轮复习专题：数列极限数学归纳法(无答案)
专题12数列极限数学归纳法
专题三 函数 不等式 数列 极限 数学归纳法一能力培养 1,归纳猜想证明 2,转化能力3,运算能力4,反思能力二问题探讨1冋题1数列｛ a n ｝满足3], a i a 22问题2已知定义在R 上的函数f(x)和数列｛ a n ｝满足下列条件：a 1 a , a . f (a n 1) (n =2,3,4, ),a 2 印，f (a n )f (a n 1) = k(a n a n 1) (n =2,3,4,),其中 a 为常数,k 为非零常数(I) 令b n a n 1 a n ( n N )，证明数列｛b n ｝是等比数列； (II) 求数列｛ a n ｝的通项公式；(III)当k 1时，求 lim a n .numv uuuv uuuv uuuv uuuiv uuv问题3已知两点M ( 1,0) ,N (1,0),且点P 使MP MN , PM PN , NM NP 成公差小于零的等差数列•uuuv uuuv(I)点P 的轨迹是什么曲线？ (II)若点P 坐标为(X g , y 。
),记 为PM 与PN 的夹角，求tan2a n n a n ,(n N ). (I)求｛a n ｝的通项公式(II)求丄100n 的最小值；a n(III)设函数f(n)是—100n 与n 的最大者，求 f (n)的最小值.三习题探讨 选择题21数列｛a n ｝的通项公式a n n kn ,若此数列满足a na n ,(n N ),则k 的取值范围是A, k 2B, k 2C,k 3D, k 32等差数列｛a n ｝,｛b n ｝的前n 项和分别为S n ,T n ,若」--- ，贝V —=T n 3n 1b n22n 1 2n 12n 1A,—B,-C,-D,-33n 13n 1 3n 43已知三角形的三边构成等比数列 ，它们的公比为q ,则q 的取值范围是若AF , BF , CF 成等差数列，则有16在 ABC 中,ta nA 是以4为第三项,4为第七项的等差数列的公差，ta nB 是以-为3第三项,9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是 A,钝角三角形 B,锐角三角形C,等腰直角三角形D,以上都不对填空2m 项之和S 2m ___________________________________ 11等差数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项和且S 6 S 7，S 7 S 8,则①此数列的公差 d 0,1苗A, (0, 丁)B,(151 、5 1 、、5c,[1, 丁) D,(1_5) 24在等差数列｛a n ｝中,a 18 B ,75 1，第10项开始比1大，记25t 色 254 C ,75 [im A (a nn n _3 50 S n ) t ,则t 的取值范围是4D ,75t5o5 设 A (x i , y i ),B (X 2, y 2),C (X 3, y 3)是椭圆2yb 2 1(a 0)上三个点 ,F 为焦点，A, 2X 2 X ] x 3 B,2y 2 y 1 y 32C,—X 2 2D,XX 1 X 3X 1 X 37等差数列｛a n ｝前n (n 6)项和& 324，且前6项和为36,后6项和为180，则n 22 32 23 33 6263{a n }中』m(a 1 a ?10 一个数列{a n },当n 为奇数时，a .9在等比数列2n 3n 6n,则 limS n 1 a n ) ，则a 1的取值范围是 ________________15n5n 1 ；当n 为偶数时，a n 22 .则这个数列的前②S 9S 6,③a 7是各项中最大的一项，④S 7 一定是S n 中的最大项，其中正确的是 r 曰na n X ，且a 1,a 2,a 3 a .组成等差数列(n 为正偶数).又f(1) n 2, f ( 1) n ,(l)求数列的通项a n ；(II)试比较f(1)与3的大小，并说明理由.213已知函数f(x) 3x bx 1是偶函数，g(x) 5x c 是奇函数，正数数列｛a n ｝满足2a 11,f(a n1 a n)g(a n1a n a n ) 1• (I)若｛a n ｝前n 项的和为S n ,求limS n ;n(II)若b n2f (a n ) g(a n 1),求b n 中的项的最大值和最小值•14•已知等比数列｛x n ｝的各项不为1的正数 擞列｛y n ｝满足y n log x n a 2 (a 0且a 1),设 y 4 17, y 7 11.(I)求数列｛y n ｝的前多少项和最大，最大值是多少？(III)试判断，是否存在自然数 M,使当n M 时x n 1恒成立,若存在求出相应的 M;若不存在,请说明理由•解答题2312 已知 f(x) a/ a ?x a 3X(II)设 b n2yn ,S n b i b 2 db n ,求lim 冬的值.n215设函数f(x)的定义域为全体实数，对于任意不相等的实数 X 「X 2,都有f(xj f(X 2)X i 屜，且存在 X 0,使得 f (X o ) X o ,数列｛a n ｝中，31X o , f(a n ) 2a n 1 a n (n N),求证:对于任意的自然数n ,有：(I) 3n X o ； (II) 3nX n 1.参考答案：2 2问题 1 解：(I) a i a 2 a n n a n ,得 S n = n a n当n2时，a nS nS n 12=n a n(n1)2a n 1,有(n 21)a n2a n n 1 (n 1) a n 1，即a n 1n 1于是 a na 2 a 3 a 4a n 1 2 3 n 1 2 1 1于是a 〔 a 〔 a 2 a 3a n 13 4 5n 1n(n 1).乂 a 〔 ，得 a n 一.2 n(n 1)由于 a 1也适合该式，故a n =1n(n 1).1所以当n 49或50时，100n 有最小值 2450. a n有 f min (n)= f (1)=1.而,当n 2时，虽乩f(a n )b n 1a n a n 1因此，数列｛b n ｝是一个公比为k 的等比数列.n 1n 1(II) 解:由(I)知,b n k b 1 k (a 2 aj(n N )(II)丄100 n = n 2 99n = (n 249.5)2450.25(III)因f(n)是丄 100 n 与n 的最大者，有 f(n) a n100)n(1 n 1 100n(100 a nn)'问题 2(I)证明：由 b | a 2 a 10 ,得 b 2 a 3 a ?fQ) f(aj k(a 2 aj 0.由数学归纳法可证b n a n 1 a n 0(nN ). f(a n 1)a n a n 1k(a n a n 1) ka n a n 11,当k 1 时,bi1 k n 1b 2 b n (a 2 印），1—(n 2) k当k 1 时,bi b 2b n (n 1)(a 2 印）（n 2）而bi b 2b n(a 2 aj (a 3a 2)(a na n 1 )a n a(n2),有当k1时,a n1 k n1a 1 =(a 2 aj1 k(n2);当 k 1 时,a na 1 = (n 1)(a 2 aj (n 2)以上两式对n1时・也成立,于是1 时,a n1 k n1 1 k n1当k a 1 (a 2 印) 1 k =a (f (a) a)1 k当k 1 时,a na 1 (n 1)(a 2ai) = a (n 1)(f (a) a).问题 3 解:(I)设点 P(x,y ),由 M ( 1,0) ,N (1,0) 得UUUV UUV 2 2(II)设P(X 0,y °),则由点P 在半圆C 上知,PM PN x 0 y ° 1..(1 x0)2 y °2 (1x 0)2y °W=(4 2x)(4 2x 0)=2、4x02习题解答:(III)解:当 k 1 时,lim a nnlim[ a (f (a) a)n1 k n1] 1 k ]f (a) a 1 kumv PMUUUVLU uuvUULUUUV NM (2,0)UUUVUUUV 有 MP MNUUUV UUUV 2(1 x) ,PM PN 2 UUUV UUV y 1,NM NP 2(1 x). UUV UUUV UUUV UUUV UUUV 于是 MP MN ,PM PN ,NM UUV NP 成公差小于零的等差数列等价于 2 21 x y 1- [2(1 x) 2(1 22(1 x) 2(1 x) 02 2x)] x y，即 y x 0所以点P 的轨迹是以原点为圆心，-.3为半径的右半圆C.UUUV UUV 又 PM PN得cos 又 0 x 。
数列极限与数学归纳法
