高二数学第一章章导数及其应用末综合检测

合集下载

高中数学导数及其应用综合检测试题及答案

高中数学导数及其应用综合检测试题及答案第一章导数及其应用综合检测时间 120 分钟，满分150 分。

一、选择题 (本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1．(2019 全国Ⅱ文， 7)若曲线 y＝ x2 ＋ax＋ b 在点 (0， b)处的切线方程是 x－ y＋ 1＝0，则 ()A．a＝ 1，b＝ 1B．a＝－ 1， b＝ 1C．a＝ 1，b＝－ 1D ．a＝－ 1， b＝－ 1[答案]A[ 分析 ]y＝2x＋ a，y|x＝ 0＝ (2x＋ a)|x＝ 0＝ a＝1，将(0， b)代入切线方程得b＝ 1.2．一物体的运动方程为s＝ 2tsint＋ t，则它的速度方程为()A．v＝ 2sint＋2tcost＋ 1B．v ＝2sint＋ 2tcostC．v ＝2sintD ．v＝ 2sint＋2cost＋1[答案]A[ 分析 ]由于变速运动在t0 的刹时速度就是行程函数y＝s(t)在 t0 的导数， S＝2sint＋ 2tcost＋ 1，应选 A.3．曲线 y＝x2 ＋ 3x 在点 A(2,10) 处的切线的斜率是()A ．4B．5C．6D ．7[答案] D[ 分析 ]由导数的几何意义知，曲线y＝ x2＋ 3x 在点 A(2,10)处的切线的斜率就是函数y＝ x2＋3x 在 x＝ 2 时的导数， y|x ＝2＝7，应选 D.4．函数 y＝x|x(x － 3)|＋1()A ．极大值为 f(2) ＝ 5，极小值为f(0)＝ 1B．极大值为 f(2) ＝ 5，极小值为f(3)＝1C．极大值为 f(2) ＝ 5，极小值为f(0)＝f(3) ＝ 1D ．极大值为 f(2) ＝ 5，极小值为f(3)＝ 1， f( － 1)＝－ 3[答案 ]B[分析 ]y＝x|x(x － 3)|＋ 1＝x3 － 3x2＋ 1 (x0 或 x3)－ x3＋ 3x2＋1 (03)y＝ 3x2 －6x (x0 或 x3)－ 3x2＋ 6x (03)x变化时， f(x) ，f(x) 变化状况以下表：x (－， 0) 0 (0,2) 2 (2,3) 3 (3 ，＋ )f(x)＋0＋0－0＋f(x) ? 无极值? 极大值 5 ? 极小值 1 ?f(x) 极大＝ f(2) ＝5， f(x) 极小＝ f(3) ＝1故应选 B.5．(2009 安徽理， 9)已知函数 f(x) 在 R 上知足 f(x) ＝ 2f(2 － x)－x2 ＋ 8x－ 8，则曲线 y＝ f(x) 在点 (1，f(1)) 处的切线方程是 ()A．y＝ 2x－1B．y＝ xC．y＝ 3x－2D ．y＝－ 2x＋ 3[答案]A[ 分析 ]此题考察函数分析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式．∵f(x) ＝2f(2 － x) －x2 ＋ 8x－8，f(2 － x) ＝2f(x) － x2－ 4x＋ 4，f(x) ＝x2， f(x) ＝ 2x，曲线 y＝ f(x) 在点 (1， f(1)) 处的切线斜率为2，切线方程为y－1＝2(x －1)， y＝ 2x－ 1.6．函数 f(x) ＝ x3＋ax2＋ 3x－ 9，已知 f(x) 在 x＝－ 3 时获得极值，则 a 等于 ()A．2B．3C．4D ．5[答案] D[ 分析 ]f(x) ＝ 3x2 ＋2ax＋ 3，∵ f(x) 在 x＝－ 3 时获得极值，x＝－ 3 是方程 3x2＋ 2ax＋3＝ 0 的根，a＝ 5，应选 D.7．设 f(x) ，g(x) 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x0时， f(x)g(x) ＋ f(x)g(x)0 ，且 g(－ 3)＝ 0，则不等式 f(x)g(x)0的解集是 ()A．(－ 3,0)(3，＋ )B．(－3,0)(0,3)C．(－，－ 3)(3，＋ )D ．(－，－ 3)(0,3)[答案] D[ 分析 ]令F(x)＝f(x)g(x)，易知F(x)为奇函数，又当x0 时，f(x)g(x) ＋ f(x)g(x)0 ，即 F(x)0 ，知 F(x) 在(－， 0)内单一递加，又 F(x) 为奇函数，所以 F(x) 在 (0，＋ )内也单一递加，且由奇函数知 f(0) ＝0， F(0)＝ 0.又由 g(－3)＝ 0，知 g(3)＝ 0F(－ 3)＝ 0，从而 F(3)＝ 0于是 F(x) ＝ f(x)g(x) 的大概图象以下图F(x) ＝ f(x)g(x)0 的解集为 (－，－ 3)(0,3) ，故应选 D.8．下边四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，此中必定不正确的序号是()A．①②B．③④C．①③D．①④[答案]B[ 分析 ]③不正确；导函数过原点，但三次函数在x＝ 0 不存在极值；④不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故应选 B.9． (2019 湖南理， 5)241xdx 等于 ()A ．－ 2ln2B．2ln2C．－ ln2D ．ln2[答案] D[ 分析 ]由于(lnx)＝1x，所以 241xdx ＝lnx|42 ＝ln4 －ln2＝ ln2.10．已知三次函数f(x) ＝ 13x3 － (4m－ 1)x2＋ (15m2 －2m－7)x ＋2 在 x( －，＋ )是增函数，则m 的取值范围是 ()A ．m2 或 m4B．－ 4－ 2C．24D．以上皆不正确[答案] D[ 分析 ]f(x) ＝ x2－ 2(4m－ 1)x＋ 15m2－ 2m－ 7，由题意得 x2 －2(4m－ 1)x＋ 15m2－2m－70 恒建立，＝ 4(4m －1)2－4(15m2 －2m－7)＝64m2－ 32m＋ 4－60m2＋ 8m＋ 28＝4(m2 －6m＋8)0，24，应选 D.11．已知 f(x) ＝x3 ＋ bx2＋ cx＋d 在区间 [－ 1,2] 上是减函数，那么 b＋ c()A ．有最大值152B．有最大值－ 152C．有最小值152D ．有最小值－ 152[答案]B[ 分析 ]由题意f(x)＝3x2＋2bx＋c在[－1,2]上，f(x)0恒建立．所以 f( － 1)0f(2)0即 2b－c－304b＋ c＋120令 b＋ c＝ z， b＝－ c＋ z，如图过 A －6，－ 32 得 z 最大，最大值为 b＋c＝－ 6－ 32＝－ 152.故应选 B.12．设 f(x) 、g(x) 是定义域为R 的恒大于 0 的可导函数，且f(x)g(x) － f(x)g(x)0 ，则当 ab 时有 ()A．f(x)g(x)f(b)g(b)B．f(x)g(a)f(a)g(x)C．f(x)g(b)f(b)g(x)D ．f(x)g(x)f(a)g(x)[答案] C[ 分析 ]令F(x)＝f(x)g(x)则 F(x) ＝ f(x)g(x) － f(x)g(x)g2(x)0f(x) 、g(x) 是定义域为R 恒大于零的实数F(x) 在 R 上为递减函数，当 x(a，b)时， f(x)g(x)f(b)g(b)f(x)g(b)f(b)g(x) ．故应选 C.二、填空题 (本大题共 4 个小题，每题 4 分，共 16 分．将正确答案填在题中横线上)13.－2－ 1dx(11＋ 5x)3＝________.[答案 ]772[ 分析 ]取F(x)＝－110(5x＋11)2，从而 F(x) ＝ 1(11＋ 5x)3则－ 2－1dx(11 ＋ 5x)3＝ F(－1)－F(－ 2)＝－ 11062＋ 11012＝ 110－ 1360＝772.14．若函数 f(x) ＝ ax2－1x 的单一增区间为(0，＋)，则实数 a的取范是 ________．[ 答案 ] a0[ 分析 ] f(x) ＝ ax－1x＝ a＋1x2，由意得， a＋ 1x20， x(0，＋ )恒建立，a－ 1x2， x(0 ，＋ )恒建立， a0.15． (2009 西理， 16) 曲 y＝ xn ＋1(nN*) 在点 (1,1)的切与 x 的交点的横坐xn ，令 an＝ lgxn ， a1＋ a2＋⋯＋a99 的 ________．[答案 ]－2[ 分析 ]本小主要考数的几何意和数函数的相关性．k＝ y|x＝ 1＝n＋ 1，切 l ：y－ 1＝ (n＋ 1)(x － 1)，令 y＝ 0， x＝nn＋ 1，an＝ lgnn ＋ 1，原式＝ lg12 ＋lg23 ＋⋯＋ lg99100＝l g1223 ⋯99100＝ lg1100＝－ 2.16．如暗影部分是由曲y＝1x ， y2＝x 与直 x＝ 2， y ＝0 成，其面________．[ 答案 ]23＋ ln2[ 分析 ]由y2＝x，y＝1x，得交点A(1,1)由 x＝ 2y＝ 1x 得交点 B2， 12.故所求面S＝ 01xdx ＋121xdx＝23x3210 ＋ lnx21 ＝ 23＋ ln2.三、解答题 (本大题共 6 个小题，共74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(此题满分 12 分 )(2019 江西理，19)设函数 f(x) ＝ lnx ＋ ln(2－x)＋ ax(a0)．(1)当 a＝ 1 时，求 f(x) 的单一区间；(2)若 f(x) 在 (0,1] 上的最大值为12，求 a 的值．[ 分析 ]函数f(x)的定义域为(0,2)，f(x) ＝1x－ 12－ x＋a，(1)当 a＝ 1 时， f(x) ＝－ x2＋2x(2 －x) ，所以 f(x) 的单一递加区间为 (0， 2)，单一递减区间为 (2 ，2)；(2)当 x(0,1] 时， f(x) ＝2－2xx(2 － x) ＋a0，即 f(x) 在 (0,1] 上单一递加，故f(x) 在 (0,1] 上的最大值为f(1) ＝a，所以 a＝12.18．(此题满分12 分 )求曲线 y＝2x－ x2，y＝ 2x2 －4x 所围成图形的面积．[ 分析 ]由y＝2x－x2，y＝2x2－4x得x1＝0，x2＝2.由图可知，所求图形的面积为S＝ 02(2x － x2)dx ＋ |02(2x2－4x)dx| ＝02(2x －x2)dx － 02(2x2 － 4x)dx.由于 x2－ 13x3＝ 2x－x2，23x3－ 2x2＝ 2x2－4x ，所以 S＝ x2－13x320 －23x3－ 2x220＝ 4.19． (此题满分 12 分 )设函数 f(x) ＝x3 － 3ax＋ b(a0)．(1)若曲线 y＝ f(x) 在点 (2， f(2)) 处与直线y＝ 8 相切，求a，b 的值；(2)求函数 f(x) 的单一区间与极值点．[ 剖析 ]考察利用导数研究函数的单一性，极值点的性质，以及分类议论思想．[ 分析 ](1)f(x) ＝ 3x2－ 3a.由于曲线 y＝f(x) 在点 (2， f(2)) 处与直线 y＝8 相切，所以 f(2) ＝ 0， f(2) ＝8.即 3(4－a)＝ 0， 8－6a＋ b＝ 8.解得 a＝ 4，b＝ 24.(2)f(x) ＝ 3(x2－ a)(a0)．当 a0 时， f(x)0 ，函数 f(x) 在 (－，＋ )上单一递加，此时函数f(x) 没有极值点．当 a0 时，由 f(x) ＝ 0 得 x＝ a.当 x( －，－ a)时， f(x)0 ，函数 f(x) 单一递加；当 x( － a， a)时， f(x)0 ，函数 f(x) 单一递减；当 x(a，＋ )时， f(x)0 ，函数 f(x) 单一递加．此时 x＝－ a 是 f(x) 的极大值点， x＝ a 是 f(x) 的极小值点．20． (此题满分 12 分 )已知函数f(x) ＝ 12x2 ＋lnx.(1)求函数 f(x) 的单一区间；(2)求证：当x1 时， 12x2 ＋ lnx23x3.[ 分析 ] (1)依题意知函数的定义域为{x|x0} ，∵f(x) ＝x＋ 1x，故 f(x)0 ，f(x) 的单一增区间为(0，＋ )．(2)设 g(x) ＝ 23x3－12x2 － lnx ，g(x) ＝ 2x2 －x－ 1x，∵当 x1 时， g(x) ＝ (x－ 1)(2x2 ＋ x＋ 1)x0，g(x) 在 (1，＋ )上为增函数，g(x)g(1) ＝ 160，当 x1 时， 12x2 ＋lnx23x3.21． (此题满分 12 分 )设函数 f(x) ＝x3 － 92x2＋ 6x－ a.(1)关于随意实数x,f(x)m 恒建立，求m 的最大值；(2)若方程 f(x) ＝0 有且仅有一个实根，求 a 的取值范围．[ 剖析 ]此题主要考察导数的应用及转变思想，以及求参数的范围问题．[ 分析 ](1)f(x) ＝ 3x2－ 9x＋ 6＝ 3(x－ 1)(x －2)．由于 x( －，＋ )． f(x)m ，即 3x2－ 9x＋ (6－ m)0 恒建立．所以＝ 81－ 12(6－ m)0，得 m－ 34，即 m 的最大值为－ 34. (2)由于当 x1 时， f(x)0 ；当 12 时， f(x)0 ；当 x2 时 f(x)0.所以当 x＝ 1 时， f(x) 取极大值 f(1) ＝ 52－a，当 x＝ 2 时， f(x) 取极小值 f(2) ＝2－ a.故当 f(2)0 或 f(1)0 时，方程 f(x) ＝ 0 仅有一个实根，解得a2或 a52.22． (此题满分 14 分 )已知函数f(x) ＝－ x3＋ax2＋ 1(aR)．(1)若函数 y＝ f(x) 在区间 0， 23 上递加，在区间23，＋上递减，求 a 的值；(2)当 x[0,1] 时，设函数 y＝f(x) 图象上随意一点处的切线的倾斜角为，若给定常数a32，＋，求的取值范围；(3)在 (1)的条件下，能否存在实数m，使得函数 g(x) ＝ x4－ 5x3＋(2－ m)x2 ＋ 1(mR) 的图象与函数 y＝ f(x) 的图象恰有三个交点．若存在，恳求出实数 m 的值；若不存在，试说明原因．[ 分析 ] (1)依题意 f23 ＝ 0，由 f(x) ＝－ 3x2＋ 2ax，得－ 3232＋ 2a23＝ 0，即 a＝1.(2)当 x[0,1] 时， tan＝ f(x) ＝－ 3x2＋ 2ax＝－ 3x－ a32＋a23.由 a32，＋，得 a312，＋ .①当 a312，1，即 a32，3 时， f(x)max ＝ a23，f(x)min ＝f(0) ＝ 0.此时 0tana23.②当 a3(1，＋)，即 a(3，＋)时，f(x)max ＝f(1) ＝ 2a－ 3，f(x)min ＝f(0) ＝0，此时， 0tan2a－ 3.又∵ [0， )，当 323 时， 0，arctana23，当 a3 时， [0 ，arctan(2a－3)] ．(3)函数 y＝ f(x) 与 g(x) ＝x4 －5x3＋ (2－m)x2 ＋ 1(mR) 的图象恰有 3 个交点，等价于方程－x3＋x2 ＋1＝x4－ 5x3＋ (2－m)x2 ＋ 1 恰有 3 个不等实根，x4－ 4x3＋ (1－m)x2 ＝ 0，明显 x＝ 0 是此中一个根 (二重根 )，方程 x2－ 4x ＋(1－ m)＝ 0 有两个非零不等实根，则＝16－ 4(1－ m)01－ m0“师”之观点，大概是从先秦期间的“师长、师傅、先生”而来。

