 和PF 的数量关系，并证明； ②求证：MM MM=MM MM．2020年全国中考数学试题分类（14）——图形的相似参考答案与试题解析一．黄金分割（共1小题） 1．【解答】解：作AH ⊥BC 于H ，如图， ∵AB ＝AC ， ∴BH ＝CH =12BC ＝2，在Rt △ABH 中，AH =√32−22=√5， ∵D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点， ∴BE =√5−12BC ＝2（√5−1）＝2√5−2，∴HE ＝BE ﹣BH ＝2√5−2﹣2＝2√5−4， ∴DE ＝2HE ＝4√5−8∴S △ADE =12×（4√5−8）×√5=10﹣4√5． 故选：A ．二．平行线分线段成比例（共4小题） 2．【解答】解：∵DE ∥AB ， ∴MM MM=MM MM=32，∴MM MM的值为35，故选：A ． 3．【解答】解：∵直线l 1∥l 2∥l 3， ∴MM MM =MM MM，∵AB ＝5，BC ＝6，EF ＝4， ∴56=MM4，∴DE =103，故选：D ． 4．【解答】解：在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，由勾股定理得：AB ＝10， 过A 作AF ∥BC ，交BE 延长线于F ，∵AF ∥BC ， ∴∠F ＝∠CBE ， ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE ＝∠CBE ， ∴∠F ＝∠ABE ， ∴AB ＝AF ＝10，∵AF ∥BC ，∴△AEF ∽△CEB ， ∴MM MM =MMMM ， ∴106=MM8−MM，解得：AE ＝5，CE ＝8﹣5＝3，在Rt △ECB 中，由勾股定理得：BE =√62+32=3√5， 过D 作DM ∥AC ，交BC 于M ，交BE 于N ，∵D 为AB 的中点，DM ∥AC ，∴M 为BC 的中点，N 为BE 的中点，∴DN =12AE =12×5=2.5，BN ＝NE =12BE =3√52，∵DM ∥AC ，∴△DNO ∽△CEO ， ∴MM MM =MM MM，∴2.53=3√52−MM MM ，解得：OE =9√511，故答案为：9√511．5．【解答】解：如图，过点D 作DF ∥AE ，则MM MM=MM MM =23，∵MM MM=13，∴DF ＝2EC ， ∴DO ＝2OC ， ∴DO =23DC ，∴S △ADO =23S △ADC ，S △BDO =23S △BDC ， ∴S △ABO =23S △ABC ，∵∠ACB ＝90°，∴C 在以AB 为直径的圆上，设圆心为G ，当CG ⊥AB 时，△ABC 的面积最大为：12×4×2＝4，此时△ABO 的面积最大为：23×4=83． 故答案为：83．三．相似三角形的判定（共3小题） 6．【解答】解：如图，所以使得△ADE ∽△ABC 的格点三角形一共有6个． 故选：C ． 7．【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠ADC ＝∠BCD ＝90°，AD ＝CD ， ∵E 和F 分别为BC 和CD 中点， ∴DF ＝EC ＝2，∴△ADF ≌△DCE （SAS ），∴∠AFD ＝∠DEC ，∠F AD ＝∠EDC ， ∵∠EDC +∠DEC ＝90°， ∴∠EDC +∠AFD ＝90°，∴∠DGF ＝90°，即DE ⊥AF ，故①正确； ∵AD ＝4，DF =12CD ＝2， ∴AF =√42+22=2√5，∴DG ＝AD ×DF ÷AF =4√55，故②错误； ∵H 为AF 中点， ∴HD ＝HF =12AF =√5，∴∠HDF ＝∠HFD ， ∵AB ∥DC ，∴∠HDF ＝∠HFD ＝∠BAG ， ∵AG =√MM 2−MM 2=8√55，AB ＝4， ∴MM MM=MM MM=4√55=MM MM，∴△ABG ～△DHF ，故④正确； ∴∠ABG ＝∠DHF ，而AB ≠AG ， 则∠ABG 和∠AGB 不相等， 故∠AGB ≠∠DHF ，故HD 与BG 不平行，故③错误； 故答案为：①④．8．【解答】（1）证明：∵MM MM=M′M′M′M′，∴MM M′M′=MMM′M′， ∵MM M′M′=MM M′M′=MM M′M′， ∴MM M′M′=MM M′M′=MM M′M′，∴△ADC ∽△A ′D ′C '， ∴∠A ＝∠A ′， ∵MM M′M′=MMM′M′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′． 故答案为：MMM′M′=MM M′M′=MMM′M′，∠A ＝∠A ′．（2）如图，过点D ，D ′分别作DE ∥BC ，D ′E ′∥B ′C ′，DE 交AC 于E ，D ′E ′交A ′C ′于E ′．∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴MM MM=MMMM =MMMM ， 同理，M′M′M′M′=M′M′M′M′=M′M′M′M′，∵MM MM =M′M′M′M′， ∴MM MM =M′M′M′M′，∴MMM′M′=MMM′M′，同理，MM MM =M′M′M′M′，∴MM −MM MM =M′M′−M′M′M′M′，即MM MM=M′M′M′M′，∴MM M′M′=MMM′M′， ∵MM M′M′=MM M′M′=MM M′M′， ∴MM M′M′=MM M′M′=MM M′M′，∴△DCE ∽△D ′C ′E ′， ∴∠CED ＝∠C ′E ′D ′，∴∠CED +∠ACB ＝180°，同理，∠C ′E ′D ′+∠A ′C ′B ′＝180°， ∴∠ACB ＝∠A ′C ′B ′， ∵MM M′M′=MMM′M′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′．四．相似三角形的判定与性质（共29小题） 9．【解答】解：∵∠BCD ＝∠A ，∠B ＝∠B ， ∴△BCD ∽△BAC ， ∴MM MM =MM MM ，∵BC ＝3，BD ＝2， ∴3MM=23，∴BA =92，∴AD ＝BA ﹣BD =92−2=52．故选：B ． 10．【解答】解：∵在▱ABCD 中，CD ＝AB ＝10，BC ＝AD ＝15，∠BAD 的平分线交BC 于点E ， ∴AB ∥DC ，∠BAF ＝∠DAF ， ∴∠BAF ＝∠F ， ∴∠DAF ＝∠F ， ∴DF ＝AD ＝15， 同理BE ＝AB ＝10，∴CF ＝DF ﹣CD ＝15﹣10＝5；∴在△ABG 中，BG ⊥AE ，AB ＝10，BG ＝8，在Rt △ABG 中，AG =√MM 2−MM 2=√102−82=6， ∴AE ＝2AG ＝12，∴△ABE 的周长等于10+10+12＝32， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CF ，∴△CEF ∽△BEA ，相似比为5：10＝1：2， ∴△CEF 的周长为16． 故选：A ．11．【解答】解：∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB ＝CD ＝3，BC ＝AD ＝10，AD ∥BC ， ∴∠AEB ＝∠DAF ， ∴△AFD ∽△EBA ， ∴MM MM=MM MM=MM MM，∵DF ＝6，∴AF =√MM 2−MM 2=√102−62=8， ∴8MM=10MM=63，∴EF ＝AF ﹣AE ＝8﹣5＝3． 故选：B ． 12．【解答】解：如图，连接OE ． ∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ＝OB ＝OD ， ∴∠BOC ＝90°， ∵BE ＝EC ，∴∠EOB ＝∠EOC ＝45°，∵∠EOB ＝∠EDB +∠OED ，∠EOC ＝∠EAC +∠AEO ，∴∠AED +∠EAC +∠EDO ＝∠EAC +∠AEO +∠OED +∠EDB ＝90°，故①正确， 连接AF ． ∵PF ⊥AE ，∴∠APF ＝∠ABF ＝90°， ∴A ，P ，B ，F 四点共圆， ∴∠AFP ＝∠ABP ＝45°， ∴∠P AF ＝∠PF A ＝45°， ∴P A ＝PF ，故②正确，设BE ＝EC ＝a ，则AE =√5a ，OA ＝OC ＝OB ＝OD =√2a ， ∴MM MM=√5M √2M=√102，即AE =√102AO ，故③正确，根据对称性可知，△OPE ≌△OQE ， ∴S △OEQ =12S 四边形OPEQ ＝2， ∵OB ＝OD ，BE ＝EC ， ∴CD ＝2OE ，OE ∥CD ， ∴MM MM=MM MM=12，△OEQ ∽△CDQ ，∴S △ODQ ＝4，S △CDQ ＝8，∴S △CDO ＝12，∴S 正方形ABCD ＝48，故④错误，∵∠EPF ＝∠DCE ＝90°，∠PEF ＝∠DEC ， ∴△EPF ∽△ECD ， ∴MM MM=MM MM，∵EQ ＝PE ，∴CE •EF ＝EQ •DE ，故⑤正确， 故选：B ．13．【解答】解： ∵NQ ∥MP ∥OB ，∴△ANQ ∽△AMP ∽△AOB ， ∵M 、N 是OA 的三等分点，∴MMMM =12，MM MM =13，∴M △MMM M △MMM=14，∵四边形MNQP 的面积为3， ∴M △MMM 3+M △MMM=14，∴S △ANQ ＝1， ∵1M △MMM=（MM MM）2=19，∴S △AOB ＝9，∴k ＝2S △AOB ＝18， 故选：D ． 14．【解答】解：∵四边形ABCD ，四边形AEFG 都是正方形，∴∠EAG ＝∠BAD ＝90°，∠F AG ＝∠AFG ＝∠DAC ＝∠ACB ＝45°，AF =√2AG ，AC =√2AD ， ∴∠EAG ﹣∠BAG ＝∠BAD ﹣∠BAG ， ∴∠EAB ＝∠DAG ，故①正确； ∵AF =√2AG ，AC =√2AD ， ∴MM MM=√2=MMMM ，∵∠F AG ＝∠CAD ＝45°， ∴∠F AC ＝∠DAG ，∴△F AC ∽△DAG ，故②正确， ∴∠ADG ＝∠ACB ＝45°， 延长DG 交AC 于N ，∵∠CAD ＝45°，∠ADG ＝45°， ∴∠AND ＝90°，∴DG ⊥AC ，故④正确，∵∠F AC ＝∠F AH ，∠AFG ＝∠ACF ＝45°， ∴△AFH ∽△ACF ， ∴MM MM=MM MM，∴AF 2＝AH •AC ，∴2AE 2＝AH •AC ，故③正确， 故选：D ． 15．【解答】解：过点G 作GN ⊥AD 于N ，延长NG 交BC 于M ，∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC ， ∵EF =12AD ， ∴EF =12BC ，∵AD ∥BC ，NG ⊥AD ，∴△EFG ∽△CBG ，GM ⊥BC ， ∴GN ：GM ＝EF ：BC ＝1：2， 又∵MN ＝AB ＝6， ∴GN ＝2，GM ＝4， ∴S △BCG =12×10×4＝20，∴S △EFG =12×5×2＝5，S 矩形ABCD ＝6×10＝60，∴S 阴影＝60﹣20﹣5＝35． 故选：C ． 16．