自动控制原理习题4(含答案)
自动控制原理参考答案-第4章
d) 与虚轴交点：
特征方程： s3 + 2s2 + (2 + Kg )s + 3Kg = 0
s3
1
2+ Kg
s2
2
3Kg
s1 2 − 0.5Kg
s0
3Kg
当 Kg = 4 时， 2s2 +12 = 0 ⇒ s = ±2.45 j
e) 出射角： βsc = ±180(1+ 2n) − ∑ β + ∑α
s3
1
7
s2
2
Kg −10
s1 12 − 0.5Kg
s0 Kg −10
当 Kg = 24 时， 2s2 +14 = 0 ⇒ s1,2 = ±2.65 j
劳斯表的 s0 行为正 ⇒ Kg > 10 ，即10 < Kg < 24 根轨迹如下图：
题 4-6：已知负反馈控制系统的开环传递函数为
G(s)H(s)
b) 根轨迹趋向： n − m≥ 2 ，则极点-5，-10 之间的根轨迹向右渐进．
c)
渐近线： ⎧⎪⎨ϕk
=
±180(1 + 2
2n)
=
±90o
⎪⎩−σ k = −6.5
d) 分离点与会合点：令 ∂Kg = 0 ∂s
即： 2s3 + 21s2 + 60s +100 = 0 ⇒ s1 = −7.34 ； s2,3 = −1.5794 ± 2.0776j (舍去) 根轨迹如下图：
(4) 稳态速度误差系数是多少？
(5) 系统指标比该点的二阶指标大还是小？如果要求系统有该点二阶指标
的超调量，能否通过改变阻尼线而获得？是增大阻尼比还是减小它？
自动控制原理习题第四章
第四章：例1求下列各开环传递函数所对应的负反馈系统的根轨迹。
起点：两个开环极点为 -pt = 一1, 一 p 2 = _2 ；终点：系统有一个开环零点为_z - ~3。
2)实轴上的根轨迹区间为 一：:，$ ］, ］。
3) 根轨迹的分离点、会合点计算D'(s)N(s) - N '(s)D(s) =0即(S 1)(S 2) —(S 3) I(S 1) (s 2) I -0S 2 6S 7=0S,2 =；(-6±j 36 —28) =；(-6±j 8)=弋±血因为根轨迹在 ：；：_Q ,七1和1-2, -1 1上,所以，分离点为 -1.58，会合点为-4.42。
根轨迹如图4-1所示。
例2求下列各环传递函数所对应的负反馈系统根轨迹。
1)起点：两个开环极点 -訪=-1 2, - p 2 = -1 -「2。
终点：系统有一个开环零点-z - -2。
W K (S )K g (s 3) (S 1)(S 2)(1) W K (S ) 二 K g (s 2) S 2 2S 3图4-1根轨迹图3）渐近线计算_180 1 2」 n -mn m '、' P j zj 4 i4n —m求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为―80(12 — 1802—14 )求分离点，会合点由 D'(s)N(s) _N'(s)D(s) =0 得2 s 2s 3—(s 2)(2 s 2) =0整理得s 2 4s ^0解得 s = -2 - E ，S 2 二-2 • 。
由于实轴上的根轨迹在 （-2,比）区间内，所以分离点应为& =-2-J 3痒-3.7。
5）出射角计算■'n 』 m x由R s c =180〃 -迟B j 亠迟%得甘 7 丿仁1 =180’，- 90'丿-54.7，=144」同理，-sc2 - -144.7。
根轨迹如图4-2所示。
自动控制原理试题4及答案
模拟试题（四）课程 自动控制原理一、 单选题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其相应字母写入题干的○内，每小题2分，共20分）１．采用负反馈形式连接后 A. 一定能使闭环系统稳定； B. 系统动态性能一定会提高； C. 一定能使干扰引起的误差逐渐减小，最后完全消除； D. 需要调整系统的结构参数，才能改善系统性能。
2. 关于系统传递函数，以下说法不正确的是 A. 是在零初始条件下定义的； B. 只适合于描述线性定常系统； C. 与相应s 平面零极点分布图等价； D. 与扰动作用下输出的幅值无关。
3．系统特征方程为 0632)(23=+++=s s s s D ，则系统 A. 稳定； B. 临界稳定； C. 右半平面闭环极点数2=Z ； D. 型别1=v 。
4．系统在2)(t t r =作用下的稳态误差∞=ss e ，说明 A. 型别2<v ； B. 系统不稳定；C. 输入幅值过大；D. 闭环传递函数中有一个积分环节。
5. 对于以下情况应绘制0°根轨迹的是 A. 主反馈口符号为“+”； B. 除*K 外的其他参数变化时； C. 非单位反馈系统； D. 根轨迹方程（标准形式）为1)()(+=s H s G 6．非最小相角系统 A. 一定是条件稳定的； B. 对应要绘制0°根轨迹； C. 开环一定不稳定； D. 闭环相频的绝对值非最小。
7．对于单位反馈的最小相角系统，依据三频段理论可得出以下结论 A. 低频段足够高，ss e 就能充分小；B. )(ωL 以-20dB/dec 穿越0dB 线，系统就能稳定；C. 高频段越低，系统抗干扰的能力越强；D. 可以比较闭环系统性能的优劣。
8．频域串联校正方法一般适用于 A. 单位反馈的非最小相角系统； B. 线性定常系统； C. 单位反馈的最小相角系统； D. 稳定的非单位反馈系统。
9．离散系统差分方程)()1(3)(2)1(3)2(k u k u k c k c k c -++-+=+则脉冲传递函数为 A ．23132+--z z z ； B ．23132+-+-z z z ； C ．23132-+-z z z ； D ．23132-++-z z z 。
