高三数学高考专题复习系列导学案不等式-不等式证明(一)
不等式的性质(1)(2)
2.1不等式的基本性质1（导学案）组卷人：苏卫国审卷人：刘金涛姓名：学号：一、学习目标：1、学会用两个实数差的符号来规定两个实数大小2、掌握不等式的基本性质，并能加以证明；二、复习旧知：1、a>b是a-b>0的条件；a=b是 a-b=0的条件；a<b是a-b<0的条件。
以上是证明不等式性质的基础。
2、在初中我们学习了以下等式的性质：a=b，b=c⇒a=c；a=b，c=d⇒a+c=b+d；a=b⇒ac=bc。
三、新课导学：1．通过类比等式的性质，得到关于以下不等式的三个结论；请你判断它们是否正确，正确的加以证明；错误的举反例。
结论1 如果a>b，b>c，那么a>c。
结论2 如果a>b，c>d，那么a+c>b+d。
结论3 如果a>b，那么ac>bc。
同学们；结论3是否正确如果不正确，你能改变条件，让它成为正确命题吗？试试看：通过以上结论的推敲请同学们根据课本自己归纳不等式的基本性质性质1性质2性质3性质4你能给它们分别起一个名字吗？试试看。
利用以上性质证明下面结论：性质（5）如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd 。
性质（6）如果a >b >0，那么0ba 11<<。
四、课堂探究例1．判断下列命题的真假。
（1）若a >b ，那么ac >2bc 2。
（2）若ac >2bc 2，那么a >b 。
（3）若a >b ，c >d ，那么a-c >b-d 。
（4）若cda b <，那么ad bc <。
例2．提问：判断以下两个命题的真假：如果是真命题，请加以证明；如果是假命题，请举出反例。
（1）如果a >b ，c >d ，那么ac >bd 。
变式：a >b 0>，c >d 0>，那么ac >bd 。
3.1基本不等式 (一)导学案
主备人：李斌 审核：高二备课组 使用日期：2012.10 负责人签字:3.1基本不等式 (一)导学案 班级 小组 姓名 小组评价: 教师评价: 学习目标学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学习重点① 了解基本不等式的证明过程② 会用基本不等式解决简单的最大小值问题 学习难点：基本不等式的应用【使用说明及学法指导】试验、交流、归纳等方法的综合应用.先由学生认真阅读教材P88-90，按照学习目标提出的要求，完成：“自主学习”，再去完成：“合作交流”部分，学习组长做好督导、检查。
【知识链接】1：重要不等式：对于任意实数,a b ，有22____2a b ab +，当且仅当________时，等号成立.2：基本不等式：设,(0,)a b ∈+∞，则_____2a b ab +，当且仅当____时，不等式取等号. 称_______为a,b 的算术平均数，_____为a,b 的几何平均数。
基本不等式又称为________.3. 基本不等式的几何意义是：_________不小于_________.Ⅰ、自主学习探究1：基本不等式2a b ab +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为a ，b 那么正方形的边长为____________.这样，4个直角三角形的面积的和是___________，正方形的面积为_________.由于4个直角三角形的面积______正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有_______________结论：一般的，如果,R a b ∈，我们有222a b ab +≥当且仅当a b =时，等号成立.探究2：你能给出它的证明吗？特别的，如果0a >，0b >，我们用a 、b 分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， 通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤ 问：由不等式的性质证明基本不等2a b ab +≤？ 用分析法证明：证明：要证 2a b ab +≥ (1) 只要证 a b +≥ (2)要证（2），只要证____0a b +-≥ （3）要证（3），只 要证2(__________)0-≥ （4）显然，（4）是成立的. 当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立.3）理解基本不等式2a b ab +≤的几何意义 探究3：课本第88页的“探究”在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a ，BC=b. 过点C 作垂直于AB的弦DE ，连接AD 、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式2a b ab +≤的几何解释吗？结论：基本不等式2a b ab +≤几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把2a b +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称2a b +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还 可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.Ⅱ合作交流例1 已知0m >，求证：24624m m+≥.变式1. 已知a ，b ，c ，d 都是正数，求证：()()4ab cd ac bd abcd ++≥.变式2. 0x >时，当x 取什么值时，1x x+的值最小？最小值是多少？Ⅲ 拓展交流1．若正数a 、b 满足ab =a +b +3，分别求ab 与a+b 的取值范围。
3.1不等关系与不等式(1)导学案
3.1《不等关系与不等式》（1）【学习目标】1、会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系；2、理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
【重点】用不等式（组）表示实际问题中的不等关系；【难点】用不等式（组）正确表示不等关系。
【知识链接】大于用表示，小于用表示，不大于用表示，不小于用表示，正数用表示，负数用表示，非负数用表示，非正数用表示知识点1：现实世界和日常生活中常见的不等关系问题1：用不等式表示下列不等关系：（1）a与b的和是非正数；（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高 4m”；（3）右图是限速为40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度不超过40km/h，表示为 40(4) 设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，表示为问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？（1）根据题意，提价前杂志的定价为元,提价后杂志的定价为元，因此提高了元；（2）由（1）可知，价格提高了0.1元的倍，即个0.1元；（3）由（2）可知，销售量减少了2000本的倍，即本，因此，提价后的销售量为本；（4）提价后的销售总收入=销售量单价，因此可表示为，不低于用表示，所以可得到不等式为知识点2:现实世界和日常生活中常见的不等式组关系问题3：用不等式组表示下列不等关系：（1）中国“神州七号”宇宙飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9km/s，且小于第二宇宙速度11.2km/s. 表示为（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪f的含量应不少于2.5﹪，蛋白质p 的含量应不少于2.3﹪. 表示为（3）铁路旅行常识规定：旅客每人免费携带物品——杆状物长度w不超过200cm，重量m不超过20kg. 表示为问题4：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种。
高中数学复习教案：不等式的证明方法
第二节 不等式的证明方法[考纲传真] 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．1．基本不等式定理1：设a ,b ∈R ,则a 2＋b 2≥2ab ,当且仅当a ＝b 时,等号成立． 定理2：如果a ,b 为正数,则a ＋b2≥ab ,当且仅当a ＝b 时,等号成立．定理3：如果a ,b ,c 为正数,则a ＋b ＋c 3≥3abc 当且仅当a ＝b ＝c 时,等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1,a 2,…,a n 为n 个正数,则a 1＋a 2＋…＋a nn≥na 1a 2…a n ,当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时,等号成立．2．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a ,b ,c ,d 都是实数,则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(当且仅当ad ＝bc 时,等号成立)．(2)柯西不等式的向量形式：设α,β是两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且仅当α或β是零向量,或存在实数k ,使α＝k β(α,β为非零向量)时,等号成立．(3)柯西不等式的三角不等式：设x 1,y 1,x 2,y 2,x 3,y 3∈R ,则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2≥(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2.(4)柯西不等式的一般形式：设a 1,a 2,a 3,…,a n ,b 1,b 2,b 3,…,b n 是实数,则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2,当且仅当b i ＝0(i ＝1,2,…,n )或存在一个数k ,使得a i ＝kb i (i ＝1,2,…,n )时,等号成立．3．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等． (1)比较法：①比差法的依据是：a －b >0⇔a >b ,步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段,变形的目的是判断差的符号．②比商法：若B >0,欲证A ≥B ,只需证AB ≥1.(2)综合法与分析法：①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质,推导出所要证明的不等式,这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．②分析法：从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,如果能够肯定这些充分条件都已经具备,那么就可以判定原不等式成立,这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法,它是从已知条件出发,经过逐步推理,最后达到待证的结论．( )(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法,是从待证结论出发,一步一步地寻求结论成立的必要条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．( )(4)使用反证法时,“反设”不能作为推理的条件应用． ( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．(教材改编)不等式：①x 2＋3＞3x ;②a 2＋b 2≥2(a －b －1);③b a ＋ab ≥2,其中恒成立的是( )A ．①③B ．②③C ．①②③D ．①②D [由①得x 2＋3－3x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋34＞0,所以x 2＋3＞3x ;对于②,因为a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0,所以不等式成立;对于③,因为当ab ＜0时,b a ＋a b －2＝(a －b )2ab ＜0,即b a ＋ab ＜2,故选D.]3．若a ＝3－2,b ＝6－5,c ＝7－6,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >c >aD ．c >a >bA [“分子”有理化得a ＝13＋2,b ＝16＋5,c ＝17＋6,∴a >b >c .] 4．已知a ＞0,b ＞0且ln(a ＋b )＝0,则1a ＋1b 的最小值是________． 4 [由题意得,a ＋b ＝1,a ＞0,b ＞0,∴1a＋1b＝⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b(a＋b)＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4,当且仅当a＝b＝12时等号成立．]用综合法与分析法证明不等式【例1】设a,b,c,d均为正数,且a＋b＝c＋d.证明：(1)若ab＞cd,则a＋b＞c＋d;(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．[证明](1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab,(c＋d)2＝c＋d＋2cd,由题设a＋b＝c＋d,ab＞cd,得(a＋b)2＞(c＋d)2.因此a＋b＞c＋d.(2)①必要性：若|a－b|＜|c－d|,则(a－b)2＜(c－d)2,即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d,所以ab＞cd.由(1),得a＋b＞c＋d.②充分性：若a＋b＞c＋d,则(a＋b)2＞(c＋d)2,即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d,所以ab＞cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因为|a－b|＜|c－d|.综上,a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．[规律方法]分析法与综合法常常结合起来使用,称为分析综合法,其实质是既充分利用已知条件,又时刻瞄准解题目标,即不仅要搞清已知什么,还要明确干什么,通常用分析法找到解题思路,用综合法书写证题过程.设x ≥1,y ≥1,求证：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy .[证明] 由于x ≥1,y ≥1, 要证x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy , 只需证xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.因为[y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1]＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )]＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1)＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)(y －1),因为x ≥1,y ≥1,所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0, 从而所要证明的不等式成立．用放缩法证明不等式【例2】 若a ,b ∈R ,求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.[证明] 当|a ＋b |＝0时,不等式显然成立． 当|a ＋b |≠0时, 由0＜|a ＋b |≤|a |＋|b |⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |, 所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1≤11＋1|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b |＝|a |1＋|a |＋|b |＋|b |1＋|a |＋|b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.[规律方法] 1.在不等式的证明中,“放”和“缩”是常用的推证技巧.常见的放缩变换有： (1)变换分式的分子和分母,如.上面不等式中k ∈N *,k ＞1;(2)利用函数的单调性;(3)真分数性质“若0＜a ＜b ,m ＞0,则.2.在用放缩法证明不等式时,“放”和“缩”均需把握一个度.设n 是正整数,求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1.[证明] 由2n ≥n ＋k ＞n (k ＝1,2,…,n ),得 12n ≤1n ＋k ＜1n .当k ＝1时,12n ≤1n ＋1＜1n ;当k ＝2时,12n ≤1n ＋2＜1n ;…当k ＝n 时,12n ≤1n ＋n＜1n ,∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜n n ＝1.∴原不等式成立．柯西不等式的应用【例3】 (2017·江苏高考)已知a ,b ,c ,d 为实数,且a 2＋b 2＝4,c 2＋d 2＝16,证明：ac ＋bd ≤8. [证明] 由柯西不等式,得(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)． 因为a 2＋b 2＝4,c 2＋d 2＝16, 所以(ac ＋bd )2≤64, 因此ac ＋bd ≤8.[规律方法] 1.使用柯西不等式证明的关键是恰当变形,化为符合它的结构形式,当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时,就可使用柯西不等式进行证明.2.利用柯西不等式求最值的一般结构为：≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时,要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.已知大于1的正数x ,y ,z 满足x ＋y ＋z ＝3 3.求证：x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x＋z 2z ＋2x ＋3y≥32.[证明] 由柯西不等式及题意得,x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ·[(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )]≥(x ＋y ＋z )2＝27.又(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )＝6(x ＋y ＋z )＝183,∴x2x＋2y＋3z＋y2y＋2z ＋3x＋z2z＋2x＋3y≥27183＝32,当且仅当x＝y＝z＝3时,等号成立.1．(2017·全国卷Ⅱ)已知a>0,b>0,a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4;(2)a＋b≤2.[证明](1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3(a＋b)24(a＋b)＝2＋3(a＋b)34,所以(a＋b)3≤8,因此a＋b≤2.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x－12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x＋12,M为不等式f(x)＜2的解集．(1)求M;(2)证明：当a,b∈M时,|a＋b|＜|1＋ab|.[解](1)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x，x≤－12，1，－12＜x＜12，2x，x≥12.当x≤－12时,由f(x)＜2得－2x＜2,解得x＞－1;当－12＜x＜12时,f(x)＜2;当x≥12时,由f(x)＜2得2x＜2,解得x＜1.所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．(2)证明：由(1)知,当a,b∈M时,－1＜a＜1,－1＜b＜1,从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.因此|a＋b|＜|1＋ab|.。
