辽宁省实验中学分校高一数学上学期期末考试试题

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2014-2015年辽宁省实验中学分校高一上学期数学期末试卷(解析版)

2014-2015年辽宁省实验中学分校高一上学期数学期末试卷(解析版)

2014-2015学年辽宁省实验中学分校高一(上)期末数学试卷一、选择题:(每题5分,共计60分)1.(5.00分)集合A={y|y=x+1,x∈R},B={y|y=2x,x∈R},则A∩B等于()A.(0,+∞)B.{0,1}C.{1,2}D.{(0,1),(1,2)}2.(5.00分)已知函数y=的定义域为()A.(﹣∞,1]B.(﹣∞,21]C.(﹣∞,﹣)∩(﹣,1] D.(﹣∞,﹣)∪(﹣,1]3.(5.00分)点M(﹣3,5,2)关于y轴对称点坐标为()A.(3,﹣5,﹣2) B.(3,5,﹣2)C.(﹣3,﹣5,﹣2)D.(3,﹣5,2)4.(5.00分)若直线mx+y﹣1=0与直线x﹣2y+3=0平行,则m的值为()A.B.C.2 D.﹣25.(5.00分)两圆x2+y2﹣1=0和x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.外离6.(5.00分)三个数20.3,0.32,log0.32的大小顺序是()A.0.32<log0.32<20.3B.0.32<20.3<log0.32C.log0.32<20.3<0.32D.log0.32<0.32<20.37.(5.00分)函数的零点所在的区间是()A. B.(﹣1,0)C. D.(1,+∞)8.(5.00分)一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形OA′B′C′的面积为,则原梯形的面积为()A.2 B.C.2 D.49.(5.00分)已知互不相同的直线l,m,n与平面α,β,则下列叙述错误的是()A.若m∥l,n∥l,则m∥n B.若m∥α,n∥α,则m∥nC.若m⊥α,m∥β,则α⊥βD.若m⊥β,α⊥β,则m∥α或m⊂α10.(5.00分)已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点.AB=2,∠ASC=∠BSC=45°,则棱锥S﹣ABC的体积为()A.B.C.D.11.(5.00分)f(x)=,若f(a2﹣4a)+f(3)>4,则a的取值范围是()A.(1,3) B.(0,2) C.(﹣∞,0)∪(2,+∞)D.(﹣∞,1)∪(3,+∞)12.(5.00分)函数f(x)的定义域为D,若满足①f(x)在D内是单调函数,②存在[m,n]⊆D,使f(x)在[m,n]上的值域为,那么就称y=f(x)为“好函数”.现有f(x)=log a(a x+k),(a>0,a≠1)是“好函数”,则k的取值范围是()A.(0,+∞)B.C. D.二、填空题:(每小题5分,共20分)13.(5.00分)过点(1,2)且与直线3x+4y﹣5=0垂直的直线方程.14.(5.00分)长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是.15.(5.00分)直线y=k(x﹣1)+2与曲线x=有且只有一个交点,则k的取值范围是.16.(5.00分)设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出四个命题:①c=0时,y=f(x)是奇函数;②b=0,c>0时,方程f(x)=0只有一个实数根;③y=f(x)的图象关于(0,c)对称;④方程f(x)=0至多有两个实数根;上述命题中正确的命题的序号是.三、解答题:(共70分)17.(10.00分)已知集合A={x|3≤x<6},B={x|2<x<9}(1)求∁R(A∩B);(2)已知C={x|a﹣1<x<2a+1},若C⊆B,求实数a的取值集合.18.(12.00分)已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x ﹣1被该圆所截得的弦长为2,求圆C的标准方程.19.(12.00分)如图所示的三个图中,左边的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图.另外两个是它的正视图和左视图(单位:cm)(Ⅰ)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;(Ⅱ)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;(Ⅲ)在所给直观图中连结BC′,证明:BC′∥面EFG.20.(12.00分)已知⊙O:x2+y2=1和定点A(2,1),由⊙O外一点P(a,b)向⊙O引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|=|PA|.(1)求实数a,b间满足的等量关系;(2)求线段PQ长的最小值;(3)若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点,试求半径最小值时⊙P的方程.21.(12.00分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=BC=CC1,AC⊥BC,点D 是AB的中点.(1)求证:CD⊥平面A1ABB1;(2)求证:AC1∥平面CDB1;(3)线段AB上是否存在点M,使得A1M⊥平面CDB1.22.(12.00分)已知函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上为增函数.(1)求m的值,并确定f(x)的解析式;(2)若g(x)=log a[f(x)﹣ax](a>0且a≠1),是否存在实数a,使g(x)在区间[2,3]上的最大值为2,若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由.2014-2015学年辽宁省实验中学分校高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:(每题5分,共计60分)1.(5.00分)集合A={y|y=x+1,x∈R},B={y|y=2x,x∈R},则A∩B等于()A.(0,+∞)B.{0,1}C.{1,2}D.{(0,1),(1,2)}【解答】解:∵集合A={y|y=x+1,x∈R}=R=(﹣∞,+∞),B={y|y=2x,x∈R}={y|y >0 }=(0,+∞),故A∩B=(﹣∞,+∞)∩(0,+∞)=(0,+∞),故选:A.2.(5.00分)已知函数y=的定义域为()A.(﹣∞,1]B.(﹣∞,21]C.(﹣∞,﹣)∩(﹣,1] D.(﹣∞,﹣)∪(﹣,1]【解答】解:由题意可得∴∴函数的定义域为(﹣∞,)∪(﹣故选:D.3.(5.00分)点M(﹣3,5,2)关于y轴对称点坐标为()A.(3,﹣5,﹣2) B.(3,5,﹣2)C.(﹣3,﹣5,﹣2)D.(3,﹣5,2)【解答】解:∵在空间直角坐标系中,点M(﹣3,5,2)关于y轴对称,∴其对称点为:(3,5,﹣2).故选:B.4.(5.00分)若直线mx+y﹣1=0与直线x﹣2y+3=0平行,则m的值为()A.B.C.2 D.﹣2【解答】解:∵直线mx+y﹣1=0与直线x﹣2y+3=0平行∴它们的斜率相等∴﹣m=∴m=﹣故选:B.5.(5.00分)两圆x2+y2﹣1=0和x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.外离【解答】解:圆x2+y2﹣1=0表示以O1(0,0)点为圆心,以R1=1为半径的圆;圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0表示以O2(2,﹣1)点为圆心,以R2=3为半径的圆;∵|O1O2|=∴R2﹣R1<|O1O2|<R2+R1,∴圆x2+y2﹣1=0和圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0相交故选:B.6.(5.00分)三个数20.3,0.32,log0.32的大小顺序是()A.0.32<log0.32<20.3B.0.32<20.3<log0.32C.log0.32<20.3<0.32D.log0.32<0.32<20.3【解答】解:∵20.3>1,0<0.32<1,log0.32<0,∴log0.32<0.32<20.3,故选:D.7.(5.00分)函数的零点所在的区间是()A. B.(﹣1,0)C. D.(1,+∞)【解答】解:因为函数,(x>0)f()=ln+=﹣1+<0,f(1)=ln1+=>0,∴f()f(1)<0,根据零点定理可得,∴函数的零点所在的区间(,1),故选:C.8.(5.00分)一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形OA′B′C′的面积为,则原梯形的面积为()A.2 B.C.2 D.4【解答】解:如图,有斜二测画法原理知,平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的,不一样的是两个梯形的高,其高的关系是这样的:平面图中的高OA是直观图中OA'长度的2倍,如直观图,OA'的长度是直观图中梯形的高的倍,由此平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的2×=2倍,故其面积是梯形OA′B′C′的面积2倍,梯形OA′B′C′的面积为,所以原梯形的面积是4.故选:D.9.(5.00分)已知互不相同的直线l,m,n与平面α,β,则下列叙述错误的是()A.若m∥l,n∥l,则m∥n B.若m∥α,n∥α,则m∥nC.若m⊥α,m∥β,则α⊥βD.若m⊥β,α⊥β,则m∥α或m⊂α【解答】解:若m∥l,n∥l,则由平行公理得m∥n,故A正确;若m∥α,n∥α,则m与n相交、平行或异面,故B错误;若m⊥α,m∥β,则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β,故C正确;若m⊥β,α⊥β,则由平面与平面垂直的性质得m∥α或m⊂α,故D正确.故选:B.10.(5.00分)已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点.AB=2,∠ASC=∠BSC=45°,则棱锥S﹣ABC的体积为()A.B.C.D.【解答】解:如图:由题意球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点.AB=2,∠ASC=∠BSC=45°,求出SA=AC=SB=BC=2,∠SAC=∠SBC=90°,所以平面ABO与SC垂直,则=V C﹣AOB+V S﹣AOB,进而可得:V S﹣ABC所以棱锥S﹣ABC的体积为:=.故选:C.11.(5.00分)f(x)=,若f(a2﹣4a)+f(3)>4,则a的取值范围是()A.(1,3) B.(0,2) C.(﹣∞,0)∪(2,+∞)D.(﹣∞,1)∪(3,+∞)【解答】解:∵f(x)=,∴f(3)=17,若f(a2﹣4a)+f(3)>4,则f(a2﹣4a)>﹣13…①,当x≥0时,f(x)=x2+2x+2为增函数,此时f(x)≥2恒成立,当x<0时,f(x)=﹣x2+2x+2为增函数,令﹣x2+2x+2=﹣13,解得x=﹣3,或x=5(舍去),由①得:a2﹣4a>﹣3,即a2﹣4a+3>0,解得:a∈(﹣∞,1)∪(3,+∞),故选:D.12.(5.00分)函数f(x)的定义域为D,若满足①f(x)在D内是单调函数,②存在[m,n]⊆D,使f(x)在[m,n]上的值域为,那么就称y=f(x)为“好函数”.现有f(x)=log a(a x+k),(a>0,a≠1)是“好函数”,则k的取值范围是()A.(0,+∞)B.C. D.【解答】解:因为函数f(x)=log a(a x+k),(a>0,a≠1)在其定义域内为增函数,则若函数y=f(x)为“好函数”,方程必有两个不同实数根,∵,∴方程t2﹣t+k=0有两个不同的正数根,.故选:C.二、填空题:(每小题5分,共20分)13.(5.00分)过点(1,2)且与直线3x+4y﹣5=0垂直的直线方程4x﹣3y+2=0.【解答】解:∵直线3x+4y﹣5=0的斜率为,∴与之垂直的直线的斜率为,∴所求直线的方程为y﹣2=(x﹣1)化为一般式可得4x﹣3y+2=0故答案为:4x﹣3y+2=014.(5.00分)长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是50π.【解答】解:长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一个球面上,所以长方体的对角线就是球的直径,长方体的对角线为:,所以球的半径为:;则这个球的表面积是:=50π.故答案为:50π.15.(5.00分)直线y=k(x﹣1)+2与曲线x=有且只有一个交点,则k的取值范围是[1,3).【解答】解:由题意可知:曲线方程表示一个在y轴右边的单位圆的一半,则圆心坐标为(0,0),圆的半径r=1,画出相应的图形,如图所示:直线y=k(x﹣1)+2,恒过(1,2),由图形过(1,2),(0,1)的直线的斜率为﹣1;过(1,2),(0,﹣1)的直线的斜率为3.综上,直线与曲线只有一个交点时,k的取值范围为[1,3).故答案为:[1,3).16.(5.00分)设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出四个命题:①c=0时,y=f(x)是奇函数;②b=0,c>0时,方程f(x)=0只有一个实数根;③y=f(x)的图象关于(0,c)对称;④方程f(x)=0至多有两个实数根;上述命题中正确的命题的序号是①②③.【解答】解:①c=0,f(x)=x|x|+bx,f(﹣x)=﹣x|﹣x|+b(﹣x)=﹣f(x),故①正确②b=0,c>0,f(x)=x|x|+c=令f(x)=0可得,故②正确③设函数y=f(x)上的任意一点M(x,y)关于点(0,c)对称的点N(x′,y′),则.代入y=f(x)可得2c﹣y′=﹣x′|﹣x′|﹣bx′+c⇒y′=x′|x′|+bx′+c故③正确④当c=0,b=﹣2,f(x)=x|x|﹣2x=0的根有x=0,x=2,x=﹣2故④错误故答案为:①②③三、解答题:(共70分)17.(10.00分)已知集合A={x|3≤x<6},B={x|2<x<9}(1)求∁R(A∩B);(2)已知C={x|a﹣1<x<2a+1},若C⊆B,求实数a的取值集合.【解答】解:(1)因为A={x|3≤x<6},B={x|2<x<9}所以A∩B={x|3≤x<6},故∁R(A∩B)={x|x<3或x≥6}.(2)当a﹣1≥2a+1,即a≤﹣2时,C=∅,显然符合题意,当a﹣1<2a+1即a>﹣2时,由题意得,解得3≤a≤4.故此时3≤a≤4为所求.综上,所求a的集合是{a|a≤﹣2或3≤a≤4}.18.(12.00分)已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x ﹣1被该圆所截得的弦长为2,求圆C的标准方程.【解答】解:设圆心的坐标为C(a,0),a>0,由题意可得圆的半径r==|a ﹣1|,圆心到直线直线l:y=x﹣1的距离d=.由弦长公式可得(a﹣1)2=+,解得a=3,或a=﹣1(舍去),故半径等于2,故圆的方程为(x﹣3)2+y2=4.19.(12.00分)如图所示的三个图中,左边的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图.另外两个是它的正视图和左视图(单位:cm)(Ⅰ)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;(Ⅱ)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;(Ⅲ)在所给直观图中连结BC′,证明:BC′∥面EFG.【解答】解:(Ⅰ)如图,画出该多面体的俯视图如下:(Ⅱ)所求多面体体积:V=V长方体﹣V正三棱锥==.(Ⅲ)证明:在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中,连结AD',则AD'∥BC'.因为E,G分别为AA',A'D'中点,所以AD'∥EG,从而EG∥BC'.又BC'⊄平面EFG,所以BC'∥面EFG.20.(12.00分)已知⊙O:x2+y2=1和定点A(2,1),由⊙O外一点P(a,b)向⊙O引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|=|PA|.(1)求实数a,b间满足的等量关系;(2)求线段PQ长的最小值;(3)若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点,试求半径最小值时⊙P的方程.【解答】解:(1)连接OQ,∵切点为Q,PQ⊥OQ,由勾股定理可得PQ2=OP2﹣OQ2.由已知PQ=PA,可得PQ2=PA2,即(a2+b2)﹣1=(a﹣2)2+(b﹣1)2.化简可得2a+b﹣3=0.(2)∵PQ====,故当a=时,线段PQ取得最小值为.(3)若以P为圆心所作的⊙P 的半径为R,由于⊙O的半径为1,∴|R﹣1|≤PO ≤R+1.而OP===,故当a=时,PO取得最小值为,此时,b=﹣2a+3=,R取得最小值为﹣1.故半径最小时⊙P 的方程为+=.21.(12.00分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=BC=CC1,AC⊥BC,点D 是AB的中点.(1)求证:CD⊥平面A1ABB1;(2)求证:AC1∥平面CDB1;(3)线段AB上是否存在点M,使得A1M⊥平面CDB1.【解答】证明:(Ⅰ)∵AC=BC,AC⊥BC,点D是AB的中点.∴CD=AB,由勾股定理可得CD⊥AB,又∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥CD,且AB∩AA1=A,∴CD⊥平面A1ABB1;(Ⅱ)连结BC1,设BC1与B1C的交点为E,连结DE.∵三棱柱ABC﹣A1B1C1,CC1⊥底面ABC,CC1=BC=2,∴四边形BCC1B1为正方形.∴E为BC1中点.∵D是AB的中点,∴DE∥AC1.∵DE⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1,∴AC1∥平面CDB1.(Ⅲ)存在点M为B,证明如下:由(Ⅰ)知CD⊥平面A1ABB1,又A1B⊂A1ABB1,∴CD⊥A1B,∵AC=BC=CC1,AC⊥BC,点D是AB的中点.∴设1=C=BC=CC1,以C为原点,以CA,CB,CC1分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,则A1(1,0,1),B(0,1,0),B1(0,1,1),D(,,0),∴=(﹣1,1,﹣1),=(,﹣,﹣1),∴•=0,∴A1B⊥B1D,又CD∩B1D=D,∴A1B⊥平面CDB1.从而得证.22.(12.00分)已知函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上为增函数.(1)求m的值,并确定f(x)的解析式;(2)若g(x)=log a[f(x)﹣ax](a>0且a≠1),是否存在实数a,使g(x)在区间[2,3]上的最大值为2,若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)由函数在(0,+∞)上为增函数,得到﹣2m2+m+3>0解得,又因为m∈Z,所以m=0或1.又因为函数f(x)是偶函数当m=0时,f(x)=x3,不满足f(x)为偶函数;当m=1时,f(x)=x2,满足f(x)为偶函数;所以f(x)=x2;(2),令h (x )=x 2﹣ax ,由h (x )>0得:x ∈(﹣∞,0)∪(a ,+∞) ∵g (x )在[2,3]上有定义,∴0<a <2且a ≠1,∴h (x )=x 2﹣ax 在[2,3]上为增函数. 当1<a <2时,g (x )max =g (3)=log a (9﹣3a )=2,因为1<a <2,所以.当0<a <1时,g (x )max =g (2)=log a (4﹣2a )=2, ∴a 2+2a ﹣4=0,解得,∵0<a <1,∴此种情况不存在, 综上,存在实数,使g (x )在区间[2,3]上的最大值为2.赠送—高中数学知识点二次函数(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ,且12x x ≤.令2()f x ax bx c =++,从以下四个方面来分析此类问题:①开口方向:a ②对称轴位置:2bx a=-③判别式:∆ ④端点函数值符号. ①k <x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2<k ⇔③x1<k <x 2 ⇔ af (k )<0④k 1<x 1≤x 2<k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1(或x 2)满足k 1<x 1(或x 2)<k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0,并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1<x 1<k 2≤p 1<x 2<p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出.(5)二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ,最小值为m ,令01()2x p q =+. (Ⅰ)当0a >时(开口向上) ①若2b p a -<,则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b m f a =- ③若2b q a->,则()m f q =①若02b x a -≤,则()M f q = ②02b x a->,则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<,则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b M f a =- ③若2b q a->,则()M f q =①若02b x a -≤,则()mf q = ②02b x a->,则()m f p =. xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xf xfxx<O-=f (p)f(q)()2b f a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

2020-2021学年辽宁省实验中学高一上学期末考试数学试卷 PDF版

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18.(本小题满分 12 分)
已知幂函数 f (x) xm2 2m3 , (m Z ) 为偶函数,且在区间 (0, ) 上是增函数.函数 g(x) (log2 x)2 log4 x m , x [1, 2] ⑴求 m 的值; ⑵求 g(x) 的最小值.
19.(本小题满分 12 分)
某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13 秒与19 秒之间,将测试结果按如下 方式分成六组:每一组,成绩大于等于13 秒且小于14 秒;第二组,成绩大于等于14 秒 且小于15 秒;……第六组,成绩大于等于18 秒且小于等于19 秒.下图是按上述分组方
∴ x12 +1 + x1 − ( x22 +1 + x2 ) = x1 − x2 + x12 +1 − x22 +1
= x1 − x2 +
x12
x22 − +1 +
x12 x22
+1
= (x1 − x2 ) x12 +1x12−+x11 ++ xx2222
+1 − +1
x2
<
0
∴ x12 +1 + x1 < x22 +1 + x2 ∴ log2 ( x12 +1 + x1) < log2 ( x22 +1 + x2 )
c
1 2
,则
logb
c
_____
高一数学科试卷 共四页 第 2页
-
16.对任意 x [2, ) , x 1 kx ,则实数 k 的取值范围是 _______
四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分)

【数学】辽宁省沈阳市实验中学分校2013-2014学年高一上学期期末考试.docx

【数学】辽宁省沈阳市实验中学分校2013-2014学年高一上学期期末考试.docx
一、选择题(本大题共
12小题,每小题
5分,共60
分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的)
1.设全集U
{ 1,0,1,2,4},CUM
{
1,1}则集合M
A.0,2
B.
0,4
C.
4,2
D.0,2,4
2.已知幂函数y
f (x)的图象经过点(1
,
2),则log2f (2)的值为
2
2
11
A.B.C.2D.2
1
14.计算:log327 lg 25 lg 4 7log72
(8)3
__________.
27
15.已知正三棱柱ABC
A1B1C1的底面边长为2cm,高为5cm,则一质点自点
A出发,沿着,
三棱柱的侧面绕行两周到达
A1的最短路线的长为__________cm.
16.若函数f (x)2x22ax a1的定义域为R,则a的取值范围是__________.
B
A
C
A
B
13.
2
14. 4
15. 13
16.
1,0
3
18.解:V球
4
23
32
-----4