自动控制原理(4套)含答案汇总
一、填空题(每空1分，共15分)1、反馈控制又称偏差控制，其控制作用是通过 ___________ 与反馈量的差值进行的。
2、复合控制有两种基本形式：即按的前馈复合控制和按 ________ 的前馈复合控制。
3、两个传递函数分别为G i(s)与G2(S)的环节，以并联方式连接，其等效传递函数为G(s)，则G(s)为_______ (用G i(s)与G2(s)表示)。
4、典型二阶系统极点分布如图1所示,则无阻尼自然频率阻尼比 ______________ ，该系统的特征方程该系统的单位阶跃响应曲线为 ______________________5、若某系统的单位脉冲响应为g(t) 10e 0.2t 5e 0.5t，则该系统的传递函数G(s) 为。
6根轨迹起始于 ________________________ ，终止于 _____________________ 。
7、设某最小相位系统的相频特性为()tg 1( ) 900 tg 1仃)，则该系统的开环传递函数为 ____________________ 。
8、P I控制器的输入一输出关系的时域表达式是 ______________________ ，其相应的传递函数为 _____________________ ，由于积分环节的引入，可以改善系统的性能。
二、选择题(每题2分，共20分)1、采用负反馈形式连接后，贝U ()A、一定能使闭环系统稳定；B、系统动态性能一定会提高；C、一定能使干扰引起的误差逐渐减小，最后完全消除；D需要调整系统的结构参数，才能改善系统性能。
2、下列哪种措施对提高系统的稳定性没有效果( )。
A、增加开环极点；B、在积分环节外加单位负反馈；C增加开环零点；D引入串联超前校正装置。
3、系统特征方程为D(s) s3 2s2 3s 6 0，则系统()A、稳定； B 、单位阶跃响应曲线为单调指数上升；C临界稳定； D 、右半平面闭环极点数Z 2。
自动控制原理第4章课后习题答案
第4章4-1 已知系统的开环传函如下,试绘制系统参数K 从0→∞时系统的根轨迹图,对特殊点要加以简单说明. (1) ()()(4)(1)(2)K s G s H s s s s +=++ (2) ()()2(4)(420)KG s H s s s s s =+++ 解:(1)有3个开环几点,1个开环零点,固有3条根轨迹分别始于0,-1,-2; 1条根轨迹终于-4,另外2条根轨迹趋于无穷远处 实轴上的根轨迹分布在-1~0之间及-4~-2之间 渐近线条数为n-m=3-1=2 渐进线的交点12041312σ++-=-=-渐近线的倾角90θ︒=±分离点22[()()]02152480d G s H s s s s ds =⇒+++= 解得: 12s =- 其它舍去求与虚轴交点:令s j ω=代入特征方程(1)(2)(4)0s s s K s ++++=中得(1)(2)(4)0j j j K j ωωωω++++= 令上式两边实部和虚部分别相等,有226430(2)0 2.83K K K ωωωω⎧=⎧-=⎪⎪⇒⎨⎨+-==±=±⎪⎪⎩⎩绘制系统根轨迹,如图4-1(1)(2)有4个开环几点,无开环零点,有4条根轨迹,分别起始于0,-4, 24j -±终于无穷远处 实轴上的根轨迹分布在-4~0之间; 渐近线条数为n-m=4-0=4 渐进线的交点04242424j j σ++++-=-=-渐近线的倾角45,135θ︒︒=±±分离点22[()()]042472800d G s H s s s s ds=⇒+++=解得: 2s =-由()()1G s H s =得21224(2)4220K=--+--⨯+, K=64绘制系统根轨迹,如图4-1(2)图4-1(1)图4-1(2)4-2 已知系统的开环传函为(2)(3)()()(1)K s s G s H s s s ++=+(1) 试绘制系统参数K 从0→∞时系统的根轨迹图,求取分离点和会和点 (2) 试证明系统的轨迹为圆的一部分解:有2个开环极点,2个开环零点,有2条根轨迹,分别起始于0,-1; 终于-2,-3;实轴上的根轨迹分布在-3~-2之间及-1~0之间分离会和点2221,2,321[()()]02401,12123(2)()()()[()()]0[2(6)4]0203602,18()()[()()]00020,d G s H s s ds KK K s G s H s s s a d G s H s s s a s a dsa a a a s KG s H s sd G s H s s ds a s s =⇒+===-+⨯-++=+=⇒+++=⇒-+≥⇒≤≥===⇒=≤≤=23s ==解得:当10.634s =-时 由()()1G s H s =得(0.6342)(0.6343)10.070.6340.6341K K -+-+=⇒=-⨯-+当2 2.366s =-时 同理 K=13.9 绘制系统根轨迹 如图4-2证明:如果用s j αβ=+代入特征方程1()()0G s H s +=中,并经整理可得到以下方程式:2233()24αβ++=(注:实部虚部相等后消K 可得)显然,这是个圆的方程式,其圆心坐标为3(,0)2-,半径为2图4-24-3 已知系统的开环传函()()(1)(3)KG s H s s s =++(1) 试绘制系统参数K 从0→∞时系统的根轨迹图(2) 为了使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式,试确定K 的范围 解:有2个开环极点,无开环零点,有2条根轨迹,分别起始于-1,-3; 终于无穷远处;实轴上的根轨迹分布-3~-1之间; 渐近线条数2; 