高超声速飞行器滑行航迹优化

2006年5月第32卷第5期北京航空航天大学学报Journal of Beijing University of Aeronautics and AstronauticsMay　2006Vol.32　No.5收稿日期:2005⁃06⁃06　作者简介:周　浩(1976-),男,湖南宁乡人,博士生,zhouhao@.高超声速飞行器滑行航迹优化周　浩 陈万春(北京航空航天大学宇航学院,北京100083)殷兴良(中国航天科工集团公司,北京100830) 摘 要:针对高超声速飞行器滑行的密度模型㊁动力学模型㊁空气动力模型和作为输入的攻角,将弹道问题转化为最优控制问题,采用极大值原理求得航程最大的一阶必要条件,采用多次变区间的遗传算法㊁非线性单纯形法和邻近极值法的组合优化策略来求解此两点边值问题,首先用多次变区间的遗传算法和单纯形方法求得全局航程最大,然后用邻近极值法得到合适的初值满足所有终端约束,通过对一高超声速飞行器的算例进行了优化计算,得到了最优弹道和优化算法的收敛曲线,并与升阻比最大飞行方案进行比较可知,最优控制方案求得的航程大于升阻比最大飞行方案的航程.关　键　词:航迹;优化;最优控制系统;遗传算法;高超声速飞行器;两点边值问题中图分类号:V 412.4+4文献标识码:A 文章编号:1001⁃5965(2006)05⁃0513⁃05Optimization of glide trajectory for a hypersonic vehicleZhou Hao　Chen Wanchun(School of Astronautics,Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing 100083,China)Yin Xingliang(China Aerospace Science and Industry Corporation,Beijing 100830,China)Abstract :According to hypersonic vehicle’s density model,dynamic model,areodynamic force modelsand the angle of attack considered as the input,the trajectory problem was cast as the optimal control problem and pontriaghin maximum principle was used to obtain first order necessary condition.A combined optimal ap⁃proach including changing⁃region gene algorithm and nelder⁃mead simplex method and neighboring extrem method were proposed to explore two point boundary value problem.Firstly the gene algorithm and simplex method was used to get the goal optimal solution and then gained the fit initial value which is satisfied with strictly terminal constraints by neighboring extrem method.By optimizing a hypersonic vehicle case,optimal trajectory and the curve convergent was gained,and the result was compared with the flight scheme of maximi⁃zing the rate of lift and drag,the range obtaining by optimal control is longer than that by the flight scheme ofmaximizing the rate of lift and drag.Key words :trajectory;optimization;optimal control systems;genetic algorithms;hypersonic vehicle;TPBVP 飞行器的再入飞行是研究飞行器再入大气层的运动规律.