《导数》课题：导数的应用(二)(2课时)
导数的应用教案
导数的应用教案导数的应用教案导数是微积分中的重要概念，它在解决实际问题中起着至关重要的作用。
本文将介绍一份导数的应用教案，帮助学生更好地理解导数的应用。
一、引言在学习导数之前，我们首先要明确导数的定义和意义。
导数表示函数在某一点的变化率，它可以帮助我们理解函数的斜率、速度、加速度等概念。
在实际应用中，导数可以用来解决各种问题，如求最值、判断函数的增减性、求曲线的切线等。
二、导数的计算方法在教学中，我们首先要教授学生导数的计算方法。
这包括求常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的导数。
通过具体的例子和计算过程，学生可以更好地理解导数的计算方法。
三、导数的几何意义导数不仅有计算上的意义，还有几何上的意义。
在这一部分，我们可以通过绘制函数图像，让学生观察导数和函数图像之间的关系。
例如，当导数为正时，函数图像是上升的；当导数为负时，函数图像是下降的。
通过这种方式，学生可以更好地理解导数的几何意义。
四、导数的应用举例在实际应用中，导数有广泛的应用。
在这一部分，我们可以给学生提供一些具体的例子，让他们应用导数解决实际问题。
例如，求函数的最值、判断函数的增减性、求曲线的切线等。
通过实际问题的解决，学生可以更好地理解导数的应用。
五、导数的局限性尽管导数在解决实际问题中有很大的作用，但它也有一定的局限性。
在这一部分，我们可以讨论导数的局限性，并引导学生思考如何克服这些局限性。
例如，当函数不可导时，我们如何处理？当函数存在间断点时，我们如何求导？通过这种思考，学生可以更全面地理解导数的应用。
六、总结与展望在教学结束时，我们要对导数的应用进行总结，并展望其在更高级的数学学科中的应用。
例如，导数在微分学、积分学、微分方程等领域中都有重要的应用。
通过对导数的应用的总结和展望，学生可以更好地理解导数的重要性和广泛性。
以上是一份导数的应用教案的大致内容。
通过这份教案，我们可以帮助学生更好地理解导数的应用，并培养他们运用导数解决实际问题的能力。
第4讲 第2课时 利用导数解决不等式恒(能)成立问题
求解不等式恒成立问题的方法 (1)构造函数分类讨论：遇到 f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般 采用作差法，构造“左减右”的函数 h(x)＝f(x)－g(x)或“右减左”的函数 u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足 h(x)min≥0 或 u(x)max≤0，将比较法的思想融 入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对 参数进行分类讨论． (2)分离函数法：分离函数法的主要思想是将不等式变形成一个一端是 参数 a，另一端是变量表达式 v(x)的不等式后，若 a≥v(x)在 x∈D 上恒成立， 则 a≥v(x)max；若 a≤v(x)在 x∈D 上恒成立，则 a≤v(x)min.
第四章 导数及其应用
第4讲 导数与函数的综合应用 第2课时 利用导数解决不等式恒(能)
成立问题
1
PART ONE
核心考向突破
考向一 恒成立问题
例 1 (2020·新高考卷Ⅰ节选)已知函数 f(x)＝aex－1－ln x＋ln a．若 f(x)≥1，求 a 的取值范围．
解 解法一：∵f(x)＝aex－1－ln x＋ln a， ∴f′(x)＝aex－1－1x，且 a>0. 设 g(x)＝f′(x)，则 g′(x)＝aex－1＋x12>0， ∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，即 f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，
解
(2)对于任意的 s，t∈[12，2]，都有 f(s)≥g(t)成立，等价于在[12，2]上， 函数 f(x)min≥g(x)max.
由(1)可知在[12，2]上，g(x)的最大值为 g(2)＝1. 在12，2 上，f(x)＝ax＋xln x≥1 恒成立等价于 a≥x－x2ln x 恒成立． 设 h(x)＝x－x2ln x，则 h′(x)＝1－2xln x－x， 令 φ(x)＝1－2xln x－x，φ′(x)＝－(2ln x＋3)，当 x∈[12，2]时，φ′(x)<0，
基本初等函数的导数(2)课时教学设计-高中数学人教版选择性必修第二册
教学目标： 会使用基本初等函数的导数公式求函数的导数，能利用导数解决实际问题.
教学重点：求基本初等函数的导数.
教学难点：基本初等函数的导数公式的应用.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
问题1上节课我们根据导数的定义求出了六个常用函数的导数，同学们还记得它们的导数是什么吗？
函数
导函数
追问1：在上述6个函数中，除第1个外，其余5个都是哪一类基本初等函数？
生：它们是幂函数.
