力学基础第9章
理论力学第9章
重点：求解质点和平动刚体的两类动力学问题 难点：理解惯性坐标系与非惯性坐标系
§ 9-1 动力学的基本定律
质点动力学的基础是牛顿三大定律 第一定律 (惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。 ——惯性 第二定律（力与加速度之间关系定律） d (mv ) F dt 在经典力学范围内，质点的质量是守恒的，因此有：
例9-3 已知：一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg 的小球系 于长 l=0.3 m 的绳上,绳的另一端系在固定点O,并与 60 铅直线成 角。 求：如小球在水平面内作匀速圆周运动，小球 的速度与绳的张力。
解： 以小球为研究的质点
选取在自然轴上投影的运动微 分方程，得： v2 m F sin θ F cos mg 0 ρ 其中：ρ l sin θ mg F 1.96 N cos
动力学
导言
动力学:研究物体的机械运动与作用力之间的关系 动力学的基本问题大致分为两类： 1.已知运动求力； 2.已知力求运动。 具体学习以下内容： 质点动力学基本方程； 普遍定理：动量定理、动量矩定理、动能定理； 达朗贝尔原理； 虚位移原理
力学模型
1. 质点：具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。 例如：研究卫星的轨道时，卫星 —— 质点 刚体作平动时，刚体 —— 质点
1.已知质点的运动规律，求作用于质点上的力
求两次导数得到质点的加速度，代入质点的 运动微分方程中，即可求解——求微分问题 2.已知质点上所受的力，求质点的运动规律 按作用力的函数规律进行积分，并根据具体 问题的运动条件确定积分常数——求积分问题
3.混合问题：第一类与第二类问题的混合.
例9-1 已知：曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度
结构力学第9章__力矩分配法(新)
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
①求固端弯矩； ②将会交于结点的固端弯矩之和按分配系数分配给每一个杆端。 ③各杆按各自的传递系数向远端传递。 ④将固端弯矩和分配（或传递的弯矩）相加，得杆端最后弯矩。
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
例题
12kN/m
i
6m
16kN
2i
3m
3m
0.4 0.6
固端弯矩 -36
第9章 渐进法及超静定力的影响线 9-1 力矩分配法的基本概念 9-2 单结点的力矩分配法 9-3 多结点的力矩分配法 9-4 计算结果的校核
9-1力矩分配法的基本概念
M
4
2 i12 1
i14
i13
3
4i12Δ1
2i12Δ1
i13Δ1 i13Δ1
3i14Δ1
M12 4i121 M13 i131 M14 3i141
M
1 M21 2 M12 M31 M13 M41 0 M14
9-1力矩分配法的基本概念
1 转动刚度：梁端发生单位转角产生的弯矩。
M ik Sik 1
4iik 远端为固定端
S ik
3iik iik
远端为铰支端 远端为平行支链杆
0 远端为自由端
2 分配系数：与转动刚度成正比
ik
96 64 → 32
-23.6 ← -47.3 -47.3 → -23.6 14.2 9.4 → 4.7
-1.2 ← 0.7 0.5 →
-2.3 -2.3 → -1.2 0.3
-0.1 -0.2
200.9 -200.9
237.3 -237.3 87.7
200.9
237.3
87.7
土力学与地基基础习题集与答案第9章
第9章地基承载力（答案在最底端）一、简答题1。
地基破坏模式有几种？发生整体剪切破坏时p—s曲线的特征如何？1.【答】在荷载作用下地基因承载力不足引起的破坏,一般都由地基土的剪切破坏引起。
试验表明，浅基础的地基破坏模式有三种：整体剪切破坏、局部剪切破坏和冲切剪切破坏。
地基整体剪切破坏的主要特征是能够形成延伸至地面的连续滑动面。
在形成连续滑动面的过程中,随着荷载（或基底压力)的增加将出现三个变形阶段：即弹性变形阶段、弹塑性变形阶段以及破坏(或塑性流动）阶段.即地基在荷载作用下产生近似线弹性(p-s曲线首段呈线性）变形；当荷载达到一定数值时，剪切破坏区(或称塑性变形区）逐渐扩大，p—s曲线由线性开始弯曲;当剪切破坏区连成一片形成连续滑动面时，地基基础失去了继续承载能力，这时p-s曲线具有明显的转折点。
2.何为地基塑性变形区?3。
何为地基极限承载力（或称地基极限荷载)？4。
何为临塑荷载、临界荷载p1/4?5。
地基破坏型（形）式有哪几种?各有何特点.6。
试述地基极限承载力一般公式的含义。
二、填空题1。
确定地基承载力的方法一般有原位试验法、理论公式法、规范表格法、当地经验法等。
2。
地基极限承载力的公式很多，一般讲有和公式等。
(给出任意两个)3。
一般来讲,浅基础的地基破坏模式有三种：、和。
4. 是指地基稳定具有足够安全度的承载力，它相当于地基极限承载力除以一个安全系数k,且要验算地基变形不超过允许变形值.三、选择题1。
下面有关P cr与P1/4的说法中，正确的是（ )。
A. P cr与基础宽度b无关，P1/4与基础宽度b有关B。
P cr与基础宽度b有关，P1/4与基础宽度b无关C。
P cr与P1/4都与基础宽度b有关D. P cr与P1/4都与基础宽度b无关2。
一条形基础b=1.2m,d=2。
0m,建在均质的粘土地基上,粘土的Υ=18KN/m3,φ=150，c=15K Pa,则临塑荷载P cr和界线荷载P1/4分别为（）A。