这里研究的滑行飞行就属于再入飞行.而求解最大滑行飞行问题中的一个关键问题是要求解两点边值问题.文献[1]求解了带约束的高超声速飞行器的周期最优航迹,提出了解决最优控制中两点边值问题的方法.文献[2]对高超声速飞行器进行了燃料最少航迹优化,将整个弹道分为上升段和滑行段,提出了滑行的概念并通过求解两点边值问题得到了有约束的最大滑行航迹.文献[3]用二阶梯度方法和奇异摄动方法求解了近程导弹最大滑行优化航迹.文献[4]用二阶梯度方法和奇异摄动方法求解了近程导弹三维空间的最大滑行优化航迹.文献[5]总结了求解最优航迹的理论和方法,并提出了用邻近极值法求解边值问题.用最优控制求解滑行问题的关键就是求解两点边值问题,而在求解高超声速飞行器滑行问题中的两点边值问题时,由于积分时间长,结果对初值的敏度非常大,用文献[1-2]中的初始点的估计是通过次优弹道来估计的,结果对估计的初始值点依赖很大,求得的是局部最优解.所以本文针对初始值的选取问题,在前人的基础上提出用多次变区间的遗传算法㊁非线性单纯形法和邻近极值法的组合优化策略来求解两点边值问题,求得了全局最优解,得到了最大滑行航迹.1　高超声速飞行器滑行的数学模型文献[2]中定义滑行是飞行器在关闭发动机的情况下以一定的马赫数从零航迹角开始的一种飞行.本文研究的就是一个滑行的问题.如图1所示.图1　滑行示意图问题描述如下:给定初始参数和末端参数,初始的滑行高度h 0,初始的滑行马赫数Ma 0,初始航迹角γ0,末端高度h f ,末端马赫数Ma f ,末端航迹角γf ;寻找一个控制(攻角α)的过程使得滑行的航程最大.由于是滑行没有质量变化,所以不考虑发动机模型.数学模型包括密度模型㊁动力学模型和空气动力模型.密度模型:采用简化的密度模型[2].ρ为空气密度,h 为高度.ρ=1.225e -0.00015h(1) 动力学模型:不考虑地球自转在垂直平面的飞行器动力学方程如下.其中Ma 为马赫数;γ为航迹角;r 为航程;c 为声速;R 0为地球半径;m 为飞行器的质量;g 为重力加速度.d hd t=Mac sin γ(2)d Ma d t =-D -mg sin γcm(3)d γd t =L -mg cos γMacm +Mac cos γR 0+h(4)d r d t =R 0Mac cos γR 0+h(5) 空气动力模型:阻力D ㊁升力L 的计算公式如下.其中q 为动压;C D 为阻力系数;C L 为升力系数;A ω为参考面积.D =qC D A ω(6)L =qC L A ω(7)C D =C D 0+KC 2L(8)C L =C L 0+C Lαα(9)其中动压q =0.5ρ(Mac )2;气动系数C D 0,K ,C L 0,C Lα数据见参考文献[1].优化的目标函数为航程的泛函R =∫t f t 0R 0Mac cos γR 0+hd t ,t 0=0,t f 待求.因为,Ma ,γ,h 最终可用α表示,所以泛函R 可表示为攻角α和时间t 的函数,通过求解α的控制规律使得航程R 最大.2　最优滑行航迹的必要条件文献[6-7]介绍了最优控制理论,最优滑行问题是一个最优控制问题,它的哈密顿函数如式(10)所示.H =d r d t +λh d h d t +λMa d Ma d t +λγd γd t(10)其中λh ㊁λMa ㊁λγ是伴随变量.伴随方程:d λh d t =-∂H∂hd λMa d t =-∂H ∂Ma d λγd t =-∂H ∂üþýïïïïïïïγ(11) 由方程(10)和方程(2)~(5)可得H α=-λMa1cm 2KC L C LαqA ω+λγ1Macm C LαqA ω(12)令H α=0,可以得到优化控制α;α=λγ2λMa MaKC Lα-CL 0C Lα(13) 边界条件为:h (t 0)=h 0;Ma (t 0)=Ma 0;γ(t 0)=0;h (t f )=h f ;Ma (t f )=Ma f ;λγ(t f )=0.