3
3

1
(
3)24
4
-----8

V
3
所以V
V球
- V中
20
-----12

3
19.解:(1)(x
1)2
( y
1)2
1-----4

(2)设l : y
3x
b,则圆心到l
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辽宁省实验中学分校高一数学上学期期末考试试题

辽宁省实验中学分校高一数学上学期期末考试试题

辽宁省实验中学分校2017-2018学年高一数学上学期期末考试试题一、选择题(本大题包括12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有..一项..是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上). 1.已知全集}{4,3,2,1,0=U ,集合}{3,2,1=A {}4,2=B ,,则(B A C U ⋃)(为 ( )A.{}4,3,2B.{}4,2,0C.{}4,2,1 D.{}4,3,2,0 2.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )A. y =B. 3x y =C. lg y x = D .3y x =3.0.70.60.7log 6,6,0.7a b c ===,则,,a b c 的大小关系为( ).A .a b c >>B .c a b >>C .b c a >>D .b a c >>4..用斜二测画法作的直观图是一个水平放置的边长为1cm 的正方形,则原图形的周长是( ).A .6cm B.2(1+cm C .8cm D.2(1+cm5.已知,m n 是两条不同的直线,,,αβγ是三个不同的平面,下列命题中错误..的是( ) A .若,m m αβ⊥⊥,则α∥β B .若,,m n m αβ⊂⊂∥n ,则α∥β C .若α∥γ,β∥γ,则α∥βD .若,m n 是异面直线,,,m n m αβ⊂⊂∥β,n ∥α,则α∥β6.设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=0),(0,00,)21()(x x g x x x f x,且)(x f 为奇函数,则=)2(g ( )A .41 B .41- C .4 D .4- 7.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为( ) A .1B .2C .3D .48.已知a =9log 2,b =5log 2,则75log 2用b a ,表示为( )A.b a 22+B. b a 212+C. b a 221+D. )(21b a + 9.根据表格中的数据,可以断定方程20xe x --=的一个根所在的区间是( )A . (-1,0)B .(0,1)C .(1,2)D . (2,3) 10.关于空间直角坐标系O ­xyz 中的一点P (1,2,3)有下列说法:①OP 的中点坐标为13,1,22⎛⎫⎪⎝⎭; ②点P 关于x 轴对称的点的坐标为(-1,-2,-3); ③点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2,-3); ④点P 关于xOy 平面对称的点的坐标为(1,2,-3). 其中正确说法的个数是( )A .1B .2C .3D .411..三棱柱的侧棱垂直于底面,所有的棱长都为32,顶点都在一个球面上,则该球的体积为( )A. π34B. 3728π C. π68 D. 3732π12.已知函数()y f x =是定义在R 上的增函数,函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称,若任意的,x y R ∈,不等式22(621)(8)0f x x f y y -++-<恒成立,则当3x >时,22x y +的取值范围是( )A .(3,7)B .(9,25)C .(13,49)D .(9,49)二、填空题(本大题包括4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题纸中的横线上) 13.若圆C 的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y =x 对称,则圆C 的标准方程为________14.直线2+20x ay -=与直线(4)10ax a y ++-=平行,则a 的值为_______________15.下列命题中所有正确命题的序号为 .①若方程02)2(222=++++a ax y a x a 表示圆,那么实数1-=a ;②已知函数1()()2x f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线y x =对称,令2()(1)h x g x =-,则()h x 的图象关于原点对称;③如右图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是AB 和AA 1的中点, 则直线CE 、D 1F 、DA 三线共点;④幂函数的图象不可能经过第四象限.16.已知⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-=)0(11)0(2)(2x x x x x x f ,关于x 的不等式[]0)()(22<-+b x af x f 有且只有一个整数解,则实数a 的最大值是______________三、解答题(本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17.(本小题满分10分)已知集合{}|11A x a x a =-<<+,{}|03B x x =<<. (1)若0a =,求AB ;(2)若A B ⊆,求实数a 的取值范围.18. (本小题满分12分)在正方体1111D C B A ABCD -中,F E 、棱AB AD 、的中点. (1)求证:11//D CB EF 平面;(2)求证:平面11C CAA 11D CB ⊥.19.(本小题满分12分) 已知直线m 经过点33,2P ⎛⎫--⎪⎝⎭,被圆O :x 2+y 2=25所截得的弦长为8.A1(1)求此弦所在的直线方程;(2)求过点P 的最短弦和最长弦所在直线的方程.20. (本小题满分12分) 已知函数)10)((1)(2≠>--=-a a a a a ax f x x 且其中. (1)判断函数)(x f y =的单调性和奇偶性;(2)当时,有)1,1(-∈x .0)1()1(2<-+-m f m f 求实数m 的取值范围. 21.(本小题满分12分)如图,矩形ABCD 中,3AB =,4=BC .E ,F 分别在线段BC 和AD 上,EF ∥AB ,将矩形ABEF 沿EF 折起.记折起后的矩形为MNEF ,且平面⊥MNEF 平面ECDF .()1求证:NC ∥平面MFD ; ()2若3EC =,求证:FC ND ⊥; ()3求四面体NFCE 体积的最大值.22. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xoy 中,已知圆()()221:314C x y ++-=和 圆()()222:454C x y -+-=(1)若直线l 过点()4,0A ,且被圆1C 截得的弦长为l 的方程;(2)设P 为平面上的点,满足:存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 与2l ,它们分别与圆1C 和圆2C 相交,且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等,试求满足条件的点P 的坐标.答案1.B2.D3.C4.C5.B6.D.7.D8.C9.C 10.B 11.B 12.C 13. ()2211x y +-= 14.4或-215.①③④ 16.8 17.(1){}01x x << 5分(2)12a ≤≤ 5分 18. (1)略 6分 (2)略 6分 19.解 (1)34150x y ++= 6分 (2)42150x y ++= 3分 20x y -= 3分 20. (1)单调增 奇函数 6分(2)( 6分21. (1)(2)略 各4分 (3)2 4分22.(1)0y =或724280x y +-= 6分(2)151,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2313,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭6分。

辽宁省高一上学期期末考试数学试题(解析版)

辽宁省高一上学期期末考试数学试题(解析版)

高一数学注意事项:1.本试卷考试时间为120分钟,满分150分.2.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答题标号;答非选择题时,将答案写在答题卡上相应区域内,超出答题区域或写在本试卷上无效.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,,则图中阴影部分所表示的集合为( ){}2,1,0,1,2A =--{}21B x x =-<≤A. B.C.D.{}2,1--{}2,2-{}0,1{}1,0,1-【答案】B 【解析】【分析】根据韦恩图确定集合的运算关系为,在根据补集与交集的运算即可得答案. ()R B A ⋂ð【详解】集合,,韦恩图中表示的集合为, {}2,1,0,1,2A =--{}21B x x =-<≤()R B A ⋂ð则或,所以. R {|1B x x =≤-ð1}x >(){}R 2,2B A ⋂=-ð故选:B.2. 已知,,,则,,的大小关系为( ) 2log 0.7a =0.21.2b -=0.43c =a b c A. B.C.D.b c a <<b a c <<a c b <<a b c <<【答案】D 【解析】【分析】根据对数函数与指数函数的性质,并借助中间值即可比较大小. 【详解】由题可知,,,故,,的大小关系为.a<001,1b c <<>a b c a b c <<故选:D3. 甲、乙、丙3位同学每位同学都要从即将开设的3门校本课程中任选一门学习,则他们选择的校本课程各不相同的概率为( ) A.B.C.D.293882789【答案】A 【解析】【分析】利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】甲,乙,丙3位同学从开设的3门校本课程中任选一门参加的事件数为, 33甲,乙,丙3位同学参加的校本课程各不相同的事件数为, 3216⨯⨯=故所求概率为 36239P ==故选:A4. 降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气,即开窗通风换气.在某室内,空气中微生物密度随开窗通风换气时间的关系如图所示,则下列时间段内,空气中微生物密度变化的平均速度()c ()t 最快的是( )A. B. C. D.[]5,10[]15,20[]25,30[]30,35【答案】B 【解析】【分析】连接图上的点,利用直线的斜率与平均变化率的定义判断即可;【详解】如图分别令、、、、、、所对应的点为5t =10t =15t =20t =25t =30t =35t =,,,,,,,A B C D E F G0,0,0,AB CD EF CD FG CD k k k k k k >>>>>>所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快; []15,20故选:B5. 在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足关系式,其中星等为的星的亮度为.已知牛郎星的星等是0.75,织21552111lg lg 22m m E E -=-k m ()1,2k E k =女星的星等是0,则牛郎星与织女星的亮度的比值为( ) A .B.C. D. 3101031010-3lg1010lg3【答案】B 【解析】【分析】根据题目中所给公式直接计算可得.【详解】因为,所以. 55212211115lg lg lg0.75222E m m E E E -=-==-3210110E E -=故选:B6. 已知向量,,且,则为( )()2,0a = ()1,2b =()()()3//2R a b a kb k -+∈2a kb + A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先求出、的坐标,再根据向量共线的坐标表示得到方程,求出参数的值,最3a b - 2a kb +k 后根据向量模的坐标表示计算可得.【详解】因为,,所以, ()2,0a = ()1,2b =()1,63a b ---= ,()()()222,01,24,2a kb k k k +=+=+又,所以,解得,()()3//2a b a kb -+()1264k k -⨯=-⨯+6k =-所以,则.()22,12a kb +=-- 2a kb +== 故选:A7. 分别抛掷3枚质地均匀的硬币,设事件“至少有2枚正面朝上”,则与事件M 相互独立的是M =( )A. 3枚硬币都正面朝上B. 有正面朝上的,也有反面朝上的C. 恰好有1枚反面朝上D. 至多有2枚正面朝上【答案】B 【解析】【分析】由已知运用列举法列出样本空间,事件M 、选项A 、B 、C 、D 的事件,再利用古典概率公式和检验事件独立性的概率公式逐一检验可得选项.【详解】解:样本空间为{(正,正,正),(正,正,反).(正,反,正).(正,反,反),(反,Ω=正,正)(反,正,反)(反,反,正).(反,反,反)},而事件{(正,正,正),(正,正,反).(正,反,正),(反,正,正)},设“有正面朝上的,M =B =也有反面朝上的”,对于A 选项:设事件{(正,正,正)}. A =∴,,, ()4182P M ==()18P A =()18P AM =∴,事件A 与M 不相互独立,故A 不正确;()()()P AM P M P A ≠对于B 选项:设事件{(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,B =反),(反,反,正)}. ∴,,, ()4182P M ==()6384P B ==()38P BM =∴,事件B 与M 相互独立,故B 正确;()()()P BM P M P B =对于C 选项:设事件{(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正)}. C =∴,,, ()4182P M ==()38P C =()38P CM =∴,事件C 与M 不相互独立,故C 不正确;()()()P CM P M P C ≠对于D 选项:设事件{(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,D =反),(反,反,正),(反,反,反)}. ∴,,, ()4182P M ==()78P D =()38P DM =∴,事件D 与M 不相互独立,故D 不正确; ()()()P DM P M P D ≠故选:B.8. 若,则( ) 3322x y x y --->-A.B.C.D.ln 0x y ->ln 0x y -<1ln01y x <-+1ln01y x >-+【答案】C 【解析】【分析】构造函数,由其单调性可得,结合选项可得答案.()32x x f x -=-x y >【详解】令,因为为增函数,为减函数,所以为减函数; ()32x x f x -=-2x y =3x y -=()f x 因为,所以,所以. 3322x y x y --->-()()f x f y >x y <由于与1无法确定大小,所以A,B 均不正确; x y -因为,所以,所以,C 正确,D 不正确;11y x -+>1011y x <<-+1ln 01y x <-+故选:C.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 已知,则下列不等式中成立的是( ) 0a b <<A. B.C.D. a b ab +<2ab b <11b b a a +<+11a b b a+<+【答案】AD 【解析】【分析】利用不等式的性质可得正误,利用特值可得C 的正误,利用作差比较法可得D 的正误. 【详解】对于A ,因为,所以,所以,A 正确; 0a b <<0,0ab a b >+<a b ab +<对于B ,因为,所以,B 错误; 0a b <<2ab b >对于C ,当,,C 错误; 2,1a b =-=-11b b a a +>+对于D ,, ()1111a b a b b a ab ⎛⎫⎛⎫+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为,所以,,所以,即,D 正确. 0a b <<0ab >0a b -<()110a b ab ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭11a b b a+<+故选:AD.10. 为了解某地区经济情况,对该地区家庭年收入进行抽样调查,将该地区家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:则下列结论正确的是( ) A. 图中的值是0.16a B. 估计该地区家庭年收入的中位数为7.5万元 C. 估计该地区家庭年收入的平均值不超过7万元D. 估计该地区家庭年收入不低于9.5万元的农户比例为20% 【答案】BD 【解析】【分析】根据频率分布直方图频率和为1即可求,可结合选项逐一计算中位数,平均值以及所占的比重判断a 得解.【详解】对于A , 根据频率分布直方图频率和为1,得(0.130.0420.024+0.22)11,0.14a a ⨯+⨯+⨯⨯+⨯==,故A 错误;对于B ,设该地农户家庭年收入的中位数为万元,x 则,即,则中位数是,故B 正确;0.020.040.100.140.20.5++++=7.5x =7.5对于C ,该地农户家庭年收入的平均值为 30.0240.0450.1060.1470.280.290.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯,故C 错误;100.1110.04120.02130.02140.027.68+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=对于D ,设该地家庭年收入不低于9.5万元的农户比例为 ,故D 正确;0.10.040.0230.2++⨯=故选:BD. 11. 关于的方程的解集中只含有一个元素,则的可能取值是( ) x 241x k x x x x-=--k A. B. 0C. 1D. 54-【答案】ABD 【解析】【分析】由方程有意义可得且,并将方程化为;根据方程解集中仅含有一个元素0x ≠1x ≠240x x k +-=可分成三种情况,由此可解得所有可能的值.k【详解】由已知方程得:,解得:且;2100x x x -≠⎧⎨-≠⎩0x ≠1x ≠由得:; 241x k xx x x-=--240x x k +-=若的解集中只有一个元素,则有以下三种情况: 241x k x x x x-=--①方程有且仅有一个不为和的解,,解得:, 240x x k +-=011640k ∴∆=+=4k =-此时的解为,满足题意;240x x k +-=2x =-②方程有两个不等实根,其中一个根为,另一根不为;240x x k +-=01由得:,,此时方程另一根为,满足题意; 0400k +⨯-==0k 240x x ∴+=4x =-③方程有两个不等实根,其中一个根为,另一根不为;240x x k +-=10由得:,,此时方程另一根为,满足题意; 1410k +⨯-=5k =2450x x ∴+-=5x =-综上所述:或或. 4k =-05故选:ABD12. 已知是函数的零点(其中为自然对数的底数),下列说法正确的是0x ()e 2xf x x =+-e 2.71828= ( ) A. B.C.D.()00,1x ∈()00ln 2x x -=00e0x x --<020e x x ->【答案】ABC 【解析】【分析】根据给定条件确定所在区间,再逐一分析各个选项即可判断作答. 0x 【详解】函数在上单调递增,而,()e 2xf x x =+-R ()00e 210f =-=-<, 12113(e 20222f =+-=->而是方程的零点,则,即,A 正确;0x ()e 2xf x x =+-01(0,)2x ∈()00,1x ∈由得:,整理得:,B 正确;()00f x =002e xx -=00)n(2l x x -=因,且在上单调递增,则有,C 正确; 0102x <<e x y x -=-10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭001e 02xx --<<当,,则, D 不正确. 0102x <<021x ->02001xx x -<<故选:ABC .三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知命题:,为假命题,则实数的取值范围是______. p R x ∀∈220x x λ-+≥λ【答案】或λ<-λ>【解析】【分析】利用给定条件为假命题,说明有解,结合二次函数图象可得答案. 220x x λ-+<【详解】因为,为假命题,所以有解, R x ∀∈220x x λ-+≥220x x λ-+<所以,解得或280λ->λ<-λ>故答案为:或λ<-λ>14. 某厂生产A ,B 两种充电电池.现采用分层随机抽样从某天生产的产品中抽取样本,并分别计算所抽取的A ,B 两种产品的样本可充电次数的均值及方差,结果如下:则由20个产品组成的总样本的平均数为______;方差为______. 【答案】 ①. 204 ②. 28【解析】【分析】结合平均数与方差的概念推导即可求解.【详解】设A 产品可充电次数分别为:,A 产品可充电次数平均数为,方差为,B 产品1238,,,a a a a a 21s 可充电次数分别为,B 产品可充电次数平均数为,方差为,则,12312,,,,b b b b b 22s 8182101680ii a==⨯=∑,()()()22222118148s a aa aa a ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦即,,()2221281288232a a a a a a a a ++++-+++= 222128832a a a a +++-= ,2222128328352832a a a a +++=+=同理,,121200122400i i b ==⨯=∑()()()2222212121412s b b b bb b ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦即,()21222211222112248b b b b b b b b +-++++++= ,222121224812480048b b b b =+++=+ 则20个产品组成的总样本的平均数: , ()()128121211168024002042020x a a a b b b =+++++++=+= 方差为:()()()()()()22222221281212120s a x axa xb x bxb x ⎡⎤=-+-++-+-+-++-=⎢⎥⎣⎦()221228122222221218112120220x x a a a b b b a a a b b b ⎡⎤++-+++++++⎣⎦++++++ ()2222222212811212020a a ab b x b =++-+++++ ()21352832480048202042820=+-⨯=故答案为:204;2815. 实数,满足,则的最小值是______.a b 22431a b b +=22a b +【解析】【分析】根据条件可得,代入,结合基本不等式求解. 42213b a b-=22a b +【详解】因为,所以, 22431a b b +=42213b a b-=所以 22221233b a b b +=+≥=当且仅当时,等号成立; 22a b ==. 16. 函数是定义在上的偶函数,且,若对任意两个不相等的正数,()f x {}R0x x ∈≠∣()11f =-1x 2x ,都有,则不等式的解集为______.()()2112121x f x x f x x x ->-()102f x x +<-【答案】 ()(),11,2∞--⋃【解析】【分析】设,则由可得,即在120x x >>()()2112121x f x x f x x x ->-()()121211f x f x x x ++>()()1f xg x x+=上单调递增,然后得出的奇偶性和取值情况,然后分、、三种情况解()0,∞+()g x 2x >02x <<0x <出不等式即可.【详解】设,则由可得120x x >>()()2112121x f x x f x x x ->-()()211212x f x x f x x x ->-所以,所以 ()()12122111f x f x x x x x ->-()()121211f x f x x x ++>所以可得在上单调递增()()1f x g x x+=()0,∞+因为函数是定义在上的偶函数, ()f x {}R0x x ∈≠∣所以函数是定义在上的奇函数 ()g x {}R0x x ∈≠∣因为,所以,()11f =-()10g =所以当或时,当或时, 10x -<<1x >()0g x >1x <-01x <<()0g x <所以由可得当时,,,此时无解()102f x x +<-2x >()10f x +<()()10f x g x x+=<当时,,,此时.02x <<()10f x +>()()10f x g x x+=>12x <<当时,,,所以0x <()10f x +>()()10f x g x x+=<1x <-综上:不等式的解集为.()102f x x +<-()(),11,2∞--⋃故答案为:.()(),11,2∞--⋃四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数的定义域为集合,集合. ()()2lg 3f x x x=-A 313a B x x a -⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭(1)若,求; 0a =A B ⋃(2)“”是“”的充分不必要条件.求实数的取值范围.x A ∈x B ∈a 【答案】(1) {}13x x -≤<(2){}23a a ≤≤【解析】【分析】(1)先化简集合然后用并集的定义即可求解;,,A B (2)利用题意可得到 ,然后列出对应不等式即可A B 【小问1详解】由题意集合,{}{}23003A x x x x x =->=<<当时,,0a ={}11B x x =-≤≤所以{}13A B x x ⋃=-≤<【小问2详解】因为“”是“”的充分不必要条件,所以 ,x A ∈x B ∈A B 因为,, {}03A x x =<<313a B x x a -⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭所以,解得,30313a a -⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩23a ≤≤所以实数的取值范围是. a {}23a a ≤≤18. 为普及消防安全知识,某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮,每位参赛选手均须参加两轮比赛,若其在两轮比赛中均胜出,则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中,选手甲、乙胜出的概率分别为,;4535在第二轮比赛中,甲、乙胜出的概率分别为,,甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. 2334(1)甲在比赛中恰好赢一轮的概率;(2)从甲、乙两人中选1人参加比赛,派谁参赛赢得比赛的概率更大?(3)若甲、乙两人均参加比赛,求两人中至少有一人赢得比赛的概率.【答案】(1) 25(2)派甲参赛获胜的概率更大(3) 223300【解析】【分析】(1)根据独立事件的乘法公式计算即可;(2)利用独立事件的乘法公式分别求出甲乙赢的概率,据此即可得出结论;(3)先求出两人都没有赢得比赛,再根据对立事件的概率公式即可得解.【小问1详解】设“甲在第一轮比赛中胜出”,“甲在第二轮比赛中胜出”,1A =2A =“乙在第一轮比赛中胜出”,“乙在第二轮比赛中胜出”,1B =2B =则,,,相互独立,且,,,, 1A 2A 1B 2B ()145P A =()223P A =()135P B =()234P B =设“甲在比赛中恰好赢一轮”C =则; ()()()()121212124112625353155P C P A A A P A A P A =+=+=⨯+⨯==【小问2详解】因为在两轮比赛中均胜出赢得比赛,则“甲赢得比赛”,“乙赢得比赛”,12A A =12B B =所以, ()()()12124285315P A A P A P A ==⨯=, ()()()12123395420P B B P B P B ==⨯=因为,所以派甲参赛获胜的概率更大; 891520>【小问3详解】设“甲赢得比赛”,“乙赢得比赛”,D =E =于是“两人中至少有一人赢得比赛”,D E = 由(2)知,, ()()12815P D P A A ==()()12920P E P B B ==所以, ()()87111515P D P D =-=-=, ()()911112020P E P E =-=-=所以. ()()()()7112231111520300P D E P DE P D P E =-=-=-⨯= 19. 已知函数是奇函数. ()321x a f x =-+(1)求的值; a (2)判断在上的单调性,并证明;()f x R (3)求关于的不等式的解集. x ()()2251240f x x f x --+-<【答案】(1)6(2)单调递增,证明见解析 (3) 5|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】(1)根据奇函数的定义即可求的值;a (2)判断函数在的定义取值、作差、变形、定号、下结论即可证明单调性; R (3)结合函数的奇偶性与单调性,可将不等式转化为一元二次不等式即可得解集.【小问1详解】由函数是奇函数 ()()3R 21x a f x x =-∈+所以即, ()()f x f x -=-332121x x a a -⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭化简可得,解得. 262121x x x a a ⋅+=++6a =【小问2详解】函数在上单调递增,理由如下:()f x R 在上任取两个实数,,设,R 1x 2x 12x x <则 ()()()()()1212211212622666633212121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭因为,所以,所以,,,12x x <12022x x <<12220x x -<1210x +>2210x +>所以,即,()()120f x f x -<()()12f x f x <所以在上单调递增.()f x R 【小问3详解】由得, ()()2251240f x x f x --+-<()()225124f x x f x --<--由得,所以 ()()f x f x -=-()()2424f x f x --=-+()()225124f x x f x --<-+又在上单调递增,在恒成立,()f x R 225124x x x --<-+R 即,解得, 22350x x --<512x -<<所以原不等式解集为. 5|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭20. 在中,点,分别在边和边上,且,,交于点,ABC A D E BC AB 2DC BD =2BE AE =AD CE P 设,. BC a = BA b =(1)若,试用,和实数表示;EP tEC = a b t BP (2)试用,表示; a b BP(3)在边上有点,使得,求证:,,三点共线.AC F 5AC AF = B P F 【答案】(1) ()213BP ta t b =+- (2) 1477BP a b =+ (3)证明见解析【解析】【分析】(1)根据向量加减法运算即可;(2)根据向量的数量关系及向量加减法表示;(3)应用向量共线且有公共点证明即可.【小问1详解】由题意,所以, 2233BE BA b == 23EC EB BC a b =+=- ① ()2221333BP BE EP BE tEC b t a b ta t b ⎛⎫=+=+=+-=+- ⎪⎝⎭ 【小问2详解】设,由,, DP k DA = 1133BD BC a == 13DA DB BA b a =+=- ② ()1111333BP BD DP a k b a k a kb ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭ 由①、②得,, ()()211133ta t b k a kb +-=-+ 所以,解得,所以; ()()113213t k t k ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1747t k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1477BP a b =+ 【小问3详解】由,得,所以, AC a b =- ()1155AF AC a b ==- 1455BF BA AF a b =+=+ 所以,因为与有公共点,所以,,三点共线. 75BF BP = BF BP B B P F 21. 某学习小组在社会实践活动中,通过对某种商品销售情况的调查发现:该商品在过去的一个月内(以30天计)的日销售价格(单位:元)与时间(单位:天)的函数关系近似满足(()P x x ()1k P x x=+k 为正常数),该商品的日销售量(单位:个)与时间部分数据如下表所示: ()Q x x (天) x 510 15 20 25 30 (个)()Q x 55 60 65 70 65 60 已知第10天该商品的日销售收入为72元.(1)求的值;k(2)给出以下二种函数模型:①,②,请你根据上表中的数据,从中()Q x ax b =+()20Q x a x b =-+选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系,并求出该函数的解析式; ()Q x x (3)求该商品的日销售收入(,)(单位:元)的最小值.()f x 130x ≤≤*x ∈N 【答案】(1)2(2)(,) ()2070Q x x =--+130x ≤≤*x ∈N (3)64元【解析】【分析】(1)利用日销售收入等于日销售价格乘以日销售量列式计算即得.()P x ()Q x (2)由表中数据知,当时间变化时,日销售量有增有减不单调,选择模型②,再从表中任取两组值列式计算即可.(3)利用(2)的信息求出函数的解析式,再分段求出最值即可作答.()f x 【小问1详解】依题意,该商品的日销售收入,因第10天该商品的日销售收入为72元,()()()f x P x Q x =⋅则,即,解得, (10)(10)(10)f P Q =⋅(1)607210k +⨯=2k =所以的值是2.k 【小问2详解】由表中数据知,当时间变化时,日销售量有增有减并不单调,则选择模型, ()20Q x a x b =-+从表中任取两组值,不妨令,解得,即,显然表中(10)1060(20)70Q a b Q b =+=⎧⎨==⎩170a b =-⎧⎨=⎩()2070Q x x =--+其它各组值均满足这个函数,所以该函数的解析式为(,).()2070Q x x =--+130x ≤≤*x ∈N 【小问3详解】由(1)知, ,由(2)知,2()1,130,N P x x x x*=+≤≤∈, ()50,120,N 207090,2030,N x x x Q x x x x x **⎧+≤≤∈=--+=⎨-+<≤∈⎩于是得, 10052,120,N ()()()18088,2030,N x x x x f x P x Q x x x x x **⎧++≤≤∈⎪⎪=⋅=⎨⎪-++<≤∈⎪⎩当时,在上单调递减,在上单调递增,当120,N x x *≤≤∈100()52f x x x=++[1,10][10,20]10x =时,取得最小值(元),()f x (10)72f =当时,在上单调递减,当时,取得最小值2030,N x x *<≤∈180()88f x x x=-++(20,30]30x =()f x (元),(30)64f =显然,则当,时,(元),7264>130x ≤≤*x ∈N min ()(30)64f x f ==所以该商品的日销售收入的最小值为64元.22. 函数且,函数 . ()3x f x =(2)18f a +=()34ax xg x =-(1)求的解析式;()g x (2)若关于的方程在区间上有实数根,求实数的取值范围; x ()80xg x m -⋅=[]22-,m (3)设的反函数为,,若对任意()3x f x =()()()()23,[]log p x h x p x p x x λ=-++()21x x ϕλλ=+-的,均存在,满足 ,求实数的取值范围.1x ⎤∈⎦[]21,1x ∈-()()12h x x ϕ≤λ【答案】(1)()24x x g x =-(2)1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(3))5⎡-+∞⎣【解析】【分析】(1)直接根据解得即可;(2)18f a +=32a =(2)含有参数的方程有实数根,分离参数然后求得在上的值域即可; m 222x x m --=-[]22-,(3)将问题转化为恒成立,然后根据参数的取值范围进行分类讨论,先求得()()12max h x x ϕ≤λ()2x ϕ的最大值,然后转化为恒成立问题即可【小问1详解】由,可得:(2)18f a +=2318a +=解得:32a =则有: ()24x xg x =-故的解析式为: ()g x ()24x xg x =-【小问2详解】由,可得: ()80xg x m -⋅=222x x m --=-不妨设2x t -=则有: 221124m t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭又22x -≤≤则有: 144t ≤≤故当时,取得最小值为;当时,取得最大值为 1t =m 14-4t =m 12故 1124m -≤≤故实数的取值范围为: m 1,124⎡⎤-⎢⎣【小问3详解】的反函数为:()3x f x =()3log p x x =若对任意的,均存在,满足1x ⎤∈⎦[]21,1x ∈-()()12h x x ϕ≤则只需:恒成立()()12max h x x ϕ≤()()()23[]log h x p x p x x λ=-++不妨设,则设 3log x b =()()21b s b b λ=-++,则 1x ⎤∈⎦122b ≤≤在上可分如下情况讨论:()21x x ϕλλ=+-[]21,1x ∈- 当时,,此时,不满足恒成立 0λ=()1x ϕ=-()2s b b b =-+()()12max h x x ϕ≤②当时,,此时只需:在上恒成立 0λ<()()1max 11x ϕϕλ=-=-()211b b λλ-++≤-122b ≤≤则只需:在上恒成立 ()2110b b λλ++-≥-1,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则只需:时,不等式成立 12b =()2110b b λλ++-≥-解得:,与矛盾; 52λ≥0λ<③当时,,此时,只需保证:0λ>()()1max 131x ϕϕλ==-()2131b b λλ-++≤-则只需:在上恒成立 ()21310b b λλ++-≥-1,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当时,只需保证:当时,成立 122λ+≤12b λ+=()21310b b λλ++-≥-则有:21050λλ-+≤解得:55λ-≤≤+又,故有: 122λ+≤53λ-≤≤当时,只需保证:当时,成立 122λ+>2b =()21310b b λλ++-≥-此时解得:1λ>-又故有:122λ+>3λ>故当时,0λ>5λ≥-综上所述,解得:实数的取值范围为:λ)5⎡-+∞⎣【点睛】结论:本题考查不等式的恒成立与有解问题,可按如下规则转化: 一般地,已知函数 , , ,,则有: ()y f x =[],x a b ∈()y g x =[],x c d ∈(1)若 ,, 恒成立, ; []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x ≤()()12max min f x g x ≤(2)若 ,, 能成立,[]1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x ≤()()12max max f x g x ≤。