利用导数证明不等式(经典导学案及练习答案详解)
§3.6 利用导数证明不等式题型一 将不等式转化为函数的最值问题例1 已知函数g (x )＝x 3＋ax 2.(1)若函数g (x )在[1,3]上为单调函数，求a 的取值范围；(2)已知a >－1，x >0，求证：g (x )>x 2ln x .(1)解 由题意知，函数g (x )＝x 3＋ax 2，则g ′(x )＝3x 2＋2ax ，若g (x )在[1,3]上单调递增，则g ′(x )＝3x 2＋2ax ≥0在[1,3]上恒成立，则a ≥－32； 若g (x )在[1,3]上单调递减，则g ′(x )＝3x 2＋2ax ≤0在[1,3]上恒成立，则a ≤－92.所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－92∪⎣⎡⎭⎫－32，＋∞. (2)证明 由题意得，要证g (x )>x 2ln x ，x >0，即证x 3＋ax 2>x 2ln x ，即证x ＋a >ln x ， 令u (x )＝x ＋a －ln x ，x >0，可得u ′(x )＝1－1x ＝x －1x，x >0， 当0<x <1时，u ′(x )<0，函数u (x )单调递减；当x >1时，u ′(x )>0，函数u (x )单调递增．所以u (x )≥u (1)＝1＋a ，因为a >－1，所以u (x )>0，故当a >－1时，对于任意x >0，g (x )>x 2ln x .教师备选已知函数f (x )＝1－ln x x ，g (x )＝a e e x ＋1x－bx ，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )的一个公共点是A (1,1)，且在点A 处的切线互相垂直．(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x ≥1时，f (x )＋g (x )≥2x. (1)解 因为f (x )＝1－ln x x，x >0，所以f ′(x )＝ln x －1x 2，f ′(1)＝－1. 因为g (x )＝a e e x ＋1x－bx ， 所以g ′(x )＝－a e e x －1x 2－b . 因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )的一个公共点是A (1,1)，且在点A 处的切线互相垂直， 所以g (1)＝1，且f ′(1)·g ′(1)＝－1，所以g (1)＝a ＋1－b ＝1，g ′(1)＝－a －1－b ＝1，解得a ＝－1，b ＝－1.(2)证明 由(1)知，g (x )＝－e e x ＋1x＋x ， 则f (x )＋g (x )≥2x ⇔1－ln x x －e e x －1x＋x ≥0. 令h (x )＝1－ln x x －e e x －1x＋x (x ≥1)， 则h (1)＝0，h ′(x )＝－1＋ln x x 2＋e e x ＋1x 2＋1＝ln x x 2＋e e x＋1. 因为x ≥1，所以h ′(x )＝ln x x 2＋e e x ＋1>0， 所以h (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ≥1时，h (x )≥h (1)＝0，即1－ln x x －e e x －1x＋x ≥0， 所以当x ≥1时，f (x )＋g (x )≥2x. 思维升华 待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．跟踪训练1 已知函数f (x )＝ln x ＋a x，a ∈R . (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当a >0时，证明：f (x )≥2a －1a. (1)解 f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2(x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a >0时，若x >a ，则f ′(x )>0，函数f (x )在(a ，＋∞)上单调递增；若0<x <a ，则f ′(x )<0，函数f (x )在(0，a )上单调递减．(2)证明 由(1)知，当a >0时，f (x )min ＝f (a )＝ln a ＋1.要证f (x )≥2a －1a ，只需证ln a ＋1≥2a －1a， 即证ln a ＋1a－1≥0. 令函数g (a )＝ln a ＋1a－1， 则g ′(a )＝1a －1a 2＝a －1a 2(a >0)， 当0<a <1时，g ′(a )<0；当a >1时，g ′(a )>0，所以g (a )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g (a )min ＝g (1)＝0.所以ln a ＋1a－1≥0恒成立， 所以f (x )≥2a －1a. 题型二 将不等式转化为两个函数的最值进行比较例2 (2022·武汉模拟)已知函数f (x )＝a ln x ＋x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，证明：xf (x )<e x .(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋1＝x ＋a x. 当a ≥0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <0时，若x ∈(－a ，＋∞)，则f ′(x )>0；若x ∈(0，－a )，则f ′(x )<0.所以f (x )在(－a ，＋∞)上单调递增，在(0，－a )上单调递减．综上所述，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )在(－a ，＋∞)上单调递增，在(0，－a )上单调递减．(2)证明 当a ＝1时，要证xf (x )<e x ，即证x 2＋x ln x <e x ，即证1＋ln x x <e x x 2. 令函数g (x )＝1＋ln x x， 则g ′(x )＝1－ln x x 2. 令g ′(x )>0，得x ∈(0，e)；令g ′(x )<0，得x ∈(e ，＋∞)．所以g (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (e)＝1＋1e， 令函数h (x )＝e xx2， 则h ′(x )＝e x (x －2)x 3. 当x ∈(0,2)时，h ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0.所以h (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以h (x )min ＝h (2)＝e 24. 因为e 24－⎝⎛⎭⎫1＋1e >0， 所以h (x )min >g (x )max ，即1＋ln x x <e xx2，从而xf (x )<e x 得证． 教师备选(2022·长沙模拟)已知函数f (x )＝e x 2－x ln x ．求证：当x >0时，f (x )<x e x ＋1e. 证明 要证f (x )<x e x ＋1e， 只需证e x －ln x <e x ＋1e x， 即e x －e x <ln x ＋1e x. 令h (x )＝ln x ＋1e x(x >0)， 则h ′(x )＝e x －1e x2， 易知h (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增， 则h (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫1e ＝0，所以ln x ＋1e x≥0. 再令φ(x )＝e x －e x ，则φ′(x )＝e －e x ，易知φ(x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则φ(x )max ＝φ(1)＝0，所以e x －e x ≤0.因为h (x )与φ(x )不同时为0，所以e x －e x <ln x ＋1e x，故原不等式成立． 思维升华 若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．本例中同时含ln x 与e x ，不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．跟踪训练2 (2022·百校大联考)已知函数f (x )＝eln x －ax (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当a ＝e 时，证明：xf (x )－e x ＋2e x ≤0.(1)解 f ′(x )＝e x－a (x >0)， ①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②若a >0，则当0<x <e a时，f ′(x )>0； 当x >e a时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，e a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫e a ，＋∞上单调递减． (2)证明 因为x >0，所以只需证f (x )≤e x x－2e ， 当a ＝e 时，由(1)知，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．所以f (x )max ＝f (1)＝－e.设g (x )＝e x x －2e(x >0)，则g ′(x )＝(x －1)e x x 2， 所以当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝－e.综上，当x >0时，f (x )≤g (x )，即f (x )≤e x x －2e. 故不等式xf (x )－e x ＋2e x ≤0得证．题型三 适当放缩证明不等式例3 已知函数f (x )＝e x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)当x >－2时，求证：f (x )>ln(x ＋2)．(1)解 由f (x )＝e x ，得f (0)＝1，f ′(x )＝e x ，则f ′(0)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －1＝x －0，所以所求切线方程为x －y ＋1＝0.(2)证明 设g (x )＝f (x )－(x ＋1)＝e x －x －1(x >－2)，则g ′(x )＝e x －1，当－2<x <0时，g ′(x )<0；当x >0时，g ′(x )>0，即g (x )在(－2,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，于是当x ＝0时，g (x )min ＝g (0)＝0，因此f (x )≥x ＋1(当且仅当x ＝0时取等号)，令h (x )＝x ＋1－ln(x ＋2)(x >－2)，则h ′(x )＝1－1x ＋2＝x ＋1x ＋2， 则当－2<x <－1时，h ′(x )<0，当x >－1时，h ′(x )>0，即有h (x )在(－2，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，于是当x ＝－1时，h (x )min ＝h (－1)＝0，因此x ＋1≥ln(x ＋2)(当且仅当x ＝－1时取等号)，所以当x >－2时，f (x )>ln(x ＋2)． 教师备选已知函数f (x )＝x ln x x ＋m，g (x )＝x e x ，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为x －2y ＋n ＝0. (1)求m ，n 的值；(2)证明：f (x )>2g (x )－1.(1)解 由已知得，f (1)＝0，∴1－0＋n ＝0，解得n ＝－1.∵f ′(x )＝(ln x ＋1)(x ＋m )－x ln x (x ＋m )2，∴f ′(1)＝m ＋1(1＋m )2＝12， 解得m ＝1.(2)证明 设h (x )＝e x －x －1(x >0)，则h ′(x )＝e x －1>0，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴h (x )>h (0)＝0，即e x >x ＋1>1，∴1e x <1x ＋1. 要证f (x )>2g (x )－1，即证x ln x x ＋1>2x e x－1， 只需证x ln x x ＋1≥2x x ＋1－1， 即证x ln x ≥x －1，令m (x )＝x ln x －x ＋1，则m ′(x )＝ln x ，∴当x ∈(0,1)时，m ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，m ′(x )>0，∴m (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴m (x )min ＝m (1)＝0，即m (x )≥0，∴x ln x ≥x －1，则f (x )>2g (x )－1得证．思维升华 导数方法证明不等式中，最常见的是e x 和ln x 与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对e x 和ln x 进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下：(1)e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时取等号．(2)ln x ≤x －1，当且仅当x ＝1时取等号．跟踪训练3 已知函数f (x )＝a e x －1－ln x －1.(1)若a ＝1，求f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)证明：当a ≥1时，f (x )≥0.(1)解 当a ＝1时，f (x )＝e x －1－ln x －1(x >0)，f ′(x )＝e x －1－1x， k ＝f ′(1)＝0，又f (1)＝0，∴切点为(1,0)．∴切线方程为y －0＝0(x －1)，即y ＝0.(2)证明 ∵a ≥1，∴a e x －1≥e x －1，∴f (x )≥e x －1－ln x －1.方法一 令φ(x )＝e x －1－ln x －1(x >0)，∴φ′(x )＝e x －1－1x， 令h (x )＝e x －1－1x， ∴h ′(x )＝e x －1＋1x 2>0， ∴φ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，又φ′(1)＝0，∴当x ∈(0,1)时，φ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )>0，∴φ(x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴φ(x )min ＝φ(1)＝0，∴φ(x )≥0，∴f (x )≥φ(x )≥0，即f (x )≥0.方法二 令g (x )＝e x －x －1，∴g ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，∴g (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴g (x )min ＝g (0)＝0，故e x ≥x ＋1，当且仅当x ＝0时取“＝”．同理可证ln x ≤x －1，当且仅当x ＝1时取“＝”．由e x ≥x ＋1⇒e x －1≥x (当且仅当x ＝1时取“＝”)，由x －1≥ln x ⇒x ≥ln x ＋1(当且仅当x ＝1时取“＝”)，∴e x －1≥x ≥ln x ＋1，即e x －1≥ln x ＋1，即e x －1－ln x －1≥0(当且仅当x ＝1时取“＝”)，即f (x )≥0.课时精练1．已知函数f (x )＝ln x x ＋a(a ∈R )，曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝1e . (1)求实数a 的值，并求f (x )的单调区间；(2)求证：当x >0时，f (x )≤x －1.(1)解 ∵f (x )＝ln x x ＋a， ∴f ′(x )＝x ＋a x －ln x (x ＋a )2，∴f ′(e)＝a e (e ＋a )2， 又曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝1e， 则f ′(e)＝0，即a ＝0，∴f ′(x )＝1－ln x x 2， 令f ′(x )>0，得1－ln x >0，即0<x <e ；令f ′(x )<0，得1－ln x <0，即x >e ，∴f (x )的单调递增区间是(0，e)，单调递减区间是(e ，＋∞)．(2)证明 当x >0时，要证f (x )≤x －1，即证ln x －x 2＋x ≤0，令g (x )＝ln x －x 2＋x (x >0)，则g ′(x )＝1x －2x ＋1＝1＋x －2x 2x＝－(x －1)(2x ＋1)x， 当0<x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，∴g (x )≤g (1)＝0，即当x >0时，f (x )≤x －1.2．已知f (x )＝x ln x .(1)求函数f (x )的极值；(2)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x成立． (1)解 由f (x )＝x ln x ，x >0，得f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以当x ＝1e时，f (x )取得极小值， f (x )极小值＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e，无极大值． (2)证明 问题等价于证明x ln x >x e x －2e(x ∈(0，＋∞))． 由(1)可知f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e ，当且仅当x ＝1e时取到． 设m (x )＝x e x －2e(x ∈(0，＋∞))， 则m ′(x )＝1－x ex ，由m ′(x )<0，得x >1时，m (x )单调递减；由m ′(x )>0得0<x <1时，m (x )单调递增，易知m (x )max ＝m (1)＝－1e，当且仅当x ＝1时取到．从而对一切x ∈(0，＋∞)，x ln x ≥－1e ≥x e x －2e ，两个等号不同时取到，所以对一切x ∈(0，＋∞)都有ln x >1e x －2e x成立．3．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(2)证明：e x －e 2ln x >0恒成立．(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x， 当a ≤0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0； x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)证明 要证e x －e 2ln x >0，即证e x －2>ln x ，令φ(x )＝e x －x －1，∴φ′(x )＝e x －1.令φ′(x)＝0，得x＝0，∴当x∈(－∞，0)时，φ′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，∴φ(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(0)＝0，即e x－x－1≥0，即e x≥x＋1，当且仅当x＝0时取“＝”．同理可证ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取“＝”．由e x≥x＋1(当且仅当x＝0时取“＝”)，可得e x－2≥x－1(当且仅当x＝2时取“＝”)，又x－1≥ln x，当且仅当x＝1时取“＝”，∴e x－2≥x－1≥ln x且两等号不能同时成立，故e x－2>ln x．即证原不等式成立．4．(2022·常德模拟)已知函数f(x)＝x e x－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x>0时，f(x)－ln x≥1.(1)解由题意得f′(x)＝(x＋1)e x－1，设g(x)＝(x＋1)e x，则g′(x)＝(x＋2)e x，当x≤－1时，g(x)≤0，f′(x)<0，f(x)在(－∞，－1]上单调递减；当x>－1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，又因为g(0)＝1，所以当x<0时，g(x)<1，即f′(x)<0，当x>0时，g(x)>1，即f′(x)>0，综上可知，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)证明要证f(x)－ln x≥1，即证x e x－x－ln x≥1，即证e x＋ln x－(x＋ln x)≥1，令t＝x＋ln x，易知t∈R，待证不等式转化为e t－t≥1.设u(t)＝e t－t，则u′(t)＝e t－1，当t<0时，u′(t)<0，当t>0时，u′(t)>0，故u(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．所以u(t)≥u(0)＝1，原命题得证．。