高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：第一章_导数及其应用_4

学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．函数y ＝－2e x sin x 的导数y ′＝________.【解析】 y ′＝(－2e x )′sin x ＋(－2e x )·(sin x )′＝－2e x sin x －2e x cos x ＝－2e x (sin x ＋cos x )．【答案】－2e x (sin x ＋cos x )2．函数f (x )＝x e －x 的导数f ′(x )＝________.【解析】 f ′(x )＝x ′·e －x ＋x (e －x )′＝e －x －x e －x ＝(1－x )e －x .【答案】 (1－x )e －x3．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，则f ′(3π)＝________. 【解析】因为f ′(x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4′ ＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，所以f ′(3π)＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π4＝－12sin 5π4＝24. 【答案】 244．曲线C ：f (x )＝e x ＋sin x ＋1在x ＝0处的切线方程是________．【解析】 ∵f ′(x )＝e x ＋cos x ，∴k ＝f ′(0)＝2，切点为(0,2)，切线方程为y ＝2x ＋2.【答案】 y ＝2x ＋25．(2016·东营高二检测)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)，则f ′(0)＝________.【解析】 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，则f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2，∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4.【答案】－46．(2016·佛山高二检测)若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________.【解析】 y ′＝k ＋1x ，则曲线在点(1，k )处的切线的斜率为k ＋1，∴k ＋1＝0，∴k ＝－1.【答案】－17．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________．【解析】设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，y 0＝ln(x 0＋a )．又y ′＝(x ＋a )′x ＋a ＝1x ＋a 及导数的几何意义， ∴1x 0＋a＝1，即x 0＋a ＝1.因此，y 0＝ln(x 0＋a )＝0，∴x 0＝－1，∴a ＝2.【答案】 28．(2016·广州高二检测)若函数为y ＝sin 4x －cos 4x ，则y ′＝________________.【解析】 ∵y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )·(sin 2x －cos 2x )＝－cos 2x ，∴y ′＝(－cos 2x )′＝－(－sin 2x )·(2x )′＝2 sin 2x .【答案】 2sin 2x二、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝e sin x ；(3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)．【解】 (1)设y ＝u ，u ＝1－2x 2，则y ′＝(u )′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u －12·(－4x ) ＝12(1－2x 2) (－4x )＝－2x 1－2x2. (2)设y ＝e u ，u ＝sin x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·cos x ＝e sin x cos x .(3)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.10．求曲线y ＝2sin 2x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线方程．【解】因为y ′＝(2sin 2x )′＝2×2sin x ×(sin x )′＝2×2sin x ×cos x ＝2sin 2x ，所以y ′|x ＝π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＝ 3. 所以过点P 的切线方程为y －12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即3x －y ＋12－3π6＝0.能力提升]1．若f (x )＝sin x sin x ＋cos x，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4等于________．【解析】∵f ′(x )＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2 ＝1(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝11＋sin π2＝12. 【答案】 122．(2014·江西高考)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________.【导学号：01580010】【解析】令f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1，设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，∴x 0＝e ，此时y 0＝eln e ＝e ，∴点P 的坐标为(e ，e)．【答案】 (e ，e)3．已知函数y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线为y ＝2x －1，则函数g (x )＝x 2＋f (x )在(2，g (2))处的切线方程为________．【解析】由题意知，f (2)＝3，f ′(2)＝2，则g (2)＝4＋f (2)＝7.∵g ′(x )＝2x ＋f ′(x )，∴g ′(2)＝4＋f ′(2)＝6.∴函数g (x )在(2，g (2))处的切线方程为y －7＝6×(x －2)，即6x －y －5＝0.【答案】 6x －y －5＝04．已知函数f (x )＝x －1＋a e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程．【解】(1)f′(x)＝1－ae x，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝1－ae＝0，解得a＝e.(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋1e x，f′(x)＝1－1e x.设切点为(x0，y0)，∵f(x0)＝x0－1＋1e x0＝kx0－1，①f′(x0)＝1－1e x0＝k，②①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0. 若k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e.∴l的直线方程为y＝(1－e)x－1.。

