多边形及其内角和

多边形及其内角和一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●了解多边形，多边形的对角线，正多边形等有关的概念；●掌握多边形内角和与外角和公式；●灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力。

重点难点：●重点：多边形内角和及外角和公式的灵活应用。

●难点：多边形内角和公式的推导；多边形内角和及外角和公式的应用。

学习策略：●通过把多边形转化为三角形体会转化思想在几何中的运用，探索多边形内角和公式，同时体会从特殊到一般的认识问题的方法。

二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

复习与知识回顾学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？（一）三角形的内角和等于，外角和是。

（二）三角形的一个等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角与它不相邻的任何一个内角。

（三）三角形任意两边大于第三边，三角形任意两边小于第三边。

知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习，请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。

课堂笔记或者其它补知识点一：多边形及有关概念（一）多边形的定义：在平面内，由一些线段相接组成的图形叫做多边形。

（1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条叫做多边形的边。

顶点：每相邻两条边的公共叫做多边形的顶点。

内角：多边形两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有个内角。

外角：多边形的边与它的邻边的组成的角叫做多边形的外角。

（2）在定义中应注意：①一些线段（多边形的边数是大于等于的正整数）；②首尾顺次相连，二者缺一不可；③理解时要特别注意“在同一内”这个条件，其目的是为了排除几个点不共面的情况，即空间多边形。

（二）多边形的分类：（1）多边形可分为多边形和多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为多边形，反之为多边形（见图1）。

本章所讲的多边形都是指多边形。

凸多边形凹多边形图1（2）多边形通常还以命名，多边形有n条边就叫做边形。

三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形。

知识点二：正多边形各个角都，各条边都的多边形叫做正多边形。

如正三角形、正方形、正五边形等。

正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释：、是正多边形的必备条件，二者缺一不可。

如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是___ _。

知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

如图2，为四边形ABCD 的一条对角线。

要点诠释：（1）从n边形一个顶点可以引条对角线，将多边形分成_ _个三角形。

（2）n边形共有__条对角线。

证明：过一个顶点有条对角线（n≥3的正整数），又∵共有个顶点，∴共有对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了次，∴凸n边形，共有条对角线。

知识点四：多边形的内角和公式n 。

（一）公式：n边形的内角和为__________(3)（二）公式的证明：证法1：在n边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成个三角形，这个三角形的内角和为，再减去一个角，即得到n边形的内角和为。

证法2：从n 边形一个顶点作对角线，可以作 条对角线，并且n 边形被分成 个三角形，这 个三角形内角和恰好是n 边形的 ，等于 。

证法3：在n 边形的一边上取一点与各个顶点相连，得 个三角形，n 边形内角和等于这 个三角形的内角和减去所取的一点处的一个 角的度数，即 。

要点诠释：（1）注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为 问题来解决的基础思想。

（2）内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数。

知识点五：多边形的外角和公式（1）公式：多边形的外角和等于 。

（2）多边形外角和公式的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是，所以n 边形的内角和加外角和为 ，外角和等于 。

注意：n 边形的外角和恒等于 ，它与边数的多少无关。

要点诠释：（1）外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数。

（2）多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n 边形的内角和等于 （n ≥3，n 是正整数），可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加 。

②多边形的外角和等于 ，与边数的多少无关。

☆知识点六：镶嵌的概念和特征（一）定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分 覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）。

这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。

（二）实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于 ；相邻的多边形有 。

（三）常见的一些正多边形的镶嵌问题：（1）用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为 。

（2）只用一种正多边形镶嵌地面对于给定的某种正多边形，怎样判断它能否拼成一个平面图形，且不留一点空隙？解决问题的关键在于正多边形的 的特点。

当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个 角 °时，就能铺成一个平面图形。

事实上，正n 边形的每一个内角为 ，要求k 个正n 边形各有一个内角拼于一点，恰好覆盖地面，这样360°＝ ，由此导出k ＝22－n n ＝2+ ，而k 是正整数，所以n 只能取 。

因而，用相同的正多边形地砖铺地面，只有正 角形、正方形、正 边形的地砖可以用。

注意：任意四边形的内角和都等于 。

所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。

（3）用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个 角”的问题。

例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌，见下图：又如，用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面，因为它们的交接处各角之和恰好为一个周角 。

类型一：多边形内角和及外角和定理应用例1．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？思路点拨：本题实际告诉了这个多边形的内角和是 。

解析：举一反三：☆【变式1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800°，求这个多边形的边数。

答案：【变式2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为2750°，求这个多边形的内角和是多少？答案：☆☆【变式3】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数。

答案：类型二：多边形对角线公式的运用例2．某校七年级六班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个班都进行一次比赛）。

你能算出一共需要进行多少场比赛吗？思路点拨：本题体现与体育学科的综合，解题方法参照多边形_________条数的求法，即多边形的对角线条数加上边数。

如图：六班五班四班三班二班一班举一反三：【变式1】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（ ）。

A ．6B ．7C ．8D ．9经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。

若有其它补充可填在右栏空白处。

答案：【变式2】一个十二边形有几条对角线。

解析：类型三：可转化为多边形内角和问题☆例3．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G 的度数。

21GF ED C B A思路点拨： 设法将这几个角转移到____________中，然后利用多边形内角和公式求解。

举一反三：【变式1】如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= 。

356421【变式2】如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F 的度数。

类型四：实际应用题☆例4．如图，一辆小汽车从P 市出发，先到B 市，再到C 市，再到A 市，最后返回P 市，这辆小汽车共转了多少度角？思路点拨：根据多边形的___________定理解决。

解析：举一反三：☆【变式1】如图所示，小亮从A 点出发前进10m ，向右转15°，再前进10m ，又向右转15°，…，这样一直走下去，当他第一次回到出发点时，一共走了 m 。

15︒15︒A【变式2】小华从点A 出发向前走10米，向右转36°，然后继续向前走10米，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A 吗？若能，当他走回点A 时共走了多少米？若不能，写出理由。

答案：类型五：镶嵌问题例5．分别画出用相同边长的下列正多边形组合铺满地面的设计图。

（1）正方形和正八边形；（2）正三角形和正十二边形；思路点拨：只要在拼接处各多边形的内角的和能构成一个周角，那么这些多边形就能作平面镶嵌。

举一反三：【变式1】分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④答案：【变式2】用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数应是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．8三、总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。

（一）内角和与边数成正比：边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少。

每增加一条边，内角的和就增加 （反过来也成立），且多边形的内角和必须是180°的 倍。

（二）多边形外角和恒等于 ，与边数的多少无关。

（三）多边形最多有 个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有 个钝角，最少没有钝角。

（四）在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合，运用方程思想是解决本节问题的常用方法。

（五）在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决。

三角形是一种基本图形，是研究复杂图形的基础，同时注意转化思想在数学中的应用。

总结规律和方法---强化所学认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。