追问2：你能发现它们的导数 与函数 之间的关系吗？
生：若 则
问题2还有哪些基本初等函数？它们的导数是什么？
生：指数函数、对数函数、三角函数.它们的导数也可以根据定义计算求得.
师：实际上，对于其它的基本初等函数，我们确实可以根据导数的定义求其导数的，但是由于我们目前的知识结构还不够完善，求导数的计算过程还有些困难，因此这些函数的导数我们直接给出，今后可以直接使用.
基本初等函数的导数公式
1.若 则
2.若 则
3.若 则
4.若 则
5.若 则
特别地，若 则
6.若 则
特别地，若 则
追问：这些公式有什么特点？
常值函数的导数是0.
幂函数的导数是将原来幂函数的幂指数提到前面作为幂的系数，再将原来的幂指数减1作为新的幂指数.
正弦函数的导数是余弦函数.
余弦函数的导数是负的正弦函数.
那么函数p(t)的导数怎么求？可否用f(t)和g(t)的导数来表示它们乘积的导数？这将是下一节课我们要讨论的主要问题.
例题小结：
（1）通过这三个例题，我们熟悉了运用基本初等函数导数公式求导数，求曲线的切线方程的方法，并通过关于指数函数求导的实际问题，体会了导数的实际应用.
导数在函数中应用(2)说课稿
第2课时《导数在函数中的应用》说课稿杭集中学杭圣平导数这一块内容的教学分为五个课时，第一课时导数的概念与几何意义；第二课时导数的基本运算；第三课时导数在研究函数中的运用（1）；第四课时导数在研究函数中的运用（2）；第五课时导数在实际问题中的应用。
一、说教材导数是高中数学新增内容，它在解决数学问题中起到工具的作用，其地位十分重要。
在近年来年的高考题都涉及这个知识点，主要用来解决与函数相关的一类问题，难度较大，涉及面广，如在研究函数单调性，讨论函数图象的变化趋势、求极值和最值、不等式恒成立等。
运用导数解决这类问题能化繁为简，起事半功倍的作用。
二、说教学目标通过本节课的学习让学生进一步建立利用导数解决与函数有关问题的意识。
并要掌握以下三个方面：第一：导数与函数单调性的关系，会求函数单调区间及参数取值范围。
第二：导数与函数的极值、极值与最值的关系，会求函数的极值，最值及参数范围。
第三：综合考查，将导数内容和传统内容，函数的单调性、不等式的恒成立，解析几何中距离相结合，提高学生分析问题解决问题的能力。
三、说教学方法多媒体教学与诱导法，在教学过程中与学生进行互动式教学四、说重点与难点在分析例题时，引导学生抓住重点，突破难点，提高分析问题和解决问题的能力，并要形成一定的经验，理解并掌握针对此类题目的常规解题思路。
本节课设计了三道例题，重点都放在导数在解决函数有关问题的应用上。
例1主要是从导数与函数单调性关系出发，找出不等式恒成立，通过分离变量或数形结合，解决有关的参数的范围。
例2则是导数在解析几何中的应用，在求距离的最小值时，从数的角度出发重点应放在函数构造及求函数值域上；若从形的角度出发重点应放在距离的转化上与切线方程求法上。
例3则是应用导数求含参数函数的极值与参数范围，重点在于熟练求极值方法。
解决这三个重点就要对导数的基础知识透彻理解。
例1和例2的难点都是问题的转化上。
如例1中将f(x)在区间I上单调递减转化为不等式恒成立；例2中求距离最小值时构造函数或转化为两平行线之间的距离这一步是最关键的，例3对题意的把握，对参数范围讨论及极大极小值的判断是关键，需要学生具备对导数与函数单调性、极值、最值关系的理解能力和分析问题简化问题的能力。
1.3.导数的实际应用-人教B版选修2-2教案
1.3. 导数的实际应用-人教B版选修2-2教案课时目标
1.理解导数在实际应用中的意义。
2.掌握导数在实际问题中的应用方法。
3.能够解决实际问题，掌握应用思路和方法。
课前预习
1.复习导数的定义和求导方法。
2.阅读课本p45-47，理解例题和思考题的解法方法。
课堂互动
活动一：实例解析
1.举例说明导数在物理学中的应用。
2.引导学生思考导数在其他领域中的应用。
3.通过互动讨论，巩固学生对导数实际应用的理解。
活动二：实际问题解决
1.给学生提供一个实际问题，如求函数y=x2在x=3处的切线方程。
2.引导学生分析问题，确定求解思路和方法。