横截条件:H ≡0.415北京航空航天大学学报 2006年求解出这个最优控制的问题就等于求出了在以上边界条件约束下的最大航程弹道.3　两点边值问题的求解求解最优航迹问题关键就是求解两点边界值问题,即要找到一组合适的共态变量的初始值,满足终端约束.3.1　算法分析共态变量的初始值对结果的敏度很大,并且不一定连续,所以用传统的搜索算法直接求解只能找到局部最优解,并且与优化算法初始值的选取有关.文献[2]中提到用带梯度的算法直接求解甚至求不出解,所以一般优化算法初始值的选取是一个比较难的问题.而遗传算法是模拟生物在自然环境中的遗传和进化过程而形成的一种自适应全局优化概率搜索算法,它只需要估计出优化变量的范围即可,并且它求的是全局近似最优解.但遗传算法计算量大,往往得到的也只是一个粗略全局最优解.所以在遗传算法计算的基础上再采用局部搜索能力很强的优化算法进一步求得全局最优解.也就是先用遗传算法求得全局近似最优解,再用其它局部搜索能力强的算法进一步求得最优解;然后在这个基础上根据严格的约束条件采用临近极值法来求解两点边界值问题,得到满足所有约束条件的最优解.实践证明此方法可行.对一个求函数最大值的优化问题,一般可描述为下述数学规划模型:max f (x )s.t X ∈RR ⊆{U图2　算法示意图式中,X =[x 1,x 2, ,x n ]T ;f (x )为目标函数;U 是基本空间;R 是U 的一个子集.满足约束条件的解X 称为可行解,集合R 表示由所有满足约束条件的解所组成的一个集合,叫可行解集合[8].他们之间的关系如图2所示.用遗传算法可以在可行解集合中找到全局近似最优解Xjsopt,然后以Xjsopt 为初始值再用局部优化算法(如二次序列规划算法)进一步优化以求得最优解Xopt,然后采用临近极值法在最优解附近找到一个满足所有约束条件的解.3.2　求解步骤对于本文的问题主要是探求初始时刻共态变量的值,在一定的初始条件下使得飞行器的航程最远.文献[1-2]都是采用次优化弹道来得到最优弹道的初始值,文献中所用的方法对初始值的要求很严,采用文献[1-2]提供的方法计算但没有得到合适的解.而遗传算法对初始值要求不严,知道大概范围就行.本文采用升阻比最大飞行来估计初始值的范围,然后用遗传算法去寻找近似最优航迹时初始时刻共态变量的值,在这个基础上再用其它局部优化算法进一步求得最优航迹时初始时刻共态变量的值.求解滑行弹道的步骤总结如下.步骤1　取优化的参数为:λh 0,λMa 0,λγ0可以通过横截条件在t 0时刻的值得到.　λγ0=-d r d tt 0+λh 0d h d tt 0+λMa 0d Ma d tt 0d γd tt 0(14)其中,d r d tt 0,d h d tt 0,d Ma d tt 0,d γd tt 0取升阻比最大飞行的初始时刻的值.步骤2　从升阻比最大飞行的弹道中由式(15)估计出λh (t 0),又由从升阻比最大飞行的弹道中得出的初始攻角与式(13)和(14)比较估计出λh (t 0)/λMa (t 0),就可得λMa (t 0).为下一步用遗传算法优化范围的选取提供初始估计值.λh (t 0)=∂r f ∂h (t 0)(15) 步骤3　由λh (t 0),λMa (t 0),λγ(t 0)3个初始条件开始对系统方程积分可求得航程.在步骤1估计出的λh (t 0),λMa (t 0)为中心,以|λh (t 0)|,|λMa (t 0)|为半径的范围里用遗传算法优化λh (t 0)和λMa (t 0),得到一组新的λh (t 0),λMa (t 0)后,又以新的λh (t 0),λMa (t 0)为中心,以|0.1λh (t 0)|,|0.1λMa (t 0)|为半径的范围里再用用遗传算法优化λh (t 0)和λMa (t 0),经过多次缩小遗传算法区间进行优化以求得比较精确的全局近似最优解,为下面的局部优化算法优化提供比较精确的初始值.然后用遗传算法求得的λh (t 0)和λMa (t 0)的值作为非线性单纯形法的初始值再对航程进行优化使之最大,优化时不考虑约束的影响,优化变515第5期 周　浩等:高超声速飞行器滑行航迹优化量为λh (t 0)和λMa (t 0).步骤4　用邻近极值法求解两点边值问题,以步骤3最后得到的λh 0和λMa 0作为优化初始值,仿真过程以λr (t f )=0作为终止条件,通过式(17)的转移矩阵B -1求得Δλh 0和ΔλMa 0,然后用单纯形优化算法来求得适当的步长ε,经过式(18)的多次迭代从而得到合适的λh 0和λMa 0使得边界条件能够满足.