渐近线的交点13022σ+-=-=- 渐近线的倾角90θ︒=± 分离会和点[()()]0240d G s H s s ds=⇒+=解:S=-2由()()1G s H s =得1,12123KK ==-+⨯-+绘制系统根轨迹图4-3由图知 当1<K<+∞时系统的响应呈现衰减振荡形式4-4 设负反馈控制系统的开环传函为2(2)()()()K s G s H s s s a +=+试分别确定使系统根轨迹有一个,两个和三个实数分离点的a 值,分别画出图形 解:求分离点2[()()]0[2(6)4]0d G s H s s s a s a ds=⇒+++=解得s=0,或分离点为实数2203602a a a ⇒-+≥⇒≤或18a ≥当a=18时 实数分离点只有s=0 如图4-4(1)当a>18时 实数分离点有三个,分别为1,2,3(6)0,4a s -+=如图4-4(2)当a=2时2()()K G s H s s =分离点[()()]00d G s H s s ds=⇒= 即分离点只有一个s=0 如图4-4(3) 当02a ≤≤分离点有一个s=0 如图4-4(4) 当a<0时 分离点有1230,s s s ===(舍去)如图4-4(5)综上所述：当a=18,0≤a ≤2时，系统有一个分离点 当a ＞18时，系统有三个实数分离点 当a ＜0时，系统有两个分离点a=18图4-4(1) a=2图4-4(2)图4-4(3) a=1图4-4(4)图4-4(5)4-65 已知系统的开环传递函数为3(1)(3)()()K S S G S H S S++=（1）绘制系统的根轨迹。
自动控制原理课后习题第四章答案
然后，根据闭环传递函数的定义，闭环传递函数F(s)=G(s)/(1+G(s)H(s))。
解析3
将G(s)H(s)代入闭环传递函数的定义中，得到F(s)=100/((s+1)^2+3)/(1+100/((s+1)^2+4)((s+1)^2+3))。
解析4
化简得到F(s)=100/((s+1)^2+3)(4((s+1)^2+3))=400/(4(s^2+2s+3))。
1)(s + 2)/(s^2 + 3s + 2)。
04
题目四答案
题目内容
• 题目四：已知系统的开环传递函数为 G(s)H(s)=K/(s^2+2s+2)，其中K>0，试 求系统的闭环极点和稳定性。
答案解析
闭环极点
根据开环传递函数，我们可以求出闭环传递函数为 G(s)H(s)/(1+G(s)H(s))，然后求出闭环极点。由于开环传递函 数为K/(s^2+2s+2)，所以闭环极点为-1±√2i。
标准形式，即 G(s)H(s) = (s + 1)(s + 2)/(s^2 + 3s + 2)。
02
解析二
根据开环传递函数的分子和分母，可以得出系统的开环传递函数为
G(s)H(s) = (s + 1)(s + 2)/(s^2 + 3s + 2)。
03
解析三
根据开环传递函数，可以求出系统的闭环传递函数为 G(s)H(s) = (s +
自动控制原理课后习题第四章 答案
自动控制原理作业4参考答案
自动控制原理作业4 参考答案1、已知某系统的开环传递函数为试绘制系统开环对数幅频特性和开环对数相频特性图，用对数判据分析闭环稳定性，求出相位裕量和增益裕量。
解：由题目给定的传递函数可知，系统的转折频率依次为0.023，0.053，1.48，1.6，2.27，30.3和50。
低频段渐近线为水平线，高度为24dB。
系统相频特性为ω和φ(ω)对照表如下：开环对数颇率特性如图1所示。
由图可知，在L(ω) > 0的频段内，φ(ω)对–180o线有1次正穿越，而系统开环传递函数有两个位于右半s平面的极点；即p = 2。
正负穿越次数之差为图1故闭环系统稳定。
可算得ωc = 7. 243rad/s，相位裕量γ = 53o，相位穿越频率ωg =32. 3rad/s，增益裕量K g = 13. 5dB。
2、已知某最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如题2图所示，试确定系统的开环传递函数，并求出相角稳定裕量，画出对应的对数相频特性，分析闭环系统的稳定性。
题2图解：(1) 由题2图可知，低频段渐近线斜率为 –40dB/dec，表明系统有两个s = 0的极点；并可以确定各转角频率对应的典型环节类型：在ω= 2处，斜率变化20dB/dec，为一阶徽分环节；在ω= 10处，斜率变化 –20dB/dec，为惯性环节；在ω= 0. 1处，L(ω) = 60dB，斜率为 –40dB/dec，据此可得到系统的开环增益K。
因为所以K = 10。
系统的开环传递函数为(2) 求穿越频率和相位裕量：系统的相位裕量为(3) 相频特性为根据不同频率计算相角，可以画出对数相频特性曲线，如图2所示。
图2(4) 开环传递函数无右半s平面极点；在L(ω) > 0的频段内，φ(ω)对–180o线没有穿越；故闭环系统稳定。
3、已知某最小相位系统的开环传递函数为其中ω1 < ω2 < ω3 < ω4， K* = ω4ωc2，ωc为系统开环对数幅频特性的幅值(增益)穿越频率。
自动控制原理第四章习题解答
4-1 设单位反馈控制系统的开环传递函数 1)(+=∗s K s G试用解析法绘出∗K 从零变到无穷时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上： （－２＋ｊ０）， （０＋ｊ１）， （－３＋ｊ２） 解：有一个极点：（－1＋ｊ０），没有零点。
根轨迹如图中红线所示。
（－２＋ｊ０）点在根轨迹上，而（０＋ｊ１）， （－３＋ｊ２）点不在根轨迹上。