辽宁高一上学期期末数学试题(解析版)

辽宁高一上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1.设,则“”是“”的( ) x ∈R 0x <()ln 10x +<A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】B【分析】解出,然后判断即可 ()ln 10x +<【详解】因为, ()ln 10x +<所以01110x x <+<⇒-<<由为的真子集, {|10}x x -<<{|0}x x <所以“”是“”的必要不充分条件 0x <()ln 10x +<故选:B.2.已知向量,则( )()()1,23,5a b -= =,2a b += A .(4,3) B .(5,1) C .(5,3) D .(7,8)【答案】B【分析】根据向量的坐标运算即得. 【详解】∵, ()()1,23,5a b -==,∴.()()()221,23,55,1a b +=-+=故选:B. 3.若,,,则a 、b 、c 的大小关系为( ) 0.15a =21log 32b =3log 0.8c =A .a >b >c B .b >a >cC .c >b >aD .c >a >b【答案】A【分析】根据指数函数、对数函数的单调性,借助0,1比较大小即可.【详解】,且,0.1551a =>= 1222log 3log 0b ==>22log log 1b =<=,, 33log 0.8log 10c =<=c b a ∴<<故选:A4.定义在R 上的偶函数在上单调递增,,,,则a ,()f x [)0,∞+()ln 3a f =32b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1c f =b ,c 的大小关系为( ) A .B . a b c >>b c a >>C .D .a cb >>b ac >>【答案】D【分析】先根据奇偶性把自变量全部转到 上,再比较 与 的大小关系,再根据单调[)0,∞+ln 332性判断.【详解】,又,即,即,所以, ln 3ln e 1>=233e <323e <3ln 32<31ln 32<<因为为偶函数,所以,又在上单调递增,()f x 3322f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x [)0,∞+所以.即;()()31ln 32f f f <⎛⎫< ⎪⎝⎭b ac >>故选:D .5.如图,在正六边形ABCDEF 中,点O 为其中心, 则下列判断错误的是A .B .∥AB OC = AB DEC .D .AD BE = AD FC = 【答案】D【详解】根据正六边形的性质及向量相等的概念易知,∥且,∴选项AB OC = AB DEAD BE = A 、B 、C 正确,故选D6.据某地区气象局发布的气象数据,未来某十天内该地区每天最高温度(单位:℃)分别为:31,29,24,27,26,25,24,26,26,23,则这组数据的第40百分位数为( ) A .27 B .26.5C .25.5D .25【答案】C【分析】先将所给数据按 小到大排序,再根据百分位数的定义求第40百分位数.【详解】先将这些数据按照从小到大进行排序,分别为23,24,24,25,26,26,26,27,29,31,又,所以该组数据的第40百分位数为排序后的数列的第4个数和第5个数的平均数,1040%4⨯=即, 252625.52+=故选:C .7.某篮球运动员练习罚篮,共20组,每组50次,每组命中球数如下表: 命中球数 46 47 48 49 50 频数 24464则这组数据的中位数和众数分别为( )A .48,4 B .48.5,4C .48,49D .48.5,49【答案】D【分析】根据中位数和众数的定义即可求解. 【详解】数据总个数为20个,因此中位数是第10个与第11个数据的中位数,即, 484948.52+=众数为出现最多的数据,即数据49(出现6次), 故选:D. 8.若,,,则事件与的关系是( )()16P AB =()13P A =()14P B =A B A .互斥 B .相互独立 C .互为对立 D .无法判断【答案】B【分析】利用独立事件,互斥事件和对立事件的定义判断即可 【详解】解:因为,所以,又,所以事件与事件不对立,()13P A =()23P A =()14P B =A B 又因为,所以有,所以事件与相互独立但不一定互斥. ()16P AB =()()()P AB P A P B =A B 故选:B二、多选题9.已知向量,若,则以下结论正确的是( )()(),2,1,1a m b m ==+ a bA A .时与同向B .时与同向1m =a b1m =-a bC .时与反向D .时与反向2m =a b2m =-a b【答案】AD【分析】由共线向量的坐标运算求出或,代入判断与的方向即可. 1m =2m =-a b【详解】解:,则即或,a b∥()12m m +=1m =2m =-当时,与的方向相同,故A 成立; 1m =()()1,2,1,2,,a b a b a === b当时,与的方向相反,故D 成立. 2m =-()()2,2,1,1,2,a b a b a =-=-=-b 故选:AD.10.已知函数,设命题p :对任意,的定义域与值域都相同.下()f x =(0,)m ∈+∞()f x 列判断正确的是( ) A .p 是真命题B .p 的否定是“对任意的定义域与值域都不相同” (0,),()m f x ∈+∞C .p 是假命题D .p 的否定是“存在,使得的定义域与值域不相同” (0,)m ∈+∞()f x 【答案】AD【分析】由()解得函数的定义域,再根据240x mx -+≥0m >()f x)求得函数的值域,即可判断选项A 、()f x ==04m x ≤≤()f x C ;再由命题的否定得到p 的否定即可判断选项B 、D.【详解】函数的定义域为,()f x {}2|40x x mx -+≥又,所以函数的定义域为,(0,)m ∈+∞()f x |04m x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭设(),()24t x x mx =-+04m x ≤≤则,当时,,()224816m m t x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭04m x ≤≤()2016m t x ≤≤此时,函数,()0,4m f x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦由上知,当时,函数的定义域与值域均为,(0,)m ∈+∞()f x 0,4m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以p 是真命题,且p 的否定是“存在,使得的定义域与值域不相同”. (0,)m ∈+∞()f x 故选:AD.11.2022年夏天,我国部分地区迎来罕见的高温干旱天气,其特点是持续时间长、范围广、强度大、干旱少雨、极端性强.中央气象局国家气象中心发布的统计数据显示,本次高温热浪的综合强度,已达1961年有完整气象记录以来最强.某地气象部门统计当地进入8月份以来(8月1日至8月10日)连续10天中每天的最高温和最低温,得到如下的折线图:根据该图,关于这10天的气温,下列说法中正确的有( ) A .最高温的众数为37℃ B .最高温的平均值为37.9℃ C .第9天的温差最小 D .最高温的方差大于最低温的方差【答案】AB【分析】根据折线图一一判断.【详解】对于A .最高温37℃出现4次,所以最高温的众数为37℃,A 正确. 对于B .,所以B 正确; ()13837373938393837393737.9C 10x =+++++++++=︒对于C .第9天的温差为8℃.而第2和8天的温差为7°C ,所以C 不正确;对于D .最高温的波动比最低温小,所以最高温的方差小于最低温的方差,所以D 不正确. 故选:AB .12.已知函数,则下列关于函数的性质说法正确的是( ) ()1e 1exxf x -=+()f x A .在区间的值域为 ()f x []01,1e ,01e -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦B .为奇函数()f x C .在区间上存在零点 ()()1g x f x x =--()1,0-D . ()01f =【答案】ABC【分析】A.首先函数变形为,再根据函数的定义域求值域; ()211e xf x =-++B.根据奇函数的定义,即可判断; C.根据零点存在性定理,即可判断;D.代入,即可求解.0x =【详解】A.,, ()()e 121e 211e 1e 1e x x x x xf x -++-===-++++[]0,1x ∈,则,则,故A 正确; []1e 2,1e x +∈+22,11e 1e x ⎡⎤∈⎢⎥++⎣⎦21e 1,01e 1e x -⎡⎤-+∈⎢⎥++⎣⎦B.函数的定义域为,,所以函数是奇函数,R ()()1e e 11e 1e x x x x f x f x -----===-++()f x 故B 正确;C.,,并且函数在区间上连续,所以根据零点()111e 11101e g ----=+->+()()00010g f =--<()1,0-存在定理可知,函数在区间上存在零点,故C 正确; ()1,0-D.,故D 错误.()01e 001e f -==+故选:ABC三、填空题13.某校共有学生480人;现采用分层抽样的方法从中抽取80人进行体能测试;若这80人中有30人是男生,则该校女生共有___________. 【答案】人##300300【分析】根据人数占比直接计算即可. 【详解】该校女生共有人. 803048030080-⨯=故答案为:人.30014.已知向量,,若A ,B ,C 三点共线,则____________. ()3,24AB m =- ()2,4BC =m =【答案】5【分析】由向量共线的坐标表示求解.【详解】由A ,B ,C 三点共线知,则,解得. //AB BC()34242m ⨯=-⨯5m =故答案为:5.15.已知函数,则函数的零点为__________.()20log ,0x f x x x x ≤=+>⎪⎩()3y f x =-【答案】和8-2【分析】分和两种情况讨论,通过解方程或结合函数单调性处理零点问题. 0x ≤0x >【详解】当时,令,解得;0x ≤()330y f x =-==8x =-当时,则在上单调递增,且, 0x >()23log 3y f x x x =-=+-()0,∞+2|0x y ==故在内有且仅有一个零点2; ()3y f x =-()0,∞+综上所述:函数的零点为和. ()3y f x =-8-2故答案为:和.8-216.函数的图像恒过定点,若点在直线上,其中,则()log 41a y x =+-A A 10mx ny ++=0mn >的最小值为___________. 11m n+【答案】4+4+【分析】先求出定点,再将点代入直线中,结合基本不等式即可求解. A A 【详解】解:函数的图像恒过定点 ()log 41a y x =+-A 所以()3,1A --又点在直线上 A 10mx ny ++=所以,即310m n --+=31m n +=()111111134443m n m n m n m n m n n m ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⋅+=++≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时,取等号. 3n m nm=所以的最小值为 11m n+4+故答案为:.4+四、解答题17.在△中,延长到,使,在上取点,使与交于,OAB BA C AC BA =OB D 13DB OB DC =,OA E 设,用表示向量及向量.OA a OB b == ,a b,OC DC【答案】;2OC a b =-523DC a b =-【分析】用平面基底向量表示向量,结合平面向量的线性运算求解.【详解】∵A 是的中点,则, BC ()2222OC OB BC OB BA OB OA OB OA OB a b =+=+=+-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r r r 故,2OC a b =-,22522333DC OC OD OC OB a b b a b =-=-=--=- 故.523DC a b =- 18.已知幂函数为奇函数.()()23122233m m f x m m x++=-+(1)求函数的解析式;()f x (2)若,求的取值范围.()()132f a f a +<-a 【答案】(1)()3f x x =(2)2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】(1)根据题意得出,求得或,代入解析式,结合为奇函2331m m -+=1m =2m =()f x 数,即可求解;(2)由(1)得到在上为增函数,不等式转化为,即可求解. ()f x R 132a a +<-【详解】(1)解:由题意,幂函数,()()23122233m m f x m m x++=-+可得,即,解得或, 2331m m -+=2320m m -+=1m =2m =当时,函数为奇函数,1m =()311322f x x x ++==当时,为非奇非偶函数,2m =()21152322f x xx ++==因为为奇函数,所以.()f x ()3f x x =(2)解:由(1)知,可得在上为增函数,()3f x x =()f x R 因为,所以,解得, ()()132f a f a +<-132a a +<-23<a 所以的取值范围为.a 2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭19.函数的定义域为.()1423x x f x +=-+11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦(1)设,求t 的取值范围; 2x t =(2)求函数的值域.()f x【答案】(1)(2). t ∈2,5⎡-⎣【分析】(1)由题意,可先判断函数,单调性,再由单调性求出函数值的取值范2x t =11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦围即可;(2)由于函数是一个复合函数,可由,将此复合函数转化为二次函数()1423x x f x +=-+2x t =,此时定义域为,求出二次函数在这个区间上的值域即可得到函数()223g t t t =-+t ∈的值域.()f x 【详解】(1)在上单调递增2x t = 11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.t ∴∈(2)函数可化为:, ()y f x =()223g t t t =-+t ∈在上单调递减,在上单调递增 ()y g t = ⎤⎥⎦⎡⎣比较得,g g<,()()12min f x g ∴==()5max f x g ==-所以函数的值域为.25⎡-⎣,【点睛】本题考查了对数函数的值域的求法,对数函数与一元二次函数组成的复合函数的值域的求法,解题的关键是熟练掌握指数函数的性质与二次函数的性质,本题的重点在第二小题,将求复合函数的值域转化为求两个基本函数的值域,先求内层函数的值域再求外层函数的值域,即可得到复合函数的值域,求复合函数的值域问题时要注意此技能使用.20.公司检测一批产品的质量情况,共计件,将其质量指标值统计如下所示.1000(1)求的值以及这批产品质量指标的平均值以及方差;(同组中的数据用该组区间的中点值表a x 2s 示)(2)若按照分层抽样的方法在质量指标值为的产品中随机抽取件,再从这件中任取[)185,205553件,求至少有件产品的质量指标在的概率. 2[)195,205【答案】(1),, 0.002a =200x =2150s =(2) 710【分析】(1)根据频率和为1计算得到,根据公式计算平均值和方差即可.0.002a =(2)根据分层抽样的比例关系得到各层的个数,列举出所有情况,统计满足条件的情况,得到概率.【详解】(1),解得; ()100.0090.0220.0330.0240.0081a a ++++++=0.002a =;1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯200= ()()()22221702000.021802000.091902000.22s =-⨯+-⨯+-⨯.()()()2222102000.242202000.082302000.02150+-⨯+-⨯+-⨯=(2)由分层抽样可知,质量指标在的产品中抽个,记为; [)185,19522052550⨯=A B ,在的产品中抽个,记为,则任取个,[)195,20531,2,33所有的情况为,共()()()()()()()()()(),,1,,,2,,,3,,1,2,,1,3,,2,3,,1,2,,1,3,,2,3,1,2,3A B A B A B A A A B B B 种,10其中满足条件的为,共种, ()()()()()()(),1,2,,1,3,,2,3,,1,2,,1,3,,2,3,1,2,3A A A B B B 7故所求概率. 710P =21.乒乓球比赛规则规定,一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换,每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球. (I ) 求开球第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;(II ) 求开始第5次发球时,甲得分领先的概率.【答案】10.352 20.3072()()【分析】本试题主要是考查了关于独立事件的概率的求解,以及分布列和期望值问题.首先要理解发球的具体情况,然后对于事件的情况分析,讨论,并结合独立事件的概率求解结论. 【详解】【点评】首先从试题的选材上来源于生活,同学们比较熟悉的背景,同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用,以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题.情景比较亲切,容易入手,但是在讨论情况的时候,容易丢情况.22.已知函数,.2()2f x x ax =++R a ∈(1)若不等式的解集为[1,2],求不等式的解集;()0f x …2()1f x x -…(2)若对于任意的,,不等式恒成立,求实数a 的取值范围;[1x ∈-1]()2(1)4f x a x -+…(3)已知,若方程在有解,求实数a 的取值范围. 2()(2)1g x ax a x =+++()()f x g x =1(,3]2【答案】(1),, (-∞1[12)∞+(2) 13a ≤(3)[0,1).【分析】(1)根据不等式的解集转化为一元二次方程,利用根与系数之间的关系求出,然后解一a 元二次不等式即可;(2)问题转化为在,恒成立,令,,,根据函数的单调性求出222x a x --…[1x ∈-1]22()2x h x x -=-[1x ∈-1]的范围即可; a (3)利用参数分离法进行转化求解即可.【详解】(1)解:若不等式的解集为,,()0f x …[12]即1,2是方程的两个根,220x ax ++=则,即,123a +=-=3a =-则,由得,2()32f x x x =-+2()1f x x -...22321x x x -+-...即得,得或, 22310x x -+...(21)(1)0x x --...1x (12)x …即不等式的解集为,,.(-∞1][12 )∞+(2)解:不等式恒成立,()2(1)4f x a x -+…即在,恒成立, 222x a x --…[1x ∈-1]令,,, 22()2x h x x -=-[1x ∈-1]则, 2242()(2)x x h x x -+'=-令,解得:,()0h x '=2x =故在,递增,在,递减,()h x [1-2(21]故(1)或,()min h x h =1()h -而(1),,h 1=1(1)3h -=故. 13a …(3)解:由得,()()f x g x =22(2)12ax a x x ax +++=++,即,2(1)210a x x ∴-+-=2(1)12a x x -=-若方程在,有解,等价为有解, ()()f x g x =1(23]2212121x a x x x--==-设, 22121()(1)1h x x x x =-=--,,,, 1(2x ∈ 3]∴11[3x ∈2)即,即,则, 1()0h x -<…110a --<…01a <…即实数的取值范围是,.a [01)。