第三章 数列、极限与数学归纳法课标与考试基本解题方法点拨1.基本量法：在等差（等比）数列中，经常涉及到的有5个量n n S n a q d a ,,),(,1，其中最重要也是最基本的量是首项1a 和公差d （或公比q ），这两个量是等差（等比）数列定义的出发点，而且有了这两个量，数列中的其它量也可以随之确定，称之为基本量法.适用情境：求解一般的等差，等比数列问题，可利用相关公式，求出该数列中的基本量，从而解决要求的其它量，只是需要因题制宜，有些时候只需设而不求. 常见题型与解法：知三求二法：在围绕着数列五个量的基本公式中，一般的公式中都含有四个量，那么知道其中的三个量，利用公式，通过求代数式的值或解方程（组）总可以求出其他两个量.课本中的等差等比通项与求和公式在运用时，特别要注意等比求和时，1=q 与1≠q 的两种情况.除此还有一些推广的性质，在等差数列}{n a 中有),,,,,(*N k t q p n m ∈，d m n a a m n )(-+=，若t q p n m 2=+=+，则q p n m a a a a +=+t a 2=，k k k k k S S S S S 232,,--成公差为d k 2的等差数列；在等比数列}{n b 中，,m n m n q b b -⋅=若t q p n m 2=+=+，则q p n m b b b b ⋅=⋅2t b =，k k k k k S S S S S 232,,--成公比为k q 的等比数列.2.递推法：已知数列的任意一项n a ，通过给定的规律求出紧接着后面的一项1+n a 称为递推，利用递推式求数列的通项或前n 项之和的方法叫做递推法. 适用情境：一个数列的递推式是这个数列定义的一种表现形式，由于初始条件和递推规律反映了数列的全部情况，所以可由这种递推关系转化成数列的通项关系（这里一般指不是等差等比数列的递推关系）常见题型与解法：（1）n S 与n a 的互化，根据数列的前n 项和可求得通项⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a ).2(),1(≥=n n（2）形如)0,2(1≠≥+=-c n d ca a n n ，可设常数p ，将其转化为)(1p a c p a n n +=+-，其中p 的值可待定系数确定.（3）形如)(1n f a a n n +=-可利用递推关系连续写出1-n 个关系式，然后将左右分别相加，可求出}{n a 的通项公式.（4）形如)(1n f a a n n ⋅=-可利用递推关系连续写出1-n 个关系式，然后将左右分别相乘，可求出}{n a 的通项公式.（5）类比推理法，当}{n a 是等差数列⇔)1,0}({≠>c c c n a 是等比数列；}{n a 是正项等比数列⇔}{log n c a )1,0(≠>c c 是等差数列.3.特殊数列求和法：当遇到一些特殊数列，可用一些较为特定的方法将之求和. 适用情境：除了等差、等比数列，某些数列具备一定的特征，我们可以利用这些特征将之转化后利用等差，等比的求和方法求出该数列的和.常见题型与解法：（1）公式法：直接转化为基本数列（等差或等比数列）求和. （2）倒序相加法：对于一个有限项数列，若具备“凡是与首末两项等距离的任意两项之和总等于同一常数”的特点，则可将此数列的前n 项进行倒序表述，并与前者对应相加，通过对称性以达到求和.（3）裂项求和法：将数列中的每一项n a 拆成两项，在求和时，除首项和末项之外，中间的项相互抵消，从而达到求和目的的方法称为裂项法.（4）错位相减法：如果数列}{n a 是等差数列，数列}{n b 是等比数列，公比为q ，那么}{n n b a ⋅的前n 项和n S 的求法，可分别求出n S 和n S q ⋅的表达式，特别注意n S q ⋅与n S 的同次指数项对齐（错位对齐），等式两边均对应项相减，化简并将左边系数化为1，即得n S .（5）分组求和法：把数列依某种特征分成若干个易求和的组，或把通项拆成若干项，再对每项产生的数列分别求和.4.函数法：用函数的性质解决有关数列的问题.适用情境：由于数列可以看作以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数)(n f a n =，因此可以通过研究函数的图象和性质（如函数的单调性，最值等）来解决数列问题.常见题型与解法：（1）单调性法：考察数列}{n a 的单调性，即可判断相邻两项差：n n a a -+1的符号或直接利用数列所对应函数的单调性，考察n n S a ,的最大、小项等.（2）极值点，零点法：设)2(≥n a n 为数列}{n a 的最大项，则⎩⎨⎧≤≥-+n n n n a a a a 11，但此公式仅为n a 为最大项的必要条件，且1a 不为最大项时适用，设)2(≥n S n 为等差数列}{'na 前n 项和的最大值⇔⎩⎨⎧≤≥+.0,0'1'n n a a5.归纳、猜想、证明：进行数学探究过程中经常使用的一种方法.适用情境：从特殊或部分事实归纳出一般性的结论作为猜想，然后用严密的推理方式进行证明，在证明中涉及与自然数有关的数学命题多用数学归纳法. 常见题型与解法：归纳是基础，猜想是关键，数归法的步骤是：（1）证明当取0n n =时结论成立；（2）假设当0,n k k n >=时结论正确，证明当1+=k n 时，结论也正确，综上当*0,N n n n ∈>时结论成立。
高考数学一轮复习必备：第9293课时：第十二章极限数列的极限数学归纳法
高考数学一轮复习必备：第9293课时：第十二章极限数列的极限数学归纳法第92-93课时：第十二章 极限——数列的极限、数学归纳法课题：数列的极限、数学归纳法一知识要点（一）数列的极限1.定义：关于无穷数列{a n }，假设存在一个常数A ，不管预选指定多么小的正数ε，都能在数列中找到一项a N ，使得当n>N 时，|an-A|<ε恒成立，那么称常数A 为数列{a n }的极限，记作A a n n =∞→lim .2.运算法那么：假设lim n n a →∞、lim n n b →∞存在，那么有lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞±=±；lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅)0lim (lim lim lim ≠=∞→∞→∞→∞→n n n n nn nn n b b a b a 3.两种差不多类型的极限：<1> S=⎪⎩⎪⎨⎧-=>=<=∞→)11()1(1)1(0lim a a a a a n n 或不存在 <2>设()f n 、()g n 分不是关于n 的一元多项式，次数分不是p 、q ，最高次项系数分不为p a 、p b 且)(0)(N n n g ∈≠,那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=∞→)()()(0)()(lim q p q p b a q p n g n f qpn 不存在4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：11a S q=- 〔|q|<1〕 无穷数列{a n }的所有项和：lim n n S S →∞= 〔当lim n n S →∞存在时〕〔二〕数学归纳法数学归纳法是证明与自然数n 有关命题的一种常用方法，其证题步骤为：①验证命题关于第一个自然数0n n = 成立。
②假设命题对n=k(k ≥0n )时成立,证明n=k+1时命题也成立.那么由①②,关于一切n ≥ 0n 的自然数,命题都成立。
不等式数列极限数学归纳法复习资料
不等式、数列、极限与数学归纳法湖南省常德市一中曹继元不等式、数列是高中数学的主干知识，也是高考的重点内容之一，每年都有与此相关的大题。
其中，选择题和填空题一般以考查基础知识、基本方法为主，而解答题以考查数学思想方法、思维能力、以及创新意识为主。
总体看来，本节内容对运算能力和逻辑推理能力有较高的要求。
预测今年高考关于这一部分的内容, 仍然是以考能力为主，稳中有变，“小”中有新。
与往年一样，可能出现基本题型、综合题型、应用题型等，个别题型还将会命出新意，把不等式、数列知识和现实生活、市场经济、理化生知识等紧密结合起来，甚至还会出现有较新创意的应用型题目。
因此，我们必须引起高度重视。
1.不等式.1.1 近三年湖南省高考考查情况统计1.2 近三年考查情况分析从近三年的高考湖南卷来看，虽然每年都有几道不等式的题，但大都是将不等式融入其它知识之中。
一般来讲，选择题、填空题主要考查不等式性质、简单不等式的解法、函数最值的运用。
解答题主要考查与不等式有关的基础知识、基本方法，以及运用相关知识去分析问题和解决问题的能力。
不等式作为工具知识，在高中数学的各个分支中都有广泛的应用。
如确定函数的定义域、值域，确定函数的最值，确定集合的子集关系，确定方程的解等，无一不与不等式有着密切的关系。
而不等式中往往蕴含有多种数学思想方法，如等价转化、分类讨论、数形结合、函数方程的思想方法，极易使得不等式与其它知识融会交融，体现“在知识交汇处设计命题”的特点，符合“多考一点想，少考一点算”的命题理念，也能有效的测试考生的“逻辑思维能力、运算能力、以及分析问题和解决问题的能力”。
所以，我们复习时，要以此为重点，强化训练，提高能力。
1.3 今年考情预测①不等式仍将是高考数学的重点内容之一。
选择题、填空题的难度不会增大，重在基础知识、基本方法的考查，但命题角度会有所变化，设问方式会有所创新，考查内容主要分布在不等式的性质、简单不等式的解法、不等式与集合、不等式与函数、不等式与方程等知识点中。
高三第一轮复习【21】-数列极限与数学归纳法
2018届高三第一轮复习【21】-数列极限与数学归纳法一、知识梳理： 1．数学归纳法（1）由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫归纳法，它能帮助我们发现一般规律；观察、归纳、猜想、证明，是发现数学规律的完整过程，其中证明是指用数学归纳法证明．（2）应用数学归纳法有两个步骤：①证明当取第一个时结论正确； ②假设当（*0,k N k n ∈≥）时，结论正确，证明当时，结论成立．这两步缺一不可，要 完整地书写．（3）用数学归纳法可以证明一些与正整数有关的命题，如数列求和公式，整除性和平面几何问题． 2．数列的极限（1）数列极限的含义：一个数列{}n a 中的项n a ，当n 无限增大时，它无限地接近于某个常数A ，即||n a A -能小于任意给定的正数ε时，称A 为数列{}n a 的极限，记作lim n n a A →∞=．（2）数列极限的四则运算法则：如果，那么①②③特别地，如果C 是常数，那么．（3）三个基本极限：①（为常数） ②()*1lim 0,k n k N k n →∞=∈是常数③对于任意实常数，当1q <时，lim 0nn q →∞=当1q =时，若1q =，则lim 1n n q →∞=；若1q =-，则()lim lim 1nnn n q →∞→∞=-不存在当1q >时，lim n n q →∞不存在【注意】：它们是极限运算的基础，但是要区别，如果q 是收敛的等比数列的公比时，0||1q << （4）计算数列极限的类型还有两种：根式型，分式型．