因为Δh f ΔMa éëêêùûúúf =∂h ∂λh 0∂h ∂λMa 0∂Ma∂λh 0∂Ma ∂λMa éëêêêêùûúúúú0㊃Δλh 0ΔλMa éëêêùûúú0=B Δλh 0ΔλMa éëêêùûúú0(16)所以Δλh 0ΔλMa éëêêùûúú0=B -1Δh f ΔMa éëêêùûúúf (17)λ(k +1)h 0=λk h 0+Δλh 0ελ(k +1)Ma 0=λk Ma 0+ΔλMa 0}ε(18)4　算例分析初始的滑行高度h 0=111.9838km,初始的滑行马赫数Ma 0=15.1896,初始航迹角γ0=0°.取末端高度h f =10.0km 作为仿真停止条件.用升阻比最大飞行进行仿真得到的结果为:末端马赫数Ma f =1.2,航程r f =8226km .弹道曲线如图3所示.图3　升阻比最大飞行弹道曲线采用最优控制的方法计算,取终端约束为升阻比最大飞行的终值:h f =10.0km,Ma f =1.2,λγf =0;得到的结果为:r f =8334km,λγf =0,Ma f =1.207,h f =9.97km;优化得到的共态变量的初始值为:λh 0=-6.5131和λMa 0=-1.3376×106.弹道曲线如图4所示.攻角随航程变化的曲线如图5所示.终端约束都能满足,航程比升阻比最大飞行的航程增大了1.3%.此次优化计算开始采用遗图4　最大航程弹道曲线图5　最大航程弹道攻角随航程变化曲线传算法,然后用非线性单纯形方法优化,最后用邻近极值法求解.图6　遗传算法收敛曲线将结果对λh 0和λMa 0进行敏度分析,让λh 0变化1%,令λh 0=-6.4479,λMa 0不变,则航程r =7750km,r f 缩短了7%,h f =3.67km,误差为63.3%,Ma f =3.91,误差为225.8%;让λMa 0变化1%,令λMa 0=-1.3242×106,λh 0不变,则航程r =7696km,缩短了7.66%,h f =6.2km,误差为38%,Ma f =2.6,误差为116.7%.可见结果对初始值λh 0和λMa 0的敏度很大.最后一次相对小区间遗传算法收敛曲线如图6所示,计算200代以后基本趋于一稳定值.单纯形法收敛曲线如图7所示.邻近极值法收敛曲线如图8所示,此收敛曲线的纵坐标是末端时刻各约束的综合误差值.如果直接用梯度算法或直接优化算法很难求得最优解,求615北京航空航天大学学报 2006年的是某个极大值而不是最大值,所以采用遗传算法优化得到一个比较好的初始值,然后再用单纯形法和邻近极值法求解,这样能得到一个更好的结果.图7　单纯形法收敛曲线图8　邻近极值法收敛曲线5　结束语从算例可以看到用最优控制的方法求得的弹道优于升阻比最大飞行弹道.但是采用最优控制的方法求解弹道问题时共态变量的初始值对结果的影响非常大,也就是结果对伴随变量初始值的敏度非常大,采用多次变区间遗传算法㊁非线性单纯形法和邻近极值法的组合优化策略来求解这类问题是比较好的方法,它能求出这类问题的全局最优解.参考文献(References )[1]Chuang C H,Morimoto Hitoshi.Periodic optimal cruise for a hy⁃personic vehicle with constrains [J].Journal of Spacecraft andRockets,1997,34(2):165-171[2]Hitoshi Morimoto,Chuang Jason C H.Minimum⁃fuel trajectoryalong entire flight profile for a hypersonic vehicle with constraint [R].AIAA 98-4122,1998[3]Donglong Sheu,Chen Yu Min,Chang Yuan Jen,et al.Optimal glide for maximum range[R].AIAA 98-4462,1998[4]Sheu Donglong ,Chen Yu Min,Chern 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