3.学生自行解答，并互相交流和讨论答案的正确性。
课后作业
1.完成课后练习。
2.预习下一课时，了解导数的应用题型。
教学反思
导数的实际应用是高中数学中十分重要的一部分，通过实际问题的解决，可以帮助学生更深入地理解导数的含义和应用方法。
在教学中，要尽可能多地举例说明导数在不同领域中的应用，让学生充分感受到导数在实际生活中的重要性和实用性。
同时，也要引导学生思考和分析问题的能力，注重学生对问题的理解和推理能力的培养。
高中数学导数应用问题教案
高中数学导数应用问题教案
主题：导数的应用问题
教学目标：
1.了解导数的定义及其应用；
2.掌握常见的导数应用问题求解方法；
3.能够运用导数解决实际问题。
教学重点：
1.导数的定义及性质；
2.导数在实际问题中的应用。
教学难点：
1.如何将实际问题转化为导数问题求解；
2.如何运用导数解决各类应用问题。
教学准备：
1.教师准备相关教学资料和案例；
2.学生准备笔记和计算工具。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师用一个实际问题引入导数的应用，引导学生思考导数在解决实际问题中的作用。
二、概念讲解（10分钟）
1.复习导数的定义及性质；
2.介绍导数在实际问题中的应用，如最速下降问题、最大最小问题等。
三、案例分析（15分钟）
教师以实际问题为例，分析导数应用问题的解题思路和方法，并带领学生一起解决一些简单的案例。
四、练习与讨论（15分钟）
1.学生进行导数应用问题的练习，教师提供帮助和指导；
2.学生分组讨论解题过程，分享解题方法和经验。
五、总结（5分钟）
教师总结本节课的重点内容，强调导数在实际问题中的应用重要性。
六、作业布置（5分钟）
布置相关的导数应用问题作业，希望学生能够独立完成并加强对应用问题的理解和掌握。
教学反思：
通过本节课的教学，学生对导数的应用有了更深入的了解，同时也能够更加灵活地应用导数解决各类实际问题。
希望学生能够在课下多加练习，进一步提高解题能力和运用能力。
高中数学导数的应用教案
高中数学导数的应用教案
教学目标：学生能够理解导数的概念，掌握导数在实际问题中的应用，并能够运用导数解决相关问题。
教学重点和难点：掌握导数在实际问题中的应用。
教学准备：教师准备课件、实例题目，学生准备笔记本、笔。
教学过程：
一、导入（10分钟）
通过一个生活实例引入导数的概念，让学生初步了解导数在实际中的意义。
二、概念讲解（15分钟）
1. 温故导数的定义和性质；
2. 导数的应用领域；
3. 导数在实际问题中的意义和作用。
三、实例分析（20分钟）
教师通过实例问题，引导学生运用导数进行问题求解，如最值问题、速度问题等。
四、练习（15分钟）
让学生在课堂上进行练习题目，加深对导数应用的理解。
五、总结（10分钟）
通过讨论和总结，让学生掌握导数在实际问题中的应用方法，并复习导数的相关概念。
六、作业布置（5分钟）
布置相关作业，让学生巩固所学知识。
教学反思：
通过实例讲解和练习，能够有效帮助学生掌握导数在实际问题中的应用方法。
同时，通过讨论和总结，可以使学生更深入地理解导数的概念和性质。
《2.13导数的应用(Ⅱ)》 教案
适用学科 适用区域 知 识 点 数学 新课标 用导数处理恒成立问题 利用导数解决生活中的优化问题 1.能利用导数研究函数的单调性、极值或最值，并会解决与之有关的不等式问题． 2.会利用导数解决某些简单的实际问题. 用导数处理恒成立问题 用导数处理恒成立问题 适用年级 课时时长（分钟） 高三 60
)
21 / 34
x＋ 3 3 解析：选 B 2xln x≥－x2＋ax－3，则 a≤2ln x＋x＋x ，设 h(x)＝2ln x＋x＋x (x>0)，则 h′(x)＝
x－ x
2
.当 x∈
(0,1)时，h′(x)<0，函数 h(x)单调递减；当 x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数 h(x)单调递增，所以 h(x)min＝h(1)＝4.所以 a≤h(x)min ＝4.