注意它们的运算特点． （5）数列极限的应用：n 0n k n =1+=k n b b a a b n n n ==∞→∞→lim ,lim ba b a n n n ±=±∞→)(lim ba b a n n n ⋅=⋅∞→)(lim )0(lim≠=∞→b bab a n n n Ca a C a C n n n n n =⋅=⋅∞→∞→∞→lim lim )(lim C C n =∞→lim C3. 无穷等比数列的各项和：当公比1||<q 时,无穷等比数列称为无穷递缩等比数列我们把10<<q 的无穷等比数列的前n 项的和n S ，当n →∞时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号S 表示qaq q a S S n n n n -=--==∞→∞→11)1(lim lim 11（10<<q ）， （可用于化循环小数为分数和解相应的应用题，这时关键是找出等比数列及其首项和公比，然后代入公式计算） 【注意】① 并不是每一个无穷数列都有极限;② 一个无穷等比数列，只有公比q 满足10<<q 时，才有无穷项的和；反之，如果一个等比数列的无穷项的和可以求出时，必有10<<q ，这在解题中是经常遇到二、基础检测：1. 用数学归纳法证明22111(1)1n n a a a aa a++-++++=≠-, 在验证1n =的情形时, 左端计算所得的结果为________________. 2. 用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)()n n n n n n n *+++=⋅⋅-∈, 从n k =到1n k =+的过程中, 等式左端要增乘的代数式为_____________. 3. 用数学归纳法证明“111111111()234212122n n n n n n*-+-++-=+++∈-++”时:从n k =到1n k =+的过程中, 等式左边增加的项为___________________; 等式右边增加(减少)的项为________________________.4. 求值: 1132lim 32n nn nn +-→∞-=+_________. 5. 求值: 22212lim()n nn n n→∞+++=__________.6. 有一系列正方形, 其边长构成以1为首项, 12为公比的等比数列. 记它们面积依次为 12,,,,n s s s , 则数列{}n s 的各项和为____________.三、例题精讲：【例1】用数学归纳法证明22>n n ,5n N n ∈≥,则第一步应验证n = ．【解析】n =5（注：跟学生说明0n 不一定都是1或2，要看题目）{}n a【例2】设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”． 那么，下列命题总成立的是（ ）A ．若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立；B ．若4)2(<f 成立，则1)1(<f 成立；C ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立；D ．若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立． 【解析】B【例3】用数学归纳法证明命题：若n 是大于1的自然数，求证：n n <-++++12131211 ，从k 到+1k ，不等式左边添加的项的项数为 ．【解析】当k n =时，左边为1214131211-+++++k ． 当1+=k n 时，左边为1212211212112141312111-+++++++-++++++k k k k k ．左边需要添的项为121221121211-+++++++k k kk ，项数为k k k 212121=+--+．【例4】用数学归纳法证明：422135n n +++能被14整除*n N ∈（）．【解析】当=1n 时，8545353361224=+=+++n n 能被14整除．假设当k n =时原命题成立，即422135n n +++能被14整除*n N ∈（）．当1+=k n 时，原式为4(1)22(1)1442221353355k k k k +++++++=⋅+⋅4422121423(35)5(35)k k k +++=+--44221213(35)565k k k +++=+-⋅．422135n n +++能被14整除，56也能被14整除，所以上式能被14整除，所以当1+=k n 时原命题成立． 综上所述，原命题成立．【例5】是否存在常数,a b 使得()()2112233413n n n an bn +⨯+⨯+⨯+++=+对一切正整数n 都成立？证明你的结论．【解析】先用1n =和2n =探求1,2a b ==，再用数学归纳法证明【例6】若*n N ∈,求证:23sin coscoscoscos22222sin2nn nαααααα=．【解析】① 1n =时,左=cos2α, 右=sin cos22sin2ααα=,左=右② 设n k =时, 23sin coscoscoscos22222sin2kk kαααααα=1n k =+时, 2311sin (coscoscoscos)cos cos2222222sin2kk k k kαααααααα++⋅=⋅=111111sin sin cos22sincos2sin222k k k k k k αααααα++++++⋅=【例7】求下列极限： （1）∞→n lim757222+++n n n ; （2） ∞→n lim （n n n -+2）; （3）∞→n lim （22n +24n + (22)n）． 【解析】（1）∞→n lim 757222+++n n n =∞→n lim 2275712nn n +++=52． （2）∞→n lim （n n n -+2）=∞→n lim nn n n ++2=∞→n lim1111++n=21． （3）原式=∞→n lim 22642n n ++++ =∞→n lim 2)1(nn n +=1．【例8】已知数列{}na 是由正数构成的数列，31=a ，且满足c a an nlg lg lg 1+=-，其中n 是大于1的整数，c 是正数．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 和n S ；（2）求∞→n lim1122+-+-n nn n a a 的值．【解析】（1）由已知得1-⋅=n n a c a ,{}n a ∴是31=a ，公比为c 的等比数列，则13-⋅=n n c a ．=∴nS ⎪⎩⎪⎨⎧≠>--=).10(1)1(3)1(3c c cc c n n 且（2） ∞→n lim1122+-+-n n n n a a =∞→n limnn n n c c 323211+---． ①当2=c 时，原式41-=;②当2>c 时，原式＝∞→n limccc n n 3)2(23)2(11+⋅---c 1-=; ③当20<<c 时，原式=∞→n lim11)2(32)2(31--⋅+-n n c c c 21=． 【例9】求和：0.180.0180.0018S =+++⋯ 【解析】0.008170.180.10.080.0080.110.190=+++⋯=+=-0.008170.0180.010.0080.00080.110.1900=+++⋯=+=-170.0018,9000=⋯170.00018,910nn ⋯=⋯⨯个1717171717909090091010.181n ∴++⋯++⋯==⨯-原式= 【例10】已知12120121()20122n n n n a n -- , <⎧⎪=⎨- , ≥⎪⎩，n S 是数列{}n a 的前n 项和（ ）(A ）lim n n a →∞和lim n n S →∞都存在 (B) lim n n a →∞和lim n n S →∞都不存在A M NEFCBHGS1S 2(C) lim n n a →∞存在，lim n n S →∞不存在 (D) lim n n a →∞不存在，lim n n S →∞存在【解析】选A ：因为数列的极限与数列前有限项无关，所以lim =0n n a →∞，又因为 ()()1232011201220132014+++...+...=n a a a a a a a S ++++，所以()20121-1+402120112lim =+121--2n n S →∞⎛⎫ ⎪⨯⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭； 【例11】已知无穷数列{}n a ，首项13a =，其前n 项和为n S ，且1(1)2n n a a S +=-+*(0,1,)a a n ≠≠∈N ．若数列{}n a 的各项和为a 38-，则=a【解析】n 代换成1-n ，得到2)1(1+-=-n n S a a ，两式相减得到)2(1≥=+n aa a n n ，所以n a 是一个从第二项开始的等比数列，又可求得132-=a a ，所以可列等式a a a 381133-=--+，解得21-=a （23=a 舍） 【例12】如图，在等腰直角三角形ABC 中，已知∠A 90=°，斜边BC 长为a ，途中排列着的内接正方形的面积分别为123,,S S S ⋯求： （1）无穷个正方形的周长之和； （2）无穷个正方形的面积之积【解析】（1）2a （2）218a四、难题突破：【例1】若*n N ∈,求证:23sin coscoscoscos22222sin2nn nαααααα=．