第六章线性空间

第六章线性空间
引言
线性空间是线性代数的中心内容，它是几何空间的抽象和推广．
在空间解析几何中讨论的三维向量，它们的加法和数与向量的乘法可以解决一些几何和力学的问题，三维空间是非常具体并且可以感觉到的。

在研究一般线性方程组解的理论时，我们推广三维向量为n维向量，三维空间推广为n维空间，定义了n维向量的加法和数量乘法运算，解决了一般线性方程组的求解问题。

现在我们把n维空间推广到更加抽象的线形空间，可以解决更多的问题。

线性空间是一种公理化的定义，是线性代数最基本的概念之一，也是我们碰到的第一个抽象的概念。

后续的很多课程如泛函分析等都要用到这个概念。

在某些集合上元素之间可以定义加法和数与元素的乘法两种运算，我们抓住这种特征进行抽象，这种抽象将使我们进一步研究的线性空间的理论可以在相当广泛的领域内得到应用．n维空间的很多概念在线形空间中仍然实用。

§1集合与映射
一、集合
所谓集合就是指作为整体看的一堆东西。

组成集合的这
些事物称为集合的元素．常用大写字母A 、B 、C 等表示集合；用小写字母a 、b 、c 等表示集合的元素．
当a 是集合A 的元素时，就说a 属于A ，记作： 当a 不是集合A 的元素时，就说a 不属于A ，记作： 描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.
M ＝｛x | x 具有性质P ｝
列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来.
M ＝｛a 1，a 2，…，an ｝
例1
例2 Z ＝ {…,-2,-1,0,1,2,…},
空集：不包含任何元素的集合，记为υ．注意：｛υ｝≠υ
2、集合间的关系
如果B 中的每一个元素都是A 中的元素，则称B 是A 的子集，记作 ，（读作B 包含于A ） 当且仅当 如果A 、B 两集合含有完全相同的元素，则称 A 与B 相等，记作A ＝B . A ＝B 当且仅当 且 3、集合间的运算
交： 并： 显然有， 练习： 证明等式:
证：显然 又 a A ∈a A ∉22{(,)4,,}M x y x y x y R =+=∈B A ⊆B A ⊆x B x A ∀∈⇒∈A B ⊆B A ⊆{}
A B x x A x B =∈∈ 且{}
A B x x A x B =∈∈ 或;A B A A A B
⊆⊆ ()A A B A = ()A A B A ⊆ ,x A x AU
∀∈∈则
从而 故等式成立． 二、映射
1、定义
设M 、M ´是给定的两个非空集合，如果有 一个对应法则σ，通过这个法则σ对于M 中的每一个元素a ，都有M ´中一个唯一确定的元素a ´与它对应, 则称 σ为M 到M ´的一
个映射，记作 或 称 a ´为 a
在映射σ下的象，而 a ´ 称为a 在映射σ下的原象，记作σ(a )＝a ´ 或 注:①设映射 , 集合
称之为M 在映射σ下的象，通常记作 Im σ。

显然， ②集合M 到M 自身的映射称为M 的一个变换． 例 M 是一个集合，定义I ：
I (a )＝a ， 即 I 把 M 上的元素映到它自身，I 是一个映射，称为 M 上的恒等映射或单位映射．
例6 任意一个在实数集R 上的函数y ＝f (x ) 都是实数集R 到自身的映射，即，函数可以看成是映射的一个特殊情形．
2、映射的乘积
设映射 乘积
定义为： 即相继施行σ和τ的结果 是 M 到 M" 的一个映射．
()x A A B ∈
()A A A B ⊆ :'M M σ→'M M σ−−→:.
a a σ' :'M M σ→(){()}M a a M σσ=∈a M ∀∈:',:'''M M M M στ→→τσ
τσ
①对于任意映射 ，有 ②设映射 有 3、映射的性质: 设映射
1）若 'Im M δ= 即对于任意 均存在 使 ，则称σ是M 到M ´的一个满射（或称σ为映上的）；
2）若M 中不同元素的象也不同，即
或者 则称σ是M 到M ´的一个单射（或称σ为1—1的）；
3）若σ既是单射，又是满射，则称σ为双射,
（或称σ为 1—1对应）
例7 判断下列映射的性质
1）M ＝｛a ，b ，c ｝、M ´＝｛1,2，既不单射，也不是满射 σ：σ(a )＝1，σ(b )＝1，σ(c )＝2 双射
2）M =Z ，M ´＝Z
τ：τ(n )＝|n |＋1, 是满射，但不是单射 注：
① 对于有限集来说，两集合之间存在1—1对应的充要条 件是它们所含元素的个数相同；
② 对于有限集A 及其子集B ，若B ≠A （即B 为A 的真子:'M M σ→M M I I σσσ'== :',:''',:'''''M M M M M M στψ→→→()()
ψτσψτσ= :'M M σ→121212,,,()()a a M a a a a σσ∀∈≠≠若
则121212,,()(),a a M a a a a σσ∀∈==若则n Z ∀∈
'y M
∈()y x σ=
集），则 A 、B 之间不可能存在1—1对应；但是对于无限集未必如此.
4、可逆映射
定义：设映射 若有映射 使得
则称σ为可逆映射，τ为σ的逆映射 注：①若σ为可逆映射，则σ－1也为可逆映射，且 （σ－1）－1＝σ．
② 为可逆映射， 若 则有 ③ σ为可逆映射的充要条件是σ为1—1对应．
证：若映射 为1—1对应，则对 均存在唯一的 使σ(x )＝y ，作对应 则τ是一个M ´到M 的映射, 且对 若 即 ∴σ为可逆映射
反之，设 为可逆映射，则
即, 所以σ为满射； 其次，对
:'M M σ→:',M M σ→:',M M τ→,M M I I τσστ'== :'M M σ→
()',a a σ='y M ∀∈x M ∈:M M
τ'→:M M σ'→a M ∈1'()a a
δ-=1222()()M x I x x σσ-=== 111
11112()()(())(())M x I x x x x σσσσσσ---==== ,(),x M x y σ∀∈=若
M I τσ= ,(),y M x x
στ'∀∈若y=有(y)=()(())
()(),M y y x y I y στστσ'==== 则M I στ'= 11,()(())y M y y y σσσσ--'∀∈== 对有1(),().x y M y x σσ-∃=∈=使
1212,x x M x x δδ∀∈若（
）=()
即σ为单射.所以．σ为1—1对应。