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，△ABE 是等边三角形，∴AB ＝AE ＝BE ，∠EAB ＝∠EBA ＝60°，AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴∠DAE ＝∠CBE ＝30°，故选项A 不合题意， ∴cos ∠DAE =√32=MM MM =MMMM，故选项D 不合题意，在△ADE 和△BCE 中， {MM =MMMMMM =MMMM MM =MM， ∴△ADE ≌△BCE （SAS ）， ∴DE ＝CE =12CD =12AB ， ∵AB ∥CD ，∴△ABF ∽△CEF ， ∴MM MM=MM MM=12，故选项C 不合题意，故选：B ． 17．【解答】解：∵平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ， ∴点O 为线段BD 的中点． 又∵点E 是CD 的中点，∴线段OE 为△DBC 的中位线， ∴OE ∥BC ，OE =12BC ， ∴△DOE ∽△DBC ， ∴M △MMM M △MMM=（MM MM）2=14．故选：B ． 18．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CF ，AB ＝CD ， ∴△ABE ∽△DFE ， ∴MM MM=MM MM=12，∵DE ＝3，DF ＝4， ∴AE ＝6，AB ＝8，∴AD ＝AE +DE ＝6+3＝9，∴平行四边形ABCD 的周长为：（8+9）×2＝34． 故选：C ． 19．【解答】解：∵EF ∥BC ， ∴MM MM =MM MM ，∵EG ∥AB ， ∴MM MM=MM MM ， ∴MM MM=MM MM，故选：C ． 20．【解答】解：①由折叠的性质可知：∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC ＝90°， ∴∠EBG ＝∠GBH +∠EBF =12∠CBF +12∠ABF =12∠ABC ＝45°． 故①正确；②由折叠的性质可知：BF ＝BC ＝10，BH ＝AB ＝6， ∴HF ＝BF ﹣BH ＝4， ∴M △MMM M △MMM=MM MM=104=52，∴2S △BFG ＝5S △FGH ； 故②正确；③∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠D ＝90°，在Rt △ABF 中，AF =√MM 2−MM 2=8， 设GF ＝x ，即HG ＝AG ＝8﹣x ， 在Rt △HGF 中，HG 2+HF 2＝GF 2， 即（8﹣x ）2+42＝x 2，解得x ＝5， ∴AG ＝3， ∴FD ＝2； 同理可得ED =83， ∴MM MM=63=2，MMMM =832=43， ∴MM MM≠MMMM，∴△ABG 与△DEF 不相似， 故③错误；④∵CD ＝AB ＝6，ED =83， ∴CE ＝CD ﹣ED =103， ∴MM MM=54，∴4CE ＝5ED ． 故④正确．综上所述，正确的结论的序号为①②④． 21．【解答】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∵D 是AB 的中点， ∴MMMM =12，∴△MMM 的周长△MMM 的周长=12∵△ADE 的周长为6， ∴△ABC 的周长为12， 故答案为：12． 22．【解答】解：∵ABCD 为菱形， ∴AD ＝CD ， ∵AE ＝DF ， ∴DE ＝CF ，∵∠ADC ＝60°，∴△ACD 为等边三角形，∴∠D ＝∠ACD ＝60°，AC ＝CD ， ∴△ACF ≌△CDE （SAS ），故①正确； 过点F 作FP ∥AD ，交CE 于P 点． ∵DF ＝2CF ，∴FP ：DE ＝CF ：CD ＝1：3， ∵DE ＝CF ，AD ＝CD ， ∴AE ＝2DE ，∴FP ：AE ＝1：6＝FG ：AG ， ∴AG ＝6FG ，∴CE ＝AF ＝7GF ，故③正确；过点B 作BM ⊥AG 于M ，BN ⊥GC 于N ，∵∠AGE ＝∠ACG +∠CAF ＝∠ACG +∠GCF ＝60°＝∠ABC ， 即∠AGC +∠ABC ＝180°， ∴点A 、B 、C 、G 四点共圆，∴∠AGB ＝∠ACB ＝60°，∠CGB ＝∠CAB ＝60°， ∴∠AGB ＝∠CGB ＝60°， ∴BM ＝BN ，又AB ＝BC ， ∴△ABM ≌△CBN （HL ）， ∴S 四边形ABCG ＝S 四边形BMGN ， ∵∠BGM ＝60°， ∴GM =12BG ，BM =√32BG ，∴S 四边形BMGN ＝2S △BMG ＝2×12×12MM ×√32MM =√34BG 2，故④正确；∵∠CGB ＝∠ACB ＝60°，∠CBG ＝∠HBC ， ∴△BCH ∽△BGC ， ∴MM MM=MM MM=MM MM，则BG •BH ＝BC 2， 则BG •（BG ﹣GH ）＝BC 2， 则BG 2﹣BG •GH ＝BC 2， 则GH •BG ＝BG 2﹣BC 2，当∠BCG ＝90°时，BG 2﹣BC 2＝CG 2，此时GH •BG ＝CG 2， 而题中∠BCG 未必等于90°，故②不成立， 故正确的结论有①③④， 故答案为：①③④．23．【解答】解：∵P A ＝3PE ，PD ＝3PF ， ∴MM MM=MM MM=13，∴EF ∥AD ，∴△PEF ∽△P AD ， ∴M △MMM M △MMM=（13）2，∵S △PEF ＝2， ∴S △P AD ＝18， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴S △P AD =12S 平行四边形ABCD ，∴S 1+S 2＝S △P AD ＝18， 故答案为18． 24．【解答】解：①如图1，由折叠可知BF ⊥MN ，∴∠BOM ＝90°， ∵MH ⊥BC ，∴∠BHP ＝90°＝∠BOM ， ∵∠BPH ＝∠OPM ， ∴∠CBF ＝∠NMH ， ∵∠MHN ＝∠C ＝90°， ∴△MHN ∽△BCF ， 故①正确；②当F 与C 重合时，MN ＝3，此时MN 最小， 当F 与D 重合时，如图2，此时MN 最大，由勾股定理得：BD ＝5， ∵OB ＝OD =52，∵tan ∠DBC =MM MM =MMMM ，即MM 52=34，∴ON =158，∵AD ∥BC ，∴∠MDO ＝∠OBN ， 在△MOD 和△NOB 中，∵{∠MMM =∠MMMMM =MM MMMM =MMMM，∴△DOM ≌△BON （ASA ）， ∴OM ＝ON ， ∴MN ＝2ON =154， ∵点F 在线段CD 上（不与两端点重合）， ∴折痕MN 的长度的取值范围为3＜MN ＜154； 故②正确；③如图3，连接BM ，FM ，当四边形CDMH 为正方形时，MH ＝CH ＝CD ＝DM ＝3， ∵AD ＝BC ＝4， ∴AM ＝BH ＝1，由勾股定理得：BM =√32+12=√10， ∴FM =√10，∴DF =√MM 2−MM 2=√(√10)2−32=1， ∴CF ＝3﹣1＝2，设HN ＝x ，则BN ＝FN ＝x +1，在Rt △CNF 中，CN 2+CF 2＝FN 2， ∴（3﹣x ）2+22＝（x +1）2， 解得：x =32， ∴HN =32， ∵CH ＝3，∴CN ＝HN =32， ∴N 为HC 的中点； 故③正确；④如图4，连接FM ， ∵DF =13DC ，CD ＝3，∴DF ＝1，CF ＝2，∴BF =√22+42=2√5，∴OF =√5，设FN ＝a ，则BN ＝a ，CN ＝4﹣a ， 由勾股定理得：FN 2＝CN 2+CF 2， ∴a 2＝（4﹣a ）2+22， ∴a =52，∴BN ＝FN =52，CN =32，∵∠NFE ＝∠CFN +∠DFQ ＝90°， ∠CFN +∠CNF ＝90°， ∴∠DFQ ＝∠CNF ， ∵∠D ＝∠C ＝90°， ∴△QDF ∽△FCN ， ∴MM MM=MM MM，即MM 2=132， ∴QD =43， ∵tan ∠HMN ＝tan ∠CBF =MM MM =MMMM ，∴MM 3=24，∴HN =32，∴MN =√32+(32)2=3√52，∵CH ＝MD ＝HN +CN =32+32=3， ∴MQ ＝3−43=53，∴折叠后重叠部分的面积为：S△MNF+S△MQF=12⋅MM⋅MM+12⋅MM⋅MM=12×3√52×√5+12×53×1=5512；法二：折叠后重叠部分的面积为：S△MNF+S△MQF＝S正方形CDMH﹣S△QDF﹣S△NFC﹣S△MNH＝3×3−12×43×1−12×32×2−12×32×3=5512；故④正确；所以本题正确的结论有：①②③④；故答案为：①②③④．25．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠ACE＝90°，∵∠BCF+∠CBF＝90°，∴∠ACE＝∠CBF，又∵∠BFD＝90°＝∠AEC，AC＝BC，∴△BCF≌△CAE（AAS），∴BF＝CE，故①正确；由全等可得：AE＝CF，BF＝CE，∴AE﹣CE＝CF﹣CE＝EF，连接FM，CM，∵点M是AB中点，∴CM=12AB＝BM＝AM，CM⊥AB，在△BDF和△CDM中，∠BFD＝∠CMD，∠BDF＝∠CDM，∴∠DBF＝∠DCM，又BM＝CM，BF＝CE，∴△BFM≌△CEM（SAS），∴FM＝EM，∠BMF＝∠CME，∵∠BMC＝90°，∴∠EMF＝90°，即△EMF为等腰直角三角形，∴EF=√2EM＝AE﹣CE，故③正确，∠MEF＝∠MFE＝45°，∵∠AEC＝90°，∴∠MEF＝∠AEM＝45°，故②正确，设AE与CM交于点N，连接DN，∵∠DMF＝∠NME，FM＝EM，∠DFM＝∠DEM＝∠AEM＝45°，∴△DFM≌△NEM（ASA），∴DF＝EN，DM＝MN，∴△DMN为等腰直角三角形，∴DN=√2DM，而∠DEA＝90°，∴DE2+DF2＝DN2＝2DM2，故④正确；∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠CAE＝22.5°，∠ADE＝67.5°，∵∠DEM＝45°，∴∠EMD＝67.5°，即DE＝EM，∵AE＝AE，∠AED＝∠AEC，∠DAE＝∠CAE，∴△ADE≌△ACE（ASA），∴DE＝CE，∵△MEF 为等腰直角三角形， ∴EF =√2EM ， ∴MM MM =MM MM =MM MM =√2MMMM=√2，故⑤正确；∵∠CDM ＝∠ADE ，∠CMD ＝∠AED ＝90°， ∴△CDM ∽△ADE ， ∴MM MM =MM MM =MM MM，∵BM ＝CM ，AE ＝CF ， ∴MM MM=MM MM，∴CF •DM ＝BM •DE ，故⑥正确； 故答案为：①②③④⑤⑥．26．【解答】解：∵点B 坐标为（1，1）， ∴OA ＝AB ＝BC ＝CO ＝CO 1＝1， ∵A 1（2，3），∴A 1O 1＝A 1B 1＝B 1C 1＝C 1O 2＝3， ∴B 1（5，3）， ∴A 2（8，9），∴A 2O 2＝A 2B 2＝B 2C 2＝C 2O 3＝9， ∴B 2（17，9），同理可得B 3（53，27）， B 4（161，81）， …由上可知，B n （2×3n ﹣1，3n ），∴当n ＝2020时，B n （2×32020﹣1，32020）．