4-2 设单位反馈控制系统的开环传递函数 )12()13()(++=s s s K s G 试用解析法绘出开环增益K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。
解：系统开环传递函数为)2/1()3/1()2/1()3/1(2/3)(++=++=s s s K s s s K s g G 有两个极点：（0＋ｊ０），（－1/2＋ｊ０），有一个零点（-1/3，j0）。
根轨迹如图中红线所示。
4-3 已知开环零、极点分布如图4-28所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。
图4-28 开环零、极点分布图4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图(要求确定分离点坐标d)： (1) )15.0)(12.0()(++=s s s Ks G解：系统开环传递函数为)2)(5()2)(5(10)(++=++=s s s K s s s Ks g G 有三个极点：（0＋ｊ０），（－2＋ｊ０），（－5＋ｊ０）没有零点。
分离点坐标计算如下：051211=++++d d d 3解方程的010142=++d d 7863.31−=d ，d 88.02−=取分离点为88.0−=d根轨迹如图中红线所示。
（2） )12()1()(++=s s s K s G解：系统开环传递函数为)5.0()1()5.0()1(2/)(++=++=s s s K s s s K s g G有两个极点：（0＋ｊ０），（－0.5＋ｊ０），有一个零点（－1＋ｊ０）。
分离点坐标计算如下：115.011+=++d d d 解方程的05.022=++d d 7.11−=d ，d 29.02−=取分离点为7.11−=d ，29.02−=d 根轨迹如图中红线所示。
自动控制原理-第四章习题集配套答案
第四章 根轨迹分析法习题4-2 单位回馈控制系统的开环传递函数1)(+=s K s G r，试用解析法绘出r K 从零变化到无穷时的死循环根轨迹图，并判断-2, j1, (-3+j2)是否在根轨迹上。
解：1-s 01s 0r=⇒=+=时，K2-s 02s 1r=⇒=+=时，K3-s 03s 2r=⇒=+=时，K……-2 在根轨迹上，（-3+j2），j1不在根轨迹上。
4-3 回馈控制系统的开环传递函数如下，0≥r K ，试画出各系统的根轨迹图。
(2) )4)(1()5.1()(+++=s s s s K s G r (3) 2)1()(+=s s K s G r ，解：（2）1）开环零、极点：p 1=0，p 2=-1,p 3=-4,z=-1.0，n=3，m=1 2）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-1.5，-4） 3）根轨迹的渐近线：︒±=±=-+±=-=----=902)12(,75.12)5.1(410)2( ππϕσm n k aa夹角交点条渐近线4）分离点和会合点6.05.1141111-=+=++++d d d d d 试探法求得（3）1）开环零、极点：p 1=0，p 2,3=-1，n=32）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-1，-∞） 3）根轨迹的渐近线：±=-+±=-=--=3)12(,323110)3( ππϕσm n k aa夹角交点条渐近线4）分离点和会合点310121-=⇒=++d d d 5）与虚轴交点：223++s s4-5 系统的开环传递函数为)1()2()(++=s s s K s G r ，(1) 画出系统的根轨迹，标出分离点和会合点；(2) 当增益r K 为何值时，复数特征根的实部为-2？求出此根。
解： （1）1）开环零、极点：p 1=0，p 22）实轴上根轨迹段：（0，-13）分离点和会合点.3,586.02111121-=-=⇒+=++d d d d d123s s s s r2K -r21 1K rKj,202rr±==⇒=-s K K（2）系统特征方程为02)1(rr2=+++K s K s2j 2322122,1rr±-==-=+-=-s K Ka b ，，得：由4-6 单位回馈系统的前向信道函数为)3)(1()(++=s s s K s G r，为使死循环主导极点具有阻尼比5.0=ξ，试确定r K 的值。
自动控制原理习题4(含答案)
第四章习题及答案4-1 系统的开环传递函数为)4)(2)(1()()(*+++=s s s K s H s G试证明点311j s +-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。
解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图解4-1所示。
对于1s = -1+j 3，由相角条件=∠)()(11s H s G=++-∠-++-∠-++-∠-)431()231()131(0j j jππππ-=---632满足相角条件，因此1s = -1+j 3在根轨迹上。
将1s 代入幅值条件：1431231131)(*11=++-⋅++-⋅++-=j j j K s H s G ）（解出 ： *K =12 ，K=238*=K 4-2 已知开环零、极点如图4-2 所示，试绘制相应的根轨迹。
（ａ） （ｂ） （ｃ） （ｄ）解根轨如图解4-2所示：4-3 单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出系统根轨迹。