高中数学选修22：第一章导数及其应用单元测试题.doc

数学选修 2-2 第一章单元测试题一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点()A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个1 12．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在1同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是()C．8D．423．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( )ππ3A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π)3 π 3C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π]14．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是()3 3A．m≥2 B．m＞23 3C．m≤2 D．m＜2x2 25．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 ()f x 0＋3 －f x 06．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx＝1，Δx→0则 f ′(x0)等于( )A．1 B．0C．3x＋97．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为()A．x＋y＝0B．x＋25y＝0C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0D．以上皆非8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0 时，f ( x) 是()A．增函数B．减函数C．常数D．既不是增函数也不是减函数13 29．若a>2，则方程3x －ax ＋1＝0 在(0,2) 上恰好有 ()A．0 个根B．1 个根C．2 个根D．3 个根1 10．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后距离为s＝4t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A．1 s 末B．0 sC．4 s 末D．0,1,4 s 末x2，x∈[0，1]，2f(x) d x 等于 () 11．设f ( x) ＝则2－x，x∈ 1，2] ，0D．不存在sin x sin x1 sin x2 12．若函数 f(x) ＝x，且 0<x1<x2 <1，设 a＝x1 ，b＝x2 ，则 a，b 的大小关系是 ( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a、b的大小不能确定二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )1 3 213．若 f(x) ＝3x －f ′(1)x ＋x＋5，则 f ′(1) ＝ ________.π π14．已知函数 f(x) 满足 f(x) ＝f( π－x) ，且当 x∈ －2，2 时，f(x) ＝x＋sin x，设a＝f(1) ，b＝f(2) ，c＝f(3) ，则a、b、c 的大小关系是 ________．15．已知函数f(x) 为一次函数，其图像经过点(2,4) ，且1f(x) d x＝3，则函数f(x) 的解析式为________．16．(2010 ·江苏卷) 函数2y＝x(x＞0)的图像在点 2(a k，a k) 处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*. 若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(10 分) 如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．18．(12 分) 已知函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 上单调递增，在区间 [1,2) 上单调递减．(1)求 a 的值；(2)若点 A(x0，f(x0)) 在函数 f(x) 的图像上，求证：点 A关于直线x＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19．(12 分) 设 x＝－ 2 与 x＝4 是函数 f(x) ＝x3＋ax2＋bx 的两个极值点．(1)求常数 a，b；(2)试判断 x＝－ 2，x＝ 4 是函数 f(x) 的极大值还是极小值，并说明理由．20．(12 分) 已知 f(x) ＝ax3－6ax2＋b，x∈[ －1,2] 的最大值为 3，最小值为－ 29，求 a，b 的值．21．(12 分)(2010 ·重庆卷 ) 已知函数 f(x) ＝ax3＋x2＋ bx( 其中常数a，b∈R) ，g( x) ＝f ( x) ＋f′(x) 是奇函数．(1)求 f ( x)的表达式；(2)讨论 g( x)的单调性，并求 g( x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．1－x22．(12 分) 已知函数f ( x) ＝ln( ax＋1) ＋1＋x，x≥0，其中a>0.(1)若 f ( x)在 x＝1处取得极值，求 a 的值；(2)求 f ( x)的单调区间；(3)若 f ( x)的最小值为1，求 a 的取值范围．参考答案1.答案 A解析设极值点依次为 x1，x2，x3且 a＜x1＜x2＜x3＜b，则 f ( x) 在( a，x1) ，( x2，x3) 上递增，在 ( x1，x2) ，( x3，b) 上递减，因此，x1、x3是极大值点，只有x2是极小值点．2.答案 D3.答案 B4.答案 A1解析因为函数 f ( x)＝2x4－2x3＋3m，所以 f ′(x)＝2x3－6x2.令 f ′(x)＝0，得 x＝0或 x＝3，经检验知 x＝3是函数的一个最27小值点，所以函数的最小值为 f (3)＝3m－2.不等式 f ( x)＋9≥0恒成27 3立，即 f ( x)≥－9恒成立，所以3m－2≥－9，解得 m≥2.5.答案 A解析 f ( x)＝cos2x－cos x－1，∴f′(x)＝－2sin x·cos x＋sin x＝sin x·(1－2cos x)．令 f ′(x)>0，结合选项，选A.6. 答案 D7. 答案 D8. 答案 A9. 答案 B解析 1 3 2设 f ( x ) ＝3x －ax ＋1，则2f ′(x )＝x －2ax ＝x ( x －2a ) ，当 x ∈(0,2) 时， f ′(x )<0，f ( x ) 在(0,2) 上为减函数，又 f (0) f (2) ＝8 111 3－4a ＋1 ＝ 3 －4a <0，f ( x ) ＝0 在(0,2) 上恰好有一个根，故选 B.10. 答案 D11. 答案 C解析数形结合，如图．2f(x) d x ＝ 1x 2d x ＋ 2(2 －x) d x0 11 3 11 22＝ 3x＋ 2x －2x11 1＝ 3＋(4 －2－2＋2)5＝ 6，故选 C .12. 答案Af ′(x) ＝x cos x －sin x解析 x 2，令 g(x) ＝x cos x －sin x ，则g ′(x) ＝－ x sin x ＋cos x －cos x ＝－ x sin x.∵0<x<1，∴ g ′(x)<0 ，即函数 g(x) 在 (0,1) 上是减函数，得 g(x)<g(0) ＝0，故 f ′(x)<0 ，函数 f(x) 在(0,1) 上是减函数，得 a>b ，故选A .213. 答案 32 2解析 f ′(x) ＝ x －2f ′(1)x ＋ 1，令 x＝1，得 f ′(1) ＝3.14. 答案 c<a<b解析f(2) ＝ f( π－2) ， f(3) ＝ f( π－ 3) ，因为 f ′(x) ＝ 1＋π ππcos x≥0，故f(x)在－2，2上是增函数，∵2 >π－2>1>π－3>0，∴f( π－2)>f(1)>f( π－3) ，即 c<a<b.2815.答案 f(x) ＝3x＋3解析设函数 f(x) ＝ax＋b(a ≠0) ，因为函数 f(x) 的图像过点(2,4) ，所以有 b＝4－2a.∴1 f(x) d x＝ 1 (ax ＋4－2a) d x0 01 2 1 1＝[ ax ＋(4 －2a)x] | 0＝a＋4－2a＝1.2 22 8 2 8∴a＝3. ∴b＝3. ∴f(x) ＝3x＋3.16. 答案21解析2 2∵y′＝2x，∴过点( a k，a k)处的切线方程为y－a k＝2a k( x1－a k)，又该切线与 x 轴的交点为( a k＋1,0)，所以 a k＋1＝2a k，即数列{ a k}1是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝2，∴ a3＝4，a5＝1，∴ a1＋a3 ＋a5＝21.17. 解析抛物线 y ＝x －x 2 与 x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与 x 轴所围图形面积 S ＝ 12) d x ＝x 2 x 3 11 (x －x 2 －3 0＝2－1 13＝6.y ＝x －x 2，又由此可得抛物线 y ＝x －x 2 与 y ＝kx 两交点的横y ＝kx ，S－ 2 x 3 －坐标 x 3＝， 4＝－，所以＝ 1-k (x － x 2 kx) d x ＝1 k x － 1k －0 x 1 k 2 02313＝6(1 －k) .3又 S ＝，所以 (1 －k) 3＝1，∴ k ＝1－ 4.622118. 解析 (1) 由函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 单调递增，在区间 [1,2) 单调递减，∴x ＝1 时，取得极大值，∴ f ′(1) ＝ 0.又 f ′(x) ＝ 4x3－12x2＋2ax ，∴4－12＋2a ＝ 0? a ＝ 4.(2) 点 A(x0，f(x0)) 关于直线 x ＝1 的对称点 B 的坐标为 (2 －x0， f(x0)) ，f(2 －x0) ＝(2 －x0)4 －4(2 －x0)3 ＋4(2 －x0)2 －1＝ (2 －x0)2[(2 －x0) －2]2 －1＝ x 40－4x30＋ ax20－ 1＝f(x0) ，∴A 关于直线 x ＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19.解析 f ′(x) ＝3x2＋2ax＋b.(1) 由极值点的必要条件可知：12－4a＋b＝0，f ′( － 2) ＝f ′(4) ＝ 0，即48＋8a＋b＝0，解得 a＝－ 3，b＝－ 24.或f ′(x) ＝ 3x2＋2ax＋b＝3(x ＋2)(x －4)＝3x2－6x－24，也可得 a＝－ 3，b＝－ 24.(2) 由 f ′(x) ＝ 3(x ＋2)(x －4) ．当 x＜－ 2 时， f ′(x) ＞ 0，当－ 2＜x＜4 时， f ′(x) ＜ 0. ∴x＝－ 2 是极大值点，而当x＞4 时， f ′(x) ＞ 0，∴x＝4 是极小值点．20.解析 a≠0( 否则 f(x) ＝b 与题设矛盾 ) ，由f ′(x) ＝ 3ax2－12ax＝0 及 x∈[ － 1,2] ，得 x＝0. (1) 当 a＞0 时，列表：x ( －1,0) 0 (0,2)f ′(x) ＋0 －f(x) 增极大值 b 减由上表知， f(x) 在[ － 1,0] 上是增函数，f(x) 在[0,2] 上是减函数．则当 x＝0 时， f(x) 有最大值，从而b＝3.又f( －1) ＝－ 7a＋3，f(2) ＝－ 16a＋3，∵a＞0，∴ f( －1) ＞f(2) ．从而 f(2) ＝－ 16a＋3＝－ 29，得a＝2.(2)当 a＜0 时，用类似的方法可判断当 x＝0 时 f(x) 有最小值．当x＝2 时， f(x) 有最大值．从而 f(0) ＝b＝－ 29, f(2)＝－16a－29＝3，得a＝－ 2.综上， a＝ 2，b＝3 或 a＝－ 2，b＝－ 29.21.解析 (1) 由题意得f′(x) ＝ 3ax2＋2x＋b. 因此g( x) ＝f ( x) ＋f′(x)＝ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b.因为函数 g( x)是奇函数，所以g(－x)＝－ g( x)，即对任意实数x，有 a(－ x)3＋(3 a＋1)(－x)2＋( b ＋2)( －x) ＋b＝－ [ ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b] ，从而 3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－1，b＝0，因此f ( x) 的解析式为f ( x) ＝－x3＋x2. 331(2)由(1) 知g( x) ＝－1x3＋2x，所以g′(x) ＝－x2＋2. 3令g′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2，则当x<－2或x> 2时，g′(x)<0，从而 g( x)在区间(－∞，－2]，[ 2，＋∞)上是减函数；当－ 2<x< 2时，g′(x)>0 ，从而g( x) 在[ － 2， 2] 上是增函数．由前面讨论知， g( x)在区间[1,2] 上的最大值与最小值只能在x＝1，2，2 时取得，而g(1)5＝3，g( 2) ＝4 23，g(2)4＝3. 因此g( x)在区间 [1,2] 上的最大值为g( 2) ＝4 2，最小值为3g(2)4＝3.22. 分析解答本题，应先正确求出函数 f ( x)的导数f ′(x)，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．a 2 ax2＋a－2解析 (1) f′(x) ＝ax＋1－1＋x 2＝ax＋1 1＋x 2，∵f ( x)在 x＝1处取得极值，2∴f ′(1)＝0，即 a·1＋a－2＝0，解得 a＝1.(2) f′(x) ＝ax2＋a－22，ax＋1 1＋x∵x≥0， a>0，∴ ax＋1>0.①当 a≥2时，在区间[0，＋∞)上， f ′(x)>0，∴f( x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当 0<a<2 时，由 f ′(x)>0，解得 x> 2－a a.由 f ′(x)<0，解得 x< 2－a a.∴f ( x)的单调减区间为(0, 2－a 2－a a ) ，单调增区间为 ( a，＋∞ ) ．(3) 当a≥2时，由 (2) ①知，f ( x) 的最小值为f (0) ＝1；当 0<a<2，由 (2) ②知，f ( x) 在x＝2－aa 处取得最小值，且2－af ( a )< f (0) ＝1.综上可知，若 f ( x)的最小值为1，则 a 的取值范围是[2，＋∞)．。

高二数学选修2-2--第一章测试题

高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题一选择题1．设xx y sin 12-=，则='y （）．A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．xx x x sin )1(sin 22---2．设1ln)(2+=x x f ，则=)2('f （）． A ．54 B ．52C ．51D ．533．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3)(32lim3--→x x f x x 得值为（）．A ．4-B ．0C ．8D ．不存在 4．曲线3x y =在点)8,2(处得切线方程为（）．A ．126-=x yB ．1612-=x yC ．108+=x yD ．322-=x y5．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(得图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ⋅得值为（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上得可导函数c bx ax x x f +++=22131)(23，当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则12--a b 得取值范围就是（）． A ．)1,41( B ．)1,21( C ．)41,21(- D ．)21,21(- 7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x+=在区间]2,0[π得值域为（）． A ．]21,21[2πe B ．)21,21(2πe C ．],1[2πe D ．),1(2πe8．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成得图形得面积就是（）． A ．18B ．338C ．316 D ．169．设底面为等边三角形得直棱柱得体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（）．Ａ．3V Ｂ．32V Ｃ．34V D ．32V 10．某人要剪一个如图所示得实心纸花瓣，纸花瓣得边界由六段全等得正弦曲线弧)0(sin π≤≤=x x y 组成，其中曲线得六个交点正好就是一个正六边形得六个顶点，则这个纸花瓣得面积为（）． A ．2336π+ B ．223312π+C ．26π+D ．22336π+ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题4分，共16分。

高二下数学第一章导数及其应用单元检测(含答案)