7 / 34
【解析】 (1)依题意，知 f(x)的定义域为(0，＋∞)， 1 1 1 当 a＝b＝2时，f(x)＝ln x－4x2－2x， 1 1 1 －x＋2x－1 f′(x)＝x－2x－2＝ ， 2x 令 f′(x)＝0，解得 x＝1(x＝－2 舍去)． 当 0<x<1 时，f′(x)>0，此时 f(x)单调递增；当 x>1 时，f′(x)<0，此时 f(x)单调递减． 3 所以 f(x)的极大值为 f(1)＝－4. 3 又因为 f′(x)＝0 在(0，＋∞)上有唯一解，所以 f(x)的最大值为－4. a (2)由题意得 F(x)＝ln x＋ x，x∈(0,3]，则 x0 － a 1 k＝F′(x0)＝ x2 ≤2在 x0∈(0,3]上恒成立， 0 1 所以 a≥－2x2 0＋x0max，x0∈(0,3]． 1 1 1 当 x0＝1 时，－2x2 0＋x0 取得最大值 ，所以 a≥ . 2 2
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数在实际问题中的应用(二) 课件
3
2
课堂小结：
1、解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建 立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质， 提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数 往往是一个有利的工具。 2、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大 值、最小值的实际问题， 主要有以下几个方面：（1）、与几何有关的最值问题； （2）、与物理学有关的最值问题；（3）、与利润及其 成本有关的最值问题；（4）、效率最值问题。
4 3 S 3 S 3 h h 由①得 b= h,代入②,∴l= 3 h 3 h 3
S 3h h
S S S S l′= 3 2 =0,∴h= 4 , 当 h< 4 时，l′<0,h> 4 时，l′>0. h 3 3 3
24 3 S ∴h= 4 时，l 取最小值，此时 b= 3 3
解
即半径越大 利润越高 半径r 2时, f r 0,它表 , ; 示f r 单调递减 即半径越大 利润越低 , , . ① 半径为 cm时, 利润最小 这时f 2 0, 表示此种 2 , 瓶内饮料的利润还不够 瓶子成本 此时利润是负值 , .
'
当r 0,2时, f r 0;当r 2,6时, f r 0. ' 因此,当半径r 2时, f r 0,它表示f r 单调递增 ,
2
o
3
r
好相等;当r 3时, 利润才为正值. 当r 0,2时, f r 是减函数 你能 , 图1.4 4 解释它的实际意义吗 ? 通过此问题的解决我们很容易回答开始时 , 的问 题.请同学们自己作出回答 .
2013-4-2
练习 1.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在 确定断面尺寸时， 希望在断面 ABCD 的面积为定值 S 时，使得湿周 l=AB+BC+CD 最小，这样可使水流 阻力小，渗透少，求此时的高 h 和下底边长 b.
导数及其应用教案
导数及其应用教案一、导数的基本概念导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。
在计算机科学、物理学、经济学等领域，导数都具有广泛的应用。
在微积分中，函数f(x)在点x=a处的导数可以表示为f'(a)，它描述了函数在该点附近的局部行为。
导数可以通过两种方式计算：几何定义和算术定义。
1. 几何定义：导数可以理解为函数图像在某点的斜率，表示为$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$。
2. 算术定义：导数可以理解为函数在某点上的瞬时速度，表示为$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$。
二、导数的性质及计算方法导数具有以下几个重要的性质：1. 导数的可加性：若函数f(x)和g(x)都在某点上可导，那么它们的和f(x)+g(x)也在该点上可导，且导数满足$(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)$。
2. 导数的乘法规则：若函数f(x)和g(x)都在某点上可导，那么它们的乘积f(x)g(x)也在该点上可导，且导数满足$(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$。
3. 导数的链式法则：若函数y=f(g(x))可以分解为两个函数f(u)和g(x)，且它们在某点上可导，那么复合函数y也在该点上可导，并且满足$\frac{{dy}}{{dx}}=\frac{{dy}}{{du}}\cdot \frac{{du}}{{dx}}$。
计算导数的方法主要有以下几种：1. 利用基本函数的导数公式进行求导。
2. 利用导数的性质，例如可加性、乘法规则和链式法则，对复杂函数进行求导。
3. 利用导数的几何定义，通过极限的方法进行求导。
三、导数的应用导数在实际问题中有着广泛的应用，以下介绍几个常见的应用领域：1. 最优化问题：导数可以帮助我们找到函数的最大值和最小值。
数学高考复习名师精品教案：第97-99课时：第十三章 导数-导数的应用(2)
数学高考复习名师精品教案第97-99课时：第十三章 导数——导数的应用(2)课题：课题：导数的应用2：函数问题（3课时）导数与微分是在极限的基础上发展起来的研究变量的一个数学分支，是解决实际问题的重要的数学工具。
如求曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的最值以及不等式的证明等问题，均可以导数作为研究的工具，根据导数的意义进行求解和证明。
关于导数的应用，我们将分两个讲座研究，分别是函数问题和切线与速度的问题。
一、利用导数研究函数的单调性若函数()f x 在某个区间内可导，则当()0f x '>时，()f x 在此区间上为单调增函数；而当()0f x '<时，()f x 在此区间上为单调减函数。