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.4 基本不等式导学案(1)
基本不等式中不等式在各种题型中均有出现，渗透在各类考试试卷中；基本不等式是不等式中高频考点之一，其应用、变形等是考试热点．本节将针对于基本不等式及其常见母题进行解答技巧的讲解与归纳．1．基本不等式ab ≤a ＋b2基本不等式的使用条件：① 一正：a ＞0，b ＞0，即：所求最值的各项必须都是正值；② 二定：ab 或a ＋b 为定值，即：含变量的各项的和或积必须是常数； ③ 三相等：当且仅当a ＝b 时取等号；即：等号能否取得．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，若忽略了某个条件，就会出现错误． 2．由公式a 2＋b 2≥2ab 和ab ≤a ＋b2可以引申出的常用结论(1)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (2)b a ＋a b≤－2(a ，b 异号)； (3)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫或ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x ＞0，y ＞0，且xy ＝P (定值)．那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P ．(简记：“积定和最小”) (2)如果x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝S (定值)．那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24．(简记：“和定积最大”)类型一、直接应用类此类问题较为基础，利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可．解答技巧一：直接应用【母题一】若x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________． 【解析】由于x ＞0，y ＞0，则x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，xy 取到最大值81．【答案】81 【变式】1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f (x )有 ( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4【解析】∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋1－x －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号．【答案】C2．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为 ( ) A ．13 B ．12 C ．34D ．23【解析】∵0＜x ＜1，∴1－x ＞0．∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34．当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．【答案】B3．(2014·成都诊断)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝3x，若f (a ＋b )＝9，则f (ab )的最大值为__________．【解析】∵3a ＋b＝9，∴a ＋b ＝2≥2ab ，得ab ≤1，∴f (ab )＝3ab≤3．【答案】34．已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是________．【解析】依题意得a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |·|2b |＝22|ab |＝2100＝20，当且仅当|a |＝|2b |＝10时取等号，因此|a ＋2b |的最小值是20．【答案】20类型二、配凑定值类(恒等变形类)此类问题一般不能直接使用基本不等式，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，凑项，凑系数等．不论条件怎么变形，都需要根据条件：凑和为定值时求积最大、凑积为定值求和最小．解答技巧二：拆项【母题二】已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．【解析】∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，且在t ＝1时取等号．【答案】－2解答技巧三：凑项【母题三】若x ＞2，则函数y ＝x ＋1x －2的最小值为________． 【解析】∵x ＞2，∴y ＝(x －2)＋1x －2＋2≥2＋2＝4，当且仅当x ＝3时取等号． 【答案】4 解答技巧四：凑系数【母题四】若0＜x ＜83，则函数y ＝x (8－3x )的最大值为________．【解析】∵x ＞2，∴y ＝13(3x )(8－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋8－3x 22＝163，当且仅当x ＝43时取等号． 【答案】163【变式】1．函数y ＝x 2＋2x －1(x ＞1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2【解析】∵x ＞1，∴x －1＞0．∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2x －1＋3x －1＝x －12＋2x －1＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1＋2＝23＋2．当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．【答案】A2．当x ＞1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的最大值为________． 【解析】∵x ＞1，∴x －1＞0．又x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立．则a ≤3，所以a 的最大值为3．【答案】33．(2014·潍坊一模)已知a ＞b ＞0，ab ＝1，则a 2＋b 2a －b的最小值为________．【解析】a 2＋b 2a －b ＝a －b 2＋2ab a －b ＝a －b 2＋2a －b ＝(a －b )＋2a －b≥22．当且仅当a －b ＝2时，取等号．【答案】2 2 4．已知函数f (x )＝2xx 2＋6． (1)若f (x )＞k 的解集为{x |x ＜－3，或x ＞－2}，求k 的值； (2)对任意x ＞0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围． 【解】(1)f (x )＞k ⇔kx 2－2x ＋6k ＜0．由已知{x |x ＜－3，或x ＞－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2． 由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25．(2)因为x ＞0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号． 由已知f (x )≤t 对任意x ＞0恒成立，故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞．类型三、条件最值类利用基本不等式求最值的方法及注意点(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．技巧五：换衣(“1”)(或整体代换)【母题五】已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．【解析】∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 【答案】4 【变式】1．本例的条件不变，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为________．【解析】⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9．当且仅当a ＝b ＝12时，取等号． 【答案】92．本例的条件和结论互换即：已知a ＞0，b ＞0，1a ＋1b＝4，则a ＋b 的最小值为________．【解析】由1a ＋1b ＝4，得14a ＋14b ＝1．∴a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＋14b (a ＋b )＝12＋b 4a ＋a 4b ≥12＋2b 4a ＋a4b＝1．当且仅当a ＝b ＝12时取等号．【答案】13．若本例条件变为：已知a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b的最小值为________．【解析】由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋23b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2a 3b ·4b 3a ＝83．当且仅当a ＝2b ＝32时，取等号．【答案】834．本例的条件变为：已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________．【解析】∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋ca＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9．当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号． 【答案】95．若本例变为：已知各项为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m ·a n ＝22a 1，则1m ＋4n的最小值为________．【解析】设公比为q (q ＞0)，由a 7＝a 6＋2a 5⇒a 5q 2＝a 5q ＋2a 5⇒q 2－q －2＝0(q ＞0)⇒q ＝2．a m ·a n ＝22a 1⇒a 12m －1·a 12n －1＝8a 21⇒2m －1·2n －1＝8⇒m ＋n －2＝3⇒m ＋n ＝5，则1m ＋4n ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n (m ＋n )＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋4m n ≥15(5＋24)＝95，当且仅当n ＝2m ＝103时等号成立．【答案】956．(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A ．245B ．285C ．5D ．6【解析】∵x ＞0，y ＞0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝1．∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3xy ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)．【答案】C7．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥1＋a ＋2a ，∴当1＋a ＋2a ≥9时不等式恒成立，故a ＋1≥3，a ≥4．【答案】B技巧六：构造一元二次不等式在运用该方式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b2≥ab (a ，b ＞0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．思考方式还能以保留“和(a ＋b )”还是“积(ab )”来确定公式的运用方向．【变式】1．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．92D ．112【解析】依题意，得2xy ＝－(x ＋2y )＋8≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，x ＋2y ＋2xy ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1时等号成立．∴(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，解得x ＋2y ≥4或x ＋2y ≤－8(舍去)，∴x ＋2y 的最小值是4．【答案】B2．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( ) A ．23B ．223C ．33D ．233【解析】对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13(1x －x )，∴x ＋y ＝2x 3＋13x ≥229＝223(当且仅当2x 3＝13x，即x ＝22时等号成立)． 【答案】B3．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 【解析】x 2＋y 2＋xy ＝1⇔(x ＋y )2－xy ＝1⇔(x ＋y )2－1＝xy ≤(x ＋y2)2，解得－233≤x ＋y ≤233． 【答案】233类型四、基本不等式的应用1．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．【解析】设x 为仓库与车站距离，由已知y 1＝20x，y 2＝0.8x ．费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x≥20.8x ·20x ＝8，当且仅当0．8x ＝20x，即x ＝5时等号成立．【答案】52．创新题规定记号“⊙”表示一种运算，即a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊙k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊙xx的最小值为________．【解析】1⊙k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，∴k ＝1或k ＝－2(舍)，∴k ＝1．f (x )＝k ⊙x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x ≥1＋2＝3，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立．【答案】1；33．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)(a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1b的最小值是( )A ．4B ．92C ．8D ．9【解析】∵AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．若A ，B ，C 三点共线，则有AB →∥AC →， ∴(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，又a ＞0，b ＞0，∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2ab≥5＋22b a ×2a b＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立．【答案】D4．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1C ．94D ．3【解析】由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)，则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1．【答案】B5．已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋3＝xy ，且不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】要使(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则有(x ＋y )2＋1≥a (x ＋y )，即a ≤(x ＋y )＋1x ＋y恒成立．由x ＋y ＋3＝xy ，得x ＋y ＋3＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0，解得x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去)．设t ＝x ＋y ，则t ≥6，(x ＋y )＋1x ＋y ＝t ＋1t ．设f (t )＝t ＋1t，则在t ≥6时，f (t )单调递增，所以f (t )＝t ＋1t 的最小值为6＋16＝376，所以a ≤376，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，376． 【答案】⎝⎛⎦⎥⎤－∞，376【总结】对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用对勾函数y ＝x ＋mx(m ＞0)的单调性．1．小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a ＜v ＜abB ．v ＝abC ．ab ＜v ＜a ＋b2D ．v ＝a ＋b2【解析】设甲、乙两地之间的距离为s ．∵a ＜b ，∴v ＝2s s a ＋s b＝2sab a ＋b s ＝2ab a ＋b ＜2ab2ab＝ab ．又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b＝0，∴v ＞a ． 【答案】A2．函数y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1的最小值是( )A ．2 3B ．2C ．3D ．5【解析】y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1＝(x 2＋1)2＋(x 2＋1)＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1 x 2＋1＋1≥2＋1＝3，当且仅当(x 2＋1)＝1x 2＋1，即x ＝0时，取等号． 【答案】C3．(2011·湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋4y 2的最小值为________．【解析】⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时，等号成立． 【答案】94．(2014·贵阳适应性监测)已知向量m ＝(2,1)，n ＝(1－b ，a )(a ＞0，b ＞0)．若m ∥n ，则ab 的最大值为__________．【解析】依题意得2a ＝1－b ，即2a ＋b ＝1(a ＞0，b ＞0)，因此1＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤18，当且仅当2a ＝b ＝12时取等号，因此ab 的最大值是18．【答案】185．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．【解】(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． ∴xy 的最小值为64．