阶段质量检测：导数及其应用(时间： 120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 2．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦⎤0， π2上的极大值点为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π23．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．若函数()ln f x x a x=+不是单调函数,则实数a 的取值范围是（）．A ．[)0,+∞B ．(],0-∞C ．(),0-∞D ．()0,+∞5．若e x ≥k ＋x 在R 上恒成立，则实数k 的取值范围为( ) A ．(－∞，1] B ．[1，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．[－1，＋∞)6．若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫13，4上有极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，103 B.⎣⎡⎭⎫2，103 C.⎝⎛⎭⎫103，174 D.⎝⎛⎭⎫2，174 7．函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－310，67B.⎝⎛⎭⎫－85，－316C.⎝⎛⎭⎫－83，－116D.⎝⎛⎭⎫－∞，－310∪⎝⎛⎭⎫67，＋∞ 8.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )9．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产( ) A ．6千台 B ．7千台 C ．8千台D ．9千台10．.已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( )A.4f (1)<f (2)B.4f (1)>f (2)C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)11．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝30.3 ·f (30.3)，b ＝log π3·f (log π3)，c ＝log 319·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a >b >cB.c >b >aC.a >c >bD.c >a >b12．若函数f (x )＝sin xx ，且0<x 1<x 2<1，设a ＝21sin x x ，12sin b x x =，则a ，b 的大小关系是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 的大小不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．若f (x )＝13x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.14．若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a 的取值范围为________．15．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．16．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f (x )＝x ＋sin x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17． (本小题满分12分)若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点． (1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点．18． (2021·百师联盟考试)设函数f (x )＝ln x ＋ax(a 为常数).(2)不等式f(x)≥1在x∈(0，1]上恒成立，求实数a的取值范围.19．(本小题满分12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．(1)求a，b的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．20．(本小题满分12分) (2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝e x＋ax2－x.(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≥12x3＋1，求a的取值范围.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x＋ax＋1(a∈R).(2)若函数f (x )的图象与x 轴相切，求证：对于任意互不相等的正实数x 1，x 2，都有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<1x 1＋1x 2.22． (本小题满分12分) 已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．参考答案1.【解析】选A y ′＝cos x ，∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 2.答案：B3.【解析】选A 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1，x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．4.【答案】C【解析】由题意知0x >,()1af x x'=+,要使函数()ln f x x a x =+不是单调函数,则需方程10ax+=在0x >上有解,即x a =-,所以0a <,故选C ． 5.解析：选A 由e x ≥k ＋x ，得k ≤e x －x . 令f (x )＝e x －x ，∴f ′(x )＝e x －1. 当f ′(x )<0时，解得x <0，当f ′(x )>0时，解得x >0.∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．∴f (x )min ＝f (0)＝1. ∴实数k 的取值范围为(－∞，1]．故选A.6.解析：选D 因为f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1，所以f ′(x )＝x 2－ax ＋1.函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫13，4上有极值点可化为f ′(x )＝x 2－ax ＋1＝0在区间⎝⎛⎭⎫13，4上有解，即a ＝x ＋1x 在区间⎝⎛⎭⎫13，4上有解，设t (x )＝x ＋1x ，则t ′(x )＝1－1x 2，令t ′(x )>0，得1<x <4，令t ′(x )<0，得13<x <1.所以t (x )在(1,4)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫13，1上单调递减．所以t (x )min ＝t (1)＝2，又t ⎝⎛⎭⎫13＝103，t (4)＝174，所以a ∈⎝⎛⎭⎫2，174. 7.【解析】选D f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，要使函数f (x )的图象经过四个象限，则f (－2)f (1)<0，即⎝⎛⎭⎫103a ＋1⎝⎛⎭⎫－76a ＋1<0，解得a <－310或a >67. 故选D. 8.【解析】选D 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.9.【解析】选A 设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3，y ′＝36x －6x 2，令y ′＝0得x ＝6或x ＝0(舍)，f (x )在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，∴x ＝6时y 取得最大值．10.答案 B【解析】设函数g (x )＝f （x ）x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′（x ）－2xf （x ）x 4＝xf ′（x ）－2f （x ）x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数，因此g (1)>g (2)，即f （1）12>f （2）22，所以4f (1)>f (2). 11.答案 D【解析】设g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，又当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，∴x <0时，g ′(x )<0，g (x )在(－∞，0)上单调递减.由y ＝f (x )在R 上为奇函数，知g (x )在R 上为偶函数，∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴c ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319＝g (－2)＝g (2)，又0<log π3<1<30.3<3<2， ∴g (log π3)<g (30.3)<g (2)，即b <a <c .12.【解析】选A f ′(x )＝x cos x －sin xx 2，令g (x )＝x cos x －sin x ，则g ′(x )＝－x sin x ＋cos x－cos x ＝－x sin x .∵0<x <1，∴g ′(x )<0，即函数g (x )在(0,1)上是减函数，得g (x )<g (0)＝0，故f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上是减函数，由0<x 1<x 2<1得12211212sin sin ,sin sin x x x x x x x x >∴>,a >b ，故选A. 13.【解析】f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23. 答案：2314.【解析】对函数求导得f ′(x )＝x －1＋a ⎝⎛⎭⎫1－1x ＝(x ＋a )(x －1)x ，x >0，因为函数存在唯一的极值，所以导函数存在唯一的零点，且零点大于0，故x ＝1是唯一的极值点，此时－a ≤0，且f (1)＝－12＋a ≥1，所以a ≥32.答案 ⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 15.【解析】f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)．又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m ≤0.答案：(－1,0]16.【解析】f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，因为f ′(x )＝1＋cos x≥0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，∵π2>π－2>1>π－3>0，∴f (π－2)>f (1)>f (π－3)，即c <a <b .答案：c <a <b17.【解析】(1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，解得a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x .因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2，于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2.当x ＜－2时，g ′(x )＜0；当－2＜x ＜1时， g ′(x )＞0，故－2是g (x )的极值点．当－2＜x ＜1或x ＞1时，g ′(x )＞0，故1不是g (x )的极值点．所以g (x )的极值点为－2. 18.【解析】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－a x 2＋1x ＝x －ax 2，当a ≤0时，又x >0，∴x －a >0，∴f ′(x )>0， ∴f (x )在定义域(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，若x >a ，则f ′(x )>0，∴f (x )单调递增；若0<x <a ，则f ′(x )<0，∴f (x )单调递减.综上可知：当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数；当a >0时，f (x )在区间(0，a )上是减函数，在区间(a ，＋∞)上是增函数. (2)f (x )≥1⇔a x ＋ln x ≥1⇔ax ≥－ln x ＋1⇔a ≥ －x ln x ＋x 对任意x ∈(0，1]恒成立. 令g (x )＝－x ln x ＋x ，x ∈(0，1].则g ′(x )＝－ln x －x ·1x ＋1＝－ln x ≥0，x ∈(0，1]， ∴g (x )在(0，1]上单调递增，∴g (x )max ＝g (1)＝1， ∴a ≥1，故a 的取值范围为[1，＋∞).19.【解析】(1)由投资额为零时收益为零，可知f (0)＝－a ＋2＝0，g (0)＝6ln b ＝0，解得a ＝2，b ＝1.(2)由(1)可得f (x )＝2x ，g (x )＝6ln(x ＋1)．设投入经销B 商品的资金为x 万元(0＜x ≤5)，则投入经销A 商品的资金为(5－x )万元，设所获得的收益为S (x )万元，则S (x )＝2(5－x )＋6ln(x ＋1)＝6ln(x ＋1)－2x ＋10(0＜x ≤5)．S ′(x )＝6x ＋1－2，令S ′(x )＝0，得x ＝2.当0＜x ＜2时，S ′(x )＞0，函数S (x )单调递增；当2＜x ≤5时，S ′(x )＜0，函数S (x )单调递减．所以当x ＝2时，函数S (x )取得最大值， S (x )max ＝S (2)＝6ln 3＋6≈12.6万元．所以，当投入经销A 商品3万元，B 商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．20.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝e x ＋x 2－x ，x ∈R ，f ′(x )＝e x ＋2x －1.故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增. (2)由f (x )≥12x 3＋1得，e x ＋ax 2－x ≥12x 3＋1，其中x ≥0， ①当x ＝0时，不等式为1≥1，显然成立，此时a ∈R .②当x >0时，分离参数a ，得a ≥－e x －12x 3－x －1x 2，记g (x )＝－e x －12x 3－x －1x 2，g ′(x )＝－（x －2）⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12x 2－x －1x 3.令h (x )＝e x－12x 2－x －1(x >0)，则h ′(x )＝e x －x －1，令H (x )＝e x －x －1，H ′(x )＝e x －1>0，故h ′(x )在(0，＋∞)上是增函数，因此h ′(x )>h ′(0)＝0，故函数h (x )在(0，＋∞)上递增，∴h (x )>h (0)＝0，即e x －12x 2－x －1>0恒成立，故当x ∈(0，2)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减.因此，g (x )max ＝g (2)＝7－e 24，综上可得，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫7－e 24，＋∞. 21.【解析】(1) 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋a ＝ax ＋1x .当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a .若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，f ′(x )>0，f (x )单调递增；若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞，f ′(x )<0，f (x )单调递减.综上所述：当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减.(2)证明由(1)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，不满足条件. 所以a <0，此时f (x )的极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－ln(－a )，由已知得－ln(－a )＝0，故a ＝－1，此时f (x )＝ln x －x ＋1.不妨设0<x 1<x 2，则f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<1x 1＋1x 2等价于ln x 2x 1<x 2x 1－x 1x 2＋x 2－x 1，即证：ln x 2x 1－x 2x 1＋x 1x 2<x 2－x 1.令g (x )＝ln x －x ＋1x (x >1)，则g ′(x )＝1x －1－1x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34x 2<0，故g (x )在(1，＋∞)单调递减，所以g (x )<g (1)＝0<x 2－x 1.所以对于任意互不相等的正实数x 1，x 2，都有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<1x 1＋1x 2成立.22.【解析】(1)由f (x )≥h (x )，得m ≤xln x 在(1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝xln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2，当x ∈(1，e)时，g ′(x )＜0；当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(1，e)上递减，在(e ，＋∞)上递增．故当x ＝e 时，g (x )的最小值为g (e)＝e.所以m ≤e.即m 的取值范围是(－∞，e]． (2)由已知可得k (x )＝x －2ln x －a .函数k (x )在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点．φ′(x )＝1－2x ＝x －2x ，当x ∈(1,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )递减，当x ∈(2,3)时，φ′(x )＞0，φ(x )递增．又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3，要使直线y ＝a 与函数φ(x )＝x －2ln x 有两个交点，则2－2ln 2＜a ＜3－2ln 3.即实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．。

新课标高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题（含答案）

新课标⾼⼆数学选修2-2第⼀章导数及其应⽤测试题（含答案）新课改⾼⼆数学选修2-2第⼀章导数及其应⽤测试题第Ⅰ卷（选择题，共40分）⼀、选择题(本⼤题共10⼩题，每⼩题4分，共40分)1．设xx y sin 12-=，则='y （）．A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．xx x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．xx x x sin )1(sin 22---2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （）．A ．54 B ．52 C ．51 D ．53 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3)(32lim3--→x x f x x 的值为（）．A ．4-B ．0C ．8D ．不存在 4．曲线3x y =在点)8,2(处的切线⽅程为（）．A ．126-=x yB ．1612-=x yC ．108+=x yD ．322-=x y 5.满⾜()()f x f x '=的函数是A . f (x )＝1－x B. f (x )＝x C . f (x )＝0D . f (x )＝16.曲线34y x x =-在点（－1，－3）处的切线⽅程是A . 74y x =+ B. 72y x =+ C. 4y x =- D. 2y x =-7.若关于x 的函数2m n y mx -=的导数为4y x '=,则m n +的值为 A. -4 B. 1- C. D . 48.设ln y x x =-，则此函数在区间(0,1)内为A ．单调递增， B.有增有减 C.单调递减， D.不确定 9．函数3()31f x x x =-+在闭区间[-3，0]上的最⼤值、最⼩值分别是A . 1，－1 B. 3，-17 C. 1，－17 D. 9，－1910.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所⽰，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极⼩值点 A 1个B 2个C 3个D 4个第Ⅱ卷（⾮选择题，共60分）⼆、填空题（每⼩题5分，共15分。

高二数学月考-----第一章导数及其应用

高二数学月考第一章导数及其应用一､选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设函数y=f(x)在(a,b)上可导,则f(x)在(a,b)上为增函数是f ′(x)>0的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.若曲线y=f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切线方程是2x+y-1=0,则( )A.f ′(x0)>0B.f ′(x0)<0C.f ′(x0)=0D.f ′(x0)不存在3. 曲线f(x)=x 3+x-2的一条切线平行于直线y=4x-1,则切点P 0的坐标为( )A.(0,-1)或(1,0)B.(1,0)或(-1,-4)C.(-1,-4)或(0,-2)D.(1,0)或(2,8)4. 下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( )A.y=sin2xB.y=x 3-xC.y=xe XD.y=-x+ln(1+x)7.设f ′(x)是函数f(x)的导数,y=f ′(x)的图象如右图所示,则y=f(x)的图象最有可能是( )8..(2009·湖南高考)若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是( )9. 设a ∈R,若函数y=e aX +3x,x ∈R 有大于零的极值点,则( )A.a>-3B.a<-3C.a>-31D.a<-31 10.函数f(x)=x 3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则a 的取值范围是( )A.0≤a<1B.0<a<1C.-1<a<1D.0<a<411.函数y=x-sinx,x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2的最大值是（） A.1-π B. 12-π C. π D.1+π 12.由抛物线y=x 2-x,直线x= -1及x 轴围成的图形的面积为( )二､填空题(本大题共4小题,每小题dx5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13. .(2009·辽宁卷)曲线 y=2-x x 在点(1,-1)处的切线方程为 15.若函数f(x)=x 3-f ′(1)·x 2+2x+5,则f ′(2)=________.16. 求过点(1,-1)的曲线y=x 3-2x 的切线方程 .17.利用定积分求曲线围城的面积：y=x-2, x=y 2则面积S= 182224x -⎰-dx=三､解答题(本大题共3个小题,共60分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤)19.(20分)已知函数f(x)=ax 3+bx 2的图象经过点M(1,4),曲线在点M 处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.(1)求实数a,b 的值;(2)若函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m 的取值范围.20. （20分）若()R a x x ax x f ∈++=,3123 Ⅰ若ｆ（ｘ）在Ｒ上单调递增，求ａ的范围 Ⅱ当()∞∈,0x 时，若()23x x f ≥恒成立，求ａ的范围Ⅲ若ｆ（ｘ）在()0,∞-上至少有一个极值，求ａ的范围21.(20分)设函数f(x)=2x 3-3(a+1)x 2+6ax(a ∈R).(1)当a=1时,求证:f(x)为R 上的单调递增函数;(2)当x ∈[1,3]时,若f(x)的最小值为4,求实数a 的值.20解:(1)∵f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4).∴a+b=4.①又f ′(x)=3ax2+2bx,则f ′(1)=3a+2b,由条件f ′(1)(-)=-1,得3a+2b=9②由①､②解得a=1,b=3.(2)f(x)=x3+3x2,f ′(x)=3x2+6x,令f ′(x)=3x2+6x ≥0得x ≥0或x ≤-2,若函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,则[m,m+1]⊆(-∞,-2]∪[0,+∞),∴m ≥0或m+1≤-2,即m ≥0或m ≤-3.∴m 的取值范围是(-∞,-3]∪[0,+∞)21解:(1)证明:当a=1时,f(x)=2x3-6x2+6x,则f ′(x)=6x2-12x+6=6(x-1)2≥0,∴f(x)为R 上的单调增函数.(2)f ′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a)①当a ≤1时,f(x)在区间[1,3]上是单调增函数,此时在[1,3]上的最小值为f(1)=3a-1,②当1<a<3时,f(x)在(1,a)上是减函数,在区间(a,3)上是增函数,故在[1,3]上的最小值为f(a)=2a3-3(a+1)a2+6a2=4.化简得(a+1)(a-2)2=0,∴a=-1<1(舍去)或a=2;③当a ≥3时,f(x)在区间(1,a)上是减函数,故f(3)为最小值,∴54-27(a+1)+18a=4, 223,a ()9.,a 2.==<解得舍去综上可知。