⑴)15.0)(12.0()(++=sssKsG⑵)3)(2()5()(*+++=ssssKsG⑶)12()1()(++=sssKsG（ｅ）（ｆ）（ｇ）（ｈ）题4-2图开环零、极点分布图图解4-2 根轨迹图解 ⑴ )15.0)(12.0()(++=s s s K s G =)2)(5(10++s s s K系统有三个开环极点：01=p ,2p = -2,3p = -5 ① 实轴上的根轨迹： (]5,-∞-,[]0,2-② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+=-=--=πππϕσ,33)12(373520k a a③ 分离点：021511=++++d d d 解之得：88.01-=d ，7863.32-d (舍去)。
④ 与虚轴的交点：特征方程为 D(s)=01010723=+++K s s s令 ⎩⎨⎧=+-==+-=010)](Im[0107)](Re[32ωωωωωj D K j D 解得⎩⎨⎧==710K ω与虚轴的交点（0，j 10±）。
自动控制原理_王万良(课后答案4
⎡0 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ x ( k + 1) = ⎢ 0 0 1 ⎥ x ( k ) ⎢0 k 0 ⎥ ⎣ 2 ⎦
试求使系统渐进稳定的 K 值范围。 *答案： 0 < K < 2 时系统渐进稳定。
K>0
4.13 非线性系统线性部分的极坐标图，非线性部分的负倒幅特性如图题 4.13 所示。试判断系统是否稳 定，是否存在自激振荡。 图题 4.13 I
4.7 已知闭环离散系统的特征方程为 D(z) = z + 0.2z + z + 0.36z + 0.8 = 0 试判断系统的稳定性。 答案：临界稳定 4.8 如图题 4.8 所示离散系统，采样周期 T=1s，Gh（s）为零阶保持器，而
4 3 2
G (s) =
Κ s ( 0 . 2 s + 1)
要求： （1）K=5 时，分析系统的稳定性； （2）确定使系统稳定的 K 值范围。
第 4 章习题 4.1 已知系统特征方程如下，试用劳斯判据判别系统稳定性，并指出位于右半 S 平面和虚轴上的特征根的 数目。 （1） D( s) = s + s + 4 s + 4 s + 2 s + 1 = 0
5 4 3 2
（2） D( s) = s + 3s + 5s + 9 s + 8s + 6s + 4 = 0
闭环特征方程为：
s ( s − 1) + 10(1 + k n s ) = 0
即 s + (10k n s − 1) s + 10 = 0
2
s2 1 10 1 s 10k n − 1 s0 10 10 k n − 1 > 0, k n > 0.1 稳定 当 k n = 0.1 时，临界稳定 非最小相位系统，当速度及增量 k n 越大，越稳定
自动控制原理-第4章习题解答
( K * = 10 K )
⎧ m = 1: z1 = −1 ⎨ ⎩ n = 3 : p1 = 0; p2 = 0; p3 = −10
k ( s + 1) G (s) H (s) = 2 ， 4-10 某负反馈系统， 试绘制其根轨迹图。 s + s + 10 解： m = 1 z1 = −1
n = 2 p1 = −0.5 + j 3.12 p2 = −0.5 − j 3.12
渐近线： ——不必求 重根点 满足方程： d 2 + 2d − 9 = 0
绘制其根轨迹图。
非最小相位系统
解：⎧ ⎨
m = 1: z1 = −1
⎩ n = 2 : p1 = 0; p2 = 3
重根点：d1 = 1 , d 2 = −3 与虚轴交点：
ω=± 3
●
○
其复数部分根轨迹为圆。
-3
-1
×
●
1
×
3
9
4-16
2 已知系统特征方程为： ( s + 1)( s + 3)( s − 1)( s − 3) + k ( s + 4) = 0 绘制其根轨迹图。
●
渐近线： σ a = +0.5
×
ϕ a = ±900
○
起始角：
θ p = 00，θ p = 00
2 3
-2
-1
×
自动控制原理(中英文对照 李道根)习题4.题解
2
,
(a) Find the angles of departure of the root locus from the complex poles. (b) Find the entry point for the root locus as it enters the real axis. Solution: G ( s)
Solving the breakaway-point equation
2s 4 s 4s 8
2
1 s3
s 2 6s 4 0
we have s b 5.24 . Or, z1 p1 5 , s b 3 5 5.24 . The angles of departure of the root locus from the complex poles are
k ( s 3) s 4s 8
2
k ( s 3) (s 2) 2 2 2
. By inspection, we have p1， 2 2 j 2 and
z1 5 . The root locus in the complex plane is a part of a circle with the center at the zero and a radius of the length from the zero to one pole. There is a breakaway point on the real-axis segment, ( ， 3) . The root locus is plotted as shown.