利用上述性质，可以研究函数的单调性。
注意点：（1）同一函数的两个单调区间不能并起来（2）求函数的单调区间，求导的方法不是唯一的方法，也不一定是最好的方法，但它是一种一般性的方法。
二、利用导数求函数的最值求闭区间[],a b 上的可导函数的最大（小）值的方法是：首先求出此函数在开区间(),a b 内的驻点，然后计算函数在驻点与端点处的值，并将它们进行比较，其中最大的一个即为最大值，最小的一个即为最小值，这里无须对各驻点讨论其是否为极大（小）值点。
如果函数不在闭区间[],a b 上可导，那么求函数的最大（小）值时，不仅要比较此函数在各驻点与端点处的值，还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值。
一般地，求在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导的函数()f x 在闭区间[],a b 上最值的步骤为：⑴求()0f x '=在区间(),a b 内的根，即导数为0的点（不必确定它是极大值点还是极小值点），求出这些导数为0的点的函数值；⑵求()f x 在闭区间[],a b 两端点处的函数值，即()f a 与()f b ；⑶将导数为0的函数值与两端点处的函数值进行比较，其中最大的一个即为最大值，最小的一个即为最小值。
导数在研究函数中的应用(课时2 函数的极值)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
（1）对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号． 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
（2）对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为 或 在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
随堂检测·精评价
已知 ， 的图象如图所示．
1.函数 在 ， 上的单调性与导数的符号有何特点？
[答案] 在 上单调递增，其导数值大于零，在 上单调递减，其导数值小于零．
预学忆思
自主预习·悟新知
2.观察 的图象，在区间 内，函数值 有何特点？它是极大值吗？
巩固训练
（2） ．
[解析] 函数 的定义域为 ， 且 ， 令 ，解得 ． 当 变化时， 与 的变化情况如表所示：
+
0
-
↗
↘
故当 时，函数 取得极大值，且极大值为 ．
探究2 求含参函数的极值
例2 已知函数 ，求函数 的极值.
情境设置
合作探究·提素养
问题1：观察下列图形，函数 在 ， ， ， ， ， 等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？
[答案] 以 ， 两点为例，函数 在点 处的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都小，函数 在点 处的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都大.
D
[解析] 对 求导得 ，令 ，解得 ，易知 是函数 的极小值点．
4.已知函数 的极大值为10，则 的值为_____．
8
[解析] ，令 ，解得 ， ，经判断知 是极大值点，故 ，解得 ．
导数的应用课件
02
导数在函数中的应用
Chapter
函数的单调性
总结词
导数可以用于判断函数的单调性 ，通过导数的正负来判断函数在 某区间内的增减性。
详细描述
如果函数在某区间内的导数大于0 ，则函数在此区间内单调递增； 如果导数小于0，则函数在此区间 内单调递减。
函数的极值
总结词
导数可以用于求函数的极值，当导数 由正变为负或由负变为正时，函数在 此点取得极值。
06
导数在其他领域的应用
Chapter
在化学反应速率中的应用
总结词
导数在化学反应速率中的应用主要表现在反 应速率的计算和反应机理的研究上。
详细描述
在化学反应中，反应速率是描述反应快慢的 重要参数。通过导数的计算，可以精确地描 述反应速率随温度、压力、浓度等条件的变 化情况，进而研究反应的动力学特征和机理 。导数分析有助于深入理解化学反应的本质 ，为优化反应条件和提高产率提供理论支持 。
速度与加速度
速度
瞬时速度是物体在某一时刻或经过某一位置时的速度，它由物体运动的距离和时间的比值定义。导数可以用来计 算瞬时速度，通过求位移函数的导数，得到瞬时速度的表达式。
加速度
加速度是速度的变化率，表示物体运动的快慢和方向。导数可以用来计算加速度，通过求速度函数的导数，得到 加速度的表达式。
斜抛运动
05
导数在经济学中的应用
Chapter
边际分析
01
边际成本
导数可以用来计算边际成本，即生产某一数量的产品所需增加或减少的
成本。通过导数分析，企业可以确定生产某一数量的产品时，成本增加
或减少的速度。
02
边际收益
导数还可以用来计算边际收益，即销售某一数量的产品所增加或减少的
《 导数应用》全部教案
北师大版高中数学选修2-2第三章《 导数应用》全部教案扶风县法门高中 姚连省 §1 函数的单调性与极值第一课时 导数与函数的单调性（一）一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解函数单调性的概念；⑵会判断函数的单调性，会求函数的单调区间。
2、过程与方法：⑴通过具体实例的分析，经历对函数平均变化率和瞬时变化率的探索过程；⑵通过分析具体实例，经历由平均变化率及渡到瞬时变化率的过程。
3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。