高二数学第一章导数及其应用单元试卷含答案详解

.
15. 已知 y x
sin x ，x 1 cos x
．
( π， π) ，当 y
2 时，
14. 在曲线
的切线斜率中斜
率最小的切线方程是 _________.
三、解答题（本题共 5 小题，共 74 分） 17. （本小题满分 14 分）求下列函数的导数：
(1)
；
(2)
；
(3) y=(1- )
.
19.（本小题满分 14 分）已知 f ( x) ax4 bx2 c 的图象经过点 (0,1) ，且在 x 1 处的切线方程是 y x 2. （ 1）求 y f ( x) 的解析式；
D． ( －∞，－ 3) ∪ (0 ， 3)
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）
13. 已知直线 x y 1 0 与抛物线 y ax2 相切，
则 a ______.
14．若 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0) 在 R 上是
增函数，则 a,b,c 的关系式为
第一章导数及其应用本章练测
建议用时 120 分钟
实际用时
满分 ห้องสมุดไป่ตู้50 分
实际得分
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60
分）
1. 若 f ' ( x0 )
3 ，则 lim f ( x0 h) f ( x0 3h)
h0
h
=（）
A． 3
B． 6
C． 9 D． 12
2．函数
在开区间 (a,b) 内的极小值点有（）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
y
y f ( x)

高中数学第一章导数及其应用章末综合测评(含解析)新人教A版选修2-2(2021年最新整理)

2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用章末综合测评（含解析）新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用章末综合测评（含解析）新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用章末综合测评（含解析）新人教A版选修2-2的全部内容。

(一) 导数及其应用章末综合测评(时间120分钟，满分150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．(2016·天津高二检测）若函数y＝f(x)在区间(a,b）内可导，且x0∈（a，b），则错误!错误!的值为( ）A．f′(x0）B．2f′(x0)C．－2f′（x0）D．0【解析】错误!错误!＝2错误!错误!＝2f′(x0)，故选B。

【答案】B2．设曲线y＝ax2在点（1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )A．1 B。

错误!C．－错误!D．－1【解析】y′＝2ax，于是切线斜率k＝y′｜x＝1＝2a，由题意知2a＝2，∴a＝1.【答案】A3．下列各式正确的是（）A．（sin a）′＝cos a（a为常数）B．(cos x)′＝sin xC．(sin x）′＝cos xD．（x－5）′＝－错误!x－6【解析】由导数公式知选项A中（sin a）′＝0；选项B中(cos x）′＝－sin x；选项D中（x－5）′＝－5x－6。

【答案】C4．函数f(x)＝（x－3)e x的单调递增区间是( )A．（－∞，2) B．（0,3)C．（1，4）D．(2，＋∞)【解析】f′（x）＝（x－2）e x,由f′（x）〉0，得x〉2，所以函数f(x）的单调递增区间是(2,＋∞）．【答案】D5．（2016·东北三校联考）若函数f（x）＝错误!x3－f′（1)·x2－x,则f′(1)的值为( ) A．0 B．2C．1 D．－1【解析】f′（x）＝x2－2f′（1）·x－1，则f′(1）＝12－2f′（1)·1－1，解得f′（1)＝0。

高中数学第一章导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义学业分层测评(含解析)新人教A版选修2-2

导数的几何意义学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＋2＝0，则f ′(1)＝( ) A ．4 B ．－4 C ．－2 D ．2【解析】由导数的几何意义知f ′(1)＝2，故选D. 【答案】 D2．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－2【解析】依导数定义可求得y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧12＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.【答案】 C3．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率k ＝3，则点P 的坐标是( ) A ．(1,1)B ．(－1,1)C ．(1,1)或(－1，－1)D ．(2,8)或(－2，－8)【解析】因为y ＝x 3，所以y ′＝lim Δx →0x ＋Δx 3－x 3Δx ＝lim Δx →0[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝3x 2.由题意，知切线斜率k ＝3，令3x 2＝3，得x ＝1或x ＝－1. 当x ＝1时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝－1. 故点P 的坐标是(1,1)或(－1，－1)．【答案】 C4．(2016·某某高二检测)若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0【解析】设切点为(x 0，y 0)，∵f ′(x )＝lim Δx →0x ＋Δx 2－x 2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .由题意可知，切线斜率k ＝4，即f ′(x 0)＝2x 0＝4，∴x 0＝2，∴切点坐标为(2,4)，∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0，故选A.【答案】 A5．曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线的斜率为( )A ．2B ．－4C ．3 D.14【解】因为y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0－1x 2＋x ·Δx ＝－1x 2，所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝12＝－4.【答案】 B 二、填空题6．已知函数y ＝f (x )的图象如图115所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是__________(填序号)．图115【解析】由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知，当x <0时f ′(x )>0，当x ＝0时f ′(x )＝0，当x >0时f ′(x )<0，故②符合．【答案】②7．曲线y ＝x 2－2x ＋3在点A (－1,6)处的切线方程是 __________.【解析】因为y ＝x 2－2x ＋3，切点为点A (－1,6)，所以斜率k ＝y ′|x ＝－1＝limΔx →0－1＋Δx2－2－1＋Δx ＋3－1＋2＋3Δx＝lim Δx →0(Δx －4)＝－4，所以切线方程为y －6＝－4(x ＋1)，即4x ＋y －2＝0. 【答案】 4x ＋y －2＝08．若曲线y ＝x 2＋2x 在点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0，则点P 的坐标是__________．【解析】设P (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝limΔx →0x 0＋Δx2＋2x 0＋Δx －x 20－2x 0Δx＝lim Δx →0(2x 0＋2＋Δx )＝2x 0＋2.因为点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0，所以点P 处的切线的斜率为2，所以2x 0＋2＝2，解得x 0＝0，即点P 的坐标是(0,0)．【答案】 (0,0) 三、解答题9．(2016·某某高二检测)已知抛物线y ＝f (x )＝x 2＋3与直线y ＝2x ＋2相交，求它们交点处抛物线的切线方程．【解】由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3，y ＝2x ＋2，得x 2－2x ＋1＝0，解得x ＝1，y ＝4，所以交点坐标为(1,4)，又Δx ＋12＋3－12＋3Δx＝Δx ＋2.当Δx 趋于0时Δx ＋2趋于2，所以在点(1,4)处的切线斜率k ＝2，所以切线方程为y －4＝2(x －1)，即y ＝2x ＋2. 10．试求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程．【解】y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝limΔx →0x ＋Δx 2－x 2Δx＝2x .设所求切线的切点为A (x 0，y 0)． ∵点A 在曲线y ＝x 2上， ∴y 0＝x 20，又∵A 是切点，∴过点A 的切线的斜率y ′|x ＝x 0＝2x 0， ∵所求切线过P (3,5)和A (x 0，y 0)两点，∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3.∴2x 0＝x 20－5x 0－3，解得x 0＝1或x 0＝5.从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2；当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)，即y ＝2x －1和y ＝10x －25.[能力提升]1．(2016·某某高二检测)设f (x )为可导函数，且满足lim Δx →0f 1－f 1－x2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2【解析】∵limΔx →0f 1－f 1－x2x＝12lim Δx →0f 1－x －f 1－x ＝－1， ∴limΔx →0f 1－x －f 1－x ＝－2，即f ′(1)＝－2.由导数的几何意义知，曲线在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝f ′(1)＝－2，故选D. 【答案】 D2．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－2【解析】依导数定义可求得y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.【答案】 C3．(2016·某某高二检测)已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 的值为________．【解析】设切点为P (x 0，y 0)．则f ′(x 0)＝limΔx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝limΔx →0a x 0＋Δx2－ax 2Δx＝lim Δx →0(2ax 0＋a Δx )＝2ax 0，即2ax 0＝1. 又y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0，联立以上三式，得⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＝1，y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0，解得a ＝14.【答案】144．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公切线，求a ，b 的值．【解】因为f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx＝limΔx →0a x ＋Δx2＋1－ax 2＋1Δx＝2ax ，所以f ′(1)＝2a ，即切线斜率k 1＝2a . 因为g ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx＝limΔx →0x ＋Δx3＋b x ＋Δx －x 3＋bx Δx＝3x 2＋b ，所以g ′(1)＝3＋b ，即切线的斜率k 2＝3＋b . 因为在交点(1，c )处有公切线，所以2a ＝3＋b .①又因为c ＝a ＋1，c ＝1＋b ，所以a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，代入①式，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3.。

人教版-数学-高二-数学人教B版选修2-2章末测试第一章导数及其应用A

第一章测评A(基础过关卷)(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f (x )＝(x ＋a )2，且f ′⎝⎛⎭⎫12＝－3，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．22．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为( )A ．－x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝03．函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x －a 的极值点的个数是( ) A ．2个 B ．1个 C ．0个 D ．由a 确定 4．若⎠⎛0k(2x －3x 2)d x ＝0，则k ＝( ) A ．0 B ．1C ．0或1D ．以上都不正确5．若函数f (x )＝ax 3－x 2＋2x ＋6在R 上为单调递增函数，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥16 B ．a ＞16C ．a ≤16D ．a ＜166．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈)的最大值是( ) A ．1 B.12C ．0D ．－17．抛物线y 2＝4x 与直线x ＝1所围成的封闭图形的面积为( ) A.23 B ．2 C.83D ．4 8．若曲线y ＝x 2＋a ln x (a ＞0)上任意一点处的切线斜率为k ，k 的最小值为4，则此时该切点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(2,3)C ．(3,1)D ．(1,4)9．设底面为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D ．23V10．已知定义在R 上的奇函数f (x )，设其导函数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0－1,20，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．参考答案1．解析：∵f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2x ＋2a ，依题意有2×12＋2a ＝－3，解得a ＝－2.答案：B2．解析：∵y ′＝12x ，又切线过点Q (2,1)，∴切线方程为y －1＝x －2，即－x ＋y ＋1＝0. 答案：A3．解析：f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0恒成立， ∴f (x )在R 上单调递增，即f (x )无极值．答案：C4．解析：因为(x 2－x 3)′＝2x －3x 2，所以⎠⎛0k(2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)|k0＝k 2－k 3＝0.所以k ＝0或k ＝1. 答案：C5．解析：依题意f ′(x )≥0在R 上恒成立，即3ax 2－2x ＋2≥0，必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4－24a ≤0，解得a ≥16. 答案：A6．解析：f ′(x )＝3－12x 2，令f ′(x )＝0得x ＝12⎝⎛⎭⎫x ＝－12舍去，由于f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (1)＝－1，故f (x )在上的最大值为1.答案：A7．解析：由题意得，直线x ＝1与抛物线y 2＝4x 的一个交点坐标为(1,2)，所以所求面积S ＝2∫102x d x ＝8332x |10＝83.故选C. 答案：C8．解析：y ＝x 2＋a ln x 的定义域为(0，＋∞)，由导数的几何意义知y ′＝2x ＋ax ≥22a ＝4，则a ＝2，当且仅当x ＝1时等号成立，代入曲线方程得y ＝1，故所求的切点坐标是(1,1)．答案：A9．解析：设底面边长为x ，则底面面积为34x 2，设高为h ，则34x 2h ＝V ，于是h ＝433·Vx2，这时直棱柱的表面积S (x )＝34x 2×2＋3xh ＝32x 2＋43Vx. S ′(x )＝3x －43V x 2，令S ′(x )＝0得x ＝34V ，故当x ＝34V 时表面积最小．答案：C10．解析：因为f (x )是奇函数，所以xf ′(x )＜f (－x )＝－f (x )，即xf ′(x )＋f (x )＜0，所以当x ∈(－∞，0xf (x )(2－x 2)－x 2－(x 3－3x )－1,2－1,2x 2＋(a ＋2)xx 2＋(a ＋2)x 0，＋∞)上，f ′(x )≥0，所以f (x )是0，＋∞)上不可能有两个不相等的实数根；当－(a ＋2)＞0，即a ＜－2时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下：⎝ ⎛⎦⎥⎤a ＋4e a ＋2，－a .。