理论力学第九章冯维明主编
第九章 动量矩定理
§9.3 动量矩定理
Theoretical Mechanics
返回首页
9.3 动量矩定理 质点动量矩定理
质点对固定点的动量 矩对时间的一阶导数等 于作用于质点上的力对 同一点的力矩。 同一点的力矩。 z
B
x
m 2 1 x l Jz = ∫ x dx = ml 2 l / 2 l 12 Jz l 回转半径为： 回转半径为： ρz = = = 0.289l m 2 3
（2）均质圆环
z
Jz = ∑mr2 = ∑mR2 = mR2 i i i
回转半径为： 回转半径为：
R
O
ρz =
Jz =R m
9.1 定轴转动刚体对转轴的动量矩 转动惯量
返回首页
第九章 动量矩定理
§9.1 质点和质点系的动量矩
Theoretical Mechanics
返回首页
9.1 质点和质点系的动量矩
动量矩是矢量，称为动量矩矢。 动量矩是矢量，称为动量矩矢。
质点动量矩
质点M的动量对于O点的矩，定 义为质点对于O点的动量矩，即
A
F
mv
r
m O ( mv )
m O ( mv ) = r × mv
如机器上的飞轮，边缘比较厚实。 如机器上的飞轮，边缘比较厚实。目的就是增加其转动 惯量，以使机器的运转平稳。而仪表中的指针做的比较细， 惯量，以使机器的运转平稳。而仪表中的指针做的比较细， 目的是减少其转动惯量，以使其转动灵敏， 目的是减少其转动惯量，以使其转动灵敏，提高仪表的精 度。
理论力学-9-动量定理及其应用
y
解法1：建立Oxy坐标系，在角度q为任意值的情形下
vA
yA 2lsin q
A
xB 2lcosq
vA yA 2lqcosq 2lcosq
vB xB 2lqsinq 2lsin q
Oθ
vB
B
p mivi
i
p mAvA mBvB
p mAvA mBvB
x
2lmcosq j 2lmsinq i
l
cost
例题 3
2．求作用在O轴处的最大水平约束力
y
由质心运动定理
A
O
C
B
l/2
x
&x&C
m1 2(m1
2m2 2m3 m2 m3 )
lω2
cos
ωt
D
Fox
MaCx
(m1
2m2
2m3 )
lω2 2
cos ωt
当 cosωt 1 时，水平约束力最大，其值为
Fox,max
Macx
(m1
2m2
隔板
水池
？抽去隔板后将会
发生什么现象
水
光滑台面
第9章 动量定理及其应用
？ 二人在太空中拔河，
初始静止，同时用尽 全力相互对拉。若A 的力气大于B的力气， 则拔河的胜负将如何？
第9章 动量定理及其应用
9.1 动量定理与动量守恒 9.2 质心运动定理 9.3 综合应用举例 9.4 结论与讨论
第9章 动量定理及其应用
2lm(-sinq i cosq j)
9.1.1 质点和质点系的动量
例题 1
解法2： 质点系的质心在C处，其速度大小为
A vC
建筑力学大纲 知识点第九章位移法
第9章位移法用计算机进行结构分析时通常以位移法原理为基础。
位移法是求解超静定结构的另一基本方法。
9.1 等截面单跨超静定梁的杆端内力位移法中用加约束的办法将结构中的各杆件均变成单跨超静定梁。
在不计轴向变形的情况下，单跨超静定梁有图9－1中所示的二种形式。
它们分别为：两端固定梁；一端固定另端链杆（铰）支座梁。
9.1.1 杆端力与杆端位移的正、负号规定1.杆端力的正、负号规定杆端弯矩：顺时针转向为正，逆时针转向为负。
对结点而言，则逆时针转向为正，顺时针转向为负。
杆端剪力：使所研究的分离体有顺时针转动趋势为正，有逆时针转动趋势为负。
2.杆端位移的正、负号规定杆端转角：顺时针方向转动为正，逆时针方向转动为负。
杆端相对线位移：两杆端连线发生顺时针方向转动时，相对线位移Δ为正，反之为负。
9.1.2 荷载作用下等截面单跨超静定梁的杆端力———载常数荷载所引起的杆端弯矩和杆端剪力分别称为固端弯矩和固端剪力，统称为载常数。
9.1.3杆端单位位移所引起的等截面单跨超静定梁的杆端力—刚度系数（形常数）杆端单位位移所引起的杆端力称为刚度系数或称形常数。
§9.2 位移法的基本概念1.基本未知量当不计轴向变形时，刚结点1不发生线位移，只发生角位移Z1，且A1和杆B1的1端发生相同的转角Z１。
刚结点1的角位移Z１就是求解该刚架的位移法基本未知量。
图9 －７2.基本结构 在刚结点1上加一限制转动（不限制线位移）的约束，称之为附加刚臂，如图9－7（ｂ）所示。
因不计轴向变形，杆A1变成一端固定一端铰支梁，杆B1变成两端固定梁。
原刚架则变成单跨超静定梁系，称为位移法基本结构。
3.荷载在附加刚臂中产生的反力矩R 1F在基本结构图9－7（ｂ）上施加原结构的荷载，得到的结构，称为位移法基本体系,杆B1发生虚线所示的变形，但杆端1截面被刚臂制约，不产生角位移，使得刚臂中出现了反力矩R 1F 。
4.刚臂转动引起的刚臂反力矩R 11为使基本结构与原结构一致，需将刚臂（连同刚结点1）转动一角度Z 1，使得基本结构的结点1 转角与原结构虚线所示自然变形状态刚结点转角相同。
哈工大理论力学教案 第9章
解:1, AB作平面运动 作平面运动
基点: 基点: A
2,
vB = vA + vBA ? √ √
大 ? vA 小 方 √ 向
vB = vA cot
vA vBA = sin
vBA vA ωAB = = l l sin
如图所示平面机构中, 例9-2 如图所示平面机构中,AB=BD= DE= l=300mm.在图示位置时,BD‖AE,杆AB的角速度为 .在图示位置时, , 的角速度为 ω=5rad/s. . 此瞬时杆DE的角速度和杆 中点C的速度 的角速度和杆BD中点 的速度. 求:此瞬时杆 的角速度和杆 中点 的速度.