辽宁省高一上学期期末数学试题(解析版)

辽宁省高一上学期期末数学试题(解析版)

高一年级数学试卷第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1. 已知集合满足,那么这样的集合M 的个数为()M {}{}2,31,2,3,4,5M ⊆⊆A. 6 B. 7C. 8D. 9【答案】C 【解析】【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可. 【详解】因为,{}{}2,31,2,3,4,5M ⊆⊆所以集合可以为:,M {}{}{}{}{}2,3,1,2,3,2,3,4,2,3,5,1,2,3,5共8个,{}{}{}1,2,3,4,2,3,4,5,1,2,3,4,5故选:C.2. 已知,,,则a ,b ,c 的大小关系为( ) 5log 6a =0.5log 0.2b =0.80.5c =A. a <b <c B. a <c <b C. b <c <a D. c <a <b【答案】D 【解析】【分析】根据题意,由指数,对数函数的单调性分别得到的范围,即可得到其大小关系. ,,a b c 【详解】因为,即 5552log 25log 6log 51=>>=()1,2a ∈且,即 0.512221log 0.2log log 5log 425==>=2b >,即800.0.5100.5<<=()0,1c ∈所以 c<a<b 故选:D3. 对于非零向量、,“”是“”的( )a b 0a b += //a b A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据向量共线的等价条件,结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】对于非零向量、,ab若,则,∴由向量共线定理可知, 0a b += a b =- //a b 若,则,不一定成立,//a b a b λ= 0a b ∴+= ∴是的充分不必要条件, 0a b +=//a b故选:A4. 如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分),已知甲组数据的中位数为17,乙组数据的平均数为17.4,则的值为( )x y +A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】C 【解析】【分析】观察茎叶图,利用甲组数据的中位数与乙组数据的平均数分别求出,相加即可. x y 、【详解】因为甲组数据的中位数为17,所以, 7x =因为乙组数据的平均数为17.4,所以,解得,91616(10)2917.45y +++++=7y =所以. 14x y +=故选:C【点睛】本题考查根据茎叶图求数据的中位数与平均数,属于基础题.5. 要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标,现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验,将它们编号为000、001、002、…、499,利用随机数表抽取样本,从第8行第5列的数开始,按3位数依次向右读取,到行末后接着从下一行第一个数继续,则第三袋牛奶的标号是( )(下面摘取了某随机数表的第8行至第9行)84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763 35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719 A. 572 B. 455C. 169D. 206【答案】B 【解析】【分析】利用随机数表法进行一一抽样即可【详解】由题所给随机数表:从第8行第5列的数开始,按3位数依次向右读取, 则牛奶抽到标号分别为:175,331,455,068,... 故第三袋牛奶的标号是:445, 故选:B6. 已知函数过点,若的反函数为,则的值域为( ) ()log a f x x =(4,2)1()3,()f x f x ≤≤()g x ()g x A.B.C. D.11,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦[1,3][2,8]【答案】D 【解析】【分析】把点代入,求得解析式,可得反函数解析式,由,得(4,2)()log a f x x =()f x ()g x 1()3f x ≤≤的定义域为,可求值域.()g x []1,3【详解】函数过点,则,解得, ()log a f x x =(4,2)log 42a =2a =∴,的反函数为,得,2()log f x x =()f x ()g x ()2x g x =由,∴的定义域为,当,有,则的值域为.1()3f x ≤≤()g x []1,3[]1,3x ∈[]22,8x∈()g x [2,8]故选:D7. 已知,,,则的最小值是( ). 0x >0y >lg 4lg 2lg8x y +=142x y+A. 3 B.C.D. 9944615【答案】A 【解析】【分析】由已知结合指数与对数的运算性质可得,从而根据,展开23x y +=()141142232x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭后利用基本不等式可得解.【详解】,,, 0x >0y >428x y lg lg lg +=所以,即,428x y =A 23x y +=则, ()14114181255232323y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝3=当且仅当且即,时取等号, 82y x x y =23x y +=12x =2y =则的最小值是3. 142x y+故选:A【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及利用基本不等式求解最值,要注意应用条件的配凑.属于中档题.8. 若函数为定义在上的奇函数,且在为增函数,又,则不等式()f x R ()0,∞+()20f =的解集为( ) ()1ln 0e xf x ⎛⎫⋅>⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭A. B. ()()2,00,2-⋃()(),20,2-∞- C. D.()()2,02,-+∞ ()(),22,∞∞--⋃+【答案】A 【解析】【分析】分析出函数在上的单调性,可得出,分、两种情()f x (),0∞-()()220f f -=-=0x <0x >况解原不等式,即可得出原不等式的解集.【详解】因为函数为定义在上的奇函数,且在为增函数, ()f x R ()0,∞+则该函数在上也为增函数,且,(),0∞-()()220f f -=-=由可得. ()1ln 0e xf x ⎛⎫⋅>⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭()0xf x <当时,则,解得;0x <()()02f x f >=-20x -<<当时,则,解得.0x >()()02f x f <=02x <<综上所述,不等式的解集为. ()1ln 0exf x ⎛⎫⋅>⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭()()2,00,2-⋃故选:A.二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9. 下列说法正确的是( ) A. 若,则 B. 若,则a b >22ac bc >0,0a b d c >><<a d b c ->-C. 若,则 D. 若,则0a b >>11a b b a+>+0a b >>b b ma a m+<+【答案】BC 【解析】【分析】由不等式的基本性质可判断ABC ,由作差法可判断D. 【详解】对于A ,当时,,故A 错误; 0c =22ac bc =对于B ,若,则, 0d c <<d c ->-而,则,B 正确;0a b >>a d b c ->-对于C ,若,则 0a b >>1b >而,则,C 正确;0a b >>11a b b a+>+对于D ,, ()()b b m m b a a a m a a m +--=++因为,当时,,0a b >>0a m -<<()0()m b a a a m ->+即有,故D 错误. b b m a a m+>+故选:BC10. 下列说法正确的有( )A. 掷一枚质地均匀的骰子一次,事件M =“出现奇数点”,事件N =“出现3点或4点”,则 ()16P MN =B. 袋中有大小质地相同的3个白球和2个红球.从中依次不放回取出2个球,则“两球同色”的概率是310C. 甲,乙两名射击运动员进行射击比赛,甲的中靶率为0.8,乙的中靶率为0.9,则“至少一人中靶”的概率为0.98D. 某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 1313【答案】AC 【解析】【分析】计算古典概率判断A ;利用列举法结合古典概型计算判断B ;利用对立事件及相互独立事件求出概率判断CD 作答.【详解】对于A ,依题意,事件=“出现3点”,而掷骰子一次有6个不同结果,所以,MN ()16P MN =A 正确;对于B ,记3个白球为,2个红球为,从5个球中任取2个的不同结果有:123,,a a a 12,b b ,共10个,12131112232122313212,,,,,,,,,a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b 其中两球同色的结果有:,共4个,所以“两球同色”的概率是,B 错误; 12132312,,,a a a a a a b b 42105=对于C ,依题意,“至少一人中靶”的概率为,C 正确;1(10.8)(10.9)0.98---=对于D ,该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯,即在前两个路口都没有遇到红灯,第3个路口遇到红灯,所以到第3个路口首次遇到红灯的概率为,D 错误. 2114(13327-⨯=故选:AC11. 已知中,,,若与交于点,则( )ABC A 2BD DC = AE EB =AD CE O A.B.1233AD AB AC =+ 2133AD AB AC =+C. D.2AOC COD S S =A A 4ABC BOC S S =A A 【答案】AD 【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则及几何关系计算即可判断A 、B ,再根据平面向量共线定理及推论可得,即可得到是上靠近的一个四等分点,即可得到面积比,从而判311442AO AD AB AC ==+O AD D 断C 、D ;【详解】解:因为,,所以,,2BD DC = AE EB =23BD BC = 12AE AB = 所以,故A 正确,B 错误; ()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+因为、、三点共线,故设,C O E ()()1112AO AE AC AB AC λλλλ=+-=+-又、、三点共线,设,A O D 12123333AO AD AB AC AB AC μμμμ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭所以,解得,1123213λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1234λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以,即是上靠近的一个四等分点,311442AO AD AB AC ==+O AD D 即,所以,故C 错误;3AO OC =3AOC COD S S =A A 即,同理可得, 14ADC COD S S =A A 14ABD BOD S S =A A 所以,()11114444BOC BOD COD ABD ADC ABD ADC ABC S S S S S S S S =+=+=+=A A A A A A A A即,故D 正确;4ABC BOC S S =A A故选:AD12. 函数,则正确的有( )()2()ln e1xf x x =+-A. 的定义域为B. 的值域为()f x R ()f x RC. 是偶函数D. 在区间上是增函数()f x ()f x [)0,∞+【答案】ACD 【解析】【分析】根据给定的函数,求出定义域并变形解析式,再逐项分析判断作答. ()f x 【详解】依题意,函数的定义域为R ,A 正确;2()ln(e 1)x f x x =+-,2()ln(e 1)ln e ln(e e )x x x x f x -=+-=+对于B ,因为,当且仅当,即时取等号,又函数在e e 2-+≥=x x e e x x -=0x =ln y x =上递增,(0,)+∞因此,B 错误;()ln 2f x ≥对于C ,,因此函数是R 上的偶函数; ()ln(e e )()x x f x f x --=+=()f x 对于D ,令,,()e e (0)x x g x x -=+≥1212,[0,),x x x x ∀∈+∞<,11221212121()()e e (e e )(e e )(1)e e x x x x x x x x g x g x ---=+-+=--⋅因为,则,即有,因此,120x x ≤<12e 1e x x ≤<12121e e 0,10e e x xx x -<->⋅12()()<g x g x 即函数在上单调递增,又函数在上递增,所以函数在()e e x x g x -=+[0,)+∞ln y x =(0,)+∞()f x [0,)+∞上递增,D 正确. 故选:ACD第Ⅱ卷 非选择题(共90分)三、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分.)13. 函数的单调递增区间为______ ()2lg 28y x x =--【答案】 ()4,+∞【解析】【分析】先求函数的定义域,再根据复合函数单调性分析求解. 【详解】令,解得或, 2280x x -->>4x <2x -故函数的定义域为.()2lg 28y x x =--()(),24,-∞-+∞ ∵在R 上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,lg y u =228u x x =--(),2-∞-()4,+∞∴在上单调递减,在上单调递增,()2lg 28y x x =--(),2-∞-()4,+∞故函数的单调递增区间为.()2lg 28y x x =--()4,+∞故答案为:.()4,+∞14. 某公司生产甲、乙两种产品的数量之比为,现用分层抽样的方法抽出一个样本,已知样本中甲种5:3产品比乙种产品多6件,则甲种产品被抽取的件数为_______. 【答案】15 【解析】【分析】甲种产品被抽取的件数为,乙种产品被抽取的件数为,按照比例即可得出结果. x 6x -【详解】设甲种产品被抽取的件数为,则,解得. x ():65:3x x -=15x =故答案为:15【点睛】本题考查了分层抽样,考查了计算能力,属于一般题目.15. 关于x 的函数的两个零点均在区间内,则实数m 的取值范围是____________. 2y x mx m =-+[1,3]【答案】 9(4,]2【解析】【分析】根据零点的分布以及判别式性质列不等式组即可求解. 【详解】设2()f x x mx m =-+因为函数的两个零点均在区间内,2()f x x mx m =-+[1,3]所以有,解得:. 2Δ=4>0132(1)0(3)0m m m f f ≤≤≥≥⎧-⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩942m <≤即 9(4,2m ∈故答案为:9(4,]216. 已知,若存在三个不同实数使得,则的取值范()202311,03log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩,,a b c ()()()f a f b f c ==abc 围是______.【答案】 (]3,0-【解析】【分析】作出函数的图像,由图像可知,可设,利用对数()y f x =()()()(]0,1f a f b f c ==∈a b c <<运算可求得,结合图像可得的取值范围,由此可得出的取值范围.1bc =a abc 【详解】作出函数的图像如下图所示:()202311,03log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩设,由图像可知, a b c <<()()()(]0,1f a f b f c ==∈则,解得, ()(]110,13f a a =+∈30a -<≤由可得,即,可得.()()f b f c =20232023log log b c -=()2023log 0bc =1bc =.(]3,0abc a ∴=∈-故答案为:.(]3,0-四、解答题(本题共6小题,共70分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知向量,,.()3,2a =()1,2b =- ()4,1c = (1)求;23a b c +-(2)若,求实数的值.()()//2a kc b a +-k 【答案】(1)()2311,3a b c +-=-(2) 1613k =-【解析】【分析】(1)利用平面向量的坐标运算可求得的坐标;23a b c +-(2)求出向量、的坐标,利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值.a kc + 2b a - k 【小问1详解】解:因为,,.()3,2a = ()1,2b =- ()4,1c = 所以,.()()()()233,221,234,111,3a b c +-=+--=- 【小问2详解】解:由已知可得,()()()3,24,143,2a kc k k k +=+=++ ,()()()221,23,25,2b a -=--=- 因为,则,解得. ()()//2a kc b a +- ()()24352k k +=-+1613k =-18. 已知幂函数的图象经过点 ()()()12*m m f x x m -+=∈N ((1)试求的值并写出该幂函数的解析式.m (2)试求满足的实数的取值范围.()()13f a f a +>-a 【答案】(1),1m =()12f x x =(2)13a <£【解析】【分析】(1)将点代入函数解析式即可求出参数m 的值和该幂函数的解析式;((2)根据函数的定义域和单调性,即可利用不等式求的取值范围.a 【小问1详解】,所以, ()122m m -+=()1212m m -+=所以,解得或,又,所以,22m m +=1m =2m =-*m ∈N 1m =则该幂函数的解析式为. ()12f x x =【小问2详解】的定义域为,且在上单调递增,()f x [)0,∞+[)0,∞+则有,解得,103013a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+>-⎩13a <£所以的取值范围为.a 13a <£19. 某学校1000名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,抽取其中50个样本,将测试结果按如下方式分成五组:第一组,第二组,…第五组,右图是按上述分组方[)13,14[)14,15[]17,18法得到的频率分布直方图.(1)请估计学校1000名学生中,成绩在第二组和第三组的人数;(2)请根据频率分布直方图,求样本数据的平均数和中位数(所有结果均保留两位小数).【答案】(1)540;(2)平均数15.70;中位数15.74.【解析】【分析】(1)根据频率直方图求出第二组和第三组的频率,进而求第二组和第三组的人数;(2.【小问1详解】成绩在第二组和第三组的频率,0.160.380.54+=所以学校1000名学生中成绩在第二组和第三组的人数:.10000.54540⨯=【小问2详解】 样本数据的平均数:, 13.50.0614.50.1615.50.3816.50.3217.50.0815.70x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=中位数:第一二组的频率为.10.0610.160.225⨯+⨯=<0.第一二三组的频率为,10.0610.1610.380.65⨯+⨯+⨯=>0.所以中位数一定落在第三组,设中位数为x ,则,解得. ()10.0610.16150.385x ⨯+⨯+-⨯=0.29915.7419x =≈20. 设函数. ()()22log 2log 16x f x x =⋅(1)解方程;()60f x +=(2)设不等式的解集为,求函数的值域.23224+-≤x x x M ()()f x x M ∈【答案】(1)或2x =4x =(2) 25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】(1)化简,由解得可得答案; ()f x ()222log 3log 4=--x x ()60f x +=2log x (2)利用指数函数的单调性解不等式求出,化简,令,转化M ()()222log 3log 4=--f x x x 2log t x =为,再根据抛物线的性质和的范围可得答案. ()234=--g t t t t 【小问1详解】()()()()()222222log 2log log log 161log log 4=+⋅-=+⋅-f x x x x x ,()222log 3log 4x x =--由得,解得或,()60f x +=()222log 3log 20x x -+=2log 1x =2log 2x =所以或.2x =4x =所以方程的解是;()60f x +=2x =4x =【小问2详解】由得,即,解得,, 23224+-≤x x x 26422+-≤x x x 264+≤-x x x 14x ≤≤{}|14M x x =≤≤,()()()()2222222log 2log log log 16log 3log 4=+⋅-=--f x x x x x 令,所以, 2log t x =02t ≤≤则为开口向上对称轴为的抛物线, ()223253424⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭g t t t t 32t =因为,所以, 02t ≤≤()2544g t -≤≤-所以函数的值域为. ()()f x x M ∈25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦21. 工业废气在排放前需要过滤.已知在过滤过程中,废气中的某污染物含量P (单位:毫克/升)与过滤时间t (单位:小时)之间的函数关系式为(e 为自然对数的底数,为污染物的初始含0()e ktP t P =0P量).过滤1小时后检测,发现污染物的含量为原来的. 45(1)求函数的关系式;()P t (2)要使污染物的含量不超过初始值的,至少需过滤几小时?(参考:) 1100lg 20.3≈【答案】(1) 04()5t P t P ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)20【解析】【分析】(1)由得出,进而得出函数的关系式; 00e 45k P P =e 45k =()P t (2)由对数的运算解不等式即可. 24105t -⎛⎭≤⎫ ⎪⎝【小问1详解】因为过滤1小时后检测,发现污染物的含量为原来的,所以,即. 4500e 45k P P =e 45k =故 ()000e 45()ekt k t t P t P P P ⎛⎫== =⎪⎝⎭【小问2详解】 由,得, ()00415100t P t P P ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭24105t-⎛⎭≤⎫ ⎪⎝两边取10为底的对数,,整理得, 32lg 210t ≤-(13lg 2)2t -≥,因此,至少还需过滤20小时. 0.12,20t t ∴⨯≥≥22. 已知函数是偶函数. 2()log 22x x k f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭(1)求实数k 的值;(2)当时,方程有实根,求实数m 的取值范围;0x ≥()f x x m =+(3)设函数,若函数只有一个零点,求实数n 的取值范围. ()2()log 22x g x n n =⋅-()()()x f x g x ϕ=-【答案】(1)1k =(2) (0,1](3)或 {|1n n >n =【解析】 【分析】(1)根据是偶函数,列出方程,即可求解;()f x (2)当时,由,转化为在上有解,设0x ≥21log (2)2x x x m +=+21log (1)4xm =+[0,)+∞,结合指数函数的性质,即可求解; 21()log (1)4xh x =+(3)把函数只有一个零点,转化为只有一个解,令()()()x f x g x ϕ=-2(1)(2)2210x x n n --⋅-=(),得到有且仅有一个正实数根,分,和,三种情况讨2x t =0t >2(1)210n t nt ---=1n =1n >1n <论,即可求解.【小问1详解】解:因为是偶函数,所以, 2()log (22xx k f x =+()()f x f x -=即,解得. 221()log (2)log (2)()22x x x x k f x k f x ---=+=+⋅=1k =【小问2详解】解:当时,方程有实根,即, 0x ≥()f x x m =+21log (2)2x x x m +=+即,即在上有解,设21log (2)2x x m x =+-22211log (2)log 2log (124x x x x m =+-=+[0,)+∞, 21()log (1)4x h x =+因为,所以,所以, 0x ≥11124x <+≤0()1h x <≤所以实数的取值范围为.m (0,1]【小问3详解】解:函数只有一个零点,()()()x f x g x ϕ=-则关于的方程只有一个解,x 22log (22)log (41)x x n n x ⋅-=+-所以方程只有一个解,即,2222x x x n n -⋅-=+2(1)(2)2210x x n n --⋅-=令(),则有且仅有一个正实数根.2x t =0t >2(1)210n t nt ---=①当,即时,此方程的解为,不满足题意; 10n -=1n =12t =-②当,即时,,, 10n ->1n >244(1)0n n ∆=+->12101x x n =-<-此时方程有一个正根和一个负根,故满足题意;③当,即时,要使方程只有一个正根, 10n -<1n <2(1)210n t nt ---=令, ()2(1)21h t n t nt =---因为,要使得函数与 轴的正半轴只有一个公共点,()010h =-<()h x x 则满足,解得()()2Δ44102021n n n n ⎧=+-=⎪⎨>⎪-⎩n =综上,实数的取值范围为或. n {|1n n >n =。