(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y ·8yx＝18．当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18．1．(2012·福建)下列不等式一定成立的是 ( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14＞lg x (x ＞0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D ．1x 2＋1＞1(x ∈R ) 【解析】当x ＞0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x (x ＞0)，故选项A 不正确；而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确． 【答案】C2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A ．72 B ．4 C ．92D ．5【解析】依题意，得1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ·4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4a b，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92．【答案】C3．若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是 ( )A ．43 B ．53 C ．2D ．54【解析】由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2．【答案】C4．已知a ＞b ＞0，则a 2＋16ba －b的最小值是________． 【解析】∵a ＞b ＞0，∴b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，当且仅当a ＝2b 时等号成立．∴a 2＋16b a －b ≥a 2＋16a 24＝a 2＋64a2≥2a 2·64a 2＝16，当且仅当a ＝22时等号成立．∴当a ＝22，b ＝2时，a 2＋16b a －b取得最小值16．【答案】165．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【解】(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x－200≥212x ·80 000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200元． (2)不获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为x ∈[400,600]，所以S ∈[－80 000，－40 000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．1．函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x ＞－1)的最小值是( )A ．9B ．2 3C ．10D ．2【解析】∵x ＞－1，∴x ＋1＞0．∴y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1＋5＝9．当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，取等号．【答案】A2．(2015·金华十校模拟)已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4．【答案】B3．(2015·西安模拟)设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2B ．32 C ．1D ．12【解析】由a x ＝b y＝3，得x ＝log a 3，y ＝log b 3，则1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝lg a ＋lg b lg 3＝lg ab lg 3．又a ＞1，b ＞1，所以ab ≤(a ＋b 2)2＝3，所以lg ab ≤lg 3，从而1x ＋1y ≤lg 3lg 3＝1，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．【答案】C4．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2y的最小值是_____________．【解析】∵1x ＋2y＝(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝4＋y x ＋4x y≥4＋2y x ·4x y ＝8，当且仅当y ＝12，x ＝14时，等号成立． 【答案】C5．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20． (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．【解】(1)∵x ＞0，y ＞0，由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy ．∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10．∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1．∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1．(2)∵x ＞0，y ＞0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25yx ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020．1．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．92D ．112【解析】依题意，得(x ＋1)(2y ＋1)＝9，∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2x ＋12y ＋1＝6，即x ＋2y ≥4．当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2y ＋1，x ＋2y ＋2xy ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1时等号成立． ∴x ＋2y 的最小值是4．【答案】B2．若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．52【解析】∵a ＞1，b ＞1，∴lg a ＞0，lg b ＞0．lg a ·lg b ≤lg a ＋lg b24＝lg ab 24＝1．当且仅当a ＝b ＝10时取等号．【答案】B3．已知不等式x ＋2x ＋1＜0的解集为{x |a ＜x ＜b }，点A (a ，b )在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则2m＋1n的最小值为( ) A ．4 2 B ．8 C ．9D ．12【解析】易知不等式x ＋2x ＋1＜0的解集为(－2，－1)，所以a ＝－2，b ＝－1,2m ＋n ＝1，2m ＋1n ＝(2m ＋n )(2m＋1n )＝5＋2m n ＋2n m ≥5＋4＝9(当且仅当m ＝n ＝13时取等号)，所以2m ＋1n的最小值为9． 【答案】C4．(2014·成都诊断)函数f (x )＝lgx2－x，若f (a )＋f (b )＝0，则3a ＋1b的最小值为_________．【解析】依题意得0＜a ＜2，0＜b ＜2，且lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a ·b 2－b ＝0，即ab ＝(2－a )(2－b )，a ＋b 2＝1，3a ＋1b ＝a ＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3b a ＋a b ≥12(4＋23)＝2＋3，当且仅当3b a ＝ab ，即a ＝3－3，b ＝3－1时取等号，因此3a ＋1b的最小值是2＋3．【答案】2＋ 35．(2014·泰安期末考试)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)【解】(1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50(0＜x ≤10，x ∈N )， 即y ＝－x 2＋20x －50(0＜x ≤10，x ∈N )，由－x 2＋20x －50＞0，解得10－52＜x ＜10＋52．而2＜10－52＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为y ＝1x [y ＋(25－x )]＝1x (－x 2＋19x －25)＝19－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而19－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－2x ·25x＝9，当且仅当x ＝5时等号成立，即小王应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大．1．若a ，b ∈R 且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2abB ．1a ＋1b＞2abC ．b a ＋ab≥2D ．a 2＋b 2＞2ab【解析】∵ab ＞0，∴b a ＞0，a b ＞0．由基本不等式得b a ＋a b ≥2，当且仅当b a ＝a b，即a ＝b 时等号成立． 【答案】C2． 函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】点A (－2，－1)，所以2m ＋n ＝1．所以1m ＋2n＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ＝4＋n m ＋4m n≥8，当且仅当n ＝2m ，即m ＝14，n ＝12时等号成立．【答案】C3．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________．【解析】由x 2＋y 2＋xy ＝1，得(x ＋y )2－xy ＝1，即xy ＝(x ＋y )2－1≤(x ＋y )24，所以34(x ＋y )2≤1，故－233≤x ＋y ≤233，当x ＝y 时等号成立，所以x ＋y 的最大值为233． 【答案】2334．已知x ＞0，y ＞0，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．【解析】∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y 4≥2xy12，∴xy ≤3，当且仅当x 3＝y4时取等号．【答案】35．(2014·重庆卷)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是__________．【解析】由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得3a ＋4b ＝ab ，且a ＞0，b ＞0，∴4a ＋3b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )·(4a＋3b)＝7＋(3ab＋4ba)≥7＋23ab·4ba＝7＋43，当且仅当3ab＝4ba时取等号．【答案】7＋4 3。
最新高考数学一轮复习-第七章-不等式【导学案】
第七章不等式第一节不等式的性质及一元二次不等式课程标准1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2．会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．3．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．4．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图．[由教材回扣基础]1．比较两个实数大小的方法关系方法作差法作商法a >b a －b >0a b >1(a ，b >0)或ab<1(a ，b <0)a ＝b a －b ＝0ab＝1(b ≠0)a <ba －b <0a b <1(a ，b >0)或ab>1(a ，b <0)2.不等式的性质性质性质内容注意对称性a >b ⇔b <a ；a <b ⇔b >a 可逆传递性a >b ，b >c ⇒a >c ；a <b ，b <c ⇒a <c同向可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c可逆可乘性a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bcc 的符号同向可加性a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d同向同向同正可乘性a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 同向同正可乘方性a >b >0，n ∈N *⇒a n >b n 同正可开方性a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒na >nb同正3.一元二次不等式与二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b 2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根有两个相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两个相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实数根续表(1)倒数性质①a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b ；②a ＜0＜b ⇒1a ＜1b ；③a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞bd；④0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b ＜1x ＜1a .(2)两个重要不等式若a ＞b ＞0，m ＞0，则：①b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m a －m (b －m ＞0)；②a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －m b －m (b －m ＞0)．(3)一元二次不等式恒成立问题①不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，x ∈R 恒成立⇔a >0且Δ<0；②不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)，x ∈R 恒成立⇔a <0且Δ<0；③若a 可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a ＝0的情形．(4)简单分式不等式①f (x )g (x )≥0x )g (x )≥0，(x )≠0；②f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )>0.(5)对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记a ＝0时的情形．(6)当Δ<0时，不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别．[练小题巩固基础]一、准确理解概念(判断正误)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．()(2)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变．()(3)一个非零实数越大，则其倒数就越小．()(4)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.()(5)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×二、练牢教材小题1．(人教A 版必修⑤P 75B 组T 1改编)设A ＝(x －3)2，B ＝(x －2)(x －4)，则A 与B 的大小关系为()A ．A ≥B =B ．.A >BC ．A ≤BD ．.A <B解析：选B因为A －B ＝(x 2－6x ＋9)－(x 2－6x ＋8)＝1>0，所以A >B .故选B.2．(新人教A 版必修①P42例2改编)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有()A.a c －b a ＞0B.a c －b d ＜0C.a d ＞b cD.a d ＜b c答案：D3．(新湘教版必修①P 54例6改编)已知不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为(－3，－1)，则实数a ＝______，b ＝______.答案：43三、练清易错易混1．(乘法运算忽视符号)已知实数a ∈(－3,1)，b ，则ab 的取值范围是()A ．(－12,8) B.(－24,8)C.(－24,4)D.(－12,4)解析：选B当－3<a ≤0时，a b ∈(－24,0]；当0<a <1时，a b ∈(0,8)．综上可知ab∈(－24,8)．2．(忽视二次项的符号)不等式(x －2)(3－2x )≥0的解集为________．解析：由(x －2)(3－2x )≥0得(x －2)(2x －3)≤0，解得32≤x ≤2，故不等式的解集为32，2.答案：32，23．(忽视对含参二次项系数的讨论)若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是________．解析：原不等式可整理为(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4>0.当m ＝2时，不等式为4>0，该不等式恒成立；当m ≠2时，－m >0，－2m )2－4×4(2－m )<0，解得－2<m <2.综上知实数m的取值范围是(－2,2]．答案：(－2,2]命题视角一不等式的性质及应用(自主练通)1．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是()A ．①④B ．②③C ．①③D ．.②④解析：选C因为1a <1b<0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误．综上所述，可排除A 、B 、D.2．已知实数a ，b ，c 满足c <b <a 且ac <0，则下列不等式不一定成立的是()A ．ab >acB ．.c (b －a )>0C ．ac (a －c )<0D ．.cb 2<ab 2解析：选D因为c <b <a 且ac <0，所以c <0，a >0，所以ab >ac ，故A 一定成立；又b－a <0，所以c (b －a )>0，故B 一定成立；又a －c >0，ac <0，所以ac (a －c )<0，故C 一定成立；当b ＝0时，cb 2＝ab 2，当b ≠0时，有cb 2<ab 2，故D 不一定成立．3．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．c ≥b >aB ．.a >c ≥bC ．c >b >aD ．.a >c >b解析：选A∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b .又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a .4．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是______．解析：∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0.∴－3<α－|β|<3.答案：(－3,3)[一“点”就过]1．比较两个数(式)大小的2种方法2．谨记2个注意点(1)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．(2)在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大．