故答案为：（2×32020﹣1，32020）． 27．【解答】解：（1）∵MN 为⊙O 的直径， ∴∠MPN ＝90°， ∵PQ ⊥MN ，∴∠PQN ＝∠MPN ＝90°， ∵NE 平分∠PNM ， ∴∠MNE ＝∠PNE ， ∴△PEN ∽△QFN ， ∴MM MM=MM MM，即MM MM=MM MM①，∵∠PNQ +∠NPQ ＝∠PNQ +∠PMQ ＝90°， ∴∠NPQ ＝∠PMQ ，∵∠PQN ＝∠PQM ＝90°，∴△NPQ ∽△PMQ ， ∴MM MM=MMMM ②， ∴①×②得MM MM=MM MM，∵QF ＝PQ ﹣PF ， ∴MM MM =MM MM =1−MMMM， ∴MM MM+MM MM=1，故答案为：1；（2）∵∠PNQ ＝∠MNP ，∠NQP ＝∠NPM ， ∴△NPQ ∽△NMP ， ∴MM MM=MM MM，∴PN 2＝QN •MN ， ∵PN 2＝PM •MN ， ∴PM ＝QN ， ∴MM MM=MMMM，∵cos ∠M =MM MM =MMMM，∴MM MM =MMMM ，∴MM MM=MMMM +MM，∴NQ 2＝MQ 2+MQ •NQ ，即1=MM 2MM 2+MMMM，设MM MM =M ，则x 2+x ﹣1＝0，解得，x =√5−12，或x =−√5+12＜0（舍去），∴MM MM=√5−12， 故答案为：√5−12．28．【解答】解：∵D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，∴BE ＝DE ＝AD ，BF ＝GF ＝CG ，AH ＝HF ， ∴AB ＝3BE ，DH 是△AEF 的中位线， ∴DH =12EF ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ， ∴MM MM=MM MM ，即MM 6=MM3MM，解得：EF ＝2，∴DH =12EF =12×2＝1，故答案为：1． 29．【解答】解：①∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B ＝∠ECG ＝90°， ∵∠AEF ＝90°，∴∠AEB +∠CEG ＝∠AEB +∠BAE ， ∴∠BAE ＝∠CEG ， ∴△ABE ∽△ECG ， 故①正确；②在BA 上截取BM ＝BE ，如图1，∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠B ＝90°，BA ＝BC ，∴△BEM 为等腰直角三角形， ∴∠BME ＝45°， ∴∠AME ＝135°， ∵BA ﹣BM ＝BC ﹣BE ， ∴AM ＝CE ，∵CF 为正方形外角平分线， ∴∠DCF ＝45°， ∴∠ECF ＝135°， ∵∠AEF ＝90°，∴∠AEB +∠FEC ＝90°， 而∠AEB +∠BAE ＝90°， ∴∠BAE ＝∠FEC ， 在△AME 和△ECF 中{∠MMM =∠MMMMM =MM MMMM =MMMM， ∴△AME ≌△ECF （ASA ）， ∴AE ＝EF ， 故②正确；③∵AE ＝EF ，∠AEF ＝90°， ∴∠EAF ＝45°，∴∠BAE +∠DAF ＝45°，∵∠BAE +∠CFE ＝∠CEF +∠CFE ＝45°， ∴∠DAF ＝∠CFE ， 故③正确；④设BE ＝x ，则BM ＝x ，AM ＝AB ﹣BM ＝2﹣x ， S △ECF ＝S △AME =12•x •（2﹣x ）=−12（x ﹣1）2+12， 当x ＝1时，S △ECF 有最大值12， 故④错误．故答案为：①②③．30．【解答】解：延长CE 、DA 交于Q ，如图1，∵四边形ABCD 是矩形，BC ＝6，∴∠BAD ＝90°，AD ＝BC ＝6，AD ∥BC ， ∵F 为AD 中点，∴AF ＝DF ＝3，在Rt △BAF 中，由勾股定理得：BF =√MM 2+MM 2=√42+32=5， ∵AD ∥BC ， ∴∠Q ＝∠ECB ，∵E 为AB 的中点，AB ＝4， ∴AE ＝BE ＝2，在△QAE 和△CBE 中{∠MMM =∠MMMMM =MMMM MM =MM∴△QAE ≌△CBE （AAS ）， ∴AQ ＝BC ＝6， 即QF ＝6+3＝9， ∵AD ∥BC ，∴△QMF ∽△CMB ， ∴MM MM=MM MM=96，∵BF ＝5，∴BM ＝2，FM ＝3，延长BF 和CD ，交于W ，如图2，同理AB ＝DW ＝4，CW ＝8，BF ＝FW ＝5， ∵AB ∥CD ，∴△BNE ∽△WND ， ∴MMMM =MMMM ，∴MM 5−MM +5=24，解得：BN =103，∴MN ＝BN ﹣BM =103−2=43， 故答案为：43．31．【解答】解：∵点B 坐标为（1，1）， ∴OA ＝AB ＝BC ＝CO ＝CO 1＝1， ∵A 1（2，3），∴A 1O 1＝A 1B 1＝B 1C 1＝C 1O 2＝3， ∴B 1（5，3）， ∴A 2（8，9），∴A 2O 2＝A 2B 2＝B 2C 2＝C 2O 3＝9， ∴B 2（17，9），同理可得B 3（53，27）， B 4（161，81）， …由上可知，M M (2×3M −1，3M )，∴当n ＝2020时，M M (2×32020−1，32020)． 故答案为：（2×32020﹣1，32020）．32．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2，∠BDC ＝∠EAF ＝45°，AC ⊥BD ，BD ＝AC ＝2√2， ∵AE ＝AC ＝2√2，∠EF A ＝∠CBA ，∠EAF ＝∠BAC ＝45°， ∴△AEF ≌△ACB （AAS ），∴∠E ＝∠ACB ＝45°，EF ＝BC ＝2，AF ＝AB ＝2， ∴∠E ＝∠BDG ，∵EF ⊥AC ，AC ⊥BD ， ∴EF ∥BD ，∴∠EFB ＝∠DBG ， ∴△EBF ∽△DGB ， ∴MM MM =MMMM ， ∴2√2−2MM=2√2，∴DG ＝4﹣2√2， 故答案为：4﹣2√2， 33．【解答】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°（直径所对的圆周角是直角）， ∴AF ⊥BC ．∵在△ABC 中AB ＝AC ∴CE ＝BE （等腰三角形三线合一）， ∵AE ＝EF ．∴四边形ABFC 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 又∵AF ⊥BC ，∴▱ABFC 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．（2）解：∵圆内接四边形ABED ，∴∠ADE +∠ABC ＝180°（圆内接四边形的对角互补）． ∵∠ADE +∠CDE ＝180°， ∴∠ABC ＝∠CDE ．∵∠ACB ＝∠ECD （公共角）．∴△ECD ∽△ACB （两角分别对应相等的两个三角形相似）． ∴MM MM=MM MM（相似三角形的对应边成比例）．∵四边形ABFC 是菱形，∴MM =MM =12MM =2． ∴CE ＝2BC ＝4． ∴2MM=14．∴AC ＝8．∴AB ＝AC ＝8． ∴⊙O 的半径为4．34．【解答】解：（1）证明：如图，连接OC ，∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵OD ∥BC ，∴∠CFE ＝∠ACB ＝90°， ∴∠DEC +∠FCE ＝90°，∵∠DEC ＝∠BDC ，∠BDC ＝∠A ， ∴∠DEC ＝∠A ， ∵OA ＝OC ， ∴∠OCA ＝∠A ， ∴∠OCA ＝∠DEC ，∵∠DEC +∠FCE ＝90°，∴∠OCA +∠FCE ＝90°，即∠OCE ＝90°， ∴OC ⊥CE ，又∵OC 是⊙O 的半径， ∴CE 是⊙O 切线．（2）由（1）得∠CFE ＝90°， ∴OF ⊥AC ， ∵OA ＝OC ，∴∠COF ＝∠AOF ， ∴MM̂=MM ̂， ∴∠ACD ＝∠DBC ， 又∵∠BDC ＝∠BDC ， ∴△DCG ∽△DBC ， ∴MM MM=MM MM，∴DC 2＝DG •DB ＝9， ∴DC ＝3，∵OC ＝OD ＝3，∴△OCD 是等边三角形， ∴∠DOC ＝60°， 在Rt △OCE 中MMM60°=MMMM， ∴√3=MM3， ∴MM =3√3． 35．【解答】证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，∴∠EAB +∠EBA ＝90°，∵∠CBE ＝∠BDE ，∠BDE ＝∠EAB ， ∴∠EAB ＝∠CBE ，∴∠EBA +∠CBE ＝90°，即∠ABC ＝90°， ∴CB ⊥AB ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴BC 是⊙O 的切线；（2）证明：∵BD 平分∠ABE ， ∴∠ABD ＝∠DBE ， ∵∠DAF ＝∠DBE ， ∴∠DAF ＝∠ABD ， ∵∠ADB ＝∠ADF ， ∴△ADF ∽△BDA ， ∴MM MM=MM MM，∴AD 2＝DF •DB ． 36．【解答】（1）证明：∵DE ∥AC ， ∴∠DEB ＝∠FCE ， ∵EF ∥AB ，∴∠DBE ＝∠FEC ， ∴△BDE ∽△EFC ；（2）解：①∵EF ∥AB ， ∴MM MM=MM MM=12，∵EC ＝BC ﹣BE ＝12﹣BE ， ∴MM 12−MM =12，解得：BE ＝4； ②∵MMMM =12，∴MM MM=23，∵EF ∥AB ，∴△EFC ∽△BAC ， ∴M △MMM M △MMM=（MMMM ）2＝（23）2=49，∴S △ABC =94S △EFC =94×20＝45．37．【解答】解：（1）∵在正方形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠DAG ＝∠F ， 又∵AG 平分∠DAE ， ∴∠DAG ＝∠EAG ， ∴∠EAG ＝∠F ， ∴EA ＝EF ，∵AB ＝2，∠B ＝90°，点E 为BC 的中点，∴BE ＝EC ＝1，∴AE =√MM 2+MM 2=√5， ∴EF =√5，∴CF ＝EF ﹣EC =√5−1；（2）①证明：∵EA ＝EF ，EG ⊥AF ， ∴AG ＝FG ，在△ADG 和△FCG 中{∠M =∠MMMMMMM =MMMM MM =MM， ∴△ADG ≌△FCG （AAS ）， ∴DG ＝CG ，即点G 为CD 的中点； ②设CD ＝2a ，则CG ＝a ， 由①知，CF ＝DA ＝2a ， ∵EG ⊥AF ，∠GCF ＝90°，∴∠EGC +∠CGF ＝90°，∠F +∠CGF ＝90°，∠ECG ＝∠GCF ＝90°， ∴∠EGC ＝∠F ， ∴△EGC ∽△GFC ， ∴MM MM =MM MM ，∵GC ＝a ，FC ＝2a ， ∴MM MM =12， ∴MM MM=12，∴EC =12a ，BE ＝BC ﹣EC ＝2a −12a =32a ，∴λ=MM MM =12M 32M=13．五．相似三角形的应用（共4小题） 38．