高中数学第一章导数及其应用单元综合测试课件 a选修22a高二选修22数学课件

第十六页，共三十七页。
14．已知函数f(x)＝12x－sinx，x∈(0，π)，则f(x)的最小值为
π－3 3
6
.
解析：令f′(x)＝12－cosx＝0，得x＝3π.
当x∈ 0，π3 时，f′(x)<0；当x∈ π3，π 时，f′(x)>0，f(x)
在x＝π3处取得极小值．
又f(x)在(0，π)上只有一个极值点，易知f
a＝b，此式对任意x都成立，所以b＝2c，
c＝1，解得a＝2，b＝2，c＝1，即f(x)＝2x2＋2x＋1.
第二十三页，共三十七页。
18．(12分)已知函数f(x)＝
1 3
x3＋3xf′(a)(其中a∈R)，且f(a)
＝76，求：
(1)f(x)的表达式；
(2)曲线y＝f(x)在x＝a处的切线方程．
第三页，共三十七页。
3．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，
则y＝f(x)( C )
A．在(－∞，0)上为减函数 B．在x＝0处取极小值 C．在(4，＋∞)上为减函数 D．在x＝2处取极大值
第四页，共三十七页。
解析：在(－∞，0)上，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，0)上为增函数，A错；在x＝0处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在x ＝0处取极大值，B错；在(4，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)为减函数，C对；在x＝2处取极小值，D错．
0互相垂直，则实数a的值为( D )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
解析：f′(x)＝xcosx＋sinx，f′( π2)＝1，∴k＝－a2＝－1，a ＝2.
第八页，共三十七页。
x2，x∈[0，1] 7．设f(x)＝1x，x∈1，e]