命题视角二一元二次不等式的解法[典例](1)不等式2x＋3－x2>0的解集是()A．{x|－1<x<3}B．.{x|x>3或x<－1}C．{x|－3<x<1}D．.{x|x>1或x<－3}(2)已知常数a∈R，解关于x的不等式12x2－ax>a2.[解析](1)选A原不等式变形为x2－2x－3<0，即(x－3)(x＋1)<0，解得－1<x<3.故选A.(2)由题意，得12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0.令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－a4，x2＝a.①当a>0时，解集为；②当a＝0时，x2>0，解集为3；③当a<0时，解集为综上所述，当a>0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为；当a<0时，不等式的解集为[方法技巧]1．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．2．“三个二次”之间的关系若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根是x 1，x 2，则x 1，x 2是不等式ax 2＋bx ＋c >0(或ax 2＋bx ＋c <0)解集的端点，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标．[针对训练]1．若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，那么不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax 的解集为()A ．{x |－2<x <1}B ．.{x |x <－2或x >1}C ．{x |0<x <3}D ．.{x |x <0或x >3}解析：选C 由题意a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax ，整理得ax 2＋(b －2a )x ＋(a ＋c －b )>0，①又不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，则a <0，且－1,2分别为方程ax 2＋bx ＋c＝0的两根，由根与系数的关系，1＋2＝－ba，－1)×2＝ca，1，2.②将①两边同除以a 得x 2＋c a －，将②代入得x 2－3x <0，解得0<x <3，故选C.2．不等式0<x 2－x －2≤4的解集为________．解析：原不等式等价于2－x －2>0，2－x －2≤4，2－x －2>0，2－x －6≤0，x －2)(x ＋1)>0，x －3)(x ＋2)≤0，>2或x <－1，2≤x ≤3.故原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}．答案：[－2，－1)∪(2,3]3．已知实数a 满足不等式－3<a <3，求关于x 的不等式(x －a )(x ＋1)>0的解集．解：方程(x －a )(x ＋1)＝0的两根为－1，a .①当a <－1，即－3<a <－1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >－1}；②当a ＝－1时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}；③当a >－1，即－1<a <3时，原不等式的解集为{x |x <－1或x >a }．综上所述，当－3<a <－1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >－1}；当a ＝－1时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}；当－1<a <3时，原不等式的解集为{x |x <－1或x >a }．命题视角三一元二次不等式恒(能)成立问题考法(一)一元二次不等式在实数集R 上的恒成立问题[例1]若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________．[解析]当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x<0，＝k 2－4×2k，解得－3<k <0.综上，满足不等式2kx 2＋kx－38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．[答案](－3,0][方法技巧]一元二次不等式在R 上恒成立的条件不等式类型恒成立条件ax 2＋bx ＋c >0a >0，Δ<0ax 2＋bx ＋c ≥0a >0，Δ≤0ax 2＋bx ＋c <0a <0，Δ<0ax 2＋bx ＋c ≤0a <0，Δ≤0考法(二)一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题[例2]设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，则m的取值范围是________________．[解析]f (x )<－m ＋5即mx2－mx ＋m －6<0，故＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．因为x 2－x ＋1＋34>0，且m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝612＋34在[1,3]上的最小值为67m <67即可．又m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)[答案](－∞，0)[方法技巧]在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f (x )>0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．(2)转化为函数值域问题，即：已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a .考法(三)不等式能成立或有解问题[例3]设a ∈R ，若关于x 的不等式x 2－ax ＋1≥0在区间[1,2]上有解，则()A．a≤2=B．.a≥2C．a≥52D．.a≤52[解析]∵关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1,2]上有解，∴a≤x＋1x在x∈[1,2]上有解⇔a，x∈[1,2]，∵函数y＝x＋1x在[1,2]上单调递增，∴f(x)max＝52，∴a≤52.[答案]D[方法技巧]解决不等式能成立问题的策略一般是转化为函数的最值，即a＞f(x)能成立⇒a＞f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max.[针对训练]1．已知关于x的不等式x2－(k－1)x－k＋1≥0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是()A．(－∞，－3]∪[1，＋∞)B．[－1,3]C．(－∞，1]∪[3，＋∞)D．[－3,1]解析：选D关于x的不等式x2－(k－1)x－k＋1≥0对任意实数x都成立，则Δ＝(k－1)2＋4(k－1)≤0，解得－3≤k≤1.故选D.2．设m为实数，若函数f(x)＝x2－mx＋2在区间(－∞，2)上是减函数，对任意的x1，x2∈，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，则m的取值范围为()A．[4,6]=B．.(4,6)C．(4,6]D．.[4,6)解析：选A函数f(x)＝x2－mx＋2的对称轴为x＝m2，由其在区间(－∞，2)上是减函数，可得m2≥2，∴m≥4.∴m2∈1，m2＋1且m2＋1－m2≤m2－1，∴当x1，x2∈1，m2＋1时，f(x)max＝f(1)＝3－m，f(x)min＝＝－m24＋2.由∀x1，x2∈1，m2＋1，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，∴|f(x1)－f(x2)|max≤4，∴f(x)max－f(x)min≤4，∴(3－m)－m24＋4，即m2－4m－12≤0，解得－2≤m≤6.综上，4≤m≤6，故选A.一题多变·练发散思维——“糖水不等式”的应用（新湘教版必修①P33典例)a g糖水中含有b g糖，若再添加m g糖(其中a＞b＞0，m ＞0)，生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜.根据这个生活常识，你能提炼出一个不等式吗？试给出证明[升维训练]1．(2020·全国Ⅲ卷)已知55<84,134<85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则()A ．a <b <c =B ．.b <a <cC ．b <c <aD ．.c <a <b解析：选A∵log 53－log 85＝log 53－1log 58＝log 53·log 58－1log 58<log 53＋log 5822－15log 52422－15log 52522－150，∴log 53<log 85.∵55<84,134<85，∴5log 85<4,4<5log 138，∴log 85<log 138，∴log 53<log 85<log 138，即a <b <c .2．依据糖水不等式可得出log 32________log 1510(用“＜”或“＞”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式________．解析：①因为0＜log 32＜1，所以可得log 32＝log 52log 53＜log 52＋1log 53＋1⇒log 52log 53＜log 510log 515＝log 1510；②由①可得log 32＜log 1510⇒ln 2ln 3＜ln 10ln 15＝ln 2＋ln 5ln 3＋ln 5，即ln 2＋ln 5ln 3＋ln 5＞ln 2ln 3.答案：＜ln 2＋ln 5ln 3＋ln 5＞ln 2ln 33．若等比数列{a n }的前n项和为S n (a 1>0，q >0)，则S n S n ＋2与的大小关系为________．解析：∵S n ＋2>S n ＋1>S n ，∴S n ＋2S n ＋1＝a 1＋qS n ＋1a 1＋qS n ＝a 1q ＋S n ＋1a 1q＋S n <S n ＋1Sn ，故S n S n ＋2<.答案：S n S n ＋2<[融会贯通]“糖水不等式”，它实际是真分数的一个性质，总结如下：已知a ，b ，m 都是正数，且b >a ，则：(1)真分数的性质：a －m b －m <a b <a ＋mb ＋m(a －m >0)．(2)假分数的性质：b ＋m a ＋m <b a <b －ma －m(a －m >0)．应用“糖水”不等式可解决证明不等式、比较大小、单调性问题．[课时跟踪检测]一、基础练——练手感熟练度1．(2022·济宁模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≥0}，则∁R A 等于()A ．(1,2)=B ．.[1,2]C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．.(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选A 由题意可得，∁R A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}，表示为区间形式即(1,2)．故选A.2．若实数m ，n 满足m >n >0，则()A ．－1m <－1n B.m ＋n >m ＋nD ．.m 2<mn解析：选B取m ＝2，n ＝1，代入各选择项验证A 、C 、D 不成立，只有B 项成立(事实上2＋1>2＋1)．3．若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b 与q ＝a ＋b 的大小关系为()A ．p <q =B ．.p ≤qC ．p >qD ．.p ≥q解析：选Bp －q ＝b 2a ＋a 2b －a －b ＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b ＝(b 2－a 2(b 2－a 2)(b －a )ab＝(b －a )2(a ＋b )ab ，∵a ＜0，b ＜0，∴a ＋b ＜0，ab ＞0，若a ＝b ，则p －q ＝0，此时p ＝q ，若a ≠b ，则p －q ＜0，此时p ＜q ，综上，p ≤q .4．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是()A ．－3，12=B ．.－12，3C.D ．.－12，1∪(1,3]解析：选D因为x ＋5(x －1)2≥2，所以(2x ＋1)(x －3)(x －1)2≤0x ＋1)(x －3)≤0，－1≠0，解得－12≤x ≤3且x ≠1.5．若∀x∈R,2x2－mx＋3≥0恒成立，则实数m的取值范围为________．解析：由题意可知Δ＝m2－24≤0，解得－26≤m≤2 6.答案：[－26，26]二、综合练——练思维敏锐度1．已知x>y>z，且x＋y＋z＝0，下列不等式中成立的是()A．xy>yz=B．.xz>yzC．xy>xz D．.x|y|>z|y|解析：选C因为x>y>z，所以3x>x＋y＋z＝0,3z<x＋y＋z＝0，所以x>0，z<0，>0，>z得xy>xz.故选C.2．已知a为实数，“a>1”是“a2<a3”的()A．充分不必要条件=B．.必要不充分条件C．充要条件D．.既不充分也不必要条件解析：选C当a>1时，a2－a3＝a2(1－a)<0，所以a2<a3；当a2<a3时，a2(a－1)>0，所以a>1.综上，“a>1”是“a2<a3”的充要条件．故选C.3．若关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是()A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B．(1,3)C．(－1,3)D．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选C关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax<b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b<0，∴不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为(x＋1)·(x－3)<0，解得－1<x<3，∴所求解集是(－1,3)．4．若存在x∈[－2,3]，使不等式2x－x2≥a成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1]=B．.(－∞，－8]C．[1，＋∞)D．.[－8，＋∞)解析：选A设f(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，因为存在x∈[－2,3]，使不等式2x－x2≥a成立，所以a≤f(x)max，所以a≤1，故选A.5．我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：“今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，问各几何？”其意是：“今有人出钱576，买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每种竹子单价各是多少钱？”则在这个问题中大竹子的单价可能为()A．6钱B．7钱C．8钱D．.9钱解析：选C依题意可设买大竹子x根，每根单价为m，购买小竹子78－x根，每根单价为m－1钱，所以576＝mx＋(78－x)(m－1)，即78m＋x＝654，即x＝6(109－13m)．因为0≤x≤78，－13m≥0，(109－13m)≤78，≤10913，m，即9613≤m≤10913.根据选项知m＝8，x＝30，所以买大竹子30根，每根8钱．6．(2022·广州模拟)若α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则α－β的取值范围是()A．－π＜α－β＜π=B．.－π＜α－β＜0C．－π2＜α－β＜π2D．.－π2＜α－β＜0解析：选B从题中－π2＜α＜β＜π2可分离出三个不等式－π2＜α＜π2①，－π2＜β＜π2②，α＜β③.根据不等式的性质，②式同乘以－1得－π2＜－β＜π2④，根据同向不等式的可加性，可得－π＜α－β＜π.由③式得α－β＜0，所以－π＜α－β＜0，故选B.7．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2个整数，则a的取值范围是()A．(－3,5)=B．.(－2,4)C．[－3,5]D．.[－2,4]解析：选D关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0.当a>1时，不等式的解集为(1，a)；当a<1时，不等式的解集为(a,1)．要使得解集中至多包含2个整数，则a≤4且a≥－2.又当a＝1时，不等式的解集为∅，符合题意．所以a的取值范围是[－2,4]，故选D.8．若0<a<1，则不等式(a－x的解集是________________．解析：原不等式等价于(x－a，由0<a<1，得a<1a，∴a<x<1a.|a<x<1a9．已知a＋b＞0，则ab2＋ba2与1a＋1b的大小关系是________．解析：ab2＋ba2＝a－bb2＋b－aa2＝(a－b ＝(a＋b)(a－b)2a2b2.∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，∴(a＋b)(a－b)2a2b2≥0.∴ab2＋ba2≥1a＋1b.答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b10．已知三个不等式：①ab ＞0；②c a ＞db ；③bc ＞ad .若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，共可组成________个正确的命题．解析：研究①②⇒③，由于ab ＞0，故－c a ＜－db 两边同乘以－ab 得bc ＞ad ，故①②⇒③成立；研究①③⇒②，由于ab ＞0，故bc ＞ad 两边同除以－ab 得－c a ＜－db ，故①③⇒②成立；研究②③⇒①，由于－c a ＜－db 两边同乘以－ab 得bc ＞ad ，由不等式的性质知必有－ab＜0即ab ＞0，故②③⇒①成立．答案：311．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是__________．解析：令f (x )＝x 2＋ax －2.∵f (0)＝－2，于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a －235，＋答案－235，＋∞12．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)．若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝＋b －a 24.因为函数f (x )的值域为[0，＋∞)，所以b －a 24＝0，得b ＝a 24.由f (x )＜c 可得c ＞0，且＜c ，解得－a 2－c ＜x ＜－a2＋c ，所以m ＝－a 2－c ，m ＋6＝－a2＋c ，所以6＝(m ＋6)－m ＝2c ，解得c ＝9.答案：913．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为________．解析：因为f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ≠0)，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0，所以函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点．因此f (－2)f (－1)＜0，所以(6a ＋5)(2a ＋3)＜0.解得－32＜a ＜－56.又a ∈Z ，所以a ＝－1.不等式f (x )＞1，即为－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0.故不等式f (x )＞1的解集为(－1,0)．答案：(－1,0)14．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x 的取值范围．解：(1)由题意得，y ＝＋850x因为售价不能低于成本价，所以80≥0，解得0≤x ≤2.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为{x |0≤x ≤2}．