z1 1 . k (s 1) s 4s 5
自动控制原理课后答案第4章
5
的不同，系统的稳定性和动态性能不一定能同时得到满足。因此，只有当附加开环零点的位 置选配得当，才有可能使系统的稳态性能和动态性能同时得到显著改善。 ② 增加开环极点 增加开环极点后，系统阶次升高，渐近线数量增加，使得渐近线与实轴的夹角变小，从 而导致根轨迹向右弯曲，致使系统不稳定成分增加。同时，实轴上的分离点也向右移动。系 统响应减缓，过渡过程延长，调节时间增加，系统的稳定性降低。当增加的极点在[-1,0]范 围内时，越靠近虚轴的极点，其产生的阶跃响应振荡越剧烈，稳定性越差；而当增加的极点 在(-∞, -1)范围内时，越远离虚轴的极点，对根轨迹的影响越小，从而对系统的动态性能影 响越小。
式中，A(s)为开环传递函数的分母多项式，B(s)为开环传递函数的分子多项式。则分离点或 会合点坐标可用下式确定，即 A( s) B '( s ) A '( s ) B ( s ) 0 3）极值法
dK 0 ds
规则 7：根轨迹的出射角和入射角 根轨迹的出射角是指根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角，如图 4-2 中的角 p1 ； 而根轨迹的入射角是指根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向的夹角， 如图 4-2 中的角 z1 。
n n
n l
m
s
l 1
n
(1) n pi (1) m K z j
i 1
n
j 1
( 1)
n
s
l 1
l
(1)
nLeabharlann pi 1i
K （系统无开环零点时）
5、根轨迹与系统性能之间的关系 根轨迹可以直观地反映闭环系统特征根在[s]平面上的位置以及变化情况，所以利用根轨 迹可以很容易了解系统的稳定性和动态性能。除此之外，由于根轨迹上的任意一点都有与之对 应的开环增益值，而开环增益又与系统稳态误差有一一对应的关系，因此通过根轨迹也可以 确定出系统的稳态误差，或者根据给定系统的稳态误差要求，来确定闭环极点位置的容许范 围。由此可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
自动控制原理孟华第4章习题解答
4-1如果单位反馈控制系统的开环传递函数1)(+=s K s G 试用解析法绘出K 从零向无穷大变化时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上： (2，j 0)，(0+j 1)，(3+j 2)。
解：根轨迹如习题4-1答案图所示。
（-2，+j 0）在根轨迹上；(0,+j 1), (-3, +j 2) 不在根轨迹上。
习题4-1答案图4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数。
)12()13()(++=s s s K s G 试用解析法给出开环增益K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。
解： 解析法：K =0时：s=-1/2，0；K =1：s=-1±2/2；K =-∞：s=-∞，-1/3。
根轨迹如习题4-2答案图所示。
习题4-2答案图4-3 已知系统的开环传递函数)1()1()()(-+=s s s K s H s G ，试按根轨迹规则画出该系统的根轨迹图，并确定使系统处于稳定时的K 值范围。
解：分离点：；会合点： ；与虚轴交点：±j 。
稳定的K 值范围：K >1。
根轨迹如习题4-3答案图所示。
习题4-3答案图4-4已知一单位反馈系统的开环传递函数为2*)4)(1)(1()(+-+=s s s K s G （1）试粗略画出K *由0到∞的根轨迹图；（2）分析该系统的稳定性。
解：稳定性分析：系统不稳定。
根轨迹如习题4-4答案图所示。
Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s习题4-4答案图4-5 设控制系统的开环传递函数为)164)(1()1()()(2*++-+=s s s s s K s H s G ，试绘制系统根轨迹图，并确定使系统稳定的开环增益范围。
解：渐近线：=60°，180°；=-2/3；复数极点出射角55°；分离会合点和；与虚轴交点和；使系统稳定的开环增益为 ＜K ＜ (即 ＜K *＜。
习题4-5答案图4-6 已知系统的特征方程为0)4()3)(1)(3)(1(2=++--++s K s s s s试概略绘出K 由0→∞时的根轨迹（计算出必要的特征参数）。
自动控制原理课后习题第四章答案
4-ωs22+-24(s1++2K=r0)+2Kr=0 s1=-3ω.4=1±1s.24=1-0.59
p2 p1
z1
0σ
闭系环统特K根征r=3轨方迹程式
s2+s+Krs+2Kr=0 s=-2+ωj
第四章习题课 (4-6)
4-6 已知系统的开环传递函数，试确定闭
解环:极p与点1=虚0ζ=轴0p.25交=时-点1的pK3=r值-3 。G(s)H(s)=s(s+1K)(rs+3)
8
jω
1.7
s1
p2
p1
-1 0
-1.7
第四章习题课 (4-7)
4-7 已知系统的开环传递函数，(1) 试绘制
出根轨迹图。 (解3):与p虚1=轴0 交p43;2K)(rs+4)
σ=-Kωr3s-根+-36ω2+83-轨ω6p42s=1=2迹=~+00-p82的2s+分θKKKp=rrr离3===~40+0点8-6ωω0：o,12+=,3=108±02o .8
第四章习题课 (4-3)
4-3 已知系统的开环传递函数，试绘制出
根轨迹图。
解:
(1)
G(s)=
Kr(s+1.5)(s+5.5) s(s+1)(s+5)
jω
41））分开离环点零和、会极合点点
pp2AB3ABA11z））n((((=~(1sssss=-p0))))实根m)''==-2B==1ss=轴轨32'.p325(++ss1z2s+2上1=迹)67+~=7-ss1p1A+2根的zθ+2328'==s5(轨渐.p+s2-s3z)555=B+迹2近.~5-1(5-s段8线∞)0oss12==--02..65解3z2p得3 ss43==--73..2z61p82
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第四章习题及答案4-1 系统的开环传递函数为)4)(2)(1()()(*+++=s s s K s H s G试证明点311j s +-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。