【解析】① 1n =时,左=cos2α, 右=sin cos22sin2ααα=,左=右② 设n k =时, 23sin coscoscoscos22222sin2kkkαααααα=1n k =+时, 2311sin (coscoscoscos)cos cos2222222sin2kk k kkαααααααα++⋅=⋅=111111sin sin cos22sincos2sin222k k k k k k ααα++++++⋅=【例2】已知函数()0f x ≥，对任意实数,x y 满足()()()f x y f x f y +=++，求证：()()2f nx n f x =（n N *∈）【解析】（1）当1n =，原结论显然成立（ⅱ）假设当n k =时结论成立，即()()2f kx k f x =，那么当1n k =+时，()()()1()f k x f kx x f kx f x +=+=++⎡⎤⎣⎦()()()()()()()22210,1k f x f x kf x k f x f x k =++=+≥≥，即当1n k =+时，结论也成立，综合可知，()()2f nx n f x =对任意n N *∈都成立【例3】设*n N ∈，用()N n 表示n 的最大奇因数，如：()()33,105N N ==，设()()()()()123212n n n S N N N N N =++++-+L ，则数列{}()12n n S S n --≥的前n 项和的表达式为 【解析】()()112112S N N =+=+=；()()()()2123411316S N N N N =+++=+++=；()()()312822S N N N =+++=L ；21324,16S S S S ∴-=-=，由归纳法可得：114n n n S S ---=，∴{}1n n S S --的前n 项和的表达式为：()()414441143n n-=--五、课堂练习：1. 用数学归纳法证明33322112(1)4n n n +++=+.2. 设111123n a n=++++. 用数学归纳法证明: 121(2, )n n n a a a na n n *-++++=≥∈.3. 求证49161()n n n *+-∈能被64整除.4. 已知函数2()2f x x=-. 记数列{}n a 的前n 项和为n S , 且有1(1)a f =, 当2n ≥时, 有221(52)()2n n S n n f a -=+-. (1) 计算1234,,,a a a a ;(2) 猜测数列{}n a 的通项公式, 并加以证明.5. 试举出符合下列条件的数列{}n a ,{}n b 的例子. (1) 对于n *∈, 有1n a >, 且lim 1n n a →∞=:______________________;(2) 数列{}n a 的极限不存在, 但2lim 1nn a →∞=:______________________; (3) 对于n *∈, 有1n n b a <<, 且lim lim 1n n n n b a →∞→∞==:________________________.6. 已知222lim 31n n n an b n →∞⎛⎫++-+= ⎪+⎝⎭, 求实数a ,b 的值.7.131lim 3(1)3n n n n a +→∞=++, 求a 的取值范围.8. 等比数列{}n a 中, 11a >, 前n 项和为n S , 并满足11lim n n S a →∞=, 求1a 的取值范围.9. 如图: 已知直角ABC △中, 4, 3AC BC ==. 设1C 表示点C , 过1C 做12C C AB ⊥, 垂足为2C ; 再过2C 做23C C AC ⊥, 垂足为3C ; 再过3C 做34C C AB ⊥, 垂足为4C ,, 如此无限继续下去.(1) 设n a 表示线段212n n C C -的长, 求数列{}n a 各项的和; (2) 设n s 表示12n n n C C C ++△的面积, 求列{}n s 各项的和.A3C 1()C C 2C 5C B4C 6C 7C六、回顾总结： 1. 主要方法:①进行恒等变形，转化为基本极限；②求极限时，应注意要先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限，另外还有先求和，约分后再求极限，对含参数的题目一定要注意分别讨论.③“归纳–猜测–论证”的数学思想方法的应用；检验有限个n 的值，寻找一定规律，猜想一个结论，而后用数学归纳法证明所猜想的结论正确. 2. 易错、易漏点:①数学归纳法证明时，第一步验证0n n =，要注意0n 不一定为1；②第二步证明时，要注意其推导过程必须每步都交代清楚，并且必须用到假设，且特别注意项数的变化，避免关键步骤含糊不清.③有穷数列不存在极限，无穷数列不一定有极限；数列是否有极限与数列的前有限项无关； ④如果一个数列有极限，那么它的极限是一个确定的常数； ⑤特别注意无穷等比数列的各项和公式中的隐含条件；⑥用数列极限运算法则求数列的极限时须注意各数列极限必须存在；四则运算只限于有限个数列极限的运算.七、课后练习：1. 从11, 2349,3456725,=++=++++=中,找出第n个等式为_____________________________. 2. 若1112n S n =+++, 用数学归纳法证明21(2, )2n nS n n *>+≥∈时, 从n k =到1n k =+的过程中, 左端需要增加的项数为_______项.3. 在数列}{n a 中, 它的前n 项和1n n S na =-, 通过求4321,,,a a a a 的值, 猜想通项公式为____________.4. 用数学归纳法证明1123111(21)(N )2n n n n n n *+++-++-++=-∈时, 从n k =到1n k =+的过程中, 等式左端需要加的项是_____________.5. 在应用数学归纳法证明命题“当n 为正奇数时, n n x y +能被x y +整除”时, 第二步: 假设当21n k =-时命题为真, 进而需证明n =__________时, 命题亦真.6. 用数学归纳法证明1111123421n n +++++<-的过程中, 第一步需要验证 答 [ ] A. 1n <B. 1122+< C. 111223++<D. 11112234+++<7. 某个命题与非零自然数n 有关, 若n k =时该命题成立, 可以推出当1n k =+时该命题也成立. 现在已知当7n =时, 该命题不成立, 则可推得答 [ ]A. 当8n =时, 该命题成立B. 当8n =时, 该命题不成立C. 当6n =时, 该命题成立D. 当6n =时, 该命题不成立8. 求值: 2232lim 31n n nn n →∞+=+-________. 9. 求值: 111111393lim 1111()4164n n n -→∞-++++=-+-+-________.10. 求值: 111lim[]1447(32)(31)n n n →∞+++=⨯⨯-+________.11. 已知{}n a 与{}n b 均为等差数列, 且它们前n 项的和之比为2:(31)n n +, 则limnn na b →∞=_______. 12. 若22(2)4lim22(7)n k n nn →∞-+=+, 则实数k 的值为_________. 13. 无穷等比数列{}n a 的公比q 满足||1q <, 若其中任何一项都等于该项后所有项的和, 则q =______.14. 已知数列{},{}n n x y 满足lim(2)1, lim(2)1n n n n n n x y x y →∞→∞+=-=, 求lim()n n n x y →∞+.15. 在数列{}n a 中, 1sin a θ=, 1cos n n a a θ+=⋅, 若12lim()n n a a a →∞+++=求θ.16. 设首项为1, 公比为q 的等比数列前n 项和为n S , 求1lim nn n S S →∞+的值.17. 数列{}n b 中任意相邻两项1,n n b b +是方程21()03n n x a x -+=的两个根, 其中n *∈,且12b =, 求12lim()n n a a a →∞+++的值.【思考题】1. 用数学归纳法证明：221(1)n n a a ++++可以被21a a ++整除（*n N ∈）．2．平面内有n 个圆，其中每两个圆都交于两点，且无任何三个圆交于一点，求证：这n 个圆将平面分成22n n -+个部分．3．数列{}{},n n a b 中，112,4a b ==，且1,,n n n a b a +成等差数列，11,,n n n b a b ++成等比数列（*n N ∈），求234,,a a a 及234,,b b b ，由此猜测{}{},n n a b 的通项公式，并证明你的结论．。
数列、极限、数学归纳法(上)
【考点梳理】一、考试内容1.数列，等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式。
2.等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式。
3.数列的极限及其四则运算。
4.数学归纳法及其应用。
二、考试要求1.理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项和。
2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能够应用这些知识解决一些问题。
3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题。
4.了解数列极限的定义，掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限。
5.了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单的问题。
三、考点简析1.数列及相关知识关系表2.作用地位（1）数列是函数概念的继续和延伸，是定义在自然集或它的子集{1,2,…,n}上的函数。
对于等差数列而言，可以把它看作自然数n的“一次函数”，前n项和是自然数n的“二次函数”。
等比数列可看作自然数n的“指数函数”。
因此，学过数列后，一方面对函数概念加深了了解，拓宽了学生的知识范围；另一方面也为今后学习高等数学中的有关级数的知识和解决现实生活中的一些实际问题打下了基础。
（2）数列的极限这部分知识的学习，教给了学生“求极限”这一数学思路，为学习高等数学作好准备。