(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10260，化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134.又0≤x ≤2，所以x 的取值范围是12，2.15．已知函数f (x )＝x 2－a2x ＋1.(1)若f (x )≥0在R 上恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若∃x ∈[1,2]，f (x )≥2成立，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意得Δ＝a 24－4≤0，解得－4≤a ≤4，∴实数a 的取值范围为[－4,4]．(2)由题意∃x ∈[1,2]，使得a 2≤x －1x 成立．令g (x )＝x －1x ，x ∈[1,2]，则g (x )在区间[1,2]上单调递增，∴g (x )max ＝g (2)＝32，∴a 2≤32，解得a ≤3，∴实数a 的取值范围为(－∞，3]．第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课程标准1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.)[由教材回扣基础]1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax ＋By ＋C ＞0直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax ＋By ＋C ≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2．确定二元一次不等式(组)表示平面区域的步骤画线在平面直角坐标系中画出不等式所对应方程表示的直线(注意不等式中有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线)定侧将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号，异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧．若直线不过原点，特殊点常选取原点求“交”若平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分以上简称为“直线定界，特殊点定域”3.线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由变量x，y组成的一次不等式(等式)目标函数关于x，y的函数解析式线性目标函数目标函数为关于x，y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题澄清微点·熟记结论(1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：①直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；②特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．(2)判定二元一次不等式表示的区域①若B(Ax＋By＋C)＞0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方．②若B(Ax＋By＋C)＜0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．[练小题巩固基础]一、准确理解概念(判断正误)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．()(3)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()答案：(1)×(2)√(3)×二、练牢教材小题1．(人教A 版必修⑤P84例1改编)－3y ＋6<0，－y ＋2≥0表示的平面区域是()解析：选C x －3y ＋6<0表示直线x －3y ＋6＝0左上方部分，x －y ＋2≥0表示直线x －y ＋2＝0及其右下方部分．故不等式组表示的平面区域为选项C 所示阴影部分．2．(人教A 版必修⑤P93T2改编)关于x ，y x ＋y －6≥0，－y －2≤0，＋y －4≤0表示的平面区域的面积为()A ．3 B.52C ．2 D.32解析：选C平面区域为一个直角三角形ABC ，其中A (3,1)，B (2,0)，C (1,3)，所以面积为12|AB |·|AC |＝12×2×8＝2，故选C.3．(人教A 版必修⑤P 91T 1改编)若x ，y －y ≥0，＋y －2≤0，≥0，则z ＝3x －4y的最小值为________．解析：画出可行域如图中阴影部分所示．由z ＝3x －4y ，得y ＝34x －z 4，作出直线y ＝34x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (1,1)处时z 取最小值，故z min ＝3×1－4×1＝－1.答案：－1三、练清易错易混1．(不清楚截距的意义)已知实数x ，y ＋y －1≤0，－y －1≤0，＋2y ＋1≥0，则z ＝x －2y 的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．易知当直线y ＝12x －12z 经过点B 13，－23时，z 取得最大值，最大值为13－2×－23＝53.答案：532．(混淆目标函数的几何意义)已知x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易求得点A (1,2)，B (3,4)．x 2＋y 2的几何意义为可行域内的点到原点O 的距离的平方．由图知，可行域内的点A 到原点的距离最小，所以x 2＋y 2的最小值是12＋22＝5.答案：53．(不理解最优解的意义)已知实数x ，y 满足不等式组y ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0.若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解有无数个，则a 的值为________．解析：画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝y －ax ，得y ＝ax ＋z ，要使z 取最大值时的最优解有无数个，则直线y ＝ax ＋z 必平行于y －x ＋1＝0，所以a ＝1.答案：1命题视角一二元一次不等式(组)表示的平面区域(自主练通)10≤2x ＋y ≤6，0≤x －2y ≤3在坐标平面内表示的图形的面积为()A.95B.185C.36 5D.1855解析：选B作出不等式组表示的平面区域，如图，平面区域为矩形OABC及其内部，其中B(3,0)，－2y＝0，x＋y＝6，＝125，＝65，即OABC的面积S＝2S△OBC＝2×12×3×65＝185，故选B.2．(2022·清远质检)设变量x，y≤x，＋y≥2，≥3x－6，若满足条件的点P(x，y)表示的平面区域为M，则区域M表示的几何图形的周长是()A．63B．32＋10C．2D．9解析：选B在坐标系中画出不等式组表示的可行域△ABC，如图所示．则A(2,0)，B(1,1)，C(3，3)，用两点间距离公式可求得AB＝2，AC＝10，BC＝22，则周长为32＋10，故选B.3＋y≥0，－y＋2≥0，x－y－2≤0所表示的平面区域被直线l：mx－y＋m＋1＝0分为面积相等的两部分，则m＝()A.12=B．.2C．－12D．.－2解析：选A由题意可画出可行域为△ABC及其内部所表示的平面区域，如图所示．联立可行域边界所在直线方程，可得A (－1,1)，C (4,6)．因为直线l ：y ＝m (x ＋1)＋1过定点A (－1,1)，直线l 将△ABC 分为面积相等的两部分，所以直线l 过边BC 的中点D ，易得mx －y ＋m ＋1＝0，得m ＝12，故选A.[一“点”就过]求解平面区域的面积问题的基本步骤(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)判断平面区域的形状，若平面区域不规则，可将其划分为几个三角形；(3)求解面积．命题视角二简单的线性规划问题考法(一)求线性目标函数的最值[例1](1)(2021·全国乙卷)若x ，y ＋y ≥4，－y ≤2，≤3，则z ＝3x ＋y 的最小值为()A ．18B ．.10C ．6D ．.4(2)(2020·全国Ⅰ卷)若x ，y x ＋y －2≤0，－y －1≥0，＋1≥0，则z ＝x ＋7y 的最大值为________．[解析](1)作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分．由z＝3x ＋y ，得y ＝－3x ＋z .作出直线y ＝－3x 并平移，当平移后的直线经过点A 时，在y 轴上的截距最小，此时z 取得最小值．＋y ＝4，＝3，易得A (1,3)．所以z min ＝3×1＋3＝6.故选C.(2)作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．－y －1＝0，x ＋y －2＝0，＝1，＝0，故A (1,0)．作出直线x ＋7y ＝0，数形结合可知，当直线z ＝x ＋7y 过点A 时，z ＝x ＋7y 取得最大值，为1.[答案](1)C(2)1[方法技巧]求线性目标函数最值的一般步骤画域根据线性约束条件，画出可行域转化将目标函数进行转化，确定z 的几何意义平移画出目标函数等于0时的直线l 0，平行移动直线l 0，使平移后的直线与可行域有公共点求值求出最优解的坐标，代入目标函数，即可求出最值考法(二)求非线性目标函数的最值[例2]已知变量x ，y 满足约束条件x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则yx的取值范围是()A.95，6 B.－∞，95C ．(－∞，3]∪[6，＋∞)D ．(3,6][解析]作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易知可行域的三个顶点的坐标分别为(1,3)，(1,6)，52，92，yx 表示可行域内的点(x ，y )与原点连线的斜率．观察图象可知，当(x ，y )＝(1,6)时，y x 取得最大值，最大值为6；当(x ，y )＝52，92时，yx 取得最小值，最小值为95，故yx的取值范围是95，6，故选A.[答案]A[方法技巧]求非线性目标函数的最值的策略目标函数是非线性形式的函数时，常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有：(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)间的距离，(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )间的距离；(2)yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －b x －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．[针对训练]1．已知x ，y 满足约束条件x ＋y －1≥0，x －3y ＋3≥0，x －y －1≤0，则目标函数z ＝x 2＋y 2的最大值为()A ．2 B.13C ．22D ．.13解析：选D由约束条件作出可行域如图阴影部分所示，目标函数z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域内的点到原点的距离的平方，由图可知，A 是距离原点最远的点，所以点A 到－3y ＋3＝0，－y －1＝0＝3，＝2，即A (3,2)，所以目标函数z ＝x 2＋y 2的最大值为32＋22＝13.2．若x ，y ≤2，≥－1，x －3y ＋1≥0，则y －x 的最小值为____，最大值为______．解析：x ，y 满足的平面区域如图所示．设z ＝y －x ，则y ＝x ＋z .把z 看作常数，则目标函数是可平行移动的直线，z 的几何意义是直线y ＝x ＋z 的纵截距，通过图象可知，当直线y ＝x ＋z 经过点A (2，3)时，z 取得最大值，此时z max ＝3－2＝1；当经过点B (2，－1)时，z 取得最小值，此时z min ＝－1－2＝－3.答案：－31命题视角三实际生活中的线性规划问题[典例]某运货员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、质量、可获利润如下表所示：体积(升/件)质量(千克/件)利润(元/件)甲20108乙102010在一次运输中，货物总体积不超过110升，总质量不超过100千克，那么在合理的安排下，求一次运输获得的最大利润．[解]设运送甲种货物x 件，乙种货物y 件，可获利润为z ，则由题意得x ＋10y ≤110，x ＋20y ≤100，，y ∈N ，x ＋y ≤11，＋2y ≤10，，y ∈N ，且z ＝8x ＋10y .作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分内的整点．由z ＝8x ＋10y ，得y ＝－45x ＋z 10，平移直线y ＝－45x ＋z 10，由图可知当经过点B 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 最大．x ＋y ＝11，＋2y ＝10，＝4，＝3，即B (4,3)，故z max ＝8×4＋10×3＝62，即一次运输获得的最大利润为62元．[方法技巧]解线性规划应用题的一般步骤设元仔细阅读题目，分析题意，设出未知量转化写出线性约束条件和目标函数，将实际问题转化为线性规划问题求解作出可行域并利用数形结合求解这个线性规划问题作答将数学问题的答案还原为实际问题的答案[针对训练]某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产产品甲和乙的利润之和的最大值为()A ．1800元B ．2100元C ．2400元D ．2700元解析：选C 设分别生产甲、乙两种产品为x 桶，y 桶，利润为z 元，则根据题意可得x ＋2y ≤12，x ＋y ≤12，，y ≥0，x ，y ∈N ，z ＝300x ＋400y .作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作直线L ：300x ＋400y ＝0，然后把直线向可行域平移，可得当x ＝0，y ＝6时，z 最大，其值为2400，故选C.[课时跟踪检测]一、基础练——练手感熟练度1．若点P (－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则实数t 的取值范围是()B.－23，＋∞解析：选C 因为点P (－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，所以－4－3t ＋6<0，即t >23，故选C.2．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为()A ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)=B ．.(－7,24)C ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)D ．.(－24,7)解析：选B 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.3＋2y ＋4≤0，－y ＋1≤0所表示的平面区域大致为()解析：选C 作出直线x ＋2y ＋4＝0，取其左下方，作出直线x －y ＋1＝0，取其左上方，故选C.4．不等式组x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0表示的平面区域的形状为()A ．钝角三角形=B ．.直角三角形C ．等腰三角形D ．.等腰直角三角形解析：选C作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知平面区域是一个等腰三角形，故选C.5．(2020·浙江高考)若实数x ，y 满足约束条件x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是()A ．(－∞，4]B ．.[4，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．.(－∞，＋∞)解析：选B 画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．作出直线x ＋2y ＝0，平移该直线，易知当直线经过点A 时，z 取得最小值．联立x －3y ＋1＝0，x ＋y －3＝0，解得x ＝2，y ＝1，所以z min ＝2＋2×1＝4，再数形结合可得z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．二、综合练——练思维敏锐度1．设变量x ，y 满足约束条件x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0，2x －y －2≤0，则z ＝3x －2y 的最大值为()A ．－2=B ．.2C ．3D ．.4解析：选C作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示(含边界)，作出直线y ＝32x ，平移该直线，当直线经过点C (1,0)时，在y 轴上的截距最小，z 取最大值，z max ＝3×1－0＝3，故选C.2．(2021·浙江高考)若实数x ，y ＋1≥0，－y ≤0，x ＋3y －1≤0，则z ＝x －12y 的最小值是()A ．－2=B ．.－32C ．－12D.110解析：选B＋1≥0，－y ≤0，x ＋3y －1≤0所表示的可行域，如图中阴影部分．由z ＝x －12y ，得y ＝2x －2z .作出直线l 0：y＝2x ，并平移该直线，发现当该直线经过点A 时，在y 轴上的截距最大，此时z ＋1＝0，x ＋3y －1＝0，得A (－1,1)．所以z min ＝－1－12×1＝－32.故选B.3．(2022·郑州一模)已知变量x ，y －2y ＋4≤0，≥2，＋y －6≥0，则k ＝y ＋1x －3的取值范围是()A ．(－∞，－5] B.－5C ．(－∞，－5]∪12，＋∞D.－5，12解析：选A 由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，其中A (2,4)，k ＝y ＋1x －3的几何意义为可行域内的动点(x ，y )与定点P (3，－1)连线的斜率，由图可知，k ≤k PA ＝4－(－1)2－3＝－5，或k >12.故选A.4．若关于x ，y ≤0，＋2y ≥0，－y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形区域，则正数k 的值为()A ．1=B ．.2C ．3D ．.4。
高三数学 基本不等式复习导学案
江苏省灌南高级中学高三数学复习导学案：基本不等式C 级考点:对不等式性质的考查，多以填空形式出现，是高考的热点，主要考查不等式的证明及求最值等问题．常与实际问题相结合，以解答题形式出现．一.课前预习2.已知32x <，则823y x x =+-的最大值为3.已知102x <<，则函数()1122y x x =-的最大值为 4. 若0x >,0y >，且281x y+=，则xy 的最小值 5.等比数列{}n a 中, 21a =,其前三项的和3S 的取值范围是二.典型例题例1 （1）已知0,0x y >>且21,x y +=求11x y+的最小值 （2）9)1)((≥++ya x y x 对任意正实数x ，y 恒成立，求正实数a 的最小值 （3）已知20π<<t ，求函数tt t f 22cos 2sin 1)(+=的最小值（4）已知M 是ABC ∆内的一点，且23AB AC ∙=，030BAC ∠=，若,MBC MCA ∆∆和MAB ∆的面积分别为x,y,z,求14x y z ++的最小值 （5）若c b a >>，不等式ca m cb b a -≥-+-11恒成立，求实数m 的最大值 例2某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元，为了调整产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工。
据估计，如果能动员)0(>x x 户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高x 2%，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为)503(3x a -)0(>a 万元。
（1）在动员x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的年总收入，求x 的取值范围（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植农民的年总收入，求实数a 的最大值三.当堂练习。