二、教学重点：函数单调性的判定 教学难点：函数单调区间的求法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． （二）．新课探究1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动 2() 4.9 6.510h t t t =-++中高度h 随时间t 变化的函数的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图 像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入 水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<． 2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数'()f x表示函数()f x在点00(,)x y处的切线的斜率．在x x=处，'()0f x>，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x在x附近单调递增；在1x x=处，'()0f x<，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x在1x附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b内，如果'()0f x>，那么函数()y f x=在这个区间内单调递增；如果'()0f x<，那么函数()y f x=在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x=，那么函数()y f x=在这个区间内是常函数．3．求解函数()y f x=单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x=的定义域；（2）求导数''()y f x=；（3）解不等式'()0f x>，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x<，解集在定义域内的部分为减区间．（三）．典例探析例1、已知导函数'()f x的下列信息：当14x <<时，'()0f x >； 当4x >，或1x <时，'()0f x <； 当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减； 当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示． 例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =-- （3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+ 解：（1）因为3()3f x x x =+，所以，'22()333(1)0f x x x =+=+> 因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增； 当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减； 函数2()23f x x x =--的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-< 因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示． （4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以．当'()0f x>，即时，函数2()23f x x x=--；当'()0f x<，即时，函数2()23f x x x=--；函数32()23241f x x x x=+-+的图像如图3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C→→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数()y f x=在()0,b或(),0a内的图像“陡峭”，在(),b+∞或(),a-∞内的图像“平缓”．例4、求证：函数3223121y x x x=+-+在区间()2,1-内是减函数．证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x=+-=+-=-+当()2,1x ∈-即21x -<<时，'0y <，所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤：（1）求导函数()'f x ；（2）判断()'f x 在(),a b 内的符号；（3）做出结论：()'0f x >为增函数，()'0f x <为减函数． （四）．课堂练习：课本P59页练习1（1）；2（五）．回顾总结：（1）函数的单调性与导数的关系；（2）求解函数()y f x =单调区间；（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性（六）．布置作业：课本P62页习题3-1A 组1、2 五、教后反思：第二课时 导数与函数的单调性（二）一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解函数单调性的概念；⑵会判断函数的单调性，会求函数的单调区间。
导数应用ppt课件
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第二章 函数、导数及其应用
x
(－3，－2) －2
－2，23
2 3
23，1
f′(x)
＋0－0 Nhomakorabea＋
f(x)
极大值
极小值
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第二章 函数、导数及其应用
∴f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝13，在x＝ 23 处取得极小值 f32＝9257，又f(－3)＝8，f(1)＝4，
∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9257.
令1－2sin x＝0，且x∈0，π2时，x＝π6，