解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图解4-1所示。
对于1s = -1+j 3，由相角条件=∠)()(11s H s G=++-∠-++-∠-++-∠-)431()231()131(0j j jππππ-=---632满足相角条件，因此1s = -1+j 3在根轨迹上。
将1s 代入幅值条件：1431231131)(*11=++-⋅++-⋅++-=j j j K s H s G ）（解出 ： *K =12 ，K=238*=K 4-2 已知开环零、极点如图4-2 所示，试绘制相应的根轨迹。
（ａ） （ｂ） （ｃ） （ｄ）解根轨如图解4-2所示：4-3 单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出系统根轨迹。
⑴)15.0)(12.0()(++=sssKsG⑵)3)(2()5()(*+++=ssssKsG⑶)12()1()(++=sssKsG（ｅ）（ｆ）（ｇ）（ｈ）题4-2图开环零、极点分布图图解4-2 根轨迹图解 ⑴ )15.0)(12.0()(++=s s s Ks G =)2)(5(10++s s s K系统有三个开环极点：01=p ,2p = -2,3p = -5 ① 实轴上的根轨迹：(]5,-∞-,[]0,2-② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+=-=--=πππϕσ,33)12(373520k a a③ 分离点：021511=++++d d d 解之得：88.01-=d ，7863.32-d (舍去)。
④ 与虚轴的交点：特征方程为 D(s)=01010723=+++K s s s令 ⎩⎨⎧=+-==+-=010)](Im[0107)](Re[32ωωωωωj D K j D 解得⎩⎨⎧==710K ω与虚轴的交点（0，j 10±）。
根轨迹如图解4-3(a)所示。
⑵ 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹：[]3,5--, []0,2-② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+==----=22)12(02)5(320ππϕσk a a③ 分离点： 5131211+=++++d d d d 用试探法可得886.0-=d 。
根轨迹如图解4-3(b)所示。
⑶ )12()1()(++=s s s K s G =)21(2)1(++s s s K根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹：(]1,-∞-, []0,5.0- ② 分离点：115.011+=++d d d 解之得：d= -0.293,d= -1.707。
根轨迹如图解4-3(c)所示。
4-4单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹。
⑴ )21)(21()2()(*j s j s s K s G -++++=⑵ )1010)(1010()20()(*j s j s s s K s G -++++=解 ⑴ )21)(21()2()(*j s j s s K s G -++++=根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹： (]2,-∞-② 分离点：21211211+=-++++d j d j d解之得：23.4-=d③ 起始角：43.15390435.631801=-+=p θ由对称性得另一起始角为 –43.153。
根轨迹如图解4-4(a)所示。
⑵ )1010)(1010()20()(*j s j s s s K s G -++++=系统有三个开环极点和一个开环零点。
根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹： []0,20-② 起始角： =θ︒=--+01359045180根轨迹如图解4-4(b)所示。
4-５ 系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹。
⑴ )208()()(2++=*s s s K s H s G ⑵ )5)(2)(1()()(+++=*s s s s K s H s G⑶ )22)(3()2()()(2++++=*s s s s s K s H s G ⑷ )164)(1()1()()(2++-+=*s s s s s K s H s G 解 ⑴ )208()()(2++=*s s s K s H s G ① 实轴上的根轨迹： (]0,∞-② 渐近线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+=-=--++-+=πππϕσ,33)12(383)24()24(0k j j a a ③分离点：02412411=-+++++j d j d d 解之得：d= -2, d= -3.33。
④与虚轴交点：D(s)=s 3+8s 2+20s+*K把s=j ω代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：⎩⎨⎧=-==-=*020))(Im(08))(Re(32ωωωωωj D K j D解得： ⎩⎨⎧==*K ω ⎪⎩⎪⎨⎧=±=*16052K ω⑤起始角：由相角条件 632-=p θ， 633=p θ。
根轨迹如图解4-5(a)所示。
⑵ )5)(2)(1()()(+++=*s s s s K s H s G① 实轴上的根轨迹：[],2,5-- []0,1-② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+=-=-+-+-+=43,44)12(24)1()2()5(0πππϕσk a a③ 分离点：05121111=++++++d d d d 解之得：d 1= -4.06，d 2= -0.399，d 3= -1.54(舍去)；④ 与虚轴交点：D(s)=s 4+8s 3+17s 2+10s+K *令s=j ω，带入特征方程，令实部，虚部分别为零解得： ⎩⎨⎧==*00K ω⎩⎨⎧=±=*7.1912.1K ω 根轨迹如图解4-5(b)所示。