高三数学高考专题复习系列导学案不等式-含参数的不等式
第6课时 含参数的不等式含有参数的不等式可渗透到各类不等式中去，在解不等式时随时可见含参数的不等式．而这类含参数的不等式是我们教学和高考中的一个重点和难点．解含参数的不等式往往需要分类讨论求解，寻找讨论点（常见的如零点，等值点等），正确划分区间，是分类讨论解决这类问题的关键．在分类讨论过程中要做到不重，不漏．例1. 已知A ＝{x| 2ax 2＋(2－ab)x －b>０}，B ＝{x| x<－2或x>３}，其中b>0，若A ⊇B ，求a 、b 的取值范围．解:a ≥21且0＜b ≤6变式训练1：不等式11<-x ax 的解集是{x| x<1或x>2}，则a ＝ ． 解:a ＝21例2. 已知关于x 的不等式a x ax --25<0的解集为M ，(1) 当a ＝4时，求集合M ；(2) 若3∈M且5∉M ，求实数a 的取值范围．解: (1)M ＝{x|x ＜－2或45＜x ＜2} (2)a ∈[1，35)∪(9，25]变式训练2：已知函数f (x)＝b ax x +2(a 、b 为常数)，且方程f (x)－x ＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4．(1)求函数f (x)的解析式；(2)设k ＞1，解关于x 的不等式f (x)＜xk x k --+2)1(． 解：(1)将x 1＝3，x 2＝4分别代入方程b ax x +2－x ＋12＝0 得：8416939-=+-=+b a b a 解得21=-=b a 所以f(x)＝xx -22(x ≠2) (2)不等式即为xk x k x x --+<-2)1(22 可代为02)1(2<-++-xk x k x 即0))(1)(2(>---k x x x①当1＜k ＜2时，解集为x ∈(1，k)∪(2，＋∞)②当k ＝2时，不等式为(x －2)2(x －1)＞0，解集为x ∈(1，2)∪(2，＋∞)③当k ＞2时，解集为x ∈(1，2)∪(k ，＋∞)例3. 若不等式2x －1>m(x 2－1)对满足－2≤m≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围． 解: 271+-＜x ＜231+变式训练3：若不等式122)31(3+->x ax x 对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．解:21-＜a ＜23例4. 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax(a ∈R)．解:a ＝0时，x ≤－1；a ＞0时，x ≤－1或x ≥a 2，－2＜a ＜0时，a 2≤x ≤－1；a ＝－2时，x ＝－1；a ＜－2时，－1≤x ≤a 2．变式训练4：解关于x 的不等式01224222>+--a a ax x ． 解：(1)当2a ＋1＞0，即a ＞－21时，原不等式为(x ＋4a)(x －6a)＞0①当a ＞0时，x ∈(－∞，－4a)∪(6a ，＋∞) ②当－21＜a ＜0时，x ∈③当a ＝0时，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)(2)当2a ＋1＜0，即a ＜－21时，原不等式为(x ＋4a)(x －6a) ∴x ∈(6a ，－4a) 综合以上，原不等式的解集为：当a ≥0时，解集为(－∞，－4a)∪(6a ，＋∞) 当－21＜a ＜0时，解集为(－∞，6a)∪(－4a ，＋∞)当a ＜－21时，解集为(6a ，－4a)解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，应注意寻找讨论点，以讨论点划分区间进行讨论求解．能避免讨论的应设法避免讨论．。
2020高考数学理科大一轮复习导学案《不等式证明》
第二节不等式的证明知识点一不等式证明的常见方法1．综合法：从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题．2．分析法：从需要证明的结论出发，分析使这个命题成立的充分条件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后达到命题所给出的条件(或者一个已证明过的定理或一个明显的事实)．3．反证法：首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、定理，逐步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的结论正确．4．放缩法：将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)，使它由繁到简，达到证明目的．如果所要证明的不等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值缩小，反之，把分母缩小，则分式的值放大．1．要证明29＋31>25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( B )A ．综合法B ．分析法C ．反证法D ．归纳法解析：根据条件和分析法的定义可知选项B 最合理．故选B. 2．(选修4－5P23习题2.1T1改编)已知a ≥b >0，M ＝2a 3－b 3，N ＝2ab 2－a 2b ，则M ，N 的大小关系为M ≥N .解析：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )．因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0,2a ＋b >0，从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，故2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .3．已知a >0，b >0，c >0，且a ，b ，c 不全相等，求证：bc a ＋ac b ＋abc >a ＋b ＋c .证明：因为a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以bc a ＋acb ≥2bc a ·acb ＝2c .同理ac b ＋ab c ≥2a ，ab c ＋bca ≥2b .因为a ，b ，c 不全相等，所以上述三个不等式中至少有一个等号不成立，三式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ac b ＋ab c >2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ac b ＋ab c >a ＋b ＋c .知识点二 柯西不等式1．设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．2．若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑i ＝1na 2i )(∑i ＝1nb 2i )≥(∑i ＝1n a i b i )2，当且仅当b 1a 1＝b 2a 2＝…＝b na n(当a i ＝0时，约定b i ＝0，i ＝1,2，…，n )时等号成立．3．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α，β共线时等号成立．4．已知x ，y ，z 是正实数，且满足x ＋2y ＋3z ＝1. (1)求1x ＋1y ＋1z 的最小值； (2)求证：x 2＋y 2＋z 2≥114.解：(1)1x ＋1y ＋1z ＝1x ＋1y ＋1z (x ＋2y ＋3z )≥1x ·x ＋1y ·2y ＋1z·3z 2＝(1＋2＋3)2＝6＋22＋23＋26，当且仅当2y x ＝x y 且3z x ＝x z 且3z y ＝2y z 时取等号，故1x ＋1y ＋1z 的最小值为6＋22＋23＋2 6.(2)证明：由柯西不等式可得1＝(x ＋2y ＋3z )2≤(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)＝14(x 2＋y 2＋z 2)， ∴x 2＋y 2＋z 2≥114， 当且仅当x ＝y 2＝z3，即x ＝114，y ＝17，z ＝314时取等号， 故x 2＋y 2＋z 2≥114.1．证明不等式的基本方法 (1)比较法：作差(商)比较法． (2)综合法：由因导果法． (3)分析法：执果索因法．2．利用柯西不等式求最值或证明不等式要注意合理的变形配凑常数，而且还要注意取“＝”的条件．考向一 分析法、综合法证明不等式【例1】 (1)已知x ，y 均为正数，且x >y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y＋3；(2)设a ，b ，c >0且ab ＋bc ＋ca ＝1，求证：a ＋b ＋c ≥ 3.【证明】 (1)因为x >0，y >0，x －y >0,2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1(x －y )2＝(x －y )＋(x －y )＋1(x －y )2≥33(x －y )21(x －y )2＝3， 所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.(2)因为a ，b ，c >0，所以要证a ＋b ＋c ≥3，只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3，而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )．即证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)成立．所以原不等式成立．用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d .证明： (1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d .(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．证明：(1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd .由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d . (2)①若|a －b |<|c －d |， 则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，a ，b ，c ，d 均为正数，所以ab >cd . 由(1)得a ＋b >c ＋d . ②若a ＋b >c ＋d ， 则(a ＋b )2>(c ＋d )2， 即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． 考向二 放缩法证明不等式【例2】 若a ，b ∈R ，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.【证明】 当|a ＋b |＝0时，不等式显然成立． 当|a ＋b |≠0时，由0<|a ＋b |≤|a |＋|b |⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |， 所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1≤11＋1|a |＋|b | ＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b |＝|a |1＋|a |＋|b |＋|b |1＋|a |＋|b | ≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧.常见的放缩变换有：②利用函数的单调性；③真分数性质“若0<a <b ，m >0，(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度.设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1.证明：由2n ≥n ＋k >n (k ＝1,2，…，n )， 得12n ≤1n ＋k <1n .当k ＝1时，12n ≤1n ＋1<1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2<1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n <1n，∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <n n ＝1.∴原不等式成立．考向三 柯西不等式的应用【例3】 已知a ，b ，c ，m ，n ，p 都是实数，且a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1.(1)证明：|am ＋bn ＋cp |≤1； (2)若abc ≠0，证明：m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2≥1.【证明】 (1)方法1：∵(am ＋bn ＋cp )2≤(a 2＋b 2＋c 2)(m 2＋n 2＋p 2)＝1，∴|am ＋bn ＋cp |≤1.方法2：因为|am ＋bn ＋cp |≤|am |＋|bn |＋|cp |，a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1，所以|am |＋|bn |＋|cp |≤a 2＋m 22＋b 2＋n 22＋c 2＋p22＝a 2＋b 2＋c 2＋m 2＋n 2＋p 22＝1，所以|am ＋bn ＋cp |≤1. (2)因为a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1， 所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2(a 2＋b 2＋c 2)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫m2a·a ＋n 2b ·b ＋p 2c ·c 2＝(m 2＋n 2＋p 2)2＝1， 所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2≥1.对于若干个单项式的平方和，因为其符合柯西不等式(a 2＋b 2＋…＋c 2)(m 2＋n 2＋…＋p 2)≥(am ＋bn ＋…＋cp )2，所以只要补足另一个平方和多项式，便可利用柯西不等式来求最值.(2019·河南豫南九校联考)已知x ，y ，z 均为实数． (1)求证：1＋2x 4≥2x 3＋x 2；(2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．解：(1)证法1：(1＋2x 4)－(2x 3＋x 2)＝2x 3(x －1)－(x ＋1)(x －1)＝(x －1)(2x 3－x －1)＝(x －1)(2x 3－2x ＋x －1)＝(x －1)[2x (x 2－1)＋(x －1)]＝(x －1)2(2x 2＋2x ＋1)＝(x －1)22x ＋122＋12≥0，所以1＋2x 4≥2x 3＋x 2.证法2：(1＋2x 4)－(2x 3＋x 2)＝x 4－2x 3＋x 2＋x 4－2x 2＋1＝(x －1)2·x 2＋(x 2－1)2≥0，所以1＋2x 4≥2x 3＋x 2.(2)因为6＝x ＋2y ＋3z≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9(由柯西不等式得)， 所以x 2＋y 2＋z 2≥187，当且仅当x ＝y 2＝z3，即x ＝37，y ＝67，z ＝97时，x 2＋y 2＋z 2有最小值187.。
高三数学第一轮复习 第40课时—不等式的证明(一)学案
高三数学第一轮复习讲义（40）不等式的证明（一）一．复习目标：1．掌握并灵活运用分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． 二．知识要点：1．不等式证明的几种常见方法： ． 2．综合法常常用到如下公式：（1）222()a b ab ab R +≥∈；（2）,)2a b a b R ++≥∈；（3）2(,)b aa b R a b++≥∈；（4）222()(,)22a b a b a b R ++≥∈；（5）,,)3a b c a b c R +++≥∈．三．课前预习：1．设22021,1,1a M a N a <<=-=+,11,11P Q a a==-+那么 （）()A Q P M N <<<()B M N Q P <<< ()C Q M N P <<<()D M Q P N <<<2．已知0x y >>，则1()x x y y+-的最小值 ．四．例题分析：例1．（1）若1a b +=,2≤； （2）已知,,a b c 为不相等的正数，且1abc =，求证：cb ac b a 111++<++．小结：例2．设实数,x y 满足20,01y x a +=<<，求证：1log ()log 28x y a a a a +≤+． 小结：例3．设0,0,2a b c a b >>>+，求证：c a c <<+例4．已知)(x f 是定义在R 上的增函数，)1()()(x f x f x F --=，（1）设x x f =)(，若数列}{n a 满足31=a ，)(1-=n n a F a ，试写出数列}{n a 的通项公式； （2）求⑴中数列}{n a 的前n 项和n S ；（3）证明：若12()()0F x F x +>，则121x x +>．五．课后作业： 班级 学号 姓名1．设a 和b 是不相等的正数，则22a b aba b++的大小关系是 ．2．已知：22222212121,1,n n a a a x x x n N +++=+++=∈．求证: 11221n n a x a x a x +++≤．3．若3a ≥,求证：321---<--a a a a ．4． 已知,,a b c 是ABC ∆的三边，求证：2()ab bc ac ab bc ac ++≤≤++．5．已知0a b >>,求证：bb a ab b a a b a 8)(28)(22-<-+<-．6．若,,a b c R +∈，1a b c ++=,求证：（1≤（2）111(1)(1)(1)8a b c---≥．。
高三数学第一轮复习导学案：不等式1
学习目标 1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．2．了解不等式(组)的实际背景．【使用说明】以考查不等式的性质为重点，同时考查不等关系，常与函数、数列、几何、实际问题等相结合进行综合命题.预 习 案1．两个实数的大小比较(1)a >b ⇔ .(2)a ＝b ⇔ .(3)a <b ⇔ .2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔ .(2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c .(3)可加性：a >b ⇔a ＋c b ＋c ；a >b ，c >d ⇒ .(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac bc ；a >b ，c <0⇒ac bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac bd .(5)可方性：a >b >0，n ∈N ＋⇒a n b n ；a >b >0，n ∈N ＋(6)倒数性质：a >b ，ab >0⇒1a 1b ；1a <1b ，ab >0⇒a b .【预习自测】1．(课本习题改编)已知a ＜b ＜0，c ＞0，在下列空白处填上恰当的不等号：①若ad ＞bd ，则d ________0；②(a －2)c ________(b －2)c ；③|a |________|b |；④ca ________cb .2．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )A ．a 2>b 2B ．a |c |>b |c |C.1a <1bD.a c 2＋1>bc 2＋13．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是() A ．ab >ac B ．c (b －a )>0C ．cb 2<ab 2D ．ac (c －a )>05．已知a <0，－1<b <0，则a ，ab ，ab 2的大小关系是________．探 究 案探究一：不等式的性质例1 对于实数a ，b ，c ，判断下列命题的真假．(1)若a >b ，则ac >bc ；(2)若a >b ，则ac 2>bc 2；(3)若a <b <0，则a 2>ab >b 2；(4)若a <b <0，则1a >1b； (5)若a <b <0，则b a >a b.思考题1 适当增加不等式条件使得下列命题成立：(1)若a >b ，则ac ≤bc ；(2)若ac 2>bc 2，则a 2>b 2；(3)若a >b ，则lg(a ＋1)>lg(b ＋1)．探究二：比较大小例2 (1)比较a ＋m b ＋m 与a b(其中实数b >a >0，实数m >0)的大小．思考题2 (1)设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．(2)若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( )A ．a 1b 1＋a 2b 2B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12探究三：综合运用例3 已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)思考题3 设f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．训 练 案1．设a ∈R ，则a >1是1a<1的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设a >b >0，下列各数小于1的是( )A ．2a －bB ．C ． (a b )a －bD ．(b a)a －b 3．设a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“b <1a”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知一个三边分别为15,19,23个单位长度的三角形，若把它的三边分别缩短x 个单位长度且构成钝角三角形，试用不等式写出x 满足的不等关系________．5．设a ，b 为正实数．现有下列命题：①若a 2－b 2＝1，则a －b <1；②若1b －1a＝1，则a －b <1； ③若|a －b |＝1，则|a －b |<1；④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)。
