高考数学一轮复习第7章立体几何初步第3节平行关系课件文北师大版

因为 GH 平面 GHI，
所以 GH∥平面 ABC．
平行关系中的存在性问题 【例 4】 如图，已知四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 为 菱形．
(1)证明：平面 AB1C∥平面 DA1C1； (2)在直线 CC1 上是否存在点 P，使 BP∥平面 DA1C1？若存在， 确定点 P 的位置；若不存在，请说明理由．
解析答案
[解] (1)证明：由棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的性质知，AB1∥DC1(图 略)，
∵AB1 平面 DA1C1，DC1 平面 DA1C1，∴AB1∥平面 DA1C1， 同理可证 B1C∥平面 DA1C1， 又 AB1∩B1C＝B1， ∴平面 AB1C∥平面 DA1C1.
(2)存在这样的点 P，使 BP∥平面 DA1C1.∵A1B1 AB DC，∴ 四边形 A1B1CD 为平行四边形．
所以 FG∥平面 AA1B1B．
[规律方法] 判定线面平行的 4 种方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b⇒a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a α⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a α，a β，a∥α⇒a∥β)． 注意：构造平行的常见形式：三角形的中位线、平行四边形、 利用比例关系证明两直线平行等．
∴A1D∥B1C．
在 C1C 的延长线上取点 P，使 C1C＝CP，连接 BP(图略)， ∵B1B C1C，∴B1B CP， ∴四边形 BB1CP 为平行四边形， 则 BP∥B1C，∴BP∥A1D， ∴BP∥平面 DA1C1.
[规律方法] 解决存在性问题的一般方法 解决存在性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发， 寻找使这个结论成立的充分条件，若找到了使结论成立的充分条件， 则存在；若找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在．而 对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某 个三等分点，然后给出符合要求的证明．
因为 O，M 分别是 AC，EF 的中点，四边形 ACEF 是矩形， 所以四边形 AOEM 是平行四边形，所以 AM∥OE. 又因为 OE 平面 BDE，AM 平面 BDE， 所以 AM∥平面 BDE.
(2)l∥m，证明如下：
由(1)知 AM∥平面 BDE，连接 DM，MB．
又 AM 平面 ADM，平面 ADM∩平面 BDE＝l， 所以 l∥AM，同理，AM∥平面 BDE， 又 AM 平面 ABM，平面 ABM∩平面 BDE＝m， 所以 m∥AM，所以 l∥m.
(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相 平行．
(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的 两条直线，那么这两个平面平行．
(7)垂直于同一条直线的两个平面平行． (8)垂直于同一平面的两条直线平行．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的
D [根据线面平行的判定与性质定理知，选 D．]
解析答案
3．设 α，β 是两个不同的平面，m 是直线且 m α，“m∥β ”
是“α∥β ”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
B [当 m∥β 时，过 m 的平面 α 与 β 可能平行也可能相交，因 而 m∥β⇒/ α∥β；当 α∥β 时，α 内任一直线与 β 平行，因为 m α， 所以 m∥β.综上知，“m∥β ”是“α∥β ”的必要而不充分条件．]
(2)求证：GH∥平面 PAD．
答案
[证明] (1)连接 EC，
因为 AD∥BC，BC＝12AD， 所以 BC AE， 所以四边形 ABCE 是平行四边形，所以 O 为 AC 的中点．
又因为 F 是 PC 的中点， 所以 FO∥AP， 因为 FO 平面 BEF，AP 平面 BEF， 所以 AP∥平面 BEF.
打“×”)
(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平
面平行．
()
(2)若直线 a∥平面 α，P∈α，则过点 P 且平行于直线 a 的直线
有无数条．
()
(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平
面平行．

()
(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
平面与平面平行的判定与性质
【例 3】 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G，H 分别 是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求证：
(1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.