解:1, AB作平面运动 作平面运动 2, vB = vA + vBA
大 ? ωr ? 小 方 √ 向
= 60
基点: 基点:A
√
√
vB = vA cos 30 = 2 3ωr 3
= 0
vB = 0
= 90
vB = vA = ωr, vBA = 0
如图所示的行星轮系中,大齿轮Ⅰ固定, 例9-4 如图所示的行星轮系中,大齿轮Ⅰ固定,半 径为r 行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动,半径为r 径为 1 ,行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动,半径为 2. 系杆OA角速度为 系杆 角速度为 ωO . 的角速度ω 及其上B, 两点的速度. 求:轮Ⅱ的角速度 Ⅱ及其上 ,C 两点的速度.
解:1 , BD作平面运动 作平面运动
2, vD = vB + vDB 大 ? ωl 小 方 √ 向 √ ? √
基点: 基点:B
vD = vDB = vB =ωl
vD vB ωDE = = = ω = 5rad s DE l vDB vB ωBD = = = ω = 5rad s BD l
工程力学第9章 应力状态与强度理论
27
根据广义胡克定律，有
解 （1）m-m 截面的内力为：
（2）m-m 截面上 K 点的应力为：
28
29
30
9.5 强度理论
9.5.1 强度理论的概念 在第7章中介绍了杆件在基本变形情况下的强度计 算，根据杆件横截面上的最大正应力或最大切应力及相 应的试验结果，建立了如下形式的强度条件：
31
32
33
（2）第二强度理论———最大伸长线应变理论
34
（3）第三强度理论———最大切应力理论
35
（4）第四强度理论———最大形状改变比能理论
36
37
（2）校核正应力强度
（3）校核切应力强度
38
（4）按第三强度理论校核 D 点的强度
39
思考题 9.1 某单元体上的应力情况如图9.18所示，已知 σx=σy。试求该点处垂直于纸面的任意斜截面上的正应力、 切应力及主应力，从而可得出什么结论？
6
9.2.1 方位角与应力分量的正负号约定 取平面单元体位于Oxy平面内，如图9.5（a）所示。 已知x面（外法线平行于x轴的面）上的应力σx及τxy，y 面上的应力σy及τyx。根据切应力互等定理，τxy=τyx。现 在为了确定与z轴平行的任意斜截面上的应力，需要首 先对方位角α以及各应力分量的正负号作如下约定：
10
11
9.2.3 平面应力状态下的主应力 与极值切应力由式（9.1）和式（9.2）可知，当σx， σy和τxy已知时，σα和τα将随α的不同而不同，即随斜截面 方位不同，截面上的应力也不同。因而有可能存在某种 方向面，其上之正应力为极值。设α=α0时，σα取极值。 由
12
13
14
15
16
南京理工大学工程流体力学基础 第9章__膨胀波和激波
§9-3 正激波前后的参数关系
p2 2 1 2 Ma1 p1 1 1
2
1v1 2v2
p2 p1 1v1 2v2
2 2
v1 p1 v2 p2 2 1 1 2 1 2
2
波后与波前压强比取决于波前的马 赫数以及气体的性质。
v1 c v c 1 ccr 1 2 2 2 1 2 1 1 2
Ma1 1 Ma2
2
1
Ma2
Ma1 1
2
1
§9-2 激 波
激波的产生
以超声速飞行的飞行器。
附体激波
Ma1>1 ε
流线
脱体激波
Ma1>1 Ma<1
Ma=1 Ma>1
近似正激波
附体激波
近似斜激波
脱体激波
§9-2 激 波
激波的产生
半无限长直管道中活塞逐渐加速。
静止活塞从t=0加速 到 t=t1 ， 形 成 一 系 列压缩波。 气体压缩后温度上 升，音速提高，后 面的波传播速度较 快。 后波赶前波，最后 形成压力间断面， 即激波。
工程流体力学基础
第九章 膨胀波和激波
主要内容
膨胀波 激波 正激波前后的参数关系 斜激波 激波的反射与相交 拉瓦尔喷管与激波
膨胀波和激波
超声速流与亚声速流有很大不同。超声速流中 通常会出现膨胀波和激波，这是其基本特征。 膨胀波：流体发生膨胀，通过膨胀波后，流 体的压强、温度和密度降低，流速增大。 激波：气体流动状态的突然改变。
总压比 由压强比关系式和总压关系式
1Ma 2 1 2 p02 2 1Ma1 2 1 2 p01 Ma1 1 1
理论力学课后习题答案-第9章--动量矩定理及其应用)
习题9－2图习题20-3图习题20-3解图OxF Oy F gm Ddα第9章 动量矩定理及其应用9－1 计算下列情形下系统的动量矩。
1. 圆盘以ω的角速度绕O 轴转动，质量为m 的小球M 可沿圆盘的径向凹槽运动，图示瞬时小球以相对于圆盘的速度v r 运动到OM = s 处（图a ）；求小球对O 点的动量矩。