最新高三数学一轮复习《不等式》第一课时一元二次不等式导学案
第一课时 一元二次不等式【学习目标】1.掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题。
经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，会解一元二次不等式。
3.以极度的热情投入学习，体会成功的快乐。
【学习重点】从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出数形结合的思想。
【学习难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
[自主学习][课前热身]1．不等式29610x x ++≤的解集是 ．2．不等式104x x -<-的解集是 ．3．不等式()120x x ⋅->的解集是 ．4．不等式221x x +>+的解集是 ．5．已知不等式897x +<和不等式22ax bx +>的解集相同，则实数,a b 的值分别为[典型例析]例1 解不等式：（1）22203x x -+-> （2）28116x x -≤ （3）22101x x x --≥-例2解关于x 的不等式（1）2(1)10ax a x -++< （2）220x x m ++≥例3 解关于ｘ的不等式(1)1(0)2a x a x ->>-[当堂检测]1．不等式21212x x -<+-≤的解集是 ．2. 若不等式02>++c bx x 的解集是}13{-<>x x x 或，则b = , c = .3.关于x 的不等式11ax x <-的解集是{}12x x x <>或，那么a = .4．若关于x 的不等式20x ax a -->的解集为R ，则实数a 取值范围是 .若关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，则实数a 取值范围是[学后反思]____________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________。
高中数学《证明不等式的基本方法-比较法》导学案
2.1.1证明不等式的基本方法---比较法一、学习目标1.理解作差比较法和作商比较法；2.能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
【重点、难点】教学重点：作差比较法和作商比较法教学难点：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
二、学习过程【重点难点】能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
【学习过程】1.问题情景导入：比较两个实数大小的理论依据是什么？2.自学探究：（阅读课本第21-22页，完成下面知识点的梳理）比较两个实数大小的理论依据：(1)．因为a >b ⇔a －b >0，要证a >b ，只需要证a －b >0，同样要证a <b ，只需证a －b <0.(2)．如果a 、b 都是正数，要证a >b ，只需证a b >1；如果a 、b 都是负数，要证a >b ，只需证a b<1.三 、典例分析【例1】 已知x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)·(x ＋y )的大小．[思维启迪] 利用作差法比较大小即可．【例2】已知a ≥1，利用作商比较法，求证：a ＋1－a ＜a －a －1.【变式拓展】(2009·江苏高考)设a ≥b ＞0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.四、总结反思比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。
用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。
“变形”是解题的关键，是最重一步。
因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。
五、随堂检测1．下列命题：①当b ＞0时，a ＞b ⇔a b＞1； ②当b ＞0时，a ＜b ⇔a b＜1； ③当a ＞0，b ＞0时，a b＞1⇔a ＞b ； ④当ab ＞0时，a b＞1⇔a ＞b . 其中真命题有( )．A ．①②③B ．①②④C ．④D ．①②③④2．“a ＞1”是“1a＜1”的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知a ，b ，c ，d 都是正数，且bc ＞ad ，则a b ，a ＋c b ＋d ，a ＋2c b ＋2d ，c d中最大的是( )． A.a b B.a ＋c b ＋d C.a ＋2c b ＋2dD.c d 4．设P ＝a 2b 2＋5，Q ＝2ab －a 2－4a ，且ab ≠1，a ≠－2.则P 、Q 的大小关系是________．5．已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .。
《不等式证明》导学案
《不等式证明》导学案.编写：尹绪华 审稿人：高二数学组 编写时间：2014年6月2日班级 组别 组名 姓名☆学习目标： 1. 理解并掌握证明不等式的基本方法---比较法; 会利用综合法和分析法证明不等式2.理解并掌握反证法、换元法与放缩法、会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式☻知识情景：1. 基本不等式：10. 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.20. 如果,a b R +∈, 那么2a b +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.30. 如果,,a b c R +∈, 那么3a b c ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立.2.均值不等式：如果,a b R +∈,那么 22ab a b a b ++的大小关系是：≤≤≤ 常用推论：10. 20a ≥; 0;a ≥ 12(0)a a a +≥>; 20. 2(0)a b ab b a+≥>; 30. a c b b a c++≥(,,a b c R +∈). 3.不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)． 20. 综合法和分析法．30. 反证法、换元法、放缩法☆案例学习：一、比差法与比商法(两正数时)例1 、(1)若0>≥≥c b a ，求证.)(3cb ac b a abc c b a ++≥．(2)、已知a ≠0，比较()()121222+-++a a a a 与()()1122+-++a a a a 的大小例2甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。
甲有一半时间以速度1v 行走，另一半时间以速度2v 行走；乙有一半路程以速度1v 行走，另一半路程以速度2v 行走. 如果12v v ≠，问甲、乙两人谁先到达指定地点.二、综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发, 通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法.又叫由 导 法. 用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒例3 ,,0,,a b c >已知且不全相等222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++>求证:例4三、分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.这是一种执 索 的思考和证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系：例5例612n 12n 12,,,R ,1,(1)(1)(1)2n n a a a a a a a a a +∈=+++≥已知且求证:12 ( ) n B B B B A ⇐⇐⇐⇐⇐结步步寻求不等式已论成立的充分条件知<求证222222,,0,a b b c c a a b c abc a b c ++>≥++已知求证:例7 证明：.)())((22222bd ac d c b a +≥++四.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立. 例8已知a + b + c > 0，a b + bc + c a > 0，a bc > 0，求证：a , b , c > 0 .五.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性.常用的换元有三角换元有：10．已知222a y x =+，可设 ， ； 20．已知122≤+y x ，可设 ， (10≤≤r )； 30．已知12222=+b y a x ，可设 ， . 例9 设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是（ ）.A 1,)+∞ .B (1]-∞ .C 1,)+∞ .D (1]-∞六. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小，由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度.常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：a a >+12，n n n >+)1(，②将分子或分母放大（或缩小）如：2111(1)(1)n n n n n <<+- ③应用“糖水不等式”：“若0a b <<，0m >，则a a m b b m +<+”④利用基本不等式，如：2lg 3lg 5()lg 4⋅<=<=；⑤利用函数的单调性 ⑥利用函数的有界性：如：sin x ≤1()x R ∈； ⑦绝对值不等式：a b -≤a b ±≤a b +； ⑧利用常用结论：如：2==()*,1k N k ∈>，2=<=()*,1k N k ∈> ⑨应用贝努利不等式：2(1)(1)11.12n n n n x nx x x nx -+=++++>+⨯ 例10 当 n > 2 时，求证：(1)log (1)log n n n n +-<例11求证：.332113*********<⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++n例12 若a , b , c , dR +，求证：21<+++++++++++<c a d d b d c c a c b b d b a a。
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第3课时 不等式证明（一）
1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，分比差、比商两种形式． (1)作差比较法，它的依据是： ⎪⎩
⎪⎨⎧<⇔<-=⇔=->⇔>-b a b a b a b a b
a b a 000 它的基本步骤：作差——变形——判断，差的变形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等．
(2) 作商比较法，它的依据是：若a >0，b >0，则
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⇔<=⇔=>⇔>b a b
a b a b a b a b a 111 它的基本步骤是：作商——变形——判断商与1的大小．它在证明幂、指数不等式中经常用到．
2．综合法：综合法证题的指导思想是“由因导果”，即从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推出要证明的结论．
3．分析法：分析法证题的指导思想是“由果索因”，即从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定所要证的不等式成立．
例1. 已知0,0>>b a ，求证：
b a a b b a +≥+ 证法1：
)(b a a b b a +-+ ＝
ab ab b a b a )()()(33+-+ ＝
ab b ab a b a ])(2))[((22+-+ ＝ab b a b a 2
))((-+
∵b a +>0，ab >0，0)(2≥-b a
∴
0)(≥+-+b a a b b a 即 b a a b
b a
+≥+
证法2：ab ab
b a ab b a b a b a a b
b a
-+=++=++)()()(3
3
＝1＋
1)(2≥-ab b a ∴ b a a b
b a +≥+
故原命题成立，证毕．
变式训练1：已知a 、b 、x 、y ∈R +且
a 1＞b
1，x ＞y. 求证：a x x +＞b y y +． 解：证法一：(作差比较法)
∵
a x x +－
b y y +＝））（（b y a x ay bx ++-， 又a 1＞b
1且a 、b ∈R +， ∴b ＞a ＞0.又x ＞y ＞0，∴bx ＞ay. ∴））（（b y a x ay bx ++-＞0，即a
x x +＞b y y +. 证法二：(分析法)
∵x 、y 、a 、b ∈R +，∴要证a
x x +＞b y y +， 只需证明x(y+b)＞y(x+a)，即证xb ＞ya. 由a 1＞b
1＞0，∴b ＞a ＞0. 又x ＞y ＞0，知xb ＞ya 显然成立.故原不等式成立. 例2. 已知a 、b ∈R +，求证：
)(22)1)((a b b a b a b a +≥+++
证明：∵ab b a 2≥+，因此要证明原不等式成立，则只要证)(21b a b a +≥++ 由于)(21b a b a +-++
0)2
2()22(22≥-+-=b a 所以)(21b a b a +≥++
从而原不等式成立．
变式训练2：已知a 、b 、c ∈R ，求证：c b ab c b a 234222++≥+++
证明：左边－右边
＝c b ab c b a 234222---+++
)812416444(41222c b ab c b a ---+++= 0])1(4)2(3)2[(4
1222≥-+-+-=c b b a ∴ c b ab c b a 234222++≥+++
例3. 已知△ABC 的外接圆半径R ＝1，41=
∆ABC S ，a 、b 、c 是三角形的三边，令c b a s ++=，c
b a t 111++=．求证：s t > 证明：R ab
c R c ab C ab S ABC 4221
sin 21=⨯
==∆ 又∵ R ＝1，41=
∆ABC S ∴ 1=abc ∴ ab
ca bc c b a s 111++=++= =+++++≤2
11211211b a a c c b t c b a =++111 ∴ t s ≤ 但s t =的条件是1===c b a ，此时4
3=
∆ABC S 与已知矛盾． ∴ s t > 变式训练3：若,,a b c 为△ABC 的三条边，且222
,S a b c p ab bc ac =++=++，则（ ）
A ．2S p ≥
B ． 2p S p <<
C ．S p >
D ．2p S p ≤< 答案:D ．解析：2222221()[()()()]0,2
S p a b c ab bc ac a b b c a c S p -=++-++=-+-+-≥∴≥， 又∵222222222||,||,||,2,2,2a b c b c a a c b a ab b c b bc c a a ac c b -<-<-<∴-+<-+<-+< ∴2222(),2a b c ab bc ac S p ++<++∴<。
例4. 设二次函数)0()(2>++=a c bx ax x f ，方程0)(=-x x f 的两个根1x 、2x 满足a
x x 1021<<<． (1) 当x ∈(0，x 1)时，证明：x<f (x)<x 1
(2) 设函数f (x)的图象关于直线x ＝x 0对称，证明：x 0<2
1x ． 证明：(1)由于1x 、2x 是方程0)(=-x x f 的两个根，则))(()(21x x x x a x x f --=- 当),0(1x x ∈时，有210x x x <<<
∴ 0,021<-<-x x x x 又 0>a
∴ 0)(>-x x f 即x x f >)(
又由x x x x x a x f +--=))(()(21
得1211))(()(x x x x x x a x x f -+--=-
)1)((21ax ax x x -+-=
∵ a
x x x 1021<<<< 又 0>a ∴ 01<-x x ，01122>->-+ax ax ax
∴ 0)(1<-x x f 即1)(x x f <
综上所述，1)(x x f x <<．
(2) ∵ x x x x x a x f +--=))(()(21
21212)1(x ax x ax ax ax +-+-=
∴ 2
22111210x a ax a ax ax x =<-+= 变式训练4：设f(x)=3ax 22.0bx c a b c ++++=若,f(0)＞0，f(1)＞0，
求证：(1)a ＞0且-2＜b
a ＜-1； (2)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.
证明：（1）因为(0)0,(1)0f f >>，所以0,320c a b c >++>.
由条件0a b c ++=，消去b ，得0a c >>；
由条件0a b c ++=，消去c ，得0a b +<，20a b +>. 故21b a
-<<-. （2）抛物线2()32f x ax bx c =++的顶点坐标为2
3(,)33b ac b a a
--， 在21b a -<<-的两边乘以13-，得12333
b a <-<. 又因为(0)0,(1)0,f f >>而22()0,33b a
c ac f a a
+--=-< 所以方程()0f x =在区间(0,)3b a -与(,1)3b a
-内分别有一实根。
故方程()0f x =在(0,1)内有两个实根.
1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，而又以作差比较最为常见．作差比较的关键在于作差后如何变形来达到判断差值符号之目的，变形的方向主要是因式分解和配方．
2．综合法证明不等式要找出条件和结论之间的内在联系，为此要着力分析已知与求证之间，
不等式左右两端的差异和联系，合理进行变换，去异存同，恰当选择已知不等式，找到证题的突破口．
3．分析法是“执果索因”重在对命题成立条件的探索，寻求不等式成立的充分条件，因此有时须先对原不等式化简．常用的方法有：平方，合并，有理化去分母等．但要注意所有这些变形必须能够逆推，书写格式要严谨规范．
4．分析法和综合法是对立统一的两个方法．在不等式的证明中，我们常用分析法探索证明的途径后，用综合法的形式写出证明过程．这种先分析后综合的思路具有一般性，是解决数学问题的一种重要数学思想．。