高二数学第一章导数及其应用综合检测新人教A版选修2-2

高中数学第一章导数及其应用综合检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A ．[0，π4]∪[3π4，π)B ．[0，π)C ．[π4，3π4]D ．[0，π4]∪(π2，3π4][答案] A[分析] 先求导数，再依据弦函数性质得到导函数的值域，即切线斜率的取值范围，最后求直线的倾斜角的取值范围．[解析] y ′＝cos x ， ∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是[0，π4]∪[3π4，π)．2．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9[答案] D[解析] ∵f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，又因为在x ＝1处有极值， ∴a ＋b ＝6， ∵a >0，b >0， ∴ab ≤(a ＋b2)2＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，所以ab 的最大值等于9.故选D.3．下列函数中，x ＝0是其极值点的函数是( )A ．f (x )＝－x 3B ．f (x )＝－cos xC ．f (x )＝sin x －xD ．f (x )＝1x[答案] B[解析] 对于A ，f ′(x )＝－3x 2≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于B ，f ′(x )＝sin x ，当x ∈(－π，0)时，f ′(x )<0，当x ∈(0，π)时，f ′(x )>0，故f (x )＝－cos x 在x ＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x ＝0是f (x )的一个极小值点；对于C ，f ′(x )＝cos x －1≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于D，f(x)＝1x在x＝0没有定义，所以x＝0不可能成为极值点，综上可知，答案选B.4．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－3)，∪(3，＋∞) B．(－3，3)C．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D．[－3，3][答案] D[解析] f′(x)＝－3x2＋2ax－1，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，且f′(x)的图象是开口向下的抛物线，∴f′(x)≤0恒成立，∴Δ＝4a2－12≤0，∴－3≤a≤3，故选D.5．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如下图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )[答案] A[解析] f(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上变化规律是减→增→减，因此f′(x)的图象在(－∞，0)上，f′(x)>0，在(0，＋∞)上f′(x)的符号变化规律是负→正→负，故选A.6．已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是( ) A．f(sin A)>f(cos B) B．f(sin A)<f(cos B)C．f(sin A)>f(sin B) D．f(cos A)<f(cos B)[答案] A[解析] 由导函数图象可知，x>0时，f′(x)>0，即f(x)单调递增，又△ABC为锐角三角形，则A＋B>π2，即π2>A>π2－B>0，故sin A>sin(π2－B)>0，即sin A>cos B>0，故f(sin A)>f(cos B)，选A.7．函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A ．－310<a <67B ．－85<a <－316C ．－83<a <－116D ．a <－310或a >67[答案] D[解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，要使函数f (x )的图象经过四个象限，则f (－2)f (1)<0，即(103a ＋1)(－76a ＋1)<0，解得a <－310或a >67.故选D.8．定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x ＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}[答案] B[解析] 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>12，∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数， ∵f (1)＝1，∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0， ∴当x <1时，g (x )<0，即2f (x )<x ＋1，故选B.9．若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在[0,2]上有根，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．[0,2] C ．[－2,0]D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[答案] A[解析] 令f (x )＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，显然当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当－1<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴在x ＝－1时，f (x )取极大值f (－1)＝m ＋2，在x ＝1时，f (x )取极小值f (1)＝m －2.∵f (x )＝0在[0,2]上有解，∴⎩⎪⎨⎪⎧f1<0，f 2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，2＋m ≥0，∴－2≤m ≤2.10．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A ，B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.11．已知函数f (x )＝a x ＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－5，若对任意的x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (x 1)－g (x 2)≥2成立，则a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，－1][答案] B[解析] 由于g (x )＝x 3－x 2－5⇒g ′(x )＝3x 2－2x ＝x (3x －2)，∴函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18－14－5＝－418，g (2)＝8－4－5＝－1.由于对∀x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x 1)－g (x 2)≥2恒成立，∴f (x )≥[g (x )＋2]max ，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，f (x )≥1恒成立，即a x ＋x ln x ≥1，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恒成立，a ≥x －x 2ln x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恒成立，令h (x )＝x －x 2ln x ，则h ′(x )＝1－2x ln x －x ，而h ″(x )＝－3－2ln x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，h ″(x )<0，所以h ′(x )＝1－2x ln x －x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2单调递减，由于h ′(1)＝0，∴x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1时，h ′(x )>0，x ∈[1,2]时，h ′(x )<0，所以h (x )≤h (1)－1，∴a ≥1.12．已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1、x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f (－1)的取值范围是( )A ．[－32，3]B ．[32，6]C ．[3,12]D ．[－32，12][答案] C[分析] 根据极值的意义可知，极值点x 1、x 2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域．利用参数表示出f (－1)的值域，设z ＝x ＋3y ，再利用z 的几何意义求最值．[解析] f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ，依题意知，方程f ′(x )＝0有两个根x 1、x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，等价于f ′(－2)≥0，f ′(－1)≤0，f ′(1)≤0，f ′(2)≥0. 由此得b ，c 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧12－8b ＋c ≥0，3－4b ＋c ≤0，3＋4b ＋c ≤0，12＋8b ＋c ≥0.满足这些条件的点(b ，c )的区域为图中阴影部分．由题设知f (－1)＝2b －c ，令z ＝2b －c ，当直线z ＝2b －c 经过点(0，－3)时，z 最小，最小值为3.当直线z ＝2b －c 经过点C (0，－12)时，z 最大，最大值为12.故选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)，在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f (x )的最大值是________________．[答案] 57[解析] f ′(x )＝3x 2＋6x ＝3x (x ＋2)，当x ∈[－3，－2)和x ∈(0,3]时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(－2,0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴极大值为f (－2)＝a ＋4，极小值为f (0)＝a ，又f (－3)＝a ，f (3)＝54＋a ，由条件知a ＝3，∴最大值为f (3)＝54＋3＝57.14．如图阴影部分是由曲线y ＝1x、y 2＝x 与直线x ＝2、y ＝0围成，则其面积为______．[答案] 23＋ln2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1x，得交点A (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1x得交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12.故所求面积S ＝⎠⎛1x d x ＋⎠⎛121xd x ＝23x 32 | 10＋ln x | 21＝23＋ln2.15．函数f (x )＝ax 3－3x 在区间(－1,1)上为单调减函数，则a 的取值范围是__________．[答案] a ≤1[解析] f ′(x )＝3ax 2－3，∵f (x )在(－1,1)上为单调减函数，∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立，即3ax 2－3≤0在(－1,1)上恒成立， ∴a ≤1x2，∵x ∈[－1,1)，∴a ≤1.[警示] 本题常因混淆f (x )在区间A 上单调递减与f (x )的单调递减区间为A 致误，f (x )在区间A 上单调递减时，A 可能是f (x )的单调减区间的一个真子集．若f (x )的单调减区间为[m ，n ]，则在x ＝m (x ＝n )两侧函数值异号，f ′(m )＝0(f ′(n )＝0)；若f (x )在区间[m ，n ]上单调递减，则f ′(x )≤0在[m ，n ]上恒成立．16．已知函数f (x )的图象在[a ，b ]上连续不断，定义：f 1(x )＝min{f (t )|a ≤t ≤x }(x ∈[a ，b ])，f 2(x )＝max{f (t )|a ≤t ≤x }(x ∈[a ，b ])，其中，min{f (x )|x ∈D }表示函数f (x )在区间D 上的最小值，max{f (x )|x ∈D }表示函数f (x )在区间D 上的最大值．若存在最小正整数k ，使得f 2(x )－f 1(x )≤k (x －a )对任意的x ∈[a ，b ]成立，则称函数为区间[a ，b ]上的“k 阶收缩函数”．有以下三个命题，其中正确的命题为________________．(请把正确命题序号填在横线上)．①若f (x )＝cos x ，x ∈[0，π]，则f 1(x )＝cos x ，x ∈[0，π]，f 2(x )＝1，x ∈[0，π]； ②函数f (x )＝－x 3＋3x 2是[0,1]上的2阶收缩函数；③若函数f (x )＝x 2，x ∈[－1,4]是[－1,4]上的“k 阶收缩函数”，则k ＝4. [答案] ①②③[解析] 对于①，由于f (x )＝cos x 在[0，π]上单调递减，由已知可得f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝f (0)＝1，故①正确；对于②，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，当x ∈[0,1]时，f ′(x )>0，f (x )在[0,1]上单调递增，故f 1(x )＝f (0)＝0，f 2(x )＝－x 3＋3x 2，f 2(x )－f 1(x )＝－x 3＋3x 2≤kx 对∀x ∈[0,1]成立，当x ≠0时，k ≥－x 3＋3x 2x＝－x 2＋3x 恒成立，又当x ＝1时，－x 2＋3x取得最大值2，∴k ≥2，即②正确；③中，f 1(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[－1，00，x ∈[0，4]，f 2(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈[－1，1x 2，x ∈[1，4]，∴f (x 2)－f (x 1)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，01，x ∈[0，1x 2，x ∈[1，4].当x ∈[－1,0]时，1－x 2≤k (x ＋1)，∴k ≥1－x ，k ≥2. 当x ∈(0,1)时，1≤k (x ＋1)，∴k ≥1x ＋1，∴k ≥1. 当x ∈[1,4]时，x 2≤k (x ＋1)，∴k ≥x 2x ＋1，∴k ≥165. 即f (x )＝x 2，x ∈[－1,4]是[－1,4]上的“k 阶收缩函数”，则k ＝4.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)．(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x 2－x ，∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，当x ∈(2，2)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx 2－x＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调区间和极大值；(3)证明：对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立． [解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝－d ， ∴d ＝0(或由f (0)＝0得d ＝0)． ∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ，又当x ＝1时，f (x )取得极值－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝－2，f ′1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－3.∴f (x )＝x 3－3x .(2)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，当－1<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；∴函数f (x )的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)．因此，f (x )在x ＝－1处取得极大值，且极大值为f (－1)＝2.(3)由(2)知，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，且f (x )在区间[－1,1]上的最大值为M ＝f (－1)＝2.最小值为m ＝f (1)＝－2.∴对任意x 1、x 2∈(－1,1)，|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝4成立．即对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立． 19．(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋2a ln x (a >0)．(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间；(3)若f (x )≤0在区间[1，e]上恒成立，求实数a 的取值范围． [解析] (1)∵a ＝1，∴f (x )＝x 2－4x ＋2ln x ， ∴f ′(x )＝2x 2－4x ＋2x(x >0)，f (1)＝－3，f ′(1)＝0，所以切线方程为y ＝－3.(2)f ′(x )＝2x 2－2a ＋1x ＋2a x＝2x －1x －ax(x >0)，令f ′(x )＝0得x 1＝a ，x 2＝1，当0<a <1时，在x ∈(0，a )或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，在x ∈(a,1)时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)，单调递减区间为(a,1)；当a ＝1时，f ′(x )＝2x －12x≥0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)；当a >1时，在x ∈(0,1)或x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，在x ∈(1，a )时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调增区间为(0,1)和(a ，＋∞)，单调递减区间为(1，a )．(3)由(2)可知，f (x )在区间[1，e]上只可能有极小值点，∴f (x )在区间[1，e]上的最大值必在区间端点取到，∴f (1)＝1－2(a ＋1)≤0且f (e)＝e 2－2(a ＋1)e ＋2a ≤0，解得a ≥e 2－2e2e －2.20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ， x ≥11ex ＋2x －a ，x <1(a 为常数，e 为自然对数的底数)的图象在点A (e,1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，求实数a 的取值范围．[解析] 由于f ′(e)＝1e ，得f (x )在点A 处的切线方程为：y －1＝1e (x －e)，即1e x －y＝0由题意知切线与y ＝1e(x ＋2)(x －a )(x <1)有两个交点，即1e x ＝1e (x ＋2)(c －a )有两个小于1的根，即x 2＋(1－a )x －2a ＝0有两个小于1的根，设两根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0x 1＋x 2<2x 1－1x 2－1>0即⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＋8a >0a －1<2－2a －a －1＋1>0解得：a <－3－22或－3＋22<a <23.21．(本题满分12分)(2015·重庆文，21)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ<43，试确定椭圆离心率e 的取值范围．[解析] (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝2＋22＋2－22＝23，即c ＝ 3.从而b ＝a 2－c 2＝1.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)如图，由PF 1⊥PQ ，|PQ |＝λ|PF 1|得， |QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2＝1＋λ2|PF 1|，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a .于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a . 解得|PF 1|＝4a1＋λ＋1＋λ2，故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2aλ＋1＋λ2－11＋λ＋1＋λ2. 由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a λ＋1＋λ2－11＋λ＋1＋λ22＝4c 2，两边除以4a 2，得41＋λ＋1＋λ22＋λ＋1＋λ2－121＋λ＋1＋λ22＝e 2，若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成 e 2＝4＋t －22t 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －142＋12. 由34≤λ<43，并注意到1＋λ＋1＋λ2关于λ的单调性，得3≤t <4，即14<1t ≤13，进而12<e 2≤59，即22<e<53.22．(本题满分14分)已知函数f (x )＝ln x －ax 2－(1－2a )x (a >0)．(1)若∃x >0，使得不等式f (x )>6a 2－4a 成立，求实数a 的取值范围；(2)设函数y ＝f (x )图象上任意不同的两点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为C (x 0，y 0)，记直线AB 的斜率为k ，证明：k >f ′(x 0)．[解析] (1)∵f (x )＝ln x －ax 2－(1－2a )x ，其定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝1x －2ax －(1－2a )＝－x －12ax ＋1x，∵a >0，x >0，∴2ax ＋1>0，所以当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(0,1)上单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减；从而当x ＝1时，f (x )取得最大值f (1)＝ln 1－a －(1－2a )＝a －1，由题意得a －1>6a 2－4a ，解得13<a <12，即实数a 的取值范围⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12.(2)∵f ′(x )＝1x－2ax －(1－2a )，∴f ′(x 0)＝1x 0－2ax 0－(1－2a )＝2x 1＋x 2－a (x 1＋x 2)－(1－2a )，又k ＝f x 2－f x 1x 2－x 1＝[ln x 2－ax 22－1－2a x 2]－[ln x 1－ax 21－1－2a x 1]x 2－x 1＝[ln x 2－ln x 1]－a x 22－x 21－1－2a x 2－x 1x 2－x 1＝lnx 2x 1x 2－x 1－a (x 2＋x 1)－(1－2a )．不妨设x 2>x 1>0，要证明k >f ′(x 0)，即证明lnx 2x 1x 2－x 1－a (x 2＋x 1)－(1－2a )>2x 1＋x 2－a (x 1＋x 2)－(1－2a )，只需证明lnx 2x 1x 2－x 1>2x 1＋x 2，即证明ln x 2x 1>2x 2－x 1x 2＋x 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－1x 2x 1＋1，构造函数g (x )＝ln x －2x －1x ＋1，则g ′(x )＝1x－4x ＋12＝x －12x x ＋12≥0，所以g (x )在[1，＋∞)上是增函数，当x >1时，g (x )>g (1)＝0，又x 2x 1>1，所以ln x 2x 1>2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－1x 2x 1＋1，从而k >f ′(x 0)成立．一、选择题1．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3 D ．y ＝4x －5[答案] B[解析] ∵点(1，－1)在曲线上，y ′＝3x 2－6x ， ∴y ′|x ＝1＝－3，即切线斜率为－3.∴利用点斜式得，切线方程为y ＋1＝－3(x －1)，即y ＝－3x ＋2.故选B. 2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由条件知，x ＝－3是方程f ′(x )＝0的实数根，∴a ＝5.3．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值，最小值分别是( ) A ．5，－15 B ．5，－4 C ．－4，－15 D ．5，－16[答案] A[解析] ∵y ′＝6x 2－6x －12＝0，得x ＝－1(舍去)或x ＝2，故函数y ＝f (x )＝2x 3－3x2－12x ＋5在[0,3]上的最值可能是x 取0,2,3时的函数值，而f (0)＝5，f (2)＝－15，f (3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A. 4.⎠⎛241xd x 等于( )A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2[答案] D[解析] 因为(ln x )′＝1x，所以 ⎠⎛241xd x ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2.5．已知定义在R 上的函数f (x )的导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列结论一定正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e)C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e)>f (d )[答案] C[解析] 由图可知f ′(x )在(－∞，c )和(e ，＋∞)上取正值，在(c ，e)上取负值，故f (x )在(－∞，c )和(e ，＋∞)上单调递增，在(c ，e)上单调递减，∵a <b <c ，∴f (a )<f (b )<f (c )，故选C.6．已知函数f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1，1)，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1，2)C ．(－2，－2)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[答案] B[解析] ∵f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1,1)，∴f ′(x )＝4＋3cos x >0在x ∈(－1,1)上恒成立，∴f (x )在(－1,1)上是增函数，又f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1,1)是奇函数，∴不等式f (1－a )＋f (1－a 2)<0可化为f (1－a )<f (a 2－1)，从而可知，a 须满足⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<a 2－1<1，1－a <a 2－1.解得1<a < 2.7．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )[答案] D[解析] A 中，当f (x )为二次函数时，f ′(x )为一次函数，由单调性和导数值的符号关系知A 可以是正确的，同理B 、C 都可以是正确的，但D 中f (x )的单调性为增、减、增，故f ′(x )的值应为正负正，因此D 一定是错误的．8．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由f (x )的图象知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x )≤0，在(－∞，0)上f ′(x )≥0，故选D. 9．如果1N 能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18J B ．0.26J C ．0.12JD ．0.28J[答案] A[解析] 设F (x )＝kx ，当F (x )＝1时，x ＝0.01m ，则k ＝100，∴W ＝∫0.060100x d x ＝50x 2|0.06＝0.18.10．已知函数f (x )＝ln x ，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[答案] B[解析] 由题可知g (x )＝ln x －1x ，∵g (1)＝－1<0，g (2)＝ln2－12＝ln2－ln e>0，∴选B.11．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在R 上是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确[答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7) ＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D.12．已知函数f (x )＝13x 3＋12mx 2＋m ＋n2x 的两个极值点分别为x 1、x 2，且0<x 1<1<x 2，点P (m ，n )表示的平面区域内存在点(x 0，y 0)满足y 0＝log a (x 0＋4)，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，12)∪(1,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(12，1)∪(1,3] D ．(0,1)∪[3，＋∞)[答案] B[解析] f ′(x )＝x 2＋mx ＋m ＋n2，由条件知，方程f ′(x )＝0的两实根为x 1、x 2且0<x 1<1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′0>0，f ′1<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n2>0，1＋m ＋m ＋n2<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n >0，3m ＋n <－2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝0，3m ＋n ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0<－1，y 0>1.由y 0＝log a (x 0＋4)知，当a >1时，1<y 0<log a 3，∴1<a <3；当0<a <1时，y 0＝log a (x 0＋4)>log a 3，由于y 0>1，log a 3<0，∴对∀a ∈(0,1)，此式都成立，从而0<a <1，综上知0<a <1或1<a <3，故选B. 二、填空题13．若函数f (x )＝x 3－3bx ＋b 在区间(0,1)内有极值，则实数b 的取值范围是________________．[答案] (0,1)[解析] f ′(x )＝3x 2－3b ，∵f (x )在(0,1)内有极值，∴f ′(x )＝0在(0,1)内有解，∴0<b <1.14．函数y ＝x e x在其极值点处的切线方程为____________________．[答案] y ＝－1e[解析] y ＝f (x )＝x e x ⇒f ′(x )＝(1＋x )e x，令f ′(x )＝0⇒x ＝－1，此时f (－1)＝－1e ，函数y ＝x e x在其极值点处的切线方程为y ＝－1e.15．对正整数n ，设曲线y ＝x n(1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和是________________．[答案] 2n ＋1－2[解析] ∵y ＝x n(1－x )，∴y ′＝(x n)′(1－x )＋(1－x )′·x n＝n ·x n －1(1－x )－x n.f ′(2)＝－n ·2n －1－2n ＝(－n －2)·2n －1.在点x ＝2处点的纵坐标为y ＝－2n. ∴切线方程为y ＋2n＝(－n －2)·2n －1(x －2)．令x ＝0得，y ＝(n ＋1)·2n， ∴a n ＝(n ＋1)·2n，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为22n－12－1＝2n ＋1－2.16．已知函数f (x ＋2)是偶函数，x >2时f ′(x )>0恒成立(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，且f (4)＝0，则不等式(x ＋2)f (x ＋3)<0的解集为________________．[答案] (－∞，－3)∪(－2,1)[解析] ∵函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴其图象关于y 轴对称，∵y ＝f (x ＋2)的图象向右平移两个单位得到y ＝f (x )的图象，∴函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∵x >2时，f ′(x )>0，∴f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2)上单调递减，又f (4)＝0，∴f (0)＝0，∴0<x <4时，f (x )<0，x <0或x >4时，f (x )>0，由(x ＋2)f (x ＋3)<0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2<0，f x ＋3>0，(1)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，f x ＋3<0.(2)由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，x ＋3<0或x ＋3>4，∴x <－3；由(2)得⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，0<x ＋3<4.∴－2<x <1，综上知，不等式的解集为(－∞，－3)∪(－2,1) 三、解答题17．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－3bx ＋c (b >0)，且g (x )＝f (x )－2是奇函数． (1)求a 、c 的值；(2)若函数f (x )有三个零点，求b 的取值范围．[解析] (1)∵g (x )＝f (x )－2是奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )对x ∈R 成立， ∴f (－x )－2＝－f (x )＋2对x ∈R 成立， ∴ax 2＋c －2＝0对x ∈R 成立， ∴a ＝0且c ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3bx ＋2(b >0)， ∴f ′(x )＝3x 2－3b ＝3(x －b )(x ＋b )，令f ′(x )＝0得x ＝±b ，x (－∞，－b )－ b (－b ，b )b(b ，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )增极大值减极小值增依题意有⎩⎨⎧f －b >0，f b <0，∴b >1，故正数b 的取值范围是(1，＋∞)． 18．已知函数f (x )＝(x 2－ax ＋a )e x －x 2，a ∈R .(1)若函数f (x )在(0，＋∞)内单调递增，求a 的取值范围；(2)若函数f (x )在x ＝0处取得最小值，求a 的取值范围．[解析] (1)由题意得f ′(x )＝x [(x ＋2－a )e x －2]＝x e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2－2e x －a ，x ∈R ，∵f (x )在(0，＋∞)内单调递增，∴f ′(x )≥0在(0，＋∞)内恒成立． ∴x ＋2－2ex ≥a 在(0，＋∞)内恒成立，又函数g (x )＝x ＋2－2e x 在(0，＋∞)上单调递增，∴a ≤g (0)＝0，∴a 的取值范围是(－∞，0]；(2)由(1)得f ′(x )＝x e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2－2e x －a ，x ∈R ，令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＋2－2ex －a ＝0，即x ＝0或g (x )＝a ，∵g (x )＝x ＋2－2e x ，在(－∞，＋∞)上单调递增，其值域为R .∴存在唯一x 0∈R ，使得g (x 0)＝a ，①若x 0>0，当x ∈(－∞，0)时，g (x )<a ，f ′(x )>0；当x ∈(0，x 0)时，g (x )<a ，f ′(x )<0；∴f (x )在x ＝0处取得极大值，这与题设矛盾；②若x 0＝0，当x ∈(－∞， 0)时，g (x )<a ，f ′(x )>0；当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>a ，f (x )>0；∴f (x )在x ＝0处不取极值，这与题设矛盾；③若x 0<0，当x ∈(x 0,0)时，g (x )>a ，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>a ，f ′(x )>0；∴f (x )在x ＝0处取得极小值；综上所述，x 0<0，∴a ＝g (x 0)<g (0)＝0. ∴a 的取值范围是(－∞，0)．19．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，若曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23时，y ＝f (x )有极值． (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[－4,1]上的最大值和最小值． [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，(1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧f ′23＝3×232＋2a ×23＋b ＝0，f ′1＝3×12＋2a ×1＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4.经检验得x ＝23时，y ＝f (x )有极小值，所以f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5.(2)由(1)知，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(x ＋2)(3x －2)．令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23，f ′(x )，f (x )的值随x 的变化情况如下表： x －4(－4，－2)－2 (－2，23)23 (23，1) 1 f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )单调递增极大值单调递减极小值单调递增函数值－111395274∵f (23)＝9527，f (－2)＝13，f (－4)＝－11，f (1)＝4，∴f (x )在[－4,1]上的最大值为13，最小值为－11.20．已知函数f (x )＝a 23x 3－2ax 2＋bx ，其中a 、b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为3.(1)求b 的值；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，求a 的值． [解析] (1)f ′(x )＝a 2x 2－4ax ＋b ，由题意f ′(0)＝b ＝3.(2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极大值， ∴f ′(1)＝a 2－4a ＋3＝0，解得a ＝1或a ＝3. ①当a ＝1时，f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)，x 、f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：②当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－12x ＋3＝3(3x －1)(x －1)，x 、f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：综上所述，若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，a 的值为1. 21．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．[解析] (1)由题设知g (x )＝ln x ＋1x，∴g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0，得x ＝1. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调递减区间．当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.(2)g (1x)＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g (1x )＝2ln x －x ＋1x，则h ′(x )＝－x －12x 2.当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)．当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0，因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减．当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g (1x)，当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g (1x)．(3)由(1)知g (x )的最小值为1，所以g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立⇔g (a )－1<1a，即ln a <1，从而得0<a <e ，即a 的取值范围为(0，e)． 22．已知函数f (x )＝ln(ax ＋1)(x ≥0，a >0)，g (x )＝x －2x ＋2. (1)讨论函数y ＝f (x )－g (x )的单调性；(2)若不等式f (x )≥g (x )＋1在x ∈[0，＋∞)时恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a ＝1时，证明：13＋15＋17＋…＋12n ＋1<12f (n )(n ∈N *)．[解析] (1)∵y ＝f (x )－g (x )＝ln(ax ＋1)－x －2x ＋2， y ′＝a ax ＋1－4x ＋22＝ax 2＋4a －4ax ＋1x ＋22，当a ≥1时，y ′≥0，所以函数y ＝f (x )－g (x )是[0，＋∞)上的增函数；当0<a <1时，由y ′>0得x >21a－1，所以函数y ＝f (x )－g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫21a－1，＋∞上是单调递增函数，函数y ＝f (x )－g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，21a－1上是单调递减函数；(2)当a ≥1时，函数y ＝f (x )－g (x )是[0，＋∞)上的增函数．所以f (x )－g (x )≥f (0)－g (0)＝1，即不等式f (x )≥g (x )＋1在x ∈[0，＋∞)时恒成立，当0<a <1时，函数y ＝f (x )－g (x )是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，21a－1上的减函数，存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，21a－1，使得f (x 0)－g (x 0)<f (0)－g (0)＝1，即不等式f (x 0)≥g (x 0)＋1不成立，综上，实数a 的取值范围是[1，＋∞)．(3)当a ＝1时，由(2)得不等式f (x )>g (x )＋1在x ∈(0，＋∞)时恒成立，即ln(x ＋1)>2x x ＋2，所以ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1>21＋2k(k ∈N *)，即12k ＋1<12[ln(k ＋1)－ln k ]．所以13<12(ln2－ln1)，15<12(ln3－ln2)， 17<12(ln4－ln3)，…， 12n ＋1<12[ln(n ＋1)－ln n ]．将上面各式相加得到，13＋15＋17＋…＋12n ＋1<12[(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋(ln4－ln3)＋…＋(ln(n ＋1)－ln n )]＝12ln(n ＋1)＝12f (n )．∴原不等式成立．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