2. 图示质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。
轮心为A ，质心为C ，且AC = e ；轮子半径为R ，对轮心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一铅垂线上（图b ）。
（1）当轮子只滚不滑时，若v A 已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩；（2）当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩。
解：1、2s m L O ω=（逆）2、（1）)1()(Remv e v m mv p A A C +=+==ωRv me J R e R mv J e R mv L A A A C C B)()()(22-++=++=ω（2）)(e v m mv p A C ω+==ωωωω)()()())(()(2meR J v e R m me J e R e v m J e R mv L A A A A C C B +++=-+++=++=9－2 图示系统中，已知鼓轮以ω的角速度绕O 轴转动，其大、小半径分别为R 、r ，对O 轴的转动惯量为J O ；物块A 、B 的质量分别为m A 和m B ；试求系统对O 轴的动量矩。
解：ω)(22r m R m J L B A O O ++=9－3 图示匀质细杆OA 和EC 的质量分别为50kg 和100kg ，并在点A 焊成一体。
若此结构在图示位置由静止状态释放，计算刚释放时，杆的角加速度及铰链O 处的约束力。
不计铰链摩擦。
解：令m = m OA = 50 kg ，则m EC = 2m 质心D 位置：（设l = 1 m) m 6565===l OD d 刚体作定轴转动，初瞬时ω=0l mg lmg J O ⋅+⋅=22α222232)2(212131ml ml l m ml J O =+⋅⋅+=即mgl ml 2532=α2rad/s 17.865==g l α gl a D 362565t =⋅=α 由质心运动定理： Oy D F mg a m -=⋅33t4491211362533==-=mg g mmg F Oy N （↑） 0=ω，0n=D a ， 0=Ox F习题9－1图(a)v (b)（b ） 习题9－5解图习题9－5图J 9－4 卷扬机机构如图所示。
第9章---弹性力学变分原理
§9-2 应变能与余应变能 热力学定律——导出应变能的表达式
物体在外荷载作用下的功能转换：
弹性力学的 变分原理
可逆过程——外荷载对物体所做的功全部转化为物体的
动能和物体因变形引起的应变能(内能)。
不可逆过程——外荷载对物体所做的功, 一部分转化为
物体的动能和应变能,另一部分转化为热能、声能等被耗散。
y y ( x) y( x) x [a, b]
(9-4)
§9-1 变分法的预备知识 二、函数的变分
弹性力学的 变分原理
通常函数要满足一定的边界条件, 函数的变分应满足齐 次边界条件
y(a) ya , y(b) yb
y(a) 0, y(b) 0
导数的变分
( y) y ( x) y( x) (y ) y ( x) y( x) ( y) (y)
应变能密度是应力分量的函数，而应力分量又是位 置 x、y、z的函数，因此，应变能密度是一个泛函。
泛函的一般形式
I [ y( x)] f ( x, y, y)dx
a
b
§9-1 变分法的预备Hale Waihona Puke 识 二、函数的变分函数的微分
弹性力学的 变分原理
dy y( x)dx
是增量的一阶小量！
函数的变分
热力学定律——导出应变能的表达式
弹性力学的变分原理
(σ u) il,iul il il ( σ ) u σ : ε
代(11-12a)
V ( σ f ) udv σ : εdv
V V
σ : εdv
若以广义虎克定律代入，得应力分量的应变能密度
§9-1 变分法的预备知识 一、函数与泛函
精品文档-理论力学(张功学)-第9章
(9-18)
P=∑mivi=常矢量
如果作用于质点系的外力的矢量和恒为零，则质点系的动
量保持不变。该结论称为质点系动量守恒定律。由该定律可知，
要使质点系动量发生变化，必须有外力作用。
第9章 动量定理及其应用
又由式(9-14)可知，如果∑Fix(e) =0， 则 Px=∑mivix=常量
(9-19) 即如果作用于质点系的外力在某一轴上投影的代数和恒为零， 则质点系的动量在该轴上的投影保持不变。
同。冲量的单位为N·s。
第9章 动量定理及其应用
9.2 动 量 定 理
9.2.1 质点动量定理
质点运动微分方程为
ma=F
由于
，因此上式可以写成
，或
a dv dt
m dv F dt
(9-6)
d(mv ) F dt
第9章 动量定理及其应用