另一方面，从数学方法来看，它是一种与以前学习的数学方法有所不同的全新方法，它有着现代数学思想，它把辩证唯物主义的思想引进了数学领域，因而，学习这部分知识不仅能接受一种新的数学思想方法，同时对培养学生唯物主义的世界观也起了一定的作用。
（3）数学归纳法是一种数学论证方法，学生学习了这部分知识后，又掌握了一种新的数学论证方法，开拓了知识领域，学会了新的技能；同时通过这部分知识的学习又学到一种数学思想。
学好这部分知识，对培养学生逻辑思维的能力，计算能力，熟悉归纳、演绎的论证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有很好的效果。
北大附中高考数学专题复习数列极限数学归纳法
学科：数学教学内容：数列、极限、数学归纳法(上)【考点梳理】一、考试内容1.数列，等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式。
2.等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式。
3.数列的极限及其四则运算。
4.数学归纳法及其应用。
二、考试要求1.理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项和。
2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能够应用这些知识解决一些问题。
3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题。
4.了解数列极限的定义，掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限。
5.了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单的问题。
三、考点简析1.数列及相关知识关系表2.作用地位（1）数列是函数概念的继续和延伸，是定义在自然集或它的子集{1,2,…,n}上的函数。
对于等差数列而言，可以把它看作自然数n的“一次函数”，前n项和是自然数n的“二次函数”。
等比数列可看作自然数n的“指数函数”。
因此，学过数列后，一方面对函数概念加深了了解，拓宽了学生的知识范围；另一方面也为今后学习高等数学中的有关级数的知识和解决现实生活中的一些实际问题打下了基础。
（2）数列的极限这部分知识的学习，教给了学生“求极限”这一数学思路，为学习高等数学作好准备。
另一方面，从数学方法来看，它是一种与以前学习的数学方法有所不同的全新方法，它有着现代数学思想，它把辩证唯物主义的思想引进了数学领域，因而，学习这部分知识不仅能接受一种新的数学思想方法，同时对培养学生唯物主义的世界观也起了一定的作用。
（3）数学归纳法是一种数学论证方法，学生学习了这部分知识后，又掌握了一种新的数学论证方法，开拓了知识领域，学会了新的技能；同时通过这部分知识的学习又学到一种数学思想。
学好这部分知识，对培养学生逻辑思维的能力，计算能力，熟悉归纳、演绎的论证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有很好的效果。
高考复习指导讲义第四章数列极限数学归纳法
⾼考复习指导讲义第四章数列极限数学归纳法⾼考复习指导讲义第四章数列、极限、数学归纳法⼀、考纲要求 1.掌握：①掌握等差数列、等⽐数列的概念、通项公式、前n 项和公式；②能够运⽤这些知识解决⼀些实际问题；③掌握极限的四则运算法则. 2.理解：①数列的有关概念；②能根据递推公式算出数列的前⼏项；③会求公⽐的绝对值⼩1的⽆穷等⽐数列前n 项的极限. 3.了解：①了解递推公式是给出数列的⼀种⽅法；②了解数列极限的意义；③了解数学归纳法的原理，并能⽤数学归纳法证明⼀些简单问题. ⼆、知识结构(⼀)数列的⼀般概念数列可以看作以⾃然数集(或它的⼦集)为其定义域的函数，因此可⽤函数的观点认识数列，⽤研究函数的⽅法来研究数列。
数列表⽰法有：列表法、图像法、解析法、递推法等。
列表法：就是把数列写成a 1,a 2,a ……a n ……或简写成｛a n ｝，其中a n 表⽰数列第n 项的数值，n 就是它的项数，即a n 是n 的函数。
解析法：如果数列的第n 项能⽤项数n 的函数式表⽰为a n =f(n)这种表⽰法就是解析法，这个解析式叫做数列的通项公式。
图像法：在直⾓坐标系中，数列可以⽤⼀群分散的孤⽴的点来表⽰，其中每⼀个点(n,a n )的横坐标n 表⽰项数，纵坐标a n 表⽰该项的值。
⽤图像法可以直观的把数列a n 与n 的函数关系表⽰出来。
递推法：数列可以⽤两个条件结合起来的⽅法来表⽰：①给出数列的⼀项或⼏项。
②给出数列中后⾯的项⽤前⾯的项表⽰的公式，这是数列的⼜⼀种解析法表⽰称为递推法。
例如：数列2，4，5，529，145941…递推法表⽰为 a 1=2 其中a n+1=a n +na 4⼜称该数列 a n+1=an+na 4(n ∈N) 的递推公式。
由数列项数的有限和⽆限来分数列是有穷数列和⽆穷数列。
由数列项与项之间的⼤⼩关系来分数列是递增数列、递减数列、摆动数列以及常数列。
由数列各项绝对值的取值范围来分数列是有界数列和⽆界数列、通项公式是研究数列的⼀个关键，归纳通项公式是求数列通项公式的最基本⽅法，给出数列的前n 项，求这个数列的通项公式并不是唯⼀的，也并⾮所有的数列都能写出通项公式。
求数列的极限的方法总结
求数列的极限的方法总结求数列的极限是微积分中的一个重要问题，是计算数列中数字的趋势和趋近于的值。
在数学中，数列的极限是指当数列中的元素逐渐接近于某个值时，该值被称为数列的极限。
数列的极限有着重要的理论意义和广泛的应用，常常出现在微积分、数值计算以及物理等领域中。
为了求解数列的极限，我们可以使用多种方法和定理。
下面我将总结一些常见的方法，以帮助读者更好地理解和掌握求数列极限的技巧。
一、数列的递推关系求解数列的极限时，通常首先要确定数列的递推关系。
数列的递推关系是指数列中的每一项与前一项之间的数学关系。
通过找到数列的递推关系，我们可以更好地理解数列的增长规律，从而更好地求解数列的极限。
二、数列的有界性和单调性如果数列是有界的和单调的，那么我们可以通过有界性定理和单调性定理来判断数列的极限。
1. 有界性定理：如果数列是有界的，即存在一个上界和下界，那么数列的极限存在。
2. 单调性定理：如果数列递增且有上界，或者数列递减且有下界，那么数列的极限存在。
通过判断数列的有界性和单调性，我们可以进一步缩小数列极限的范围，从而更容易确定数列的极限值。
三、数列的极限定理数列的极限定理是求解数列极限的重要工具，它包括以下几个定理：1. 唯一性定理：如果数列有极限，那么极限是唯一的。
2. 夹逼定理：如果数列的每一项都被夹在两个趋于同一极限的数列之间，那么数列的极限也趋于相同的值。
3. 四则运算法则：如果两个数列都有极限，那么它们的和、差、积和商的极限也存在，并且可以通过已知数列的极限来计算。
4. 单调有界定理：如果一个数列既是单调递增的又有上界（或单调递减的且有下界），那么它的极限存在。
应用这些数列极限定理，我们可以更加简化和有效地求解数列的极限问题。
四、应用泰勒展开泰勒展开是一种通过逼近函数的无穷级数和多项式，来求解函数在某点附近的近似值的方法。
在求解数列极限时，我们可以使用泰勒展开来逼近数列中的元素。
通过对数列中的元素应用泰勒展开，我们可以将数列中的每一项表示为一个近似的无穷级数和多项式。
数列的极限数学归纳法
数列的极限、数学归纳法、知识要点 (一) 数列的极限列中找到一项 aN,使得当n>N 时，|an-A|< 恒成立，则称常数 A 为数列｛a n ｝的极限，记作lim a n A .n2.运算法则：若lim a n 、lim b n 存在，则有lim(a n b n )lim a n lim ；lim( a n b n ) lim a n lim b nnnnnn na lim a nlim —— , (lim b n 0)nb n lim b n nn(a1)3.两种基本类型的极限<1> S= lima nn1(a 1)不存在(a诚a<2>设f (n)、g(n)分别是关于n 的一元多项式，次数分别是p 、q ，最高次项系数分别为 a p 、0 (p q)b p 且 g( n) 0(n N),则 limng(n )(二)数学归纳法①验证命题对于第一个自然数 n n 0成立。
②假设命题对 n=k(k > n o )时成立，证明n=k+1时命题也成立 则由①②，对于一切n > n o的自然数，命题都成立。
、例题(数学的极限)1.定义：对于无穷数列｛a n ｝，若存在一个常数 A,无论预选指定多么小的正数 ，都能在数 4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：S「q E )无穷数列｛a n ｝的所有项和: a p- (p q) b q 不存在 (p q)S lim S n (当 lim S n 存在时)nn数学归纳法是证明与自然数 n 有关命题的一种常用方法，其证题步骤为:(4) lim( J-3Lnn 1 n 1(5) lim G. n 2 2n n)=;n例2 •将无限循环小数 0.12 ； 1.32 12 化为分数.『1例3•已知lim(an b) 1,求实数a, b 的值;nn 1例 4•数列{a n },{b n }满足 lim (2a n +b n )=1,lim (a n — 2tn)=1，试判断数列{a n },{b n }的极限是否nn存在，说明理由并求lim (a n b n )的值.n例5.设首项为a ，公差为d 的等差数列前-项的和为A,又首项为a,公比为r 的等比数列S例6.设首项为1,公比为q(q>0)的等比数列的前 -项之和为S n ,又设T n =— (n 1,2,L ),S- 1求 lim T n .n21 例7. ｛a n ｝的相邻两项a n ,a n+1是方程x —c -X +(—)n =0的两根，又a 1=2,求无穷等比C 1 ,c 2, (3)C n ,…的各项和.例8在半径为R 的圆内作内接正方形， 在这个正方形内作内切圆， 又在圆内作内接正方形,如此无限次地作下去，试分别求所有圆的面积总和与所有正方形的面积总和。
