2018-2019学年高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1.1 指数与指数幂的运算 第二课时 指数幂及其运算性质

变式探究:若
a>0
且
a+
1
=7,求
1
a2
+
1
a2
及
1
a2
-
1
a2
的值.
a
解:设
1
a2
+
1
a2
=t,则
a+
1
+2=t2,即
t2=7+2=9.
a
由
a>0
知
1
a2
+
1
a2
=3,
设
1
a2
-
1
a2
=m,则
a+
1
-2=m2.即
m2=5.
a
所以 m=± 5 .
综上可知
1
a2
+
1
a2
=3,
1
a2
-
1
分数指数幂;二是由外向里化为分数指数幂.
即时训练 1-1:将下列根式化为分数指数幂的形式: (1)m2· m (m>0);
(2) m m (m>0);
解:(1)m2·
m
=m2·
1
m2
=
2 1
m2
=
5
m2
.
1
(2)
m
m=
1
mm2 =
3
m2
=

3
m2
2
3
= m4 .

(3) ab3 ab5 (a>0,b>0).
.
答案:-3
5.(根式的化简)已知 x>0,则 3 x x =
.
1
答案: x 2
课堂探究·素养提升
题型一 根式与指数幂的互化
【例 1】 用分数指数幂的形式表示下列各式:
(1) a a (a>0);(2) 3 a a (a>0);
名师导引:根式与分数指数幂的互化要求是什么?(①根指数↔分数指数的分母;②
1
1
解:(1)( x 2 + y 2 )2=x+y+2 xy =18.
1
1
所以 x 2 + y 2 =3 2 .
1
1
(2) x 2 - y 2 ;(3)x-y.
1
1
解:(2)( x 2 - y 2 )2=x+y-2 xy =6.
又 x<y,
1
1
所以 x 2 - y 2 =- 6 .
1
1
1
1
1
1
(3)x-y=( x 2 )2-( y 2 )2=( x 2 + y 2 )( x 2 - y 2 )=3
a2
=±
5.
方法技巧
条件求值问题的基本步骤是先找条件和所求之间的关系,然后进
行化简,最后代值运算,求值过程中要注意平方差公式、立方差公式以及一元二次方
程中根与系数关系的灵活应用.
即时训练 3-1:已知 a2x=
2
+1,求
a3x ax

a 3 x ax
的值.
解:令 ax=t,则 t2= 2 +1, 所以 a3x a3x = t 3 t 3
)(3
3
b2
)=
3
14
a6b3
.………………………………………12
分
2
2
方法技巧
进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数
幂,化小数为分数,化带分数为假分数进行运算,便于进行乘除、乘方、开
方运算,以达到化繁为简的目的.
即时训练 2-1:计算下列各式的值:
2
(1)1.

5
1 3
×(-
7
)0+80.25×
1
解:(3)原式=[
2 b 3
4
2
]3
=
b
23 14

2 3

=
1
b9
.

(4)法一 从外向里化为分数指数幂.
y2
x3 y6 3
=( y2
x3 y6 3
)
1 2
=[
y2
(
x3
3
y6
1
)2
1
]2
x y x3
x y x3
x y x3
={
y2
[
x3
(
y6
1
)3
]
1 2
4
2
+(
3
2
×
6
3 )6-
2 3 3
;
解:(1)原式=(
2
)
1 3
×1+(23)
1 4
×
1
24
+(
1
23
1
× 32
)6-(
2
)
1 3
=2+4×27=110.
3
3
7
(2) 3 a 2 a3 ÷ 3 a8 3 a15 ÷ 3 a3 a1 .
解:(2)原式=
3
7 3
a2a 2
÷
8 15
a 3a 3
÷
3
3 1
a 2a 2
7
= 3 a2 ÷ a 3 ÷ 3 a2
2
7
1
= a 3 ÷ a 6 ÷(a-2) 3
=
27
a3 6
÷
2
a3
=
a

1 2

2 3
=
1
a6
3
1
【备用例 1】 (2017·金安区高一期中)(1)化简 9 2 ×6 4 6 ÷30;
(2)化简(
1
)
}
1 2
x y x3
=(
y2
)
1 2
·(
x3
)
1 4
(
y6
1
) 12
x
y
x3
3
1
33
=
y
1
· x4 1
· y2 = x4 y2
1
31
5
= y4 .
x2 y4 x4 x4 y4
法二 从里向外化为分数指数幂.
1
y2
x
x3 3
y6
=
y x3
y2 x
x3 y6 3
y

x3

=
y2 x
规范解答:(3)原式=(-4a-2-1b-3+1)÷(12a-4b-2c)
=- 1 a b c =- -3-(-4) -2-(-2) -1 1 ac-1=- a .……………………………………9 分
3
3
3c
1
11
3
(4)原式=2 a 3 ÷(4 a6b6 )×(3 b 2 )
=(
1
11 1
a3 6b 6
3
3
(3) a2 a 2 .
1
1
a2 a 2
解:(3)由于
3
a2
-
3
a2
=(
1
a2
)3-(
1
a2
)3,
3
3
1 a2

1
a2
a

a1

1
a2
1
a 2

所以有 a2 a 2 =


1
1
1
1
a2 a 2
a2 a 2
=a+a-1+1
=7+1
=8.
6
a5
.
题型三 附加条件的幂的求值问题
【例 3】
已知
1
a2
+
1
a2
=3,求下列各式的值.
(1)a+a-1; (2)a2+a-2;
解:(1)将
1
a2
+
1
a2
=3
两边平方,
得 a+a-1+2=9,即 a+a-1=7. (2)将a+a-1=7两边平方,得a2+a-2+2=49, 所以a2+a-2=47.
的形式,即两者是等价的)
1.分数指数幂的概念
知识探究
n am
1
m
an 0
没有意义
探究
1:整数指数幂表示的是相同因式的连乘积,那么分数指数幂
m
an
能否理解为
m
n
个 a 相乘(a>0,m,n∈N*,且 n>1),该式有何规定?
m
答案:不能.分数指数幂是根式的另一种写法,规定 a n = n am .
=(1-a)(a-1)-1(-a)
1 4
=-(-a)
1 4
.
1
1
纠错:忽略了题中(-a) 2 有意义的条件,若(-a) 2 有意义,则-a≥0,故 a≤0.
1
正解:由(-a) 2 有意义,可知-a≥0,故 a≤0,
11
1
所以(1-a)[(a-1)-2(-a )2 ]2 =(1-a)[(a-1)-2] 2
2 ×(-
1
1
6 )=-3× 2 2 × 2 2 ×
1
32 =-6 3 .
题型四
1
易错辨析——忽略 a n有意义出错
11
【例 4】 化简:(1-a)[(a-1)-2(-a )2 ]2 .
11
错解:(1-a)[(a-1)-2(-a )2 ]2