这就是质点动量定理，即质点动量对时间的导数，等于作 用于质点上的力。如果将式(9-6)写成
第9章 动量定理及其应用
物体机械运动的强弱，不仅与质量有关，而且与速度有关。 我们将质点的质量m与它在某瞬时t的速度v的乘积，称为该 质点在瞬时的动量，记为mv。动量是矢量，其方向与点的速度 的方向一致，动量的单位为kg·m/s。
第9章 动量定理及其应用
2. 质点系的动量
将质点系中所有质点动量的矢量和，定义为该质点系的动
(9-14)
第9章 动量定理及其应用
其中, Px、Py、Pz分别为质点系的动量P在x、y、z轴上的投影， 由式(9-1)可知其值分别为
(9-15)
式(9-14)是质点系动量定理的投影形式，它表明：质点系 的动量在任一固定轴上的投影对于时间的导数，等于作用于质 点系的所有外力在同一轴上投影的代数和。
理论力学概念整理-第9章
FQ1 = −
= −2kx1 + kx2 − mg
FQ 2 = −
∂V = −[k ( x2 − x1 − l ) + mg ] = kx1 − kx2 − mg + kl ∂x2
第二类拉格朗日方程 一般完整系统
d ⎛ ∂T ⎜ j dt ⎜ ⎝ ∂q
⎞ ∂T − = FQ j ( j = 1, 2 , " , k ) ⎟ ⎟ ∂q j ⎠
B 和 E 的质量分别是 m1 、 m 2 和 m3 。不计弹簧质量，若取 x 和 y 为广义坐标，试
求系统的广义力。
286
o
x
k1
A
图 9-3
E
y
k2 o
B
α
D
答：系统的自由度是 2，令 δx ≠ 0, δy = 0
∑ δW ∑δW =
δx
( x)
( x) F
= −k1 xδx − (δx tan α )(m2 + m3 ) g
289
以经过 O 点的水平面为零势能面，有势能函数：
V = mg (r cos θ + rθ sin θ )
1⎛ 1 ⎞ 2 L = T − V = ⎜ ml 2 + mr 2θ 2 ⎟ θ − mgr (cos θ + θ sin θ ) 2 ⎝ 12 ⎠
代入
d ∂L ∂L ，有 − ∂θ = 0 dt ∂θ ∂L ⎛ 1 2 ⎞ = ⎜ ml + mv 2θ 2 ⎟ θ ∂θ ⎝ 12 ⎠
故
FQy =
∑ δW
δy
( y)
F
⎛ mg⎞ − k2 ⎜ y − 3 ⎟ δ y − m3 gδ y k2 ⎠ ⎝ = = − k2 y δy
土力学与地基基础第9章 基坑工程PPT课件
i1
i1
求最大的弯矩
按结构力学分析，最大弯矩应该在零剪应力截
面。根据计算简图，求得
处，即图 n
m
Eai
E pi
i 1
i 1
中的D点，也就是零剪应力点。于是最大弯矩
为：
n
m
Mmax Eaiyai Epiypi
i1
i1
我国规程的计算方法
由于在朗肯土压力条件下，忽略了支护结构与 土体的摩擦力作用，基坑开挖面以下荷载按三 角形分布计算。这与实际的工程经验不相符合， 弯矩的计算值也偏大。故我国《建筑基坑支护 技术规程》JGJ 120―99（以下简称规程）规定悬 臂式排桩支护结构的嵌固深度设计值宜按下式 确定：
第9章 深基坑支护
本章学习要求：
了解深基坑支护的特点及支护结构的类型； 熟悉悬臂式排桩和单层支点支护结构的计算方法； 了解基坑稳定分析的一般步骤。
伴随着近年来高层建筑的发展，我国出现了大量的深基坑 工程。如福州新世纪大厦的-25.6m基坑，首都国家大剧院 基坑深度更是达到了-32.5m。
基坑支护工程作为一项临时性工程，它的设计计算涉及结 构工程和岩土工程等多门学科，同时，由于支护结构通常 是边施工边支护分步形成的，因而其计算体系是不断变化 的。
槽 段 长 度 4～ 8
拱圈墙
支撑体系
钢支撑
钢筋混凝土支撑
自由段
锚固段
排桩：指的是以某种桩型按队列式布置组成的 基坑支护结构
排桩的有关计算方法： （一）极限平衡法 （二）弹性地基梁法 （三）有限元法
有限元法计算特别复杂，一般工程应用不够方便， 实际工程设计不多。
弹性地基梁法需要求解微分方程，尽管相对有限 元法计算工作量大为减少，但是仍然较为繁琐。
工程力学课后习题答案第9章题解g
( ) 10.5x − x2 = 10.5 ×140 ×106 × 875 ×10−6 62 ×103 = 20.75
x 2 − 10.5x + 20.75 = 0 x1 = 2.59 m ， x2 = 7.91 m l0 = x2 − x1 = 5.22 m
（2）校核加固部分强度
M max
=
M ⎜⎛ l ⎟⎞ ⎝2⎠
F E
D
3F / 2
68
F ≤ 28.9 ×103 N = 28.9 kN
9-5 一重量为 P 的均质钢条，长度为 l，截面宽为 b，厚为 t，放置在刚性平面上如图。 当在钢条一端用力 F = P 提起时，求钢条与刚性平面脱开的距离 a 及钢条内的最大正应力。
3
解（1） ∑ M C
=
0 , Fa −