8．以长为 10 的线段 AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为
()
A ． 10 B． 15 C． 25 解析：选 C．设内接矩形的长为 x，
D． 45
则宽为
25－ x2， 4
∴
S2＝
x2·(25
－
x2 4 )＝
y，
∴ y′ ＝ 50x－ x3.
令 y′ ＝0，得 x2＝ 50， x＝ 0(舍去 )，
解析：停车时 v(t)＝ 0，则 27－ 0.9t＝ 0，∴ t＝ 30 s，
s＝ ∫ 300v(t) dt＝ ∫ 300(27－ 0.9t)dt ＝ (27t－ 0.45t2)300＝ 405(m)．答案： 405 m
13．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是
27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为
解析： ∵ f ′(x)＝3x2＋2ax＋ b，
－ 2＋ 4＝－ 2a 3
∴ － 2× 4＝ b 3
a＝－ 3， ?
b＝－ 24.
∴ a－ b＝－ 3＋ 24＝ 21. 答案： 21
12．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度
v(t)＝ 27－0.9t( v 单位： m/s， t 单位： s)，则列
车刹车后至停车时的位移为 ________．
成立，函数 f (x)不存在极值点．
7. 已知 f(x) 的导函数 f′ (x)的图象如图所示，那么 f(x)的图象最有可能是图中的 ( )
解析：选 A. ∵ x∈ (－ ∞ ，－ 2)时， f′ (x)＜ 0，
∴ f(x)为减函数；
同理 f(x)在 (－ 2,0)上为增函数， (0，＋ ∞ )上为减函数．
一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的 )
1．函数 f(x)＝(2 πx) 2的导数是 ( ) A ． f′ (x)＝ 4πx B． f′ (x)＝ 4π2x C．f ′ (x)＝ 8π2x D ． f′ (x)＝ 16πx
C． x＝ 2 为 f( x)的极大值点
D． x＝ 2 为 f(x)的极小值点
解析：选 D ．∵ f(x)＝2x＋ ln x，
∴ f′ (x)＝－ x22＋ 1x，令 f′ (x)＝ 0，
即－
x22＋
1 x
＝
x－ x2
2 ＝
0，
解得 x＝2.
当 x＜ 2 时Байду номын сангаас f′ (x) ＜0；
当 x＞ 2 时， f′ (x) ＞0，
∴ x0＝ 1， y0＝－ 1.
故 P 点坐标为 (1，－ 1)．
4．下列积分等于 2 的是 ( )
A. 22xdx
0
B.
2
1 (2
x＋
1)dx
0
C． 21dx
0
解析：选 C．
21dx＝x|20＝ 2.
D．
2
1 2xdx
1
0
5．设函数
f(x)＝
2＋ x
ln
x，则
(
)
A ． x＝12为 f( x)的极大值点 B ． x＝12为 f( x)的极小值点
3 3 )，(
3，＋ ∞ )， 3
故 a＞0.
10．若函数 f (x)在 (0，＋∞ ) 上可导，且满足 f( x)＞－ xf′ (x)，则一定有 ( )
A ．函数
f F (x)＝
x x
在 (0，＋∞
)上为增函数
B．函数
f F(x)＝
x x
在 (0，＋∞
)上为减函数
C．函数 G(x)＝ xf(x)在 (0，＋∞ )上为增函数
D．函数 G(x)＝ xf(x)在(0 ，＋∞ )上为减函数解析：选 C．设 y＝ xf(x)，则 y′ ＝ xf′ (x)＋ f(x)＞ 0，故 y＝ xf( x)在 (0，＋ ∞ )上递增，故选 C．
二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上 ) 11．设 x＝－ 2 与 x＝ 4 是函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋ bx 的两个极值点，则常数 a－ b 的值为 ________．
∴ S2max＝625，即 Smax＝ 25.
9．若函数 y＝ a(x3－ x)的递增区间是 (－∞，－
3 3 )，(
33，＋∞
) ，则
a
的取值范围是
(
)
A ． a＞0 B．－ 1＜a＜ 0 C． a＞ 1
D． 0＜ a＜ 1
解析：选 A. 依题意
y′＝ a(3x2－ 1)＞ 0 的解集为 (－ ∞ ，－
D ．2 秒或 6 秒
3．若曲线 f(x)＝ x4－ 2x 在点 P 处的切线垂直于直线 x ＋2y＋ 1＝ 0，则点 P 的坐标为 ( )
A ． (1,1) B． (1，－ 1) C． (－ 1,1)
D． (－ 1，－ 1)
解析：选 B. ∵f′( x)＝ 4x3－ 2，设 P(x0， y0)，由题意得 f′ (x0)＝ 4x30－ 2＝ 2，
解析：选 C．f (x)＝ (2 πx)2＝ 4π2x2 ， ∴ f′ (x)＝ 8π2x.
2．已知物体的运动方程是
s＝
1 3
t3－
4t
2＋
12t
(t
表示时间，
s 表示位移
)，则瞬时速度为
0 的时
刻是 ( )
A ． 0 秒、 2 秒或 6 秒 B． 2 秒或 16 秒 C． 2 秒、 8 秒或 16 秒解析：选 D ．s′ ＝ t2－8t＋ 12＝ 0? t＝ 2 或 t＝ 6.
所以 x＝2 为 f(x) 的极小值点．
6．对任意的 x∈ R，函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋ 7ax 不存在极值点的充要条件是 (
)
A ． 0≤a≤ 21 B． a＝0 或 a＝ 7 C． a＜ 0 或 a＞21
D． a＝ 0 或 a＝ 21
解析：选 A. f′ (x)＝ 3x2＋ 2ax＋7a，当 Δ＝ 4a2－84a≤ 0，即 0≤ a≤21 时， f′ (x)≥ 0 恒
14．已知函数 g(x) ＝ x 3－ x2(x>0) ，h(x) ＝ex－ x ，p(x) ＝ cos 2x(0<x< π)的导函数分别为 g′ (x) ，
h′ (x) ，p′ (x) ，其零点依次为 x 1，x 2，x 3，则将 x 1， x 2， x3 按从小到大的顺序用 “ <连”接起
________ ．
解析：设圆柱的底面半径为
R，母线长为
L ，则 V ＝ πR2L ＝ 27π，所以
27 L＝ R2.要使用料
最省，只需使圆柱表面积最小．
S
表＝ πR2＋ 2πRL ＝ πR2＋ 2π·27，令 R
S′表＝2πR－5R42π＝ 0，得
R＝ 3，即当 R＝ 3 时， S 表最小．
答案： 3