当x∈0，π6时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈π6，π2时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，
∴f(x)max＝fπ6.故选B.
答案： B
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第二章 函数、导数及其应用
4．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数， 则a的最大值是________． 解析： f′(x)＝3x2－a在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0， 则f′(1)＝0⇒a＝3. 答案： 3
由原点到切线 l 的距离为 1100，则 3|m2＋| 1＝ 1100，
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第二章 函数、导数及其应用
解得m＝±1. ∵切线l不过第四象限，∴m＝1. 由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4.∴1＋a＋b＋c＝4， ∴c＝5. (2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4. 令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝ . 当x变化时，f(x)和f′(x)的变化情况如下表：
因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，
即对任意实数x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－
人教版高中选修(B版)2-21.3.3导数的实际应用教学设计 (2)
人教版高中选修(B版)2-21.3.3 导数的实际应用教学设计一、教学目标1.了解导数的基本概念和求导方法；2.理解导数在实际应用中的意义和作用；3.能够运用导数解决实际问题。
二、教学内容1.导数的概念和求导方法；2.导数在实际应用中的意义和作用；3.导数的实际应用举例。
三、教学方法1.讲授法：通过课堂讲授掌握基础概念和求导方法；2.问题导入法：通过引入实际问题导入，引发学生的兴趣并加深对导数的理解；3.分组探究法：通过分组合作，团队合作解决实际问题，增强合作意识，培养实际解决问题的能力；4.讨论法：通过讨论，深化对导数在实际应用中的理解。
四、教学重点和难点1.教学重点：导数的概念和求导方法，导数在实际应用中的意义和作用；2.教学难点：如何运用导数解决实际问题。
五、教学过程设计1. 导入（5分钟）通过引入实际问题，如汽车行驶中的加速度、弹簧自由振动等，引发学生对导数的兴趣，加深对导数的理解。
2. 讲授导数的概念和求导方法（10分钟）讲解导数的概念，刻画导数的几何意义，讲解导数的计算方法。
3. 分组探究导数的实际应用（20分钟）将学生分成小组，每组给出一个实际应用问题，让学生通过合作讨论，解决问题并展示给所有的学生，其他学生需要提出问题或建议。
例如：问题1：假如车速仪表是恒定的，用车速仪表中的读数作为车速，那么误差大小是多少？司机行驶一辆车，要求计算车速仪表的误差大小。
问题2：山顶上的标准重力加速度为9.8m/s2，端点高度为3000m的斜面为直角三角形，一铅球从山顶垂直落下并在斜面上滚动，求铅球运动学参数。
4. 讨论导数在实际应用中的作用（10分钟）通过讨论，总结导数在实际应用中的作用，如加速度的概念和计算、最大值和最小值的求解、曲线切线问题的求解等。
5. 总结与展望（5分钟）总结本节课的内容和重点，展望下节课的教学内容和目标。
六、教学反思通过本节课的设计，使学生加深了对导数的理解，并掌握了求导的方法。
人教版高二《导数的应用》数学教案
人教版高二《导数的应用》数学教案【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了人教版高二«导数的运用»数学教案，希望能给大家带来协助!第三章导数运用3.1 函数的单调性与极值3.1.1 导数与函数的单调性学习目的：1、了解导数正、负与函数单调性之间的关系;2、能应用导函数确定函数的单调区间重点、难点：应用导函数求单调性自主学习(1) 对恣意，有，那么在区间内(2) 对恣意，有，那么在区间内协作探求资源网例1、确定函数在哪个区间上是增函数，哪个区间上是减函数?例2、确定函数在哪些区间上是增函数。
例3、确定函数的单调区间。
例4、证明：当时，有。
练习反应1、确定以下函数的单调区间(1) (2)2、讨论函数的单调性：(1)(2)(3)3、用导数证明：(1) 在区间上是增函数;3.1.2 函数的极值学习目的：1、掌握函数极值点的定义与求解步骤;2、体会导数方法在研讨函数性质中的普通性与有效性。
重点、难点：应用导数求极大、极小值自主学习1、极大值2、极小值3、极值与导数之间的关系：(1)极大值与导数的关系：左侧右侧增加(2)极小值与导数的关系：左侧增加极小值添加例1、求函数的极值。
例2、求函数的极值。
练习反应1、求以下函数的极值：2、设函数有极小值、极大值，一定小于吗?试作图说明。
3、作出契合以下条件的函数图像(1) 时，时， ;3.2 导数在实践效果中的运用3.2.1 实践效果中导数的意义学习目的：1、掌握解运用题的思绪与方法，能剖析出变量间的关系，树立起函数模型，确定自变量的定义域。
2、能用导数的知识对实践效果求解。
重点、难点：1、树立起函数模型，确定自变量的定义域。
2、用导数的知识对实践效果求解自主学习解运用题的思绪与方法：1、审题：了解题意，剖析效果的主要关系2、建模：3、求解：求得数学效果的解4、反应：例1、在边长为60厘米的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底铁皮箱，箱底边长为多少时，箱子容积最大?最大容积是多少?例2、某种圆柱形的饮料罐的容积一定时，如何确定它的高与底半径，使得所用资料最省?例3、在平面直角坐标系内，过点(1，4)引不时线，使它与两坐标轴上的截距都为正，且两截距之和最小，求这条直线的方程。