【解答】解：长120cm 的木条与三角形木架的最长边相等，要满足两边之和大于第三边，则长120cm 的木条不能作为一边，设从120cm 的木条上截下两段长分别为xcm ，ycm （x +y ≤120）， 由于长60cm 的木条不能与75cm 的一边对应，否则x +y ＞120cm ， 当长60cm 的木条与100cm 的一边对应，则M 75=M 120=60100，解得：x ＝45，y ＝72；当长60cm 的木条与120cm 的一边对应，则M75=M 100=60120，解得：x ＝37.5，y ＝50．∴有两种不同的截法：把120cm 的木条截成45cm 、72cm 两段或把120cm 的木条截成37.5cm 、50cm 两段．故选：B ． 39．【解答】解：泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的图形的相似， 故选：D ． 40．【解答】解：设投影三角尺的对应边长为xcm ， ∵三角尺与投影三角尺相似， ∴8：x ＝2：5， 解得x ＝20． 故选：A ． 41．【解答】解：∵AE ⊥l ，BF ⊥l ， ∵∠ANE ＝45°，∴△ANE 和△BNF 是等腰直角三角形， ∴AE ＝EN ，BF ＝FN ，∴EF ＝15米，FM ＝2米，MN ＝8米， ∴AE ＝EN ＝15+2+8＝25（米），BF ＝FN ＝2+8＝10（米）， ∴AN ＝25√2（米），BN ＝10√2（米）， ∴AB ＝AN ﹣BN ＝15√2（米）；过C 作CH ⊥l 于H ，过B 作PQ ∥l 交AE 于P ，交CH 于Q ， ∴AE ∥CH ，∴四边形PEHQ 和四边形PEFB 是矩形，∴PE ＝BF ＝QH ＝10，PB ＝EF ＝15，BQ ＝FH ， ∵∠1＝∠2，∠AEF ＝∠CHM ＝90°， ∴△AEF ∽△CHM ， ∴MM MM=MM MM=2515=53，∴设MH ＝3x ，CH ＝5x ，∵CQ ＝5x ﹣10，BQ ＝FH ＝3x +2， ∵∠APB ＝∠ABC ＝∠CQB ＝90°，∴∠ABP +∠P AB ＝∠ABP +∠CBQ ＝90°， ∴∠P AB ＝∠CBQ ， ∴△APB ∽△BQC ， ∴MM MM =MM MM，∴153M +2=155M −10，∴x ＝6，∴BQ ＝CQ ＝20， ∴BC ＝20√2（米），方法二：∵∠ANE ＝45°， ∴∠ABP ＝45°， ∴∠CBQ ＝45°， ∴CQ ＝BQ ，∵CQ ＝5x ﹣10，BQ ＝FH ＝3x +2， ∴5x ﹣10＝3x +2， ∴x ＝6，∴BQ ＝CQ ＝20， ∴BC ＝20√2（米），故答案为：15√2，20√2．六．作图-相似变换（共1小题）42．【解答】解：（1）如图：作出∠APD＝∠ABP，即可得到△PCD∽△ABP；（2）证明：如图，∵∠APC＝2∠ABC，∠APD＝∠ABC，∴∠DPC＝∠ABC∴PD∥AB．七．位似变换（共4小题）43．【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，OA：OD＝1：2，∴△ABC与△DEF的位似比是1：2．∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，故选：C．44．【解答】解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，而A（1，2），C（3，1），∴D（2，4），F（6，2），∴DF=√(2−6)2+(4−2)2=2√5．故选：D．45．【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，其位似中心为点O，OC＝6，CC′＝4，∴MMMM′=610=35，∴MMM′M′=35，∵AB＝3，∴A′B′＝5．故答案为：5．46．【解答】解：如图，∵△OAB∽△OA′B′，相似比为3：2，B（3.6），∴B′（2，4），根据对称性可知，△OA″B″在第三象限时，B″（﹣2，﹣4），∴满足条件的点B′的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）．故答案为（2，4）或（﹣2，﹣4）．八．作图-位似变换（共2小题）47．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．48．【解答】解：（1）由题意知：△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1），则△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1的坐标为A1（1，﹣3），B1（4，﹣1），C1（1，﹣1），连接A1C1，A1B1，B1C1得到△A1B1C1．如图所示△A1B1C1为所求；（2）由题意知：位似中心是原点，则分两种情况：第一种，△A2B2C2和△ABC在同一侧则A2（2，6），B2（8，2），C2（2，2），连接各点，得△A2B2C2．第二种，△A2B2C2在△ABC的对侧A2（﹣2，﹣6），B2（﹣8，﹣2），C2（﹣2，﹣2），连接各点，得△A2B2C2．因为在网格中作图，图中网格是有范围的，只能在网格中作图，所以位似放大只能画一个．综上所述：如图所示△A2B2C2为所求．。
初三数学相似练习题及答案
初三数学相似练习题及答案相似性是数学中一个重要的概念，通过对两个图形或者物体进行比较，我们可以得出它们之间的相似性质。
相似性不仅在几何中有应用，在生活中也有很多实际的应用。
本文将介绍一些初三数学中的相似性练习题及其答案，希望能帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。
练习题一：在下面的图形中，黄色区域是正方形ABCD的内部。
已知比值为3：4的两条边分别为EF和GH。
求证：矩形EFGH和正方形ABCD相似。
解答：首先，我们可以观察到矩形EFGH与正方形ABCD具有共同的一个角A。
根据三角形的AA判定相似性质，我们只需要证明另外两个对应边的比值相等即可。
设矩形EFGH的长为x，宽为y。
根据题目中的条件，我们可以列出以下等式：EF = 3AB = x + yBC = CD = AD = x根据正方形的性质，我们知道正方形ABCD的边长相等，所以可以得到以下等式：AB = BC = CD = AD因此，可以得到以下关系：x + y = xy = 0由此可见，矩形EFGH的宽度y等于0，这是不可能的。
故我们得到的结论是错误的。
练习题二：在下面的图形中，已知三角形ABC与三角形DEF相似。
已知AC = 10cm，BC = 6cm。
若DE = 8cm，求EF的长度。
解答：根据题目中的已知条件，我们可以列出以下等式：AC/DE = BC/EF代入已知数值，可以得到：10/8 = 6/EF交叉相乘并移项，我们可以得到：10EF = 8 * 6计算右边的乘积，我们得到：10EF = 48最后，将式子两边同时除以10，我们可以求得：EF = 48/10 = 4.8所以，EF的长度为4.8cm。
练习题三：在下面的图形中，已知三角形ABC与三角形DEF相似。
已知AC = 12cm，BC = 8cm，EF = 18cm。
求DE的长度。
解答：根据题目中的已知条件，我们可以列出以下等式：AC/DE = BC/EF代入已知数值，可以得到：12/DE = 8/18交叉相乘并移项，我们可以得到：8DE = 12 * 18计算右边的乘积，我们得到：8DE = 216最后，将式子两边同时除以8，我们可以求得：DE = 216/8 = 27所以，DE的长度为27cm。
中考数学专题复习卷：图形的相似(含解析)
图形的相像一、选择题1.已知，以下变形错误的选项）是（A. B. C. D.【答案】 B【分析】由得，3a=2b，A. 由得，所以变形正确，故不切合题意；B. 由得3a=2b，所以变形错误，故切合题意；C. 由可得，所以变形正确，故不切合题意；D.3a=2b 变形正确，故不切合题意.故答案为： B.【剖析】依据已知比率式可得出3a=2b，再依据比率的基天性质对各选项逐个判断即可。
2.如图，已知直线a∥ b∥ c，直线m 分别交直线a、b、c 于点A,B,C ，直线n 分别交直线a、b、c 于点D,E,F,若,,则的值应当（）A. 等于B. 大于C. 小于D. 不可以确立【答案】 B【分析】：如图，过点 A 作 AN ∥DF，交 BE 于点 M，交 CF 于点 N∵a∥ b∥ c∴ AD=ME=NF=4 （平行线中的平行线段相等）∵AC=AB+BC=2+4=6∴设 MB=x ，CN=3x∴BE=x+4 ， CF=3x+4∵∵ x＞ 0∴故答案为：B【剖析】过点 A 作AN ∥DF ，交BE于点M，交CF 于点N，依据已知及平行线中的平行线段相等，可得出AD=ME=NF=4，再依据平行线分线段成比率得出BM和CN的关系，设MB=x， CN=3x ，分别表示出BE 、CF ，再求出它们的比，利用求差法比较大小，即可求解。
3.在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为 A （ 6， 8）， B（ 10，2），若以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为本来的后获得线段CD ，则点 A 的对应点 C 的坐标为（）A. （5，1）B. （ 4，3）C. （3， 4）D. （1，5）【答案】C【分析】：∵以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB减小为本来的后获得线段CD，∴端点 C 的横坐标和纵坐标都变成 A 点的横坐标和纵坐标的一半，又∵ A （6， 8），∴端点 C 的坐标为（ 3， 4）．故答案为： C．【剖析】依据位似图形的性质，位似图形上一个点的坐标等于原图形上对应点的横纵坐标分别乘以位似比，或位似比的相反数。
中考数学《图形的相似》专题练习含真题分类汇编解析