⑶ )22)(3()2()()(2++++=*s s s s s K s H s G系统有四个开环极点、一个开环零点。
根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹： [],3,-∞- []0,2-② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+=-=----++-+-=πππϕσ,33)12(13)2()11()11(3k j j a a ⎩⎨⎧=-+==+-=**05)6())(Im(028))(Re(324ωωωωωωK j D K j D③ 与虚轴交点：闭环特征方程为D （s ）=s(s+3)(s 2+2s+2)+*K (s+2)=0把s=j ω代入上方程，令⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+-=**05)6())(Im(028))(Re(324ωωωωωωK j D K j D 解得： ⎩⎨⎧==*0K ω ⎩⎨⎧=±=*03.761.1K ω④起始角=3p θ 57.2557.251359045180-=---+根轨迹如图解4-5(c)所示。
⑷ )164)(1()1()()(2++-+=*s s s s s K s H s G 系统根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹：[],1,-∞- []1,0② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+=-=----++-+=πππϕσ,33)12(323)1()32()32(1k j j a a ③ 分离点：1132213221111+=+++-++-+d j d j d d d 解得：d 1= -2.26 , d 2=0.49 , d 3,4= -0.7616.2j ±(舍去)④ 与虚轴交点：闭环特征方程为D （s ）=s(s-1)(s 2+4s+16)+*K (s+1)=0把s=j ω代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：⎪⎩⎪⎨⎧=--==+-=**3)16())(Im(012))(Re(324ωωωωωωK j D K j D解得： ⎩⎨⎧==*0K ω ⎩⎨⎧=±=*7.2138.1K ω ⎩⎨⎧=±=*3.3766.2K ω⑤ 起始角：=3p θ 79..5489..130120901..106180-=---+由对称性得，另一起始角为79.54，根轨迹如图解4-5(d)所示。
4-６ 已知单位反馈系统的开环传递函数)(s G ，要求：（1）确定)20)(10()()(2+++=*s s s z s K s G 产生纯虚根为1j ±的z 值和*K 值；（2）概略绘出)23)(23)(5.3)(1()(j s j s s s s K s G -+++++=*的闭环根轨迹图（要求确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。
解（1）闭环特征方程)()20)(10()(2z s K s s s s D ++++=*020030234=++++=**z K s K s s s有 )30()200()(324ωωωωω-++-=**K j z K j D =0令实虚部分别等于零即： ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-**0300200324ωωωωK z K 把ω=1代入得： 30=*K ， 30199=z 。
（2）系统有五个开环极点：01=p ， 2p = -1 3p = -3.5 4p = -3+j2 5p = -3-j2① 实轴上的根轨迹：[],5.3,-∞- []0,1-② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±±=+=-=--++-+--=ππππϕσ,53,55)12(1.25)23()23(5.31k j j a a③ 分离点：02312315.31111=+++-++++++j d j d d d d 解得： d 1= -0.45 , d 2=-2.40 (舍去) ,d 3,4= -3.2590.1j ± (舍去)④ 与虚轴交点：闭环特征方程为D （s ）=s(s+1)(s+3.5)(s+3+j2)(s+3-j2)+*K =0把s=j ω代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：⎪⎩⎪⎨⎧=+-==-+=*05.455.43 )Im(05.795.10)Re(3524ωωωωωωωj K j解得：⎩⎨⎧==*00K ω ，⎩⎨⎧=±=*90.7102.1K ω，⎩⎨⎧-=±=*3.1554652.6K ω（舍去）⑤ 起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为=4p θ 74..923..1461359096..75180=----由对称性得，另一起始角为74.92，根轨迹如图解4-6所示。
4-７ 已知控制系统的开环传递函数为22)94(2)()(+++=*s s s K s H s G ）（ 试概略绘制系统根轨迹。
解 根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹： []2,-∞- ② 渐近线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+=-=--+---=πππϕσ,33)12(323)2(5252k j j a a ③ 分离点：21522522+=-++++d j d j d解之得：d= -3.29 d= 0.71(舍去)④ 与虚轴交点：闭环特征方程为D （S ）=22)94(++s s +）（2+*s K =0把s=j ω代入上方程，令图解4-6 根轨迹图图解4-7 根轨迹图⎪⎩⎪⎨⎧=-+==++-=**8)72())(Im(028134))(Re(324ωωωωωωK j D K j D 解得：⎩⎨⎧=±=*9621K ω⑤ 起始角： πθ）（）（129022901+=⨯--k p 解出135,4521-==p p θθ根轨迹如图解4-7所示。