M ⎜⎛ l ⎟⎞ Pl
σ max =
⎝ 3 ⎠ = 18 = Pl
W
bt 2 36t 2
6
9-6 ⊥ 型 截 面 铸 铁 悬 臂 梁 ， 尺 寸 及 载 荷 如 图 所 示 。 若 材 料 的 拉 伸 许 用 应 力
[σ t ] = 40 MPa ， 压 缩 许 用 应 力 [σ c ] = 160 MPa ， 截 面 对 形 心 轴 zC 的 惯 性 矩
思考题 9-5 图
答 (b)（从强度考虑，(b),(c)差不多，从工艺考虑，(b)简单些）
65
9-6 弯曲切应力公式τ = FSSz* 的右段各项数值如何确定？ Izb
答 FS 为整个横截面上剪力； I z 为整个横截面对中性轴的惯性矩； b 为所求切应力所
在位置横截面的宽度；
S
* z
为横截面上距中性轴为
I zC = 10 180 cm4 ， h1 =9.64 cm，求该梁的许可载荷 F。
《理论力学》课件 第九章
第九章刚体的平面运动刚体的平面运动是工程机械中较为常见的一种刚体运动，它可以看作为平移与转动的合成，也可以看作为绕不断运动的轴的转动。
在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离。
平面运动刚体上的各点都在平行于某一固定平面的平面内运动。
注意与平移区别()Oϕ'--基点，转角，Oxy--定系用一个平面图形代表作平面运动的刚体；用平面内的任意线段的位置来确定平面图形的位置；用线段上任意点0′的坐标和一个夹角来确定该线段的位置。
平面图形的运动方程对于任意的平面运动，可在平面图形上任取一点O′，称为基点。
在这一点假想地安上一个平移参考系O’x’y’，平面图形运动时，动坐标轴方向始终保持不变，可令其分别平行于定坐标轴Ox和Oy，平面的平面运动可看成为随同基点的平移和绕基点转动这两部分运动的合成。
平移坐标系-'''y x O平移-----牵连运动转动-----相对运动四、重要结论：平面运动可取任意基点而分解为平移和转动。
其中平移的速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关.任何平面图形的运动可分解为两个运动(1)牵连运动，即随同基点O′的平移；(2)相对运动，即绕基点O′的转动。
平面图形内任一点M的运动也是两个运动的合成，因此可用速度合成定理来求它的速度，这种方法称为基点法。
注意：此处动点、动系、基点在同一个刚体上。
但属于刚体上的不同点。
点M 的牵连速度v v点M的相对速度v vω'M O v v v v 'ωv v AB v v ω结论：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。
平面图形内任意两点A 和B 的速度确定基点A ，一般应使V A 为已知条件。
O’M 上速度分布图角速度与相对速度有关AABAABBAvlABvωϕ=v v v应使V B位于平行四边形的对角线上V BA=AB·ω，此处ω是尺AB的角速度3、角速度分析例9-2图所示平面机构中，AB=BD=DE=l=300mm。
理论力学：第9章 动能定理
δ。小球运动时所受的力有重力 FP 和弹性力 F。当小球由 O 运
动到 B 时，重力 FP 所做的功等于 FPδ；至于弹性力 F 所做的
功，在式（9-9）中令
δ1=0，δ2=δ，即知为
速不变。已知绞车 І 的半径为 r1，其对轴的转动惯量为 I1；滑轮Ⅱ、Ⅲ的半径各
为 r2 、r3，对轴的转动惯量各为 I2、I3；链带的单位长度重量为 q，全长为 l。试
求在变速和匀速两个阶段，电动机的输出功率。忽略各处摩擦。
FP 2 FP1
例 9-5 图
·9·
解：用功率方程求解，设链带速度为 v，系统总动能、有用功率、无用功率为
如果用微分形式的动能定理求解此题，则要注意到
δ WF
FPdy
k
y 2
d
y 2
δ WF
FP
k 4
y dy
将式（d）和式（h）代入式（9－21），得
d
8FP 3Q 16g
v
2 A
FP
k 4
y
dy
此式两边被 dt 除，同样得到物块 A 的微分方程（g）。
k 2
2
。由质点动能
定理得 即
0
1 2
FP g
v02
FP
k 2
2
k
2
2FP
FP g
v02
0
解得
1 k
工程力学-第9章
基本概念
梁的位移与约束密切相关
基本概念
三种承受弯曲的梁
AB段各横截面都受有相 同的弯矩（M＝Fa）作用。
三 种 情 形 下 ， AB 段 梁 的
曲率（1／）处处对应相等，
因而挠度曲线具有相同的形 状。但是，在三种情形下， 由于约束的不同，梁的位移 则不完全相同。
对于没有约束的梁，因 为其在空间的位置不确定， 故无从确定其位移。
第9章
弯曲刚度问题
返回总目录
第9章 弯曲刚度问题
基本概念 小挠度微分方程及其积分 梁的刚度设计 结论与讨 论
返回总目录
基本概念