解析答案
[证明] (1)因为 GH 是△A1B1C1 的中位线，所以 GH∥B1C1. 又因为 B1C1∥BC，所以 GH∥BC， 所以 B，C，H，G 四点共面．
()
答案
2．(教材改编)下列命题中，正确的是( ) A．若 a，b 是两条直线，且 a∥b，那么 a 平行于经过 b 的任何 平面 B．若直线 a 和平面 α 满足 a∥α，那么 a 与 α 内的任何直线平 行 C．若直线 a，b 和平面 α 满足 a∥α，b∥α，那么 a∥b D．若直线 a，b 和平面 α 满足 a∥b，a∥α，b α，则 b∥α
理 交线 平行
符号语言
∵a α，b α， a∩b＝P a∥β，b∥β ∴α∥β
∵ α∥β ， α∩γ＝α ， β∩γ＝b ，
∴a∥b
答案
[常用结论] 线、面平行的性质 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一 个平面． (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
符号语言
∵l α， b α，l∥b ∴ l∥α
∵ l∥α ， l β，
α∩β＝b ， ∴l∥b
答案
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
如果一个平面内有两条 相交
判 定
直线 都平行于另一个平
定 理
面，那么这两个平面平行(简 记为“线面平行⇒面面平
行”)
性
质 定
如果两个平行平面同时和第 三个平面 相交 ，那么它们的
5．设 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同的平面， 给出下列四个命题：
①若 m α，n∥α，则 m∥n； ②若 α∥β，β∥γ，m⊥α，则 m⊥γ； ③若 α∩β＝n，m∥n，m∥α，则 m∥β； ④若 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β. 其中是真命题的是________．(填上序号) ② [对于①，m∥n 或 m，n 异面，故①错误；易知②正确；对 于③，m∥β 或 m β，故③错误；对于④，α∥β 或 α 与 β 相交，故 ④错误．]
解析答案
[证明] 在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，BB1∥CC1，BB1 平面 BB1D，CC1 平面 BB1D，
所以 CC1∥平面 BB1D．
又 CC1 平面 CEC1，平面 CEC1∩平面 BB1D＝FG，所以 CC1∥FG.
因为 BB1∥CC1，所以 BB1∥FG. 而 BB1 平面 AA1B1B，FG 平面 AA1B1B，
[拓展探究] 在本例条件下，若 D1，D 分别为 B1C1，BC 的中点，
求证：平面 A1BD1∥平面 AC1D．
解析答案
[证明] 如图所示，连接 A1C 交 AC1 于点 M， 因为四边形 A1ACC1 是平行四边形， 所以 M 是 A1C 的中点，连接 MD， 因为 D 为 BC 的中点， 所以 A1B∥DM. 因为 A1B 平面 A1BD1， DM 平面 A1BD1， 所以 DM∥平面 A1BD1.
解析答案
4．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是 DD1 的中点，则 BD1 与 平面 ACE 的位置关系是________．
解析答案
平行 [如图所示，连接 BD 交 AC 于 F，连接 EF，则 EF 是△BDD1 的中位线，
∴EF∥BD1， 又 EF 平面 ACE， BD1 平面 ACE， ∴BD1∥平面 ACE.]
解析答案
课堂 题型全突破
直线与平面平行的判定与性质
►考法 1 直线与平面平行的判定 【例 1】 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC＝12 AD，E，F，H 分别为线段 AD，PC，CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点，G 是线段 OF 上一点．
(1)求证：AP∥平面 BEF；
又 FH∩OH＝H，
所以平面 OHF∥平面 PAD．
又因为 GH 平面 OHF，
所以 GH∥平面 PAD．
►考法 2 直线与平面平行的性质 【例 2】 如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为线段 AD 上的任意一点(不包括 A，D 两点)，平面 CEC1∩平面 BB1D＝FG.
证明：FG∥平面 AA1B1B．
(2)因为 E，F 分别为 AB，AC 的中点， 所以 EF∥BC， 因为 EF 平面 BCHG，BC 平面 BCHG， 所以 EF∥平面 BCHG. 因为 A1G EB，
所以四边形 A1EBG 是平行四边形，所以 A1E∥GB．
因为 A1E 平面 BCHG，GB 平面 BCHG， 所以 A1E∥平面 BCHG. 因为 A1E∩EF＝E， 所以平面 EFA1∥平面 BCHG.
如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D 是棱 CC1 的中点，问在棱 AB 上是否存在一点 E，使 DE∥平面 AB1C1？若存 在，请确定点 E 的位置；若不存在，请说明理由．
在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EF∥DB，
G，H 分别是 EC 和 FB 的中点．求证：GH∥平面 ABC．