第二轮复习专题4：数列、极限、数学归纳法 (无答案)
第二轮复习专题4：数列、极限、数学归纳法◆解题方法导引1.等差数列，等比数列的基本知识是必考内容，定义、通项公式、求和公式是解决问题的常规方法，灵活处理这些公式和有关性质能为解题找到快捷办法。
等差与等比数列的综合运用与函数密切相关。
2.数列问题的基本思想即为归纳和递推，归纳－猜想－证明是基本方法。
3.掌握下列求和方法：裂项相消、错位相减、倒序相加。
4.本节知识具有相对的独立性，是高考热点之一，数列与数学归纳法试题具有“精致”，“巧妙”，“灵活”的特点。
◆基础练习１．下列命题中正确的是（Ａ）若数列｛an ｝的前n项和是Ｓn=n2+2n-1,则｛an｝为等差数列。
（Ｂ）若数列｛an ｝的前n项和是Ｓn=3n-c,则c=1是｛an｝为等比数列的充要条件（Ｃ）常数列既是等差数列又是等比数列。
（Ｄ）等比数列｛an｝是递增数列的充要条件是公比q>1.２. 已知数列｛an ｝前n项和Ｓn=2n2-3n,则an=________.已知数列｛an ｝前n项和Ｓn=3n-2,则an=___________.３．等差数列｛an ｝中，已知a3=2,则下列各数可以确定的是Ａ．S7 B.S6C.S5D.S4４．等比数列｛an ｝中，a1+a2+a3=6,a2+a3+a4=-3,则首项a1=_____,公比q=_____.５．四个数，前三个数成等比数列且和为１９，后三个数成等差数列且和为１２，则此四个数为。
６．设{an }是等到差数列，Sn是前n项和，若an=m，am=n，则am+n=若Sn =m，Sm=n，则Sm+n= 。
７．在等差数列中，Sn =100，S2n=400，则S3n=_______。
８．若数列的前n项和Sn =2n-1（n∈N），则a12+a22+…+an2= 。
◆例题精选１．等比数列｛an ｝中，a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求n及公比q。
２．在等差数列中，前20项之和为180，前20项中奇数项之和与偶数项之和的比是4：5，求公差d。
02高三二轮复习-数学归纳法、极限-教师版
数学归纳法、数列极限1、知识点分布：1.用数学归纳法证明命题的步骤为:(1)验证当n 取第一个值0n 时命题成立,这是推理的基础;(2)假设当n=k ),(0*n k N k ≥∈时命题成立.在此假设下,证明当1+=k n 时命题也成立是推理的依据; (3)结论.2.探索性问题在数学归纳法中的应用（思维方式）: 观察⇒归纳⇒猜想⇒推理⇒论证.3.注意：(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证0n n =时成立,注意0n 不一定为1; (2)在第二步中,关键是要正确合理地运用归纳假设,尤其要弄清由k 到k+1时命题的变化2、考纲考点分析：理解水平：数列、项、通项、有穷、无穷、递增数列、递减数列、摆动数列、常数列 探究水平：通项、前N 项和公式，简单递推数列问题，数列四则运算，无穷等比数列求和，数学归纳法证明整除问题，猜想、推理能力1、用数学归纳法证明22>n n ,5n N n ∈≥,则第一步应验证n = ． 【参考答案】n =5（注：跟学生说明0n 不一定都是1或2，要看题目）2、设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”． 那么，下列命题总成立的是（ ）A ．若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立；B ．若4)2(<f 成立，则1)1(<f 成立；C ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立；D ．若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立． 【参考答案】B3、用数学归纳法证明命题：若n 是大于1的自然数，求证：n n <-++++12131211 ，从k 到+1k ，不等式左边添加的项的项数为 ．【参考答案】当k n =时，左边为1214131211-+++++k ． 当1+=k n 时，左边为1212211212112141312111-+++++++-++++++k k k k k ．左边需要添的项为121221121211-+++++++k k kk ，项数为k k k 212121=+--+． 4、等式22222574123 (2)n n n -+++++=（ ）.A. n 为任何正整数时都成立B. 仅n ＝1，2，3时成立C. n ＝4时成立，n ＝5时不成立D. n ＝4时不成立，其他成立. 答案：B5、已知某个命题与正整数有关,如果当)(*N k k n ∈=时该命题成立,那么可以推得1+=k n 时该命题也成立.现已知5=n 时该命题不成立,则( ) A 4=n 时该命题成立 B 6=n 时该命题不成立C 4=n 时该命题不成立D 6=n 时该命题成立答案：C6、用数学归纳法证明2n >n 2(n ∈N,n ≥5),则第一步应验证n= ; 答案：57、（2015宝山一模理18文18）用数学归纳法证明等式1+3+5+…+(2n -1)=2n （n ∈*N ）的过程中，第二步假设n =k 时等式成立，则当n =k +1时应得到（ ）A 、1+3+5+…+(2k +1)=2kB 、1+3+5+…+(2k +1)=2(1)k + C 、1+3+5+…+(2k +1)=2(2)k + D 、1+3+5+…+(2k +1)=2(3)k + 【答案】B8、用数学归纳法证明22111...(1)1n n a a a a a a++-++++=≠-，在验证1n =时，左端计算所得项为 . 答案：21a a ++9、若)(n f 为12+n 所表示的数字的各位数字之和，(n 为正整数)，例如：因为1971142=+，17791=++，所以17)14(=f ，)()(1n f n f =，[])()(2n f f n f =， ，[])()(1n f f n f k k =+(k 为正整数)，则)11(2010f =【参考答案】1110、利用数学归纳法证明“对任意偶数*()n n N ∈，n n a b -能被a b +整除”时，其第二步论证应该是 . 答案：若*2,n k k N =∈，有22k k a b -能被a b +整除，则22n k =+时，有2222k k a b ++-能被a b +整除11、用数学归纳法证明:*1111(,1)2321n n n N n +++⋅⋅⋅+<∈>-时, ,第一步验证不等式_________成立；在证明过程的第二步从n=k 到n=k+1成立时,左边增加的项数是 .答案：1122+<，k 212、数学归纳法证明：111111111......234212122n n n n n-+-++-=+++-++（*n N ∈）时，当n 从k 到1k +时等式左边增加的项为 ；等式右边增加的项为 . 答案：11111,212212122k k k k k --+++++++、13、凸n 边形内角和为f (k )，则凸k +1边形的内角和f (k +1)=f (k )+___________. 答案：180°14、观察下列式子：1+23212<,1+223121+＜35,1+47413121222<++,…则可归纳出：___________. 答案：1+112)1(13121222++<++⋅⋅⋅++n n n15、观察以下等式：211=，22343++=，2345675++++=，……，将上述等式推广到一般情形：对n N *∈，有等式： ． 【参考答案】2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-16、设*n N ∈，用()N n 表示n 的最大奇因数，如：()()33,105N N ==，设()()()()()123212n n n S N N N N N =++++-+，则数列{}()12n n S S n --≥的前n 项和的表达式为【参考答案】()()112112S N N =+=+=；()()()()2123411316S N N N N =+++=+++=；()()()312822S N N N =+++=；21324,16S S S S ∴-=-=，由归纳法可得：114n n n S S ---=，∴{}1n n S S --的前n 项和的表达式为：()()414441143n n-=-- 17、设f (n )=（1+)11()111)(1nn n n++⋅⋅⋅++,用数学归纳法证明f (n )≥3.在“假设n =k 时成立”后，f (k +1)与f (k )的关系是f (k +1)=f (k )·___________. 答案：(1+1)2211)(121+⋅+++k kk k18、若*111()1()2331f n n n =++++∈-N ，则对于*k ∈N ，(1)()f k f k +=+ 【分析】：分别代入n k =和1n k =+，规律看前面【解答】：令n k =，得111()12331f k k =++++-令1n k =+，得111111(1)1233133132f k k k k k +=+++++++-++111(1)()33132f k f k k k k ∴+-=++++ 答案：11133132k k k ++++ 19、用数学归纳法证明等式“123+++…()()(21)121n n n ++=++（n N *∈）”时，从1n k n k ==+到时，等式左边需要增加的是____________。
17高三一轮复习-数学归纳法、数列极限-教师版