2016-2017年辽宁省实验中学分校高一上学期数学期末试卷和解析

2016-2017年辽宁省实验中学分校高一上学期数学期末试卷和解析

2016-2017学年辽宁省实验中学分校高一(上)期末数学试卷一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5.00分)已知全集U=R,M={x|x<0或x>2},N={x|x2﹣4x+3<0},则图中阴影部分所表示的集合是()A.{x|0≤x<1}B.{x|0≤x≤2}C.{x|1<x≤2}D.{x|x<2}2.(5.00分)在空间直角坐标系中,点(﹣2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为()A.(﹣2,1,﹣4) B.(﹣2,﹣1,﹣4)C.(2,1,﹣4)D.(2,﹣1,4)3.(5.00分)log52?log425等于()A.﹣1 B.C.1 D.24.(5.00分)设有直线m,n和平面α,β,下列四个命题中,正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m?α,n?α,m∥β,l∥β,则α∥βC.若α⊥β,m?α,则m⊥βD.若α⊥β,m⊥β,m?α,则m∥α5.(5.00分)如图,将一个正方体的表面展开,直线AB与直线CD在原来正方体中的位置关系是()A.平行B.相交并垂直C.相交且成60°角D.异面6.(5.00分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.B.C.D.7.(5.00分)(文)长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上,且AB=2,AD=,AA1=1,则顶点A、B间的球面距离是()A.B.C.D.28.(5.00分)若直线3x﹣4y+12=0与两坐标轴交点为A、B,则以AB为直径的圆的方程是()A.x2+y2+4x﹣3y=0 B.x2+y2﹣4x﹣3y=0C.x2+y2+4x﹣3y﹣4=0 D.x2+y2﹣4x﹣3y+8=09.(5.00分)已知函数f(x)=ln(﹣2x)+3,则f(lg2)+f(lg)=()A.0 B.﹣3 C.3 D.610.(5.00分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f()=0,则不等式f()>0的解集为()A.(0,)∪(2,+∞)B.(,1)∪(2,+∞)C.(0,)D.(2,+∞)11.(5.00分)过圆x2+y2﹣4x=0外一点P(m,n)作圆的两条切线,当这两条。

2010-2023历年辽宁省实验中学分校高一上学期期末考试数学试卷(带解析)

2010-2023历年辽宁省实验中学分校高一上学期期末考试数学试卷(带解析)

2010-2023历年辽宁省实验中学分校高一上学期期末考试数学试卷(带解析)第1卷一.参考题库(共20题)1.下列四个几何体中,每个几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是2.设,其中为常数(1)为奇函数,试确定的值(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围3.直线:,圆方程为(1)求证:直线和圆相交(2)当圆截直线所得弦最长时,求的值(3)直线将圆分成两个弓形,当弓形面积之差最大时,求直线方程4.如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,,且点满足 .(1)证明:平面 .(2)在线段上是否存在点,使得平面?若存在,确定点的位置,若不存在请说明理由 .5.函数的定义域是 ( )A.B.C.D.6.定义在R上的函数满足:的图像关于轴对称,并且对任意的有,则当时,有( ) A.B.C.D.7.8.侧棱长为的正三棱锥的侧面都是直角三角形,且四个顶点都在一个球面上,则球的表面积为()A.B.C.D.9.已知点,点是圆上任意一点,则面积的最大值是10.在区间上不是增函数的是()A.B.C.D.11.在空间直角坐标系中,在轴上求一点C,使得点C到点与点的距离相等,则点C的坐标为12.已知函数,在区间内存在使,则的取值范围是( )A.B.C.D.13.已知两条直线和互相垂直,则等于( ) A.B.C.D.14.若直线和圆相切与点,则的值为()A.B.C.D.15.已知两条不同的直线,两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )A.若则B.若则C.若则D.若则16.已知一个几何体的三视图(单位:cm)如图所示,求(1)该几何体的体积(2)该几何体的表面积17.已知集合,,且,求18.下列不等式正确的是()A.B.C.D.19.表示自然数集,集合,则( )A.B.C.D.20.下列判断正确的是()A.棱柱中只能有两个面可以互相平行B.底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱C.底面是正六边形的棱台是正六棱台D.底面是正方形的四棱锥是正四棱锥第1卷参考答案一.参考题库1.参考答案:②④、试题分析:①正方体的三个视图相同;②圆锥的主视图与左视图相同;③三棱台没有相同的视图;④正四棱锥的主视图与左视图相同。

辽宁省实验中学分校高一数学上学期期末试卷(含解析)

辽宁省实验中学分校高一数学上学期期末试卷(含解析)