【教案】校级公开课--导数的应用(教案)
《导数的应用》教学设计开课班级：高二（1）开课教师：教学设计背景本节是高中数学人教A版选修2-2第一章“导数在研究函数中的应用”内容基础上，进一步拓展延伸应用的内容。
导数除了在函数的单调性及函数的极值、最值等方面应用外，还可以应用于探究函数的零点或方程的解问题，以及应用于不等式证明问题，既灵活多变，又具有一定的综合能力要求，基于教材和学生知能背景及前期教学状况，相应作此导数的应用教学设计，以帮助学生进一步树立联系的观点利用导数处理问题的意识．学情分析学生前期已经学习导数在研究函数中的应用等内容，体会了导数的思想，初步感受了导数应用价值，初步具备了利用导数处理问题的意识和能力。
教学目标通过变式教学过程，用联系的观点，进一步探究导数在方程实根(或函数零点)问题、不等式问题、函数的极值或最值问题中的应用，培养运用函数与方程、化归与转化、数形结合及分类讨论等数学思想方法解决问题的能力。
培养学生综合思考问题的能力，以及克服困难解决问题的信心与毅力。
教学重点、难点重点应用导数导数在方程实根(或函数零点)问题、不等式问题、函数的极值或最值问题中的应用难点利用联系的观点，运用函数与方程、化归与转化、数形结合及分类讨论等数学思想解决问题教法变式教学、学生探究、引导讲授教学用具：多媒体教学过程一、复习回顾知识点一：导数的几何意义函数y=f (x) 在点x0导数的几何意义，就是曲线y=f (x) 在点P(x, f(x))处的切线的斜率，曲线y=f (x) 在P (x0, f (x))处的切线方程为y－y=f′(x) (x－x)知识点二：函数的单调性当函数y=f(x)在某个区间(),a b 内可导如果'()0f x >，则函数y=f(x)在这个区间上为增函数；如果'()0f x <，则函数y=f(x)在这个区间上为减函数．知识点三：函数的极值对于可导函数f(x)判断其极值的方法为如果在0x 附近的左侧'()0f x >，右侧'()0f x <，那么，0()f x 是极大值；如果在0x 附近的左侧'()0f x <，右侧'()0f x >，那么，0()f x 是极小值.知识点四：函数的最值闭区间[a ，b]上连续函数f(x)必有最大值与最小值，其求法为：○1求函数f(x)在(a ，b)内的极值；○2将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
导数的应用 教案
导数的应用教案教案标题：导数的应用教案目标：1. 理解导数的概念及其在数学中的应用；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够运用导数解决实际问题。
教案步骤：1. 引入导数的概念（10分钟）a. 通过简单的图形和实例引导学生思考函数的变化率；b. 解释导数的定义：导数表示函数在某一点的变化率，即函数曲线在该点的切线斜率。
2. 计算导数的方法（15分钟）a. 回顾求导法则，包括常数法则、幂法则、和差法则、乘积法则和商法则；b. 通过例题演示如何应用这些法则计算导数；c. 强调使用导数的基本运算规则简化计算过程。
3. 导数在函数图像上的应用（15分钟）a. 解释导数与函数图像的关系：导数为正表示函数递增，导数为负表示函数递减，导数为零表示函数存在极值点；b. 引导学生通过观察函数图像，确定函数在不同区间上的增减性和极值点。
4. 导数在最优化问题中的应用（20分钟）a. 介绍最优化问题的概念：通过求解导数为零的方程确定函数的最大值或最小值；b. 通过实际问题（如最大面积、最小成本等）引导学生运用导数解决最优化问题；c. 提醒学生在解决问题时考虑边界条件和实际意义。
5. 实践应用练习（20分钟）a. 提供一些练习题，包括计算导数、分析函数图像和解决最优化问题；b. 鼓励学生独立解答，并提供必要的指导和帮助；c. 针对学生容易出错的地方进行重点讲解和澄清。
6. 总结与反思（10分钟）a. 总结导数的应用领域和方法；b. 鼓励学生分享他们在实践应用中的体验和困惑；c. 解答学生提出的问题，并给予必要的指导和建议。
教案评估：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度；2. 练习题表现：评估学生在实践应用练习中的解题能力；3. 反馈问答：通过回答学生的问题，评估他们对导数应用的理解程度。
教案扩展：1. 深入研究导数的几何意义和物理应用；2. 引导学生进行导数的相关研究项目，如导数在经济学、工程学等领域的应用；3. 探索更高阶导数的概念和应用。
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天津市宁河区潘庄中学 教学学案
高三数学学案 第02周第07－08次 课题：导数的应用（二）（2课时 总048课时）
备课时间：2016年9月2日 主备课人：苏永明 检查人：苏永明 上课时间： 年 月 日
知识与技能：利用导数解决含参函数的单调区间
过程与方法：通过实例，探索并掌握导数的应用，提高数学运算、分析能力
情感态度与价值观：充分感受数学是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应
用于现实生活的，提高学习的兴趣。
会利用导数解决含参函数的单调区间
题型三：求含参函数的单调区间问题
1、已知函数1634)(2
2
3
-+-+=t x t tx x x f ，R x ∈，其中t R ∈．（Ⅰ）当1t =时，求曲线()
y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；
2、已知函数1,ln )1(2
1)(2
>-+-=a x a ax x x f 讨论函数)(x f 的单调性
综合练习： 1、已知()133
223
+--=x ax x x f ，()R a ∈若()x f 在()1,1-上为减函数，a 的范围________
2、设函数x x x f ln 22
1)(2
-=，则函数)(x f 的单调减区间为_____________
3、已知函数()()()2,1ln 2≠∈++-=a R a x ax x x f 且在其定义域上为增函数时，求a 的取值范围。