版高考数学一轮总复习第6章6.6直接证明与间接证明模拟演练理47

学 习 资 料 汇编
2018版高考数学一轮总复习 第6章 不等式、推理与证明 6.6 直接证明
与间接证明模拟演练 理
[A 级 基础达标](时间：40分钟)
1．[2017·绵阳周测]设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2
＋1，则下列关于t 和s 的大小关系中正确的是( )
A ．t >s
B ．t ≥s
C ．t <s
D ．t ≤s
答案 D
解析 s －t ＝b 2
－2b ＋1＝(b －1)2
≥0，∴s ≥t ，选D 项．
2．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )
A ．恒为负值
B ．恒等于零
C ．恒为正值
D ．无法确定正负
答案 A
解析 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.
3．[2017·东城模拟]在△ABC 中，sin A sin C ＜cos A cos C ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定
答案 C
解析 由sin A sin C ＜cos A cos C ，得cos A cos C －sin A sin C ＞0，即cos(A ＋C )＞0，所以A ＋C 是锐角，从而B ＞π
2
，故△ABC 必是钝角三角形．
4．[2017·郑州模拟]设x >0，P ＝2x ＋2－x ，Q ＝(sin x ＋cos x )2
，则( ) A ．P >Q B ．P <Q C ．P ≤Q D ．P ≥Q
答案 A
解析 因为2x
＋2－x
≥22x ·2－x
＝2(当且仅当x ＝0时等号成立)，而x >0，所以P >2；又(sin x ＋cos x )2
＝1＋sin2x ，而sin2x ≤1，所以Q ≤2.于是P >Q .故选A.
5．设x ，y ，z ＞0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y
( ) A ．都大于2 B ．至少有一个大于2 C ．至少有一个不小于2 D ．至少有一个不大于2 答案 C
解析 因为x ＞0，y ＞0，z ＞0，所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫y x ＋y z ＋( z x ＋z y
)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y z ＋z y ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫x z ＋z x ≥6，
当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2，故选C.
6．下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋a
b
≥2成立的条件的序号是________．
答案 ①③④
解析 要使b a ＋a
b ≥2，只需b a >0且a b >0成立，即a ，b 不为0且同号即可，故①③④都能使b a ＋a b
≥2成立．
7．[2016·兰州调研]已知a ，b 是不相等的正数，x ＝a ＋b
2
，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关
系是________．
答案 x ＜y 解析 ∵
a ＋b
2>ab (a ≠b )⇒a ＋b >2ab ⇒2(a ＋b )>a ＋b ＋2ab ⇒a ＋b >
a ＋b
2
2
⇒
a ＋
b >
a ＋b
2
，
即x <y .
8．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2
＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *
，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．
答案 c n ＋1＜c n
解析 由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2
＋1－n ＝
1
n 2＋1＋n
，∴c n 随n 的增大而减小，∴c n ＋1＜c n .
9．[2017·唐山模拟]已知a ＞0，1b －1
a
＞1，求证：1＋a ＞
11－b
.
证明 由已知1b －1
a
>1及a >0可知0<b <1，要证1＋a >
11－b
，只需证1＋a ·1－b >1，只需
证1＋a －b －ab >1，
只需证a －b －ab >0，即
a －b
ab
>1， 即1b －1
a
>1，这是已知条件，所以原不等式得证．
10．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；
(2)设b n ＝S n n
(n ∈N *
)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
解 (1)由已知得⎩⎨
⎧
a 1＝2＋1，
3a 1＋3d ＝9＋32，
则d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．
(2)证明：由(1)得b n ＝S n
n
＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，
则b 2
q ＝b p b r ，
即(q ＋2)2
＝(p ＋2)(r ＋2)， 所以(q 2
－pr )＋2(2q －p －r )＝0. 因为p ，q ，r ∈N *
，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
q 2
－pr ＝0，2q －p －r ＝0，
所以⎝
⎛⎭
⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0.
所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾，所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． [B 级 知能提升](时间：20分钟)
11．若1a <1
b
<0，则下列结论不正确的是( )
A ．a 2
<b 2
B ．ab <b 2
C ．a ＋b <0
D ．|a |＋|b |>|a ＋b |
答案 D
解析 ∵1a <1b
<0，∴0>a >b .∴a 2<b 2，ab <b 2
，a ＋b <0，|a |＋|b |＝|a ＋b |.
12．已知m >1，a ＝m ＋1－m ，b ＝m －m －1，则以下结论正确的是( ) A ．a >b B ．a <b
C ．a ＝b
D ．a ，b 大小不定
答案 B
解析 ∵a ＝m ＋1－m ＝
1
m ＋1＋m
，
b ＝m －m －1＝
1
m ＋m －1
.
而m ＋1＋m >m ＋m －1>0(m >1)， ∴
1
m ＋1＋m
<
1
m ＋m －1
，即a <b .
13．[2017·邯郸模拟]设a ，b 是两个实数，给出下列条件：
①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2＋b 2
＞2；⑤ab ＞1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)
答案 ③
解析 若a ＝12，b ＝2
3，则a ＋b ＞1，
但a ＜1，b ＜1，故①推不出；
若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；
若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2
＞2，故④推不出；
若a ＝－2，b ＝－3，则ab ＞1，故⑤推不出；
对于③，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾， 因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.
14．已知a ，b ，m 为非零实数，且a 2＋b 2
＋2－m ＝0，1a 2＋4b
2＋1－2m ＝0.
(1)求证：1a 2＋4
b
2≥
9
a 2
＋b 2
； (2)求证：m ≥7
2.
证明 (1)要证1a 2＋4
b
2≥
9
a 2
＋b 2
成立， 只需证⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a
2＋4b 2(a 2＋b 2
)≥9，
即证1＋4＋b 2a 2＋4a 2b 2≥9，只需证b 2a 2＋4a 2
b 2≥4，
根据基本不等式，有b 2a 2＋4a 2
b
2≥2
b 2a 2·4a 2b
2＝4成立．当且仅当2a 2＝b 2
时等号成立，所以原不等式成立．
(2)因为a 2＋b 2
＝m －2，1a 2＋4b
2＝2m －1，
由(1)知(m －2)(2m －1)≥9，即2m 2
－5m －7≥0，
解得m ≤－1或m ≥72.又a 2＋b 2
＝m －2＞0，1a 2＋4b 2＝2m －1＞0，所以m ≥72
.
敬请批评指正。