数学归纳法、数列极限1、知识点分布：1.数学归纳法的应用2.归纳——猜想——论证3.极限两种题型2、考纲考点分析：1、知道用数学归纳法的基本原理，掌握数学归纳法的一般步骤；2、会用数学归纳法解决整除问题及证明某些与正整数有关的等式；3、理解数列极限的概念，掌握数列极限的运算法则和常用的数列极限；4、掌握公比||1q 时，无穷等比数列前n项和的极限公式即无穷等比数列各项和公式，并能用于解决简单问题3、细节易错关注：1、用数学归纳法证明命题的步骤，数学归纳法的应用2、极数列极限的运算法则，常用的数列极限，无穷等比数列各项和公式；3、无穷等比数列各项和公式的应用，突破难点的关键在于由实际问题出发建立起等比数列模型．例1：数学归纳法1、判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.()(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项.()(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23. ()(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.()【类型】数学归纳法基础【答案】(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√2、求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *). 【类型】用数学归纳法证明恒等式【答案】证明：(1)当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立；(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)， 那么当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)·2 ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)，所以当n ＝k ＋1时等式也成立. 由(1)(2)可知，对所有n ∈N *等式成立.3、 已知数列na n 131211+⋅⋅⋅+++=，又n n a a a a S +⋅⋅⋅+++=321，用数学归纳法证明()n a n S n n -+=1．【类型】用数学归纳法证明恒等式【答案】证明：(1)当1=n 时，1a 1=，111==a S 满足条件．(2)假设k n =时，()N k k ∈>,1时()k a k S k k -+=1等式成立．当1+=k n 时，k a k 131211+⋅⋅⋅+++==1111131211+-+++⋅⋅⋅+++k k k =111+-+k a k 则11+++=k K k a S S =()k a k k -+11++k a =()k k a k k -⎪⎭⎫⎝⎛+-++11111++k a ()1)11(1)1(111+-++=+--+=+++k a k a k a k k k k由(1)(2)可知()n a n S n n -+=1成立．故得证．4、 已知)(x f 在)1,1(-上有定义，121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 且满足)1,1(-∈y x 、时，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+xy y x f y f x f 1)()(．（1）证明：)(x f 在)1,1(-上为奇函数；（2）证明不等式*2021131111511N n n f n n f f f ∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+，．【类型】用数学归纳法证明恒等式【答案】(1)令0==y x ，则有,0)0(),0()0()0(=∴=+f f f f令x y -=，则0)0()()(==-+f x f x f ，0)()(=-+∴x f x f ，即)()(x f x f -=-，)(x f ∴在)1,1(-上为奇函数；(2)解法一：①1=n 时，左边==-=+=++=011)21(1)31()51(1f f f 右边，②假设k n =时有0211311115112=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+++⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+k f k k f f f ， 则当1+=k n 时，左边⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫⎝⎛+++⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=311)1(3)1(113111151122k f k k f k k f f f5515515515515512131121315512131311)1(3)1(1212222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅+++-+=⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=k k f k k f k k f k k f k k f k k k k f k k f k f k f k f k k f k f由1+=k n 时等式也成立，由①②，对一切*N n ∈等式成立．解法二：运用⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++21111312n f n f n n f 即可，运用裂项可证明得。
二轮不等式数列极限数学归纳法复习
不等式、数列、极限与数学归纳法湖南省常德市一中曹继元不等式、数列是高中数学的主干知识，也是高考的重点内容之一，每年都有与此相关的大题。
其中，选择题和填空题一般以考查基础知识、基本方法为主，而解答题以考查数学思想方法、思维能力、以及创新意识为主。
总体看来，本节内容对运算能力和逻辑推理能力有较高的要求。
预测今年高考关于这一部分的内容, 仍然是以考能力为主，稳中有变，“小”中有新。
与往年一样，可能出现基本题型、综合题型、应用题型等，个别题型还将会命出新意，把不等式、数列知识和现实生活、市场经济、理化生知识等紧密结合起来，甚至还会出现有较新创意的应用型题目。
因此，我们必须引起高度重视。
1.不等式.1.1 近三年湖南省高考考查情况统计1.2 近三年考查情况分析从近三年的高考湖南卷来看，虽然每年都有几道不等式的题，但大都是将不等式融入其它知识之中。
一般来讲，选择题、填空题主要考查不等式性质、简单不等式的解法、函数最值的运用。
解答题主要考查与不等式有关的基础知识、基本方法，以及运用相关知识去分析问题和解决问题的能力。
不等式作为工具知识，在高中数学的各个分支中都有广泛的应用。
如确定函数的定义域、值域，确定函数的最值，确定集合的子集关系，确定方程的解等，无一不与不等式有着密切的关系。
而不等式中往往蕴含有多种数学思想方法，如等价转化、分类讨论、数形结合、函数方程的思想方法，极易使得不等式与其它知识融会交融，体现“在知识交汇处设计命题”的特点，符合“多考一点想，少考一点算”的命题理念，也能有效的测试考生的“逻辑思维能力、运算能力、以及分析问题和解决问题的能力”。
所以，我们复习时，要以此为重点，强化训练，提高能力。
1.3 今年考情预测①不等式仍将是高考数学的重点内容之一。
选择题、填空题的难度不会增大，重在基础知识、基本方法的考查，但命题角度会有所变化，设问方式会有所创新，考查内容主要分布在不等式的性质、简单不等式的解法、不等式与集合、不等式与函数、不等式与方程等知识点中。
数列极限归纳法的规律公式总结
⑶ 为AP，
⑷ 为A·P，则
（m，n同奇或同偶）
⑸ 为AP，则 ，
成AP
⑴ 为G·P ，
）
⑵ 为G·P，且 ，
⑶ 为G·P，
⑷ 为A·P，则
⑸ 为GP，则 ，
成GP
二、几个常用结论
1、在AP 中，若共有奇数项 项，则
2、在AP 中，若a1>0， ，则①m、k同奇或同偶时， 时，
②当m、k—奇—偶时， 时
方法一：变通项，用公式
1、
2、
3、
4、 （自己完成）
5、（C89）是否存在常数a、b、c使等式
对一切自然数n均成立，证明你的结论。（用两种方法完成）
数列、极限、归纳法的规律、公式总结
一、等差、等比数列的有关知识
等差数列（A·P）
等比数列（G·P）
定义
常数
的常数
通项公式
①
②
③叠加公式
①
②
③叠乘：
增减性
d>0 递增
常数列
递减
递增
递减
常数列
摆动数列
前n项和
推导方法：例写相b的等差中项
G为a、b的等比中项
性质
⑴ 为A·P
（k、b常数）
3、AP中， （用多种方法证，如 共线等）
4、AP中，
5、AP 、 中，有 如C95等差数列 、 的前n项和分别为 ，若 ，求
6、 为A·P，
其前n项和为 ,求 的前n项和
⑴a1>0，d<0时,则数列为减,设 时， ， 时，
则：
⑵a1<0，d>0时，数列为增，设 时， 时
如 的前n项和 ，求
三、求和的常用方法
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第二轮复习专题4：数列、极限、数学归纳法
◆解题方法导引
1.等差数列，等比数列的基本知识是必考内容，定义、通项公式、求和公式是
解决问题的常规方法，灵活处理这些公式和有关性质能为解题找到快捷办法。
等差与等比数列的综合运用与函数密切相关。
2.数列问题的基本思想即为归纳和递推，归纳－猜想－证明是基本方法。
3.掌握下列求和方法：裂项相消、错位相减、倒序相加。
4.本节知识具有相对的独立性，是高考热点之一，数列与数学归纳法试题具有
“精致”，“巧妙”，“灵活”的特点。
◆基础练习
１．下列命题中正确的是
（Ａ）若数列｛a
n ｝的前n项和是Ｓ
n
=n2+2n-1,则｛a
n
｝为等差数列。
（Ｂ）若数列｛a
n ｝的前n项和是Ｓ
n
=3n-c,则c=1是｛a
n
｝为等比数列的充
要条件
（Ｃ）常数列既是等差数列又是等比数列。
（Ｄ）等比数列｛a
n
｝是递增数列的充要条件是公比q>1.