中考数学专题练习《图形的相似》(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)A.2 000 cmB.2 000 mC.320 cmD.320 m2.若△ABC ∆的每条边长增加各自的2 0 得到'''A B C ∆，则'B ∠的度数与其对应角B ∠的度数相比( ) A.增加了20 B.减少了20 C.增加了(1 +20 ) D.没有改变3.已知如图1所示的两个四边形相似.则α∠的度数是( )A.60ºB.75ºC.87 ºD.120º4.如图2，已知ABCDEF ∆∆，:1:2AB DE =，则下列等式一定成立的是( )A.12ABC DEF ∆=∆的周长的周长 B. 12ABC DEF ∆=∆的面积的面积C.12A D ∠=∠的度数的度数 D. 12BC DF =5如图3，在钝角ABC ∆中，6AB =cm ，12AC =cm ，动点D 从A 点出发到B 点止，动点E 从点C 出发到A 点止，点D 的运动速度为1 cm/s ，点E 的运动速度为2 cm/s.如果,D E 两点同时出发，那么当以点,,A D E 为顶点的三角形与ABC ∆相似时，运动的时间是( )A.3 sB.4.5 sC.3 s 或4.8 sD.4.5 s 或4.8 s6.如图4，在矩形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点,G E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，连接FD .若90BFA ∠=︒，则下列四对三角形:①BEA ∆与ACD ∆;②FED ∆与DEB ∆;③CFD ∆与ABC ∆;④ADF ∆与CFB ∆.其中相似的有( )A.1对B.2对C.3对D.4对二、填空题(本大题共9小题，每小题3分，共27分)7.已知两个相似多边形的面积之比是1:9，其周长之差为12，则面积较大的多边形的周长为 .8.如图5，路灯距离地面8米，身高为1.6米的小明(AB )站在距离灯的底部(点O )20米的A 处，则小明的影子AM 的长为 米.9.如图6，在ABC ∆中，已知艺40A ∠=︒，75B ∠=︒，则图中所示的各个三角形与ABC ∆不相似的是 .10.如图7，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心是点O ，32OE EA =，则FGBC= .11.在ABC ∆中，6AB =，8AC =，在DEF ∆中，4DE =，3DF =，要使ABC ∆与DEF ∆相似，需添加的一个条件是 (写出一种情况即可).12.如图8，小明为了测量一个凉亭的高度AB (顶端A 到水平地面BD 的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE (0.5DE BC ==米，A ，B ，C 三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G 处，测得15CG =米，然后沿直线CG 后退到点E 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A ，测得3EG =米，小明的身高为1.6米，则凉亭的高度AB 为 米.图813.如图9，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，在BA 的延长线上取一点E ，连接OE 交AD 于点F .若5CD =，8BC =，2AE =，则DF = .14.在平面直角坐标系中，点C ，D 的坐标分别为(2,3)C ，(1,0)D ，现以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点D 的对应点B 在x 轴上且3OB =，则点C 的对应点A 的坐标为 .15.如图10，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，在Rt MPN ∆中，90MPN ∠=︒，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当2PE PF =时，:AP PC = .三、解答题(本大题共9小题，共75分)16. ( 8分)(1)如图111，连接三角形三边的中点把任意三角形分成四个小三角形，它们的形状、大小完全相同，并且与原三角形相似.请把图11中的②，③，④同样分成四块，使它们形状、大小相同，且都和原图形相似.(注:图11②为正方形，图11③为矩形，图11④为菱形)(2)如图12，ABC ∆与'''A B C ∆是位似图形，请在图中画出位似中心口.若它们的位似比是1:2，且''4A B =cm ，则'''A B C ∆与ABC ∆的位似比是多少?AB 的长度是多少?17.(8分)如图13，已知////a b c ，直线m ，n 与a ，b ，c 分别相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .(1)若3AB =，5BC =，4DE =，求EF 的长. (2)若:2:5AB BC =，10DF =，求EF 的长.18.(8分)如图14，在正方形网格中，TAB ∆的顶点坐标分别为(1,1)T ，(2,3)A ，(4,2)B .(1)以点(1,1)T 为位似中心，按3:1的比例在位似中心的同侧将TAB ∆放大为''TA B ∆，放大后点A ，B 的对应点分别为'A ，'B ，画出''TA B ∆，并写出点'A ，'B 的坐标.(2)在(1)中，若'(,)C a b 为线段''A B 上任一点，请写出点'C 变化前的对应点C 的坐标.19.(8分)如图15，已知弦AB 和CD 相交于⊙O 内一点P (P 与O 不重合)，连接AC ，BD ，过A 作AE CP ⊥于E ，过D 作DF PB ⊥于F .(1)请找出图中两对相似三角形: ， .(2)请你从图中选择一对相似三角形来探索PA PB 与PC PD 之间的关系.20. ( 8分)如图16，在ABC ∆中，AC BC >，D 是AC 边上一点，连接BD .(1)要使CBD CAB ∆∆，还需要补充一个条件，请分别从角和边两个方面各写出一个可以添加的条件.(2)若CBDCAB ∆∆，且2AD =，BC =，求CD 的长.21. (8分)如图17，有一块三角形铁片ABC ，12BC =cm ，高8AD =cm ，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的长边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，且要求矩形的长QN 是宽QP 的2倍.(1)求加工成的矩形铁片的长与宽.(2)求ANQ ∆的面积.22. ( 8分)如图18，在矩形ABCD 中，2AB =，5AD =，直角尺的直角顶点P 在AD 上滑动时(点P 与A ，D 不重合)，一条直角边经过点C ，另一条直角边与AB 交于点E . (1)当30CPD ∠=︒时，求AP 和AE 的长.(2)是否存在这样的点P ，使DPC ∆的面积等于AEP ∆面积的4倍?若存在，求出DP 的长，并说明点E 的位置;若不存在.请说明理由.23.(9分)如图19，在四边形ABCD 中，AC 平分DAB ∠，90ADC ACB ∠=∠=︒，E 为AB 的中点.(1)求证:2AC AB AD =.(2)求证://CE AD . (3)若4AD =，6AB =，求ACAF的值.24.(10分)已知在以O 为原点的平面直角坐标系中，抛物线的顶点为(1,4)A --，且经过点(2,3)B --，与x 轴分别交于C ，D 两点.(1)求直线OB 和该抛物线相应的函数表达式.(2)如图20，点M 是抛物线上的一个动点，且在直线OB 的下方，过点M 作x 轴的平行线与直线OB 交于点N ，求MN 的最大值.(3)如图21，过点A 的直线交x 轴于点E ，且//AE y 轴，点P 是抛物线上A ，D 之间的一个动点，直线PC ，PD 与AE 分别交于F ，G ，当点P 运动时EF EG +是否为定值?若是，试求出该定值;若不是，请说明理由。
中考数学模拟试题平面几何的相似与全等
中考数学模拟试题平面几何的相似与全等中考数学模拟试题：平面几何的相似与全等在数学中，平面几何是一个重要的分支，它研究的是平面上的点、直线和图形之间的关系。
在中考数学模拟试题中，相似和全等是其中两个重要的概念。
本文将从理论和实例两个方面来探讨平面几何中的相似和全等。
一、相似相似是指两个图形形状相同，但尺寸不同。
在平面几何中，我们可以根据相似的性质推导出一些重要的结论。
1. 比例关系相似三角形的边长之比相等。
假设两个相似三角形的对应边的长度分别为a、b和c、d，则有a/b = c/d。
2. 直角三角形的性质两个直角三角形的对应角度相等，并且两个直角三角形的相似直角边之比相等。
举例来说，设有两个相似直角三角形，其中一个的直角边为3，斜边为5，而另一个的直角边为6，则斜边的长度可以通过比例关系来计算，即3/5 = 6/x，解得x为10。
这就是相似三角形的一个常见应用。
3. 周长和面积的关系相似图形的周长之比等于相似图形的边长之比，面积之比等于边长之比的平方。
例如，两个相似图形的边长比为3：4，则它们的周长比为3：4，面积比为9：16。
二、全等全等是指两个图形形状和大小都完全相同。
在平面几何中，全等是指两个图形对应的边和角都完全相等。
我们可以根据全等的性质进行一些证明和计算。
1. 全等三角形的性质两个全等三角形的对应边的长度相等，对应角度相等。
全等三角形之间可以进行一一对应。
2. 全等图形的性质两个全等图形之间的点可以一一对应。
对于两个全等图形，它们之间的距离保持不变。
例如，如果有两个全等的矩形，其中一个的长为6，宽为4，而另一个的长为8，则它们共有的边长和面积保持不变，长为6，宽为4。
三、综合应用在实际问题中，相似和全等的概念经常被用于解决各种几何问题。
1. 平行线截割等分线段如果在两个平行线之间有一条截割线，它与平行线所截割的线段互为相似线段。
2. 倾斜角的测量可以利用相似三角形的性质来测量倾斜角。
通过选取两个已知长度的线段，分别在倾斜角的两侧，形成两个相似三角形，可以计算出倾斜角的大小。
初三相似图形练习题
初三相似图形练习题相似图形是初中数学中的重要概念，它在几何形状的比较与应用中起到了至关重要的作用。
通过相似图形的训练，学生可以进一步掌握比例的概念，并能够应用到实际问题中。
下面我们来做一些初三相似图形的练习题。
1. 若两个三角形的对应边成比例，且夹角相等，可以得出什么结论？解析：根据相似三角形的定义，如果两个三角形的对应边成比例，且夹角相等，那么这两个三角形一定是相似的。
2. 已知两个三角形的两个角相等，可以得出什么结论？解析：如果两个三角形的两个角相等，但其他角未知，我们无法判断这两个三角形是否相似。
相等的两个角只是相似的充分条件，但不是必要条件。
3. 图中的两个直角三角形ABC和DEF，已知∠B=∠E，且∠A=∠D，可以得出什么结论？解析：根据题目中的条件，∠B=∠E且∠A=∠D。
如果我们能够证明∠C=∠F，那么就可以得出这两个直角三角形相似。
根据直角三角形的性质，∠C=90°-∠A，∠F=90°-∠D，由于∠A=∠D，所以∠C=∠F，因此两个三角形相似。
4. 在以下题目中，哪些是相似的？请简要说明理由。
a) 两个等边三角形b) 一个正方形和一个长方形c) 一个长方形和一个平行四边形d) 一个矩形和一个平行四边形解析：相似的几何形状满足比例关系，即对应边的长度成比例。
根据题目给出的图形，我们来判断哪些是相似的。
a) 两个等边三角形是相似的，因为等边三角形的三条边长度都相等，满足比例关系。
b) 一个正方形和一个长方形不是相似的，因为它们的边长比例不一致。
c) 一个长方形和一个平行四边形可能是相似的，也可能不是相似的。
这取决于具体的长度比例关系，如果长方形的边长和平行四边形的对应边成比例，那么它们是相似的。
d) 一个矩形和一个平行四边形可能是相似的，也可能不是相似的。
与题目c)相同的理由，取决于具体的长度比例关系。
5. 在图中，ABCD和EFGH都是平行四边形。
若AB=8cm，AD=10cm，EF=12cm，计算GH的长度。
初中数学图形的相似专项训练及解析答案