2015-2016学年辽宁省实验中学分校高一(上)期末数学试卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={2015,2016},非空集合B满足A∪B={2015,2016},则满足条件的集合B的个数是()A.1 B.2 C.3 D.42.函数y=的定义域是()A.(1,2] B.(1,2)C.(2,+∞)D.(﹣∞,2)3.已知空间中两点A(1,2,3),B(4,2,a),且|AB|=,则a=()A.1或2 B.1或4 C.0或2 D.2或44.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是()A.56+12 B.60+12 C.30+6D.28+65.直线l将圆x2+y2﹣2x﹣4y=0平分,且与直线﹣=1平行,则直线l的方程是()A.2x﹣y﹣4=0 B.x+2y﹣3=0 C.2x﹣y=0 D.x﹣2y+3=06.设a,b,c均为正数,且2a=,,,则()A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c7.设m、n是不同的直线,α、β、γ是不同的平面,有以下四个命题:①若α∥β,α∥γ,则β∥γ②若α⊥β,m∥α,则m⊥β③若m⊥α,m∥β,则α⊥β④若m∥n,n⊂α,则m∥α其中真命题的序号是()A.①④ B.②③ C.②④ D.①③8.函数f(x)的定义域为(﹣∞,1)∪(1,+∞),且f(x+1)为奇函数,当x>1时,f (x)=2x2﹣12x+16,则直线y=2与函数f(x)图象的所有交点的横坐标之和是()A.1 B.2 C.4 D.59.若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x﹣1)=5,x1+x2=()A.B.3 C.D.410.过点(3,1)作圆(x﹣1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()A.2x+y﹣3=0 B.2x﹣y﹣3=0 C.4x﹣y﹣3=0 D.4x+y﹣3=011.设f(x)是定义在R上的增函数,且对任意x,都有f(﹣x)+f(x)=0恒成立,如果实数m,n满足不等式f(m2﹣6m+21)+f(n2﹣8n)<0,那么m2+n2的取值范围是()A.(9,49) B.(13,49)C.(9,25) D.(3,7)12.将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为()A.B.2+C.4+D.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.函数y=log a(x﹣1)+8(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,P在幂函数f(x)的图象上,则f(3)= .14.直线(2m+1)x+(3m﹣2)y+1﹣5m=0被圆x2+y2=16截得弦长的最小值为.15.已知函数f(x)=有三个不同的零点,则实数a的取值范围是.16.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F,且EF=,则下列结论中正确的序号是.①AC⊥BE ②EF∥平面ABCD ③三棱锥A﹣BEF的体积为定值④△AEF的面积与△BEF的面积相等.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(10分)设U=R,A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},C={x|a≤x≤a+1},a为实数,(1)分别求A∩B,A∪(∁U B);(2)若B∩C=C,求a的取值范围.18.(12分)已知△ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0,AC 边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0.求:(1)顶点C的坐标;(2)直线BC的方程.19.(12分)已知如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1=AC,且AB⊥AC,M是面CC1的中点,N 是BC的中点,点P在直线A1B1上.(Ⅰ)若P为A1B1中点,求证:NP∥平面ACC1A1;(Ⅱ)证明:PN⊥AM.20.(12分)如图,已知圆O的直径AB=4,定直线L到圆心的距离为4,且直线L垂直直线AB.点P是圆O上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别交L与M、N点.(Ⅰ)若∠PAB=30°,求以MN为直径的圆方程;(Ⅱ)当点P变化时,求证:以MN为直径的圆必过圆O内的一定点.(12分)如图甲,⊙O的直径AB=2,圆上两点C,D在直径AB的两侧,使∠CAB=,∠DAB=.沿21.直径AB折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙),F为BC的中点,E为AO的中点.P 为AC的动点,根据图乙解答下列各题:(1)求三棱锥D﹣ABC的体积.(2)求证:不论点P在何位置,都有DE⊥BP;(3)在BD弧上是否存在一点G,使得FG∥平面ACD?若存在,试确定点G的位置;若不存在,请说明理由.22.(12分)设函数,其中a为常数(1)当f(2)=f(1)+2时,求a的值;(2)当x∈B.(1,2)C.(2,+∞)D.(﹣∞,2)【考点】函数的定义域及其求法;对数函数的定义域.【专题】计算题.【分析】由函数的解析式知,令真数x﹣1>0,根据,得出x≤2,又在分母上不等于0,即x≠2最后取交集,解出函数的定义域.【解答】解:∵log2(x﹣1),∴x﹣1>0,x>1根据,得出x≤2,又在分母上不等于0,即x≠2∴函数y=的定义域是(1,2)故选B.【点评】本题主要考查对数及开方的取值范围,同时考查了分数函数等来确定函数的定义域,属基础题.3.(5分)(2014•开福区校级模拟)已知空间中两点A(1,2,3),B(4,2,a),且|AB|=,则a=()A.1或2 B.1或4 C.0或2 D.2或4【考点】空间两点间的距离公式.【专题】计算题;空间位置关系与距离.【分析】根据空间两点之间的距离公式,由|AB|=列出关于a的方程,解之即可得到实数a的值.【解答】解:∵点A(1,2,3),B(4,2,a),∴|AB|==,解这个方程,得a=2或4故选:D【点评】本题给出空间两点含有字母a的坐标形式,在已知两点间距离的情况下求实数a的值,着重考查了空间坐标的两点距离公式及其应用的知识,属于基础题.4.(5分)(2015秋•辽宁校级期末)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是()A.56+12 B.60+12 C.30+6D.28+6【考点】由三视图求面积、体积.【专题】计算题;空间位置关系与距离;立体几何.【分析】由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,求出各个面的面积,相加可得答案.【解答】解:根据题意,还原出如图的三棱锥A﹣BCD底面Rt△BCD中,BC⊥CD,且BC=5,CD=4侧面△ABC中,高AE⊥BC于E,且AE=4,BE=2,CE=3侧面△ACD中,AC==5∵平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,AE⊥BC∴AE⊥平面BCD,结合CD⊂平面BCD,得AE⊥CD∵BC⊥CD,AE∩BC=E∴CD⊥平面ABC,结合AC⊂平面ABC,得CD⊥AC因此,△ADB中,AB==2,BD==,AD==,∴cos∠ADB==,得sin∠ADB==,由三角形面积公式,得S△ADB=×××=6,又∵S△ACB=×5×4=10,S△ADC=S△CBD=×4×5=10∴三棱锥的表面积是S表=S△ADB+S△ADC+S△CBD+S△ACB=30+6,故选:C【点评】本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体的形状是解答的关键.5.(5分)(2015秋•辽宁校级期末)直线l将圆x2+y2﹣2x﹣4y=0平分,且与直线﹣=1平行,则直线l的方程是()A.2x﹣y﹣4=0 B.x+2y﹣3=0 C.2x﹣y=0 D.x﹣2y+3=0【考点】直线与圆的位置关系.【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆.【分析】圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心为(1,2),设直线方程为﹣=b,利用直线l将圆x2+y2﹣2x﹣4y=0平分,求出b,即可求出直线l的方程.【解答】解:圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心为(1,2)设直线方程为﹣=b,∵直线l将圆x2+y2﹣2x﹣4y=0平分,∴b=﹣=0,∴直线l的方程是2x﹣y=0,故选:C.【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.6.(5分)(2013•淇县校级一模)设a,b,c均为正数,且2a=,,,则()A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c【考点】对数值大小的比较.【专题】数形结合.【分析】比较大小可以借助图象进行比较,观察题设中的三个数a,b,c,可以借助函数图象的交点的位置进行比较.【解答】解:分别作出四个函数y=,y=2x,y=log2x的图象,观察它们的交点情况.由图象知:∴a<b<c.故选A.【点评】本题考点是对数值大小的比较,本题比较大小时用到了对数函数和指数函数的图象,比较大小的题在方法上应灵活选择,依据具体情况选择合适的方法.7.(5分)(2013•江门二模)设m、n是不同的直线,α、β、γ是不同的平面,有以下四个命题:①若α∥β,α∥γ,则β∥γ②若α⊥β,m∥α,则m⊥β③若m⊥α,m∥β,则α⊥β④若m∥n,n⊂α,则m∥α其中真命题的序号是()A.①④ B.②③ C.②④ D.①③【考点】平面与平面之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】对每一选支进行逐一判定,不正确的只需取出反例,正确的证明一下即可.【解答】解:对于①利用平面与平面平行的性质定理可证α∥β,α∥γ,则β∥γ,正确对于②面BD⊥面D1C,A1B1∥面BD,此时A1B1∥面D1C,不正确对应③∵m∥β∴β内有一直线与m平行,而m⊥α,根据面面垂直的判定定理可知α⊥β,故正确对应④m有可能在平面α内,故不正确,故选D【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系,以及空间中直线与平面之间的位置关系,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.8.(5分)(2010•宁波二模)函数f(x)的定义域为(﹣∞,1)∪(1,+∞),且f(x+1)为奇函数,当x>1时,f(x)=2x2﹣12x+16,则直线y=2与函数f(x)图象的所有交点的横坐标之和是()A.1 B.2 C.4 D.5【考点】奇偶性与单调性的综合.【专题】计算题.【分析】f(x+1)为奇函数可得函数f(x)的图象关于(1,0)对称,从而可求x<1时的函数解析式,进而解方程f(x)=2可得.【解答】解:f(x+1)为奇函数,函数图象关于(0,0)对称函数f(x)的图象关于(1,0)对称当x>1时,f(x)=2x2﹣12x+16当x<1时,f(x)=﹣2x2﹣4x令2x2﹣12x+16=2可得x1+x2=6令﹣2x2﹣4x=2可得x3=﹣1横坐标之和为5故选D【点评】本题主要考查了函数的平移、奇函数的对称性,利用对称性求函数在对称区间上的解析式.属于基础知识的综合运用,但难度都不大,只要掌握基本知识、基本方法,就可解题.9.(5分)(2009•辽宁)若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x﹣1)=5,x1+x2=()A.B.3 C.D.4【考点】函数的图象与图象变化.【专题】压轴题.【分析】先由题中已知分别将x1、x2所满足的关系表达为,2x1=2log2(5﹣2x1)…系数配为2是为了与下式中的2x2对应2x2+2log2(x2﹣1)=5,观察两个式子的特点,发现要将真数部分消掉求出x1+x2,只须将5﹣2x1化为2(t﹣1)的形式,则2x1=7﹣2t,t=x2【解答】解:由题意①2x2+2log2(x2﹣1)=5 ②所以,x1=log2(5﹣2x1)即2x1=2log2(5﹣2x1)令2x1=7﹣2t,代入上式得7﹣2t=2log2(2t﹣2)=2+2log2(t﹣1)∴5﹣2t=2log2(t﹣1)与②式比较得t=x2于是2x1=7﹣2x2即x1+x2=故选C【点评】本题涉及的是两个非整式方程,其中一个是指数方程,一个是对数方程,这两种方程均在高考考纲范围之内,因此此题中不用分别解出两个方程,分别求出x1,x2,再求x1+x2,这样做既培养不了数学解题技巧,也会浪费大量时间.10.(5分)(2013•山东)过点(3,1)作圆(x﹣1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()A.2x+y﹣3=0 B.2x﹣y﹣3=0 C.4x﹣y﹣3=0 D.4x+y﹣3=0【考点】圆的切线方程;直线的一般式方程.【专题】直线与圆.【分析】由题意判断出切点(1,1)代入选项排除B、D,推出令一个切点判断切线斜率,得到选项即可.【解答】解:因为过点(3,1)作圆(x﹣1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,所以圆的一条切线方程为y=1,切点之一为(1,1),显然B、D选项不过(1,1),B、D不满足题意;另一个切点的坐标在(1,﹣1)的右侧,所以切线的斜率为负,选项C不满足,A满足.故选A.【点评】本题考查直线与圆的位置关系,圆的切线方程求法,可以直接解答,本题的解答是间接法,值得同学学习.11.(5分)(2015秋•辽宁校级期末)设f(x)是定义在R上的增函数,且对任意x,都有f (﹣x)+f(x)=0恒成立,如果实数m,n满足不等式f(m2﹣6m+21)+f(n2﹣8n)<0,那么m2+n2的取值范围是()A.(9,49) B.(13,49)C.(9,25) D.(3,7)【考点】函数单调性的性质.【专题】计算题;规律型;转化思想;函数的性质及应用.【分析】根据对于任意的x都有f(﹣x)+f(x)=0恒成立,不等式可化为f(m2﹣6m+21)<f(﹣n2+8n),利用f(x)是定义在R上的增函数,可得(m﹣3)2+(n﹣4)2<4,确定(m ﹣3)2+(n﹣4)2=4内的点到原点距离的取值范围,利用m2+n2表示(m﹣3)2+(n﹣4)2=4内的点到原点距离的平方,即可求得m2+n2的取值范围.【解答】解:∵对于任意的x都有f(﹣x)+f(x)=0恒成立,∴f(﹣x)=﹣f(x),∵f(m2﹣6m+21)+f(n2﹣8n)<0,∴f(m2﹣6m+21)<﹣f(n2﹣8n)=f(﹣n2+8n),∵f(x)是定义在R上的增函数,∴m2﹣6m+21<﹣n2+8n,∴(m﹣3)2+(n﹣4)2<4∵(m﹣3)2+(n﹣4)2=4的圆心坐标为:(3,4),半径为2,∴(m﹣3)2+(n﹣4)2=4内的点到原点距离的取值范围为(5﹣2,5+2),即(3,7),∵m2+n2表示(m﹣3)2+(n﹣4)2=4内的点到原点距离的平方,∴m2+n2的取值范围是(9,49).故选:A.【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性,考查不等式的含义,解题的关键是确定圆内的点到原点距离的取值范围.12.(5分)(2005•黑龙江)将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为()A.B.2+C.4+D.【考点】棱锥的结构特征.【专题】计算题;压轴题.【分析】底面放三个钢球,上再落一个钢球时体积最小,把钢球的球心连接,则又可得到一个棱长为2的小正四面体,正四面体的中心到底面的距离是高的,且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的,先求出小正四面体的中心到底面的距离,再求出正四面体的中心到底面的距离,把此距离乘以4可得正四棱锥的高.【解答】解:由题意知,底面放三个钢球,上再落一个钢球时体积最小.于是把钢球的球心连接,则又可得到一个棱长为2的小正四面体,则不难求出这个小正四面体的高为,且由正四面体的性质可知:正四面体的中心到底面的距离是高的,且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的,∴小正四面体的中心到底面的距离是×=,正四面体的中心到底面的距离是+1 (1即小钢球的半径),所以可知正四棱锥的高的最小值为(+1)×4=4+,故选 C.【点评】小正四面体是由球心构成的,正四面体的中心到底面的距离等于小正四面体的中心到底面的距离再加上小钢球的半径1.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)(2015秋•辽宁校级期末)函数y=log a(x﹣1)+8(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,P在幂函数f(x)的图象上,则f(3)= 27 .【考点】对数函数的图象与性质.【专题】计算题;函数思想;定义法;函数的性质及应用.【分析】利用y=log a1=0可得定点P,代入幂函数f(x)=xα即可.【解答】解:对于函数y=log a(x﹣1)+8,令x﹣1=1,解得x=2,此时y=8,因此函数y=log a(x﹣1)+8的图象恒过定点P(2,8).设幂函数f(x)=xα,∵P在幂函数f(x)的图象上,∴8=2α,解得α=3.∴f(x)=x3.∴f(3)=33=27.故答案为27.【点评】本题考查了对数函数的性质和幂函数的定义,属于基础题.14.(5分)(2015秋•内蒙古校级期末)直线(2m+1)x+(3m﹣2)y+1﹣5m=0被圆x2+y2=16截得弦长的最小值为.【考点】直线与圆相交的性质.【专题】计算题.【分析】由圆的标准方程找出圆心的坐标和半径r,将直线方程变形后得到此直线恒过A(1,1),由题意得到直线被圆截得的弦所在的直线与直线OA垂直时,截取的弦长最短,利用两点间的距离公式求出|OA|的长,由半径r及|OA|的长,利用垂径定理及勾股定理即可求出弦长的最小值.【解答】解:由圆x2+y2=16,得到圆心(0,0),半径r=4,∵直线解析式变形得:(2m+1)(x﹣1)+(3m﹣2)(y﹣1)=0,∴直线恒过A(1,1),即|OA|=,则截得弦长的最小值为2=2.故答案为:2【点评】此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:圆的标准方程,恒过顶点的直线方程,垂径定理及勾股定理,根据题意得出直线被圆截得的弦所在的直线与直线OA垂直时,截取的弦长最短是解本题的关键.15.(5分)(2013•海淀区一模)已知函数f(x)=有三个不同的零点,则实数a的取值范围是<a≤1.【考点】根的存在性及根的个数判断.【专题】数形结合.【分析】由题意可得需使指数函数部分与x轴有一个交点,抛物线部分与x轴有两个交点,由函数图象的平移和二次函数的顶点可得关于a的不等式,解之可得答案.【解答】解:由题意可知:函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分,函数图象的右半部分为开口向上的抛物线,对称轴为x=,最多两个零点,如上图,要满足题意,必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交,由指数函数过点(0,1),故需下移至多1个单位,故0<a≤1,还需保证抛物线与x轴由两个交点,故最低点<0,解得a<0或a>,综合可得<a≤1,故答案为:<a≤1【点评】本题考查根的存在性及根的个数的判断,数形结合是解决问题的关键,属中档题.16.(5分)(2015秋•辽宁校级期末)如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F,且EF=,则下列结论中正确的序号是①②③.①AC⊥BE ②EF∥平面ABCD ③三棱锥A﹣BEF的体积为定值④△AEF的面积与△BEF的面积相等.【考点】棱柱的结构特征.【专题】综合题;运动思想;分析法;空间位置关系与距离.【分析】由线面垂直证得两线垂直判断①;由线面平行的定义证得线面平行判断②;由棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值判断③;由B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等,可得△AEF的面积与△BEF的面积不相等.【解答】解:对于①,由题意及图形知,AC⊥面DD1B1B,故可得出AC⊥BE,故①正确;对于②,由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的两个底面平行,EF在其一面上,故EF与平面ABCD无公共点,故有EF∥平面ABCD,故②正确;对于③,由几何体的性质及图形知,三角形BEF的面积是定值,A点到面DD1B1B,故可得三棱锥A﹣BEF的体积为定值,故③正确;对于④,由图形可以看出,B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等,故△AEF的面积与△BEF 的面积相等不正确,故④错误.∴正确命题的序号是①②③.故答案为:①②③.【点评】本题考查棱柱的结构特征,解答本题关键是正确理解正方体的几何性质,且能根据这些几何特征,对其中的点线面和位置关系作出正确判断.熟练掌握线面平行的判断方法,异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的关键,是中档题.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(10分)(2015秋•辽宁校级期末)设U=R,A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},C={x|a≤x≤a+1},17.a为实数,(1)分别求A∩B,A∪(∁U B);(2)若B∩C=C,求a的取值范围.【考点】交、并、补集的混合运算.【专题】函数的性质及应用.【分析】本题(1)先求出集合B的补集,再求出A∪(∁U B),得到本题结论;(2)由B∩C=C 得到C⊆B,再比较区间的端点,求出a的取值范围,得到本题结论.【解答】解:(1)∵A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},∴∁u B={x|x≤2或x≥4},∴A∩B={x|2<x≤3},A∪(∁U B)={x|x≤3或x≥4}.(2)∵B∩C=C,∴C⊆B.∵B={x|2<x<4},C={x|a≤x≤a+1},∴2<a,a+1<4,∴2<a<3.【点评】本题考查了集合运算的知识,本题难度不大,属于基础题.18.(12分)(2015春•武进区期末)已知△ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0,AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0.求:(1)顶点C的坐标;(2)直线BC的方程.【考点】直线的一般式方程.【专题】直线与圆.【分析】(1)设C(m,n),利用点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出;(2)利用中点坐标公式、点斜式即可得出.【解答】解:(1)设C(m,n),∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0,AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0.∴,解得.∴C(4,3).(2)设B(a,b),则,解得.∴B(﹣1,﹣3).∴k BC==∴直线BC的方程为y﹣3=(x﹣4),化为6x﹣5y﹣9=0.【点评】本题考查了点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、点斜式,考查了计算能力,属于基础题.19.(12分)(2015秋•辽宁校级期末)已知如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1=AC,且AB⊥AC,M是面CC1的中点,N是BC的中点,点P在直线A1B1上.(Ⅰ)若P为A1B1中点,求证:NP∥平面ACC1A1;(Ⅱ)证明:PN⊥AM.【考点】直线与平面平行的判定.【专题】证明题;转化思想;向量法;立体几何.【分析】(Ⅰ)以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出NP∥平面ACC1A1.(2)求出=(0,2,1),=(0,1,﹣2),利用向量法能证明PN⊥AM.【解答】证明:(Ⅰ)以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,设AA1=AC=2,AB=2a,则B(2a,0,0),C(0,2,0),N(a,1,0),P(a,0,2),=(0,﹣1,2),平面ACC1A1的法向量=(1,0,0),=0,∵NP⊄平面ACC1A1,∴NP∥平面ACC1A1.(2)M(0,2,1),=(0,2,1),又=(0,1,﹣2),∴=0+2﹣2=0,∴⊥,∴PN⊥AM.【点评】本题考查直线与平面平行的证明,考查直线与平面垂直的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.20.(12分)(2013•桃城区校级一模)如图,已知圆O的直径AB=4,定直线L到圆心的距离为4,且直线L垂直直线AB.点P是圆O上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别交L与M、N点.(Ⅰ)若∠PAB=30°,求以MN为直径的圆方程;(Ⅱ)当点P变化时,求证:以MN为直径的圆必过圆O内的一定点.【考点】直线与圆的位置关系;点到直线的距离公式.【专题】直线与圆.【分析】(Ⅰ)建立如图所示的直角坐标系,由条件求得M、N两点的坐标,即可求得以MN为直径的圆的方程.(Ⅱ)设点P的坐标为(x0,y0),求得 M(4,)、N(4,),以及MN的值,求得MN的中点,坐标为(4,),由此求得以MN为直径的圆截x轴的线段长度为2,化简可得结果.【解答】解:(Ⅰ)以AB所在的直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴,建立如直角坐标系,由于⊙O的方程为x2+y2=4,直线L的方程为x=4,∠PAB=30°,∴点P的坐标为(1,),∴l AP:y=(x+2),l BP:y=﹣(x﹣2).将x=4代入,得M(4,2),N(4,﹣2).∴MN的中点坐标为(4,0),MN=4.∴以MN为直径的圆的方程为(x﹣4)2+y2=12.同理,当点P在x轴下方时,所求圆的方程仍是(x﹣4)2+y2=12.…(6分)(Ⅱ)设点P的坐标为(x0,y0),则+=4 (y0≠0),∴=4﹣.∵直线AP:y=(x+2),直线BP:y=(x﹣2),将x=4代入,得y M=,y N=.∴M(4,)、N(4,),MN=|﹣|=,故MN的中点坐标为(4,﹣).以MN为直径的圆截x轴的线段长度为2=•=•==4为定值.再根据以MN为直径的圆O′的半径为2,AB的中点O到直线MN的距离等于4,故O′为线段MN的中点,可得⊙O′必过⊙O 内定点(4﹣2,0).【点评】本题主要考查求圆的标准方程,直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,属于中档题.21.(12分)(2015秋•辽宁校级期末)如图甲,⊙O的直径AB=2,圆上两点C,D在直径AB 的两侧,使∠CAB=,∠DAB=.沿直径AB折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙),F为BC的中点,E为AO的中点.P为AC的动点,根据图乙解答下列各题:(1)求三棱锥D﹣ABC的体积.(2)求证:不论点P在何位置,都有DE⊥B P;(3)在BD弧上是否存在一点G,使得FG∥平面ACD?若存在,试确定点G的位置;若不存在,请说明理由.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面平行的判定.【专题】综合题;数形结合;数形结合法;立体几何.【分析】(1)根据圆的性质求出△ABD的面积,利用面面垂直的性质得出OC⊥平面ABD,代入棱锥的体积公式计算;(2)利用三线合一和面面垂直的性质证明DE⊥平面ABC;(3)取的中点G,BD的中点M,连结FM,FG,MG,则可证平面FMG∥平面ACD,故而F G∥平面ACD.【解答】解:(1)在图甲中,∵AB是圆O的直径,∴AD⊥BD,AC⊥BC,∵AB=2,∠DAB=,∴AD=,BD=,∴S△ABD=AD•BD=.∵∠CAB=,∴OC⊥AB,OC=AB=1.在图乙中,∵平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,OC⊥AB,∴OC⊥平面ABD,∴V D﹣ABC=V C﹣ABD===.(2)∵OA=OD,∠DAB=,∴△OAD是等边三角形,∵E是OA中点,∴DE⊥OA,∵平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,DE⊥AB,∴DE⊥平面ABC,∵BP⊂平面ABC,∴DE⊥BP.(3)上存在一点G,满足=,使得FG∥平面ACD,理由如下:取BD中点M,连结FM,MG,FG,则MG⊥BD,∴MG∥AD,∵F,M分别是BC,BD的中点,∴FM∥CD,∵FM⊂平面FMG,MG⊂平面FMG,CD⊂平面ACD,AD⊂平面ACD,AD∩CD=D,FM∩MG=M,∴平面FMG∥平面ACD,∵FG⊂平面FMG,∴FG∥平面ACD.【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质,线面平行的判定,棱锥的体积计算,属于中档题.22.(12分)(2015秋•辽宁校级期末)设函数,其中a为常数(1)当f(2)=f(1)+2时,求a的值;(2)当x∈[1,+∞)时,关于x的不等式f(x)≥x﹣1恒成立,试求a的取值范围;(3)若a∈R,试求函数y=f(x)的定义域.【考点】函数恒成立问题.【专题】分类讨论;换元法;函数的性质及应用.【分析】(1)直接代入,解方程即可;(2)不等式可整理为,只需求出右式的最大值即可.利用换元法令t=2x,t∈[2,+∞)得出,根据定义法判断函数的单调性,进而求出函数的最大值;(3)利用换元法m=2x(m>0)即m2+a•m+1>0,对二次不等式m2+a•m+1>0分类讨论,求出函数的定义域即可.【解答】解:(1).f(2)=f(1)+2⇒log2(1+4a+16)=log2(1+2a+4)+log24⇒log2(17+4a)=log24(5+2a)⇒17+4a=20+8a⇒…(3分)(2)1 +a•2x+4x≥2x﹣1⇒令t=2x∵x∈[1,+∞)∴t∈[2,+∞)设,2≤t1<t2∴∵(t2﹣t1)>0,t1t2﹣1>0,t1t2>0∴h(t1)>h(t2)∴h(t)在[2,+∞)上为减函数,∴t=2时,有最大值为﹣2∴a≥﹣2…(8分)(3)1+a•2x+4x>0⇒令m=2x(m>0)即m2+a•m+1>0①当△=a2﹣4<0⇒﹣2<a<2m∈R⇒x∈R②当△=a2﹣4=0⇒a=2或a=﹣2若a=2,(m+1)2>0又m>0⇒x∈R若a=﹣2,(m﹣1)2>0又m≠1⇒x∈{x|x≠0,x∈R}③当△=a2﹣4>0⇒a>2或a<﹣2设g(m)=m2+a•m+1而g(0)=1>0若a>2,而m>0⇒x∈R若a<﹣2,而m>0⇒⇒⇒综上:①当a>﹣2时 f(x)定义域为R②当a≤﹣2时f(x)定义域为…(14分)【点评】考查了利用换元法和根据函数单调性判断函数的最值,对复合函数,利用对二次不等式的分类讨论求函数的定义域问题.难点是分类讨论.。

辽宁省实验中学分校2016-2017学年高一第一学期期末考试数学试卷

辽宁省实验中学分校2016-2017学年高一第一学期期末考试数学试卷

辽宁省实验中学分校2016-2017学年高一数学上学期期末考试试题一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ,{|0M x x =<或2}x >,2{|430}N x x x =-+<,则图中阴影部分所表示的集合是( )A. {|01}x x ≤<B. {|02}x x ≤≤C. {|12}x x <≤D. {|2}x x <2.在空间直角坐标系中,点(2,1,4)-关于x 轴的对称点的坐标为( )A .(2,1,4)--B .(2,1,4)-C .(2,1,4)---D .(2,1,4)-3.25log 2log 45⋅等于( )A .-1B .21C .1D .24.设有直线n m ,和平面α,β,下列四个命题中,正确的是( )A.若m ∥α,n ∥α,则n m //B.若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC.若α⊥β,m ⊂α,则m ⊥βD.若α⊥β,m ⊥β,m ⊄α,则//m α5.如图, 将一个正方体的表面展开,直线AB 与直线CD 在原来正方体中的位置关系是 ( )A .平行 B. 相交并垂直C. 相交且成60°角D. 异面6.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A .81B .71C .61D .51 7.一个长方体1111D C B A A B CD -的8个顶点在同一球面上,且1,3,21===AA AD AB ,则顶点B A ,间的球面距离是( ))C.2D.48.若直线01243=+-yx与两坐标轴交点为A,B,则以AB为直径的圆的方程是( )A.03422=-++yxyx B.03422=--+yxyxC.043422=--++yxyx D.083422=+--+yxyx9.已知函数3)241ln()(2+-+=xxxf,则)21(lg)2(lg ff+=()A.0 B.-3 C.3 D.610.已知()f x是定义在R上的偶函数,在区间[0,)+∞上为增函数,且1()03f=,则不等式18(log)0f x>的解集为()A.1(,2)2B.(2,)+∞ C.1(0,)(2,)2⋃+∞ D.1(,1)(2,)2⋃+∞11.过圆2x+2y-4x=0外一点),(nmp作圆的两条切线,当这两条切线互相垂直时,nm,应满足的关系式为()A.()2224m n-+= B.22(2)4m n++=C.()2228m n-+= D.22(2)8m n++=12若关于x的方程()f x k=有两个不等的实根,则实数k的取值范围是 ( )A.(0,)+∞ B.(,1)-∞ C.(1,)+∞ D.(0,1]二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.函数3222)1()(----=mmxmmxf是幂函数,且在(0,)x∈+∞上是减函数,则实数m=______ 14.已知直线l通过直线3540x y+-=和直线630x y-+=的交点,且与直线2350x y++=平行,则直线l的方程为 .15.与直线02=-+yx和曲线054121222=+--+yxyx都相切的半径最小的圆的标准方程是.16.如图,在正三棱柱111CBAABC-中,D为棱1AA的中点,若截面DBC1∆是面积为6。

最新精选辽宁省XX中学分校高一上期末数学试卷((含答案))(加精)

最新精选辽宁省XX中学分校高一上期末数学试卷((含答案))(加精)