梁在弯矩作用下发生弯曲变形。如果在弹性范围内加载， 梁的轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲线。这一连续光滑 曲 线 称 为 弹 性 曲 线 （ elastic curve ） ， 或 挠 度 曲 线 （deflection curve），简称弹性线或挠曲线。
变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角 度，称为转角（slope）用表示；
基本概念
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，种位置的 改变称为位移(displacement)。梁的位移包括三部分：
横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移或水平 位移（horizontal displacement），用u表示。
3
C2
x
D2
其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和
AB段与BC段梁交界处的连续条件确定确定。
小挠度微分方程及其积分
EI1
3 8
FP x 2
C1
EIw1
1 8
FP
x3
C1x
D1
EI
＝－3
2
理论力学第九章习题
9-1．塔式起重机的水平悬臂以匀角速度ω=0.1rad/s 绕铅垂轴OO 1转动，同时跑车A 带着重物B 沿悬臂按x=20-0.5t 的规律运动，单位为米、秒，且悬挂钢索AB 始终保持铅垂。
求当t=10s 时重物B 的绝对速度。
解：动 点：A ；动 系：起重机运动分析：牵连运动：定轴转动； 相对运动：直线运动； 绝对运动：曲线运动；e e r ωx v sm 50dtdxv =-==/. 当t=10s 时sm 58151)50(v v v s m 5110)105020(v 222r2ea e /.../...=+-=+==⨯⨯-=9-2．图示曲柄滑道机构中，曲柄长OA=r ，它以匀角速度ω绕O 轴转动。
装在水平上的滑槽DE 与水平线成60o 角。
求当曲柄与水平线的交角分别为ϕ=0、30o 、60o 时，杆BC 的速度。
解：动 点：A ；动 系：ABC 运动分析：牵连运动：平动； 相对运动：直线运动； 绝对运动：圆周运动；OBC v rv a由正弦定理得：()()()12030φv v φ90v 30φv 120v ae re a sin sin sin sin sin -=-=-=当ϕ=0o 时， ωr 33v e -= 当ϕ=30o 时， 0v e =当ϕ=60o时， ωr 33v e =9-3．图示曲柄滑道机构中，杆BC 为水平，而杆DE 保持铅垂。
曲柄长OA=10cm ，以匀角速度ω=20rad/s 绕O 轴转动，通过滑块A 使杆BC 作往复运动。
求当曲柄与水平线的交角分别为ϕ=0、30o 、90o 时，杆BC 的速度。
解：动 点：A ；动 系：BDC 运动分析：牵连运动：平动；相对运动：直线运动； 绝对运动：圆周运动；φv v s cm 200ωr v a e a sin /===当ϕ=0o 时， 0v e =；当ϕ=30o 时， s cm 100v e /=； 当ϕ=90o 时， s cm 200v e /=9-4．矿砂从传送带A 落到另一传送带B 的绝对速度为v 1=4m/s ，其方向与铅垂线成30o 角。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2)齿轮传动的主要缺点
1)齿轮制造精度高，安装精度高，成本也高，需专用设备、刀具 生产制造。
2)不适用于两轴中心距较大的场合。 3)无过载保护功能。 4)传动中有噪声和振动。
Байду номын сангаас
二、齿轮及其传动的类型
1.按齿轮的轮廓曲面分类
(1)渐开线齿轮 渐开线齿轮的齿面是具有渐开线性质的曲面，是 应用最广泛的一类齿轮。渐开线齿轮机构的形式很多，但直齿圆柱齿 轮机构是齿轮机构中最简单、最基本、应用最广泛的一种形式，因而 我们将直齿圆柱齿轮作为本章重点进行讨论。
一、齿廓啮合基本定律
采用齿轮传动的主要目的是使两个相互啮合的齿轮的 角速度大小发生改变或转动方向发生改变。两个齿轮的瞬 时角速度ω 1与ω 2之比称为传动比i，一般场合都要求齿 轮传动的传动比保持恒定。
齿轮机构工作时，主动 轮的齿廓推动从动轮的齿廓， 从而实现了运动的传递，所 以齿轮机构的传动比与两个 齿轮的齿廓曲线有关。图92所示为相互啮合的一对齿 廓，O1、O2为两齿轮的回转 中心。图中K点是两齿廓的 接触点，nn直线是两齿廓在 K点公法线，且与连心线O1O 2相交于P点。
(2)圆弧齿轮 圆弧齿轮是近几十年来新发展起来的一种齿轮机构， 其齿面是圆弧曲面。这种齿轮的承载能力高于渐开线齿轮，适用于高 速重载的场合。