初中数学图形的相似专项训练及解析答案一、选择题1．要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知甲三角形框架三边的长分别为50 cm 、60 cm 、80 cm ，乙三角形框架的一边长为20 cm ，则符合条件的乙三角形框架共有（ ）.A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种 【答案】C【解析】试题分析：根据相似图形的定义，可由三角形相似，那么它们边长的比相同，均为5：6：8，乙那个20cm 的边可以当最短边，最长边和中间大小的边．故选：C ．点睛：本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．2．如图，在ABC V 中，点D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，且//DE BC ，CD 、BE 相较于点O ，连接AO 并延长交DE 于点G ，交BC 边于点F ，则下列结论中一定正确的是( )A ．AD AE AB EC= B ．AG AE GF BD = C ．OD AE OC AC = D ．AG AC AF EC = 【答案】C【解析】【分析】 由//DE BC 可得到DEO V ∽CBO V ，依据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质进行判断即可．【详解】解：A.∵//DE BC ， ∴AD AE AB AC= ,故不正确； B. ∵//DE BC ， ∴AG AE GF EC = ,故不正确； C. ∵//DE BC ，∴ADE V ∽ABC V ，DEO V ∽CBO V ,DE AE BC AC ∴=，DE OD BC OC= ．OD AEOC AC∴=，故正确；D. ∵//DE BC，∴AG AEAF AC= ,故不正确；故选C．【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．3．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（）A．（8，6）B．（9，6）C．19,62⎛⎫⎪⎝⎭D．（10，6）【答案】B【解析】【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF的长，进而得出△OBC∽△OEF，进而得出EO 的长，即可得出答案．【详解】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，∴13 BC OBEF EO==，∵BC＝2，∴EF＝BE＝6，∵BC∥EF，∴△OBC∽△OEF，∴136BOBO=+，解得：OB＝3，∴EO＝9，∴F点坐标为：（9，6），故选：B ．【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出OB 的长是解题关键．4．如图，点E 是ABCD Y 的边AD 上一点，2DE AE =，连接BE ，交AC 边于点F ，下列结论中错误的是（ ）A ．3BC AE =B ．4AC AF = C ．3BF EF =D ．2BC DE =【答案】D【解析】【分析】 由平行四边形的性质和相似三角形的性质分别判断即可．【详解】解：∵在ABCD Y 中，//AD BC ，AD BC =，∴AEF CBF V :V , ∴AE AF EF CB CF BF==, ∵2DE AE = ∴332BC DE AE ==，选项A 正确，选项D 错误， ∴133AF AE AE CF CB AE ===，即：3CF AF =， ∴4AC AF =，∴选项B 正确， ∴133EF AE AE BF CB AE ===，即：3BF EF =， ∴选项C 正确，故选：D ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，能熟练利用相似三角形对应边成比例是解题关键．5．如图，在△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（﹣1，0）．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A 'B 'C ，使得△A 'B 'C 的边长是△ABC 的边长的2倍．设点B 的横坐标是﹣3，则点B '的横坐标是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，根据位似图形的性质得到B′C＝2BC，再利用相似三角形的判定和性质计算即可．【详解】解：作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，则BD∥B′E，由题意得CD＝2，B′C＝2BC，∵BD∥B′E，∴△BDC∽△B′EC，∴1'2 CD BCCE B C==，∴CE＝4，则OE＝CE−OC＝3，∴点B'的横坐标是3，故选：B．【点睛】本题考查的是位似变换、相似三角形的判定和性质，掌握位似变换的概念是解题的关键．6．如图，O是平行四边形ABCD的对角线交点，E为AB中点，DE交AC于点F，若平行四边形ABCD的面积为8，则DOE的面积是()A ．2B ．32C ．1D ．94【答案】C【解析】【分析】 由平行四边形的面积，找到三角形底边和高与平行四边形底边和高的关系，利用面积公式以及线段间的关系求解．分别作△OED 和△AOD 的高，利用平行线的性质，得出高的关系，进而求解． 【详解】解：如图，过A 、E 两点分别作AN ⊥BD 、EM ⊥BD ，垂足分别为M 、N ，则EM ∥AN ，∴EM ：AN ＝BE ：AB ，∵E 为AB 中点，∴BE=12AB ， ∴EM ＝12AN ， ∵平行四边形ABCD 的面积为8，∴2×12×AN×BD ＝8， ∴AN×BD ＝8 ∴S △OED ＝12×OD×EM ＝12×12BD×12AN ＝18AN×BD ＝1． 故选：C ．【点睛】 本题考查平行四边形的性质，综合了平行线分线段成比例以及面积公式．已知一个三角形的面积求另一个三角形的面积有以下几种做法：①面积比是边长比的平方比；②分别找到底和高的比．7．如图，边长为4的等边ABC V 中，D 、E 分别为AB ，AC 的中点，则ADE V 的面积是()A 3B 3C 33D ．23【答案】A【解析】【分析】 由已知可得DE 是△ABC 的中位线，由此可得△ADE 和△ABC 相似，且相似比为1：2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△ABC 的面积．【详解】Q 等边ABC V 的边长为4，2ABC 3S 443∴==V Q 点D ，E 分别是ABC V 的边AB ，AC 的中点，DE ∴是ABC V的中位线， DE //BC ∴，1DE BC 2=，1AD AB 2=，1AE AC 2=， 即AD AE DE 1AB AC BC 2===， ADE ∴V ∽ABC V ，相似比为12， 故ADE S V ：ABC S 1=V ：4， 即ADE ABC 11S S 43344==⨯=V V 故选A ．【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握等边三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质及中位线定理．8．矩形ABCO 如图摆放，点B 在y 轴上，点C 在反比例函数y k x=(x ＞0)上，OA ＝2，AB ＝4，则k 的值为（ ）A．4 B．6 C．325D．425【答案】C【解析】【分析】根据矩形的性质得到∠A=∠AOC=90°，OC=AB，根据勾股定理得到OB22OA AB=+=5C作CD⊥x轴于D，根据相似三角形的性质得到CD85=，OD45=求得8545，)于是得到结论．【详解】解：∵四边形ABCO是矩形，∴∠A＝∠AOC＝90°，OC＝AB，∵OA＝2，AB＝4，∴过C作CD⊥x轴于D，∴∠CDO＝∠A＝90°，∠COD+∠COB＝∠COB+∠AOB＝90°，∴∠COD＝∠AOB，∴△AOB∽△DOC，∴OB AB OA OC CD OD==，∴25424CD OD==，∴CD855=，OD55=，∴C(455，855)，∴k325 =，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2，D 是AB 边上一个动点（不与点A 、B 重合），E 是BC 边上一点，且∠CDE ＝30°．设AD ＝x ，BE ＝y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 根据题意可得出4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=然后判断△CDE ∽△CBD ，继而利用相似三角形的性质可得出y 与x 的关系式，结合选项即可得出答案．【详解】解：∵∠A ＝60°，AC ＝2， ∴4,3,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=在△ACD 中，利用余弦定理可得CD 2＝AC 2+AD 2﹣2AC •AD cos ∠A ＝4+x 2﹣2x ， 故可得242CD x x =-+,又∵∠CDE ＝∠CBD ＝30°，∠ECD ＝∠DCB （同一个角），∴△CDE ∽△CBD ，即可得,CE CD CD CB= 即222342,2342yx x x x --+=-+ 故可得： 23343.y x x =-++ 即呈二次函数关系，且开口朝下． 故选C ．【点睛】考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.10．如图，已知ABC ∆和ABD ∆都O e 是的内接三角形，AC 和BD 相交于点E ，则与ADE ∆的相似的三角形是（ ）A ．BCE ∆B ．ABC ∆ C ．ABD ∆ D ．ABE ∆【答案】A【解析】【分析】 根据同弧和等弧所对的圆周角相等， 则AB 弧所对的圆周角BCE BDA ∠=∠，CEB ∠和DEA ∠是对顶角，所以ADE BCE ∆∆∽．【详解】解：BCE BDA ∠=∠Q ，CEB DEA ∠=∠ADE BCE ∴∆∆∽，故选：A ．【点睛】考查相似三角形的判定定理： 两角对应相等的两个三角形相似，关键就是牢记同弧所对的圆周角相等．11．把Rt ABC ∆三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的余弦值（ ）A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的13C．扩大为原来的9倍D．不变【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的性质解答．【详解】三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的余弦值不变，故选：D．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．12．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点E，交AD边于点F，则FEEC＝（）A．12B．13C．14D．