自动控制原理习题4(含答案)
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第四章习题及答案
4-1 系统的开环传递函数为
)
4)(2)(1()()(*
+++=s s s K s H s G
试证明点311j s +-=在根轨迹上,并求出相应的根轨迹增益*
K 和开环增益K 。
解 若点1s 在根轨迹上,则点1s 应满足相角条件π)12()()(+±=∠k s H s G ,如图解4-1所示。
对于1s = -1+j 3,由相角条件
=∠)()(11s H s G
=++-∠-++-∠-++-∠-)431()231()131(0j j j
ππ
π
π
-=-
-
-
6
3
2
满足相角条件,因此1s = -1+j 3在根轨迹上。将1s 代入幅值条件:
14
31231131)(*
11=++-⋅++-⋅++-=
j j j K s H s G )(
解出 : *
K =12 ,K=2
3
8*=K 4-2 已知开环零、极点如图4-2 所示,试绘制相应的根轨迹。
(a) (b) (c) (d)
解根轨如图解4-2所示:
4-3 单位反馈系统的开环传递函数如下,试概略绘出系统根轨迹。
⑴
)1
5.0
)(1
2.0(
)
(
+
+
=
s
s
s
K
s
G
⑵
)3
)(
2
(
)5
(
)
(
*
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
G
⑶
)1
2(
)1
(
)
(
+
+
=
s
s
s
K
s
G
(e)(f)(g)(h)
题4-2图开环零、极点分布图
图解4-2 根轨迹图
解 ⑴ )15.0)(12.0()(++=
s s s K
s G =
)
2)(5(10++s s s K
系统有三个开环极点:01=p ,2p = -2,3p = -5 ① 实轴上的根轨迹:
(]5,-∞-,
[]0,2-
② 渐近线: ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧±=+=-=--=πππϕσ,33)12(3
73520k a a
③ 分离点:
02
1511=++++d d d 解之得:88.01-=d ,7863.32-d (舍去)。
④ 与虚轴的交点:特征方程为 D(s)=0101072
3
=+++K s s s
令 ⎩⎨⎧=+-==+-=0
10)](Im[0
107)](Re[3
2ωωωωωj D K j D 解得⎩⎨⎧==7
10
K ω
与虚轴的交点(0,j 10±)。 根轨迹如图解4-3(a)所示。
⑵ 根轨迹绘制如下: ① 实轴上的根轨迹:
[]3,5--, []0,2-
② 渐近线: ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
±=+==----=22)12(02
)5(320ππϕσk a a
③ 分离点: 5
131211+=++++d d d d 用试探法可得
886.0-=d 。根轨迹如图解4-3(b)所示。
⑶ )
12()1()(++=
s s s K s G =)
2
1(2)
1(++s s s K
根轨迹绘制如下:
① 实轴上的根轨迹:(]1,-∞-, []0,5.0- ② 分离点:
1
1
5.011+=
++d d d 解之得:d= -0.293,d= -1.707。根轨迹如图解4-3(c)所示。 4-4单位反馈系统的开环传递函数如下,试概略绘出相应的根轨迹。
⑴ )21)(21()
2()(*j s j s s K s G -++++=
⑵ )
1010)(1010()
20()(*j s j s s s K s G -++++=
解 ⑴ )
21)(21()
2()(*j s j s s K s G -++++=
根轨迹绘制如下:
① 实轴上的根轨迹: (]2,-∞-
② 分离点:21211211+=
-++++d j d j d
解之得:23.4-=d
③ 起始角:
43.15390435.631801
=-+=p θ
由对称性得另一起始角为 –
43.153。 根轨迹如图解4-4(a)所示。
⑵ )
1010)(1010()
20()(*j s j s s s K s G -++++=
系统有三个开环极点和一个开环零点。 根轨迹绘制如下:
① 实轴上的根轨迹: []0,20-
② 起始角: =θ
︒=--+01359045180