２. 已知数列｛a
n ｝前n项和Ｓ
n
=2n2-3n,则a
n
=________.
已知数列｛a
n ｝前n项和Ｓ
n
=3n-2,则a
n
=___________.
３．等差数列｛a
n ｝中，已知a
3
=2,则下列各数可以确定的是
Ａ．S
7 B.S
6
C.S
5
D.S
4
４．等比数列｛a
n ｝中，a
1
+a
2
+a
3
=6,a
2
+a
3
+a
4
=-3,则首项a
1
=_____,公比
q=_____.
５．四个数，前三个数成等比数列且和为１９，后三个数成等差数列且和为１２，则此四个数为。
６．设{a
n }是等到差数列，S
n
是前n项和，若a
n
=m，a
m
=n，则a
m+n
=
若S
n =m，S
m
=n，则S
m+n
= 。
７．在等差数列中，S
n =100，S
2n
=400，则S
3n
=_______。
８．若数列的前n项和S
n =2n-1（n∈N），则a
1
2+a
2
2+…+a
n
2= 。
◆例题精选
１．等比数列｛a
n ｝中，a
1
+a
n
=66,a
2
a
n-1
=128,S
n
=126,求n及公比q。
２．在等差数列中，前20项之和为180，前20项中奇数项之和与偶数项之和的比是4：5，求公差d。
３．在等差数列｛a
n ｝中，a
1
=15，公差d=－2，求S
n
的最大值。
４． 设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知a 13=12，S 12﹥0，S 13﹤0，
（1） 求公差d 的取值范围。
（2） 指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个最大，说明理由。
５． 已知数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项和， a 1=1，且S n+1=4a n +2，
（1） 设b n =a n+1－2a n ，求证：数列｛b n ｝是等比数列。
（2） 设c n =n
n a
2，求证：数列｛c n ｝是等差数列。
６． 在等差数列｛a n ｝中，a 18=95，a 32=123，a n =199，则n=____。
７． 等比数列｛a n ｝的首项a 1= －1，前n 项和为 S n ，若32
31
510=S S ，
则n n S lim ∞
→=______。
８． 等差数列｛a n ｝a 1=25，S 17=S 9，问数列前多少项之和最大？
９． 已知数列{a n }的前n 项和S n =P-2+Pa n （n ∈N ，P ≠0，P ≠1，P ≠2）
（1） 求证：数列{a n }为等比数列；
（2） 若对一切自然数n 都有a n+1＞a n ，求P 的范围。
１０． 已知一个数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的 和为170，求这个数列的公比和项数。
１１． 设S n 是等差数列｛a n ｝前项和，已知331S 与441S 的等比中项为55
1
S ，
331S 与441
S 的等差中项为1，求数列的通项a n 。
１２． 已知｛a n ｝为等差数列，公差为2
1，且S 100=145,求a 1+a 3+a 5+…+a 99的值。
１３． 已知a 1=1
,2
21+=
+n n n a a a
, (n ∈N),求数列的通项公式a n
.
１４． 已知一个等比数列的首项为１，项数为偶数，其奇数项的和为８５，偶数项的和为１７０，求这个数列的公比和项数。
１５． 在数列｛a n ｝中,a n =1n n
1n 31n 21n 1++
++++++ ，又b n =a a n n 1
2+, 求数列｛b n ｝的前n 项和。
（裂项相消）
16．求和S n =1+3x+5x 2+7x 3+…+(2n-1)x n-1
.（错位相减）
17．求和S n =n n n n n C n C C C )12(53210++∙∙∙+++（倒序相加）
18．已知f(x)=122+x ,数列｛a n ｝满足a 1=1,a n+1=f(a n )(n ∈N),求数列｛a n ｝的通项公式。
19．正数数列｛a n ｝为一等比数列，且a 2=4,a 4=16,
求2
1
lim n
n ∞→(lga n+1+lga n+2+…lga 2n ).
20． 学校餐厅每天供应１０００名学生用餐，每星期一有两样菜Ａ、Ｂ可供选择（每人选一样菜）。
调查资料表明，凡是在星期一选Ａ菜的，下星期一会有20﹪改选Ｂ，而选Ｂ的，下星期一则有30﹪改选Ａ，若用A n 、B n 表示在第n 个星期一分别选Ａ、Ｂ的人数。
（1） 用Ａn 、Ｂn 表示Ａn+1;
（2） 证明Ａn+1=2
1A n +300; （3） 若A 1=500,求lim n ∞
→A n
21.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游
产业。
根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少5
1。
本年度当
地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅
游业收入每年会比上年增加4
1。
（1）设n 年内（本年度为第一年）总收入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a N ，b n 表达式；
（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入。
◆课后练习
１．已知｛a n ｝是等差数列且a 6+a 9+a 12+a 15=20,则其前２０项和为（ ）
（Ａ）１０ （Ｂ）２０ （Ｃ）２００ （Ｄ）１００
2. {a n }是公差为－２的等差数列，如果a 1+a 4+a 7+…+a 97=50,那么a 3+a 6+a 9+…+a 99=( )
(A)-182 (B)-78 (C)-148 (D)-82 3. 等比数列｛a n ｝的首项为１，公比为q ，前n 项和是S.由原数列各项的倒数组成
一个新数列｛n a 1｝,则｛n
a 1
｝的前n 项之和是（ ）
（Ａ）S 1
（Ｂ）S q n 1 （Ｃ）1-n q
S （D ）S q n
4.在等比数列｛a n ｝中，a 9+a 10=a(a ≠0),a 19+a 20=b,a 99+a 100=( )
(A)8
9
a b (B)9)(a b (C)910a b (D)10)(a b
5. 若等差数列｛a n ｝的公差d ≠0,且a 1,a 3,a 7成等比数列，则4
23
1a a a a ++_________.
6.在等差数列中前２０项之和为１８０，前２０项中奇数项之和与偶数项之和的比是4:5,
则此数列的公差等于_________.
7.等差数列｛a n ｝,｛b n ｝的前n 项和分别为S n 和 T n ，若132+=n n
T S n n ,则n n n b a lim ∞→=_____.
8.若3
1
)1(3
3lim
1
=
+++∞→n
n n
n a ,则a 的取值范围是 。
9. f(x)=
n
n
n n x
x x x --+-,对n ∈N,试比较f(2)与
1
12
2+-n n 的大小，并说明理由。
10. 是否存在a,b,c,使得a n =an 2
+bn+c,且满足a 1=1, 3S n =(n+2)a n ,其中S n =a 1+a 2+…+a n ,
试证明你的结论。
若b n =n
a 1
,求lim n ∞
→(b 1+b 2+b 3+…+b n ).。