38【答案】C【解析】【分析】连接OE、OF、OC，利用切线长定理和切线的性质求出∠OCF＝∠FOE，证明△EOF∽△ECO，利用相似三角形的性质即可解答．【详解】解：连接OE、OF、OC．∵AD、CF、CB都与⊙O相切，∴CE＝CB；OE⊥CF； FO平分∠AFC，CO平分∠BCF．∵AF∥BC，∴∠AFC+∠BCF＝180°，∴∠OFC+∠OCF＝90°，∵∠OFC+∠FOE＝90°，∴∠OCF＝∠FOE，∴△EOF ∽△ECO ， ∴=OE EF EC OE ，即OE 2＝EF•EC ． 设正方形边长为a ，则OE ＝12a ，CE ＝a ． ∴EF ＝14a ． ∴EF EC ＝14． 故选：C ．【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理、相似三角形的判定与性质，其中通过作辅助线构造相似三角形是解答本题的关键．.13．如图，菱形ABCD 中，点P 是CD 的中点，∠BCD=60°，射线AP 交BC 的延长线于点E ，射线BP 交DE 于点K ，点O 是线段BK 的中点，作BM ⊥AE 于点M ，作KN ⊥AE 于点N ，连结MO 、NO ，以下四个结论：①△OMN 是等腰三角形；②tan ∠OMN=33；③BP=4PK ；④PM•PA=3PD 2，其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】B【解析】【分析】 根据菱形的性质得到AD ∥BC ，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理△ADP ≌△ECP ，由相似三角形的性质得到AD=CE ，作PI ∥CE 交DE 于I ，根据点P 是CD 的中点证明CE=2PI ，BE=4PI ，根据相似三角形的性质得到1=4KP PI KB BE ，得到BP=3PK ，故③错误；作OG ⊥AE 于G ，根据平行线等分线段定理得到MG=NG ，又OG ⊥MN ，证明△MON 是等腰三角形，故①正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠OMN=3，故②正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PM•PA=3PD 2，故④正确．【详解】 解：作PI ∥CE 交DE 于I ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ∥BC ，∴∠DAP=∠CEP ，∠ADP=∠ECP ，在△ADP 和△ECP 中，DAP CEP ADP ECP DP CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADP ≌△ECP ，∴AD=CE ， 则PI PD CE DC =，又点P 是CD 的中点， ∴1=2PI CE ， ∵AD=CE ， ∴1=4KP PI KB BE =， ∴BP=3PK ，故③错误；作OG ⊥AE 于G ， ∵BM 丄AE 于M ，KN 丄AE 于N ，∴BM ∥OG ∥KN ，∵点O 是线段BK 的中点，∴MG=NG ，又OG ⊥MN ，∴OM=ON ，即△MON 是等腰三角形，故①正确；由题意得，△BPC ，△AMB ，△ABP 为直角三角形，设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，则根据三角形面积公式，BM=7， ∵点O 是线段BK 的中点，∴PB=3PO ，∴OG=13BM=22121，MG=23MP=27，tan∠OMN=3=OGMG，故②正确；∵∠ABP=90°，BM⊥AP，∴PB2=PM•PA，∵∠BCD=60°，∴∠ABC=120°，∴∠PBC=30°，∴∠BPC=90°，∴PB=3PC，∵PD=PC，∴PB2=3PD，∴PM•PA=3PD2，故④正确．故选B．【点睛】本题考查相似形综合题．14．如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D【解析】【分析】利用对应点的连线都经过同一点进行判断．【详解】如图，位似中心为点D．故选D．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．15．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)【答案】A【解析】【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是13，根据已知数据可以求出点C的坐标．【详解】由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是13，∴OD DC OB AB，又OB=6，AB=3，∴OD=2，CD=1，∴点C的坐标为：（2，1），故选A．【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．16．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 、AF 分别交BD 于点G 、H ，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD 的面积之比为（ ）A ．7 : 12B ．7 : 24C ．13 : 36D ．13 : 72【答案】B【解析】【分析】 根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，∵DF=CF ，BE=CE ， ∴12DH DF HB AB ==，12BG BE DG AD ==， ∴13DH BG BD BD ==， ∴BG=GH=DH ，∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ，∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ，∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6，∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点, ∴12EF BD =, ∴14EFC BCDD S S =V V , ∴18EFCABCD S S =V 四边形, ∴1176824AGH EFC ABCD S S S +=+=V V 四边形=7∶24, 故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．17．如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,AB AC 的中点，ADE ∆和四边形BCED 的面积分别记为12,S S，那么12S S 的值为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．23【答案】C【解析】【分析】根据已知可得到△ADE ∽△ABC ，从而可求得其面积比，则不难求得12S S 的值． 【详解】∵,D E 分别是边,AB AC 的中点，∴DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE ：BC=1：2，所以它们的面积比是1：4，所以1211=413S S =-， 故选C ．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和相似三角形的性质：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．18．如图，点D 是ABC V 的边BC 上一点，,2BAD C AC AD ∠=∠= ，如果ACD V 的面积为15，那么ABC V 的面积为（ ）A ．20B ．22.5C ．25D ．30【答案】A【解析】【分析】先证明C ABD BA ∽△△，再根据相似比求出ABC V 的面积即可．【详解】∵,BAD C B B ∠=∠=∠∠∴C ABD BA ∽△△∵2AC AD =∴4S ABD S CBA =V V ∴43S ACD S CBA =V V ∵ACD V 的面积为15 ∴44152033S CBA S ACD ==⨯=VV 故答案为：A ．【点睛】 本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．19．平面直角坐标系xOy 中，点P （a ，b ）经过某种变换后得到的对应点为P ′（12a +1，12b ﹣1）．已知A ，B ，C 是不共线的三个点，它们经过这种变换后，得到的对应点分别为A ′，B ′，C ′．若△ABC 的面积为S 1，△A ′B ′C ′的面积为S 2，则用等式表示S 1与S 2的关系为（ ）A ．S 112=S 2B ．S 114=S 2C ．S 1＝2S 2D ．S 1＝4S 2【答案】D【解析】【分析】先根据点P 及其对应点判断出变换的类型，再依据其性质可得答案．【详解】由点P （a ，b ）经过变换后得到的对应点为P ′（12a +1，12b ﹣1）知， 此变换是以点（2，﹣2）为中心、2：1的位似变换，则△ABC 的面积与△A ′B ′C ′的面积比为4：1，∴S 1＝4S 2，故选：D ．【点睛】 本题主要考查几何变换类型，解题的关键是根据对应点的坐标判断出其几何变换类型．20．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点M 在CD 的边上，且1DM =，AEM ∆与ADM ∆关于AM 所在直线对称，将ADM ∆按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ABF ∆，连接EF ，则cos EFC ∠的值是 （ ）A 171365B 61365C 71525D ．617【答案】A【解析】【分析】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，首先证明AEH EMG V :V ，则有13EH AE MG EM == ，设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+， 在Rt AEH V 中利用勾股定理求出x 的值，进而可求,,,EH BN CG EN 的长度，进而可求FN ，再利用勾股定理求出EF 的长度，最后利用cos FN EFC EF∠=即可求解． 【详解】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，则90AHG MGE ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴3,90AD AB ABC C D ==∠=∠=∠=︒ ，∴四边形AHGD,BHEN,ENCG 都是矩形．由折叠可得，90,3,1AEM D AE AD DM EM ∠=∠=︒====，90AEH MEG EMG MEG ∴∠+∠=∠+∠=︒ ，AEH EMG ∴∠=∠，AEH EMG ∴V :V ，13EH AE MG EM ∴== ． 设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+在Rt AEH V 中，222AH EH AE +=Q ，222(1)(3)3x x ∴++= ， 解得45x =或1x =-（舍去）， 125EH BN ∴==，65CG CD DG EN =-== ． 1BF DM ==Q 175FN BF BN ∴=+=． 在Rt EFN △ 中， 由勾股定理得，2213EF EN FN =+=，17cos 1365FN EFC EF ∴∠==． 故选：A ．【点睛】本题主要考查正方形，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，能够作出辅助线是解题的关键．。