辽宁省XX中学分校高一(上)期末数学试卷一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知全集U=R,M={x|x<0或x>2},N={x|x2﹣4x+3<0},则图中阴影部分所表示的集合是()A.{x|0≤x<1}B.{x|0≤x≤2}C.{x|1<x≤2}D.{x|x<2}2.(5分)在空间直角坐标系中,点(﹣2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为()A.(﹣2,1,﹣4) B.(﹣2,﹣1,﹣4)C.(2,1,﹣4)D.(2,﹣1,4)3.(5分)log52•log425等于()A.﹣1 B.C.1 D.24.(5分)设有直线m,n和平面α,β,下列四个命题中,正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊂α,n⊂α,m∥β,l∥β,则α∥βC.若α⊥β,m⊂α,则m⊥βD.若α⊥β,m⊥β,m⊄α,则m∥α5.(5分)如图,将一个正方体的表面展开,直线AB与直线CD在原来正方体中的位置关系是()A.平行B.相交并垂直C.相交且成60°角D.异面6.(5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.B.C.D.7.(5分)(文)长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上,且AB=2,AD=,AA1=1,则顶点A、B间的球面距离是()A.B.C.D.28.(5分)若直线3x﹣4y+12=0与两坐标轴交点为A、B,则以AB为直径的圆的方程是()A.x2+y2+4x﹣3y=0 B.x2+y2﹣4x﹣3y=0C.x2+y2+4x﹣3y﹣4=0 D.x2+y2﹣4x﹣3y+8=09.(5分)已知函数f(x)=ln(﹣2x)+3,则f(lg2)+f(lg)=()A.0 B.﹣3 C.3 D.610.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f()=0,则不等式f()>0的解集为()A.(0,)∪(2,+∞)B.(,1)∪(2,+∞)C.(0,)D.(2,+∞)11.(5分)过圆x2+y2﹣4x=0外一点P(m,n)作圆的两条切线,当这两条切线互相垂直时,m,n 应满足的关系式为()A.(m﹣2)2+n2=4 B.(m+2)2+n2=4 C.(m﹣2)2+n2=8 D.(m+2)2+n2=812.(5分)已知函数f(x)=,若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实根,则实数k的取值范围是()A.(0,+∞)B.(﹣∞,1)C.(1,+∞)D.(0,1]二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)函数是幂函数,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则实数m=.14.(5分)已知直线l通过直线3x+5y﹣4=0和直线6x﹣y+3=0的交点,且与直线2x+3y+5=0平行,则直线l的方程为.15.(5分)与直线x+y﹣2=0和曲线x2+y2﹣12x﹣12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是.16.(5分)如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D为棱AA1的中点.若截面△BC1D是面积为6的直角三角形,则此三棱柱的体积为.三.解答题:本大题共6小题,共70分..解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(10分)记函数的定义域为集合A,函数g(x)=lg[(x﹣a+1)(x﹣a﹣1)]的定义域为集合B.(Ⅰ)求集合A;(Ⅱ)若A∩B=A,求实数a的取值范围.18.(12分)如图,已知某几何体的三视图如下(单位:cm).(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);(2)求这个几何体的表面积及体积.19.(12分)已知一曲线C是与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离比为的点的轨迹.(1)求曲线C的方程,并指出曲线类型;(2)过(﹣2,2)的直线l与曲线C相交于M,N,且|MN|=2,求直线l的方程.20.(12分)如图所示,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(1)求证:AE⊥BE;(2)设M在线段AB上,且满足AM=2MB,试在线段CE上确定一点N,使得MN∥平面DAE.21.(12分)已知函数f(x)=2x+2﹣x.(Ⅰ)试写出这个函数的性质(不少于3条,不必说明理由),并作出图象;(Ⅱ)设函数g(x)=4x+4﹣x﹣af(x),求这个函数的最小值.22.(12分)已知△ABC的顶点A(0,1),AB边上的中线CD所在的直线方程为2x﹣2y﹣1=0,AC边上的高BH所在直线的方程为y=0.(1)求△ABC的顶点B、C的坐标;(2)若圆M经过不同的三点A、B、P(m,0),且斜率为1的直线与圆M相切于点P,求圆M的方程.参考答案与试题解析一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知全集U=R,M={x|x<0或x>2},N={x|x2﹣4x+3<0},则图中阴影部分所表示的集合是()A.{x|0≤x<1}B.{x|0≤x≤2}C.{x|1<x≤2}D.{x|x<2}【解答】解:阴影部分为∁U M∩N,而N={x|x2﹣4x+3<0}={x|1<x<3},∁U M={x|0≤x≤2},∴∁U M∩N={x|1<x≤2},故选C.2.(5分)在空间直角坐标系中,点(﹣2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为()A.(﹣2,1,﹣4) B.(﹣2,﹣1,﹣4)C.(2,1,﹣4)D.(2,﹣1,4)【解答】解:∵在空间直角坐标系中,点(x,y,z)关于x轴的对称点的坐标为:(x,﹣y,﹣z),∴点(﹣2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为:(﹣2,﹣1,﹣4).故选B.3.(5分)log52•log425等于()A.﹣1 B.C.1 D.2【解答】解:原式=•=1,故选:C4.(5分)设有直线m,n和平面α,β,下列四个命题中,正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊂α,n⊂α,m∥β,l∥β,则α∥βC.若α⊥β,m⊂α,则m⊥βD.若α⊥β,m⊥β,m⊄α,则m∥α【解答】解:由直线m、n,和平面α、β,知:对于A,若m∥α,n∥α,则m与n相交、平行或异面,故A错误;对于B,若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β或α与β相交,故B错误;对于中,若α⊥β,α⊥β,m⊂α,则m⊥β或m∥β或m与β相交,故C错误;对于D,若α⊥β,m⊥β,m⊄α,则由直线与平面垂直的性质与判定定理得m∥α,故D正确.故选:D.5.(5分)如图,将一个正方体的表面展开,直线AB与直线CD在原来正方体中的位置关系是()A.平行B.相交并垂直C.相交且成60°角D.异面【解答】解:将正方体还原后如图,A与C重合,连结BC,则△BDC是等边三角形,∴直线AB与直线CD在原来正方体中的位置关系是相交且成60°角.故选:C.6.(5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.B.C.D.【解答】解:设正方体的棱长为1,由三视图判断,正方体被切掉的部分为三棱锥,∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=,∴剩余部分体积为1﹣=,∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为.故选:D.7.(5分)(文)长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上,且AB=2,AD=,AA1=1,则顶点A、B间的球面距离是()A.B.C.D.2【解答】解:∵,∴,设BD1∩AC1=O,则,,∴,故选B8.(5分)若直线3x﹣4y+12=0与两坐标轴交点为A、B,则以AB为直径的圆的方程是()A.x2+y2+4x﹣3y=0 B.x2+y2﹣4x﹣3y=0C.x2+y2+4x﹣3y﹣4=0 D.x2+y2﹣4x﹣3y+8=0【解答】解:由x=0得y=3,由y=0得x=﹣4,∴A(﹣4,0),B(0,3),∴以AB为直径的圆的圆心是(﹣2,),半径r=,以AB为直径的圆的方程是,即x2+y2+4x﹣3y=0.故选A.9.(5分)已知函数f(x)=ln(﹣2x)+3,则f(lg2)+f(lg)=()A.0 B.﹣3 C.3 D.6【解答】解:∵f(x)=ln(﹣2x)+3,∴f(x)+f(﹣x)=ln(﹣2x)+3+ln(+2x)+3=ln[()•()+6,=ln1+6=6,∴f(lg2)+f(lg)=f(lg2)+f(﹣lg2)=6.故选:D.10.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f()=0,则不等式f()>0的解集为()A.(0,)∪(2,+∞)B.(,1)∪(2,+∞)C.(0,)D.(2,+∞)【解答】解:方法1:因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以不等式f()>0等价为,因为函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f()=0,所以,即,即或,解得或x>2.方法2:已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f()=0,所以f(x)在(﹣∞,0]上是减函数,且f(﹣)=0.①若,则,此时解得.②若,则,解得x>2.综上不等式f()>0的解集为(0,)∪(2,+∞).故选A.11.(5分)过圆x2+y2﹣4x=0外一点P(m,n)作圆的两条切线,当这两条切线互相垂直时,m,n 应满足的关系式为()A.(m﹣2)2+n2=4 B.(m+2)2+n2=4 C.(m﹣2)2+n2=8 D.(m+2)2+n2=8【解答】解:把圆的方程化为标准方程:(x﹣2)2+y2=4,故圆心坐标为(2,0),半径r=2,根据题意画出图形,如图所示:连接MQ,MN,得到∠MQP=∠MNP=90°,又∠QPN=90°,∴PQMN为矩形,又MQ=MN=2,∴PQMN为边长为2的正方形,则|PM|=2,即(m﹣2)2+n2=8.故选C12.(5分)已知函数f(x)=,若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实根,则实数k的取值范围是()A.(0,+∞)B.(﹣∞,1)C.(1,+∞)D.(0,1]【解答】解:画出函数f(x)=的图象,和直线y=k,关于x的方程f(x)=k有两个不等的实根等价于f(x)的图象与直线有且只有两个交点.观察得出:(1)k>1,或k<0有且只有1个交点;(2)0<k≤1有且只有2个交点.故实数k的取值范围是(0,1].故选D.二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)函数是幂函数,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则实数m=2.【解答】解:是幂函数∴m2﹣m﹣1=1解得m=2或m=﹣1当m=2时,f(x)=x﹣3在x∈(0,+∞)上是减函数,满足题意.当m=﹣1时,f(x)=x0在x∈(0,+∞)上不是减函数,不满足题意.故答案为:2.14.(5分)已知直线l通过直线3x+5y﹣4=0和直线6x﹣y+3=0的交点,且与直线2x+3y+5=0平行,则直线l的方程为6x+9y﹣7=0.【解答】解:联立方程,可得解方程组可得∵直线l与直线2x+3y+5=0平行,∴可设方程为:2x+3y+c=0将代入,可得∴方程为:2x+3y=0即6x+9y﹣7=0故答案为:6x+9y﹣7=015.(5分)与直线x+y﹣2=0和曲线x2+y2﹣12x﹣12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是(x﹣2)2+(y﹣2)2=2.【解答】解:曲线化为(x﹣6)2+(y﹣6)2=18,其圆心到直线x+y﹣2=0的距离为.所求的最小圆的圆心在直线y=x上,其到直线的距离为,圆心坐标为(2,2).标准方程为(x﹣2)2+(y﹣2)2=2.故答案为:(x﹣2)2+(y﹣2)2=2.16.(5分)如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D为棱AA1的中点.若截面△BC1D是面积为68.【解答】解:设AC=a,CC1=b,截面△BC1D是面积为6的直角三角形,则由(a2+b2)×2=a2+b2,得b2=2a2,又×a2=6,∴a2=8,∴V=×8×4=8.故答案为:8三.解答题:本大题共6小题,共70分..解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(10分)记函数的定义域为集合A,函数g(x)=lg[(x﹣a+1)(x﹣a﹣1)]的定义域为集合B.(Ⅰ)求集合A;(Ⅱ)若A∩B=A,求实数a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)由已知得:A={x|1﹣2x≥0}={x|2x≤1}={x|x≤0}(4分)(Ⅱ)由B={x|(x﹣a+1)(x﹣a﹣1)>0}={x|[x﹣(a﹣1)][x﹣(a+1)]>0}(6分)∵a﹣1<a+1∴B={x|x<a﹣1或x>a+1(8分)∵A⊆B,∴a﹣1>0,∴a>1(12分)18.(12分)如图,已知某几何体的三视图如下(单位:cm).(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);(2)求这个几何体的表面积及体积.【解答】解:(1)这个几何体的直观图如图所示.(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q﹣A1D1P的组合体.由PA1=PD1=,A1D1=AD=2,可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S=5×22+2×2×1+2××2=22+4(cm2),所求几何体的体积V=23+×()2×2=10(cm3).19.(12分)已知一曲线C是与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离比为的点的轨迹.(1)求曲线C的方程,并指出曲线类型;(2)过(﹣2,2)的直线l与曲线C相交于M,N,且|MN|=2,求直线l的方程.【解答】解:(1)设M(x,y)是曲线上任意的一点,点M在曲线上的条件是.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)由两点间距离公式,上式用坐标表示为,整理得:x2+y2+2x﹣3=0,(x+1)2+y2=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5分)曲线C是以(﹣1,0)为圆心,以2为半径的圆.﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)(2)当直线l斜率不存在时,,∴x=﹣2﹣﹣﹣﹣﹣(8分)当直线l斜率存在时,设直线l的方程为y﹣2=k(x+2),即kx﹣y+2k+2=0,设圆心到此直线的距离为,∴,所以直线l的方程:,直线l的方程:∴x=﹣2或3x+4y﹣2=0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)20.(12分)如图所示,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(1)求证:AE⊥BE;(2)设M在线段AB上,且满足AM=2MB,试在线段CE上确定一点N,使得MN∥平面DAE.【解答】证明:(1)∵BF⊥平面ACE,AE⊂平面ACE,∴BF⊥AE,BF⊥CE,∵EB=BC,∴F是CE的中点,又∵AD⊥平面ABE,AD⊂平面ABCD,∴平面ABCD⊥平面ABE,∵平面ABCD∩平面ABE=AB,BC⊥AB∴BC⊥平面ABE,从而BC⊥AE,且BC∩BF=B,∴AE⊥平面BCE,BE⊂平面BCE,∴AE⊥BE;(2)在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点,在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点,连MN,∴CN=CE.∵MG∥AE,MG⊄平面ADE,AE⊂平面ADE,∴MG∥平面ADE.同理,GN∥平面ADE,且MG与GN交于G点,∴平面MGN∥平面ADE.又MN⊂平面MGN,∴MN∥平面ADE.故N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点.21.(12分)已知函数f(x)=2x+2﹣x.(Ⅰ)试写出这个函数的性质(不少于3条,不必说明理由),并作出图象;(Ⅱ)设函数g(x)=4x+4﹣x﹣af(x),求这个函数的最小值.【解答】解:(Ⅰ)偶函数;定义域R;值域{y|y≥2};单调递增区间:(0,+∞),单调递减区间:(﹣∞,0)等﹣﹣﹣﹣﹣(4分)图象如图:.﹣﹣﹣﹣﹣(6分)(Ⅱ)设2x+2﹣x=t(t≥2),则4x+4﹣x=t2﹣2,设k(t)=t2﹣2﹣at=t2﹣at﹣2,•时,k(t)min=k(2)=2﹣2a;‚时.所以,•时,g(x)min=2﹣2a;‚时.﹣﹣﹣﹣(12分)22.(12分)已知△ABC的顶点A(0,1),AB边上的中线CD所在的直线方程为2x﹣2y﹣1=0,AC边上的高BH所在直线的方程为y=0.(1)求△ABC的顶点B、C的坐标;(2)若圆M经过不同的三点A、B、P(m,0),且斜率为1的直线与圆M相切于点P,求圆M的方程.【解答】解:(1)AC边上的高BH所在直线的方程为y=0,所以直线AC的方程为:x=0,又直线CD的方程为:2x﹣2y﹣1=0,联立得解得,所以,设B(b,0),则AB的中点,代入方程2x﹣2y﹣1=0,解得b=2,所以B(2,0);(2)由A(0,1),B(2,0)可得,圆M的弦AB的中垂线方程为4x﹣2y﹣3=0,注意到BP也是圆M的弦,所以,圆心在直线上,设圆心M坐标为,因为圆心M在直线4x﹣2y﹣3=0上,所以2m﹣2n+1=0①,又因为斜率为1的直线与圆M相切于点P,所以k MP=﹣1,即,整理得m﹣2n﹣2=0②,由①②解得m=﹣3,,所以,圆心,半径,则所求圆方程为+=,化简得x2+y2+x+5y﹣6=0.。

辽宁省实验中学分校2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)

辽宁省实验中学分校2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)