(3)摆线齿轮 摆线齿轮机构目前主要用于摆线少齿差传动，其齿 廓曲线为外摆线。
(4)谐波齿轮 与前三种齿轮不同，该齿轮传动中含有柔性轮，传 动比较大，传递的功率也较大。
一对齿轮的齿廓公法线nn与其连心线O1O2的交点P， 称为节点。以O1为圆心，O1P为半径和以O2为圆心、O2P为 半径的两个相切的圆，称为齿
二、渐开线齿廓的形成及特性
目前，在生产实践中所用的齿轮，大部分是渐开线齿 轮，各类机床中几乎全部采用渐开线齿轮。
1.渐开线的形成 图9-3 渐开线的形成如
图9-3所示，设在半径为rb的 圆O上，有一条直线NK与它相 切，当直线NK沿圆周作纯滚动 时，直线上任一点的轨迹，称 为圆O的渐开线。
由图9-2可知，两轮的传动比 为
上式表明，一对相互啮合的齿轮的瞬时传动比， 与连心线O1O2被两齿廓在任一啮合位置时的公法线所 分成的两线段的长度成反比。该结论被称为齿廓啮合 基本定律。
凡是能满足齿廓啮合基本定律的一对齿廓，称为共轭 齿廓。在理论上，只要任意给定一个齿轮的齿廓曲线，就 可确定与之共轭的另一个齿轮的齿廓曲线。
2.按齿轮传动相对运动分类(见表9-1)
3.按齿轮传动工作条件分类
(1)开式传动 适于低速及不重要的场合。 (2)半开式传动 适用于农业机械、建筑机械及简单机械 设备，只有简单防护罩。 (3)闭式传动 润滑、密封良好，应用于汽车、机床及航 空发动机等的齿轮传动中。
三、齿轮传动的基本要求
齿轮用于传递运动和动力，必须满足以下两个要求: 1.传动准确、平稳
【重点和难点】
(1)齿轮机构的特点及类型。 (2)齿廓啮合基本定律及渐开线的特点。 (3)标准直齿圆柱齿轮的几何尺寸计算。 (4)渐开线齿轮的啮合传动特性。 (5)展成法加工齿轮齿廓及轮齿不发生根切的最小齿数。 (6)斜齿圆柱齿轮、直齿锥齿轮的当量齿轮及当量齿数。 (7)齿轮失效形式及设计计算准则。 (8)齿轮传动的强度计算及参数选择。 (9)齿轮的结构及润滑方式。
第一节 齿轮传动的特点和类型
一、齿轮传动的特点
齿轮机构是现代机械中应用最广泛的传动机构，用 于传递空间任意两轴或多轴之间的运动和动力。
(1)齿轮传动和其他传动相比的优点
1)齿轮传动是一种十分重要的机械传动，能够满足传动平稳、且 瞬时传动比恒定的要求。
2)传动效率高,高精度渐开线齿轮的传动效率可达99%。 3)工作可靠，工作寿命长，可达10～20年。 4)传递功率范围广，从百分之几瓦到10万kW。 5)速度范围广，转速达几转至几十万r/min,圆周速度可达300m/s。 6)结构紧凑，外廓尺寸小。
第三节 渐开线标准直齿圆柱齿轮的
基本参数和几何尺寸
一、直齿圆柱齿轮的基本参数
渐开线齿轮各部分的尺寸 均为标准值。如图9-4所示为 标准直齿圆柱齿轮的一部分。 齿轮各部分的名称、符号及其 尺寸间的关系如下：
第九章 齿轮传动
齿轮传动是最重要的机械传动形式之一，本章主要 讨论渐开线齿轮机构的分类；渐开线齿廓的基本特性； 渐开线齿廓的加工方法及其失效形式；直齿圆柱齿轮、 斜齿圆柱齿轮和直齿锥齿轮的几何尺寸计算；直齿圆柱 齿轮的强度计算、主要参数及其选择；齿轮的材料及其 齿轮结构与润滑。
【基本要求】
(1)掌握渐开线齿廓的基本特性。 (2)掌握标准直齿圆柱齿轮几何尺寸的计算。 (3)掌握强度计算、主要参数及其选择。 (4)了解斜齿圆柱齿轮和直齿锥齿轮传动。 (5)了解齿轮传动的失效形式及其润滑方式。
4)渐开线的形状与基圆的大小有关。基圆半径越小， 渐开线越弯曲；基圆半径越大，渐开线越平直；基圆半 径无穷大时，渐开线为一条斜直线，即齿条齿廓。
5)从渐开线的形成过程中可以看出，基圆以内无法 形成渐开线。
三、渐开线齿廓满足齿廓啮合的基本定律
由渐开线的性质2可知一对渐开线齿轮啮合时，啮合 点的公法线必是两基圆的公切线。因两基圆位置和大小 都不变，故其公切线与轴心连线O1O2的交点P(节点)的位 置不变，满足齿廓啮合的基本定律。
圆O称为基圆，NK称为发 生线。
2.渐开线的基本性质 由渐开线的形成过程可知其具有下列性质：
1)发生线沿基圆滚过的长度等于基圆上被滚过的圆弧长。 2)发生线NK是渐开线在任意点K的法线，同时也是基圆上A点的切 线，NK的长度等于渐开线上K点的曲率半径，N点是K点的曲率中心。 3)渐开线上任意点K的法线与该点的速度方向所夹的锐角α k称为 该点的压力角。渐开线各点处的压力角不等，rk越大(即K点离圆心O 越远)，其压力角越大；反之越小。
齿轮传动的最基本要求之一是瞬时传动比恒定不变， 以避免产生动载荷、冲击、振动和噪声。这与齿轮的齿 廓形状、制造和安装精度有关。
2.承载能力强 齿轮传动在具体的工作条件下，必须有足够的工作
能力，以保证齿轮在整个工作过程中不致产生各种失效。 这与齿轮的尺寸、材料、热处理工艺因素有关。
第二节 渐开线齿轮