中考数学专题复习题图形的相似(含解析)(2021年整理)
2017-2018年中考数学专题复习题图形的相似（含解析）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018年中考数学专题复习题图形的相似（含解析））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2017—2018年中考数学专题复习题：图形的相似一、选择题1.长度为下列各组数据的线段单位：cm中,成比例的是A。
1，2，3,4 B. 6,5，10，15 C. 3,2,6,4 D. 15,3，4，102.已知，则下列比例式成立的是A。
B. C。
D.3.按如下方法，将的三边缩小的原来的,如图,任取一点O，连AO、BO、CO ，并取它们的中点D、E、F,得,则下列说法正确的个数是与是位似图形与是相似图形与的周长比为1：2 与的面积比为4:1．A. 1 B。
2 C。
3 D. 44.已知在中,、都是锐角，，则的度数是A。
B. C。
D.5.如图，在中，，AD：:3，若的面积等于3，则的面积等于A。
9B. 15C。
18D。
276.如图,在钝角三角形ABC中，，，动点D从A点出发到B点止,动点E从C点出发到A点止点D运动的速度为秒，点E运动的速度为秒如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是A. 4或B。
3或C。
2或4 D。
1或67.如图，在网格中,小正方形边长为1，将ABC的三边分别扩大一倍得到顶点均在格点上，若它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是A.B.C。
D。
8.如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高,下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上如图，他先测得留在墙壁上的影高为，又测得地面的影长为，请你帮她算一下，树高是A. B. C. D.9.如图，在中，,于D，,,设，那么的值是A.B。
中考数学模拟试题形的相似与全等
中考数学模拟试题形的相似与全等相似和全等，作为几何学中的重要概念，是我们学习数学的基础。
在中考数学模拟试题中，经常会涉及到对形的相似和全等进行判断和运用。
本文将探讨相似和全等的概念以及在中考数学模拟试题中的应用。
一、相似的概念与性质相似是指形状相同但大小不同的两个图形之间的关系。
两个相似的图形可以通过放缩、旋转、翻转或者剪切得到。
相似图形的边对应成比例，并且对应角相等。
在中考数学模拟试题中，判断形状是否相似可以通过观察其边的比例以及对应角是否相等来进行。
如果给出了图形的边长比或角度关系，我们可以通过计算来判断形状是否相似。
二、相似的判定方法1. 依据边比例判断对于两个图形，如果其所有对应边的长度比值相等，则可以判定这两个图形相似。
例如，在一个试题中，给定了两个三角形ABC和DEF，如果边比为AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以推断三角形ABC与三角形DEF相似。
2. 依据角度关系判断通过观察角度是否相等来判断形状是否相似。
3. 依据边与角的关系判断有时候，通过边比和角度关系无法直接判断图形相似。
这时候，我们可以考虑通过观察边和角的关系来进行判定。
例如，如果两个三角形的一个角相等，而另外两个角的关系为对应角或它们的夹角之和为180度，那么这两个三角形是相似的。
三、全等的概念与性质全等是指形状和大小完全相同的两个图形之间的关系。
全等图形可以通过平移、旋转、翻转和镜像得到。
在中考数学模拟试题中，判断形状是否全等需要通过观察其边长和角度的关系来进行。
四、全等的判定方法1. 依据边长判断对于两个图形，如果所有对应边的长度都相等，则可以判定这两个图形全等。
例如，在一个试题中，给定了两个三角形ABC和DEF，如果边长AB=DE，BC=EF，AC=DF，则可以推断三角形ABC与三角形DEF全等。
2. 依据角度判断通过观察角度是否相等来判断形状是否全等。
3. SSS、SAS、ASA、RHS等判定法则在一些特殊情况下，可以通过一些判定法则来确定两个图形是否全等。
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专题十三图形的相似（与全等）
（时间：90分钟满分：100分）
一、选择题（每小题3分，共33分）
1．如图，在△ABC中．D、E分别是AB、AC的中点，若DE＝5，则BC等于 ( )
A．6 B．8 C．10 D．12
2．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM ＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合．过角尺顶点C作射线OC．由做法得△MOC≌△NOC的依据是 ( )
A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS
3．在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF＝ ( )
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5
4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若AD＝1，BC＝3，则的值为 ( )
A．1
2
B．
1
3
C．
1
4
D．
1
9
5．在△ABC中，AB>AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE、DF、EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等 ( )
A．EF∥AB B．BF＝CF C．∠A＝∠DFE D．∠B＝∠DEF
6．如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是( )
A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA
7．如图，△ABC中，BC＝2，DE是它的中位线，下面三个结论：①DE＝1；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：4．其中正确的有 ( )
A．0个 B．1个 C．2个D．3个
8．如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是( )
A．BD＝DC，AB＝AC B．∠ADB＝∠ADC，BD＝DC
C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C，BD＝DC
9．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有 ( )
A．1对B．2对 C．3对 D．4对
10．如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，它们相交于点G，延长BE交CD的延长线于点H．则图中相似三角形共有( )
A．2对 B．3对C．4对D．5对
11．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF 交边BC于点G，连接AG、CF下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③A G∥CF；④S△PQC＝3．其中正
确结论的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题4分，共16分）
12．如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，△AOD与△BOC的面积之比为1：9，若AD＝1，则BC的长是_______．
13．如图，△ABC中，DE∥BC，DE分别交边AB、AC于D、E两点．若AD：AB＝1：3．则△ADE与△ABC的面积比为______．
14．如图，DE是△ABC的中位线，M、N分别是BD、CE的中点，MN＝6，则BC＝_______．
15．如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB＝30°；有以下四个结论：①AF ⊥BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG：DE＝3：4．其中正确结论的序号是______．
三、解答题（共51分）
16．（7分）（2011年广州）如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE＝AF．求证：△ACE≌△ACF．
17．（8分）（2011年台州）如图，在□ABCD中，分别延长BA、DC到点E、H，使得AE＝AB，CH＝CD．连接EH，分别交AD、BC于点F、G．求证：△AEF≌△CHG．
18．（12分）（2011年河南省）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，延长CB到点E，使BE＝AD，连接DE交AB于点M．
(1)求证：△AMD≌△BME；
(2)若N是CD的中点，且MN＝5，BE＝2，求BC的长．
19．（12分）（2011年宜昌）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F．
(1)证明：∠DFA＝∠FAB；
(2)证明：△ABE≌△FCE．
20．（12分）（2011年义乌）如图，已知E、F是□ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)请写出图中除△ABE≌△CDF外其余两对全等三角形（不再添加辅助线）．
参考答案
1.C
2.D
3.A
4.B
5.C
6.B
7.D
8.D
9.B 10.C 11.C 12.3 13.1：9 14.8 15.①②③④ 16.略 17.略 18.(1)略 (2)8
19.略 20.(1)略 (2)①△ABC≌△CDA ②△BCE≌DAF。