2017-2018学年辽宁省实验中学分校高一(上)期末数学试卷一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1. 已知全集U ={0,1,2,3,4},集合A ={1,2,3},B ={2,4},则(∁U A )∪B 为( )A. 2,B. 3,C. 2,3,D. 2, 2. 下列函数在其定义域内既是奇函数,又是增函数的是( )A. B. C. D.3. a =log 0.76,b =60.7,c =0.70.6,则a ,b ,c 的大小关系为( )A. B. C. D.4. 用斜二测画法作的直观图是一个水平放置的边长为1cm 的正方形,则原图形的周长是( )A. 6cmB.C. 8cmD.5. 已知m ,n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,下列命题中错误的是( )A. 若 , ,则B. 若 , ,则C. 若 , , ,则D. 若m ,n 是异面直线, , , , ,则6. 设函数, <, , >,且f (x )为奇函数,则g (2)=( ) A.B.C. 4D.7. 若一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知log 29=a ,log 25=b ,则log 275用a ,b 表示为( )A.B.C.D.9.x)D.10. 关于空间直角坐标系O -xyz 中的一点P (1,2,3)有下列说法:①OP 的中点坐标为(, ,);②点P 关于x 轴对称的点的坐标为(-1,-2,-3); ③点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2,-3);④点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2,-3).其中正确说法的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 411.三棱柱的侧棱垂直于底面,所有的棱长都为2,顶点都在一个球面上,则该球的体积为()A. B. C. D.12.已知f(x)是定义在R上的增函数,函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称.若对任意的x,y∈R,不等式f(x2-6x+21)+f(y2-8y)<0恒成立,则当x>3时,x2+y2的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.若圆的半径是,其圆心与点关于直线对称,则圆的标准方程是________.14.直线2x+ay-2=0与直线ax+(a+4)y-1=0平行,则a的值为______.15.下列命题中所有正确命题的序号为______.①若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,那么实数a=-1;②已知函数f(x)=()x的图象与函数y=g(x)的图象关于直线y=x对称,令h(x)=g(1-x2),则h(x)的图象关于原点对称;③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点,则直线CE、D1F、DA三线共点;④幂函数的图象不可能经过第四象限.16.已知,关于x的不等式[f(x)]2+af(x)-b2<0有且只有一个整数解,则实数a的最大值是______.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.已知集合A{x|a-1<x<a+1},B={x|0<x<3}.(1)若a=0,求A∩B;(2)若A⊆B,求实数a的取值范围.18.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F为棱AD、AB的中点.(Ⅰ)求证:EF∥平面CB1D1;(Ⅱ)求证:平面CAA1C1平面CB1D1.19.已知直线m经过点P(-3,),被圆O:x2+y2=25所截得的弦长为8,(1)求此弦所在的直线方程;(2)求过点P的最短弦和最长弦所在直线的方程.20.已知函数f(x)=其中>且.(1)判断函数y=f(x)的单调性和奇偶性;(2)当x∈(-1,1)时,有f(1-m)+f(1-m2)<0.求实数m的取值范围.21.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4.E,F分别在线段BC和AD上,EF∥AB,将矩形ABEF沿EF折起.记折起后的矩形为MNEF,且平面MNEF平面ECDF.(Ⅰ)求证:NC∥平面MFD;(Ⅱ)若EC=3,求证:ND FC;(Ⅲ)求四面体NFEC体积的最大值.22.在平面直角坐标系xoy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2,求直线l的方程(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,求所有满足条件的点P的坐标.答案和解析1.【答案】D【解析】解:∵∁U A={0,4},∴(∁U A)∪B={0,2,4};故选:D.由题意,集合∁U A={0,4},从而求得(∁U A)∪B={0,2,4}.本题考查了集合的运算,属于基础题.2.【答案】D【解析】解:A中,y=是定义域内的非奇非偶的函数,∴不满足条件;B中,y=3x是定义域内的非奇非偶的函数,∴不满足条件;C中,y=lg|x|是定义域内的偶函数,∴不满足条件;D中,y=x3是定义域内的奇函数,也是增函数,∴满足条件;故选:D.利用基本初等函数的单调性与奇偶性的定义,判定各选项中的函数是否满足条件即可.本题考查了基本初等函数的单调性与奇偶性的判定问题,是基础题.3.【答案】D【解析】解:∵a=log0.76<0,b=60.7>1,0<c=0.70.6<0.70=1,∴b>c>a.故选:D.利用指数式和对数式的性质,分别比较三个数与0或1的大小得答案.本题考查对数值的大小比较,考查了指数函数与对数函数的单调性,是基础题.4.【答案】C【解析】解:由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变,正方形的对角线在y′轴上,可求得其长度为cm,故在平面图中其在y轴上,且其长度变为原来的2倍,长度为2cm,其原来的图形如图所示,则原图形的周长是:2(1+)=8cm,故选:C.由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段,在直观图中画成平行于x′轴,长度保持不变,已知图形平行于y轴的线段,在直观图中画成平行于y′轴,且长度为原来一半.由于y′轴上的线段长度为cm,故在平面图中,其长度为2cm,且其在平面图中的y轴上,由此可以求得原图形的周长本题考查的知识点是平面图形的直观图,其中斜二测画法的规则,能够快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化5.【答案】C【解析】解:由m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,知:在A中,若mα,mβ,则由面面平行的判定定理得α∥β,故A正确;在B中,若α∥γ,β∥γ,则由面面平行的判定定理得α∥β,故B正确;在C中,若mα,nβ,m∥n,则α与β相交或平行,故C错误;在D中,若m,n是异面直线,mα,nβ,m∥β,n∥α,则由面面平行的判定定理得α∥β,故D正确.故选:C.在A中,由面面平行的判定定理得α∥β;在B中,由面面平行的判定定理得α∥β;在C中,α与β相交或平行;在D中,由面面平行的判定定理得α∥β.本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、是中档题.6.【答案】D【解析】解:设x>0则-x<0,∵f(-x)=-f(x),∴-f(x)=f(-x)=2x,∴f(x)=-2x,即g(x)=-2x,x>0∴g(2)=-22=-4,故选:D.要求g(2)的值,只要先求g(x),即是求当x>0时的f(x),根据已知x<0时的函数解析式及f(x)为奇函数可求.本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数的解析式,解题的关键是灵活利用已知条件.7.【答案】D【解析】解:由题意可知,几何体是三棱锥,其放置在长方体中形状如图所示(图中红色部分),利用长方体模型可知,此三棱锥的四个面中,全部是直角三角形.故选:D.由题意可知,几何体为三棱锥,将其放置在长方体模型中即可得出正确答案.本题考查学生的空间想象能力,由三视图还原实物图,是基础题.8.【答案】C【解析】解:∵log29=a∴∴log275=log2(5×15)=log25+log2(3×5)=log25+log23+log25=2log25+log23=故选:C.利用幂的对数的运算法则由log29=a,求出;将75写出5×5×3;利用积的对数的运算法则将log275用a,b.本题考查对数的运算法则、将一个对数由其它对数表示关键是将真数由其它真数表示.9.【答案】C【解析】解:令f(x)=e x-x-2,由图表知,f(1)=2.72-3=-0.28<0,f(2)=7.39-4=3.39>0,方程e x-x-2=0的一个根所在的区间为(1,2),故选:C.令f(x)=e x-x-2,方程e x-x-2=0的根即函数f(x)=e x-x-2的零点,由f(1)<0,f(2)>0知,方程e x-x-2=0的一个根所在的区间为(1,2).本题考查方程的根就是对应函数的零点,以及函数在一个区间上存在零点的条件.10.【答案】B【解析】解:空间直角坐标系O-xyz中,点P(1,2,3),则:对于①,OP的中点坐标为(,),正确;对于②,点P关于x轴对称的点的坐标为(1,-2,-3),②错误;对于③,点P关于坐标原点对称的点的坐标为(-1,-2,-3),③错误;对于④,点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2,-3),正确.综上,正确的说法序号是①④.故选:B.类比平面直角坐标系中点的性质,对空间直角坐标系O-xyz中点的坐标与对称性说法,判断正误即可.本题考查了空间中点的坐标与对称性问题的应用问题,是基础题.11.【答案】B【解析】解:根据题意条件可知三棱柱是棱长都为2的正三棱柱,设上下底面中心连线EF的中点O,则O就是球心,其外接球的半径为OA1,又设D为A1C1中点,在直角三角形EDA1中,EA1=2在直角三角形OEA1中,OE=,由勾股定理得OA1=∴球的体积为V=π•()3=π,故选:B.由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心,求出球的半径,即可求出球的表面积.本题考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力.12.【答案】C【解析】解:∵函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称∴函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,即函数y=f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x)又∵f(x)是定义在R上的增函数且f(x2-6x+21)+f(y2-8y)<0恒成立∴(x2-6x+21)<-f(y2-8y)=f(8y-y2 )恒成立∴x2-6x+21<8y-y2∴(x-3)2+(y-4)2<4恒成立设M (x,y),则当x>3时,M表示以(3,4)为圆心2为半径的右半圆内的任意一点,则x2+y2表示在半圆内任取一点与原点的距离的平方由图可知,最短距离为OA=,最大距离OB=OC+BC=5+2=7∴13<x2+y2<49故选:C.由函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,结合图象平移的知识可知函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,从而可知函数y=f(x)为奇函数,由f(x2-6x+21)+f(y2-8y)<0恒成立,可把问题转化为(x-3)2+(y-4)2<4,借助于的有关知识可求本题考查了函数图象的平移、函数的奇偶性、单调性及圆的有关知识,解决问题的关键是把“数”的问题转化为“形”的问题,借助于图形的几何意义减少了运算量,体现“数形结合:及”转化”的思想在解题中的应用.13.【答案】x2+(y-1)2=1【解析】【分析】利用点(a,b)关于直线y=x±k的对称点为(b,a),求出圆心,再根据半径求得圆的方程.本题主要考查求圆的标准方程,利用了点(a,b)关于直线y=x±k的对称点为(b,a),属于基础题.【解答】解:圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,可得圆心为(0,1),再根据半径等于1,可得所求的圆的方程为x2+(y-1)2=1,故答案为:x2+(y-1)2=1.14.【答案】-2或4【解析】解:∵2x+ay-2=0与直线ax+(a+4)y-1=0平行,∴,解之得a=-2或4故答案为:-2或4根据直线平行的条件,列出关于a的方程并解之,即可得到实数a的值为-2或4.本题给出两条直线互相平行,求参数a之值.着重考查了直线的方程与直线的位置关系等知识,属于基础题.15.【答案】①③④【解析】解:①若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则,解得:a=-1;故正确;②已知函数f(x)=()x的图象与函数y=g(x)的图象关于直线y=x对称,则g(x)=,则h(x)=g(1-x2)=,则h(-x)=h(x),则h(x)的图象关于y轴对称;③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点,D1F平面AA1D1D,CE平面ABCD,令直线CE、D1F交于P点,则P∈平面AA1D1D,且P∈平面ABCD,∵平面AA1D1D∩平面ABCD=直线AD,则直线CE、D1F、DA三线共点;故正确;④幂函数的图象不可能经过第四象限.故正确;故答案为:①③④根据圆的一般方程,可判断①;根据反函数及函数的奇偶性,可判断②;根据正方体的几何特征,可判断③;根据幂函数的图象和性质,可判断④.本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了圆的方程,反函数,函数的奇偶性,正方体的几何特征,难度中档.16.【答案】8【解析】解:作出f(x)的函数图象如图所示:(1)若b=0,则[f(x)]2+af(x)<0,当a=0时,f[f(x)]2<0无解;当a<0时,0<f(x)<-a,由图象可知0<f(x)<-a不可能只有一个整数解;当a>0时,-a<f(x)<0,若-a<f(x)<0只有一个整数解,由图象可知此整数解必为x=3.又f(3)=-3,f(4)=-8,故而-8≤-a<-3,即3<a≤8.(2)若b≠0,由[f(x)]2+af(x)-b2<0可得<f(x)<.当a≤0时,由(1)可知a的最大值为8,当a>0时,<0<,由图象可知f(x)=0有两个整数解x=0,x=2,∴<f(x)<至少含有两个整数解,不符合题意.综上,a的最大值为8.故答案为:8.画出函数f(x)的图象,对b,a分类讨论,利用一元二次不等式解法得出关于f(x)的不等式,再利用数形结合即可得出结论.本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的图象,考查了分类讨论方法、数形结合方法与计算能力,属于中档题.17.【答案】解:(1)若a=0,则A={x|-1<x<1},B={x|0<x<3},可得A∩B={x|0<x<1};(2)若A⊆B,集合A{x|a-1<x<a+1},B={x|0<x<3},可得a-1≥0,且a+1≤3,即a≥1且a≤2,即1≤a≤2,则实数a的取值范围为[1,2].【解析】(1)求得集合A,由交集的定义,即可得到所求集合;(2)由题意可得a-1≥0,且a+1≤3,解不等式组,即可得到所求范围.本题考查集合的交集的求法和集合的包含关系,考查运算能力,属于基础题.18.【答案】(本小题满分12分)解:(Ⅰ)证明:连结BD.在正方体AC1中,对角线BD∥B1D1.又因为E、F为棱AD、AB的中点,所以EF∥BD.所以EF∥B1D1-----------------(4分)又B1D1平面CB1D1,EF⊄平面CB1D1,所以EF∥平面CB1D1.---------------------(6分)(Ⅱ)因为在长方体AC1中,AA1平面A1B1C1D1,而B1D1平面A1B1C1D1,所以AA1B1D1.------------------(9分)又因为在正方形A1B1C1D1中,A1C1B1D1,所以B1D1平面CAA1C1.--------------------(10分)又因为B1D1平面CB1D1,所以平面CAA1C1平面CB1D1.--------------------(12分)【解析】(Ⅰ)连结BD.证明EF∥BD.推出EF∥B1D1,然后证明EF∥平面CB1D1.(Ⅱ)证明AA1B1D1,A1C1B1D1,推出B1D1平面CAA1C1.然后证明平面CAA1C1平面CB1D1.本题考查平面与平面垂直,直线与平面平行的判定定理的应用,考查空间想象能力以及计算能力.19.【答案】解:(1)由题意易知:圆心O到直线m到的距离为3.设m所在的直线方程为:,即2kx-2y+6k-3=0.由题意易知:圆心O到直线m到的距离为3,即.解得k=此时直线m为:3x+4y+15=0,而直线x=-3显然也符合题意.故直线m为:3x+4y+15=0或x=-3.(2)过点P的最短弦就是圆心与P连线垂直的直线,k=-=-2,所以,过点P的最短弦所在直线的方程为:,即:4x+2y+15=0;最长弦就是直线经过圆心所在直线,k==.所以,过点P的最长弦所在直线的方程为:.即:x-2y=0.【解析】(1)求出圆心到直线m的距离,设出m的方程,通过圆心到直线的距离求出直线的斜率,求此弦所在的直线方程,斜率不存在时判断是否满足题意即可;(2)过点P的最短弦就是圆心与P连线垂直的直线,最长弦就是直线经过圆心所在直线的方程.本题考查直线与圆的位置关系,直线与圆的方程的综合应用,考查转化思想、计算能力.20.【答案】解:(1)当a>1时,>0,若x1>x2,则a>a,-a>-a,则f(x1)>f(x2),可得f(x)在R上递增;同理可得,当 0<a<1时,f(x)在R上也单调递增.由,∴f(x)为R上的奇函数;(2)由f(x)为奇函数,且在R上递增,可得f(1-m2)<-f(1-m)=f(m-1),即有-1<1-m2<m-1<1,可得<<>或<<,解得1<m<,则m的范围为(1,).【解析】(1)讨论a>1,0<a<1时,运用指数函数的单调性,可得所求f(x)的单调性;由奇偶性的定义,即可得到所求奇偶性;(2)由(1)的结论,可得f(1-m2)<-f(1-m)=f(m-1),即有-1<1-m2<m-1<1,解不等式即可得到所求范围.本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用:解不等式,考查转化思想和定义法解题,属于中档题.21.【答案】(Ⅰ)证明:因为四边形MNEF,EFDC都是矩形,所以MN∥EF∥CD,MN=EF=CD.所以四边形MNCD是平行四边形,…(2分)所以NC∥MD,…(3分)因为NC⊄平面MFD,所以NC∥平面MFD.…(4分)(Ⅱ)证明:连接ED,设ED∩FC=O.因为平面MNEF平面ECDF,且NE EF,所以NE平面ECDF,…(5分)因为FC平面ECDF,所以FC NE.…(6分)又EC=CD,所以四边形ECDF为正方形,所以FC ED.…(7分)所以FC平面NED,…(8分)因为ND平面NED,所以ND FC.…(9分)(Ⅲ)解:设NE=x,则EC=4-x,其中0<x<4.由(Ⅰ)得NE平面FEC,所以四面体NFEC的体积为.…(11分)所以.…(13分)当且仅当x=4-x,即x=2时,四面体NFEC的体积最大.…(14分)【解析】(Ⅰ)先证明四边形MNCD是平行四边形,利用线面平行的判定,可证NC∥平面MFD;(Ⅱ)连接ED,设ED∩FC=O.根据平面MNEF平面ECDF,且NE EF,可证NE平面ECDF,从而可得FC NE,进一步可证FC平面NED,利用线面垂直的判定,可得ND FC;(Ⅲ)先表示出四面体NFEC的体积,再利用基本不等式,即可求得四面体NFEC的体积最大值.本题考查线面平行,考查线面垂直,考查三棱锥体积的计算,考查基本不等式的运用,掌握线面平行,线面垂直的判定方法,正确表示四面体NFEC的体积是关键.22.【答案】解:(1)由于直线x=4与圆C1不相交;∴直线l的斜率存在,设l方程为:y=k(x-4)(1分)圆C1的圆心到直线l的距离为d,∵l被⊙C1截得的弦长为2∴d==1(2分)d=从而k(24k+7)=0即k=0或k=-∴直线l的方程为:y=0或7x+24y-28=0(5分)(2)设点P(a,b)满足条件,由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0,不妨设直线l1的方程为y-b=k(x-a),k≠0则直线l2方程为:y-b=-(x-a)(6分)∵⊙C1和⊙C2的半径相等,及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等即=(8分)整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|∴1+3k+ak-b=±(5k+4-a-bk)即(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5因k的取值有无穷多个,所以或(10分)解得或这样的点只可能是点P1(,-)或点P2(-,)(12分)【解析】(1)因为直线l过点A(4,0),故可以设出直线l的点斜式方程,又由直线被圆C1截得的弦长为2,根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理,我们可以求出弦心距,即圆心到直线的距离,得到一个关于直线斜率k的方程,解方程求出k值,代入即得直线l的方程.(2)与(1)相同,我们可以设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程,由于两直线斜率为1,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程,解方程求出k值,代入即得直线l1与l2的方程.在解决与圆相关的弦长问题时,我们有三种方法:一是直接求出直线与圆的交点坐标,再利用两点间的距离公式得出;二是不求交点坐标,用一元二次方程根与系数的关系得出,即设直线的斜率为k,直线与圆联立消去y后得到一个关于x的一元二次方程再利用弦长公式求解,三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求.对于圆中的弦长问题,一般利用第三种方法比较简捷.本题所用方法就是第三种方法.。

2022-2023学年辽宁省沈阳市实验中学高一数学第一学期期末经典模拟试题含解析

2022-2023学年辽宁省沈阳市实验中学高一数学第一学期期末经典模拟试题含解析
【详解】(Ⅰ)由题知,直线 的斜率为 ,则所求直线的斜率为 ,
设所求直线方程为 ,代点 入直线方程,解得 ,
故所求直线方程为 ,即 ;
(Ⅱ)因为直线 过点 且与直线 平行,
所以直线 , 之间的距离等于点 到直线 的距离,
由题知点 且到直线 的距离
所以两平行线 , 之间的距离为 .
【点睛】本题考查了利用直线间的垂直平行关系求直线方程,以及相关距离的应用,要求学生对相关知识熟练掌握,属于简单题.
1、C
【解析】根据交集和补集的定义可求 .
【详解】 ,故 ,
故选:C.
2、A
【解析】根据三角函数定义求解即可.
【详解】角 的终边经过点 ,即 ,则 .
故选:A.
3、C
【解析】利用扇形弧长公式进行求解.
【详解】设扇形弧长为lcm,半径为rcm,则 ,即 且 ,解得: (cm),故此扇形的弧长为9cm.
19、(1)最小正周期是
(2)单调递增区间 ,
【解析】(1)由三角恒等变换得 ,再求最小正周期;
(2)整体代换得函数的增区间为 ,再结合 求解即可.
【小问1详解】
解:
.
所以, ,即最小正周期为 .
【小问2详解】
解:令 ,解得 ,
因为 ,
所以,当 时,得其增区间为 ;当 时,得其增区间为 ;
所以, 在区间 上 单调递增区间为 ,
∴ ,
故选:A
【点睛】本题考查了集合之间的关系,韦恩图的表示,属于基础题.
9、A
【解析】由函数 在 内单调递增得 ,进而根据充分,必要条件判断即可.
【详解】解:因为函数 在 内单调递增,
所以 ,
因为 是 的真子集,
所以“ ”是“函数 在 内单调递增”的充分而不必要条件
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辽宁省实验中学分校2014-2015学年高一数学上学期期末考试试题
一、选择题:(每题5分,共计60分)
1.集合{}{}
R x y y B R x x y y A x ∈==∈+==,2,,1,则A B ⋂等于( ) A. ()+∞,0 B. {}1,0 C. {}1,2 D. {})2,1(),1,0( 2.函数2
3212
---=
x x x
y 的定义域( ) A. ]1,(-∞ B. ]2,(-∞ C. ]1,21()21,(-⋂--∞ D. ]1,2
1()21,(-⋃--∞ 3.点(3,5,2)M -关于y 轴对称点坐标为( )
A. (3,5,2)--
B. (3,5,2)-
C. (3,5,2)---
D. (3,5,2)- 4.若直线10mx y +-=与直线230x y -+=平行,则m 的值为( ) A.
12 B. 1
2
- C. 2 D. 2- 5.圆2
2
10x y +-=和圆2
2
4240x y x y +-+-=的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
6.三个数0.32
0.32,0.3,log 2的大小顺序是( ) A. 20.30.30.3log 22<< B. 20.3
0.30.32log 2<<
C. 0.3
20.3log 22
0.3<< D. 20.30.3log 20.32<<
7.函数x x x f 2
1
ln )(+
=的零点所在的区间是( ) A.)1,0(e B.)0,1(- C.)1,1
(e
D.),1(+∞
8.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且这个等腰梯形的面 积为
,则原梯形的面积为( )
A.2
B.2
C.22
D.4
9.已知互不相同的直线,,l m n 与平面,αβ,则下列叙述错误的是( ) A.若//,//m l n l ,则//m n B.若//,//m n αα,则//m n C.若,//m m αβ⊥,则αβ⊥ D.若,m βαβ⊥⊥,则//m α或m α⊂
10.已知球的直径4SC =,A,B 是球面上的两点2AB =, 0
45BSC ASC ∠=∠=,则棱锥
S ABC -的体积是( )
A. 33
B. 332
C. 334
D.
33
5
11.⎩⎨⎧++-++=2222)(2
2x x x x x f 0
0<≥x x ,若()()4342
>+-f a a f ,则a 的取值范围是( ) A. (1,3) B. (0,2) C. (,0)(2,)-∞⋃+∞ D. (,1)(3,)-∞⋃+∞
12.函数()f x 的定义域为D ,若满足①()f x 在D 内是单调函数,②存在[,],m n D ⊆使()f x 在[,]m n 上的值域为11[,
]22
m n ,那么就称()y f x =为“好函数”。

现有()log (),x a f x a k =+ (0,1)a a >≠是“好函数”,则k 的取值范围是( )
A. 1(0,)4
B. 1(,)4-∞
C. (0,)+∞
D.
1
(0,]
4 二、填空题:(每小题5分,共20分)
13.过点1,2()且与直线3450x y +-=垂直的直线方程_______________
14.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5,且它的八个顶点都在同一球面上,这个球的表面积是_______________
15.直线(1)2y k x =-+与曲线21y x -=有且只有一个交点,则k 的取值范围是_______________
16.设函数()f x x x bx c =++,给出下列4个命题:
①0c =时,()y f x =是奇函数;②00b ,c =>时,方程()0f x =只有一个实根; ③()y f x =的图像关于点()0,c 对称;④方程()0f x =至多有两个实根. 上述命题中正确的序号为_______________
三、解答题:(共70分)
17.(满分10分)已知集合{}{
}
92,63<<=<≤=x x B x x A (1)求)R C A B ⋂(;
(2)已知{}
=121C x a x a -<<+,若B C ⊆,求实数a 的取值集合。

18.(满分12分)已知圆C 过(1,0),且圆心在x 轴的正半轴上,直线:1l y x =-被该圆所截得的弦长为22,求圆C 的标准方程。

19.(满分12分)如下的三个图中,分别是一个方体截去一个角所得多面体的直观图以及它的主视图和左(侧)视图(单位:cm )
(1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;
(3)在所给直观图中连结'BC ,证明:'BC ∥面EFG 。

20.(满分12分)已知圆O :12
2
=+y x 和定点()2,1A ,由圆O 外一点(),P a b 向圆O 引切
线PQ ,切点为Q ,且满足PQ PA =. (1)求实数a b 、间满足的等量关系; (2)求线段PQ 长的最小值;
(3)若以P 为圆心所作的圆P 与圆O 有公共点, 试求半径取最小值时圆P 的标准方程.
x
y
2
O
Q
A
2
C
1
21.(满分12分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,1AC BC CC ==,AC BC ⊥,点D 是AB 的中点。

(1)求证:CD ⊥平面11A ABB ; (2)求证:1AC ∥平面1CDB ;
(3)线段AB 上是否存在点M ,使得1A M ⊥平面1CDB .
22.(满分12分)已知函数2
23
()()m
m f x x m -++=∈Z 为偶函数,且在(0,)+∞上为增函数.
(1)求m 的值,并确定()f x 的解析式;
(2)若()log [()](0a g x f x ax a =->且1)a ≠,是否存在实数,a 使()g x 在区间[2,3]上的
最大值为2,若存在,求出a 的值,若不存在,请说明理由
高一期末考试答案
13. 4320x y -+= 14. 50π 15. [)1,3 16. ①②③ 17.(1)()[),36,-∞⋃+∞(2)(][],23,4-∞-⋃ 18. 2
2
(3)4x y -+= 19.(1)略;(2)
284
3
;(3)略 20. (1)23a b +=;(2)
255;(3)2226335
()()(
1)555
x y -+-=- 21.(1)(2)略;(3)M 与B 重合时,证明略 22. (1)由条件幂函数2
23
()()m
m f x x m -++=∈Z ,在(0,)+∞上为增函数,
得到 2
230m m -++> 解得 3
1,2
m -<<
又因为 ,m Z ∈ 所以0m =或1.
又因为是偶函数
当0m =时,3
(),f x x =不满足()f x 为奇函数; 当1m =时,2(),f x x =满足()f x 为偶函数; 所以2
().f x x =。

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